markdown:
Trang chủ
Phim mới
Thể loại
»
Hành Động
Hình Sự
Chiếu Rạp
Phiêu Lưu
Dã Sử Cổ Trang
HD
Truyền Hình
Xã Hội Đen
Chiến Tranh
Tuyển Chọn
Võ Thuật - Kiếm Hiệp
Tình Cảm
Hoạt Hình
Kinh Dị - Ma
Hài Hước
Tâm Lý
Viễn Tưởng
Thần Thoại
Việt Nam
Bộ Trung Quốc
Bộ Đài Loan
Bộ Hàn Quốc
Other
Thể Thao Âm Nhạc
Quốc gia
»
Hàn Quốc
Ấn Độ
Đài Loan
Thái Lan
Nhật Bản
Việt Nam
Hồng Kông
Trung Quốc
Philipin
Châu Á
Châu Âu
Mỹ
Pháp
Khác
Phim lẻ
Phim Bộ
Danh sách phim
Phim Sex Phang Em Gai Ngu Say
Không tìm thấy phim :
Phim Sex Phang Em Gai Ngu Say
Bạn vui lòng gõ tên
phim
chính xác hơn, tên ngắn không dấu và đúng chính tả.
Bạn đang xem danh sách Phim Sex Phang Em Gai Ngu Say online chất lượng cao - Xem Phim Sex Phang Em Gai Ngu Say hay nhất
Video phim liên quan đến Phim Sex Phang Em Gai Ngu Say
Nam sinh cắt quần lót thiếu nữ ngủ say để 'xem cho biết'
24,265 lượt xem
Tháng 10/2013, Tuấn (18 tuổi ở Quảng Nam) rời quê ra Đà Nẵng để học đại học. Để có nơi trú ngụ, Tuấn đăng ký trọ tại một KTX sinh viên. Lần đầu tiên ra phố, ...
2013 clip lộ hàng thủy kute thu gian nữ sinh con gai khieu dam 18+ quan he
331,278 lượt xem
Em gái Hàn Quốc nhảy đẹp tuyệt vời - Sexy Korean Dance by fapvietnam5 months ago80,223 views Em gái Hàn Quốc nhảy đẹp tuyệt vời - Sexy Korean Dance Nhảy thế ...
phang chị gái khi đọc sách phim sex 18+ android,mobile
60,717 lượt xem
Xem kho phim sex loạn luân gia đình hàn quốc mới nhất TẠI http://videohot.hotqua.mobi/ Tải và xem miễn phí trên điện thoại + LINK XEM (Android ) (IOS) (JAR) ...
Khi gái say
403 lượt xem
phim sec loạn luân 2 anh say rượu hiếp dâm em gái
33,123 lượt xem
phim sec loạn luân 2 anh say rượu hiếp dâm em gái http://tinhay30s.com/tag/phim-sex/ http://tinhay30s.com/tag/phim-cap-3/
phim sex đuôi 3gp cho điện thoại em văn phòng xinh đẹp sướng android,ios,nokia
21,697 lượt xem
link xem và tải phim sex miễn phí tại đây: http://taifile.mobi/nguyenvantinh/msexy-kho-clip-girl-xinh-full-hd-3 http://zaloxinh.wap.sh/
Clip em gái Thái Lan ngủ với chồng chị
68,923 lượt xem
Fb: https://www.facebook.com/VipNhat.Net, Page: http://hot.vipnhat.net, Clip em gái Thái Lan ngủ với chồng chị Video hài, video hai, clip hài, clip hai, giải...
Ngọc Trinh khoe vẻ đẹp sexy quyến rũ trong phòng ngủ - MrAnhTu
2,326 lượt xem
hay hay hát,hay,hàng,nở,lộ,chế,cover,gái,giải trí,cười,hài,vui,nhộn,sock,lạ,cháy,lửa,công an,dân,đông,clip,video,xem,song,ca,trẻ,con,em,bé,cute,ngộ ngĩnh,siê...
Nonstop Gái Xinh tuyển chọn 2013 hay nhất 2013 Tuổi gì nên em xinh vậy vietnam
224,797 lượt xem
Em gái Hàn Quốc nhảy đẹp tuyệt vời - Sexy Korean Dance by fapvietnam5 months ago80,223 views Em gái Hàn Quốc nhảy đẹp tuyệt vời - Sexy Korean Dance Nhảy thế ...
congvideo 2 Cô gái nhảy sexy khiêu gợi trong phòng CLIP HÓT THƯ GIÃN 2014
290 lượt xem
Kênh Tổng hợp clip hót vui hài hước thư giãn giải trí tết xuân 2014 full, video phát sốt cộng đồng mạng nổi tiếng bá đạo khó đỡ nghịch ngu hay nhất, mới nhất...
Có Thể Bạn Quan Tâm
Loading
Phim bộ HOT
Hôm nay
Xem nhiều
1
Cô Giáo Trên Đảo Nhỏ
Lượt xem: 945 |
2
Cha Dượng
Lượt xem: 738 |
3
Hãy Làm Chuyện Ấy Với Em Nhé
Lượt xem: 707 |
4
Vợ Chồng Mới Cưới
Lượt xem: 688 |
5
Bậc Thầy Tình Dục - Phần 1
Lượt xem: 564 |
6
Gái Điếm 18
Lượt xem: 479 |
7
Người Giúp Việc
Lượt xem: 474 |
8
Người Đẹp Ngủ Trong Rừng (18 )
Lượt xem: 396 |
9
Người Mẫu Hoàn Hảo
Lượt xem: 260 |
10
Mối Hận Kim Bình
Lượt xem: 244 |
11
Thơ Ngây Hàn Quốc
Lượt xem: 217 |
12
Thiếu Nữ U Hồn
Lượt xem: 150 |
Xem thêm...
1
Cô Giáo Trên Đảo Nhỏ
Lượt xem: 945 |
2
Cha Dượng
Lượt xem: 738 |
3
Hãy Làm Chuyện Ấy Với Em Nhé
Lượt xem: 707 |
4
Vợ Chồng Mới Cưới
Lượt xem: 688 |
5
Bậc Thầy Tình Dục - Phần 1
Lượt xem: 564 |
6
Gái Điếm 18
Lượt xem: 479 |
7
Người Giúp Việc
Lượt xem: 474 |
8
Người Đẹp Ngủ Trong Rừng (18 )
Lượt xem: 396 |
9
Người Mẫu Hoàn Hảo
Lượt xem: 260 |
10
Mối Hận Kim Bình
Lượt xem: 244 |
11
Thơ Ngây Hàn Quốc
Lượt xem: 217 |
12
Thiếu Nữ U Hồn
Lượt xem: 150 |
Xem thêm...
1
Vợ Chồng Mới Cưới
Lượt xem: 22,870 |
2
Hãy Làm Chuyện Ấy Với Em Nhé
Lượt xem: 22,004 |
3
Cha Dượng
Lượt xem: 18,087 |
4
Bậc Thầy Tình Dục - Phần 1
Lượt xem: 15,010 |
5
Cô Giáo Trên Đảo Nhỏ
Lượt xem: 13,794 |
6
Người Giúp Việc
Lượt xem: 11,190 |
7
Mối Tình Vụng Trộm
Lượt xem: 10,379 |
8
Cô Giáo Lắm Chiêu
Lượt xem: 8,431 |
9
Người Đẹp Ngủ Trong Rừng (18 )
Lượt xem: 6,285 |
10
Ham Muốn Tột Độ
Lượt xem: 4,627 |
11
Gái Gọi Tuổi Teen
Lượt xem: 3,855 |
12
Bác Sĩ Thẩm Mỹ
Lượt xem: 3,612 |
Xem thêm...
FaceBook
Home
Phim Bộ
Phim Lẻ
Rss
Site map
Author
To top
RapPhim.org là trang Xem Phim hd miễn phí, Phim Bộ, Phim tâm lý, Phim 18+, những bộ phim hay, Phim Việt Nam, phim chiếu rạp cập nhật nhanh và chất lượng tốt nhất.
Hãy truy cập RapPhim.org mỗi ngày để Xem Phim hd miễn phí, Phim Bộ, Phim tâm lý, Phim 18+, những bộ phim hay, Phim Việt Nam phim chiếu rạp hot nhất.
xem phim
,
phim tam ly
,
phim hai
..
Copyright © 2013. Nguồn phim được tổng hợp từ Internet. Chúng tôi không chịu bất cứ trách nhiệm nào về bản quyền
Powered by
RapPhim.org
.

Server: LiteSpeed


markdown:
# Đồng Hới
Frae Wikipedia
|Dong Hoi
|Thành phố Đồng Hới
|
|[17°28′59″N 106°35′59″E / 17.48306°N 106.59972°E](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?pagename=%C4%90%E1%BB%93ng_H%E1%BB%9Bi¶ms=17_28_59_N_106_35_59_E_type:city_region:VN) ![ Banner o Vietnam](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Flag_of_Vietnam.svg/22px-Flag_of_Vietnam.svg.png)
![ Banner o Vietnam](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Flag_of_Vietnam.svg/22px-Flag_of_Vietnam.svg.png)
[Vietnam](/wiki/Vietnam) 2(59.67 sq mi) [20nd in Vietnam](/wiki/Leet_o_ceeties_in_Vietnam)) [www.donghoi.gov.vn](http://www.donghoi.gov.vn) **Đồng Hới** is a municipality o [Quang Binh Province](/w/index.php?title=Quang_Binh_Province&action=edit&redlink=1), in [Bac Trung Bo](/w/index.php?title=Bac_Trung_Bo&action=edit&redlink=1) ( [Vietnam](/wiki/Vietnam)), 450 km south of [Hanoi](/wiki/Hanoi). Its population stands at aboot 103,988 fowk (2006). The ceety is locatit on the richt bank o the [Nhat Le River](/w/index.php?title=Nhat_Le_River&action=edit&redlink=1). Dong Hoi is a coastal ceety locatit at the mooth o the Nhat Le River, in Vietnam's north central coastal aurie. Dong Hoi is located at 1,230 km north o [Ho Chi Minh Ceety](/wiki/Ho_Chi_Minh_Ceety). [Dong Hoi Airport](/wiki/Dong_Hoi_Airport) is 6 km north Dong Hoi.
|
|![]()
|Wikimedia Commons haes media relatit tae
|.

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Server: Apache

X-Content-Type-Options: nosniff

Content-language: sco

Vary: Accept-Encoding,Cookie

Content-Encoding: gzip

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

Connection: close

X-Cache: cp1053 miss (0), cp1065 frontend miss (0)

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate


markdown:
bác nào có link thì share lên nhanh rùm cái...em nghe nói phim này hay hơn phim Võ lâm truyền kỳ nhiều..thanks:134:
Hix, em vừa đi xem phim này ở rạp về ... muốn xem lại quá ... không xem lại thì phí ... Bác nào có link download phim "Chuông reo là bắn", có các diễn viên ca sỹ: Minh Thư, Sỹ Luân, Nguyên Vũ, Bằng Lăng ... thì share cho em với! Thanks!
## View more the latest threads:
-
[Cảnh Sát Tương Lai 2010 + Thuyết Minh Tiếng...]
-
[Cần tìm bộ DVD của SeminarsOnDVD - "The...]
-
[http://wwww.hollistersuomistore.eu/ 10493-r...]
-
[cần tìm tên phim bộ của TVB]
-
[Nơi download karaoke free - anh em nào biết...]
-
[Cần tìm phim Nhật ký của Daniana]
-
[Cần tìm phim "Tình Yêu Vĩnh Cửu" có nhân vật...]
-
[Nhờ anh em tìm giúp film Võ thần đang chiếu...]
-
[Cần tìm phim Đội Bóng Thiếu Lâm của Châu...]
-
[Dành cho tháng 6]
bác nào có link thì share lên nhanh rùm cái...em nghe nói phim này hay hơn phim Võ lâm truyền kỳ nhiều..thanks:134:
Film này còn đang chiếu tết nhưng chắc cũng vài tháng sau mới có đĩa ( đĩa lậu á , còn đĩa xịn:ohno: )với lại mình là người Việt nên ủng hộ film nước nhà chứ
nghe nói phim này có nhiều cảnh HOT lắm,nhưng mà mới chiếu rạp còn lâu mới có link down mà bản đẹp thì càng ko...nhân tiện nhận xét luôn phim Võ lâm truyền kì,ngoài việc mới nhiều sao ra thì chả có gì đáng nói lắm...trẻ con xem cười là chính thui...hì!
Thù nhà chưa trả,thiên hạ coi chừng :134:
hix... có ai có phim này chưa nhỉ? up lên cho anh em thưởng thức cái ...
mình cũng coi phim này rồi
hay chứ
ai có link share cho mọi người với và mình cũng muốn xem lại nữa.
ai có phim này up lên cho anh em coi với,tui nghe mấy thằng bạn coi kể lại thấy cũng hấp dẫn nên cũng muốn xem:d
,không phiền lắm à [ĐỌC KĨ ,THIỆT KỈ NGHE]
Phim này hiện giờ chưa có trên net đâu,đừng xin làm gì nữa
♠♠๑۩۞۩๑[♥๑۩۞۩๑ (¯`•♠♠ NGỌC THẮNG!!! ♠♠•´¯) ๑۩۞۩๑[♥๑۩۞۩๑♠♠
Search mòn cả mắt ko thấy film này đâu cả, chắc tgian tới có thôi
. Khi nào có sẽ post cho ae^^
Cố gắng chờ đợi thôi
xin nhắc lại ai có thì tung lên liền dùm nhé! đang thèm nhỏ dãi nè
9 cái comment (cái này thứ 10) vẫn chưa thấy link nào hết
căn bản tại film này tụi axxo với diamond của nước ngoài nó đâu có thèm rip, nên anh em cũng đâu có link mà xem, còn vn mấy ai tốt bụng chịu bỏ công ra rip, rồi up, rồi share
tóm lại là ko bao h có link đâu
ra hàng mua đĩa đi
Nếu đã có ra đĩa DVD thì tôi bảo đảm trên mạng có link down. NHưng ngoài thị trường chưa có DVD
phim này nâu rồi mà vẫn chưa có nhỉ, mình tìm mỏi cả mắt trên google mà chằng thấy link dowload sắp 2010 rồi
## Đánh dấu

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)

