text:
- 25 trang
- Lượt xem: 6743
- Download: 1205
50 Bài toán hình học lớp 9
Chia sẻ: fireinthehole
Tài liệu học tập tham khảo môn toán hình học lớp 9 dành cho học sinh hệ Trung học cơ sở học tập và tham khảo.
Thể loại:Tài Liệu Phổ Thông » Trung Học Cơ Sở
Chủ đề liên quan:
Nội dung Text: 50 Bài toán hình học lớp 9
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®−êng trßn (O). C¸c ®−êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H v c¾t ®−êng trßn (O) lÇn l−ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. E 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. P F 1 2 4. H v M ®èi xøng nhau qua BC. O 5. X¸c ®Þnh t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. H - Lêi gi¶i: 1 ( 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B D 2 ( C 0 - ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) M => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900. CF l ®−êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900. Nh− vËy E v F cïng nh×n BC d−íi mét gãc 900 => E v F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH v ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ l gãc chung AE AH => ∆ AEH ∼ ∆ADC => = => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC v ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C l gãc chung BE BC => ∆ BEC ∼ ∆ADC => = => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB l tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng l ®−¬ng trung trùc cña HM vËy H v M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD l tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB l tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã FC l tia ph©n gi¸c cña gãc DFE m BE v CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. B i 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®−êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. O 2 1 4. Chøng minh DE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 2 E 5. TÝnh ®é d i DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. H 3 Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B 1 D C 0 ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) 1
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900. AD l ®−êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900. Nh− vËy E v D cïng nh×n AB d−íi mét gãc 900 => E v D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD l ®−êng cao nªn còng l ®−êng trung tuyÕn => D l trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED l trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O l trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) 2 M ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 M ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E. VËy DE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm B i 3 Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R. Tõ A v B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l−ît ë C v D. C¸c ®−êng th¼ng AD v BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y 2. Chøng minh ∠COD = 900. x D AB 2 / 3. Chøng minh AC. BD = . I 4 M 4. Chøng minh OC // BM / 5. Chøng minh AB l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD. C N 6. Chøng minh MN ⊥ AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Lêi gi¶i: A O B 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. M CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC l tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD l tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, m ∠AOM v ∠BOM l hai gãc kÒ bï => ∠COD = 900. 3. Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM l tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, 2 AB 2 M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R => AC. BD = . 4 4. Theo trªn ∠COD = 900 nªn OC ⊥ OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD l trung trùc cña BM => BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) V (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I l trung ®iÓm cña CD ta cã I l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®−êng kÝnh CD cã IO l b¸n kÝnh. 2
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB l h×nh thang. L¹i cã I l trung ®iÓm cña CD; O l trung ®iÓm cña AB => IO l ®−êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , m AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB l tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => = , m CA = CM; DB = DM nªn suy ra = BN BD BN DM => MN // BD m BD ⊥ AB => MN ⊥ AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD m AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , m CD nhá nhÊt khi CD l kho¶ng c¸ch gi÷ Ax v By tøc l CD vu«ng gãc víi Ax v By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i l trung ®iÓm cña cung AB. B i 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I l t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K l t©m ®−êng trßn b ng tiÕp gãc A , O l trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 2. Chøng minh AC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I l t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K l t©m ®−êng trßn b ng tiÕp I gãc A nªn BI v BK l hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 0 1 Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 90 . B H 2 C T−¬ng tù ta còng cã ∠ICK = 900 nh− vËy B v C cïng n»m trªn o ®−êng trßn ®−êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 2. Ta cã ∠C1 = ∠C2 (1) ( v× CI l ph©n gi¸c cña gãc ACH. K ∠C2 + ∠I1 = 900 (2) ( v× ∠IHC = 900 ). ∠I1 = ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC. VËy AC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 2 − 12 2 = 16 ( cm) CH 2 12 2 CH2 = AH.OH => OH = = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 + HC 2 = 9 2 + 12 2 = 225 = 15 (cm) B i 5 Cho ®−êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®−êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP v gäi K l trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B l tiÕp ®iÓm). KÎ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H l giao ®iÓm cña AC v BD, I l giao ®iÓm cña OM v AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d A 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn . P K D 2 2 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . N 4. Chøng minh OAHB l h×nh thoi. H 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng h ng. O I M 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng th¼ng d Lêi gi¶i: C 1. (HS tù l m). 2. V× K l trung ®iÓm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hÖ ®−êng kÝnh B V d©y cung) => ∠OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900; ∠OBM = 900. nh− vËy K, A, B cïng nh×n OM d−íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM l trung trùc cña AB => OM ⊥ AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI l ®−êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB l h×nh b×nh h nh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB l h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB l h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng h ng( V× qua O chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB l h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh−ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng th¼ng d l nöa ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R B i 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®−êng cao AH. VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I l h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I 1. ∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2). 1 V× AB ⊥CE (gt), do ®ã AB võa l ®−êng cao võa l ®−êng trung tuyÕn B 2 H C cña ∆BEC => BEC l tam gi¸c c©n. => ∠B1 = ∠B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI v ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH. 3. AI = AH v BE ⊥ AI t¹i I => BE l tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED B i 7 Cho ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax v lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. X 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. P N J 2. Chøng minh BM // OP. 1 3. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng I minh tø gi¸c OBNP l h×nh b×nh h nh. M 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN v OM kÐo d i c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng h ng. K Lêi gi¶i: 2 1. (HS tù l m). 1 ( 1 ( A B 2. Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ∠ AOM l gãc ë t©m O ∠AOM ch¾n cung AM => ∠ ABM = (1) OP l tia ph©n gi¸c ∠ AOM 2 ∠AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => ∠ AOP = (2) 2 Tõ (1) v (2) => ∠ ABM = ∠ AOP (3) M ∠ ABM v ∠ AOP l hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3. XÐt hai tam gi¸c AOP v OBN ta cã : ∠PAO=900 (v× PA l tiÕp tuyÕn ); ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB). => ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) Tõ (4) v (5) => OBNP l h×nh b×nh h nh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song v b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP l h×nh b×nh h nh => PN // OB hay PJ // AB, m ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ 4
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM l tiÕp tuyÕn ), m ON v PM c¾t nhau t¹i I nªn I l trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP l h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K l trung ®iÓm cña PO ( t/c ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP l h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO l tia ph©n gi¸c ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8). Tõ (7) v (8) => ∆IPO c©n t¹i I cã IK l trung tuyÕn ®«ng thêi l ®−êng cao => IK ⊥ PO. (9) Tõ (6) v (9) => I, J, K th¼ng h ng. B i 8 Cho nöa ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB v ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®−êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK l tø gi¸c néi tiÕp. X 2 2) Chøng minh r»ng: AI = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF l tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH l h×nh thoi. F 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠KMF = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). H E ∠AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) K => ∠KEF = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). 1 2 2 => ∠KMF + ∠KEF = 1800 . M ∠KMF v ∠KEF l hai gãc ®èi 1 cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK l tø gi¸c néi tiÕp. A O B 0 2. Ta cã ∠IAB = 90 ( v× AI l tiÕp tuyÕn ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE l tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE l tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE l ®−êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) v (2) => BAF l tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF l tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE l ®−êng cao nªn ®ång thêi l ®−¬ng trung tuyÕn => E l trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE l tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE l tia ph©n gi¸c ∠HAK (5) Tõ (4) v (5) => HAK l tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE l ®−êng cao nªn ®ång thêi l ®−¬ng trung tuyÕn => E l trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) v (6) => AKFH l h×nh thoi ( v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH l h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI l h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn th× AKFI ph¶i l h×nh thang c©n. AKFI l h×nh thang c©n khi M l trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M l trung ®iÓm cña cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 .(8) Tõ (7) v (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI l h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M l trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. B i 9 Cho nöa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx v lÊy hai ®iÓm C v D thuéc nöa ®−êng trßn. C¸c tia AC v AD c¾t Bx lÇn l−ît ë E, F (F ë gi÷a B v E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD l tø gi¸c néi tiÕp. 5
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: X 1. C thuéc nöa ®−êng trßn nªn ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa E ®−êng trßn ) => BC ⊥ AE. ∠ABE = 900 ( Bx l tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC l ®−êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao ), m AB l ®−êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. C F 2. ∆ ADB cã ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ). D => ∠ABD + ∠BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ∆ ABF cã ∠ABF = 900 ( BF l tiÕp tuyÕn ). => ∠AFB + ∠BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) v (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phô víi ∠BAD) A O B 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 . ∠ECD + ∠ACD = 1800 ( V× l hai gãc kÒ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD). Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. M ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( V× l hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, mÆt kh¸c ∠ECD v ∠EFD l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD l tø gi¸c néi tiÕp. B i 10 Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB v ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ l ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB v S l giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P l ch©n ®−¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. S 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn 1 M 2. Gäi S’ l giao ®iÓm cña MA v SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 1 2 3 3. Chøng minh PM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn . Lêi gi¶i: P 4( )1 ) 1 B 0 0 3( A 2 H O 1. Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90 ; ∠AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠AMS = 900 . Nh− vËy P v M cïng nh×n AS d−íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AS. M' VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 1 2. V× M’®èi xøng M qua AB m M n»m trªn ®−êng trßn nªn M’ còng S' n»m trªn ®−êng trßn => hai cung AM v AM’ cã sè ®o b»ng nhau => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) v (2) => ∠AS’S = ∠ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B1 = ∠S’1 (cïng phô víi ∠S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’1 = ∠M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5). Tõ (3), (4) v (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 m ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nªn suy ra ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t¹i M => PM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M B i 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. = CB CF 6
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: A 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => ∠DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠DFE < 900; ∠EDF < 900. Nh− vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. D F AD AF O 2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => = => DF // BC. AB AC I 3. DF // BC => BDFC l h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n) B M E C => BDFC l h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM v CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). ∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF . BD BM => ∆BDM ∼∆CBF => = CB CF B i 12 Cho ®−êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®−êng kÝnh AB v CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®−êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO l h×nh b×nh h nh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc v o vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh n o. A M O B Lêi gi¶i: 1. Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP l tiÕp tuyÕn ). Nh− vËy M v N cïng nh×n OP d−íi mét gãc b»ng 900 => M v N cïng N n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) P D B' A' Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC v MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO l c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2). Tõ (1) v (2) => Tø gi¸c CMPO l h×nh b×nh h nh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC v NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C l gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC CM CO => = => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc v o vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®−êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song v b»ng AB. B i 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®−êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE l h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn . 7
