text:
Đại số sơ cấp
Đại số sơ cấp bao gồm những khái niệm cơ bản của đại số, một phân nhánh của toán học. Đại số sơ cấp thường được dạy ở cấp trung học cơ sở và được xây dựng dựa trên những hiểu biết về số học. Trong khi số học liên quan tới những con số cụ thể,[1] đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến số.[2] Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được sử dụng trong số học. Khác với đại số trừu tượng, đại số sơ cấp không quan tâm tới cấu trúc đại số ngoài số thực và số phức.
Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn. Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán học thường được biểu diễn dưới dạng phương trình đại số.
Mục lục
- 1 Ký hiệu đại số
- 2 Các khái niệm
- 3 Giải các phương trình đại số
- 3.1 Phương trình tuyến tính với một biến số
- 3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số
- 3.3 Phương trình bậc hai
- 3.4 Phương trình số mũ và phương trình lôgarit
- 3.5 Phương trình căn thức
- 3.6 Hệ phương trình tuyến tính
- 3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác
- 3.8 Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình
- 4 Chú thích
- 5 Đọc thêm
Ký hiệu đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện. Nó tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có những thuật ngữ riêng. Ví dụ, biểu thức có những thành tố sau:
1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số, : các biến số
Một hệ số là một giá trị số nhân với biến số (toán tử được bỏ qua), số hạng là một hạng thức, một nhóm các hệ số, biến số, hằng số và số mũ được phân tách với những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ.[3] Các biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ cái. Theo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví dụ ) thường dùng để biểu diễn các hằng số và các chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ and ) thường được dùng để biểu diễn các biến số.[4] Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng.[5]
Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính trong số học,[6] ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa[7] và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại số. Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua, và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng. Ví dụ, được viết thành , và có thể được viết thành .[8].
Thường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về bên trái, ví dụ, sẽ được viết về bên trái của . Khi một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ được viết thành ).[9] Cũng như vậy, khi số mũ là một (ví dụ được viết thành ).[10]. Khi số mũ là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ luôn được viết lại thành 1).[11] Tuy nhiên , là một số không xác định, không được xuất hiện trong biểu thức, và cần phải chú ý khi rút gọn các biểu thức trong đó các biến số xuất xuất hiện dưới dạng số mũ.
Các khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]
Biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học[12] bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện những số chung (không xác định). Điều này đem lại một vài lợi ích:
- Biến số đại diện cho những số chưa biết giá trị. Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, T, là 20 độ cao hơn nhiệt độ ngày hôm qua, Y, thì bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng toán học là .[13]
- Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung,[14] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số có liên quan.Ví dụ, người ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng với giây. Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu tả số giây, , trong đó m là số phút.
- Biến số cho phép miêu tả những mối quan hệ toán học giữa những con số có thể dao động.[15] Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, c, và đường kính, d, của một đường tròn có thể được biểu diễn là .
- Biến số cho phép mô tả một vài tính chất của toán học. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép cộng là tính giao hoán, trong đó nêu rõ rằng trật tự của các số được cộng không quan trọng. Tính giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là .[16]
Đánh giá biểu thức[sửa | sửa mã nguồn]
Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa). Ví dụ,
- Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng hệ số. Ví dụ, có thể được rút gọn thành (trong đó 3 là hệ số)
- Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách sử dụng số mũ. Ví dụ, có thể được biểu diễn là
- Cũng giống như các số hạng được cộng với nhau,[17] ví dụ, được viết thành , bởi các số hạng được cộng lại với nhau, các số hạng cũng được cộng lại với nhau.
- Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ, có thể được viết thành , và có thể được viết thành
- Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví dụ, , chia cả hai số hạng với ta có thể viết thành
Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]
Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, (dấu bằng).[18] Một trong những phương trình nổi tiếng nhất mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài các cạnh của một tam giác vuông.[19]
Phương trình này thể hiện rằng , đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được đại diện bằng các chữ cái và
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ ); những phương trình như vậy được gọi là đồng nhất thức. Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ chỉ đúng khi hoặc ). Những giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông qua giải phương trình.
Một dạng phương trình khác gọi là bất đẳng thức. Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: , trong đó có nghĩa là 'lớn hơn', và trong đó có nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải được đổi ngược lại.
Tính chất của đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]
Theo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "quan hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ ), đối xứng (ví dụ nếu thì ), và bắc cầu (ví dụ nếu và thì )[20] trong đó:
- Nếu và thì và ;
- Nếu thì ;
- Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể thay thế cho bên còn lại
Tính chất của bất đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]
Mối quan hệ 'nhỏ hơn' và 'lớn hơn' có tính chất bắc cầu:[21]
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì .
Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng ta có thể đảo dấu và ,[22], ví dụ
- tương đương với
Giải các phương trình đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trình đại số thường gặp
Phương trình tuyến tính với một biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường thẳng (tuyến tính có nghĩa là đường thẳng). Phương trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số. Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà không có số mũ. Ví dụ, xem xét:
Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: , trong đó là số tuổi của con trai tôi
Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.[23] Nghiệm của phương trình này là như sau:
Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một biến số, có thể được viết là:
Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho và chia cho ) đáp số của phương trình là
Phương trình tuyến tính với hai biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm. Ví dụ:
Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: trong đó là tuổi của tôi và là tuổi của con trai tôi.
Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán. Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số.
Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:
Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):[24]
Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi.
Phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng với số mũ là 2, ví dụ, ,[25] và không có số hạng nào với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng ,[26] trong đó khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình tuyến tính chứ không còn là bậc hai). Bởi vậy phương trình bậc hai phải chứa số hạng , số hạng được biết đến là số hạng bậc hai. Do , chúng ta có thể chia cho và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu chuẩn.
Trong đó và . Giải phương trình này, bằng một quá trình gọi là phần bù bình phương, sẽ dẫn đến công thức bậc hai
Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả
là nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng phân tích nhân tử. Một ví dụ của phân tích nhân tử:
Cũng tương đương với:
Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích của không với cả hoặc là nghiệm của phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ số phức, nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ số thực. Ví dụ,
không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình phương lại bằng −1.
Phương trình số mũ và phương trình lôgarit[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình số mũ là phương trình có dạng với ,[27] nghiệm của phương trình là
khi . Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp số. Ví dụ nếu
thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai vế cho 3 chúng ta có
Do đó
Hoặc
Phương trình lôgarit là phương trình dạng với , trong đó nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có
Do đó
Từ đó ta rút ra được
Phương trình căn thức[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình căn thức là phương trình có một dấu căn, , bao gồm cả căn bậc ba, và căn bậc n, . Cần nhớ rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi thế tương đương với . Kết hợp với số mũ bình thường, thì (căn bậc hai của x lập phương) có thể viết lại thành .[28] Vậy nên dạng thức chung của phương trình căn thức là (tương đương với ) trong đó và là số nguyên, và có nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì
- .
Hệ phương trình tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]
Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các phương trình tuyến tính với hai biến số
Phương pháp khử[sửa | sửa mã nguồn]
Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử
Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2
Cộng hai phương trình lại ta có
Rồi rút gọn
Khi ta đã biết thì ta có thể tìm ra bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. Nghiệm của hai phương trình sẽ là
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
Phương pháp thay thế[sửa | sửa mã nguồn]
Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến tính là phương pháp thay thế
Ta có thể tìm bằng cách sử dụng một trong hai phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai
Trừ cho hai vế của phương trình
và nhân hai vế với -1:
Thay giá trị vào phương trình đầu tiên của hệ phương trình gốc:
Cộng 2 vào hai vế của phương trình:
Rút gọn thành
Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình, ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp trước
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác[sửa | sửa mã nguồn]
Hệ phương trình vô nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ
Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được. Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới đây
Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với -1 ta có:
Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên
Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được trong phương trình thứ hai
Hệ phương trình vô số nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]
Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị và ). Ví dụ
Tách trong phương trình thứ hai
Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình
Đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của . Thực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách điền vào giá trị ) với bất cứ nào ta cũng đều có đáp số miễn là . Vì thế phương trình này có vô số nghiệm
Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình[sửa | sửa mã nguồn]
Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình
Nếu một phương trình là bội của phương trình còn lại, thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:
có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác
Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ phương trình đó không giải được. Ví dụ:
Phương trình thứ hai đem tới kết quả đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một phương trình có phải là bội của phương trình còn lại không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể. Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời giải.
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần thiết để có thể giải được phương trình.
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ H.E. Slaught and N.J. Lennes, Elementary algebra, Publ. Allyn and Bacon, 1915, page 1 (republished by Forgotten Books)
- ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 2
- ^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
- ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
- ^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
- ^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
- ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
- ^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
- ^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
- ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
- ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
- ^ Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii
- ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
- ^ Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, page 2
- ^ Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 pages, page 210
- ^ Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 pages, page 49
- ^ Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Publisher Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 pages, page 51
- ^ Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications, Publisher Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, page 134
- ^ Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, page 493
- ^ Douglas Downing, Algebra the Easy Way, Publisher Barron's Educational Series, 2003, ISBN 0764119729, 9780764119729, 392 pages, page 20
- ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524, 9780618753529, 857 pages, page 96
- ^ Chris Carter, Physics: Facts and Practice for A Level, Publisher Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X, 9780199147687, 144 pages, page 50
- ^ Slavin, Steve (1989). All the Math You'll Ever Need. John Wiley & Sons. tr. 72. ISBN 0-471-50636-2.
- ^ Cynthia Y. Young, Precalculus, Publisher John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849, 9780471756842, 1175 pages, page 699
- ^ Mary Jane Sterling, Algebra II For Dummies, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819, 9780471775812, 384 pages, page 37
- ^ Sharma/khattar, The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E, Publisher Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631, 9788131723630, 1248 pages, page 621
- ^ Aven Choo, LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011, 9789810600013, page 105
- ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 525
Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, online digitized editions 2006, or on Google Books: Elements of algebra – Leonhard Euler, John Hewlett, Francis Horner, Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange, 1822.
- Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
- Redden, John. Elementary Algebra. Flat World Knowledge, 2011