Cache-Control: private

Pragma: private


markdown:
21 trang
Lượt xem: 749
Download: 304
# Bài tự học: Môn: Đất và phân bón
Chia sẻ:
[maithuyhanh](http://tailieu.vn/user/maithuyhanh)
Bắt đầu năm 1958, với sự giúp đỡ của chuyên gia Liên xô V.M.Fritland. Năm 1959, sơ đồ thổ nhưỡng miền Bắc tỉ lệ 1/1.000.000 được công bố (có 5 nhóm, 18 loại phát sinh). Năm 1964, bảng phân loại có chỉnh lí và bổ sung (5 nhóm, 27 loại phát sinh). Sau 1964, hàng loạt công trình nghiên cứu và phân loại đất được triển khai. Những năm1960-1961, xây dựng sơ đồ đất miền Nam tỉ lệ 1/1.000.000 (có 25 đơn vị đất). Năm 1976, xây dựng bản đồ đất Việt Nam tỉ lệ 1/1.000.000 (13 nhóm, 30 loại...
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Nông - Lâm - Ngư](http://tailieu.vn/nong-lam-ngu/)» [Nông nghiệp](http://tailieu.vn/nong-lam-ngu/nong-nghiep/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: Bài tự học: Môn: Đất và phân bón**
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
KHOA SINH HỌC
٭٭٭
BÀI TỰ HỌC
Môn: ĐẤT VÀ PHÂN BÓN
GVHD: LÊ NGỌC TIẾT
SVTH: NGUYỄN THỊ MINH THƯ
LỚP: 31K8
Tháng 11 / 2008
Mục Lục
Trang
PHẦN A: ĐẤT………………………………………………………………………….....4
Chương VII: PHÂN LOẠI ĐẤT MỘT SỐ NHÓM ĐẤT CHÍNH
CỦA VIỆT NAM SỬ DỤNG VÀ CẢI TẠO………………………………....4
1. Phân loại đất…………………………………………………………………..................4
1.1.Sơ lược về phân loại đất trên thế giới………………………………………………..4
1.2.Phân loại đất Việt Nam……………………………………………………………...6
1.2.1.Sơ lược quá trình……………………………………………………..............6
1.2.2.Cơ sở phân loại đất Việt Nam………………………………………………..6
1.2.3. Một số bảng phân loại đất…………………………………………………...8
2. Vốn đất và các nhóm đất………………………………………………………………...8
2.1.Chia theo hiện trạng sử dụng đất…………………………………………………….8
2.1.1.Diện tích các loại đất trên toàn quốc (ha)…………………………………….8
2.1.2.Đất lâm nghiệp có rừng(ha)…………………………………………………..9
2.1.3.Đất chuyên dụng (ha) ……………………………………………………..9
2.2. Chia theo kết quả phân loại đất…………………………………………….9
3. Một số nhóm đất chính của Việt Nam - sử dụng và cải tạo…………………….9
3.1. Nhóm đất cát biển …………………………………………………………9
3.1.1. Đất cồn cát trắng, vàng (Luvic Arenosols)………………………...10
3.1.2. Đất cồn cát đỏ (Rhodic Arenosols)………………………………...10
3.1.3. Đất cát biển(Haplic Arenosols)……………………………………10
3.2. Nhóm đất mặn ……………………………………………………………10
3.2.1. Đất mặn sú, vẹt, đước (Gleyic Salic Fluvisols)……………………10
3.2.2. Đất mặn nhiều(Hapli Salic Fluvisols)……………………………..10
3.2.3. Đất mặn trung bình và ít (Molli Salic Fluvisols)…………………..10
3.3. Nhóm đất phèn …………………………………………………………...10
3.3.1. Đất phèn tiềm tàng (Proto Thionic Gleysols)……………………...10
3.3.2. Đất phèn họat động( Orthi thionic Fluvisols)……………………...10
3.4. Nhóm đất phù sa …………………………………………………………11
1
3.4.1. Đất phù sat rung tính ít chua(Eutric Fluvisols)……………………11
3.4.2. Đất phù sa chua( Distric Fluvisols)…………………………….….11
3.4.3. Đất phù sa glây (Gleyic fluvisols)…………………………………11
3.4.4. Đất phù sa có tầng đốm gỉ (Cambic Fluvisols)……………………11
3.5. Nhóm đất xám ……………………………………………………………11
3.5.1. Đất xám bạc màu ( Haplic Acrisols)………………………………11
3.5.2. Đất xám có tầng loang lổ( Plinthic Acrisols)……………………...11
3.5.3. Đất xám glây( Gleyic Acrisols)……………………………………11
3.5.4. Đất xám Feralit (Ferralic Acrisols) ………………………………..11
3.5.5. Đất xám mùn trên núi (Humic Acrisols) ………………………….12
3.6. Nhóm đất đỏ …………………………………………………………..…12
3.6.1. Đất nâu đỏ( Rhodic Ferralsols)…………………………………….12
3.6.2. Đất nâu vàng ( Xanthic Ferralsols)………………………………...12
3.6.3. Đất mùn vàng đỏ trên núi( Humic Ferralsols)……………………..12
PHẦN B: PHÂN BÓN…………………………………………………………………...12
Chương I: VAI TRÒ CỦA PHÂN BÓN TRONG SẢN XUẤT NÔNG NGHIỆP………..12
1. Khái niệm phân bón………………………………………………………...............12
2. Vai trò của phân bón trong sản xuất nông nghiệp…………………………………...13
2.1. Bón phân là biện pháp quan trọng để tăng năng suất cây trồng…………….13
2.2. Ảnh hưởng của phân bón đối với chất lượng nông phẩm………..................13
2.3. Bón phân là biện pháp cải thiện môi trường đất……………………………13
3. Tình hình sử dụng phân bón trong thời gian qua……………………………………13
3.1. Trên thế giới………………………………………………………..............14
3.2. Ở Việt Nam…………………………………………………………………14
ChươngIII: VÔI VÀ CÁCH BÓN VÔI………………………………………….………..14
1. Tác dụng của việc bón vôi…………………………………………………………..14
1.1. Vai trò sinh lí dinh dưỡng của canxi………………………………..............14
1.2. Tác dụng của việc bón vôi đối với độ phì nhiêu của đất……………………14
2. Phương pháp định lượng vôi bón……………………………………………………15
3. Chọn nguyên liệu có vôi……………………………………………………………..15
2
4. Phương pháp bón vôi………………………………………………………………...16
Chương IV: PHÂN HỮU CƠ……………………………………………………………..16
1. Khái niệm phân hữu cơ……………………………………………………………...16
2. Vai trò của phân hữu cơ……………………………………………………………..16
2.1. Phân hữu cơ cải tạo hóa tính đất……………………………………………16
2.2. Phân hữu cơ cải tạo lí tính đất………………………………………………16
2.3. Phân hữu cơ tăng cường sinh tính của đất………………………………….17
3. Sự chuyển hóa các hợp chất hữu cơ trong quá trình chế biến……………………….17
4. Kĩ thuật sử dụng phân hữu cơ…………………………………………………….....18
5. Phân chuồng…………………………………………………………………………18
6. Phân xanh……………………………………………………………………………18
7. Phân vi sinh vật……………………………………………………………………...18
8. Các loại phân hữu cơ khác…………………………………………………………..19
8.1. Phân bắc, nước giải…………………………………………………………19
8.2. Phân gia cầm……………………………………………………………….19
8.3. Than bùn…………………………………………………………………...19
3
ĐẤT
PHẦN A:
Chương VII: PHÂN LOẠI ĐẤT
MỘT SỐ NHÓM ĐẤT CHÍNH CỦA VIỆT NAM
SỬ DỤNG VÀ CẢI TẠO
1. Phân loại đất
1.1 Sơ lược về phân loại đất trên thế giới
Trên thế giới có nhiều phương pháp phân loại đất khác nhau
1.1.1 Phân loại đất theo phát sinh:(Phương pháp bán định lượng)
a. Cơ sở của phương pháp: là học thuyết phát sinh đất.
Mỗi tầng đất trong phẩu diện là sản phẩm đặc trưng của một hay nhiều quá
trình phát sinh, gọi là tầng phát sinh. Kí hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D,…
b. Nội dung của phương pháp
- Nghiên cứu các yếu tố hình thành đất: Điều tra, thu thập các tài liệu về yếu
tố hình thành đất như: đá mẹ, sinh vật, địa hình, khí hậu, sự tác động của con người,
…
- Xác định quá trình hình thành đất chính: Từ 6 yếu tố hình thành đất, kết
hợp với nghiên cứu các phẩu diện đất và số liệu phân tích tính chất lí hóa học của đất
sẽ biết được quá trình hình thành đất.
- Xây dựng bảng phân loai đất: Theo hệ thống phân vị chặc chẽ với tên đất
rỏ rang.
o Loại đất: là một nhóm đất lớn, phổ biến. Một loại đất có cùng các đặc
điểm:
+ Cùng đặc điểm phân giải chất hữu cơ.
+ Cùng quá trình phong hóa đá và khoáng vật nguyên sinh; cùng kiểu
hình thành khoáng vật thứ sinh và phức chất hữu cơ - vô cơ.
+ Cùng chế độ nước trong đất
+ Cùng một cách di chuyển các chất trong đất.
+ Cùng một kiểu cấu tạo phẩu diện.
+ Cùng hướng sử dụng, cùng áp dụng các biện pháp để duy trì và tăng
dần độ màu mỡ của đất.
o Loại phụ: là đơn vị trong phạm vi loại, khác nhau về mức độ thể hiện
quá trình hình thành đất.
4
o Thuộc đất: là đơn vị đất nằm trong phạm vi loại phụ, thường dựa vào đá
mẹ để phân chia
o Chủng: là đơn vị đất nằm trong thuộc, phân biệt bởi thành phần cơ giới
đất
1.1.2 Phân loại đất của Mỹ (Soil Taxonomy): còn gọi là phương pháp phân loại
định lượng.
b. Cơ sở của phương pháp:
Dựa vào các yếu tố hình thành đất của học thuyết phát sinh nhưng cơ sở
chính là những tính chất hiện tại của đất có quan hệ mật thiết với hình thái phẩu diện
đất. Định lượng các tầng phát sinh theo định lượng chặc chẽ về hình thái và tính chất
để xác định tên của tầng đất là cơ sở để tiến hành phân loại đất.
c. Nội dung của phương pháp
- Nghiên cứu các yếu tố hình thành đất: giống như phương pháp phân loại
đất theo phát sinh.
- Xác định và định lượng tầng chẩn đoán: 2 nhóm chính:
+ Nhóm tầng mặt (Surface horizons): A.Hictic, A.Mollic, A.Umbric,
A.Ochric , A. Thropic và Plaggen.
+ Nhóm tầng dưới tầng mặt (Subsurface horizons): B.Argic, B.Natric,
B.Spodic, B.Cambic, B.Oxic, Albic, Calcic, Salic, B.Ferralic…
Tầng chẩn đoán là cơ sở để định tên các đơn vị đất.
- Hệ thống phân vị:
Lớp, bộ ( Order ) Lớp phụ hay bộ phụ ( Suborder ) Nhóm lớn (Great
group ) Nhóm phụ ( Subgroup ) Họ ( family ) Biểu loại (Series) Loại (
Soil types )
Ưu điểm của phương pháp Soil taxonomy:
Dùng những chỉ tiêu định lượng và các dấu hiệu đặc trưng của tầng đất và
các tính chất hiện tại của đất để phânloại đất
Mang tính chất chuyên ngành sâu, tính hệ thống cao và hệ thống mở dể
dàng bổ sung những đất mới.
Sử dụng thuật ngữ mới gắn với bản chất và tính chất đất.
Khuyết điểm: Chỉ có những chuyên gia theo hệ thống này mới hiểu và
ứng dụng được.
1.1.3 Phân loại đất của FAO – UNESCO
a. Cơ sở của phương pháp
5
Dựa vào các nguồn gốc phát sinh và các tính chất hiện tại của đất.
b. Nội dung của phương pháp
- Nghiên cứu quá trình hình thành đất
- Định lượng tầng chẩn đoán:
Tầng đất là cơ sở để xác định tầng chẩn đoán. Có các tầng đất cơ bản và các
tầng chuyển tiếp được kí hiệu bằng các kí hiệu riêng.
Tầng chẩn đoán (diagnostic horizons) là tầng đất có đặc tính hình thái và tính
chất cần định lượng, kết quả định lượng cho phép xác định tên tầng chẩn đoán.
- Định tên đất: tên đất gắn liền với tính chất cơ bản của đất
1.2 Phân loại đất Việt Nam
1.2.1 Sơ lược quá trình
Bắt đầu năm 1958, với sự giúp đỡ của chuyên gia Liên xô V.M.Fritland. Năm
1959, sơ đồ thổ nhưỡng miền Bắc tỉ lệ 1/1.000.000 được công bố (có 5 nhóm, 18
loại phát sinh). Năm 1964, bảng phân loại có chỉnh lí và bổ sung (5 nhóm, 27 loại
phát sinh). Sau 1964, hàng loạt công trình nghiên cứu và phân loại đất được triển
khai. Những năm1960-1961, xây dựng sơ đồ đất miền Nam tỉ lệ 1/1.000.000 (có 25
đơn vị đất). Năm 1976, xây dựng bản đồ đất Việt Nam tỉ lệ 1/1.000.000 (13 nhóm,
30 loại phát sinh).
Từ cuối thập kỉ 80, Việt Nam tiếp thu Soil Taxonomy và hệ thống phân loại
FAO – UNESCO.
1.2.2 Cơ sở phân loại đất Việt Nam
a. Tóm tắt các yếu tố hình thành đất
VN nằm trong vanh đai nhiệt đới Bắc bán cầu, trãi dài 8’’33-23’’23 VĐB và
102’’10 – 109’’26 KĐĐ, có hơn 3200km đường bờ biển, đỉnh núi cao nhất 3143m,
thềm lục địa rộng với nhiều đảo và quần đảo.
- Địa chất, địa hình và thời gian:
Địa hình núi phức tạp, nhiều núi cao, rãnh sâu, cao nguyên…nhiều loại
đá mẹ khác nhau: granit, riolic, dioric, bazan, …
Vùng đồng bằng địa hình trũng, thấp, bề mặt tương đối bằng phẳng.
Vùng đồng bằng ven biển thường chịu các tác động lớn của biển.
- Khí hậu: nhiệt đới gió mùa nhưng có sự khác nhau theo từng vùng miền,
chia thành 8 vùng sinh thái.
- Thảm thực vật rừng Việt Nam rất phong phú, ngoài những thực vật đặc
hữu còn có các loài di cư từ nơi khác đến.
6
- Sự tác động của con người: Sử dụng vào sản xuất nông, lâm nghiệp theo cả
2 hướng tích cực và tiêu cực.
b. Những quá trình hình thành và biến đổi chính diễn ra trong đất
- Quá trình hình thành đất mặn: chủ yếu do nước mặn tràn, đồng thời cũng
do mạch nước ngầm mặn dâng muối lên trong mùa khô.
- Quá trình hình thành đất phèn: 2 giai đoạn:
+ Giai đoạn tích lũy pyrite (FeS2) hình thành đất phèn tiềm tàng
+ Giai đoạn oxi hóa FeS2 thành đất phèn hoạt động
- Quá trình hình thành phù sa:
Được hình thành do quá trình bờ biển và các hệ thống sông mang sản phẩm từ
vùng địa hình xói mòn bồi đấp thêm các thềm biển cũ.
Chất lượng của phù sa phụ thuộc bản chất của đất theo lưu vực sông.
Thành phần của phù sa còn phụ thuộc tốc độ lắng động của các cấp hạt và tốc
độ dòng chảy.
- Quá trình glây:
VSV phân giải trong điều kiện yếm khí sẽ sản ra cá hợp chất khử như H2S,
CH4…đồng thời các chất oxi hóa như Fe3+, Mn4+, SO42-, NO3- …thì bị khử:
Fe3+ + 1e Fe2+; Mn4+ + 2e Mn2+.
Fe2+ thường di chuyển ở dạng Fe(HCO3)2 và phức chất mùn –Fe2+, chúng dể
bị rữa trôi. Fe2+ cũng có thể kết hợp thànhFeroaluminosilicat màu xám xanh hoặc kết
hợp với photphat thành vivianit Fe3(PO4)2.8H2O có màu xanh lơ. Mn2+ thường ở
dạng Mn(OH)2 màu trắng di chuyển trong đất.
Căn cứ vào mức độ glây của đất ta sẽ đánh giá được mức độ yếm khí của đất.
- Quá trình rửa trôi và bào mòn đất:
Do khí hậu nhiệt đới ẩm, mưa nhiều và tập trung, tập quán canh tác lạc hậu,
địa hình có nhiều núi, dốc nên quá trình rửa trôi và bào mòn các chất kiềm, kiềm thổ,
các chất dinh dưỡng và thành phần sét xảy ra mạnh.
Quy trình sử dụng đất dốc hợp lí:
Từ cấp 1(1%. Về mùa mưa tỉ lệ đó hạ thấp
hơn.
3.2.3 Đất mặn trung bình và ít (Molli Salic Fluvisols): 732.584ha
Có phản ứng trung tính, ít chua, xuống sâu pH có tăng do nồng độ muối cao
hơn; tỉ lệ Ca2+/Mg2+
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Top Download Nông Nghiệp
-
-
[Bài giảng học Hệ thống nông nghiệp](http://tailieu.vn/doc/bai-giang-hoc-he-thong-nong-nghiep-156501.html)
90p
558
309
-
[Giáo trình kinh tế nông nghiệp](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-kinh-te-nong-nghiep-194316.html)
444p
853
585
-
-
[Kỹ thuật sấy và bảo quản nông sản](http://tailieu.vn/doc/ky-thuat-say-va-bao-quan-nong-san-178126.html)
42p
692
399
-
[Giáo trình giống vật nuôi - Đặng Văn Bình](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-giong-vat-nuoi-dang-van-binh-6171.html)
149p
891
607
-
-
116p
406
236
-
-
Tài Liệu Nông nghiệp Mới
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/nong-lam-ngu/nong-nghiep/)
Tài Liệu mới cập nhật
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/tai-lieu/)