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: A 0 1. Ta cã : ∠BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) E => ∠AEH = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). (1) 1 I ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) 2 1( F => ∠AFH = 900 (v× l hai gãc kÒ bï).(2) 1 )1 2 ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (O1) v (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC m ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× l hai gãc kÒ bï) => ∠EBC+∠EFC = 1800 mÆt kh¸c ∠EBC v ∠EFC l hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF v ACB ta cã ∠A = 900 l gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => = => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) v (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 . ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E v O1H cïng l b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2. => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 m ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF . Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF. VËy EF l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn . B i 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®−êng trßn cã ®−êng kÝnh theo thø tù l AB, AC, CB v cã t©m theo thø tù l O, I, K. §−êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®−êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù l giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). E 1. Chøng minh EC = MN. N 2. Chøng minh MN l tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). 3 1 H 2 3. TÝnh MN. 1 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn M Lêi gi¶i: 1 2 1 0 1. Ta cã: ∠BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m K) A I C O K B 0 => ∠ENC = 90 (v× l hai gãc kÒ bï). (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× l hai gãc kÒ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN l h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (I) v (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN l h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng l b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) Tõ (4) v (5) => ∠N1 = ∠N3 m ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN l tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã MN l tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN l tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). 3. Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) 2 => EC = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 8
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π . 202 = 400 π . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn l S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 π - 25 π - 400 π ) = .200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 2 B i 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®−êng trßn (O) cã ®−êng kÝnh MC. ®−êng th¼ng BM c¾t ®−êng trßn (O) t¹i D. ®−êng th¼ng AD c¾t ®−êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD l tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E l giao ®iÓm cña BC víi ®−êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®−êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM l tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 12 3 O O D 3 S E 2 1 1 E 2 S M 2 M D 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh− vËy D v A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn A v D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC => ABCD l tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ∠D1= ∠C3 => SM = EM => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®−êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh− vËy BA, EM, CD l ba ®−êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. 4. Theo trªn Ta cã SM = EM => ∠D1= ∠D2 => DM l tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn (O)) => ∠MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®−êng trßn => ∠A2 = ∠B2 . Tø gi¸c ABCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM l tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) v (2) Ta cã M l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ∠ABC = ∠CME (cïng phô ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS => CE = CS => SM = EM => ∠SCM = ∠ECM => CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 9
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.v mét ®iÓm D n»m gi÷a A v B. §−êng trßn ®−êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®−êng th ng CD, AE lÇn l−ît c¾t ®−êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC v AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®−êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O Lêi gi¶i: E 1. XÐt hai tam gi¸c ABC v EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) 1 0 F 1 G => ∠DEB = ∠BAC = 90 ; l¹i cã ∠ABC l gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB . D 2. Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); ∠BAC = 900 1 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 m S A C ®©y l hai gãc ®èi nªn ADEC l tø gi¸c néi tiÕp . * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh− vËy F v A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn A v F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC => AFBC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC l tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 m ®©y l hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF l ba ®−êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. B i 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®−êng cao l AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ l tø gi¸c néi tiÕp v h y x¸c ®Þnh t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH ⊥ PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) A 0 => ∠AQM = 90 nh− vËy P v Q cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn P v Q cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AM => APMQ l tø gi¸c néi tiÕp. * V× AM l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ l O trung ®iÓm cña AM. 1 P 1 2. Tam gi¸c ABC cã AH l ®−êng cao => SABC = BC.AH. 2 2 1 Tam gi¸c ABM cã MP l ®−êng cao => SABM = AB.MP Q 2 1 M Tam gi¸c ACM cã MQ l ®−êng cao => SACM = AC.MQ B H C 2 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 M AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH l ®−êng cao nªn còng l ®−êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => HP = HQ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH l tia ph©n gi¸c gãc POQ. M tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP v OQ cïng l b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng l ®−êng cao => OH ⊥ PQ 10
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 18 Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngo i ®−êng trßn ; MA v MB thø tù c¾t ®−êng trßn (O) t¹i C v D. Gäi I l giao ®iÓm cña AD v BC. 1. Chøng minh MCID l tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®−êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH l tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) 1 => ∠MCI = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). _ ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) C 1 K 0 2 => ∠MDI = 90 (v× l hai gãc kÒ bï). 4 3 _ 0 D => ∠MCI + ∠MDI = 180 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID l tø gi¸c néi tiÕp. I 2. Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC v AD l hai 1 A ®−êng cao cña tam gi¸c MAB m BC v AD c¾t nhau t¹i I nªn I l trùc O H B t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng l ®−êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA v OC l b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC v KM l b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 . M ∠A1 + ∠M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM l gãc bÑt) hay ∠OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 m ∠OHK v ∠OCK l hai gãc ®èi nªn KCOH l tø gi¸c néi tiÕp. B i 19. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M l trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE l h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng h ng. I 5. Chøng minh MI l tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 2 A 1 1 1. ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BID = 900 / M / O 2 B O' C 0 (v× l hai gãc kÒ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 90 => ∠BID + ∠BMD = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID l tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M 1 còng l trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) E => Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . 3. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE l h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) v (2) => I, B, E th¼ng h ng (v× qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi AD m th«i.) 5. I, B, E th¼ng h ng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM l trung tuyÕn ( v× M l trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C v O’I cïng l b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 m ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . M ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI l tiÕp tuyÕn cña (O’). 11
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 20. Cho ®−êng trßn (O; R) v (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngo i nhau t¹i C. Gäi AC v BC l hai ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) v (O’). DE l d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) l F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . D 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn 1 G 3. Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng h ng 5. DF, EG, AB ®ång quy. A M C B O O' 1 6. MF = 1/2 DE. 1 2 3 7. MF l tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1 F 0 1. ∠BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) E => ∠CGD = 900 (v× l hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD l tø gi¸c néi tiÕp 2. ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh− vËy F v M cïng nh×n BD d−íi mét gãc b»ng 900 nªn F v M cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng l trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) => Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . 4. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE l h×nh tho => BE // AD m AD ⊥ DF nªn suy ra BE ⊥ DF . Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => BF ⊥ DF m qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng h ng. 5. Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE m DF v BM c¾t nhau t¹i C nªn C l trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng l ®−êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng h ng. VËy DF, EG, AB ®ång quy 6. Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM l trung tuyÕn (v× M l trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B v O’F cïng l b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 m ∠B1 = ∠D1 (Cïng phô víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 . M ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF l tiÕp tuyÕn cña (O’). B i 21. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Gäi I l trung ®iÓm cña OA . VÏ ®−êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng trßn (I) v (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. Q 2. Chøng minh IP // OQ. 1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. P 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 Lêi gi¶i: 1. Ta cã OI = OA – IA m OA v IA lÇn l−ît l c¸c b¸n kÝnh cña ®−êng A 1 B I O H trßn (O) v ®−êng trßn (I) . VËy ®−êng trßn (O) v ®−êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A . 2. ∆OAQ c©n t¹i O ( v× OA v OQ cïng l b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA v IP cïng l b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠P1 => ∠P1 = ∠Q1 m ®©y l hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. 3. ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP l ®−êng cao cña ∆OAQ m ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP l ®−êng trung tuyÕn => AP = PQ. 12
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 1 4. (HD) KÎ QH ⊥ AB ta cã SAQB = AB.QH. m AB l ®−êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH 2 lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i l trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P l trung ®iÓm cña cung AO => PI ⊥ AO m theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q l trung ®iÓm cña cung AB v khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. B i 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®−êng th¼ng n y c¾t c¸c ®−êng th¼ng DE v DC theo thø tù ë H v K. 1. Chøng minh BHCD l tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®−êng n o? 1 Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD l h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE O H 0 E t¹i H nªn ∠BHD = 90 => nh− vËy H v C cïng nh×n BD d−íi mét 1 2 gãc b»ng 900 nªn H v C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BD => BHCD l tø gi¸c néi tiÕp. ) 1 2. BHCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800. (1) D ∠BHK l gãc bÑt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2). C K Tõ (1) v (2) => ∠CHK = ∠BDC m ∠BDC = 450 (v× ABCD l h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 . 3. XÐt ∆KHC v ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K l gãc chung KC KH => ∆KHC ∼ ∆KDB => = => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 v BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C). B i 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngo i tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng h ng. E 2. §−êng th¼ng HD c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c M ABC t¹i F, chøng minh FBC l tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M l giao ®iÓm cña BF v D K ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn F mét ®−êng trßn. A 4. Chøng minh MC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. H Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK l h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 B O C 0 0 Tø gi¸c AEDC l h×nh vu«ng => ∠CAD = 45 ; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 90 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng h ng. 2. Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). ∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) m theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2). Tõ (1) v (2) suy ra ∆FBC l tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× l hai gãc kÒ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => ∠CFM + ∠CDM = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®−êng trßn suy ra ∠CDF = ∠CMF , m ∠CDF = 450 (v× AEDC l h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450. Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC l h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK l h×nh vu«ng). 13
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Nh− vËy K, E, M cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 4. ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. B i 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 . VÏ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC cã t©m O, ®−êng trßn n y c¾t BA v BC t¹i D v E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H l giao ®iÓm cña CD v AE, Chøng minh r»ng ®−êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. D F 3. Chøng minh OD l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam 1 2 O gi¸c BDE. / _ H Lêi gi¶i: _K 0 1 / I 1 1. ∠AEC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠AEB = 900 ( v× l hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE = 450 B E C => ∆AEB l tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K l trung ®iÓm cña HE (1) ; I l trung ®iÓm cña HB => IK l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE m ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2). Tõ (1) v (2) => IK l trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH m I l trung ®iÓm cña BH => IE = IB. ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kÒ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI l trung tuyÕn (do I l trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD v OC l b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1. (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID v IB l b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 . (4) Theo trªn ta cã CD v AE l hai ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => H l trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng l ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 . Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phô ∠BAC) (5). Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 m ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. B i 25. Cho ®−êng trßn (O), BC l d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) t¹i B v C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®−êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t−¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK l P; giao ®iÓm cña CM, IH l Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp . A 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ⊥ MI. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900. H => ∠MIB + ∠MKB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp K 1 * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t−¬ng tù tø gi¸c BIMK ) M 0 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 180 ; tø gi¸c 1 0 P Q CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 180 . m ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c 1 2 1 2 B 1 C ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1). I Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). O M ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s® BM ) => ∠I1 = ∠H1 (2). MI MK Tõ (1) v (2) => ∆MKI ∆MIH => = => MI2 = MH.MK MH MI 14
