text:
lượt nghe -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng click vào đây (To file a copyright infringement notification, please click here)
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm chất lượng âm thanh tương tự nghe CD gốc với tài khoản Zing MP3 VIP.
Lam Trường yêu thích ca hát từ nhỏ. Được anh trai Lam Thông, một sinh viên thanh nhạc Nhạc viện TPHCM khuyến khích, Lam Trường tích cực tham gia các hoạt động văn nghệ ở trường phổ thông và sau khi tốt nghiệp... Xem toàn bộ
Lam Trường yêu thích ca hát từ nhỏ. Được anh trai Lam Thông, một sinh viên thanh nhạc Nhạc viện TPHCM khuyến khích, Lam Trường tích cực tham gia các hoạt động văn nghệ ở trường phổ thông và sau khi tốt nghiệp cấp III, anh thi vào trường Cao đẳng Văn hoá Nghệ thuật TPHCM.
Cũng trong năm 1997, sự ra đời của chương trình bình chọn những bài hát được yêu thích nhất trên sóng phát thanh Đài Tiếng nói Nhân dân TPHCM - Làn Sóng Xanh, đã góp phần không nhỏ tạo dựng tên tuổi Lam Trường và đưa anh đến với rộng rãi công chúng qua các ca khúc: "Tình thôi xót xa" (Bảo Chấn), "Mưa phi trường" (Việt Anh), "Gót hồng" (Bảo Phúc), .v.v.
Năm 1998, Lam Trường ra mắt album nhạc Việt đầu tiên, Tình thôi xót xa, được khán giả trẻ đón nhận nồng nhiệt và được mời biểu diễn tại Hà Nội lần đầu tiên, trong chương trình Gala 98. Sau một số album riêng gồm tuyển nhạc Hoa hoặc nhạc Việt và rất nhiều album ghi âm lẻ do các hãng băng đĩa thực hiện, từ năm 1999, Lam Trường cùng với anh trai Tiêu Lộc đã trực tiếp biên tập và sản xuất album riêng với sự hỗ trợ của Viết Tân Studio.
Bình luận ()

markdown:
**lượt nghe** -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng
[click vào đây](http://mp3.zing.vn/copyright/report) (To file a copyright infringement notification, please [click here](http://mp3.zing.vn/copyright/report))
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm
**chất lượng âm thanh** tương tự nghe CD gốc với tài khoản **Zing MP3 VIP**. ** yêu thích ca hát từ nhỏ. Được anh trai Lam Thông, một sinh viên thanh nhạc Nhạc viện TPHCM khuyến khích, Lam Trường** ** yêu thích ca hát từ nhỏ. Được anh trai Lam Thông, một sinh viên thanh nhạc Nhạc viện TPHCM khuyến khích, Lam Trường**
## Bình luận ()

Set-Cookie: SRVND=s22131; path=/

X-Cache: HIT from Cache-MP3-22131


text:
lượt nghe -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng click vào đây (To file a copyright infringement notification, please click here)
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm chất lượng âm thanh tương tự nghe CD gốc với tài khoản Zing MP3 VIP.
Bình luận ()

markdown:
**lượt nghe** -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng
[click vào đây](http://mp3.zing.vn/copyright/report) (To file a copyright infringement notification, please [click here](http://mp3.zing.vn/copyright/report))
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm
**chất lượng âm thanh** tương tự nghe CD gốc với tài khoản **Zing MP3 VIP**.
## Bình luận ()

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Set-Cookie: SRVND=s229; path=/

X-Cache: MISS from Cache-2297

Cache-Control: private

Vary: Accept-Encoding


text:
lượt nghe -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng click vào đây (To file a copyright infringement notification, please click here)
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm chất lượng âm thanh tương tự nghe CD gốc với tài khoản Zing MP3 VIP.
Từ một ca sĩ ít ai biết ở các quán bar đêm, Lương Bằng Quang trở thành người sáng tác mát tay có lượng ca khúc phổ biến nhiều trong năm 2004 Anh cũng là nhạc sĩ trẻ nhất nhận giải Làn sóng xanh 2004 với bài... Xem toàn bộ
Từ một ca sĩ ít ai biết ở các quán bar đêm, Lương Bằng Quang trở thành người sáng tác mát tay có lượng ca khúc phổ biến nhiều trong năm 2004
Anh cũng là nhạc sĩ trẻ nhất nhận giải Làn sóng xanh 2004 với bài hit Đôi chân thiên thần (Lam Trường thể hiện). Bố Quang là nhạc sĩ Lương Bằng Vinh, mẹ là giáo viên dạy nhạc, Lương Bằng Quang xem như có khiếu nhạc từ "trứng nước".
Quả vậy, anh tiếp xúc với âm nhạc từ rất sớm, học đàn, đi chơi nhạc rồi làm ca sĩ. Sau quá trình đi hát gặp phải nhiều khó khăn đối với một ca sĩ trẻ, Quang chuyển sang viết nhạc (từ năm 2002) và viết khá sung sức với nền tảng âm nhạc sẵn có (đến nay đã sáng tác được gần 100 ca khúc). Phân nửa số này nhanh chóng được các ca sĩ tiếp nhận và cả mua độc quyền.
Năm 2005 Lương Bằng Quang tham gia Bài Hát Việt với 2 ca khúc "Đừng làm nỗi đau thêm dài" và "Đến khi cạn lời" gây được sự chú ý từ khán giả và hội đồng nghệ thuật
Ngoài Lam Trường thành công với Đôi chân thiên thần, còn phải kể đến Đan Trường với Lời ru rừng xanh, Đến một lúc nào đó; Quang Vinh với Hương tháng giêng, Như em từng mơ; Thanh Thảo với Ngôi sao chứng nhân; Nhật Tinh Anh với Cần một cái tên...
Lương Bằng Quang - một trong những người viết nhạc trẻ đa dạng nhất thời gian qua. Ngoài việc giữ phong độ, điều đặt ra cho Quang từ giờ còn là yêu cầu có những sáng tác mới chất lượng và gây ấn tượng hơn nữa.
Những sáng tác của Quang đa dạng và đa màu sắc. Không chỉ thiên về dòng nhạc hiện đại và trẻ trung với chất liệu hip-hop đang được ưa chuộng hiện nay như Nắng sân trường (Ái Thi đã giành giải nhì trong Tuổi đời mênh mông), mà còn rất nhiều những ca khúc mang âm hưởng quê hương lãng mạn, lời ca giàu sức biểu cảm, ngập tràn tình yêu quê hương như Màu xanh Việt Nam,hay Lời ru rừng xanh.
Không bằng lòng với vai trò là một nhạc sĩ, Lương Bằng Quang còn khẳng định vị trí của mình với tư cách là một ca sĩ có tài.
Năm 2004, Quang cho ra đời album vol 1 Lương Bằng Quang - Return gây nhiều sự chú ý bởi ý tưởng mới. Đây là CD đầu tiên ở Việt Nam thực hiện dưới dạng Enhanced CD (một dạng CD vẫn chạy ở các máy đĩa bình thường, riêng ở computer có thể hiện hình ảnh, lời bài hát, các đoạn flash…).
Mãi đến cuối năm 2008 Lương Bằng Quang mới cho ra mắt sản phẩm thứ 2 của mình. Album mang tên "Touch - Chạm", cũng là 1 Enhanced CD với những âm thanh điện tử đặc trưng nhưng Lương Bằng Quang chứng tỏ đã trưởng thành hơn trong phong cách viết nhạc của mình.
Bình luận ()

markdown:
**lượt nghe** -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng
[click vào đây](http://mp3.zing.vn/copyright/report) (To file a copyright infringement notification, please [click here](http://mp3.zing.vn/copyright/report))
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm
**chất lượng âm thanh** tương tự nghe CD gốc với tài khoản **Zing MP3 VIP**.
Từ một ca sĩ ít ai biết ở các quán bar đêm,
** trở thành người sáng tác mát tay có lượng ca khúc phổ biến nhiều trong năm 2004 Anh cũng là nhạc sĩ trẻ nhất nhận giải Làn sóng xanh 2004 với bài... Lương Bằng Quang**
Từ một ca sĩ ít ai biết ở các quán bar đêm,
** trở thành người sáng tác mát tay có lượng ca khúc phổ biến nhiều trong năm 2004
Lương Bằng Quang**
## Bình luận ()

WARC-Truncated: length


text:
lượt nghe -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng click vào đây (To file a copyright infringement notification, please click here)
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm chất lượng âm thanh tương tự nghe CD gốc với tài khoản Zing MP3 VIP.
Vy Oanh tên thật là Nguyễn thị Mỹ Oanh. Sinh ngày 28-09 tại Phan Thiết, là con út trong nhà có 5 anh chị em. Được các soeur ở nhà dòng phát hiện về khả năng nghệ thuật, từ nhỏ Oanh được dạy đàn, hát , múa,... Xem toàn bộ
Vy Oanh tên thật là Nguyễn thị Mỹ Oanh. Sinh ngày 28-09 tại Phan Thiết, là con út trong nhà có 5 anh chị em.
Được các soeur ở nhà dòng phát hiện về khả năng nghệ thuật, từ nhỏ Oanh được dạy đàn, hát , múa, kịch... Nghệ thuật đến với cô như một cái duyên. Trong khi chờ ôn thi đại học, Oanh tình cờ đi ngang qua đường Nguyễn Du, thấy trường Nhạc Viện đang tuyển sinh. Lúc đó chỉ còn 2 tuần là thi, không ôn luyện nhưng Oanh đã thi đậu trong hơn ba ngàn thí sinh đăng ký năm đó, khóa 2003-2007.
Vy Oanh bắt đầu chính thức tham gia nghệ thuật từ năm 2007 đến nay.
Các album đã phát hành:
Album "Nhạc Phim Siêu Mẫu Xỉ Trum" (2008), trong bộ phim cùng tên mà Oanh lần đầu tiên tham gia vai chính, và người ta bắt đầu biết đến Vy Oanh bằng những ca khúc như: "Mưa nhạt nhòa", "Cô thắm về làng", "Ấm áp"... (Năm 2008)
Album "Cho em một con đường" (2010), cũng là ca khúc chính trong bộ phim Lối sống sai lầm. Đây là abum mà Vy Oanh kết hợp cùng nhạc sĩ Nguyễn Hồng Thuận và đã thành công với những ca khúc như “Cho em một con đường”, “Những điều nhỏ nhoi”, “Hạnh phúc mỉm cười”.. .
Cùng thời điểm đó, Vy Oanh bắt đầu tham gia nhiều vai chính trong những bộ phim truyền hình dài tập như Câu chuyện xưởng may, Thiên đường vắng em, Cuộc chiến hoa hồng phần 2, Câu chuyện cuối mùa thu.....
Album "Có lẽ.... Em rất nhớ anh" (2011) Với album này Vy Oanh bén duyên với lĩnh vực sáng tác mà cô đã được học từ nhỏ và ca khúc chủ đề "Em rất nhớ anh" do Vy Oanh sáng tác lên tục đứng đầu trong bảng xếp hạng âm nhạc Zing Mp3.
Năm 2012, Vy Oanh cũng đã phát hành một vài single mang dấu ấn đặc biệt như "Có thật không anh? " "Chiếc áo sờn vai'....
Vy Oanh là gương mặt quảng cáo quen thuộc của các thương hiệu trong nước và quốc tế như: Kem đánh răng Colgate, tủ lạnh Samsung, Trà Dr.Thanh, Trà xanh không độ không đường, hạt nêm Knor, sữa Grow Alpha A+ , nước tương Chinsu..,
Ngoài ra, cô cũng làm MC cho các chương trình truyền hình như: Thay Lời Muốn Nói, Những dòng sông hò hẹn, Âm Vang Miền Đông, Cửa sổ âm nhạc.......và các game show truyền hình như Cầu vồng nghệ thuật, It's Me....
Từ năm 2007 đến nay, Vy Oanh thường xuyên đi lưu diễn ở nhiều nước trên thế giới trong đó có Mỹ và Canada.....
Bình luận ()

markdown:
**lượt nghe** -Được tổng hợp dựa trên số liệu lượt nghe của người dùng trên cả desktop, mobile và smart TV
Vui lòng chọn cụ thể các mục bên dưới để thông báo cho Zing MP3 biết vấn dề bạn gặp phải đối với bài hát này.
Để thông báo vi phạm bản quyền, vui lòng
[click vào đây](http://mp3.zing.vn/copyright/report) (To file a copyright infringement notification, please [click here](http://mp3.zing.vn/copyright/report))
Bài hát này không tải được vì lý do bản quyền
Trải nghiệm
**chất lượng âm thanh** tương tự nghe CD gốc với tài khoản **Zing MP3 VIP**. ** tên thật là Nguyễn thị Mỹ Oanh. Sinh ngày 28-09 tại Phan Thiết, là con út trong nhà có 5 anh chị em. Được các soeur ở nhà dòng phát hiện về khả năng nghệ thuật, từ nhỏ Oanh được dạy đàn, hát , múa,... Vy Oanh** ** tên thật là Nguyễn thị Mỹ Oanh. Sinh ngày 28-09 tại Phan Thiết, là con út trong nhà có 5 anh chị em.
Vy Oanh**
## Bình luận ()

