text:
Tô màu đồ thị
Trong Lý thuyết đồ thị, tô màu đồ thị (tiếng Anh: graph coloring) là trường hợp đặc biệt của gán nhãn đồ thị, mà trong đó mỗi đỉnh hay mỗi cạnh hay mỗi miền của đồ thị có thể được gán bởi một màu hay một tập hợp các màu nào đó. Tô màu đồ thị có thể là:
- tô màu đỉnh (tiếng Anh: vertex coloring) là gán cho mỗi đỉnh của đồ thị một màu nào đó sao cho không có hai đỉnh nào liền kề lại trùng màu nhau;
- tô màu cạnh (tiếng Anh: edge coloring) là gán cho mỗi cạnh của đồ thị một màu nào đó sao cho sao cho không có 2 cạnh nào trùng màu;
- tô màu miền (tiếng Anh: face coloring) là gán cho mỗi miền của đồ thị phẳng một màu sao cho không có 2 miền có chung đường biên lại cùng màu.
Sắc số (tiếng Anh: chromatic number) của một đồ thị là số màu ít nhất để tô các đỉnh. Sắc số của đồ thị G được kí hiệu là χ(G).
Số màu cạnh (tiếng Anh: chromatic index) của một đồ thị là số màu ít nhất dùng để tô các cạnh. Số màu cạnh của đồ thị G được kí hiệu là χ'(G).
Số màu cạnh của đồ thị G bất kì bằng sắc số của đồ thị đường L((G)) của đồ thị đó:
- χ'(G) = χ(L(G)),
do đó việc nghiên cứu tô màu cạnh của G tương đương với nghiên cứu tô màu đỉnh của L(G).
Mục lục
- 1 Các định lí và tính chất
- 2 Sắc số và số màu cạnh của một số đồ thị cơ bản
- 3 Ứng dụng
- 4 Xem thêm
- 5 Chú thích
- 6 Tham khảo
- 7 Liên kết ngoài
Các định lí và tính chất[sửa | sửa mã nguồn]
Các giá trị giới hạn của sắc số[sửa | sửa mã nguồn]
Rõ ràng sắc số của một đồ thị sẽ không vượt quá số đỉnh của nó (bậc của đồ thị):
- .
Nếu G có clique kích thước k thì cần ít nhất k màu để tô màu đỉnh cho clique này (xem thêm bài về đồ thị đầy đủ), như vậy sắc số của một đồ thị sẽ không nhỏ hơn chỉ số clique của đồ thị đó:
Nếu đồ thị đơn G có bậc cực đại bằng Δ(G) thì sắc số của nó không vượt quá Δ(G)+1[1].
- Gọi số đỉnh của G là n.
- Ta dùng Δ(G)+1 màu để tô n đỉnh của G như sau: xuất phát từ đỉnh thứ nhất đến đỉnh thứ n, tô màu đỉnh đầu tiên bằng 1 màu tùy ý trong Δ(G)+1 màu. Tô màu đỉnh kế tiếp bằng một màu khác với các màu đã tô cho các láng giềng của đỉnh đó. Việc tô màu này luôn thực hiện được, đến lượt 1 đỉnh bất kì, ta luôn có màu để tô cho nó, vì số màu Δ(G)+1 lớn hơn bậc của đỉnh bất kì.
Tổng quát hơn là định lý Brook, định lý khẳng định rằng:
- Tất cả mọi đồ thị đơn và liên thông G, ngoại trừ đồ thị đầy đủ và đồ thị chu trình bậc lẻ , đều có sắc số nhỏ hơn hoặc bằng bậc cực đại:
- Δ(G).
Nếu đồ thị G có m cạnh thì sắc số của nó thỏa mãn:
- Chứng minh quy nạp theo m (m là số tự nhiên) mệnh đề (*) sau:
- nếu đồ thị G có không quá m cạnh thì sắc số của nó thỏa mãn:
- nếu đồ thị G có không quá m cạnh thì sắc số của nó thỏa mãn:
- Với m=0,1, mệnh đề (*) đúng.
- Giả sử mệnh đề (*) đúng đến m-1. Xét m.
- Gọi là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn:
- Nếu bậc cực đại của G nhỏ hơn thì như ta đã biết, sắc số của G không vượt quá bậc cực đại của nó cộng với một, nên sẽ không vượt quá , suy ra luôn điều phải chứng minh.
- Nếu bậc cực đại của G lớn hơn hoặc bằng , suy ra trong G tồn tại đỉnh a có deg(a) lớn hơn hoặc bằng .
- Xóa đỉnh a và các cạnh liên thuộc của nó khỏi G ta nhận được đồ thị mới là G', đồ thị này có số cạnh thỏa mãn:
- Theo giả thiết quy nạp, mệnh đề (*) đúng cho m' nên:
- ,
- Suy ra:
- .
- Tức là sắc số của G' không thể vượt quá , từ đó suy ra sắc số của G không vượt quá . Như vậy mệnh đề cũng đúng với m.
- Suy ra mệnh đề (*) đúng với mọi m là số tự nhiên.
Một số định lý liên quan của sắc số[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý 1[sửa | sửa mã nguồn]
Bất cứ chu trình độ dài lẻ nào cũng đều có sắc số bằng 3
Chứng minh: Giả sử chu trình có độ dài là ta chứng minh theo số
- chu trình gồm 3 đỉnh mà 2 đỉnh bất kì đều kề nhau dùng đúng 3 màu để tô
- Giả sử là một chu trình có độ dài với các dãy đỉnh là , ,...,,,.
Nối với ta được một chu trình 'có độ dài .
Theo giả thuyết quy nạp chu trình ' có sắc số bằng 3.
Lấy màu của tô cho còn màu của tô cho .
Chu trình được tô màu mà không thêm màu mới vào.
Vậy chu trình có sắc số bằng 3
Định lý 2[sửa | sửa mã nguồn]
Đồ thị đầy đủ n đỉnh Kn có sắc số bằng n
Một số tiêu chuẩn đơn giản để kiểm tra xem 1 đồ thị có hai sắc số hay không:
- Ta có định lý: Giả sử đồ thị G có ít nhất một cạnh. Đồ thị G có hai sắc số khi và chỉ khi G không có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ.
Chứng minh:
- Giả sử G là đồ thị có hai sắc số. Theo Định lý 1 thì G không thể có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ.
- Ngược lại giả sử G không có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ. Không mất tính tổng quát có thể xem G liên thông.
Chọn 1 đỉnh a nào đó bất kì trong đồ thị
Đặt (m: số màu)
Với Ta ký hiệu là độ dài đường đi vô hướng ngắn nhất nối với
Đặt mod 2
Ta sẽ chứng minh m là hàm màu của G
Giả sử kề nhau
- Lấy là đường đi vô hướng ngắn nhất nối a với x có độ dài
- là đường đi vô hướng ngắn nhất nối với có độ dài
Chu trình đơn có độ dài phải là một số chẵn
Vậy thì là một số lẻ khác nhau tính chẵn lẻ
Hàm tô màu m có hai giá trị, vậy sắc số ≤ 2. G có ít nhất một cạnh nên sắc số của nó bằng 2
Từ định lý trên ta có hệ quả sau: Tất cả các chu trình độ dài chẵn đều có sắc số bằng 2.
Định lý 3[sửa | sửa mã nguồn]
Phát biểu: Nếu G có chứa 1 đồ thị con đẳng cấu với Kn thì .
Chứng minh: Hiển nhiên
Các giá trị giới hạn của số màu cạnh[sửa | sửa mã nguồn]
Định lí 1[sửa | sửa mã nguồn]
- Số màu cạnh của đồ thị đơn G bất kì không vượt quá số đỉnh của nó.
Xét đồ thị có hai đỉnh bất kì liền kề và có các khuyên. n là số đỉnh của .
Đánh số các đỉnh của là .
Chỉ cần chứng minh có thể tô màu các cạnh bởi n màu thì suy ra đồ thị đơn G bất kì có số đỉnh không vượt quá n đều có thể tô các cạnh bởi n màu.
Kí hiệu các màu là .
Khi đó ta có cách tô màu cho như sau.
Ma trận dưới đây biểu thị cách tô màu, trong đó:
- giá trị ở hàng thứ i cột j chính là màu được gán cho cạnh ;
Định lý König khẳng định rằng đối với đồ thị hai phía G, số màu cạnh của nó bằng bậc cực đại của nó: .
Định lý Vizing khẳng định rằng, nếu đồ thị đơn G có bậc cực đại bằng thì số màu cạnh của nó bằng hoặc .
Đa thức màu[sửa | sửa mã nguồn]
Xem bài đa thức màu.
Sắc số và số màu cạnh của một số đồ thị cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]
Khái niệm sắc số liên quan đến bài toán tô màu như sau: Hãy tô màu các đỉnh của đồ thị đã cho, sao cho 2 đỉnh kề phải được tô bằng hai màu khác nhau
Đồ thị hai phía[sửa | sửa mã nguồn]
Đồ thị hai phía đầy đủ có sắc số bằng 2: χ()=2. Mở rộng: một đồ thị hai phía bất kì có sắc số không vượt quá 2.
Ví dụ minh họa là các đỉnh của đồ thị có thể được tô bởi hai màu xanh và đỏ.
Đồ thị chu trình[sửa | sửa mã nguồn]
Đồ thị chu trình có sắc số bằng:
- χ()= 3, nếu n lẻ.
- χ()= 2, nếu n chẵn.
Số màu cạnh:
- χ'()= 3, nếu n lẻ.
- χ'()= 2, nếu n chẵn.
Đồ thị bánh xe[sửa | sửa mã nguồn]
Đồ thị bánh xe (n≥4) có sắc số bằng:
- χ()= 4, nếu n chẵn;
- χ()= 3, nếu n lẻ.
Số màu cạnh (n≥3):
- χ'()= n-1.
Đồ thị đầy đủ[sửa | sửa mã nguồn]
-
Đồ thị đầy đủ 7 đỉnh có sắc số bằng 7.
-
-
Đồ thị đầy đủ có sắc số bằng:
- χ() = n.
Số màu cạnh:
- χ'() = n, nếu n lẻ.
- χ'() = n-1, nếu n chẵn.
Đánh số các đỉnh của là .
Do mỗi đỉnh của có bậc bằng n-1, nên số màu cạnh của nó không nhỏ hơn n-1, do đó χ'() bằng n hoặc n-1.
Chứng minh χ'()=n-1 với n chẵn:
- Ta chỉ cần chỉ ra cách tô n-1 màu cho các cạnh của là được.
- Kí hiệu các màu là .
- Ma trận dưới đây biểu thị cách tô màu, trong đó:
- giá trị ở hàng thứ i cột j chính là màu được gán cho cạnh ;
- X nghĩa là không được gán màu.
- Ví dụ với n=6, ta có cách tô màu như sau:
Chứng minh χ'()=n với n lẻ:
- Trái lại, giả sử tồn tại n lẻ sao cho χ'() = n-1.
- Xét màu M bất kì, các cạnh tô màu M kí hiệu là , trong đó là các đầu mút đôi một phân biệt. Như vậy có 2k đỉnh có cạnh liên thuộc tô bởi màu M, mà n lẻ nên tồn tại ít nhất một đỉnh nào đó không có cạnh liên thuộc tô bởi màu M. Như vậy các cạnh liên thuộc với đỉnh chỉ được tô bởi không quá n-2 màu, mà (vô lí).
Đồ thị siêu khối[sửa | sửa mã nguồn]
Đồ thị siêu khối có sắc số bằng 2, vì bản thân nó là đồ thị phân đôi.
Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Tô màu bản đồ[sửa | sửa mã nguồn]
