markdown:
## Are you sure?
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
**PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
**
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu
A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3:
3 2
ax y bx cx d = + + +
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là
1 2
, x x khi đó
1 2
, x x là 2 nghiệm của phương trình
y’=0
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại
1 2
, x x thì
1 2
'( ) '( ) 0 f x f x = =
+ Phân tích '( ). ( ) ( ) y f x p x h x = + . Từ đó ta suy ra tại
1 2
, x x thì
1 1 2 2
( ); ( ) ( ) y h x y h x y h x = = ¬ =
là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là:
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với
đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện k=a
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng
y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện k=
1
a
÷
Ví dụ 1) Tìm m để ( )
3 2
7 3 f x x mx x = + + + có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông
góc với đường thẳng y=3x-7.
Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu ·
2
'( ) 3 2 7 0 f x x mx = + + = có 2 nghiệm phân biệt
2
21 0 21 m m ' · A = ÷ > · > . Thực hiện phép chia f(x) cho f
’
(x) ta có:
( ) ( )
2
1 1 2 7
. 21 3
3 9 9 9
m
f x x m f x m x
(
' ( = + + ÷ + ÷
¸ ¸ (
¸ ¸
. Với 21 m > thì f
’
(x)=0 có 2 nghiệm x
1,
x
2
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x
1
,x
2
.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
3
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
' = ¦
´
' =
¹
nên
( )
( )
2
1 1
2
2 2
2 7
(21 ) 3
9 9
2 7
(21 ) 3
9 9
m
f x m x
m
f x m x
¦
= ÷ + ÷
¦
¦
´
¦
= ÷ + ÷
¦
¹
.
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình ( ) ( )
2
2 7
: 21 3
9 9
m
y m x A = ÷ + ÷
Ta có ( )
( )
2 2 2
21 21 21
3 7
2 3 45
21 .3 1 21
9 2 2
m m m
y x
m m m
¦ ¦ ¦
> > >
¦ ¦ ¦
A ± = ÷ · · ·
´ ´ ´
÷
÷ = ÷ ÷ = =
¦ ¦ ¦
¹ ¹ ¹
3 10
2
m · = ±
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện tan k =
Ví dụ 1) Cho hàm số 2 3
2 3
+ ÷ ÷ = mx x x y (1) với m là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
Giải:
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
' 9 3 0 3 m m · A = + > · > ÷
3 2
1 2
3 2 ( 1). ' ( 2) 2
3 3 3
m m
y x x mx x y x = ÷ ÷ + = ÷ + ÷ ÷ + ÷
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình
3
2 ) 2
3
2
(
m
x
m
y ÷ + ÷ ÷ =
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai
|
.
|
\
| ÷
|
|
.
|
\
|
+
÷
3
6
; 0 , 0 ;
) 3 ( 2
6 m
B
m
m
A
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB =
6 6
2( 3) 3
9 3
6; ;
2 2
m m
m
m m m
÷ ÷
¬ =
+
¬ = = ÷ = ÷
Với m = 6 thì O B A ÷ ÷ so với điều kiện ta nhận
2
3
÷ = m
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là
9
( )
2
2
tan 45 1 2 1
3 3
( )
2
m L
m
k
m TM
= ÷
÷
= ± = ± ¬ ÷ = ± ¬
= ÷
¸
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
4
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b
một góc
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Giải điều kiện tan
1
k a
ka
÷
=
+
Ví dụ ) Tìm m để ( )
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1) f x x m x m m x m m = ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ có đường thẳng đi qua
CĐ, CT tạo với
1
5
4
y x
÷
= + một góc 45
0
.
Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra:
0
1 1 5 3
1
1 4 4 4 4 4
45 1 1
1 1 3 5 4 4
1 . 1
4 4 4 4 4
k k
k k
k
tg k
k k
k k
| |
÷ ÷ + = ÷ =
|
\ .
= = · + = ÷ · ·
÷ | |
+ ÷ + = ÷ =
|
¸ ¸ \ .
3
5
5
3
k
k
=
·
÷
=
¸
Hàm số có CĐ, CT
2 2
( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0 f x x m x m m ' · = ÷ ÷ + ÷ + = có 2 nghiệm phân biệt
2
3 5 3 5
3( 3 1) 0
2 2
m m m m
| | | |
÷ +
' · A = ÷ + > · < >
| |
| |
\ . \ .
(*)
Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có
| | ( )| |
2
1 2
( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1)
3 3
f x x m f x m m x m ' = ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷
với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số đạt ccực trị tại
x
1,
x
2
.
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
' =
' =
¸
nên
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1
2
2 2
2
( 3 1) 1
3
2
3 1 1
3
f x m m x m
f x m m x m
÷
( = ÷ + ÷ ÷
¸ ¸
÷
( = ÷ + ÷ ÷
¸ ¸
¸
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình ( ) ( ) ( )
2
2
: 3 1 1
3
y m m x m
÷
( A = ÷ + ÷ ÷
¸ ¸
Ta có ( ) A tạo với
1
5
4
y x
÷
= + góc 45
0
( )
2
2
3 1 1
3
m
÷
¬ m ÷ + = ±
kết hợp với điều kiện (*) ta có
3 15
2
m
±
=
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao
cho tam giác OAB có diện tích cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu
+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y.
+
/
1
.
2
MAB M AB
S d AB =
Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
5
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số
3
3 2 y x mx = ÷ + cắt
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.
Giải: Có:
2
' 3 3 y x m = ÷ có 2 nghiệm phân biệt khi 0 m > . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số là
( ) ( )
; 2 2 , ; 2 2 M m m x N m m x ÷ ÷ +
- Phương trình đường thẳng MN là: 2 2 0 mx y + ÷ =
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có
ˆ
2. . .sin 1
IAB
S IA IB AIB = s ,
dấu bằng xảy ra khi
0
ˆ
90 AIB = , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng
1
2
Do vậy ta có pt: ( )
2
2 1
1 1 3 3
, 1 ; 1
2 2 2 2
4 1
m
d I MN m m
m
÷
= · = ¬ = + = ÷
+
Ví dụ 2) Cho hàm số
3
3 2 y x mx = ÷ +
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện
tích bằng 18 , trong đó ( ) 1;1 I
Lời giải: Ta có
( )
2 2
' 3 3 3 y x m x m = ÷ = ÷ . Để hàm số có CĐ và CT 0 m · >
Gọi A, B là 2 cực trị thì
( ) ( )
; 2 2 ; ; 2 2 A m m m B m m m ÷ + ÷
PT đường thẳng đi qua AB là:
( ) ( )
4
2 2 2 2
2
m m
y m m x m y mx
m
÷
÷ + = + · = ÷
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là ( )
2
2 1
;
4 1
m
d I AB
m
÷
=
+
độ dài đoạn
3
4 16 AB m m = +
Mà diện tích tam giác IAB là
3
2
2 1
1
18 4 16 18
2
4 1
m
S m m
m
÷
= · + =
+
( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
3 2
3 2 2
4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18
4 4 18 0 2 4 4 9 0 2
m m m m m m
m m m m m m m
· + ÷ = + · ÷ =
· ÷ + ÷ = · ÷ + + = · =
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước:
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị
1 2
; y y )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị
1 2
; y y )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
6
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2 2
( ) 3 f x x x m x m = ÷ + + có CĐ và CT đối xứng nhau qua
( )
1 5
:
2 2
y A x = ÷ .
Giải: Hàm số có CĐ, CT ( )
3 2
6 0 f x x x m ' · = ÷ + = có 2 nghiệm phân biệt
2 2
9 3 0 3 3 m m m ' · A = ÷ > · > · < .
thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: ( ) ( )
2
2
1 2
( ) 1 ( ) 3
3 3 3
m
f x x f x m x m ' = ÷ + ÷ + +
với 3 m < thì f’
(x)
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f
(x)
đạt cực trị tại x
1
, x
2
.
Do
( )
( )
1
2
0
0
f x
f x
' ¦ =
¦
´
' =
¦
¹
nên
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m
¦
= = ÷ + +
¦
¦
´
¦
= = ÷ + +
¦
¹
. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT
có phương trình ( ) ( )
2
2
2
: 3
3 3
m
d y m x m = ÷ + +
Các điểm cực trị ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; A x y B x y đối xứng nhau qua ( ) ( )
1 5
:
2 2
y x d A = ÷ · ± A và trung
điểm I của AB phải thuộc (d)
( )
( )
2
2
2
2
3 2; 1
0
3
0
( 1) 0 2 1 5
3 .1 .1
3 3 2 2
I
m x
m
m
m m m
m m
¦
÷ = ÷ =
¦
= ¦ ¦
· · · =
´ ´
+ =
¹
¦
÷ + + = ÷
¦
¹
Ví dụ 2) Cho hàm số ( )
3 2
3 2
m
y x x mx C = ÷ + +
Tìm m để hàm số(C
m
) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cách đều đường thẳng : 1 0 d x y ÷ ÷ =
Giải:
Ta có
2 2
' 3 6 ; ' 0 3 6 0 y x x m y x x m = ÷ + = · ÷ + = (1)
Hàm số (C
m
) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3 m · <
Giả sử ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (C
m
), (
1 2
, x x là 2 nghiệm của (1)).
Vì
1
'. 2 1 2
3 3 3 3
x m m
y y x
| | | |
= ÷ + ÷ + +
| |
\ . \ .
và ( ) ( )
1 2
' ' 0 y x y x = = nên phương trình đường thẳng đi
qua A,B là ( ) 2 1 2 '
3 3
m m
y x d
| |
= ÷ + +
|
\ .
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2
trường hợp sau:
TH1: (d’) cùng phương với (d)
9
2 1 1
3 2
m |
m
|
· ÷ = · =
|
\ .
(không thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
7
1 2
1 2
1
2
2
x x
x
y y
y m
+ ¦
= =
¦ ¦¦
´
+
¦
= =
¦
¹
. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0 m m ÷ ÷ ÷ · = (thỏa mãn).
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng.
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max,
min
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính
giá trị
1 2
; y y )
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp
đạo hàm để tìm max, min
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2
1
( ) 1
3
f x x mx x m = ÷ ÷ + + có khoảng cách giữa các điểm CĐ,
CT là nhỏ nhất.
Giải: Do ( )
2
2 1 0 f x x mx ' = ÷ ÷ = có
2
1 0 m ' A = + > nên f’
(x)
=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
với các điểm cực trị là . ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; A x y B x y
Thực hiện phép chia f(x)
cho f’(x)
ta có: ( ) ( )
2
1 2 2
( ) . ( ) 1 1
3 3 3
f x x m f x m x m
| |
' = ÷ ÷ + + +
|
\ .
Do
1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
' = ¦
´
' =
¹
nên
( )
( )
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2
( ) 1 1
3 3
2 2
( ) 1 1
3 3
y f x m x m
y f x m x m
¦ ÷ | |
= = + + +
| ¦
¦ \ .
´
÷ | |
¦
= = + + +
|
¦
\ . ¹
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
4
1
9
AB x x y y x x m x x = ÷ + ÷ = ÷ + + ÷
( ) ( )
( )
2
2
2
2 1 1 2
2
2 2
4
4 1 1
9
4 4 2 13
4 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
(
(
= + ÷ + +
(
¸ ¸
¸ ¸
( | |
( = + + + > + ¬ >
|
¸ ¸ (
¸ ¸ \ .
Min AB=
2 13
3
xảy ra ·m=0
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét(
1 2
, x x là hai nghiệm của phương trình y’=0
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số
3 2
1
( ) 1
3
f x x mx mx = ÷ + ÷ đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả mãn
1 2
8 x x ÷ >
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
8
Giải: Hàm số có CĐ, CT
2
( ) 2 0 f x x mx m ' · = ÷ + = có 2 nghiệm phân biệt
( ) ( )
2
0 0 1 m m m m ' · A = ÷ > · < >
với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x
1,
x
2
và hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
với
x
1
+x
2
=2m và x
1
x
2
=m.
Ta có BPT:
2
1 2 1 2
8 64 x x x x ÷ > · ÷ >
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 4 4 64 16 0
1 65 1 65
2 2
x x x x m m m m
m m
· + ÷ = ÷ > · ÷ ÷ >
| | | |
÷ ÷
· s >
| |
| |
\ . \ .
thoả mãn điều kiện ( ) ( ) 0 1 m m < >
Ví dụ 2) Cho hàm số 1 3
2 3
+ + ÷ = mx x x y
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm )
4
11
;
2
1
( I đến đường thẳng nối
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất
Giải: Ta có m x x y + ÷ = 6 3 '
2
. Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
3 0 ' < · > A · m (0,25 điểm)
- Chia đa thức y cho y’ ta có 1
3
) 2
3
2
( )
3
1
3
( ' + + ÷ + ÷ =
m
x
m x
y y . Lập luận suy ra đường thẳng đi
qua cực đại cực tiểu là A 1
3
) 2
3
2
( + + ÷ =
m
x
m
y . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường
thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là ) 2 ;
2
1
(÷ A (0,25 điểm)
- Hệ số góc của đường thẳng IA là
4
3
= k . Hạ IH vuông góc với A ta có
4
5
/
= s =
A
IA d IH
I
Đẳng thức xảy ra khi A ± IA (0,25 điểm)
- Suy ra
3
4 1
2
3
2
÷ = ÷ = ÷
k
m
1 = · m (0,25 điểm)
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1 y x mx m x m m = ÷ + ÷ ÷ + ÷ (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:
2 2
1
' 3 6 3( 1) ' 9 0
1
x m
y x mx m
x m
= +
= ÷ + ÷ ¬ A = > ¬
= ÷
¸
(0,25 điểm)
Ta có
1 1
'( ) 2 3 1
3 3
y y x m x m = ÷ ÷ + ÷ Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì
( 1; 3); ( 1; 1) A m m B m m + ÷ ÷ + (0,25 điểm)
Suy ra
2
1
( 1; 3); ( 1; 1) 2 2 4 0
2
m
OA m m OB m m m m
m
= ÷
+ ÷ ÷ + ¬ ÷ ÷ = ¬
=
¸
(0, 25 điểm)
Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
9
Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số
( )
3 2 2
1 1
. 3
3
y x m x m x
2
= ÷ + ÷ có cực đại
1
x , cực
tiểu
2
x đồng thời
1 2
; x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh
huyền bằng
5
2
.
Giải:
Cách 1: Miền xác định: D R = có
2 2 2 2
' 3; ' 0 3 0 y x mx m y x mx m = ÷ + ÷ = · ÷ + ÷ =
Hàm số có cực đại
1
x , cực tiểu
2
x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0 y = có 2
nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó.
2
2
0 4 0 2 2
0 0 0 3 2
0
3 3 3 0
m m
S m m m
P
m m m
¦ ¦
A > ÷ > ÷ < < ¦
¦ ¦ ¦
· > · > · > · < <
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
>
< ÷ v > ÷ > ¹
¹ ¹
(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
3
x x m
x x m
+ = ¦
¦
´
= ÷
¦
¹
. Mà
( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 14
2 4 5 2 4 3 5
2 2
x x x x x x m m m + = · + ÷ = · ÷ ÷ = · = ±
Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị
14
2
m = thỏa yêu cầu bài toán.
B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn:
4 2
ax y bx c = + + .
*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau
khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt
khác không.
VD:
4 2
2 2 2 y x mx = + + thì
3 2
' 4 4 ' 0 0 y x mx y x x m = + ¬ = · = v = ÷ ¬ điều kiện là m<0
*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c),
1 1 2 1
( ; ); ( ; ) B x y C x y thì điều đặc biệt là tam giác
ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán)
*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là:
1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính
các véc tơ: , ,
AB AC BC
+ Tam giác ABC vuông cân . 0 · AB AC =
+ Tam giác ABC đều AB BC =
2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.
Tính các véc tơ: , , AB AC BC
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
10
+ Kẻ đường cao AH.
+
1
.
2
ABC
S AH BC
A
=
+ Giải điều kiện
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)=
4 2 4
2 2 x mx m m ÷ + + có CĐ, CT lập thành tam giác đều
Giải: f’(x)=
( )
2 2
4 0 0 x x m x x m ÷ = · = v =
Hàm số có CĐ, CT ·f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt ·m>0
Với m>0 thì f’(x)=0
( )
( )
( )
4 2
1
4
2
4 2
3
; 2
0 0; 2
; 2
x m B m m m m
x A m m
x m C m m m m
= ÷ ÷ ÷ ÷ +
· = ÷ +
= ÷ ÷ +
¸
Suy ra BBT của hàm số y=f(x)
AABC đều
2 2
2 2
0
0
m
m
AB AC AB AC
AB BC
AB BC
> ¦ > ¦
¦ ¦
· = · =
´ ´
¦ ¦
=
=
¹
¹
( )
4 4 3
3
4
0
0
3
3 0
4
m
m
m m m m m
m m
m m m
> ¦
> ¦
¦ ¦
· + = + · · =
´ ´
÷ =
¦ ¦
¹
+ =
¹
Ví dụ 2) Cho hàm số
4 2 2
2 2 4 y x mx m = ÷ + ÷ , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
Giải: Mxđ: D R = . Có
3
' 4 4 y x mx = ÷
3 2
' 0 4 4 0 0 y x mx x x m = · ÷ = · = v = . Hàm số có 3 cực trị 0 m · > (*)
Gọi
( ) ( ) ( )
2 2 2
0; 2 4 , ; 4 , ; 4 A m B m m C m m ÷ ÷ ÷ ÷ là 3 điểm cực trị
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A
Kẻ AH BC ± có
2
1
. 2 2 2 2 . 1
2
ABC B A B
S AH BC y y x m m m
A
= · = ÷ · = · = . Đối chiếu
với điều kiện (*) có 1 m = là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3) Cho hàm số
( )
4 2 2
2 1 1. y x m x m = ÷ ÷ + + Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải:
( )
3 2 2 2
' 4 4 1 0 0, 1 y x x m x x m = ÷ ÷ = · = = ÷
hàm số có 3 cực trị 1 1 m · ÷ < < . Khi đó tọa độ điểm cực đại là ( ) 0;1 A m + , tọa độ hai điểm
cực tiểu là
( ) ( )
2 2 2 2
1 ; 1 , 1 ; 1 B m m C m m ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
diện tích tam giác ABC là ( )
( )
2
2
1
; . 1 1
2
ABC
S d A BC BC m = = ÷ s . Dấu “=” xày ra khi 0 m =
ĐS: 0 m =
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
11
Ví dụ 4) Cho hàm số
4 2
2 2 y x mx = ÷ + có đồ thị (C
m
). Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đồ thị (C
m
) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua
5 5
3 9
; D
| |
|
\ .
Giải: Có ( )
3
' 4 4 0 0; 0 y x mx x x m m = ÷ = · = = ± > . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)
ngoại tiếp các điểm cực trị là ( )
( ) ( )
2 2
3 9
0; 2 , ; 2 , ; 2 , ;
5 5
A B m m C m m D
| |
÷ ÷ + ÷ +
|
\ .
.
Gọi ( ) ; I x y là tâm đường tròn (P)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
3 1 0
2 2 0; 1; 0( ), 1
2 2
x y IA ID
IB IC x y x m x y m L m
IB IA
x m y m x y
¦
¦
÷ + = =
¦
¦ ¦¦
¦
¬ = · = ÷ · = = = =
´ ´
¦ ¦
=
¦ ¦ + + + ÷ = + ÷ ¹
¹
Vậy 1 m = là giá trị cần tìm.
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận
*) Xét hàm số ( ) y f x = .Giả sử
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn
0
y theo
dạng
0
( ) f x )
Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
÷
=
+
khi đó điểm M có toạ độ là
0
0
0
2 1
( ; )
1
x
M x
x
÷
+
*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là
0
'( ) k f x =
*) Đường thẳng A bất kỳ có hệ số góc k đi qua
0 0
( ; ) M x y có dạng
0 0
( ) y k x x y = ÷ + . Điều kiện
để A là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
0 0
( ) ( )
'( )
k x x y f x
k f x
÷ + = ¦
´
=
¹
Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm số
y=f(x)
*) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương
trình theo (1)
*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b:
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( ) k f x =
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên
0
'( ) k f x a = = . Giải phương trình tìm
0
x
sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
12
Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là
'( ) '( )
A B
A B
f x f x
x x
= ¦
´
=
¹
Ví dụ 1) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến
cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)
Giải : Gọi
0
x là hoành độ tiếp điểm
0
( 1) x = ÷ , PTTT là
( ) ( )
0
2
0
0 0
2 1 1
1
1
x
y
x
x x x
+
= +
+
+ ÷
Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với
AB hoặc trùng với AB.
Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:
( )
( )
0
0 0 2
0
0
2 1
1 1 1
1
1
x
x x
x
x
= ÷ ÷ + · =
+
+
Suy ra phương trình tiếp tuyến là
1
4
5
y
4
x = +
Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là
( )
0
2
0
0
0
2 ( 4) 1
1 1
2 4 ( 2)
1
x
k
x
x
= ÷ ÷ ÷
= = · = ·
= ÷ ÷ ÷
+
¸
Với
0
0 x = ta có PTTT là 1 y x = + ; với
0
2 x = ÷ ta có PTTT là 5 y x = +
Vậy có 3 PTTT thỏa mãn
1 5
; 1; 5
4
y x y x y x
4
= + = + = +
Ví dụ 2) Cho hàm số
1
2
x
y
x
÷ ÷
=
+
Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho 8 AB = , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B
song song với nhau.
Giải : Giả sử điểm cần tìm là
1 1
; , ;
2 2
a b
A a B b
a b
÷ ÷ ÷ ÷ | | | |
| |
+ +
\ . \ .
theo giả thiết ta có hệ:
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
' '
4
1 1
8 1
1 8
1 1
2 4
a b
f a f b
a b
a b
a b
a b
a b
ab a b
¦ =
¦ =
¦
+ = ÷
¸ ¦
¦
·
´ ´
÷ ÷ ÷ ÷ | |
| |
÷ + ÷ =
¦ ¦ |
÷ + =
+ + |
\ .
¹
¦ |
+ + +
\ . ¹
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
13
( )
4
4
1
16 4 1 8 1
4
a b
a b
ab ab
ab
+ = ÷ ¦
+ = ÷ ¦ ¦
·
´ ´ | |
÷ + = =
¹ |
¦
÷
\ . ¹
từ đó tìm được A,B
Ví dụ 3) Cho hàm số
2
(3 1)
y
m x m m
x m
=
+ ÷ +
+
(Cm)
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng
(d): 1 y x = +
Giải :
Ta có
2
2
4
'
( )
m
y
x m
=
+
Giao điểm của (Cm) và trục Ox là
2
( ; 0)
3 1
m m
A
m
÷
+
. Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với
2
2
1
3 1
1 ' 1 1
1
3 1 2
5
m
m m m
y x y
m m m
= ÷
| | ÷ + | |
= + · = · = ·
| |
+ = ÷
\ .
\ .
¸
Khi m=1. Phương trình tiếp tuyến là 1 y x = + (loại) vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)
Khi
1
5
m = ÷ . Phương trình tiếp tuyến là :
3
5
y x = ÷ (TMĐK)
KL :
1
5
m = ÷
Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý: Kiểm tra điều kiện đủ khi tìm ra giá trị tham số,
Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán.
Ví dụ 4) Cho hàm số
3
3 2 y x x = ÷ + (C)
Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số
góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: 5 0 x y + ÷ =
Giải :
Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân
biệt thì phương trình
2
' 3 3 y x k = ÷ = phải có hai nghiệm phân biệt 3 k ¬ > ÷
Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ:
( )
2 3
2
2
3 3 2 2 3 2
3
3 3
3 3
x
y x x y x x
x k
x k
¦
¦ = ÷ ÷ + = ÷ +
¦ ¦
·
´ ´
÷ =
¦ ¦ ¹
÷ =
¹
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 3 3
kx k k
y x x y x
x k x k
¦ ¦ | | | |
= ÷ + = ÷ + = ÷ +
¦ ¦ | |
· · \ . \ .
´ ´
¦ ¦
÷ = ÷ =
¹ ¹
¬phương trình đường thẳng AB: 2 2
3
k
y x
| |
= ÷ +
|
\ .
. Để 2 1 9
3
k
AB d k ± ¬ ÷ = · = (thỏa mãn)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
14
Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn: ( ) ( )
3
3
2
3 2
3 2
2; 4 , 2; 0
2
3 3 9
y x x
y x x
A B
x
x
¦
¦ = ÷ +
= ÷ + ¦ ¦
· ¬ ÷
´ ´
= ±
¦ ÷ =
¦ ¹
¹
Ví dụ 5) Cho hàm số ( ) ( )
3 2
1 1 1 y x m x m x = ÷ + + ÷ + (1)
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các
tiếp tuyến tại B,C song song nhau.
Giải:
Xét phương trình ( )( )
2 2
0 1 1 0( ) : 1 0 y x x mx gt pt x mx = · ÷ ÷ ÷ = ¬ ÷ + = có 2 nghiệm phân
biệt khác 1
2
0
4 0
m
m
= ¦
·
´
A = + >
¹
. Gọi ,
B C
x x là nghiệm đó
B C
x x ¬ = và
B C
x x m + = .
Yêu cầu bài toán
( ) ( ) ' '
B C
y x y x · =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0
2 1
2
3
B B C C B C B C
B C
x m x m x m x m x x x x m
m
x x m m
( · ÷ + + ÷ · ÷ + + ÷ · ÷ + ÷ + =
¸ ¸
+
· + = = · =
Ví dụ 6) Cho hàm số ( )
2 2 1
1
m
x m
y C
x m
÷ +
=
÷ ÷
Cho A(1;2). Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị C
m
tại hai
điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau.
Giải:
Ta có:
( )
2
3
'
1
y
x m
÷
=
÷ ÷
. Giả sử ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2
; , ;
m
M x y N x y C x x e = . Tiếp tuyến tại M và N song
song
( ) ( )
1 2 1 2 2 2
1 2
3 3
1 1 2 2
1 1
x m x m x x m
x m x m
÷ ÷
· = · ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ · + = +
÷ ÷ ÷ ÷
(1)
Ta thu được ( )( ) ( )( )
1 1 2 2
1 1 1 1 x x m x x m ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷
và chú ý ( )
1 2 1 2 1 2
1 ( 1) 1 1 2 x m x m x x x x ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬ ÷ = ÷ ÷ ¬ + = . Cùng với (1) 0 m ¬ =
2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( ) k f x =
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên
0
1
'( ) k f x
a
= = ÷ . Giải phương trình tìm
0
x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)
+ Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:
'( ). '( ) 1
A B
A B
f x f x
x x
= ÷ ¦
´
=
¹
Ví dụ 1) Cho C(m):
3 2
( ) 3 1 y f x x x mx = = + + +
a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
15
Giải: a) Xét ( ) ( ) 1 Cm y = với phương trình tìm hoành độ giao điểm
( )
3 2 2
2
0
3 1 1 3 0 (0;1)
( ) 3 0
x
x x mx x x x m C
g x x x m
=
+ + + = · + + = · ¬
= + + =
¸
Yêu cầu bài toán ,
D E
x x · là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x)=0
9
9 4 0
9
0 4
(0) 0 4
0
m m
m
g m
m
¦
A = ÷ > < ¦ ¦
· · · = <
´ ´
= =
¹
¦
=
¹
(*)
b) Đạo hàm:
2
( ) 3 6 y x x x m ' = + + .
Với điều kiện
9
0
4
m = < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
( )( )
2 2
1 ( ). ( ) 3 6 3 6
D E D D E E
y x y x x x m x x m ' ' · ÷ = = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
9 6 4 9 6 . 3 4 4 9
D D E D D E
D E D E
g x x m g x x m x m x m
x x m x x m m m m m
( ( = ÷ + ÷ + = + +
¸ ¸ ¸ ¸
= + + + = + ÷ + = ÷
2
9 65
4 9 1 0
8
m m m
±
· ÷ + = · = thoả mãn điều kiện (*)
Cho hàm số ( ) ( )
3 2
2 5
1 3 2
3 3
y x m x m x = ÷ + ÷ + ÷ ÷ có đồ thị (C
m
), m là tham số.
Ví dụ 2) Tìm m để trên (C
m
) có 2 điểm phân biệt ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; , ; M x y M x y thỏa mãn
1 2
. 0 x x >
và tiếp tuyến của (C
m
) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0 d x y ÷ + =
Giải: Ta có hệ số góc của : 3 1 0 d x y ÷ + = là
1
3
d
k = . Do đó
1 2
, x x là nghiệm của phương trình
y’=-3 Hay ( ) ( )
2 2
2 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1 x m x m x m x m ÷ + ÷ + ÷ = ÷ · ÷ ÷ ÷ ÷ (1)
Yêu cầu bài toán ·phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
. x x >0
( ) ( )
2
3 ' 1 2 3 1 0
1
3 1
1
0
3
2
m m m
m
m
¦
< ÷ ¦ A = ÷ + + >
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ ÷
÷ < < ÷
>
¦ ¦
¹
¹
Vậy kết quả bài toán là 3 m < ÷ và
1
1
3
m ÷ < < ÷ .
Ví dụ 3) Cho hàm số
3
2
2 3
3
x
y x = + + (C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)
Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3
giao điểm đó cắt nhau tạo thành một tam giác vuông.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là
( )
3
2 2
2 3 3 6 3 0
3 3
x x
x kx x x k + + = + · + ÷ =
2
0
( ) 6 3 0
x
g x x x k
=
·
= + ÷ =
¸
. Điều kiện là phương
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
16
trình
2
( ) 6 3 0 g x x x k = + ÷ = có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
' 0 9 3 0 3
(0) 3 0 (0) 3 0 0
k k
g k g k k
A > + > > ÷ ¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´
= ÷ = = ÷ = =
¹ ¹ ¹
Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác
vuông thì điều kiện là
2
( ) 6 3 0 g x x x k = + ÷ = có 2 nghiệm
1 2
; x x sao cho
1 2
'( ). '( ) 1 f x f x = ÷
( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 1 4 ( ) 16 1 0 x x x x x x x x x x x x · + + = ÷ · + + + + =
Theo định lý Viets ta có
1 2
1 2
6
. 3
x x
x x k
+ = ÷ ¦
´
= ÷
¹
Thay vào ta có:
2 2
4 15
9 72 48 1 0 9 24 1 0
3
k k k k k k
÷ ±
+ ÷ + = · + + = · =
Kết hợp điều kiện suy ra
4 15
3
k
÷ ±
=
3) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua ( ; )
M M
M x y
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng A đi qua M . Phương trình của A là ( )
M M
y k x x y = ÷ +
+ Điều kiện để A là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm
( ) ( )
'( )
M M
k x x y f x
k f x
÷ + = ¦
´
=
¹
. Giải hệ
tìm x ta có hoành độ của các tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
19
; 4
12
A
| |
|
\ .
đến ( )
3 2
: ( ) 2 3 5 C y f x x x = = ÷ +
Giải: Đường thẳng đi qua
19
; 4
12
A
| |
|
\ .
với hệ số góc k có phương trình
19
4
12
y k x
| |
= ÷ +
|
\ .
tiếp xúc
với ( ) : ( ) C y f x = ·
19
( ) 4
12
( )
f x k x
f x k
¦
| |
= ÷ +
¦
|
\ . ´
¦
' =
¹
có nghiệm
( )
3 2
19 19
( ) ( ) 4 2 3 5 6 1 4
12 12
f x f x x x x x x x
| | | |
' ¬ = ÷ + · ÷ + = ÷ ÷ +
| |
\ . \ .
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1 1 1
2 2 2
3 3 3
19 17
1 2 1 6 1 1 4 1 0
12 2
19
1 : 4 4
12
19
2 : 4 12 15
12
1 19 21 19
: 4 4
8 12 32 12
x x x x x x x x
x t y y x y
x t y y x y x
x t y y x y x
| | | |
· ÷ ÷ = ÷ ÷ · ÷ ÷ + =
| |
\ . \ .
| |
' = ¬ = ÷ + · =
|
\ .
| |
' · = ¬ = ÷ + · = ÷
|
\ .
÷ | | | |
' = ¬ = ÷ + · = ÷ +
| |
\ . \ . ¸
4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
17
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( ) k f x =
+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
0
0
0
'( ) tan
'( ) tan
'( ) tan
f x
f x
f x
=
· = ·
= ÷
¸
Giải tìm
0
x sau
đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1).
Ví dụ 1) Cho (C):
3 2
1
x
y
x
÷
=
÷
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc
45
0
Giải: Do tiếp tuyến của (C) tạo với Ox góc 45
0
nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn
0
45 1 1 k tg k = = · = ± . Vì
( )
2
1
( ) 0 1
1
y x x
x
÷
' = < ¬ =
÷
nên k=-1. hoành độ tiếp điểm là nghiệm
của phương trình
( )
1 1
2
2 2
0 2
1
( ) 1 1
2 4
1
x y
y x
x y
x
= ¬ = ÷
' = ÷ · = ÷ ·
= ¬ =
÷
¸
Phương trình tiếp tuyến tại x
1
=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2
Phương trình tiếp tuyến tại x
2
=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.
Ví dụ 2) Cho hàm số
3
2( 1)
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên
(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ
Giải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OAB
vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
0
Suy ra
( )
0 0 0
2
0
4
'( ) 1 0 à 2
4 1
f x x v x
x
÷
= = ÷ ¬ = =
+
Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là
3
2
y x = ÷ + và
5
2
y x = ÷ ÷
5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( ) k f x =
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc
tan
1
tan
1
tan
1
k a
k a
ka
k a ka
ka
÷
=
÷
+
· = ·
÷ +
= ÷
+ ¸
(Với
0
'( ) k f x = ) Giải tìm
0
x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1).
Ví dụ 1) Cho (C):
4 3
1
x
y
x
÷
=
÷
. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với ( ) : A y=3x góc 45
0
.
Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với ( ) A :y=3x góc 45
0
nên
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
18
0
2
3 1 3
3
45 1
1
3 1 3 1 .3
2
k
k k
k
tg
k k k k
= ÷
÷ = + ÷
= = · ·
÷ = ÷ ÷ + =
¸
¸
* Với k=-2, xét đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C)
4 3
2
1
x
x m
x
÷
· = ÷ +
÷
hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm kép
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2 3 0 2 8 3 0
12 28 0 6 2 2
x m x m m m
m m m
· + ÷ + ÷ = · A = ÷ ÷ ÷ =
· A = ÷ + = · = ±
* Với k=
1
2
÷
xét đường thẳng
1
2
y x m
÷
= + tiếp xúc (C)
4 3 1
1 2
x
x m
x
÷ ÷
· = +
÷
hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm kép
( ) ( ) ( )
2
2
2 7 2 6 0 2 7 4 2 6 0 x x x m m m · ÷ ÷ + ÷ = · A = ÷ ÷ ÷ =
2
4 36 73 0 m m · A = ÷ + = vô nghiệm.
Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến 2 6 2 2 y x = ÷ + ± tạo với y=3x góc 45
0
.
6) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác
OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) y f x x x y = ÷ + (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
0
'( ) k f x =
+ Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác
vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc
0
45 = và tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốc
toạ độ
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các
giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức
1
.
2
OAB
S OAOB
A
=
Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
=
÷
biết tiếp tuyến cắt
, Ox Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn: 2 AB OA = .
Giải:
Cách 1: Gọi ( ) ( )
0 0 0
; , M x y x = thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 4
2
2
x
y x x
x
x
÷
÷ = ÷
÷
÷
.
Do tiếp tuyến cắt trục , Ox Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có 2 AB OA = nên tam giác
OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác y x =
hoặc y x = ÷
+TH1: d vuông góc với đường phân giác y x = có:
( )
0 0
2
0
4
1 0 4
2
x x
x
÷
= ÷ · = v =
÷
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
19
Với
0
0 : x d y x = ¬ = ÷ (loại)
Với
0
4 : 8 x d y x = ¬ = ÷ +
+TH2: : d vuông góc với đường phân giác y x = ÷ có:
( )
2
0
4
1
2 x
÷
= ÷ ¬
÷
PT vô nghiệm
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8 d y x = ÷ +
Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: ( )
1
sin sin
4 2
OA
ABO
AB
= = = nên tam
giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại ( )
0 0
; M x y = có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 4
2
2
x
y x x
x
x
= ÷ ÷ +
÷
÷
. Dễ dàng tính được
2
0
;0
2
x
A
| |
= |
|
\ .
và
( )
2
0
2
0
2
0;
2
x
B
x
| |
|
=
|
÷
\ .
Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm
0
x là nghiệm của phương trình:
( )
( )
2
0
2
3 0
0 0
2
0
2
4 0
2
2
x
x
x x
x
= · ÷ =
÷
Với
0
0 x = ta có PTTT là: 0 y x + =
Với
0
4 x = thì PTTT là: 4 y x = ÷ +
Ví dụ 2) Cho hàm số
3 2
4 1
(2 1) ( 2)
3 3
y x m x m x = ÷ + + + + (Cm)
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,
B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
18
Ta có
1
(0; )
3
B tiếp tuyến tại B của (Cm) là
1
( y m 2)
3
= x + + (d) . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại
1
(
3 6
; 0) A
m
÷
+
Diện tích tam giác OAB là
1
1 1 1 1 1
. . . 2 1
3 2 2 3 3 6 18
m
S OAOB m
m m
= ÷ ÷
= = = · + = ·
= ÷ +
¸
7) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt 2 đường tiệm cận tạo thành
một tam giác có diện tích cho trước hoặc tạo thành một góc cho trước.
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi
0 0
( ; ) M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) ( ) y f x x x f x = ÷ + .
+ Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó căn cứ vào điều kiện để giải
quyết
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B mà tam giác IAB
vuông cân ( Với I là giao điểm 2 tiệm cận) thì ta quy về việc viết phương trình tiếp tuyến biết
tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc
0
45 ) Chú ý rằng tiếp tuyến không được đi qua giao
điểm 2 đương tiệm cận vì khi đó sẽ không hình thành một tam giác)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
20
+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB
có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức
1
.
2
OAB
S IA IB
A
=
+ Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính là góc tạo
bởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy
Ví dụ 1) Cho hà số
2 3 mx
y
x m
+
=
÷
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến
bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.
Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x m = và đường
tiệm cận ngang là 2 y m = . Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: ( ) , 2 I m m
Gọi
0
0
0
2 3
;
mx
M x
x m
| | +
|
÷
\ .
(với
0
x m = ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.
PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là
( )
( )
2
0
0
2
0
0
2 3 2 3 mx m
y x x
x m
x m
+ +
= ÷ ÷ +
÷
÷
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại
2
0
0
2 2 6
;
mx m
A m
x m
| |
+ +
|
|
÷
\ .
và cắt tiệm cận ngang tại
( )
0
2 ; 2 B x m m ÷ . Ta có
2 2
0
0 0
0 0
2 2 6 4 6
2 ; 2 2
mx m m
IA m IB x m m x m
x m x m
+ + +
= ÷ = = ÷ ÷ = ÷
÷ ÷
Nên diện tích tam giác IAB là
2
1
. 4 6
2
S IAIB m = = +
Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương:
2
58
4 6 64
2
m m + = · = ±
Ví dụ 2) Cho hàm số .
1
x
y
x
=
÷
Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng
( )
2 2 2 + .
Giải:
Cách 1: Đường tiệm cận của đồ thị là 1, 1 x y = = . Gọi PTTT của (H) tại ( )
0 0
; M x y là:
( )
( )
0 0
2
0
0
1
1
1
x x x
y
x
x
÷ ÷
= +
÷
÷
Khi
0 0
0 0
1 1
1 1;
1 1
x x
x y A
x x
| | + +
= ¬ = ¬
|
÷ ÷
\ .
. Khi ( ) ( )
0 0
1 2 1 2 1;1 ; 1;1 y x x B x I = ¬ = ÷ ¬ ÷
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
21
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
2 4
0 0 0
0
2
2
0 0
1 1
1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 1
2 2 1 1 4 2 2 2 1
1 0
2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0
ABC
x x
P IA IB AB x x
x x
x x x
x L
x x
| | + +
¬ = + + = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = +
|
÷ ÷
\ .
· + ÷ + ÷ + = + ÷
¦ ÷ =
¦
·
´
÷ + ÷ + + ÷ ÷ + =
¦
¹
Cách 2: Phương trình tiệm cận đứng 1 x = , phương trình tiệm cận ngang 1 y =
Gọi ;
1
a
M a
a
| |
|
÷
\ .
, PTTT tại
( )
( )
2
1
:
1
1
a
M y x a
a
a
÷
= ÷ +
÷
÷
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là
1
1;
1
a
A
a
+ | |
|
÷
\ .
Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là ( ) 2 1;1 B a ÷
Chu vi tam giác IAB là ( )
( )
2
2
2 1
2 1 2 1 4 2 2
1
1
C IA IB AB a a
a
a
= + + = + ÷ + ÷ + > +
÷
÷
Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a ÷ = tức 0; 2 a a = = .
Với 0 a y x = ¬ = ÷
Với 2 4 a y x = ¬ = ÷ +
KL: ; 4 y x y x = ÷ = ÷ + là 2 tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 3) Cho hàm số ( )
3 2
1
x
y C
x
÷
=
+
. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết
PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B
thỏa mãn:
5
ˆ
cos
26
BAI =
Giải: Xét điểm ( ) ( )
0 0 0
; , 1 M x y x C = ÷ e là tiếp điểm của tiếp tuyến d.
PTTT tại d có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
3 2 5
1
1
x
y x x
x
x
÷
÷ = ÷
+
+
Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và IAB A có
5
ˆ
cos
26
BAI = nên
2
2
1 1 1
ˆ ˆ ˆ
tan 1 tan tan 5
ˆ
25 5 cos
BAI BAI ABI
BAI
= ÷ = ¬ = ¬ =
Lại có
ˆ
tan ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà ( )
( )
0
2
0
5
' 0
2
y x
x
= >
+
nên
( )
( )
2
0 0 0
2
0
5
5 1 1 0 2
1
x x x
x
= · + = ¬ = v = ÷
+
Với
0
0 x = có PTTT d: 5 2 y x = ÷
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
22
Với
0
2 x = ÷ có PTTT d: 5 2 y x = +
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên.
Ví dụ 4) Cho hàm số :
2x 1
y
x 1
÷
=
+
có đồ thị là ( ) C .
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( ) C .Tìm trên đồ thị ( ) C điểm M có hoành
độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( ) C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả
mãn :
2 2
40 IA IB + =
Giải:
TCĐ ( )
1
d : 1 x = ÷ ,TCN ( )
2
: 2 d y = ( ) 1; 2 I ¬ ÷ .Gọi
0
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
| | ÷
|
+
\ .
( ) ( )
0
, 0 C e x >
Phương trình tiếp tuyến với ( ) C tại ( )
( )
( )
0
0 2
0
0
2 1 3
: :
1
1
x
M y x x
x
x
÷
A = ÷ +
+
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }
0
1 2 0
0
2 4
1; , 2 1; 2
1
x
d A d B x
x
¦ ¹
| | ÷ ¦ ¦
A · = ÷ A · = +
´ ` |
+
¦ ¦ \ . ¹ )
( )
( )
( ) ( )
2
4 2
0 2
2 2 0 0
0
0
0
36
4 1 40
1 10 1 9 0
1 40
0
0
x
x x
x IA IB
x
x
¦
+ + = ¦
+ ÷ + + =
¦ ¦
+ + = · ·
´ ´
>
¦ ¦
¹
>
¹
0
x · 2 = ( )
0
y 1 = ( ) 2;1 M ¬ .
8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B mà
chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
*) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Trong
hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tam
giác IAB không đổi). Vận dụng kết quả này ta có
2 2
2 . 2 . (2 2) .
IAB
C IA IA AB IA IB IA IB IA IB IA IB IAIB
A
= + + = + + + > + = + . Vì diện tích
tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi
IA=IB. Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1) Cho hàm số
2
1
x
y
x
÷
=
+
. Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B
sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.
Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng 1 x = ÷ và tiệm cận ngang là đường
thẳng 1 y = . Giao điểm hai đường tiệm cận ( ) 1;1 I ÷ . Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị
tại điểm có hoành độ
0
x , PTTT có dang:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 3
1
1
x
y x x
x
x
÷
= ÷ +
+
+
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng 1 x = ÷ tại điểm
0
0
5
1;
1
x
A
x
| | ÷
÷
|
+
\ .
và cắt tiệm cận đứng tại điểm
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
23
( )
0
2 1;1 B x + . Ta có: ( )
0
0 0
0 0
5 6
1 ; 2 1 1 2 1
1 1
x
IA IB x x
x x
÷
= ÷ = = + ÷ ÷ = +
+ +
Nên
0
0
6
. .2 1 12
1
IAIB x
x
= + =
+
. Do vậy diện tích tam giác IAB là
1
. 6
2
S IA IB = =
Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là
6 S
r
p p
= =
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất, mặt khác tam giác IAB vuông tại I nên:
2 2
2 2 2 . 4 3 2 6 p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB = + + = + + + > + + = +
Dấu “=” xảy ra khi ( )
2
0
1 3 1 3 IA IB x x = · + = · = ÷ ±
Với 1 3 x = ÷ ÷ ta có tiếp tuyến
( ) 1
: 2 1 3 d y x = + +
Với 1 3 x = ÷ + ta có tiếp tuyến
( ) 2
: 2 1 3 d y x = + ÷
Ví dụ 2) Cho Hypebol (C):
2 1
1
x
y
x
÷
=
÷
và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của
tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a) CMR: M là trung điểm của AB
b) CMR: dt ( ) onst IAB A c =
c) Tìm M để chu vi ( ) AIAB nhỏ nhất.
Giải:
TCĐ: x=1
TCN: y=2
Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;2)
y =
2 1 1
2
1 1
x
x x
÷
= +
÷ ÷
, 2
1
Gọi M
1
m
m
| |
+ e
|
÷
\ .
(c).
Tiếp tuyến tại M là (t): y =
,
y (m) (x-m) + y(m)
2
1 1
( ) : ( ) 2
( 1) 1
t y x m
m m
÷
· = ÷ + +
÷ ÷
* (t) ·(TCĐ: x =1) = A
2
1, 2
1 m
| |
+
|
÷
\ .
;(t) ·(TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)
Ta có :
2
A B
M
x x
m x
+
= = và A,M,B thẳng hàng nên M là trung điểm AB
* dt( AIAB)=
1
2
IA . IB =
1
2
A I B I
y y x x ÷ ÷
1 2 1 2
2( 1) .2( 1) 2
2 1 2 1
m m
m m
= ÷ = ÷ =
÷ ÷
(đvdt)
Ta có IA . IB = 4 ;
Chu vi ( AIAB) = IA + IB + AB=
2 2
2 . 2 . 2(2 2) IA IB IA IB IA IB IAIB + + + > + = +
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
24
Dấu bằng xảy ra ·IA = IB = 2 1 1 m · ÷ = ·
1
2
0 (0, 1)
2 (2, 3)
m M
m M
= ¬ ÷
= ¬
¸
9) Tìm điều kiện để qua điểm ( ) ;
M M
M x y cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị y=f(x)
+ Xét đường thẳng A có hệ số góc k đi qua điểm M ( ) : PT ¬ A ( )
M M
y k x x y = ÷ +
+ Điều kiện để A là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm
( ) ( )
'( )
M M
k x x y f x
k f x
÷ + = ¦
´
=
¹
(*)
+ Để qua điểm M kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị thì hệ (*) phải có n nghiệm thế phương trình
(2) vào (1) dùng phương pháp hàm số để tìm điều kiện
+ Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳng
y=2x+1 thì M( ; 2 1) a a + , Điểm M thuộc đường thẳng y=2 ( ; 2) ¬ M a ……
Ví dụ 1) Cho đồ thị hàm số (C): ( )
4 2
1 y f x x x = = ÷ + . Tìm các điểm A eOy kẻ được 3 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải: Lấy bất kỳ A(0;a)e(C). Đường thẳng đi qua A(0;a) với hệ số góc k có phương trình
y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C)
( )
( )
f x kx a
f x k
= + ¦
·
´
' =
¹
có nghiệm (*)
Điều kiện cần: Để ý rằng ( ) ( ) ( ) f x f x x R f x ÷ = ¬ e ¬ là hàm chẵn ¬đồ thị (C)
nhận Oy làm trục đối xứng. Do A(0;a)etrục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu
tiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến dến nhánh bên phải
của (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k= 0 luôn là 1 số chẵn. Vậy dể từ A(0;a) kẻ
được 3 tiếp tuyến dến (C) thì điều kiện cần là hệ phương trình (*) có nghiệm k=0.
Thế k=0 vào hệ (*)
4 2
2 3
0; 1
1 1
1 3
;
4 2 0
2 4
x a
x x kx
x a
x x
= = ¦
¦ ÷ + = +
¦ ¦
¬ ¬
´ ´
= =
÷ = ¦
¦ ¹
¹
Điều kiện đủ:
Nếu a=1 thì (*)
( )
( )
( )
4 2 3 4 2
3
3
2 2
2
2
4 2 1 1
4 2
4 2
0; 0
0; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
; 3 3 3
2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x x x x x x x kx
x x k
x x k
x k
x k
x x
x k
x
x k
k x x
x k
¦
÷ = ÷ ¦ ÷ + = +
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ = ¦
÷ = ¦ ¹
¹
= =
= =
¦
÷ =
÷ ¦
· · · = =
÷ ´
= =
= ÷
¦
¹
¸
÷
= =
¸
Vậy từ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
25
Nếu
3
4
a = thì (*)
( )
( ) ( )
4 2 4 2 3
3 3
4 2 4
2
2 2
3 3
1 1 4 2
4 4
4 2 4 2
1 1
1
3 0
4 2
2
2 1 2 1 0
x x kx x x x x x
x x k k x x
x x x
x
k x x k x x k
¦ ¦
÷ + = + ÷ + = ÷ +
¦ ¦
· ·
´ ´
¦ ¦
÷ = = ÷
¹ ¹
¦ ¦
¦
÷ ÷ = =
=
¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
= ÷ = ÷ =
¹
¹ ¹
Vậy từ
3
0;
4
A
| |
|
\ .
chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ ¬Đáp số: A(0;1)
Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến
(C):
3
1
x
y
x
+
=
÷
.
Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)ey=2x+1. Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương
trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với ( ) ( )
3 3
: 2 1
1 1
x x
C y k x a a
x x
+ +
= · ÷ + + =
÷ ÷
hay ( ) ( ) 2 1 1 3 kx ak a x x ( ÷ ÷ ÷ ÷ = +
¸ ¸
có nghiệm kép
( ) ( )
2
1 2 2 4 0 kx a k a x ak a ( ( · ÷ + ÷ + ÷ + =
¸ ¸ ¸ ¸
có nghiệm kép
0 k · = và ( ) ( )
2
1 2 4 2 4 0 a k a k ak a ( ( A = + ÷ ÷ ÷ + =
¸ ¸ ¸ ¸
0 k · = và ( ) ( )
2
2 2 2
( ) 1 . 4 4 . 4 0 g k a k a a k a = ÷ ÷ ÷ ÷ + =
Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ( ) 0 · g k = có đúng 1 nghiệm kép k 0 =
( )
( )
2 2
2 2
0
32 2 0; (0) 4 0
1
32 2 0; (0) 4 0
2
1
1
1 0 16 4 0
4
a
a a g a
a
a a g a
a
a
a k k
=
' A = ÷ ÷ ÷ > = =
= ÷
' · A = ÷ ÷ ÷ = = = ·
=
=
÷ = ¬ + = ¬ = ÷
vậy có 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
1; 1 , 0;1 , 1; 3 , 2; 5 A A A A ÷ ÷ nằm trên dường thẳng y=2x+1 và kẻ được
đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 3) Cho hàm số
3 2
2 ( 1) 2 y x x m x m = ÷ + ÷ + (Cm)
Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)
Giải:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trình tiếp tuyến là(d) : ( 1) 2 y k x = ÷ + . Vì (d) là
tiếp tuyến nên hệ phương trình sau có nghiệm
3 2
2
( 1) 2 2 ( 1) 2
3 4 ( 1)
y k x x x m x m
k x x m
¦ = ÷ + = ÷ + ÷ +
¦
·
´
= ÷ + ÷ ¦
¹
3 2
2 5 4 3( 1) 0 x x x m ÷ + ÷ ÷ =
Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì phương trình
3 2
( ) 2 5 4 3( 1) 0 f x x x x m = ÷ + ÷ ÷ = (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
26
2
1
'( ) 6 10 4 '( ) 0
2
3
x
f x x x f x
x
=
= ÷ + ¬ = ·
=
¸
. Từ đó tính được hai điểm cực trị của hàm số là
( )
2 109
1; 4 3 , ; 3
3 27
A m B m
| |
÷ ÷
|
\ .
. Ta thấy phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi một
trong hai điểm cực trị nằm trên trục hoành. Từ đó tìm được
4
3
m = hoặc
109
81
m =
Ví dụ 4) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3
3 2 y x x = ÷ + +
Giải: Lấy bất kỳ A(a;0)e Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình
y=a(x-a) tiếp xúc với (C):y=f(x) ·Hệ phương trình
( ) ( )
( )
f x k x a
f x k
¦ = ÷
¦
´
' = ¦
¹
có nghiệm
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 2
2
( ) ( )
( ) ( ) 0 2 3ax 3 2 0
1 2 3 2 3 2 0 1 ( ) 0
f x f x x a
f x f x x a x a
x x a x a x g x
' ¬ = ÷
' · ÷ ÷ = · ÷ + + =
( · + ÷ ÷ + + = · + =
¸ ¸
Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) ·g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1)
( )( )
( )
2
3 2 3 6 0
2
1 ( 1) 6 1 0
3
a
a a
a g a
> ¦
¦A = + ÷ >
¦ ¦
· ·
÷ ´ ´
÷ = < ÷ = + =
¦ ¦ ¹
¹
Phần ba: Các bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị
1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ thị
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|f(x)| bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị của y=f(x) nằm trên
trục Ox; Lấy đối xứng của phần đồ thị y=f(x) nằm dưới trục Ox qua trục Ox.
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=f(|x|) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y=f(x) nằm bên phải
trục Oy, Lấy đối xứng của phần đồ thị bên phải Oy qua trục Oy( Chú ý y=f(|x|) là hàm chẵn nên
nhận trục Oy làm trục đối xứng)
+ Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|h(x)|.g(x) với h(x).g(x)=f(x) bằng cách.
+ Ta thấy
( ) ( ) 0
| ( ) | . ( )
( ) ( ) 0
f x khih x
y h x g x
f x khi x
> ¦
= =
´
÷ <
¹
Từ đó ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số
| ( ) | . ( ) y h x g x = như sau:Lấy phần đồ thị y=f(x) khi ( ) 0 h x > . Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ
thị y=f(x) khi ( ) 0 h x <
2) Tìm điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với y=g(x)
+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
= ¦
´
=
¹
+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm
( ) 0
'( ) 0
f x
f x
= ¦
´
=
¹
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
27
3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax
3
+bx
2
+cx+d
* Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số y=ax
3
+bx
2
+cx+d
ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích:
0
( ). ( ) 0 x x G x ÷ = trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0.
Tuy nhiên trong một số bài toán ta không thể nhẩm được nghiệm. Khi đó ta cần sử dụng các
điều kiệ tương giao sau để giải toán.
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồng
biến hoặc luôn nghịch biến hoặc hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu
Tức là
'( )
'( ) 0
0
'( ) 0
f x
f x x
f x x
> ¬ ¦
· A s
´
s ¬
¹
hoặc
'( ) 1 2
1 2
0 '( ) 0
. 0 ( ). ( ) 0
f x
CD CT
f x x x x x
f f f x f x
A > = · = v = ¦ ¦
¦
·
´ ´
> >
¦
¹ ¹
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi f’(x) có 2 nghiệm
phân biệt
1 2
; x x và
1 2
( ) ( ) 0 f x f x =
+ Hàm số : y=ax
3
+bx
2
+cx+d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi hàm số có cực đại, cực tiểu
và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu nhau
'( ) 0 · f x = có 2 nghiệm phân biệt
1 2
; x x và
1 2
( ). ( ) 0 f x f x <
+ Trong trường hợp các nghiệm của phương trình kèm theo điều kiện khác thì ta cần phác
họa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác.
Ví dụ 1) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) y x mx m x m = ÷ + ÷ ÷ ÷ (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương
Giải:
Ta có
2 2
' 3 6 3( 1) y x mx m = ÷ + ÷
Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì điều kiện là hàm số có 2 điểm cực trị
nằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 và x
CĐ
>0
Ta có:(1)
2 2
' 0 9 9 9 0 9 0 m m · A > · ÷ + > · > đúng với mọi m.
Khi đó
2
1
1
' 0
1
x m
y
x m
= +
= ·
= ÷
¸
Ta có:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
2
2
2
2
1
2 2 2
1 2
1 2 1
1 1
' . 2 1 1
3 3
1 3
. 1 3 2 1
y m m m
y f x x m x m m
y m m
y y m m m m
¦
= + ÷ ÷
¦ | |
= ÷ ÷ + ÷ ÷ ¬
´
|
\ .
= ÷ ÷
¦
¹
¬ = ÷ ÷ ÷ ÷
( ) ( )
( )( )
2 2
1 D
2 2
0 1 0 1 0
0 1
3 2 1 0(*)
C
f m m
x x m
m m m
= ÷ ÷ < ¬ ÷ >
÷ > ¬ >
¬ ÷ ÷ ÷ <
Lập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện 1 m >
Suy ra tập hợp giá trị m thỏa mãn là 3 1 2 m < < +
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
28
Ví dụ 2) Chứng minh rằng phương trình
3 2 2 3
3( 1) 3( 1) 1 0 x m x m x m + + + + + + = luôn có
nghiệm duy nhất.
Giải ;
Xem phương trình
3 2 2 3
3( 1) 3( 1) 1 0 x m x m x m + + + + + + = là phương trình hoành độ giao điểm
của
3 2 2 3
3( 1) 3( 1) 1 y x m x m x m = + + + + + + và trục hoành.
Ta có
3 2
1 1
'. 2
3 3
m
y y x mx m m
+ | |
= + ÷ + ÷
|
\ .
suy ra đường thẳng qua hai cực trị là
3 2
2 y mx m m = ÷ + ÷
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số
3 2 2 3
3( 1) 3( 1) 1 y x m x m x m = + + + + + +
cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức là
( ) ( )
3 2 3 2
18 8 0
' 0
18 8 0
' 0 (**)
. 0 2 2 0
CD CT CD CT
m
m
y y mx m m x m m
÷ s
A s
÷ > ¦
A > · ¦ ¦
´ ´
> ÷ + ÷ ÷ + ÷ >
¹ ¸ ¦
¹ ¸
Theo định lý viet:
2
2( 1)
. 1
CD CT
CD CT
x x m
x x m
+ = + ¦
¦
´
= +
¦
¹
Thay vào (**) ta có
2 2 2 3
2
2
9
9
2
2
9
9
4 ( 1) ( 1) (4 1) 0
m
m
m
m
m
m m m m m
s
s
¦ ¬ ¬ ¬
>
¦
>
´
¸
¦
+ + ÷ + >
¹
¸
Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiêm duy nhất.
Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số
3 2
6 9 y x x x d = ÷ + + cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
1 2 3
x x x < < . Chứng minh
1 2 3
0 1 3 4 x x x < < < < < <
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là :
3 2
6 9 0 x x x d ÷ + + = (*)
Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số
3 2
6 9 y x x x = ÷ + ÷
Tại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện 4 0 d ÷ < <
Đặt
3 2
( ) 6 9 f x x x x d = ÷ + + với 4 0 d ÷ < <
Ta có (0) 0; (1) 4 0; (3) 0; (4) 4 0 f d f d f d f d = < = + > = < = + > . Hàm số f(x) liên tục trên R
suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 4) Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y x = ÷ + có đồ thi (C) và điểm ( ) A C e với
A
x a = . Tìm các
giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,C
khác A sao cho 3 AC AB = (B nằm giữa A và C)
Giải:
Cách 1: Xét
4
2
5
; 3
2 2
a
A a a
| |
÷ +
|
\ .
thuộc đồ thị (C)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
29
PTTT tại A:
( )
( )
( )
4 4
2 3 2 2
5 3 5
3 2 6 2 3 3
2 2 4 2
a a
y a a a x a y a a x a
| |
÷ ÷ + = ÷ ÷ · = ÷ ÷ + +
|
\ .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A:
( )
( )
( )
4 4
2
2 2 2 2 2
5 3 5
3 2 3 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x a
x a a x a x a x ax a ÷ + = ÷ ÷ + + · ÷ + + ÷ =
( ) ( )
2 2
2 3 6 0 1
x a
f x x ax a
=
¬
= + + ÷ =
¸
Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt
,
B C
x x khác a
( )
( )
2 2
2
' 3 6 0
3 3 3
(*)
1
6 6 0
a a
a
f a a
¦
A = ÷ ÷ >
¦
÷ < < ¦ ¦
· ·
´ ´
= ±
¦
= ÷ = ¹ ¦
¹
Do 3 3 3 2
C B
AB AC AB AC x x a = ¬ = ¬ ÷ = ÷
(2)
Theo Viet có
( )
( )
2
2 3
3 6 4
B C
B C
x x a
x x a
¦ + = ÷
¦
´
= ÷
¦
¹
Từ (2) và (3) 0
C
x = và 2
C
x a = ÷ thế vào (4) có:
2
3 6 0 2 a a ÷ = · = ± (thỏa (*))
Kiểm tra:
+ Với 2 a = có
3 5 21
2; , 0; , 2 2; 3
2 2 2
A B C AC AB
| | | | | |
÷ ÷ ¬ =
| | |
\ . \ . \ .
+ Với 2 a = ÷ có
3 5 21
2; , 0; , 2 2; 3
2 2 2
A B C AC AB
| | | | | |
÷ ÷ ¬ =
| | |
\ . \ . \ .
Vậy 2 a = ± là các giá trị cần tìm của a.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với
A
x a = là:
( )
( )
4
3 2
5
2 6 3
2 2
a
y a a x a a = ÷ ÷ + ÷ +
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):
( )
( ) ( )
( )
4 4
2
2 3 2 2 2
5 5
3 2 6 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x a
x a a x a x x a x ax a ÷ + = ÷ ÷ + ÷ + · ÷ + + ÷ =
Để có 3 giao điểm A,B,C thì phương trình:
2 2
2 3 6 0 x ax a + + ÷ = (*) có 2 nghiệm phân biệt
khác a
3 3
1
a
a
¦
÷ < < ¦
·
´
= ± ¦
¹
Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của PT(*) nên
2
2
3 6
B C
B C
x x a
x x a
+ = ÷ ¦
¦
·
´
= ÷
¦
¹
Mặt khác AC=3AB (B nằm giữa A và C) 3 3 2
C B
AC AB x x a · = · ÷ = ÷
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
30
Ta có hệ
2 2
3 2 0
2 2 2
. 3 6 3 6 0
C B B
B C C
B C
x x a x
x x a x a a
x x a a
¦ ¦
÷ = ÷ =
¦ ¦
+ = ÷ · = ÷ · = ±
´ ´
¦ ¦
= ÷ ÷ =
¹ ¹
thỏa mãn điều kiện
Vậy giá trị cần tìm của m là: 2 a = ±
Ví dụ 5) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị ( )
3
: 3 2 C x x ÷ + tại 3 điểm phân biệt
A,B,C sao cho 2
A
x = và 2 2 BC =
Giải: Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:
( )
3 2 2
4 6 1 1 4 6 1 0 x mx x x x mx ÷ + = ÷ + · ÷ + = .
Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì
2
4 6 1 0 x mx ÷ + = có 2 nghiệm phân biệt
2
2 2
' 9 4 0 ;
3 3
m m m ¬ A = ÷ > · > < ÷
Gọi ( ) ( )
1 1 2 2
; 1 , ; 1 B x x C x x ÷ + ÷ + . Để B và C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất
thì:
1 2 1 2
1 2
1 2 2 1
1
3 2
1 1
1 2 3
x y x x
x x m m
y x x x
= = ÷ + ¦ ¦
· · + = · = · =
´ ´
= = ÷ +
¹ ¹
So sánh với ĐK, thấy không tìm được m thỏa mãn.
Ví dụ 6) Cho hàm số
3 2
3 4 y x x = ÷ +
Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 1; 0 A ÷ với hệ số góc k ( ) k e . Tìm k để đường
thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm , B C ( B và C khác A) cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Giải:
:
k
d y kx k = + (hay 0 kx y k ÷ + = ).
Pt hoành độ giao điểm của
k
d và (C):
( ) ( )
2
3 2
3 4 1 2 0 1 x x kx k x x k x
(
÷ + = + · + ÷ ÷ = · = ÷
¸ ¸
hoặc ( )
2
2 x k ÷ =
k
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
0
9
k
k
> ¦
·
´
=
¹
(d) cắt (C)
tại ( )
( ) ( )
1;0 , 2 ;3 , 2 ;3 A B k k k k C k k k k ÷ ÷ ÷ + + .