X-Cache: MISS from Cache-MP3-22131


text:
Trang Chủ
Gian hàng
Siêu thị xe
Đăng mua bán
Catalogue
Thế giới tin
Gallery ảnh
Clip MyCar
Hỏi Đáp
Liên hệ
Salon Ô tô
Cửa hàng Xe Máy
Dịch vụ - Phụ tùng ô tô
Siêu thị xe Ô tô
Siêu thị xe máy
Tính thuế Xe hơi nhập khẩu
Đăng mua bán Ôtô
Đăng mua bán Xe Máy
Catalogue Ô tô MyCar
Catalogue Xe máy MyBike
Tin tức
Test-Drive
Kinh Nghiệm
Độ Xe
Pháp Luật
AutoShow
Thư Giãn Xế
Lịch sử
Bạn đọc viết
Ảnh Nổi Bật
Ô Tô
Xe Máy
Người Đẹp và Xe
Auto Show
Mua bán XE
Lái XE
Pháp Luật
About MyCar
Liên hệ quảng cáo
Tuyển dụng
Đăng nhập
Đăng ký
Chào bạn
|
Thoát
Tìm nhanh XE - MyCar
Hãng xe
ACURA
ALFA ROMEO
ASTON MARTIN
AUDI
BENTLEY
BMW
BRILLIANCE
BUGATTI
BUICK
CADILLAC
CHERY
CHEVROLET
CHRYSLER
CITROEN
DAIHATSU
DODGE
FERRARI
FIAT
FORD
GEELY
GM DAEWOO
GMC
HOLDEN
HONDA
HUMMER
HYUNDAI
INFINITI
ISUZU
JAGUAR
JEEP
KIA
LAMBORGHINI
LANCIA
LAND ROVER
LEXUS
LINCOLN
LOTUS
LUXGEN
MASERATI
MAZDA
MERCEDES- BENZ
MERCURY
MINI
MITSUBISHI
NISSAN
OPEL
PEUGEOT
PONTIAC
PORSCHE
PROTON
RENAULT
ROLLS- ROYCE
SAAB
SATURN
SEAT
SKODA
SMART
SSANGYONG
SUBARU
SUZUKI
TOYOTA
TRƯỜNG HẢI
VOLKSWAGEN
VOLVO
WIESMANN
Hãng khác
Dòng xe
Đơn Vị
Triệu Đồng
USD
EURO
Hộp số
Số cơ học
Số tự động
Số vô cấp
Nhiên Liệu
Xăng
Dầu Diesel
Gas
Xăng-Điện
Tình Trạng
Xe mới
Xe đã dùng
Địa điểm
An Giang
Bà Rịa Vũng Tàu
Bạc Liêu
Bắc Cạn
Bắc Giang
Bắc Ninh
Bến Tre
Bình Dương
Bình Định
Bình Phước
Bình Thuận
Cà Mau
Cao Bằng
Cần Thơ
Đà Nẵng
Đắc Lắc
Đắc Nông
Điện Biên
Đồng Nai
Đồng Tháp
Gia Lai
Hà Giang
Hà Nam
Hà Nội
Hà Tây
Hà Tĩnh
Hải Dương
Hải Phòng
Hậu Giang
Hoà Bình
Hưng Yên
Khánh Hoà
Kiên Giang
Kon Tum
Lai Châu
Lạng Sơn
Lào Cai
Lâm Đồng
Long An
Nam Định
Nghệ An
Ninh Bình
Ninh Thuận
Phú Thọ
Phú Yên
Quảng Bình
Quảng Nam
Quảng Ngãi
Quảng Ninh
Quảng Trị
Sóc Trăng
Sơn La
Tây Ninh
Thái Bình
Thái Nguyên
Thanh Hoá
Thừa Thiên Huế
Tiền Giang
Trà Vinh
TP Hồ Chí Minh
Tuyên Quang
Vĩnh Long
Vĩnh Phúc
Yên Bái
Loại tin
Tin bán
Tin mua
Đang có
559
kết quả
Gian hàng VIP
Xem tất cả >>
Để trở thành gian hàng Vip gọi ngay 043.5641287
KIA PHÚ MỸ HƯNG
Gian hàng MyCar
Gian hàng MyCar
Gian hàng MyCar
RENAULT VIETNAM
Postum Travel
Tìm nhanh XE - MyBike
Hãng xe
APRILIA
BMW
BUELL
CAGIVA
DUCATI
HARLEY-DAVIDSON
HOA LÂM-KYMCO
HONDA
KAWASAKI
KTM
LIFAN
MOTO GUZZI
MV AGUSTA
PIAGGIO
SUZUKI
SYM
VESPA
VICTORY
YAMAHA
Hãng khác
Dòng xe
Đơn vị
Triệu Đồng
USD
EURO
Loại xe
Xe số không côn tay
Xe số có côn tay
Xe tay ga
Phân khối
0->125cc
125->250(cc)
250->500(cc)
500->1000(cc)
>1000(cc)
Tình trạng
Xe mới
Xe đã dùng
Địa điểm
An Giang
Bà Rịa Vũng Tàu
Bạc Liêu
Bắc Cạn
Bắc Giang
Bắc Ninh
Bến Tre
Bình Dương
Bình Định
Bình Phước
Bình Thuận
Cà Mau
Cao Bằng
Cần Thơ
Đà Nẵng
Đắc Lắc
Đắc Nông
Điện Biên
Đồng Nai
Đồng Tháp
Gia Lai
Hà Giang
Hà Nam
Hà Nội
Hà Tây
Hà Tĩnh
Hải Dương
Hải Phòng
Hậu Giang
Hoà Bình
Hưng Yên
Khánh Hoà
Kiên Giang
Kon Tum
Lai Châu
Lạng Sơn
Lào Cai
Lâm Đồng
Long An
Nam Định
Nghệ An
Ninh Bình
Ninh Thuận
Phú Thọ
Phú Yên
Quảng Bình
Quảng Nam
Quảng Ngãi
Quảng Ninh
Quảng Trị
Sóc Trăng
Sơn La
Tây Ninh
Thái Bình
Thái Nguyên
Thanh Hoá
Thừa Thiên Huế
Tiền Giang
Trà Vinh
TP Hồ Chí Minh
Tuyên Quang
Vĩnh Long
Vĩnh Phúc
Yên Bái
Loại tin
Tin mua
Tin bán
Đang có
0
kết quả
Tin VIP trên
MyCar
Tin VIP -
Ðể đăng tin VIP gọi ngay 043. 5641287- Click để xem chi tiết
Siêu thị ô tô
MyCar
- Mua bán xe hơi, giá xe
Tin bán xe ô tô mới
>>>
Tin rao mua(0)
Tin bán xe ô tô cũ
>>>
Tìm theo hãng
Chọn Hãng Xe
ACURA
ALFA ROMEO
ASTON MARTIN
AUDI
BENTLEY
BMW
BRILLIANCE
BUGATTI
BUICK
CADILLAC
CHERY
CHEVROLET
CHRYSLER
CITROEN
DAIHATSU
DODGE
FERRARI
FIAT
FORD
GEELY
GM DAEWOO
GMC
HOLDEN
HONDA
HUMMER
HYUNDAI
INFINITI
ISUZU
JAGUAR
JEEP
KIA
LAMBORGHINI
LANCIA
LAND ROVER
LEXUS
LINCOLN
LOTUS
LUXGEN
MASERATI
MAZDA
MERCEDES- BENZ
MERCURY
MINI
MITSUBISHI
NISSAN
OPEL
PEUGEOT
PONTIAC
PORSCHE
PROTON
RENAULT
ROLLS- ROYCE
SAAB
SATURN
SEAT
SKODA
SMART
SSANGYONG
SUBARU
SUZUKI
TOYOTA
TRƯỜNG HẢI
VOLKSWAGEN
VOLVO
WIESMANN
FORD
HONDA
HYUNDAI
KIA
TOYOTA
Siêu thị Xe máy
MyBike
- Mua bán xe máy, giá xe
Tin bán xe máy mới
>>>
Tin bán xe máy cũ
>>>
Siêu thị dịch vụ ô tô
Bọc đệm ghế xe hơi
-
Liên hệ
Bọc đệm ghế ô tô
-
Liên hệ
AmbiPur Puresse Co...
-
595,000
VND
AmbiPur Puresse Ai...
-
595,000
VND
AmbiPur After Toba...
-
545,000
VND
AmbiPur Aqua Nước ...
-
545,000
VND
>>>
Gian hàng dịch vụ ô tô
Mâm lốp xe Du Lịch
-
TP Hồ Chí Minh
Gia Hưng Auto
-
Hà Nội
Flim cách nhiệt LL...
-
Hà Nội
Dịch vụ lắp đặt ô ...
-
Hà Nội
Postum Travel
-
Hà Nội
Thế giới lốp ô tô
-
Hà Nội
>>>
Catalogue ôtô
MyCar
Chọn hãng xe
ACURA
ALFA ROMEO
ASTON MARTIN
AUDI
BENTLEY
BMW
BRILLIANCE
BUGATTI
BUICK
CADILLAC
CHERY
CHEVROLET
CHRYSLER
CITROEN
DAIHATSU
DODGE
FERRARI
FIAT
FORD
GEELY
GM DAEWOO
GMC
HOLDEN
HONDA
HUMMER
HYUNDAI
INFINITI
ISUZU
JAGUAR
JEEP
KIA
LAMBORGHINI
LANCIA
LAND ROVER
LEXUS
LINCOLN
LOTUS
LUXGEN
MASERATI
MAZDA
MERCEDES- BENZ
MERCURY
MINI
MITSUBISHI
NISSAN
OPEL
PEUGEOT
PONTIAC
PORSCHE
PROTON
RENAULT
ROLLS- ROYCE
SAAB
SATURN
SEAT
SKODA
SMART
SSANGYONG
SUBARU
SUZUKI
TOYOTA
TRƯỜNG HẢI
VOLKSWAGEN
VOLVO
WIESMANN
Chọn dòng xe
Kiểu dáng xe
Khác
Bus
Convertible
Coupe
Hatchback
Pick Up
Sedan
SUV/Crossover
Truck
Van/MiniVan
Wagon
So sánh xe
Galery ảnh
Galery ảnh
2013 Audi S7
Thế giới tin
Tin tức
Test Driver
Ðộ xe
Pháp luật
Kinh nghiệm
Auto Show
Kia Morning 2013 giảm giá 20 triệu
Thứ 5, 6/12/2012 10:29 GMT+7
Trường Hải vừa giảm giá và ưu đãi tới 20 triệu đồng cho mẫu xe nhỏ Kia Morning (hay còn gọi là Picanto), áp dụng trong tháng 12 này.
Chi tiết
Xe mui trần giá 1 tỷ đồng ra mắt tại Việt Nam
Thứ 2, 15/10/2012 15:39 GMT+7
Renaut Việt Nam vừa cho ra mắt chính thức mẫu xe mui trần nhỏ gọn Wind Gordini tại TPHCM với giá bán 1 tỷ đồng.
Chi tiết
Toyota công bố triệu hồi lớn nhất trong 16 năm
Thứ 6, 12/10/2012 9:35 GMT+7
Tập đoàn Toyota vừa công bố chiến dịch triệu hồi lớn nhất trong 16 năm qua, áp dụng với hơn 7,4 triệu xe trên toàn cầu bị lỗi kẹt cửa chỉnh điện,...
Chi tiết
Suzuki ra mắt mẫu xe ga mới cho phái nữ
Thứ 3, 9/10/2012 10:28 GMT+7
Hãng xe máy Nhật vừa trưng bày mẫu xe tay ga Suzuki Let's mới tại Indonesia dù chưa công bố chi tiết về thông số kỹ thuật. Xe có giá bán tương...
Chi tiết
Người Ý thích xe đạp hơn xe hơi
Thứ 6, 5/10/2012 9:42 GMT+7
Lần đầu tiên kể từ chiến tranh thế giới thứ 2 tới nay, người Ý mua xe đạp nhiều hơn mua ô tô. Tính cơ động, sạch và tiết kiệm của phương tiện giao...
Chi tiết
Lượng xe đăng ký mới ở Hà Nội giảm 50%
Thứ 3, 11/9/2012 16:37 GMT+7
Số liệu thống kê tổng hợp từ các cơ sở đăng ký mới xe cơ giới và Công an Hà Nội cho thấy lượng ôtô, xe máy trên địa bàn Thủ đô được cấp biển số...
Chi tiết
Tin du?c quan tâm
BMW 3-Series 2012 và những dự báo
11/11/10
Xem 13 siêu xe của các đại gia Hà Nội
24/6/11
Hyundai công bố giá bán Sonata Hybrid
27/12/11
Hà Nội chính thức tăng 10 lần phí đăng ký biển ôtô
29/12/11
Audi R8 2012 Vs Porsche 911 Carrera S 2012
27/12/11
Điểm mặt những mẫu xe 2012 đáng tin cậy nhất
27/10/11
Đánh giá ban đầu về Toyota Camry 2012
8/9/11
Thế giới: 12 mẫu xe bán chạy nhất năm 2011
28/12/11
Dàn xế 'khủng' của các ngôi sao bóng đá thế giới
26/7/11
Những công nghệ ô tô lý tưởng trong tương lai gần
28/12/11
Xe Hyundai Nhập Khẩu
Bạn đọc viết
"Nuôi" ô tô bằng trả lương cho... sếp lớn
Thứ 2, 19/3/2012 11:28 GMT+7
Chi tiết
Thuế và phí xe hơi - 'trăm dâu đổ đầu...
16/3/12
Tư vấn - Hỏi đáp
Audi
New
Người hỏi:
Hoàng Minh Quân
Audi có tất cả bao nhiêu dòng xe?
Chi tiết
Catalogue xe máy
MyBike
Chọn hãng xe
APRILIA
BMW
BUELL
CAGIVA
DUCATI
HARLEY-DAVIDSON
HOA LÂM-KYMCO
HONDA
KAWASAKI
KTM
LIFAN
MOTO GUZZI
MV AGUSTA
PIAGGIO
SUZUKI
SYM
VESPA
VICTORY
YAMAHA
Chọn dòng xe
Kiểu dáng xe
Khác
Cruiser/Custom
Cruiser/Custour
Enduro/Offroad
MiniBike
Naked
Offroad
Scooter
Sport
Touring
Underbone/Moped
So sánh xe
Galery ảnh
Hỗ trợ trực tuyến
Hot line:
(043) 564 1287
Thời tiết
Tỷ giá
Sơn La
Việt Trì
Hải Phòng
Hà Nội
Vinh
Đà Nẵng
Nha Trang
Pleiku
TP HCM
Mây thay đổi
Đơn vị
Mua
Bán
USD
20,915.00
20,965.00
EUR
26,984.66
27,458.10
SJC
21,030,00
21,130,00
Ý kiến độc giả
Cùng nhau xây dựng MyCar.vn
Click here
Bộ đếm
Số người đang online:
259
Thành viên đang online:
29
Số lượt truy cập trong ngày:
5882
MyCar
® is The Trade Mark of Posinvest JSC
GP số: 216/GP- CBC do Bộ Thông Tin và Truyền Thông cấp ngày 13/05/2008
Trang chủ
Siêu thị xe MyCar
Siêu thị xe MyBike
Thế giới tin
Catalogue MyCar
Catalogue Mybike
Gallery ảnh
Clip MyCar
Bạn đọc viết
Liên hệ quảng cáo
ôtô
oto
xe hơi
xe hoi
xe may
xe máy
mua bán ô tô
mua bán xe máy
giá xe ô tô
giá xe máy
bán ô tô
bán xe máy
Kia forte
Hyundai Santa Fe
Toyota Venza
Toyota Camry LE
Toyota Camry
Toyota Corolla Altis
Daewoo Lacetti
Honda Civic
Chevrolet Captiva
Toyota Innova
Ung thu
Ung thư
Bệnh Ung thư
Ung thư
Ung thu
đau lưng cấp
dau lung cap
benh dau lung bang nam y
chữa bệnh đau lưng bằng nam y

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Set-Cookie: Main.LangCookieName=vi-VN; expires=Sun, 27-Sep-2116 06:58:28 GMT; path=/