Trên các bản đồ, các miền khác nhau (miền ở đây được hiểu là các quốc gia trên bản đồ thế giới hay các tỉnh trong một bản đồ hành chính quốc gia) được tô màu sao cho 2 miền có chung biên giới không trùng màu nhau. Đối với bản đồ có nhiều miền, nếu ta dùng một số lượng lớn màu thì sẽ rất khó phân biệt các miền có màu gần giống nhau, vì thế người ta chỉ dùng một số lượng màu nhất định để tô màu bản đồ. Một bài toán được đặt ra là: có thể dùng ít nhất bao nhiêu màu để tô màu một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu[2] (tr.593).
Bài toán này dẫn đến định lý bốn màu nổi tiếng và định lý năm màu[3]. Các dạng bài toán tô màu bản đồ có thể áp dụng Thuật toán tô màu Greedy để tìm ra số màu ít nhất để tô cho các miền trên bản đồ.
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- Barenboim, L.; Elkin, M. (2009), “Distributed (Δ + 1)-coloring in linear (in Δ) time”, Proceedings of the 41st Symposium on Theory of Computing, tr. 111–120, doi:10.1145/1536414.1536432, ISBN 978-1-60558-506-2
- Panconesi, A.; Srinivasan, A. (1996), “On the complexity of distributed network decomposition”, Journal of Algorithms 20
- Schneider, J. (2010), “A new technique for distributed symmetry breaking”, Proceedings of the [[Symposium on Principles of Distributed Computing]] (PDF) Tựa đề URL chứa liên kết wiki (trợ giúp)
- Schneider, J. (2008), “A log-star distributed maximal independent set algorithm for growth-bounded graphs”, Proceedings of the [[Symposium on Principles of Distributed Computing]] (PDF) Tựa đề URL chứa liên kết wiki (trợ giúp)
- Beigel, R.; Eppstein, D. (2005), “3-coloring in time O(1.3289n)”, Journal of Algorithms 54 (2)): 168–204, doi:10.1016/j.jalgor.2004.06.008
- Björklund, A.; Husfeldt, T.; Koivisto, M. (2009), “Set partitioning via inclusion–exclusion”, SIAM Journal on Computing 39 (2): 546–563, doi:10.1137/070683933
- Brèlaz, D. (1979), “New methods to color the vertices of a graph”, Communications of the ACM 22 (4): 251–256, doi:10.1145/359094.359101
- Brooks, R. L.; Tutte, W. T. (1941), “On colouring the nodes of a network”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 37 (2): 194–197, doi:10.1017/S030500410002168X
- de Bruijn, N. G.; Erdős, P. (1951), “A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations” (PDF), Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 54: 371–373 (= Indag. Math. 13)
- Byskov, J.M. (2004), “Enumerating maximal independent sets with applications to graph colouring”, Operations Research Letters 32 (6): 547–556, doi:10.1016/j.orl.2004.03.002
- Chaitin, G. J. (1982), “Register allocation & spilling via graph colouring”, Proc. 1982 SIGPLAN Symposium on Compiler Construction, tr. 98–105, doi:10.1145/800230.806984, ISBN 0-89791-074-5
- Cole, R.; Vishkin, U. (1986), “Deterministic coin tossing with applications to optimal parallel list ranking”, Information and Control 70 (1): 32–53, doi:10.1016/S0019-9958(86)80023-7
- Cormen, T. H.; Leiserson, C. E.; Rivest, R. L. (1990), Introduction to Algorithms (ấn bản 1), The MIT Press
- Dailey, D. P. (1980), “Uniqueness of colorability and colorability of planar 4-regular graphs are NP-complete”, Discrete Mathematics 30 (3): 289–293, doi:10.1016/0012-365X(80)90236-8
- Duffy, K.; O'Connell, N.; Sapozhnikov, A. (2008), “Complexity analysis of a decentralised graph colouring algorithm” (PDF), Information Processing Letters 107 (2): 60–63, doi:10.1016/j.ipl.2008.01.002
- Fawcett, B. W. (1978), “On infinite full colourings of graphs”, Can. J. Math. XXX: 455–457
- Garey, M. R.; Johnson, D. S. (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-1045-5
- Garey, M. R.; Johnson, D. S.; Stockmeyer, L. (1974), “Some simplified NP-complete problems”, Proceedings of the Sixth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, tr. 47–63, doi:10.1145/800119.803884
- Goldberg, L. A.; Jerrum, M. (tháng 7 năm 2008), “Inapproximability of the Tutte polynomial”, Information and Computation 206 (7): 908–929, doi:10.1016/j.ic.2008.04.003
- Goldberg, A. V.; Plotkin, S. A.; Shannon, G. E. (1988), “Parallel symmetry-breaking in sparse graphs”, SIAM Journal on Discrete Mathematics 1 (4): 434–446, doi:10.1137/0401044
- Guruswami, V.; Khanna, S. (2000), “On the hardness of 4-coloring a 3-colorable graph”, Proceedings of the 15th Annual IEEE Conference on Computational Complexity, tr. 188–197, doi:10.1109/CCC.2000.856749, ISBN 0-7695-0674-7
- Halldórsson, M. M. (1993), “A still better performance guarantee for approximate graph coloring”, Information Processing Letters 45: 19–23, doi:10.1016/0020-0190(93)90246-6
- Holyer, I. (1981), “The NP-completeness of edge-coloring”, SIAM Journal on Computing 10 (4): 718–720, doi:10.1137/0210055
- Crescenzi, P.; Kann, V. (tháng 12 năm 1998), “How to find the best approximation results — a follow-up to Garey and Johnson”, ACM SIGACT News 29 (4): 90, doi:10.1145/306198.306210
- Jaeger, F.; Vertigan, D. L.; Welsh, D. J. A. (1990), “On the computational complexity of the Jones and Tutte polynomials”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 108: 35–53, doi:10.1017/S0305004100068936
- Jensen, T. R.; Toft, B. (1995), Graph Coloring Problems, Wiley-Interscience, New York, ISBN 0-471-02865-7
- Khot, S. (2001), “Improved inapproximability results for MaxClique, chromatic number and approximate graph coloring”, Proc. 42nd Annual Symposium on Foundations of Computer Science, tr. 600–609, doi:10.1109/SFCS.2001.959936, ISBN 0-7695-1116-3
- Kubale, M. (2004), Graph Colorings, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3458-4
- Kuhn, F. (2009), “Weak graph colorings: distributed algorithms and applications”, Proceedings of the 21st Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures, tr. 138–144, doi:10.1145/1583991.1584032, ISBN 978-1-60558-606-9
- Lawler, E.L. (1976), “A note on the complexity of the chromatic number problem”, Information Processing Letters 5 (3): 66–67, doi:10.1016/0020-0190(76)90065-X
- Leith, D.J.; Clifford, P. (2006), “A Self-Managed Distributed Channel Selection Algorithm for WLAN”, Proc. RAWNET 2006, Boston, MA (PDF)
- Linial, N. (1992), “Locality in distributed graph algorithms”, SIAM Journal on Computing 21 (1): 193–201, doi:10.1137/0221015
- van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (2001), A Course in Combinatorics (ấn bản 2), Cambridge University Press, ISBN 0-521-80340-3. Kiểm tra giá trị
|isbn=(trợ giúp)
- Marx, Dániel (2004), “Graph colouring problems and their applications in scheduling”, Periodica Polytechnica, Electrical Engineering 48 (1–2), tr. 11–16, Bản mẫu:Citeseerx
- Mycielski, J. (1955), “Sur le coloriage des graphes” (PDF), Colloq. Math. 3: 161–162.
- Panconesi, Alessandro; Rizzi, Romeo (2001), “Some simple distributed algorithms for sparse networks”, Distributed Computing (Berlin, New York: Springer-Verlag) 14 (2): 97–100, doi:10.1007/PL00008932, ISSN 0178-2770
- Sekine, K.; Imai, H.; Tani, S. (1995), “Computing the Tutte polynomial of a graph of moderate size”, Proc. 6th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 1995), Lecture Notes in Computer Science 1004, Springer, tr. 224–233, doi:10.1007/BFb0015427, ISBN 3-540-60573-8
- Welsh, D. J. A.; Powell, M. B. (1967), “An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems”, The Computer Journal 10 (1): 85–86, doi:10.1093/comjnl/10.1.85
- West, D. B. (1996), Introduction to Graph Theory, Prentice-Hall, ISBN 0-13-227828-6
- Wilf, H. S. (1986), Algorithms and Complexity, Prentice–Hall
- Zuckerman, D. (2007), “Linear degree extractors and the inapproximability of Max Clique and Chromatic Number”, Theory of Computing 3: 103–128, doi:10.4086/toc.2007.v003a006
- Zykov, A. A. (1949), “О некоторых свойствах линейных комплексов (On some properties of linear complexes)”, Math. Sbornik. (bằng tiếng Nga), 24(66) (2): 163–188
- Jensen, Tommy R.; Toft, Bjarne (1995), Graph Coloring Problems, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-02865-7, 9780471028659 Kiểm tra giá trị
|isbn=(trợ giúp)
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Graph Coloring Page by Joseph Culberson (graph coloring programs)
- CoLoRaTiOn by Jim Andrews and Mike Fellows is a graph coloring puzzle
- Links to Graph Coloring source codes
- Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials by Gary Haggard, David J. Pearce and Gordon Royle
- Graph Coloring Web Application