Server: Apache/2.2.3 (CentOS)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Vary: Accept-Encoding


markdown:
55 trang
Lượt xem: 204
Download: 94
# Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng
Chia sẻ:
[chau1141996](http://tailieu.vn/user/chau1141996)
Tài liệu tham khảo luyện thi dành cho sinh viên học sinh luyện thi cao đẳng đại học. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho bạn trong kỳ thi
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Ôn thi ĐH-CĐ](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/)» [Chuyên Đề Luyện Thi](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/chuyen-de-luyen-thi/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng**
* cot x cot x k
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
* cot x a x arc cot a k (với a không
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
phải là giá trị đặt biệt)
* A có nghĩa khi A 0 .
* cot x cot 0 x 0 k180 0
1
có nghĩa khi A 0 .
*
3: Công thức lượng giác cơ bản:
A
1 1
* sin 2 cos 2 1 * 1 tan 2
có nghĩa khi A 0
*
cos 2
A
1
Đặt biệt: * 1 cot 2 * tan . cot 1
sin 2
k 2 * sin x 0 x k
* sin x 1 x
4: Công thức đối:
2
* cos( ) cos * sin( ) sin
k 2
* sin x 1 x
* tan( ) tan * cot( ) cot
2
5: Công thức bù:
k
* cos x 1 x k 2 * cos x 0 x
* sin( ) sin * cos( ) cos
2
* cos x 1 x k 2 . * tan( ) tan * cot( ) cot
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối 6:Công thức phụ:
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm
* sin( ) cos * cos( ) sin
tâm đối xứng. 2 2
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:
* tan( ) cot * cot( ) tan
x k 2
* sin x sin 2 2
x k 2 7:Công thức hơn kém :
x arcsin a k 2 * sin( ) sin * cos( ) cos
* sin x a ( với a 1 và a
* tan( ) tan * cot( ) cot
x arcsin a k 2
8:Công thức cộng:
không phải là giá trị đặt biệt)
* cos(a b) cos a. cos b sin a. sin b
x 0 k 360 0
* sin x sin 0 * cos(a b) cos a. cos b sin a. sin b
x 180 k 360
0 0 0
* sin(a b) sin a. cos b cos a. sin b
x k 2
* cos x cos * sin(a b) sin a. cos b cos a. sin b
x k 2
tan a tan b
* tan(a b)
x arccos a k 2
1 tan a. tan b
* cos x a ( với a 1 và a
x arccos a k 2 tan a tan b
* tan(a b)
không phải là giá trị đặt biệt) 1 tan a. tan b
x 0 k 360 0 9:Công thức nhân đôi:
* cos x cos 0
* cos 2a cos a sin a 2cos a 1
2 2 2
x k 360
0 0
1 2 sin 2 a .
* tan x tan x k
* sin 2a 2 sin a. cos a
* tan x a x arctan a k (với a không phải là giá
2 tan
trị đặt biệt) * tan 2
1 tan 2
* tan x tan 0 x 0 k180 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
10. Công thức nhân ba: 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số
* sin 3 3 sin 4 sin 3 lượng giác:
b
* cos 3 4 cos 3 3 cos
* aX b 0 X
a
11:Công thức hạ bậc: Trong đó là một hàm số lượng giác
1 cos 2a 1 cos 2a 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số
* cos a sin 2 a
2
2 2 lượng giác:
1 cos 2 * Dạng a sin 2 x b sin x c 0
* tan 2
1 cos 2 Đặt t sin x , 1 t 1 .
12:Công thức biến đổi tích thành tổng:
* Dạng a cos 2 x b cos x c 0
1
cos(a b) cos(a b) Đặt t cos x , 1 t 1.
* cos a. cos b
2
* Dạng a tan 2 x b tan x c 0 Đặt t tan x .
1
cos(a b) cos(a b)
sin a. sin b
* Dạng a cot 2 x b cot x c 0 Đặt t cot x .
2
1 3. Phương trình dạng a sin x b cos x c (1):
sin a. cos b sin(a b) sin(a b)
*Cách giải:
2
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho
13:Công thức biến đổi tổng thành tích: a 2 b 2 ta được:
ab ab
a b c
* cos a cos b 2 cos cos
sin x cos x
2 2
a b a b a b2
2 2 2 2 2
ab a b
cos a cos b 2 sin sin c
cos sin x sin cos x
2 2
a b2
2
ab ab
sin a sin b 2 sin cos
c
2 2 sin( x )
ab ab a2 b2
sin a sin b 2 cos sin
2 2 4. Phương trình dạng:
sin( a b) a sin 2 x b sin x cos x c cos x 2 d (1)
tan a tan b
cos a. cos b Cách giải:
0 + Thay
6 4 3 2
k sin 2 x 1)
cos x 0( x
sin 0 1
1 2 3
2
2 2 2 vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không?
cos 1 0
1
3 2
k là nghiệm
Nếu thỏa thì kết luận x
2
2 2
2
tan 0 1 KXĐ
1 3 của phương trình.
3
k ) , chia hai
+ Với cos x 0 ( x
cot KXĐ 3 1 0
1
2
3
vế của (1) cho cos 2 x ta được phương trình:
Các phương trình lượng giác thường gặp:
Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
1
a tan 2 x b tan x c d .
cos 2 x
5: Phương trình : a tan 2 x b tan x c d .(1 tan 2 x)
* Dạng a(sin x cos x) b sin x cos x c
Đặt t sin x cos x ( 2 sin( x ) ) , t 2
4
t 1
2
Ta có : sin x cos x .
6. 2 sin x(1 cos 2 x) sin 2 x 1 2 cos x
2
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo ( ĐH KHỐI D-2008 )
biến t.
* Dạng a(sin x cos x) b sin x cos x c 7. sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x
( CĐ KHỐI A, B, D-2008 )
Đặt t sin x cos x ( 2 sin( x ) ) , t 2
4
1 t2 8. (1 sin 2 x) cos x (1 cos 2 x) sin x 1 sin 2 x
Ta có : sin x cos x .
2 ( ĐH KHỐI A-2007 )
Thay vào phương trình ta được phương trình theo
biến t. 9. 2 sin 2 2 x 7 sin 7 x 1 sin x
( ĐH KHỐI B-2007 )
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012 2
x
x
10. sin cos 3 cos x 2
Giải các phương trình sau:
2 2
(1 2sin x) cos x
3 ( ĐH KHỐI A-2009 )
1. ( ĐH KHỐI D-2007 )
(1 2sin x)(1 sin x)
2 cos 6 x sin 6 x sin x cos x
2. 0
11.
2 2 sin x
sin x cos x sin 2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x)
3
( ĐH KHỐI A-2006)
( ĐH KHỐI B-2009 )
x
12. cot x sin x(1 tan x tan ) 4
2
3. 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 ( ĐH KHỐI B-2006 )
(ĐH KHỐI D-2009 ) 13. cos 3 x cos 2 x cos x 1 0
7
1 1 ( ĐH KHỐI D-2006 )
4. 4 sin x
3
sin x 4
sin( x )
2 14. cos 2 3x cos 2 x cos 2 x 0
( ĐH KHỐI A-2008 ) ( ĐH KHỐI A-2005 )
15. 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
5. sin 3 x 3 cos 3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x
( ĐH KHỐI B-2005 )
( CĐ KHỐI B -2008 )
Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
16.
3
cos 4 x sin 4 cos x sin 3x 0
4 4 2
17. 5 sin x 2 3(1 sin x) tan 2 x
( ĐH KHỐI B-2004 ) ( ĐH KHỐI D-2005 )
cos 2 x 1 26. 4(sin 4 x cos 4 x) sin 4 x 2 0
18. cot x 1 sin 2 x sin 2 x
1 tan x 2 ( CĐ XD số 2 -2006 )
( ĐH KHỐI A-2003)
x x
cos 4 sin 4
2
1 sin 2 x
19. cot x tan x 4 sin 2 x 2 2
27.
sin 2 x
sin 2 x
2 sin 2 x
( ĐH KHỐI B-2003 )
4
( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 )
x 2x
20. sin 2 tan x cos 0
2
2 4 2
cos x sin 2 x
3
28.
( ĐH KHỐI D-2003 )
2 cos 2 x sin x 1
( CĐ GTVT III - Khối A -2006 )
21. Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương
trình:
29. 4sin 3 x cos 3 x cos x 3 sin x
cos 3x sin 3x
5 sin x cos 2 x 3 ( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 )
1 2 sin 2 x
( ĐH KHỐI A-2002 ) 30. cos 3 x sin x 3 sin 2 x cos x
( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 )
22. sin 2 3x cos 2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x
( ĐH KHỐI B-2002 ) 1
31. sin 2 2 x sin 2 x
2
23. Tìm x thuộc đoạn 0;14 nghiệm đúng phương
trình: ( CĐ SP Hưng Yên - Khối D1, M -2006 )
cos 3 x 4 cos 2 x 3 cos x 4 0
( ĐH KHỐI D-2002 ) 7x 3x x 5x
32. sin sin cos sin 2 x cos 7 x 0
cos
2 2 2 2
24.
( CĐ BC Hoa Sen -2006 )
cos x cos 2 2 x cos 2 3x 3 cos x
2
2 2 2
1 sin x
33. 3 tan 2 x 2
2 sin x
( CĐ KT-KTCN I KHỐI A-2006 )
( CĐ Sài Gòn -2007 )
25. sin 3 x cos 3 x 2(sin x cos x) 1
34. sin 2 x cos 2 x
1
4 2
( CĐ KT-KTCN II KHỐI A-2006 )
Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
35. 2 cos x 12 sin x cos x sin 2 x sin x
( ĐH KHỐI D-2004 )
Chuyên đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
I. Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
x
a. sin 2 x s inx b. sin 2 x 2 cos x c. cos3x s inx d. cosx=-sin
2
x 3 x 3
e. sin2 f. s in4x 2sin .cos4x g. cos
2 4 3 4 2
Giải:
2
2 x x k 2 x k 3
a. sin 2 x s inx sin2x=sin(-x)
2 x x k 2
x k 2
2 cos x 0
b. pt 2sin x.cos x 2 cos x 0 2 cos x s inx 1 0
s inx 1 0
x 2 k
cos x 0
x k
x k 2
s inx 1 2
2
3x 2 x k 2 4 x 2 k 2
c. cos3x s inx cos3x cos x
3x x k 2 2 x k 2
2
2 2
x 8 k 2
x k
4
x
x 2 k 2
d. cosx=-sin cosx sin cosx cos
x x
x
x x k 2
2 2 2
2
x
x 2 k 4
2 k 2
x 2 k 4
3x
k 2
3 3
2
2
1 cos x 3
x3 1
e. sin 2 2 2 cos x 3 2 cos x 1 cos x cos x cos
24 2 4 2 3
2
x 3 k 2
x 2 k 2
3
Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
3 sin 4 x
f. s in4x 2sin .cos4x sin4x=2. .cos4 x sin 4 x 3cos4 x 3
3 2 cos4 x
k x
tan 4 x 3 tan 4 x tan 4x k
3 3 12 4
x 5 10
4 6 k 2 x 3 k 8
5
x 3 x
g. cos cos cos
x 5 k 2 x 10 k 8
4 2 4 6
4
6 3
sin x.sin 3 x cos x.cos 3 x
3 3
1
Ví dụ 2: Giải phương trình
8
tan x .tan x
6 3
Giải:
k
Điều kiện: x
62
Ta có tan x .tan x tan x .cot x tan x .cot x 1
6 3 6 6 6 6
Phương trình tương đương với:
sin 3 x.sin 3 x cos3 x.cos 3 x 1
1 8
1 1
sin 3 x.sin 3 x cos3 x.cos 3 x sin 2 x.s inx.sin 3 x cos 2 x.cos x.cos3 x
8 8
1 cos2 x cos2 x cos4 x 1 cos2 x cos2 x cos4 x 1
. .
2 2 2 2 8
1
2 cos2 x cos2 x.cos4 x
2
1 1
cos3 x cos2 x
8 2
x 6 k loai
,k Z
x k
6 .
Vậy : x k
6
Chuyên đề phương trình lượng giác 7 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
cos 2 x cos 3 x 1
Ví dụ 3: Giải phương trình: cos 2 x tan x 2
cos 2 x
Giải:
Điều kiện: cosx ≠ 0
cos x 1
pt cos 2 x tan x 1 cos x (1 tan x) 2cos x cos x -1 0
2 2 2
cos x 1
2
x k 2 (n)
x 2 k 2 (n)
3
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên 0; 2 của phương trình :
sin 3x sin x
sin 2x cos2x
1 cos2x
Giải:
ĐK : 1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 s inx 0 x
2 2
2cos2x.sin x
pt 2cos 2x
4
2 sin x
Khi x 0; thì sinx > 0 nên :
(1) 2 cos2x = 2 cos 2x
4
x
16 2
9
Do x 0; nên x hay x
16 16
Khi x ; 2 thì sinx < 0 nên :
(1) 2 cos2x = 2 cos 2x cos -2x = cos 2x-
4 4
5
x
16 2
21 29
Do x ; 2 nên x hay x
16 16
5
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 2 cos x sin x 1
12
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
5 5 5
x sin x 1 2 sin 2 x sin 1
2 2cos
12 12
12
5 5 5 5
1
sin 2 x sin sin sin 2 x sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2 cos sin sin
3 12 12
5
x 6 k
2 x 12 12 k 2
5
k
sin 2 x sin
2 x 5 13 k 2 x 3 k
12 12
12 12 4
2(cos x sin x)
1
Ví dụ 6: Giải phương trình:
tan x cot 2 x cot x 1
Giải:
Điều kiện:sinx.cosx 0 và cotx 1
Phương trình đã cho tương đương với
2(cos x sin x )
1
sin x cos 2 x cos x
1
cos x sin 2 x sin x
2(cos x s inx)
1 1
2 s inx
sin 2 x sin x cos2 x cos x cos x s inx cos x
cos x sin 2 x s inx cos x sin 2 x
s inx 0 (loai )
sin 2 x 2 s inx 0 2sin x cos x 2 s inx 0
cos x 2
2
2
x = k 2
cosx =
4
2
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = k 2
4
II. Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löông giaùc:
Phöông trình daïng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong ñoù f(x) laø haøm soá löôïng giaùc.
Vaø a, b, c laø caùc heä soá a 0.
Caùch giaûi: Đặtë t = f(x) ( neáu f(x) laø sinx hoaëc cosx thì t 1 )
+ Giaûi phöông trình at2 + bt + c = 0 vaø choïn t thoaû maõn ñieàu kieän.
Chuyên đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
+ Giaûi phöông trình f(x) = t.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a. sin 2 x 3cos x 2 cos 2 x 3cos 2 x 2 b. 5sin 2 x 2 cos 2 x 3sin x 10 2 cos 2 x
c. cos3x.cos x 1
Giải:
a. pt 1 cos 2 x 3cos x 2 cos 2 x 3(2 cos 2 x 1) 2
x k 2
cos x 1
2
5cos x 3cos x 2 0 2 x arccos k 2
2
cos x 5
5
2
x arccos k 2
5
b. pt 5sin x 2(1 sin x) 3sin x 10 2(1 2sin x)
2 2 2
s inx 1
11sin x 3sin x 14 x k 2
2
11
s inx (VN ) 2
4
1
c. pt cos4 x cos2 x 1 cos4 x cos2 x 2 2 cos 2 2 x 1 cos2 x 2
2
cos2 x 1
2 cos 2 x cos2 x 3 0 cos2 x 1 2 x k 2
2
cos2 x 3 (VN )
2
x k
Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau:
2 cos 4 x 6co s 2 x 1 3cos 2 x 1 cos x(2 cos x 1) 2 sin x
a. 0 (1) b. 1 (2)
1 cos x
cos x
c. 3cosx 2 3(1 cosx).cot 2 x (3) d. sin 6 x cos 6 x 2cos 2 x 1 (4)
Giải:
a. Đ k x m .
2
Ta có (1) 22 cos 2 2 x 1 3(1 cos 2 x 1 3 cos 2 x 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
k
cos 2 x 1 x 2
2 cos 2 2 x 3 cos 2 x 1 0
cos 2 x 1 x k
2
6
Đối chiếu với điều kiện ta được
k ; h, k Z .
x h ; x
6
b. ĐK : cos x 1 x m2
Ta có: (2) 1 2 cos 2 x cos x 2 sin x 1 cos x 2(1 sin 2 x) 2 sin x 0
2
sin x
2sin x 2 sin x 2 0
2
2
sin x 2 (VN )
x 4 k 2
2
( Thỏa điều kiện)
sin x sin
x 5 k 2
2 4
4
c. ĐK : x m
cos 2 x cos 2 x
Ta có (3) 3 cos 2 x 2 3(1 cos x) 2 3 cos 2 x 2 3(1 cos x)
1 cos 2 x
sin x
3 cos 2 x
3 cos x 2 6 cos 2 x cos x 2 0
1 cos x
1
x 3 k 2
cos x 2
(Thỏa ĐK)
cos x 2 x arccos( 2 ) k 2
3 3
d. Ta có:
3
sin 6 x cos 6 x sin 2 x (cos 2 x) 3
3
(sin 2 x cos 2 x) 3 3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x cos 2 x) 1 sin 2 2 x
4
3 1
cos 2 2 x
4 4
3 1
Khi đđó: (4) cos 2 2 x cos 2 x 3 cos 2 2 x 4 cos 2 x 1 0
4 4
x k
cos 2 x 1
cos 2 x 1 x 1 arccos 1 k 2
3 2 3
Ví dụ 3: Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; cuûa phöông trình :
Chuyên đề phương trình lượng giác 11 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
sin 3x cos 3 x
(5)
cosx 4 cos 2 x
7
2sin 2 x 1
Giải:
5
x 12 m2
ĐK : sinx
1
x m2
2
12
Ta có
sin 3 x cos 3x 3sin x 4sin 3 x 4 cos3 x 3cos x
3(sin x cos x) 4(sin x cos x)(1 sin x cos x)
(sin x cos x)(4 sin x cos x 1) (sin x cos x)(2 sin 2 x 1)
sin 3x cos 3x
sin x cos x
2 sin 2 x 1
Ta có (5) 7(sin x cos x cos x) 4 cos 2 x 7 sin x 4 (1 2 sin 2 x)
sin x 3 (VN )
2sin x 7 sin x 3 0
2
sin x 1
2
x 6 k 2
1
sin x
x 5 k 2
2
6
*Chọn nghiệm thuộc khoảng 0; ta được hai nghiệm của phương trình là:
5
x ; x
6 6
Ví dụ 4: Giải phöông trình : cos 2 x 5sin x 3 0 (*) .
Giải:
(*) 1 2sin x 5sin x 3 0
2
x 6 k 2
1
s inx 1
2sin 2 x 5sin x 2 0 sin x
2
x 5 k 2
2
s inx 2 (VN )
6
17 x
Ví dụ 5. Giải phương trình sin(2x ) 16 2 3.s inx cos x 20sin 2 ( )
2 2 12
Giải:
1 3
pt c os2x 3 sin 2x 10cos(x ) 6 0 c os2x sin 2x 5c os(x ) 3 0
6 2 2 6
Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
cos(2x ) 5cos(x ) 3 0 2cos 2 (x ) 5cos(x ) 2 0
3 6 6 6
1
x 2 k 2
c os(x 6 ) 2
x 5 k 2
c os(x ) 2 (VN )
6
6
sin 4 2 x c os 4 2 x
c os 4 4 x .
Ví dụ 6. Giải phöông trình
x ). tan( x)
tan(
4 4
Giải:
Điều kiện: x l ,l Z
4 2
Ta có : x ) tan( x ) tan( x ) cot( x) 1
t an(
4 4 4 4
1 11
sin4 2xcos42x 1 sin2 4x cos24x
2 22
cos2 4x 1
pt 2cos4 4x cos2 4x 1 0 2
cos 4x 1 (VN )
2
1 cos2 4x 0 sin2 4x 0 sin4x 0 4x k x k
4
Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là xk ,k Z
2
2 3 sin x
sin 2 x sin 2 x
Ví dụ 7. Giải phöông trình 3 3 2
Giải:
2 2
1 cos 2x 1 cos 2x
3 sin x
3 3
Pt 2 2 2
2 2
1
1 sin x cos 2x cos 2x 0 1 sin x 2 cos 2x 0
3 3 2
1 – cos2x – sinx = 0 2sin2x – sinx = 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
x k
x k2
sin x 0
6
5
sin x 1 x k2
2 (k Z )
6
sin 2 x cos 2 x
Ví dụ 8. Giải phương trình: (1)
tan x cot x
cos x sin x
Giải:
cos x 0
Điều kiện: sin 2 x 0 x k
s inx 0 2
cos 2x cos x sin 2x sin x sin x cos x
(1)
sin x cos x cos x sin x
cos 2 x x sin 2 x cos 2 x
cos x sin 2 x cos 2 x
sin x cos x sin x cos x
x k 2 (l )
cos x 1
2 cos x cos x 1 0
2
x 2 k 2 (n)
cos x 1
3
2
Ví dụ 9. Giải phương trình : 2 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 0
Giải:
Ta có: 2 sin x sin 2 x sin x cos x 1 0 2 sin 2 x (2 cos x 1) sin x cos x 1 0 .
2
(2 cos x 1) 2 8(cos x 1) (2 cos x 3) 2 .
Suy ra sin x 0,5 hoặc sin x cos x 1 .
5
2k hoặc x 2k
Với sin x 0,5 ta có x
6 6
Với sin x cos x 1 ta có sin x cos x 1 sin x
2
sin
4 2 4
3
x 2k hoặc x 2k
Vậy nghiệm của phương trình là
2
Ví dụ 10. Giải phương trình: 2 cos 5 x. cos 3x sin x cos 8 x
Giải:
PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x
1- 2sin2x + sinx = 0
1
sinx = 1 hoặc sin x
2
Chuyên đề phương trình lượng giác 14 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
7
x k 2 ; x k 2 ; x k 2 , ( k Z )
2 6 6
4 2sin 2 x
3
2 3 2(cot x 1) .
Ví dụ 11. Giải phương trình:
cos 2 x sin 2 x
Giải:
Đk: x k
2
4
3 1 tan 2 x 2 3 2cot x
Phương trình đã cho tương đương với:
sin 2 x
2(sin 2 x cos 2 x)
3tan 2 x 3 2cot x
sin x cos x
3tan 2 x 2tan x 3 0
tan x 3 x k
3
1
tan x
x k
3
6
So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x k ; kZ
6 2
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1. Giaûi phöông trình :
cos x 2 sinx 3 2 2cos 2 x 1
4sin 2 2 x 6sin 2 x 9 3cos 2 x
a. b.
0 1
1 sin 2 x
cos x
17
c. 5sinx 2 3(1 sinx).tan 2 x d. sin 8 x cos8 x cos 2 2 x
16
2. Tìm caùc nghieäm treân khoaûng 0; 2 cuûa phöông trình :
cos 3x sin 3x
5 sinx 3 cos 2 x
1 2sin 2 x
III. Phöông trình baäc nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Phöông trình daïng : asinx + bcosx = c , vôùi a.b 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 15 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
+ Ñieàu kieän phöông trình coù nghieäm : a2 + b2 c2.
+ Caùch giaûi :
- Chia 2 veá phöông trình cho a 2 b 2 ta ñöôïc :
asinx b cos x c
a b a b a b2
2 2 2 2 2
a b c
- Ñaët cos vaø ñaët sin ta coù phöông trình:
sin
a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
sin( x ) sin
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a. 3 sin 2 x cos2 x 2 b. s inx 3 cos x 2sin 3x
c. cos x 3 sin 3x cos3x 3 sin x d. 3sin 2 x cos 2 x 3 s inx cos x
Giải:
3 1
a. pt sin 2 x cos2 x 1 cos sin 2 x sin cos2 x 1
2 2 6 6
sin 2 x 1 2 x k 2 x k
6 62 6
1 3
b. pt s inx cos x sin 3x cos s inx sin cos x s in3x
2 2 3 3
x 3 3 x k 2 x 12 k 2
sin x sin(3x)
x 2 k
x 3x k 2
3
3
3
3 1 3 1
c. pt 3 sin 3 x cos3 x 3 sin x cos x sin 3 x cos3 x s inx cos x
2 2 2 2
cos sin 3x sin cos3 x cos s inx sin cosx
6 6 6 6
x k
3 x x k 2
6 6
sin 3x sin x
x k
3 x x k 2
6 6
3 2
6 6
Chuyên đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
d.
2
pt cos 2 x ( 3 s inx cos x) 0
3 s inx
( 3 s inx cos x)( 3 s inx cos x) ( 3 s inx cos x ) 0 ( 3 s inx cos x )( 3 s inx cos x 1) 0
3 1
sin x 6 0
cos s inx sin cos x 0
s inx cos x 0
3 s inx cos x 0
6 6
2 2
cos s inx-sin cos x 1
3 s inx cos x 1
3 1 1
sin x sin
s inx- cos x
6 6 2 6 6
2 2 2
x 6 k x 6 k
x k 2
x k 2
66 3
x k 2 x k 2
6 6
Ví dụ 2: Giaûi phöông trình :
3 1
a. 4 cos 3 2 x 3 sin 6 x 2 cos 4 x 3 cos 2 x (1) b. 8sinx (2)
cosx sinx
c. sin 2 x cos 2 x cos x sin x 0 (3) d. 9 sin x 3 cos x 3 sin 2 x cos 2 x 8 (4)
e. 2cos 3 x cos 2 x sinx 0 (5) f. sin x cos x sinx cosx (6)
3 3
g. 4 (sin 4 x cos 4 x) 3 sin 4 x 2 (7) h. 3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x (8)
Giải:
a. (1) 4 cos 3 2 x 3 cos 2 x 3 sin 6 x 2 cos 4 x
1 3
cos 6 x 3 sin 6 x 2 cos 4 x cos 6 x sin 6 x cos 4 x
2 2
cos 6 x cos 4 x .
3
sin x 0 m
m Z
b. ĐK : sin 2 x 0 x
cos x 0 2
Ta có (2) 4 sin 2 x sin x 3 sin x cos x 2(cos x cos 3x) 3 sin x cos x
1 3
cos x sin x cos 3x cos x cos 3x
2 2 3
c. Ta có (3) (2 sin x cos x sin x) 2 cos 2 x cos x 1 0
sin x(2 cos x 1) (2 cos x 1)(cos x 1) 0
(2 cos x 1)(sin x cos x 1) 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 17 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
1
cos x 2 sin( x ) 1
2 4
d. Ta có (4) 9 sin x 6 sin x cos x 3 cos x 2 cos 2 x 9 0
3 sin x(3 2 cos x) (2 cos x 3)(cos x 3) 0
(2 cos x 3)(cos x 3 sin x 3) 0 cos x 3 sin x 3 0
1 3 3
cos cos x sin sin x sin
cos x sin x
10 10 10
1 3
cos và sin
Đặt
10 10
Phương trình cos( x ) cos cos( x ) cos
2 2
e. Ta có (5) 2 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(cos x 1) (1 sin x) 0
3 2 2
2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x) 0
(1 sin x)2(1 sin x)(1 cos x) 1 0
(1 sin x)(2 sin x 2 cos x sin 2 x 1) 0
(1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x) 2 0
1 sin x 0
(1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) 0
sin x cos x 0
f. Ta có (6) (sin x cos x)(1 sin x cos x) sin x cos x
sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) sin x cos x
2 cos x sin x cos x(sin x cos x) 0 cos x(2 sin 2 x sin x cos x) 0
1 cos 2 x 1
cos x(2 sin 2 x) 0 cos x(3 cos 2 x sin 2 x) 0
2 2
cos x 0
1 1 31
g. Ta có sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x 1 (1 cos 4 x) cos 4 x
2 4 44
1 3 1
Nên (7) 3 cos 4 x 3 sin 4 x 2 cos 4 x sin 4 x
2 2 2
2
cos 4 x cos
3 3
3 1 1 3
h. Ta có (8) 3 sin 3x cos 3x sin x 3 cos x sin 3 x cos 3x sin x cos x
2 2 2 2
sin 3x sin x
6 3
Chuyên đề phương trình lượng giác 18 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3. Giải phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3cos 2 (2 x )
4
Giải:
PT cos4x+cos2x+ 3(1 sin 2 x) 3 1 cos(4x+ )
2
cos4x+ 3 sin 4 x cos2x+ 3 sin 2 x 0
sin(4 x ) sin(2 x ) 0
6 6
x 18 k 3
2sin(3 x ).cosx=0
x= k
6
2
k và
Vậy PT có hai nghiệm .
x x k
2 18 3
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ :
1) Giaûi phöông trình : 3 sin 3x 3 cos 9 x 2 cos 3x 4 sin 3 3x
3 1
2) Giaûi phöông trình : 8cosx
sin x cosx
3) Giaûi phöông trình : sin 2 x 2sin x 1 4sin 2 xcosx cos 2 x 2sin x cos 2 x
4) Giaûi phöông trình : sinx 4 cos x sin 2 x 2 cos 2 x 1
5) Giaûi phöông trình : 2sin 3 x cos 2 x cosx 0
6) Giaûi phöông trình : sin 3 x cos 3 x sinx cosx
7) Giaûi phöông trình : 8 sin 6 x cos 6 x 3 3 sin 4 x 2
8) Giải phương trình : 3 (cos 3x sin x) sin 3x cos x
IV. Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
1) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc hai theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
*Phöông trình coù daïng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
*Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về PT bậc nhất theo
sin2x và cos2x )
1 cos 2 x b 1 cos 2 x
(1) a sin 2 x c d 0
2 2 2
Chuyên đề phương trình lượng giác 19 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
b sin 2 x (c a) cos 2 x (2d a c) .
* Caùch giaûi 2: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx )
Xeùt hai tröôøng hôïp :
+ Neáu x = k ; k Z coù laø nghieäm phöông trình hay khoâng.
2
2
+ Neáu x k ; k Z , chia hai veá phöông trình cho cos x ta ñöôïc:
2
atan x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
2
2
(a + d)tan x + btanx + c + d = 0.
Ví duï 1: Giải các phương trình sau
a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) b. 4sin2x – 3sinxcosx + 2
3 4 cos x = 4 (2)
c. 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4)
Giải
a. (1) cos 2 x sin 2 x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x 1
1 3 1
cos 2 x sin 2 x cos 2 x cos
2 2 2 3 3
b. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm x k .
2
+ Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được
4 t anx 2 3 t anx 3 4 4(1 tan 2 x)
k
tan x tan x
6 6
Vậy PT (2) có nghiệm là : x k ; x k ; kZ
2 6
5 3
c. (3) 5(1 cos 2 x) sin 2 x (1 cos 2 x) 3
2 2
7 cos 2 x 5 sin 2 x 7
d. Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2).
k .
Vậy (2) có nghiệm x
2
+Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x ta được
1 t anx 3 tan 2 x 3(1 tan 2 x) tan x 2 x arctan 2 k
Chuyên đề phương trình lượng giác 20 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ:
1) Giaûi phöông trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giaûi phöông trình : sin2x + (1 3) sin x cos x 3cos 2 x 0
3) Giaûi phöông trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giaûi phöông trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
2) Phöông trình ñaúng caáp thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo
sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x cos 2 x 1 . (k , n N )
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (sin 2 x cos 2 x) sin 3 x sin x cos 2 x (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. (sin 2 x cos 2 x) 2 sin 5 x 2 sin 3 x cos 2 x sin x cos 4 x (bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng
đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và
côsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k,
k N ”
Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
k
+Bước 2: -Xét cosx 0. Chia hai vế PT cho cos x và thay 2
1 k
1 tan x .
2
n
cos x
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như
cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x sin x cos x cos 2 x (1)
Giải cách 1:
m .
+ĐK: x
2
Chuyên đề phương trình lượng giác 21 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
+(1) sin x sin x cos 2 x cos 3 x (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 1 0 ; vô lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
k (t = tanx)
tan x(1 tan 2 x) tan x 1 t 3 1 t 1 tan x 1 x
4
Giải cách 2:
(*) sin x(1 cos 2 x) cos 3 x sin 3 x cos 3 x (**)
k
tan 3 x 1 tan x 1 x
4
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**) sin 3 x cos 3 x 0 (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0 (sin x cos x)(2 sin 2 x) 0
k
sin x cos x 0 tan x 1 x .
4
Ví dụ 2: Giải phương trình: cos 3 x sin x cos x (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1 tan x(1 tan 2 x) (1 tan x)
t (t 2 t 1) 0 t 0 tan x 0 x k (với t = tanx )
Giải cách 2:
(2) cos x(cos 2 x 1) sin x cos x sin 2 x sin x 0 sin x(sin x cos x 1) 0
sin x(sin 2 x 2) 0 sin x 0 x k
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 sin 3 x 2 cos 3 x sin 2 x cos x 2 cos x 0 (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
3 tan 3 x 2 tan 2 x 2(1 tan 2 x) 3t 3 3t 2 0 3t 2 (t 3 ) 0
x k
t 0 tan x 0
x k
t 3 tan x 3 3
Giải cách 2:
(3) 3 sin 3 x sin 2 x cos x 2 cos x(1 cos 2 x) 0
sin 2 x( 3 sin x cos x) 2 cos x sin 2 x 0 sin 2 x 3 sin x 3 cos x 0
x k
x k
sin x 0
x k
sin x 3 cos x 0 tan x 3
3
Chuyên đề phương trình lượng giác 22 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t 2 4t 3 0 t 1 t 3
Giải cách 2:
(4) (3 cos 4 x 3 sin 2 x cos 2 x) (sin 2 x cos 2 x sin 4 x) 0
3 cos 2 x(cos 2 x sin 2 x) sin 2 x(cos 2 x sin 2 x) 0
cos 2 x 0
cos 2 x(3 cos 2 x sin 2 x) 0
tan x 3
Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6 x cos 6 x cos 2 2 x sin x cos x (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin 6 x cos 6 x (sin 2 x cos 2 x)(sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x) =
= sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x
Và biến đổi : cos 2 2 x (cos 2 x sin 2 x) 2 cos 4 x sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x
Thì PT (5) sin 2 x cos 2 x sin x cos x 0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x cos 6 x (cos 2 x sin 2 x) 2 sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )
t 0
t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0 4 3
t t 2t t 1 0 (5.1)
2
1 1
1 1
Khi đó PT (5.1) t 2 t 2 0 t 2 2 t 2 0 (5.2)
2
t t t
t
1
PT (5.2) đặt ẩn phụ u t thì được PT bậc hai u 2 u 0 u 0 u 1 .
t
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0 tan x 0 x k .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
k
k cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = . Phù hợp với mọi cách
x
2 2
giải.
BAØI TAÄP TÖÔNG TÖÏ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân
PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)
2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
Chuyên đề phương trình lượng giác 23 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
4) Giaûi phöông trình : sin 3 x cos 3 x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)
5) Giaûi phöông trình : 8sin 6 x cos 6 x 3 3 sin 4 x 2 (đẳng cấp bậc 6)
6) Giải phương trình : 3 (cos 3x sin x) sin 3x cos x (đẳng cấp bậc 3)
7) Giaûi phöông trình : sin 3 x cos 3 x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)
8) Giaûi phöông trình : 4 (sin 4 x cos 4 x) 3 sin 4 x 2 (đẳng cấp bậc 4)
9) Giải phương trình : 3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x (đẳng cấp bậc 3)
17
10) Giaûi phöông trình : sin 8 x cos8 x (đẳng cấp bậc 8)