Connection: close


text:
Thanh long có vị ngọt, chua, tính mát và công dụng giảm béo, làm mịn da rất hữu hiệu. Hãy thay đổi khẩu vị một chút với món thạch thanh long nhé!
>> Hè mát rượi với thạch trái cây
Nguyên liệu
- 12g bột thạch trắng (agar-agar)
- 100g đường
- 600ml nước
- 200ml nước cốt dừa
- 1 cốc thanh long xay nhuyễn (loại thanh long đỏ)
- 3 lá dứa
Thực hiện
1. Đổ nước, bột thạch và lá dứa vào nồi, đưa lên bếp đun sôi. Nấu cho tới khi bột thạch được hòa tan.
2. Vặn nhỏ lửa, thêm sữa dừa, đường và thanh long, khuấy đều, đun sôi và tắt bếp. Thêm đường nếu muốn ăn ngọt hơn.
3. Vớt lá dứa ra khỏi nồi, đổ hỗn hợp vào khay, để nguội và cho vào tủ lạnh ăn mát.
Kẹo Ngọt
Dựa trên quan điểm lấy độc giả làm trung tâm, chúng tôi mong rằng sẽ nhận được những góp ý của bạn về 2 tiêu chí:Thiết kế giao diện Trải nghiệm đọc tin

markdown:
Thanh long có vị ngọt, chua, tính mát và công dụng giảm béo, làm mịn da rất hữu hiệu. Hãy thay đổi khẩu vị một chút với món thạch thanh long nhé!
[>> Hè mát rượi với thạch trái cây]("/tin-tuc/an-choi-xem/2011/05/he-mat-ruoi-voi-thach-trai-cay-167660/") **Nguyên liệu**
- 12g bột thạch trắng (agar-agar)
- 100g đường
- 600ml nước
- 200ml nước cốt dừa
- 1 cốc thanh long xay nhuyễn (loại thanh long đỏ)
- 3 lá dứa
**Thực hiện**
1. Đổ nước, bột thạch và lá dứa vào nồi, đưa lên bếp đun sôi. Nấu cho tới khi bột thạch được hòa tan.
2. Vặn nhỏ lửa, thêm sữa dừa, đường và thanh long, khuấy đều, đun sôi và tắt bếp. Thêm đường nếu muốn ăn ngọt hơn.
3. Vớt lá dứa ra khỏi nồi, đổ hỗn hợp vào khay, để nguội và cho vào tủ lạnh ăn mát.
**Kẹo Ngọt**
Dựa trên quan điểm lấy độc giả làm trung tâm, chúng tôi mong rằng sẽ nhận được những góp ý của bạn về 2 tiêu chí:Thiết kế giao diện Trải nghiệm đọc tin

Set-Cookie: device_env=4; expires=Tue, 04-Oct-2016 06:58:53 GMT; path=/; domain=ngoisao.net

Content-Type: text/html


text:
Tối hôm nọ, mình nằm mơ thấy con chó màu nâu, lông rủ to bằng nửa con bò đuổi quanh. Sau đó mình đã cầm gạch đuổi đánh nó tới bời. Một lúc sau con chó hóa thành một con rô bốt với hai mắt sáng lè khạc lửa...
Mình cầm gạch đáp và nó vỡ tan nát. Bối cảnh vụ việc tại nhà bà ngoại ngày xưa....
Mình chia sẻ lên facebook, để mong các bạn face luận hộ. Nhưng không thành đành tra anh google... Anh ý cho lời giải như sau:
"_ Nằm mơ thấy chó vàng hay
nâu là điềm sẽ gặp món tiền đủ chop bạn ăn xài , tiêu pha 1 cách hả hê
trong 1 thời gian ngắn. Đang có áp phe sẽ thành tựu nhưng số tiền không
lớn lắm"
Mấy ngày trôi qua, nay nghĩ lại thấy hình như ông google đúng!
Hóa ra mơ thấy chó cắn lại không đáng sợ như mình nghĩ.

markdown:
![]()
Mình cầm gạch đáp và nó vỡ tan nát. Bối cảnh vụ việc tại nhà bà ngoại ngày xưa....
Mình chia sẻ lên facebook, để mong các bạn face luận hộ. Nhưng không thành đành tra anh google... Anh ý cho lời giải như sau:
*"_ Nằm mơ thấy chó vàng hay nâu là điềm sẽ gặp món tiền đủ chop bạn ăn xài , tiêu pha 1 cách hả hê trong 1 thời gian ngắn. Đang có áp phe sẽ thành tựu nhưng số tiền không lớn lắm"*
Mấy ngày trôi qua, nay nghĩ lại thấy hình như ông google đúng!
Hóa ra mơ thấy chó cắn lại không đáng sợ như mình nghĩ.
**

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Server: GSE

Cache-Control: private, max-age=0

X-Content-Type-Options: nosniff

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
- Đăng tin ưu tiên
-
Các dịch vụ ưu tiên trên Rồng Bay
-
Ưu đãi cho khách hàng thường xuyên
Sử dụng tài khoản chuyên nghiệp
-
Ðăng tin thu hút khách hàng
Cách viết tiêu đề thân thiện, lôi cuốn khách hàng
-
Rồng bay ra mắt ứng dụng mới cho Người đăng tinTừ App store Từ Google play
-
- Hỏi & đáp
- Hỗ trợ
- Mua quảng cáo
- Đăng ký
- Đăng nhập

markdown:
- Đăng tin ưu tiên
-
__Các dịch vụ ưu tiên trên Rồng Bay__
-
__Ưu đãi cho khách hàng thường xuyên__ [Sử dụng tài khoản chuyên nghiệp](http://rongbay.com/su-dung-tai-khoan-chuyen-nghiep.html)
-
__Ðăng tin thu hút khách hàng__ [Cách viết tiêu đề thân thiện, lôi cuốn khách hàng](http://rongbay.com/Cach-viet-tieu-de-than-thien-loi-cuon-khach-hang-fp39.html)
-
Rồng bay ra mắt ứng dụng mới cho Người đăng tin
[Từ App store](https://itunes.apple.com/us/app/rong-bay-cong-cu-quan-ly-tin/id1099691034?ls=1&mt=8) [Từ Google play](https://play.google.com/store/apps/details?id=vn.vccorp.rongbay)
-
[Hỏi & đáp](http://rongbay.com/faqs.html)
- Hỗ trợ
- Nếu bạn cần hỗ trợ, vui lòng liên hệ
-
Điện thoại : **(04) 73095555**(ext: 497 / 496 / 495) Hotline : **0936 194 226**(Dành cho cá nhân) **0926 863 922**(Dành cho doanh nghiệp) : [lienhe@rongbay.com](mailto:lienhe@rongbay.com) Skype : [cskh.rongbay](skype:cskh.rongbay?chat)
-
[Mua quảng cáo](http://rongbay.com/mua-quang-cao.html) [Đăng ký](javascript:void(0);) [Đăng nhập](javascript:void(0);)

Server: nginx

Set-Cookie: cityOtherRBName=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; Max-Age=0; path=/; domain=.rongbay.com

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0


text:
Tìm hiểu thêm về: tỉnh phú yên, phú yên, ubnd tỉnh phú yên, phú yên (hiện đang, ở phú yên (hiện, đến phú yên, hóa đến phú yên, phú yên về đề, đến phú yên về, phú yên đn, slna phú yên, slna phú yên đn, cầu tỉnh phú yên, phú yên và đà, phú yên và, định và phú yên, phú yên), quảng trị phú yên, ksnd tỉnh phú yên, tand tỉnh phú yên, tỉnh phú yên khánh, phú yên khánh, công tỉnh phú yên, hòa phú yên), bảo long phú yên, làng giày phú yên, giày phú yên, phú yên và gia, ngãi đến phú yên, và phú yên, mắt phú yên, phú yên đã, tỉnh phú yên đã, tỉnh đoàn phú yên, đoàn phú yên, (phú yên), đh phú yên, ở phú yên, tư pháp phú yên, pháp phú yên, thuế tỉnh phú yên, chi nhánh tân phú, nhánh tân phú, phú yên đến bình, từ phú yên đến, phú yên đến, ở tỉnh phú yên, phú yên đã phát, phú yên cho biết, tại phú yên,
- Home
- Chính trị - Xã hội
- Tin thế giới
- Công nghệ số
- Văn Hóa - Giải trí
- Giới trẻ
- Tình yêu giới tính
- Tuổi Teen
- Thể Thao
- Pháp Luật
- giao thông
- phái đẹp
- Ôtô - Xe máy
- Tâm sự bạn đọc
- Review sản phẩm
- Đời sống-Sức khỏe
- Giáo dục - Du học
- Khoa Học
- Chuyện lạ
- Vui cười - Thư giãn
- ẩm thực
- chat bán hàng trực tuyến
Vatgia.com | Sản phẩm | Rao vặt | Hỏi đáp, tư vấn tiêu dùng | Đánh giá (Review) | Mobile | PDA Phone | Máy tính laptop | Máy tính Desktop | Máy ảnh số
Travel diary italy | Premier Travel | Kim Haneuls Travel diary | Halong Bay | Carnaval HaLong 2008 | Kayak in HaLong Bay | Grand Hotel | Tokio Hotel | Luthan Hotel
Domain | Hosting | SQL Server | Web Server | Database Server | AIDS | Asia Economy | Antivirus 2009 | Laptop | Mad Money | Diet | Dell | Intel | Game | iPod
Travel diary italy | Premier Travel | Kim Haneuls Travel diary | Halong Bay | Carnaval HaLong 2008 | Kayak in HaLong Bay | Grand Hotel | Tokio Hotel | Luthan Hotel
Domain | Hosting | SQL Server | Web Server | Database Server | AIDS | Asia Economy | Antivirus 2009 | Laptop | Mad Money | Diet | Dell | Intel | Game | iPod
Website www.tin247.com được cập nhật tự động theo các báo điện tử chính thống, uy tín của Việt Nam ở trong và ngoài nước.
Chúng tôi không chịu trách nhiệm về nội dung thông tin, bài viết của các báo trên website này.
Chúng tôi không chịu trách nhiệm về nội dung thông tin, bài viết của các báo trên website này.
Tìm hiểu về nhánh viettel phú yên

markdown: **Tìm hiểu thêm về:** [tỉnh phú yên](/t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên](/ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [ubnd tỉnh phú yên](/ubnd+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên (hiện đang](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%28hi%E1%BB%87n+%C4%91ang.search), [ở phú yên (hiện](/%E1%BB%9F+ph%C3%BA+y%C3%AAn+%28hi%E1%BB%87n.search), [đến phú yên](/%C4%91%E1%BA%BFn+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [hóa đến phú yên](/h%C3%B3a+%C4%91%E1%BA%BFn+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên về đề](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+v%E1%BB%81+%C4%91%E1%BB%81.search), [đến phú yên về](/%C4%91%E1%BA%BFn+ph%C3%BA+y%C3%AAn+v%E1%BB%81.search), [phú yên đn](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91n.search), [slna phú yên](/slna+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [slna phú yên đn](/slna+ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91n.search), [cầu tỉnh phú yên](/c%E1%BA%A7u+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên và đà](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+v%C3%A0+%C4%91%C3%A0.search), [phú yên và](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+v%C3%A0.search), [định và phú yên](/%C4%91%E1%BB%8Bnh+v%C3%A0+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên)](/ph%C3%BA+y%C3%AAn%29.search), [quảng trị phú yên](/qu%E1%BA%A3ng+tr%E1%BB%8B+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [ksnd tỉnh phú yên](/ksnd+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [tand tỉnh phú yên](/tand+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [tỉnh phú yên khánh](/t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn+kh%C3%A1nh.search), [phú yên khánh](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+kh%C3%A1nh.search), [công tỉnh phú yên](/c%C3%B4ng+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [hòa phú yên)](/h%C3%B2a+ph%C3%BA+y%C3%AAn%29.search), [bảo long phú yên](/b%E1%BA%A3o+long+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [làng giày phú yên](/l%C3%A0ng+gi%C3%A0y+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [giày phú yên](/gi%C3%A0y+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên và gia](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+v%C3%A0+gia.search), [ngãi đến phú yên](/ng%C3%A3i+%C4%91%E1%BA%BFn+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [và phú yên](/v%C3%A0+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [mắt phú yên](/m%E1%BA%AFt+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên đã](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%C3%A3.search), [tỉnh phú yên đã](/t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%C3%A3.search), [tỉnh đoàn phú yên](/t%E1%BB%89nh+%C4%91o%C3%A0n+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [đoàn phú yên](/%C4%91o%C3%A0n+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [(phú yên)](/%28ph%C3%BA+y%C3%AAn%29.search), [đh phú yên](/%C4%91h+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [ở phú yên](/%E1%BB%9F+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [tư pháp phú yên](/t%C6%B0+ph%C3%A1p+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [pháp phú yên](/ph%C3%A1p+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [thuế tỉnh phú yên](/thu%E1%BA%BF+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [chi nhánh tân phú](/chi+nh%C3%A1nh+t%C3%A2n+ph%C3%BA.search), [nhánh tân phú](/nh%C3%A1nh+t%C3%A2n+ph%C3%BA.search), [phú yên đến bình](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%E1%BA%BFn+b%C3%ACnh.search), [từ phú yên đến](/t%E1%BB%AB+ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%E1%BA%BFn.search), [phú yên đến](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%E1%BA%BFn.search), [ở tỉnh phú yên](/%E1%BB%9F+t%E1%BB%89nh+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search), [phú yên đã phát](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+%C4%91%C3%A3+ph%C3%A1t.search), [phú yên cho biết](/ph%C3%BA+y%C3%AAn+cho+bi%E1%BA%BFt.search), [tại phú yên](/t%E1%BA%A1i+ph%C3%BA+y%C3%AAn.search),