markdown:
# Tô màu đồ thị
Trong
[Lý thuyết đồ thị](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B), **tô màu đồ thị** (tiếng Anh: *graph coloring*) là trường hợp đặc biệt của [gán nhãn đồ thị](/w/index.php?title=G%C3%A1n_nh%C3%A3n_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit&redlink=1), mà trong đó mỗi đỉnh hay mỗi cạnh hay mỗi miền của đồ thị có thể được gán bởi một màu hay một tập hợp các màu nào đó. Tô màu đồ thị có thể là: **tô màu đỉnh**(tiếng Anh: *vertex coloring*) là gán cho mỗi đỉnh của đồ thị một màu nào đó sao cho không có hai đỉnh nào [liền kề](/w/index.php?title=Li%E1%BB%81n_k%E1%BB%81&action=edit&redlink=1)lại trùng màu nhau; **tô màu cạnh**(tiếng Anh: *edge coloring*) là gán cho mỗi cạnh của đồ thị một màu nào đó sao cho sao cho không có 2 cạnh nào trùng màu; **tô màu miền**(tiếng Anh: *face coloring*) là gán cho mỗi miền của [đồ thị phẳng](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_ph%E1%BA%B3ng)một màu sao cho không có 2 miền có chung đường biên lại cùng màu. **Sắc số** (tiếng Anh: *chromatic number*) của một đồ thị là số màu ít nhất để tô các đỉnh. Sắc số của đồ thị *G* được kí hiệu là χ( *G*). **Số màu cạnh** (tiếng Anh: *chromatic index*) của một đồ thị là số màu ít nhất dùng để tô các cạnh. Số màu cạnh của đồ thị *G* được kí hiệu là χ'( *G*).
Số màu cạnh của đồ thị
*G* bất kì bằng sắc số của [đồ thị đường](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng&action=edit&redlink=1) L( *(G)*) của đồ thị đó:
- χ'(
*G*) = χ(L( *G*)),
do đó việc nghiên cứu tô màu cạnh của
*G* tương đương với nghiên cứu tô màu đỉnh của L( *G*).
## Mục lục
[1 Các định lí và tính chất](#C.C3.A1c_.C4.91.E1.BB.8Bnh_l.C3.AD_v.C3.A0_t.C3.ADnh_ch.E1.BA.A5t) [2 Sắc số và số màu cạnh của một số đồ thị cơ bản](#S.E1.BA.AFc_s.E1.BB.91_v.C3.A0_s.E1.BB.91_m.C3.A0u_c.E1.BA.A1nh_c.E1.BB.A7a_m.E1.BB.99t_s.E1.BB.91_.C4.91.E1.BB.93_th.E1.BB.8B_c.C6.A1_b.E1.BA.A3n) [3 Ứng dụng](#.E1.BB.A8ng_d.E1.BB.A5ng) [4 Xem thêm](#Xem_th.C3.AAm) [5 Chú thích](#Ch.C3.BA_th.C3.ADch) [6 Tham khảo](#Tham_kh.E1.BA.A3o) [7 Liên kết ngoài](#Li.C3.AAn_k.E1.BA.BFt_ngo.C3.A0i)
## Các định lí và tính chất[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=1)]
### Các giá trị giới hạn của sắc số[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=2)]
Rõ ràng sắc số của một đồ thị sẽ không vượt quá số đỉnh của nó (bậc của đồ thị):
.
Nếu
*G* có [clique](/wiki/Clique) kích thước *k* thì cần ít nhất *k* màu để tô màu đỉnh cho clique này (xem thêm bài về [đồ thị đầy đủ](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7)), như vậy sắc số của một đồ thị sẽ không nhỏ hơn *chỉ số clique* của đồ thị đó:
Nếu đồ thị đơn
*G* có bậc cực đại bằng Δ(G) thì sắc số của nó không vượt quá Δ(G)+1 . [1]
- Gọi số đỉnh của
*G*là *n*.
- Ta dùng Δ(G)+1 màu để tô
*n*đỉnh của *G*như sau: xuất phát từ đỉnh thứ nhất đến đỉnh thứ *n*, tô màu đỉnh đầu tiên bằng 1 màu tùy ý trong Δ(G)+1 màu. Tô màu đỉnh kế tiếp bằng một màu khác với các màu đã tô cho các láng giềng của đỉnh đó. Việc tô màu này luôn thực hiện được, đến lượt 1 đỉnh bất kì, ta luôn có màu để tô cho nó, vì số màu Δ(G)+1 lớn hơn bậc của đỉnh bất kì.
Tổng quát hơn là định lý Brook, định lý khẳng định rằng:
*Tất cả mọi đồ thị đơn và liên thông G, ngoại trừ* [đồ thị đầy đủ](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7)
và
[đồ thị chu trình](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_chu_tr%C3%ACnh)bậc lẻ
, đều có sắc số nhỏ hơn hoặc bằng bậc cực đại:
Δ(G).
-
Nếu đồ thị
*G* có *m* cạnh thì sắc số của nó thỏa mãn:
- Chứng minh quy nạp theo
*m*( *m*là số tự nhiên) mệnh đề (*) sau: *nếu đồ thị G có không quá m cạnh thì sắc số của nó thỏa mãn:*
-
- Với
*m*=0,1, mệnh đề (*) đúng.
- Giả sử mệnh đề (*) đúng đến
*m*-1. Xét *m*.
- Gọi
là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn:
- Nếu bậc cực đại của
*G*nhỏ hơn
thì như ta đã biết, sắc số của
*G*không vượt quá bậc cực đại của nó cộng với một, nên sẽ không vượt quá
, suy ra luôn điều phải chứng minh.
- Nếu bậc cực đại của
*G*lớn hơn hoặc bằng
, suy ra trong
*G*tồn tại đỉnh *a*có deg( *a*) lớn hơn hoặc bằng
.
- Xóa đỉnh
*a*và các cạnh liên thuộc của nó khỏi *G*ta nhận được đồ thị mới là G', đồ thị này có số cạnh thỏa mãn:
- Theo giả thiết quy nạp, mệnh đề (*) đúng cho m' nên:
,
-
- Suy ra:
.
-
- Tức là sắc số của G' không thể vượt quá
, từ đó suy ra sắc số của
*G*không vượt quá
. Như vậy mệnh đề cũng đúng với
*m*.
- Suy ra mệnh đề (*) đúng với mọi
*m*là số tự nhiên.
### Một số định lý liên quan của sắc số[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=3)]
#### Định lý 1[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=4)]
Bất cứ chu trình độ dài lẻ nào cũng đều có sắc số bằng 3
**Chứng minh:** Giả sử chu trình có độ dài là
ta chứng minh theo số
chu trình gồm 3 đỉnh mà 2 đỉnh bất kì đều kề nhau
dùng đúng 3 màu để tô
Giả sử
là một chu trình có độ dài
với các dãy đỉnh là
,
,...,
,
,
.
Nối
với
ta được một chu trình
'có độ dài
.
Theo giả thuyết quy nạp chu trình
' có sắc số bằng 3.
Lấy màu của
tô cho
còn màu của
tô cho
.
Chu trình
được tô màu mà không thêm màu mới vào.
Vậy chu trình
có sắc số bằng 3
#### Định lý 2[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=5)]
Đồ thị đầy đủ n đỉnh K
n có sắc số bằng n
Một số tiêu chuẩn đơn giản để kiểm tra xem 1 đồ thị có hai sắc số hay không:
**Ta có định lý:**Giả sử đồ thị G có ít nhất một cạnh. Đồ thị G có hai sắc số khi và chỉ khi G không có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ. **Chứng minh:**
- Giả sử G là đồ thị có hai sắc số. Theo
*Định lý 1*thì G không thể có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ.
- Ngược lại giả sử G không có chu trình đơn vô hướng độ dài lẻ. Không mất tính tổng quát có thể xem G liên thông.
Chọn 1 đỉnh a nào đó bất kì trong đồ thị
Đặt
(m: số màu)
Với
Ta ký hiệu
là độ dài đường đi vô hướng ngắn nhất nối
với
Đặt
mod 2
*Ta sẽ chứng minh m là hàm màu của G*
Giả sử
kề nhau
- Lấy
là đường đi vô hướng ngắn nhất nối a với x có độ dài
là đường đi vô hướng ngắn nhất nối
với
có độ dài
Chu trình đơn
có độ dài
phải là một số chẵn
Vậy thì
là một số lẻ
khác nhau tính chẵn lẻ
Hàm tô màu m có hai giá trị, vậy sắc số ≤ 2. G có ít nhất một cạnh nên sắc số của nó bằng 2
Từ định lý trên ta có hệ quả sau: Tất cả các chu trình độ dài chẵn đều có sắc số bằng 2.
#### Định lý 3[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=6)] **Phát biểu:** Nếu G có chứa 1 đồ thị con đẳng cấu với K n thì
.
**Chứng minh:** Hiển nhiên
### Các giá trị giới hạn của số màu cạnh[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=7)]
#### Định lí 1[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=8)] *Số màu cạnh của đồ thị đơn*G *bất kì không vượt quá số đỉnh của nó*.
Xét đồ thị
có hai đỉnh bất kì liền kề và
có các khuyên.
