text:
- 42 trang
- Lượt xem: 626
- Download: 186
CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Chia sẻ: johnnybach
Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt hình học không gian đạt kết quả cao
Thể loại:Ôn thi ĐH-CĐ » Chuyên Đề Luyện Thi
Chủ đề liên quan:
Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
A.Tóm tắt lí thuyết:
I.Góc giữa hai đường thẳng:
1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường
thẳng
a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b.
a // a '
2. thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và
b // b '
b’
3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù.
II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
V và mặt phẳng (α ) . Nếu V không vuông góc với (α ) , khi
1. Cho đường thẳng
đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc
V ’ của V lên mặt phẳng (α ) .
A
A'
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù.
3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (α ) .khi đó
góc giữa đường thẳng ∆ và (α ) không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và
m.
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là
hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)).
4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa
đường thẳng a và (P).
5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng
∆ ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường
thẳng ∆ và a bằng 90o .
(V, (α )) + (·V, a ) = 90o
·
.Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng
6
· ·
∆ ta có: (V, (α )) + (V, ( β )) = 90o .
7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi
đó A ' B ' = AB cos( ¼, (α )) . Do đó A ' B ' ≤ AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB
AB
song song với (α) hoặc nằm trên (α).
III.Góc giữa hai mặt phẳng:
1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β).
a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau, a
ta nói góc giữa chúng bằng 0.
b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. b
Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β) O
m
và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O.
Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường
thẳng a và b.
2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù.
(α ) //(α ')
3. Nếu
( β ) //( β ')
· ·
Thì ((α ), ( β )) = ((α '), ( β ')) .
V⊥ (α ) ·
¶
thì (V, a) = ((α ), ( β )) .
4.Nếu
a ⊥ ( β )
·
5.Nếu (α ) ⊥ ( β ) thì ((α ), ( β )) = 900 .
6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu
vuông góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được
tính bằng công thức
·
S(H) = S(H’). Cos((α ), ( β )) .
Do đó S(H) ≤ S(H’).
2
B.Một số dạng toán liên quan:
I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Bài 1:
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o .
·
Tính MN,SO và ( MN , ( SAO)) .
Hướng dẫn giải: S
M
A
B
P
N
O
H
D C
Gọi P là trung điểm AO.
Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó:
· ·
( MN , ( ABCD)) = MNP = 60o.
Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có
5a 2
NP = CN + CP − 2CN .CP.cos 45 =
2 2 2 o
.
8
PN 5
Trong tam giác vuông MNP ta có MN = =a
o
cos60 2
15 15
và PM=PN.tan 60o = a ⇒ SO = 2 MP = a .
8 2
Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC).
3
· ·
Do đó ( MN , ( SAC )) = NMH .
1 a2 5
Ta có NH = OB = , MN = a . Do đó trong tam giác vuông MHN ta có
2 4 2
NH 1
sin ·
NMH = = .
MN 2 5
π
1
Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng α thỏa mãn sin α = ,0 ≤ α ≤ .
2
25
Bài 2 :
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đáy có cạnh bằng a,cạnh bên có độ dài
bằng b.Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và
mặt phẳng (BCC’B’).Tính tan α .
Hướng dẫn giải:
M
B C
a
P
N
A
b
B'
C'
M'
A'
Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC.
Gọi P là trung điểm của BM.
Ta có AN ⊥ BC và AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’).
Do đó α = MC ' P .
·
Ta có
1 a3
MP = AN = .
2 4
3a 2
MC ' = MM '2 + M ' C '2 = b 2 +
4
9a 2
⇒ PC ' = b 2 + .
16
4
MP a3
Trong tam giác vuông C’PM ta có tan α = = .
PC ' 16b 2 + 9a 2
Bài 3:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc BC’, N’ thuộc
đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc α. Chứng minh
rằng :
a
MN ≥
2cosα +sinα
Hướng dẫn giải:
P
D C
M'
N'
A
B
D' M
C'
N
A' B'
Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M,N trên (ABCD). Không mất tính tổng quát giả
sử MM ' < NN ' . { P} = MN ∩ M ' N ' .
Khi đó:
MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM
⇒ MNcosα = ( PN – PM )cosα
= PNcosα – PMcosα
= PN’ – PM’ = M’N’.
⇒ M’N’= MNcosα
Do đó : M’N’ = BN '2 + BM '2 = MNcosα (1)
Ta có
MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’
=a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
MN ( 2cosα + sin α ) = 2( BN '2 + BM '2 ) + a − ( BN '+ BM ')
≥ ( BN '+ BM ') + a − ( BN '+ BM ') = a
5
( do 2(a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b) 2 )
a
MN ≥
⇒ (đpcm)
2cosα +sinα
Bài 4:
·
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân AB=AC=a. BAC = α ,biết
SA,SB,SC đều hợp với mp(ABC) góc α .Gọi O là tâm vòng (ABC).
a)CM: O trùng với hc của S lên mp(ABC)
b)Tính d(S,(ABC)).
Hướng dẫn giải:
S
B
A
OI
C
a) Gọi I là hinh chiếu của S lên (ABC), theo giả thiết, ta có:
· · ·
SAI = SBI = SCI = α (1)
Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung cạnh góc vuông SI và thỏa (1) nên bằng nhau .
Vậy IA=IB=IC
⇒ I ≡O.
b) Ta có :
AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong VABC )
α α
⇒ a=2R.sin( 90o − )= 2R.cos
2 2
a
⇒ R= α
2cos
2
6
a
⇒ IB= α
2cos
2
d ( S , ( ABC )) = SO ( SO ⊥ ( ABC ))
= IB tan α ( # SOB vuông)
α α α
2a sin cos a sin
a tan α 2 2= 2
=
=
α α cosα
2cosα cos
2cos
2 2
Bài 5:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.
AA’ ⊥ (ABC).Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30o .
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BB’.
a)Tính AA’
b) góc[MN,(BA’C’)].
Hướng dẫn giải:
A C
M
B
N
C'
A'
I
B'
Tính AA’:
Gọi I là trung điểm A’B’, ta có:
C’I ⊥ A’B’ ( VA ' B ' C ' đều)
Mà C’I ⊥ AA’ (AA’ ⊥ (A’B’C’))
Vậy C’I ⊥ (ABB’A’) (1)
⇒ BI = hcBC '/( ABB 'C ) ⇒ IBC ' = 30°
·
Mặt khác (1) ⇒ C’I ⊥ IB
⇒ VIC ' B vuông tại I
C 'I
⇒ BC ' = =a 3
sin 30°
VBB ' C ' vuông:
7
⇒ BB’= BC '2 − B ' C '2 = 3a 2 − a 2 = a 2.
b)Tính góc[MN,(BA’C’)].
Gọi J là trung điểm của A’C’ H là hình chiếu của M lên BJ.
Trong hình thang BNJM,MN cắt BJ tại K.K cũng
là giao diểm của MN và(B’A’C’).
Mặt khác , hcM /( BA 'C ') = H ∈ BJ
B A
M
H
C
K
N
B' A'
J
C'
uuuu uur
·r u
·
⇒ góc [MN,(BA’C’)]= MKH = MN , BJ
Ta có u uuu uuu uuuu uuur
uuuu uur
r r r r
MN .BJ = ( MB + BN ).( BM .BB ')
uuu uuuu uuu uuur uuu uuuu uuu uuur
rr r rr r
= MB.BM + MB.BB ' + BN .BM + BN .BB '
−3a 2 a2
= + 0 + 0 + a2 =
4 4
uuuu uur a 2
ru
⇒ MN.BJ.cos( MN , BJ )= (2)
4
Mà :
3a 2 a 2 a 5
MN = BM + BN = + =
2 2
4 2 2
3a 2 a 11
BJ = BM 2 + MJ 2 = + 2a 2 =
4 2
uuuu uur a 2
ru
2
⇒ a 55 .cos( MN , BJ )=
Vậy (3)
4
4
8
uuuu uur
ru 1
⇒ cos( MN , BJ )= >0.
55
uuuu uur
ru 1
Vậy góc[MN,(BA’C’)] = góc( MN , BJ ) = arccos .
55
Bài 6:
Cho hình lăng trụ ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân tại A.
AA’ ⊥ (ABC).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’.Biết rằng MN=a
và góc[MN,(ABC)]= α , góc[MN,(BCC’B’)]= β .
a)Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a, α .
b)CMR: cos α = 2 sin β .
Hướng dẫn giải:
A C
a/ Gọi I là trung điểm BC,
Ta có MN ⊥ (ABC) I
M
⇒ MI = hcMN /( ABC ) J
B
· ·
⇒ α = IMN α = IMN
VMIN VMIN vuông tại I.
⇒ MI=MN.cos α =a.cos α (1)
IN=MN.sin α =a.sin α (2) C'
A'
Từ (1) ⇒ AB=2a.cos α
N
( MI là đường trung bình VABC )
BC=2a 2 .cos α (3) ( VABC vuông cân) B'
Từ (2) ⇒ AA’=BB’=CC’=a.sin α .( IN = AA’)
b)Ta có:
MI // AC, MI=AC/2
⇒ MI ⊥ AB,MI=MB
⇒ VMIB vuông cân (4)
Gọi J là trung điểm BI thì MJ ⊥ BI
Mà MJ ⊥ BB’ (BB’ ⊥ (ABC))
Do đó MJ ⊥ (BCC’B’)
·
⇒ JN = hcMN /( BCC ' B ') ⇒ β = MNJ .
Ta có VMJN vuông ⇒ MJ=MN.sin β =a.sin β
9
⇒ BI=2MJ=2asin β (do (4))
⇒ BC=2BI=4asin β (5)
⇒ 2a 2 .cos α = 4asin β
Từ (3) và (5)
⇒ cos α = 2 sin β .
Bài 7:
Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC,ACD,ADB vuông tại A.M là một điểm ở
trong tam giác BCD.Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng
(ABC),(ACD),(ADB).
CMR: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ = 1 .
Hướng dẫn giải:
Từ M dựng các đoạn vuông góc MH,MK,ML từ M đến các mặt phẳng (ABC),(ACD),
(ADB) theo thứ tự.
Ta có: D
AH = hcAM /( ABC )
AK = hcAM /( ACD)
L MK
AL = hcAM /( ABD )
· β· ·
⇒ α = MAH, = MAK,λ = MAL I
A
C
J
Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho: H
MA MK ML
sin α = ,sin β = ,sin λ =
AM AM AM B
MH 2 + MK 2 + ML2
⇒ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ =
AM 2
Lần lượt dựng các đoạng vuông góc HJ,HI từ H đến AB,AC thì AJHI là hình chữ nhật.
Mặt khác, ta có HI ⊥ AC
Mà HI ⊥ AD (AD ⊥ (ABC))
Do đó HI ⊥ (ACD)
⇒ HI là khoảng cách Từ I đến (ACD)
⇒ HI = MK (MK//AD ⇒ MH // (ACD) )
Tương tự : HJ = ML
MH 2 + MK 2 + ML2
Từ đó sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ =
AM 2
MH 2 + HI 2 + HJ 2
=
AM 2
10
MH 2 + AH 2
= = 1 ( ∆AMH vuông).
AM 2
II.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mp(P).Hai điểm M,N di động trên CB và
CD, Đặt CM=x,CN=y.Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy điểm S.Tìm
liên hệ giữa x,y để
a) (SAM) và (SAN) tạo nhau góc 45o
b) (SAM) ⊥ (SMN).
Hướng dẫn giải:
S
A D
N
y
B C
M x
a) Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AM và
SA ⊥ AN.
·
Suy ra MAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN).
·
⇒ MAN = 45o .
Ta có
·
MN 2 = MA2 + AN 2 − MA.NA.cos MAN
MN 2 = a 2 + (a − x ) 2 + a 2 + (a − y ) 2 − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ).
Mà MN 2 = x 2 + y 2 nên
11
x 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + y 2 − 2ax − 2ay − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 )
⇔ 2(a 2 + (a − x ) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ) = 4a 2 − 2ax − 2ay.
⇔ x 2 y 2 + 4a 3 ( x + y ) = 4a 2 + 2axy ( x + y ).
b) Do (SAM) ⊥ (SMN) và MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ (SMA) ⇒ MN ⊥ AM.
⇒ AN 2 = AM 2 + MN 2
⇒ a 2 + (a − y )2 = a 2 + (a − x) 2 + x 2 + y 2
⇒ 2a 2 − 2ay + y 2 = 2a 2 − 2ax + 2x 2 + y 2
⇒ x 2 = a ( x − y ).
Vậy để (SAM) ⊥ (SMN) thì x 2 = a ( x − y ) (x>y).
Bài 9:
Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB =
·
AC = a, goùc BAC = 120o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'.
Chöùng minh ∆ AB'I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët
phaúng (ABC) vaø (AB'I).
Hướng dẫn giải:
Caùch 1:
Goïi H laø trungñieåm BC ⇒ AH ⊥ BC.
a
∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a ⇒ AH =
2
a3 B/ C/
vaøBH = ⇒ BC = a 3
2
A/
∆IB/ C/ vuoângcoù: I
2 2
a 13a
IB/ 2 = IC/ 2 + B/ C/ 2 = + 3a2 = H
B
4 4 C
30o
a2 2 5a2
∆ AIC vuoângcoù: AI 2 = IC2 + AC2 = +a = A
4 4
5a2 13a2
Ta coù: AI 2 + AB/ 2 = + 2a2 = = IB/ 2
4 4
(AB/ laø ñöôøngcheùocuûahình vuoângAA /B/B caïnha)
Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A.
AB
a2 10
1 1a 5
/
= .AI.AB = . .a 2 =
SAB/ I
Ta coù:
2 22 4
a2 3
1 1a
= .AH.BC = . .a 3 =
SABC
2 22 4
12
Goïi α laø goùcgiöõahai maëtphaúng(ABC) vaø(AB/I), theocoângthöùcchieáu,ta
coù:
SABC a2 3 a2 10 30
cosα = = =
:
SAB/ I 4 4 10
Caùch 2: C/
z
A H ⊥ BC
Goïi H laø trungñieåmBC ⇒ A/
a
∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a B/ I
a a3
⇒ AH = vaø BH = ⇒ BC = a 3
2 2 C
A
Döïng heätruïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
y
60o H
A (0; 0; 0),
ñoâi moätvuoânggoùc, z B
a 3 a a3a /
; ; 0÷, C −
B ; ; 0÷, A (0; 0; a),
2 2 22
a 3 a / a 3 a a 3 a a
B/ ; ; a÷, C − ; ; a÷, I − ;;÷