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 4. Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 m ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 m ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy ra IM ⊥ PQ. B i 26. Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H. Gäi M l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I l giao ®iÓm cña CB v OM. K l giao ®iÓm cña AM v CB. Chøng minh : KC AC J 1. = 2. AM l tia ph©n gi¸c cña ∠CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M 4. Chøng minh ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng l tiÕp tuyÕn cña ®−êng K _ I trßn t¹i M. A Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña BC => MB = MC H O B => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK l tia KC AC ph©n gi¸c cña gãc CAB => = ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB D 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A l trung ®iÓm cña CD => ∠CMA = ∠DMA => MA l tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy ra MJ l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M. B i 27 Cho ®−êng trßn (O) v mét ®iÓm A ë ngo i ®−êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i B v C. Gäi M l ®iÓm tuú ý trªn ®−êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ∠BAO = ∠ BCO. 3. ∆MIH ∼ ∆MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: I B I B H M M H O A O A K C C K 1. (HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t−¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). M ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® BM ) => ∠HKM = ∠MHI (1). Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã ∠KHM = ∠HIM (2). Tõ (1) v (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM. MI MH 4. Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => = => MI.MK = MH2 MH MK 15
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H l trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E l ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F l ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF l h×nh b×nh h nh. A 2. E, F n»m trªn ®−êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE l h×nh thang c©n. 4. Gäi G l giao ®iÓm cña AI v OH. Chøng minh G l träng t©m cña = B' tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: O C' H G 1. Theo gi¶ thiÕt F l ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña = BC => I l trung ®iÓm BC v HE => BHCF l h×nh b×nh h nh v× cã hai / B / / ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . A' I / C 0 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 180 m ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800. Theo trªn BHCF E F 0 l h×nh b×nh h nh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 180 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H v E ®èi xøng nhau qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H v E ®èi xøng nhau qua BC => BC ⊥ HE (1) v IH = IE m I l trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2) Tõ (1) v (2) => EF // BC => BEFC l h×nh thang. (3) Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trªn F ∈(O) v ∠FEA =900 => AF l ®−êng kÝnh cña (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phô ∠ACB) (5). Tõ (4) v (5) => ∠BCF = ∠CBE (6). Tõ (3) v (6) => tø gi¸c BEFC l h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF l ®−êng kÝnh cña (O) => O l trung ®iÓm cña AF; BHCF l h×nh b×nh h nh => I l trung ®iÓm cña HF => OI l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo gi¶ thiÕt I l trung ®iÓm cña BC => OI ⊥ BC ( Quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG GI OI 1 (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => = m OI = AH GA HA 2 GI 1 => = m AI l trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I l trung ®iÓm cña BC) => G l träng t©m cña GA 2 tam gi¸c ABC. B i 29 BC l mét d©y cung cña ®−êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. A 2. Gäi A’ l trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 l trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó = E tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. A1 O Lêi gi¶i: (HD) F H = 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ∠AEF = ∠ACB (cïng bï ∠BFE) / ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC. B D / A' / / C 2. VÏ ®−êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC l h×nh b×nh h nh => A’ l trung ®iÓm K cña HK => OK l ®−êng trung b×nh cña ∆AHK => AH = 2OA’ 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : 16
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 R AA ' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => = (1) trong ®ã R l b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ l b¸n kÝnh R ' AA1 ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ l trung tuyÕn cña ∆ABC; AA1 l trung tuyÕn cña ∆AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AH nªn ®©y còng l ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF AH 2 A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn l−ît l trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l−ît l c¸c ®−êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R . m l tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF v ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nªn = . T−¬ng tù ta cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay v o (3) ta ®−îc AA ' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( .BC + . AC + . AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC m R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. 1 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, m AD lín nhÊt khi A l ®iÓm 2 chÝnh giìa cña cung lín BC. B i 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®−êng cao AH v b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM l ph©n gi¸c cña gãc OAH. A 2. Gi¶ sö ∠B > ∠C. Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C. D 0 0 3. Cho ∠BAC = 60 v ∠OAH = 20 . TÝnh: a) ∠B v ∠C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC v cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM l ph©n gi¸c cña ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => BM = CM => M l trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => B H C OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le). M ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM M l tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. VÏ d©y BD ⊥ OA => AB = AD => ∠ABD = ∠ACB. Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 . ∠B + ∠C = 1200 ∠B = 700 => 0 ⇔ 0 ∠B − ∠C = 20 ∠C = 50 π .R 2 .1202 1 R π .R 2 R 2 . 3 R 2 .(4π − 3 3) b) Svp = SqBOC - S BOC = − R. 3. = − = 3600 2 2 3 4 12 17
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt ∠BAC = 600. 1. TÝnh sè ®o gãc BOC v ®é d i BC theo R. A 2. VÏ ®−êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H l giao ®iÓm cña ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH v AD // BH. D 3. TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => s® BC =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) H O 0 => ∠BOC = 120 ( t/c gãc ë t©m) . * Theo trªn s® BC =1200 => BC l c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp B M C (O; R) => BC = R 3 . 2. CD l ®−êng kÝnh => ∠DBC = 900 hay DB ⊥ BC; theo gi¶ thiÕt AH l ®−êng cao => AH ⊥ BC => BD // AH. Chøng minh t−¬ng tù ta còng ®−îc AD // BH. 3. Theo trªn ∠DBC = 900 => ∆DBC vu«ng t¹i B cã BC = R 3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R 3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH l h×nh b×nh h nh => AH = BD => AH = R. B i 32 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m N trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. 2. Tõ A kÎ Ax ⊥ MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c K D CMBN l h×nh b×nh h nh. C I 3. Chøng minh C l trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®−êng n o. A H B 2 O 5. Cho AM. AN = 3R , AN = R 3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngo i tam gi¸c AMN. Lêi gi¶i: (HD) M 1. I l trung ®iÓm cña MN => OI ⊥ MN t¹i I ( quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) = > ∠OIH = 900 . OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh−ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d−íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN; theo trªn OI ⊥ MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC m O l trung ®iÓm cña AB => I l trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I l trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN l h×nh b×nh h nh ( V× cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng ). 3. CMBN l h×nh b×nh h nh => MC // BN m BN ⊥ AN ( v× ∠ANB = 900 do l gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => MC ⊥ AN; theo trªn AC ⊥ MN => C l trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Ta cã H l trung ®iÓm cña OB; I l trung ®iÓm cña BC => IH l ®−êng tung b×nh cña ∆OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN hay IH ⊥ Ax => OC ⊥ Ax t¹i C => ∠OCA = 900 => C thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA cè ®Þnh. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . => AM =AN = R 3 => ∆AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ∆ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R 3 => BN = R => ∠ABN = 600 . ∠ABN = ∠AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => ∠AMN = 600 (2). 3R 2 3 Tõ (1) v (2) => ∆AMN l tam gi¸c ®Òu => S∆AMN = . 4 3R 2 3 R 2 (4π − 3 3 => S = S(O) - S∆AMN = π R 2 - = 4 4 18
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®−êng trßn t¹i M. 1. Chøng minh OM ⊥ BC. 1 ( P 2 2. Chøng minh MC = MI.MA. 3. KÎ ®−êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B v C N A c¾t ®−êng th¼ng AN t¹i P v Q. Chøng minh bèn ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn . Q 1 2 Lêi gi¶i: 1. AM l ph©n gi¸c cña ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM 1 O => BM = CM => M l trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC K 2. XÐt ∆MCI v ∆MAC cã ∠MCI =∠MAC (hai gãc néi tiÕp 1 2 2 1 ( B ch¾n hai cung b»ng nhau); ∠M l gãc chung I C MC MI => ∆MCI ∼ ∆MAC => = => MC2 = MI.MA. MA MC M 0 0 3. (HD) ∠MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠P1 = 90 – ∠K1 m ∠K1 l gãc ngo i cña tam ∠A ∠B ∠A ∠B gi¸c AKB nªn ∠K1 = ∠A1 + ∠B1 = + (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => ∠P1 = 900 – ( + ).(1) 2 2 2 2 ∠C 1 ∠A ∠B CQ l tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => ∠C1 = = (1800 - ∠A - ∠B) = 900 – ( + ). (2). 2 2 2 2 Tõ (1) v (2) => ∠P1 = ∠C1 hay ∠QPB = ∠QCB m P v C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn ∠A ∠B cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( + ) dùng trªn BQ. 2 2 VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn . B i 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AA’. 1. TÝnh b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (O). A 2. KÎ ®−êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ l h×nh g×? T¹i sao? 1 2 3. KÎ AK ⊥ CC’ tø gi¸c AKHC l h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngo i tam gi¸c ABC. C' Lêi gi¶i: 1. (HD) V× ∆ABC c©n t¹i A nªn ®−êng kÝnh AA’ cña ®−êng trßn K 1 O ngo¹i tiÕp v ®−êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc l AA’®i 1 1 2 BC 6 B C H qua H. => ∆ACA’ vu«ng t¹i C cã ®−êng cao CH = = = 3cm; 2 2 2 2 CH 3 9 AH = 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = = = = 2,5 => AA’ AH 4 4 A' => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. V× AA’ v CC’ l hai ®−êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®−êng => ACA’C’ l h×nh b×nh h nh. L¹i cã ∠ACA’ = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ l h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC; AK ⊥ CC’ => K v H cïng nh×n AC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => ∠C2 = ∠H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; ∆AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => ∠C2 = ∠A2 => ∠A2 = ∠H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK l h×nh thang (2). Tõ (1) v (2) suy ra tø gi¸c ACHK l h×nh thang c©n. 19
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 35 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A v O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C l ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N v B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . M 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. O1 4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . E C 5. H y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME l nhá nhÊt. A B I O Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥AB t¹i I => ∠EIB = 900; ∠ ACB néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn nªn ∠ACB = 900 hay ∠ECB = 900 => ∠EIB + ∠ECB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB l tø gi¸c néi tiÕp . N 2. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥AB => A l trung ®iÓm cña cung MN => ∠AMN = ∠ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay ∠AME = ∠ACM. L¹i thÊy ∠CAM l gãc chung cña hai tam gi¸c AME v AMC do ®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. AM AE 3. Theo trªn ∆AME ∼ ∆ ACM => = => AM2 = AE.AC AC AM 4. ∠AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ); MN ⊥AB t¹i I => ∆AMB vu«ng t¹i M cã MI l ®−êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng) . ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trªn ∠AMN = ∠ACM => AM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM; Nèi MB ta cã ∠AMB = 900 , do ®ã t©m O1 cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 l kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 ⊥BM. Gäi O1 l ch©n ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®−îc O1 l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM cã b¸n kÝnh l O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME l nhá nhÊt th× C ph¶i l giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®−êng trßn (O) trong ®ã O1 l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM. B i 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®−êng cao AD, BE, CF. Gäi H l trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît l c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ l h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . A 3. Hai tam gi¸c HNP v HCB ®ång d¹ng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng h ng. E Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù l m) F H 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => ∠N2 = ∠D4 (néi 1 P Q 0 1 tiÕp cïng ch¾n cung HP); ∆HDC cã ∠HDC = 90 (do AH l ®−êng 2 0 M 1N cao) ∆ HDP cã ∠HPD = 90 (do DP ⊥ HC) => ∠C1= ∠D4 (cïng phô 3 4 víi ∠DHC)=>∠C1=∠N2 (1) chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠B1=∠P1 (2) 1 1 1 Tõ (1) v (2) => ∆HNP ∼ ∆ HCB B D C 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => ∠N1 = ∠D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠C1= ∠D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4) Theo chøng minh trªn ∠C1 = ∠N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => ∠N1 = ∠N2 m B, N, H th¼ng h ng => M, N, P th¼ng h ng. (6) Chøng minh t−¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng h ng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng h ng 20
Tài liệu liên quan

markdown:
25 trang
Lượt xem: 6743
Download: 1205
# 50 Bài toán hình học lớp 9
Chia sẻ:
[fireinthehole](http://tailieu.vn/user/fireinthehole)
Tài liệu học tập tham khảo môn toán hình học lớp 9 dành cho học sinh hệ Trung học cơ sở học tập và tham khảo.