*n* là số đỉnh của
.
Đánh số các đỉnh của
là
.
Chỉ cần chứng minh
có thể tô màu các cạnh bởi
*n* màu thì suy ra đồ thị đơn *G* bất kì có số đỉnh không vượt quá *n* đều có thể tô các cạnh bởi *n* màu.
Kí hiệu các màu là
.
Khi đó ta có cách tô màu cho
như sau.
Ma trận dưới đây biểu thị cách tô màu, trong đó:
- giá trị ở hàng thứ
*i*cột *j*chính là màu được gán cho cạnh
;
** khẳng định rằng đối với Định lý König** [đồ thị hai phía](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_hai_ph%C3%ADa) *G*, số màu cạnh của nó bằng bậc cực đại của nó: ![ \chi'(G) = \Delta(G)](http://upload.wikimedia.org/math/9/6/c/96c47bd66173e28bc2584e9b881dc42a.png)
** khẳng định rằng, nếu đồ thị đơn Định lý Vizing** *G*có bậc cực đại bằng ![ \Delta(G)](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/f/a4f724421f6ac2231112e5157ed96417.png)
![ \Delta(G)](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/f/a4f724421f6ac2231112e5157ed96417.png)
![ \Delta(G)+1](http://upload.wikimedia.org/math/9/1/0/9102ba713b6a94be1844a19974256134.png)
### Đa thức màu[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=9)]
Xem bài
[đa thức màu](/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c_m%C3%A0u).
## Sắc số và số màu cạnh của một số đồ thị cơ bản[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=10)]
Khái niệm sắc số liên quan đến bài toán tô màu như sau: Hãy tô màu các đỉnh của đồ thị đã cho, sao cho 2 đỉnh kề phải được tô bằng hai màu khác nhau
### Đồ thị hai phía[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=11)] [Đồ thị hai phía](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_hai_ph%C3%ADa) đầy đủ
có sắc số bằng 2: χ(
)=2. Mở rộng: một đồ thị hai phía bất kì có sắc số không vượt quá 2.
Ví dụ minh họa là các đỉnh của đồ thị
có thể được tô bởi hai màu xanh và đỏ.
### Đồ thị chu trình[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=12)] [Đồ thị chu trình](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_chu_tr%C3%ACnh)
có sắc số bằng:
- χ(
)= 3, nếu n lẻ.
- χ(
)= 2, nếu n chẵn.
Số màu cạnh:
- χ'(
)= 3, nếu n lẻ.
- χ'(
)= 2, nếu n chẵn.
### Đồ thị bánh xe[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=13)] [Đồ thị bánh xe](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_b%C3%A1nh_xe)
(
*n*≥4) có sắc số bằng:
- χ(
)= 4, nếu
*n*chẵn;
- χ(
)= 3, nếu
*n*lẻ.
Số màu cạnh (
*n*≥3):
- χ'(
)=
*n*-1.
### Đồ thị đầy đủ[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=14)]
-
[Đồ thị đầy đủ](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7)7 đỉnh có sắc số bằng 7.
-
-
[Đồ thị đầy đủ](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%E1%BA%A7y_%C4%91%E1%BB%A7)
có sắc số bằng:
- χ(
) =
*n*.
Số màu cạnh:
- χ'(
) =
*n*, nếu *n*lẻ.
- χ'(
) =
*n*-1, nếu *n*chẵn.
Đánh số các đỉnh của
là
.
Do mỗi đỉnh của
có bậc bằng
*n*-1, nên số màu cạnh của nó không nhỏ hơn *n*-1, do đó χ'(
) bằng
*n* hoặc *n*-1. **Chứng minh χ'()= n-1 với n chẵn:**
- Ta chỉ cần chỉ ra cách tô
*n*-1 màu cho các cạnh của
là được.
- Kí hiệu các màu là
.
- Ma trận dưới đây biểu thị cách tô màu, trong đó:
- giá trị ở hàng thứ
*i*cột *j*chính là màu được gán cho cạnh
;
- X nghĩa là không được gán màu.
- giá trị ở hàng thứ
- Ví dụ với
*n*=6, ta có cách tô màu như sau: **Chứng minh χ'()= n với n lẻ:**
- Trái lại, giả sử tồn tại
*n*lẻ sao cho χ'(
) =
*n*-1.
- Xét màu
*M*bất kì, các cạnh tô màu *M*kí hiệu là
, trong đó
là các đầu mút đôi một phân biệt. Như vậy có 2
*k*đỉnh có cạnh liên thuộc tô bởi màu *M*, mà *n*lẻ nên tồn tại ít nhất một đỉnh
nào đó không có cạnh liên thuộc tô bởi màu
*M*. Như vậy các cạnh liên thuộc với đỉnh
chỉ được tô bởi không quá
*n*-2 màu, mà
(vô lí).
### Đồ thị siêu khối[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=15) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=15)] [Đồ thị siêu khối](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_si%C3%AAu_kh%E1%BB%91i&action=edit&redlink=1)
có sắc số bằng 2, vì bản thân nó là đồ thị phân đôi.
## Ứng dụng[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=16) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=16)]
### Tô màu bản đồ[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=17) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=17)]
Trên các
[bản đồ](/wiki/B%E1%BA%A3n_%C4%91%E1%BB%93), các miền khác nhau (miền ở đây được hiểu là các quốc gia trên bản đồ thế giới hay các tỉnh trong một bản đồ hành chính quốc gia) được tô màu sao cho 2 miền có chung biên giới không trùng màu nhau. Đối với bản đồ có nhiều miền, nếu ta dùng một số lượng lớn màu thì sẽ rất khó phân biệt các miền có màu gần giống nhau, vì thế người ta chỉ dùng một số lượng màu nhất định để tô màu bản đồ. Một bài toán được đặt ra là: có thể dùng ít nhất bao nhiêu màu để tô màu một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu (tr.593). [2]
Bài toán này dẫn đến
[định lý bốn màu](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_b%E1%BB%91n_m%C3%A0u) nổi tiếng và [định lý năm màu](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_n%C4%83m_m%C3%A0u) . Các dạng bài toán tô màu bản đồ có thể áp dụng [3] [Thuật toán tô màu Greedy](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_t%C3%B4_m%C3%A0u_Greedy)để tìm ra số màu ít nhất để tô cho các miền trên bản đồ.
## Xem thêm[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=18) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=18)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=19) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=19)]
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=20) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=20)]
- Barenboim, L.; Elkin, M. (2009), “Distributed (Δ + 1)-coloring in linear (in Δ) time”,
*Proceedings of the 41st*, tr. 111–120, [Symposium on Theory of Computing](/w/index.php?title=Symposium_on_Theory_of_Computing&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1145/1536414.1536432](//dx.doi.org/10.1145%2F1536414.1536432), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-1-60558-506-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-60558-506-2)
- Panconesi, A.; Srinivasan, A. (1996), “On the complexity of distributed network decomposition”,
*Journal of Algorithms* **20**
- Schneider, J. (2010), “A new technique for distributed symmetry breaking”,
[(PDF) Tựa đề URL chứa liên kết wiki (](http://www.dcg.ethz.ch/publications/podcfp107_schneider_188.pdf) *Proceedings of the [[Symposium on Principles of Distributed Computing]]* [trợ giúp](//en.wikipedia.org/wiki/Help:CS1_errors#wikilink_in_url))
- Schneider, J. (2008), “A log-star distributed maximal independent set algorithm for growth-bounded graphs”,