2 2 2 2 2 2 2
uuu / a 3 a uu a 3 a a
r r
AB = ; ; a÷, AI = − ;;÷
22 2 2 2
uuu / uu a 3 a 3 a a
rr 3a2 a2 2a2
a
AB .AI = . − + . + a. = − ++ =0
÷
Ta coù:
2 2 22 2 4 4 4
uuu / uu
r r
Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A.
⇒ AB ⊥ AI. AB
r
n1 = (0; 0; 1)
* Phöôngtrìnhmp(ABC): z =0 coù phaùpvectô
uuu / uu
rr
* mp(AB/I) coù caëpvectôchæphöông AB , AI phaùpvectô:
, neâncoù
r r a2 3a2 3 2a2 3
uuu / uu a2 a2 r
[AB ; AI] = − ; − ÷ = − (1 3 3; − 2 3) = − .n2
; ;
4 4 4 4 4
r
vôùi n2 = (1 3 3; − 2 3)
; .
Goïi α laø goùcgiöõa(ABC) vaø(AB/I), ta coù:
0+ 0− 2 3 23 30
cosα = = = .
0 + 0 + 1. 1+ 27 + 12 40 10
Bài 10:
·
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, có AB = a, BAC = α ,
SA ⊥ ( ABC ) , SA = a, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là β.
13
1 + cos 2α
a) Chứng minh tan α .tan β = .
cos 2α
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều gì để β = 600 .
Hướng dẫn giải:
S
Qua A hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC . K
DO SA ⊥ ( ABC ) và BC ⊥ AB => BC ⊥ ( SAB )
=> BC ⊥ AH => AH ⊥ ( SBC ) => AH ⊥ SC H
=> SC ⊥ ( AHK ) => SC ⊥ KH
C
A
=> ¼ = β (do ¼ < 900 )
AKH AKH
BC AH AH BC
Ta có tan α tan β = =
. . . B
AB HK AB HK
AH SH
Do # ABH ~# SAH => = .
AB SA
BC SC
# SHK ~# SCB => =
HK SH
SH SC SC
Ta có tan α tan β = =
. .
SA SH SA
a 1 + cos 2α
a
Mà AC = => SC =
cosα cosα
1 + cos α 1 + cos 2α 1 + cos 2α
2
SC
=> tan α tan β =
=> = =
cosα cosα cos 2α
SA
b) Do β = 600 nên tan α tan β = 3 tan α
1 + cos 2α 1
Theo câu a) => 3 tan α = = tan 2 α + 2
= 1+
cos α cos α
2 2
=> tan α + 2 = 3 tan α => tan α = 1 => tan α = ±1
2 2 2
Do 0o < α < 90o => tan α = 1 => α = 45o
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp đường tròn
đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 .
a) Tính góc S ữa (SAD) và (SBC)
gi
b) Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn giải: Q
P
B
A
E
14
H C
D
I
a) Gọi I = AD ∩ BC
=>SI là giao tuyến của (SAD) và (SBC)
BD ⊥ AD
=> BD ⊥ ( SAD) => BD ⊥ SI
Ta có :
BD ⊥ SA
Dựng DE ⊥ SI tại E.
=> ( BDE ) ⊥ SI
·
Suy ra BED là góc giữa (SAD) và (SBC).
· ·
Mặc khác # AIB là tam giác đều (do IAB = IBA = 60o )
Nên AI = AB = 2a
SI 2 = SA2 + AI 2 = 7 a 2
=> SI = a 7
# SAI ~# DEI (do 2 tam giác vuông có góc nhọn I chung)
DE DI a 1
= = =
=>
SA SI a 7 7
SA a 3
=> DE = =
7 7
BD ⊥ ( SAD) nên BD ⊥ DE .
Ta có
Trong # BDE , ta có :
BD a 3
tan BED = = =7
BE a 3
7
·
=> BED = arctan 7 .
·
Vậy (( SAD, ( SBC )) = arctan 7 .
Dựng AP ⊥ SH tại P, khi đó ta cũng có AP ⊥ CD ( do CD ⊥ ( SAH ) )
b)
Nên AP ⊥ ( SCD) .
Tương tự dựng AQ ⊥ SC tại Q thì AQ ⊥ ( SBC )
15
· ·
Do đó PAQ = (( SBC ), ( SCD))
Xét # vuông SAH, ta có :
1 1 1 5
= + =2
2 2 2
AP AH AS 3a
3
=> AP = a .
5
# SAC có SA ⊥ AC , SA = SC = a 3 nên # SAC vuông cân tại A
1 2 a6
=> AQ = SC = SA =
2 2 2
AP ⊥ (SCD) nên AP ⊥ PQ.
Trong # vuông APQ, ta có:
3
a
5 = 10
cosPAQ =
5
a6
2
10
·
Suy ra : PAQ = arccos
5
10
·
Vậy (( SBC ), ( SCD)) = arccos .
5
Bài 12:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = a, OB = b, OC
= c và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) = h. Gọi α, β, γ là các góc tạo
bởi (ABC) với cái mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA). Chứng minh rằng :
a) cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1 .
b) cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 .
Hướng dẫn giải:
a) Kẻ OH ⊥ ( ABC ) tại H. Kéo dài CH ∩ AB = { I }
OC ⊥ OA
=> OC ⊥ (OAB ) => OC ⊥ AB
Ta có : (1)
OC ⊥ OB C
Lại có : OH ⊥ ( ABC ) => OH ⊥ AB (2)
Từ (1),(2) => AB ⊥ (OCI )
=> AB ⊥ CI và AB ⊥ OI (3) H
# OCI vuông O, đường cao OH, ta có:
O B
I
16
A
1 1 1 1 1 1
= 2+ = + +
2 2
OA OB OC 2
2 2
OH OI OC
1 111
HAY : 2 = 2 + 2 + 2 .
h abc
· ·
Từ (3), ta có: CIO = COH =α (cạnh t/ư vuông góc).
OH h
=> cosα = cosCOH= =.
OC c
h h
Tương tự : cosβ = , cosγ = .
a b
2 1 1 1
=> cos α + cos β + cos γ = h 2 + 2 + 2 ÷ = 1 .
2 2 2
a b c
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopski,ta có:
( cosα +cosβ +cosγ ) ≤ 3 ( cos 2α + cos 2 β + cos2γ ) =3
2
Vậy cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 .(đpcm)
Bài 13:
·
Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, BDC = 45o . Gọi
·
ADB = α . Xác định α để góc giữa 2 mặt phẳng (ADC) và (BDC) bằng 60 .
o
Hướng dẫn giải:
D
J
C
A I
Dựng BI ⊥ AC .
Ta có : BI ⊥ DA( DA ⊥ ( ABC ))
=> BI ⊥ ( DAC ) B
=> BI ⊥ DC
Dựng BJ ⊥ DC => DC ⊥ ( BIJ)
Vậy (·ADC ), ( BDC ) ) = BJI .
·
(
17
Ta có # BJI vuông tại I ( BI ⊥ ( DAC ) ).
·
Theo đề bài BJI = 60o nên # BJI là nửa tam giác đều.
3 1 4
Suy ra BI = BJ => 2 =
3BJ 2
2 BI
·
Mặt khác # DBC vuông tại B và BDC = 45o
=> # DBC vuông cân tại B=>BD = BC
AB AB
Ta có: Sinα = => AB = BC = sinα
=
BD BC
Hơn nữa trong # ABC vuông tại B, ta có :
11
1 1 1
= + = + 1÷
2
BC sin α
2 2 2 2
BI AB BC
·
Trong # DJB vuông tại J có JDB = 45o nên # DJB vuông cân tại J, do đó:
1 2 2
DB = 2 BJ => = =
2 2
BC 2
BJ DB
11 42
+ 1÷ = .
=> 2
BC sin α 2 2
3 BC
1 8 15
=> 2 + 1÷ = => sinα =
sin α 3 5
15
Vậy => α = arcsin .
5
Bài 14:
Cho # ABC vuông tại A có BC là cạnh huyền thuộc mặt phẳng (P). Gọi β,γ lần
lượt là góc hợp bởi 2 đường thẳng AB,AC với mặt phẳng (P). Gọi α là góc hợp
bởi mặt phẳng(ABC) với mặt phẳng (P).Chứng mình rằng:
Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ .
Hướng dẫn giải:
Kẻ AH ⊥ ( P ) A
=> ·ABH = β , ·
ACH = γ
Kẻ HI ⊥ BC
Mà HI ⊥ AH
=> AI ⊥ BC ( định lí 3 đường vuông góc) C
=> · H
AIH = α
Trong # ABC vuông tại A, ta có: I
1 1 1
= +
2 2
AC 2 B
IA AB
AH 2 AH 2 AH 2
=> = +
IA2 AB 2 AC 2
Vậy Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ .
18
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông tại A,B với
AB=BC=a,AD=2a,SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 .Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh AI ⊥ (SCD).
b) Tính góc α giữa hai mp (ABCD) và (SCD), góc β giữa hai mp (SAB) và
(SCD).
Hướng dẫn giải:
a) SA ⊥ (ABCD)
⇒ SA ⊥ AC,SA=AC= a 2 .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên AI ⊥ SC.
Gọi K là trung điểm của AD, S
tứ giác ABCK là hình vuông nên:
CK=KA=KD=a
⇒ tam giác ACD vuông tại C
⇒ CD ⊥ AC. Mà CD ⊥ AS, do SA ⊥ (ABCD) nên: I
CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AI. K
A D
⇒ AI ⊥ (SCD).
Ta có: AI ⊥ SC và CD
b) Ta có giao tuyến của (ABCD) và (SCD) là CD.
Theo câu a), CD ⊥ (SAC) nên CD ⊥ AC và CD ⊥ SC. B C
·
Do đó góc giữa (ABCD) và (SCD) là α = SCA .
Mà tam giác SAC vuông cân tại A nên α = 45o .
Ta có AD ⊥ AB và SA,nên AD ⊥ (SAB).
Theo cmt, AI ⊥ (SCD).Vậy góc giữa (SAB) và (SCD) là β =góc (AI,AD).
AI
·
Vì AI ⊥ (SDC) nên AI ⊥ ID.Tam giác AID vuông tại I và cosIAD =
AD
SC 1 1
·
= AC 2 =a.Vậy cosIAD = ⇒ β = 60o .
với AD=2a,AI=
22 2
Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và BA=BC=a, SA vuông
góc với đáy ,SA=a.Tính góc α giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Hướng dẫn giải:
S
H
C
A
19
B
Gọi H là trung điểm của AC, ta có BH ⊥ AC
Ta có BH ⊥ SA vì SA ⊥ (ABC), nên BH ⊥ (SAC).
Ta cũng có tam giác SHC là hình chiếu của tam giác SBC lên (SAC).
SSHC
Vậy cosα =
SSBC
1 1 2
SSHC = SA.HC= a. a 2 = a 2 .
2 2 2 4
Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên tam giác SBC vuông tại B.
1 1 a2 2 .
Ta có : SSBC = SB.BC=
AB 2 .BC=
2 2 2
S 1
Vậy cosα = SHC = ⇒ α = 60o .
SSBC 2
Câu 17:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng hai đoạn AA’,CC cùng vuông góc với
(ABC) và nằm cùng phía đối với (ABC), AA = CC ’= a. Tính góc giữa hai mp
(A’BC) và (C’BA).
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC’ và CA’; H là trung điểm của AC.
Ta có: AC ⊥ OB.Hạ HI ⊥ OB, suy ra OB ⊥ (ACI) và góc giữa (A’BC) và (C’BA) là góc
giữa IA và IC.
Ta có: OH//AA’ ⇒ OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BH. A' C'
1 1 1 16 a3
= + = 2 ⇒ HI = .
2 2 2
HI HB HO 3a 4 O
AH 2
· ·
tanAIH = = > 1⇒ AIH > 45o
IH 3 I
A C
H
2 2
· ·
⇒ AIH = arctan ⇒ AIC = π − 2arctan .
3 3 B
Bài 18:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, Sa vuông góc với mp
đáy và SA=x. Tính x để hai mp (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o .
Hướng dẫn giải:
20
Hạ AM ⊥ SB,ta chứng minh được AM ⊥ (SBC).
Tương tự hạ AN ⊥ SD, ta có AN ⊥ (SCD) và AM=AN.
S
Suy ra: góc[(SBC),(SCD)]= 60o
⇔ góc (AM,AN)= 60o
N
⇔ tam giác AMN đều ⇔ MN=AM.
ax M
Ta tính được AM= 2 ,
a +x 2
D
x2 A
MN SM SM .SB
= = =2
a + x2
SB 2
BD SB
ax B C
.
⇒ MN = a 2.
a2 + x2
Vậy MN=AM ⇔ x=a.
Bài 19:
Cho hình chóp S.ABCD có hai mp (SBC) và (SAD) cùng vuông góc với
mp(ABCD), đáy ABCD là hình vuông. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động
tuuuu BA,BC uuu chouur
rên uuu sao
r rr u
BM = k .BC , BN = k .BA , xác định k để (SDN) ⊥ (SAM).
Hướng dẫn giải:
S
Ta có
(SAB) ⊥ (ABCD)
(SAD) ⊥ (ABCD)
⇒ SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SAM) ⊥ (ABCD) ,
(ABCD) ∩ (SDN)=DN
Do đó
(SAM) ⊥(SDN) (SA ⊥DM)
A
⇔ AM ⊥ DM D
(*)
uuuuruuur
uur⇔ r uuuDN = 0
u AM r r . M
Đặt BA = a, BC = c, AM = m .
uuuu uuu uuuu
r r r r r
B
Ta có AM = AB + BM = −a + k .c C
rN
uuur uuu uuu uuu uuu uuu
r r r r r r
DN = DA + AN = DA + BN − BA = −c + (k − 1)a
và
r r
r r
(*) ⇔ ( −a + k .c )( −c + (k − 1).a )=0 ⇔ (1 − k )a 4 − km 2 = 0
1 rr rr
⇔ k= .( a . c =0, a 2 .c 2 = m 2 ).
2
1
Vậy khi k= thì (SAM) ⊥(SDN).
2
Bài 20:
21
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau.Gọi α , β , λ lần lượt là số
đo của các góc giữa mp(ABC) với các mp (DBC),(DCA),(DAB).Chứng minh:
1
a) cosα .cosβ .cosλ ≤
27
1
b) cos α + cos β + cos λ ≥ .
2 2 2
3
Hướng dẫn giải:
a) Gọi H là hình chiếu của D trên (ABC). Qua A,B,C dựng các đường thẳng song
song với các cạnh của tam giác ABC thì ta được một tứ diện DMNP có các
cạnh MD,DN,DP vuông góc với nhau từng đôi một, do đó H nằm trên miền
trong tam giác MNP.
Đặt S= S DAB = S DBC = S DAC = S ABC
* Nếu H ∈ VABC thì
SCBD = Scosα ,
SCAH = Scosβ .
S ABH = Scosλ
Do đó:
S ABC = S = SCBD + SCAH + S ABH =S( cosα + cosβ + cosλ ).
⇒ cosα + cosβ + cosλ =1
1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta được cosα .cosβ .cosλ ≤ .
27
* Nếu H∉ VABC thì H thuộc một trong ba tam giác ABM,BCN,CAP.
Khi đó một trong các góc α , β , λ tù
⇒ cosα , cosβ , cosλ có 1 giá trị âm,2 giá trị dương nên ta cũng thu được kết quả
trên.
b) Áp dung BĐT B.C.S:
(cosα + cosβ + cosγ ) 2 1 .
cos 2α + cos 2 β + cos 2 λ ≥ =
3 3
Bài 21:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi α , β , λ lần lượt là các góc giữa
mp (ACB’) với các mặt (BCB’),(ABC) và (BAB’).Chứng minh:
a) cosα .cosβ + cosλ.cosβ + cosα .cosλ ≤ 1 .
b) Nếu BD’ ⊥(ACB’) thì hình hộp đã cho là hình lập phương.
A' D'
Hướng dẫn giải:
B'
C'
A D
22
B C
a) Ta cm được : cosα + cosβ + cosλ =1
Áp dung B.C.S ⇒ đpcm.
b) BD’ ⊥ (ACB’) ⇒ BD’ ⊥ AC, ta lại có AC ⊥ BB’,AC ⊥ BD’,
do đó AC ⊥ (BB’D’D) ⇒ AC ⊥ BD nên ABCD là hình vuông
⇒ AB=BC
Cm tương tự ta có BC=BB’
Suy ra hình hộp đã cho là hình lập phương.
Bài 22:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa điều kiện:
· · ·
xOy = 90o , xOz = yOz = 60o .Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (xOz) và
(yOz).
Hướng dẫn giải:
z
C
I
x
O
A
B y
Trên Ox, Oy lấy A,B sao cho OA=OB=a.
Vẽ AC ⊥Oz, ta có hai tam giác OAC và OBC bằng nhau (vì OA=OB,OC chung,
· ·
AOC = BOC = 60o ).
⇒ BC ⊥ Oz.
Do đó α =(CA,CB) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (xOz) và (yOz).
Trong tam giác ABC:
AB 2 = AB 2 + BC 2 − 2AC.BC.cos ·
AOB
AB 2 + BC 2 − AB 2
⇔ cos ·
AOB =
2AC.BC
23
−1
a 3⇒
cos ·
Với AB= a 2, AC = BC = .
AOB =
3
2
1
Vậy góc giữa hai mp (xOz) và (yOz) có số đo là α xác định bởi cosα =
3
1
hay α =acrcos .
3
Bài 23:
Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong 1 mặt phẳng thỏa
xOy = 90o , xOz = ·yOz = 60o .Tính góc tạo bởi (xOz) và (yOz).