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Tài Liệu Phổ Thông](http://tailieu.vn/tai-lieu-pho-thong/)» [Trung Học Cơ Sở](http://tailieu.vn/tai-lieu-pho-thong/trung-hoc-co-so/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: 50 Bài toán hình học lớp 9**
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 1. Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®−êng trßn (O). C¸c ®−êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H v c¾t ®−êng trßn (O) lÇn l−ît t¹i M,N,P. A N Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp . 1 2. Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. E 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. P F 1 2 4. H v M ®èi xøng nhau qua BC. O 5. X¸c ®Þnh t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. H - Lêi gi¶i: 1 ( 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B D 2 ( C 0 - ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) M => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900. CF l ®−êng cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900. Nh− vËy E v F cïng nh×n BC d−íi mét gãc 900 => E v F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC. VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3. XÐt hai tam gi¸c AEH v ADC ta cã: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; ¢ l gãc chung AE AH => ∆ AEH ∼ ∆ADC => = => AE.AC = AH.AD. AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC v ADC ta cã: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C l gãc chung BE BC => ∆ BEC ∼ ∆ADC => = => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta cã ∠C1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB l tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB ⊥ HM => ∆ CHM c©n t¹i C => CB còng l ®−¬ng trung trùc cña HM vËy H v M ®èi xøng nhau qua BC. 5. Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn => ∠C1 = ∠E1 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD l tø gi¸c néi tiÕp ∠C1 = ∠E2 ( v× l hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB l tia ph©n gi¸c cña gãc FED. Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã FC l tia ph©n gi¸c cña gãc DFE m BE v CF c¾t nhau t¹i H do ®ã H l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF. B i 2. Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®−êng cao AD, BE, c¾t nhau t¹i H. Gäi O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE. A 1. Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp . 2. Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 1 1 3. Chøng minh ED = BC. O 2 1 4. Chøng minh DE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 2 E 5. TÝnh ®é d i DE biÕt DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. H 3 Lêi gi¶i: 1. XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: B 1 D C 0 ∠ CEH = 90 ( V× BE l ®−êng cao) 1
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 ∠ CDH = 900 ( V× AD l ®−êng cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 M ∠ CEH v ∠ CDH l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CEHD , Do ®ã CEHD l tø gi¸c néi tiÕp 2. Theo gi¶ thiÕt: BE l ®−êng cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900. AD l ®−êng cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900. Nh− vËy E v D cïng nh×n AB d−íi mét gãc 900 => E v D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB. VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3. Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD l ®−êng cao nªn còng l ®−êng trung tuyÕn => D l trung ®iÓm cña BC. Theo trªn ta cã ∠BEC = 900 . 1 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED l trung tuyÕn => DE = BC. 2 4. V× O l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O l trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => ∠E1 = ∠A1 (1). 1 Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => ∠E3 = ∠B1 (2) 2 M ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 M ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E. VËy DE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O) t¹i E. 5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm B i 3 Cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R. Tõ A v B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn l−ît ë C v D. C¸c ®−êng th¼ng AD v BC c¾t nhau t¹i N. 1. Chøng minh AC + BD = CD. y 2. Chøng minh ∠COD = 900. x D AB 2 / 3. Chøng minh AC. BD = . I 4 M 4. Chøng minh OC // BM / 5. Chøng minh AB l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD. C N 6. Chøng minh MN ⊥ AB. 7. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Lêi gi¶i: A O B 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. M CM + DM = CD => AC + BD = CD 2. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: OC l tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD l tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, m ∠AOM v ∠BOM l hai gãc kÒ bï => ∠COD = 900. 3. Theo trªn ∠COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM ⊥ CD ( OM l tiÕp tuyÕn ). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM, 2 AB 2 M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R => AC. BD = . 4 4. Theo trªn ∠COD = 900 nªn OC ⊥ OD .(1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD l trung trùc cña BM => BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) V (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD). 5. Gäi I l trung ®iÓm cña CD ta cã I l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®−êng kÝnh CD cã IO l b¸n kÝnh. 2
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB l h×nh thang. L¹i cã I l trung ®iÓm cña CD; O l trung ®iÓm cña AB => IO l ®−êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , m AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB l tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®−êng trßn ®−êng kÝnh CD CN AC CN CM 6. Theo trªn AC // BD => = , m CA = CM; DB = DM nªn suy ra = BN BD BN DM => MN // BD m BD ⊥ AB => MN ⊥ AB. 7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nªn suy ra chu vi tø gi¸c ACDB = AB + 2CD m AB kh«ng ®æi nªn chu vi tø gi¸c ACDB nhá nhÊt khi CD nhá nhÊt , m CD nhá nhÊt khi CD l kho¶ng c¸ch gi÷ Ax v By tøc l CD vu«ng gãc víi Ax v By. Khi ®ã CD // AB => M ph¶i l trung ®iÓm cña cung AB. B i 4 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I l t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K l t©m ®−êng trßn b ng tiÕp gãc A , O l trung ®iÓm cña IK. A 1. Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 2. Chøng minh AC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 3. TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. Lêi gi¶i: (HD) 1. V× I l t©m ®−êng trßn néi tiÕp, K l t©m ®−êng trßn b ng tiÕp I gãc A nªn BI v BK l hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï ®Ønh B 1 0 1 Do ®ã BI ⊥ BK hay∠IBK = 90 . B H 2 C T−¬ng tù ta còng cã ∠ICK = 900 nh− vËy B v C cïng n»m trªn o ®−êng trßn ®−êng kÝnh IK do ®ã B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 2. Ta cã ∠C1 = ∠C2 (1) ( v× CI l ph©n gi¸c cña gãc ACH. K ∠C2 + ∠I1 = 900 (2) ( v× ∠IHC = 900 ). ∠I1 = ∠ ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => ∠C1 + ∠ICO = 900 hay AC ⊥ OC. VËy AC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (O). 3. Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm. AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 2 − 12 2 = 16 ( cm) CH 2 12 2 CH2 = AH.OH => OH = = = 9 (cm) AH 16 OC = OH 2 + HC 2 = 9 2 + 12 2 = 225 = 15 (cm) B i 5 Cho ®−êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®−êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP v gäi K l trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B l tiÕp ®iÓm). KÎ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H l giao ®iÓm cña AC v BD, I l giao ®iÓm cña OM v AB. 1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp. d A 2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn . P K D 2 2 3. Chøng minh OI.OM = R ; OI. IM = IA . N 4. Chøng minh OAHB l h×nh thoi. H 5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng h ng. O I M 6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng th¼ng d Lêi gi¶i: C 1. (HS tù l m). 2. V× K l trung ®iÓm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hÖ ®−êng kÝnh B V d©y cung) => ∠OKM = 900. Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900; ∠OBM = 900. nh− vËy K, A, B cïng nh×n OM d−íi mét gãc 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OM. VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 3
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM l trung trùc cña AB => OM ⊥ AB t¹i I . Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI l ®−êng cao. ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2. 4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tø gi¸c OAHB l h×nh b×nh h nh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB l h×nh thoi. 5. Theo trªn OAHB l h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng h ng( V× qua O chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB). 6. (HD) Theo trªn OAHB l h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng di ®éng nh−ng lu«n c¸ch A cè ®Þnh mét kho¶ng b»ng R. Do ®ã quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®−êng th¼ng d l nöa ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R B i 6 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®−êng cao AH. VÏ ®−êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH. Gäi HD l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn (A; AH). TiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i D c¾t CA ë E. 1. Chøng minh tam gi¸c BEC c©n. E D 2. Gäi I l h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH. 3. Chøng minh r»ng BE l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn (A; AH). 4. Chøng minh BE = BH + DE. A Lêi gi¶i: (HD) I 1. ∆ AHC = ∆ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2). 1 V× AB ⊥CE (gt), do ®ã AB võa l ®−êng cao võa l ®−êng trung tuyÕn B 2 H C cña ∆BEC => BEC l tam gi¸c c©n. => ∠B1 = ∠B2 2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI v ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH. 3. AI = AH v BE ⊥ AI t¹i I => BE l tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I. 4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED B i 7 Cho ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax v lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M. X 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. P N J 2. Chøng minh BM // OP. 1 3. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N. Chøng I minh tø gi¸c OBNP l h×nh b×nh h nh. M 4. BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN v OM kÐo d i c¾t nhau t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng h ng. K Lêi gi¶i: 2 1. (HS tù l m). 1 ( 1 ( A B 2. Ta cã ∠ ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; ∠ AOM l gãc ë t©m O ∠AOM ch¾n cung AM => ∠ ABM = (1) OP l tia ph©n gi¸c ∠ AOM 2 ∠AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ) => ∠ AOP = (2) 2 Tõ (1) v (2) => ∠ ABM = ∠ AOP (3) M ∠ ABM v ∠ AOP l hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra BM // OP. (4) 3. XÐt hai tam gi¸c AOP v OBN ta cã : ∠PAO=900 (v× PA l tiÕp tuyÕn ); ∠NOB = 900 (gt NO⊥AB). => ∠PAO = ∠NOB = 900; OA = OB = R; ∠AOP = ∠OBN (theo (3)) => ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5) Tõ (4) v (5) => OBNP l h×nh b×nh h nh ( v× cã hai c¹nh ®èi song song v b»ng nhau). 4. Tø gi¸c OBNP l h×nh b×nh h nh => PN // OB hay PJ // AB, m ON ⊥ AB => ON ⊥ PJ 4
