text:
Đại số sơ cấp
Đại số sơ cấp bao gồm những khái niệm cơ bản của đại số, một phân nhánh của toán học. Đại số sơ cấp thường được dạy ở cấp trung học cơ sở và được xây dựng dựa trên những hiểu biết về số học. Trong khi số học liên quan tới những con số cụ thể, đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến số. Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được sử dụng trong số học. Khác với đại số trừu tượng, đại số sơ cấp không quan tâm tới cấu trúc đại số ngoài số thực và số phức.
Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn. Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán học thường được biểu diễn dưới dạng phương trình đại số.
Mục lục
- 1 Ký hiệu đại số
- 2 Các khái niệm
- 3 Giải các phương trình đại số
- 3.1 Phương trình tuyến tính với một biến số
- 3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số
- 3.3 Phương trình bậc hai
- 3.4 Phương trình số mũ và phương trình lôgarit
- 3.5 Phương trình căn thức
- 3.6 Hệ phương trình tuyến tính
- 3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác
- 3.8 Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình
- 4 Chú thích
Ký hiệu đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện. Nó tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có những thuật ngữ riêng. Ví dụ, biểu thức có những thành tố sau:
1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số, : các biến số
Một hệ số là một giá trị số nhân với biến số (toán tử được bỏ qua), số hạng là một hạng thức, một nhóm các hệ số, biến số, hằng số và số mũ được phân tách với những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ.[1] Các biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ cái. Theo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví dụ ) thường dùng để biểu diễn các hằng số và các chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ and ) thường được dùng để biểu diễn các biến số.[2] Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng.[3]
Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính trong số học,[4] ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa[5] và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại số. Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua, và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng. Ví dụ, được viết thành , và có thể được viết thành .[6].
Thường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về bên trái, ví dụ, sẽ được viết về bên trái của . Khi một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ được viết thành ).[7] Cũng như vậy, khi số mũ là một (ví dụ được viết thành ).[8]. Khi số mũ là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ luôn được viết lại thành 1).[9] Tuy nhiên , là một số không xác định, không được xuất hiện trong biểu thức, và cần phải chú ý khi rút gọn các biểu thức trong đó các biến số xuất xuất hiện dưới dạng số mũ.
Các khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]
Biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học[10] bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện những số chung (không xác định). Điều này đem lại một vài lợi ích:
- Biến số đại diện cho những số chưa biết giá trị. Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, T, là 20 độ cao hơn nhiệt độ ngày hôm qua, Y, thì bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng toán học là .[11]
- Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung,[12] mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số có liên quan.Ví dụ, người ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng với giây. Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu tả số giây, , trong đó m là số phút.
- Biến số cho phép miêu tả những mối quan hệ toán học giữa những con số có thể dao động.[13] Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, c, và đường kính, d, của một đường tròn có thể được biểu diễn là .
- Biến số cho phép mô tả một vài tính chất của toán học. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép cộng là tính giao hoán, trong đó nêu rõ rằng trật tự của các số được cộng không quan trọng. Tính giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là .[14]
Đánh giá biểu thức[sửa | sửa mã nguồn]
Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa). Ví dụ,
- Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng hệ số. Ví dụ, có thể được rút gọn thành (trong đó 3 là hệ số)
- Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách sử dụng số mũ. Ví dụ, có thể được biểu diễn là
- Cũng giống như các số hạng được cộng với nhau,[15] ví dụ, được viết thành , bởi các số hạng được cộng lại với nhau, các số hạng cũng được cộng lại với nhau.
- Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ, có thể được viết thành , và có thể được viết thành
- Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví dụ, , chia cả hai số hạng với ta có thể viết thành
Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]
Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức, (dấu bằng).[16] Một trong những phương trình nổi tiếng nhất mô tả định luật Pythago liên quan đến chiều dài các cạnh của một tam giác vuông.[17]
Phương trình này thể hiện rằng , đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được đại diện bằng các chữ cái và
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ ); những phương trình như vậy được gọi là đồng nhất thức. Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ chỉ đúng khi hoặc ). Những giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông qua giải phương trình.
Một dạng phương trình khác gọi là bất đẳng thức. Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là: , trong đó có nghĩa là 'lớn hơn', và trong đó có nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải được đổi ngược lại.
Tính chất của đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]
Theo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "quan hệ tương đương", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ ), đối xứng (ví dụ nếu thì ), và bắc cầu (ví dụ nếu và thì )[18] trong đó:
- Nếu và thì và ;
- Nếu thì ;
- Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể thay thế cho bên còn lại
Tính chất của bất đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]
Mối quan hệ 'nhỏ hơn' và 'lớn hơn' có tính chất bắc cầu:[19]
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì ;
- Nếu và thì .
Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng ta có thể đảo dấu và ,[20], ví dụ
- tương đương với
Giải các phương trình đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trình đại số thường gặp
Phương trình tuyến tính với một biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường thẳng (tuyến tính có nghĩa là đường thẳng). Phương trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số. Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà không có số mũ. Ví dụ, xem xét:
Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: , trong đó là số tuổi của con trai tôi
Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.[21] Nghiệm của phương trình này là như sau:
Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một biến số, có thể được viết là:
Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho và chia cho ) đáp số của phương trình là
Phương trình tuyến tính với hai biến số[sửa | sửa mã nguồn]
Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm. Ví dụ:
Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương: trong đó là tuổi của tôi và là tuổi của con trai tôi.
Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán. Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số.
Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:
Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):[22]
Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi.
Phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng với số mũ là 2, ví dụ, ,[23] và không có số hạng nào với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng ,[24] trong đó khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình tuyến tính chứ không còn là bậc hai). Bởi vậy phương trình bậc hai phải chứa số hạng , số hạng được biết đến là số hạng bậc hai. Do , chúng ta có thể chia cho và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu chuẩn.
Trong đó và . Giải phương trình này, bằng một quá trình gọi là phần bù bình phương, sẽ dẫn đến công thức bậc hai
Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả
là nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng phân tích nhân tử. Một ví dụ của phân tích nhân tử:
Cũng tương đương với:
Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích của không với cả hoặc là nghiệm của phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ số phức, nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ số thực. Ví dụ,
không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình phương lại bằng −1.
Phương trình số mũ và phương trình lôgarit[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình số mũ là phương trình có dạng với ,[25] nghiệm của phương trình là
khi . Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp số. Ví dụ nếu
thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai vế cho 3 chúng ta có
Do đó
Hoặc
Phương trình lôgarit là phương trình dạng với , trong đó nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có
Do đó
Từ đó ta rút ra được
Phương trình căn thức[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình căn thức là phương trình có một dấu căn, , bao gồm cả căn bậc ba, và căn bậc n, . Cần nhớ rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi thế tương đương với . Kết hợp với số mũ bình thường, thì (căn bậc hai của x lập phương) có thể viết lại thành .[26] Vậy nên dạng thức chung của phương trình căn thức là (tương đương với ) trong đó và là số nguyên, và có nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì
- .
Hệ phương trình tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]
Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các phương trình tuyến tính với hai biến số
Phương pháp khử[sửa | sửa mã nguồn]
Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử
Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2
Cộng hai phương trình lại ta có
Rồi rút gọn
Khi ta đã biết thì ta có thể tìm ra bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. Nghiệm của hai phương trình sẽ là
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
Phương pháp thay thế[sửa | sửa mã nguồn]
Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến tính là phương pháp thay thế
Ta có thể tìm bằng cách sử dụng một trong hai phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai
Trừ cho hai vế của phương trình
và nhân hai vế với -1:
Thay giá trị vào phương trình đầu tiên của hệ phương trình gốc:
Cộng 2 vào hai vế của phương trình:
Rút gọn thành
Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình, ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp trước
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; có thể được giải trước .
Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác[sửa | sửa mã nguồn]
Hệ phương trình không giải được[sửa | sửa mã nguồn]
Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ
Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được. Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới đây
Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với -1 ta có:
Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên
Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được trong phương trình thứ hai
Hệ phương trình bất định (không xác định được)[sửa | sửa mã nguồn]
Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị và ). Ví dụ
Tách trong phương trình thứ hai
Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình
Bất đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của . Thực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách điền vào giá trị ) với bất cứ nào ta cũng đều có đáp số miễn là . Vì thế phương trình này có vô số nghiệm
Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình[sửa | sửa mã nguồn]
Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình
Nếu một phương trình là bội của phương trình còn lại, thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:
có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác
Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ phương trình đó không giải được. Ví dụ:
Phương trình thứ hai đem tới kết quả đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một phương trình có phải là bội của phương trình còn lại không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể. Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời giải.
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần thiết để có thể giải được phương trình.
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions[27] 2006,[28] 1822.
- Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
- Redden, John. Elementary Algebra. Flat World Knowledge, 2011
- ^ Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Introductory Algebra: An Applied Approach, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042, 9781439046043, page 78
- ^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
- ^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
- ^ Horatio Nelson Robinson, New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, page 7
- ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach, Publisher: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X, 9780618851959, 1114 pages, page 6
- ^ Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook, Publisher Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827, 9789812738820, page 68
- ^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
- ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
- ^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222
- ^ Thomas Sonnabend, Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665, 9780495561668, 759 pages, page xvii
- ^ Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students, Publisher: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727, 9780534999728, 654 pages, page 48
- ^ Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147, 9780764129148, 230 pages, page 2
- ^ Ron Larson, Kimberly Nolting, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275, 9780547102276, 622 pages, page 210
- ^ Charles P. McKeague, Elementary Algebra, Publisher: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217, 9780840064219, 571 pages, page 49
- ^ Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores, Publisher Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880, 9781419552885, 288 pages, page 51
- ^ Mark Clark, Cynthia Anfinson, Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications, Publisher Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380, 9780534419387, 793 pages, page 134
- ^ Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Elementary and Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689, 9781111567682, 1163 pages, page 493
- ^ Douglas Downing, Algebra the Easy Way, Publisher Barron's Educational Series, 2003, ISBN 0764119729, 9780764119729, 392 pages, page 20
- ^ Ron Larson, Robert Hostetler, Intermediate Algebra, Publisher Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524, 9780618753529, 857 pages, page 96
- ^ Chris Carter, Physics: Facts and Practice for A Level, Publisher Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X, 9780199147687, 144 pages, page 50
- ^ Slavin, Steve (1989). All the Math You'll Ever Need. John Wiley & Sons. tr. 72. ISBN 0-471-50636-2.
- ^ Cynthia Y. Young, Precalculus, Publisher John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849, 9780471756842, 1175 pages, page 699
- ^ Mary Jane Sterling, Algebra II For Dummies, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819, 9780471775812, 384 pages, page 37
- ^ Sharma/khattar, The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E, Publisher Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631, 9788131723630, 1248 pages, page 621
- ^ Aven Choo, LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011, 9789810600013, page 105
- ^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 525
- ^ Euler's Elements of Algebra
- ^ Elements of algebra – Leonhard Euler, John Hewlett, Francis Horner, Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange – Google Books