· ·
Hướng dẫn giải:
z
C
y
O
B
A x
Gọi α là góc tạo bởi (xOz) và (yOz).
Lấy A ∈ Ox,B ∈ Oy sao cho OA = OB = a.
Dựng AC ⊥ Oz .
Ta có :
# OAC =# OBC ( OA = OB, OC cạnh chung,
· ·
AOC = BOC = 60o )
=> BC ⊥ Oz .
Vậy α = · ACB .
Xét # ABC , ta có :
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BCCOSα
AC 2 + BC 2 − AB 2
⇔ cosα =
2 AC.BC
Với AB = OB + OA = a 2 ( # OAB vuông tại O)
2 2
a3
AC = BC = OB sin 60o = ( # OBC vuông tại C)
2
24
-1
-1
=> α =arccos ÷.
=> cosα =
3
3
-1
·
Vậy ( ( xOz ) , ( yOz ) ) =arccos ÷.
3
Bài 24:
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2a, BC=a. Trên 2 tia Ax,Cy vuông góc với
mp(ABC) và ở cùng phía đối với (ABC), lần lượt lấy 2 điểm A’ và C’ sao cho
AA’=2a, CC’=x.
a) Xác định x sao cho · ' BC ' = 90o .
A
·
b) Xác định x sao cho BA ' C = 90o .
c) Cho x=4a. Tính cosϕ với ϕ là góc giữa 2 mp(ABC) và (A’BC’)
Hướng dẫn giải:
a) Trên Cy lấy C1 sao cho CC1 =2a
A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 8a 2 y
x
BC '2 = BC 2 + CC '2 = a 2 + x 2
A ' C ' = A ' C12 + C1C '2 = 5a 2 + (2a − x) 2 = x 2 − 4ax + 9a 2 A' C1
· ' BC ' = 90o
A
⇔ BC '2 = A ' B 2 + A ' C '2
C'
⇔ x 2 − 4ax + 9a 2 = 8a 2 + a 2 + x 2
⇔ x=0 C
A
·
b) BA ' C = 90o ⇔ BC '2 = A ' B 2 + A ' C '2
⇔ a 2 + x 2 = 8a 2 + x 2 − 4ax + 9a 2 B
⇔ 4ax = 16a 2 ⇔ x = 4a
c) x = 4a , khi đó:
A ' C12 + C ' C '2 + C1C '2 = 5a 2 + 4a 2 = 9a 2 ⇒ A ' C ' = 3a
1 1
S A ' BC ' =
A ' B. A ' C ' = .2a. 2.3a = 3a 2 2
2 2
2
S a 1 2
cos ϕ = ABC = 2 = =
S A ' BC ' 3a 2 3 2 6
25
III.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 25:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 ,
SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.
Hướng dẫn giải: S
A
H C
K F
E
M
B
Goïi M laø trungñieåmcuûaBF ⇒ EM // AF
· · ·
⇒ (SA; AF) = (EM; AF) = SEM
∆ SAE vuoângtaïi A coù:
SE2 = SA 2 + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a 3
2a 2. 3
AF = =a 6
2
26
a6 a2
⇒ EM = ; BF = a 2;BM = MF =
2 2
2 2 2 2 2 2
SB = SA + AB = a + 8a = 9a ⇒ SB = 3a
SF 2 = SA 2 + AF 2 = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a 7
∆
AÙp duïngñònhlyù ñöôøngtrungtuyeánSM trong SBF coù:
1
SB2 + SF 2 = 2.SM 2 + BF 2
2
15a2
1
⇔ 9a2 + 7a2 = 2SM 2 + .2a2 ⇔ SM 2 =
2 2
Goïi α laø goùcnhoïn taïo bôûi SE vaø AF
AÙp duïngñònhlyù haømCoâsinvaøo SEM ∆ coù:
3a2 15a2
2
3a + −
ES2 + EM 2 − SM 2 2 = − 2 = 2.
2
·
cosα = cosSEM = =
2.ES.EM 2 2
a6
2. .a 3
2
⇒ α = 45o.
a2
Döïng A K ⊥ ME; AH ⊥ SK.Ta coù: A H ⊥ (SME)
AK = MF = vaø
2
Vì A F // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH.
1 1 1 123 a3
∆ SAK vuoângcoù: = + = 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2 2 2
3
AH SA AK aaa
a3
Vaäy, d(SE; AF) = .
3
Bài 26:
Cho hình lăng trụ tam giác đ ều ABC. A' B' C ' có AB = 1, CC ' = m ( m > 0). Tìm m
biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB' và BC ' bằng 60 0 .
Hướng dẫn giải:
A
· ·
KÎ BD // AB ' ( D ∈ A ' B ') ⇒ ( AB ', BC ') = ( BD, BC ') = 60 0
· ·
⇒ DBC ' = 600 hoÆc DBC ' = 1200. B C
·
NÕu DBC ' = 600 . V× ABC.A’B’C’ l¨ng trô ®Òu nªn
BB ' ⊥ ( A ' B ' C ').
Áp dông ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã
A’
m
27
1
B’ C’
0
120
1
3
D
BD = BC ' = m 2 + 1 vµ DC ' = 3.
·
KÕt hîp DBC ' = 600 ta suy ra ∆BDC ' ®Òu.
Khi đó :
m2 + 1 = 3 ⇔ m2 + 1 = 3
⇔ m = 2.
·
NÕu DBC ' = 1200 ¸p dông ®Þnh lý cosin cho
∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i).
VËy m = 2 .
Bài 27:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc
a
với AB và AC, cạnh AA’ = .Tính góc giữa AB’ và BC’.
5
Hướng dẫn giải:
A' C'
r uuu r uuu r uuuu
r r r
Đặt a = AB,b = AC,c = AA ' .Ta có :
uuur r r
u uuuu
r rrr
AB ' = a + c và BC ' = −a + b + c , B'
r r r −3 2
uuur uuuu r r
r
u
AB ' . BC ' =( a + c )( −a + b + c )= a . A
10 C
1
2
6a ⇒
AB’=BC’= cos(AB’,BC’)=arccos .
4
5 B
Bài 28:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3
và (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,BC.
Tính Cos góc giữa hai đường thẳng SM,DN.
28
Hướng dẫn giải:
Ta có: SA = a, SB = a 3 , AB = 2a S
Dễ dàng chứng minh # ASB vuông tại B.
( SAB ) ∩ ( ABCD) = AB
Lại có :
( SAB ) ⊥ ( ABCD)
Nên nếu kẻ SH ⊥ AB thì SH ⊥ ( ABCD )
H
A
SA a B
·
Ta thấy : AH = = vì SAB = 60o M
K
22 P
N
AD a
Kẻ MP // DN => AP = =
4 2 D C
Kẻ HK ⊥ PM (trong mp(ABCD))
=> SK ⊥ PM ( định lí 3 đường vuông góc)
Do MP // DN nên :
· · · HM
( SM , DN ) = ( SM , MP) = SMK = α B
A
MK
·
Ta có : Cos( SM , DN ) = Cosα =
K
SM P
AB
Ta có : SM = =a
N
2
·
Mặt khác : MK = HMCosHMK
a AM
=.
2 PM
D C
a a a
=
.
=2 5
2
a
a2 +
4
a
5.
=>
Cos( SM , DN ) = 5 =
·
a 5
5
·
=> ( SM , DN ) = arccos .
5
5
Vậy góc giữa hai đường thằng SM và DN là arccos
5
29
IV.SỐ ĐO NHỊ DIỆN
Bài 29:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB =
AC = a
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ∆ ABC.
Ñaët SG=x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B,
SA, C) baèng 60o.
Hướng dẫn giải:
Caùch 1: S
Goïi M laø trungñieåmcuûaBC
⇒ AM ⊥ BC ( ∆ ABC vuoângcaân)
Ta coù: SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC . I
C
Suy ra: BC ⊥ (SAM)
Döïng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA vaø I C ⊥ SA
·
⇒ BIC laø goùcphaúngnhòdieän(B; SA; C). A M
G
∆SAB = ∆SAC (c.c.c)
⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC caântaïi I.
1 a2 a2 B
BC = a 2; AM = BM = MC = BC = ; AG =
2 2 3
30
AM a2 1 ax 2
∆AIM ~∆AGS ⇒ IM = SG. = x. =
.
AS 2 SG2 + AG2 2a2
2 x2 +
9
3ax 2
⇔ IM = .
2 9x2 + 2a2
·
BIC = 60o
Tacoù:
a2 3.3ax 2
·
⇔ BIM = 30o ⇔ BM = IM.tg30o ⇔ =
2 2 9x2 + 2a2
⇔ 9x2 + 2a2 = 3x 3 ⇔ 9x2 + 2a2 = 27x2
a
⇔ 18x2 = 2a2 ⇔ 9x2 = a2 ⇔ x = .
3
a
Vaäy x = .
3
Caùch 2:
z
BC = a 2
x
Goïi M laø trungñieåmBC
a2 a2
⇒ AM = ; AG =
2 3
Goïi E, F laànlöôït laø hình chieáucuûaG
treânAB, AC. Töù giaùcAEGF laø hìnhvuoâng
C
F
a A
⇒ AG = AE 2 ⇒ AE = AF = . y
G
3
Döïng heätruïc toïa ñoäAxyz, vôùi Ax, Ay, Az E M
ñoâi moätvuoânggoùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), B
a a a a
C(0; a; 0), G ; ; 0÷, S ; ; x ÷. x
3 3 2 2
uuu a a uur 2a a
r uur a 2a
u
SA = ; ; x ÷, SB = ; − ; − x ÷, SC = − ; ; − x ÷
3 3 3 3 33
uuu uur a2
r a a
r
r
[SA; SB] = 0; ax; − ÷ = a 0; x; − ÷ = a.n1 , vôùi n1 = 0; x; − ÷
3 3 3
uuu uur
ru a2 a
r
a
r
[SA; SC] = (−ax; 0; ) = −a x; 0; − ÷ = −a.n2, vôùi n2 = x; 0; − ÷.
3
3 3
31
uuu uur
r
Maët phaúng(SAB) coù caëpvectôchæphöông SA, SB neâncoù phaùpvectô
r
n1
uuu uur
ru
Maët phaúng(SAC) coù caëpvectôchæphöông SA, SC neâncoù phaùpvectô
r
n2
Goùc phaúngnhòdieän(B; SA; C) baèng60o.
aa a2
0.x + x.0 +
33 9
⇔ cos60o = =
9x + a2
2
2 2
a a
2 2
0+ x + x + 0+
9
9 9
a2 a
1 2 2 2 2 2
⇔ = 2 2 ⇔ 9x = a = 2a ⇔ 9x = a ⇔ x = .
3
2 9x + a
a
Vaäy, x = .
3
Bài 30:
a3
Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = , SO vuông góc với mp (ABCD) và
3
a6
SO = .
3
·
a) Chứng minh rằng ASC vuông.
b) Chứng minh rằng (B, SA, D) là nhị diện vuông.
Hướng dẫn giải:
S
H
A
D
O
B C
32
a) # SOB vuông tại O, ta có :
a 2 2a 2
SB = OB + SO = SB = OB + SO = + = a2
2 2 2
2 2 2
3 3
=>SB = a.
a2 2 a6
Ta có : OC = BC 2 − OB 2 = a 2 − =a =
3 3 3
2a 6
=>AC = 2OC = = 2SO.
3
·
=> # SAC vuông tại S hay ASC vuông(đpcm).
b) Kẻ BH ⊥ SA => DH ⊥ SA
·
=>Góc giữa (SAB) và (SAD) là BHD .
# SAO vuông tại O có:
1 1 1 9 9 3
= + = 2+ 2= 2
2 2 2
OH SO AO 6a 6 a a
a
=>OH = ( = OB = OD ).
3
=> # BHD vuông tại H
=> (B,SA,D) là góc nhị diện vuông.
V.MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
Bài 31:
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ ( BCD ) , tam giác BCD vuông ở C. Từ B hạ
¼ ¼
BH ⊥ AC , BK ⊥ AD . Giả sử BKH = CBD = α .Chưng minh rằng:
CD 2 BC 2
− = 1.
BC 2 AB 2
Hướng dẫn giải:
A
K
H
D
B
C
33
Do AB ⊥ ( BCD ) nên AB ⊥ DC .
Mà BC ⊥ DC => DC ⊥ ( ABC ) => DC ⊥ AC .
Lại có AC ⊥ BH => BH ⊥ ( ACD) .
=> BH ⊥ AD .
Ta có
¼ ¼
BKH = CBD = α => # BHK ~# DCB .
BH CD BD CD
= => =
=>Sinα =
BK BD BK BH
BD 2 CD 2 1 1 1 1
= => BD 2 + = CD 2 +
=> 2÷ ÷
2 2 2 2
BC 2
AB BD AB
BK BH
BD 2 CD 2 CD 2
+1 = +
=>
AB 2 AB 2 BC 2
CD 2 − BD 2 CD 2 CD 2 BC 2
=> 1 = + = − (ĐPCM)
AB 2 BC 2 BC 2 AB 2
Bài 32:
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng nửa cạnh
đáy. Với M là 1 điểm trên cạnh AB, Tìm giá trị lớn nhất của góc · ' MC '
A
Hướng dẫn giải:
Chọn rơ sở: r uuur r
uuu c uuu
r r
AB = a, AD = b, AA1 = c D' C'
Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuônguuu nh là 2h.
cạ
uuuu
r r r
M ∈ AB nên có số α sao cho AM = α AB = α a ,
α≤
vớir0 ≤uuur 1uuuu r A' B'
uuuu r r
MA ' = AA ' − AM = c − α a D C
r r 2 r2 rr r2
( )
=> MA '2 = c − α a = c − 2α ac + α 2 a
= h 2 (1 + 4α 2 )
uuuu uuu uuu uuuu
r r r r rrr A B
M
MC ' = MB − BC + CC ' = (1 − α )a + b + c
r r r2 r r2 r2
=> MC '2 = ( 1 − α ) a + b + c = ( 1 − α ) a + b + c
22
( )
= h 4 ( 1− α ) + 5
2
2
Do đó : MA ' = h 1 + 4α 2 , MC ' = h 4 ( 1 − α ) + 5
2
uuuu r r
ruuuu r rrr
( )
MA 'MC ' = c − α a ( 1 − α ) a + b + c
34
r2 r2
= c − α (1 − α )a = h 2 (2α − 1) 2
uuuu uuuu
r r (2α − 1) 2
( )
cos MA', MC ' = ≥0
(1 + 4α 2 ) 4(1 − α ) 2 + 5
Góc γ tạo bởi MA’ và MC’ nên 0 ≤ γ ≤ 90o
(2α − 1) 2
uuuu uuuu
r r
( ) ≥0
Do đó cosγ = cos MA', MC ' =
(1 + 4α 2 ) 4(1 − α ) 2 + 5
1
Vậy γ lớn nhất cosγ = 0 γ = ( thõa mãn) nên M là trung điểm AB.
2
Bài 33:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.Gọi α, β , γ là góc tạo bởi đường chéo
AC’ với 3 cạnh xuất phát từ A của hình hộp chữ nhật.Chứng minh rằng:
a) cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
b) Nếu α = 60o , β = 45o thì γ = 60o .
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1 ≤ 21 .
c)
Hướng dẫn giải:
a) Đặt AB = a, AA’ = c, AC’ = d, AD = b.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên:
AB ⊥ ( BCC ' B ') C' D'
=> AB ⊥ BC ' =># ABC’ vuông tại B
· · ·
Từ giả thiết : C ' AB = α , C ' AD = β , C ' AA'=γ
B'
A'
AB a
Ta có : cosα = =
AC' d
C
Chứng mình tương tự : D
AD b c
cosβ = = , cosγ =
AC' d d
B A
a 2 b2 c 2
Do đó cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 2 + 2 + 2 =1
d d d
Vậy cos α + cos β + cos γ = 1
2 2 2
b) Nếu α = 60o , β = 45o thì ta có :
cos 2 60o + cos 2 45o + cos 2γ = 1
1 1
=> cos γ = => cosγ = (cosα>0)
2
4 2
=> γ =60o (đpcm)
c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopski, ta có :
35
)
( ≤ 3 ( 4cos 2α + 1) + ( 4cos 2 β + 1) + ( 4cos 2γ + 1)
2
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1
)
( ≤ 3 4 ( cos 2α + cos 2 β + cos 2γ ) + 3 ≤ 21
2
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1 ≤ 21 (đpcm).
Vậy
4cos 2α + 1 = 4cos 2 β + 1 = 4cos 2γ + 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
3
cosα =cosβ =cosγ = .
3
Bài 34:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho
· ·
zOx = zOy = α (0o < α < 90o ) .Gọi M là một điểm trên Oz có hình chiếu lên
mp(xOy) là H.
·
a) Chứng minh H thuộc đường phân giác của xOy .
β · ·
< α với β = xOy và OH là tia phân giác của xOy
b) Chứng minh
2
Hướng dẫn giải:
a) Hạ HK ⊥ Ox, HI ⊥ Oy, suy ra MK ⊥ Ox, MI ⊥ Oy.
Hai tam giác vuông OMK và OMI bằng nhau ⇒ MK=MI z
M
⇒ Hai tam giác vuông MHK, MHI bằng nhau
·
⇒ HK=HI ⇒ OH là phân giác của xOy .
β HK MK
, tan α =
= y
b) tan O
2 OK OK I
β
vì HK
Top Download Chuyên Đề Luyện Thi
-
Tất cả các dạng bài tập Vật lý ôn thi Đại học khối A
113p 1843 812
-
Các phương pháp chứng minh hình học không gian
26p 2528 1124
-
Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D
55p 4740 2407
-
-
Chuyên đề luyện thi Đại học môn Hóa học - Khối B
63p 1798 796
-
Bài tập đại cương và kim loại - Ôn thi môn Hóa khối B
10p 3575 2123
-
250 câu hỏi trắc nghiệm và đáp án Sinh học khối B
33p 3501 2482
-
Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán
28p 2680 1370
-
-
Tài Liệu Chuyên Đề Luyện Thi Mới Xem thêm » Tài Liệu mới cập nhật Xem thêm »