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Ta còng cã PM ⊥ OJ ( PM l tiÕp tuyÕn ), m ON v PM c¾t nhau t¹i I nªn I l trùc t©m tam gi¸c POJ. (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP l h×nh ch÷ nhËt v× cã ∠PAO = ∠AON = ∠ONP = 900 => K l trung ®iÓm cña PO ( t/c ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt). (6) AONP l h×nh ch÷ nhËt => ∠APO = ∠ NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau Ta cã PO l tia ph©n gi¸c ∠APM => ∠APO = ∠MPO (8). Tõ (7) v (8) => ∆IPO c©n t¹i I cã IK l trung tuyÕn ®«ng thêi l ®−êng cao => IK ⊥ PO. (9) Tõ (6) v (9) => I, J, K th¼ng h ng. B i 8 Cho nöa ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB v ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn ( M kh¸c A,B). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®−êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®−êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. 1) Chøng minh r»ng: EFMK l tø gi¸c néi tiÕp. X 2 2) Chøng minh r»ng: AI = IM . IB. I 3) Chøng minh BAF l tam gi¸c c©n. 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH l h×nh thoi. F 5) X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ®Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ∠AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠KMF = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). H E ∠AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) K => ∠KEF = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). 1 2 2 => ∠KMF + ∠KEF = 1800 . M ∠KMF v ∠KEF l hai gãc ®èi 1 cña tø gi¸c EFMK do ®ã EFMK l tø gi¸c néi tiÕp. A O B 0 2. Ta cã ∠IAB = 90 ( v× AI l tiÕp tuyÕn ) => ∆AIB vu«ng t¹i A cã AM ⊥ IB ( theo trªn). ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao => AI2 = IM . IB. 3. Theo gi¶ thiÕt AE l tia ph©n gi¸c gãc IAM => ∠IAE = ∠MAE => AE = ME (lÝ do ……) => ∠ABE =∠MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE l tia ph©n gi¸c gãc ABF. (1) Theo trªn ta cã ∠AEB = 900 => BE ⊥ AF hay BE l ®−êng cao cña tam gi¸c ABF (2). Tõ (1) v (2) => BAF l tam gi¸c c©n. t¹i B . 4. BAF l tam gi¸c c©n. t¹i B cã BE l ®−êng cao nªn ®ång thêi l ®−¬ng trung tuyÕn => E l trung ®iÓm cña AF. (3) Tõ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trªn AE l tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE l tia ph©n gi¸c ∠HAK (5) Tõ (4) v (5) => HAK l tam gi¸c c©n. t¹i A cã AE l ®−êng cao nªn ®ång thêi l ®−¬ng trung tuyÕn => E l trung ®iÓm cña HK. (6). Tõ (3) , (4) v (6) => AKFH l h×nh thoi ( v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng). 5. (HD). Theo trªn AKFH l h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI l h×nh thang. §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn th× AKFI ph¶i l h×nh thang c©n. AKFI l h×nh thang c©n khi M l trung ®iÓm cña cung AB. ThËt vËy: M l trung ®iÓm cña cung AB => ∠ABM = ∠MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ). (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ∠ABI = 450 => ∠AIB = 450 .(8) Tõ (7) v (8) => ∠IAK = ∠AIF = 450 => AKFI l h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc ®¸y b»ng nhau). VËy khi M l trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn. B i 9 Cho nöa ®−êng trßn (O; R) ®−êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx v lÊy hai ®iÓm C v D thuéc nöa ®−êng trßn. C¸c tia AC v AD c¾t Bx lÇn l−ît ë E, F (F ë gi÷a B v E). 1. Chøng minh AC. AE kh«ng ®æi. 2. Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB. 3. Chøng minh r»ng CEFD l tø gi¸c néi tiÕp. 5
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: X 1. C thuéc nöa ®−êng trßn nªn ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa E ®−êng trßn ) => BC ⊥ AE. ∠ABE = 900 ( Bx l tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC l ®−êng cao => AC. AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao ), m AB l ®−êng kÝnh nªn AB = 2R kh«ng ®æi do ®ã AC. AE kh«ng ®æi. C F 2. ∆ ADB cã ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ). D => ∠ABD + ∠BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ∆ ABF cã ∠ABF = 900 ( BF l tiÕp tuyÕn ). => ∠AFB + ∠BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) v (2) => ∠ABD = ∠DFB ( cïng phô víi ∠BAD) A O B 3. Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ∠ABD + ∠ACD = 1800 . ∠ECD + ∠ACD = 1800 ( V× l hai gãc kÒ bï) => ∠ECD = ∠ABD ( cïng bï víi ∠ACD). Theo trªn ∠ABD = ∠DFB => ∠ECD = ∠DFB. M ∠EFD + ∠DFB = 1800 ( V× l hai gãc kÒ bï) nªn suy ra ∠ECD + ∠EFD = 1800, mÆt kh¸c ∠ECD v ∠EFD l hai gãc ®èi cña tø gi¸c CDFE do ®ã tø gi¸c CEFD l tø gi¸c néi tiÕp. B i 10 Cho ®−êng trßn t©m O ®−êng kÝnh AB v ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®−êng trßn sao cho AM < MB. Gäi M’ l ®iÓm ®èi xøng cña M qua AB v S l giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A. Gäi P l ch©n ®−¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB. S 1. Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn 1 M 2. Gäi S’ l giao ®iÓm cña MA v SP. Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n. 1 2 3 3. Chøng minh PM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn . Lêi gi¶i: P 4( )1 ) 1 B 0 0 3( A 2 H O 1. Ta cã SP ⊥ AB (gt) => ∠SPA = 90 ; ∠AMB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠AMS = 900 . Nh− vËy P v M cïng nh×n AS d−íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AS. M' VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 1 2. V× M’®èi xøng M qua AB m M n»m trªn ®−êng trßn nªn M’ còng S' n»m trªn ®−êng trßn => hai cung AM v AM’ cã sè ®o b»ng nhau => ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠AMM’ = ∠AS’S; ∠AM’M = ∠ASS’ (v× so le trong) (2). => Tõ (1) v (2) => ∠AS’S = ∠ASS’. Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®−êng trßn => ∠ASP=∠AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => ∠AS’P = ∠AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P. 3. Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => ∠B1 = ∠S’1 (cïng phô víi ∠S). (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => ∠S’1 = ∠M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => ∠B1 = ∠M3 (5). Tõ (3), (4) v (5) => ∠M1 = ∠M3 => ∠M1 + ∠M2 = ∠M3 + ∠M2 m ∠M3 + ∠M2 = ∠AMB = 900 nªn suy ra ∠M1 + ∠M2 = ∠PMO = 900 => PM ⊥ OM t¹i M => PM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M B i 11. Cho tam gi¸c ABC (AB = AC). C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F . BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M. Chøng minh : 1. Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. BD BM 2. DF // BC. 3. Tø gi¸c BDFC néi tiÕp. 4. = CB CF 6
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: A 1. (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ∠ADF = ∠AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => ∠DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE). Chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠DFE < 900; ∠EDF < 900. Nh− vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän. D F AD AF O 2. Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => = => DF // BC. AB AC I 3. DF // BC => BDFC l h×nh thang l¹i cã ∠ B = ∠C (v× tam gi¸c ABC c©n) B M E C => BDFC l h×nh thang c©n do ®ã BDFC néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn . 4. XÐt hai tam gi¸c BDM v CBF Ta cã ∠ DBM = ∠BCF ( hai gãc ®¸y cña tam gi¸c c©n). ∠BDM = ∠BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); ∠ CBF = ∠BFD (v× so le) => ∠BDM = ∠CBF . BD BM => ∆BDM ∼∆CBF => = CB CF B i 12 Cho ®−êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®−êng kÝnh AB v CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §−êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®−êng trßn ë P. Chøng minh : C 1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c CMPO l h×nh b×nh h nh. 3. CM. CN kh«ng phô thuéc v o vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh n o. A M O B Lêi gi¶i: 1. Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP l tiÕp tuyÕn ). Nh− vËy M v N cïng nh×n OP d−íi mét gãc b»ng 900 => M v N cïng N n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp. 2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) P D B' A' Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ∠ONC = ∠OCN => ∠OPM = ∠OCM. XÐt hai tam gi¸c OMC v MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO l c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2). Tõ (1) v (2) => Tø gi¸c CMPO l h×nh b×nh h nh. 3. XÐt hai tam gi¸c OMC v NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C l gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC CM CO => = => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 CD CN kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc v o vÞ trÝ cña ®iÓm M. 4. ( HD) DÔ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®−êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song v b»ng AB. B i 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®−êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F. 1. Chøng minh AFHE l h×nh ch÷ nhËt. 2. BEFC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chøng minh EF l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn . 7
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Lêi gi¶i: A 0 1. Ta cã : ∠BEH = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) E => ∠AEH = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). (1) 1 I ∠CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) 2 1( F => ∠AFH = 900 (v× l hai gãc kÒ bï).(2) 1 )1 2 ∠EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) B O1 H O2 C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng). 2. Tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®−îc mét ®−êng trßn =>∠F1=∠H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) . Theo gi¶ thiÕt AH ⊥BC nªn AH l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (O1) v (O2) => ∠B1 = ∠H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => ∠B1= ∠F1 => ∠EBC+∠EFC = ∠AFE + ∠EFC m ∠AFE + ∠EFC = 1800 (v× l hai gãc kÒ bï) => ∠EBC+∠EFC = 1800 mÆt kh¸c ∠EBC v ∠EFC l hai gãc ®èi cña tø gi¸c BEFC do ®ã BEFC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. XÐt hai tam gi¸c AEF v ACB ta cã ∠A = 900 l gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => = => AE. AB = AF. AC. AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) v (**) => AE. AB = AF. AC 4. Tø gi¸c AFHE l h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => ∆IEH c©n t¹i I => ∠E1 = ∠H1 . ∆O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E v O1H cïng l b¸n kÝnh) => ∠E2 = ∠H2. => ∠E1 + ∠E2 = ∠H1 + ∠H2 m ∠H1 + ∠H2 = ∠AHB = 900 => ∠E1 + ∠E2 = ∠O1EF = 900 => O1E ⊥EF . Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã O2F ⊥ EF. VËy EF l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn . B i 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®−êng trßn cã ®−êng kÝnh theo thø tù l AB, AC, CB v cã t©m theo thø tù l O, I, K. §−êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®−êng trßn (O) t¹i E. Gäi M. N theo thø tù l giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). E 1. Chøng minh EC = MN. N 2. Chøng minh MN l tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). 3 1 H 2 3. TÝnh MN. 1 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn M Lêi gi¶i: 1 2 1 0 1. Ta cã: ∠BNC= 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m K) A I C O K B 0 => ∠ENC = 90 (v× l hai gãc kÒ bï). (1) ∠AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m I) => ∠EMC = 900 (v× l hai gãc kÒ bï).(2) ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn t©m O) hay ∠MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN l h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®−êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) 2. Theo gi¶ thiÕt EC ⊥AB t¹i C nªn EC l tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®−êng trßn (I) v (K) => ∠B1 = ∠C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN). Tø gi¸c CMEN l h×nh ch÷ nhËt nªn => ∠C1= ∠N3 => ∠B1 = ∠N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng l b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => ∠B1 = ∠N1 (5) Tõ (4) v (5) => ∠N1 = ∠N3 m ∠N1 + ∠N2 = ∠CNB = 900 => ∠N3 + ∠N2 = ∠MNK = 900 hay MN ⊥ KN t¹i N => MN l tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N. Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã MN l tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, VËy MN l tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®−êng trßn (I), (K). 3. Ta cã ∠AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn t©m O) => ∆AEB vu«ng t¹i A cã EC ⊥ AB (gt) 2 => EC = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm. 8