Server: Apache/2.2.3 (CentOS)


text:
SAIIGON CMC có đội ngũ xe ben vận chuyển đá xây dựng : 15 tấn 50 chiếc, 5 tấn 20 chiếc, 3 tấn 30 chiếc, và đội ngũ nhân viên trên 100 người đáp ứng nhanh yêu cầu của quý khách hàng với giá cả hợp lý.
Thép hộp đen giá rẻ nhất thi trường miền Nam, Nhận cung cấp thép hộp đen đủ mọi loại quy cách và đơn hàng.Liên hệ để có báo giá thép hộp mới nhất 2015.
Kho thép hộp SaigonCMC luôn sẵn sàng đáp ứng được mọi nhu cầu của quý khách hàng.
Hệ thống kho bãi rộng và phân bố nhiều nơi, tạo sự thuận tiện cho việc vận chuyển và đáp ứng tốt nhu cầu khách hàng ở khắp mọi nơi trong khu vực miền Nam. Kho bãi chính: bãi Bình Điền, bãi Tân Nhật, bãi Cầu Xáng - Hóc Môn, bãi quận 9 - cầu xây dựng,
Báo giá thép hộp mạ kẽm giá rẻ nhất khu vực Miền Nam .Giá thép cung cấp luôn là giá được niêm yết tại nhà máy sản xuất, liên hệ 0974 733 999 báo giá ngay trong ngày.
Báo giá cung cấp tôn mạ kẽm trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh,Nhận cung cấp mọi đơn hàng.Giá tôn mạ kẽm là giá rẻ nhất thị trường.
Thị trường sắt thép Việt Nam trong thời điểm từ tháng 2.2014 đến tháng 3.2014
Sản lượng thép sản xuất ước đạt khoảng 320 ngàn tấn, giảm khoảng 40 ngàn tấn; sản lượng thép tiêu thụ ước đạt khoảng 300 ngàn tấn, giảm khoảng 20 ngàn tấn so với tháng 2/2015.
Việc đưa nhà máy tôn hoa sen Phú Mỹ vào hoạt động đánh dấu một bước phát triển mạnh của tập đoàn Hoa Sen , Đây là nhà máy sản xuất tôn mạ kẽm có công nghệ hiện đại bậc nhất Đông Nam Á.
Bảng quy chuẩn trọng lượng thép hộp vuông, chữ nhật hòa phát cập nhật từ nhà máy thép hòa phát.
Chuyên cung cấp cát san lấp giá cả cạnh tranh tại các quận thành phồ Hồ Chí Minh , danh sách các quận 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,11,12,Tân Bình, Bình Tân,Gò Vấp,Bình Thạnh.
Năm 2014 dù phải đối mặt với nhiều khó khăn nhưng với sự nỗ lực của doanh nghiệp cùng sự hỗ trợ tích cực từ cơ chế, chính sách, ngành thép đã tăng trưởng khá với mức tăng khoảng 12%.
Thị trường tôn thép Việt Nam
Vấn nạn tôn, thép giả đang khiến doanh nghiệp làm ăn chân chính, người tiêu dùng cũng như cả nền kinh tế thiệt hại hàng nghìn tỷ đồng mỗi năm, nhưng trách nhiệm thuộc về ai thì xem ra vẫn chưa có câu trả lời thoả đáng.
Thị trường thép Mỹ trầm lắng trong tháng 4/2015, giá xuất xưởng thép dây cán nóng tại Mỹ giảm 10 USD/tấn ngắn (1 tấn ngắn = 907,18474 kg) còn khoảng 610 -630 USD/tấn ngắn do nhu cầu chậm lại.
Hiệp hội Thép VN (VSA) cho biết giá bán thép của các doanh nghiệp giữa hai miền Nam - Bắc đang có mức chênh lệch khá lớn, dẫn đến biến động trái chiều thời gian qua.
Nhiều nhà máy thép đã ngừng sản xuất hoặc sản xuất cầm chừng từ hơn một năm qua bởi cung vượt xa cầu. Không dừng lại ở đó, áp lực đối với doanh nghiệp (DN) thép còn lớn hơn trước khả năng thép nhập khẩu từ Nga được hưởng thuế suất 0%.
NHÀ CUNG CẤP VẬT LIỆU XÂY DỰNG HOÀN THIỆN SAIGONCMC
Báo giá cát xây tô , cát bê tông sàng , cát bê tông vàng giá rẻ tại hồ chí minh
Báo giá cát san lấp tháng 9 năm 2016,cát san lấp giá rẻ quận 9
Báo giá cát xây dựng , cát san lấp , cát xây tô , đá 1x2, đá 0x4 mới nhất
BÁO GIÁ CÁT SAN LẤP THÁNG 9 NĂM 2015
Báo giá tôn mạ màu
Báo giá tôn kẽm
Báo giá tôn lạnh
Báo giá tôn cách nhiệt
Báo giá thép hộp mạ kẽm
Báo giá thép hộp đen
Tìm kiếm theo từ khóa : giasatthepvietnhat | giasattheppomina | baogiasatthep | giacatxaydung | giadaxaydung | catxaydung | catsanlap | giagachxaydung |