cos 2 2 x
16
11) Giaûi phöông trình : sin 6 x cos 6 x 2cos 2 x 1 (đẳng cấp bậc 6)
V. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một
cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)
Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x t 2
4
t 1
2
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x (*)
2
t 2 1
(1) at b. c 0 bt 2 2at 2c b 0 (1.1) .
2
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0 2 .
Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = t 02 1 để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 sin x t 2
4
1 t 2
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x (**)
2
1 t2
(1) at b. c 0 bt 2 2at 2c b 0 (2.1) .
2
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0 2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x.
Chuyên đề phương trình lượng giác 24 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
s in x c o s x 2 s in x 2 cos x
4 4
s in x c o s x 2 s in x 2 cos x
4 4
Ví dụ 1: Giải phương trình sin x cos x sin 2 x 12(cos x sin x) 12 cos 2 x 0 (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 8 cos 2 x 3 sin 2 x sin x 3 sin 2 x cos x 7 2 sin x (2)
4
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
sin x sin x 2 cos x 2 0
3 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x 12(sin x cos x sin 2 x) sin x cos x 12 (4)
2 2
Ví dụ 5: Giải phương trình (5)
sin 2 x sin x cos x cos x 2 sin 2 x(sin x 1) 1
Ví dụ 6: Giải phương trình (6)
(sin x cos x 1) cos 2 x cos x sin x 0
Giải:
Ví dụ 1: (1) sin x cos x sin 2 x 12(sin x cos x) 12 0
sin x cos x 0 (1a )
12(sin x cos x) sin 2 x 12 0 (1b)
(1a) sin x 0 x k x k
4 4 4
t 1
t 1 t sin x cos x
(1b) t 2 12t 13 0
t 13
1
t 1 2 sin x 1 sin x sin x sin
4 4 4 4
2
x 4 4 k 2
x 2 k 2
x k 2
x k 2
4 4
k
k ; x
+ Vậy (1) có nghiệm là x (k Z )
4 2
Ví dụ 2: (2) cos x sin x 8(cos x sin x) 3 sin 2 x 7 0
sin x cos x 0 ( 2a )
8(cos x sin x) 3 sin 2 x 7 0 (2b)
(2a) x k
4
Chuyên đề phương trình lượng giác 25 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
(2b) : Đặt t = cos x sin x ; ( t 2 ) t 2 1 sin 2 x sin 2 x 1 t 2 (*)
t 2
2
(2b) 3t 8t 4 0 2t
2
t 3
3
Ví dụ 3: (3) (1 cos x)(sin x cos x sin x cos x 1) 0
x k 2
cos x 1
x k
sin x cos x sin x cos x 1 0
2
Ví dụ 4: (4)
sin x cos x sin x cos x 12(sin x cos x) 12 0
sin x cos x 0
sin x cos x 12(sin x cos x) 12 0
x 4
x k
2
Ví dụ 5: (5) sin 2 x 1 (sin x cos x cos x) 2 sin 2 x(sin x 1) 0
sin x 1sin x 1 cos xsin x 1 2 sin 2 x(sin x 1) 0
sin x 1sin x cos x 2 sin 2 x 1 0
sin x 1
sin x cos x 2 sin 2 x 1 0
Ví dụ 6: (6) sin x cos x 1cos 2 x sin 2 x cos x sin x 0
sin x cos x 1cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0
(cos x sin x) sin x cos x 1cos x sin x 1 0
cos x sin x 0 (6a )
(sin x cos x 1)(cos x sin x) 1 0 (6b)
k
(6a) x
4
(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t 2 ) ; t 2 1 sin 2 x sin 2 x t 2 1 (*)
t 2 1
(6b) 2 1.t 1 0 t 3t 2 0 (t 1)(t t 2) 0
3 2
t 1 k
t 1 thay vào (*) thì sin2x = 0 x
t 2 2
Chuyên đề phương trình lượng giác 26 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải các phương trình sau :
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) 2 sin 2 x(sin x cos x 1) 2 cos x 2 .
1
2) sin 4 x cos 4 x sin 4 x sin x cos x
2
4
4) 3 sin x 3 sin 2 x 8(2 cos x)
3) cos x cos x 2 sin x 2 0
3 2
5) cos 2 x(1 sin x cos x) cos x sin x 0 6) sin 3 x 3 sin 2 x 6 cos x 6 0
VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
1 cos 2 x 1 cos 6 x 1 cos 4 x 1 cos8 x
Phương trình (1) tương đương với:
2 2 2 2
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
4cos5x.cos2x.cosx = 0
π kπ
π
x 10 5
5 x 2 kπ
cos 5 x 0
cos 2 x 0 2 x π kπ x π lπ , (k , l , n )
2 42
cos x 0
π π
x nπ
x kπ
2 2
Chuyên đề phương trình lượng giác 27 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).
Giải
Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0
cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
cos2x = 0
π π kπ
2x kπ x , (k )
2 42
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x 2 2 sin 3 x sin 3 x 6 2 cos 4 x 1 0 (3).
Giải
Ta có:
(3) 2 2 cos3 x(4 cos3 x 3cos x) 2 2 sin 3 x sin 3 x 1 0
2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x 2sin 2 x.2sin x sin x3x 2
(1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x) (1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x) 2
2(cos 2 x cos 2 x cos 4 x) 2
2 2
cos 2 x(1 cos 4 x ) cos 2 x.cos 2 2 x
2 4
2 π
cos 2 x x kπ , (k )
2 8
Ví dụ 4. Giải phương trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x .
4
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 28 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
cos x cos3x 1 2 sin 2x 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
4
2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0 cos x cos x sinx cos2x 0
2
cos x 0
cos x cos x sinx 1 s inx cosx 0 cos x sinx 0
1 sinx cosx 0
x k
2
x k x k
x k
2 2
4
x k
x k
x k2
4 4
x k2
sin x 1 4 4
5
4 2
x k2
44
Ví dụ 5. Giải phương trình cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0
Giải:
Ta có: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0
cos2 x 1 0
cos2 x 1 2sin x 1 2sin x 0 cos2 x 11 2sin x 0
1 2sin x 0
2 x k 2
cos2 x 1
1 x k 2
s inx 6
2 5
x k 2
6
Ví dụ 6. Giải phương trình sau: (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx.
Giải
l
Điều kiện: cos x 0 x
2
Ta có:
Chuyên đề phương trình lượng giác 29 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
s inx s inx
1 – tanx 1 sin2x 1 tanx 1 1 2sin x cos x 1
cos x cos x
(cos x s inx) s inx cos x cos x s inx (cos x s inx) s inx cos x (cos x s inx)=0
2 2
(sinx cos x) (cos x s inx)(cos x s inx) 1 0
(sinx cos x) cos 2 x sin 2 x 1 0 (sinx cos x) cos2x 1 0
2 sin x 4 0 x k x k (n)
s inx cos x 0
4 4
cos2 x 1 0
2 x k 2 x k ( n )
cos2 x 1
Ví dụ 7: Giải phương trình: 2sin 2 x 2sin 2 x t anx .
4
Giải:
l (*)
Điều kiện : cos x 0 x
2
sinx
pt 1 cos 2 x 2sin 2 x
2 cos x
cos x sin 2 x.cos x 2sin 2 x.cos x sinx cos x sinx sin 2 x cos x sinx 0
cos x sin 2 x.cos x 2sin 2 x.cos x sinx cos x sinx sin 2 x cos x sinx 0
(cos x sinx)(1 sin 2 x ) 0
s inx cos x t anx 1 x k
4
x k (nhân)
sin 2 x 1 2 x l 2 x l 4 2
2 4
Ví dụ 8. Giải phương trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3
Giải:
pt 2 cos6 x cos4 x 3(2 cos 2 x 1) 2sin x cos x 3
4 cos 5 x cos x 2 3cos 2 x 3 2sin x cos x 3
Chuyên đề phương trình lượng giác 30 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
4cos5xcosx -2sinxcosx - 2 3cos 2 x 0 2 cos x 2cos5x -sinx - 3cosx 0
x 2 k
cos x 0 x k
2
2cos5x -sinx - 3cosx=0
s inx cos x 2 cos 5 x s inx 3 cos x 2 cos 5 x
x 2 k x k
2
sin s inx cos cos x cos 5 x
1 3
2 s inx 2 cos x cos 5 x
6 6
x k
2
x 2 k
x k
cos x cos 5 x 24 2
6
x k
36 3
cos 2 x. cos x 1
2 1 sin x .
Ví dụ 9. Giải phương trình
sin x cos x
Giải:
ĐK: sin x cos x 0
Khi đó PT 1 sin 2 x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x
1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 0
sin x 1
1 sin x 1 cos x 1 sin x 0 (thoả mãn điều kiện)
cos x 1
x 2 k 2 k, m
x m2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x k 2 và x m2 k , m
2
x
Ví dụ 10. Giải phương trình 1 sin sin x cos sin 2 x 2 cos 2
x x
4 2
2 2
Giải:
x x
pt 1 sin sin x cos sin 2 x 1 cos x 1 sin x
2 2 2
Chuyên đề phương trình lượng giác 31 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
x x x
x x x
sin x sin cos sin x 1 0 sin x sin cos .2 sin cos 1 0
2 2 2
2 2 2
x x
x
sin x sin 1 2 sin 2 2 sin 1 0
2 2
2
sin x 0
x k
x k
x x
sin 1 x k , k
k 2
2 x k 4
2 2
x x
2sin 2 2sin 1 0
2 2
1 8 1
Ví dụ 11. Giải phương trình: 2 cos x cos 2 ( x) sin 2 x 3cos( x ) sin 2 x
3 3 2 3
Giải:
1 8 1
pt 2cosx+ cos 2 x sin 2 x 3s inx+ sin 2 x 6cosx+cos 2 x 8 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x
3 3 3
7
6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x 9s inx+7) 0 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) 0
2
1 s inx=0 (1)
x k 2 ;(k Z )
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
6cosx-2sinx+7=0(2) 2
(p/t vô nghiệm )
(2)
cos 2 x 1
Ví dụ 12. Tìm x (0; ) thoả mãn phương trình: cotx – 1 = sin 2 x sin 2 x .
1 tan x 2
Giải:
sin 2 x 0 sin 2 x 0
ĐK:
sin x cos x 0 tan x 1
cos x sin x cos 2 x. cos x
sin 2 x sin x cos x
PT
cos x sin x
sin x
cos x sin x
cos 2 x sin x cos x sin 2 x sin x cos x
sin x
cos x sin x sin x(1 sin 2 x)
(cos x sin x)(sin x cos x sin 2 x 1) 0
(cosx sin x)(sin2x cos2x 3) 0
Chuyên đề phương trình lượng giác 32 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
c os x sinx 0
(cos x sinx)( 2sin(2x ) 3) 0
2 sin(2 x ) 3( voly )
4
4
k (k Z ) (tmđk)
cos x sin x 0 tanx = 1 x
4
Do x 0; k 0 x
4
Ví dụ 13. Giải phương trình: sin 3 x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0 .
Giải:
Ta có : sin 3x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0
(sin 3x sin x) 2sin x 3sin 2 x (cos 2 x 2 3cos x) 0
2sin 2 x.cos x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0
2sin x.cos 2 x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0
1
sin x 2
(2sin x 1)(2 cos 2 x 3cos x 1) 0 cos x 1
1
cos x
2
x 6 k 2
1
* sin x , (k Z ).
x 5 k 2
2
6
x 3 k 2
1
* cos x , (k Z ).
x k 2
2
3
* cos x 1 x k 2 , (k Z ).
Ví dụ 14. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
Giải:
sin x cosx
2 1 sin x 1 cosx 0
cosx sin x
2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x
0
cosx sin x
2 3
cosx sin x cosx.sin x 0
cosx sin x
Chuyên đề phương trình lượng giác 33 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
3
2 3
* Xét 0 tan x tan x
cosx sin x 2
* Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . Đặt t = sinx + cosx với t 2; 2 .
Khi đó phương trình trở thành:
t2 1
t 0 t 2 2t 1 0 t 1 2
2
1 2
Suy ra : 2cos x 1 2 cos x cos
4 4 2
x 2
4
Ví dụ 15.Giải phương trình : 5 cos 3 x 3 cos 5 x 0
6 10
Giải:
pt 5 cos 3 x 3cos 5 x 0
2 2
5sin 3 x 3sin 5 x
2sin 3x 3(sin 5 x sin 3x)
2sin x( 3cos 4 x 4sin 2 x 3) 0
sin x 0
3cos 2 x cos 2 x 2 0
2
x k
( k Z )
x 1 arccos( 2 ) k
2 3
x k Ví dụ 16. Giải phương
Ví dụ 16. Giải phương trình trình
( k Z )
x 1 arccos( 2 ) k
sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x
2 3
Giải:
sin x cosx 0
pt (sin x cosx). 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0
2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0
k ( k Z )
+ Với sin x cosx 0 x
4
(t 2; 2 )
+ Với 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 , đặt t = sin x cosx
Chuyên đề phương trình lượng giác 34 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
t 1
được pt : t2 + 4t +3 = 0
t 3(loai )
x m2
Với t = -1 (m Z )
x m2
2
x 4 k ( k Z )
Vậy : x m2 (m Z )
x m2
2
Ví dụ 17. Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8
6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0
1 sin x 0
x k 2
6 cos x 2 sin x 7 0 (VN ) 2
1 sin 2 x cos 2 x
Ví dụ 18. Giải phương trình 2 sin x sin 2 x .
1 cot 2 x
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2011)
Giải:
ĐK : sinx ≠ 0 x k
Phương trình đã cho sin 2 x(1 s in2x cos 2 x) 2 2 sin 2 x cos x
1 sin 2 x cos 2 x 2 2 cos x
2 cos 2 x 2sin x cos x 2 2 cos x 0
2 cos x(cos x sin x 2) 0
cosx = 0 hay cosx + sinx = 2
cosx = 0 hay sin x 1
4
x= k 2 (k Z)
k hay x =
2 4
Ví dụ 19. Giải phương trình sin 2 x cos x sin x cos x cos 2 x sin x cos x
( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2011)
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 35 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Phương trình đã cho tương đương :
2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx
sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx
cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0
sinx = 1 hay cosx(2cosx + 1) – 1 = 0
2
x= k 2 hay 2cos x + cosx – 1 = 0
2
1
x= k 2 hay cosx = – 1 hay cosx =
2 2
x= k 2 hay x = + k2 hay x = k 2 (k Z)
2 3
s in2x 2 cos x sin x 1
Ví dụ 20. Giải phương trình 0
tan x 3
( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2011)
Giải
Đk : tan x 3 ; cosx 0
Pt sin2x + 2cosx sinx 1 = 0 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0
2cosx (sinx + 1) (sinx + 1)= 0 (2cosx 1)(sinx + 1) = 0
x 3 k 2
1
cos x
2
sin x 1 x k 2
2
k 2 (k )
So đk ta có nghiệm của pt : x
3
Ví dụ 21. ( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2012)
Giải phương trình 3 s in2x+cos2x=2cosx-1
Giải
. 3 s in2x+cos2x=2cosx-1
2 3 sinxcosx + 2cos2x = 2cosx cosx = 0 hay 3 sinx + cosx = 1
3 1 1
cosx = 0 hay sinx + cosx = cosx = 0 hay cos( x ) cos
2 2 2 3 3
2
x = k hay x k 2 hay x k 2
2 3
Ví dụ 22. ( ĐỀ TSĐH KHỐI B NĂM 2012)
Giải phương trình 2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1.
Giải
2(cos x 3 sin x) cos x cos x 3 sin x 1
Chuyên đề phương trình lượng giác 36 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
(2 cos x 1)(cos x 1) 3 sin x(2 cos x 1) 0
1
cos x 2 2
2 cos x 1 0
x 3 k 2
cos x 3 sin x 1 cos x 1
x k 2
3 2
Ví dụ 22. ( ĐỀ TSĐH KHỐI D NĂM 2012)
Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
Giải
sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2 cos2x
2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2 cos2x cos2x = 0 hay 2sinx + 2cosx = 2
1
cos2x = 0 hay sin( x )
4 2
7
x= k 2 (với k Z).
k 2 hay x =
hay x =
k
4 2 12 12
2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
17
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác: (4).
sin 8 x cos8 x
32
Giải
Ta có (4)
4 4
1 cos 2 x 1 cos 2 x 17 1 17
4 2
32 8 (cos 2 x 6 cos 2 x 1) 32
2 2
1
t 2
17 13
2
t, với t[0; 1], ta có t 6t 1 t 6t 0
Đặt cos 2x = 2 2
t 13
4 4
2
cos 4 x 1 1
1 1
Vì t[0;1], nên t cos 2 2 x