markdown:
# Đại số sơ cấp
**Đại số sơ cấp** bao gồm những khái niệm cơ bản của [đại số](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91), một phân nhánh của [toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc). Đại số sơ cấp thường được dạy ở cấp [trung học cơ sở](/w/index.php?title=Trung_h%E1%BB%8Dc_c%C6%A1_s%E1%BB%9F&action=edit&redlink=1) và được xây dựng dựa trên những hiểu biết về [số học](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc). Trong khi số học liên quan tới những con số cụ thể, đại số giới thiệu những con số không có giá trị cố định, được gọi là các biến số. Việc sử dụng biến số đòi hỏi phải sử dụng ký hiệu đại số và hiểu các quy tắc chung của các phép tính được sử dụng trong số học. Khác với [đại số trừu tượng](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng), đại số sơ cấp không quan tâm tới [cấu trúc đại số](/w/index.php?title=C%E1%BA%A5u_tr%C3%BAc_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1) ngoài [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c) và [số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c).
Việc sử dụng các biến số để biểu hiện các con số cho phép biểu diễn chính xác mối quan hệ chung giữa những con số, do đó giúp giải quyết bài toán rộng hơn. Phần lớn các kết quả định lượng trong khoa học và toán học thường được biểu diễn dưới dạng
[phương trình](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh) đại số.
## Mục lục
[1 Ký hiệu đại số](#K.C3.BD_hi.E1.BB.87u_.C4.91.E1.BA.A1i_s.E1.BB.91) [2 Các khái niệm](#C.C3.A1c_kh.C3.A1i_ni.E1.BB.87m) [3 Giải các phương trình đại số](#Gi.E1.BA.A3i_c.C3.A1c_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_.C4.91.E1.BA.A1i_s.E1.BB.91) [3.1 Phương trình tuyến tính với một biến số](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_v.E1.BB.9Bi_m.E1.BB.99t_bi.E1.BA.BFn_s.E1.BB.91) [3.2 Phương trình tuyến tính với hai biến số](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_v.E1.BB.9Bi_hai_bi.E1.BA.BFn_s.E1.BB.91) [3.3 Phương trình bậc hai](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_b.E1.BA.ADc_hai) [3.4 Phương trình số mũ và phương trình lôgarit](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_s.E1.BB.91_m.C5.A9_v.C3.A0_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_l.C3.B4garit) [3.5 Phương trình căn thức](#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_c.C4.83n_th.E1.BB.A9c) [3.6 Hệ phương trình tuyến tính](#H.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh) [3.7 Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác](#C.C3.A1c_d.E1.BA.A1ng_h.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_tuy.E1.BA.BFn_t.C3.ADnh_kh.C3.A1c) [3.8 Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình](#M.E1.BB.91i_quan_h.E1.BB.87_gi.E1.BB.AFa_t.C3.ADnh_gi.E1.BA.A3i_.C4.91.C6.B0.E1.BB.A3c_v.C3.A0_t.C3.ADnh_b.E1.BB.99i_c.E1.BB.A7a_h.E1.BB.87_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh)
-
[4 Chú thích](#Ch.C3.BA_th.C3.ADch)
## Ký hiệu đại số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=1)]
Ký hiệu đại số miêu tả cách đại số được biểu hiện. Nó tuân theo một vài quy tắc và quy ước nhất định, và có những thuật ngữ riêng. Ví dụ, biểu thức
có những thành tố sau:
1: số mũ, 2: hệ số, 3: số hạng, 4: toán tử, 5: hằng số,
: các biến số
Một
*hệ số* là một giá trị số nhân với biến số (toán tử được bỏ qua), *số hạng* là một hạng thức, một nhóm các [hệ số](/wiki/H%E1%BB%87_s%E1%BB%91), [biến số](/wiki/Bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91), [hằng số](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91) và [số mũ](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_m%C5%A9&action=edit&redlink=1) được phân tách với những số hạng khác bằng các dấu cộng và trừ. Các biến số và hằng số thường được biểu diễn bằng các chữ cái. Theo quy ước, các chữ cái ở đầu của bảng chữ cái (ví dụ [1] ![ a, b, c](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/4/a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png)
[hằng số](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91)và các chữ cái ở cuối bảng chữ cái (ví dụ ![ x, y](http://upload.wikimedia.org/math/f/1/0/f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png)
![ z](http://upload.wikimedia.org/math/f/b/a/fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png)
[biến số](/wiki/Bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91). Chúng thường được viết bằng chữ nghiêng. [[2]](#cite_note-2) [[3]](#cite_note-3)
Các phép tính đại số hoạt động giống các phép tính trong
[số học](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%8Dc), ví dụ như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa [4] và được áp dụng cho các biến số và số hạng đại số. Biểu tượng thể hiện phép nhân thường được bỏ qua, và được ngầm hiểu khi không có khoảng trống giữa hai biến số và số hạng, hoặc khi một số hạng được sử dụng. Ví dụ, [[5]](#cite_note-5) ![ 3 \times x^2](http://upload.wikimedia.org/math/5/e/a/5ea2848631fcb6d7177024cd6af96ed4.png)
![ 3x^2](http://upload.wikimedia.org/math/3/8/2/3822d5fcd5532c33edbfd37b1f0147c9.png)
![ 2 \times x \times y](http://upload.wikimedia.org/math/a/9/6/a965706e5a85d126113501f2421d42ff.png)
![ 2xy](http://upload.wikimedia.org/math/b/1/f/b1f1298ffb25acf6de2a38d9063886c1.png)
. [[6]](#cite_note-6)
Thường các số hạng với số mũ cao nhất được viết về bên trái, ví dụ,
sẽ được viết về bên trái của
. Khi một số hạng là một, số một thường được bỏ qua (ví dụ
được viết thành
).
Cũng như vậy, khi số mũ là một (ví dụ [7] ![ 3x^1](http://upload.wikimedia.org/math/b/2/a/b2a55ab6a1f1efabf01661a03a81dd88.png)
![ 3x](http://upload.wikimedia.org/math/c/6/8/c68ebab7a1e74618506a0a1fabe54186.png)
. Khi số mũ là không, kết quả luôn là 1 (ví dụ [[8]](#cite_note-8) ![ x^0](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/b/59b95a7f867ce9d4e0f0b5f86f1260ff.png)
Tuy nhiên [[9]](#cite_note-9) ![ 0^0](http://upload.wikimedia.org/math/4/3/d/43d8b0e5ad9203ccbba6c2625f7a3cb7.png)
## Các khái niệm[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=2)]
### Biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=3)]
Đại số sơ cấp xây dựng và mở rộng số học
bằng cách giới thiệu các chữ cái được gọi là biến số để thể hiện những số chung (không xác định). Điều này đem lại một vài lợi ích: [10] **Biến số đại diện cho những số chưa biết giá trị**. Ví dụ, nếu nhiệt độ ngày hôm nay, *T*, là 20 độ cao hơn nhiệt độ ngày hôm qua, *Y*, thì bài toán có thể được biểu diễn dưới dạng toán học là
.
[[11]](#cite_note-11) **Biến số cho phép ta biểu diễn những bài toán chung,**.Ví dụ, người ta có thể nêu cụ thể 5 phút bằng với mà không cần phải cụ thể hóa giá trị của những con số có liên quan [[12]](#cite_note-12)
giây. Một cách mô tả chung hơn bằng đại số có thể miêu tả số giây,
, trong đó m là số phút.
**Biến số cho phép miêu tả những mối quan hệ toán học giữa những con số có thể dao động**. Ví dụ, mối quan hệ giữa chu vi, [[13]](#cite_note-13) *c*, và đường kính, *d*, của một đường tròn có thể được biểu diễn là
.
**Biến số cho phép mô tả một vài tính chất của toán học**. Ví dụ, một tính chất cơ bản của phép cộng là tính [giao hoán](/wiki/Giao_ho%C3%A1n), trong đó nêu rõ rằng trật tự của các số được cộng không quan trọng. Tính giao hoán có thể được thể hiện dưới dạng đại số là
.
[[14]](#cite_note-14)
### Đánh giá biểu thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=4)]
Những biểu thức đại số có thể được đánh giá và rút gọn, dựa trên những tính chất cơ bản của các phép tính số học (
[cộng](/wiki/C%E1%BB%99ng), [trừ](/wiki/Tr%E1%BB%AB), [nhân](/wiki/Nh%C3%A2n), [chia](/wiki/Chia) và [lũy thừa](/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa)). Ví dụ,
- Các số hạng cộng có thể được rút gọn bằng cách sử dụng hệ số. Ví dụ,
có thể được rút gọn thành
(trong đó 3 là hệ số)
- Các số hạng nhân có thể được rút gọn bằng cách sử dụng số mũ. Ví dụ,
có thể được biểu diễn là
- Cũng giống như các số hạng được cộng với nhau,
ví dụ, [[15]](#cite_note-15)
được viết thành
, bởi các số hạng
được cộng lại với nhau, các số hạng
cũng được cộng lại với nhau.
- Các số trong ngặc có thể được nhân với số bên ngoài bằng cách sử dụng tính phân phối. Ví dụ,
có thể được viết thành
, và có thể được viết thành
- Các biểu thức có thể đưa các nhân tử ra ngoài. Ví dụ,
, chia cả hai số hạng với
ta có thể viết thành
### Phương trình[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=5)] [Tập tin:Pythagoras.gif](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%E1%BA%A3i_l%C3%AAn&wpDestFile=Pythagoras.gif) [Định lý Pythago](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Pythago)đối với tam giác vuông, trong đó thể hiện mối quan hệ đại số giữa cạnh huyền, và hai cạnh còn lại của một tam giác.
Một phương trình mô tả hai biểu thức là bằng nhau bằng cách sử dụng biểu tượng của đẳng thức,
(dấu bằng).
Một trong những phương trình nổi tiếng nhất mô tả định luật Pythago liên quan đến chiều dài các cạnh của một [16] [tam giác vuông](/wiki/Tam_gi%C3%A1c_vu%C3%B4ng). [[17]](#cite_note-17)
Phương trình này thể hiện rằng
, đại diện cho bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông), bằng tổng (phép cộng) bình phương hai cạnh còn lại, được đại diện bằng các chữ cái
và
Phương trình là một sự xác nhận rằng hai biểu thức có cùng giá trị và bằng nhau. Một vài phương trình đúng với tất cả các giá trị của các biến số liên quan (ví dụ
); những phương trình như vậy được gọi là
[đồng nhất thức](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93ng_nh%E1%BA%A5t_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1). Những phương trình điều kiện đúng với một số giá trị của các biến số liên quan (ví dụ
chỉ đúng khi
hoặc
). Những giá trị của các biến làm cho phương trình đó đúng chính là nghiệm của phương trình và có thể tìm thấy thông qua
[giải phương trình](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3i_ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh&action=edit&redlink=1).
Một dạng phương trình khác gọi là
[bất đẳng thức](/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c). Các bất đẳng thức được dùng để chỉ ra rằng một vế của phương trình lớn, hoặc nhỏ hơn, vế còn lại. Các biểu tượng được sử dụng cho bất đẳng thức là:
, trong đó
có nghĩa là 'lớn hơn', và
trong đó
có nghĩa là 'nhỏ hơn'. Cũng giống như phương trình đẳng thức tiêu chuẩn, các số của bất đẳng thức có thể được cộng, trừ, nhân, chia. Trường hợp ngoại lệ duy nhất là khi nhân và chia với một số âm, dấu bất đẳng thức phải được đổi ngược lại.
### Tính chất của đẳng thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=6)]
Theo định nghĩa, đẳng thức tuân thủ theo một số "
[quan hệ tương đương](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_t%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%C6%B0%C6%A1ng)", bao gồm (a) phản xạ (ví dụ