Set-Cookie: _lb_bw=bw01; path=/


text:
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
Chia sẻ: Danh Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19
lượt xem 25
download
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng và đại học sư phạm Nhà xuất bản giáo dục nhà xuất bản đại học sư phạm
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: [Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
- Bộ giáo dục và đào tạo Dự án phát triển giáo viên tiểu học Trần Diên Hiển (Chủ biên) – Bùi Huy Hiền Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng và đại học sư phạm Nhà xuất bản giáo dục nhà xuất bản đại học sư phạm
- c¸c tËp hîp sè Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc Ngô trần áI Giám đốc đinh ngọc bảo Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập nguyễn quý thao Tổng biên tập Lê a Biên tập nội dung: Lê văn tuấn Thiết kế sách và Biên tập mĩ thuật: Phạm Việt Quang Trình bày bìa: Phạm Việt Quang 371 (v) 167/110-05 Mã số: GD - 05 2
- c¸c tËp hîp sè Mục lục Trang Lời nói đầu .............................................................................................................................5 Chủ đề 1. Cấu trúc đại số ........................................................................................ 7 (Biên soạn: TS. Bùi Huy Hiền) Tiểu chủ đề 1.1. Phép toán hai ngôi ........................................................................................9 Tiểu chủ đề 1.2. Nửa nhóm và nhóm ....................................................................................19 Tiểu chủ đề 1.3. Vành và trường ...........................................................................................36 Th«ng tin ph¶n håi cho chñ ®Ò 1 ............................ 45 Chủ đề 2. Số tự nhiên ............................................................................................ 55 (Biên soạn: TS. Bùi Huy Hiền – PGS. TS. Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 2.1. Bản số của tập hợp.....................................................................................57 Tiểu chủ đề 2.2. Số tự nhiên .................................................................................................65 Tiểu chủ đề 2.3. Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên ................................................73 Tiểu chủ đề 2.4. Hệ ghi số .....................................................................................................87 Tiểu chủ đề 2.5. Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học...................................................................................................99 Thông tin phản hồi cho chủ đề 2 .........................................................................................103 Chủ đề 3. Tập số hữu tỉ và tập số thực .............................................................. 113 (Biên soạn: PGS. TS. Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 3.1. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm.............................................................114 Tiểu chủ đề 3.2. Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm ..........................................120 Tiểu chủ đề 3.3. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm ..........................................129 Tiểu chủ đề 3.4. Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học.................................................................................................133 Tiểu chủ đề 3.5. Tập số thập phân không âm .....................................................................142 Tiểu chủ đề 3.6. Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học ..........................152 Tiểu chủ đề 3.7. Tập số hữu tỉ .............................................................................................164 Tiểu chủ đề 3.8. Tập số thực ...............................................................................................171 Th«ng tin ph¶n håi cho chñ ®Ò 3.................................. 175 Tài liệu tham khảo .................................................. 178 3
- c¸c tËp hîp sè 4
- c¸c tËp hîp sè Lời nói ••u Đ ể góp phần đổi mới công tác đào tạo và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự án Phát triển giáo viên tiểu học đã tổ chức biên soạn các môđun đào tạo theo chương trình Cao đẳng Sư phạm và chương trình liên thông từ Trung học Sư phạm lên Cao đẳng Sư phạm. Biên soạn các môđun nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật những đổi mới về nội dung, phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục tiểu học theo chương trình, sách giáo khoa tiểu học mới. Điểm mới của tài liệu viết theo môđun là thiết kế các hoạt động, nhằm tích cực hoá hoạt động của người học, kích thích óc sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả học tập của người học; chú trọng sử dụng nhiều phương tiện truyền đạt khác nhau (tài liệu in, băng hình,...) giúp cho người học dễ học, dễ hiểu và gây được hứng thú học tập. Môđun Các tập hợp số do nhóm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội biên soạn. Môđun Các tập hợp số có thời lượng bằng bốn đơn vị học trình, bao gồm 3 chủ đề: Chủ đề 1: Cấu trúc đại số Chủ đề 2: Số tự nhiên Chủ đề 3: Tập số hữu tỉ và tập số thực Lần đầu tiên, tài liệu được biên soạn theo chương trình và phương pháp mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban điều phối Dự án rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên các trường Sư phạm, giáo viên Tiểu học trong cả nước. Xin trân trọng cảm ơn! DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC 5
- c¸c tËp hîp sè CHỦ ĐỀ 1 Cấu trúc đại số Mục tiêu A. Kiến thức – Giúp cho người học nắm vững được những cấu trúc đại số cơ bản đó là cấu trúc nửa nhóm, nhóm, vành và trường. – Trên cơ sở nắm vững những cấu trúc trên, tiến tới hình thành những ý tưởng mới để tiếp cận với toán học hiện đại và để biết các cấu trúc của các tập hợp số ở Tiểu học. – Giúp người học thấy được sự phát triển không ngừng của toán học theo đúng quy luật phát triển là từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng vận dụng vào thực tế. B. Kĩ năng – Kiểm tra được một "phép toán" đã cho có là một phép toán hai ngôi không. – Kiểm tra được một tập hợp với các phép toán có là nửa nhóm, nhóm, vành, trường hay không. – Ki ể m tra đ ượ c mộ t t ậ p đ ã cho có là n ử a nhóm con, nhóm con, vành con, tr ườ ng con hay không. – Kiểm tra được một ánh xạ đã cho có là đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu hay không. – Kiểm tra được hai nhóm, vành, trường có đẳng cấu với nhau hay không. C. Thái độ – Cần nắm vững được các định nghĩa chính xác của khái niệm. – Có liên hệ với thực tế chương trình Toán ở Tiểu học. D. Giới thiệu chủ đề 1 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Phép toán hai ngôi 9 2 Nửa nhóm và nhóm 19 3 Vành và trường 36 Mối quan hệ giữa các tiểu chủ đề trong toàn bộ chủ đề: 6
- c¸c tËp hîp sè + Tiểu chủ đề 1: Là phần chuẩn bị các kiến thức về các phép toán hai ngôi và những tính chất của chúng, dùng để xây dựng các cấu trúc đại số ở tiểu chủ đề 2 và 3. + Tiểu chủ đề 2: Giới thiệu hai cấu trúc đại số cơ bản nhất đó là nửa nhóm và nhóm, trong đó một tập hợp được trang bị một phép toán hai ngôi. + Tiểu chủ đề 3: Xây dựng cấu trúc đại số một tập hợp có trang bị hai phép toán hai ngôi. Những cấu trúc đại số này đặc biệt hơn so với cấu trúc đại số ở tiểu chủ đề 2. Cả hai tiểu chủ đề 2 và 3 có sự gắn kết chặt chẽ với nhau, có dàn bài giống nhau nên người đọc dễ theo dõi. 7
- c¸c tËp hîp sè Tiểu chủ đề 1.1. Phép toán hai ngôi Thông tin cơ bản 1.1.1. Nhắc lại về khái niệm ánh xạ 1.1.1.1. Định nghĩa f Cho hai tập hợp X và Y. Một ánh xạ từ X đến Y, kí hiệu là f: X → Y hoặc X ⎯ ⎯→ Y , là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một phần tử duy nhất y ∈ Y. Phần tử y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và kí hiệu là y = f(x). Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay tập xác định của f; tập Y được gọi là tập đích của f. Chú ý. Nhiều khi để chỉ rõ quy tắc của ánh xạ f từ X đến Y ta còn dùng kí hiệu sau đây: f: X → Y xa f(x). xa f(x) chỉ rõ quy tắc cho biết ảnh của mỗi phần tử x qua ánh xạ f là như thế nào. Cho f và g là hai ánh xạ từ tập X đến tập Y. Ta nói rằng ánh xạ f bằng ánh xạ g, kí hiệu là f = g, nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X thì f(x) = g(x). Ví dụ 1.1: Nhiều hàm số mà ta gặp trong chương trình toán phổ thông là những ánh xạ từ tập con của tập các số thực R đến R. Chẳng hạn: – Cho a, b là hai số thực bất kì, a ≠ 0. Tương quan hàm số bậc nhất y = ax + b là một ánh xạ từ R đến R. Nú đặt tương ứng mỗi x ∈ R s? y = ax + b ∈ R. f: R → R xa f(x) = ax + b. – Tương tự ta có các ánh xạ sau: g: R → R g(x) = x2 + 2x + 2. xa h: R → R 10x. xa l: R+ → R, R+ là tập các số thực dương. xa lgx. 1.1.1.2. ảnh và tạo ảnh Cho f: X → Y là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. A là một tập con của X và B là một tập con của Y. Tập f(A) = {y ∈ Y | ∃a ∈ A, f (a) = y} được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. 8
- c¸c tËp hîp sè Tập f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là tạo ảnh của tập B qua ánh xạ f. 1.1.1.3. ánh xạ mở rộng, ánh xạ thu hẹp Cho f: X → Y là một ánh xạ từ X đến Y và A là một tập con của X, khi đó ta có ánh xạ g: A → Y được xác định bởi ∀a ∈ A, g(a) = f(a). g được gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên tập A, kí hiệu là g = f A ; f cũng được gọi là ánh xạ mở rộng của g. Nếu B là một tập con của Y sao cho với mọi a ∈ A, f(a) ∈ B thì ta có ánh xạ f : A → B được xác định bởi ∀a ∈ A, f (a) = f(a) ∈ B. f được gọi là ánh xạ cảm sinh của ánh xạ f bằng cách thu hẹp nguồn trên A và đích trên B. Ví dụ 1.2: Cho f: R → R x a x2 + 2x + 2 Z là tập các số nguyên, khi đó ta có ánh xạ thu hẹp của f trên Z là: f Z: Z → R x2 + 2x + 2. xa và ta cũng có một ánh xạ cảm sinh của f: f : Z → Q, Q là tập các số hữu tỉ. x2 + 2x + 2. xa 1.1.1.4. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh Định nghĩa 1.1. Cho f là một ánh xạ từ một tập X đến một tập Y. – f được gọi là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mọi x1, x2 thuộc X, f(x1) = f(x2) kéo theo x1 = x2. – f được gọi là một toàn ánh nếu và chỉ nếu f(X) = Y, tức là với mọi y ∈ Y tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. – Nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh thì f được gọi là một song ánh. Nếu f là một song ánh từ X đến Y thì f có một ánh xạ ngược từ Y đến X được xác định bởi: f–1: Y → X ya x với y = f(x). 1.1.1.5. Hợp thành của hai ánh xạ Định nghĩa 1.2. Cho f là một ánh xạ từ X đến Y và g là một ánh xạ từ Y đến Z. Khi đó ta có ánh xạ h từ X đến Z được xác định bởi quy tắc ∀x ∈ X, h(x) = g(f(x)). h được gọi là hợp thành của f và g; kí hiệu là h = gf hoặc h = g.f (h còn được gọi là tích của hai ánh xạ f và g). Định lí 1.1. Cho hai ánh xạ f: X → Y; g: Y → Z. 9
- c¸c tËp hîp sè (i) Nếu f và g là hai đơn ánh thì gf là một đơn ánh; (ii) Nếu f và g là hai toàn ánh thì gf là một toàn ánh; (iii) Nếu f và g là hai song ánh thì gf là một song ánh. Định lí 1.2. Cho ba ánh xạ f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → W khi đó (hg)f = h(gf). 1.1.1.6. Tích Descartes của hai tập hợp Cho X và Y là hai tập hợp. Tập hợp tất cả các cặp (x; y) trong đó x ∈ X, y ∈ Y được gọi là tích Descartes của X và Y, kí hiệu là X × Y. Chú ý rằng hai cặp (x; y) và (x'; y') bằng nhau khi và chỉ khi x = x' và y = y'. Ví dụ 1.3: 1) Tập các điểm trong mặt phẳng tọa độ Descartes là tích Descartes của tập các số thực R và R. 2) Cho Z là tập các số nguyên, Z × Z = {(a; b) | a ∈ Z, b ∈ Z}. T?p Z × Z cú th? coi là tập các điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng tọa độ Descartes. 1.1.2. Phép toán hai ngôi 1.1.2.1. Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb. Phần tử aTb ∈ X được gọi là cái hợp thành hay còn được gọi là kết quả của phép toán T thực hiện trên hai phần tử a và b. Như vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập hợp X là một quy tắc đặt tương ứng mỗi cặp phần tử (a; b) thuộc X × X một phần tử xác định duy nhất aTb thuộc X. Ví dụ 1.4: 1) Phép cộng thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên, tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỉ và tập R các số thực. 2) Phép nhân thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên,… 3) Cho tập N* các số tự nhiên khác 0. ánh xạ *: N* × N* → N* (a; b) a a * b = ab là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0. 4) Cho tập Z các số nguyên, phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z, vì ta có ánh xạ T: Z × Z → Z (a; b) a a – b. 10
- c¸c tËp hîp sè Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N, vì ta có 3 và 5 thuộc N nhưng 3 – 5 ∉ N. 5) Cho X là một tập và P(X) là tập các tập con của X. Các phép toán hợp, giao và hiệu của hai tập hợp đều là những phép toán hai ngôi trên tập P(X). Cụ thể, A và B là hai tập con của X thì A ∪ B cũng là tập con của X, do đó nó thuộc P(X), tức là ta có ánh xạ: ∪: P(X) × P(X) → P(X) A ∪ B. (A; B) a Tương tự, ta có các ánh xạ: ∩: P(X) × P(X) → P(X) a A∩B (A; B) và \: P(X) × P(X) → P(X) (A; B) A \ B. a 6) Cho tập hợp X và Hom(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến chính nó. Phép lấy hợp thành hai ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên tập Hom(X, X). Thật vậy, vì với hai ánh xạ f, g bất kì từ X đến X, hợp thành fg cũng là một ánh xạ từ X đến X. Nên ta có ánh xạ: Hom(X, X) × Hom(X, X) → Hom(X, X) (f; g) fg a 7) Cho tập X = {0, 1, 2} ta có phép toán hai ngôi xác định trên X như sau: T: X × X → X (a; b) a r trong đó r là dư của phép chia a + b cho 3. Có thể mô tả phép toán T trong bảng sau: T 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 1.1.2.2. Tính chất thường gặp của phép toán hai ngôi Định nghĩa 1.3. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu với mọi a, b thuộc X, aTb = bTa. Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 7) trong ví dụ 1.4 là những phép toán có tính chất giao hoán. 11
- c¸c tËp hîp sè Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất giao hoán; ví dụ 6) không có tính chất giao hoán nếu tập X có nhiều hơn 1 phần tử. Định nghĩa 1.4. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu với mọi a, b, c thuộc X, (aTb)Tc = aT(bTc). Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 6) và 7) đều có tính chất kết hợp. Các phép toán trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất kết hợp. 1.1.2.3. Những phần tử đặc biệt Định nghĩa 1.5. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phần tử e ∈ X được gọi là phần tử trung lập đối với phép toán T nếu và chỉ nếu với mọi a thuộc X, eTa = aTe = a. Định lí 1.3. Nếu trong tập X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì phần tử trung lập đó là duy nhất. Chứng minh: Giả sử e và e' là hai phần tử trung lập đối với phép toán T. Ta có eTe' = e' vì e là phần tử trung lập và eTe' = e vì e' là phần tử trung lập. Từ đó suy ra e = e'. Ví dụ 1.5: 1) Số 0 là phần tử trung lập đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 2) Số 1 là phần tử trung lập đối với phép nhân thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép nhân thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 3) Tập rỗng ( ∅ ) là phần tử trung lập đối với phép lấy hợp các tập hợp (∪) trên tập P(X). 4) Tập X là phần tử trung lập đối với phép toán giao (∩) trên tập P(X). 5) ánh xạ đồng nhất idx: X → X xa x là phần tử trung lập đối với phép hợp thành các ánh xạ trên tập Hom(X, X). Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và e là phần tử trung lập của X đối với phép toán T; a ∈ X. Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử đối xứng của a đối với phép toán T nếu bTa = aTb = e. 12
- c¸c tËp hîp sè Định lí 1.4. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập là e. Nếu b và b' là hai phần tử đối xứng của a thì b' = b. Chứng minh: Giả sử phần tử a ∈ X có hai phần tử đối xứng là b và b', khi đó ta có aTb' = e và bTa = e. Do T có tính chất kết hợp nên ta có (bTa)Tb' = bT(aTb'). Suy ra eTb' = bTe hay b' = b. Ví dụ 1.6: 1) Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 là có phần tử đối xứng và phần tử đối xứng của 0 là 0. 2) Một cách tổng quát: Nếu e ∈ X là phần tử trung lập đối với phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó. 3) Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi số nguyên a có phần tử đối xứng là – a ∈ Z. 4) Đối với phép nhân các số nguyên chỉ có 1 và –1 là hai phần tử có đối xứng trong Z. (Đối xứng của 1 là 1, đối xứng của –1 là –1). 5) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi số hữu tỉ q ∈ Q khác 0 đều có phần tử đối xứng là 1 ∈ Q. q 6) Đối với phép nhân ánh xạ trong tập Hom(X, X), mỗi song ánh f: X → X đều có phần tử đối xứng là f–1: X → X (ánh xạ ngược của f). Chú ý. Trong thực tế, hai phép toán hai ngôi thường gặp hơn cả là phép cộng (+) và phép nhân ( × ). – Đối với phép cộng (+): Giả sử + là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a + b được gọi là tổng của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử không và kí hiệu là 0. Nếu phép cộng có tính chất kết hợp và phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng là b, khi đó b được xác định duy nhất, được gọi là phần tử đối của a và kí hiệu là – a. – Đối với phép nhân (×): Giả sử × là một phép toán hai ngôi trên tập X, khi đó cái hợp thành a × b (còn được viết là ab hoặc a.b) được gọi là tích của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử đơn vị và kí hiệu là e (hoặc 1 nếu không có sự nhầm lẫn với các số). Nếu phép nhân có tính chất kết hợp và phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng là b, thì b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a, kí hiệu là b = a–1. 1.1.2.4. Phép toán cảm sinh Định nghĩa 1.7. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con khác rỗng của X. A được gọi là một tập con ổn định đối với phép toán T nếu với mọi a, b thuộc A, cái hợp thành aTb thuộc A. Tức là: 13
- c¸c tËp hîp sè (∀a)(∀b) [a, b ∈ A ⇒ aTb ∈ A]. Ví dụ 1.7: 1) Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép cộng. 2) Tập các số tự nhiên N là tập con ổn định của tập các số nguyên Z đối với phép cộng và đối với phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ. 3) Tập các số nguyên mà là bội của số nguyên m cho trước là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và đối với phép nhân. 4) Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên nhưng nó không ổn định đối với phép cộng các số nguyên. 5) Tập S(X) các song ánh từ X đến X là tập con ổn định của Hom(X, X) đối với phép nhân ánh xạ. Định nghĩa 1.8. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và A là một tập con ổn định đối với phép toán T của X. Khi đó ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb cảm sinh ánh xạ T': A × A → A (a; b) a aTb Đó là một phép toán hai ngôi trên tập A và được gọi là phép toán cảm sinh của phép toán T trên tập hợp A. Ví dụ 1.8: 1) Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự nhiên. 2) Phép cộng các số nguyên cảm sinh ra phép cộng các số nguyên mà là bội của một số nguyên m cho trước. 3) Cho S(X) là tập các song ánh từ X đến X, phép hợp thành các song ánh trên tập S(X) là phép toán cảm sinh của phép hợp thành các ánh xạ trên Hom(X, X). hoạt động. Tìm hiểu định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh; định nghĩa và các tính chất của phép toán hai ngôi. 14
- c¸c tËp hîp sè Nhiệm vụ Sinh viên đọc thông tin nguồn tài liệu tham khảo để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Nhiệm vụ 1: Định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Nhiệm vụ 2: Định nghĩa phép toán hai ngôi bằng ngôn ngữ ánh xạ, thấy được ý nghĩa khái quát của định nghĩa này. Đây là định nghĩa được khái quát hóa từ rất nhiều phép toán hai ngôi cụ thể. Nhiệm vụ 3: Nờu những tính chất thường gặp của phép toán hai ngôi. Xây dựng ví dụ minh họa. Nhiệm vụ 4: Nêu định nghĩa các phần tử đặc biệt của phép toán hai ngôi. Xây dựng ví dụ minh họa. Nhiệm vụ 5: é?nh nghia phép toán cảm sinh của một phép toán hai ngôi. Cho vớ d? minh họa. Đánh giá Hãy trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh. 2. Định nghĩa phép toán hai ngôi trên một tập hợp. 3. Định nghĩa phần tử trung lập đối với một phép toán hai ngôi, phần tử đối xứng của một phần tử trong một tập có phép toán hai ngôi. 4. Nêu những tính chất thường gặp của một phép toán hai ngôi. 5. Trong môn Toán giảng dạy ở trường tiểu học ta gặp những phép toán hai ngôi nào? Chúng có những tính chất gì? 6. Những phép toán nào ta dạy cho học sinh tiểu học không phải là phép toán hai ngôi? Hãy giải các bài tập sau đây: 1. Cho N là tập các số tự nhiên, Z là tập các số nguyên, Q là tập các số hữu tỉ, Q+ là tập các số hữu tỉ dương. a) Phép toán nào trong bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia là phép toán hai ngôi trên mỗi tập số kể trên. 15
- c¸c tËp hîp sè b) Trong trường hợp là phép toán hai ngôi, hãy cho biết tính chất và các phần tử đặc biệt của các phép toán đó. 2. Cho tập hợp X = {0, 1, 2}. Phép toán ⊕ được cho bởi bảng sau: ⊕ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Hãy cho biết các tính chất của phép toán ⊕ và chỉ ra các phần tử đặc biệt nếu có. 3. Cho tập hợp Y = {a, b, c}. Phép toán * được cho bởi bảng sau: * a b c a a a a b b b b c c c c Hãy cho biết các tính chất của phép toán * và chỉ ra các phần tử đặc biệt nếu có. 4. Cho N* là tập các số tự nhiên khác 0, phép toán T được xác định như sau: T: N* × N* → N* (a; b) a ab. Phép toán T có tính chất giao hoán, kết hợp hay không? Trong N* có phần tử trung lập hay không? 5. Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là những phép toán hai ngôi. Hãy chỉ ra các tính chất của mỗi phép toán đó. a) x ∗ y = x + y + xy với mọi x, y thuộc R; b) m ⊗ n = m + 2n với mọi m, n thuộc N; c) a ⊕ b = a + b – ba với mọi a, b thuộc Q \ {1}. 6. Cho A là tập các số nguyên chẵn, B là tập các số nguyên lẻ. Các tập nào trong hai tập trên ổn định đối với các phép toán sau: a) Phép cộng các số nguyên b) Phép nhân các số nguyên. 7. Chứng minh rằng tập các số nguyên là bội của số nguyên tố m cho trước ổn định đối với phép cộng và phép nhân các số nguyên. 8. Các tập hợp sau đây, tập hợp nào ổn định đối với phép cộng các phân số. a) A = {–1, 1} 16
- c¸c tËp hîp sè ⎧a ⎫ b) B = ⎨ a , b ∈ Z , a lµ sè lÎ , b ≠ 0 ⎬ ⎩b ⎭ ⎧a ⎫ a lµ ph© sè thË ph© ⎬ p n c) C = ⎨ n ⎩b b ⎭ 9. Cũng câu hỏi như bài 8, nhưng thay phép cộng bằng phép nhân các phân số. 17
- c¸c tËp hîp sè TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. Nửa nhóm và nhóm Thông tin Cơ bản 1.2.1. Nửa nhóm 1.2.1.1. Định nghĩa Ta gọi là nửa nhóm một tập khác rỗng X cùng với phép toán hai ngôi T trên X có tính chất kết hợp. Nếu trong nửa nhóm X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì X được gọi là một vị nhóm. Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nửa nhóm X được gọi là một nửa nhóm giao hoán. Như vậy, một nửa nhóm là một cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp trên đó có một phép toán hai ngôi T thoả mãn tiên đề: ∀a, b, c ∈T, (aTb)Tc = aT(bTc). Để chỉ một nửa nhóm ta viết (X, T) trong đó X là tập nền của cấu trúc này, T là kí hiệu của phép toán hai ngôi. Trong nhiều trường hợp, nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết X thay cho (X, T). Ví dụ 2.1: 1) Tập các số tự nhiên N với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là 0. Nó được gọi là vị nhóm cộng các số tự nhiên. 2) Vị nhóm cộng các số nguyên (Z, +) trong đó Z là tập các số nguyên, + là phép cộng thông thường các số. Đó là một vị nhóm giao hoán. 3) Vị nhóm nhân các số tự nhiên (N, . ). 4) Vị nhóm nhân các số nguyên (Z, . ). 5) Hom(X, X) tập các ánh xạ từ tập X đến chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một vị nhóm (Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì vị nhóm này không giao hoán). Nhận xét. Nếu (X, T) là một nửa nhóm thì với mọi a, b, c thuộc X ta có (aTb)Tc = aT(bTc). Khi đó ta viết phần tử này là aTbTc và gọi nó là "cái hợp thành" của ba phần tử a, b, c trong nửa nhóm (X, T). Bằng quy nạp ta định nghĩa tổng (tích) của n phần tử (n ≥ 3) của nửa nhóm cộng (X, +) (nửa nhóm nhân (X, . )) như sau: Định nghĩa 2.1. Cho (X, +) là một nửa nhóm, a1, a2, ..., an là n phần tử của X (n ≥ 3). Tổng của các n ∑a phần tử a1, a2, ... an kí hiệu là a1 + a2 + ... + an hoặc được định nghĩa quy nạp theo n như sau: i i =1 a1 + a2 + ... + an = (a1 + a2 +... + an–1) + an hay n −1 n ∑a ∑a = + an. i i i =1 i =1 18
- c¸c tËp hîp sè n ∑a Nếu a1 = a2 = . . . = an = a thì viết là na và được gọi là bội n của phần tử a. i i =1 Định nghĩa 2.2. Cho (X, . ) là một nửa nhóm nhân, a1, a2, . . . , an là n phần tử của X (n ≥ 3). Tích n ∏a của các phần tử a1, a2, . . . , an kí hiệu là a1a2. . . an hay được định nghĩa quy nạp theo n như i i =1 sau: a1a2. . . an = (a1a2. . . an–1)an hay n = ⎛∏ai ⎞ an. n−1 ∏a ⎜ ⎟ i ⎝ i =1 ⎠ i =1 n ∏a Nếu a1 = a2 = . . . = an = a thì viết là an và được gọi là luỹ thừa bậc n của phần tử a. i i =1 1.2.1.2. Tính chất Định lí 2.1. Cho (X, . ) là một nửa nhóm nhân. a1, a2, . . . an (n ≥ 3) là n phần tử của X. Khi đó với mọi số tự nhiên m, 1≤ m < n ta có: n m n ∏ ai =∏ ai . ∏a j i =1 i =1 j = m +1 Chứng minh: Với n = 3 ta có a1a2a3 = (a1a2)a3 = a1(a2a3) vậy công thức này đúng với n = 3. Giả sử công thức này đúng với n = k (k ≥ 3) tức là với k phần tử a1, a2, . . . , ak thuộc X ta có ⎛ ⎞ ∏ a = ⎛∏a ⎞ ⎜ ∏a ⎟ m k k với mọi m, 1 ≤ m < k. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ⎝ j= m +1 ⎠ i j i =1 i =1 Ta cần chứng minh công thức này đúng với n = k + 1. Thật vậy với k + 1 phần tử a1, a2, . . ., ak+1 thuộc X và 1 ≤ m < k + 1 ta có: ⎛k ⎞ ⎛m ⎞ k +1 ∏a = ⎜ ∏ a i ⎟ .a k +1 = ⎜ ∏ a i ⎟ .a m +1 . – Khi m = k thì theo định nghĩa i ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎛m ⎞ k +1 k k ∏ a = ∏ a .a = ⎜ ∏ a i . ∏ a i ⎟ a k +1 – Khi m < k thì k +1 i i ⎝ i =1 i = m +1 ⎠ i =1 i =1 ⎛⎛ ⎞m ⎞ k +1 m k = ∏ a i ⎜ ⎜ ∏ a j ⎟ .a k +1 ⎟ = ∏ a i . ∏ a j . ⎜ j= m +1 ⎟ i =1 j= m +1 ⎝⎝ ⎠ ⎠ i =1 Chú ý. Nếu (X, +) là một nửa nhóm cộng thì ta có công thức sau: 19
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Toán học cao cấp (tập 1) - NXB Giáo dục
270 p | 1122 | 457
-
Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng
37 p | 421 | 230
-
Toán cao cấp C1 - Tập hợp
19 p | 855 | 213
-
Ebook Toán học cao cấp - Tập 3: Phép tích giải tích nhiều biến số - Chủ biên: Nguyễn Đình Trí
276 p | 417 | 172
-
Giáo trình Toán học cao cấp: Tập 1 - Nguyễn Đình Trí (chủ biên)
273 p | 225 | 121
-
Giáo trình các tập hợp số
50 p | 159 | 65
-
Ebook Giải tích Toán học các ví dụ và các bài toán (Phần 1-Tập 2)
427 p | 110 | 60
-
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh phần 2
10 p | 100 | 24
-
Giáo trình các tập hợp số part 2
5 p | 73 | 22
-
Giáo trình các tập hợp số part 3
5 p | 66 | 22
-
Giáo trình các tập hợp số part 1
5 p | 80 | 18
-
Giáo trình các tập hợp số part 4
5 p | 52 | 17
-
Giáo trình các tập hợp số part 8
5 p | 35 | 14
-
Giáo trình các tập hợp số part 9
5 p | 47 | 13
-
Giáo trình các tập hợp số part 5
5 p | 48 | 13
-
Giáo trình các tập hợp số part 6
5 p | 54 | 12
-
Giáo trình các tập hợp số part 10
5 p | 41 | 11
-
Giáo trình các tập hợp số part 7
5 p | 53 | 11