markdown:
42 trang
Lượt xem: 626
Download: 186
# CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
Chia sẻ:
[johnnybach](http://tailieu.vn/user/johnnybach)
Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt hình học không gian đạt kết quả cao
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Ôn thi ĐH-CĐ](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/)» [Chuyên Đề Luyện Thi](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/chuyen-de-luyen-thi/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN**
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
A.Tóm tắt lí thuyết:
I.Góc giữa hai đường thẳng:
1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường
thẳng
a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b.
a // a '
2. thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và
b // b '
b’
3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù.
II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
V và mặt phẳng (α ) . Nếu V không vuông góc với (α ) , khi
1. Cho đường thẳng
đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc
V ’ của V lên mặt phẳng (α ) .
A
A'
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù.
3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (α ) .khi đó
góc giữa đường thẳng ∆ và (α ) không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và
m.
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là
hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)).
4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa
đường thẳng a và (P).
5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng
∆ ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường
thẳng ∆ và a bằng 90o .
(V, (α )) + (·V, a ) = 90o
·
.Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng
6
· ·
∆ ta có: (V, (α )) + (V, ( β )) = 90o .
7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi
đó A ' B ' = AB cos( ¼, (α )) . Do đó A ' B ' ≤ AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB
AB
song song với (α) hoặc nằm trên (α).
III.Góc giữa hai mặt phẳng:
1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β).
a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau, a
ta nói góc giữa chúng bằng 0.
b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m. b
Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β) O
m
và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O.
Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường
thẳng a và b.
2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù.
(α ) //(α ')
3. Nếu
( β ) //( β ')
· ·
Thì ((α ), ( β )) = ((α '), ( β ')) .
V⊥ (α ) ·
¶
thì (V, a) = ((α ), ( β )) .
4.Nếu
a ⊥ ( β )
·
5.Nếu (α ) ⊥ ( β ) thì ((α ), ( β )) = 900 .
6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu
vuông góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được
tính bằng công thức
·
S(H) = S(H’). Cos((α ), ( β )) .
Do đó S(H) ≤ S(H’).
2
B.Một số dạng toán liên quan:
I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Bài 1:
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt
là trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o .
·
Tính MN,SO và ( MN , ( SAO)) .
Hướng dẫn giải: S
M
A
B
P
N
O
H
D C
Gọi P là trung điểm AO.
Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó:
· ·
( MN , ( ABCD)) = MNP = 60o.
Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có
5a 2
NP = CN + CP − 2CN .CP.cos 45 =
2 2 2 o
.
8
PN 5
Trong tam giác vuông MNP ta có MN = =a
o
cos60 2
15 15
và PM=PN.tan 60o = a ⇒ SO = 2 MP = a .
8 2
Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC).
3
· ·
Do đó ( MN , ( SAC )) = NMH .
1 a2 5
Ta có NH = OB = , MN = a . Do đó trong tam giác vuông MHN ta có
2 4 2
NH 1
sin ·
NMH = = .
MN 2 5
π
1
Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng α thỏa mãn sin α = ,0 ≤ α ≤ .
2
25
Bài 2 :
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đáy có cạnh bằng a,cạnh bên có độ dài
bằng b.Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và
mặt phẳng (BCC’B’).Tính tan α .
Hướng dẫn giải:
M
B C
a
P
N
A
b
B'
C'
M'
A'
Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC.
Gọi P là trung điểm của BM.
Ta có AN ⊥ BC và AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’).
Do đó α = MC ' P .
·
Ta có
1 a3
MP = AN = .
2 4
3a 2
MC ' = MM '2 + M ' C '2 = b 2 +
4
9a 2
⇒ PC ' = b 2 + .
16
4
MP a3
Trong tam giác vuông C’PM ta có tan α = = .
PC ' 16b 2 + 9a 2
Bài 3:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc BC’, N’ thuộc
đoạn AB’. Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc α. Chứng minh
rằng :
a
MN ≥
2cosα +sinα
Hướng dẫn giải:
P
D C
M'
N'
A
B
D' M
C'
N
A' B'
Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M,N trên (ABCD). Không mất tính tổng quát giả
sử MM ' < NN ' . { P} = MN ∩ M ' N ' .
Khi đó:
MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM
⇒ MNcosα = ( PN – PM )cosα
= PNcosα – PMcosα
= PN’ – PM’ = M’N’.
⇒ M’N’= MNcosα
Do đó : M’N’ = BN '2 + BM '2 = MNcosα (1)
Ta có
MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’
=a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
MN ( 2cosα + sin α ) = 2( BN '2 + BM '2 ) + a − ( BN '+ BM ')
≥ ( BN '+ BM ') + a − ( BN '+ BM ') = a
5
( do 2(a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b) 2 )
a
MN ≥
⇒ (đpcm)
2cosα +sinα
Bài 4:
·
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân AB=AC=a. BAC = α ,biết
SA,SB,SC đều hợp với mp(ABC) góc α .Gọi O là tâm vòng (ABC).
a)CM: O trùng với hc của S lên mp(ABC)
b)Tính d(S,(ABC)).
Hướng dẫn giải:
S
B
A
OI
C
a) Gọi I là hinh chiếu của S lên (ABC), theo giả thiết, ta có:
· · ·
SAI = SBI = SCI = α (1)
Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung cạnh góc vuông SI và thỏa (1) nên bằng nhau .
Vậy IA=IB=IC
⇒ I ≡O.
b) Ta có :
AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong VABC )
α α
⇒ a=2R.sin( 90o − )= 2R.cos
2 2
a
⇒ R= α
2cos
2
6
a
⇒ IB= α
2cos
2
d ( S , ( ABC )) = SO ( SO ⊥ ( ABC ))
= IB tan α ( # SOB vuông)
α α α
2a sin cos a sin
a tan α 2 2= 2
=
=
α α cosα
2cosα cos
2cos
2 2
Bài 5:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.
AA’ ⊥ (ABC).Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với (ABB’A’) góc 30o .
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BB’.
a)Tính AA’
b) góc[MN,(BA’C’)].
Hướng dẫn giải:
A C
M
B
N
C'
A'
I
B'
Tính AA’:
Gọi I là trung điểm A’B’, ta có:
C’I ⊥ A’B’ ( VA ' B ' C ' đều)
Mà C’I ⊥ AA’ (AA’ ⊥ (A’B’C’))
Vậy C’I ⊥ (ABB’A’) (1)
⇒ BI = hcBC '/( ABB 'C ) ⇒ IBC ' = 30°
·
Mặt khác (1) ⇒ C’I ⊥ IB
⇒ VIC ' B vuông tại I
C 'I
⇒ BC ' = =a 3
sin 30°
VBB ' C ' vuông:
7
⇒ BB’= BC '2 − B ' C '2 = 3a 2 − a 2 = a 2.
b)Tính góc[MN,(BA’C’)].
Gọi J là trung điểm của A’C’ H là hình chiếu của M lên BJ.
Trong hình thang BNJM,MN cắt BJ tại K.K cũng
là giao diểm của MN và(B’A’C’).
Mặt khác , hcM /( BA 'C ') = H ∈ BJ
B A
M
H
C
K
N
B' A'
J
C'
uuuu uur
·r u
·
⇒ góc [MN,(BA’C’)]= MKH = MN , BJ
Ta có u uuu uuu uuuu uuur
uuuu uur
r r r r
MN .BJ = ( MB + BN ).( BM .BB ')
uuu uuuu uuu uuur uuu uuuu uuu uuur
rr r rr r
= MB.BM + MB.BB ' + BN .BM + BN .BB '
−3a 2 a2
= + 0 + 0 + a2 =
4 4
uuuu uur a 2
ru
⇒ MN.BJ.cos( MN , BJ )= (2)
4
Mà :
3a 2 a 2 a 5
MN = BM + BN = + =
2 2
4 2 2
3a 2 a 11
BJ = BM 2 + MJ 2 = + 2a 2 =
4 2
uuuu uur a 2
ru
2
⇒ a 55 .cos( MN , BJ )=
Vậy (3)
4
4
8
uuuu uur
ru 1
⇒ cos( MN , BJ )= >0.
55
uuuu uur
ru 1
Vậy góc[MN,(BA’C’)] = góc( MN , BJ ) = arccos .
55
Bài 6:
Cho hình lăng trụ ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân tại A.
AA’ ⊥ (ABC).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’.Biết rằng MN=a
và góc[MN,(ABC)]= α , góc[MN,(BCC’B’)]= β .
a)Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a, α .
b)CMR: cos α = 2 sin β .
Hướng dẫn giải:
A C
a/ Gọi I là trung điểm BC,
Ta có MN ⊥ (ABC) I
M
⇒ MI = hcMN /( ABC ) J
B
· ·
⇒ α = IMN α = IMN
VMIN VMIN vuông tại I.
⇒ MI=MN.cos α =a.cos α (1)
IN=MN.sin α =a.sin α (2) C'
A'
Từ (1) ⇒ AB=2a.cos α
N
( MI là đường trung bình VABC )
BC=2a 2 .cos α (3) ( VABC vuông cân) B'
Từ (2) ⇒ AA’=BB’=CC’=a.sin α .( IN = AA’)
b)Ta có:
MI // AC, MI=AC/2
⇒ MI ⊥ AB,MI=MB
⇒ VMIB vuông cân (4)
Gọi J là trung điểm BI thì MJ ⊥ BI
Mà MJ ⊥ BB’ (BB’ ⊥ (ABC))
Do đó MJ ⊥ (BCC’B’)
·
⇒ JN = hcMN /( BCC ' B ') ⇒ β = MNJ .
Ta có VMJN vuông ⇒ MJ=MN.sin β =a.sin β
9
⇒ BI=2MJ=2asin β (do (4))
⇒ BC=2BI=4asin β (5)
⇒ 2a 2 .cos α = 4asin β
Từ (3) và (5)
⇒ cos α = 2 sin β .
Bài 7:
Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC,ACD,ADB vuông tại A.M là một điểm ở
trong tam giác BCD.Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng
(ABC),(ACD),(ADB).
CMR: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ = 1 .
Hướng dẫn giải:
Từ M dựng các đoạn vuông góc MH,MK,ML từ M đến các mặt phẳng (ABC),(ACD),
(ADB) theo thứ tự.
Ta có: D
AH = hcAM /( ABC )
AK = hcAM /( ACD)
L MK
AL = hcAM /( ABD )
· β· ·
⇒ α = MAH, = MAK,λ = MAL I
A
C
J
Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho: H
MA MK ML
sin α = ,sin β = ,sin λ =
AM AM AM B
MH 2 + MK 2 + ML2
⇒ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ =
AM 2
Lần lượt dựng các đoạng vuông góc HJ,HI từ H đến AB,AC thì AJHI là hình chữ nhật.
Mặt khác, ta có HI ⊥ AC
Mà HI ⊥ AD (AD ⊥ (ABC))
Do đó HI ⊥ (ACD)
⇒ HI là khoảng cách Từ I đến (ACD)
⇒ HI = MK (MK//AD ⇒ MH // (ACD) )
Tương tự : HJ = ML
MH 2 + MK 2 + ML2
Từ đó sin 2 α + sin 2 β + sin 2 λ =
AM 2
MH 2 + HI 2 + HJ 2
=
AM 2
10
MH 2 + AH 2
= = 1 ( ∆AMH vuông).
AM 2
II.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, trong mp(P).Hai điểm M,N di động trên CB và
CD, Đặt CM=x,CN=y.Trên đường thẳng At vuông góc với (P) lấy điểm S.Tìm
liên hệ giữa x,y để
a) (SAM) và (SAN) tạo nhau góc 45o
b) (SAM) ⊥ (SMN).
Hướng dẫn giải:
S
A D
N
y
B C
M x
a) Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AM và
SA ⊥ AN.
·
Suy ra MAN là góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN).
·
⇒ MAN = 45o .
Ta có
·
MN 2 = MA2 + AN 2 − MA.NA.cos MAN
MN 2 = a 2 + (a − x ) 2 + a 2 + (a − y ) 2 − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ).
Mà MN 2 = x 2 + y 2 nên
11
x 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + y 2 − 2ax − 2ay − 2(a 2 + (a − x) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 )
⇔ 2(a 2 + (a − x ) 2 )(a 2 + (a − y ) 2 ) = 4a 2 − 2ax − 2ay.
⇔ x 2 y 2 + 4a 3 ( x + y ) = 4a 2 + 2axy ( x + y ).
b) Do (SAM) ⊥ (SMN) và MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ (SMA) ⇒ MN ⊥ AM.
⇒ AN 2 = AM 2 + MN 2
⇒ a 2 + (a − y )2 = a 2 + (a − x) 2 + x 2 + y 2
⇒ 2a 2 − 2ay + y 2 = 2a 2 − 2ax + 2x 2 + y 2
⇒ x 2 = a ( x − y ).
Vậy để (SAM) ⊥ (SMN) thì x 2 = a ( x − y ) (x>y).
Bài 9:
Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB =
·
AC = a, goùc BAC = 120o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'.
Chöùng minh ∆ AB'I vuoâng taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët
phaúng (ABC) vaø (AB'I).
Hướng dẫn giải:
Caùch 1:
Goïi H laø trungñieåm BC ⇒ AH ⊥ BC.
a
∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a ⇒ AH =
2
a3 B/ C/
vaøBH = ⇒ BC = a 3
2
A/
∆IB/ C/ vuoângcoù: I
2 2
a 13a
IB/ 2 = IC/ 2 + B/ C/ 2 = + 3a2 = H
B
4 4 C
30o
a2 2 5a2
∆ AIC vuoângcoù: AI 2 = IC2 + AC2 = +a = A
4 4
5a2 13a2
Ta coù: AI 2 + AB/ 2 = + 2a2 = = IB/ 2
4 4
(AB/ laø ñöôøngcheùocuûahình vuoângAA /B/B caïnha)
Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A.
AB
a2 10
1 1a 5
/
= .AI.AB = . .a 2 =
SAB/ I
Ta coù:
2 22 4
a2 3
1 1a
= .AH.BC = . .a 3 =
SABC
2 22 4
12
Goïi α laø goùcgiöõahai maëtphaúng(ABC) vaø(AB/I), theocoângthöùcchieáu,ta
coù:
SABC a2 3 a2 10 30
cosα = = =
:
SAB/ I 4 4 10
Caùch 2: C/
z
A H ⊥ BC
Goïi H laø trungñieåmBC ⇒ A/
a
∆ ABH laø nöûatamgiaùcñeàucaïnhAB =a B/ I
a a3
⇒ AH = vaø BH = ⇒ BC = a 3
2 2 C
A
Döïng heätruïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
y
60o H
A (0; 0; 0),
ñoâi moätvuoânggoùc, z B
a 3 a a3a /
; ; 0÷, C −
B ; ; 0÷, A (0; 0; a),
2 2 22
a 3 a / a 3 a a 3 a a
B/ ; ; a÷, C − ; ; a÷, I − ;;÷
2 2 2 2 2 2 2
uuu / a 3 a uu a 3 a a