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π . 202 = 400 π . 1 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®−îc giíi h¹n bëi ba nöa ®−êng trßn l S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 π - 25 π - 400 π ) = .200 π = 100 π ≈ 314 (cm2) 2 2 B i 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®−êng trßn (O) cã ®−êng kÝnh MC. ®−êng th¼ng BM c¾t ®−êng trßn (O) t¹i D. ®−êng th¼ng AD c¾t ®−êng trßn (O) t¹i S. 1. Chøng minh ABCD l tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. Gäi E l giao ®iÓm cña BC víi ®−êng trßn (O). Chøng minh r»ng c¸c ®−êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy. 4. Chøng minh DM l tia ph©n gi¸c cña gãc ADE. 5. Chøng minh ®iÓm M l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE. Lêi gi¶i: C C 2 1 12 3 O O D 3 S E 2 1 1 E 2 S M 2 M D 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta cã ∠CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠CDB = 900 nh− vËy D v A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn A v D cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC => ABCD l tø gi¸c néi tiÕp. 2. ABCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠D1= ∠C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB). ∠D1= ∠C3 => SM = EM => ∠C2 = ∠C3 (hai gãc néi tiÕp ®−êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) => CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 3. XÐt ∆CMB Ta cã BA⊥CM; CD ⊥ BM; ME ⊥ BC nh− vËy BA, EM, CD l ba ®−êng cao cña tam gi¸c CMB nªn BA, EM, CD ®ång quy. 4. Theo trªn Ta cã SM = EM => ∠D1= ∠D2 => DM l tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) 5. Ta cã ∠MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn (O)) => ∠MEB = 900. Tø gi¸c AMEB cã ∠MAB = 900 ; ∠MEB = 900 => ∠MAB + ∠MEB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi nªn tø gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®−êng trßn => ∠A2 = ∠B2 . Tø gi¸c ABCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠A1= ∠B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => ∠A1= ∠A2 => AM l tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) v (2) Ta cã M l t©m ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u 2 : ∠ABC = ∠CME (cïng phô ∠ACB); ∠ABC = ∠CDS (cïng bï ∠ADC) => ∠CME = ∠CDS => CE = CS => SM = EM => ∠SCM = ∠ECM => CA l tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. 9
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.v mét ®iÓm D n»m gi÷a A v B. §−êng trßn ®−êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®−êng th ng CD, AE lÇn l−ît c¾t ®−êng trßn t¹i F, G. Chøng minh : B 1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD. 2. Tø gi¸c ADEC v AFBC néi tiÕp . 3. AC // FG. 4. C¸c ®−êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy. O Lêi gi¶i: E 1. XÐt hai tam gi¸c ABC v EDB Ta cã ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) 1 0 F 1 G => ∠DEB = ∠BAC = 90 ; l¹i cã ∠ABC l gãc chung => ∆DEB ∼ ∆ CAB . D 2. Theo trªn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); ∠BAC = 900 1 ( v× ∆ABC vu«ng t¹i A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 m S A C ®©y l hai gãc ®èi nªn ADEC l tø gi¸c néi tiÕp . * ∠BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); ∠DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) hay ∠BFC = 900 nh− vËy F v A cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn A v F cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BC => AFBC l tø gi¸c néi tiÕp. 3. Theo trªn ADEC l tø gi¸c néi tiÕp => ∠E1 = ∠C1 l¹i cã ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 m ®©y l hai gãc so le trong nªn suy ra AC // FG. 4. (HD) DÔ thÊy CA, DE, BF l ba ®−êng cao cña tam gi¸c DBC nªn CA, DE, BF ®ång quy t¹i S. B i 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®−êng cao l AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC. 1. Chøng minh APMQ l tø gi¸c néi tiÕp v h y x¸c ®Þnh t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã. 2. Chøng minh r»ng MP + MQ = AH. 3. Chøng minh OH ⊥ PQ. Lêi gi¶i: 1. Ta cã MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt) A 0 => ∠AQM = 90 nh− vËy P v Q cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn P v Q cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AM => APMQ l tø gi¸c néi tiÕp. * V× AM l ®−êng kÝnh cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ l O trung ®iÓm cña AM. 1 P 1 2. Tam gi¸c ABC cã AH l ®−êng cao => SABC = BC.AH. 2 2 1 Tam gi¸c ABM cã MP l ®−êng cao => SABM = AB.MP Q 2 1 M Tam gi¸c ACM cã MQ l ®−êng cao => SACM = AC.MQ B H C 2 1 1 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 2 2 M AB = BC = CA (v× tam gi¸c ABC ®Òu) => MP + MQ = AH. 3. Tam gi¸c ABC cã AH l ®−êng cao nªn còng l ®−êng ph©n gi¸c => ∠HAP = ∠HAQ => HP = HQ ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => ∠HOP = ∠HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH l tia ph©n gi¸c gãc POQ. M tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP v OQ cïng l b¸n kÝnh) nªn suy ra OH còng l ®−êng cao => OH ⊥ PQ 10
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 18 Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngo i ®−êng trßn ; MA v MB thø tù c¾t ®−êng trßn (O) t¹i C v D. Gäi I l giao ®iÓm cña AD v BC. 1. Chøng minh MCID l tø gi¸c néi tiÕp . 2. Chøng minh c¸c ®−êng th¼ng AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. Gäi K l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH l tø gi¸c néi tiÕp . Lêi gi¶i: M 1. Ta cã : ∠ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) 1 => ∠MCI = 900 (v× l hai gãc kÒ bï). _ ∠ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®−êng trßn ) C 1 K 0 2 => ∠MDI = 90 (v× l hai gãc kÒ bï). 4 3 _ 0 D => ∠MCI + ∠MDI = 180 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCID nªn MCID l tø gi¸c néi tiÕp. I 2. Theo trªn Ta cã BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nªn BC v AD l hai 1 A ®−êng cao cña tam gi¸c MAB m BC v AD c¾t nhau t¹i I nªn I l trùc O H B t©m cña tam gi¸c MAB. Theo gi¶ thiÕt th× MH ⊥ AB nªn MH còng l ®−êng cao cña tam gi¸c MAB => AD, BC, MH ®ång quy t¹i I. 3. ∆OAC c©n t¹i O ( v× OA v OC l b¸n kÝnh) => ∠A1 = ∠C4 ∆KCM c©n t¹i K ( v× KC v KM l b¸n kÝnh) => ∠M1 = ∠C1 . M ∠A1 + ∠M1 = 900 ( do tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => ∠C1 + ∠C4 = 900 => ∠C3 + ∠C2 = 900 ( v× gãc ACM l gãc bÑt) hay ∠OCK = 900 . XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 => ∠OHK + ∠OCK = 1800 m ∠OHK v ∠OCK l hai gãc ®èi nªn KCOH l tø gi¸c néi tiÕp. B i 19. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AC. Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iÓm B tuú ý (B kh¸c O, C ). Gäi M l trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD. 1. Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp . D 2. Chøng minh tø gi¸c ADBE l h×nh thoi. 3. Chøng minh BI // AD. 4. Chøng minh I, B, E th¼ng h ng. I 5. Chøng minh MI l tiÕp tuyÕn cña (O’). 1 3 Lêi gi¶i: 2 A 1 1 1. ∠BIC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BID = 900 / M / O 2 B O' C 0 (v× l hai gãc kÒ bï); DE ⊥ AB t¹i M => ∠BMD = 90 => ∠BID + ∠BMD = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MBID nªn MBID l tø gi¸c néi tiÕp. 2. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M 1 còng l trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) E => Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . 3. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DC; theo trªn BI ⊥ DC => BI // AD. (1) 4. Theo gi¶ thiÕt ADBE l h×nh thoi => EB // AD (2). Tõ (1) v (2) => I, B, E th¼ng h ng (v× qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng song song víi AD m th«i.) 5. I, B, E th¼ng h ng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM l trung tuyÕn ( v× M l trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => ∆MIE c©n t¹i M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C v O’I cïng l b¸n kÝnh ) => ∠I3 = ∠C1 m ∠C1 = ∠E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . M ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I t¹i I => MI l tiÕp tuyÕn cña (O’). 11
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 20. Cho ®−êng trßn (O; R) v (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngo i nhau t¹i C. Gäi AC v BC l hai ®−êng kÝnh ®i qua ®iÓm C cña (O) v (O’). DE l d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB. Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) l F, BD c¾t (O’) t¹i G. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c MDGC néi tiÕp . D 2. Bèn ®iÓm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn 1 G 3. Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi. 4. B, E, F th¼ng h ng 5. DF, EG, AB ®ång quy. A M C B O O' 1 6. MF = 1/2 DE. 1 2 3 7. MF l tiÕp tuyÕn cña (O’). Lêi gi¶i: 1 F 0 1. ∠BGC = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) E => ∠CGD = 900 (v× l hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE ⊥ AB t¹i M => ∠CMD = 900 => ∠CGD + ∠CMD = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c MCGD nªn MCGD l tø gi¸c néi tiÕp 2. ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BFD = 900; ∠BMD = 900 (v× DE ⊥ AB t¹i M) nh− vËy F v M cïng nh×n BD d−íi mét gãc b»ng 900 nªn F v M cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BD => M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®−êng trßn . 3. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña AB; DE ⊥ AB t¹i M nªn M còng l trung ®iÓm cña DE (quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) => Tø gi¸c ADBE l h×nh thoi v× cã hai ®−êng chÐo vu«ng gãc víi nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . 4. ∠ADC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => AD ⊥ DF ; theo trªn tø gi¸c ADBE l h×nh tho => BE // AD m AD ⊥ DF nªn suy ra BE ⊥ DF . Theo trªn ∠BFC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => BF ⊥ DF m qua B chØ cã mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi DF do ®o B, E, F th¼ng h ng. 5. Theo trªn DF ⊥ BE; BM ⊥ DE m DF v BM c¾t nhau t¹i C nªn C l trùc t©m cña tam gi¸c BDE => EC còng l ®−êng cao => EC⊥BD; theo trªn CG⊥BD => E,C,G th¼ng h ng. VËy DF, EG, AB ®ång quy 6. Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM l trung tuyÕn (v× M l trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn). 7. (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => ∆MDF c©n t¹i M => ∠D1 = ∠F1 ∆O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B v O’F cïng l b¸n kÝnh ) => ∠F3 = ∠B1 m ∠B1 = ∠D1 (Cïng phô víi ∠DEB ) => ∠F1 = ∠F3 => ∠F1 + ∠F2 = ∠F3 + ∠F2 . M ∠F3 + ∠F2 = ∠BFC = 900 => ∠F1 + ∠F2 = 900 = ∠MFO’ hay MF ⊥ O’F t¹i F => MF l tiÕp tuyÕn cña (O’). B i 21. Cho ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AB. Gäi I l trung ®iÓm cña OA . VÏ ®−êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q. 1. Chøng minh r»ng c¸c ®−êng trßn (I) v (O) tiÕp xóc nhau t¹i A. Q 2. Chøng minh IP // OQ. 1 3. Chøng minh r»ng AP = PQ. P 4. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña P ®Ó tam gi¸c AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 1 Lêi gi¶i: 1. Ta cã OI = OA – IA m OA v IA lÇn l−ît l c¸c b¸n kÝnh cña ®−êng A 1 B I O H trßn (O) v ®−êng trßn (I) . VËy ®−êng trßn (O) v ®−êng trßn (I) tiÕp xóc nhau t¹i A . 2. ∆OAQ c©n t¹i O ( v× OA v OQ cïng l b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠Q1 ∆IAP c©n t¹i I ( v× IA v IP cïng l b¸n kÝnh ) => ∠A1 = ∠P1 => ∠P1 = ∠Q1 m ®©y l hai gãc ®ång vÞ nªn suy ra IP // OQ. 3. ∠APO = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => OP ⊥ AQ => OP l ®−êng cao cña ∆OAQ m ∆OAQ c©n t¹i O nªn OP l ®−êng trung tuyÕn => AP = PQ. 12