markdown:
# Đại số sơ cấp
**Đại số sơ cấp** bao gồm những khái niệm cơ bản của [đại số](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91), một phân nhánh của [toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc). Đại số sơ cấp thường được dạy ở cấp [trung học cơ sở](/w/index.php?title=Trung_h%E1%BB%8Dc_c%C6%A1_s%E1%BB%9F&action=edit&redlink=1) và được xây dựng dựa trên những hiểu biết về [số học](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc). Trong khi số học liên quan tới những con số cụ thể, đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến số. [1] Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được sử dụng trong số học. Khác với [[2]](#cite_note-2) [đại số trừu tượng](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng), đại số sơ cấp không quan tâm tới [cấu trúc đại số](/w/index.php?title=C%E1%BA%A5u_tr%C3%BAc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1)ngoài [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c)và [số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c).
Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn. Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán học thường được biểu diễn dưới dạng
[phương trình](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh) đại số.
## Mục lục
[1 Ký hiệu đại số](#K.C3.BD_hi.E1.BB.87u_.C4.91.E1.BA.A1i_s.E1.BB.91) [2 Các khái niệm](#C.C3.A1c_kh.C3.A1i_ni.E1.BB.87m) [3 Giải các phương trình đại số](#Gi.E1.BA.A3i_c.C3.A1c_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_.C4.91.E1.BA.A1i_s.E1.BB.91) [3.1 Phương trình tuyến tính với một biến số](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_v.E1.BB.9Bi_m.E1.BB.99t_bi.E1.BA.BFn_s.E1.BB.91) [3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_v.E1.BB.9Bi_hai_bi.E1.BA.BFn_s.E1.BB.91) [3.3 Phương trình bậc hai](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_b.E1.BA.ADc_hai) [3.4 Phương trình số mũ và phương trình lôgarit](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_s.E1.BB.91_m.C5.A9_v.C3.A0_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_l.C3.B4garit) [3.5 Phương trình căn thức](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_c.C4.83n_th.E1.BB.A9c) [3.6 Hệ phương trình tuyến tính](#H.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh) [3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác](#C.C3.A1c_d.E1.BA.A1ng_h.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_kh.C3.A1c) [3.8 Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình](#M.E1.BB.91i_quan_h.E1.BB.87_gi.E1.BB.AFa_t.C3.ADnh_gi.E1.BA.A3i_.C4.91.C6.B0.E1.BB.A3c_v.C3.A0_t.C3.ADnh_b.E1.BB.99i_c.E1.BB.A7a_h.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh)
-
[4 Chú thích](#Ch.C3.BA_th.C3.ADch) [5 Đọc thêm](#.C4.90.E1.BB.8Dc_th.C3.AAm)
## Ký hiệu đại số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=1)]
Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện. Nó tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có những thuật ngữ riêng. Ví dụ, biểu thức có những thành tố sau:
1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số, : các biến số
Một
*hệ số* là một giá trị số nhân với biến số (toán tử được bỏ qua), *số hạng* là một hạng thức, một nhóm các [hệ số](/wiki/H%E1%BB%87_s%E1%BB%91), [biến số](/wiki/Bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91), [hằng số](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91) và [số mũ](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_m%C5%A9&action=edit&redlink=1) được phân tách với những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ. Các biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ cái. Theo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví dụ ) thường dùng để biểu diễn các [3] [hằng số](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91)và các chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ and ) thường được dùng để biểu diễn các [biến số](/wiki/Bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91). Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng. [[4]](#cite_note-4) [[5]](#cite_note-5)
Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính trong
[số học](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc), ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa [6] và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại số. Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua, và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng. Ví dụ, được viết thành , và có thể được viết thành . [[7]](#cite_note-7) . [[8]](#cite_note-8)
Thường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về bên trái, ví dụ, sẽ được viết về bên trái của . Khi một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ được viết thành ).
Cũng như vậy, khi số mũ là một (ví dụ được viết thành ). [9] . Khi số mũ là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ luôn được viết lại thành 1). [[10]](#cite_note-10) Tuy nhiên , là một số không xác định, không được xuất hiện trong biểu thức, và cần phải chú ý khi rút gọn các biểu thức trong đó các biến số xuất xuất hiện dưới dạng số mũ. [[11]](#cite_note-11)
## Các khái niệm[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=2)]
### Biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=3)]
Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học
bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện những số chung (không xác định). Điều này đem lại một vài lợi ích: [12] **Biến số đại diện cho những số chưa biết giá trị**. Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, *T*, là 20 độ cao hơn nhiệt độ ngày hôm qua, *Y*, thì bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng toán học là . [[13]](#cite_note-13) **Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung,**.Ví dụ, người ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng với giây. Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu tả số giây, , trong đó m là số phút. mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số có liên quan [[14]](#cite_note-14) **Biến số cho phép miêu tả những mối quan hệ toán học giữa những con số có thể dao động**. Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, [[15]](#cite_note-15) *c*, và đường kính, *d*, của một đường tròn có thể được biểu diễn là . **Biến số cho phép mô tả một vài tính chất của toán học**. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép cộng là tính [giao hoán](/wiki/Giao_ho%C3%A1n), trong đó nêu rõ rằng trật tự của các số được cộng không quan trọng. Tính giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là . [[16]](#cite_note-16)
### Đánh giá biểu thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=4)]
Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (
[cộng](/wiki/C%E1%BB%99ng), [trừ](/wiki/Tr%E1%BB%AB), [nhân](/wiki/Nh%C3%A2n), [chia](/wiki/Chia) và [lũy thừa](/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa)). Ví dụ,
- Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng hệ số. Ví dụ, có thể được rút gọn thành (trong đó 3 là hệ số)
- Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách sử dụng số mũ. Ví dụ, có thể được biểu diễn là
- Cũng giống như các số hạng được cộng với nhau,
ví dụ, được viết thành , bởi các số hạng được cộng lại với nhau, các số hạng cũng được cộng lại với nhau. [[17]](#cite_note-17)
- Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ, có thể được viết thành , và có thể được viết thành
- Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví dụ, , chia cả hai số hạng với ta có thể viết thành
### Phương trình[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=5)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Pythagorean_theorem_-_Ani.gif/220px-Pythagorean_theorem_-_Ani.gif)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Pythagorean_theorem_-_Ani.gif/220px-Pythagorean_theorem_-_Ani.gif)
[Định lý Pythago](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Pythago)đối với tam giác vuông, trong đó thể hiện mối quan hệ đại số giữa cạnh huyền, và hai cạnh còn lại của một tam giác.
Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, (dấu bằng).
Một trong những phương trình nổi tiếng nhất mô tả định luật Pytago liên quan đến chiều dài các cạnh của một [18] [tam giác vuông](/wiki/Tam_gi%C3%A1c_vu%C3%B4ng). [[19]](#cite_note-19)
Phương trình này thể hiện rằng , đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được đại diện bằng các chữ cái và
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ ); những phương trình như vậy được gọi là
[đồng nhất thức](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93ng_nh%E1%BA%A5t_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1). Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ chỉ đúng khi hoặc ). Những giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông qua [giải phương trình](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3i_ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh&action=edit&redlink=1).
Một dạng phương trình khác gọi là
[bất đẳng thức](/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c). Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: , trong đó có nghĩa là 'lớn hơn', và trong đó có nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải được đổi ngược lại.
### Tính chất của đẳng thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=6)]
Theo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "
[quan hệ tương đương](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_t%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%C6%B0%C6%A1ng)", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ ), đối xứng (ví dụ nếu thì ), và bắc cầu (ví dụ nếu và thì ) trong đó: [20]
- Nếu và thì và ;
- Nếu thì ;
- Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể thay thế cho bên còn lại
### Tính chất của bất đẳng thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=7)]
Mối quan hệ 'nhỏ hơn' và 'lớn hơn' có tính chất bắc cầu:
[[21]](#cite_note-21)
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì .
Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng ta có thể đảo dấu và ,
, ví dụ [22]
- tương đương với
## Giải các phương trình đại số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=8)]
Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trình đại số thường gặp
### Phương trình tuyến tính với một biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=9)]
Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường thẳng (
*tuyến tính* có nghĩa là đường thẳng). Phương trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số. Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà không có số mũ. Ví dụ, xem xét:
Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: , trong đó là số tuổi của con trai tôi
Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.
Nghiệm của phương trình này là như sau: [23]
|1. Giải phương trình:|
|2. Trừ 4 cho cả hai vế của phương trình:|
|3. Rút gọn thành:|
|4. Chia cả hai vế với 2:|
|5. Rút gọn để có được nghiệm:|
Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một biến số, có thể được viết là:
Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho và chia cho ) đáp số của phương trình là
### Phương trình tuyến tính với hai biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=10)]
Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm. Ví dụ:
Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: trong đó là tuổi của tôi và là tuổi của con trai tôi.
Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán. Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số.
Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:
|Bài toán:||Trong 10 năm tới, tuổi của tôi sẽ gấp đôi tuổi của con trai tôi.|
|Phương trình tương đương:|
|Trừ 10 cho cả hai vế:|
|Nhân với các số trong ngoặc:|
|Rút gọn:|
Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):
[[24]](#cite_note-24)
|Phương trình thứ hai|
|Phương trình thứ nhất|
|Lấy phương trình thứ hai trừ
|
cho phương trình thứ nhất để khử
|Rút gọn|
|Cộng 12 cho cả hai vế|
|Sắp đặt lại|
Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi.
### Phương trình bậc hai[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=11)]
Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng với số mũ là 2, ví dụ, ,
và không có số hạng nào với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng , [25] trong đó khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình tuyến tính chứ không còn là bậc hai). Bởi vậy phương trình bậc hai phải chứa số hạng , số hạng được biết đến là số hạng bậc hai. Do , chúng ta có thể chia cho và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu chuẩn. [[26]](#cite_note-26)
Trong đó và . Giải phương trình này, bằng một quá trình gọi là
[phần bù bình phương](/wiki/Ph%E1%BA%A7n_b%C3%B9_b%C3%ACnh_ph%C6%B0%C6%A1ng), sẽ dẫn đến công thức bậc hai
Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả
là nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng
[phân tích nhân tử](/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_nh%C3%A2n_t%E1%BB%AD). Một ví dụ của phân tích nhân tử:
Cũng tương đương với:
Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích của không với cả hoặc là nghiệm của phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ
[số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c), nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c). Ví dụ,
không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình phương lại bằng −1.
### Phương trình số mũ và phương trình lôgarit[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=12)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/300px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg/300px-Binary_logarithm_plot_with_ticks.svg.png)
[Đồ thị](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_h%C3%A0m_s%E1%BB%91)của hàm logarit cơ số 2 cắt [trục](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_Descartes)(trục hoành) tại 1 và đi qua các điểm có *x* [tọa độ](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99)(2, 1), (4, 2), và (8, 3). Ví dụ, log 2(8) = 3, bởi vì 2 3= 8. Đồ thị tiệm cận gần với trụ *y*, nhưng [không cắt nó](/w/index.php?title=%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_ti%E1%BB%87m_c%E1%BA%ADn&action=edit&redlink=1).
Phương trình số mũ là phương trình có dạng với ,
nghiệm của phương trình là [27]
khi . Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp số. Ví dụ nếu
thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai vế cho 3 chúng ta có
Do đó
Hoặc
Phương trình lôgarit là phương trình dạng với , trong đó nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có
Do đó
Từ đó ta rút ra được
### Phương trình căn thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=13)]
Phương trình căn thức là phương trình có một dấu căn, , bao gồm cả căn bậc ba, và căn bậc n, . Cần nhớ rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi thế tương đương với . Kết hợp với số mũ bình thường, thì (căn bậc hai của x lập phương) có thể viết lại thành .
Vậy nên dạng thức chung của phương trình căn thức là (tương đương với ) trong đó và là [28] [số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn), và có nghiệm là
|
| là số lẻ |
| là số chẵn
và
|
|
hoặc
|
|
hoặc
Ví dụ, nếu
thì
- .
### Hệ phương trình tuyến tính[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=14)]
Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các phương trình tuyến tính với hai biến số
#### Phương pháp khử[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=15) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=15)]
Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử
Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2
Cộng hai phương trình lại ta có
Rồi rút gọn