), đối xứng (ví dụ nếu
thì
), và bắc cầu (ví dụ nếu
và
thì
)
trong đó: [18]
- Nếu
và
thì
và
;
- Nếu
thì
;
- Nêu hai ký hiệu là bằng nhau thì một bên có thể thay thế cho bên còn lại
### Tính chất của bất đẳng thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=7)]
Mối quan hệ 'nhỏ hơn'
và 'lớn hơn'
có tính chất bắc cầu:
[[19]](#cite_note-19)
- Nếu
và
thì
;
- Nếu
và
thì
;
- Nếu
và
thì
;
- Nếu
và
thì
.
Chú ý rằng bằng cách nghịch đảo phương trình, chúng ta có thể đảo dấu
và
,
, ví dụ [20]
tương đương với
## Giải các phương trình đại số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=8)]
Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trình đại số thường gặp
### Phương trình tuyến tính với một biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=9)]
Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường thẳng (
*tuyến tính* có nghĩa là đường thẳng). Phương trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số. Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà không có số mũ. Ví dụ, xem xét:
Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương:
, trong đó
là số tuổi của con trai tôi
Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.
Nghiệm của phương trình này là như sau: [21]
|1. Giải phương trình:||
|![]()
|2. Trừ 4 cho cả hai vế của phương trình:||
|![]()
|3. Rút gọn thành:||
|![]()
|4. Chia cả hai vế với 2:||
|![]()
|5. Rút gọn để có được nghiệm:||
|![]()
Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một biến số, có thể được viết là:
Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho
và chia cho
) đáp số của phương trình là
### Phương trình tuyến tính với hai biến số[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=10)]
Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm. Ví dụ:
Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?
Phương trình tương đương:
trong đó
là tuổi của tôi và
là tuổi của con trai tôi.
Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán. Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số.
Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:
|Bài toán:||Trong 10 năm tới, tuổi của tôi sẽ gấp đôi tuổi của con trai tôi.|
|Phương trình tương đương:||
|![]()
|Trừ 10 cho cả hai vế:||
|![]()
|Nhân với các số trong ngoặc:||
|![]()
|Rút gọn:||
|![]()
Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):
[[22]](#cite_note-22)
|Phương trình thứ hai||
|![]()
|Phương trình thứ nhất||
|![]()
|Lấy phương trình thứ hai trừ
|
cho phương trình thứ nhất để khử
![]()
|
|![]()
|Rút gọn||
|![]()
|Cộng 12 cho cả hai vế||
|![]()
|Sắp đặt lại||
|![]()
Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi.
### Phương trình bậc hai[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=11)]
Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng với số mũ là 2, ví dụ,
,
và không có số hạng nào với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng [23] ![ ax^2 + bx + c = 0](http://upload.wikimedia.org/math/0/c/4/0c4913db725b72609d4825124dda12aa.png)
trong đó [[24]](#cite_note-24) ![ a](http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![ ax^2](http://upload.wikimedia.org/math/3/6/c/36c515cc7d1b7f7421a424d16284276e.png)
![ a \neq 0](http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44347863ac17dc898a13f44f681d01.png)
![ a](http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
Trong đó
và
. Giải phương trình này, bằng một quá trình gọi là
[phần bù bình phương](/wiki/Ph%E1%BA%A7n_b%C3%B9_b%C3%ACnh_ph%C6%B0%C6%A1ng), sẽ dẫn đến công thức bậc hai
Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả
là nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng
[phân tích nhân tử](/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_nh%C3%A2n_t%E1%BB%AD). Một ví dụ của phân tích nhân tử:
Cũng tương đương với:
Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích của không với cả
hoặc
là nghiệm của phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ
[số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c), nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c). Ví dụ,
không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình phương lại bằng −1.
### Phương trình số mũ và phương trình lôgarit[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=12)]
Phương trình số mũ là phương trình có dạng
với
,
nghiệm của phương trình là [25]
khi
. Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp số. Ví dụ nếu
thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai vế cho 3 chúng ta có
Do đó
Hoặc
Phương trình lôgarit là phương trình dạng
với
, trong đó nghiệm là
Ví dụ, nếu
thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có
Do đó
Từ đó ta rút ra được
### Phương trình căn thức[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=13)]
Phương trình căn thức là phương trình có một dấu căn,
, bao gồm cả căn bậc ba,
và căn bậc n,
. Cần nhớ rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi thế
tương đương với
. Kết hợp với số mũ bình thường, thì
(căn bậc hai của x lập phương) có thể viết lại thành
.
Vậy nên dạng thức chung của phương trình căn thức là [26] ![ a = \sqrt[n]{x^m}](http://upload.wikimedia.org/math/6/4/7/647cd5d69808c1aadd9177cc0f5f96c4.png)
![ a = x^\frac{m}{n}](http://upload.wikimedia.org/math/1/d/2/1d2791bc6d62c0e7f51b2636ef63a13c.png)
![ m](http://upload.wikimedia.org/math/6/f/8/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
![ n](http://upload.wikimedia.org/math/7/b/8/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
[số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn), và có nghiệm là
|
|![]()
|
|![]()
và
![]()
|
|![]()
hoặc
![]()
|
|![]()
hoặc
![]()
Ví dụ, nếu
thì
.
### Hệ phương trình tuyến tính[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=14)]
Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các phương trình tuyến tính với hai biến số
#### Phương pháp khử[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=15) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=15)]
Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử
Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2
Cộng hai phương trình lại ta có
Rồi rút gọn
Khi ta đã biết
thì ta có thể tìm ra
bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. Nghiệm của hai phương trình sẽ là
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này;
có thể được giải trước
.
#### Phương pháp thay thế[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=16) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=16)]
Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến tính là phương pháp thay thế
Ta có thể tìm
bằng cách sử dụng một trong hai phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai
Trừ
cho hai vế của phương trình
và nhân hai vế với -1:
Thay giá trị
vào phương trình đầu tiên của hệ phương trình gốc:
Cộng 2 vào hai vế của phương trình:
Rút gọn thành
Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình, ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp trước
Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này;
có thể được giải trước
.
### Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=17) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=17)]
#### Hệ phương trình không giải được[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=18) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=18)]
Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ
Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được. Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới đây
Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với -1 ta có:
Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên
Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được trong phương trình thứ hai
#### Hệ phương trình bất định (không xác định được)[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=19) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=19)]
Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị
và
). Ví dụ
Tách
trong phương trình thứ hai
Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình
Bất đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của
. Thực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách điền vào giá trị
) với bất cứ
nào ta cũng đều có đáp số miễn là
. Vì thế phương trình này có vô số nghiệm
### Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=20) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=20)]
Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình
Nếu một phương trình là
[bội](/w/index.php?title=B%E1%BB%99i&action=edit&redlink=1) của phương trình còn lại, thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:
có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác
Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ phương trình đó không giải được. Ví dụ:
Phương trình thứ hai đem tới kết quả
đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một phương trình có phải là bội của phương trình còn lại không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể. Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời giải.
Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần thiết để có thể giải được phương trình.
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&veaction=edit&vesection=21) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p&action=edit§ion=21)] [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler), *, 1770. English translation* [Elements of Algebra](/w/index.php?title=Elements_of_Algebra&action=edit&redlink=1) [Tarquin Press](/w/index.php?title=Tarquin_Press&action=edit&redlink=1), 2007, [ISBN 978-1-899618-79-8](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9781899618798), also online digitized editions 2006, [[27]](#cite_note-27) 1822. [[28]](#cite_note-28)
- Charles Smith,
*, in* [A Treatise on Algebra](http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=smit025) [Cornell University Library Historical Math Monographs](http://historical.library.cornell.edu/math).
- Redden, John.