r r
AB = ; ; a÷, AI = − ;;÷
22 2 2 2
uuu / uu a 3 a 3 a a
rr 3a2 a2 2a2
a
AB .AI = . − + . + a. = − ++ =0
÷
Ta coù:
2 2 22 2 4 4 4
uuu / uu
r r
Vaäy, ∆ /I vuoângtaïi A.
⇒ AB ⊥ AI. AB
r
n1 = (0; 0; 1)
* Phöôngtrìnhmp(ABC): z =0 coù phaùpvectô
uuu / uu
rr
* mp(AB/I) coù caëpvectôchæphöông AB , AI phaùpvectô:
, neâncoù
r r a2 3a2 3 2a2 3
uuu / uu a2 a2 r
[AB ; AI] = − ; − ÷ = − (1 3 3; − 2 3) = − .n2
; ;
4 4 4 4 4
r
vôùi n2 = (1 3 3; − 2 3)
; .
Goïi α laø goùcgiöõa(ABC) vaø(AB/I), ta coù:
0+ 0− 2 3 23 30
cosα = = = .
0 + 0 + 1. 1+ 27 + 12 40 10
Bài 10:
·
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, có AB = a, BAC = α ,
SA ⊥ ( ABC ) , SA = a, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là β.
13
1 + cos 2α
a) Chứng minh tan α .tan β = .
cos 2α
b) Tam giác ABC thỏa mãn điều gì để β = 600 .
Hướng dẫn giải:
S
Qua A hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC . K
DO SA ⊥ ( ABC ) và BC ⊥ AB => BC ⊥ ( SAB )
=> BC ⊥ AH => AH ⊥ ( SBC ) => AH ⊥ SC H
=> SC ⊥ ( AHK ) => SC ⊥ KH
C
A
=> ¼ = β (do ¼ < 900 )
AKH AKH
BC AH AH BC
Ta có tan α tan β = =
. . . B
AB HK AB HK
AH SH
Do # ABH ~# SAH => = .
AB SA
BC SC
# SHK ~# SCB => =
HK SH
SH SC SC
Ta có tan α tan β = =
. .
SA SH SA
a 1 + cos 2α
a
Mà AC = => SC =
cosα cosα
1 + cos α 1 + cos 2α 1 + cos 2α
2
SC
=> tan α tan β =
=> = =
cosα cosα cos 2α
SA
b) Do β = 600 nên tan α tan β = 3 tan α
1 + cos 2α 1
Theo câu a) => 3 tan α = = tan 2 α + 2
= 1+
cos α cos α
2 2
=> tan α + 2 = 3 tan α => tan α = 1 => tan α = ±1
2 2 2
Do 0o < α < 90o => tan α = 1 => α = 45o
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều nội tiếp đường tròn
đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 .
a) Tính góc S ữa (SAD) và (SBC)
gi
b) Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn giải: Q
P
B
A
E
14
H C
D
I
a) Gọi I = AD ∩ BC
=>SI là giao tuyến của (SAD) và (SBC)
BD ⊥ AD
=> BD ⊥ ( SAD) => BD ⊥ SI
Ta có :
BD ⊥ SA
Dựng DE ⊥ SI tại E.
=> ( BDE ) ⊥ SI
·
Suy ra BED là góc giữa (SAD) và (SBC).
· ·
Mặc khác # AIB là tam giác đều (do IAB = IBA = 60o )
Nên AI = AB = 2a
SI 2 = SA2 + AI 2 = 7 a 2
=> SI = a 7
# SAI ~# DEI (do 2 tam giác vuông có góc nhọn I chung)
DE DI a 1
= = =
=>
SA SI a 7 7
SA a 3
=> DE = =
7 7
BD ⊥ ( SAD) nên BD ⊥ DE .
Ta có
Trong # BDE , ta có :
BD a 3
tan BED = = =7
BE a 3
7
·
=> BED = arctan 7 .
·
Vậy (( SAD, ( SBC )) = arctan 7 .
Dựng AP ⊥ SH tại P, khi đó ta cũng có AP ⊥ CD ( do CD ⊥ ( SAH ) )
b)
Nên AP ⊥ ( SCD) .
Tương tự dựng AQ ⊥ SC tại Q thì AQ ⊥ ( SBC )
15
· ·
Do đó PAQ = (( SBC ), ( SCD))
Xét # vuông SAH, ta có :
1 1 1 5
= + =2
2 2 2
AP AH AS 3a
3
=> AP = a .
5
# SAC có SA ⊥ AC , SA = SC = a 3 nên # SAC vuông cân tại A
1 2 a6
=> AQ = SC = SA =
2 2 2
AP ⊥ (SCD) nên AP ⊥ PQ.
Trong # vuông APQ, ta có:
3
a
5 = 10
cosPAQ =
5
a6
2
10
·
Suy ra : PAQ = arccos
5
10
·
Vậy (( SBC ), ( SCD)) = arccos .
5
Bài 12:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = a, OB = b, OC
= c và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) = h. Gọi α, β, γ là các góc tạo
bởi (ABC) với cái mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA). Chứng minh rằng :
a) cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1 .
b) cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 .
Hướng dẫn giải:
a) Kẻ OH ⊥ ( ABC ) tại H. Kéo dài CH ∩ AB = { I }
OC ⊥ OA
=> OC ⊥ (OAB ) => OC ⊥ AB
Ta có : (1)
OC ⊥ OB C
Lại có : OH ⊥ ( ABC ) => OH ⊥ AB (2)
Từ (1),(2) => AB ⊥ (OCI )
=> AB ⊥ CI và AB ⊥ OI (3) H
# OCI vuông O, đường cao OH, ta có:
O B
I
16
A
1 1 1 1 1 1
= 2+ = + +
2 2
OA OB OC 2
2 2
OH OI OC
1 111
HAY : 2 = 2 + 2 + 2 .
h abc
· ·
Từ (3), ta có: CIO = COH =α (cạnh t/ư vuông góc).
OH h
=> cosα = cosCOH= =.
OC c
h h
Tương tự : cosβ = , cosγ = .
a b
2 1 1 1
=> cos α + cos β + cos γ = h 2 + 2 + 2 ÷ = 1 .
2 2 2
a b c
b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopski,ta có:
( cosα +cosβ +cosγ ) ≤ 3 ( cos 2α + cos 2 β + cos2γ ) =3
2
Vậy cosα +cosβ +cosγ ≤ 3 .(đpcm)
Bài 13:
·
Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, BDC = 45o . Gọi
·
ADB = α . Xác định α để góc giữa 2 mặt phẳng (ADC) và (BDC) bằng 60 .
o
Hướng dẫn giải:
D
J
C
A I
Dựng BI ⊥ AC .
Ta có : BI ⊥ DA( DA ⊥ ( ABC ))
=> BI ⊥ ( DAC ) B
=> BI ⊥ DC
Dựng BJ ⊥ DC => DC ⊥ ( BIJ)
Vậy (·ADC ), ( BDC ) ) = BJI .
·
(
17
Ta có # BJI vuông tại I ( BI ⊥ ( DAC ) ).
·
Theo đề bài BJI = 60o nên # BJI là nửa tam giác đều.
3 1 4
Suy ra BI = BJ => 2 =
3BJ 2
2 BI
·
Mặt khác # DBC vuông tại B và BDC = 45o
=> # DBC vuông cân tại B=>BD = BC
AB AB
Ta có: Sinα = => AB = BC = sinα
=
BD BC
Hơn nữa trong # ABC vuông tại B, ta có :
11
1 1 1
= + = + 1÷
2
BC sin α
2 2 2 2
BI AB BC
·
Trong # DJB vuông tại J có JDB = 45o nên # DJB vuông cân tại J, do đó:
1 2 2
DB = 2 BJ => = =
2 2
BC 2
BJ DB
11 42
+ 1÷ = .
=> 2
BC sin α 2 2
3 BC
1 8 15
=> 2 + 1÷ = => sinα =
sin α 3 5
15
Vậy => α = arcsin .
5
Bài 14:
Cho # ABC vuông tại A có BC là cạnh huyền thuộc mặt phẳng (P). Gọi β,γ lần
lượt là góc hợp bởi 2 đường thẳng AB,AC với mặt phẳng (P). Gọi α là góc hợp
bởi mặt phẳng(ABC) với mặt phẳng (P).Chứng mình rằng:
Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ .
Hướng dẫn giải:
Kẻ AH ⊥ ( P ) A
=> ·ABH = β , ·
ACH = γ
Kẻ HI ⊥ BC
Mà HI ⊥ AH
=> AI ⊥ BC ( định lí 3 đường vuông góc) C
=> · H
AIH = α
Trong # ABC vuông tại A, ta có: I
1 1 1
= +
2 2
AC 2 B
IA AB
AH 2 AH 2 AH 2
=> = +
IA2 AB 2 AC 2
Vậy Sin 2α = Sin 2 β + Sin 2γ .
18
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông tại A,B với
AB=BC=a,AD=2a,SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 .Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh AI ⊥ (SCD).
b) Tính góc α giữa hai mp (ABCD) và (SCD), góc β giữa hai mp (SAB) và
(SCD).
Hướng dẫn giải:
a) SA ⊥ (ABCD)
⇒ SA ⊥ AC,SA=AC= a 2 .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên AI ⊥ SC.
Gọi K là trung điểm của AD, S
tứ giác ABCK là hình vuông nên:
CK=KA=KD=a
⇒ tam giác ACD vuông tại C
⇒ CD ⊥ AC. Mà CD ⊥ AS, do SA ⊥ (ABCD) nên: I
CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AI. K
A D
⇒ AI ⊥ (SCD).
Ta có: AI ⊥ SC và CD
b) Ta có giao tuyến của (ABCD) và (SCD) là CD.
Theo câu a), CD ⊥ (SAC) nên CD ⊥ AC và CD ⊥ SC. B C
·
Do đó góc giữa (ABCD) và (SCD) là α = SCA .
Mà tam giác SAC vuông cân tại A nên α = 45o .
Ta có AD ⊥ AB và SA,nên AD ⊥ (SAB).
Theo cmt, AI ⊥ (SCD).Vậy góc giữa (SAB) và (SCD) là β =góc (AI,AD).
AI
·
Vì AI ⊥ (SDC) nên AI ⊥ ID.Tam giác AID vuông tại I và cosIAD =
AD
SC 1 1
·
= AC 2 =a.Vậy cosIAD = ⇒ β = 60o .
với AD=2a,AI=
22 2
Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và BA=BC=a, SA vuông
góc với đáy ,SA=a.Tính góc α giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Hướng dẫn giải:
S
H
C
A
19
B
Gọi H là trung điểm của AC, ta có BH ⊥ AC
Ta có BH ⊥ SA vì SA ⊥ (ABC), nên BH ⊥ (SAC).
Ta cũng có tam giác SHC là hình chiếu của tam giác SBC lên (SAC).
SSHC
Vậy cosα =
SSBC
1 1 2
SSHC = SA.HC= a. a 2 = a 2 .
2 2 2 4
Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên tam giác SBC vuông tại B.
1 1 a2 2 .
Ta có : SSBC = SB.BC=
AB 2 .BC=
2 2 2
S 1
Vậy cosα = SHC = ⇒ α = 60o .
SSBC 2
Câu 17:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng hai đoạn AA’,CC cùng vuông góc với
(ABC) và nằm cùng phía đối với (ABC), AA = CC ’= a. Tính góc giữa hai mp
(A’BC) và (C’BA).
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC’ và CA’; H là trung điểm của AC.
Ta có: AC ⊥ OB.Hạ HI ⊥ OB, suy ra OB ⊥ (ACI) và góc giữa (A’BC) và (C’BA) là góc
giữa IA và IC.
Ta có: OH//AA’ ⇒ OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BH. A' C'
1 1 1 16 a3
= + = 2 ⇒ HI = .
2 2 2
HI HB HO 3a 4 O
AH 2
· ·
tanAIH = = > 1⇒ AIH > 45o
IH 3 I
A C
H
2 2
· ·
⇒ AIH = arctan ⇒ AIC = π − 2arctan .
3 3 B
Bài 18:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, Sa vuông góc với mp
đáy và SA=x. Tính x để hai mp (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o .
Hướng dẫn giải:
20
Hạ AM ⊥ SB,ta chứng minh được AM ⊥ (SBC).
Tương tự hạ AN ⊥ SD, ta có AN ⊥ (SCD) và AM=AN.
S
Suy ra: góc[(SBC),(SCD)]= 60o
⇔ góc (AM,AN)= 60o
N
⇔ tam giác AMN đều ⇔ MN=AM.
ax M
Ta tính được AM= 2 ,
a +x 2
D
x2 A
MN SM SM .SB
= = =2
a + x2
SB 2
BD SB
ax B C
.
⇒ MN = a 2.
a2 + x2
Vậy MN=AM ⇔ x=a.
Bài 19:
Cho hình chóp S.ABCD có hai mp (SBC) và (SAD) cùng vuông góc với
mp(ABCD), đáy ABCD là hình vuông. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động
tuuuu BA,BC uuu chouur
rên uuu sao
r rr u
BM = k .BC , BN = k .BA , xác định k để (SDN) ⊥ (SAM).
Hướng dẫn giải:
S
Ta có
(SAB) ⊥ (ABCD)
(SAD) ⊥ (ABCD)
⇒ SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SAM) ⊥ (ABCD) ,
(ABCD) ∩ (SDN)=DN
Do đó
(SAM) ⊥(SDN) (SA ⊥DM)
A
⇔ AM ⊥ DM D
(*)
uuuuruuur
uur⇔ r uuuDN = 0
u AM r r . M
Đặt BA = a, BC = c, AM = m .
uuuu uuu uuuu
r r r r r
B
Ta có AM = AB + BM = −a + k .c C
rN
uuur uuu uuu uuu uuu uuu
r r r r r r
DN = DA + AN = DA + BN − BA = −c + (k − 1)a
và
r r
r r
(*) ⇔ ( −a + k .c )( −c + (k − 1).a )=0 ⇔ (1 − k )a 4 − km 2 = 0
1 rr rr
⇔ k= .( a . c =0, a 2 .c 2 = m 2 ).
2
1
Vậy khi k= thì (SAM) ⊥(SDN).
2
Bài 20:
21
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau.Gọi α , β , λ lần lượt là số
đo của các góc giữa mp(ABC) với các mp (DBC),(DCA),(DAB).Chứng minh:
1
a) cosα .cosβ .cosλ ≤
27
1
b) cos α + cos β + cos λ ≥ .
2 2 2
3
Hướng dẫn giải:
a) Gọi H là hình chiếu của D trên (ABC). Qua A,B,C dựng các đường thẳng song
song với các cạnh của tam giác ABC thì ta được một tứ diện DMNP có các
cạnh MD,DN,DP vuông góc với nhau từng đôi một, do đó H nằm trên miền
trong tam giác MNP.
Đặt S= S DAB = S DBC = S DAC = S ABC
* Nếu H ∈ VABC thì
SCBD = Scosα ,
SCAH = Scosβ .
S ABH = Scosλ
Do đó:
S ABC = S = SCBD + SCAH + S ABH =S( cosα + cosβ + cosλ ).
⇒ cosα + cosβ + cosλ =1
1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm ta được cosα .cosβ .cosλ ≤ .
27
* Nếu H∉ VABC thì H thuộc một trong ba tam giác ABM,BCN,CAP.
Khi đó một trong các góc α , β , λ tù
⇒ cosα , cosβ , cosλ có 1 giá trị âm,2 giá trị dương nên ta cũng thu được kết quả
trên.
b) Áp dung BĐT B.C.S:
(cosα + cosβ + cosγ ) 2 1 .
cos 2α + cos 2 β + cos 2 λ ≥ =
3 3
Bài 21:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi α , β , λ lần lượt là các góc giữa
mp (ACB’) với các mặt (BCB’),(ABC) và (BAB’).Chứng minh:
a) cosα .cosβ + cosλ.cosβ + cosα .cosλ ≤ 1 .
b) Nếu BD’ ⊥(ACB’) thì hình hộp đã cho là hình lập phương.
A' D'
Hướng dẫn giải:
B'
C'
A D
22
B C
a) Ta cm được : cosα + cosβ + cosλ =1
Áp dung B.C.S ⇒ đpcm.
b) BD’ ⊥ (ACB’) ⇒ BD’ ⊥ AC, ta lại có AC ⊥ BB’,AC ⊥ BD’,
do đó AC ⊥ (BB’D’D) ⇒ AC ⊥ BD nên ABCD là hình vuông
⇒ AB=BC
Cm tương tự ta có BC=BB’
Suy ra hình hộp đã cho là hình lập phương.
Bài 22:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa điều kiện:
· · ·
xOy = 90o , xOz = yOz = 60o .Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (xOz) và
(yOz).
Hướng dẫn giải:
z
C
I
x
O
A
B y
Trên Ox, Oy lấy A,B sao cho OA=OB=a.
Vẽ AC ⊥Oz, ta có hai tam giác OAC và OBC bằng nhau (vì OA=OB,OC chung,
· ·
AOC = BOC = 60o ).
⇒ BC ⊥ Oz.
Do đó α =(CA,CB) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (xOz) và (yOz).
Trong tam giác ABC:
AB 2 = AB 2 + BC 2 − 2AC.BC.cos ·
AOB
AB 2 + BC 2 − AB 2
⇔ cos ·
AOB =
2AC.BC
23
−1
a 3⇒
cos ·
Với AB= a 2, AC = BC = .
AOB =
3
2
1
Vậy góc giữa hai mp (xOz) và (yOz) có số đo là α xác định bởi cosα =
3
1
hay α =acrcos .
3
Bài 23:
Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong 1 mặt phẳng thỏa
xOy = 90o , xOz = ·yOz = 60o .Tính góc tạo bởi (xOz) và (yOz).
· ·
Hướng dẫn giải:
z
C
y
O
B
A x
Gọi α là góc tạo bởi (xOz) và (yOz).
Lấy A ∈ Ox,B ∈ Oy sao cho OA = OB = a.
Dựng AC ⊥ Oz .
Ta có :
# OAC =# OBC ( OA = OB, OC cạnh chung,
· ·
AOC = BOC = 60o )
=> BC ⊥ Oz .
Vậy α = · ACB .
Xét # ABC , ta có :
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BCCOSα
AC 2 + BC 2 − AB 2
⇔ cosα =
2 AC.BC
Với AB = OB + OA = a 2 ( # OAB vuông tại O)
2 2
a3
AC = BC = OB sin 60o = ( # OBC vuông tại C)
2
24
-1
-1
=> α =arccos ÷.