Khi ta đã biết thì ta có thể tìm ra bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. Nghiệm của hai phương trình sẽ là
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
#### Phương pháp thay thế[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=16) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=16)]
Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến tính là phương pháp thay thế
Ta có thể tìm bằng cách sử dụng một trong hai phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai
Trừ cho hai vế của phương trình
và nhân hai vế với -1:
Thay giá trị vào phương trình đầu tiên của hệ phương trình gốc:
Cộng 2 vào hai vế của phương trình:
Rút gọn thành
Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình, ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp trước
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
### Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=17) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=17)]
#### Hệ phương trình vô nghiệm[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=18) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=18)]
Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ
Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được. Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới đây
Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với -1 ta có:
Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên
Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được trong phương trình thứ hai
#### Hệ phương trình vô số nghiệm[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=19) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=19)]
Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị và ). Ví dụ
Tách trong phương trình thứ hai
Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình
Đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của . Thực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách điền vào giá trị ) với bất cứ nào ta cũng đều có đáp số miễn là . Vì thế phương trình này có vô số nghiệm
### Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=20) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=20)]
Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình
Nếu một phương trình là
[bội](/w/index.php?title=B%E1%BB%99i&action=edit&redlink=1) của phương trình còn lại, thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:
có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác
Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ phương trình đó không giải được. Ví dụ:
Phương trình thứ hai đem tới kết quả đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một phương trình có phải là bội của phương trình còn lại không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể. Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời giải.
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần thiết để có thể giải được phương trình.
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=21) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=21)] **H.E. Slaught and N.J. Lennes,** [^](#cite_ref-1) *Elementary algebra*, Publ. Allyn and Bacon, 1915, [page 1](https://books.google.com/books?id=gLii_eO4dNsC&lpg=PA1&dq=%22Elementary%20algebra%22%20letters&pg=PA1#v=onepage&q&f=false)(republished by Forgotten Books) **Lewis Hirsch, Arthur Goodman,** [^](#cite_ref-2) *Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students*, Publisher: Cengage Learning, 2005, [ISBN 0534999727](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0534999727), 9780534999728, 654 pages, [page 2](https://books.google.com/books?id=7hdK4RSub5cC&lpg=PA2&dq=what%20is%20algebra%20for&pg=PA2#v=onepage&q=generalization&f=false) **Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood,** [^](#cite_ref-3) *Introductory Algebra: An Applied Approach*, Publisher Cengage Learning, 2010, [ISBN 1439046042](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1439046042), 9781439046043, [page 78](http://books.google.co.uk/books?id=MPIWikTHVXQC&lpg=PP1&ots=yG1m9DkIiH&dq=coefficient%20algebra&pg=PA78#v=onepage&q=coefficient%20&f=false) **William L. Hosch (editor),** [^](#cite_ref-4) *The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry*, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, [ISBN 1615302190](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1615302190), 9781615302192, [page 71](http://books.google.co.uk/books?id=ad0P0elU1_0C&lpg=PA71&dq=elementary%20algebra%20letters%20alphabet%20constants%20variables&pg=PA71#v=onepage&q=letters&f=false) **James E. Gentle,** [^](#cite_ref-5) *Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics*, Publisher: Springer, 1998, [ISBN 0387985425](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0387985425), 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183] **Horatio Nelson Robinson,** [^](#cite_ref-6) *New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies*, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [page 7](http://books.google.co.uk/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false) **Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards,** [^](#cite_ref-7) *Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach*, Publisher: Cengage Learning, 2007, [ISBN 061885195X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/061885195X), 9780618851959, 1114 pages, [page 6](http://books.google.co.uk/books?id=5iXVZHhkjAgC&lpg=PA6&ots=iwrSrCrrOb&dq=operations%20addition%2C%20subtraction%2C%20multiplication%2C%20division%20exponentiation.&pg=PA6#v=onepage&q=operations%20addition,%20subtraction,%20multiplication,%20division%20exponentiation.&f=false) **Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in** [^](#cite_ref-8) *Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook*, Publisher Panpac Education Pte Ltd, [ISBN 9812738827](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9812738827), 9789812738820, [page 68](http://books.google.co.uk/books?id=nL5ObMmDvPEC&lpg=PR9-IA8&ots=T_h6l40AE5&dq=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&pg=PR9-IA8#v=onepage&q=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&f=false) **David Alan Herzog,** [^](#cite_ref-9) *Teach Yourself Visually Algebra*, Publisher John Wiley & Sons, 2008, [ISBN 0470185597](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0470185597), 9780470185599, 304 pages, [page 72](http://books.google.co.uk/books?id=Igs6t_clf0oC&lpg=PA72&ots=Excnhf1AgW&dq=algebra%20coefficient%20one&pg=PA72#v=onepage&q=coefficient%20of%201&f=false) **John C. Peterson,** [^](#cite_ref-10) *Technical Mathematics With Calculus*, Publisher Cengage Learning, 2003, [ISBN 0766861899](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0766861899), 9780766861893, 1613 pages, [page 31](http://books.google.co.uk/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA31&ots=NKrtZZ1KDE&dq=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&pg=PA32#v=onepage&q=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&f=false) **Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters,** [^](#cite_ref-11) *Algebra for College Students*, Publisher Cengage Learning, 2010, [ISBN 0538733543](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0538733543), 9780538733540, 803 pages, [page 222](http://books.google.co.uk/books?id=-AHtC0IYMhYC&lpg=PP1&ots=kL8erjajyR&dq=algebra%20exponents%20zero%20one&pg=PA222#v=onepage&q=exponents%20&f=false) **Thomas Sonnabend,** [^](#cite_ref-12) *Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8*, Publisher: Cengage Learning, 2009, [ISBN 0495561665](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0495561665), 9780495561668, 759 pages, [page xvii](http://books.google.co.uk/books?id=gBa2GzyXCF8C&lpg=PR17&ots=qee3RsTC6V&dq=algebra%20%22extends%20arithmetic%22&pg=PR17#v=onepage&q=extends%20arithmetic&f=false) **Lewis Hirsch, Arthur Goodman,** [^](#cite_ref-13) *Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students*, Publisher: Cengage Learning, 2005, [ISBN 0534999727](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0534999727), 9780534999728, 654 pages, [page 48](http://books.google.co.uk/books?id=jsT7kqZubvIC&lpg=PA48&ots=EI4_yaKasG&dq=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&pg=PA48#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&f=false) **Lawrence S. Leff,** [^](#cite_ref-14) *College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys*, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, [ISBN 0764129147](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0764129147), 9780764129148, 230 pages, [page 2](http://books.google.co.uk/books?id=XesryURrNKAC&lpg=PA2&ots=Ga44CTvNHI&dq=algebra%20variables%20generalize&pg=PA2#v=onepage&q=algebra%20variables%20generalize&f=false) **Ron Larson, Kimberly Nolting,** [^](#cite_ref-15) *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2009, [ISBN 0547102275](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0547102275), 9780547102276, 622 pages, [page 210](http://books.google.co.uk/books?id=U6v78M5nYKAC&lpg=PP1&ots=R0dl97lfm0&dq=%22elementary%20algebra%22%20relationships&pg=PA210#v=onepage&q=relationships&f=false) **Charles P. McKeague,** [^](#cite_ref-16) *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2011, [ISBN 0840064217](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0840064217), 9780840064219, 571 pages, [page 49](http://books.google.co.uk/books?id=etTbP0rItQ4C&lpg=PA49&ots=I16eebO3LV&dq=%22elementary%20algebra%22%20commutative&pg=PA49#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20commutative&f=false) **Andrew Marx,** [^](#cite_ref-17) *Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores*, Publisher Kaplan Publishing, 2007, [ISBN 1419552880](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1419552880), 9781419552885, 288 pages, [page 51](http://books.google.co.uk/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&lpg=PP1&ots=pT-MpWMJty&dq=algebra%20addition%20%22like%20terms%22&pg=PA51#v=onepage&q=like%20terms&f=false) **Mark Clark, Cynthia Anfinson,** [^](#cite_ref-18) *Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications*, Publisher Cengage Learning, 2011, [ISBN 0534419380](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0534419380), 9780534419387, 793 pages, [page 134](http://books.google.co.uk/books?id=wCzuRMC5048C&lpg=PA134&ots=UdyGuk1ihH&dq=algebra%20equation%20%22two%20expressions%22&pg=PA134#v=onepage&q=equation&f=false) **Alan S. Tussy, R. David Gustafson,** [^](#cite_ref-19) *Elementary and Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2012, [ISBN 1111567689](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1111567689), 9781111567682, 1163 pages, [page 493](http://books.google.co.uk/books?id=xqio_Xn4t7oC&lpg=PA493&ots=pmzfzBO1KX&dq=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&pg=PA493#v=onepage&q=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&f=false) **Douglas Downing,** [^](#cite_ref-20) *Algebra the Easy Way*, Publisher Barron's Educational Series, 2003, [ISBN 0764119729](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0764119729), 9780764119729, 392 pages, [page 20](http://books.google.co.uk/books?id=RiX-TJLiQv0C&lpg=PA20&ots=BjArsBq8vc&dq=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&pg=PA20#v=onepage&q=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&f=false) **Ron Larson, Robert Hostetler,** [^](#cite_ref-21) *Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2008, [ISBN 0618753524](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0618753524), 9780618753529, 857 pages, [page 96](http://books.google.co.uk/books?id=b3vqad8tbiAC&lpg=PA96&ots=FF2OYYGNCV&dq=algebra%20inequality%20properties&pg=PA96#v=onepage&q=algebra%20inequality%20properties&f=false) **Chris Carter,** [^](#cite_ref-22) *Physics: Facts and Practice for A Level*, Publisher Oxford University Press, 2001, [ISBN 019914768X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/019914768X), 9780199147687, 144 pages, [page 50](http://books.google.co.uk/books?id=Ff9gxZPYafcC&lpg=PA50&ots=KQ5ufGdcHk&dq=algebra%20inequality%20less%20greater%20exchange&pg=PA50#v=onepage&q=turned%20around&f=false) **Slavin, Steve (1989).** [^](#cite_ref-23) *All the Math You'll Ever Need*. [John Wiley & Sons](/wiki/John_Wiley_%26_Sons). tr. 72. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-471-50636-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-471-50636-2). **Cynthia Y. Young,** [^](#cite_ref-24) *Precalculus*, Publisher John Wiley & Sons, 2010, [ISBN 0471756849](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0471756849), 9780471756842, 1175 pages, [page 699](http://books.google.co.uk/books?id=9HRLAn326zEC&lpg=PA703&ots=t83cFBL8TU&dq=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&pg=PA699#v=onepage&q=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&f=false) **Mary Jane Sterling,** [^](#cite_ref-25) *Algebra II For Dummies*, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, [ISBN 0471775819](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0471775819), 9780471775812, 384 pages, [page 37](http://books.google.co.uk/books?id=_0rTMuSpTY0C&lpg=PA43&ots=J8_1q1Vkul&dq=quadratic%20equations&pg=PA37#v=onepage&q=quadratic%20equations&f=false) **Sharma/khattar,** [^](#cite_ref-26) *The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E*, Publisher Pearson Education India, 2010, [ISBN 8131723631](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/8131723631), 9788131723630, 1248 pages, [page 621](http://books.google.co.uk/books?id=2v-f9x7-FlsC&lpg=RA13-PA33&ots=P-Dz70fXbv&dq=quadratic%20equations%20%20ax2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%3D%200&pg=RA13-PA33#v=onepage&q&f=false) **Aven Choo,** [^](#cite_ref-27) *LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3*, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, [ISBN 9810600011](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9810600011), 9789810600013, [page 105](http://books.google.co.uk/books?id=NsBXDMrzcJIC&lpg=RA2-PA29&ots=WmZmHLaTey&dq=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20%3D%20b&pg=RA2-PA29#v=onepage&q=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20=%20b&f=false) **John C. Peterson,** [^](#cite_ref-28) *Technical Mathematics With Calculus*, Publisher Cengage Learning, 2003, [ISBN 0766861899](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0766861899), 9780766861893, 1613 pages, [page 525](http://books.google.co.uk/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA525&ots=NKrt__3KKE&dq=%22%20radical%20equation%22&pg=PA525#v=onepage&q=%22%20radical%20equation%22&f=false)
## Đọc thêm[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=22) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=22)] [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler), *, 1770. English translation* [Elements of Algebra](http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/) [Tarquin Press](/w/index.php?title=Tarquin_Press&action=edit&redlink=1), 2007, [ISBN 978-1-899618-79-8](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9781899618798), online digitized editions 2006, or on Google Books: [Elements of algebra – Leonhard Euler, John Hewlett, Francis Horner, Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange](http://books.google.co.uk/books?id=X8yv0sj4_1YC&dq=euler+elements&psp=1), 1822.
- Charles Smith,
*, in* [A Treatise on Algebra](http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=smit025) [Cornell University Library Historical Math Monographs](http://historical.library.cornell.edu/math).
- Redden, John.
[. Flat World Knowledge, 2011](http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/128?e=fwk-redden-ch01) *Elementary Algebra*
|
|