markdown:
# [Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
Chia sẻ: Danh Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19
lượt xem 25
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2011/20110627/cabongkhoto/80x100/15598_thuvienso_info00001_3148.jpg)
##
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng và đại học sư phạm Nhà xuất bản giáo dục nhà xuất bản đại học sư phạm
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: [Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 1
- Bộ giáo dục và đào tạo Dự án phát triển giáo viên tiểu học Trần Diên Hiển (Chủ biên) – Bùi Huy Hiền Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng và đại học sư phạm Nhà xuất bản giáo dục nhà xuất bản đại học sư phạm
- c¸c tËp hîp sè Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc Ngô trần áI Giám đốc đinh ngọc bảo Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập nguyễn quý thao Tổng biên tập Lê a Biên tập nội dung: Lê văn tuấn Thiết kế sách và Biên tập mĩ thuật: Phạm Việt Quang Trình bày bìa: Phạm Việt Quang 371 (v) 167/110-05 Mã số: GD - 05 2
- c¸c tËp hîp sè Mục lục Trang Lời nói đầu .............................................................................................................................5 Chủ đề 1. Cấu trúc đại số ........................................................................................ 7 (Biên soạn: TS. Bùi Huy Hiền) Tiểu chủ đề 1.1. Phép toán hai ngôi ........................................................................................9 Tiểu chủ đề 1.2. Nửa nhóm và nhóm ....................................................................................19 Tiểu chủ đề 1.3. Vành và trường ...........................................................................................36 Th«ng tin ph¶n håi cho chñ ®Ò 1 ............................ 45 Chủ đề 2. Số tự nhiên ............................................................................................ 55 (Biên soạn: TS. Bùi Huy Hiền – PGS. TS. Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 2.1. Bản số của tập hợp.....................................................................................57 Tiểu chủ đề 2.2. Số tự nhiên .................................................................................................65 Tiểu chủ đề 2.3. Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên ................................................73 Tiểu chủ đề 2.4. Hệ ghi số .....................................................................................................87 Tiểu chủ đề 2.5. Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học...................................................................................................99 Thông tin phản hồi cho chủ đề 2 .........................................................................................103 Chủ đề 3. Tập số hữu tỉ và tập số thực .............................................................. 113 (Biên soạn: PGS. TS. Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 3.1. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm.............................................................114 Tiểu chủ đề 3.2. Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm ..........................................120 Tiểu chủ đề 3.3. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm ..........................................129 Tiểu chủ đề 3.4. Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học.................................................................................................133 Tiểu chủ đề 3.5. Tập số thập phân không âm .....................................................................142 Tiểu chủ đề 3.6. Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học ..........................152 Tiểu chủ đề 3.7. Tập số hữu tỉ .............................................................................................164 Tiểu chủ đề 3.8. Tập số thực ...............................................................................................171 Th«ng tin ph¶n håi cho chñ ®Ò 3.................................. 175 Tài liệu tham khảo .................................................. 178 3
- c¸c tËp hîp sè 4
- c¸c tËp hîp sè Lời nói ••u Đ ể góp phần đổi mới công tác đào tạo và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự án Phát triển giáo viên tiểu học đã tổ chức biên soạn các môđun đào tạo theo chương trình Cao đẳng Sư phạm và chương trình liên thông từ Trung học Sư phạm lên Cao đẳng Sư phạm. Biên soạn các môđun nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật những đổi mới về nội dung, phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục tiểu học theo chương trình, sách giáo khoa tiểu học mới. Điểm mới của tài liệu viết theo môđun là thiết kế các hoạt động, nhằm tích cực hoá hoạt động của người học, kích thích óc sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả học tập của người học; chú trọng sử dụng nhiều phương tiện truyền đạt khác nhau (tài liệu in, băng hình,...) giúp cho người học dễ học, dễ hiểu và gây được hứng thú học tập. Môđun Các tập hợp số do nhóm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội biên soạn. Môđun Các tập hợp số có thời lượng bằng bốn đơn vị học trình, bao gồm 3 chủ đề: Chủ đề 1: Cấu trúc đại số Chủ đề 2: Số tự nhiên Chủ đề 3: Tập số hữu tỉ và tập số thực Lần đầu tiên, tài liệu được biên soạn theo chương trình và phương pháp mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban điều phối Dự án rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên các trường Sư phạm, giáo viên Tiểu học trong cả nước. Xin trân trọng cảm ơn! DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC 5
- c¸c tËp hîp sè CHỦ ĐỀ 1 Cấu trúc đại số Mục tiêu A. Kiến thức – Giúp cho người học nắm vững được những cấu trúc đại số cơ bản đó là cấu trúc nửa nhóm, nhóm, vành và trường. – Trên cơ sở nắm vững những cấu trúc trên, tiến tới hình thành những ý tưởng mới để tiếp cận với toán học hiện đại và để biết các cấu trúc của các tập hợp số ở Tiểu học. – Giúp người học thấy được sự phát triển không ngừng của toán học theo đúng quy luật phát triển là từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng vận dụng vào thực tế. B. Kĩ năng – Kiểm tra được một "phép toán" đã cho có là một phép toán hai ngôi không. – Kiểm tra được một tập hợp với các phép toán có là nửa nhóm, nhóm, vành, trường hay không. – Ki ể m tra đ ượ c mộ t t ậ p đ ã cho có là n ử a nhóm con, nhóm con, vành con, tr ườ ng con hay không. – Kiểm tra được một ánh xạ đã cho có là đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu hay không. – Kiểm tra được hai nhóm, vành, trường có đẳng cấu với nhau hay không. C. Thái độ – Cần nắm vững được các định nghĩa chính xác của khái niệm. – Có liên hệ với thực tế chương trình Toán ở Tiểu học. D. Giới thiệu chủ đề 1 STT Tên tiểu chủ đề Trang 1 Phép toán hai ngôi 9 2 Nửa nhóm và nhóm 19 3 Vành và trường 36 Mối quan hệ giữa các tiểu chủ đề trong toàn bộ chủ đề: 6
- c¸c tËp hîp sè + Tiểu chủ đề 1: Là phần chuẩn bị các kiến thức về các phép toán hai ngôi và những tính chất của chúng, dùng để xây dựng các cấu trúc đại số ở tiểu chủ đề 2 và 3. + Tiểu chủ đề 2: Giới thiệu hai cấu trúc đại số cơ bản nhất đó là nửa nhóm và nhóm, trong đó một tập hợp được trang bị một phép toán hai ngôi. + Tiểu chủ đề 3: Xây dựng cấu trúc đại số một tập hợp có trang bị hai phép toán hai ngôi. Những cấu trúc đại số này đặc biệt hơn so với cấu trúc đại số ở tiểu chủ đề 2. Cả hai tiểu chủ đề 2 và 3 có sự gắn kết chặt chẽ với nhau, có dàn bài giống nhau nên người đọc dễ theo dõi. 7
- c¸c tËp hîp sè Tiểu chủ đề 1.1. Phép toán hai ngôi Thông tin cơ bản 1.1.1. Nhắc lại về khái niệm ánh xạ 1.1.1.1. Định nghĩa f Cho hai tập hợp X và Y. Một ánh xạ từ X đến Y, kí hiệu là f: X → Y hoặc X ⎯ ⎯→ Y , là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một phần tử duy nhất y ∈ Y. Phần tử y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và kí hiệu là y = f(x). Tập hợp X được gọi là tập nguồn hay tập xác định của f; tập Y được gọi là tập đích của f. Chú ý. Nhiều khi để chỉ rõ quy tắc của ánh xạ f từ X đến Y ta còn dùng kí hiệu sau đây: f: X → Y xa f(x). xa f(x) chỉ rõ quy tắc cho biết ảnh của mỗi phần tử x qua ánh xạ f là như thế nào. Cho f và g là hai ánh xạ từ tập X đến tập Y. Ta nói rằng ánh xạ f bằng ánh xạ g, kí hiệu là f = g, nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ X thì f(x) = g(x). Ví dụ 1.1: Nhiều hàm số mà ta gặp trong chương trình toán phổ thông là những ánh xạ từ tập con của tập các số thực R đến R. Chẳng hạn: – Cho a, b là hai số thực bất kì, a ≠ 0. Tương quan hàm số bậc nhất y = ax + b là một ánh xạ từ R đến R. Nú đặt tương ứng mỗi x ∈ R s? y = ax + b ∈ R. f: R → R xa f(x) = ax + b. – Tương tự ta có các ánh xạ sau: g: R → R g(x) = x2 + 2x + 2. xa h: R → R 10x. xa l: R+ → R, R+ là tập các số thực dương. xa lgx. 1.1.1.2. ảnh và tạo ảnh Cho f: X → Y là một ánh xạ từ tập X đến tập Y. A là một tập con của X và B là một tập con của Y. Tập f(A) = {y ∈ Y | ∃a ∈ A, f (a) = y} được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. 8
- c¸c tËp hîp sè Tập f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là tạo ảnh của tập B qua ánh xạ f. 1.1.1.3. ánh xạ mở rộng, ánh xạ thu hẹp Cho f: X → Y là một ánh xạ từ X đến Y và A là một tập con của X, khi đó ta có ánh xạ g: A → Y được xác định bởi ∀a ∈ A, g(a) = f(a). g được gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên tập A, kí hiệu là g = f A ; f cũng được gọi là ánh xạ mở rộng của g. Nếu B là một tập con của Y sao cho với mọi a ∈ A, f(a) ∈ B thì ta có ánh xạ f : A → B được xác định bởi ∀a ∈ A, f (a) = f(a) ∈ B. f được gọi là ánh xạ cảm sinh của ánh xạ f bằng cách thu hẹp nguồn trên A và đích trên B. Ví dụ 1.2: Cho f: R → R x a x2 + 2x + 2 Z là tập các số nguyên, khi đó ta có ánh xạ thu hẹp của f trên Z là: f Z: Z → R x2 + 2x + 2. xa và ta cũng có một ánh xạ cảm sinh của f: f : Z → Q, Q là tập các số hữu tỉ. x2 + 2x + 2. xa 1.1.1.4. Đơn ánh, toàn ánh và song ánh Định nghĩa 1.1. Cho f là một ánh xạ từ một tập X đến một tập Y. – f được gọi là một đơn ánh nếu và chỉ nếu với mọi x1, x2 thuộc X, f(x1) = f(x2) kéo theo x1 = x2. – f được gọi là một toàn ánh nếu và chỉ nếu f(X) = Y, tức là với mọi y ∈ Y tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. – Nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh thì f được gọi là một song ánh. Nếu f là một song ánh từ X đến Y thì f có một ánh xạ ngược từ Y đến X được xác định bởi: f–1: Y → X ya x với y = f(x). 1.1.1.5. Hợp thành của hai ánh xạ Định nghĩa 1.2. Cho f là một ánh xạ từ X đến Y và g là một ánh xạ từ Y đến Z. Khi đó ta có ánh xạ h từ X đến Z được xác định bởi quy tắc ∀x ∈ X, h(x) = g(f(x)). h được gọi là hợp thành của f và g; kí hiệu là h = gf hoặc h = g.f (h còn được gọi là tích của hai ánh xạ f và g). Định lí 1.1. Cho hai ánh xạ f: X → Y; g: Y → Z. 9
- c¸c tËp hîp sè (i) Nếu f và g là hai đơn ánh thì gf là một đơn ánh; (ii) Nếu f và g là hai toàn ánh thì gf là một toàn ánh; (iii) Nếu f và g là hai song ánh thì gf là một song ánh. Định lí 1.2. Cho ba ánh xạ f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → W khi đó (hg)f = h(gf). 1.1.1.6. Tích Descartes của hai tập hợp Cho X và Y là hai tập hợp. Tập hợp tất cả các cặp (x; y) trong đó x ∈ X, y ∈ Y được gọi là tích Descartes của X và Y, kí hiệu là X × Y. Chú ý rằng hai cặp (x; y) và (x'; y') bằng nhau khi và chỉ khi x = x' và y = y'. Ví dụ 1.3: 1) Tập các điểm trong mặt phẳng tọa độ Descartes là tích Descartes của tập các số thực R và R. 2) Cho Z là tập các số nguyên, Z × Z = {(a; b) | a ∈ Z, b ∈ Z}. T?p Z × Z cú th? coi là tập các điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng tọa độ Descartes. 1.1.2. Phép toán hai ngôi 1.1.2.1. Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb. Phần tử aTb ∈ X được gọi là cái hợp thành hay còn được gọi là kết quả của phép toán T thực hiện trên hai phần tử a và b. Như vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập hợp X là một quy tắc đặt tương ứng mỗi cặp phần tử (a; b) thuộc X × X một phần tử xác định duy nhất aTb thuộc X. Ví dụ 1.4: 1) Phép cộng thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên, tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỉ và tập R các số thực. 2) Phép nhân thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập N các số tự nhiên,… 3) Cho tập N* các số tự nhiên khác 0. ánh xạ *: N* × N* → N* (a; b) a a * b = ab là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0. 4) Cho tập Z các số nguyên, phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z, vì ta có ánh xạ T: Z × Z → Z (a; b) a a – b. 10
- c¸c tËp hîp sè Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N, vì ta có 3 và 5 thuộc N nhưng 3 – 5 ∉ N. 5) Cho X là một tập và P(X) là tập các tập con của X. Các phép toán hợp, giao và hiệu của hai tập hợp đều là những phép toán hai ngôi trên tập P(X). Cụ thể, A và B là hai tập con của X thì A ∪ B cũng là tập con của X, do đó nó thuộc P(X), tức là ta có ánh xạ: ∪: P(X) × P(X) → P(X) A ∪ B. (A; B) a Tương tự, ta có các ánh xạ: ∩: P(X) × P(X) → P(X) a A∩B (A; B) và \: P(X) × P(X) → P(X) (A; B) A \ B. a 6) Cho tập hợp X và Hom(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến chính nó. Phép lấy hợp thành hai ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên tập Hom(X, X). Thật vậy, vì với hai ánh xạ f, g bất kì từ X đến X, hợp thành fg cũng là một ánh xạ từ X đến X. Nên ta có ánh xạ: Hom(X, X) × Hom(X, X) → Hom(X, X) (f; g) fg a 7) Cho tập X = {0, 1, 2} ta có phép toán hai ngôi xác định trên X như sau: T: X × X → X (a; b) a r trong đó r là dư của phép chia a + b cho 3. Có thể mô tả phép toán T trong bảng sau: T 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 1.1.2.2. Tính chất thường gặp của phép toán hai ngôi Định nghĩa 1.3. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu với mọi a, b thuộc X, aTb = bTa. Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 7) trong ví dụ 1.4 là những phép toán có tính chất giao hoán. 11