( ) ( )
2
2
2 1 , , ,
1
k
k
BC k k d O BC d O d
k
= + = =
+
2 3
2
1
. .2 . 1 1 1 1 1
2
1
OBC
k
S k k k k k k
k
A
= + = · = · = · =
+
Ví dụ 7) Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 2 y x mx m x = + + ÷ + (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2 y A x = ÷ + tại 3 điểm phân biệt (0; 2) A ; B; C
sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1). M
Giải:
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
31
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) A là:
3 2
2 3( 1) 2 2 x mx m x x + + ÷ + = ÷ +
2
0 2
( ) 2 3 2 0(2)
x y
g x x mx m
= ¬ =
·
= + + ÷ =
¸
Đường thẳng ( ) A cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ·
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
2
' 0 3 2 0 1
(0) 0 3 2 0
2
3
m
m m m
g m
m
¦ >
¦
A > ¦ ÷ + > ¦ < ¦
¸
· · ·
´ ´ ´
= ÷ =
¹ ¹ ¦
=
¦
¹
Gọi ( )
1 1
; B x y và ( )
2 2
; C x y , trong đó
1 2
, x x là nghiệm của (2);
1 1
2 y x = ÷ + và
1 2
2 y x = ÷ +
Ta có ( )
3 1 2
; ( )
2
h d M
+ ÷
= A =
2 2.2 2
4
2
MBC
BC
S
¬
h
= = =
Mà
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 4 BC x x y y x x x x ( = ÷ + ÷ = + ÷
¸ ¸
=
2
8( 3 2) m m ÷ +
Suy ra
2
8( 3 2) m m ÷ + =16 0 m · = (thoả mãn) hoặc 3 m = (thoả mãn)
4) Điều kiện để hàm số bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
Xét phương trình
3 2
ax 0 bx + cx d + + = . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
là
1 2 3
; ; x x x khi đó:
3 2 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ] bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x + + + = ÷ ÷ ÷ = ÷ + + + + + ÷
Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên
1 3 2 2
2
3
b
x x x x
a
+ = ¬ = ÷ là nghiệm. Thế vào phương
trình ta suy ra điều kiện cần tìm.
Ví dụ 1) Cho ( ) ( ) ( )
3 2 2
: 3 2 4 9 C m y f x x mx m m x m m = = ÷ + ÷ + ÷ . Tìm m để C(m) cắt Ox tại
3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là
1 2 3
, , x x x ÷ .
Khi đó: ( )
3 2 2
3 2 4 9 0 x mx m m x m m ÷ + ÷ + ÷ = có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, , x x x
( ) ( )( )( )
3 2 2
1 2 3
3 2 4 9 x mx m m x m m x x x x x x x · ÷ + ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 2 4 9 x mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x x · ÷ + ÷ + ÷ = ÷ + + + + + ÷ ¬
Suy ra ( )
1 2 3 1 3 2 2 2
3 3 m x x x x x x x x m = + + = + + = · =
Thế
2
x m = vào
2
( ) 0 0 0 f x m m m = ¬ ÷ = · = hoặc 1 m =
Điều kiện đủ: Với m=0 thì
3
1 2 3
( ) 0 0 f x x x x x = = · = = = (loại)
Với m=1 thì
3 2
( ) 3 6 8 0 f x x x x = ÷ ÷ + = ( )( )
2
1 2 3
1 2 8 0 2; 1; 4 x x x x x x · ÷ ÷ ÷ = · ÷ = ÷ = =
Kết luận: Đáp số m=1.
5) Điều kiện hàm bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
32
Xét phương trình
3 2
ax 0 bx + cx d + + = . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
là
1 2 3
; ; x x x khi đó:
3 2 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ] bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x + + + = ÷ ÷ ÷ = ÷ + + + + + ÷
Vì 3 nghiệm lập thành cấp số nhân nên
2 3
3
1 3 2 1 2 3 2 2
ax
d
x x x d x x x x
a
÷
= ¬ = ÷ = ÷ ¬ = thay vào
phương trình ta suy ra điều kiện cần tìm
Ví dụ 1) Cho ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
: 3 1 5 4 8. Cm y f x x m x m x = = ÷ + + + ÷ Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3
điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân.
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
1 2 3
, , x x x ÷÷
Khi đó: ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 0 x x x x x ÷ + + + ÷ = có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, , x x x
( ) ( ) ( )( )( )
3 2
1 2 3
3 1 5 4 8 x x x m x x x x x x x x · ÷ + + + ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 1 5 4 8 x x x m x x x x x x x x x x x x x x x x · ÷ + + + ÷ = ÷ + + + + + ÷
Suy ra:
3
1 2 3 2 2
8 2 x x x x x = = ÷ =
Thế
2
2 x = vào ( ) 0 4 2 0 2 f x m m = ¬ ÷ = · =
Điều kiện đủ: Với m=2 thì
( ) ( )( )( )
3 2
1 2 3
7 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4 f x x x x x x x x x x = ÷ + ÷ = · ÷ ÷ ÷ = · ÷÷ = = =
Kết luận: Đáp số m=2.
6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng
Xét phương trình
4 2
ax 0 bx + c + = (1) Đặt
2
( 0) t x t = > để phương trình (1)có 4 nghiệm lập
thành cấp số cộng thì phương trình
2
0 at bt c + + = (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
1 2
, t t .
Giả sử (
1 2
) t t < khi đó 4 nghiệm của (1) là
2 1 1 2
, , , t t t t ÷ ÷ vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng
nên
( ) 2 1 1 1 2 1
9 t t t t t t ÷ = ÷ ÷ · = . Áp dụng định lý viét cho phương trình (2) ta có
1 2
1 2
1 2
9
b
t t
a
c
t t
a
t t
¦
+ = ÷
¦
¦
¦
=
´
¦
= ¦
¦
¹
Giải điều kiện theo hệ phương trình.
Ví dụ 1) Cho ( ) ( )
4 2
: 2 1 2 1. C m y x m x m = ÷ + + + Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
lập thành 1 cấp số cộng.
Giải: Xét phương trình: ( )
4 2
2 1 2 1 0(1) x m x m ÷ + + + =
Đặt ( ) ( )
2 2
; 2 1 2 1 0(2) t x f t t m t m = = ÷ ÷ + + =
Yêu cầu bài toán ( ) 0 f t · = có 2 nghiệm
2 1
0 t t > > sao cho (1) có sơ đồ nghiệm
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
33
Ta có
4 3 3 2 2 1 4 3 3 2
x x x x x x x x x x ÷ = ÷ = ÷ · ÷ = ÷
( ) 2 1 1 1 2 1 2 1
3 9 0 t t t t t t t t · ÷ = ÷ ÷ · = · = >
Yêu cầu bài toán
( )
2
2 1
2 1
1 2 2 1
2
2
1
1 2
1
1
1
0, 9 0 2
2
9
. 2 1 0 9
9 2 1
2 1 0
1
9 2 1
5 1
5
m
m
m t t
t t
t t m t t
t m
t t m
m
m
t m
¦
¦
> ÷
¦ > ÷
¦
¦ ' A = > = >
¦
¦
¦
¦ ¦
=
· = + > · · =
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
= +
+ = + >
+ | | ¹
¦ ¦
= +
|
= +
¦ ¦
¹
\ . ¹
2 1
2
1
4 2
9
4
9 9 32 16 0
m
m
t t
m
m m
¦
> ÷
¦
=
¦
· = ·
´
= ÷
¦
¸ ÷ ÷ =
¦
¹
Ví dụ 2) (Bài toán tương giao hàm bậc 4) Tìm m sao cho đồ thị hàm số
4 2
4 y x x m = ÷ + cắt
trục hoành tại 4 điể phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành có
phần trên bằng phần dưới
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và
4 2
: 4 0 Ox x x m ÷ + = (1)
Đặt
2
0 t x = > . Lúc đó có PT:
2
4 0 t t m ÷ + = (2)
Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ·(2) có 2 nghiệm phân
biệt ( )
' 4 0
0 4 0 4
0
m
t S m i
P m
A = ÷ > ¦
¦
> · = >= ¬ < <
´
¦
= >
¹
Gọi ( )
1 2 1 2
, 0 t t t t < < là 2 nghiệm của pt(2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng
dần là:
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ; x t x t x t x t = ÷ = ÷ = =
Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:
( ) ( )
3 4
3
4 5
4 2 4 2 4 2 3 4
4 4 4
0
4
4 4 0 3 20 15 0
5 3
x x
x
x x
x x m dx x x m dx mx x x m ÷ + = ÷ + ÷ ¬ ÷ + = ¬ ÷ + =
} }
Từ đó có
4
x là nghiệm của hệ
( )
( )
4 2
4 4
4 2
4 4
4 0 3
3 20 15 0 4
x x m
x x m
¦
÷ + =
¦
´
÷ + =
¦
¹
1
x
2
t ÷
2
x
3
x
4
x
1
t ÷
1
t
2
t
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
34
Lấy (3).(4)-(4)
2
4
3
2
m
x ¬ = thay
2
4
3
2
m
x = vào (3) có:
2
9 20
5 0 0
4 9
m
m m m ÷ = ¬ = v =
Đối chiếu với điều kiện (i) có
20
9
m = là giá trị cần tìm.
7) Điều kiện tương giao của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
(H) và đường thẳng y mx n = +
Phương trình hoành độ giao điểm
ax b
mx n
cx d
+
= +
+
. Biến đổi về dạng
2
( ) 0 g x Ax bx c = + + = . Số
giao điểm tùy thuộc số nghiệm khác
d
c
÷ của phương trình ( ) 0 g x =
TH 1: 0 A < Hoặc
0
0
d
g
c
A = ¦
¦
´ | |
÷ =
|
¦
\ . ¹
đường thẳng không cắt đồ thị (H)
TH 2:
0
0
d
g
c
A = ¦
¦
´ | |
÷ =
|
¦
\ . ¹
hoặc
0
0
d
g
c
A > ¦
¦
´ | |
÷ =
|
¦
\ . ¹
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm
TH 3:
0
0
d
g
c
A > ¦
¦
´ | |
÷ =
|
¦
\ . ¹
đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có
1 1 2 2
( ; ); ( ; ) A x mx n B x mx n + + với x
1;
x
2
là hai nghiệm của g(x)=0
Ví dụ 1) Cho hàm số
3
2
x
y
x
+
=
÷
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng : 1 d y x m = ÷ + + tại
hai điểm phân biệt A,B sao cho
ˆ
AOB nhọn.
Giải:
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của PT ( )
2
3
1 2 2 5 0
2
x
x m x m x m
x
+
= ÷ + + · ÷ + + + =
÷
Để pt trên có 2 nghiệm phân biệt thì 0; 2 x A > =
( )
2
2
4 16 0
?
2 2 2 2 5 0
m m
m
m m
¦
÷ + >
¦
· ¬ =
´
÷ + + + =
¦
¹
Gọi ( ) ( )
1 1 2 2
; 1 , ; 1 A x x m B x x m ÷ + + ÷ + + là hai giao điểm của (H) và d.
Để
ˆ
AOB nhọn thì:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
2 1 1
2 1 1 0 3
AB OA AB x x x m x m
x x m x x m m
< + · ÷ < ÷ + + + ÷ + +
· ÷ + + + ÷ + < · > ÷
Kết hợp với đk ban đầu ta suy ra được giá trị của m.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
35
Ví dụ 2) Cho hàm số
2
1
x m
y
mx
÷
=
+
(1). Chứng minh với mọi 0 m = đồ thị hàm số (1) cắt
( ) : 2 2 d y x m = ÷ tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng
(d) cắt các trục , Ox Oy lần lượt tại các điểm M,N. Tìm m để 3
OAB OMN
S S =
Giải: Phương trình hoành độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d):
2 2
2 1
2 2 2 2 0,
1
x m
x m mx m x m x
mx m
÷ | |
= ÷ · ÷ ÷ = = ÷
|
+
\ .
(2)
Do 0 m = nên (2) ( )
2
1
2 2 1 0, f x x mx x
m
| |
· = ÷ ÷ = = ÷
|
\ .
(*)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
' 2 0
1
, 0
1 2
1 0
A B
m
x x m
m f
m m
¦
A = + >
¦
= ÷ · · ¬ =
´
| |
÷ = + =
| ¦
\ . ¹
Mặt khác có
1
.
2
A B
x x = nên A,B luôn thuộc một đường (Hipebol) cố định
Kẻ
( ) ,
2
5
O d
m
OH AB OH d
÷
± ¬ = = . Lại có 2 2 ; 2 2
A A B B
AB d y x m y x m e ¬ = ÷ = ÷
Theo Viet ta có:
1
2
A B
A B
x x m
x x
+ = ¦
¦
´
=
¦
¹
Có ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
5 5 20 5 10
A B A B A B A B A B
AB x x y y x x x x x x AB m = ÷ + ÷ = ÷ = + ÷ · = +
Vì M,N là giao điểm của d với , Ox Oy nên ( ) ( ) ; 0 , 0; 2 M m N m
Theo giả thiết
2
2
3 . 3 . . 5 10 3
5
OAB OMN M N
m
S S OH AB OM ON m x y
÷
= · = · + =
2 2 2 2
2
1
. 5 10 3 2 2 3 2 9
2 5
m
m m m m m m m m
÷
· + = · + = · + = · = ±
Vậy với
1
2
m = ± là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3) Tìm trên (H):
1
2
x
y
x
÷ +
=
÷
các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x =
Giải: Do : : AB d y x ptAB y x m ± = ¬ = ÷ +
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
( ) ( ) ( )
2
1
3 2 1 0 2
2
x
x m g x x m x m x
x
÷ +
= ÷ + · = ÷ + + + = =
÷
(1)
Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt ,
A B
x x và khác 2
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
36
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
0
3 4 2 1 0
1 4 0;
2 0
4 3 2 2 1 0
g x
m m
m m
g
m m
¦
A > ¦ + ÷ + >
¦ ¦
· · · ÷ + > ¬
´ ´
=
÷ + + + = ¦ ¦
¹
¹
Theo Viet ta có:
3
2 1
A B
A B
x x m
x x m
+ = + ¦
´
= +
¹
. Lại có ;
A A B B
y x y x m = ÷ = ÷ +
Mà:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2
2
4 16 16 8
4 8 3 4 2 1 0 2 3 0 1 3
B A B A B A
B A A B
AB AB x x y y x x
x x x x m m m m m m
= · = · ÷ + ÷ = · ÷ =
· + ÷ = · + ÷ + = · ÷ ÷ = · = ÷ v =
+ Với 3 m = thay vào pt (1) có:
2
6 7 0 3 2 2 x x x y ÷ + = · = ± ¬ = ± . Lúc này tọa độ 2 điểm
A,B là:
( ) ( )
3 2; 2 , 3 2; 2 A B + ÷ ÷ hoặc
( ) ( )
3 2; 2 , 3 2; 2 B A + ÷ ÷ .
+ Với 1 m = ÷ thay vào pt (1) có:
2
2 1 0 1 2 2 2 x x x y ÷ ÷ = · = ± ¬ = ÷ ± . Lúc này tọa độ 2
điểm A,B là
( ) ( )
1 2; 2 2 , 1 2; 2 2 A B + ÷ ÷ ÷ ÷ + hoặc
( ) ( )
1 2; 2 2 , 1 2; 2 2 B A + ÷ ÷ ÷ ÷ +
Vậy A,B là các điểm như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4) Cho hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d: 2 3 y x m = + cắt
(H) tại hai điểm phân biệt sao cho . 4 OAOB = ÷
với O là gốc tọa độ
Giải: Xét pt: ( )
2
3
2 3 2 3 1 6 3 0
2
x
x m x m x m
x
+
= + ¬ + + + ÷ =
+
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-2)
Khi
2
9 30 33 0 m m A = ÷ + > điều này xảy ra với mọi m.
Gọi 2 nghiệm của pt (1) là
1 2
, x x thì ( ) ( )
1 1 2 2
; 2 3 , ; 2 3 A x x m B x x m + +
Có ( )( )
1 2 1 2
12 15 7
. 4 . 2 3 2 3 4 4
2 12
m
OAOB x x x m x m m
÷
= ÷ ¬ + + + = ÷ ¬ = ÷ ¬ =
Ví dụ 5) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
÷
=
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y x m = + cắt (C)
tại hai điểm phân biệt A,B, sao cho 2 2 AB =
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
( ) ( )
2
2 1
1 1 0
1
x
x m f x x m x m
x
÷
= + · = + ÷ + + =
+
(1) ( ) 1 x = ÷
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt , 1
A B
x x = ÷
( ) ( )
( )
2
1 4 1 0
1 1 1 1 0
m m
f m m
¦
A = ÷ ÷ + >
¦
·
´
÷ = ÷ + + + =
¦
¹
(*) Theo Viet ta
có:
( )
2
2
1 1
; , ; 1 4( 1) 4
1 7
A B
A A B B
A B
x x m m
A B d y x m y x m AB m m
x x m m
+ = ÷ = ÷ ¦
e ¬ = + = + ¬ = ÷ ÷ + = ¬
´
= + =
¸ ¹
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
37
Ví dụ 6) Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k. Tìm k để D cắt đồ thị
2
1
x
y
x
+
=
÷
tại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM=2AN
Giải: Do D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k nên pt D: ( ) 1 y k x = ÷
Phương trình hoành độ giao điểm của D và đồ thị hàm số đã cho là:
( ) ( ) ( )
2
2
1 2 1 2 0 1
1
x
k x kx k x x
x
+
= ÷ · ÷ + ÷ = =
÷
(1)
Đặt 1 1 t x x t = ÷ ¬ = + . Lúc đó pt (1) thành:
( ) ( )( )
2
2
1 2 1 1 2 0 3 0 k t k t k kt t + ÷ + + + ÷ = · ÷ ÷ = (2)
Để D cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị thì pt(1)
phải có 2 nghiệm
1 2
, x x thỏa
1 2
1 (2) x x pt < < · có 2 nghiệm
1 2
, t t thỏa
1 2
0 3 0 0(*) t t k k < < · ÷ < · >
Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và
1 2
2 2 2 3 AM AN AM AN x x = ¬ = ÷ ¬ + =
(3)
Theo Viet ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 1
4
2
5
k
x x
k
k
x x
k
+ ¦
+ =
¦
¦
´
÷
¦
=
¦
¹
. Từ (3) và (4)
2 1
1 2
;
k k
x x
k k
÷ +
¬ = =
Thay
1 2
, x x vào pt (5) có:
( ) ( )
2
2 1
2 2
3 2 0
3
k k
k
k k
k k
+ ÷
÷
= · ÷ = · =
Đối chiếu ĐK (*) có
2
3
k = là giá trị cần tìm.
Phần bốn: Các bài toán về khoảng cách
Để giaỉ quyết tốt các dạng bài tập trong phần này học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau:
*) Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ); ( ; )
M M N N
M x y N x y là ( ) ( )
2 2
N M N M
MN x x y y = ÷ + ÷
*) Khoảng cách từ điểm
0 0
( ; ) M x y đến đường thẳng : ax+by+c=0 A là
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
A
+ +
=
+
Các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu A là đường thẳng x=a thì
/ 0 M
d x a
A
= ÷
+ Nếu A là đường thẳng y=b thì
/ 0 M
d y b
A
= ÷
+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy là d=
0 0
x y +
*) Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong
Cho đường thẳng A và đường cong ( C) . Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường cong ( C) và điểm N
thuộc đường thẳng A Khi đó
( /( ))
min
C
d MN
A
= . Từ đó ta có cách tính khoảng cách từ đường
thẳng : ax+by+c=0 A đến đường cong ( C) y=f(x) như sau:
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
38
+ Cách 1: Lấy điểm M( )
0 0
; x y bất kỳ thuộc ( C)
0 0
( ; ( )) M x f x ¬ . Ta có
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
A
+ +
=
+
Sau đó tìm min d theo x
0
+ Cách 2: Viết phương trình tiếp tuyến t của đường cong ( C) và tiếp tuyến đó song song với A.
Sau đó tìm tiếp điểm M( )
0 0
; x y của tiếp tuyến và đường cong. Khi đó khoảng cách giữa đường
thẳng A và đường cong ( C) cũng bằng khoảng cách giữa M và đường thẳng A là
0 0
/
2 2
ax
M
by c
d
a b
A
+ +
=
+
Ví dụ 1) Cho đồ thị ( )
2 1
:
1
x
C y
x
+
=
÷
và điểm A(-2;5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2
điểm B, C sao choAABC đều.
Giải:
2 1
1
x
y
x
+
=
÷
¬
: 1
: 2
TCD x
TCN y
= ¦
´
=
¹
¬phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận (1): 3 y x = ÷ +
( )
2
3
0
1
y
x
÷
' = < ¬
÷
hàm số nghịch biến
¬đồ thị (C) có dạng như hình vẽ.
Do A(-2;5) (1) : 3 y x e = ÷ + là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải vuông
góc với (1) và (D) có phương trình: y=x+m.
Xét phương trình: ( ) ( ) ( )
2
2 1
3 1 0
1
x
x m g x x m x m
x
+
= + · = + ÷ ÷ + =
÷
Ta có ( ) ( ) ( )
2 2
3 4 1 1 12 0 g m m m A = ÷ + + = ÷ + > nên (D) luôn cắt (C) tại B, C phân biệt và do
tính đối xứng ¬ A ABC cân tại A.
Giả sử ( ) (1) D
2
2
3 3 7
; 2
2 2 2
m m m
I I AI
÷ + ÷ | | | |
= ¬ ¬ =
| |
\ . \ .
Gọi
( )
( )
( ) ( )
2 2 1 1
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2
,
2 2 4
,
B x y
y x m
BC x x x x x x
y x m
C x y
¦
= + ¦
¦
(
¬ ¬ = ÷ = + ÷
´ ´
¸ ¸
= +
¹ ¦
¹
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 3 4 1 2 2 13 BC m m m m
(
= ÷ + + = ÷ +
¸ ¸
Ta có AABC đều
( ) ( )
2
2 2 2
4
3 2 13 7 BC AI m m m
3
· = · ÷ + = ÷
( )
( )
1
2
2
: 1
1
4 5 0
5
: 5
D y x
m
m m
m
D y x
= +
=
· + ÷ = · ¬
= ÷
= ÷
¸
¸
Ví dụ 2) Cho ( )
3 5
:
2
x
H y
x
÷
=
÷
. Tìm Me(H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của
(H) là nhỏ nhất.
Giải:
Ta có TCĐ: x=2
TCN: y=3
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
39
3 5 1
3
2 2
x
y
x x
÷
= = +
÷ ÷
Lấy
1
;3
2
M m H
m
| |
+ e
|
÷
\ .
Tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm
cận là
1
2 3 2 2
2
M M M
d x y m
m
= ÷ + ÷ = ÷ + >
÷
( Theo bất đẳng thức Cauchy)
1 (1; 2)
1
min 2 2
3 (3; 4) 2
m M
d m
m M m
=
¬ = · ÷ = · ¬
= ÷
¸ ¸
Ví dụ 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( )
4 9
:
3
x
C y
x
÷
=
÷
các điểm cách M
1
,M
2
để độ dài
1 2
, M M là nhỏ nhất.
Giải:
( ) : 3 4 3 3
4 9 3
4
: 4 3 3 3
TCD x x
x
y
TCN y x x x
= ÷ + ¦ ÷
= = = + ¬
´
= ÷ ÷ ÷
¹
Gọi
( )
( )
1 1 1
2 2 2
,
,
M x y
M x y
¦
¦
´
¦
¹
(M
1
thuộc nhánh trái của (C); M
2
thuộc nhánh phải của (C))
Đặt
1
1
2
2
3
3
4
3
3
4
, 0
x
y
x
y
¦
= ÷ ¦ = ÷
¦
¦ ¦
= + ¬
´ ´
¦ ¦
= ÷
>
¹
¦
¹
( ) ( )
2 2
2
1 2 2 1 2 1
M M x x y y ¬ = ÷ + ÷
=( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
9
3 3
+ | |
+ + + = + +
|
\ .
( )
( )
( )
( )
cos
2
2
2 2
9 9 9
1 2 1 4
i
( (
| |
= + + > + = + ( (
|
+ + ( ( \ .
¸ ¸ ¸ ¸
Mà
cos
9 9
4 4 2 . 24
i
(
| |
+ > =
(
|
\ .
¸ ¸
1 2
0
min 24 2 6 3 9 M M
= > ¦
¦
¬ = = · · = =
´
=
¦
¹
¬toạ độ
( ) ( ) 1 2
3 3; 4 3 , 3 3; 4 3 M M ÷ ÷ + +
Ví dụ 4) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số
2 1
( )
1
x
y H
x
+
=
+
sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng ( A): 4 8 0 x y ÷ + = là nhỏ nhất
Giải:
Ta có
( )
2
1
'
1
y
x
=
+
. Xét đường thẳng d là tiếp tuyến của (H) và d song song với ( A)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
40
Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là
1
5
:
4 4
x
d y = + và
2
13
:
4 4
x
d y = +
Hai tiếp điểm tương ứng là
1 2
3 5
1; ; 3;
2 2
M M
| | | |
÷
| |
\ . \ .
Dễ dàng tính được ( ) ( )
1 2
/ / d M d M A < A
1
M ¬ là điểm cần tìm
Chú ý: Ngoài cách lập luận như trên ta có thể giải bài toán theo cách khác giả sử
2 1
( ; )
1
x
M x
x
+
+
Sau đó tính khoảng cách từ M đến A. Và tìm min theo phương pháp hàm số với biến x
Cho hàm số
1
x
y
x
=
÷
và điểm A(-1;1)
Ví dụ 5) Tìm m để đường thẳng 1 y mx m = ÷ ÷ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho
2 2
AM AN + đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Xét phương trình tương giao:
2
2 1 0 mx mx m ÷ + + = . Để cắt tại hai điểm thì phương trình phải có
2 nghiệm phân biệt khác 1.
( )
2
2 1 0
0
' 1 0
m m m
m
m m m m
÷ + + = ¦
¦
· <
´
A = ÷ + = ÷ >
¦
¹
Để ý thấy trung điểm MN là I và I(1;-1) cố định.
Sử dụng chèn điểm ta có:
2 2 2 2 2
2 AM AN AI IM IN + = + + (do 0 IM IN + =
)
Ta có IA cố định, IM=IN. Ta thấy biểu thức đó min khi và chỉ khi MN min
Tính MN:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
4
1 4 . 1 4 NM x x m x x x x m m
m
(
= ÷ + = + ÷ + = ÷ ÷
¸ ¸
Do m<0 nên đặt ; 0 t m t = ÷ > .
2
4
4 8 MN t
t
= + > . Vậy m=-1
Ví dụ 6) Tìm m để đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C)
2
1
x
y
x
=
÷
tại 2 điểm phân biệt A,B sao
cho độ dài AB nhỏ nhất.
Giải:
Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
2
2
1
x
mx m
x
= ÷ +
÷
có 2
nghiệm phân biệt khác 1.
2
( ) 2 2 0 g x mx · mx m = ÷ + ÷ = có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0
0
(1) 0
m
g
= ¦
¦
A >
´
¦
=
¹
0 m · > . Ta có
1 1 2 2
( ; 2); ( ; 2 A x mx m B x mx m ÷ + ÷ + ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
; ( ) ( ) (1 ) AB x x m x x AB x x m ¬ = ÷ ÷ ¬ = ÷ +
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 ( 1) AB x x x x m · = + ÷ + Vì x
1
;x
2
là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có
1 2 1 2
2
2;
m
x x x x
m
÷
+ = =
2
1
8( ) 16 min 4 1 AB m AB m
m
¬ = + > ¬ = · =
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
41
Phần năm: Các bài tập về KSHS
CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ
Câu 1) Cho hàm số 1
3
1
2 3
+ + ÷ ÷ = m x mx x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là
nhỏ nhất
Câu 2) Cho hàm số 1
3
1
2 3
÷ + ÷ = mx mx x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
2 1
; x x thoả mãn 8
2 1
> ÷ x x
Câu 3) Cho hàm số 3 7
2 3
+ + + = x mx x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8
b) Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường
thẳng y=3x-7
Câu 4) Cho hàm số ) 1 ( ) 2 3 2 ( ) 1 ( 3
2 2 3
÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ = m m x m m x m x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với
đường thẳng 5
4
1
+
÷
= x y một góc 45
0
Câu 5) Cho hàm số m x m x x y + + ÷ =
2 2 3
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
5
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng
2 2
1
÷ = x y
Câu 6) Cho hàm số 1 3 ) 1 ( 3 3
2 2 2 3
÷ ÷ ÷ + + ÷ = m x m x x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.
Câu 7) Cho hàm số 1 2
2 2 4
+ ÷ = x m x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân
Câu 8) Cho hàm số 1 12 9 2
2 2 3
+ + + = x m mx x y
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
42
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời
CT
CD x x =
2
Câu 9) Cho hàm số
4 2 4
2 2 m m mx x y + + ÷ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu lập thành một tam giác đều
Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Câu 1) Cho hàm số 1
3
+ ÷ ÷ = m mx x y (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 8
Câu 2) Cho hàm số 1 3
2 3
+ + + = mx x x y (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0
b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến
tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau.
Câu 3) Cho hàm số x x y 3
3
÷ = (C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C ) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường
thẳng (d) cắt (C ) tại 3 điểm A,M,N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau\
Câu 4) Cho hàm số ) (
1
2 3
H
x
x
y
÷
÷
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ độ một tam giác
cân
d) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M bất kỳ thuộc (H) cắt 2 tiệm cận tại
A,B. Chứng minh M là trung điểm AB
e) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi
f) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
Câu 5) Cho hàm số ) (
2
Hm
x
m x
y
÷
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3
b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều
(A,B là các tiếp điểm)
Câu 6) Cho hàm số ) (
3 2
Hm
m x
mx
y
÷
+
=
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam
giác có diện tích bằng 8
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
43
Câu 7) Cho hàm số ) (
1
1 2
H
x
x
y
÷
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm ) 5 ; 2 (÷ A tạo
thành tam giác đều
Câu 8) Cho hàm số ) (
1
2
H
x
x
y
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng
4
1
Câu 9) Cho hàm số ) (
1
1 2
H
x
x
y
÷
÷
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H)
tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Câu 10) Cho hàm số ) (
2
2
H
x
x
y
+
=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
(H) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu 11) Cho hàm số ) ( 1 2 3
2 3
C x x x y + + ÷ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau và
độ dài AB nhỏ nhất
Câu 12) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm |
.
|
\
|
4 ;
12
19
A đến đồ thị hàm số
5 3 2
2 3
+ ÷ = x x y
Câu 13) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 3
2 3
÷ + ÷ = x x y mà qua đó chỉ kẻ được một tiếp
tuyến đến đồ thị
Câu 14) Tìm những điểm thuộc đường thẳng y=2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ
thị hs
2 3
3x x y ÷ =
Câu 15) Tìm những điểm thuộc trục tung qua đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs
1 2
2 4
+ ÷ = x x y
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
44
Câu 16) Tìm những điểm thuộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs
x x y 3
3
÷ =
Câu 17) Tìm những điểm thuộc trục Oy qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị hs
1
1
÷
+
=
x
x
y
Câu 18) Cho hàm số
1 ÷
+
=
x
m x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=2x+1 tại 2 điểm phân biệt sao cho
các tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó song song với nhau.
Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ĐỒ THỊ
Câu 1) Cho hàm số
2 2 2 3
4 ) 1 4 ( 2 m x m mx y ÷ + ÷ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox
Câu 2) Cho hàm số
2 3 2 4
2 m m mx x y ÷ + ÷ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 điểm phân biệt
Câu 3) Cho hàm số
2
5
3
2
2
4
+ ÷ = x
x
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt m m x x 2 5 6
2 2 4
÷ = + ÷
Câu 4) Cho hàm số mx mx x y 6 3
2 3
÷ ÷ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1/4
b) Biện luận số nghiệm 0 4 6 3 4
2
3
= ÷ ÷ ÷ a x x x
Câu 5) Cho hàm số x x y 3 4
3
÷ = (C )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
45
b) Tìm m để phương trình m m x x 4 4 3 4
3 3
÷ = ÷ có 4 nghiệm phân biệt
Câu 6) Cho hàm số ) 1 ( ) 1 ( 3 3
2 2 2 3
÷ ÷ ÷ + ÷ = m x m mx x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu 7) Cho hàm số ) 5 ( 2 ) 7 5 ( ) 2 1 ( 2
2 3
+ + ÷ + ÷ + = m x m x m x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 5/7
b) Tìm m để đồ thị hs cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Câu 8) Tìm m để đồ thị hs m m x m m mx x y ÷ + ÷ + ÷ =
2 2 3
9 ) 4 ( 2 3 cắt trục Ox tại 3 điểm tạo
thành 1 cấp số cộng
Câu 9) Tìm m để hàm số 8 ) 4 5 ( ) 1 3 (
2 3
÷ + + + ÷ = x m x m x y cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số
nhân
Câu 10) Tìm m để hàm số 1 2 ) 1 ( 2
2 4
+ + + ÷ = m x m x y Cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng
Câu 11) Chứng minh rằng đồ thị hs
1
1 2
÷
÷
=
x
x
y có 2 trục đối xứng
Câu 12) Tìm m để hàm số 8 18 ) 3 ( 3 2
2 3
÷ + + ÷ = mx x m x y có đồ thị tiếp xúc với trục Ox
Câu 13) Cho hàm số 2 3
2 4
+ + = x x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hs
b) Biện luận số nghiệm phương trình m x x = ÷ ÷ ) 1 ( 2
2 2
Câu 14) Cho hàm số 3 3
2 3
+ ÷ + = x x x y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 1 2 )
3
3
( 1
2
+ =
+
÷ m
x
x
Phần bốn: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
Câu 1) Tìm M thuộc (H)
2
5 3
÷
÷
=
x
x
y để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H là
nhỏ nhất
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
46
Câu 2) Tìm M thuộc (H) :
1
1
+
÷
=
x
x
y để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất
Câu 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số (H):
3
9 4
÷
÷
=
x
x
y các điểm M1, M2 để
2 1
M M nhỏ
nhất
Câu 4) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số
1
5 2
2
÷
÷ + ÷
=
x
x x
y các điểm M, N để độ dài MN
nhỏ nhất
Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số
1
2 2
2
÷
÷ +
=
x
x x
y điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm
2 đường tiệm cận
Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số
2
1 2
+
+
=
x
x
y tại 2 điểm A,B mà độ dài AB
nhỏ nhất
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC
Câu 1) Cho hàm số
4 2
2 1 y x mx m = + ÷ ÷ (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1 m = ÷ .
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 4 2 .
Câu 2) Cho hàm số
4 2
2 1 y x mx m = ÷ + ÷ (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1 m = .
2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu 3) Cho hàm số
4 2 2
2 y x mx m m = + + + (1) , với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2 m = ÷ .
2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có góc bằng 120
.
Câu 4) Cho hàm số
4 2
2 y x mx = ÷ (1), với m là tham số thực.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 m = ÷ .
2)Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
Câu 5) Cho hàm số ( ) ( )
4 2 2
2 2 5 5 y f x x m x m m = = + ÷ + ÷ +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞhµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác
vuông cân.
Câu 6) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x = ÷ + (1)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
47
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2)Gọi , A B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục
hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Câu 7) Cho hàm số
3 2
6 9 4 y x x x = ÷ + ÷ (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2)Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai
tiếp điểm là
1 2
, M M . Viết phương trình đường thẳng qua
1
M và
2
M theo k .
Câu 8) Cho hàm số
3 2
3 4 y x x = ÷ + ÷ (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Giả sử , , A B C là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , , A B C tương
ứng cắt lại (C) tại
' ' '
, , A B C . Chứng minh rằng ba điểm
' ' '
, , A B C thẳng hàng.
Câu 9) Cho hàm số
3
3 1 y x x = ÷ + (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Đường thẳng ( A ): 1 y mx = + cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0
trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để góc ADB là góc vuông.
Câu 10) Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1 y x x m x m = ÷ + + ÷ ÷ ÷ (1), với m là tham số thực.
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 m = .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với
gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Câu 11) Cho hàm số ( ) ( )
2
2 2 1 y x x = ÷ ÷ (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2.Tìm m để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y mx = . Giả sử , M N là các
tiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định (khi m
biến thiên)
Câu 12) Cho hàm số
3 2
3 4 y x x = ÷ + (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 1; 0 A ÷ với hệ số góc k ( ) k R e . Tìm k để đường thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm , B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ
độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Câu 13) Cho hàm số
3 2
3 4 y x x = ÷ + (1)
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2)Cho điểm ( ) 1; 0 I ÷ . Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng : d y mx m = + cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt , , I A B sao cho 2 2 AB < .
Câu 14) Cho hàm số:
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1) y x m x m m x m = + ÷ + ÷ + ÷ +
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị
1 2
; x x thoả mãn :
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
Câu 15) Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1, trong đó m là tham số.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
48
2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn: x
2
CĐ
= x
CT
.
Câu 16
Cho hàm số
3 2
y (m 2)x 3x mx 5 = + + + ÷ , m là tham số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0
2)Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là
các số dương.
Câu 17) Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
÷
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) H của hàm số (1) .
2.Chứng minh rằng đồ thị ( ) H có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng
nối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 18) Cho hàm số ( )
x
x
x f
÷
+
=
1
1 2
( H )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H) những điểm có hoành
độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất.
Câu 19) Cho hàm số
2
m x
y
x
÷
=
+
(Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
8
Câu 20) Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
+
=
+
. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt
hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I là
giao điểm của hai đường tiệm cận
Câu 21) Tìm m để hàm số
3
2 y x mx = ÷ + cắt Ox tại một điểm duy nhất
Câu 22) Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
÷
(C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N
song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất
Câu 23) Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
+
=
÷
(H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1;1). Tìm k
để d cắt (H) tại A, B mà 3 10 AB =
Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
2 y x mx m = ÷ + cắt trục Ox tại một điểm duy nhất
Câu 25) Cho hàm số:
2
1
x
y
x
+
=
÷
(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương
ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Câu 26) Cho hàm số
3
3 2 y x x = ÷ + (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6 MN =
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
49
Câu 27) Cho hàm số
2
( )
m x
y H
x m
÷
=
+
và A(0;1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam
giác IAB vuông cân tại A.
Câu 28) Cho hàm số
4 2
2 y x x = ÷ (C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.Tìm điều kiện a và b để tiếp tuyến
tại A và B song song với nhau.
Câu 29) Cho hàm số
2
2 2
x
y
x
+
=
÷
(H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H).
2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
2 2
37
2
OA OB + =
Câu 30) Cho hàm số y =
3 2
2 (1 ) y x x m x m = ÷ + ÷ + (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ; x x x thoả
mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4 x x + x + <
Câu 31) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3
Câu 32) Cho hàm số
1
2 3
÷
÷
=
x
x
y (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho 3 2 = AB .
Câu 33) Cho hàm số
3 2
3 3(1 ) 1 3 y x x m x m = ÷ + ÷ + + (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại cực
tiểu đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4
Câu 34) Cho hàm số
3 1
( )
1
x
y H
x
+
=
÷
và đường thẳng ( 1) 2 y m x m = + + ÷ (d) Tìm m để đường
thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
2
Câu 35) Cho hàm số
1
( )
1
x
y H
x
÷
=
+
. Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
toạ độ là nhỏ nhất.
Câu 36) Cho hàm số y =
1
2
÷ x
x
(H)Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ
thị ( H ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 37) Cho hàm số
1
1 2
÷
+
=
x
x
y viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2
trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
50
Câu 38) Cho hàm số x m mx x y ) 3 (
2
1
3
1
2 2 3
÷ + ÷ =
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và hoành độ CĐ, CT là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác
vuông có cạnh huyền bằng
2
5
Câu 39) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số
3 2
3 1 y x x = ÷ + sao cho tiếp tuyến tại A, B song
song với nhau và 4 2 AB =
Câu 40) Tìm m để hàm số
3 2
(2 1) 2 y x mx m x m = ÷ + + ÷ ÷ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ dương
Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị hàm số
3 2
2 ( 3) 4 y x mx m x = + + + + tại 3 điểm
phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0,
M(1;3))
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

X-Served-By: cache, cache-iad2141-IAD

Set-Cookie: stg=342; Domain=.scribd.com; Path=/; Expires=Mon, 20-Sep-27 13:39:18 GMT

X-Page-Type: docview

X-Cache: MISS, MISS

Via: 1.1 varnish

Vary: Accept-Encoding, User-Agent