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wikipedia.org

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

X-Cache-Status: hit

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Content-Language: vi

X-Cache: cp1067 hit/1, cp1067 miss

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization


text:
Khỉ đuôi sư tử
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Khỉ đuôi sư tử (danh pháp khoa học: Macaca silenus) là một loài khỉ Cựu thế giới bản địa Tây Ghats của Nam Ấn Độ.
Lông đầu loài khỉ này màu vàng neon sáng. Đặc điểm nổi bật là bờm màu bạc bao quanh đầu từ đầu xuống cằm. Mặt không có lông màu đen. Chiều dài từ đầu đến đuôi từ 45–60 cm và cân nặng là 3–10 kg, nó là một trong những loài macca nhỏ nhất. Đuôi dài trung bình với chiều dài khoảng 25 cm với chỏm đuôi giống đuôi sư tử. Chỏm đuôi con đực phát triển hơn của con cái. Thời gian mang thai là khoảng sáu tháng. Con non trẻ được chăm sóc trong một năm. Thành thục sinh dục đạt được bốn năm đối với co cái, sáu năm đối với con đực. Tuổi thọ trong tự nhiên là khoảng 20 năm, trong khi bị giam cầm 30 năm[3].
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Groves, Colin (16 tháng 11 năm 2005). Wilson D. E. và Reeder D. M. (chủ biên), biên tập. Mammal Species of the World . Nhà xuất bản Đại học Johns Hopkins. tr. 164. ISBN 0-801-88221-4.
- ^ Kumar, A., Singh, M. & Molur, S. (2008). Macaca silenus. 2008 IUCN Red List of Threatened Species. IUCN 2008. Truy cập ngày ngày 4 tháng 1 năm 2009.
- ^ Lion-tailed Macaque “Article - World Association of Zoos and Aquariums (WAZA), Virtual Zoo”.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- ARKive - images and movies of the lion-tailed macaque (Macaca silenus)
- The Knights of the Forest - Photo-essay of Lion-tailed macaque