- c¸c tËp hîp sè Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất giao hoán; ví dụ 6) không có tính chất giao hoán nếu tập X có nhiều hơn 1 phần tử. Định nghĩa 1.4. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu với mọi a, b, c thuộc X, (aTb)Tc = aT(bTc). Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 6) và 7) đều có tính chất kết hợp. Các phép toán trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất kết hợp. 1.1.2.3. Những phần tử đặc biệt Định nghĩa 1.5. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phần tử e ∈ X được gọi là phần tử trung lập đối với phép toán T nếu và chỉ nếu với mọi a thuộc X, eTa = aTe = a. Định lí 1.3. Nếu trong tập X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì phần tử trung lập đó là duy nhất. Chứng minh: Giả sử e và e' là hai phần tử trung lập đối với phép toán T. Ta có eTe' = e' vì e là phần tử trung lập và eTe' = e vì e' là phần tử trung lập. Từ đó suy ra e = e'. Ví dụ 1.5: 1) Số 0 là phần tử trung lập đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 2) Số 1 là phần tử trung lập đối với phép nhân thông thường các số tự nhiên (cũng như đối với phép nhân thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 3) Tập rỗng ( ∅ ) là phần tử trung lập đối với phép lấy hợp các tập hợp (∪) trên tập P(X). 4) Tập X là phần tử trung lập đối với phép toán giao (∩) trên tập P(X). 5) ánh xạ đồng nhất idx: X → X xa x là phần tử trung lập đối với phép hợp thành các ánh xạ trên tập Hom(X, X). Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và e là phần tử trung lập của X đối với phép toán T; a ∈ X. Phần tử b ∈ X được gọi là phần tử đối xứng của a đối với phép toán T nếu bTa = aTb = e. 12
- c¸c tËp hîp sè Định lí 1.4. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T có tính chất kết hợp, có phần tử trung lập là e. Nếu b và b' là hai phần tử đối xứng của a thì b' = b. Chứng minh: Giả sử phần tử a ∈ X có hai phần tử đối xứng là b và b', khi đó ta có aTb' = e và bTa = e. Do T có tính chất kết hợp nên ta có (bTa)Tb' = bT(aTb'). Suy ra eTb' = bTe hay b' = b. Ví dụ 1.6: 1) Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 là có phần tử đối xứng và phần tử đối xứng của 0 là 0. 2) Một cách tổng quát: Nếu e ∈ X là phần tử trung lập đối với phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó. 3) Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi số nguyên a có phần tử đối xứng là – a ∈ Z. 4) Đối với phép nhân các số nguyên chỉ có 1 và –1 là hai phần tử có đối xứng trong Z. (Đối xứng của 1 là 1, đối xứng của –1 là –1). 5) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi số hữu tỉ q ∈ Q khác 0 đều có phần tử đối xứng là 1 ∈ Q. q 6) Đối với phép nhân ánh xạ trong tập Hom(X, X), mỗi song ánh f: X → X đều có phần tử đối xứng là f–1: X → X (ánh xạ ngược của f). Chú ý. Trong thực tế, hai phép toán hai ngôi thường gặp hơn cả là phép cộng (+) và phép nhân ( × ). – Đối với phép cộng (+): Giả sử + là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a + b được gọi là tổng của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử không và kí hiệu là 0. Nếu phép cộng có tính chất kết hợp và phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng là b, khi đó b được xác định duy nhất, được gọi là phần tử đối của a và kí hiệu là – a. – Đối với phép nhân (×): Giả sử × là một phép toán hai ngôi trên tập X, khi đó cái hợp thành a × b (còn được viết là ab hoặc a.b) được gọi là tích của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử đơn vị và kí hiệu là e (hoặc 1 nếu không có sự nhầm lẫn với các số). Nếu phép nhân có tính chất kết hợp và phần tử a ∈ X có phần tử đối xứng là b, thì b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a, kí hiệu là b = a–1. 1.1.2.4. Phép toán cảm sinh Định nghĩa 1.7. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con khác rỗng của X. A được gọi là một tập con ổn định đối với phép toán T nếu với mọi a, b thuộc A, cái hợp thành aTb thuộc A. Tức là: 13
- c¸c tËp hîp sè (∀a)(∀b) [a, b ∈ A ⇒ aTb ∈ A]. Ví dụ 1.7: 1) Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép cộng. 2) Tập các số tự nhiên N là tập con ổn định của tập các số nguyên Z đối với phép cộng và đối với phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ. 3) Tập các số nguyên mà là bội của số nguyên m cho trước là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép cộng và đối với phép nhân. 4) Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên nhưng nó không ổn định đối với phép cộng các số nguyên. 5) Tập S(X) các song ánh từ X đến X là tập con ổn định của Hom(X, X) đối với phép nhân ánh xạ. Định nghĩa 1.8. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và A là một tập con ổn định đối với phép toán T của X. Khi đó ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb cảm sinh ánh xạ T': A × A → A (a; b) a aTb Đó là một phép toán hai ngôi trên tập A và được gọi là phép toán cảm sinh của phép toán T trên tập hợp A. Ví dụ 1.8: 1) Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự nhiên. 2) Phép cộng các số nguyên cảm sinh ra phép cộng các số nguyên mà là bội của một số nguyên m cho trước. 3) Cho S(X) là tập các song ánh từ X đến X, phép hợp thành các song ánh trên tập S(X) là phép toán cảm sinh của phép hợp thành các ánh xạ trên Hom(X, X). hoạt động. Tìm hiểu định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh; định nghĩa và các tính chất của phép toán hai ngôi. 14
- c¸c tËp hîp sè Nhiệm vụ Sinh viên đọc thông tin nguồn tài liệu tham khảo để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Nhiệm vụ 1: Định nghĩa ánh xạ, toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Nhiệm vụ 2: Định nghĩa phép toán hai ngôi bằng ngôn ngữ ánh xạ, thấy được ý nghĩa khái quát của định nghĩa này. Đây là định nghĩa được khái quát hóa từ rất nhiều phép toán hai ngôi cụ thể. Nhiệm vụ 3: Nờu những tính chất thường gặp của phép toán hai ngôi. Xây dựng ví dụ minh họa. Nhiệm vụ 4: Nêu định nghĩa các phần tử đặc biệt của phép toán hai ngôi. Xây dựng ví dụ minh họa. Nhiệm vụ 5: é?nh nghia phép toán cảm sinh của một phép toán hai ngôi. Cho vớ d? minh họa. Đánh giá Hãy trả lời các câu hỏi sau đây: 1. Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh. 2. Định nghĩa phép toán hai ngôi trên một tập hợp. 3. Định nghĩa phần tử trung lập đối với một phép toán hai ngôi, phần tử đối xứng của một phần tử trong một tập có phép toán hai ngôi. 4. Nêu những tính chất thường gặp của một phép toán hai ngôi. 5. Trong môn Toán giảng dạy ở trường tiểu học ta gặp những phép toán hai ngôi nào? Chúng có những tính chất gì? 6. Những phép toán nào ta dạy cho học sinh tiểu học không phải là phép toán hai ngôi? Hãy giải các bài tập sau đây: 1. Cho N là tập các số tự nhiên, Z là tập các số nguyên, Q là tập các số hữu tỉ, Q+ là tập các số hữu tỉ dương. a) Phép toán nào trong bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia là phép toán hai ngôi trên mỗi tập số kể trên. 15
- c¸c tËp hîp sè b) Trong trường hợp là phép toán hai ngôi, hãy cho biết tính chất và các phần tử đặc biệt của các phép toán đó. 2. Cho tập hợp X = {0, 1, 2}. Phép toán ⊕ được cho bởi bảng sau: ⊕ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Hãy cho biết các tính chất của phép toán ⊕ và chỉ ra các phần tử đặc biệt nếu có. 3. Cho tập hợp Y = {a, b, c}. Phép toán * được cho bởi bảng sau: * a b c a a a a b b b b c c c c Hãy cho biết các tính chất của phép toán * và chỉ ra các phần tử đặc biệt nếu có. 4. Cho N* là tập các số tự nhiên khác 0, phép toán T được xác định như sau: T: N* × N* → N* (a; b) a ab. Phép toán T có tính chất giao hoán, kết hợp hay không? Trong N* có phần tử trung lập hay không? 5. Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là những phép toán hai ngôi. Hãy chỉ ra các tính chất của mỗi phép toán đó. a) x ∗ y = x + y + xy với mọi x, y thuộc R; b) m ⊗ n = m + 2n với mọi m, n thuộc N; c) a ⊕ b = a + b – ba với mọi a, b thuộc Q \ {1}. 6. Cho A là tập các số nguyên chẵn, B là tập các số nguyên lẻ. Các tập nào trong hai tập trên ổn định đối với các phép toán sau: a) Phép cộng các số nguyên b) Phép nhân các số nguyên. 7. Chứng minh rằng tập các số nguyên là bội của số nguyên tố m cho trước ổn định đối với phép cộng và phép nhân các số nguyên. 8. Các tập hợp sau đây, tập hợp nào ổn định đối với phép cộng các phân số. a) A = {–1, 1} 16
- c¸c tËp hîp sè ⎧a ⎫ b) B = ⎨ a , b ∈ Z , a lµ sè lÎ , b ≠ 0 ⎬ ⎩b ⎭ ⎧a ⎫ a lµ ph© sè thË ph© ⎬ p n c) C = ⎨ n ⎩b b ⎭ 9. Cũng câu hỏi như bài 8, nhưng thay phép cộng bằng phép nhân các phân số. 17
- c¸c tËp hîp sè TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. Nửa nhóm và nhóm Thông tin Cơ bản 1.2.1. Nửa nhóm 1.2.1.1. Định nghĩa Ta gọi là nửa nhóm một tập khác rỗng X cùng với phép toán hai ngôi T trên X có tính chất kết hợp. Nếu trong nửa nhóm X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì X được gọi là một vị nhóm. Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nửa nhóm X được gọi là một nửa nhóm giao hoán. Như vậy, một nửa nhóm là một cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp trên đó có một phép toán hai ngôi T thoả mãn tiên đề: ∀a, b, c ∈T, (aTb)Tc = aT(bTc). Để chỉ một nửa nhóm ta viết (X, T) trong đó X là tập nền của cấu trúc này, T là kí hiệu của phép toán hai ngôi. Trong nhiều trường hợp, nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết X thay cho (X, T). Ví dụ 2.1: 1) Tập các số tự nhiên N với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là 0. Nó được gọi là vị nhóm cộng các số tự nhiên. 2) Vị nhóm cộng các số nguyên (Z, +) trong đó Z là tập các số nguyên, + là phép cộng thông thường các số. Đó là một vị nhóm giao hoán. 3) Vị nhóm nhân các số tự nhiên (N, . ). 4) Vị nhóm nhân các số nguyên (Z, . ). 5) Hom(X, X) tập các ánh xạ từ tập X đến chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một vị nhóm (Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì vị nhóm này không giao hoán). Nhận xét. Nếu (X, T) là một nửa nhóm thì với mọi a, b, c thuộc X ta có (aTb)Tc = aT(bTc). Khi đó ta viết phần tử này là aTbTc và gọi nó là "cái hợp thành" của ba phần tử a, b, c trong nửa nhóm (X, T). Bằng quy nạp ta định nghĩa tổng (tích) của n phần tử (n ≥ 3) của nửa nhóm cộng (X, +) (nửa nhóm nhân (X, . )) như sau: Định nghĩa 2.1. Cho (X, +) là một nửa nhóm, a1, a2, ..., an là n phần tử của X (n ≥ 3). Tổng của các n ∑a phần tử a1, a2, ... an kí hiệu là a1 + a2 + ... + an hoặc được định nghĩa quy nạp theo n như sau: i i =1 a1 + a2 + ... + an = (a1 + a2 +... + an–1) + an hay n −1 n ∑a ∑a = + an. i i i =1 i =1 18
- c¸c tËp hîp sè n ∑a Nếu a1 = a2 = . . . = an = a thì viết là na và được gọi là bội n của phần tử a. i i =1 Định nghĩa 2.2. Cho (X, . ) là một nửa nhóm nhân, a1, a2, . . . , an là n phần tử của X (n ≥ 3). Tích n ∏a của các phần tử a1, a2, . . . , an kí hiệu là a1a2. . . an hay được định nghĩa quy nạp theo n như i i =1 sau: a1a2. . . an = (a1a2. . . an–1)an hay n = ⎛∏ai ⎞ an. n−1 ∏a ⎜ ⎟ i ⎝ i =1 ⎠ i =1 n ∏a Nếu a1 = a2 = . . . = an = a thì viết là an và được gọi là luỹ thừa bậc n của phần tử a. i i =1 1.2.1.2. Tính chất Định lí 2.1. Cho (X, . ) là một nửa nhóm nhân. a1, a2, . . . an (n ≥ 3) là n phần tử của X. Khi đó với mọi số tự nhiên m, 1≤ m < n ta có: n m n ∏ ai =∏ ai . ∏a j i =1 i =1 j = m +1 Chứng minh: Với n = 3 ta có a1a2a3 = (a1a2)a3 = a1(a2a3) vậy công thức này đúng với n = 3. Giả sử công thức này đúng với n = k (k ≥ 3) tức là với k phần tử a1, a2, . . . , ak thuộc X ta có ⎛ ⎞ ∏ a = ⎛∏a ⎞ ⎜ ∏a ⎟ m k k với mọi m, 1 ≤ m < k. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ⎝ j= m +1 ⎠ i j i =1 i =1 Ta cần chứng minh công thức này đúng với n = k + 1. Thật vậy với k + 1 phần tử a1, a2, . . ., ak+1 thuộc X và 1 ≤ m < k + 1 ta có: ⎛k ⎞ ⎛m ⎞ k +1 ∏a = ⎜ ∏ a i ⎟ .a k +1 = ⎜ ∏ a i ⎟ .a m +1 . – Khi m = k thì theo định nghĩa i ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎛m ⎞ k +1 k k ∏ a = ∏ a .a = ⎜ ∏ a i . ∏ a i ⎟ a k +1 – Khi m < k thì k +1 i i ⎝ i =1 i = m +1 ⎠ i =1 i =1 ⎛⎛ ⎞m ⎞ k +1 m k = ∏ a i ⎜ ⎜ ∏ a j ⎟ .a k +1 ⎟ = ∏ a i . ∏ a j . ⎜ j= m +1 ⎟ i =1 j= m +1 ⎝⎝ ⎠ ⎠ i =1 Chú ý. Nếu (X, +) là một nửa nhóm cộng thì ta có công thức sau: 19
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Toán học cao cấp (tập 1) - NXB Giáo dục
270 p |
1122 |
457
-
Giáo trình Không gian Metric: Phần 1 - TS. Nguyễn Hoàng
37 p |
421 |
230
-
Toán cao cấp C1 - Tập hợp
19 p |
855 |
213
-
Ebook Toán học cao cấp - Tập 3: Phép tích giải tích nhiều biến số - Chủ biên: Nguyễn Đình Trí
276 p |
417 |
172
-
Giáo trình Toán học cao cấp: Tập 1 - Nguyễn Đình Trí (chủ biên)
273 p |
225 |
121
-
Giáo trình các tập hợp số
50 p |
159 |
65
-
Ebook Giải tích Toán học các ví dụ và các bài toán (Phần 1-Tập 2)
427 p |
110 |
60
-
Chương 2: Suy luận toán học & Các phương pháp chứng minh phần 2
10 p |
100 |
24
-
Giáo trình các tập hợp số part 2
5 p |
73 |
22
-
Giáo trình các tập hợp số part 3
5 p |
66 |
22
-
Giáo trình các tập hợp số part 1
5 p |
80 |
18
-
Giáo trình các tập hợp số part 4
5 p |
52 |
17
-
Giáo trình các tập hợp số part 8
5 p |
35 |
14
-
Giáo trình các tập hợp số part 9
5 p |
47 |
13
-
Giáo trình các tập hợp số part 5
5 p |
48 |
13
-
Giáo trình các tập hợp số part 6
5 p |
54 |
12
-
Giáo trình các tập hợp số part 10
5 p |
41 |
11
-
Giáo trình các tập hợp số part 7
5 p |
53 |
11