[. Flat World Knowledge, 2011](http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/128?e=fwk-redden-ch01) *Elementary Algebra* **Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood,** [^](#cite_ref-1) *Introductory Algebra: An Applied Approach*, Publisher Cengage Learning, 2010, [ISBN 1439046042](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1439046042), 9781439046043, [page 78](http://books.google.co.uk/books?id=MPIWikTHVXQC&lpg=PP1&ots=yG1m9DkIiH&dq=coefficient%20algebra&pg=PA78#v=onepage&q=coefficient%20&f=false) **William L. Hosch (editor),** [^](#cite_ref-2) *The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry*, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, [ISBN 1615302190](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1615302190), 9781615302192, [page 71](http://books.google.co.uk/books?id=ad0P0elU1_0C&lpg=PA71&dq=elementary%20algebra%20letters%20alphabet%20constants%20variables&pg=PA71#v=onepage&q=letters&f=false) **James E. Gentle,** [^](#cite_ref-3) *Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics*, Publisher: Springer, 1998, [ISBN 0387985425](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0387985425), 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183] **Horatio Nelson Robinson,** [^](#cite_ref-4) *New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies*, Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [page 7](http://books.google.co.uk/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false) **Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards,** [^](#cite_ref-5) *Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach*, Publisher: Cengage Learning, 2007, [ISBN 061885195X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/061885195X), 9780618851959, 1114 pages, [page 6](http://books.google.co.uk/books?id=5iXVZHhkjAgC&lpg=PA6&ots=iwrSrCrrOb&dq=operations%20addition%2C%20subtraction%2C%20multiplication%2C%20division%20exponentiation.&pg=PA6#v=onepage&q=operations%20addition,%20subtraction,%20multiplication,%20division%20exponentiation.&f=false) **Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in** [^](#cite_ref-6) *Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook*, Publisher Panpac Education Pte Ltd, [ISBN 9812738827](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9812738827), 9789812738820, [page 68](http://books.google.co.uk/books?id=nL5ObMmDvPEC&lpg=PR9-IA8&ots=T_h6l40AE5&dq=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&pg=PR9-IA8#v=onepage&q=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&f=false) **David Alan Herzog,** [^](#cite_ref-7) *Teach Yourself Visually Algebra*, Publisher John Wiley & Sons, 2008, [ISBN 0470185597](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0470185597), 9780470185599, 304 pages, [page 72](http://books.google.co.uk/books?id=Igs6t_clf0oC&lpg=PA72&ots=Excnhf1AgW&dq=algebra%20coefficient%20one&pg=PA72#v=onepage&q=coefficient%20of%201&f=false) **John C. Peterson,** [^](#cite_ref-8) *Technical Mathematics With Calculus*, Publisher Cengage Learning, 2003, [ISBN 0766861899](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0766861899), 9780766861893, 1613 pages, [page 31](http://books.google.co.uk/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA31&ots=NKrtZZ1KDE&dq=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&pg=PA32#v=onepage&q=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&f=false) **Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters,** [^](#cite_ref-9) *Algebra for College Students*, Publisher Cengage Learning, 2010, [ISBN 0538733543](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0538733543), 9780538733540, 803 pages, [page 222](http://books.google.co.uk/books?id=-AHtC0IYMhYC&lpg=PP1&ots=kL8erjajyR&dq=algebra%20exponents%20zero%20one&pg=PA222#v=onepage&q=exponents%20&f=false) **Thomas Sonnabend,** [^](#cite_ref-10) *Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8*, Publisher: Cengage Learning, 2009, [ISBN 0495561665](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0495561665), 9780495561668, 759 pages, [page xvii](http://books.google.co.uk/books?id=gBa2GzyXCF8C&lpg=PR17&ots=qee3RsTC6V&dq=algebra%20%22extends%20arithmetic%22&pg=PR17#v=onepage&q=extends%20arithmetic&f=false) **Lewis Hirsch, Arthur Goodman,** [^](#cite_ref-11) *Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students*, Publisher: Cengage Learning, 2005, [ISBN 0534999727](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0534999727), 9780534999728, 654 pages, [page 48](http://books.google.co.uk/books?id=jsT7kqZubvIC&lpg=PA48&ots=EI4_yaKasG&dq=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&pg=PA48#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20variables%20unknown&f=false) **Lawrence S. Leff,** [^](#cite_ref-12) *College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys*, Publisher: Barron's Educational Series, 2005, [ISBN 0764129147](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0764129147), 9780764129148, 230 pages, [page 2](http://books.google.co.uk/books?id=XesryURrNKAC&lpg=PA2&ots=Ga44CTvNHI&dq=algebra%20variables%20generalize&pg=PA2#v=onepage&q=algebra%20variables%20generalize&f=false) **Ron Larson, Kimberly Nolting,** [^](#cite_ref-13) *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2009, [ISBN 0547102275](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0547102275), 9780547102276, 622 pages, [page 210](http://books.google.co.uk/books?id=U6v78M5nYKAC&lpg=PP1&ots=R0dl97lfm0&dq=%22elementary%20algebra%22%20relationships&pg=PA210#v=onepage&q=relationships&f=false) **Charles P. McKeague,** [^](#cite_ref-14) *Elementary Algebra*, Publisher: Cengage Learning, 2011, [ISBN 0840064217](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0840064217), 9780840064219, 571 pages, [page 49](http://books.google.co.uk/books?id=etTbP0rItQ4C&lpg=PA49&ots=I16eebO3LV&dq=%22elementary%20algebra%22%20commutative&pg=PA49#v=onepage&q=%22elementary%20algebra%22%20commutative&f=false) **Andrew Marx,** [^](#cite_ref-15) *Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores*, Publisher Kaplan Publishing, 2007, [ISBN 1419552880](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1419552880), 9781419552885, 288 pages, [page 51](http://books.google.co.uk/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&lpg=PP1&ots=pT-MpWMJty&dq=algebra%20addition%20%22like%20terms%22&pg=PA51#v=onepage&q=like%20terms&f=false) **Mark Clark, Cynthia Anfinson,** [^](#cite_ref-16) *Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications*, Publisher Cengage Learning, 2011, [ISBN 0534419380](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0534419380), 9780534419387, 793 pages, [page 134](http://books.google.co.uk/books?id=wCzuRMC5048C&lpg=PA134&ots=UdyGuk1ihH&dq=algebra%20equation%20%22two%20expressions%22&pg=PA134#v=onepage&q=equation&f=false) **Alan S. Tussy, R. David Gustafson,** [^](#cite_ref-17) *Elementary and Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2012, [ISBN 1111567689](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1111567689), 9781111567682, 1163 pages, [page 493](http://books.google.co.uk/books?id=xqio_Xn4t7oC&lpg=PA493&ots=pmzfzBO1KX&dq=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&pg=PA493#v=onepage&q=algebra%20Pythagoras%20hypotenuse&f=false) **Douglas Downing,** [^](#cite_ref-18) *Algebra the Easy Way*, Publisher Barron's Educational Series, 2003, [ISBN 0764119729](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0764119729), 9780764119729, 392 pages, [page 20](http://books.google.co.uk/books?id=RiX-TJLiQv0C&lpg=PA20&ots=BjArsBq8vc&dq=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&pg=PA20#v=onepage&q=algebra%20equality%20%20%20reflexive%20%20symmetric%20%20transitive&f=false) **Ron Larson, Robert Hostetler,** [^](#cite_ref-19) *Intermediate Algebra*, Publisher Cengage Learning, 2008, [ISBN 0618753524](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0618753524), 9780618753529, 857 pages, [page 96](http://books.google.co.uk/books?id=b3vqad8tbiAC&lpg=PA96&ots=FF2OYYGNCV&dq=algebra%20inequality%20properties&pg=PA96#v=onepage&q=algebra%20inequality%20properties&f=false) **Chris Carter,** [^](#cite_ref-20) *Physics: Facts and Practice for A Level*, Publisher Oxford University Press, 2001, [ISBN 019914768X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/019914768X), 9780199147687, 144 pages, [page 50](http://books.google.co.uk/books?id=Ff9gxZPYafcC&lpg=PA50&ots=KQ5ufGdcHk&dq=algebra%20inequality%20less%20greater%20exchange&pg=PA50#v=onepage&q=turned%20around&f=false) **Slavin, Steve (1989).** [^](#cite_ref-21) *All the Math You'll Ever Need*. [John Wiley & Sons](/w/index.php?title=John_Wiley_%26_Sons&action=edit&redlink=1). tr. 72. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-471-50636-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-471-50636-2). **Cynthia Y. Young,** [^](#cite_ref-22) *Precalculus*, Publisher John Wiley & Sons, 2010, [ISBN 0471756849](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0471756849), 9780471756842, 1175 pages, [page 699](http://books.google.co.uk/books?id=9HRLAn326zEC&lpg=PA703&ots=t83cFBL8TU&dq=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&pg=PA699#v=onepage&q=linear%20equation%20%20two%20variables%20%20many%20solutions&f=false) **Mary Jane Sterling,** [^](#cite_ref-23) *Algebra II For Dummies*, Publisher: John Wiley & Sons, 2006, [ISBN 0471775819](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0471775819), 9780471775812, 384 pages, [page 37](http://books.google.co.uk/books?id=_0rTMuSpTY0C&lpg=PA43&ots=J8_1q1Vkul&dq=quadratic%20equations&pg=PA37#v=onepage&q=quadratic%20equations&f=false) **Sharma/khattar,** [^](#cite_ref-24) *The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E*, Publisher Pearson Education India, 2010, [ISBN 8131723631](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/8131723631), 9788131723630, 1248 pages, [page 621](http://books.google.co.uk/books?id=2v-f9x7-FlsC&lpg=RA13-PA33&ots=P-Dz70fXbv&dq=quadratic%20equations%20%20ax2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%3D%200&pg=RA13-PA33#v=onepage&q&f=false) **Aven Choo,** [^](#cite_ref-25) *LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3*, Publisher Pearson Education South Asia, 2007, [ISBN 9810600011](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9810600011), 9789810600013, [page 105](http://books.google.co.uk/books?id=NsBXDMrzcJIC&lpg=RA2-PA29&ots=WmZmHLaTey&dq=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20%3D%20b&pg=RA2-PA29#v=onepage&q=%22%20exponential%20equation%20%22%20aX%20=%20b&f=false) **John C. Peterson,** [^](#cite_ref-26) *Technical Mathematics With Calculus*, Publisher Cengage Learning, 2003, [ISBN 0766861899](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0766861899), 9780766861893, 1613 pages, [page 525](http://books.google.co.uk/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA525&ots=NKrt__3KKE&dq=%22%20radical%20equation%22&pg=PA525#v=onepage&q=%22%20radical%20equation%22&f=false) [^](#cite_ref-27) [Euler's Elements of Algebra](http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/) [^](#cite_ref-28) [Elements of algebra – Leonhard Euler, John Hewlett, Francis Horner, Jean Bernoulli, Joseph Louis Lagrange – Google Books](http://books.google.co.uk/books?id=X8yv0sj4_1YC&dq=euler+elements&psp=1)
|
|