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 1 4. (HD) KÎ QH ⊥ AB ta cã SAQB = AB.QH. m AB l ®−êng kÝnh kh«ng ®æi nªn SAQB lín nhÊt khi QH 2 lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i l trung ®iÓm cña cung AO. ThËt vËy P l trung ®iÓm cña cung AO => PI ⊥ AO m theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q l trung ®iÓm cña cung AB v khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt. B i 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®−êng th¼ng n y c¾t c¸c ®−êng th¼ng DE v DC theo thø tù ë H v K. 1. Chøng minh BHCD l tø gi¸c néi tiÕp . 2. TÝnh gãc CHK. A B 3. Chøng minh KC. KD = KH.KB 4. Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyÓn trªn ®−êng n o? 1 Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABCD l h×nh vu«ng nªn ∠BCD = 900; BH ⊥ DE O H 0 E t¹i H nªn ∠BHD = 90 => nh− vËy H v C cïng nh×n BD d−íi mét 1 2 gãc b»ng 900 nªn H v C cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh BD => BHCD l tø gi¸c néi tiÕp. ) 1 2. BHCD l tø gi¸c néi tiÕp => ∠BDC + ∠BHC = 1800. (1) D ∠BHK l gãc bÑt nªn ∠KHC + ∠BHC = 1800 (2). C K Tõ (1) v (2) => ∠CHK = ∠BDC m ∠BDC = 450 (v× ABCD l h×nh vu«ng) => ∠CHK = 450 . 3. XÐt ∆KHC v ∆KDB ta cã ∠CHK = ∠BDC = 450 ; ∠K l gãc chung KC KH => ∆KHC ∼ ∆KDB => = => KC. KD = KH.KB. KB KD 4. (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 v BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C). B i 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngo i tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE. 1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng h ng. E 2. §−êng th¼ng HD c¾t ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c M ABC t¹i F, chøng minh FBC l tam gi¸c vu«ng c©n. 3. Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M l giao ®iÓm cña BF v D K ED, Chøng minh 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn F mét ®−êng trßn. A 4. Chøng minh MC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. H Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ABHK l h×nh vu«ng => ∠BAH = 450 B O C 0 0 Tø gi¸c AEDC l h×nh vu«ng => ∠CAD = 45 ; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => ∠BAC = 90 => ∠BAH + ∠BAC + ∠CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng h ng. 2. Ta cã ∠BFC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn tam gi¸c BFC vu«ng t¹i F. (1). ∠FBC = ∠FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) m theo trªn ∠CAD = 450 hay ∠FAC = 450 (2). Tõ (1) v (2) suy ra ∆FBC l tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F. 3. Theo trªn ∠BFC = 900 => ∠CFM = 900 ( v× l hai gãc kÒ bï); ∠CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng). => ∠CFM + ∠CDM = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi nªn tø gi¸c CDMF néi tiÕp mét ®−êng trßn suy ra ∠CDF = ∠CMF , m ∠CDF = 450 (v× AEDC l h×nh vu«ng) => ∠CMF = 450 hay ∠CMB = 450. Ta còng cã ∠CEB = 450 (v× AEDC l h×nh vu«ng); ∠BKC = 450 (v× ABHK l h×nh vu«ng). 13
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 Nh− vËy K, E, M cïng nh×n BC d−íi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dùng trªn BC => 5 ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®−êng trßn. 4. ∆CBM cã ∠B = 450 ; ∠M = 450 => ∠BCM =450 hay MC ⊥ BC t¹i C => MC l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. B i 24. Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 . VÏ ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC cã t©m O, ®−êng trßn n y c¾t BA v BC t¹i D v E. 1. Chøng minh AE = EB. A 2. Gäi H l giao ®iÓm cña CD v AE, Chøng minh r»ng ®−êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. D F 3. Chøng minh OD l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam 1 2 O gi¸c BDE. / _ H Lêi gi¶i: _K 0 1 / I 1 1. ∠AEC = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠AEB = 900 ( v× l hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ∠ABE = 450 B E C => ∆AEB l tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB. 2. Gäi K l trung ®iÓm cña HE (1) ; I l trung ®iÓm cña HB => IK l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE m ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2). Tõ (1) v (2) => IK l trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH. 3. theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH m I l trung ®iÓm cña BH => IE = IB. ∠ ADC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠BDH = 900 (kÒ bï ∠ADC) => tam gi¸c BDH vu«ng t¹i D cã DI l trung tuyÕn (do I l trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID. Ta cã ∆ODC c©n t¹i O (v× OD v OC l b¸n kÝnh ) => ∠D1 = ∠C1. (3) ∆IBD c©n t¹i I (v× ID v IB l b¸n kÝnh ) => ∠D2 = ∠B1 . (4) Theo trªn ta cã CD v AE l hai ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => H l trùc t©m cña tam gi¸c ABC => BH còng l ®−êng cao cña tam gi¸c ABC => BH ⊥ AC t¹i F => ∆AEB cã ∠AFB = 900 . Theo trªn ∆ADC cã ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cïng phô ∠BAC) (5). Tõ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 m ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD ⊥ ID t¹i D => OD l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE. B i 25. Cho ®−êng trßn (O), BC l d©y bÊt k× (BC< 2R). KÎ c¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) t¹i B v C chóng c¾t nhau t¹i A. Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iÓm M råi kÎ c¸c ®−êng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t−¬ng øng BC, AC, AB. Gäi giao ®iÓm cña BM, IK l P; giao ®iÓm cña CM, IH l Q. 1. Chøng minh tam gi¸c ABC c©n. 2. C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp . A 3. Chøng minh MI2 = MH.MK. 4. Chøng minh PQ ⊥ MI. Lêi gi¶i: 1. Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã AB = AC => ∆ABC c©n t¹i A. 2. Theo gi¶ thiÕt MI ⊥ BC => ∠MIB = 900; MK ⊥ AB => ∠MKB = 900. H => ∠MIB + ∠MKB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c BIMK néi tiÕp K 1 * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t−¬ng tù tø gi¸c BIMK ) M 0 3. Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠KMI + ∠KBI = 180 ; tø gi¸c 1 0 P Q CHMI néi tiÕp => ∠HMI + ∠HCI = 180 . m ∠KBI = ∠HCI ( v× tam gi¸c 1 2 1 2 B 1 C ABC c©n t¹i A) => ∠KMI = ∠HMI (1). I Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => ∠B1 = ∠I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => ∠H1 = ∠C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). O M ∠B1 = ∠C1 ( = 1/2 s® BM ) => ∠I1 = ∠H1 (2). MI MK Tõ (1) v (2) => ∆MKI ∆MIH => = => MI2 = MH.MK MH MI 14
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 4. Theo trªn ta cã ∠I1 = ∠C1; còng chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠I2 = ∠B2 m ∠C1 + ∠B2 + ∠BMC = 1800 => ∠I1 + ∠I2 + ∠BMC = 1800 hay ∠PIQ + ∠PMQ = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c PMQI néi tiÕp => ∠Q1 = ∠I1 m ∠I1 = ∠C1 => ∠Q1 = ∠C1 => PQ // BC ( v× cã hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau) . Theo gi¶ thiÕt MI ⊥BC nªn suy ra IM ⊥ PQ. B i 26. Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H. Gäi M l ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I l giao ®iÓm cña CB v OM. K l giao ®iÓm cña AM v CB. Chøng minh : KC AC J 1. = 2. AM l tia ph©n gi¸c cña ∠CMD. 3. Tø gi¸c OHCI néi tiÕp C / KB AB M 4. Chøng minh ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ M ®Õn AC còng l tiÕp tuyÕn cña ®−êng K _ I trßn t¹i M. A Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña BC => MB = MC H O B => ∠CAM = ∠BAM (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => AK l tia KC AC ph©n gi¸c cña gãc CAB => = ( t/c tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ) KB AB D 2. (HD) Theo gi¶ thiÕt CD ⊥ AB => A l trung ®iÓm cña CD => ∠CMA = ∠DMA => MA l tia ph©n gi¸c cña gãc CMD. 3. (HD) Theo gi¶ thiÕt M l trung ®iÓm cña BC => OM ⊥ BC t¹i I => ∠OIC = 900 ; CD ⊥ AB t¹i H => ∠OHC = 900 => ∠OIC + ∠OHC = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c OHCI néi tiÕp 4. KÎ MJ ⊥ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC). Theo trªn OM ⊥ BC => OM ⊥ MJ t¹i J suy ra MJ l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn t¹i M. B i 27 Cho ®−êng trßn (O) v mét ®iÓm A ë ngo i ®−êng trßn . C¸c tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn (O) kÎ tõ A tiÕp xóc víi ®−êng trßn (O) t¹i B v C. Gäi M l ®iÓm tuú ý trªn ®−êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. Chøng minh : 1. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp. 2. ∠BAO = ∠ BCO. 3. ∆MIH ∼ ∆MHK. 4. MI.MK = MH2. Lêi gi¶i: I B I B H M M H O A O A K C C K 1. (HS tù gi¶i) 2. Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => ∠BAO = ∠ BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO). 3. Theo gi¶ thiÕt MH ⊥ BC => ∠MHC = 900; MK ⊥ CA => ∠MKC = 900 => ∠MHC + ∠MKC = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi => tø gi¸c MHCK néi tiÕp => ∠HCM = ∠HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM). Chøng minh t−¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => ∠MHI = ∠MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM). M ∠HCM = ∠MBI ( = 1/2 s® BM ) => ∠HKM = ∠MHI (1). Chøng minh t−¬ng tù ta còng cã ∠KHM = ∠HIM (2). Tõ (1) v (2) => ∆ HIM ∼ ∆ KHM. MI MH 4. Theo trªn ∆ HIM ∼ ∆ KHM => = => MI.MK = MH2 MH MK 15
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Gäi H l trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E l ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC; F l ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC. 1. Chøng minh tø gi¸c BHCF l h×nh b×nh h nh. A 2. E, F n»m trªn ®−êng trßn (O). 3. Chøng minh tø gi¸c BCFE l h×nh thang c©n. 4. Gäi G l giao ®iÓm cña AI v OH. Chøng minh G l träng t©m cña = B' tam gi¸c ABC. Lêi gi¶i: O C' H G 1. Theo gi¶ thiÕt F l ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña = BC => I l trung ®iÓm BC v HE => BHCF l h×nh b×nh h nh v× cã hai / B / / ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng . A' I / C 0 2. (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => ∠BAC + ∠B’HC’ = 180 m ∠BHC = ∠B’HC’ (®èi ®Ønh) => ∠BAC + ∠BHC = 1800. Theo trªn BHCF E F 0 l h×nh b×nh h nh => ∠BHC = ∠BFC => ∠BFC + ∠BAC = 180 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O). * H v E ®èi xøng nhau qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) . 3. Ta cã H v E ®èi xøng nhau qua BC => BC ⊥ HE (1) v IH = IE m I l trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2) Tõ (1) v (2) => EF // BC => BEFC l h×nh thang. (3) Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4). Theo trªn F ∈(O) v ∠FEA =900 => AF l ®−êng kÝnh cña (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phô ∠ACB) (5). Tõ (4) v (5) => ∠BCF = ∠CBE (6). Tõ (3) v (6) => tø gi¸c BEFC l h×nh thang c©n. 4. Theo trªn AF l ®−êng kÝnh cña (O) => O l trung ®iÓm cña AF; BHCF l h×nh b×nh h nh => I l trung ®iÓm cña HF => OI l ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c AHF => OI = 1/ 2 AH. Theo gi¶ thiÕt I l trung ®iÓm cña BC => OI ⊥ BC ( Quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) => ∠OIG = ∠HAG GI OI 1 (v× so le trong); l¹i cã ∠OGI = ∠ HGA (®èi ®Ønh) => ∆OGI ∼ ∆HGA => = m OI = AH GA HA 2 GI 1 => = m AI l trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I l trung ®iÓm cña BC) => G l träng t©m cña GA 2 tam gi¸c ABC. B i 29 BC l mét d©y cung cña ®−êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R). §iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho O lu«n n»m trong tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng cao AD, BE, CF cña tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H. 1. Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC. A 2. Gäi A’ l trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’. 3. Gäi A1 l trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’. OA’. 4. Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vÞ trÝ cña A ®Ó = E tæng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. A1 O Lêi gi¶i: (HD) F H = 1. Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => ∠AEF = ∠ACB (cïng bï ∠BFE) / ∠AEF = ∠ABC (cïng bï ∠CEF) => ∆ AEF ∼ ∆ ABC. B D / A' / / C 2. VÏ ®−êng kÝnh AK => KB // CH ( cïng vu«ng gãc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC l h×nh b×nh h nh => A’ l trung ®iÓm K cña HK => OK l ®−êng trung b×nh cña ∆AHK => AH = 2OA’ 3. ¸p dông tÝnh chÊt : nÕu hai tam gi¸c ®ång d¹ng th× tØ sè gi÷a hia trung tuyÕn, tØ sè gi÷a hai b¸n kÝnh c¸c ®−êng trßn ngo¹i tiÕp b»ng tØ sè ®ång d¹ng. ta cã : 16