markdown:
# Khỉ đuôi sư tử
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|Lion-tailed macaque
|
|
|![]()
[Tình trạng bảo tồn](/wiki/T%C3%ACnh_tr%E1%BA%A1ng_b%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n) [Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Chordata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_d%C3%A2y_s%E1%BB%91ng) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Mammalia](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Th%C3%BA) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Primatea](/w/index.php?title=Primatea&action=edit&redlink=1) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Cercopithecidae](/wiki/Cercopithecidae) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Macaca](/wiki/Macaca) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **M. silenus** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Macaca silenus*
(
[Linnaeus](/wiki/Carl_von_Linn%C3%A9), 1758) ![ Phạm vi phân bố khỉ đuôi sư tử](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Lion-tailed_Macaque_area.png)
![ Phạm vi phân bố khỉ đuôi sư tử](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Lion-tailed_Macaque_area.png)
Phạm vi phân bố khỉ đuôi sư tử
[Danh pháp đồng nghĩa](/wiki/T%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%93ng_ngh%C4%A9a_(sinh_v%E1%BA%ADt_h%E1%BB%8Dc)) **Khỉ đuôi sư tử** ( [danh pháp khoa học](/wiki/Danh_ph%C3%A1p): *Macaca silenus*) là một loài [khỉ Cựu thế giới](/wiki/Kh%E1%BB%89_C%E1%BB%B1u_th%E1%BA%BF_gi%E1%BB%9Bi) bản địa [Tây Ghats](/w/index.php?title=T%C3%A2y_Ghats&action=edit&redlink=1) của [Nam Ấn Độ](/wiki/Nam_%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99).
Lông đầu loài khỉ này màu vàng neon sáng. Đặc điểm nổi bật là bờm màu bạc bao quanh đầu từ đầu xuống cằm. Mặt không có lông màu đen. Chiều dài từ đầu đến đuôi từ 45–60 cm và cân nặng là 3–10 kg, nó là một trong những loài
[macca](/w/index.php?title=Macca&action=edit&redlink=1) nhỏ nhất. Đuôi dài trung bình với chiều dài khoảng 25 cm với chỏm đuôi giống đuôi sư tử. Chỏm đuôi con đực phát triển hơn của con cái. Thời gian mang thai là khoảng sáu tháng. Con non trẻ được chăm sóc trong một năm. Thành thục sinh dục đạt được bốn năm đối với co cái, sáu năm đối với con đực. Tuổi thọ trong tự nhiên là khoảng 20 năm, trong khi bị giam cầm 30 năm . [3]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Kh%E1%BB%89_%C4%91u%C3%B4i_s%C6%B0_t%E1%BB%AD&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Kh%E1%BB%89_%C4%91u%C3%B4i_s%C6%B0_t%E1%BB%AD&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-msw3_1-0) [Groves, Colin](/w/index.php?title=Colin_Groves&action=edit&redlink=1)(16 tháng 11 năm 2005). Wilson D. E. và Reeder D. M. (chủ biên), biên tập. [. Nhà xuất bản Đại học Johns Hopkins. tr. 164.](http://www.bucknell.edu/msw3/browse.asp?id=12100561) *Mammal Species of the World* [ISBN 0-801-88221-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0801882214). **Kumar, A., Singh, M. & Molur, S. (2008).** [^](#cite_ref-iucn_2-0) [.](http://www.iucnredlist.org/details/12559) *Macaca silenus* *2008*. [IUCN Red List of Threatened Species](/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BB%8F) [IUCN](/wiki/IUCN)2008. Truy cập ngày ngày 4 tháng 1 năm 2009. [^](#cite_ref-WAZA_3-0) [Lion-tailed Macaque “Article - World Association of Zoos and Aquariums (WAZA), Virtual Zoo”](http://www.waza.org/virtualzoo/factsheet.php?id=106-008-003-010&view=Monkeys&main=virtualzoo).
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Kh%E1%BB%89_%C4%91u%C3%B4i_s%C6%B0_t%E1%BB%AD&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Kh%E1%BB%89_%C4%91u%C3%B4i_s%C6%B0_t%E1%BB%AD&action=edit§ion=2)]
|
|![]()
|Wikimedia Commons có thêm thư viện hình ảnh và phương tiện truyền tải về
|
|
|![]()
|
| có thông tin sinh học về
- ARKive -
[images and movies of the lion-tailed macaque](http://www.arkive.org/species/GES/mammals/Macaca_silenus/) *(Macaca silenus)*
- The Knights of the Forest -
[Photo-essay of Lion-tailed macaque](http://kalyanvarma.net/essays/ltm)

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Connection: close

X-Cache-Status: miss

X-UA-Compatible: IE=Edge

X-Cache: cp1066 miss, cp1067 miss

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Accept-Ranges: bytes


text:
Thể loại:Ít quan trọng về Anime và Manga
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thể loại này bao gồm các bài viết được đánh giá "Ít quan trọng" bởi Dự án Anime và Manga. Các bài viết sẽ tự động được đưa vào thể loại này một khi tham số đánh giá có điền giá trị; vui lòng xem hướng dẫn giám định để biết thêm thông tin.
Các trang trong thể loại “Ít quan trọng về Anime và Manga”
200 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 391 trang.(Trang trước) (Trang sau)
(Trang trước) (Trang sau)
A
- Thảo luận:Accel World
- Thảo luận:Ai Yori Aoshi
- Thảo luận:AIR
- Thảo luận:AIR (phim)
- Thảo luận:Akane-iro ni Somaru Saka
- Thảo luận:Akikan!
- Thảo luận:Angel Beats!
- Thảo luận:Anh chàng hàng xóm
- Thảo luận:Animate
- Thảo luận:Animesuki
- Thảo luận:Another
- Thảo luận:Arakawa Hiromu
- Thảo luận:Arakawa Under the Bridge
- Thảo luận:Arashi no Yoru ni
- Thảo luận:ARIA (manga)
- Thảo luận:Asatte no Hōkō.
- Thảo luận:Asobi ni Ikuyo!
- Thảo luận:Azuma Hiroki
- Thảo luận:Azumi
B
- Thảo luận:Baka to Test to Shōkanjū
- Thảo luận:Bạn trai nổi bật
- Thảo luận:Battle Angel Alita
- Thảo luận:Binchō-tan (manga)
- Thảo luận:Biohazard Damnation
- Thảo luận:Biohazard Degeneration
- Thảo luận:Black Cat
- Thảo luận:Blood+
- Thảo luận:Boku wa Tomodachi ga Sukunai
- Thảo luận:Brave Story
- Thảo luận:Busou Renkin
- Thảo luận:Butter-Fly
C
- Thảo luận:Campione!
- Thảo luận:Cánh bướm ngũ sắc
- Thảo luận:Canon (manga)
- Thảo luận:Casshern Sins
- Thảo luận:Chàng quản gia
- Thảo luận:Chào mừng đến với N.H.K!
- Thảo luận:Charlotte (anime)
- Thảo luận:Chie Cô bé hạt tiêu
- Thảo luận:Chobits
- Thảo luận:Chong chóng tre (Doraemon)
- Thảo luận:CLANNAD
- Thảo luận:CLANNAD (phim)
- Thảo luận:Claymore (manga)
- Thảo luận:Cobra (manga)
- Thảo luận:Code: Breaker
- Thảo luận:Comic Earth Star
- Thảo luận:Comp Ace
- Thảo luận:Comptiq
- Thảo luận:Con nhà giàu
- Thảo luận:Creamy Mami, thiên thần phép thuật
- Thảo luận:CROSS†CHANNEL
- Thảo luận:Cuộc xâm lăng của bé Mực
- Thảo luận:Cuốn từ điển kì bí
D
- Thảo luận:D.N.Angel
- Thảo luận:Dakara Boku wa, H ga Dekinai.
- Thảo luận:Danh sách album nhạc phim Digimon
- Thảo luận:Danh sách album nhạc phim Doraemon
- Thảo luận:Danh sách bảo bối trong Doraemon
- Thảo luận:Danh sách chương truyện Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai
- Thảo luận:Danh sách chương truyện Doraemon Plus
- Thảo luận:Danh sách chương truyện Umineko no Naku Koro ni
- Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Doraemon
- Thảo luận:Danh sách nhân vật trong ONE ~Kagayaku Kisetsu e~
- Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Rewrite
- Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Thám tử lừng danh Conan
- Thảo luận:Danh sách phiên bản quốc tế Doraemon
- Thảo luận:Danh sách tác phẩm Doraemon
- Thảo luận:Danh sách tập phim Angel Beats!
- Thảo luận:Danh sách tập phim Digimon
- Thảo luận:Danh sách tập phim Digimon Adventure
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (loạt phim 2005)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1979)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1980–84)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1985–89)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1990–94)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1995–99)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2000–tháng 3 năm 2005)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2006)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2007)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2008)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2009)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2010)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2011)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2012)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2013)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2014)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2015)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2016)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (tháng 4–tháng 12 năm 2005)
- Thảo luận:Danh sách tập phim Mèo máy Kuro
- Thảo luận:Danh sách tập phim ONE ~Kagayaku Kisetsu e~
- Thảo luận:Danh sách tập phim Thám tử lừng danh Conan
- Thảo luận:Danh sách trò chơi điện tử do Key phát triển
- Thảo luận:DearS
- Thảo luận:Dekisugi Hidetoshi
- Thảo luận:Dengeki G's Comic
- Thảo luận:Devil May Cry (anime)
- Thảo luận:Digimon Adventure
- Thảo luận:Digimon Adventure 02
- Thảo luận:Digimon Tamers
- Thảo luận:Dōjin ongaku
- Thảo luận:Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai (hoạt hình)
- Thảo luận:Doraemon (loạt phim 2005)
- Thảo luận:Doraemon Land
- Thảo luận:Doraemon tại Việt Nam
- Thảo luận:Doraemon trở thành người mẹ ~Câu chuyện của Oyama Nobuyo~
- Thảo luận:Doraemon: Chú khủng long của Nobita
- Thảo luận:Doraemon: Chú khủng long của Nobita 2006
- Thảo luận:Doraemon: Gadget Cat from the Future
- Thảo luận:Doraemon: Nobita ở xứ sở nghìn lẻ một đêm
- Thảo luận:Doraemon: Nobita Tây du kí
- Thảo luận:Doraemon: Nobita thám hiểm vùng đất mới
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và ba chàng hiệp sĩ mộng mơ
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và binh đoàn người sắt
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và chuyến du hành biển phương Nam
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và chuyến phiêu lưu vào xứ quỷ
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và cuộc chiến vũ trụ
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và hành tinh muông thú
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và hiệp sĩ rồng
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và lâu đài dưới đáy biển
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và lịch sử khai phá vũ trụ
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và mê cung thiếc
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và nước Nhật thời nguyên thủy
- Thảo luận:Doraemon: Nobita và vương quốc trên mây
- Thảo luận:Doraemon: Tân Nobita và binh đoàn người sắt - Đôi cánh Thiên thần
- Thảo luận:Doraemon: Tân Nobita và nước Nhật thời nguyên thủy
- Thảo luận:Dorami
- Thảo luận:Dōsei
- Thảo luận:Dr. Slump
- Thảo luận:Dr.Rin ni Kiitemite!
E
F
G
- Thảo luận:Gake no Ue no Ponyo
- Thảo luận:Gedo Senki
- Thảo luận:Gekijō-ban Cardcaptor Sakura
- Thảo luận:GetBackers
- Thảo luận:Giải Manga Kodansha
- Thảo luận:Gin-iro no kami no Agito
- Thảo luận:Glasslip
- Thảo luận:GodHand Teru
- Thảo luận:Good Smile Company
- Thảo luận:Grander Musashi
- Thảo luận:Grandia II
- Thảo luận:Gundam Seed
- Thảo luận:Gundam Seed Destiny
- Thảo luận:Gunslinger Girl
- Thảo luận:GUNxSWORD
H
- Thảo luận:H2 (manga)
- Thảo luận:Hagane no Renkinjutsushi Fullmetal Alchemist
- Thảo luận:Hajime là số một
- Thảo luận:Hakuouki: Shinsengumi Kitan
- Thảo luận:Happy World!
- Thảo luận:Hare & Guu
- Thảo luận:Hataraku Maō-sama!
- Thảo luận:Hatsukoi Limited.
- Thảo luận:Hắc Quản Gia
- Thảo luận:Heisei Tanuki Gassen Ponpoko
- Thảo luận:Hentai Ōji to Warawanai Neko.
- Thảo luận:Hiatari Ryōkō!
- Thảo luận:Hiệp sĩ Lợn
- Thảo luận:Hiệp sĩ nữ hoàng
- Thảo luận:Hiệp sĩ Vampire
- Thảo luận:Highschool DxD
- Thảo luận:Highschool of the Dead
- Thảo luận:Hikaru - Kì thủ cờ vây
- Thảo luận:Hisutorie
- Thảo luận:Hobby Japan
- Thảo luận:Học viện Alice
- Thảo luận:Honekawa Suneo
- Thảo luận:Honey and Clover
- Thảo luận:Hotarubi no Mori e