[(PDF) Tựa đề URL chứa liên kết wiki (](http://www.dcg.ethz.ch/publications/podc08SW.pdf) *Proceedings of the [[Symposium on Principles of Distributed Computing]]* [trợ giúp](//en.wikipedia.org/wiki/Help:CS1_errors#wikilink_in_url))
- Beigel, R.;
[Eppstein, D.](/wiki/David_Eppstein)(2005), “3-coloring in time O(1.3289 n)”, [Journal of Algorithms](/w/index.php?title=Journal_of_Algorithms&action=edit&redlink=1) **54**(2)): 168–204, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/j.jalgor.2004.06.008](//dx.doi.org/10.1016%2Fj.jalgor.2004.06.008)
- Björklund, A.; Husfeldt, T.; Koivisto, M. (2009), “Set partitioning via inclusion–exclusion”,
[SIAM Journal on Computing](/w/index.php?title=SIAM_Journal_on_Computing&action=edit&redlink=1) **39**(2): 546–563, [doi](/wiki/DOI): [10.1137/070683933](//dx.doi.org/10.1137%2F070683933)
- Brèlaz, D. (1979), “New methods to color the vertices of a graph”,
[Communications of the ACM](/w/index.php?title=Communications_of_the_ACM&action=edit&redlink=1) **22**(4): 251–256, [doi](/wiki/DOI): [10.1145/359094.359101](//dx.doi.org/10.1145%2F359094.359101)
- Brooks, R. L.; Tutte, W. T. (1941), “On colouring the nodes of a network”,
[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society](/w/index.php?title=Proceedings_of_the_Cambridge_Philosophical_Society&action=edit&redlink=1) **37**(2): 194–197, [doi](/wiki/DOI): [10.1017/S030500410002168X](//dx.doi.org/10.1017%2FS030500410002168X) [de Bruijn, N. G.](/w/index.php?title=Nicolaas_Govert_de_Bruijn&action=edit&redlink=1); [Erdős, P.](/wiki/Paul_Erd%C5%91s)(1951), [“A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations”](http://www.math-inst.hu/~p_erdos/1951-01.pdf)(PDF), *Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A* **54**: 371–373 (= *Indag. Math.* **13**)
- Byskov, J.M. (2004), “Enumerating maximal independent sets with applications to graph colouring”,
[Operations Research Letters](/w/index.php?title=Operations_Research_Letters&action=edit&redlink=1) **32**(6): 547–556, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/j.orl.2004.03.002](//dx.doi.org/10.1016%2Fj.orl.2004.03.002)
- Chaitin, G. J. (1982), “Register allocation & spilling via graph colouring”,
*Proc. 1982*, tr. 98–105, [SIGPLAN Symposium on Compiler Construction](/w/index.php?title=SIGPLAN_Symposium_on_Compiler_Construction&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1145/800230.806984](//dx.doi.org/10.1145%2F800230.806984), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-89791-074-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-89791-074-5)
- Cole, R.; Vishkin, U. (1986), “Deterministic coin tossing with applications to optimal parallel list ranking”,
[Information and Control](/w/index.php?title=Information_and_Control&action=edit&redlink=1) **70**(1): 32–53, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/S0019-9958(86)80023-7](//dx.doi.org/10.1016%2FS0019-9958%2886%2980023-7)
- Cormen, T. H.; Leiserson, C. E.; Rivest, R. L. (1990),
*(ấn bản 1), The MIT Press* [Introduction to Algorithms](/w/index.php?title=Introduction_to_Algorithms&action=edit&redlink=1)
- Dailey, D. P. (1980), “Uniqueness of colorability and colorability of planar 4-regular graphs are NP-complete”,
[Discrete Mathematics](/w/index.php?title=Discrete_Mathematics_(journal)&action=edit&redlink=1) **30**(3): 289–293, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0012-365X(80)90236-8](//dx.doi.org/10.1016%2F0012-365X%2880%2990236-8)
- Duffy, K.; O'Connell, N.; Sapozhnikov, A. (2008),
[“Complexity analysis of a decentralised graph colouring algorithm”](http://www.hamilton.ie/ken_duffy/Downloads/cfl.pdf)(PDF), *Information Processing Letters* **107**(2): 60–63, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/j.ipl.2008.01.002](//dx.doi.org/10.1016%2Fj.ipl.2008.01.002)
- Fawcett, B. W. (1978), “On infinite full colourings of graphs”,
[Can. J. Math.](/w/index.php?title=Canadian_Journal_of_Mathematics&action=edit&redlink=1) **XXX**: 455–457 [Garey, M. R.](/w/index.php?title=Michael_R._Garey&action=edit&redlink=1); [Johnson, D. S.](/w/index.php?title=David_S._Johnson&action=edit&redlink=1)(1979), *, W.H. Freeman,* [Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness](/w/index.php?title=Computers_and_Intractability:_A_Guide_to_the_Theory_of_NP-Completeness&action=edit&redlink=1) [ISBN](/wiki/ISBN) [0-7167-1045-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-7167-1045-5) [Garey, M. R.](/w/index.php?title=Michael_R._Garey&action=edit&redlink=1); [Johnson, D. S.](/w/index.php?title=David_S._Johnson&action=edit&redlink=1); [Stockmeyer, L.](/w/index.php?title=Larry_Stockmeyer&action=edit&redlink=1)(1974), “Some simplified NP-complete problems”, [, tr. 47–63,](http://portal.acm.org/citation.cfm?id=803884) *Proceedings of the Sixth Annual ACM Symposium on Theory of Computing* [doi](/wiki/DOI): [10.1145/800119.803884](//dx.doi.org/10.1145%2F800119.803884)
- Goldberg, L. A.;
[Jerrum, M.](/w/index.php?title=Mark_Jerrum&action=edit&redlink=1)(tháng 7 năm 2008), “Inapproximability of the Tutte polynomial”, [Information and Computation](/w/index.php?title=Information_and_Computation&action=edit&redlink=1) **206**(7): 908–929, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/j.ic.2008.04.003](//dx.doi.org/10.1016%2Fj.ic.2008.04.003)
- Goldberg, A. V.; Plotkin, S. A.; Shannon, G. E. (1988), “Parallel symmetry-breaking in sparse graphs”,
[SIAM Journal on Discrete Mathematics](/w/index.php?title=SIAM_Journal_on_Discrete_Mathematics&action=edit&redlink=1) **1**(4): 434–446, [doi](/wiki/DOI): [10.1137/0401044](//dx.doi.org/10.1137%2F0401044)
- Guruswami, V.; Khanna, S. (2000), “On the hardness of 4-coloring a 3-colorable graph”,
*Proceedings of the 15th Annual IEEE Conference on Computational Complexity*, tr. 188–197, [doi](/wiki/DOI): [10.1109/CCC.2000.856749](//dx.doi.org/10.1109%2FCCC.2000.856749), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-7695-0674-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-7695-0674-7)
- Halldórsson, M. M. (1993), “A still better performance guarantee for approximate graph coloring”,
*Information Processing Letters* **45**: 19–23, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0020-0190(93)90246-6](//dx.doi.org/10.1016%2F0020-0190%2893%2990246-6)
- Holyer, I. (1981), “The NP-completeness of edge-coloring”,
[SIAM Journal on Computing](/w/index.php?title=SIAM_Journal_on_Computing&action=edit&redlink=1) **10**(4): 718–720, [doi](/wiki/DOI): [10.1137/0210055](//dx.doi.org/10.1137%2F0210055)
- Crescenzi, P.; Kann, V. (tháng 12 năm 1998), “How to find the best approximation results — a follow-up to Garey and Johnson”,
[ACM SIGACT News](/w/index.php?title=ACM_SIGACT_News&action=edit&redlink=1) **29**(4): 90, [doi](/wiki/DOI): [10.1145/306198.306210](//dx.doi.org/10.1145%2F306198.306210)