Set-Cookie: TLDEVNamespace=ostn444t0m2gl7vkk27uhh2980; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Pragma: no-cache


text:
Lu lu đực – Giải độc, tiêu thũng
Chia sẻ: Ngocminh84 Ngocminh84 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3
lượt xem 2
download
Lu lu đực – Giải độc, tiêu thũng
Lu lu đực còn gọi là nụ áo, thù lu đực, cà đen, long quỳ. Bộ phận dùng làm thuốc là toàn cây phơi hay sấy khô hoặc ngọn non làm thức ăn. Theo Đông y, lu lu đực có vị đắng, hơi ngọt, tính hàn, có độc, có tác dụng thanh nhiệt, giải độc, lợi niệu, tan ứ huyết, tiêu viêm, tiêu thũng. Dùng chữa cảm sốt, viêm phế quản, nhiễm khuẩn hô hấp, viêm họng, viêm đường tiết niệu, viêm thận cấp, viêm tuyến tiền liệt, tiểu tiện khó khăn; vảy nến, lở loét ngoài da, bỏng, vết...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

markdown:
# Lu lu đực – Giải độc, tiêu thũng
Chia sẻ: Ngocminh84 Ngocminh84 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3
lượt xem 2
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2012/20121003/ngocminh84/80x100/6951349260750.jpg)
##
Lu lu đực – Giải độc, tiêu thũng
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Lu lu đực còn gọi là nụ áo, thù lu đực, cà đen, long quỳ. Bộ phận dùng làm thuốc là toàn cây phơi hay sấy khô hoặc ngọn non làm thức ăn. Theo Đông y, lu lu đực có vị đắng, hơi ngọt, tính hàn, có độc, có tác dụng thanh nhiệt, giải độc, lợi niệu, tan ứ huyết, tiêu viêm, tiêu thũng. Dùng chữa cảm sốt, viêm phế quản, nhiễm khuẩn hô hấp, viêm họng, viêm đường tiết niệu, viêm thận cấp, viêm tuyến tiền liệt, tiểu tiện khó khăn; vảy nến, lở loét ngoài da, bỏng, vết...
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Set-Cookie: TLDEVNamespace=3hq80u80dav3qu3q42fuml8hd2; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
HOTLINE :
0937 333 200
Hỗ trợ trực tuyến
GIỎ HÀNG0 sản phẩm
Cách tăng kích thước vòng 1 hoàn hảo nhất
Vòng 1 là niềm hãnh diện của chị em phụ nữ. Sở hữu một vòng 1 “căng mẩy” giúp phái nữ tự tin hơn trong giao tiếp. Đối với các bạn có vòng 1 hơi “khiêm tốn” thì có thể áp dụng các cách tăng vòng 1 hoàn hảo dưới đây.
Cách tăng kích thước vòng 1 hoàn hảo nhất là sự kết hợp giữa chế độ dinh dưỡng, tập thể dục và massage.
Chế độ dinh dưỡng – Cách tăng kích thước vòng 1 từ bên trong
Móng giò chứa nhiều systine, myoglobin và là nguồn cung cấp collagen giúp ngực đẹp, săn chắc, đầy đặn. Món giò heo hầm đu đủ là món ăn lý tưởng cho các cô nàng ngực lép.
Ăn nhiều thịt (thịt có lẫn mỡ và da), cá, trứng, các loại sữa... cung cấp protein cho các mô mỡ ở ngực được căng tròn và to hơn.
Những loại trái cây giúp bạn tăng kích thước vòng 1 (hình ảnh minh họa)
Đu đủ xanh, bơ, nho, óc chó, cam, bưởi... là những trái cây giúp vòng 1 căng tròn hơn. Hàm lượng dinh dưỡng và các axit béo chưa bão hòa cao nên làm tăng tính đàn hồi cho các mô vùng ngực. Ăn trái cây còn có tác dụng làm da sáng hồng và mịn màng.
Hot : Những mẫu nail đẹp đón xuân sang
Sự kết hợp giữa mật ong và trứng gà cũng là món ăn giúp vòng 1 tăng nhanh. Trộn đều trứng gà và mật ong, sau đó đem hấp chín rồi thưởng thức ngay khi còn nóng. Mỗi ngày ăn 1 lần thì vòng 1 của bạn sẽ tăng kích thước nhanh chóng.
Massage ngực đều đặn mỗi ngày
Trước hết hãy chà nhẹ nhàng 2 bàn tay của bạn lại với nhau cho đến khi chúng ấm lên. Sau đó, xoa bóp ngực theo hình tròn từ 50 – 100 lần. Bạn cần thực hiện việc massage này 2 lần mỗi ngày. Sau một thời gian thực hiện đều đặn, bạn sẽ thấy nở ngực hiệu quả với kết quả nó mang lại sau khoảng thời gian luyện tập.
Tập thể dục
Thực hiện các bài tập này không chỉ làm cho vòng ngực trở nên săn chắc mà còn kích thước ngực lớn hơn sau một thời gian. Một trong những bài tập tốt nhất cho vòng 1 là tập cùng tạ.
Nằm trên ghế dài, một tay giữ 1 quả tạ nặng từ 1 – 2 kg. Co chân lại sao cho toàn thân nằm trên ghế dài. Hai tay dang rộng ngang vai, khuỷu tay tạo góc 90 độ so với ghế. Tiếp theo dùng 2 tay cầm tạ đan chéo nhau trước ngực, trở lại tư thế ban đầu và lặp lại động tác từ 8 – 16 lần. Các chuyên gia nhận định đây là bài tập hữu hiệu nhất nếu bạn muốn có được kích thước vòng 1 như mong muốn.
Tổng hợp những cách trên bạn sẽ có một vòng 1 như ý!
TT
Da trắng sáng và láng mịn hơn nhờ sữa đậu nành
Bất ngờ với cách làm trắng da toàn thân bằng sữa tươi
Công thức dưỡng da láng mịn bằng cám gạo
Gợi ý 2 loại mặt nạ dưỡng trắng da từ tinh bột nghệ
Cách làm trắng da bằng hỗn hợp mật ong với khoai tây và sữa tươi
2 hỗn hợp giúp da trắng hồng từ tự nhiên
Mách bạn tuyệt chiêu trị nám da mặt hiệu quả bằng chanh

markdown:
### HOTLINE :
0937 333 200
### Hỗ trợ trực tuyến
### GIỎ HÀNG
**0**sản phẩm
# Cách tăng kích thước vòng 1 hoàn hảo nhất
## Vòng 1 là niềm hãnh diện của chị em phụ nữ. Sở hữu một vòng 1 “căng mẩy” giúp phái nữ tự tin hơn trong giao tiếp. Đối với các bạn có vòng 1 hơi “khiêm tốn” thì có thể áp dụng các cách tăng vòng 1 hoàn hảo dưới đây.
[ hoàn hảo nhất là sự kết hợp giữa chế độ dinh dưỡng, tập thể dục và massage. Cách tăng kích thước vòng 1](http://tapchitangcan.vn/cach-tang-kich-thuoc-vong-1-hoan-hao-nhat-nd366) **Chế độ dinh dưỡng – Cách tăng kích thước vòng 1 từ bên trong**
Móng giò chứa nhiều systine, myoglobin và là nguồn cung cấp collagen giúp ngực đẹp, săn chắc, đầy đặn. Món giò heo hầm đu đủ là món ăn lý tưởng cho các cô nàng ngực lép.
Ăn nhiều thịt (thịt có lẫn mỡ và da), cá, trứng, các loại sữa... cung cấp protein cho các mô mỡ ở ngực được căng tròn và to hơn.
*Những loại trái cây giúp bạn tăng kích thước vòng 1 (hình ảnh minh họa) *
Đu đủ xanh, bơ, nho, óc chó, cam, bưởi... là những trái cây giúp vòng 1 căng tròn hơn. Hàm lượng dinh dưỡng và các axit béo chưa bão hòa cao nên làm tăng tính đàn hồi cho các mô vùng ngực. Ăn trái cây còn có tác dụng làm da sáng hồng và mịn màng.
**Hot **: **Những mẫu nail đẹp đón xuân sang**
Sự kết hợp giữa mật ong và trứng gà cũng là món ăn giúp vòng 1 tăng nhanh. Trộn đều trứng gà và mật ong, sau đó đem hấp chín rồi thưởng thức ngay khi còn nóng. Mỗi ngày ăn 1 lần thì vòng 1 của bạn sẽ tăng kích thước nhanh chóng.
**Massage ngực đều đặn mỗi ngày**
Trước hết hãy chà nhẹ nhàng 2 bàn tay của bạn lại với nhau cho đến khi chúng ấm lên. Sau đó, xoa bóp ngực theo hình tròn từ 50 – 100 lần. Bạn cần thực hiện việc massage này 2 lần mỗi ngày. Sau một thời gian thực hiện đều đặn, bạn sẽ thấy nở ngực hiệu quả với kết quả nó mang lại sau khoảng thời gian luyện tập.
**Tập thể dục**
Thực hiện các bài tập này không chỉ làm cho vòng ngực trở nên săn chắc mà còn kích thước ngực lớn hơn sau một thời gian. Một trong những bài tập tốt nhất cho vòng 1 là tập cùng tạ.
Nằm trên ghế dài, một tay giữ 1 quả tạ nặng từ 1 – 2 kg. Co chân lại sao cho toàn thân nằm trên ghế dài. Hai tay dang rộng ngang vai, khuỷu tay tạo góc 90 độ so với ghế. Tiếp theo dùng 2 tay cầm tạ đan chéo nhau trước ngực, trở lại tư thế ban đầu và lặp lại động tác từ 8 – 16 lần. Các chuyên gia nhận định đây là bài tập hữu hiệu nhất nếu bạn muốn có được kích thước vòng 1 như mong muốn.
Tổng hợp những cách trên bạn sẽ có một vòng 1 như ý!
TT
[Da trắng sáng và láng mịn hơn nhờ sữa đậu nành](http://tapchitangcan.vn/da-trang-sang-va-lang-min-hon-nho-sua-dau-nanh-nd885) [Bất ngờ với cách làm trắng da toàn thân bằng sữa tươi](http://tapchitangcan.vn/bat-ngo-voi-cach-lam-trang-da-toan-than-bang-sua-tuoi-nd881) [Công thức dưỡng da láng mịn bằng cám gạo](http://tapchitangcan.vn/cong-thuc-duong-da-lang-min-bang-cam-gao-nd876) [Gợi ý 2 loại mặt nạ dưỡng trắng da từ tinh bột nghệ](http://tapchitangcan.vn/goi-y-2-loai-mat-na-duong-trang-da-tu-tinh-bot-nghe-nd873) [Cách làm trắng da bằng hỗn hợp mật ong với khoai tây và sữa tươi](http://tapchitangcan.vn/cach-lam-trang-da-bang-hon-hop-mat-ong-voi-khoai-tay-va-sua-tuoi-nd866) [2 hỗn hợp giúp da trắng hồng từ tự nhiên](http://tapchitangcan.vn/2-hon-hop-giup-da-trang-hong-tu-tu-nhien-nd863) [Mách bạn tuyệt chiêu trị nám da mặt hiệu quả bằng chanh](http://tapchitangcan.vn/mach-ban-tuyet-chieu-tri-nam-da-mat-hieu-qua-bang-chanh-nd860)

Vary: Accept-Encoding,User-Agent