markdown:
# Thể loại:Ít quan trọng về Anime và Manga
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thể loại này bao gồm các bài viết được đánh giá
**"Ít quan trọng"** bởi **. Các bài viết sẽ tự động được đưa vào thể loại này một khi tham số đánh giá có điền giá trị; vui lòng xem Dự án Anime và Manga** [hướng dẫn giám định](/wiki/Wikipedia:D%E1%BB%B1_%C3%A1n_Anime_v%C3%A0_Manga/Gi%C3%A1m_%C4%91%E1%BB%8Bnh)để biết thêm thông tin.
|
|[Cao](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:R%E1%BA%A5t_quan_tr%E1%BB%8Dng_v%E1%BB%81_Anime_v%C3%A0_Manga) [Trung bình](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%C3%A1_quan_tr%E1%BB%8Dng_v%E1%BB%81_Anime_v%C3%A0_Manga) **Thấp** [???](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%C3%B4ng_r%C3%B5_%C4%91%E1%BB%99_quan_tr%E1%BB%8Dng_v%E1%BB%81_Anime_v%C3%A0_Manga)
|
|
Mục lục
## Các trang trong thể loại “Ít quan trọng về Anime và Manga”
200 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 391 trang.(Trang trước) (
[Trang sau](/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C3%8Dt_quan_tr%E1%BB%8Dng_v%E1%BB%81_Anime_v%C3%A0_Manga&pagefrom=Kamen+no+Maid+Guy%0AKamen+no+Maid+Guy#mw-pages))
(Trang trước) (
### A
[Thảo luận:Accel World](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Accel_World) [Thảo luận:Ai Yori Aoshi](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Ai_Yori_Aoshi) [Thảo luận:AIR](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:AIR) [Thảo luận:AIR (phim)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:AIR_(phim)) [Thảo luận:Akane-iro ni Somaru Saka](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Akane-iro_ni_Somaru_Saka) [Thảo luận:Akikan!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Akikan!) [Thảo luận:Angel Beats!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Angel_Beats!) [Thảo luận:Anh chàng hàng xóm](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Anh_ch%C3%A0ng_h%C3%A0ng_x%C3%B3m) [Thảo luận:Animate](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Animate) [Thảo luận:Animesuki](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Animesuki) [Thảo luận:Another](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Another) [Thảo luận:Arakawa Hiromu](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Arakawa_Hiromu) [Thảo luận:Arakawa Under the Bridge](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Arakawa_Under_the_Bridge) [Thảo luận:Arashi no Yoru ni](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Arashi_no_Yoru_ni) [Thảo luận:ARIA (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:ARIA_(manga)) [Thảo luận:Asatte no Hōkō.](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Asatte_no_H%C5%8Dk%C5%8D.) [Thảo luận:Asobi ni Ikuyo!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Asobi_ni_Ikuyo!) [Thảo luận:Azuma Hiroki](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Azuma_Hiroki) [Thảo luận:Azumi](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Azumi)
### B
[Thảo luận:Baka to Test to Shōkanjū](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Baka_to_Test_to_Sh%C5%8Dkanj%C5%AB) [Thảo luận:Bạn trai nổi bật](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:B%E1%BA%A1n_trai_n%E1%BB%95i_b%E1%BA%ADt) [Thảo luận:Battle Angel Alita](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Battle_Angel_Alita) [Thảo luận:Binchō-tan (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Binch%C5%8D-tan_(manga)) [Thảo luận:Biohazard Damnation](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Biohazard_Damnation) [Thảo luận:Biohazard Degeneration](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Biohazard_Degeneration) [Thảo luận:Black Cat](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Black_Cat) [Thảo luận:Blood+](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Blood%2B) [Thảo luận:Boku wa Tomodachi ga Sukunai](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Boku_wa_Tomodachi_ga_Sukunai) [Thảo luận:Brave Story](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Brave_Story) [Thảo luận:Busou Renkin](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Busou_Renkin) [Thảo luận:Butter-Fly](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Butter-Fly)
### C
[Thảo luận:Campione!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Campione!) [Thảo luận:Cánh bướm ngũ sắc](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:C%C3%A1nh_b%C6%B0%E1%BB%9Bm_ng%C5%A9_s%E1%BA%AFc) [Thảo luận:Canon (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Canon_(manga)) [Thảo luận:Casshern Sins](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Casshern_Sins) [Thảo luận:Chàng quản gia](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Ch%C3%A0ng_qu%E1%BA%A3n_gia) [Thảo luận:Chào mừng đến với N.H.K!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Ch%C3%A0o_m%E1%BB%ABng_%C4%91%E1%BA%BFn_v%E1%BB%9Bi_N.H.K!) [Thảo luận:Charlotte (anime)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Charlotte_(anime)) [Thảo luận:Chie Cô bé hạt tiêu](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Chie_C%C3%B4_b%C3%A9_h%E1%BA%A1t_ti%C3%AAu) [Thảo luận:Chobits](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Chobits) [Thảo luận:Chong chóng tre (Doraemon)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Chong_ch%C3%B3ng_tre_(Doraemon)) [Thảo luận:CLANNAD](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:CLANNAD) [Thảo luận:CLANNAD (phim)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:CLANNAD_(phim)) [Thảo luận:Claymore (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Claymore_(manga)) [Thảo luận:Cobra (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Cobra_(manga)) [Thảo luận:Code: Breaker](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Code:_Breaker) [Thảo luận:Comic Earth Star](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Comic_Earth_Star) [Thảo luận:Comp Ace](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Comp_Ace) [Thảo luận:Comptiq](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Comptiq) [Thảo luận:Con nhà giàu](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Con_nh%C3%A0_gi%C3%A0u) [Thảo luận:Creamy Mami, thiên thần phép thuật](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Creamy_Mami,_thi%C3%AAn_th%E1%BA%A7n_ph%C3%A9p_thu%E1%BA%ADt) [Thảo luận:CROSS†CHANNEL](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:CROSS%E2%80%A0CHANNEL) [Thảo luận:Cuộc xâm lăng của bé Mực](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Cu%E1%BB%99c_x%C3%A2m_l%C4%83ng_c%E1%BB%A7a_b%C3%A9_M%E1%BB%B1c) [Thảo luận:Cuốn từ điển kì bí](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Cu%E1%BB%91n_t%E1%BB%AB_%C4%91i%E1%BB%83n_k%C3%AC_b%C3%AD)
### D
[Thảo luận:D.N.Angel](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:D.N.Angel) [Thảo luận:Dakara Boku wa, H ga Dekinai.](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dakara_Boku_wa,_H_ga_Dekinai.) [Thảo luận:Danh sách album nhạc phim Digimon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_album_nh%E1%BA%A1c_phim_Digimon) [Thảo luận:Danh sách album nhạc phim Doraemon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_album_nh%E1%BA%A1c_phim_Doraemon) [Thảo luận:Danh sách bảo bối trong Doraemon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_b%E1%BA%A3o_b%E1%BB%91i_trong_Doraemon) [Thảo luận:Danh sách chương truyện Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_ch%C6%B0%C6%A1ng_truy%E1%BB%87n_Doraemon_-_Ch%C3%BA_m%C3%A8o_m%C3%A1y_%C4%91%E1%BA%BFn_t%E1%BB%AB_t%C6%B0%C6%A1ng_lai) [Thảo luận:Danh sách chương truyện Doraemon Plus](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_ch%C6%B0%C6%A1ng_truy%E1%BB%87n_Doraemon_Plus) [Thảo luận:Danh sách chương truyện Umineko no Naku Koro ni](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_ch%C6%B0%C6%A1ng_truy%E1%BB%87n_Umineko_no_Naku_Koro_ni) [Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Doraemon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_nh%C3%A2n_v%E1%BA%ADt_trong_Doraemon) [Thảo luận:Danh sách nhân vật trong ONE ~Kagayaku Kisetsu e~](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_nh%C3%A2n_v%E1%BA%ADt_trong_ONE_~Kagayaku_Kisetsu_e~) [Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Rewrite](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_nh%C3%A2n_v%E1%BA%ADt_trong_Rewrite) [Thảo luận:Danh sách nhân vật trong Thám tử lừng danh Conan](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_nh%C3%A2n_v%E1%BA%ADt_trong_Th%C3%A1m_t%E1%BB%AD_l%E1%BB%ABng_danh_Conan) [Thảo luận:Danh sách phiên bản quốc tế Doraemon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_phi%C3%AAn_b%E1%BA%A3n_qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF_Doraemon) [Thảo luận:Danh sách tác phẩm Doraemon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%C3%A1c_ph%E1%BA%A9m_Doraemon) [Thảo luận:Danh sách tập phim Angel Beats!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Angel_Beats!) [Thảo luận:Danh sách tập phim Digimon](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Digimon) [Thảo luận:Danh sách tập phim Digimon Adventure](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Digimon_Adventure) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_-_Ch%C3%BA_m%C3%A8o_m%C3%A1y_%C4%91%E1%BA%BFn_t%E1%BB%AB_t%C6%B0%C6%A1ng_lai) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (loạt phim 2005)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(lo%E1%BA%A1t_phim_2005)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1979)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_1979)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1980–84)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_1980%E2%80%9384)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1985–89)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_1985%E2%80%9389)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1990–94)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_1990%E2%80%9394)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 1995–99)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_1995%E2%80%9399)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2000–tháng 3 năm 2005)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2000%E2%80%93th%C3%A1ng_3_n%C4%83m_2005)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2006)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2006)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2007)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2007)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2008)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2008)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2009)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2009)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2010)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2010)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2011)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2011)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2012)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2012)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2013)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2013)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2014)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2014)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2015)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2015)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (năm 