- Jaeger, F.; Vertigan, D. L.; Welsh, D. J. A. (1990), “On the computational complexity of the Jones and Tutte polynomials”,
[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society](/w/index.php?title=Mathematical_Proceedings_of_the_Cambridge_Philosophical_Society&action=edit&redlink=1) **108**: 35–53, [doi](/wiki/DOI): [10.1017/S0305004100068936](//dx.doi.org/10.1017%2FS0305004100068936)
- Jensen, T. R.; Toft, B. (1995),
*Graph Coloring Problems*, Wiley-Interscience, New York, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-471-02865-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-471-02865-7) [Khot, S.](/w/index.php?title=Subhash_Khot&action=edit&redlink=1)(2001), “Improved inapproximability results for MaxClique, chromatic number and approximate graph coloring”, *Proc. 42nd Annual*, tr. 600–609, [Symposium on Foundations of Computer Science](/w/index.php?title=Symposium_on_Foundations_of_Computer_Science&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1109/SFCS.2001.959936](//dx.doi.org/10.1109%2FSFCS.2001.959936), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-7695-1116-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-7695-1116-3)
- Kubale, M. (2004),
*Graph Colorings*, American Mathematical Society, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-8218-3458-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-8218-3458-4)
- Kuhn, F. (2009), “Weak graph colorings: distributed algorithms and applications”,
*Proceedings of the 21st*, tr. 138–144, [Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures](/w/index.php?title=Symposium_on_Parallelism_in_Algorithms_and_Architectures&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1145/1583991.1584032](//dx.doi.org/10.1145%2F1583991.1584032), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-1-60558-606-9](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-60558-606-9) [Lawler, E.L.](/w/index.php?title=Eugene_Lawler&action=edit&redlink=1)(1976), “A note on the complexity of the chromatic number problem”, [Information Processing Letters](/w/index.php?title=Information_Processing_Letters&action=edit&redlink=1) **5**(3): 66–67, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0020-0190(76)90065-X](//dx.doi.org/10.1016%2F0020-0190%2876%2990065-X)
- Leith, D.J.; Clifford, P. (2006), “A Self-Managed Distributed Channel Selection Algorithm for WLAN”,
[(PDF)](http://www.hamilton.ie/peterc/downloads/rawnet06.pdf) *Proc. RAWNET 2006, Boston, MA* [Linial, N.](/w/index.php?title=Nati_Linial&action=edit&redlink=1)(1992), “Locality in distributed graph algorithms”, [SIAM Journal on Computing](/w/index.php?title=SIAM_Journal_on_Computing&action=edit&redlink=1) **21**(1): 193–201, [doi](/wiki/DOI): [10.1137/0221015](//dx.doi.org/10.1137%2F0221015)
- van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (2001),
*A Course in Combinatorics*(ấn bản 2), Cambridge University Press, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-521-80340-3.](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-521-80340-3.)Kiểm tra giá trị
|isbn=(
[trợ giúp](//en.wikipedia.org/wiki/Help:CS1_errors#bad_isbn))
- Marx, Dániel (2004), “Graph colouring problems and their applications in scheduling”,
*Periodica Polytechnica, Electrical Engineering* **48**(1–2), tr. 11–16, [Bản mẫu:Citeseerx](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Citeseerx&action=edit&redlink=1) [Mycielski, J.](/w/index.php?title=Jan_Mycielski&action=edit&redlink=1)(1955), [“Sur le coloriage des graphes”](http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm3/cm3119.pdf)(PDF), *Colloq. Math.* **3**: 161–162.
- Panconesi, Alessandro; Rizzi, Romeo (2001), “Some simple distributed algorithms for sparse networks”,
*Distributed Computing*(Berlin, New York: [Springer-Verlag](/w/index.php?title=Springer-Verlag&action=edit&redlink=1)) **14**(2): 97–100, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/PL00008932](//dx.doi.org/10.1007%2FPL00008932), [ISSN](/wiki/ISSN) [0178-2770](//www.worldcat.org/issn/0178-2770)
- Sekine, K.; Imai, H.; Tani, S. (1995), “Computing the Tutte polynomial of a graph of moderate size”,
*Proc. 6th International Symposium on Algorithms and Computation (ISAAC 1995)*, [Lecture Notes in Computer Science](/w/index.php?title=Lecture_Notes_in_Computer_Science&action=edit&redlink=1) **1004**, Springer, tr. 224–233, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BFb0015427](//dx.doi.org/10.1007%2FBFb0015427), [ISBN](/wiki/ISBN) [3-540-60573-8](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/3-540-60573-8)
- Welsh, D. J. A.; Powell, M. B. (1967), “An upper bound for the chromatic number of a graph and its application to timetabling problems”,
*The Computer Journal* **10**(1): 85–86, [doi](/wiki/DOI): [10.1093/comjnl/10.1.85](//dx.doi.org/10.1093%2Fcomjnl%2F10.1.85)
- West, D. B. (1996),
*Introduction to Graph Theory*, Prentice-Hall, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-13-227828-6](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-13-227828-6)
- Wilf, H. S. (1986),
*Algorithms and Complexity*, Prentice–Hall
- Zuckerman, D. (2007), “Linear degree extractors and the inapproximability of Max Clique and Chromatic Number”,
[Theory of Computing](/w/index.php?title=Theory_of_Computing_(journal)&action=edit&redlink=1) **3**: 103–128, [doi](/wiki/DOI): [10.4086/toc.2007.v003a006](//dx.doi.org/10.4086%2Ftoc.2007.v003a006)
- Zykov, A. A. (1949),
[“О некоторых свойствах линейных комплексов (On some properties of linear complexes)”](http://mi.mathnet.ru/eng/msb5974), *Math. Sbornik.*(bằng tiếng Nga), 24(66) (2): 163–188
- Jensen, Tommy R.; Toft, Bjarne (1995),
*Graph Coloring Problems*, John Wiley & Sons, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-471-02865-7, 9780471028659](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-471-02865-7,_9780471028659)Kiểm tra giá trị
|isbn=(
[trợ giúp](//en.wikipedia.org/wiki/Help:CS1_errors#bad_isbn))
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&veaction=edit&vesection=21) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=T%C3%B4_m%C3%A0u_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B&action=edit§ion=21)] [by Joseph Culberson (graph coloring programs)](http://www.cs.ualberta.ca/~joe/Coloring/index.html) *Graph Coloring Page* [by Jim Andrews and Mike Fellows is a graph coloring puzzle](http://vispo.com/software) *CoLoRaTiOn* [Links to Graph Coloring source codes](http://www.adaptivebox.net/research/bookmark/gcpcodes_link.html) [Code for efficiently computing Tutte, Chromatic and Flow Polynomials](http://www.mcs.vuw.ac.nz/~djp/tutte/)by Gary Haggard, David J. Pearce and Gordon Royle [Graph Coloring Web Application](http://graph-coloring.appspot.com/)

X-Cache: cp1053 hit(1), cp1065 frontend miss(0)


text:
illiquid
Từ điển mở Wiktionary
Bước tới:
dẫn lái
,
tìm
Mục lục
1
Tiếng Anh
1.1
Cách phát âm
1.2
Tính từ
1.3
Tham khảo
Tiếng Anh
[
sửa
]
Cách phát âm
[
sửa
]
IPA
:
/ˌɪl.ˈlɪk.wəd/
Tính từ
[
sửa
]
illiquid
/ˌɪl.ˈlɪk.wəd/
Không
dễ
đổi
thành
tiền mặt
(của cải).
Không
lỏng
.
Tham khảo
[
sửa
]
Hồ Ngọc Đức,
Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí
(
chi tiết
)
Lấy từ “
https://vi.wiktionary.org/w/index.php?title=illiquid&oldid=1564554
”
Thể loại
:
Mục từ tiếng Anh
Tính từ
Tính từ tiếng Anh
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Chưa đăng nhập
Thảo luận
Đóng góp
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Mục từ
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Tra
Sửa đổi
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Chuyển hướng
Trang Chính
Cộng đồng
Thay đổi gần đây
Mục từ ngẫu nhiên
Trợ giúp
Thảo luận chung
Quyên góp
Chỉ mục
Ngôn ngữ
Chữ cái
Bộ thủ
Từ loại
Chuyên ngành
In/xuất ra
Tạo một quyển sách
Tải về dưới dạng PDF
Bản in được
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Tải tập tin lên
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Trích dẫn trang này
Ngôn ngữ định nghĩa
Deutsch
English
Eesti
Suomi
Français
Ido
한국어
Kurdî
中文
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 23:58 ngày 3 tháng 7 năm 2015.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Xem
Điều khoản Sử dụng
để biết thêm chi tiết.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wiktionary
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Cookie statement
Phiên bản di động