=> cosα =
3
3
-1
·
Vậy ( ( xOz ) , ( yOz ) ) =arccos ÷.
3
Bài 24:
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=2a, BC=a. Trên 2 tia Ax,Cy vuông góc với
mp(ABC) và ở cùng phía đối với (ABC), lần lượt lấy 2 điểm A’ và C’ sao cho
AA’=2a, CC’=x.
a) Xác định x sao cho · ' BC ' = 90o .
A
·
b) Xác định x sao cho BA ' C = 90o .
c) Cho x=4a. Tính cosϕ với ϕ là góc giữa 2 mp(ABC) và (A’BC’)
Hướng dẫn giải:
a) Trên Cy lấy C1 sao cho CC1 =2a
A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 8a 2 y
x
BC '2 = BC 2 + CC '2 = a 2 + x 2
A ' C ' = A ' C12 + C1C '2 = 5a 2 + (2a − x) 2 = x 2 − 4ax + 9a 2 A' C1
· ' BC ' = 90o
A
⇔ BC '2 = A ' B 2 + A ' C '2
C'
⇔ x 2 − 4ax + 9a 2 = 8a 2 + a 2 + x 2
⇔ x=0 C
A
·
b) BA ' C = 90o ⇔ BC '2 = A ' B 2 + A ' C '2
⇔ a 2 + x 2 = 8a 2 + x 2 − 4ax + 9a 2 B
⇔ 4ax = 16a 2 ⇔ x = 4a
c) x = 4a , khi đó:
A ' C12 + C ' C '2 + C1C '2 = 5a 2 + 4a 2 = 9a 2 ⇒ A ' C ' = 3a
1 1
S A ' BC ' =
A ' B. A ' C ' = .2a. 2.3a = 3a 2 2
2 2
2
S a 1 2
cos ϕ = ABC = 2 = =
S A ' BC ' 3a 2 3 2 6
25
III.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 25:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 ,
SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.
Hướng dẫn giải: S
A
H C
K F
E
M
B
Goïi M laø trungñieåmcuûaBF ⇒ EM // AF
· · ·
⇒ (SA; AF) = (EM; AF) = SEM
∆ SAE vuoângtaïi A coù:
SE2 = SA 2 + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a 3
2a 2. 3
AF = =a 6
2
26
a6 a2
⇒ EM = ; BF = a 2;BM = MF =
2 2
2 2 2 2 2 2
SB = SA + AB = a + 8a = 9a ⇒ SB = 3a
SF 2 = SA 2 + AF 2 = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a 7
∆
AÙp duïngñònhlyù ñöôøngtrungtuyeánSM trong SBF coù:
1
SB2 + SF 2 = 2.SM 2 + BF 2
2
15a2
1
⇔ 9a2 + 7a2 = 2SM 2 + .2a2 ⇔ SM 2 =
2 2
Goïi α laø goùcnhoïn taïo bôûi SE vaø AF
AÙp duïngñònhlyù haømCoâsinvaøo SEM ∆ coù:
3a2 15a2
2
3a + −
ES2 + EM 2 − SM 2 2 = − 2 = 2.
2
·
cosα = cosSEM = =
2.ES.EM 2 2
a6
2. .a 3
2
⇒ α = 45o.
a2
Döïng A K ⊥ ME; AH ⊥ SK.Ta coù: A H ⊥ (SME)
AK = MF = vaø
2
Vì A F // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH.
1 1 1 123 a3
∆ SAK vuoângcoù: = + = 2 + 2 = 2 ⇒ AH =
2 2 2
3
AH SA AK aaa
a3
Vaäy, d(SE; AF) = .
3
Bài 26:
Cho hình lăng trụ tam giác đ ều ABC. A' B' C ' có AB = 1, CC ' = m ( m > 0). Tìm m
biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB' và BC ' bằng 60 0 .
Hướng dẫn giải:
A
· ·
KÎ BD // AB ' ( D ∈ A ' B ') ⇒ ( AB ', BC ') = ( BD, BC ') = 60 0
· ·
⇒ DBC ' = 600 hoÆc DBC ' = 1200. B C
·
NÕu DBC ' = 600 . V× ABC.A’B’C’ l¨ng trô ®Òu nªn
BB ' ⊥ ( A ' B ' C ').
Áp dông ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã
A’
m
27
1
B’ C’
0
120
1
3
D
BD = BC ' = m 2 + 1 vµ DC ' = 3.
·
KÕt hîp DBC ' = 600 ta suy ra ∆BDC ' ®Òu.
Khi đó :
m2 + 1 = 3 ⇔ m2 + 1 = 3
⇔ m = 2.
·
NÕu DBC ' = 1200 ¸p dông ®Þnh lý cosin cho
∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i).
VËy m = 2 .
Bài 27:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc
a
với AB và AC, cạnh AA’ = .Tính góc giữa AB’ và BC’.
5
Hướng dẫn giải:
A' C'
r uuu r uuu r uuuu
r r r
Đặt a = AB,b = AC,c = AA ' .Ta có :
uuur r r
u uuuu
r rrr
AB ' = a + c và BC ' = −a + b + c , B'
r r r −3 2
uuur uuuu r r
r
u
AB ' . BC ' =( a + c )( −a + b + c )= a . A
10 C
1
2
6a ⇒
AB’=BC’= cos(AB’,BC’)=arccos .
4
5 B
Bài 28:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3
và (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,BC.
Tính Cos góc giữa hai đường thẳng SM,DN.
28
Hướng dẫn giải:
Ta có: SA = a, SB = a 3 , AB = 2a S
Dễ dàng chứng minh # ASB vuông tại B.
( SAB ) ∩ ( ABCD) = AB
Lại có :
( SAB ) ⊥ ( ABCD)
Nên nếu kẻ SH ⊥ AB thì SH ⊥ ( ABCD )
H
A
SA a B
·
Ta thấy : AH = = vì SAB = 60o M
K
22 P
N
AD a
Kẻ MP // DN => AP = =
4 2 D C
Kẻ HK ⊥ PM (trong mp(ABCD))
=> SK ⊥ PM ( định lí 3 đường vuông góc)
Do MP // DN nên :
· · · HM
( SM , DN ) = ( SM , MP) = SMK = α B
A
MK
·
Ta có : Cos( SM , DN ) = Cosα =
K
SM P
AB
Ta có : SM = =a
N
2
·
Mặt khác : MK = HMCosHMK
a AM
=.
2 PM
D C
a a a
=
.
=2 5
2
a
a2 +
4
a
5.
=>
Cos( SM , DN ) = 5 =
·
a 5
5
·
=> ( SM , DN ) = arccos .
5
5
Vậy góc giữa hai đường thằng SM và DN là arccos
5
29
IV.SỐ ĐO NHỊ DIỆN
Bài 29:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB =
AC = a
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ∆ ABC.
Ñaët SG=x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B,
SA, C) baèng 60o.
Hướng dẫn giải:
Caùch 1: S
Goïi M laø trungñieåmcuûaBC
⇒ AM ⊥ BC ( ∆ ABC vuoângcaân)
Ta coù: SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC . I
C
Suy ra: BC ⊥ (SAM)
Döïng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA vaø I C ⊥ SA
·
⇒ BIC laø goùcphaúngnhòdieän(B; SA; C). A M
G
∆SAB = ∆SAC (c.c.c)
⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC caântaïi I.
1 a2 a2 B
BC = a 2; AM = BM = MC = BC = ; AG =
2 2 3
30
AM a2 1 ax 2
∆AIM ~∆AGS ⇒ IM = SG. = x. =
.
AS 2 SG2 + AG2 2a2
2 x2 +
9
3ax 2
⇔ IM = .
2 9x2 + 2a2
·
BIC = 60o
Tacoù:
a2 3.3ax 2
·
⇔ BIM = 30o ⇔ BM = IM.tg30o ⇔ =
2 2 9x2 + 2a2
⇔ 9x2 + 2a2 = 3x 3 ⇔ 9x2 + 2a2 = 27x2
a
⇔ 18x2 = 2a2 ⇔ 9x2 = a2 ⇔ x = .
3
a
Vaäy x = .
3
Caùch 2:
z
BC = a 2
x
Goïi M laø trungñieåmBC
a2 a2
⇒ AM = ; AG =
2 3
Goïi E, F laànlöôït laø hình chieáucuûaG
treânAB, AC. Töù giaùcAEGF laø hìnhvuoâng
C
F
a A
⇒ AG = AE 2 ⇒ AE = AF = . y
G
3
Döïng heätruïc toïa ñoäAxyz, vôùi Ax, Ay, Az E M
ñoâi moätvuoânggoùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), B
a a a a
C(0; a; 0), G ; ; 0÷, S ; ; x ÷. x
3 3 2 2
uuu a a uur 2a a
r uur a 2a
u
SA = ; ; x ÷, SB = ; − ; − x ÷, SC = − ; ; − x ÷
3 3 3 3 33
uuu uur a2
r a a
r
r
[SA; SB] = 0; ax; − ÷ = a 0; x; − ÷ = a.n1 , vôùi n1 = 0; x; − ÷
3 3 3
uuu uur
ru a2 a
r
a
r
[SA; SC] = (−ax; 0; ) = −a x; 0; − ÷ = −a.n2, vôùi n2 = x; 0; − ÷.
3
3 3
31
uuu uur
r
Maët phaúng(SAB) coù caëpvectôchæphöông SA, SB neâncoù phaùpvectô
r
n1
uuu uur
ru
Maët phaúng(SAC) coù caëpvectôchæphöông SA, SC neâncoù phaùpvectô
r
n2
Goùc phaúngnhòdieän(B; SA; C) baèng60o.
aa a2
0.x + x.0 +
33 9
⇔ cos60o = =
9x + a2
2
2 2
a a
2 2
0+ x + x + 0+
9
9 9
a2 a
1 2 2 2 2 2
⇔ = 2 2 ⇔ 9x = a = 2a ⇔ 9x = a ⇔ x = .
3
2 9x + a
a
Vaäy, x = .
3
Bài 30:
a3
Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = , SO vuông góc với mp (ABCD) và
3
a6
SO = .
3
·
a) Chứng minh rằng ASC vuông.
b) Chứng minh rằng (B, SA, D) là nhị diện vuông.
Hướng dẫn giải:
S
H
A
D
O
B C
32
a) # SOB vuông tại O, ta có :
a 2 2a 2
SB = OB + SO = SB = OB + SO = + = a2
2 2 2
2 2 2
3 3
=>SB = a.
a2 2 a6
Ta có : OC = BC 2 − OB 2 = a 2 − =a =
3 3 3
2a 6
=>AC = 2OC = = 2SO.
3
·
=> # SAC vuông tại S hay ASC vuông(đpcm).
b) Kẻ BH ⊥ SA => DH ⊥ SA
·
=>Góc giữa (SAB) và (SAD) là BHD .
# SAO vuông tại O có:
1 1 1 9 9 3
= + = 2+ 2= 2
2 2 2
OH SO AO 6a 6 a a
a
=>OH = ( = OB = OD ).
3
=> # BHD vuông tại H
=> (B,SA,D) là góc nhị diện vuông.
V.MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
Bài 31:
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ ( BCD ) , tam giác BCD vuông ở C. Từ B hạ
¼ ¼
BH ⊥ AC , BK ⊥ AD . Giả sử BKH = CBD = α .Chưng minh rằng:
CD 2 BC 2
− = 1.
BC 2 AB 2
Hướng dẫn giải:
A
K
H
D
B
C
33
Do AB ⊥ ( BCD ) nên AB ⊥ DC .
Mà BC ⊥ DC => DC ⊥ ( ABC ) => DC ⊥ AC .
Lại có AC ⊥ BH => BH ⊥ ( ACD) .
=> BH ⊥ AD .
Ta có
¼ ¼
BKH = CBD = α => # BHK ~# DCB .
BH CD BD CD
= => =
=>Sinα =
BK BD BK BH
BD 2 CD 2 1 1 1 1
= => BD 2 + = CD 2 +
=> 2÷ ÷
2 2 2 2
BC 2
AB BD AB
BK BH
BD 2 CD 2 CD 2
+1 = +
=>
AB 2 AB 2 BC 2
CD 2 − BD 2 CD 2 CD 2 BC 2
=> 1 = + = − (ĐPCM)
AB 2 BC 2 BC 2 AB 2
Bài 32:
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng nửa cạnh
đáy. Với M là 1 điểm trên cạnh AB, Tìm giá trị lớn nhất của góc · ' MC '
A
Hướng dẫn giải:
Chọn rơ sở: r uuur r
uuu c uuu
r r
AB = a, AD = b, AA1 = c D' C'
Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuônguuu nh là 2h.
cạ
uuuu
r r r
M ∈ AB nên có số α sao cho AM = α AB = α a ,
α≤
vớir0 ≤uuur 1uuuu r A' B'
uuuu r r
MA ' = AA ' − AM = c − α a D C
r r 2 r2 rr r2
( )
=> MA '2 = c − α a = c − 2α ac + α 2 a
= h 2 (1 + 4α 2 )
uuuu uuu uuu uuuu
r r r r rrr A B
M
MC ' = MB − BC + CC ' = (1 − α )a + b + c
r r r2 r r2 r2
=> MC '2 = ( 1 − α ) a + b + c = ( 1 − α ) a + b + c
22
( )
= h 4 ( 1− α ) + 5
2
2
Do đó : MA ' = h 1 + 4α 2 , MC ' = h 4 ( 1 − α ) + 5
2
uuuu r r
ruuuu r rrr
( )
MA 'MC ' = c − α a ( 1 − α ) a + b + c
34
r2 r2
= c − α (1 − α )a = h 2 (2α − 1) 2
uuuu uuuu
r r (2α − 1) 2
( )
cos MA', MC ' = ≥0
(1 + 4α 2 ) 4(1 − α ) 2 + 5
Góc γ tạo bởi MA’ và MC’ nên 0 ≤ γ ≤ 90o
(2α − 1) 2
uuuu uuuu
r r
( ) ≥0
Do đó cosγ = cos MA', MC ' =
(1 + 4α 2 ) 4(1 − α ) 2 + 5
1
Vậy γ lớn nhất cosγ = 0 γ = ( thõa mãn) nên M là trung điểm AB.
2
Bài 33:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.Gọi α, β , γ là góc tạo bởi đường chéo
AC’ với 3 cạnh xuất phát từ A của hình hộp chữ nhật.Chứng minh rằng:
a) cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
b) Nếu α = 60o , β = 45o thì γ = 60o .
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1 ≤ 21 .
c)
Hướng dẫn giải:
a) Đặt AB = a, AA’ = c, AC’ = d, AD = b.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên:
AB ⊥ ( BCC ' B ') C' D'
=> AB ⊥ BC ' =># ABC’ vuông tại B
· · ·
Từ giả thiết : C ' AB = α , C ' AD = β , C ' AA'=γ
B'
A'
AB a
Ta có : cosα = =
AC' d
C
Chứng mình tương tự : D
AD b c
cosβ = = , cosγ =
AC' d d
B A
a 2 b2 c 2
Do đó cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 2 + 2 + 2 =1
d d d
Vậy cos α + cos β + cos γ = 1
2 2 2
b) Nếu α = 60o , β = 45o thì ta có :
cos 2 60o + cos 2 45o + cos 2γ = 1
1 1
=> cos γ = => cosγ = (cosα>0)
2
4 2
=> γ =60o (đpcm)
c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopski, ta có :
35
)
( ≤ 3 ( 4cos 2α + 1) + ( 4cos 2 β + 1) + ( 4cos 2γ + 1)
2
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1
)
( ≤ 3 4 ( cos 2α + cos 2 β + cos 2γ ) + 3 ≤ 21
2
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1
4cos 2α + 1 + 4cos 2 β + 1 + 4cos 2γ + 1 ≤ 21 (đpcm).
Vậy
4cos 2α + 1 = 4cos 2 β + 1 = 4cos 2γ + 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
3
cosα =cosβ =cosγ = .
3
Bài 34:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng nằm trong một mặt phẳng, sao cho
· ·
zOx = zOy = α (0o < α < 90o ) .Gọi M là một điểm trên Oz có hình chiếu lên
mp(xOy) là H.
·
a) Chứng minh H thuộc đường phân giác của xOy .
β · ·
< α với β = xOy và OH là tia phân giác của xOy
b) Chứng minh
2
Hướng dẫn giải:
a) Hạ HK ⊥ Ox, HI ⊥ Oy, suy ra MK ⊥ Ox, MI ⊥ Oy.
Hai tam giác vuông OMK và OMI bằng nhau ⇒ MK=MI z
M
⇒ Hai tam giác vuông MHK, MHI bằng nhau
·
⇒ HK=HI ⇒ OH là phân giác của xOy .
β HK MK
, tan α =
= y
b) tan O
2 OK OK I
β
vì HK
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Top Download Chuyên Đề Luyện Thi
-
[Tất cả các dạng bài tập Vật lý ôn thi Đại học khối A](http://tailieu.vn/doc/tat-ca-cac-dang-bai-tap-vat-ly-on-thi-dai-hoc-khoi-a-528610.html)
113p
1843
812
-
[Các phương pháp chứng minh hình học không gian](http://tailieu.vn/doc/cac-phuong-phap-chung-minh-hinh-hoc-khong-gian-200609.html)
26p
2528
1124
-
[Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D](http://tailieu.vn/doc/ly-thuyet-luyen-thi-dai-hoc-mon-toan-khoi-a-b-d-296480.html)
55p
4740
2407
-
-
[Chuyên đề luyện thi Đại học môn Hóa học - Khối B](http://tailieu.vn/doc/chuyen-de-luyen-thi-dai-hoc-mon-hoa-hoc-khoi-b-477975.html)
63p
1798
796
-
[Bài tập đại cương và kim loại - Ôn thi môn Hóa khối B](http://tailieu.vn/doc/bai-tap-dai-cuong-va-kim-loai-on-thi-mon-hoa-khoi-b-280088.html)
10p
3575
2123
-
[250 câu hỏi trắc nghiệm và đáp án Sinh học khối B](http://tailieu.vn/doc/250-cau-hoi-trac-nghiem-va-dap-an-sinh-hoc-khoi-b-14268.html)
33p
3501
2482
-
[Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán](http://tailieu.vn/doc/on-tap-tom-tat-chuong-trinh-thi-dai-hoc-mon-toan-39939.html)
28p
2680
1370
-
-
Tài Liệu Chuyên Đề Luyện Thi Mới
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/chuyen-de-luyen-thi/)
Tài Liệu mới cập nhật
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/tai-lieu/)