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Connection: close

X-Content-Type-Options: nosniff

Content-language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

Vary: Accept-Encoding,Cookie

Content-Encoding: gzip

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

X-Cache: cp1054 hit (3), cp1055 frontend miss (0)

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

Set-Cookie: WMF-Last-Access=30-Jul-2015;Path=/;HttpOnly;Expires=Mon, 31 Aug 2015 12:00:00 GMT


text:
1056
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới:
menu
,
tìm kiếm
Thế kỷ
:
thế kỷ 10
-
thế kỷ 11
-
thế kỷ 12
Thập niên
:
1020
1030
1040
-
1050
-
1060
1070
1080
Năm
:
1053
1054
1055
-
1056
-
1057
1058
1059
Năm 1056 trong
lịch Julius
.
Mục lục
1
Sự kiện
2
Sinh
3
Mất
4
Tham khảo
Sự kiện
[
sửa
|
sửa mã nguồn
]
Sinh
[
sửa
|
sửa mã nguồn
]
1056 trong lịch khác
Lịch Gregory
1056
MLVI
Ab urbe condita
1809
Năm niên hiệu Anh
N/A
Lịch Armenia
505
ԹՎ ՇԵ
Lịch Assyria
5806
Lịch Ấn Độ giáo
-
Vikram Samvat
1112–1113
-
Shaka Samvat
978–979
-
Kali Yuga
4157–4158
Lịch Bahá’í
-788 – -787
Lịch Bengal
463
Lịch Berber
2006
Can Chi
Ất Mùi
(乙未年)
3752 hoặc 3692
— đến —
Bính Thân
(丙申年)
3753 hoặc 3693
Lịch Chủ thể
N/A
Lịch Copt
772–773
Lịch Dân Quốc
856 trước
Dân Quốc
民前856年
Lịch Do Thái
4816–4817
Lịch Đông La Mã
6564–6565
Lịch Ethiopia
1048–1049
Lịch Holocen
11056
Lịch Hồi giáo
447–448
Lịch Igbo
56–57
Lịch Iran
434–435
Lịch Julius
1056
MLVI
Lịch Myanma
418
Lịch Nhật Bản
Tengi
4
(天喜４年)
Phật lịch
1600
Dương lịch Thái
1599
Lịch Triều Tiên
3389
Hộp này:
xem
thảo luận
sửa
Mất
[
sửa
|
sửa mã nguồn
]
Tham khảo
[
sửa
|
sửa mã nguồn
]
Lấy từ “
https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=1056&oldid=18515922
”
Thể loại
:
1056
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Bài viết
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Đọc
Sửa đổi
Sửa mã nguồn
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Xem nhanh
Trang Chính
Nội dung chọn lọc
Tin tức
Bài viết ngẫu nhiên
Thay đổi gần đây
Quyên góp
Tương tác
Hướng dẫn
Giới thiệu Wikipedia
Cộng đồng
Thảo luận chung
Giúp sử dụng
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Khoản mục Wikidata
Trích dẫn trang này
In/xuất ra
Tạo một quyển sách
Tải về dưới dạng PDF
Bản để in ra
Ngôn ngữ khác
Afrikaans
አማርኛ
العربية
Aragonés
Asturianu
Azərbaycanca
Bahasa Indonesia
Bahasa Melayu
বাংলা
Bân-lâm-gú
Basa Banyumasan
Basa Jawa
Basa Sunda
Беларуская
Беларуская (тарашкевіца)
भोजपुरी
Bosanski
Brezhoneg
Български
Català
Чӑвашла
Čeština
Cymraeg
Dansk
Deutsch
Eesti
Ελληνικά
English
Español
Esperanto
Euskara
فارسی
Føroyskt
Français
Frysk
Gaeilge
Gàidhlig
Galego
贛語
한국어
Հայերեն
हिन्दी
Hrvatski
Ido
বিষ্ণুপ্রিয়া মণিপুরী
Ирон
Íslenska
Italiano
עברית
ქართული
Қазақша
Кырык мары
Kiswahili
Kreyòl ayisyen
Latina
Latviešu
Lëtzebuergesch
Lietuvių
Lumbaart
Magyar
Македонски
Māori
मराठी
Nāhuatl
Nederlands
नेपाल भाषा
日本語
Napulitano
Norsk bokmål
Norsk nynorsk
Nouormand
Occitan
ଓଡ଼ିଆ
Oʻzbekcha/ўзбекча
पालि
پنجابی
Plattdüütsch
Polski
Português
Qaraqalpaqsha
Qırımtatarca
Română
Runa Simi
Русский
Русиньскый
Sámegiella
संस्कृतम्
Shqip
Sicilianu
Simple English
Slovenčina
Slovenščina
Српски / srpski
Srpskohrvatski / српскохрватски
Suomi
Svenska
Tagalog
Татарча/tatarça
ไทย
Тоҷикӣ
Türkçe
Türkmençe
Українська
اردو
Vèneto
Volapük
West-Vlams
Winaray
Yorùbá
粵語
中文
Sửa liên kết
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 12:59 ngày 19 tháng 7 năm 2014.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công/Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Xem
Điều khoản Sử dụng
để biết thêm chi tiết.
Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của
Wikimedia Foundation, Inc.
, một tổ chức phi lợi nhuận.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wikipedia
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Phiên bản di động

markdown:
# 1056
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
||
| - [Thập niên](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn): [1020](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1020) [1030](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1030) [1040](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1040)- [1050](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1050)- [1060](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1060) [1070](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1070) [1080](/wiki/Th%E1%BA%ADp_ni%C3%AAn_1080) [Năm](/wiki/N%C4%83m): [1053](/wiki/1053) [1054](/wiki/1054) [1055](/wiki/1055)- **-** **1056** [1057](/wiki/1057) [1058](/wiki/1058) [1059](/wiki/1059)
Năm 1056 trong
[lịch Julius](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Julius).
## Mục lục
## Sự kiện[
[sửa](/w/index.php?title=1056&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=1056&action=edit§ion=1)]
## Sinh[
[sửa](/w/index.php?title=1056&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=1056&action=edit§ion=2)]
|
|*MLVI* [Ab urbe condita](/w/index.php?title=Ab_urbe_condita&action=edit&redlink=1) [Năm niên hiệu Anh](/w/index.php?title=Ni%C3%AAn_hi%E1%BB%87u_Anh&action=edit&redlink=1) *N/A* [Lịch Armenia](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Armenia)
ԹՎ ՇԵ
[Lịch Assyria](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Assyria) [Lịch Ấn Độ giáo](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99_gi%C3%A1o&action=edit&redlink=1) [Vikram Samvat](/w/index.php?title=Vikram_Samvat&action=edit&redlink=1) [Shaka Samvat](/w/index.php?title=Qu%E1%BB%91c_l%E1%BB%8Bch_%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99&action=edit&redlink=1) [Kali Yuga](/w/index.php?title=Kali_Yuga&action=edit&redlink=1) [Lịch Bahá’í](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Bah%C3%A1%27%C3%AD&action=edit&redlink=1) [Lịch Bengal](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Bengal&action=edit&redlink=1) [Lịch Berber](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Berber) [Can Chi](/wiki/Can_Chi) [Ất Mùi](/wiki/%E1%BA%A4t_M%C3%B9i)(乙未年)
3752 hoặc 3692
*— đến —* [Bính Thân](/wiki/B%C3%ADnh_Th%C3%A2n)(丙申年)
3753 hoặc 3693
[Lịch Chủ thể](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_B%E1%BA%AFc_Tri%E1%BB%81u_Ti%C3%AAn&action=edit&redlink=1) *N/A* [Lịch Copt](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Copt&action=edit&redlink=1) [Lịch Dân Quốc](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_D%C3%A2n_Qu%E1%BB%91c&action=edit&redlink=1) [Dân Quốc](/wiki/Trung_Hoa_D%C3%A2n_Qu%E1%BB%91c)
民前856年
[Lịch Do Thái](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Do_Th%C3%A1i) [Lịch Đông La Mã](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_%C4%90%C3%B4ng_La_M%C3%A3&action=edit&redlink=1) [Lịch Ethiopia](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Ethiopia&action=edit&redlink=1) [Lịch Holocen](/w/index.php?title=Th%E1%BB%9Di_k%E1%BB%B3_con_ng%C6%B0%E1%BB%9Di&action=edit&redlink=1) [Lịch Hồi giáo](/wiki/L%E1%BB%8Bch_H%E1%BB%93i_gi%C3%A1o) [Lịch Igbo](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Igbo&action=edit&redlink=1) [Lịch Iran](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Iran&action=edit&redlink=1) [Lịch Julius](/wiki/L%E1%BB%8Bch_Julius) *MLVI* [Lịch Myanma](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Myanma_truy%E1%BB%81n_th%E1%BB%91ng&action=edit&redlink=1) [Lịch Nhật Bản](/w/index.php?title=L%E1%BB%8Bch_Nh%E1%BA%ADt_B%E1%BA%A3n&action=edit&redlink=1) [Tengi](/w/index.php?title=Tengi&action=edit&redlink=1)4
(天喜４年)