2 2 2 2
cos4x = 0 4 x kπ x π k π , (k )
π
2 8 4
Ví dụ 2. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
2 2
Ta có (5) 2(1 cos x)sinx + 2 – 2 cos x + cosx – 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0
(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos x 1 x k 2π , (k )
2sin x 2 cos x 2sin x cos x 1 0 (*)
Chuyên đề phương trình lượng giác 37 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
t 0 π
2 t + t2 – 1 + 1 = 0 t2 + 2 t = 0 sin x - cos x x nπ , (n )
t 2 (lo¹i) 4
π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x nπ ; x k 2π , (n, k )
4
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác
bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 1. Giải phương trình: π |sin (6).
cos x
x|
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x | 0, nên π |sin π 0 1 , mà |cosx| ≤ 1.
x|
| sin x | 0 k n 0
x k 2π 2 k 2π n
x kπ , (k )
Do đó (6)
x 0
x nπ x nπ
| cos x | 1 x nπ , (n )
(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.
x2
Ví dụ 1: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 cos x .
2
Giải
2
x
. Dễ thấy f(x) = f(x), x
Đặt f ( x)= cos x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết
2
ta chỉ xét với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với
x≥0 f(x) đồng biến với x≥0 .
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 2: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
π
2
2 n
thoả mãn phương trình: sin n x cos n x 2 .
2
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Chuyên đề phương trình lượng giác 38 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2n
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0; , ta có minf(x) = f = 2 2
2 4
Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)
ĐS: x k 2 ; x n 2
2.
2
3. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x
ĐS: x k ; x n2
4 3
4. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
7
n ; x m .
ĐS: x k ; x
4 4 12 12
5. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: x k .
2
6. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
1
k 2 ; x n2 ; x l 2 ; với sin .
ĐS: x
2 4
7. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) k .
ĐS: x
4
8. sin 3x sin 2 x.sin x ; (Học Viện BCVT) ĐS: x k
4 4 4 2
3 3 3
9. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: x k .
12
k
x 4
7
1 1
ĐS: x k
10. 4 sin x
3
8
sin x 4
sin x
5
2
x k
8
11. sin 3 x 3 cos3 x sin x cos 2 x 3 sin 2 x cos x
Chuyên đề phương trình lượng giác 39 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = k ,
3
k
x
4
12. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
2
k x k 2 (k )
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS: x
4 3
13. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải
2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.
(1)
2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK t 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.
=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
1
t 2 1
…(biết giải)
cos x
2
t sin x - 2 loaï i
14. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK t 1 .
2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.
15. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
2 cos x sin x
1
16. Giải phương trình lượng giác:
tan x cot 2 x cot x 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2 x 0
Điều kiện:
cot x 1
2 cos x sin x
1 cos x.sin 2 x
Từ (1) ta có: 2 sin x
sin x cos 2 x cos x cos x
1
cos x sin 2 x sin x
2 sin x.cos x 2 sin x
x 4 k 2
2
k
cos x
x k 2
2
4
Chuyên đề phương trình lượng giác 40 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x k 2 k
4
sin x cos x 1
4 4
tan x cot x
17. Giải phương trình:
sin 2 x 2
Giải
sin 4 x cos 4 x 1
tan x cot x (1)
sin 2 x 2
Điều kiện: sin 2 x 0
1
1
1 sin 2 2 x
1 sin 2 2 x
1 sin x cos x 1 1
2
2
1 sin 2 2 x 1 sin 2 x 0
(1)
sin 2 x sin 2 x 2
sin 2 x 2 cos x sin x
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
18. Giải phương trình: 2 sin 2 x 2 sin 2 x tan x .
4
Giải
Pt 2 sin 2 x 2 sin 2 x tan x (cosx 0)
1 cos 2 x cos x 2 sin 2 x.cos x sin x
2
4
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
19. Giải phương trình: sin 2 x cos x 3 2 3cos3 x 3 3cos2 x 8 3 cos x s inx 3 3 0 .
Giải
sin 2 x(cos x 3) 2 3.cos3 x 3 3.cos 2 x 8( 3.cos x sin x) 3 3 0
2sin x.cos 2 x 6sin x.cos x 2 3.cos3 x 6 3 cos 2 x 3 3 8( 3.cos x sin x) 3 3 0
2 cos 2 x( 3 cos x sin x) 6. cos x( 3 cos x sin x) 8( 3 cos x sin x) 0
( 3 cos x sin x)(2 cos 2 x 6 cos x 8) 0
tan x 3
3 cos x sin x 0
cos x 1
2
cos x 3cos x 4 0
cos x 4 (loai)
x 3 k , k
x k 2
20. Giải phương trình: cosx=8sin3 x
6
Giải
cosx=8sin3 x cosx =
3
3 sin x cos x
6
3 3 sin 3 x 9sin 2 x cos x 3 3 sin x cos 2 x cos3 x cos x 0 (3)
Chuyên đề phương trình lượng giác 41 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) 3 3 tan 3 x 8 tan 2 x 3 3 tan x 0
tan x 0 x k
2 cos x sin x
1
21. Giải phương trình lượng giác:
tan x cot 2 x cot x 1
Giải
cos x.sin 2 x.sin x. tan x cot 2 x 0
Điều kiện:
cot x 1
2 cos x sin x
1 cos x.sin 2 x
Từ (1) ta có: 2 sin x
sin x cos 2 x cos x cos x
1
cos x sin 2 x sin x
2 sin x.cos x 2 sin x
x 4 k 2
2
k
cos x
x k 2
2
4
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x k 2 k
4
22. Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)
Giải
2
Phương trình (cosx–sinx) – 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos x sin x 1
cos x sin x 5 (loai vi cos x sin x 2)
x k 2
2 sin x 1 sin x sin (k Z )
2
x k 2
4 4 4
23. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải
sin sinx + cos cosx = – cos3x.
3 sin x cos x 2 cos 3x 0
3 3
cos x cos 3x cos x cos( 3x)
3 3
k
x k
3 2 (kZ)
x=
(k )
3 2
x k
3
Chuyên đề phương trình lượng giác 42 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
23 2
24. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
8
Giải
23 2
Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
8
23 2
8
23 2 2
cos2 3x sin 2 3x 3 cos 3x cos x sin 3x sin x cos 4 x x k ,k Z .
2 16 2
2
25. Định m để phương trình sau có nghiệm
4sin 3 x sin x 4 cos 3 x cos x cos 2 2 x m 0
4 4 4
Giải
Ta có:
* 4sin 3 x sin x 2 cos 2 x cos 4 x ;
* 4 cos 3x cos x 2 cos 2 x cos 4 x 2 sin 2 x cos 4 x
4 4 2
1 1
* cos 2 2 x 1 cos 4 x 1 sin 4 x
4 2 2 2
Do đó phương trình đã cho tương đương:
1 1
2 cos 2 x sin 2 x sin 4 x m 0 (1)
2 2
Đặt t cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x (điều kiện: 2 t 2 ).
4
Khi đó sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x t 2 1 . Phương trình (1) trở thành:
t 2 4t 2m 2 0 (2) với 2 t 2
(2) t 2 4t 2 2m
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y 2 2m (là đường song song
với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t 2 4t với 2 t 2 .
x 2 2
y’ +
y 24 2
24 2
Trong đoạn 2 ; 2 , hàm số y t 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t 2 và đạt giá
2
trị lớn nhất là 2 4 2 tại t 2 .
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2m 2 4 2
2 2 m 2 2 .
Chuyên đề phương trình lượng giác 43 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011
KHỐI A
cos 3 x sin 3 x
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: 5 sin x cos 2 x 3
1 2 sin 2 x
(Khối A_2002).
Giải
5
ĐS: .
x ;x
3 3
cos 2 x 1
2. Giải phương trình: cot x 1 sin 2 x sin 2 x
1 tan x 2
(Khối A_2003)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 44 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
k k
ĐS: x
4
3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x cos 2 x 0
(Khối A_2005)
Giải
k
k
ĐS: x
2
2 cos 6 x sin 6 x sin x cos x
4. Giải phương trình: 0
2 2 sin x
(Khối A_2006)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 45 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
5
k 2 k
ĐS: x
4
1 sin x cos x 1 cos x sin x 1 sin 2 x
5. Giải phương trình: 2 2
(Khối A_2007)
Giải
k 2 , x k 2 k
ĐS: k , x
x
4 2
7
1 1
6. 4 sin x
3
sin x 4
sin x
2
(Khối A_2008)
Giải
5
k , k
ĐS: k , x k , x
x
4 8 8
Chuyên đề phương trình lượng giác 46 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
1 2 sin x cos x
7. Giải phương trình: 3.
1 2 sin x 1 sin x
(Khối A_2009)
Giải
2
, k
ĐS: x k
18 3
KHỐI B
8. Giải phương trình sin 2 3x cos 2 4 x sin 2 5 x cos 2 6 x
(Khối B_2002)
Giải
, k
ĐS: xk ;x k
9 2
2
9. Giải phương trình cot x tan x 4 sin 2 x
sin 2 x
(Khối B_2003)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 47 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
k , k
ĐS: x
3
5sin x 2 3 1 sin x tan 2 x
10. Giải phương trình
(Khối B_2004)
Giải
5
k 2 , k
ĐS: k 2 ; x
x
6 6
11. Giải phương trình 1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0
(Khối B_2005)
Giải
2
k 2 k
ĐS: x
3
x
12. Giải phương trình: cot x sin x 1 tan x tan 4
2
(Khối B_2006)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 48 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
5
k , k
ĐS: k ; x
x
12 12
13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x sin 7 x 1 sin x
(Khối B_2007)
Giải
2 5 2
, k
ĐS: x k
;x k
18 3 18 3
14. Giải phương trình sin 3 x 3 cos3 x sin x cos2 x 3 sin 2 x cos x
(Khối B_2008)
Giải
k , k
ĐS: x k ;x
4 2 3
sin x cos x sin 2 x 3 cos 3 x 2 cos 4 x sin 3 x .
15. Giải phương trình:
(Khối B_2009)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 49 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
2k
, x 2 k , k
ĐS: x
42 7 6
KHỐI D
16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0
(Khối D_2002)
Giải
3 5 7
ĐS: x ;x;x ;x
2 2 2 2
x 2 x
17. sin 2 tan x cos 2 0
2 4 2
(Khối D_2003)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 50 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
k , k
ĐS: x k 2 , x
4
18. Giải phương trình 2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2 x sin x
(Khối D_2004)
Giải
k , k
ĐS: k 2 , x
x
3 4
3
19. Giải phương trình: cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 0
4 4 2
(Khối D_2005)
Giải
Chuyên đề phương trình lượng giác 51 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
k , k
ĐS: x
4
20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0
(Khối D_2006)
Giải
2
k 2 , k
ĐS: x
3
2
x
x
21. Giải phương trình sin cos 3 cos x 2
2 2
(Khối D_2007)
Giải
k 2 , k
ĐS: k 2 , x
x
2 6
22. Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2 x
(CĐ_A_B_D_2008)
Giải
4 2
, k
ĐS: k 2 , x
x k
3 15 5
Chuyên đề phương trình lượng giác 52 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
(Khối D_2008)
Giải
2
k
ĐS: k 2 , x k ,
x
3 4
24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx
(CĐ_A_B_D_2009)
Giải
5
k , k
ĐS: k , x
x
12 12
25. Giải phương trình 3 cos 5 x 2 sin 3x cos 2 x sin x 0
(Khối D_2009)
Giải
, k
ĐS: x k ,x k
18 3 6 2
26. ĐỀ TS KHỐI A NĂM 2010
Chuyên đề phương trình lượng giác 53 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
1 sin x cos2x sin x
4 1 cosx . Điều kiện: cosx 0
1 tan x tan x 1
2
1 sin x cos2x sin x cosx cosx
pt
sin x
1
cosx
cosx 1 sin x cos2x sin x cosx
cosx
cosx sin x
1 sin x cos2x 1 1 2sin 2 x sin x 0 2sin 2 x sin x 1 0
sin x 1 (loaïi)
sin x 1 (thoûa ñk)
2
x 6 k2
k Z .
x 7 k2
6
27. ĐỀ TS KHỐI B NĂM 2010
Giải:
Chuyên đề phương trình lượng giác 54 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
WWW.ToanCapBa.Net
28. ĐỀ TS KHỐI D NĂM 2010
Giải:
Phương trình đã cho
2sin x cos x 1 2sin 2 x 3sin x cos x 1 0
cos x(2sin x 1) 2sin 2 x 3sin x 2 0
cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(s inx 2) 0
(2sin x 1)(cos x s inx 2) 0
x 6 k 2
1
s inx
2
x 5 k 2
cos x s inx 2 (VN )
6
29. Giải phương trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x 1) 1
Giải:
PT 2 cos 3x(4 cos x 1) 1 2 cos 3x(3 4 sin x) 1
2 2
Nhận xét x k , k Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:
2 cos 3x(3 4 sin 2 x) 1
2 cos 3x(3 sin x 4 sin 3 x) sin x ( nhân hai vế của phương trình cho sinx)
2m
x 5
6 x x m2
;mZ
2 cos 3 x sin 3 x sin x sin 6 x sin x
6 x x m2 x 2m
7 7
2m
k 2m=5k m 5t , t Z
Xét khi
5
2m
= k 1+2m=7k k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, l Z
Xét khi
7 7
2m 2m
Vậy phương trình có nghiệm: x ( m 5t ); x ( m 7l 3 ) trong đó m, t , l Z
5 7 7
Hết
Chuyên đề phương trình lượng giác 55 LTĐH Năm 2012-2013
WWW.ToanCapBa.Net
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Top Download Chuyên Đề Luyện Thi
-
-
-
[Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán](http://tailieu.vn/doc/on-tap-tom-tat-chuong-trinh-thi-dai-hoc-mon-toan-39939.html)
28p
2680
1370
-
[Chuyên đề luyện thi Đại học môn Hóa học - Khối B](http://tailieu.vn/doc/chuyen-de-luyen-thi-dai-hoc-mon-hoa-hoc-khoi-b-477975.html)
63p
1798
796
-
-
[250 câu hỏi trắc nghiệm và đáp án Sinh học khối B](http://tailieu.vn/doc/250-cau-hoi-trac-nghiem-va-dap-an-sinh-hoc-khoi-b-14268.html)
33p
3501
2482
-
[Tất cả các dạng bài tập Vật lý ôn thi Đại học khối A](http://tailieu.vn/doc/tat-ca-cac-dang-bai-tap-vat-ly-on-thi-dai-hoc-khoi-a-528610.html)
113p
1841
812
-
[Bài tập đại cương và kim loại - Ôn thi môn Hóa khối B](http://tailieu.vn/doc/bai-tap-dai-cuong-va-kim-loai-on-thi-mon-hoa-khoi-b-280088.html)
10p
3575
2123
-
[Lý thuyết luyện thi đại học môn toán khối A-B-D](http://tailieu.vn/doc/ly-thuyet-luyen-thi-dai-hoc-mon-toan-khoi-a-b-d-296480.html)
55p
4740
2407
-
[Các phương pháp chứng minh hình học không gian](http://tailieu.vn/doc/cac-phuong-phap-chung-minh-hinh-hoc-khong-gian-200609.html)
26p
2528
1124
Tài Liệu Chuyên Đề Luyện Thi Mới
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/on-thi-dh-cd/chuyen-de-luyen-thi/)
Tài Liệu mới cập nhật
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/tai-lieu/)