2016)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(n%C4%83m_2016)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Doraemon (tháng 4–tháng 12 năm 2005)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Doraemon_(th%C3%A1ng_4%E2%80%93th%C3%A1ng_12_n%C4%83m_2005)) [Thảo luận:Danh sách tập phim Mèo máy Kuro](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_M%C3%A8o_m%C3%A1y_Kuro) [Thảo luận:Danh sách tập phim ONE ~Kagayaku Kisetsu e~](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_ONE_~Kagayaku_Kisetsu_e~) [Thảo luận:Danh sách tập phim Thám tử lừng danh Conan](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_t%E1%BA%ADp_phim_Th%C3%A1m_t%E1%BB%AD_l%E1%BB%ABng_danh_Conan) [Thảo luận:Danh sách trò chơi điện tử do Key phát triển](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Danh_s%C3%A1ch_tr%C3%B2_ch%C6%A1i_%C4%91i%E1%BB%87n_t%E1%BB%AD_do_Key_ph%C3%A1t_tri%E1%BB%83n) [Thảo luận:DearS](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:DearS) [Thảo luận:Dekisugi Hidetoshi](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dekisugi_Hidetoshi) [Thảo luận:Dengeki G's Comic](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dengeki_G%27s_Comic) [Thảo luận:Devil May Cry (anime)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Devil_May_Cry_(anime)) [Thảo luận:Digimon Adventure](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Digimon_Adventure) [Thảo luận:Digimon Adventure 02](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Digimon_Adventure_02) [Thảo luận:Digimon Tamers](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Digimon_Tamers) [Thảo luận:Dōjin ongaku](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:D%C5%8Djin_ongaku) [Thảo luận:Doraemon - Chú mèo máy đến từ tương lai (hoạt hình)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon_-_Ch%C3%BA_m%C3%A8o_m%C3%A1y_%C4%91%E1%BA%BFn_t%E1%BB%AB_t%C6%B0%C6%A1ng_lai_(ho%E1%BA%A1t_h%C3%ACnh)) [Thảo luận:Doraemon (loạt phim 2005)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon_(lo%E1%BA%A1t_phim_2005)) [Thảo luận:Doraemon Land](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon_Land) [Thảo luận:Doraemon tại Việt Nam](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon_t%E1%BA%A1i_Vi%E1%BB%87t_Nam) [Thảo luận:Doraemon trở thành người mẹ ~Câu chuyện của Oyama Nobuyo~](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon_tr%E1%BB%9F_th%C3%A0nh_ng%C6%B0%E1%BB%9Di_m%E1%BA%B9_~C%C3%A2u_chuy%E1%BB%87n_c%E1%BB%A7a_Oyama_Nobuyo~) [Thảo luận:Doraemon: Chú khủng long của Nobita](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Ch%C3%BA_kh%E1%BB%A7ng_long_c%E1%BB%A7a_Nobita) [Thảo luận:Doraemon: Chú khủng long của Nobita 2006](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Ch%C3%BA_kh%E1%BB%A7ng_long_c%E1%BB%A7a_Nobita_2006) [Thảo luận:Doraemon: Gadget Cat from the Future](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Gadget_Cat_from_the_Future) [Thảo luận:Doraemon: Nobita ở xứ sở nghìn lẻ một đêm](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_%E1%BB%9F_x%E1%BB%A9_s%E1%BB%9F_ngh%C3%ACn_l%E1%BA%BB_m%E1%BB%99t_%C4%91%C3%AAm) [Thảo luận:Doraemon: Nobita Tây du kí](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_T%C3%A2y_du_k%C3%AD) [Thảo luận:Doraemon: Nobita thám hiểm vùng đất mới](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_th%C3%A1m_hi%E1%BB%83m_v%C3%B9ng_%C4%91%E1%BA%A5t_m%E1%BB%9Bi) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và ba chàng hiệp sĩ mộng mơ](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_ba_ch%C3%A0ng_hi%E1%BB%87p_s%C4%A9_m%E1%BB%99ng_m%C6%A1) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và binh đoàn người sắt](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_binh_%C4%91o%C3%A0n_ng%C6%B0%E1%BB%9Di_s%E1%BA%AFt) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và chuyến du hành biển phương Nam](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_chuy%E1%BA%BFn_du_h%C3%A0nh_bi%E1%BB%83n_ph%C6%B0%C6%A1ng_Nam) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và chuyến phiêu lưu vào xứ quỷ](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_chuy%E1%BA%BFn_phi%C3%AAu_l%C6%B0u_v%C3%A0o_x%E1%BB%A9_qu%E1%BB%B7) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và cuộc chiến vũ trụ](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_cu%E1%BB%99c_chi%E1%BA%BFn_v%C5%A9_tr%E1%BB%A5) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và hành tinh muông thú](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_h%C3%A0nh_tinh_mu%C3%B4ng_th%C3%BA) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và hiệp sĩ rồng](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_hi%E1%BB%87p_s%C4%A9_r%E1%BB%93ng) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và lâu đài dưới đáy biển](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_l%C3%A2u_%C4%91%C3%A0i_d%C6%B0%E1%BB%9Bi_%C4%91%C3%A1y_bi%E1%BB%83n) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và lịch sử khai phá vũ trụ](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_l%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_khai_ph%C3%A1_v%C5%A9_tr%E1%BB%A5) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và mê cung thiếc](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_m%C3%AA_cung_thi%E1%BA%BFc) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và nước Nhật thời nguyên thủy](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_n%C6%B0%E1%BB%9Bc_Nh%E1%BA%ADt_th%E1%BB%9Di_nguy%C3%AAn_th%E1%BB%A7y) [Thảo luận:Doraemon: Nobita và vương quốc trên mây](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_Nobita_v%C3%A0_v%C6%B0%C6%A1ng_qu%E1%BB%91c_tr%C3%AAn_m%C3%A2y) [Thảo luận:Doraemon: Tân Nobita và binh đoàn người sắt - Đôi cánh Thiên thần](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_T%C3%A2n_Nobita_v%C3%A0_binh_%C4%91o%C3%A0n_ng%C6%B0%E1%BB%9Di_s%E1%BA%AFt_-_%C4%90%C3%B4i_c%C3%A1nh_Thi%C3%AAn_th%E1%BA%A7n) [Thảo luận:Doraemon: Tân Nobita và nước Nhật thời nguyên thủy](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Doraemon:_T%C3%A2n_Nobita_v%C3%A0_n%C6%B0%E1%BB%9Bc_Nh%E1%BA%ADt_th%E1%BB%9Di_nguy%C3%AAn_th%E1%BB%A7y) [Thảo luận:Dorami](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dorami) [Thảo luận:Dōsei](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:D%C5%8Dsei) [Thảo luận:Dr. Slump](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dr._Slump) [Thảo luận:Dr.Rin ni Kiitemite!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Dr.Rin_ni_Kiitemite!)
### E
### F
### G
[Thảo luận:Gake no Ue no Ponyo](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gake_no_Ue_no_Ponyo) [Thảo luận:Gedo Senki](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gedo_Senki) [Thảo luận:Gekijō-ban Cardcaptor Sakura](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gekij%C5%8D-ban_Cardcaptor_Sakura) [Thảo luận:GetBackers](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:GetBackers) [Thảo luận:Giải Manga Kodansha](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gi%E1%BA%A3i_Manga_Kodansha) [Thảo luận:Gin-iro no kami no Agito](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gin-iro_no_kami_no_Agito) [Thảo luận:Glasslip](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Glasslip) [Thảo luận:GodHand Teru](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:GodHand_Teru) [Thảo luận:Good Smile Company](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Good_Smile_Company) [Thảo luận:Grander Musashi](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Grander_Musashi) [Thảo luận:Grandia II](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Grandia_II) [Thảo luận:Gundam Seed](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gundam_Seed) [Thảo luận:Gundam Seed Destiny](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gundam_Seed_Destiny) [Thảo luận:Gunslinger Girl](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Gunslinger_Girl) [Thảo luận:GUNxSWORD](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:GUNxSWORD)
### H
[Thảo luận:H2 (manga)](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:H2_(manga)) [Thảo luận:Hagane no Renkinjutsushi Fullmetal Alchemist](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hagane_no_Renkinjutsushi_Fullmetal_Alchemist) [Thảo luận:Hajime là số một](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hajime_l%C3%A0_s%E1%BB%91_m%E1%BB%99t) [Thảo luận:Hakuouki: Shinsengumi Kitan](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hakuouki:_Shinsengumi_Kitan) [Thảo luận:Happy World!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Happy_World!) [Thảo luận:Hare & Guu](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hare_%26_Guu) [Thảo luận:Hataraku Maō-sama!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hataraku_Ma%C5%8D-sama!) [Thảo luận:Hatsukoi Limited.](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hatsukoi_Limited.) [Thảo luận:Hắc Quản Gia](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:H%E1%BA%AFc_Qu%E1%BA%A3n_Gia) [Thảo luận:Heisei Tanuki Gassen Ponpoko](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Heisei_Tanuki_Gassen_Ponpoko) [Thảo luận:Hentai Ōji to Warawanai Neko.](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hentai_%C5%8Cji_to_Warawanai_Neko.) [Thảo luận:Hiatari Ryōkō!](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hiatari_Ry%C5%8Dk%C5%8D!) [Thảo luận:Hiệp sĩ Lợn](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hi%E1%BB%87p_s%C4%A9_L%E1%BB%A3n) [Thảo luận:Hiệp sĩ nữ hoàng](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hi%E1%BB%87p_s%C4%A9_n%E1%BB%AF_ho%C3%A0ng) [Thảo luận:Hiệp sĩ Vampire](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hi%E1%BB%87p_s%C4%A9_Vampire) [Thảo luận:Highschool DxD](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Highschool_DxD) [Thảo luận:Highschool of the Dead](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Highschool_of_the_Dead) [Thảo luận:Hikaru - Kì thủ cờ vây](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hikaru_-_K%C3%AC_th%E1%BB%A7_c%E1%BB%9D_v%C3%A2y) [Thảo luận:Hisutorie](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hisutorie) [Thảo luận:Hobby Japan](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hobby_Japan) [Thảo luận:Học viện Alice](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:H%E1%BB%8Dc_vi%E1%BB%87n_Alice) [Thảo luận:Honekawa Suneo](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Honekawa_Suneo) [Thảo luận:Honey and Clover](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Honey_and_Clover) [Thảo luận:Hotarubi no Mori e](/wiki/Th%E1%BA%A3o_lu%E1%BA%ADn:Hotarubi_no_Mori_e)
### I
[Trang sau](/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C3%8Dt_quan_tr%E1%BB%8Dng_v%E1%BB%81_Anime_v%C3%A0_Manga&pagefrom=Kamen+no+Maid+Guy%0AKamen+no+Maid+Guy#mw-pages))