X-Cache: cp1055 hit (2), cp1055 frontend miss (0)


text:
Dan Chang (huyện)
Dan Chang (tiếng Thái: ด่านช้าง) là huyện (amphoe) cực tây bắc của tỉnh Suphanburi, miền trung Thái Lan.
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Dan Chang được lập làm một tiểu huyện (king amphoe) ngày 30 tháng 8 năm 1974 thông qua việc tách ba tambon Dan Chang, Ong Phra và Huai Khamin từ Doem Bang Nang Buat.[1] Năm sau, phó huyện Nong Makha Mong được chuyển từ Doem Bang Nang Buat sang tiểu huyện này.[2] Tiểu huyện đã được chính thức nâng thành huyện ngày 13 tháng 7 năm 1981.[3]
Địa lý[sửa | sửa mã nguồn]
Các huyện giáp ranh (từ phía bắc theo chiều kim đồng hồ) là: Ban Rai của tỉnh Uthai Thani, Noen Kham của tỉnh Chainat, Doem Bang Nang Buat và Nong Ya Sai của tỉnh Suphanburi, và Lao Khwan, Nong Prue và Si Sawat của tỉnh Kanchanaburi.
Vườn quốc gia Phu Toei nằm ở Dan Chang. Nguồn nước chính là sông Kra Siao.
Hành chính[sửa | sửa mã nguồn]
Huyện này được chia thành 7 phó huyện (tambon), các đơn vị này lại được chia ra thành 93 làng (muban). Đô thị phó huyện (thesaban tambon) Dan Chang nằm trên một phần của tambon Dan Chang and Nong Makha Mong. Có 7 Tổ chức hành chính tambon.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ “ประกาศกระทรวงมหาดไทย เรื่อง แบ่งท้องที่อำเภอเดิมบางนางบวช จังหวัดสุพรรณบุรี ตั้งเป็นกิ่งอำเภอด่านช้าง”. Royal Gazette (bằng tiếng Thái) 91 (144 ง): 3286. 27 tháng 8 năm 1974.
- ^ “ประกาศกระทรวงมหาดไทย เรื่อง เปลี่ยนแปลงเขตกิ่งอำเภอด่านช้าง อำเภอเดิมบางนางบวช จังหวัดสุพรรณบุรี”. Royal Gazette (bằng tiếng Thái) 92 (112 ง): 1475–1476. 17 tháng 6 năm 1975.
- ^ “พระราชกฤษฎีกาตั้งอำเภอหนองใหญ่ อำเภอบ่อไร่ อำเภอพรหมคีรี อำเภอนาบอน อำเภอบางสะพานน้อย อำเภอนาดี อำเภอกงหรา อำเภอวังทรายพูน อำเภอธารโต อำเภอคำตากล้า อำเภอศรีนคร อำเภอด่านช้าง อำเภอพรเจริญ อำเภอวังสามหมอ และอำเภอลานสัก พ.ศ. ๒๕๒๔”. Royal Gazette (bằng tiếng Thái) 98 (115 ก Special): 7–10. 13 tháng 7 năm 1981.

markdown:
# Dan Chang (huyện)
|Số liệu thống kê|
|Tỉnh:||
|[14°50′30″B 99°41′50″Đ / 14,84167°B 99,69722°Đ](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Dan_Chang_%28huy%E1%BB%87n%29¶ms=14_50_30_N_99_41_50_E_type:adm2nd_region:TH) [km²](/wiki/Kil%C3%B4m%C3%A9t_vu%C3%B4ng) *(2007)* [Mật độ dân số](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91): [Mã địa lý](/wiki/M%C3%A3_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD): [Mã bưu chính](/wiki/M%C3%A3_b%C6%B0u_ch%C3%ADnh): ![ Bản đồ Suphanburi, Thái Lan với Dan Chang](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Amphoe_7203.png/210px-Amphoe_7203.png)
![ Bản đồ Suphanburi, Thái Lan với Dan Chang](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Amphoe_7203.png/210px-Amphoe_7203.png)
**Dan Chang** ( [tiếng Thái](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Th%C3%A1i): ด่านช้าง) là huyện ( *) cực tây bắc của amphoe* [tỉnh Suphanburi](/wiki/Suphanburi_(t%E1%BB%89nh)), miền trung [Thái Lan](/wiki/Th%C3%A1i_Lan).
## Lịch sử[
[sửa](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&action=edit§ion=1)]
Dan Chang được lập làm một tiểu huyện (
*) ngày 30 tháng 8 năm 1974 thông qua việc tách ba king amphoe* *tambon*Dan Chang, Ong Phra và Huai Khamin từ [Doem Bang Nang Buat](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87nDoem_Bang_Nang_Buat&action=edit&redlink=1). Năm sau, phó huyện Nong Makha Mong được chuyển từ Doem Bang Nang Buat sang tiểu huyện này. [[1]](#cite_note-1) Tiểu huyện đã được chính thức nâng thành huyện ngày 13 tháng 7 năm 1981. [[2]](#cite_note-2) [[3]](#cite_note-3)
## Địa lý[
[sửa](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&action=edit§ion=2)]
Các huyện giáp ranh (từ phía bắc theo chiều kim đồng hồ) là:
[Ban Rai](/w/index.php?title=Amphoe_Ban_Rai&action=edit&redlink=1) của [tỉnh Uthai Thani](/wiki/Uthai_Thani_(t%E1%BB%89nh)), [Noen Kham](/w/index.php?title=King_Amphoe_Noen_Kham&action=edit&redlink=1) của [tỉnh Chainat](/wiki/Chainat_(t%E1%BB%89nh)), [Doem Bang Nang Buat](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_Doem_Bang_Nang_Buat&action=edit&redlink=1) và [Nong Ya Sai](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_Nong_Ya_Sai&action=edit&redlink=1) của tỉnh Suphanburi, và [Lao Khwan](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_Lao_Khwan&action=edit&redlink=1), [Nong Prue](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_Nong_Prue&action=edit&redlink=1) và [Si Sawat](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_Si_Sawat&action=edit&redlink=1) của [tỉnh Kanchanaburi](/wiki/Kanchanaburi_(t%E1%BB%89nh)). [Vườn quốc gia Phu Toei](/w/index.php?title=V%C6%B0%E1%BB%9Dn_qu%E1%BB%91c_gia_Phu_Toei&action=edit&redlink=1) nằm ở Dan Chang. Nguồn nước chính là sông Kra Siao.
## Hành chính[
[sửa](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&action=edit§ion=3)]
Huyện này được chia thành 7 phó huyện (
*), các đơn vị này lại được chia ra thành 93 làng ( tambon* *). Đô thị phó huyện (* [muban](/w/index.php?title=Muban&action=edit&redlink=1) *) Dan Chang nằm trên một phần của* [thesaban tambon](/w/index.php?title=Thesaban_tambon&action=edit&redlink=1) *tambon*Dan Chang and Nong Makha Mong. Có 7 [Tổ chức hành chính tambon](/w/index.php?title=T%E1%BB%95_ch%E1%BB%A9c_h%C3%A0nh_ch%C3%ADnh_tambon&action=edit&redlink=1).
|STT.||Tên||Thai||Số làng||Dân số|
|1.||Nong Makha Mong||หนองมะค่าโมง||21||17.289|
|2.||Dan Chang||ด่านช้าง||21||15.190|
|3.||Huai Khamin||ห้วยขมิ้น||16||9.096|
|4.||Ong Phra||องค์พระ||9||6.638|
|5.||Wang Khan||วังคัน||11||6.290|
|6.||Nikhom Krasiao||นิคมกระเสียว||6||5.265|
|7.||Wang Yao||วังยาว||9||4.648|
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&action=edit§ion=4)] [^](#cite_ref-1) [“ประกาศกระทรวงมหาดไทย เรื่อง แบ่งท้องที่อำเภอเดิมบางนางบวช จังหวัดสุพรรณบุรี ตั้งเป็นกิ่งอำเภอด่านช้าง”](http://www.ratchakitcha.soc.go.th/DATA/PDF/2517/D/144/3286.PDF). *Royal Gazette*(bằng tiếng Thái) **91**(144 ง): 3286. 27 tháng 8 năm 1974. [^](#cite_ref-2) [“ประกาศกระทรวงมหาดไทย เรื่อง เปลี่ยนแปลงเขตกิ่งอำเภอด่านช้าง อำเภอเดิมบางนางบวช จังหวัดสุพรรณบุรี”](http://www.ratchakitcha.soc.go.th/DATA/PDF/2518/D/112/1475.PDF). *Royal Gazette*(bằng tiếng Thái) **92**(112 ง): 1475–1476. 17 tháng 6 năm 1975. [^](#cite_ref-3) [“พระราชกฤษฎีกาตั้งอำเภอหนองใหญ่ อำเภอบ่อไร่ อำเภอพรหมคีรี อำเภอนาบอน อำเภอบางสะพานน้อย อำเภอนาดี อำเภอกงหรา อำเภอวังทรายพูน อำเภอธารโต อำเภอคำตากล้า อำเภอศรีนคร อำเภอด่านช้าง อำเภอพรเจริญ อำเภอวังสามหมอ และอำเภอลานสัก พ.ศ. ๒๕๒๔”](http://www.ratchakitcha.soc.go.th/DATA/PDF/2524/A/115/7.PDF). *Royal Gazette*(bằng tiếng Thái) **98**(115 ก Special): 7–10. 13 tháng 7 năm 1981.
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Dan_Chang_(huy%E1%BB%87n)&action=edit§ion=5)]
|
|