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Connection: close

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Content-Language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

X-Cache: cp1066 miss(0), cp1068 frontend miss(0)

Vary: Accept-Encoding,Cookie

Accept-Ranges: bytes

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Tổng đài chăm sóc và Hỗ trợ Khách hàng hoạt động suốt 7 ngày trong tuần
Thứ 2 - 7: hoạt động từ 7:30 - 20:00
Chủ nhật: hoạt động từ 8:00 - 17:00
Các Bộ Định Mức Xây Dựng Cơ Bản - Định Mức Dự Toán Xây Dựng Công Trình Phần Lắp Đặt Hệ Thống Điện Trong Công Trình; Ống Và Phụ Tùng Ống; Bảo Ôn Đường Ống, Phụ Tùng Và Thiết Bị; Khai Thác Nứơc Ngầm Phần Khảo Sát Xây Dựng - Phần Lắp ... Xem chi tiết
Hãy Đăng ký

markdown:
Chưa có tài khoản vui lòng ĐĂNG
KÝ
Giỏ hàng rỗng
Giá bán
Vui lòng nhập các chữ số ở hình bên cạnh.
Vinabook
CÔNG TY CỔ PHẦN THƯƠNG MẠI DỊCH VỤ MÊ KÔNG COM Địa chỉ: 292A Hòa Bình, Phường Hiệp Tân, Quận Tân Phú, Tp. Hồ Chí Minh
MST: 0303615027 do Sở Kế Hoạch Và Đầu Tư Tp.HCM cấp ngày 10/03/2011
Tel: 08.73008182 - Fax: 08.39733234 - Email: hotro@vinabook.com
★ ★ ★ ★ ★
Hãy Đăng ký

WARC-Truncated: length

Server: nginx

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Vary: Accept-Encoding

X-Frame-Options: sameorigin

Set-Cookie: debugger=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; path=/

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache