text:
Chuyên trang báo giá sỉ
muabanraovat.com
MUA BÁN RAO VẶT
Trang chủ
Giới thiệu web
Phí đăng tin VIP
Phí đăng banner
Đăng ký thành viên
Since ©2002-2017 (15 năm)
quangcaosanpham.com
QUẢNG CÁO SẢN PHẨM
Trang chủ
Giới thiệu web
Chi phí quảng cáo
Đăng ký gian hàng
Since ©2003-2017 (14 năm)
quangbasanpham.vn
QUẢNG BÁ SẢN PHẨM
Trang chủ
Giới thiệu web
Chi phí quảng cáo
Đăng ký gian hàng
Since ©2010-2017 (7 năm)
nhadatvang.vn
MUA BÁN NHÀ ĐẤT
Trang chủ
Giới thiệu web
Phí đăng tin VIP
Phí đăng banner
Đăng ký thành viên
Since ©2008-2017 (9 năm)
raovatdidong.vn
RAO VẶT TỔNG HỢP
Trang chủ
Giới thiệu web
Phí đăng tin VIP
Phí đăng banner
Đăng ký thành viên
Since ©2008-2017 (9 năm)
maytinh360.vn
RAO VẶT MÁY TÍNH
Trang chủ
Giới thiệu web
Phí đăng tin VIP
Phí đăng banner
Đăng ký thành viên
Since ©2008-2017 (9 năm)
timsanpham.com
GIỚI THIỆU SẢN PHẨM
Trang chủ
Giới thiệu web
Chi phí quảng cáo
Đăng ký gian hàng
Since ©2006-2017 (11 năm)
Giới thiệu muabanraovat.com
Đăng ký thành viên
Đăng ký tin VIP
Đăng ký banner
Liên hệ quản trị
Đăng nhập
Email
Mật khẩu
Giới thiệu
Tìm mật khẩu
Quy chế hoạt động
Phí quảng cáo banner
Đăng ký thành viên
miễn phí
Mua bán trực tuyến
maytinh360.vn
nhadatvang.vn
raovatdidong.vn
timsanpham.com
muabanraovat.com
quangbasanpham.vn
quangcaosanpham.com
Trang chủ
Thiết kế in ấn
TP HCM
Liên hệ mua hàng
Chữ nổi inox mạ vàng
(40)
Chữ inox trắng uốn nổi
gắn trên nền đá hoa cương sẽ tạo ra hiệu ứng lấp lánh khi được ánh sáng chiếu vào.
Chữ nổi inox trắng uốn nổi gắn trên nền nhôm Aluminium sáng bóng.
Chữ inox vàng uốn nổi, contour trắng gắn trên thanh nhôm
Chữ nổi inox trắng uốn nổi đèn neonsign gắn âm sẽ tạo được sự nổi bật tính mỹ thuật.
Chữ nổi inox lồng mặt mica âm đèn đây là hình thức kết hợp tạo nên sự nổi bật cao nên được sử dụng nhiều nhất.
Tất cả các sản phẩm Làm Chữ inox đều được cắt uốn trên công nghệ hiện đại với máy CNC, Laser vì thế mà độ chính xác cao kể cả các đường bo gấp khúc cho các mẫu chữ khó đều được thực hiện một cách nhanh gọn. Tạo nên những sản phẩm đẹp mắt. Tùy theo yêu cầu trong thiết kế và lựa chọn kiểu mẫu, vật liệu, màu sắc Chữ inox của khách hàng mà Tầm Nhìn Việt có những báo giá Chữ inox khác nhau.
BÁO GIÁ CHỮ NỔI INOX ĐẸP
– Sản xuất, thiết kế chữ inox trắng bóng theo phong cách hiện đại: 2.400.000đ/m2
– Gia công, thiết kế chữ inox trắng xước: 2.700.000đ/m2
– Gia công mẫu chữ inox đẹp màu xanh dương: 3.400.000đ/m2
– Làm mẫu chữ inox màu đen: 3.400.000đ/m2
– Làm mẫu chữ inox đồng: 4.350.000đ.m2
Với đội ngũ công nhân nhiều năm kinh nghiệm trong nghề cùng với hệ thống máy móc hiện đại và tinh thần làm việc chuyên nghiệp của Tầm Nhìn Việt sẽ mang đến cho quý khách nhiều sản phẩm sắc nét, chất lượng và ấn tượng.
Đến với công ty bạn sẽ thấy hài lòng với cách làm việc chuyên nghiệp, sản phẩm
bảng hiệu chữ nổi inox
đạt hiệu quả đảm bảo thời gian theo đúng yêu cầu của khách hàng.
Thông tin liên hệ:
"Địa chỉ: 348/103C Phan Văn Trị, P. 11, Bình Thạnh, TP. HCM
Hotline: 08 6680 6003
Liên hệ: 0973 480 443 (Mr. Tuấn) - 0989 366 487 (Văn Phòng)
Email: quangcaotamnhinviet@gmail.com"
Chi tiết xem tại:
http://lambanghieu.org/chu-noi/chu-noi-inox/chu-noi-inox-ma-vang.html
Thông tin người đăng
Họ và tên
PHẠM NGUYỄN GIA HÂN
Điện thoại
0938666789
Nơi đăng
TP HCM
Liên hệ qua web
Liên hệ với người đăng tin
IP cập nhật tin
183.80.162.83 Giờ 10:16:31 Ngày 27.07.2017
Địa chỉ liên hệ
HÓC MÔN
Chi tiết kèm theo bản tin
Số lần xem
40
Ngày cập nhật
27.07.2017
Ngày hết hạn
26.08.2017
Thông tin khác
Bạn đọc thông báo cho Ban Quản Trị nếu hồ sơ đăng tin xấu
5 TIN MỚI NHẤT CỦA PHẠM NGUYỄN GIA HÂN
Bảng báo giá
Làm bảng hiệu mica công ty cổ phần UZER
(4)
TP HCM
24.11.2017
Làm bảng hiệu inox Phòng nội soi – xét nghiệm
(4)
TP HCM
06.11.2017
Chữ nổi mica công ty Eton House
(16)
TP HCM
18.10.2017
Làm bảng hiệu mica công ty Trà My
(41)
TP HCM
25.09.2017
Làm bảng hiệu mica đẹp
(30)
TP HCM
23.09.2017
Tất cả tin
PHẠM NGUYỄN GIA HÂN
Follow us
© Copyright 2002-2017 (
15 tuổi
) by sàn giao dịch TMĐT muabanraovat.com
Tin được nhiều người quan tâm nhất

Set-Cookie: user_security_limit_num=0; expires=Wed, 09-May-2029 11:10:15 GMT; path=/

X-Powered-By: PleskLin


text:
NGỌC LINH SHOP
NGỌC LINH SHOP
NGỌC LINH SHOP
NGỌC LINH SHOP
NGỌC LINH SHOP
NGỌC LINH SHOP
Hotline:
0932345252
Giới thiệu
Sản phẩm
Bột Yến Mạch - Trà Xanh
Chăm Sóc Da Mặt
Serum - Collagen - Viên nang
Kem Dưỡng Trắng Da Mặt
Kem Trị Nám
Kem Trị Mụn
Dưỡng Da Vùng Mắt
Kem Chống Nắng
Tắm Trắng Da Mặt
Mặt Nạ Dưỡng Da
Xịt Khoáng - Nước Hoa Hồng
Sữa Rửa Mặt - Tẩy Trang
Tẩy Tế Bào Chết Da Mặt
Chăm Sóc Da Toàn Thân
Kem Dưỡng Trắng Da Toàn Thân
Lotion Dưỡng Da - Kem Massage
Kem Make Up Body
Tắm Trắng Toàn Thân
Tẩy Tế Bào Chết Toàn Thân
Kem Lột - Get Lột
Sản Phẩm Hỗ Trợ
Chăm Sóc Ngực
Kem Nở Ngực
Kem Làm Hồng Nhũ Hoa
Nước Hoa - Mỹ Phẩm
Nước Hoa
BB Cream - CC Cream
Kem Lót - Phấn Phủ
Sỏi Thỏi
Chăm Sóc Môi
Thuốc Mọc Lông Mi - Lông Mày
Chăm Sóc Tóc
Thuốc Mọc Tóc
Dầu Gội, Xả - Hấp Dầu
Tinh Dầu Dưỡng Tóc
Chăm Sóc Cơ Thể
Kem Tan Mỡ
Kem Trị Rạn Nứt Da
Kem Trị Thâm Nách - Bẹn Vùng Kín Bikini
Wax Tẩy Lông Tay - Chân
Tất Phun
Sữa Tắm, Xà Phòng
Chăm Sóc Răng Miệng
Sản Phẩm Khác
Khuyến mãi
Tin tức
Hướng dẫn mua hàng
Liên hệ
Ngọc Linh Shop sự lựa chọn cho vẻ đẹp hoàn mỹ!!
Danh mục sản phẩm
Bột Yến Mạch - Trà Xanh
Chăm Sóc Da Mặt
Serum - Collagen - Viên nang
Kem Dưỡng Trắng Da Mặt
Kem Trị Nám
Kem Trị Mụn
Dưỡng Da Vùng Mắt
Kem Chống Nắng
Tắm Trắng Da Mặt
Mặt Nạ Dưỡng Da
Xịt Khoáng - Nước Hoa Hồng
Sữa Rửa Mặt - Tẩy Trang
Tẩy Tế Bào Chết Da Mặt
Chăm Sóc Da Toàn Thân
Kem Dưỡng Trắng Da Toàn Thân
Lotion Dưỡng Da - Kem Massage
Kem Make Up Body
Tắm Trắng Toàn Thân
Tẩy Tế Bào Chết Toàn Thân
Kem Lột - Get Lột
Sản Phẩm Hỗ Trợ
Chăm Sóc Ngực
Kem Nở Ngực
Kem Làm Hồng Nhũ Hoa
Nước Hoa - Mỹ Phẩm
Nước Hoa
BB Cream - CC Cream
Kem Lót - Phấn Phủ
Sỏi Thỏi
Chăm Sóc Môi
Thuốc Mọc Lông Mi - Lông Mày
Chăm Sóc Tóc
Thuốc Mọc Tóc
Dầu Gội, Xả - Hấp Dầu
Tinh Dầu Dưỡng Tóc
Chăm Sóc Cơ Thể
Kem Tan Mỡ
Kem Trị Rạn Nứt Da
Kem Trị Thâm Nách - Bẹn Vùng Kín Bikini
Wax Tẩy Lông Tay - Chân
Tất Phun
Sữa Tắm, Xà Phòng
Chăm Sóc Răng Miệng
Sản Phẩm Khác
Kem Trị Rạn Nứt Da
Kem chống rạn da Mayfair Anti-Stretchmarks
177.000 đ
Đặt hàng
Chi tiết

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

Connection: close

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Type: text/html


text:
Mở tẩy luyện trang bị
Mở Tẩy Luyện Trang Bị
1.Level 70 mở
2.Tinh luyện trang bị cam lên cấp 25, có thể dùng Hồn Thạch hoặc Đá Tẩy T.Bị để tẩy luyện chỉ số trang bị
3.Mỗi trang bị cam chỉ có thể tẩy 1 dòng chỉ số
1.Level 70 mở
2.Tinh luyện trang bị cam lên cấp 25, có thể dùng Hồn Thạch hoặc Đá Tẩy T.Bị để tẩy luyện chỉ số trang bị
3.Mỗi trang bị cam chỉ có thể tẩy 1 dòng chỉ số

markdown:
# Mở tẩy luyện trang bị
## Mở Tẩy Luyện Trang Bị
1.Level 70 mở
2.Tinh luyện trang bị cam lên cấp 25, có thể dùng Hồn Thạch hoặc Đá Tẩy T.Bị để tẩy luyện chỉ số trang bị
3.Mỗi trang bị cam chỉ có thể tẩy 1 dòng chỉ số
1.Level 70 mở
2.Tinh luyện trang bị cam lên cấp 25, có thể dùng Hồn Thạch hoặc Đá Tẩy T.Bị để tẩy luyện chỉ số trang bị
3.Mỗi trang bị cam chỉ có thể tẩy 1 dòng chỉ số

WARC-Truncated: length

Server: Apache

Cache-Control: no-cache, no-cache, no-cache

Set-Cookie: SERVERID=gameapp7; path=/

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Thứ sáu, 17 Tháng hai 2017, 22:53 GMT+7
Chiều nay 17/2, Hội Tin học Việt Nam đã công bố kết quả bầu Ban Chấp hành nhiệm kỳ VIII, trong đó Phó Tổng Giám đốc VNPT Tô Mạnh Cường được bầu làm Phó Chủ tịch Hội tin học Việt Nam.
Ngày hôm nay (17/2), Hội Tin học Việt Nam đã tổ chức Đại hội đại biểu toàn quốc Hội Tin học Việt Nam lần thứ VIII nhiệm kỳ 2017 2021, với chủ đề “Đoàn kết Hợp tác Phát triển”. Đại hội đã quy tụ hơn 200 đại biểu chính thức đại diện cho hơn 45.000 hội viên của Hội Tin học Việt Nam trên khắp mọi miền đất nước.
Phiên khai mạc Đại hội có sự tham dự của Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam, Chủ tịch Ủy ban quốc gia về ứng dụng CNTT; nguyên Bộ trưởng Bộ Bưu chính Viễn thông Đỗ Trung Tá, Thứ trưởng Bộ TT&TT Nguyễn Thành Hưng và nguyên Thứ trưởng Bộ TT&TT Trần Đức Lai.
Bên cạnh việc thảo luận và thông qua báo cáo tổng kết nhiệm kỳ VII (2011 – 2016) và phương hướng hoạt động nhiệm kỳ VIII (2017 2021), báo cáo của ban kiểm tra nhiệm kỳ VII, báo cáo kiểm điểm của Ban chấp hành nhiệm kỳ VII , Đại hội đại biểu toàn quốc Hội Tin học Việt Nam lần thứ VIII đã tiến hành bầu cử Ban chấp hành nhiệm kỳ 2017 2021. Được thực hiện theo phương thức bỏ phiếu kín, từ danh sách 36 đề cử, Đại hội đã bầu ra Ban chấp hành gồm 29 thành viên.
Đại hội đã bỏ phiếu bầu Ban Chấp hành nhiệm kỳ VIII, bầu Chủ tịch và Tổng Thư ký Hội. Trong đó, ông Bùi Mạnh Hải vẫn tiếp tục được bầu làm Chủ tịch Hội; ông Nguyễn Long là Tổng Thư ký Hội tin học Việt Nam. Đặc biệt, Phó Tổng Giám đốc VNPT Tô Mạnh Cường đã trúng vào Ban Chấp hành hành nhiệm kỳ VIII và được bầu làm Phó Chủ tịch Hội tin học Việt Nam.
P.V
^ Về đầu trang | Viet Bao RSS | Dự Báo Thời Tiết | Lịch TV | Liên Hệ - Contact - Quảng Cáo
Copyright©2007 Viet Bao Viet Nam Mobile (xHTML Mobile version), thử nghiệm phần mềm pda.vietbao.vn 1.0

markdown:
Thứ sáu, 17 Tháng hai 2017, 22:53 GMT+7
**Chiều nay 17/2, Hội Tin học Việt Nam đã công bố kết quả bầu Ban Chấp hành nhiệm kỳ VIII, trong đó Phó Tổng Giám đốc VNPT Tô Mạnh Cường được bầu làm Phó Chủ tịch Hội tin học Việt Nam.**
Ngày hôm nay (17/2), Hội Tin học Việt Nam đã tổ chức Đại hội đại biểu toàn quốc Hội Tin học Việt Nam lần thứ VIII nhiệm kỳ 2017 2021, với chủ đề “Đoàn kết Hợp tác Phát triển”. Đại hội đã quy tụ hơn 200 đại biểu chính thức đại diện cho hơn 45.000 hội viên của Hội Tin học Việt Nam trên khắp mọi miền đất nước.
Phiên khai mạc Đại hội có sự tham dự của Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam, Chủ tịch Ủy ban quốc gia về ứng dụng CNTT; nguyên Bộ trưởng Bộ Bưu chính Viễn thông Đỗ Trung Tá, Thứ trưởng Bộ TT&TT Nguyễn Thành Hưng và nguyên Thứ trưởng Bộ TT&TT Trần Đức Lai.
Bên cạnh việc thảo luận và thông qua báo cáo tổng kết nhiệm kỳ VII (2011 – 2016) và phương hướng hoạt động nhiệm kỳ VIII (2017 2021), báo cáo của ban kiểm tra nhiệm kỳ VII, báo cáo kiểm điểm của Ban chấp hành nhiệm kỳ VII , Đại hội đại biểu toàn quốc Hội Tin học Việt Nam lần thứ VIII đã tiến hành bầu cử Ban chấp hành nhiệm kỳ 2017 2021. Được thực hiện theo phương thức bỏ phiếu kín, từ danh sách 36 đề cử, Đại hội đã bầu ra Ban chấp hành gồm 29 thành viên.
Đại hội đã bỏ phiếu bầu Ban Chấp hành nhiệm kỳ VIII, bầu Chủ tịch và Tổng Thư ký Hội. Trong đó, ông Bùi Mạnh Hải vẫn tiếp tục được bầu làm Chủ tịch Hội; ông Nguyễn Long là Tổng Thư ký Hội tin học Việt Nam. Đặc biệt, Phó Tổng Giám đốc VNPT Tô Mạnh Cường đã trúng vào Ban Chấp hành hành nhiệm kỳ VIII và được bầu làm Phó Chủ tịch Hội tin học Việt Nam.
**P.V** [^ Về đầu trang](/Cong-nghe/Ong-To-Manh-Cuong-lam-Pho-Chu-tich-Hoi-tin-hoc-Viet-Nam/65558706/217/?#top) | [Viet Bao RSS](http://pda.vietbao.vn/vn/rss/) | [Dự Báo Thời Tiết](http://pda.vietbao.vn/vn/thoitiet/Ha-Noi/) | [Lịch TV](http://tv.vietbao.vn/lich-phat-song-truyen-hinh/) | [Liên Hệ - Contact - Quảng Cáo](http://pda.vietbao.vn/vn/contact/)
Copyright©2007 Viet Bao Viet Nam Mobile (xHTML Mobile version), thử nghiệm phần mềm pda.vietbao.vn 1.0

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
© Copyright 2016 PHIM NHANH, All rights reserved.
® Mọi VIDEO đều được tải về từ các site chia sẻ video khác. PHIM NHANH không giữ bản quyền nội dung trên website này.
™ Vận hành bởi HDVlET MEDIA.
Liên hệ quảng cáo: [email protected].
Liên kết:
Chúc mừng bạn đã đăng Ký thành công, một email xác nhận đã được gửi tới email bạn vừa đăng ký, vui lòng kiểm tra trong spam email hoặc hộp thư đến, hoặc click vào đây để đăng nhập!
Thông tin của bạn đã được cập nhật thành công. Chúng tôi sẽ gửi lại mật khẩu mới cho bạn thông qua email này. Xin cảm ơn!

markdown:
© Copyright 2016 PHIM NHANH, All rights reserved.
® Mọi VIDEO đều được tải về từ các site chia sẻ video khác. PHIM NHANH không giữ bản quyền nội dung trên website này.
™ Vận hành bởi HDVlET MEDIA.
Liên hệ quảng cáo:
[[email protected]](/cdn-cgi/l/email-protection#472f2631263523692c32353e262c2e2907202a262e2b6924282a).
Liên kết:
Chúc mừng bạn đã đăng Ký thành công,
một email xác nhận đã được gửi tới email bạn vừa đăng ký,
vui lòng kiểm tra trong spam email hoặc hộp thư đến, hoặc click
[vào đây](http://phimnhanh.com?login=1) để đăng nhập!
Thông tin của bạn đã được cập nhật thành công. Chúng tôi sẽ gửi lại mật khẩu mới cho bạn thông qua email này. Xin cảm ơn!

Server: cloudflare-nginx

Access-Control-Allow-Headers: Origin, Content-Type

Cache-Control: private, must-revalidate


text:
Xem Phim Law - Sui Gia Đại Chiến 2 - Enemies In Tập HD 1080p Full
Nếu Bạn Không xem được Vui lòng Download ( Tải xuống ) Trình duyệt FireFox Browser vè để xem phim tốt nhất nhé !
Thông tin phim : Nội dung phim: Phim Sui Gia Đại Chiến 2 - Enemies In-Law: Là phần kế tiếp của Meet the In-Law (2011). Chuyện phim kể về anh chàng Chul-Soo (Hong Jong-Hyun thủ vai) là con trai độc nhất trong đại gia đình nổi tiếng về…ăn t... Xem chi tiết

markdown:
[](http://phimtm.com/doremon-suu-tam-tap-cuoi/)
Full
![ Đôrêmon (sưu Tầm)](http://lh4.ggpht.com/-i8pWvP_YuNM/Usr8HPnsiiI/AAAAAAAACOE/_S1SIorO2vg/w160-h226-d-c-l68/phimtm.com.jpg)
[Đôrêmon (sưu Tầm)](http://phimtm.com/doremon-suu-tam-tap-cuoi/)Đang cập nhật. đan
Nếu Bạn Không xem được Vui lòng Download ( Tải xuống ) Trình duyệt
[FireFox Browser](https://www.mozilla.org/vi/firefox/new/?scene=2) vè để xem phim tốt nhất nhé !
Thông tin phim :
Nội dung phim: Phim Sui Gia Đại Chiến 2 - Enemies In-Law: Là phần kế tiếp của Meet the In-Law (2011). Chuyện phim kể về anh chàng Chul-Soo (Hong Jong-Hyun thủ vai) là con trai độc nhất trong đại gia đình nổi tiếng về…ăn t...
[Xem chi tiết](http://phimtm.com/law-sui-gia-dai-chien-2-tap-cuoi/)

X-Content-Type-Options: nosniff

Vary: Accept-Encoding


text:
Bán buôn quần áo trẻ em VNXK,. Bán buôn, nguyên lô quần áo trẻ em VNXK,...Bán lẻ, bán sỉ, bán luôn quần áo trẻ em Việt Nam Xuất Khẩu (VNXK) tại Hà Nội với chất lượng cùng giá thành hàng đầu thị trường
Bạn muốn mua buôn quần áo trẻ em vnxk? Muốn tìm địa chỉ bán buôn quần áo trẻ em vnxk giá rẻ với mẫu mã phong phú đa dạng cùng chất liệu đẹp? Hãy đến với chúng tôi http://quanaotreemvnxk.tin.vn. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn những mẫu mẫu quần áo đẹp với mức giá rẻ nhất trên thị trường.
Bán buôn quần áo trẻ em VNXK xuân hè 2014 Hiện tại Kho hàng VNXK đã về rất nhiều lô áo sơ mi, bộ bé trai,bộ bé gái, váy cotton 100%
quần áo trẻ em vnxk bán buôn
shopbaby quần áo trẻ em vnxk
giá quần áo trẻ em vnxk
quần áo trẻ em vnxk tại hà nội
quần áo trẻ em vnxk tphcm
quần áo trẻ em giá rẻ
quần áo em bé
kinh doanh đồ trẻ em

markdown:
Bán buôn
**quần áo trẻ em VNXK**,. Bán buôn, nguyên lô quần áo trẻ em VNXK,...Bán lẻ, bán sỉ, bán luôn quần áo trẻ em Việt Nam Xuất Khẩu (VNXK) tại Hà Nội với chất lượng cùng giá thành hàng đầu thị trường
Bạn muốn mua buôn
**quần áo trẻ em vnxk**? Muốn tìm địa chỉ bán buôn **quần áo trẻ em vnxk** giá rẻ với mẫu mã phong phú đa dạng cùng chất liệu đẹp? Hãy đến với chúng tôi http://quanaotreemvnxk.tin.vn. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn những mẫu mẫu quần áo đẹp với mức giá rẻ nhất trên thị trường.
Bán buôn
[ xuân hè 2014 Hiện tại Kho hàng VNXK đã về rất nhiều lô áo sơ mi, bộ bé trai,bộ bé gái, váy cotton 100% quần áo trẻ em VNXK](http://quanaotreemvnxk.tin.vn/)
**quần áo trẻ em vnxk bán buôn** **shopbaby quần áo trẻ em vnxk** **giá quần áo trẻ em vnxk** **quần áo trẻ em vnxk tại hà nội** **quần áo trẻ em vnxk tphcm** **quần áo trẻ em giá rẻ** **quần áo em bé** **kinh doanh đồ trẻ em**


text:
Trang chủ
Giới thiệu
Sản phẩm
Biển hiệu quảng cáo
Biển tên công ty
Biển Phòng ban
Biển chức danh
Biển đèn LED
Hút nổi Mica
Chữ & logo nổi
Cắt khắc CNC - LASER
Vách hoa văn trang trí
Sản phẩm mica các loại
Ốp dựng Alumilium
Giá - Kệ hoa văn
Hộp đèn siêu mỏng
Trang trí Karaoke
Thẻ nhân viên
Tem nhãn các loại
Móc đeo chìa khóa
Stande - Giá cuốn - giá chữ X
Sản phẩm khác
Hoạt động sản xuất
Dịch vụ
Thư viện
Video
Liên hệ
DANH MỤC SẢN PHẨM
BIỂN HIỆU QUẢNG CÁO
BIỂN TÊN CÔNG TY
BIỂN PHÒNG BAN
BIỂN CHỨC DANH
BIỂN ĐÈN LED
HÚT NỔI MICA
CHỮ & LOGO NỔI
CẮT KHẮC CNC - LASER
VÁCH HOA VĂN TRANG TRÍ
SẢN PHẨM MICA CÁC LOẠI
ỐP DỰNG ALUMILIUM
GIÁ - KỆ HOA VĂN
HỘP ĐÈN SIÊU MỎNG
TRANG TRÍ KARAOKE
THẺ NHÂN VIÊN
TEM NHÃN CÁC LOẠI
MÓC ĐEO CHÌA KHÓA
STANDE - GIÁ CUỐN - GIÁ CHỮ X
SẢN PHẨM KHÁC
HOẠT ĐỘNG SẢN XUẤT
Hỗ trợ trực tuyến
Skype:
Hot-line
0904.507.566
0903.262.008
(84-4) 3661.0841
FACEBOOK
Công ty Quảng cáo Phương Tiến
Thống kê truy cập
Tổng số truy cập:
919,524
Số người đang online:
70
Quảng cáo Phương Tiến
»
Hộp đèn siêu mỏng
»
Một số hình ảnh khác
(click để xem hình lớn hơn)
Mã hàng:
HM20
Sản phẩm:
Hộp đèn siêu mỏng hút chân không
Giá(nếu có):
liên hệ (84-4) 3661.0841
Kích thước:
Màu sắc:
Đặt tối thiểu:
0
sản phẩm
Trạng thái sản phẩm:
còn hàng
Thông tin sản phẩm
Quảng cáo Phương Tiến
SẢN PHẨM CÙNG LOẠI
Hộp đèn siêu mỏng
Biển siêu mỏng
biển đèn siêu mỏng
tranh điện để bàn
hộp đèn mica siêu sáng
Biển hút chân không
Biển siêu mỏng
Biển hộp siêu mỏng
Khung tranh mica
Biển đèn siêu sáng
Biển đèn siêu mỏng
Hộp đèn siêu mỏng mica
Hộp đèn siêu sáng
hộp đèn hút chân không
Khung ảnh đèn mica
Khung ảnh mica để bàn
Tranh đèn
Hộp đèn siêu mỏng hút chân không
Hộp đèn siêu mỏng
Khung ảnh mica
Khung tranh để bàn
Tranh điện
Biển quảng cáo trong thang máy
CÔNG TY TNHH QUẢNG CÁO PHƯƠNG TIẾN
Số 10 Phố Tân Mai - Phường Tân Mai - Hoàng Mai - Hà Nội
Hot-line:
0904.507.566
(Mr.Tiến) -
0903.262.008
Điện thoại:
(84-4) 3661.0841
Powered by © 2013. Quảng cáo Phương Tiến
Design by
Thanh Nam Software

Cache-Control: private


text: Chung cư mini Thanh Xuân- Phùng Khoanggiá rẻ đủ nội thất Ở NGAY Đại diện chủ đầu tư: 096 88 66 762THIẾT KẾ chung cư mini Thanh Xuân- Phùng Khoang · Chung cư mini Thanh Xuân được thiết kế 11 tầng 1 tầng hầm để xe, mỗi tầng có 9 căn hộ · Các căn hộ được thiết kế rộng rãi thoáng mát với các diện tích 58 và 60 m2 · gồm 2 phòng ngủ, 1 phòng khách và 1 phòng vệ sinh rộng · Cầu thang máy hiện đại gồm có 2 thang máy và 1 thang bộGÍA BÁNchung cư mini Thanh Xuân- Phùng Khoang Chung cư mini Thanh Xuâncó giá bán từ 15tr/m2 ( giá bán đã bao gồm VAT và nội thất cơ bản)TIỆN ÍCHchung cư mini Thanh Xuân- Phùng Khoang · Chung cư mini Thanh Xuânnằm trên đường Lê Văn Lương kéo dài · cách đại lộ thăng long 200m · Đằng sau trường Đại học Hà nội cách 300m · Cách trường Đại học Kiến trúc 1,5km, Trường Học viện An Ninh 1km và nhiều các trường đại học khácLIÊN HỆ ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN và xem nhà MIỄN PHÍ Đại diện chủ đầu tư: 096 88 66 762 hoặc 0943 430 744 Tags: chung cư mini trung văn, chung cư Trung Văn, Chung cư Thanh Xuân, chung cư mini Thanh Xuân, Chung cư Lê Văn Lương, Chung cư mini Đại lộ Thăng long, Chung cư mini Nguyễn Trãi

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Cache-control: private, max-age=0


text:
Tâm điểm của làng công nghệ nửa đầu 2017 đang dồn về bộ đôi Galaxy S8. Trước ngày ra mắt, hàng loạt hình ảnh rò rỉ cho thấy siêu phẩm mới của Samsung sẽ thay đổi khi mở rộng màn hình.
Theo The Verge, màn hình mới có tên gọi Infinity Display (màn hình vô cực). Đây cũng là tên gọi mà hãng từng đăng ký bản quyền với USPTO (Cơ quan Sáng chế và Nhãn hiệu Mỹ).
Infinity Display được hiểu là màn hình với thiết kế cong tràn viền và diện tích hiển thị lên đến 90%. Smartphone có tỷ lệ hiển thị cao nhất hiện nay thuộc về Xiaomi Mi Mix với 83,6%.
Dù đạt độ mỏng lý tưởng thì thiết kế của màn hình truyền thống vẫn "đóng khung" người dùng trong không gian giới hạn. Infinity Display kỳ vọng sẽ xoá nhoà những ranh giới đó, đem lại cho người dùng những trải nghiệm tốt hơn về thị giác.
Điểm nhấn của Infinity Display là thiết kế cong tràn viền. Chi tiết này đem lại hiệu ứng thị giác không viền đúng nghĩa. Hai cạnh trên dưới của máy cũng có kích thước mỏng hơn giúp diện tích hiển thị của mặt trước lên đến 90%.
Mấu chốt của màn hình vô cực nằm ở tỷ lệ hiển thị. Theo Evan Blass (@evleaks), Galaxy S8 sở hữu màn hình tỷ lệ 18:9, tương đương 2:1 trong các rạp chiếu phim. Đây cũng được xem là chuẩn mới của Hollywood.
Tỷ lệ mới mang ý nghĩa quan trọng về cả thiết kế lẫn trải nghiệm. Người dùng luôn muốn một không gian hiển thị lớn hơn trên smartphone nhưng vẫn đòi hỏi độ gọn gàng, thời trang. Màn hình 18:9 có thể là đáp án, dù vậy, nhiều người vẫn nghi ngại bởi máy trông khá dài.
Về phía nhà nhà xuất, Infinity Display cho phép smartphone có thêm nhiều không gian để nâng cấp về phần cứng cũng như trang bị thêm các công nghệ thông minh.
Tỷ lệ 18:9 của Infinity Display cho phép hiển thị nhiều nội dung hơn so với màn hình truyền thống. Xu hướng xem smartphone vuốt từ trên xuống dưới, màn hình mới giúp tiết kiệm được nhiều thao tác bởi độ dài hiển thị nội dung.
Tuy nhiên, tờ Android Authority cho rằng, điều quan trọng hơn là Infinity Display sẽ cho phép smartphone tái hiện lại những không gian tương tác chân thật hơn khi kết hợp với các thiết bị thực tế ảo (VR) hoặc thực tế tăng cường (AR).
Như vậy, có 2 yếu tố tạo nên sự khác biệt của Infinity Display là thiết kế không viền và tỷ lệ hiển thị mới theo chuẩn 18:9.
Gã khổng lồ Hàn Quốc đang cho thấy những nỗ lực của họ trong việc thay đổi khả năng hiển thị trên màn hình di động. Sự mở đầu từ Galaxy S6 đến việc S7 phổ biến hơn chuẩn màn hình cong đang kéo theo các tên tuổi khác nhập cuộc.
Sau màn hình 3:4 đến 16:9 thì tỷ lệ 18:9 trên Infinity Display có thể được xem là một chuẩn mới cho smartphone. Tuy nhiên phải mất thời gian thì màn hình vô cực mới chứng minh được sự khác biệt. Bên cạnh đó, kỹ thuật lắp ráp và công nghệ của Infinity Display phức tạp hơn màn hình truyền thống rất nhiều.
Hiện tại, Infinity Display vẫn là điều gì đó mới mẻ và thú vị với các tín đồ công nghệ. Tất cả sẽ được vén màn vào 29/3 khi Samsung chính thức trình làng bộ đôi Galaxy S8 tại New York, Mỹ.
Theo Zing

markdown:
|
|![]()
|
|Đang tải trang
Tâm điểm của làng công nghệ nửa đầu 2017 đang dồn về bộ đôi Galaxy S8. Trước ngày ra mắt, hàng loạt hình ảnh rò rỉ cho thấy siêu phẩm mới của Samsung sẽ thay đổi khi mở rộng màn hình.
Theo
*The Verge*, màn hình mới có tên gọi Infinity Display (màn hình vô cực). Đây cũng là tên gọi mà hãng từng đăng ký bản quyền với USPTO (Cơ quan Sáng chế và Nhãn hiệu Mỹ).
Infinity Display được hiểu là màn hình với thiết kế cong tràn viền và diện tích hiển thị lên đến 90%. Smartphone có tỷ lệ hiển thị cao nhất hiện nay thuộc về Xiaomi Mi Mix với 83,6%.
Dù đạt độ mỏng lý tưởng thì thiết kế của màn hình truyền thống vẫn "đóng khung" người dùng trong không gian giới hạn. Infinity Display kỳ vọng sẽ xoá nhoà những ranh giới đó, đem lại cho người dùng những trải nghiệm tốt hơn về thị giác.
Điểm nhấn của Infinity Display là thiết kế cong tràn viền. Chi tiết này đem lại hiệu ứng thị giác không viền đúng nghĩa. Hai cạnh trên dưới của máy cũng có kích thước mỏng hơn giúp diện tích hiển thị của mặt trước lên đến 90%.
|
|![]()
|
|
Mấu chốt của màn hình vô cực nằm ở tỷ lệ hiển thị. Theo Evan Blass (@evleaks), Galaxy S8 sở hữu màn hình tỷ lệ 18:9, tương đương 2:1 trong các rạp chiếu phim. Đây cũng được xem là chuẩn mới của Hollywood.
Tỷ lệ mới mang ý nghĩa quan trọng về cả thiết kế lẫn trải nghiệm. Người dùng luôn muốn một không gian hiển thị lớn hơn trên smartphone nhưng vẫn đòi hỏi độ gọn gàng, thời trang. Màn hình 18:9 có thể là đáp án, dù vậy, nhiều người vẫn nghi ngại bởi máy trông khá dài.
Về phía nhà nhà xuất, Infinity Display cho phép smartphone có thêm nhiều không gian để nâng cấp về phần cứng cũng như trang bị thêm các công nghệ thông minh.
|
|
Tỷ lệ 18:9 của Infinity Display cho phép hiển thị nhiều nội dung hơn so với màn hình truyền thống. Xu hướng xem smartphone vuốt từ trên xuống dưới, màn hình mới giúp tiết kiệm được nhiều thao tác bởi độ dài hiển thị nội dung.
Tuy nhiên, tờ
*Android Authority *cho rằng, điều quan trọng hơn là Infinity Display sẽ cho phép smartphone tái hiện lại những không gian tương tác chân thật hơn khi kết hợp với các thiết bị thực tế ảo (VR) hoặc thực tế tăng cường (AR).
Như vậy, có 2 yếu tố tạo nên sự khác biệt của Infinity Display là thiết kế không viền và tỷ lệ hiển thị mới theo chuẩn 18:9.
Gã khổng lồ Hàn Quốc đang cho thấy những nỗ lực của họ trong việc thay đổi khả năng hiển thị trên màn hình di động. Sự mở đầu từ Galaxy S6 đến việc S7 phổ biến hơn chuẩn màn hình cong đang kéo theo các tên tuổi khác nhập cuộc.
Sau màn hình 3:4 đến 16:9 thì tỷ lệ 18:9 trên Infinity Display có thể được xem là một chuẩn mới cho smartphone. Tuy nhiên phải mất thời gian thì màn hình vô cực mới chứng minh được sự khác biệt. Bên cạnh đó, kỹ thuật lắp ráp và công nghệ của Infinity Display phức tạp hơn màn hình truyền thống rất nhiều.
Hiện tại, Infinity Display vẫn là điều gì đó mới mẻ và thú vị với các tín đồ công nghệ. Tất cả sẽ được vén màn vào 29/3 khi Samsung chính thức trình làng bộ đôi Galaxy S8 tại New York, Mỹ.
**Theo Zing**

P3P: CP="NOI ADM DEV PSAi COM NAV OUR OTRo STP IND DEM"

Cache-Control: must-revalidate

Set-Cookie: CAKEPHP=abl967nokiub3g25qtgd34crh1; expires=Thu, 18-Jan-2018 07:08:12 GMT; path=/


text:
SAU ĐẠI HỌC - ĐẠI HỌC BÌNH DƯƠNG
Trang nhất
Giới thiệu
Đào tạo
Chuyên ngành đào tạo
Thạc sĩ Quản trị kinh doanh
Thạc sĩ Quản lý kinh tế
Quy định - Quy chế - Tiêu chí
Tuyển sinh
Tin tức & sự kiện
Thành viên
Tải về
Quy định - Quy chế - Tiêu chí
Các biểu mẫu, mẫu đơn
Tìm kiếm
Chúng tôi trên mạng xã hội
Chúng tôi trên mạng xã hội
Thông tin liên hệ
Thông tin liên hệ
Hotline: 0924.330.116
-
0982.741.589
Tư vấn: (0274) 3871786
- 3878061
Email: saudaihoc@bdu.edu.vn
Thứ ba, 12/12/2017, 02:08
Tìm kiếm "Tên đề tài tham khảo"
Tất cả chuyên ngành
Quản trị kinh doanh
Quản lý kinh tế
Tất cả lĩnh vực
Chất lượng dịch vụ
Chiến lược
Năng lực cạnh tranh
Nhân sự
Rủi ro
Tài chính
Tiếp thị
Phòng ngừa và quản lý rủi ro về lãi suất trong hoạt động kinh doanh của Ngân hàng AAA
Chủ nhiệm
Thành viên
Số
N/A
Năm
2017
Cấp độ
Quản trị kinh doanh
Lĩnh vực
Rủi ro
Đường dây nóng
Hotline
0924.330.116
0982.741.589
Tư vấn
(0274) 3871786
(0274) 3878061
Email
saudaihoc@bdu.edu.vn
THÀNH VIÊN
Đăng nhập
Đăng ký
THÔNG BÁO
TB thay đổi giờ học môn Phương pháp nghiên cứu khoa học và viết luận văn thạc sĩ lớp 17ME01 và 17MB01
05/12/2017
Lịch học
Chủ đề Kinh tế học quản lý - Lớp 16CH01 và 16CH02
02/12/2017
Kinh tế học quản lý
Chủ đề Phương pháp nghiên cứu khoa học và viết luận văn thạc sĩ - Lớp 17ME03
02/12/2017
Phương pháp nghiên cứu khoa học và viết luận văn thạc sĩ
Lịch nghỉ học đột xuất và học bù lớp 17MB01 và 17ME01 - môn Phương pháp nghiên cứu và viết luận văn thạc sĩ
29/11/2017
Lịch học
Chủ đề tiểu luận môn Phương pháp nghiên cứu và viết luận văn thạc sĩ - Lớp 16CH03, 16CH04, 17ME02
21/11/2017
Phương pháp nghiên cứu khoa học trong ngành QTKD
Đại hội Công đoàn cơ sở Trường Đại học Bình Dương lần VI, nhiệm kỳ 2017 – 2022
Khoa Kiến trúc tổ chức hội thảo cùng với chuyên gia Fulbright Mr. David Rockwood
Đại học Benedictine thăm và làm việc tại Trường Đại học Bình Dương
BCH Đoàn Trường ĐH Bình Dương tổ chức họp giao ban đầu năm
TÌNH NƯỚC DUYÊN SÔNG
Trường Đại học Bình Dương: Hội thảo “Xây dựng và phát triển nền giáo dục mở”
Bản tin BDU số đặc biệt Kỷ niệm 20 năm thành lập trường Đại học Bình Dương
Bản tin BDU số 5
Người kiến tạo những mô hình giáo dục mới cho đất nước
Đại hội đại biểu Đoàn TNCS Hồ Chí Minh trường Đại học Bình Dương
Bạn đã không sử dụng Site,
Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập
. Thời gian chờ:
60
giây
Thành viên đăng nhập
Hãy đăng nhập thành viên để trải nghiệm đầy đủ các tiện ích trên site
Đăng nhập
Đăng ký thành viên
Để đăng ký thành viên, bạn cần khai báo tất cả các ô trống dưới đây
Bạn thích môn thể thao nào nhất
Món ăn mà bạn yêu thích
Thần tượng điện ảnh của bạn
Bạn thích nhạc sỹ nào nhất
Quê ngoại của bạn ở đâu
Tên cuốn sách "gối đầu giường"
Ngày lễ mà bạn luôn mong đợi
Tôi đồng ý với
Quy định đăng ký thành viên

Set-Cookie: nv4c_t328H_statistic_vi=YW6WlZFinWSSmw%2C%2C; expires=Mon, 11-Dec-2017 19:38:39 GMT; Max-Age=1800; path=/; domain=.sdh.bdu.edu.vn; httponly;HttpOnly

X-XSS-Protection: 1; mode=block

X-Content-Security-Policy: allow 'self';

Cache-Control: private, pre-check=0, post-check=0, max-age=0

Content-Language: vi


text:
Đại lý bán 0902663011 giá 500000
Tag: Đang cần bán sim năm sinh 1995
0932695615 …….bán giá…... 390000
0919848125 …….bán giá…... 390000
0928224656 …….bán giá…... 390000
0961840404 …….bán giá…... 1500000
0919896770 …….bán giá…... 390000
0971454949 …….bán giá…... 1800000
0932082665 …….bán giá…... 390000
0967260785 …….bán giá…... 1920000
0933333556 …….bán giá…... 9000000
0903137474 …….bán giá…... 1600000
0928211334 …….bán giá…... 390000
0967030698 …….bán giá…... 1500000
0909756010 …….bán giá…... 390000
0933339969 …….bán giá…... 13500000
0919889341 …….bán giá…... 390000
0932652602 …….bán giá…... 390000
0937524488 …….bán giá…... 1500000
0925315431 …….bán giá…... 390000
0932043994 …….bán giá…... 390000
0928466303 …….bán giá…... 390000
Bạn mua thêm :
http://ee.simvinaphone.info/
01644942828 …….bán giá…... 390000
01228095979 …….bán giá…... 390000
01269601993 …….bán giá…... 390000
01693666271 …….bán giá…... 390000
01235202920 …….bán giá…... 390000
01678884443 …….bán giá…... 390000
01286686696 …….bán giá…... 390000
01665314666 …….bán giá…... 390000
01652711989 …….bán giá…... 390000
01668664661 …….bán giá…... 390000
01268621166 …….bán giá…... 390000
01696382008 …….bán giá…... 390000
01207891970 …….bán giá…... 390000
01652441981 …….bán giá…... 390000
01234558703 …….bán giá…... 390000
01643111977 …….bán giá…... 390000
01689529900 …….bán giá…... 390000
01264909944 …….bán giá…... 390000
01286411994 …….bán giá…... 390000
01284609839 …….bán giá…... 390000
Chọn tiếp :
http://27.simnamsinh09.net/
ĐT: 0917021455- 0977805354 - ĐC: 105-107 Đường Số 11, Phường 11, Quận Gò Vấp, TPHCM
01689822567 …….bán giá…... 600000
01654382838 …….bán giá…... 500000
01639616186 …….bán giá…... 600000
01689475476 …….bán giá…... 500000
01204423838 …….bán giá…... 700000
01693666559 …….bán giá…... 455000
01227103979 …….bán giá…... 500000
01683766611 …….bán giá…... 520000
01654691444 …….bán giá…... 520000
01203299898 …….bán giá…... 390000
01208898949 …….bán giá…... 520000
01652447879 …….bán giá…... 500000
01686230885 …….bán giá…... 800000
01212228000 …….bán giá…... 500000
01638027222 …….bán giá…... 700000
01255515152 …….bán giá…... 520000
01273270333 …….bán giá…... 600000
01264957799 …….bán giá…... 500000
01217083555 …….bán giá…... 600000
01677011974 …….bán giá…... 600000
0932695615 …….bán giá…... 390000
0919848125 …….bán giá…... 390000
0928224656 …….bán giá…... 390000
0961840404 …….bán giá…... 1500000
0919896770 …….bán giá…... 390000
0971454949 …….bán giá…... 1800000
0932082665 …….bán giá…... 390000
0967260785 …….bán giá…... 1920000
0933333556 …….bán giá…... 9000000
0903137474 …….bán giá…... 1600000
0928211334 …….bán giá…... 390000
0967030698 …….bán giá…... 1500000
0909756010 …….bán giá…... 390000
0933339969 …….bán giá…... 13500000
0919889341 …….bán giá…... 390000
0932652602 …….bán giá…... 390000
0937524488 …….bán giá…... 1500000
0925315431 …….bán giá…... 390000
0932043994 …….bán giá…... 390000
0928466303 …….bán giá…... 390000
Bạn mua thêm :
http://ee.simvinaphone.info/
01644942828 …….bán giá…... 390000
01228095979 …….bán giá…... 390000
01269601993 …….bán giá…... 390000
01693666271 …….bán giá…... 390000
01235202920 …….bán giá…... 390000
01678884443 …….bán giá…... 390000
01286686696 …….bán giá…... 390000
01665314666 …….bán giá…... 390000
01652711989 …….bán giá…... 390000
01668664661 …….bán giá…... 390000
01268621166 …….bán giá…... 390000
01696382008 …….bán giá…... 390000
01207891970 …….bán giá…... 390000
01652441981 …….bán giá…... 390000
01234558703 …….bán giá…... 390000
01643111977 …….bán giá…... 390000
01689529900 …….bán giá…... 390000
01264909944 …….bán giá…... 390000
01286411994 …….bán giá…... 390000
01284609839 …….bán giá…... 390000
Chọn tiếp :
http://27.simnamsinh09.net/
ĐT: 0917021455- 0977805354 - ĐC: 105-107 Đường Số 11, Phường 11, Quận Gò Vấp, TPHCM
01689822567 …….bán giá…... 600000
01654382838 …….bán giá…... 500000
01639616186 …….bán giá…... 600000
01689475476 …….bán giá…... 500000
01204423838 …….bán giá…... 700000
01693666559 …….bán giá…... 455000
01227103979 …….bán giá…... 500000
01683766611 …….bán giá…... 520000
01654691444 …….bán giá…... 520000
01203299898 …….bán giá…... 390000
01208898949 …….bán giá…... 520000
01652447879 …….bán giá…... 500000
01686230885 …….bán giá…... 800000
01212228000 …….bán giá…... 500000
01638027222 …….bán giá…... 700000
01255515152 …….bán giá…... 520000
01273270333 …….bán giá…... 600000
01264957799 …….bán giá…... 500000
01217083555 …….bán giá…... 600000
01677011974 …….bán giá…... 600000
0 nhận xét:
Đăng nhận xét

markdown:
##
[Đại lý bán 0902663011 giá 500000 ](http://simmobifoneotphcm.simsomobi.com/2016/12/ai-ly-ban-0902663011-gia-500000.html)
Tag:
0932695615 …….bán giá…... 390000
0919848125 …….bán giá…... 390000
0928224656 …….bán giá…... 390000
0961840404 …….bán giá…... 1500000
0919896770 …….bán giá…... 390000
0971454949 …….bán giá…... 1800000
0932082665 …….bán giá…... 390000
0967260785 …….bán giá…... 1920000
0933333556 …….bán giá…... 9000000
0903137474 …….bán giá…... 1600000
0928211334 …….bán giá…... 390000
0967030698 …….bán giá…... 1500000
0909756010 …….bán giá…... 390000
0933339969 …….bán giá…... 13500000
0919889341 …….bán giá…... 390000
0932652602 …….bán giá…... 390000
0937524488 …….bán giá…... 1500000
0925315431 …….bán giá…... 390000
0932043994 …….bán giá…... 390000
0928466303 …….bán giá…... 390000
Bạn mua thêm :
01644942828 …….bán giá…... 390000
01228095979 …….bán giá…... 390000
01269601993 …….bán giá…... 390000
01693666271 …….bán giá…... 390000
01235202920 …….bán giá…... 390000
01678884443 …….bán giá…... 390000
01286686696 …….bán giá…... 390000
01665314666 …….bán giá…... 390000
01652711989 …….bán giá…... 390000
01668664661 …….bán giá…... 390000
01268621166 …….bán giá…... 390000
01696382008 …….bán giá…... 390000
01207891970 …….bán giá…... 390000
01652441981 …….bán giá…... 390000
01234558703 …….bán giá…... 390000
01643111977 …….bán giá…... 390000
01689529900 …….bán giá…... 390000
01264909944 …….bán giá…... 390000
01286411994 …….bán giá…... 390000
01284609839 …….bán giá…... 390000
Chọn tiếp :
ĐT: 0917021455- 0977805354 - ĐC: 105-107 Đường Số 11, Phường 11, Quận Gò Vấp, TPHCM
01689822567 …….bán giá…... 600000
01654382838 …….bán giá…... 500000
01639616186 …….bán giá…... 600000
01689475476 …….bán giá…... 500000
01204423838 …….bán giá…... 700000
01693666559 …….bán giá…... 455000
01227103979 …….bán giá…... 500000
01683766611 …….bán giá…... 520000
01654691444 …….bán giá…... 520000
01203299898 …….bán giá…... 390000
01208898949 …….bán giá…... 520000
01652447879 …….bán giá…... 500000
01686230885 …….bán giá…... 800000
01212228000 …….bán giá…... 500000
01638027222 …….bán giá…... 700000
01255515152 …….bán giá…... 520000
01273270333 …….bán giá…... 600000
01264957799 …….bán giá…... 500000
01217083555 …….bán giá…... 600000
01677011974 …….bán giá…... 600000
[Đang cần bán sim năm sinh 1995](http://www.reikunaba.com/dang-can-ban-sim-nam-sinh-1995.html)
0932695615 …….bán giá…... 390000
0919848125 …….bán giá…... 390000
0928224656 …….bán giá…... 390000
0961840404 …….bán giá…... 1500000
0919896770 …….bán giá…... 390000
0971454949 …….bán giá…... 1800000
0932082665 …….bán giá…... 390000
0967260785 …….bán giá…... 1920000
0933333556 …….bán giá…... 9000000
0903137474 …….bán giá…... 1600000
0928211334 …….bán giá…... 390000
0967030698 …….bán giá…... 1500000
0909756010 …….bán giá…... 390000
0933339969 …….bán giá…... 13500000
0919889341 …….bán giá…... 390000
0932652602 …….bán giá…... 390000
0937524488 …….bán giá…... 1500000
0925315431 …….bán giá…... 390000
0932043994 …….bán giá…... 390000
0928466303 …….bán giá…... 390000
Bạn mua thêm :
[http://ee.simvinaphone.info/](http://ee.simvinaphone.info/)
01644942828 …….bán giá…... 390000
01228095979 …….bán giá…... 390000
01269601993 …….bán giá…... 390000
01693666271 …….bán giá…... 390000
01235202920 …….bán giá…... 390000
01678884443 …….bán giá…... 390000
01286686696 …….bán giá…... 390000
01665314666 …….bán giá…... 390000
01652711989 …….bán giá…... 390000
01668664661 …….bán giá…... 390000
01268621166 …….bán giá…... 390000
01696382008 …….bán giá…... 390000
01207891970 …….bán giá…... 390000
01652441981 …….bán giá…... 390000
01234558703 …….bán giá…... 390000
01643111977 …….bán giá…... 390000
01689529900 …….bán giá…... 390000
01264909944 …….bán giá…... 390000
01286411994 …….bán giá…... 390000
01284609839 …….bán giá…... 390000
Chọn tiếp :
[http://27.simnamsinh09.net/](http://27.simnamsinh09.net/)
ĐT: 0917021455- 0977805354 - ĐC: 105-107 Đường Số 11, Phường 11, Quận Gò Vấp, TPHCM
01689822567 …….bán giá…... 600000
01654382838 …….bán giá…... 500000
01639616186 …….bán giá…... 600000
01689475476 …….bán giá…... 500000
01204423838 …….bán giá…... 700000
01693666559 …….bán giá…... 455000
01227103979 …….bán giá…... 500000
01683766611 …….bán giá…... 520000
01654691444 …….bán giá…... 520000
01203299898 …….bán giá…... 390000
01208898949 …….bán giá…... 520000
01652447879 …….bán giá…... 500000
01686230885 …….bán giá…... 800000
01212228000 …….bán giá…... 500000
01638027222 …….bán giá…... 700000
01255515152 …….bán giá…... 520000
01273270333 …….bán giá…... 600000
01264957799 …….bán giá…... 500000
01217083555 …….bán giá…... 600000
01677011974 …….bán giá…... 600000
## 0 nhận xét:
## Đăng nhận xét

Server: GSE


text:
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ XNK NGUYỄN QUANG
Số sản phẩm: 0
Thành tiền: 0
Xem giỏ hàng
Trang chủ |
Giới thiệu |
Sản phẩm |
Hướng dẫn mua hàng |
Tin tức |
Liên hệ
Địa chỉ: 327 trần bình trọng, phường 4, quận 5, tp hcm
Email : hi.baokhuyen@gmail.com - Điện thoại : 0903147786
Designed by GianHangVN


text:
Bệnh lý hệ tiêu hoá
Tin tức về :Bệnh lý hệ tiêu hoá
-
Kê nội kim trị bệnh đường tiêu hoá
-
Kiêng gì để viêm đại tràng không tái phát?
-
Các thuốc điều trị viêm loét đại tràng
-
10 thực phẩm là "thuốc" nhuận tràng tự nhiên
-
9 lời khuyên tránh táo bón
-
Màng mề gà trị bệnh đường tiêu hóa
-
9 thực phẩm nên tránh khi dạ dày của bạn bị tổn thương
-
Những ai không nên nội soi dạ dày?
-
Phòng ngừa viêm sung huyết hang vị
-
Khi đau bụng không phải bệnh từ bụng
ĐỌC NHIỀU NHẤT
-
6 lý do nên uống vitamin E và cách uống vitamin E đúng cách Vitamin e đặc biệt có lợi với phụ nữ bởi công dụng trẻ hóa làn da, ngăn ngừa lão hóa và oxi hóa. Tuy nhiên, sử dụng và uống vitamin e đúng cách liệu bạn đã biết
- 18 loại thực phẩm giàu vitamin K
- Top 8 mẹo trị đờm hiệu quả từ thực phẩm có sẵn trong bếp
- Ngạc nhiên với 50 tác dụng tuyệt vời của dầu dừa
- Truyền hình trực tuyến: Ngưng thở khi ngủ, chăm sóc hệ hô hấp khi đông về
TIN NÓNG
- Rơi lan can tầng 2 trường học ở Bắc Ninh: Hàng chục học sinh tiểu học bị thương
- Tuyên Quang: 12 học sinh nhập viện nghi do ngộ độc thực phẩm
- Chuyên gia cảnh báo: trời lạnh, bệnh hô hấp vào mùa
- Công tác cán bộ là gốc của mọi công việc
- Truyền hình trực tuyến: Trẻ biếng ăn – Cách nào xử lý?
- Hổ dữ cũng không ăn thịt con

markdown:
[Bệnh lý hệ tiêu hoá]() **Tin tức về :**Bệnh lý hệ tiêu hoá
-
[Kê nội kim trị bệnh đường tiêu hoá](http://suckhoedoisong.vn/ke-noi-kim-tri-benh-duong-tieu-hoa-n109684.html)
-
[Kiêng gì để viêm đại tràng không tái phát?](http://suckhoedoisong.vn/kieng-gi-de-viem-dai-trang-khong-tai-phat-n121263.html)
-
[Các thuốc điều trị viêm loét đại tràng](http://suckhoedoisong.vn/cac-thuoc-dieu-tri-viem-loet-dai-trang-n124094.html)
-
[10 thực phẩm là "thuốc" nhuận tràng tự nhiên](http://suckhoedoisong.vn/10-thuc-pham-la-thuoc-nhuan-trang-tu-nhien-n122334.html)
-
[9 lời khuyên tránh táo bón](http://suckhoedoisong.vn/9-loi-khuyen-tranh-tao-bon-n138877.html)
-
[Màng mề gà trị bệnh đường tiêu hóa](http://suckhoedoisong.vn/mang-me-ga-tri-benh-duong-tieu-hoa-n115735.html)
-
[9 thực phẩm nên tránh khi dạ dày của bạn bị tổn thương](http://suckhoedoisong.vn/9-thuc-pham-nen-tranh-khi-da-day-cua-ban-bi-ton-thuong-n114026.html)
-
[Những ai không nên nội soi dạ dày?](http://suckhoedoisong.vn/nhung-ai-khong-nen-noi-soi-da-day-n138713.html)
-
[Phòng ngừa viêm sung huyết hang vị](http://suckhoedoisong.vn/phong-ngua-viem-sung-huyet-hang-vi-n117028.html)
-
[Khi đau bụng không phải bệnh từ bụng](http://suckhoedoisong.vn/khi-dau-bung-khong-phai-benh-tu-bung-n138358.html)
ĐỌC NHIỀU NHẤT
-
[6 lý do nên uống vitamin E và cách uống vitamin E đúng cách](http://suckhoedoisong.vn/6-ly-do-nen-uong-vitamin-e-va-cach-uong-vitamin-e-dung-cach-n94204.html)Vitamin e đặc biệt có lợi với phụ nữ bởi công dụng trẻ hóa làn da, ngăn ngừa lão hóa và oxi hóa. Tuy nhiên, sử dụng và uống vitamin e đúng cách liệu bạn đã biết [18 loại thực phẩm giàu vitamin K](http://suckhoedoisong.vn/18-loai-thuc-pham-giau-vitamin-k-n85501.html) [Top 8 mẹo trị đờm hiệu quả từ thực phẩm có sẵn trong bếp](http://suckhoedoisong.vn/top-8-meo-tri-dom-hieu-qua-tu-thuc-pham-co-san-trong-bep-n98933.html) [Ngạc nhiên với 50 tác dụng tuyệt vời của dầu dừa](http://suckhoedoisong.vn/ngac-nhien-voi-50-tac-dung-tuyet-voi-cua-dau-dua-n79329.html) [Truyền hình trực tuyến: Ngưng thở khi ngủ, chăm sóc hệ hô hấp khi đông về](http://suckhoedoisong.vn/truyen-hinh-truc-tuyen-ngung-tho-khi-ngu-cham-soc-he-ho-hap-khi-dong-ve-n138816.html)
TIN NÓNG
-
[Rơi lan can tầng 2 trường học ở Bắc Ninh: Hàng chục học sinh tiểu học bị thương](http://suckhoedoisong.vn/roi-lan-can-tang-2-truong-hoc-o-bac-ninh-hang-chuc-hoc-sinh-tieu-hoc-bi-thuong-n139379.html)
-
[Tuyên Quang: 12 học sinh nhập viện nghi do ngộ độc thực phẩm](http://suckhoedoisong.vn/tuyen-quang-12-hoc-sinh-nhap-vien-nghi-do-ngo-doc-thuc-pham-n139374.html)
-
[Chuyên gia cảnh báo: trời lạnh, bệnh hô hấp vào mùa](http://suckhoedoisong.vn/chuyen-gia-canh-bao-troi-lanh-benh-ho-hap-vao-mua-n139315.html)
-
[Công tác cán bộ là gốc của mọi công việc](http://suckhoedoisong.vn/cong-tac-can-bo-la-goc-cua-moi-cong-viec-n139331.html)
-
[Truyền hình trực tuyến: Trẻ biếng ăn – Cách nào xử lý?](http://suckhoedoisong.vn/truyen-hinh-truc-tuyen-tre-bieng-an-cach-nao-xu-ly-n138964.html)
-
[Hổ dữ cũng không ăn thịt con](http://suckhoedoisong.vn/ho-du-cung-khong-an-thit-con-n139330.html)


text:
Ép trẻ ăn không chỉ làm trẻ có tâm lý sợ ăn mà còn dễ có biến chứng như chậm lớn, không tăng cân, còi cọc.
Trẻ biếng ăn: Ép quá hóa... còi xương
Để tăng tính thèm ăn cho trẻ, món ăn phải chế biến linh hoạt.
Rối loạn phát triển
GS.TS Hoàng Trọng Kim - PCT Hội Nhi khoa Việt Nam cho biết, tỷ lệ trẻ suy dinh dưỡng ở những trẻ bị ép ăn ngày càng tăng. Trẻ "sợ ăn" do bị ép, lâu dần thành biếng ăn.
Trẻ biếng ăn có các biểu hiện: Ăn rất ít, chỉ ưa thích một vài loại thức ăn nhất định, mỗi bữa ăn của bé thường kéo dài trên 30 phút hay quấy nhiễu trong giờ ăn như kêu khóc, ngậm miệng, ngậm thức ăn; cân nặng thấp... GS Kim nhấn mạnh, trẻ biếng ăn thường ngại tiếp xúc với cái mới, dễ bị bệnh tự kỷ, chậm nói vì không chịu nhai, không mở miệng. Sợ ăn kéo dài đồng nghĩa với việc trẻ bị stress kéo dài, gây ảnh hưởng đến phát triển tâm lý sau này như chậm phát triển, rối loạn tăng trưởng, dễ mắc các bệnh mạn tính, không hứng thú trong học tập, vui chơi. BS Nguyễn Thị Diệu, Khoa Dinh dưỡng, BV Nhi TƯ cho hay, nhiều trẻ sợ ăn uống đến mức nhịn suốt hai ngày. Bố mẹ sợ con đói nên ép con ăn bằng mọi cách, thậm chí bóp miệng để đưa thực phẩm vào, quát mắng, đánh con... Hành động thô bạo này càng tạo thêm sự căng thẳng, làm cho trẻ càng sợ ăn nặng hơn, vì trẻ nghĩ rằng cứ đến bữa ăn là sẽ bị la, bị đánh. Lâu dần trẻ sẽ mắc bệnh biếng ăn tâm lý. Ngay cả khi ép được con ăn theo ý muốn thì trẻ cũng không thể phát triển tốt. Trẻ bị ức chế nên không tiết được đầy đủ các men tiêu hóa, hấp thu tốt thức ăn. Hơn nữa, sự căng thẳng trong bữa ăn còn làm trẻ luôn bị ám ảnh, ngủ không ngon giấc. Theo các chuyên gia dinh dưỡng, để trẻ không bị suy dinh dưỡng vì sợ ăn cần giúp trẻ học cách ăn. Cho trẻ biết cảm giác đói bằng cách không ăn trong vòng 3 - 4 tiếng trước khi ăn. Không kéo dài bữa ăn hàng giờ, dù trẻ ăn được hay khó ăn thì bữa ăn hợp lý nhất là 20 - 30 phút. Khi ăn, không để trẻ xem tivi, hay chơi đồ chơi vì sẽ làm trẻ không chú tâm đến bữa ăn.
Kích thích trẻ thèm ăn
BS Nguyễn Thị Diệu cho biết, cha mẹ cần có những xử trí thích hợp với chứng chán "sợ ăn" này ở trẻ. Kích thích trẻ ăn bằng các loại thực phẩm chế biến đúng cách, thường xuyên thay đổi món ăn nên cắt nhỏ để trợ giúp cho việc nhai.
Nhiều bà mẹ thường nghĩ phải nấu thức ăn thật nhừ, nhưng việc nấu quá kỹ khiến rau quả mất hết vitamin. Khi chế biến nên hầm thịt, cá cho nhừ, các loại rau củ chỉ nên cho vào trước khi đem ra cho trẻ ăn. GS Kim cho biết, muốn bảo đảm dinh dưỡng thì phải cho trẻ ăn đầy đủ các nhóm thức ăn: Đạm, mỡ, đường, sinh tố, khoáng chất và vi chất với thành phần cân đối. Nếu cha mẹ đã cố gắng nhưng trẻ vẫn không ăn được nhiều, thì nên cho trẻ uống thêm sữa. Mỗi ngày, trẻ chỉ cần cung cấp cho cơ thể 226g sữa chua có nghĩa là đã bổ sung 20% lượng protein cần thiết và 30% - 40% nhu cầu canxi cho cơ thể - giúp trẻ tăng trưởng chiều cao. GS Hoàng Trọng Kim nhấn mạnh, với những trẻ suy dinh dưỡng do biếng ăn, thức ăn phải phù hợp với lứa tuổi của trẻ. Trẻ nhỏ chưa đủ răng phải chọn thức ăn loãng, trẻ lớn đủ răng chỉ thích thức ăn cứng để nhai như người lớn. Trẻ biếng ăn cũng có thể do mải chơi, hiếu động. Với trẻ này nên khéo léo xử trí. Lúc đầu, có thể cho phép trẻ vui chơi khi ăn, nhưng dần dần tập cho trẻ tập trung vào bữa ăn thì hệ tiêu hóa mới tiết ra đầy đủ các dịch tiêu hóa, tạo sự ngon miệng... Trẻ biếng ăn lâu ngày cần đưa đi khám, các bác sĩ chuyên khoa sẽ chẩn đoán, tìm nguyên nhân và phân loại biếng ăn để có hướng điều trị phù hợp.
NÊN
- Tạo không khí vui vẻ, thoải mái trong khi ăn để trẻ chọn những món ưa thích.
- Biết từ chối khi trẻ đòi ăn thứ này thứ khác.
- Không cau có, đánh đập trẻ.
- Khuyến khích sự thèm ăn của trẻ bằng cách giới hạn thời gian một bữa ăn 10-20 phút, nếu trẻ không ăn hết khẩu phần thì cất đi.
- Để trẻ tự ăn, lựa chọn thức ăn phù hợp với tuổi của trẻ.
- Tách riêng từng món, thay vì trộn lẫn thức ăn vào nhau.
KHÔNG NÊN
- La mắng trẻ ăn cơm hay quan tâm quá mức đến việc ăn nhiều hay ít, nhất là ép trẻ ăn quá nhiều.
- Cho trẻ ăn đồ ngọt, sữa, nước trái cây trước bữa ăn.
- Vội cho trẻ uống các loại thuốc, men tiêu hóa, thuốc kính thích ngay khi thấy trẻ lười ăn.
- Dùng thức ăn làm phần thưởng.
Hà My Theo Gia Đình
0 nhận xét

markdown:
**Ép trẻ ăn không chỉ làm trẻ có tâm lý sợ ăn mà còn dễ có biến chứng như chậm lớn, không tăng cân, còi cọc.** *Trẻ biếng ăn: Ép quá hóa... còi xương*
Để tăng tính thèm ăn cho trẻ, món ăn phải chế biến linh hoạt.
**Rối loạn phát triển**
GS.TS Hoàng Trọng Kim - PCT Hội Nhi khoa Việt Nam cho biết, tỷ lệ trẻ suy dinh dưỡng ở những trẻ bị ép ăn ngày càng tăng. Trẻ "sợ ăn" do bị ép, lâu dần thành biếng ăn.
Trẻ biếng ăn có các biểu hiện: Ăn rất ít, chỉ ưa thích một vài loại thức ăn nhất định, mỗi bữa ăn của bé thường kéo dài trên 30 phút hay quấy nhiễu trong giờ ăn như kêu khóc, ngậm miệng, ngậm thức ăn; cân nặng thấp... GS Kim nhấn mạnh, trẻ biếng ăn thường ngại tiếp xúc với cái mới, dễ bị bệnh tự kỷ, chậm nói vì không chịu nhai, không mở miệng. Sợ ăn kéo dài đồng nghĩa với việc trẻ bị stress kéo dài, gây ảnh hưởng đến phát triển tâm lý sau này như chậm phát triển, rối loạn tăng trưởng, dễ mắc các bệnh mạn tính, không hứng thú trong học tập, vui chơi. BS Nguyễn Thị Diệu, Khoa Dinh dưỡng, BV Nhi TƯ cho hay, nhiều trẻ sợ ăn uống đến mức nhịn suốt hai ngày. Bố mẹ sợ con đói nên ép con ăn bằng mọi cách, thậm chí bóp miệng để đưa thực phẩm vào, quát mắng, đánh con... Hành động thô bạo này càng tạo thêm sự căng thẳng, làm cho trẻ càng sợ ăn nặng hơn, vì trẻ nghĩ rằng cứ đến bữa ăn là sẽ bị la, bị đánh. Lâu dần trẻ sẽ mắc bệnh biếng ăn tâm lý. Ngay cả khi ép được con ăn theo ý muốn thì trẻ cũng không thể phát triển tốt. Trẻ bị ức chế nên không tiết được đầy đủ các men tiêu hóa, hấp thu tốt thức ăn. Hơn nữa, sự căng thẳng trong bữa ăn còn làm trẻ luôn bị ám ảnh, ngủ không ngon giấc. Theo các chuyên gia dinh dưỡng, để trẻ không bị suy dinh dưỡng vì sợ ăn cần giúp trẻ học cách ăn. Cho trẻ biết cảm giác đói bằng cách không ăn trong vòng 3 - 4 tiếng trước khi ăn. Không kéo dài bữa ăn hàng giờ, dù trẻ ăn được hay khó ăn thì bữa ăn hợp lý nhất là 20 - 30 phút. Khi ăn, không để trẻ xem tivi, hay chơi đồ chơi vì sẽ làm trẻ không chú tâm đến bữa ăn.
**Kích thích trẻ thèm ăn**
BS Nguyễn Thị Diệu cho biết, cha mẹ cần có những xử trí thích hợp với chứng chán "sợ ăn" này ở trẻ. Kích thích trẻ ăn bằng các loại thực phẩm chế biến đúng cách, thường xuyên thay đổi món ăn nên cắt nhỏ để trợ giúp cho việc nhai.
Nhiều bà mẹ thường nghĩ phải nấu thức ăn thật nhừ, nhưng việc nấu quá kỹ khiến rau quả mất hết vitamin. Khi chế biến nên hầm thịt, cá cho nhừ, các loại rau củ chỉ nên cho vào trước khi đem ra cho trẻ ăn. GS Kim cho biết, muốn bảo đảm dinh dưỡng thì phải cho trẻ ăn đầy đủ các nhóm thức ăn: Đạm, mỡ, đường, sinh tố, khoáng chất và vi chất với thành phần cân đối. Nếu cha mẹ đã cố gắng nhưng trẻ vẫn không ăn được nhiều, thì nên cho trẻ uống thêm sữa. Mỗi ngày, trẻ chỉ cần cung cấp cho cơ thể 226g sữa chua có nghĩa là đã bổ sung 20% lượng protein cần thiết và 30% - 40% nhu cầu canxi cho cơ thể - giúp trẻ tăng trưởng chiều cao. GS Hoàng Trọng Kim nhấn mạnh, với những trẻ suy dinh dưỡng do biếng ăn, thức ăn phải phù hợp với lứa tuổi của trẻ. Trẻ nhỏ chưa đủ răng phải chọn thức ăn loãng, trẻ lớn đủ răng chỉ thích thức ăn cứng để nhai như người lớn. Trẻ biếng ăn cũng có thể do mải chơi, hiếu động. Với trẻ này nên khéo léo xử trí. Lúc đầu, có thể cho phép trẻ vui chơi khi ăn, nhưng dần dần tập cho trẻ tập trung vào bữa ăn thì hệ tiêu hóa mới tiết ra đầy đủ các dịch tiêu hóa, tạo sự ngon miệng... Trẻ biếng ăn lâu ngày cần đưa đi khám, các bác sĩ chuyên khoa sẽ chẩn đoán, tìm nguyên nhân và phân loại biếng ăn để có hướng điều trị phù hợp.
**NÊN**
- Tạo không khí vui vẻ, thoải mái trong khi ăn để trẻ chọn những món ưa thích.
- Biết từ chối khi trẻ đòi ăn thứ này thứ khác.
- Không cau có, đánh đập trẻ.
- Khuyến khích sự thèm ăn của trẻ bằng cách giới hạn thời gian một bữa ăn 10-20 phút, nếu trẻ không ăn hết khẩu phần thì cất đi.
- Để trẻ tự ăn, lựa chọn thức ăn phù hợp với tuổi của trẻ.
- Tách riêng từng món, thay vì trộn lẫn thức ăn vào nhau.
**KHÔNG NÊN**
- La mắng trẻ ăn cơm hay quan tâm quá mức đến việc ăn nhiều hay ít, nhất là ép trẻ ăn quá nhiều.
- Cho trẻ ăn đồ ngọt, sữa, nước trái cây trước bữa ăn.
- Vội cho trẻ uống các loại thuốc, men tiêu hóa, thuốc kính thích ngay khi thấy trẻ lười ăn.
- Dùng thức ăn làm phần thưởng.
**Hà My** **Theo Gia Đình**
## 0 nhận xét


text:
Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
Chia sẻ: Thinh Phan Chi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15
lượt xem 288
download
Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
Tài liệu Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
- CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999) a cos A + b cos B + c cos C 1 =. Tam giác ABC thoả: a+b+c 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. Cách 1. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C ⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1 ⇔ 2 2 2 2 2 2 B −C B−C B+C ⎞ A⎛ A A ⇔ 4sin ⎜ cos ⎟ = 1 ⇔ 4sin sin + 1 = 0 ⇔ − 4 cos − cos 2 2⎝ 2⎠ 2 2 2 2 B−C ⎧ ⎪cos 2 = 1 2 π B−C ⎞ 2 B −C ⎪ ⎛ A ⇔ ⎜ 2sin − cos =0 ⇔ ⎨ ⇔ B = C, A = . ⎟ + 1 − cos ⎪sin A = 1 3 ⎝ 2⎠ 2 2 ⎪ ⎩ 22 Cách 2. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C ⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1(1) 2 2 2 2 2 2 A B C ≤ 1. Dấu đẳng Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin sin sin 2 2 2 thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy: B −C B+C ⎞ sin sin ≤ 1 ⇔ ⇔ 4sin ⎛ cos A B C A ⎟ ≤1 − cos 8sin ⎜ 2⎝ 2⎠ 2 2 2 2 2 B −C B−C ⎞ 2 B −C ⎛ A A A ⇔ 4sin sin + 1 ≥ 0 ⇔ ⎜ 2sin − cos ≥0 ⇔ − 4 cos ⎟ + 1 − cos 2 ⎝ 2⎠ 2 2 2 2 2 B−C ⎧ ⎪cos 2 = 1 π ⎪ ⇔ B = C, A = . Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi ⎨ ⎪sin A = 1 3 ⎪ ⎩ 22 Cách 3. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C ≤ sinA + sinB + sinC (2) 1
- Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy: sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B) ≤ 2sinC Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ A = B. Tương tự : sin2B + sin2C ≤ 2sinA Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ B = C. sin2C + sin2A ≤ 2sinB Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ C = A. Cách 4. áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB a cos A + b cos B + c cos C 1 = a+b+c 2 ⇔ 2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA ⇔ a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) + + b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0 ⇔ (a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0. ⎧(a − b)(cos A − cos B) = 0 ⎪ ⇔ ⎨(b − c)(cos B − cos C ) = 0 ⇔ a = b = c ⎪(c − a)(cos C − cos A) = 0 ⎩ Bài toán 2.(ĐHQG HN - A1999) Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu: cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 thì : sinA + sinB + sinC ≤ 1 + 2 Lời giải. cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 ⇔ - 1 - 4cosAcosBcosC ≥ - 1 ⇔ 4cosAcosBcosC ≤ 0 ⇔ Δ ABC không nhọn. π πCπ C 2 Giử sử C lớn nhất. Suy ra ≤ C < π ⇔ ≤ < ⇒ cos ≤ 2 2 2 422 A− B C C + sin C ≤ 2 cos + sin C ≤ 2 + 1 sinA + sinB + sinC = 2 cos cos 2 2 2 Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả : ⎧sin B + sin C = 2sin A thì tam giác ABC đều. ⎨ ⎩ tan B + tan C = 2 tan A Lời giải. B −C A A A sinB + sinC = 2sinA ⇔ 2 cos cos = 4sin cos ⇔ 2 2 2 2 B−C A ⇔ cos 2 ⇔ 1+cos(B - C) = 4(1 - cosA) (1) = 4sin 2 2 2 sin( B + C ) sin A tanB + tanC = 2tanA ⇔ ⇔ cosA = 2cosBcosC ⇔ =2 cos B cos C cos A cosA = cos(B + C) + cos(B - C) ⇔ 2cosA = cos(B - C) (2) Từ (1) và (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1 ⇔ B = C, A = 600. 2
- Bài toán 4.(ĐHThuỷ Lợi - A1999) Tam giác ABC thoả 2cosAsinBsinC + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 Hỏi tam giác ABC có tính chất gì? Chứng minh. Lời giải. b 2 + c 2 − a 2 sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A = Để ý rằng cosA = . Suy ra: 2bc 2sin B sin C 2cosAsinBsinC = sin2B + sin2C - sin2A (GT) ⇔ sin2B + sin2C - sin2A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 ⇔ 1 - cos2B + 1 - cos2C - sin2A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 2 2 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⇔ ⎜ cos B − ⎟ + ⎜ cos C − ⎟ + ⎜ sin A − ⎟ =0 ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 . Suy ra: B = C = 300, A = 1200. ⇔ cos B = cos C = sin A = 2 Bài toán 5.(ĐH&CĐ- 2002- TK1) Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. a 2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ ; a, b, c là các cạnh Δ , R là Chứng minh: 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu = xảy ra khi nào? Lời giải. a 2 + b2 + c2 a b c = a. + b. + c. Ta có : = asinA + bsinB + csinC 2R 2R 2R 2R 2S 2S 2S a b c = a. + b. + c. = 2 S ( + + ) = bc ca ab bc ca ab a b c 1bc 1ca 1ab = (ax + by + cz )( + + ) = (ax + by + cz )[ ( + ) + ( + ) + ( + )] bc ca ab 2a c b 2b a c 2c b a 111 ≥ (ax + by + cz )( + + ) ≥ ( x + y + z )2 abc Chú ý: 2 ⎛ 1⎞ 1 1 i) Bđt cuối có được do: ( x + y + z ) = ⎜ ax . + by . + cz . 2 ⎟ ⎝ c⎠ a b a b c 111 ++ ≥ + + như sau: ii) Có thể chứng minh: bc ca ab a b c a b c 1a b 1b c 1c a ++ = ( + )+ ( + )+ ( + ) bc ca ab 2 bc ca 2 ca ab 2 ab bc ii) Có thể giải bài toán nhanh hơn: ⎛1 1 1⎞ 1 1 1 x+ y+ z= ⎜ + + ⎟ (ax + by + cz ) = ≤ + + ax . by . cz . ⎝a b c⎠ a b c 3
- ab + bc + ca a 2 + b2 + c2 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ abc 1 1 = ⎜ + + ⎟ .2S = ⎜ + + ⎟ . ≤ = ⎝a b c⎠ ⎝ a b c ⎠ 2R 2R 2R Bài toán 6. (ĐH&CĐ- 2002- TK2) Xét tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Tính diện tích tam giác biết rằng: bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 Lời giải. bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 ⇔ 4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinCcosB) = 20 ⇔ 4R2sinB.sinCsinA = 20 ⇔ 2.S = 20 ( S = 2R2sinB.sinCsinA) Cách 2: áp dụng định lý chiếu b.cosC + c.cosB = a bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 ⇔ absinC = 20 ⇔ 2S = 20. Bài toán 7. (ĐH&CĐ- 2002- TK4) Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là: A B C 1 A-B B-C C-A + cos 2 + cos 2 - 2 = cos cos 2 cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải. A B C 1 A-B B-C C-A + cos 2 + cos 2 - 2 = cos cos 2 cos cos 2 2 2 4 2 2 2 A-B B-C C-A ⇔ 2(3 + cosA + cosB + cosC) - 8 = cos cos cos 2 2 2 A-B B-C C-A ⇔ 2(cosA + cosB + cosC - 1) = cos cos cos 2 2 2 A B C A-B B-C C-A ⇔ 8sin sin sin = cos cos cos 2 2 2 2 2 2 ⇔ 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) ⇔ sinA = sinB = sinC Bài toán 8. (ĐH&CĐ- 2002- TK6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3/2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, ⎛1 1⎞ ⎛ ⎞ 1 1 11 B, C của tam giác. Chứng minh: ⎜ + + ⎟ ⎜ + + ⎟ ≥ 3. . ⎝ a b c ⎠ ⎝ ha hb hc ⎠ Lời giải. 1 a để ý rằng aha = 2S ⇔ = ha 2S 1 1 1 1 (a + b + c) Suy ra: + + = ha hb hc 2S Bài toán 9. (ĐH&CĐ- A2003- TK2) 4
- ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ Tính các góc của tam giác ABC biết rằng: ⎨ A B C 2 3 − 3 ⎪sin sin sin = ⎩ 2 2 2 8 a+b+c trong đó BC = a, CA = b, Ab = c, p = . 2 Lời giải. ⎧4 p( p − a) ≤ bc (1) ⎪ ⎨A C 2 3 −3 B ⎪sin sin sin = (2) ⎩2 2 2 8 (b + c) 2 − a 2 a+b+c b+c−a 2bc(1 + cos A) (1) ⇔ 4. ≤ bc ⇔ ≤ 1⇔ ≤1 bc 2 2 bc A A3 A 3 ⇔ cos 2 ≤ 1/4 ⇔ sin 2 ≥ ⇔ sin ≥ 2 24 2 2 B −C B+C A B C 1 A − cos VT(2) = sin sin sin = sin ( cos ) 2 2 2 2 2 2 2 1⎡ 1⎤ 1 A A A1 ≤ sin ( 1 − sin ) = − ⎢(sin − ) 2 − ⎥ 2 2 2 2⎣ 22 4⎦ 2 1 1⎛ 3 1⎞ 2 2 3 −3 1 1⎛ A 1⎞ = - ⎜ sin − ⎟ ≤ − ⎜⎜ 2 − 2⎟ = ⎟ 8 2⎝ 8 8 2⎝ 2 2⎠ ⎠ B−C ⎧ =1 cos ⎪ ⎪ 2 ⇔ A = 1200, B = C = 300. Dấu = khi chỉ khi: ⎨ ⎪sin A = 3 ⎪ ⎩ 2 2 Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1) Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức: Q = sin2A + sin2B - sin2C đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. 1 1 2 2 (1 − cos 2 A) + (1 − cos 2 B ) - - sin C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin C Ta có Q = 2 2 1 1 = 1 + cosCcos(A-B) - sin2C = [ cos C + cos( A − B )] − cos 2 ( A − B) ≥ − 2 4 4 ⎧cos( A − B ) = 1 ⎪ 1 ⇔ A = B = 300, C = 1200. minQ = - khi chỉ khi ⎨ 1 ⎪cos C = − 2 4 ⎩ Bài toán 11. (ĐH&CĐ- D2003- TK2) Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB Lời giải. 5
- (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB ⇔ (p - a)a2 + (p - b)b2 = abc ( p − a)a ( p − b)b p( p − a) p ( p − b) ⇔ =1 ⇔ + .a + .b = p bc ca bc ca (b + c) 2 − a 2 (a + c)2 − b 2 ⇔ .b = p ⇔ a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c .a + bc ca ⇔ acosA + bcosB = c ⇔ sin2A + sin2B = 2sinC ⇔ sin(A - B) = 1. Bài toán 12. (ĐH&CĐ- A2004) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính các góc của tam giác. Lời giải. Cách 1. Đặt M = cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 B+C B −C = 2cos2A - 1 + 2 2 .2cos cos 2 2 B −C A A = 2cos2A + 4 2 .sin cos - 4 ≤ 2cos2A + 4 2 .sin - 4 2 2 2 A ≤ 2cosA + 4 2 .sin - 4 2 A A A = 2(1 - 2sin2 ) + 4 2 .sin - 4 = - 2( 2 .sin - 1)2 ≤ 0 2 2 2 ⎧ ⎪cos 2 A = cos A ⎪ B −C ⎪ 0 0 M = 0 ⇔ ⎨cos = 1 ⇔ A = 90 , B = C = 45 . 2 ⎪ ⎪ A 1 ⎪sin 2 = 2 ⎩ Cách 2. Từ giả thiết suy ra: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 B+C B −C ⇔ 1 - 2sin2A + 4 2 cos cos -3=0 2 2 B −C A ⇔ sin2A - 2 2 sin cos +1=0 2 2 A A Vì tam giác ABC không tù nên 0 < A/2 ≤ π /4. Suy ra sin > 0, cos ≥ 2 /2 2 2 A A A cos ≥ 2 sin Do đó: sinA = 2 sin 2 2 2 B −C B −C A A A ⇒ 0 = sin2A - 2 2 sin cos + 1 ≥ 2sin2 - 2 2 sin cos +1 2 2 2 2 2 6
- 2 B −C ⎞ 2 B−C ⎛ A ⇒ ⎜ 2 sin − cos ≤0 ⎟ + 1 − cos 2 2⎠ 2 ⎝ B −C A ⇒ cos = 1 và sin = 1/ 2 . 2 2 Cách 3. 2 B+C B −C ⎛ A⎞ A 2 - 3 ≤ 2 ⎜1 − 2sin 2 ⎟ 4 2 sin - 4 M = 2cos A - 1 + 4 2 cos cos 2 2 2⎠ 2 ⎝ A 2 = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t = sin ∈ (0; ] 2 2 2 Đặt g(t) = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t ∈ (0; ] 2 6 Suy ra: g'(t) = 32t3 - 16t + 4 2 , g"(t) = 96t2 - 16 = 0 ⇔ t = (do t > 0) 6 Sự biến thiên của g(t): Từ đó: ming'(t) = g'( 6 /6) = - 16 6 /9 + 4 > 0. Suy ra g(t) đồng biến trên 2 ] ⇒ g(t) ≤ g( 2 /2) = 0. Vậy M ≤ 0. (0; 2 B −C A M = 0 ⇔ cos = 1 và sin = 1/ 2 . 2 2 Cách 4. Từ một điểm trong tam giác ABC vẽ các véc tơ đơn vị hướng ra ngoài và vuông góc các cạnh BC, CA, AB lần lượt là e1 , e2 , e3 . Xét bình phương vô hướng: 0 ≤ (2 e1 + 2 e2 + 2 e3 )2 = 8 - 4 2 coC - 4 2 coB - 4cosA ⇔ 2cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 4 ⇔ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 Ta có 2cos2A - 1 ≤ 2cosA - 1 Nên 2cos2A - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 ⇔ cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 π ⎧2 ⎧cos A = 0 ⎪cos A = cosA (0 < A ≤ ) ⎪ 2 ⇔⎨ Dấu = khi chỉ khi ⎨ ⎪e2 2 = −(2e1 + 2 e3 ) ⎪2e + 2 e + 2 e = 0 ⎩ ⎩1 2 3 ⎧ A = 900 ⎧ A = 900 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪2 = 6 + 4 2 e1.e3 ⎪2 = 6 − 4 2 cos B ⎩ ⎩ Cách 5. cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 ⇔ cos2A = - 2 2 cosB - 2 2 cosC +3 7
- ⇔ cos2A + 2cos2B + 2cos2C = 2cos2B - 2 2 cosB + 2cos2C - 2 2 cosC +3 ⇔ cos2A + 1 + cos2B + 1 + cos2C = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 ⇔ 2 - 1 - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 ⇔ - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC ≤ 0 ( ABC không tù) Suy ra: ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC ≤ 0 ⎧ 2 cos B = 2 cos C = 1 ⎪ ⇔⎨ ⎪cos A cos B cos C = 0 ⎩ Bài toán 13. (CĐ Y Tế Nghệ An - 2004) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosAcosBcosC Lời giải. 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B Cách 1. cos2A + cos2B + cos2C = + cos2C = + 2 2 = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - 2 cosAcosBcosC Cách 2. 1 - 2 cosAcosBcosC = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 1 1 (cos2A + cos2B) + cos2C = 1+ (2cos2A - 1) + (2cos2B - 1) = =1+ 2 2 2 = cos2A + cos2B + cos2C. Bài toán 14. (CĐSP Hải Dương - B2005) C Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả sinC = 2sinBsinAtan . 2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Lời giải. C C C ⇔ cos 2 = sin A sin B ⇔ 2 cos 2 = cos( A − B ) + cos C sinC = 2sinBsinAtan 2 2 2 ⇔ cos(A-B) = 1 ⇔ A - B = 0. Bài toán 15. (Bộ Quốc phòng- A2005) 1 a Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện thì + cotA = sinA c-b tam giác ABC là tam giác vuông. Lời giải. 1 a 1+ cosA sinA ⇔ + cotA = = sinA c-b sinA sinB - sinC A A A 2 cos 2 2sin cos 2 ⇔ sin A = sin B − C ⇔ A + C = B ⇔ B = π 2= 2 ⇔ B−C A A A 2 2 2 2sin cos 2sin sin 2 2 2 2 Bài toán 16. (CĐKTKTHải Dương -A2005) 8
- Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Lời giải. sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) ⇔ 1 − cos 2 A 1 − cos 2 B 9 9 ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = ⇔ + sin 2 C = ⇔ + 2 2 4 4 9 ⇔ 1 + cos(A - B) cosC + 1 - cos2C = ⇔ 4 2 ⇔ 4cos C - 4cos(A - B)cosC + 1 = 0 ⇔ ⇔ [2cosC - cos(A - B)]2 + 1- cos2(A - B) = 0 ⇔ ⎧2 cos C − cos( A − B) = 0 π ⇔⎨ ⇔ A = B, C = ⎩cos( A − B) = 1 6 Bài toán 17. Tam giác ABC thoả (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) = cosAcosBcosC Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. Để ý rằng 1 - cosA > 0, 1 - cosB > 0, 1 - cosC > 0. Suy ra cosAcosBcosC > 0 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C A B C (GT) ⇔ = 1 . Đặt x = tan , y = tan , z = tan . . cos A cos B cos C 2 2 2 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C 2y 1 2x 2z =1 ⇔ . . = . . 1 − x2 1 − y 2 1 − z 2 xyz cos A cos B cos C A B C ⇔ tanA.tanB.tanC = cot cot cot 2 2 2 A B C ⇔ tanA + tanB + tanC = cot + cot + cot (1) 2 2 2 A B C Ta chứng minh tanA + tanB + tanC ≥ cot + cot + cot . Dấu đẳng thức xảy 2 2 2 ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy: sin C 2sin C 2sin C C = ≥ tanA + tanB = = 2 cot . cos A cos B cos( A + B) + cos( A − B) 1 − cos C 2 Dấu đẳng thức khi chỉ khi A = B A Tương tự: tanB + tanC ≥ 2 cot . Dấu đẳng thức khi chỉ khi B = C 2 B tanC + tanA ≥ 2 cot . Dấu đẳng thức khi chỉ khi C = A 2 A B C Suy ra: tanA + tanB + tanC ≥ cot + cot + cot . 2 2 2 9
- Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. BÀI TẬP LÀM THÊM Bài toán 18. A A A tan 2 tan 2 tan 2 2+ 2+ 2 = 18 Tam giác ABC nhọn thoả A A A sin sin sin 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. A C B tan 2 tan 2 tan 2 2+ 2+ 2 ≥ 18. Dắu đẳng thức xảy ra Cách 1. Ta chứng minh A C B sin sin sin 2 2 2 chỉ khi A = B = C. Thật vậy: (a + b + c) 2 a2 a2 a2 ≥ Ta có + + với a, b, c thực và x, y, z thực dương. x+ y+z x x x abc Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi = = xyz A C B tan 2 tan 2 tan 2 2 ≥ ( tan A + tan B + tan C ) ≥ (3 3) = 18 2 2 2+ 2+ A C B A B C 3 sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 tan A tan B tan C Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi = = và A = B = C . A B C sin sin sin 2 2 2 Cách 2. Ta có: ⎞ ⎛ ⎜ tg 2 A tg 2 B tg 2 C ⎟ ⎛ C⎞ A B ⎟ ≥ (tgA + tgB + tgC )2 ⎜ sin + sin + sin ⎟⎜ + + C⎟ 2 ⎠⎜ A B 2 2 ⎝ ⎜ sin sin sin ⎟ 2⎠ ⎝ 2 2 (tgA + tgB + tgC )2 tg 2 A tg 2 B tg 2 C ⇒P= + + ≥ A B C A B C sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C3 ; sin + sin + sin ≤ Vì: tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 2 2 22 (tgA + tgB + tgC ) ≥ 18 ⇒ P = tg A + tg B + tg 2C ≥ 18 . 2 2 2 Do đó: A B C A B C sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 10
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Bài toán 19. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C ≤ + + ; x, y, z > 0. 2 xyz y x z Lời giải. x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C ≤ + + 2 xyz y x z ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC ≤ x2 + y2 + z2 ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycos(A + B) ≤ x2 + y2 + z2 ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycosAcosB + 2xysinAsinB ≤ x2(sin2B + cos2B) + + y2(sin2A + cos2A)+ z2 2 2 ⇔ (xcosB + cosA - z) + (xsinB - ysinA) ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi ⎧ x sin A ⎪ y = sin B ⎧ x cos B + y cos A − z = 0 ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎩ x sin B − y sin A = 0 ⎪ z = y sin A cos B + y cos A = y sin C ⎪ ⎩ sin B sin B ⇔ x : y : z = sinA : sinB : sinC. áp dụng 1: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng F = 3 cosA + 3(cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất. áp dụng 2: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 1 1 1 5 cosA + cosB + cosC = 3 4 5 12 Bài toán 20. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 2 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎟ ≥ ⎜2+ ⎜1 + ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ sin A ⎠ ⎝ sin B ⎠ ⎝ sin C ⎠ ⎝ 3⎠ Lời giải. Trước hết ta chứng minh: Với x, y, z > 0 và x + y + z ≤ S. 2 1 ⎛ 1⎞ Khi đó ⎛ 1 + ⎞ ⎜1 + ⎟⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ x⎠ ⎝ ⎝ z⎠ ⎝ S⎠ 1 1 1 Thật vậy: VT = 1 + ∑ + ∑ + x xy xyz 1 9 9 Mặt khác: ∑ ≥ ≥ x ∑x S 1 27 S ≥ ∑ x ≥ 3 3 xyz ⇒ ≥3 xyz S 11
- 2 2 ⎛1⎞ ⎛ 27 ⎞ 1 27 ∑ xy ≥ 3 3 ⎜ xyz ⎟ ≥ 3 3 ⎜ S 3 ⎟ = S 2 ⎝⎠ ⎝ ⎠ 3 Suy ra VT ≥ 1 + + 2 + 3 = ⎛1 + ⎞ 9 27 27 3 ⎜ ⎟ ⎝ S⎠ SS S Bây giờ chỉ cần để ý rằng x + y = z = sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 Bài toán 21. Xác định các góc của tam giác ABC biết rằng 2 (cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất. F = cosAsinBsinC + sinA + 2 Lời giải. ⎛ A⎞ A A 2 Ta có F = ⎜1 − 2sin 2 ⎟ sin B sin C + 2 cos sin + (cos B + cos C ) = 2⎠ 2 2 2 ⎝ ⎛ A⎞ A 2 A + 2 ⎜ cos ⎟ sin + (cos B + cos C ) + sin B sin C = -2sinBsinCsin 2 2⎠ 2 2 ⎝ 2 A A A cos cos cos A 2= 1 2 2 F đạt max khi chỉ khi sin = = ≥ 2 2sin B sin C cos( B − C ) + cos A 1 + cos A 2 cos A 2 ⇒ sinA ≥ 1 ⇒ sinA = 1 ⇒ A = 900. Khi đó cos(B - C) = 1 ⇒ B = C Bài toán 22. Nhận dạng tam giác ABC có ba góc thỏa mãn 17 2 cos A sin B sin C + 3 (sin A + sin B + sin C ) = . 14 b 2 + c 2 − a 2 sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A Lời giải: Ta có cos A = = ⇒ 2 cos A sin B sin C 2bc 2 sin B sin C 17 = sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A . Do đó 2 cos A sin B sin C + 3 (sin A + sin B + sin C ) = 14 17 ⇔ sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A + 3 (sin A + sin B + sin C ) = a–v 14 ( )( )( ) 17 ⇔2– cos 2 C − 3 cos C − cos 2 B − 3 cos B − cos 2 A − 3 cos A = 4 2 2 2 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ ⎟ = 0 ⇒ Tam giác cân tại A và ⇔ ⎜ cos C − ⎟ + ⎜ cos B − ⎟ + ⎜ sin A − 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2π A= . 3 Bài toán 23. Nhận dạng tam giác ABC, biết ⎛ ⎞ ⎜1 ⎟ 1 1 1 1 1 + + = 2⎜ + + ⎟ A B C A B C ⎜ sin ⎟ sin 2 sin 2 sin 2 sin sin ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 12
- HD. Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có 2 ⎛ ⎞ 1⎜ 1 1⎟ 1 1 1 1 ≥⎜ ⎟ + + + + 2A 2B 2C A B C⎟ 3⎜ sin sin sin ⎜ sin sin sin ⎟ 2 2 2 2 2 2⎠ ⎝ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 ⎟⎜ 1 1⎟ 1 1⎜ 1 1 ⎟⎜ ⎟ (1) . = + + + + A B C ⎟⎜ A B C⎟ 3⎜ sin ⎟ ⎜ sin sin sin ⎟ ⎜ sin sin 2 2 2⎠ 2 2 2 ⎠⎝ ⎝ 1 1 1 3 ≥ 6 (2) + + ≥ Mặt khác A B C A B C sin sin sin 3 sin . sin . sin . 2 2 2 2 2 2 Thay (2) vào (1) ta có kết quả. Bài toán 24. Tam giác nhọn ABC có ba góc thỏa mãn tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C = 3tgAtgBtgC , là tam giác gì? Lời giải. Từ giả thiết 3 góc A,B,C đều nhọn. Ta có: tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC ≥ 33 tgAtgBtgC ⇒ (tgAtgBtgC )2 ≥ 27 ⇒ (tgAtgBtgC ) ≥ 27(tgAtgBtgC ) 8 6 ( (tgAtgBtgC) ) ≥ 3(tgAtgBtgC ) 8 2 ⇔ (1) 3 Mà: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 33 (tgAtgBtgC ) 8 ( 2) Từ (1) và(2) ta có: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 3tgAtgBtgC . Để thỏa mãn đề toán thì đẳng thức xảy ra ⇒ Tam giác ABC đều. Bài toán 25. Δ ABC là tam giác bất kỳ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 ta có : A B C + tg n + tg n tg n 1− n 2 2 2 ≥3 2 . A B C tg + tg + tg 2 2 2 A B C + tg + tg ≥ 3 . Lời giải. Áp dụng BĐT quen thuộc : tg 2 2 2 A B C Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ΔABC đều . Từ BĐT có : 3tg + 3tg + 3tg ≥ 3 . 2 2 2 A B C Rõ ràng : tg , tg , tg > 0 ∀A, B, C ∈ (0; π ) . 2 2 2 A B C Áp dụng BĐT cho : a1 = 3tg , a 2 = 3tg , a 3 = 3tg , ta có 2 2 2 13
- n −1 n −1 n −1 n n n ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ C⎞ ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ C⎞ ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ ≥ ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ ≥ ... ≥ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎛A C⎞ B ≥ 3 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝2 2 2⎠ Từ đó ta thu được BĐT . Dấu bằng xảy ra ⇔ ΔABC đều . ( ) ⎧sin B = 2 − cos C sin A (1) ⎪ Bài 26. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ⎨ , tam ( 2 − cos B ) sin A ⎪sin C = (2) ⎩ giác trên là tam giác gì ? Lời giải. Lấy (1) – (2) ⇒ sin B − sin C = sin A ( cos B − cos C ) ⇒ B = C ⎧sin B − sin C < 0 ⎪ Vì nếu B < C ⇒ cosB > cos C ⇒ ⎨ ⎪sin A ( cos B − cos C ) > 0 ⎩ Tương tự B > C đều dẫn đến sin B − sin C ≠ sin A(cos B − cos C ) . Thế vào (1) , ta có ( ) ( ) ( ) 2 − cos B sin ( B + C ) = sin B = 2 − cos B sin 2 B ⇒ 1 = 2 − cos B .2 cos B 2 cos B + 1 = 0 ⇒ ( 2 cos B + 1) 1 2 ⇒ 2 cos 2 B − 2 = 0 ⇒ cos B = ⇒ B = 450 , C = 450 . 2 Tam giác vuông cân ở . Bài toán 27. Gọi A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ A− B B −C C−A A B C 1 + cos 2 + cos 2 − 2 = cos là: cos 2 . cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải. Dùng công thức hạ bậc, bài toán tương đương A− B B−C C−A 2 ( cos A + cos B + cos C − 1) = cos . cos cos 2 2 2 A− B B −C C−A A B C ⇔ 8 sin sin sin = cos .(1) cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C Nhân hai vế cho 8cos cos cos , ta có 2 2 2 (1) ⇔ 8sin A sin B sin C = ( sin A + sin B ) ( sin B + sin C ) ( sin C + sin A ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ A = B = C ( do BĐT Cauchy). ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ Bài toán 28. Tính các góc tam giác ABC, biết rằng ⎨ A B C 2 3 − 3 ⎪sin sin sin = ⎩2 2 2 8 1 HD. Ta có 4 p ( p − a ) ≤ bc ⇔ cos A ≤ ⇒ A ≥ 1200 . 2 14
- 2 B −C B+C ⎞ C 1⎛ A 1⎛ A⎞ 1⎛ A 1⎞ 1 A B A sin sin = ⎜ cos − cos ⎟ sin ≤ ⎜ 1 − sin ⎟ sin = − ⎜ sin − ⎟ + sin 2 2⎝ 2⎠ 2 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2 2⎠ 8 2 2 2 2 . 2 A 1 ⎞ 1 2 3 −3 1⎛ A 3 Mặt khác vì A ≥ 120 ⇒ sin ≥ sin 600 = ⇒ − ⎜ sin − ⎟ + ≤ (*) 0 2⎝ 2 2⎠ 8 2 2 8 C 2 3 −3 A B Hay sin sin sin ≤ . Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì BĐT (*) xảy ra 2 2 2 8 đẳng thức ⎧ A = 1200 ⎪ Khi và chỉ khi ⎨ ⎪ B = C = 30 0 ⎩ Bài toán 29. Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng ( p − a)sin 2 A + ( p − b) sin 2 B = c.sin A.sin B . HD. Dùng định lí hàm sin ta có bài toán tương đương ( p − a )a ( p − b)b p ( p − a )a p ( p − b)b + =1⇔ + = p (1). bc ac bc ac p( p − a)a 1 p ( p − b)b 1 = (1 + cos A), = (1 + cos B ) . Chú ý bc 2 ac 2 Do đó (1) ⇔ a cos A + b cos B = c ⇔ A = B . Bài 10. Tam giác ABC có ba góc thỏa 3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2cos C ) = 15 là tam giác gì? Lời giải. Bài toán tương đương (3cosB + 4sinB) + (8cosC + 6sinC) = 15. Áp dụng bất đẳng thức BCS trong từng dấu ngoặc , suy ra kết quả. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⎧ cos B s inB ⎪3=4 ⎧cos B = sin C π ⎪ ⇔ A= . ⇔⎨ ⎨ ⎩sin B = cos C ⎪ cos C = sin C 2 ⎪8 ⎩ 6 Bài toán 30 .Nhận dạng tam giác ABC, biết 1 1 1 1 + + = sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 cos A cos sB cos sC Lời giải. Ta có 1 1 2 1 1 2 + ≥ +2 ≥ , , 2 2 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 A.sin 2 B sin 2 B sin 2C sin 2 B.sin 2C 1 1 2 +2 ≥ .Do đó 2 sin 2 A sin 2C sin 2 A.sin 2C 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + = sin 2 A sin 2 B sin 2C sin 2 A.sin 2 B sin 2 B.sin 2C sin 2 A.sin 2C sin 2 A + sin 2 B + sin 2C 1 = sin 2 sin 2 B sin 2C 2 cos A cos sB cos sC 15
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Sai lầm khi giải các bài toán tam thưc bậc hai
3 p | 2400 | 915
-
Các bài toán Hidrocacbon và phương pháp giải
6 p | 994 | 342
-
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
15 p | 641 | 216
-
Các phương pháp giúp giải nhanh các bài toán hóa học
14 p | 336 | 132
-
Lượng giác - 6.Lượng giác và các bài toán dãy số
12 p | 333 | 107
-
Tuyển chọn và giải các bài toán tổ hợp qua các kì thi đại học
12 p | 313 | 101
-
Bảo toàn khối lượng trong các bài toán hữu cơ đáp án và hướng dẫn giải bài tập tự luyện
0 p | 50 | 18
-
Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan qua các kì thi tuyển sinh ĐH
4 p | 59 | 17
-
Bảo toàn nguyên tố trong các bài toán hữu cơ tài liệu bài giảng
0 p | 67 | 16
-
Tam giác trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
14 p | 58 | 16
-
Vấn đề giải toán và nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài toán
0 p | 49 | 9
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Tài liệu bài giảng)
1 p | 29 | 5
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Bài tập tự luyện)
1 p | 42 | 4
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Hướng dẫn giải bài tập tự luyện)
1 p | 27 | 2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Bài tập tự luyện)
1 p | 23 | 2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Hướng dẫn giải bài tập tự luyện)
1 p | 34 | 2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Tài liệu bài giảng)
1 p | 30 | 2