X-Cache: cp1067 miss, cp1067 miss


text:
Torviscosa
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Torviscosa là một đô thị ở tỉnh Udine trong vùng Friuli-Venezia Giulia thuộc Ý, có cự ly khoảng 45 km về phía tây bắc của Trieste và khoảng 30 km về phía nam của Udine. Tại thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2004, đô thị này có dân số 3.116 người và diện tích là 48,2 km².[1]
Đô thị Torviscosa có các frazione (đơn vị cấp dưới) Malisana.
Torviscosa giáp các đô thị: Bagnaria Arsa, Cervignano del Friuli, Gonars, Grado, Porpetto, San Giorgio di Nogaro, Terzo d'Aquileia.
Biến động dân số[sửa | sửa mã nguồn]
Thành phố kết nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Champ-sur-Drac, Pháp

markdown:
# Torviscosa
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|
Thị trưởng Độ cao |m
|Diện tích |48,2 km²
|Dân số | - Tổng số (Tháng 12 năm 2004)
||3116
|| - Mật độ
||65/km²
|Múi giờ Tọa độ |0431
|Mã bưu điện |33050
||Malisana
|Website: **Torviscosa** là một đô thị ở [tỉnh Udine](/wiki/Udine_(t%E1%BB%89nh)) trong vùng [Friuli-Venezia Giulia](/wiki/Friuli%E2%80%93Venezia_Giulia) thuộc [Ý](/wiki/%C3%9D), có cự ly khoảng 45 km về phía tây bắc của [Trieste](/wiki/Trieste) và khoảng 30 km về phía nam của [Udine](/wiki/Udine). Tại thời điểm ngày [31 tháng 12](/wiki/31_th%C3%A1ng_12) năm [2004](/wiki/2004), đô thị này có dân số 3.116 người và diện tích là 48,2 km². [[1]](#cite_note-istat-1)
Đô thị Torviscosa có các
* (đơn vị cấp dưới) Malisana. frazione*
Torviscosa giáp các đô thị:
[Bagnaria Arsa](/wiki/Bagnaria_Arsa), [Cervignano del Friuli](/w/index.php?title=Cervignano_del_Friuli&action=edit&redlink=1), [Gonars](/w/index.php?title=Gonars&action=edit&redlink=1), [Grado](/w/index.php?title=Grado,_Italy&action=edit&redlink=1), [Porpetto](/wiki/Porpetto), [San Giorgio di Nogaro](/wiki/San_Giorgio_di_Nogaro), [Terzo d'Aquileia](/wiki/Terzo_d%27Aquileia).
## Biến động dân số[
[sửa](/w/index.php?title=Torviscosa&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Torviscosa&action=edit§ion=1)] ![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/timeline/d029361081b6e8467ef7e9fa701f2cbc.png)
## Thành phố kết nghĩa[
[sửa](/w/index.php?title=Torviscosa&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Torviscosa&action=edit§ion=2)] [Champ-sur-Drac](/wiki/Champ-sur-Drac), Pháp

X-Cache: cp1052 miss, cp1067 miss


text:
epitaph
Từ điển mở Wiktionary
Bước tới:
dẫn lái
,
tìm
Mục lục
1
Tiếng Anh
1.1
Cách phát âm
1.2
Danh từ
1.3
Tham khảo
Tiếng Anh
[
sửa
]
Cách phát âm
[
sửa
]
IPA
:
/ˈɛ.pə.ˌtæf/
Bắc California, Hoa Kỳ (nữ giới)
[ˈɛ.pə.ˌtæf]
Danh từ
[
sửa
]
epitaph
(
số nhiều
epitaphs
)
/ˈɛ.pə.ˌtæf/
Mộ chí
.
Văn
bia
, văn
mộ chí
.
Tham khảo
[
sửa
]
Hồ Ngọc Đức,
Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí
(
chi tiết
)
Lấy từ “
https://vi.wiktionary.org/w/index.php?title=epitaph&oldid=1677677
”
Thể loại
:
Mục từ tiếng Anh
Danh từ
Danh từ tiếng Anh
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Chưa đăng nhập
Thảo luận
Đóng góp
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Mục từ
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Tra
Sửa đổi
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Chuyển hướng
Trang Chính
Cộng đồng
Thay đổi gần đây
Mục từ ngẫu nhiên
Trợ giúp
Thảo luận chung
Quyên góp
Chỉ mục
Ngôn ngữ
Chữ cái
Bộ thủ
Từ loại
Chuyên ngành
In/xuất ra
Tạo một quyển sách
Tải về dưới dạng PDF
Bản in được
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Tải tập tin lên
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Trích dẫn trang này
Ngôn ngữ định nghĩa
English
Eesti
Suomi
Français
Frysk
Magyar
Ido
Italiano
ಕನ್ನಡ
한국어
Kurdî
Malagasy
മലയാളം
မြန်မာဘာသာ
Polski
Русский
Slovenčina
Svenska
தமிழ்
తెలుగు
中文
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 09:14 ngày 1 tháng 2 năm 2016.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Xem
Điều khoản Sử dụng
để biết thêm chi tiết.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wiktionary
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Tuyên bố về cookie
Phiên bản di động

markdown:
# epitaph
Từ điển mở Wiktionary
## Tiếng Anh[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-eng-&action=edit§ion=T-1)]
### Cách phát âm[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-pron-&action=edit§ion=T-1)]
|Bắc California, Hoa Kỳ (nữ giới)||
|
### Danh từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-noun-&action=edit§ion=T-1)] **epitaph** ( *số nhiều* **) epitaphs** [/ˈɛ.pə.ˌtæf/](/wiki/Wiktionary:IPA)
### Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-ref-&action=edit§ion=T-1)]
- Hồ Ngọc Đức,
[Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí](http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc/Dict/)( [chi tiết](/wiki/Wiktionary:Ngu%E1%BB%93n_g%E1%BB%91c/FVDP))

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wiktionary.org

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wiktionary.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

X-Cache: cp1066 miss, cp1053 miss