markdown:
16 trang
Lượt xem: 304
Download: 78
# Phản ứng đồng trùng hợp
Chia sẻ:
[buiquocphat](http://tailieu.vn/user/buiquocphat)
Polyme là các hợp chất có khối lượng phân tử lớn và trong cấu trúc của chúng có sự lặp đi lặp lại nhiều lần những đơn vị monome. Thành công của polyme là trùng hợp polyme ở trạng thái rắn có tính bền nhiệt cao,có tính dẫn điện, là cơ sở để hình thành nền công nghiệp sản xuất polyme bền nhiệt cao. Phản ứng đồng trùng hợp đươc áp dụng rộng rãi trong công nghiệp sản xuât polyme.
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Khoa Học Tự Nhiên](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/)» [Hoá học](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/hoa-hoc/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: Phản ứng đồng trùng hợp**
Trung Tâm Công Nghệ Hóa Học
GVHD : Th.S: Trần Thanh Đại
NHÓM: 03
Stt Họ Đệm Tên Mã Số SV Ghi Chú
1 Bùi Quốc Phát 08233541 Nhóm trưởng
2 Kiều Ngọc Thái
3 Nguyễn Thanh Tuấn 08265301
4 Lê Nguyễn Thiên 07724311
Phúc
5 Nguyễn Nhật Minh 08226351
6
7
I.TỔNG QUAN VỀ POLYME
Polyme là các hợp chất có
khối lượng phân tử lớn và
trong cấu trúc của chúng có Phản ứng đồng trùng
hợp
sự lặp đi lặp lại nhiều lần
những đơn vị monome
Thành công của polyme là
trùng hợp polyme ở trạng Phản Phản Phản Các
ứng ứng ứng phương
thái rắn có tính bền nhiệt đồng đồng đồng pháp
trùng trùng trùng thực
cao,có tính dẫn điện, là cơ hợp hợp
hợp rời nghiệm
theo cơ tiến
sở để hình thành nền công theo cơ
chế ion
chuyển
hành
chế hay phân quá
nghiệp sản xuất polyme gốc bậc trình
bền nhiệt cao.
Phản ứng đồng trùng hợp
đươc áp dụng rộng rãi
trong công nghiệp sản xuât
polyme
3.1 Khái niệm
Phản ứng đồng trùng hợp là quá trình kết hợp của hai hay nhiều
monome khác nhau để tạo thành polyme có sự tham gia của cả hai hay
nhiều monome (nghĩa là polyme bao gồm tất cả các mắt xích cơ bản của
các monome ). Polyme này gọi là các copolyme.
-A-A-A-A-A-A-A-A-A-A-A-
Hopolyme
Phản ứng đồng trùng hợp sảy ra theo cơ chế gốc hay ion.
3.2 Phản ứng đồng trùng hợp
– Phản ứng đồng ốc hợp gốc được nghiên cứu rất kỹ vì có nhiều ý
g
trùng
nghĩa thực tiễn và nghiên cứu.
1.2.1 Phương trình thành phần:
nM1 + mM2 M1-M2-M1-M2-- hay - (M1)n( M2)m
•Khi đồng trùng hợp,sự kích thích mạnh và tắt mạch cũng sảy ra như
trùng hợp tạo thành gốc mới có nhóm cuối mắt xích M1 và M2:
R + M1 RM1
R + M2 RM2
3.2 Phản ứng đồng trùng hợp
1.2.2 Sự ảnhgốc ng của hằng số đồng trùng hợp
hưở
–Tiếp đó, không phụ thuộc vào số và bản chất phân tử monome kết
hợp, các cuối M1 và M2 phản ứng tiếp với M1 và M2, trong đó xác
suất kết hợp của nó đươc xác định bằng hằng số kết hợp của nó,
Có 4 phản ứng cơ bản tương ứng với các hằng số k11 ,k12 ,k21 ,k22 :
1- -----M1 + M1 -----M1M1 v11 = k11[M1][M1]
2- -----M1 + M2 -----M1M2 v12 = k12[M1][M2]
3- -----M2 + M1 -----M2M1 v21 = k12[M2][M1]
4- -----M2 + M2 -----M2M2 v22 = k22[M2][M2]
3.3 Phản ứng đồng trùng hợp ion
– Sự khác nhau giữa đồng trùng hợp ion và gốc là thành phần monomer
trong copolymer tạo thành từ cùng một monome.
Thí dụ : Khi đồng trùng hợp styren với metylmetacrylat, thành phần
thay đổi trong copolymer như sau:
• Theo gốc ( peoxit benzoly) thành phần styrene là 51%
• Theo ion (cation, SnCl2) thành phần styren là 99%
• Theo anion (Na kim loại) thành phần styren là 1%
Sự phụ thuộc hàm lượng styren trong 1
trọng lượng copolyme
Hàm lượng % styrene
2
copolyme vào hàm lượng monome ban đầu có
3
các đường cong khác nhau là do đặc tính của
phân tử monome kết hợp với gốc hay ion khác
nhau, bởi vì nhóm phenyl hút electron yếu hơn
nhóm OCOCH3, mật độ electron ở lien kết đôi Hình 3.1, sự phụ thuộc hàm
lượng styrene vào xúc tác
nhóm vinyl của styren lớn hơn ở 1-SnCl4;2-(C6H5COO)2;3-Na
metylmetacrylat
3.4 Phản ứng đồng trùng hợp rời chuyển hay phân
bậc
Phản ứng đồng trùng hợp giữa hai monome có hai nhóm
chức có khả năng phản ứng với nhau, trong đó một
nhóm có khả năng cho hydro và nhóm chức khác có khả
năng nhận hydro.
Thí dụ :Phương pháp mới tổng hợp polyme cơ kim là
đồng trùng hợp dời chuyển các nguyên tố như Si, P,
Sn, B với hợp chất chưa no.
nArPH2 + nH2C C COOCH2CH2COOC C CH2
arylphotphin CH3 CH3
H2 H H H2
C C COOCH2CH2OOC C C P
n
CH3 CH3 Ar
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.1 Trùng hợp khối
Phản ứng này được thực hiện bằng cách giữ nhiệt
Tháp trùng hợp
độ xác định khi khuấy một dung dịch kích thích trong
monome và các chất khác.
Phương pháp này tuân theo nhưng nguyên tắc động
học , polyme thu được có dạng nóng chảy , nếu đổ
ra thành khối.
Hình 3.2. Sơ đồ trùng hợp
3.5.2 Trùng hợp trong dung dịch khối styren
Phản ứng trùng hơp sảy ra trong dung dịch,
trong đó monomer còn polyme có thể tan hay
không tan.
Phản ứng trùng hợp gốc trong dung môi ít
dùng, hiện dùng để tổng hợp acrylonitrin trong
dimetylformanmit, thu được dung dịch rồi hình
thành sợi qua lỗ nhỏ đi vào trong nước.
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.3 Trùng hợp nhũ tương
Là phương pháp công nghiệp tiến hành ở
nhiệt độ thấp , tốc độ lớn , khối lượng phân tử
lớn . tính đồng điều cao
Môi trường khuyếch tán là nước . hàm lương
monomer lả 30- 60% ̀ hợp nhũ tương phụ thuôc
Phan ứng trung ̣
vào:
• ̣
Nhiêt đô.̣
• Lượng và ban chât cua chât kich thich.
̉ ́ ̉ ́ ́ ́
Hình 3.3:Sơ đồ của trùng hợp nhũ tương
• lượng và ban chât cua chât nhũ tương
̉ ́ ̉ ́
́
hoa.
• Tỷ pha nông độ monome trong hê.
̀ ̣
• Độ PH cua môi trường.
̉
• Tôc độ và khả năng khây trôn.
́ ́ ̣
polyvinylacetat
e
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.4 Trùng hợp huyền phù
Phan trung hợp huyên phù giông như phan ứng trung hợp
̉ ̀ ̀ ́ ̉ ̀
nhũ tương, nhưng thường khây trôn monomer với nước và ́ ̣
chât ôn đinh là những polymer hoa nước như
́ ̉ ̣ ́
polyvinylancol… thu được polymer ở dang hat, do đó con goi ̣ ̣ ̀ ̣
là trung hợp hat.
̀ ̣
Cơ chế cua phan ứng trung hợp huyên phù giông như trung
̉ ̉ ̀ ̀ ́ ̀
hợp khôi ́
3.5.5. Trung hợp trong pha khí
̀
Phương phap trung hợp trong pha khí it dung và không có ứng dung thực
́ ̀ ́ ̀ ̣
́
tê.
Vi dụ :
Trung hợp cation cua ete vinylic khi đưa ete vao trên xuc tac BF3 phan
̀ ̉ ̀ ́ ́ ̉
trung hợp xay ra chớp nhoang nhưng khôi lượng phân tử thâp.
̀ ̉ ́ ́ ́
3.5.6. Trung hợp trong pha răn
̀ ́
xay ra ở nhiêt độ thâp hơn nhiêt độ nong chay. Có hai
̉ ̣ ́ ̣ ́ ̉
̣
dang :
+Phan ứng trung hợp trong pha răn nhanh .
̉ ̀ ́
+Phan ứng trung hợp trong pha răn châm.
̉ ̀ ́ ̣
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.7 Trùng hợp copolyme ghép
3.5.7.1 Phản ứng chuyền mạch
Phương pháp này dùng một polyme đã có sẵn nhờ có chuyền mạch mà
monome mới trùng hợp tiếp tục kết hợp với mạch polyme
VD: Polyvinylaxetat ghép với acrylonnitrin
R CH 2 CH 2
CH2 CH CH2 CH CH 2 CH CH CH
H 3CCOO OOCCH3 H3 CCOO OOCCH 3
CH 2 CH 2 CH 2 CH2
CH 2 CH CH CH
H CCOO OOCCH
3.5.7.2 Phương pháp đồng trùng hợp 3 3
Phương pháp này dùng polyme chứa liên kết đôi để đồng trùng hợp với
CH3 CH3
monome thêm vào. R
CH 2 C CH CH 2 CH2 C CHR CH2
CH3
+ CH2 C (CH3 )
CH2 C CHR CH2
COOCH3 n
VD:Ghép metylmetacrylat vào cao su
thiên nhiên CH2 C (CH 3) CHR CH 2
CH2 C(CH3 )
COOCH3 n
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.7.3 Phương pháp tạo điểm hoạt động
Phương pháp tạo trung tâm hoạt động trong mạch chính để các
monome khác ghép vào mạch ở chính chổ trung tâm hoạt động đó
VD: ghép styren vào copolyme của styren và p- isopropylstyren
O2
CH 2 CH CH 2 CH CH2 CH CH 2 CH CH 2 CH CH2 CH
CH 3 C CH3
OOH
CH 2 CH CH 2 CH CH2 CH
CH 2 CHX
CH 3 C CH3
3.5.7.4 Phương pháp bức xạ O CH 2 CHX CH2 CHX
Là phương pháp dùng những tia bức xạ có năng lượng lớn để phân cắt nguyên
tử nào đó tạo nên gốc tự do làm trung tâm hoạt động cho phản ứng ghép.
Phương pháp bức xạ có thể tiến hành bằng các cách sau:
- Chiếu sáng lên hỗn hợp hay dung dịch của hai polyme
- Chiếu sáng lên polyme trong dung dịch hay nhũ tương cùng với monome
- Chiếu sáng vào polyme chỉ trong môi trường oxy khí quyển
3.5 Các phương pháp thực nghiệm
3.5.7.5 Phương pháp cơ học
Khi tác dụng cơ học trên polyme (nghiền, ép, siêu âm, đông lạnh dung
dịch…) xảy ra phá hủy phân tử polyme tạo nên các gốc polyme.
VD: Khi phá hủy cơ học polyme có mặt monome, các gốc polyme sẽ kích thích trùng hợp với
monome
CH 2 CHX + CH2 CHY CH2 CHX CH2 CHY
3.5.8 Phương pháp trùng hợp copolyme khối
Copolyme khối có thể thu được bằng phản ứng trùng hợp hay trùng
ngưng… bằng các nhóm cuối mạch, bằng sự phân hủy…
VD: Khi trùng ngưng polyeste từ diaxit và diol
HO R OH + HOOC R' COOH HCOO R' R'COOH
Trùng hợp monome khi có chất điều hòa hay dung môi có khả năng
chuyền mạch (CBr4, CBrCl3…)
CBr4 hv CH2 CHR
n CH 2 CHR Br CH2 CHR nCBr3 Br CH2 CHR nC Br2
Br CH 2 CHR nCBr2 CH 2 CHR m
3.6 ứng dung
Để giảm tính giòn, đồng trùng hơp PS với cao su butadien ta có đươc
cao su SBR:
n CH 2 CH CH CH 2 + m H 2C
CH
C 6H 6
CH 2 CH CH CH 2 CH 2 CH
C6 H 6
z
Tăng khả năng nhuôm màu, đồng CH 2 CH
trùng hơp PS với vinyl pyridil:
N
Cao su butyl đươc trùng hơp từ
isobutylen và môt lương nhỏ isoprene có
khả năng chống thấm khí rất cao: CH3
CH 2 C CH 2 C CH CH
CH3 CH3 CN
z
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Top Download Hoá Học
-
-
[Cơ sở lý thuyết các phản ứng hóa học - Trần Thị Đà](http://tailieu.vn/doc/co-so-ly-thuyet-cac-phan-ung-hoa-hoc-tran-thi-da-1182389.html)
512p
510
286
-
-
[Giáo trình thực hành hoá hữu cơ - ĐH Đà Lạt](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-thuc-hanh-hoa-huu-co-dh-da-lat-66534.html)
164p
4334
1467
-
[Giáo trình Cơ sở lý thuyết hóa học - Đào Hùng Cường](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-co-so-ly-thuyet-hoa-hoc-dao-hung-cuong-232420.html)
130p
1130
414
-
[Hệ thống bài tập hóa phân tích](http://tailieu.vn/doc/he-thong-bai-tap-hoa-phan-tich-679993.html)
12p
1321
406
-
-
[Giáo trình ăn mòn và bảo vệ kim loại - Ths.Lê Ngọc Trung](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-an-mon-va-bao-ve-kim-loai-ths-le-ngoc-trung-166799.html)
125p
1320
842
-
-
Tài Liệu Hoá học Mới
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/hoa-hoc/)
Tài Liệu mới cập nhật
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/tai-lieu/)
-
-
24p
3
0
-
10p
1
0
-
-
-