X-Cache: cp1068 miss (0), cp1055 frontend miss (0)


text:
Eurya sandwicensis
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Ānini (Eurya sandwicensis) là một loài thực vật có hoa thuộc họ Camellia, Theaceae, là loài đặc hữu của Hawaiʻi. Chúng hiện đang bị đe dọa vì mất môi trường sống.
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- World Conservation Monitoring Centre 1998. Eurya sandwicensis. 2006 IUCN Red List of Threatened Species. Truy cập 21 tháng 8 năm 2007.

markdown:
*Eurya sandwicensis*
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|Eurya sandwicensis
|
|[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Plantae](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt) [Angiospermae](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_hoa) [Eudicots](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_hai_l%C3%A1_m%E1%BA%A7m_th%E1%BA%ADt_s%E1%BB%B1) [Asterids](/wiki/Nh%C3%A1nh_C%C3%BAc) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Ericales](/wiki/B%E1%BB%99_Th%E1%BA%A1ch_nam) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Theaceae](/wiki/H%E1%BB%8D_Ch%C3%A8) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Eurya](/wiki/Eurya) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **E. sandwicensis** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Eurya sandwicensis* [A. Gray](/w/index.php?title=Asa_Gray&action=edit&redlink=1) **Ānini** ( *) là một loài Eurya sandwicensis* [thực vật có hoa](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_hoa)thuộc họ [Camellia](/wiki/Chi_Tr%C3%A0), [Theaceae](/wiki/H%E1%BB%8D_Ch%C3%A8), là loài [đặc hữu](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_h%E1%BB%AFu)của [Hawaiʻi](/wiki/Hawaii). Chúng hiện đang bị đe dọa vì [mất môi trường sống](/wiki/M%E1%BA%A5t_m%C3%B4i_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_s%E1%BB%91ng).
|
|![]()
[Eurya sandwicensis](//commons.wikimedia.org/wiki/Category:Eurya_sandwicensis?uselang=vi)
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Eurya_sandwicensis&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Eurya_sandwicensis&action=edit§ion=1)]
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Eurya_sandwicensis&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Eurya_sandwicensis&action=edit§ion=2)]
- World Conservation Monitoring Centre 1998.
[.](http://www.iucnredlist.org/search/details.php/30785/all) *Eurya sandwicensis* [2006 IUCN Red List of Threatened Species.](http://www.iucnredlist.org)Truy cập 21 tháng 8 năm 2007.


text:
Herentals
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Herentals là một thành phố và đô thị ở vùng Flanders, một trong ba vùng của Bỉ. Đô thị này thuộc tỉnh Antwerpen. Đô thị này gồm thành phố Herentals và các thị xã Morkhoven và Noorderwijk. Tại thời điểm ngày 1 tháng 1 năm 2006, Herentals có dân số 26.071 người. Tổng diện tích là 48,56 km² với mật độ dân số là 537 người trên mỗi km².
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Trang mạng chính thức - tiếng Hà Lan, tiếng Pháp và tiếng Anh
- Local radio station with local news - Bằng tiếng Hà Lan
- Start Page - Bằng tiếng Hà Lan
- YouthClub - Bằng tiếng Hà Lan
- Boyscouts 1ste Kempen - Bằng tiếng Hà Lan

markdown:
# Herentals
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|Herentals
|
|
![]()
|
||
|![]()
[Bỉ](/wiki/B%E1%BB%89) [Vùng](/w/index.php?title=V%C3%B9ng_c%E1%BB%A7a_B%E1%BB%89&action=edit&redlink=1) ![ Flanders](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Flag_of_Flanders.svg/23px-Flag_of_Flanders.svg.png)
![ Flanders](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Flag_of_Flanders.svg/23px-Flag_of_Flanders.svg.png)
[vùng Flanders](/w/index.php?title=V%C3%B9ng_Flanders&action=edit&redlink=1) [Cộng đồng](/w/index.php?title=C%E1%BB%99ng_%C4%91%E1%BB%93ng_c%E1%BB%A7a_B%E1%BB%89&action=edit&redlink=1) ![ Flanders](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Flag_of_Flanders.svg/23px-Flag_of_Flanders.svg.png)
![ Flanders](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Flag_of_Flanders.svg/23px-Flag_of_Flanders.svg.png)
[Vlaanderen](/wiki/Vlaanderen) [Tỉnh](/w/index.php?title=T%E1%BB%89nh_c%E1%BB%A7a_B%E1%BB%89&action=edit&redlink=1) ![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Flag_of_Antwerp.svg/22px-Flag_of_Antwerp.svg.png)
[Antwerp](/wiki/Antwerp_(t%E1%BB%89nh)) [Huyện](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_c%E1%BB%A7a_B%E1%BB%89&action=edit&redlink=1) [Turnhout](/wiki/Turnhout_(huy%E1%BB%87n)) [Toạ độ](/wiki/H%E1%BB%87_to%E1%BA%A1_%C4%91%E1%BB%99_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD) [51°11′0″B 04°50′0″Đ / 51,18333°B 4,83333°Đ](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Herentals¶ms=51_11_0_N_04_50_0_E_region:BE_type:city) [Tọa độ](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD): [51°11′0″B 04°50′0″Đ / 51,18333°B 4,83333°Đ](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Herentals¶ms=51_11_0_N_04_50_0_E_region:BE_type:city) [Diện tích](/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch) [Dân số](/wiki/D%C3%A2n_s%E1%BB%91)
– Nam giới
– Nữ giới
-
[Mật độ](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91) *(1 tháng 1 năm 2006)*
49.26%
50.74%
537 người/km²
[Tỷ lệ thất nghiệp](/wiki/T%E1%BB%B7_l%E1%BB%87_th%E1%BA%A5t_nghi%E1%BB%87p) *(1 tháng 1 năm 2006)* **Thu nhập bình quân năm** *(2003)* [Thị trưởng](/wiki/Th%E1%BB%8B_tr%C6%B0%E1%BB%9Fng) [Đảng cầm quyền](/wiki/%C4%90%E1%BA%A3ng_c%E1%BA%A7m_quy%E1%BB%81n) [sp.a](/w/index.php?title=Sp.a&action=edit&redlink=1), [CD&V](/w/index.php?title=CD%26V&action=edit&redlink=1) [Mã bưu chính](/w/index.php?title=M%C3%A3_b%C6%B0u_ch%C3%ADnh_%E1%BB%9F_B%E1%BB%89&action=edit&redlink=1) [Mã vùng](/w/index.php?title=M%C3%A3_v%C3%B9ng_%C4%91i%E1%BB%87n_tho%E1%BA%A1i&action=edit&redlink=1) [Website](/wiki/Website) [www.herentals.be](http://www.herentals.be) **Herentals** là một thành phố và đô thị ở vùng [Flanders](/wiki/Flanders), một trong ba vùng của [Bỉ](/wiki/B%E1%BB%89). Đô thị này thuộc tỉnh [Antwerpen](/wiki/Antwerp_(t%E1%BB%89nh)). Đô thị này gồm thành phố Herentals và các thị xã [Morkhoven](/w/index.php?title=Morkhoven&action=edit&redlink=1) và [Noorderwijk](/w/index.php?title=Noorderwijk&action=edit&redlink=1). Tại thời điểm ngày 1 tháng 1 năm 2006, Herentals có dân số 26.071 người. Tổng [diện tích](/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch) là 48,56 km² với mật độ dân số là 537 người trên mỗi km².
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Herentals&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Herentals&action=edit§ion=1)] [Trang mạng chính thức](http://www.herentals.be)- [tiếng Hà Lan](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_H%C3%A0_Lan), [tiếng Pháp](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Ph%C3%A1p)và [tiếng Anh](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Anh) [Local radio station with local news](http://www.thalsfm.be)- Bằng [tiếng Hà Lan](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_H%C3%A0_Lan) [Start Page](http://www.herentals.start.be)- Bằng [tiếng Hà Lan](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_H%C3%A0_Lan) [YouthClub](http://www.10r20.be)- Bằng [tiếng Hà Lan](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_H%C3%A0_Lan) [Boyscouts 1ste Kempen](http://www.de1.be)- Bằng [tiếng Hà Lan](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_H%C3%A0_Lan)
|
|
|
|![]()