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 R AA ' ∆ AEF ∼ ∆ ABC => = (1) trong ®ã R l b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC; R’ l b¸n kÝnh R ' AA1 ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ AEF; AA’ l trung tuyÕn cña ∆ABC; AA1 l trung tuyÕn cña ∆AEF. Tø gi¸c AEHF néi tiÕp ®−êng trßn ®−êng kÝnh AH nªn ®©y còng l ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆AEF AH 2 A'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’ = AA’ . 2 2 VËy R . AA1 = AA’ . A’O (2) 4. Gäi B’, C’lÇn l−ît l trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’⊥AC ; OC’⊥AB (b¸n kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng qua t©m) => OA’, OB’, OC’ lÇn l−ît l c¸c ®−êng cao cña c¸c tam gi¸c OBC, OCA, OAB. 1 SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ . BC’ + OB’ . AC + OC’ . AB ) 2 2SABC = OA’ . BC + OB’ . AC’ + OC’ . AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R . m l tØ sè gi÷a 2 trung tuyÕn cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng AEF v ABC AA ' AA ' AA1 EF FD ED nªn = . T−¬ng tù ta cã : OB’ = R . ; OC’ = R . Thay v o (3) ta ®−îc AA ' BC AC AB EF FD ED 2SABC = R ( .BC + . AC + . AB ) 2SABC = R(EF + FD + DE) BC AC AB * R(EF + FD + DE) = 2SABC m R kh«ng ®æi nªn (EF + FD + DE) ®¹t gÝ trÞ lín nhÊt khi SABC. 1 Ta cã SABC = AD.BC do BC kh«ng ®æi nªn SABC lín nhÊt khi AD lín nhÊt, m AD lín nhÊt khi A l ®iÓm 2 chÝnh giìa cña cung lín BC. B i 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M. VÏ ®−êng cao AH v b¸n kÝnh OA. 1. Chøng minh AM l ph©n gi¸c cña gãc OAH. A 2. Gi¶ sö ∠B > ∠C. Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C. D 0 0 3. Cho ∠BAC = 60 v ∠OAH = 20 . TÝnh: a) ∠B v ∠C cña tam gi¸c ABC. b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC v cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) O 1. AM l ph©n gi¸c cña ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM => BM = CM => M l trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC; Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC => B H C OM // AH => ∠HAM = ∠OMA ( so le). M ∠OMA = ∠OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O do cã OM = OA = R) => ∠HAM = OAM => AM M l tia ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2. VÏ d©y BD ⊥ OA => AB = AD => ∠ABD = ∠ACB. Ta cã ∠OAH = ∠ DBC ( gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) => ∠OAH = ∠ABC - ∠ABD => ∠OAH = ∠ABC - ∠ACB hay ∠OAH = ∠B - ∠C. 3. a) Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => ∠B + ∠C = 1200 ; theo trªn ∠B ∠C = ∠OAH => ∠B - ∠C = 200 . ∠B + ∠C = 1200 ∠B = 700 => 0 ⇔ 0 ∠B − ∠C = 20 ∠C = 50 π .R 2 .1202 1 R π .R 2 R 2 . 3 R 2 .(4π − 3 3) b) Svp = SqBOC - S BOC = − R. 3. = − = 3600 2 2 3 4 12 17
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt ∠BAC = 600. 1. TÝnh sè ®o gãc BOC v ®é d i BC theo R. A 2. VÏ ®−êng kÝnh CD cña (O; R); gäi H l giao ®iÓm cña ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH v AD // BH. D 3. TÝnh AH theo R. Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt ∠BAC = 600 => s® BC =1200 ( t/c gãc néi tiÕp ) H O 0 => ∠BOC = 120 ( t/c gãc ë t©m) . * Theo trªn s® BC =1200 => BC l c¹nh cña mét tam gi¸c ®Òu néi tiÕp B M C (O; R) => BC = R 3 . 2. CD l ®−êng kÝnh => ∠DBC = 900 hay DB ⊥ BC; theo gi¶ thiÕt AH l ®−êng cao => AH ⊥ BC => BD // AH. Chøng minh t−¬ng tù ta còng ®−îc AD // BH. 3. Theo trªn ∠DBC = 900 => ∆DBC vu«ng t¹i B cã BC = R 3 ; CD = 2R. => BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R 3 )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R. Theo trªn BD // AH; AD // BH => BDAH l h×nh b×nh h nh => AH = BD => AH = R. B i 32 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB = 2R. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. 1. Chøng minh khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m N trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. 2. Tõ A kÎ Ax ⊥ MN, tia BI c¾t Ax t¹i C. Chøng minh tø gi¸c K D CMBN l h×nh b×nh h nh. C I 3. Chøng minh C l trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®−êng n o. A H B 2 O 5. Cho AM. AN = 3R , AN = R 3 . TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngo i tam gi¸c AMN. Lêi gi¶i: (HD) M 1. I l trung ®iÓm cña MN => OI ⊥ MN t¹i I ( quan hÖ ®−êng kÝnh v d©y cung) = > ∠OIH = 900 . OH cè ®Þmh nªn khi MN di ®éng th× I còng di ®éng nh−ng lu«n nh×n OH cè ®Þnh d−íi mét gãc 900 do ®ã I di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OH. VËy khi MN di ®éng , trung ®iÓm I cña MN lu«n n»m trªn mét ®−êng trßn cè ®Þnh. 2. Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN; theo trªn OI ⊥ MN t¹i I => OI // Ax hay OI // AC m O l trung ®iÓm cña AB => I l trung ®iÓm cña BC, l¹i cã I l trung ®iÓm cña MN (gt) => CMBN l h×nh b×nh h nh ( V× cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®−êng ). 3. CMBN l h×nh b×nh h nh => MC // BN m BN ⊥ AN ( v× ∠ANB = 900 do l gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => MC ⊥ AN; theo trªn AC ⊥ MN => C l trùc t©m cña tam gi¸c AMN. 4. Ta cã H l trung ®iÓm cña OB; I l trung ®iÓm cña BC => IH l ®−êng tung b×nh cña ∆OBC => IH // OC Theo gi¶ thiÕt Ax ⊥ MN hay IH ⊥ Ax => OC ⊥ Ax t¹i C => ∠OCA = 900 => C thuéc ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA cè ®Þnh. VËy khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh OA cè ®Þnh. 5. Ta cã AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . => AM =AN = R 3 => ∆AMN c©n t¹i A. (1) XÐt ∆ABN vu«ng t¹i N ta cã AB = 2R; AN = R 3 => BN = R => ∠ABN = 600 . ∠ABN = ∠AMN (néi tiÕp cïng ch¾n cung AN) => ∠AMN = 600 (2). 3R 2 3 Tõ (1) v (2) => ∆AMN l tam gi¸c ®Òu => S∆AMN = . 4 3R 2 3 R 2 (4π − 3 3 => S = S(O) - S∆AMN = π R 2 - = 4 4 18
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®−êng trßn t¹i M. 1. Chøng minh OM ⊥ BC. 1 ( P 2 2. Chøng minh MC = MI.MA. 3. KÎ ®−êng kÝnh MN, c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B v C N A c¾t ®−êng th¼ng AN t¹i P v Q. Chøng minh bèn ®iÓm P, C , B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn . Q 1 2 Lêi gi¶i: 1. AM l ph©n gi¸c cña ∠BAC => ∠BAM = ∠CAM 1 O => BM = CM => M l trung ®iÓm cña cung BC => OM ⊥ BC K 2. XÐt ∆MCI v ∆MAC cã ∠MCI =∠MAC (hai gãc néi tiÕp 1 2 2 1 ( B ch¾n hai cung b»ng nhau); ∠M l gãc chung I C MC MI => ∆MCI ∼ ∆MAC => = => MC2 = MI.MA. MA MC M 0 0 3. (HD) ∠MAN = 90 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) => ∠P1 = 90 – ∠K1 m ∠K1 l gãc ngo i cña tam ∠A ∠B ∠A ∠B gi¸c AKB nªn ∠K1 = ∠A1 + ∠B1 = + (t/c ph©n gi¸c cña mét gãc ) => ∠P1 = 900 – ( + ).(1) 2 2 2 2 ∠C 1 ∠A ∠B CQ l tia ph©n gi¸c cña gãc ACB => ∠C1 = = (1800 - ∠A - ∠B) = 900 – ( + ). (2). 2 2 2 2 Tõ (1) v (2) => ∠P1 = ∠C1 hay ∠QPB = ∠QCB m P v C n»m cïng vÒ mét nöa mÆt ph¼ng bê BQ nªn ∠A ∠B cïng n»m trªn cung chøa gãc 900 – ( + ) dùng trªn BQ. 2 2 VËy bèn ®iÓm P, C, B, Q cïng thuéc mét ®−êng trßn . B i 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiÒu cao AH = 4 Cm, néi tiÕp ®−êng trßn (O) ®−êng kÝnh AA’. 1. TÝnh b¸n kÝnh cña ®−êng trßn (O). A 2. KÎ ®−êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ l h×nh g×? T¹i sao? 1 2 3. KÎ AK ⊥ CC’ tø gi¸c AKHC l h×nh g×? T¹i sao? 4. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngo i tam gi¸c ABC. C' Lêi gi¶i: 1. (HD) V× ∆ABC c©n t¹i A nªn ®−êng kÝnh AA’ cña ®−êng trßn K 1 O ngo¹i tiÕp v ®−êng cao AH xuÊt ph¸t tõ ®Ønh A trïng nhau, tøc l AA’®i 1 1 2 BC 6 B C H qua H. => ∆ACA’ vu«ng t¹i C cã ®−êng cao CH = = = 3cm; 2 2 2 2 CH 3 9 AH = 4cm => CH2 = AH.A’H => A’H = = = = 2,5 => AA’ AH 4 4 A' => AA’ = AH + HA’ = 4 + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ : 2 = 6,5 : 2 = 3,25 (cm) . 2. V× AA’ v CC’ l hai ®−êng kÝnh nªn c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®−êng => ACA’C’ l h×nh b×nh h nh. L¹i cã ∠ACA’ = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ) nªn suy ra tø gi¸c ACA’C’ l h×nh ch÷ nhËt. 3. Theo gi¶ thiÕt AH ⊥ BC; AK ⊥ CC’ => K v H cïng nh×n AC d−íi mét gãc b»ng 900 nªn cïng n»m trªn ®−êng trßn ®−êng kÝnh AC hay tø gi¸c ACHK néi tiÕp (1) => ∠C2 = ∠H1 (néi tiÕp cung ch¾n cung AK) ; ∆AOC c©n t¹i O ( v× OA=OC=R) => ∠C2 = ∠A2 => ∠A2 = ∠H1 => HK // AC ( v× cã hai gãc so le trong b»ng nhau) => tø gi¸c ACHK l h×nh thang (2). Tõ (1) v (2) suy ra tø gi¸c ACHK l h×nh thang c©n. 19
- 50 bµi to¸n h×nh häc líp 9 B i 35 Cho ®−êng trßn (O), ®−êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iÓm I n»m gi÷a A v O sao cho AI = 2/3 AO. KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C l ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN sao cho C kh«ng trïng víi M, N v B. Nèi AC c¾t MN t¹i E. 1. Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp . M 2. Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. 3. Chøng minh AM2 = AE.AC. O1 4. Chøng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . E C 5. H y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña C sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME l nhá nhÊt. A B I O Lêi gi¶i: 1. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥AB t¹i I => ∠EIB = 900; ∠ ACB néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn nªn ∠ACB = 900 hay ∠ECB = 900 => ∠EIB + ∠ECB = 1800 m ®©y l hai gãc ®èi cña tø gi¸c IECB nªn tø gi¸c IECB l tø gi¸c néi tiÕp . N 2. Theo gi¶ thiÕt MN ⊥AB => A l trung ®iÓm cña cung MN => ∠AMN = ∠ACM ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) hay ∠AME = ∠ACM. L¹i thÊy ∠CAM l gãc chung cña hai tam gi¸c AME v AMC do ®ã tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM. AM AE 3. Theo trªn ∆AME ∼ ∆ ACM => = => AM2 = AE.AC AC AM 4. ∠AMB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®−êng trßn ); MN ⊥AB t¹i I => ∆AMB vu«ng t¹i M cã MI l ®−êng cao => MI2 = AI.BI ( hÖ thøc gi÷a c¹nh v ®−êng cao trong tam gi¸c vu«ng) . ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago trong tam gi¸c AIM vu«ng t¹i I ta cã AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI . 5. Theo trªn ∠AMN = ∠ACM => AM l tiÕp tuyÕn cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM; Nèi MB ta cã ∠AMB = 900 , do ®ã t©m O1 cña ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM ph¶i n»m trªn BM. Ta thÊy NO1 nhá nhÊt khi NO1 l kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn BM => NO1 ⊥BM. Gäi O1 l ch©n ®−êng vu«ng gãc kÎ tõ N ®Õn BM ta ®−îc O1 l t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ ECM cã b¸n kÝnh l O1M. Do ®ã ®Ó kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME l nhá nhÊt th× C ph¶i l giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m O1 b¸n kÝnh O1M víi ®−êng trßn (O) trong ®ã O1 l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn BM. B i 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ c¸c ®−êng cao AD, BE, CF. Gäi H l trùc t©m cña tam gi¸c. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît l c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC. Chøng minh : 1. C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ l h×nh ch÷ nhËt. 2. C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp . A 3. Hai tam gi¸c HNP v HCB ®ång d¹ng. 4. Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng h ng. E Lêi gi¶i: 1. & 2. (HS tù l m) F H 3. Theo chøng minh trªn DNHP néi tiÕp => ∠N2 = ∠D4 (néi 1 P Q 0 1 tiÕp cïng ch¾n cung HP); ∆HDC cã ∠HDC = 90 (do AH l ®−êng 2 0 M 1N cao) ∆ HDP cã ∠HPD = 90 (do DP ⊥ HC) => ∠C1= ∠D4 (cïng phô 3 4 víi ∠DHC)=>∠C1=∠N2 (1) chøng minh t−¬ng tù ta cã ∠B1=∠P1 (2) 1 1 1 Tõ (1) v (2) => ∆HNP ∼ ∆ HCB B D C 4. Theo chøng minh trªn DNMB néi tiÕp => ∠N1 = ∠D1 (néi tiÕp cïng ch¾n cung BM).(3) DM // CF ( cïng vu«ng gãc víi AB) => ∠C1= ∠D1 ( hai gãc ®ång vÞ).(4) Theo chøng minh trªn ∠C1 = ∠N2 (5) Tõ (3), (4), (5) => ∠N1 = ∠N2 m B, N, H th¼ng h ng => M, N, P th¼ng h ng. (6) Chøng minh t−¬ng tù ta cung cã N, P, Q th¼ng h ng . (7) Tõ (6), (7) => Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng h ng 20
![](images/graphics/blank.gif)
## Tài liệu liên quan

Server: Apache/2.2.3 (CentOS)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0