markdown: Đây là Font Cartogothic Std. (Font này nhìn trên máy rất đẹp và gọn gàng) Ảnh Này trên máy Vịt nhé ^^ Hướng dẫn : 1. Down folder Fonts về : 2. Truy cập bằng ifunbox theo đường dẫn : raw file system/System/Lybrary/Fonts/Caches 3. Chép đè các File Font trong Folder trên vào thư mục Caches (nhớ back up toàn bộ Folder Font cũ) 4. Sau đó dùng iCleaner Pro : ON mục Xoá Caches - rồi chọn Clean để nó tự động xoá Cache của Font cũ. Respering.

Server: Apache/2.2.23 (CentOS)

Cache-control: private, max-age=0

X-Frame-Options: SAMEORIGIN


markdown:
# 10 cây vợt được chờ đợi trong năm 2013
Rafael Nadal
Sự trở lại của Nadal dĩ nhiên được chờ đợi bởi cây vợt số 4 thế giới đã không thi đấu kể từ tháng 7 vì chấn thương. Tất cả sẽ có câu trả lời ở giải Australian Open trong tháng 1. Nadal sung sức không sao, trong trường hợp anh tái phát chấn thương, sự nghiệp của cây vợt người Tây Ban Nha xem như sẽ kết thúc.
Juan Martin Del Potro
Del Potro tuyên bố anh sẽ phá vỡ sự thống trị của nhóm Big Four và thành công trong năm 2012 của cây vợt người Argentina sẽ là bước đệm giúp anh thực hiện mục tiêu đó. Trong năm 2012, Del Potro đã vào tứ kết 3 Grand Slam, giành 4 danh hiệu và kết thúc ở vị trí thứ 7 trên bảng xếp hạng.
Jerzy Janowicz
Ai có thể tin được rằng cây vợt 22 tuổi người Ba Lan sẽ vào đến chung kết BNP Paribas Masters vào cuối tháng 10? Vậy nhưng, Jerzy Janowicz đã đánh bại cả Marin Cilic, Gilles Simon, Janko Tipsarevic, Philipp Kohlschreiber và Andy Murray trước khi thua David Ferrer. Vì thế, tất cả đang chờ xem Janowicz có duy trì được phong độ đó trong năm 2013.
Kei Nishikori
Năm 2013 được kỳ vọng sẽ là bước đột phá của cây vợt hàng đầu người Nhật Bản sau khi anh lọt vào tứ kết Australian Open trong năm 2012. Điểm yếu của Kei Nishikori là sự ổn định và những chấn thương luôn cản trở anh bất cứ lúc nào.
Sam Querrey
Sau khi Andy Roddick gác vợt, quần vợt Mỹ cần ai đó thay thế. Trong thời điểm Mardy Fish gặp vấn đề về sức khỏe, Sam Querrey được chờ đợi sẽ là một ngôi sao mới. Querrey hiện đang đứng thứ 22 thế giới.
Ryan Harrison
Nói về quần vợt Mỹ không thể không nói đến Ryan Harrison. Cây vợt 20 tuổi này được kỳ vọng sẽ chấm dứt cơn khát 10 năm không Grand Slam của các cây vợt nam Mỹ. Rủi ro là sự kỳ vọng quá lớn vào Harrison có thể sẽ khiến anh thất bại như Donald Young và Ryan Sweeting.
Milos Raonic
2012 là một năm thành công của cây vợt người Australia khi tháng 1 anh đứng thứ 31 và tháng 12 anh đứng thứ 13. Kết thúc các Grand Slam và Masters, cây vợt 21 tuổi này đạt thành tích 45-20 và có thành tích ấn tượng trên sân cứng là 33-11.
Mardy Fish
Trong suốt một thời gian dài, Fish chỉ là cái bóng của James Blake và Andy Roddick. Đỉnh cao của cây vợt 30 tuổi này là vị trí thứ 7 trên bảng xếp hạng vào năm 2011 nhưng với căn bệnh tim khiến anh vắng mặt từ giải Mỹ mở rộng, thật khó để dự đoán Fish sẽ như thế nào trong năm 2013 này.
Juan Monaco
Đầu năm 2012, mọi người đều tự hỏi "Juan Monaco là ai?" Giờ thì tất cả đều biết được rằng, cây vợt 28 tuổi người Argentina đã lọt vào tốp 10 ATP sau khi giành được 4 danh hiệu trong năm. Đây sẽ là động lực để Monaco tiến xa hơn trong năm 2013.
David Ferrer
David Ferrer có lẽ là cây vợt xuất sắc còn lại chưa từng giành Grand Slam sau khi Andy Murray có được giải Mỹ mở rộng hồi tháng 9. Năm 2012 này, cây vợt người Tây Ban Nha đã có danh hiệu Masters đầu tiên và kết thúc 11 tháng mùa giải là 7 danh hiệu. Vấn đề của Ferrer là liệu anh có đánh bại được số 1 Novak Djokovic và số 2 Roger Federer hay không nếu anh muốn có được Grand Slam đầu tiên.
-
[20 người hùng tuổi Ngọ làm thay đổi thể thao thế giới](http://thethao.vnexpress.net/photo/photo/20-nguoi-hung-tuoi-ngo-lam-thay-doi-the-thao-the-gioi-2947215.html)

-
[Nắng nóng thiêu đốt Australia Mở rộng 2014](http://thethao.vnexpress.net/photo/hinh-tennis/nang-nong-thieu-dot-australia-mo-rong-2014-2941197.html)

-
[Sir Alex vui tuổi già trên khán đài Wimbledon](http://thethao.vnexpress.net/photo/hinh-tennis/sir-alex-vui-tuoi-gia-tren-khan-dai-wimbledon-2843451.html)

-
[Sharapova - Serena, đối đầu qua những con số](http://thethao.vnexpress.net/tin-tuc/hinh-tennis/sharapova-serena-doi-dau-qua-nhung-con-so-2818486.html)

WARC-Truncated: length

Content-Type: text/html

Set-Cookie: device_env=4; expires=Thu, 24-Apr-2014 00:48:15 GMT; path=/; domain=vnexpress.net


markdown:
Cầu thủ bóng bầu dục của đội Kansas City Chiefs (Mỹ), Jovan Belcher đã bắn chết người tình ngay tại nhà riêng, rồi tự sát bằng phát súng vào đầu ngay tại trung tâm tập luyện của mình.
Chưa bao giờ kể từ khi Serie A tính 3 điểm/trận thắng vào mùa 1994/95, Milan gặp Juventus với cách biệt lớn đến như thế, tới 17 điểm.
Việt Nam chưa được thống kê nhưng thế giới, mỗi năm có tới 200.000 người chết do thuốc dỏm. Nếu 2011, thuốc giả, kém chất lượng ở TPHCM chiếm tỉ lệ 11,94% thì tính đến hết quý III/2012 đã lên tới 12,61%
Đây không phải là lần đầu tiên người ta phải chỉ đích danh hàng thủ Arsenal như là một tử huyệt chết người. Thế mà nó vẫn cứ tiếp tục réo lên trên đất Đức.
Liên quan đến vụ chết người sau khi uống rượu đế, ngày 28-10, ông Nguyễn Văn Ba đã tử vong tại bệnh viện. Riêng anh Phạm Quốc Phong vẫn đang trong tình trạng hết sức nguy kịch.
Caroline Wozniacki dường như đã vượt qua những tác động "chết người" của thứ virus tình yêu để vô địch hai giải đấu trong vòng hai tháng, đồng thời đạt tới cột mốc 20 danh hiệu ở tuổi 22.
Bóng đá có liên quan gì đến tai nạn giao thông? Dù không chết người nhưng sự lãng phí của bóng đá sau 12 năm làm chuyên nghiệp cũng ghê gớm.
Tay nhảy dù người Áo Felix Baumgartner đã phá kỷ lục nhảy dù lập cách đây 52 năm và lập kỷ lục về độ cao cho khinh khí cầu.
HLV tạm quyền của Juventus Massimo Carrera đang phải đối mặt với một án phạt sau khi bị buộc tội ngộ sát, khiến hai phụ nữ trẻ chết trong một vụ tai nạn đêm Noel năm 2011.
Một quan chức tại tỉnh Thiểm Tây, Trung Quốc đã bị sa thải sau khi tấm hình được đăng tải trên mạng cho thấy ông này nở nụ cười ngay tại hiện trường vụ tai nạn xe buýt chết người hồi tháng 8.
Khoảng 10.000 du khách cắm trại tại công viên quốc gia Yosemite, bang California, Mỹ đang có nguy cơ nhiễm virus Hantavirus gây chết người, sau khi có hai người tử vong do virus này, BBC ngày 1-9 dẫn lời các quan chức y tế Mỹ nói.
Sở hữu những đường cong chuẩn không cần chỉnh, Irina Shayk luôn hút hồn đấng mày râu mỗi lần "khoe thân" trong những bộ bikini bắt mắt.
Cơn mưa lớn và kéo dài suốt đêm qua đã lại khiến người Hà Nội liên tưởng đến trận ngập lụt lịch sử diễn ra năm 2008. Nhưng kinh hoàng hơn, gió lốc đã quật ngã hàng chục cây và đã có thương vong.

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Connection: Keep-Alive