X-Cache: cp1053 miss (0), cp1055 frontend miss (0)


text:
Nyanasamvara Suvaddhana
Somdet Phra Nyanasamvara Somdet Phra Sangharaja Sakalamahasanghaparinayaka (Charoen Suvaḍḍhano) (tiếng Thái: สมเด็จพระญาณสังวร สมเด็จพระสังฆราช สกลมหาสังฆปริณายก (เจริญ สุวฑฒฺโน) là đức thượng phụ tối cao của Phật giáo Thái Lan. Ông sinh ngày 3 tháng 10 năm 1913 với tên gọi Charoen Gajavatra ở tỉnh Kanchanaburi, miền tây Thái Lan và được thọ giới Sa-di khi 14 tuổi. Ông trở thành Đức thượng phụ tối cao năm 1989 và được giới phật tử khắp thế giới tôn kính. Ngày 24 tháng 10 năm 2013, ông viên tịch ở tuổi 100. Tang lễ sẽ kéo dài 30 ngày, trong đó có ba ngày quốc tang. Thi hài của ông được đưa từ bệnh viện tới chùa Wat Bowon Niwet để làm lễ khâm liệm và lễ viếng. Các văn phòng chính phủ và cơ quan giáo dục được lệnh treo cờ rủ trong vòng ba ngày và Thủ tướng Yingluck Shinawatra kêu gọi các công chức cùng công chúng theo dõi 30 ngày tang lễ. AFP cho hay cảnh sát yêu cầu những tụ điểm giải trí trong nước không tổ chức các chương trình nhạc sống hay cho phép nhảy đầm cho tới ngày 8 tháng 11, còn những du khách muốn đến thăm Cung điện hoàng gia Thái Lan không được mặc đồ sáng màu trong thời gian diễn ra tang lễ.[1]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Lãnh tụ tối cao Phật giáo Thái Lan qua đời, VnExpress. Truy cập ngày 30 tháng 10 năm 2013

markdown:
# Nyanasamvara Suvaddhana
|Bài viết này cần thêm
|
Somdet Phra Nyanasamvara Somdet Phra Sangharaja Sakalamahasanghaparinayaka (Charoen Suvaḍḍhano) (
[tiếng Thái](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Th%C3%A1i): สมเด็จพระญาณสังวร สมเด็จพระสังฆราช สกลมหาสังฆปริณายก (เจริญ สุวฑฒฺโน) là đức thượng phụ tối cao của [Phật giáo Thái Lan](/w/index.php?title=Ph%E1%BA%ADt_gi%C3%A1o_Th%C3%A1i_Lan&action=edit&redlink=1). Ông sinh ngày 3 tháng 10 năm 1913 với tên gọi Charoen Gajavatra ở [tỉnh Kanchanaburi](/wiki/T%E1%BB%89nh_Kanchanaburi), miền tây Thái Lan và được thọ giới Sa-di khi 14 tuổi. Ông trở thành Đức thượng phụ tối cao năm 1989 và được giới phật tử khắp thế giới tôn kính. Ngày 24 tháng 10 năm 2013, ông [viên tịch](/w/index.php?title=Vi%C3%AAn_t%E1%BB%8Bch&action=edit&redlink=1) ở tuổi 100. Tang lễ sẽ kéo dài 30 ngày, trong đó có ba ngày [quốc tang](/wiki/Qu%E1%BB%91c_tang). Thi hài của ông được đưa từ bệnh viện tới chùa Wat Bowon Niwet để làm lễ khâm liệm và lễ viếng. Các văn phòng chính phủ và cơ quan giáo dục được lệnh treo cờ rủ trong vòng ba ngày và Thủ tướng Yingluck Shinawatra kêu gọi các công chức cùng công chúng theo dõi 30 ngày tang lễ. AFP cho hay cảnh sát yêu cầu những tụ điểm giải trí trong nước không tổ chức các chương trình nhạc sống hay cho phép nhảy đầm cho tới ngày 8 tháng 11, còn những du khách muốn đến thăm Cung điện hoàng gia Thái Lan không được mặc đồ sáng màu trong thời gian diễn ra tang lễ. [[1]](#cite_note-1)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Nyanasamvara_Suvaddhana&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Nyanasamvara_Suvaddhana&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [Lãnh tụ tối cao Phật giáo Thái Lan qua đời](http://vnexpress.net/tin-tuc/the-gioi/lanh-tu-toi-cao-phat-giao-thai-lan-qua-doi-2901051.html#), *VnExpress*. Truy cập ngày 30 tháng 10 năm 2013

X-Cache: cp1067 miss (0), cp1055 frontend miss (0)


text:
Schweinschied
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Schweinschied là một đô thị thuộc huyện Bad Kreuznach trong bang Rheinland-Pfalz, phía tây nước Đức. Đô thị Schweinschied có diện tích 6,35 kilômét vuông, dân số thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2006 là 187 người.

markdown:
# Schweinschied
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|Schweinschied
|
|Huy hiệu |
|Vị trí
|
|Hành chính
|
|[Đức](/wiki/%C4%90%E1%BB%A9c) [Bang](/wiki/Bang_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c) [Rheinland-Pfalz](/wiki/Rheinland-Pfalz) [Huyện](/wiki/Huy%E1%BB%87n_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c) [Bad Kreuznach](/wiki/Bad_Kreuznach_(huy%E1%BB%87n)) [Verbandsgemeinde](/w/index.php?title=Verbandsgemeinde&action=edit&redlink=1) [Meisenheim](/wiki/Meisenheim) [Thị trưởng](/wiki/Burgomaster) **Số liệu thống kê cơ bản** [Diện tích](/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch) [Cao độ](/wiki/Cao_%C4%91%E1%BB%99) [Dân số](/wiki/D%C3%A2n_s%E1%BB%91) *(31/12/2006)* [Mật độ](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91) **Các thông tin khác** [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [CET](/wiki/Gi%E1%BB%9D_Trung_%C3%82u)/ [CEST](/wiki/Gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_H%C3%A8_Trung_%C3%82u)( [UTC+1](/wiki/UTC%2B1)/ [+2](/wiki/UTC%2B2)) [Biển số xe](/wiki/Bi%E1%BB%83n_s%E1%BB%91_xe) [Mã bưu chính](/wiki/Danh_s%C3%A1ch_m%C3%A3_b%C6%B0u_ch%C3%ADnh_%E1%BB%9F_%C4%90%E1%BB%A9c) [Mã vùng](/w/index.php?title=M%C3%A3_v%C3%B9ng_%E1%BB%9F_%C4%90%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1) [Website](/wiki/Website) [www.schweinschied.de](http://www.schweinschied.de/) **Schweinschied** là một [đô thị](/w/index.php?title=%C4%90%C3%B4_th%E1%BB%8B_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1) thuộc [huyện Bad Kreuznach](/wiki/Bad_Kreuznach_(huy%E1%BB%87n)) trong [bang](/wiki/Bang_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c) [Rheinland-Pfalz](/wiki/Rheinland-Pfalz), phía tây nước [Đức](/wiki/%C4%90%E1%BB%A9c). Đô thị Schweinschied có [diện tích](/wiki/Di%E1%BB%87n_t%C3%ADch) 6,35 [kilômét vuông](/wiki/Kil%C3%B4m%C3%A9t_vu%C3%B4ng), [dân số](/wiki/D%C3%A2n_s%E1%BB%91) thời điểm ngày [31 tháng 12](/wiki/31_th%C3%A1ng_12) năm [2006](/wiki/2006) là 187 người.


text:
Thể loại:Đĩa đơn quán quân tại Pháp
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thể loại này bao gồm các bài viết về các đĩa đơn từng đạt vị trí quán quân trên bảng xếp hạng đĩa đơn SNEP ở Pháp.
Các trang trong thể loại “Đĩa đơn quán quân tại Pháp”
47 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 47 trang.

markdown:
# Thể loại:Đĩa đơn quán quân tại Pháp
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thể loại này bao gồm các bài viết về các
[đĩa đơn](/wiki/%C4%90%C4%A9a_%C4%91%C6%A1n) từng đạt vị trí quán quân trên bảng xếp hạng đĩa đơn [SNEP](/wiki/SNEP) ở [Pháp](/wiki/Ph%C3%A1p).
## Các trang trong thể loại “Đĩa đơn quán quân tại Pháp”
47 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 47 trang.

X-Cache: cp1066 miss (0), cp1055 frontend miss (0)


text:
Trợ giúp
Thể loại:Chính sách tài chính
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới:
menu
,
tìm kiếm
Các trang trong thể loại “Chính sách tài chính”
11 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 11 trang.
C
Cân bằng Ricardo
Chính sách tài chính
Công trình công cộng
Đ
Đầu tư công cộng
Đường cong Laffer
Đường IS
M
Mô hình IS-LM
N
Ngân sách nhà nước
Nợ chính phủ
S
Số nhân (kinh tế học)
T
Thâm hụt ngân sách
Lấy từ “
https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Thể_loại:Chính_sách_tài_chính&oldid=14158892
”
Thể loại
:
Kinh tế học vĩ mô
Chính sách kinh tế
Tài chính công
Chính sách kinh tế vĩ mô
Kinh tế học công cộng
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Thể loại
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Đọc
Sửa đổi
Sửa mã nguồn
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Xem nhanh
Trang Chính
Nội dung chọn lọc
Tin tức
Bài viết ngẫu nhiên
Thay đổi gần đây
Quyên góp
Tương tác
Hướng dẫn
Giới thiệu Wikipedia
Cộng đồng
Thảo luận chung
Giúp sử dụng
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Khoản mục Wikidata
In/xuất ra
Tạo một quyển sách
Tải về dưới dạng PDF
Bản để in ra
Ngôn ngữ khác
العربية
Aragonés
Bahasa Melayu
Български
Dansk
Deutsch
English
Español
Esperanto
Euskara
فارسی
Føroyskt
한국어
Македонски
Nederlands
Română
Slovenščina
Suomi
Svenska
ไทย
Türkçe
Winaray
中文
Sửa liên kết
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 16:54 ngày 10 tháng 10 năm 2013.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công/Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Xem
Điều khoản Sử dụng
để biết thêm chi tiết.
Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của
Wikimedia Foundation, Inc.
, một tổ chức phi lợi nhuận.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wikipedia
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Phiên bản di động