Server: Apache/2.2.3 (CentOS)


text:
Nếu bạn chưa đăng ký thành viên
Hãy click vào đây để đăng ký và tra cứu hơn
195.000
Văn bản Pháp Luật hoàn toàn miễn phí
và để nhận email thông báo Văn bản mới hằng tuần
...loại rủi ro pháp lý, nắm cơ hội làm giàu...
BỘ NỘI VỤ-UỶ BAN TRUNG ƯƠNG MẶT TRẬN TỔ QUỐC VIỆT NAM********
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc********
Số: 01/2005/TTLT-BTTUBTWMTTQVN-BNV
Hà Nội , ngày 12 tháng 5 năm 2005
THÔNG TƯ LIÊN TỊCH
CỦA BAN THƯỜNG TRỰC ỦY BAN TRUNG ƯƠNG MẶT TRẬN TỔ QUỐC VIỆT NAM -BỘ NỘI VỤ SỐ 01/2005/TTLT-BTTUBTWMTTQVN-BNV HƯỚNG DẪN QUY TRÌNH BẦU, MIỄN NHIỆM, BÃI NHIỆM TRƯỞNG THÔN, TỔ TRƯỞNG TỔ DÂN PHỐ
Căn cứ Luật Ban hành văn bản quy phạm pháp luật đã được sửa đổi, bổ sung ngày 16 tháng 12 năm 2002;Căn cứ Quy trình bầu trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố của Quy chế tổ chức và hoạt động của thôn và tổ dân phố (Ban hành kèm theo Quyết định số 13/2002//QĐ-BNV ngày 06 tháng 12 năm 2002 của Bộ trưởng Bộ Nội vụ).Để thực hiện thống nhất các quy định về quy trình bầu, miễn nhiệm, bãi nhiệm Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố, Bộ Nội vụ và Ban Thường trực Uỷ ban Trung ương Mặt trận Tổ quốc Việt Nam hướng dẫn một số điểm sau đây:
I. NGUYÊN TẮC CHUNG CỦA VIỆC BẦU, MIỄN NHIỆM, BÃI NHIỆM TRƯỞNG THÔN, TỔ TRƯỞNG TỔ DÂN PHỐ
Việc tổ chức bầu Trưởng thôn, Tổ trưởng Tổ dân phố (sau đây gọi chung là Trưởng thôn); việc xem xét đề nghị miễn nhiệm, bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn phải thực sự dân chủ, tôn trọng và lắng nghe ý kiến của nhân dân, bảo đảm quyền dân chủ của nhân dân, bảo đảm sự lãnh đạo của tổ chức cơ sở Đảng.
II. QUY TRÌNH BẦU TRƯỞNG THÔN
A. Công tác chuẩn bị
1. Chậm nhất 30 ngày trước ngày bầu cử, Chủ tịch Uỷ ban nhân dân xã, phường, thị trấn (sau đây gọi chung là cấp xã) ra quyết định công bố ngày bầu cử Trưởng thôn và thành lập Tổ bầu cử.
2. Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã chủ trì, phối hợp với Chủ tịch Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cùng cấp xây dựng kế hoạch bầu cử, hướng dẫn nghiệp vụ và giúp đỡ tổ chức hội nghị bầu cử.
3. Chủ tịch Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã chủ trì, phối hợp với Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cùng cấp tổ chức hội nghị triển khai kế hoạch bầu cử.
- Thành phần hội nghị:
Trưởng thôn (hoặc Trưởng thôn lâm thời), Bí thư chi bộ thôn, Trưởng ban công tác Mặt trận, Bí thư Chi đoàn Thanh niên, Chi hội trưởng Chi hội Phụ nữ, Chi hội trưởng Chi hội nông dân, Chi hội trưởng Chi hội Cựu chiến binh, Chi hội trưởng Chi hội Người cao tuổi thôn và một số đoàn viên, hội viên thuộc các chi hội đoàn thể nêu trên nếu thấy cần thiết.
- Nội dung hội nghị:
+ Đại diện Uỷ ban nhân dân cấp xã công bố quyết định của Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã về ngày bầu cử và thành lập Tổ bầu cử.
+ Đại diện Uỷ ban nhân dân cấp xã phổ biến kế hoạch bầu cử, nhiệm vụ của Tổ bầu cử, trách nhiệm của Trưởng thôn, các điều kiện bảo đảm cho công tác bầu cử.
+ Đại diện Ban Thường trực Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã phổ biến công tác hiệp thương giới thiệu người ứng cử Trưởng thôn, việc bầu cử, kiểm phiếu, công bố kết quả và báo cáo kết quả bầu cử, công tác tuyên truyền, vận động nhân dân đi bầu cử.
+ Hội nghị thảo luận và quán triệt công tác bầu cử.
+ Kết luận hội nghị của đại diện Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã.
B. Công tác hiệp thương
Bước một: dự kiến danh sách người ứng cử.
1. Căn cứ tiêu chuẩn Trưởng thôn (quy định tại Điều 11- Quy chế tổ chức và hoạt động của thôn và tổ dân phố) Trưởng ban công tác Mặt trận báo cáo với Chi bộ về dự kiến giới thiệu người ứng cử Trưởng thôn và kế hoạch tổ chức bầu Trưởng thôn.
2. Ban công tác Mặt trận họp dự kiến giới thiệu người ứng cử.
a. Thành phần hội nghị
Trưởng ban công tác Mặt trận triệu tập và chủ toạ hội nghị gồm toàn bộ các thành viên của Ban công tác Mặt trận.
b. Nội dung, thủ tục, trình tự
- Giới thiệu mục đích, yêu cầu hội nghị và đọc quyết định của chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã về ngày bầu cử và thành lập Tổ bầu cử.
- Giới thiệu tiêu chuẩn trưởng thôn (theo quy định tại Điều 11- Quy chế tổ chức và hoạt động của thôn và tổ dân phố).
- Trưởng ban công tác Mặt trận nêu dự kiến giới thiệu người ứng cử (có thể giới thiệu từ 1 đến 2 người).
- Hội nghị thảo luận, nhận xét người được dự kiến.
- Trưởng ban công tác Mặt trận kết luận ý kiến của hội nghị nhận xét người được dự kiến.
- Hội nghị lập biên bản ghi rõ số người được triệu tập, số người có mặt, nội dung hội nghị, ý kiến nhận xét của Hội nghị về người được dự kiến giới thiệu ứng cử (theo Mẫu số 1).
Bước hai: tổ chức Hội nghị cử tri để thảo luận tiêu chuẩn và danh sách những người ứng cử.
1. Thành phần Hội nghị
- Toàn thể cử tri hoặc cử tri đại diện hộ;
- Toàn thể thành viên của Ban công tác Mặt trận;
- Trưởng thôn, Phó trưởng thôn; Tổ trưởng, Tổ phó Tổ dân phố.
Trưởng Ban công tác Mặt trận chủ trì, phố hợp với Trưởng thôn mời cử tri họp.. ở thôn, tổ dân phố có từ 100 hộ trở xuống thì họp toàn thể cử tri hoặc cử tri đại diện hộ. Hội nghị chỉ được tiến hành khi có quá nửa số cử tri hoặc cử tri đại diện hộ dự họp. Nơi có trên 100 hộ thì không nhất thiết họp toàn thể, mà tổ chức hội nghị đại biểu cử tri là đại diện hộ ở các Tổ liên gia hoặc Tổ nhân dân tự quản hoặc của các xóm, đội sản xuất; nhưng phải mời ít nhất là đại diện của 50% số hộ trong thôn dự hội nghị; Hội nghị chỉ được tiến hành khi có quá nửa số cử tri thuộc thành phần mời họp tham dự.
Trưởng Ban công tác Mặt trận gửi giấy mời đến các thành phần dự hội nghị nêu trên và mời đại diện Ban thường trực Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã.
Trưởng thôn, Bí thư Chi bộ, Trưởng ban công tác Mặt trận chủ toạ hội nghị cử tri.
2. Nội dung, thủ tục, trình tự
a. Trưởng ban công tác Mặt trận tuyên bố lý do, giới thiệu đại biểu dự Hội nghị.
b. Trưởng ban công tác Mặt trận giới thiệu thư ký Hội nghị và phải được đa số cử tri dự Hội nghị biểu quyết giơ tay tán thành.
c. Trưởng thôn công bố quyết định của Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã về ngày bầu cử và thành lập tổ bầu cử.
d. Trưởng thôn báo cáo công tác nhiệm kỳ qua và tự phê bình trước Hội nghị cử tri .
e. Trưởng ban công tác Mặt trận đọc tiêu chuẩn Trưởng thôn và giới thiệu danh sách dự kiến người ra ứng cử Trưởng thôn của Ban công tác Mặt trận.
h. Hội nghị thảo luận danh sách những người được Ban công tác Mặt trận dự kiến giới thiệu. Cử tri có thể giới thiệu người ứng cử hoặc tự ứng cử.
i. Hội nghị thảo luận và quyết định thành phần cử tri bầu Trưởng thôn (toàn thể cử tri hoặc cử tri đại diện hộ).
k. Thông qua biên bản hội nghị cử tri (theo Mẫu số 2)
l. Trưởng thôn kết thúc hội nghị để Ban công tác Mặt trận họp ấn định danh sách người ứng cử.
Bước ba: tổ chức Hội nghị Ban công tác Mặt trận để ấn định danh sách chính thức những người ứng cử.
1. Thành phần Hội nghị:
Trưởng ban công tác Mặt trận triệu tập và chủ toạ Hội nghị bao gồm: đại diện lãnh đạo tổ chức cơ sở Đảng, Chi đoàn Thanh niên, Chi hội Phụ nữ, Chi hội Nông dân, Chi hội Cựu chiến binh, Chi hội Người cao tuổi.
2. Nội dụng, thủ tục, trình tự.
- Trưởng ban công tác Mặt trận nêu mục đích Hội nghị và giới thiệu đại biểu; sau đó đọc danh sách những người được Ban công tác Mặt trận và cử tri giới thiệu, người tự ứng cử (nếu có).
- Hội nghị căn cứ vào tiêu chuẩn Trưởng thôn để thảo luận và ấn định danh sách chính thức những người ứng cử Trưởng thôn. Số người ứng cử phải ít nhất là hai người để cử tri lựa chọn bầu một người.
- Hội nghị lập biên bản ghi rõ thành phần Hội nghị, tổng số người được triệu tập, số người có mặt, nội dung Hội nghị, diễn biến Hội nghị và thoả thuận cuối cùng của Hội nghị lập danh sách chính thức những người ứng cử Trưởng thôn (theo Mẫu số 3). Danh sách những người ứng cử Trưởng thôn được niêm yết công khai 7 ngày trước ngày tổ chức bầu cử (theo Mẫu số 4).
C. Công tác bầu cử
Căn cứ Quyết định của Chủ tịch UBND nhân dân cấp xã thành lập tổ bầu cử và quyết định nhiệm vụ của tổ bầu cử, Tổ trưởng tổ bầu cử chỉ đạo công việc bầu cử theo quy định tại Mục 3, Mục 4 - Điều 13 của Quy chế tổ chức và hoạt động của thôn và tổ dân phố (ban hành kèm theo Quyết định số 13/2002/QĐ-BNV ngày 06 tháng 12 năm 2002 của Bộ trưởng Bộ Nội vụ).
1. Thành phần cử tri và hình thức bầu cử:
Thành phần cử tri bầu Trưởng thôn là toàn thể cử tri hoặc cử tri đại diện hộ do hội nghị cử tri quyết định tại cuộc họp cử tri quy định tại điểm i, bước hai, Mục B, Phần II của Thông tư này.
Việc bầu cử có thể bằng hình thức giơ tay hoặc bỏ phiếu kín. Nếu thôn, bản, ấp, tổ dân phố có từ 100 hộ trở xuống thì có thể bầu cử bằng hình thức giơ tay hoặc bỏ phiếu kín do hội nghị quyết định; có trên 100 hộ thì bầu cử bằng hình thức bỏ phiếu kín.
2. Trình tự bầu cử:
2.1. Nếu bầu bằng hình thức giơ tay, thì hội nghị cử 3 người trực tiếp đếm số phiếu.
2.2. Nếu bầu bằng hình thức bỏ phiếu kín: hội nghị cử tri bầu ban kiểm phiếu từ 3 đến 5 người do Tổ trưởng tổ bầu cử giới thiệu trong số những người không ứng cử Trưởng thôn.
a. Tổ bầu cử chuẩn bị hòm phiếu, phiếu bầu có đóng dấu của Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc xã. Trên phiếu bầu ghi rõ họ tên những người ứng cử. Khi bầu cử, cử tri chỉ được lựa chọn một ứng cử viên trong danh sách ứng cử (không gạch họ tên người được lựa chọn) và gạch họ, tên những người mà cử tri không tín nhiệm. Nếu ở địa phương nào không có điều kiện in phiếu bầu thì cử tri tín nhiệm người nào trong danh sách người ứng cử Trưởng thôn do Ban công tác Mặt trận ấn định thì ghi rõ họ và tên người đó vào phiếu bầu để trắng đã có đóng dấu của Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã.
b. Ban kiểm phiếu tiến hành kiểm phiếu tại nơi bỏ phiếu ngay sau khi kết thúc cuộc bỏ phiếu.
Trước khi Ban kiểm phiếu mở hòm phiếu, Tổ bầu cử phải thống kê, lập biên bản niêm phong số phiếu bầu không sử dụng đến và mời hai cử tri không phải là người ứng cử có mặt tại đó chứng kiến việc kiểm phiếu. Tổ bầu cử có quyền chứng kiến việc kiểm phiếu.
Những phiếu sau đây là không hợp lệ:
- Phiếu bầu không phải là phiếu theo mẫu của Tổ bầu cử phát ra.
- Phiếu không có dấu của Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã.
- Phiếu để số người được bầu là hai người trở lên.
- Phiếu gạch xoá hết tên những người ứng cử.
- Phiếu ghi tên người ngoài danh sách ứng cử hoặc phiếu có viết thêm.
c. Kiểm phiếu xong, Ban kiểm phiếu bàn giao biên bản kiểm phiếu (theo Mẫu số 5) và phiếu bầu cho Tổ trưởng Tổ bầu cử. Biên bản kiểm phiếu phải ghi rõ:
- Tổng số cử tri của thôn theo thành phần toàn thể cử tri hoặc cử tri đại diện hộ.
- Số cử tri đã tham gia bỏ phiếu.
- Số phiếu phát ra.
- Số phiếu thu vào.
- Số phiếu hợp lệ.
- Số phiếu không hợp lệ.
- Số phiếu bầu cho mỗi người ứng cử.
Người trúng cử Trưởng thôn là người được quá nửa số phiếu bầu hợp lệ và được nhiều phiếu hơn.
Kết quả bầu cử chỉ có giá trị khi có ít nhất quá nửa số cử tri trong danh sách tham gia bỏ phiếu.
Biên bản kiểm phiếu lập thành 03 bản, có chữ ký của các thành viên ban kiểm phiếu và 02 người chứng kiến việc kiểm phiếu để gửi đến Chủ tịch Uỷ ban nhân dân, Chủ tịch Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã và Tổ trưởng tổ bầu cử giữ 01 bản.
d. Thông qua biên bản kiểm phiếu.
Trường hợp số cử tri tham gia bỏ phiếu chưa được quá nửa số cử tri ghi trong danh sách hoặc vi phạm các quy định về bầu cử thì phải tổ chức bầu lại. Ngày bầu cử lại do Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã quyết định, nhưng chậm nhất không quá 15 ngày kể từ ngày tổ chức bầu cử lần đầu. Nếu bầu lần thứ hai mà vẫn không bầu được Trưởng thôn thì Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã quyết định cử Trưởng thôn lầm thời trong số những người ứng cử chính thức để hoạt động cho đến khi bầu được Trưởng thôn mới.
D. Công nhận kết quả bầu cử
Căn cứ Biên bản kết quả kiểm phiếu vào báo cáo kết quả hội nghị bầu Trưởng thôn của Tổ bầu cử, chậm nhất không quá 5 ngày làm việc, Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã xem xét ra Quyết định công nhận người trúng cử Trưởng thôn hoặc quyết định bầu cử lại. Trưởng thôn chính thức hoạt động khi có quyết định công nhận của Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã.
III. QUY TRÌNH XEM XÉT
miễn nhiệm, bãi nhiệm trưởng thôn
1. Quy trình miễn nhiệm Trưởng thôn
1.1. Các trường hợp miễn nhiệm Trưởng thôn:
Trưởng thôn có thể được miễn nhiệm chức danh Trưởng thôn, do sức khoẻ, do hoàn cảnh gia đình hoặc vì lý do khác.
1.2. Thủ tục, trình tự miễn nhiệm
a. Người xin miễn nhiệm phải có đơn, trong đó nêu rõ lý do của việc xin miễn chức danh Trưởng thôn gửi Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã và Trưởng ban công tác Mặt trận thôn. Trường hợp Trưởng thôn được điều động làm công tác khác thì không cần có đơn xin miễn nhiệm.
b. Việc miễn nhiệm Trưởng thôn được thực hiện theo một trong hai hình thức sau đây:
- Tổ chức Hội nghị cử tri ở thôn, tổ dân phố để bỏ phiếu miễn nhiệm. Trình tự, thủ tục miễn nhiệm được áp dụng tương tự như quy trình bãi nhiệm Trưởng thôn quy định tại tiết d, đ, e, g, điểm 2.2 Mục 2 Phần III của Thông tư này.
- Ban công tác Mặt trận họp xem xét, thống nhất việc miễn nhiệm Trưởng thôn và làm văn bản đề nghị miễn nhiệm kèm theo biên bản họp Ban công tác Mặt trận gửi Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã.
c. Chậm nhất là 5 ngày kể từ ngày nhận các văn bản nêu trên, Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã phải xem xét, ra quyết định miễn nhiệm chức danh Trưởng thôn.
Việc bầu trưởng thôn mới phải được tiến hành trong thời hạn 30 ngày, kể từ ngày Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã ra quyết định miễn nhiệm chức danh trưởng thôn.
2. Quy trình bãi nhiệm Trưởng thôn:
2.1. Các trường hợp bãi nhiệm
Trưởng thôn khi không còn được nhân dân tín nhiệm, Trưởng thôn không hoàn thành nhiệm vụ, vi phạm quyền làm chủ của nhân dân, tham nhũng, lãng phí, không phục tùng sự chỉ đạo điều hành của Uỷ ban nhân dân cấp xã, vi phạm pháp luật và các quy định của cấp trên thì có thể bị cử tri bãi nhiệm theo đề nghị của Ban công tác Mặt trận thôn.
2.2. Thủ tục, trình tự bãi nhiệm.
a. Bản tự kiểm điểm của Trưởng thôn trong đó nêu rõ khuyết điểm, nguyên nhân khách quan, chủ quan và tự nhận hình thức kỷ luật gửi Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã và Trưởng ban công tác Mặt trận thôn.
b. Ban công tác Mặt trận họp bỏ phiếu tín nhiệm Trưởng thôn theo hướng dẫn của Ban Thường trực Uỷ ban Trung ương Mặt trận Tổ quốc Việt Nam (Thông tri số 06 ngày 25 tháng 01 năm 2005).
c. Nếu phiếu tín nhiệm thấp dưới 50% thì Ban công tác Mặt trận làm văn bản đề nghị tổ chức Hội nghị cử tri thôn xem xét bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn kèm theo Biên bản bỏ phiếu tín nhiệm Trưởng thôn gửi Chủ tịch Uỷ ban nhân dân và Chủ tịch Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã.
d. Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã căn cứ văn bản đề nghị của Ban công tác Mặt trận để ra quyết định tổ chức ngày bỏ phiếu bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn và thành lập Ban tổ chức bãi nhiệm do Trưởng ban công tác Mặt trận làm Trưởng ban và các thành viên là đại diện của tổ chức Đảng và đại diện một số đoàn thể như Thanh niên, Phụ nữ, Nông dân, Cựu chiến binh, Người cao tuổi của thôn. Nhiệm vụ của Ban tổ chức bãi nhiệm áp dụng nhiệm vụ của Tổ bầu cử Trưởng thôn. Thành phần cử tri bãi nhiệm áp dụng như thành phần cử tri bầu Trưởng thôn.
đ. Hình thức bãi nhiệm phải tổ chức bỏ phiếu kín, phiếu ghi rõ họ và tên Trưởng thôn, đóng dấu Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã. Cử tri đồng ý bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn thì gạch ngang họ và tên người đó. Nếu không đồng ý bãi nhiệm thì để nguyên phiếu.
e. Việc thành lập Ban kiểm phiếu, thủ tục bỏ phiếu, kiểm phiếu, giá trị pháp lý của số phiếu bãi nhiệm áp dụng theo quy định tại, Mục C, Phần II - công tác bầu cử tại Thông tư này.
g. Chậm nhất là 5 ngày kể từ ngày nhận được biên bản kiểm phiếu và báo cáo kết quả bỏ phiếu bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn của Trưởng Ban công tác Mặt trận; Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã phải xem xét ra quyết định công nhận kết quả bỏ phiếu bãi nhiệm chức danh Trưởng thôn.
Việc bầu Trưởng thôn mới phải được tiến hành trong thời hạn 30 ngày, kể từ ngày Chủ tịch Uỷ ban nhân dân cấp xã ra quyết định công nhận kết quả bãi nhiệm.
IV. HIỆU LỰC THI HÀNH
1. Thông tư này có hiệu lực sau 15 ngày, kể từ ngày đăng Công báo.
2. Trong quá trình thực hiện, nếu có vướng mắc cần được giải thích hoặc hướng dẫn bổ sung, thì Uỷ ban nhân dân, Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp tỉnh phản ánh cho Bộ Nội vụ và Uỷ ban Trung ương Mặt trận Tổ quốc Việt Nam để giải quyết.
3. Uỷ ban nhân dân các cấp, Sở Nội vụ, Ban Thường trực Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc các cấp ở địa phương, Ban công tác mặt trận có trách nhiệm thi hành Thông tư này.
Đặng Quốc Tiến
(Đã ký)
Đỗ Duy Thường
MẪU SỐ 1/BTT
Uỷ ban MTTQ xã, phường, thị trấn…
Ban công tác Mặt trận……………(1) Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
…(1), ngày... tháng... năm 200..
Biên bản Hội nghị ban công tác mặt trận dự kiến
người ứng cử trưởng thôn, tổ trưởng tổ dân phố
Hồi……, giờ….. ngày….. tháng………năm 200…, tại (2)………………….....
Ban công tác Mặt trận thôn, ấp, bản, khu phố (cụm, miền)……………………………… họp để thảo luận, giới thiệu người để đưa ra Hội nghị cử tri của thôn, ấp, bản, tổ dân phố giới thiệu người ứng cử Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố.
1. Tổng số người được triệu tập:………………… người.
- Số người có mặt:…………….. người, vắng….. người có lý do.
- Chủ toạ hội nghị;
- Thư ký hội nghị:
2. Hội nghị tiến hành với nội dung như sau:
- Nghe thông báo quyết định của Chủ tịch Uỷ ban nhân dân xã về ngày bầu cử Trưởng thôn, Tổ trưởng dân phố và thành lập Tổ bầu cử.
- Nghe ông (bà)……………………………………
Trưởng ban công tác Mặt trận nêu dự kiến người ứng cử Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố.
- Căn cứ tiêu chuẩn Trưởng thôn và điều kiện ứng cử theo quy định tại Điều 11, Quy chế tổ chức và hoạt động của Thôn và Tổ dân phố; Hội nghị thảo luận, nhận xét đối với những người được giới thiệu ứng cử.
Hội nghị nhất trí dự kiến các ông (bà) có tên sau đây để đưa ra hội nghị cử tri của thôn, tổ dân phố thảo luận:
1. ………………………….
2. ………………………….
Hội nghị kết thúc hồi………, giờ……..
thư ký hội nghị
(Ký tên)
(Ghi rõ họ và tên) Chủ toạ hội nghị
(Ghi rõ họ và tên)
Ghi chú: (1) Ghi rõ tên thôn, làng, ấp, bản, khu phố.
(2) Địa điểm tổ chức hội nghị.
MẪU SỐ 2/BTT
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
.…(1) ngày…. tháng…. năm 200….
Biên bản Hội nghị cử tri giới thiệu
Hồi……, giờ….. ngày….. tháng…. năm 200…; thôn, tổ dân phố (1)…………. đã tiến hành hội nghị giới thiệu người ứng cử Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố.
1. Thành phần đại biểu được triệu tập gồm (2):
+ …………………………………….
- Tổng số người được triệu tập:………………..
- Tổng số người có mặt:……………………….
- Họ và tên, chức vụ người chủ toạ Hội nghị :………………………………
2. Hội nghị tiến hành với chương trình nội dung như sau:
- ………………….)
- ………………….) (Ghi diễn biến Hội nghị với từng nội dung theo hướng dẫn
- ………………….) tại điểm 2, bước hai, Mục B, Phần II của Thông tư này).
- …………………………….)
- Hội nghị kết thúc hồi………… giờ……………
Ghi chú:
(1) Tên thôn, tổ dân phố.
(2) Ghi thành phần đại biểu được triệu tập theo quy định tại Điểm 1, bước hai, Mục B, Phần II của Thông tư này.
MẪU SỐ 3/BTT
Ban công tác Mặt rận………(1) Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
…(1), ngày… tháng… năm 200…
Biên bản hội nghị ban công tác mặt trận ấn định
danh sách chính thức những người ứng cử
trưởng thôn, tổ trưởng tổ dân phố
Hồi……, giờ….. ngày….. tháng…. năm 200…, tại (2)…………………….. Ban công tác Mặt trận thôn, ấp khu phố (cụm, miền)…………………………. tiến hành Hội nghị Ban công tác Mặt trận ấn định danh sách chính thức những người ứng cử Trưởng thôn để đưa ra Hội nghị cử tri của thôn, tổ dân phố bầu làm Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố.
- Tổng số người được triệu tập:………………….. người.
- Số người có mặt:………….... người, vắng……. người có lý do.
Trưởng ban công tác Mặt trận đọc danh sách những người được Ban công tác Mặt trận và cử tri giới thiệu, người tự ứng cử (nếu có) Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố.
- Căn cứ tiêu chuẩn Trưởng thôn và điều kiện ứng cử theo quy định tại Điều 11, Quy chế tổ chức và hoạt động của Thôn và Tổ dân phố; Hội nghị thảo luận, nhận xét và ấn định danh sách chính thức những người ứng cử Trưởng thôn, Tổ trưởng tổ dân phố để cử tri của thôn, tổ dân phố bầu (có danh sách trích ngang kèm theo)(3):
1. …………………………… (Ghi họ tên
2. …………………………... từng người)
Hội nghị kết thúc hồi……., giờ…….
(2) Địa điểm tổ chức hội nghị.
(3) Danh sách trích ngang theo Mẫu số 04.
MẪU SỐ 4/BTT
Ban công tác Mặt rận…………(1)
Danh sách những người ứng cử
trưởng thôn, tổ trưởng tổ dân phố
(Kèm theo biên bản hội nghị của Ban công tác Mặt trận ấn định danh sách chính thức những người ứng cử
Trưởng thôn, Tổ trưởng Tổ dân phố theo Mẫu số 3)
STT Họ và tên
Ngày, tháng, năm sinh Nam, nữ Quê quán Nơi cư trú Dân tộc Tôn giáo Trình độ học vấn Trình độ chuyên môn nghiệp vụ Trình độ chính trị Nghề nghiệp Đảng viên Ghi chú
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
TM. Ban công tác mặt trận
(Ghi rõ họ, tên, chức vụ)
Ghi chú:
(1) Tên Ban công tác Mặt trận.
Cột 9: trình độ phổ thông; học hàm hay học vị cao nhất (nếu có)
* Đóng dấu treo của Uỷ ban MTTQ cấp xã ở trên góc trái.
MẪU SỐ 5/BTT
Biên bản kiểm phiếu bầu trưởng thôn, tổ trưởng tổ dân phố
Ngày…. tháng…. năm 200…., hồi…. giờ…. phút. Ban kiểm phiếu bầu Trưởng thôn, Tổ trưởng Tổ dân phố (1) gồm các ông bà có tên sau đây:
1. Ông, bà …………………………………………….. Tổ trưởng
2. Ông, bà …………………………………………….. Thư ký
3. Ông, bà ……………………………………………. tổ viên
đã tiến hành kiểm phiếu bầu Trưởng thôn, Tổ trưởng Tổ dân phố.
Trước khi Ban kiểm phiếu mở hòm phiếu, Tổ trưởng Tổ bầu cử tuyên bố kết thúc việc bỏ phiếu và mời hai cử tri, không phải là người ứng cử có mặt tại đó chứng kiến việc kiểm phiếu là:
1. Ông, bà…………………………… Nơi cư trú (nơi ở hiện nay)……………
2. Ông, bà……………………….......... Nơi cư trú (nơi ở hiện nay)……………
Kết quả kiểm phiếu như sau:
- Tổng số cử tri hoặc cử tri đại diện hộ của thôn, tổ dân phố có….. người
- Số cử tri đã tham gia bỏ phiếu………… người, = ………….% tổng số cử tri.
vắng……….. người có lý do
- Số phiếu phát ra: ………………….. phiếu
- Số phiếu thu về: …………………... phiếu
- Số phiếu hợp lệ: …………………... phiếu
- Số phiếu không hợp lệ: …………… phiếu
- Số phiếu bầu cho mỗi người ứng cử như sau:
1. Ông, bà……………………………. được …………. phiếu; = …………..%
2. Ông, bà……………………………. được …………. phiếu; = …………...%
Biên bản kiểm phiếu lập thành 03 bản, có chữ ký của các thành viên Ban kiểm phiếu và 02 người chứng kiến việc kiểm phiếu để gửi đến Chủ tịch Uỷ ban nhân dân, Chủ tịch Uỷ ban Mặt trận Tổ quốc cấp xã và Tổ trưởng tổ bầu cử giữ 01 bản.
Hai cử tri chứng kiến
việc kiểm phiếu
(Ký tên, ghi rõ họ và tên) Các thành viên Ban kiểm phiếu
(Ký tên, ghi rõ họ và tên)
(1) Ghi rõ tên thôn, tổ dân phố
Tags:
01/2005/TTLT-BTTUBTWMTTQVN-BNV, THONG TU LIEN TICH 01, BO NOI VU, UY BAN TRUNG UONG MAT TRAN TO, TO TRUONG TO DAN PHO, BAU TRUONG THON, TRUONG THON, MIEN NHIEM BAI NHIEM TRUONG THON, BAU TO TRUONG TO DAN PHO, MIEN NHIEM BAI NHIEM TO TRUONG TO DAN PHO, BO MAY HANH
195.000
Hãy click vào
đây để tìm kiếm các Văn bản khác một cách dễ dàng, nhanh chóng.
Hoặc có thể nhờ bộ phận hỗ trợ khách hàng tìm giúp bạn.

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Cache-Control: private

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Set-Cookie: Culture=vi; domain=thuvienphapluat.vn; expires=Mon, 20-Apr-2015 00:44:04 GMT; path=/

Connection: close


text: Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Quảng cáo Trực tuyến 24H Trụ sở: Tầng 12, Tòa nhà Geleximco, 36 Hoàng Cầu, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, TP Hà Nội Tel: (84-4) 73 00 24 24 hoặc (84-4) 3512 1806 - Fax: (84-4) 3512 1804 VPĐD: Tầng 5 – Toà nhà Hải Âu - 39B Trường Sơn, P2, Q.Tân Bình, TP.Hồ Chí Minh Tel: (84-8) 73 00 24 24 hoặc (84-8) 3848 9845 - Fax: (84-8) 3848 6519 / Giấy phép số 2517/GP- TT ĐT ngày cấp 27/08/2013 SỞ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HÀ NỘI. Chịu trách nhiệm xuất bản: Ngô Kỳ Lam ® Ghi rõ nguồn "24H.COM.VN" khi bạn phát hành lại thông tin từ website này

markdown:
|
|![]()
## Vợ mới Hiệp "Gà" bị nghi là "thành phần bất hảo"
Thứ Tư, ngày 24/03/2010 08:12 AM (GMT+7)
Khi nụ cười ngày vu quy chưa kịp tắt trên môi, Thu Trang, vợ mới Hiệp "Gà" đang đối mặt với tin đồn cô là "thành phần bất hảo".
Phim HAY trong nước, quốc tế. Những câu chuyện thú vị.
Chỉ sau ngày cưới lần 2 của Hiệp "Gà" cùng người bạn tâm giao lâu năm Thu Trang ít hôm, khi nụ cười còn chưa kịp tắt ngày vu quy, Thu Trang, vợ mới của Hiệp "Gà" đã phải "méo mặt" vì đối diện với tin đồn cô là "thành phần bất hảo". Những bức ảnh khá mát mẻ của một cô gái được cho là rất giống Thu Trang đã được lan truyền trên mạng với vận tốc "chóng mặt".
Rất nhiều những lời bình luận khiếm nhã và công kích khá nặng nề đối với những bức ảnh được cho là rất giống Thu Trang. Cô gái ấy cũng bầu bĩnh, cũng xinh xẻo, cũng đôi mắt to và cũng rất đáng yêu.
Điều đáng nói rằng, qua những bức ảnh đấy, một số luồng thông tin trái nhiều ngược xuôi về chuyện tình ái của vợ mới Hiệp "Gà" và những tin đồn không tốt là cô đã từng cặp kè với nhiều người trước khi đến với Hiệp "Gà". Liệu rằng Hiệp "Gà" đã bị "chăn" bởi thợ săn lão luyện Thu Trang hay cả hai người đã xóa đi quá khứ mờ mịt để đến được với nhau như "rổ rá cạp lại" hướng tới một tương lai hạnh phúc?
Một chuyên gia nhiếp ảnh đánh giá: "Những bức ảnh này đều là thật và không hề qua chỉnh sửa, cô gái này khá giống với Thu Trang nhưng không hề có căn cứ chứng minh đó là vợ mới của Hiệp Gà. Ở trên đời, có rất nhiều người giống nhau như hai giọt nước".
"Tôi mong đó không phải là Thu Trang, tôi đã tiếp xúc với cô ấy, cô ấy rất dễ thương và trong sáng. Các bức ảnh này thể hiện rằng cô gái trong đó khá "lõi" đời. Mà nếu như cô ấy ở trong ảnh thì đã làm sao?!", một fan hâm mộ của Hiệp "Gà "chia sẻ.
Hiện tại, Thu Trang và Hiệp "Gà" vẫn chưa đưa ra bình luận gì về những bức ảnh này. Hy vọng rằng Hiệp "Gà" và Thu Trang sẽ vượt qua sóng gió để có được hạnh phúc trọn vẹn.
24H.COM.VN (Theo 2sao)
|
|
Thông tin cần biết
Sự kiện tiêu điểm

Content-Type: text/html; charset=Utf-8

X-Cache: QuickCache vv2.1.1rc1 - file

Cache-Control: public

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Encoding: gzip


markdown:
|
|![]()
Corset piercing - Chiếc áo coóc-xê rợn người
## Cận cảnh kiểu áo "coóc-xê" rùng rợn nhất
Thứ Bảy, ngày 07/05/2011 10:30 AM (GMT+7)
Sự kiện:
Cực kỳ lạ mắt và khác người nhưng cái giá phải trả để sở hữu một "chiếc áo" này là nỗi đau đớn đến rùng rợn... ghê người.
với
Lâu nay, người ta vẫn đồn đại về một kiểu "áo" vô cùng độc đáo và đáng sợ. Người mặc nó sẽ khiến mọi ánh nhìn xung quanh phải sửng sốt, nể phục thậm chí... hoảng sợ. Đó chính là "Corset piercing", một kiểu đan dây mô phỏng phía thân sau của những chiếc áo chẽn, áo coóc-xê mà phụ nữ xa xưa vẫn mặc để bó eo, nịt ngực.
"Corset piercing" được ví von là chiếc áo coóc-xê rùng rợn nhất của giới trẻ yêu thích những điều kì quái và có "máu" phiêu lưu mạo hiểm. Đây cũng là một biến thể mới của những tín đồ say mê đục lỗ đeo khuyên. Nó được giới "dân chơi" cực kỳ yêu thích bởi họ cho rằng xài "Corset piercing" thì đẳng cấp sẽ ăn đứt những hình xăm, đeo khuyên rốn, khuyên môn hay xuyên lỗ ở nhũ hoa.
Hình thức của "Corset piercing" khá đơn giản, chúng chỉ là những móc kim loại cố định, sau đó luồn những dải ruy băng đủ sắc màu qua đó. Cuối cùng thắt một chiếc nơ bướm điệu đà là xong. Tuy nhiên để sở hữu sự lạ mắt và độc đáo đó thì "cái giá" phải trả là nỗi đau đớn đến rùng rợn... ghê người.
Trước tiên, người thợ sẽ vẽ những đường bằng bút dạ lên cơ thể để xác định hình dạng và địa điểm "mặc áo" cho khách hàng. Sau khi các "thượng đế" được sử dụng thuốc tê, thuốc giảm đau (thậm chí theo lời của nhiều tín đồ tiết lộ, họ phải dùng chất gây nghiện để quên đi đau đớn), người thợ sẽ đục những lỗ dọc theo các đường vẽ, xuyên khuyên qua các lỗ đó.
Những khuyên kim loại phải được bố trí cân xứng và đều nhau để tạo được "chiếc áo" đẹp. Tiếp theo, những sợi dây ruy băng sẽ được luồn chéo qua những lỗ khuyên. Công đoạn cuối cùng là tẩy xóa những vết mực, lau sạch máu và huyết thanh. Như vậy, "coóc-xê" đã hoàn thành.
Cách trang trí cơ thể độc đáo này đang lan rộng trong giới trẻ phương Tây, theo quan sát thống kê, thanh niên nước Anh, Mỹ và Nga được xem là "bậc thầy" của trào lưu kinh dị "Corset piercing". Giá trung bình cho một "chiếc áo" này rơi vào khoảng 300 bảng Anh. Có những nơi giá lại tính theo khuyên móc, thường thì mỗi nút khuyên có giá 5 bảng Anh. Trong trường hợp này, tiền dây ruy băng cũng tính riêng.
Thông thường chúng được "mặc" ở lưng, hõm eo, cánh tay, chạy dọc từ cánh tới mu bàn tay, mu bàn chân, mạng sườn. Nhiều phái đẹp cùng "thêu" trên ức, đùi hoặc bắp chân. Theo chia sẻ của những người đã sử dụng, "Corset piercing" không chỉ độc đáo hơn các loại hình đeo khuyên hay săm mình mà bạn có thể thay đổi hình dạng và màu sắc cho "chiếc áo" của mình tùy theo cảm hứng. Với những sợi ruy băng màu sắc, chất liệu khác nhau, người dùng đã có thể tự tạo cho mình những điều lý thú khác biệt.
"Corset piercing" nhận được rất nhiều sự yêu thích nhưng cũng gặp phải vô khối các ý kiến phản đối. Những bậc phụ huynh là những người tiên phong chống lại cách trang trí cơ thể kinh hoàng này. "Corset piercing" cũng chưa thực sự được đón nhận ở những đất nước có nền văn hóa truyền thống lâu đời.
Ngọc_Trai_Đen (Tổng Hợp)
XEM VIDEO KHÁC CÙNG CHUYÊN MỤC
Thông tin doanh nghiệp
|
|
Thông tin cần biết
Sự kiện tiêu điểm


text:
Panasonic ra mắt loạt máy làm đẹp công nghệ mới
KOHLER khuyến mãi lớn chào hè
Bao phu nu
Thoi Trang
Thoi Trang Cong So
Lam Dep
Phim Hay
Mon Ngon
Facebook
Ngoi Sao
Vietnam Idol
© Copyright 2004-2013 EVA.VN, all rights reserved. Sử dụng phần mềm EVA OCM 5.1. Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Quảng cáo Trực tuyến 24H. Trụ sở: Tầng 12, Tòa nhà Geleximco, 36 Hoàng Cầu, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, TP Hà Nội. Tel: (84-4) 73 00 24 24 hoặc (84-4) 3512 1806 - Fax: (84-4) 3512 1804. VPĐD: Tầng 5 – Toà nhà Hải Âu - 39B Trường Sơn, P2, Q.Tân Bình, TP.Hồ Chí Minh. Tel: (84-8) 73 00 24 24 hoặc (84-8) 3848 9845 - Fax: (84-8) 3848 6519.
Giấy phép số: 34/GP- TT ĐT ngày cấp 09/03/2010. BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG – CỤC QUẢN LÝ PHÁT THANH, TRUYỀN HÌNH VÀ THÔNG TIN ĐIỆN TỬ. Chịu trách nhiệm xuất bản: Phan Minh Tâm ® Ghi rõ nguồn "EVA.VN" khi bạn phát hành lại thông tin từ website này

X-CacheDebug-1: Cache scriptkey is set to /index.php

X-CacheDebug-2: Cache varkey is set to GET=a:2:{s:13:"SERVER_REGION";s:2:"US";s:7:"web_url";s:22:"tieu-va-dung-c177.html";}

X-CacheDebug-3: Cachekey is set to 7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e

X-CacheDebug-4: Data in cachefile /home/webeva/cache/quickcache/2/7a/qcc-7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e has expired

X-CacheDebug-5: No (valid) cachedata for 7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e

X-CacheDebug-6: Callback happened

X-CacheDebug-7: Writing cached data to storage

X-CacheDebug-8: Starting wrote cachefile /home/webeva/cache/quickcache/2/7a/qcc-7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e

X-CacheDebug-9: quickcache_filewrite wrote cachefile /home/webeva/cache/quickcache/2/7a/qcc-7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e

X-CacheDebug-11: Successfully wrote cachefile /home/webeva/cache/quickcache/2/7a/qcc-7a16da99be3075f98cfe2ac58088bb4e


text:
Liên hệ ...
980.000 VNĐ
Liên hệ ...
700.000 VNĐ
700.000 VNĐ
Liên hệ ...
Liên hệ ...
110.000 VNĐ
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
700.000 VNĐ
700.000 VNĐ
Liên hệ ...
Liên hệ ...
100.000 VNĐ
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...
Liên hệ ...

Server: Apache

Set-Cookie: history_raovat=5187727%7C0; path=/

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Vary: Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


markdown:
### Khách sạn tại Kirkby-in-Furness, Vương Quốc Anh - điểm xuất phát để khám phá thành phố của bạn.
Khách sạn tại Kirkby-in-Furness, Vương Quốc Anh - Hotels.com cung cấp các ưu đãi và chiết khấu giá phòng phút chót cho khách sạn tại Kirkby-in-Furness. Quý vị có thể dễ dàng đặt phòng trực tuyến tại Kirkby-in-Furness ngay hôm nay. Với công cụ tìm kiếm trực tuyến nhanh chóng của chúng tôi, quý vị có tể:
- Tìm và so sánh các khách sạn khác nhau tại Kirkby-in-Furness theo xếp hạng sao, tiện nghi, chủ đề hoặc thương hiệu
- Chọn khách sạn hoàn hảo tại Kirkby-in-Furness và xem giá phòng, ưu đãi của khách sạn, đánh giá của khách và ảnh
- Đặt phòng khách sạn bảo mật ngay hôm nay!
- Nhận xác nhận qua email và tin nhắn văn bản với các chi tiết đặt phòng khách sạn trực tuyến

Content-Language: vi-VN

Set-Cookie: user=QSp2aV9WTnxIQ09NX1ZO; Domain=.hotels.com; Expires=Mon, 20-Apr-2015 01:35:49 GMT; Path=/


text:
Từ
Đường dẫn YouTube
Nói với chúng tôi tại sao video này lại liên quan đến từ đó.
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.
Log in with Facebook to save your favorite definitions
and share them with friends.

WARC-Truncated: length

Cache-Control: max-age=0, private, must-revalidate

X-Content-Type-Options: nosniff

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

X-Xss-Protection: 1; mode=block

Via: 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

X-Served-By: cache-v37-ASH, cache-jfk1032-JFK

X-Cache: MISS, MISS


markdown:
Từ
Đường dẫn YouTube
Nói với chúng tôi tại sao video này lại liên quan đến từ đó.
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.
Log in with Facebook to save your favorite definitions
and share them with friends.

X-Served-By: cache-v36-ASH, cache-at52-ATL