markdown:
# Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
Chia sẻ: Thinh Phan Chi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15
lượt xem 288
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2009/20091027/phanchithinh/80x100/cac_bai_toan_tam_giac_qua_cac_ki_thi_dh_866.jpg)
##
Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tài liệu Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH
- CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999) a cos A + b cos B + c cos C 1 =. Tam giác ABC thoả: a+b+c 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. Cách 1. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C ⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1 ⇔ 2 2 2 2 2 2 B −C B−C B+C ⎞ A⎛ A A ⇔ 4sin ⎜ cos ⎟ = 1 ⇔ 4sin sin + 1 = 0 ⇔ − 4 cos − cos 2 2⎝ 2⎠ 2 2 2 2 B−C ⎧ ⎪cos 2 = 1 2 π B−C ⎞ 2 B −C ⎪ ⎛ A ⇔ ⎜ 2sin − cos =0 ⇔ ⎨ ⇔ B = C, A = . ⎟ + 1 − cos ⎪sin A = 1 3 ⎝ 2⎠ 2 2 ⎪ ⎩ 22 Cách 2. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 A B C A B C ⇔ sinAsinBsinC = cos cos cos ⇔ 8sin sin sin = 1(1) 2 2 2 2 2 2 A B C ≤ 1. Dấu đẳng Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin sin sin 2 2 2 thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy: B −C B+C ⎞ sin sin ≤ 1 ⇔ ⇔ 4sin ⎛ cos A B C A ⎟ ≤1 − cos 8sin ⎜ 2⎝ 2⎠ 2 2 2 2 2 B −C B−C ⎞ 2 B −C ⎛ A A A ⇔ 4sin sin + 1 ≥ 0 ⇔ ⎜ 2sin − cos ≥0 ⇔ − 4 cos ⎟ + 1 − cos 2 ⎝ 2⎠ 2 2 2 2 2 B−C ⎧ ⎪cos 2 = 1 π ⎪ ⇔ B = C, A = . Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi ⎨ ⎪sin A = 1 3 ⎪ ⎩ 22 Cách 3. a cos A + b cos B + c cos C 1 = ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC a+b+c 2 Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C ≤ sinA + sinB + sinC (2) 1
- Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy: sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B) ≤ 2sinC Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ A = B. Tương tự : sin2B + sin2C ≤ 2sinA Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ B = C. sin2C + sin2A ≤ 2sinB Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1 ⇔ C = A. Cách 4. áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB a cos A + b cos B + c cos C 1 = a+b+c 2 ⇔ 2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA ⇔ a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) + + b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0 ⇔ (a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0. ⎧(a − b)(cos A − cos B) = 0 ⎪ ⇔ ⎨(b − c)(cos B − cos C ) = 0 ⇔ a = b = c ⎪(c − a)(cos C − cos A) = 0 ⎩ Bài toán 2.(ĐHQG HN - A1999) Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu: cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 thì : sinA + sinB + sinC ≤ 1 + 2 Lời giải. cos2A + cos2B + cos2C ≥ - 1 ⇔ - 1 - 4cosAcosBcosC ≥ - 1 ⇔ 4cosAcosBcosC ≤ 0 ⇔ Δ ABC không nhọn. π πCπ C 2 Giử sử C lớn nhất. Suy ra ≤ C < π ⇔ ≤ < ⇒ cos ≤ 2 2 2 422 A− B C C + sin C ≤ 2 cos + sin C ≤ 2 + 1 sinA + sinB + sinC = 2 cos cos 2 2 2 Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả : ⎧sin B + sin C = 2sin A thì tam giác ABC đều. ⎨ ⎩ tan B + tan C = 2 tan A Lời giải. B −C A A A sinB + sinC = 2sinA ⇔ 2 cos cos = 4sin cos ⇔ 2 2 2 2 B−C A ⇔ cos 2 ⇔ 1+cos(B - C) = 4(1 - cosA) (1) = 4sin 2 2 2 sin( B + C ) sin A tanB + tanC = 2tanA ⇔ ⇔ cosA = 2cosBcosC ⇔ =2 cos B cos C cos A cosA = cos(B + C) + cos(B - C) ⇔ 2cosA = cos(B - C) (2) Từ (1) và (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1 ⇔ B = C, A = 600. 2
- Bài toán 4.(ĐHThuỷ Lợi - A1999) Tam giác ABC thoả 2cosAsinBsinC + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 Hỏi tam giác ABC có tính chất gì? Chứng minh. Lời giải. b 2 + c 2 − a 2 sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A = Để ý rằng cosA = . Suy ra: 2bc 2sin B sin C 2cosAsinBsinC = sin2B + sin2C - sin2A (GT) ⇔ sin2B + sin2C - sin2A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 ⇔ 1 - cos2B + 1 - cos2C - sin2A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4 2 2 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⇔ ⎜ cos B − ⎟ + ⎜ cos C − ⎟ + ⎜ sin A − ⎟ =0 ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 . Suy ra: B = C = 300, A = 1200. ⇔ cos B = cos C = sin A = 2 Bài toán 5.(ĐH&CĐ- 2002- TK1) Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. a 2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ ; a, b, c là các cạnh Δ , R là Chứng minh: 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu = xảy ra khi nào? Lời giải. a 2 + b2 + c2 a b c = a. + b. + c. Ta có : = asinA + bsinB + csinC 2R 2R 2R 2R 2S 2S 2S a b c = a. + b. + c. = 2 S ( + + ) = bc ca ab bc ca ab a b c 1bc 1ca 1ab = (ax + by + cz )( + + ) = (ax + by + cz )[ ( + ) + ( + ) + ( + )] bc ca ab 2a c b 2b a c 2c b a 111 ≥ (ax + by + cz )( + + ) ≥ ( x + y + z )2 abc Chú ý: 2 ⎛ 1⎞ 1 1 i) Bđt cuối có được do: ( x + y + z ) = ⎜ ax . + by . + cz . 2 ⎟ ⎝ c⎠ a b a b c 111 ++ ≥ + + như sau: ii) Có thể chứng minh: bc ca ab a b c a b c 1a b 1b c 1c a ++ = ( + )+ ( + )+ ( + ) bc ca ab 2 bc ca 2 ca ab 2 ab bc ii) Có thể giải bài toán nhanh hơn: ⎛1 1 1⎞ 1 1 1 x+ y+ z= ⎜ + + ⎟ (ax + by + cz ) = ≤ + + ax . by . cz . ⎝a b c⎠ a b c 3
- ab + bc + ca a 2 + b2 + c2 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ abc 1 1 = ⎜ + + ⎟ .2S = ⎜ + + ⎟ . ≤ = ⎝a b c⎠ ⎝ a b c ⎠ 2R 2R 2R Bài toán 6. (ĐH&CĐ- 2002- TK2) Xét tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Tính diện tích tam giác biết rằng: bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 Lời giải. bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 ⇔ 4R2sinB.sinC(sinBcosC + sinCcosB) = 20 ⇔ 4R2sinB.sinCsinA = 20 ⇔ 2.S = 20 ( S = 2R2sinB.sinCsinA) Cách 2: áp dụng định lý chiếu b.cosC + c.cosB = a bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20 ⇔ absinC = 20 ⇔ 2S = 20. Bài toán 7. (ĐH&CĐ- 2002- TK4) Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là: A B C 1 A-B B-C C-A + cos 2 + cos 2 - 2 = cos cos 2 cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải. A B C 1 A-B B-C C-A + cos 2 + cos 2 - 2 = cos cos 2 cos cos 2 2 2 4 2 2 2 A-B B-C C-A ⇔ 2(3 + cosA + cosB + cosC) - 8 = cos cos cos 2 2 2 A-B B-C C-A ⇔ 2(cosA + cosB + cosC - 1) = cos cos cos 2 2 2 A B C A-B B-C C-A ⇔ 8sin sin sin = cos cos cos 2 2 2 2 2 2 ⇔ 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA) ⇔ sinA = sinB = sinC Bài toán 8. (ĐH&CĐ- 2002- TK6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3/2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, ⎛1 1⎞ ⎛ ⎞ 1 1 11 B, C của tam giác. Chứng minh: ⎜ + + ⎟ ⎜ + + ⎟ ≥ 3. . ⎝ a b c ⎠ ⎝ ha hb hc ⎠ Lời giải. 1 a để ý rằng aha = 2S ⇔ = ha 2S 1 1 1 1 (a + b + c) Suy ra: + + = ha hb hc 2S Bài toán 9. (ĐH&CĐ- A2003- TK2) 4
- ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ Tính các góc của tam giác ABC biết rằng: ⎨ A B C 2 3 − 3 ⎪sin sin sin = ⎩ 2 2 2 8 a+b+c trong đó BC = a, CA = b, Ab = c, p = . 2 Lời giải. ⎧4 p( p − a) ≤ bc (1) ⎪ ⎨A C 2 3 −3 B ⎪sin sin sin = (2) ⎩2 2 2 8 (b + c) 2 − a 2 a+b+c b+c−a 2bc(1 + cos A) (1) ⇔ 4. ≤ bc ⇔ ≤ 1⇔ ≤1 bc 2 2 bc A A3 A 3 ⇔ cos 2 ≤ 1/4 ⇔ sin 2 ≥ ⇔ sin ≥ 2 24 2 2 B −C B+C A B C 1 A − cos VT(2) = sin sin sin = sin ( cos ) 2 2 2 2 2 2 2 1⎡ 1⎤ 1 A A A1 ≤ sin ( 1 − sin ) = − ⎢(sin − ) 2 − ⎥ 2 2 2 2⎣ 22 4⎦ 2 1 1⎛ 3 1⎞ 2 2 3 −3 1 1⎛ A 1⎞ = - ⎜ sin − ⎟ ≤ − ⎜⎜ 2 − 2⎟ = ⎟ 8 2⎝ 8 8 2⎝ 2 2⎠ ⎠ B−C ⎧ =1 cos ⎪ ⎪ 2 ⇔ A = 1200, B = C = 300. Dấu = khi chỉ khi: ⎨ ⎪sin A = 3 ⎪ ⎩ 2 2 Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1) Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức: Q = sin2A + sin2B - sin2C đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải. 1 1 2 2 (1 − cos 2 A) + (1 − cos 2 B ) - - sin C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin C Ta có Q = 2 2 1 1 = 1 + cosCcos(A-B) - sin2C = [ cos C + cos( A − B )] − cos 2 ( A − B) ≥ − 2 4 4 ⎧cos( A − B ) = 1 ⎪ 1 ⇔ A = B = 300, C = 1200. minQ = - khi chỉ khi ⎨ 1 ⎪cos C = − 2 4 ⎩ Bài toán 11. (ĐH&CĐ- D2003- TK2) Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB Lời giải. 5
- (p - a)sin2A + (p - b)sin2B = csinAsinB ⇔ (p - a)a2 + (p - b)b2 = abc ( p − a)a ( p − b)b p( p − a) p ( p − b) ⇔ =1 ⇔ + .a + .b = p bc ca bc ca (b + c) 2 − a 2 (a + c)2 − b 2 ⇔ .b = p ⇔ a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c .a + bc ca ⇔ acosA + bcosB = c ⇔ sin2A + sin2B = 2sinC ⇔ sin(A - B) = 1. Bài toán 12. (ĐH&CĐ- A2004) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính các góc của tam giác. Lời giải. Cách 1. Đặt M = cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 B+C B −C = 2cos2A - 1 + 2 2 .2cos cos 2 2 B −C A A = 2cos2A + 4 2 .sin cos - 4 ≤ 2cos2A + 4 2 .sin - 4 2 2 2 A ≤ 2cosA + 4 2 .sin - 4 2 A A A = 2(1 - 2sin2 ) + 4 2 .sin - 4 = - 2( 2 .sin - 1)2 ≤ 0 2 2 2 ⎧ ⎪cos 2 A = cos A ⎪ B −C ⎪ 0 0 M = 0 ⇔ ⎨cos = 1 ⇔ A = 90 , B = C = 45 . 2 ⎪ ⎪ A 1 ⎪sin 2 = 2 ⎩ Cách 2. Từ giả thiết suy ra: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 B+C B −C ⇔ 1 - 2sin2A + 4 2 cos cos -3=0 2 2 B −C A ⇔ sin2A - 2 2 sin cos +1=0 2 2 A A Vì tam giác ABC không tù nên 0 < A/2 ≤ π /4. Suy ra sin > 0, cos ≥ 2 /2 2 2 A A A cos ≥ 2 sin Do đó: sinA = 2 sin 2 2 2 B −C B −C A A A ⇒ 0 = sin2A - 2 2 sin cos + 1 ≥ 2sin2 - 2 2 sin cos +1 2 2 2 2 2 6
- 2 B −C ⎞ 2 B−C ⎛ A ⇒ ⎜ 2 sin − cos ≤0 ⎟ + 1 − cos 2 2⎠ 2 ⎝ B −C A ⇒ cos = 1 và sin = 1/ 2 . 2 2 Cách 3. 2 B+C B −C ⎛ A⎞ A 2 - 3 ≤ 2 ⎜1 − 2sin 2 ⎟ 4 2 sin - 4 M = 2cos A - 1 + 4 2 cos cos 2 2 2⎠ 2 ⎝ A 2 = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t = sin ∈ (0; ] 2 2 2 Đặt g(t) = 8t4 - 8t2 + 4 2 t - 2, t ∈ (0; ] 2 6 Suy ra: g'(t) = 32t3 - 16t + 4 2 , g"(t) = 96t2 - 16 = 0 ⇔ t = (do t > 0) 6 Sự biến thiên của g(t): Từ đó: ming'(t) = g'( 6 /6) = - 16 6 /9 + 4 > 0. Suy ra g(t) đồng biến trên 2 ] ⇒ g(t) ≤ g( 2 /2) = 0. Vậy M ≤ 0. (0; 2 B −C A M = 0 ⇔ cos = 1 và sin = 1/ 2 . 2 2 Cách 4. Từ một điểm trong tam giác ABC vẽ các véc tơ đơn vị hướng ra ngoài và vuông góc các cạnh BC, CA, AB lần lượt là e1 , e2 , e3 . Xét bình phương vô hướng: 0 ≤ (2 e1 + 2 e2 + 2 e3 )2 = 8 - 4 2 coC - 4 2 coB - 4cosA ⇔ 2cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 4 ⇔ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 Ta có 2cos2A - 1 ≤ 2cosA - 1 Nên 2cos2A - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 2cosA - 1 + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 ⇔ cosA + 2 2 coC + 2 2 coB ≤ 3 π ⎧2 ⎧cos A = 0 ⎪cos A = cosA (0 < A ≤ ) ⎪ 2 ⇔⎨ Dấu = khi chỉ khi ⎨ ⎪e2 2 = −(2e1 + 2 e3 ) ⎪2e + 2 e + 2 e = 0 ⎩ ⎩1 2 3 ⎧ A = 900 ⎧ A = 900 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪2 = 6 + 4 2 e1.e3 ⎪2 = 6 − 4 2 cos B ⎩ ⎩ Cách 5. cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC - 3 = 0 ⇔ cos2A = - 2 2 cosB - 2 2 cosC +3 7
- ⇔ cos2A + 2cos2B + 2cos2C = 2cos2B - 2 2 cosB + 2cos2C - 2 2 cosC +3 ⇔ cos2A + 1 + cos2B + 1 + cos2C = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 ⇔ 2 - 1 - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 + 1 ⇔ - 4cosA cosB cosC = ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC ≤ 0 ( ABC không tù) Suy ra: ( 2 cosB - 1)2 + ( 2 cosC - 1)2 - 4cosA cosB cosC ≤ 0 ⎧ 2 cos B = 2 cos C = 1 ⎪ ⇔⎨ ⎪cos A cos B cos C = 0 ⎩ Bài toán 13. (CĐ Y Tế Nghệ An - 2004) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2 cosAcosBcosC Lời giải. 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B Cách 1. cos2A + cos2B + cos2C = + cos2C = + 2 2 = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - 2 cosAcosBcosC Cách 2. 1 - 2 cosAcosBcosC = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos2C = 1 1 1 (cos2A + cos2B) + cos2C = 1+ (2cos2A - 1) + (2cos2B - 1) = =1+ 2 2 2 = cos2A + cos2B + cos2C. Bài toán 14. (CĐSP Hải Dương - B2005) C Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả sinC = 2sinBsinAtan . 2 Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Lời giải. C C C ⇔ cos 2 = sin A sin B ⇔ 2 cos 2 = cos( A − B ) + cos C sinC = 2sinBsinAtan 2 2 2 ⇔ cos(A-B) = 1 ⇔ A - B = 0. Bài toán 15. (Bộ Quốc phòng- A2005) 1 a Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện thì + cotA = sinA c-b tam giác ABC là tam giác vuông. Lời giải. 1 a 1+ cosA sinA ⇔ + cotA = = sinA c-b sinA sinB - sinC A A A 2 cos 2 2sin cos 2 ⇔ sin A = sin B − C ⇔ A + C = B ⇔ B = π 2= 2 ⇔ B−C A A A 2 2 2 2sin cos 2sin sin 2 2 2 2 Bài toán 16. (CĐKTKTHải Dương -A2005) 8
- Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Lời giải. sin2A + sin2B + sin2C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) ⇔ 1 − cos 2 A 1 − cos 2 B 9 9 ⇔ sin2A + sin2B + sin2C = ⇔ + sin 2 C = ⇔ + 2 2 4 4 9 ⇔ 1 + cos(A - B) cosC + 1 - cos2C = ⇔ 4 2 ⇔ 4cos C - 4cos(A - B)cosC + 1 = 0 ⇔ ⇔ [2cosC - cos(A - B)]2 + 1- cos2(A - B) = 0 ⇔ ⎧2 cos C − cos( A − B) = 0 π ⇔⎨ ⇔ A = B, C = ⎩cos( A − B) = 1 6 Bài toán 17. Tam giác ABC thoả (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) = cosAcosBcosC Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. Để ý rằng 1 - cosA > 0, 1 - cosB > 0, 1 - cosC > 0. Suy ra cosAcosBcosC > 0 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C A B C (GT) ⇔ = 1 . Đặt x = tan , y = tan , z = tan . . cos A cos B cos C 2 2 2 1 − cos A 1 − cos B 1 − cos C 2y 1 2x 2z =1 ⇔ . . = . . 1 − x2 1 − y 2 1 − z 2 xyz cos A cos B cos C A B C ⇔ tanA.tanB.tanC = cot cot cot 2 2 2 A B C ⇔ tanA + tanB + tanC = cot + cot + cot (1) 2 2 2 A B C Ta chứng minh tanA + tanB + tanC ≥ cot + cot + cot . Dấu đẳng thức xảy 2 2 2 ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy: sin C 2sin C 2sin C C = ≥ tanA + tanB = = 2 cot . cos A cos B cos( A + B) + cos( A − B) 1 − cos C 2 Dấu đẳng thức khi chỉ khi A = B A Tương tự: tanB + tanC ≥ 2 cot . Dấu đẳng thức khi chỉ khi B = C 2 B tanC + tanA ≥ 2 cot . Dấu đẳng thức khi chỉ khi C = A 2 A B C Suy ra: tanA + tanB + tanC ≥ cot + cot + cot . 2 2 2 9
- Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. BÀI TẬP LÀM THÊM Bài toán 18. A A A tan 2 tan 2 tan 2 2+ 2+ 2 = 18 Tam giác ABC nhọn thoả A A A sin sin sin 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải. A C B tan 2 tan 2 tan 2 2+ 2+ 2 ≥ 18. Dắu đẳng thức xảy ra Cách 1. Ta chứng minh A C B sin sin sin 2 2 2 chỉ khi A = B = C. Thật vậy: (a + b + c) 2 a2 a2 a2 ≥ Ta có + + với a, b, c thực và x, y, z thực dương. x+ y+z x x x abc Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi = = xyz A C B tan 2 tan 2 tan 2 2 ≥ ( tan A + tan B + tan C ) ≥ (3 3) = 18 2 2 2+ 2+ A C B A B C 3 sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 tan A tan B tan C Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi = = và A = B = C . A B C sin sin sin 2 2 2 Cách 2. Ta có: ⎞ ⎛ ⎜ tg 2 A tg 2 B tg 2 C ⎟ ⎛ C⎞ A B ⎟ ≥ (tgA + tgB + tgC )2 ⎜ sin + sin + sin ⎟⎜ + + C⎟ 2 ⎠⎜ A B 2 2 ⎝ ⎜ sin sin sin ⎟ 2⎠ ⎝ 2 2 (tgA + tgB + tgC )2 tg 2 A tg 2 B tg 2 C ⇒P= + + ≥ A B C A B C sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C3 ; sin + sin + sin ≤ Vì: tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 2 2 22 (tgA + tgB + tgC ) ≥ 18 ⇒ P = tg A + tg B + tg 2C ≥ 18 . 2 2 2 Do đó: A B C A B C sin + sin + sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 10
- Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Bài toán 19. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C ≤ + + ; x, y, z > 0. 2 xyz y x z Lời giải. x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C ≤ + + 2 xyz y x z ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC ≤ x2 + y2 + z2 ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycos(A + B) ≤ x2 + y2 + z2 ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB - 2xycosAcosB + 2xysinAsinB ≤ x2(sin2B + cos2B) + + y2(sin2A + cos2A)+ z2 2 2 ⇔ (xcosB + cosA - z) + (xsinB - ysinA) ≥ 0. Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi ⎧ x sin A ⎪ y = sin B ⎧ x cos B + y cos A − z = 0 ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎩ x sin B − y sin A = 0 ⎪ z = y sin A cos B + y cos A = y sin C ⎪ ⎩ sin B sin B ⇔ x : y : z = sinA : sinB : sinC. áp dụng 1: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng F = 3 cosA + 3(cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất. áp dụng 2: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 1 1 1 5 cosA + cosB + cosC = 3 4 5 12 Bài toán 20. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 2 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎟ ≥ ⎜2+ ⎜1 + ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ sin A ⎠ ⎝ sin B ⎠ ⎝ sin C ⎠ ⎝ 3⎠ Lời giải. Trước hết ta chứng minh: Với x, y, z > 0 và x + y + z ≤ S. 2 1 ⎛ 1⎞ Khi đó ⎛ 1 + ⎞ ⎜1 + ⎟⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ ⎟ y⎠ ⎝ x⎠ ⎝ ⎝ z⎠ ⎝ S⎠ 1 1 1 Thật vậy: VT = 1 + ∑ + ∑ + x xy xyz 1 9 9 Mặt khác: ∑ ≥ ≥ x ∑x S 1 27 S ≥ ∑ x ≥ 3 3 xyz ⇒ ≥3 xyz S 11
- 2 2 ⎛1⎞ ⎛ 27 ⎞ 1 27 ∑ xy ≥ 3 3 ⎜ xyz ⎟ ≥ 3 3 ⎜ S 3 ⎟ = S 2 ⎝⎠ ⎝ ⎠ 3 Suy ra VT ≥ 1 + + 2 + 3 = ⎛1 + ⎞ 9 27 27 3 ⎜ ⎟ ⎝ S⎠ SS S Bây giờ chỉ cần để ý rằng x + y = z = sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 Bài toán 21. Xác định các góc của tam giác ABC biết rằng 2 (cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất. F = cosAsinBsinC + sinA + 2 Lời giải. ⎛ A⎞ A A 2 Ta có F = ⎜1 − 2sin 2 ⎟ sin B sin C + 2 cos sin + (cos B + cos C ) = 2⎠ 2 2 2 ⎝ ⎛ A⎞ A 2 A + 2 ⎜ cos ⎟ sin + (cos B + cos C ) + sin B sin C = -2sinBsinCsin 2 2⎠ 2 2 ⎝ 2 A A A cos cos cos A 2= 1 2 2 F đạt max khi chỉ khi sin = = ≥ 2 2sin B sin C cos( B − C ) + cos A 1 + cos A 2 cos A 2 ⇒ sinA ≥ 1 ⇒ sinA = 1 ⇒ A = 900. Khi đó cos(B - C) = 1 ⇒ B = C Bài toán 22. Nhận dạng tam giác ABC có ba góc thỏa mãn 17 2 cos A sin B sin C + 3 (sin A + sin B + sin C ) = . 14 b 2 + c 2 − a 2 sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A Lời giải: Ta có cos A = = ⇒ 2 cos A sin B sin C 2bc 2 sin B sin C 17 = sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A . Do đó 2 cos A sin B sin C + 3 (sin A + sin B + sin C ) = 14 17 ⇔ sin 2 B + sin 2 C − sin 2 A + 3 (sin A + sin B + sin C ) = a–v 14 ( )( )( ) 17 ⇔2– cos 2 C − 3 cos C − cos 2 B − 3 cos B − cos 2 A − 3 cos A = 4 2 2 2 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ ⎟ = 0 ⇒ Tam giác cân tại A và ⇔ ⎜ cos C − ⎟ + ⎜ cos B − ⎟ + ⎜ sin A − 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2π A= . 3 Bài toán 23. Nhận dạng tam giác ABC, biết ⎛ ⎞ ⎜1 ⎟ 1 1 1 1 1 + + = 2⎜ + + ⎟ A B C A B C ⎜ sin ⎟ sin 2 sin 2 sin 2 sin sin ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 12
- HD. Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có 2 ⎛ ⎞ 1⎜ 1 1⎟ 1 1 1 1 ≥⎜ ⎟ + + + + 2A 2B 2C A B C⎟ 3⎜ sin sin sin ⎜ sin sin sin ⎟ 2 2 2 2 2 2⎠ ⎝ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 ⎟⎜ 1 1⎟ 1 1⎜ 1 1 ⎟⎜ ⎟ (1) . = + + + + A B C ⎟⎜ A B C⎟ 3⎜ sin ⎟ ⎜ sin sin sin ⎟ ⎜ sin sin 2 2 2⎠ 2 2 2 ⎠⎝ ⎝ 1 1 1 3 ≥ 6 (2) + + ≥ Mặt khác A B C A B C sin sin sin 3 sin . sin . sin . 2 2 2 2 2 2 Thay (2) vào (1) ta có kết quả. Bài toán 24. Tam giác nhọn ABC có ba góc thỏa mãn tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C = 3tgAtgBtgC , là tam giác gì? Lời giải. Từ giả thiết 3 góc A,B,C đều nhọn. Ta có: tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC ≥ 33 tgAtgBtgC ⇒ (tgAtgBtgC )2 ≥ 27 ⇒ (tgAtgBtgC ) ≥ 27(tgAtgBtgC ) 8 6 ( (tgAtgBtgC) ) ≥ 3(tgAtgBtgC ) 8 2 ⇔ (1) 3 Mà: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 33 (tgAtgBtgC ) 8 ( 2) Từ (1) và(2) ta có: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 3tgAtgBtgC . Để thỏa mãn đề toán thì đẳng thức xảy ra ⇒ Tam giác ABC đều. Bài toán 25. Δ ABC là tam giác bất kỳ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 ta có : A B C + tg n + tg n tg n 1− n 2 2 2 ≥3 2 . A B C tg + tg + tg 2 2 2 A B C + tg + tg ≥ 3 . Lời giải. Áp dụng BĐT quen thuộc : tg 2 2 2 A B C Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ΔABC đều . Từ BĐT có : 3tg + 3tg + 3tg ≥ 3 . 2 2 2 A B C Rõ ràng : tg , tg , tg > 0 ∀A, B, C ∈ (0; π ) . 2 2 2 A B C Áp dụng BĐT cho : a1 = 3tg , a 2 = 3tg , a 3 = 3tg , ta có 2 2 2 13
- n −1 n −1 n −1 n n n ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ C⎞ ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎛ C⎞ ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ ≥ ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ + ⎜ 3tg ⎟ ≥ ... ≥ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎛A C⎞ B ≥ 3 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝2 2 2⎠ Từ đó ta thu được BĐT . Dấu bằng xảy ra ⇔ ΔABC đều . ( ) ⎧sin B = 2 − cos C sin A (1) ⎪ Bài 26. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ⎨ , tam ( 2 − cos B ) sin A ⎪sin C = (2) ⎩ giác trên là tam giác gì ? Lời giải. Lấy (1) – (2) ⇒ sin B − sin C = sin A ( cos B − cos C ) ⇒ B = C ⎧sin B − sin C < 0 ⎪ Vì nếu B < C ⇒ cosB > cos C ⇒ ⎨ ⎪sin A ( cos B − cos C ) > 0 ⎩ Tương tự B > C đều dẫn đến sin B − sin C ≠ sin A(cos B − cos C ) . Thế vào (1) , ta có ( ) ( ) ( ) 2 − cos B sin ( B + C ) = sin B = 2 − cos B sin 2 B ⇒ 1 = 2 − cos B .2 cos B 2 cos B + 1 = 0 ⇒ ( 2 cos B + 1) 1 2 ⇒ 2 cos 2 B − 2 = 0 ⇒ cos B = ⇒ B = 450 , C = 450 . 2 Tam giác vuông cân ở . Bài toán 27. Gọi A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ A− B B −C C−A A B C 1 + cos 2 + cos 2 − 2 = cos là: cos 2 . cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải. Dùng công thức hạ bậc, bài toán tương đương A− B B−C C−A 2 ( cos A + cos B + cos C − 1) = cos . cos cos 2 2 2 A− B B −C C−A A B C ⇔ 8 sin sin sin = cos .(1) cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C Nhân hai vế cho 8cos cos cos , ta có 2 2 2 (1) ⇔ 8sin A sin B sin C = ( sin A + sin B ) ( sin B + sin C ) ( sin C + sin A ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ A = B = C ( do BĐT Cauchy). ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ Bài toán 28. Tính các góc tam giác ABC, biết rằng ⎨ A B C 2 3 − 3 ⎪sin sin sin = ⎩2 2 2 8 1 HD. Ta có 4 p ( p − a ) ≤ bc ⇔ cos A ≤ ⇒ A ≥ 1200 . 2 14
- 2 B −C B+C ⎞ C 1⎛ A 1⎛ A⎞ 1⎛ A 1⎞ 1 A B A sin sin = ⎜ cos − cos ⎟ sin ≤ ⎜ 1 − sin ⎟ sin = − ⎜ sin − ⎟ + sin 2 2⎝ 2⎠ 2 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2 2⎠ 8 2 2 2 2 . 2 A 1 ⎞ 1 2 3 −3 1⎛ A 3 Mặt khác vì A ≥ 120 ⇒ sin ≥ sin 600 = ⇒ − ⎜ sin − ⎟ + ≤ (*) 0 2⎝ 2 2⎠ 8 2 2 8 C 2 3 −3 A B Hay sin sin sin ≤ . Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì BĐT (*) xảy ra 2 2 2 8 đẳng thức ⎧ A = 1200 ⎪ Khi và chỉ khi ⎨ ⎪ B = C = 30 0 ⎩ Bài toán 29. Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng ( p − a)sin 2 A + ( p − b) sin 2 B = c.sin A.sin B . HD. Dùng định lí hàm sin ta có bài toán tương đương ( p − a )a ( p − b)b p ( p − a )a p ( p − b)b + =1⇔ + = p (1). bc ac bc ac p( p − a)a 1 p ( p − b)b 1 = (1 + cos A), = (1 + cos B ) . Chú ý bc 2 ac 2 Do đó (1) ⇔ a cos A + b cos B = c ⇔ A = B . Bài 10. Tam giác ABC có ba góc thỏa 3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2cos C ) = 15 là tam giác gì? Lời giải. Bài toán tương đương (3cosB + 4sinB) + (8cosC + 6sinC) = 15. Áp dụng bất đẳng thức BCS trong từng dấu ngoặc , suy ra kết quả. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⎧ cos B s inB ⎪3=4 ⎧cos B = sin C π ⎪ ⇔ A= . ⇔⎨ ⎨ ⎩sin B = cos C ⎪ cos C = sin C 2 ⎪8 ⎩ 6 Bài toán 30 .Nhận dạng tam giác ABC, biết 1 1 1 1 + + = sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 cos A cos sB cos sC Lời giải. Ta có 1 1 2 1 1 2 + ≥ +2 ≥ , , 2 2 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 A.sin 2 B sin 2 B sin 2C sin 2 B.sin 2C 1 1 2 +2 ≥ .Do đó 2 sin 2 A sin 2C sin 2 A.sin 2C 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + = sin 2 A sin 2 B sin 2C sin 2 A.sin 2 B sin 2 B.sin 2C sin 2 A.sin 2C sin 2 A + sin 2 B + sin 2C 1 = sin 2 sin 2 B sin 2C 2 cos A cos sB cos sC 15
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Sai lầm khi giải các bài toán tam thưc bậc hai
3 p |
2400 |
915
-
Các bài toán Hidrocacbon và phương pháp giải
6 p |
994 |
342
-
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
15 p |
641 |
216
-
Các phương pháp giúp giải nhanh các bài toán hóa học
14 p |
336 |
132
-
Lượng giác - 6.Lượng giác và các bài toán dãy số
12 p |
333 |
107
-
Tuyển chọn và giải các bài toán tổ hợp qua các kì thi đại học
12 p |
313 |
101
-
Bảo toàn khối lượng trong các bài toán hữu cơ đáp án và hướng dẫn giải bài tập tự luyện
0 p |
50 |
18
-
Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan qua các kì thi tuyển sinh ĐH
4 p |
59 |
17
-
Bảo toàn nguyên tố trong các bài toán hữu cơ tài liệu bài giảng
0 p |
67 |
16
-
Tam giác trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
14 p |
58 |
16
-
Vấn đề giải toán và nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài toán
0 p |
49 |
9
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Tài liệu bài giảng)
1 p |
29 |
5
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Bài tập tự luyện)
1 p |
42 |
4
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Hướng dẫn giải bài tập tự luyện)
1 p |
27 |
2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Bài tập tự luyện)
1 p |
23 |
2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P2 (Hướng dẫn giải bài tập tự luyện)
1 p |
34 |
2
-
Luyện thi Đại học Kit 1 - Môn Toán: Các bài toán khoảng cách_P1 (Tài liệu bài giảng)
1 p |
30 |
2

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Set-Cookie: TLDEVNamespace=iqd183mvf8kv8m4iff7i7ti8d0; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly