markdown:
# «Б.П. Безручко, Д.А. Смирнов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ Издательство ГосУНЦ «Колледж» Саратов, 2005 УДК ...»
и запаздывание сигнала. «Расплывание» имеет место, если полоса пропускания недостаточна для пропускания всех компонент сигнала, например, из-за инерционности. Так, если использовать -воздействие, наличие инерционности приводит к конечной ширине отклика (чем инерционнее система, тем шире отклик), а сдвиг момента его появления на выходе относительно момента поступления является оценкой времени задержки (рис.6.4,в). И инерционность, и задержка моделируются конечномерными моделями, но более естественно явление запаздывания учитывается дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом (ДУЗ). Они бесконечномерны, поскольку требуют задания начальной кривой на интервале задержки, т.е. непрерывного множества значений динамической переменной.
В схеме рис.3.3. математические средства моделирования эволюции во времени систематизированы в соответствии с уровнем общности (возможности описать с его помощью большее число объектов и вариантов движений). Как правило, за общность приходится платить ростом вычислительных затрат, необходимых для решения и исследования модельных уравнений.
Часть I. Модели и прогноз Рис.3.3. Условная схема видов динамических моделей. Снизу вверх описательные возможности и требуемые для исследования вычислительные затраты увеличиваются Самый простой вид моделей – функции времени x = F (t ). В линейных задачах или в специальных частных случаях такие модели можно получить как аналитические решения уравнений эволюции. Несмотря на очень большое число использующихся функций (см. п. 3.3), их возможности для описания сложных (особенно хаотических) временных реализаций весьма ограничены. Чуть более общим случаем являются алгебраические или трансцендентные уравнения F(x, t ) = 0. (3.7) Если уравнение (3.7) не имеет аналитического решения, то говорят, что оно определяет зависимость x(t ) неявно.
«Левый столбец» обсуждаемой схемы составляют различные дифференциальные уравнения (ДУ). Это уравнения, в которые входят производные от динамических переменных по независимым переменным (по времени t и по пространственным координатам r). Например, уравнение первого порядка имеет вид F(x(t, r ), x(t, r ) t, x(t, r ) r, t, r, c) = 0, (3.8) где x – вектор динамических переменных. Первыми были введены в научную практику ОДУ Глава 3. Динамические модели эволюции F(x(t ), dx(t ) dt,..., d n x(t ) dt n, t, c) = 0. (3.9) ОДУ вида dx dt = F(x, c) = 0 имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Они задают направление и величину скорости изменения состояния объекта v = dx dt в каждой точке конечномерного фазового пространства (поле скоростей). В любой точке вектор v (если он ненулевой) является касательным к фазовой траектории. Задание поля скоростей обеспечивает однозначное предсказание фазовой траектории, стартующей из любого начального состояния, т.е. описание всех возможных движений в фазовом пространстве (рис.3.2,а).
Производные динамических переменных используются в уравнениях нескольких видов, существенно отличающихся по свойствам решений и методам их получения. На рис.3.3 они объединены широкой вертикальной линией, как ветки – стволом дерева. Находящиеся вверху «ствола» ОДУ описывают динамику сосредоточенных (конечномерных) систем, где не требуется учитывать непрерывное распределение свойств объекта в пространстве. ДУ в частных производных (ДУЧП), в которых в качестве независимой переменной выступают и пространственные координаты, расположены в самом низу схемы. Они наиболее универсальны, т.к.
описывают и бесконечномерные движения в распределенных системах. Но решение ДУЧП требует значительно больших вычислительных ресурсов, чем решение ОДУ. Кроме того, ДУЧП теряют наглядную геометрическую интерпретацию, присущую ОДУ.
Алгебро-дифференциальные уравнения (АДУ) – это объединение ОДУ и алгебраических уравнений:
F(dx(t ) dt, x(t ), y (t ), t, c) = 0, (3.10) G (x(t ), y (t ), t, c) = 0, где x – D-мерный вектор состояния, y – K-мерный вектор (не вносит дополнительных степеней свободы в систему), F – вектор-функция размерности D, G – вектор-функция размерности K. Второе уравнение – алгебраическое и определяет (быть может, неявную) зависимость y (t ) от x(t ). Методы работы с такими уравнениями очень схожи со случаем ОДУ.
Уравнения с запаздывающим аргументом имеют, например, вид F(x(t ), dx(t ) dt, x(t ), c) = 0. (3.11) Отличие от ОДУ состоит в наличии в уравнении значений динамических переменных не только для текущего, но и для прошлого момента времени.
ОДУ есть частный случай ДУЗ при нулевом времени запаздывания.
Интегро-дифференциальные уравнения ИДУ не относятся, строго говоря, к классу ДУ. Они включают в себя не только производные, но и интегралы от динамических переменных, например, Часть I. Модели и прогноз F x(t ), dx(t ) dt,..., d n x(t ) dt n, k (t, t )x(t )dt, t, c = 0, (3.12) где k (t, t ) – ядро линейного интегрального преобразования. Если производных нет, то уравнения называются просто интегральными.
ДУЗ и ИДУ также обеспечивают бесконечномерное описание. ДУЗ во многих случаях можно рассматривать как частный случай ИДУ. Например, ИДУ вида dx(t ) dt = F (x(t )) + k (t, )x( )d в случае k (t, t ) = (t t ) сводится к ДУЗ dx(t ) dt = F (x(t )) + x(t ).
При построении дискретного аналога уравнений (3.4) переходят к дискретному времени n = t t и к конечным разностям. При достаточно малых t разностное уравнение (3.5) имеет решение, близкое к решению ДУ (3.4). Но с ростом t разностное уравнение (точечное отображение) перестает адекватно отражать свойства исходного ОДУ. Однако можно построить дискретные модели и для больших временных шагов, демонстрирующие хорошее соответствие исходной системе. В рассмотренном примере с осциллятором (рис.3.2) при t = T последовательные значения vn, соответствующие выделенным на рис.3.2,a,б точкам, связаны одномерным отображением (3.6), рис.3.2,в. Оно имеет размерность, меньшую размерности исходной системы, и отражает монотонное затухание колебаний и переход к состоянию равновесия, но платой за простоту является потеря информации о поведении системы между отсчетами.
Системы с дискретным и непрерывным временем ценны сами по себе, так что не стоило бы говорить о каких-то приоритетах, но практика моделирования и признание специалистами исторически сложились в пользу ДУ. Это объясняется тем, что до середины ХХ века физика, которая была в конце этого периода примой на сцене науки, опиралась в основном на ДУ (в частности, линейные ДУЧП) и использовала различные аналитические методы. Вычислительная техника и цифровые методы, для которых аппарат разностных уравнений «родной», еще не имели современного уровня развития, поэтому арсенал отображений, используемых в моделировании, был значительно беднее, чем аналогичные наборы эталонных потоковых систем. Однако современные тенденции все более широкого использования нелинейных уравнений и развитие численных методов исследования многомерных систем со сложным пространственно-временным поведением благоприятствуют прогрессу дискретных подходов. Весьма популярны в настоящее время дискретные модели ансамблей – решетки связанных отображений, объединившие в пространственные комплексы большое число Глава 3. Динамические модели эволюции отображений с нетривиальной собственной временной динамикой (см. п.
3.7). Как модели пространственно-развитых систем, они уступают ДУЧП по общности, но несравненно проще для численного исследования.
Специфическим вариантом многомерных систем отображений или ОДУ являются искусственные нейронные сети, получившие в настоящее время очень широкое распространение и в задачах аппроксимации (см. п. 3.8).
3.3. Явные функциональные зависимости Динамические модели эволюции в виде функций времени x = F(t ), могут быть заданы аналитически, графически или таблично и получены любым из описанных в п. 1.5 путей, например, решением ДУ или путем аппроксимации экспериментальных данных (см. п. 7.2). Перечислить все используемые математиками функции не представляется возможным. Но для целей дальнейшего изложения остановимся на зависимостях, которые составляют базовый класс элементарных функций. К ним относятся алгебраические многочлены, степенные, рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Ему же принадлежат функции, получающиеся из перечисленных с помощью четырех арифметических операций и композиции, применяемых конечное число раз. Рассмотрим несколько примеров элементарных функций и ДУ, решениями которых они являются.
1) Линейная функция x(t ) = x0 + v0t является решением уравнения dx dt = v0, (3.13) которое описывает прямолинейное движение с постоянной скоростью v0 c начальным условием x(0) = x0. Ее график – прямая линия (рис.3.4,а).
Рис.3.4. Графики некоторых элементарных функций: a) линейной, б) степенной, в) экспоненты с 0, г) синусоиды 2) Алгебраический многочлен порядка K:
«Суперпозиция (композиция) функций – составление из двух функций сложной функции (функции от функции)» [118]. В этом определении термины «суперпозиция» и «композиция» выступают как синонимы. Однако среди физиков суперпозицией функций f1 и f 2 часто называют их линейную комбинацию af1 + bf 2, где a и b – постоянные. При этом значения терминов «суперпозиция» и «композиция» становятся совсем различными. Для избежания путаницы мы применительно к сложным функциям используем далее только термин «композиция».
Часть I. Модели и прогноз x(t ) = c0 + c1t + c2t 2 +... + c K t K, (3.14) где сi – постоянные коэффициенты. Он является решением уравнения d K x dt K = const. Линейная функция – частный случай (3.14) при K = 1. В задаче о равноускоренном движении тела, подброшенного вверх с высоты h с начальной скоростью v0, уравнение движения (из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения) имеет вид d 2 x dt 2 = g m, где ось x направлена вертикально вверх, m – масса тела, g – ускорение свободного падения. Его решение: x(t ) = h + v0t gt 2 2 (рис.3.4,б). Оно справедливо при отсутствии трения и до тех пор, пока тело не упадет на Землю.
3) Дробно-рациональная функция – это отношение двух алгебраических многочленов x(t ) = P (t ) Q(t ). Ее частным случаем при Q(t ) = const является опять же алгебраический многочлен.
4) Степенная функция x(t ) = t, где – произвольное действительное число. Если не целое, то рассматривается только t 0. При целых это вариант алгебраического многочлена или дробно-рациональной функции.
5) Показательная (экспоненциальная) функция x(t ) = x0 et (рис.3.4,в) знаменита тем, что скорость ее изменения пропорциональна самой функции. Она является решением уравнения dx dt = x, с начальным условием x(0) = x0, которое описывает, например, динамику численности биологической популяции, а – постоянный параметр, имеющий смысл рождаемости. 6) Гармоническая функция x(t ) = x0 cos(t + 0 ) – одна из семейства тригонометрических функций (рис.3.4,г). Она является решением уравнения гармонического осциллятора d 2 x dt 2 + 2 x = 0 – эталонной модели колебаний материальной точки без трения под действием возвращающей силы, пропорциональной отклонению x от положения равновесия. Ее постоянные параметры x0 – амплитуда колебаний, – угловая частота, 0 – начальная фаза. Гармоническая функция двух переменных x(t, z ) = x0 cos(t kr + 0 ) описывает бегущую вдоль оси r монохроматическую волну длины = 2 k (рис.3.1,г) и является решением уравнения простой волны x t + V x r = 0.
Получающийся при 0 экспоненциальный рост численности популяции называют мальтузианским ростом, поскольку католический монах Мальтус в XVI в. первым получил этот результат. Он справедлив до тех пор, пока численность популяции не слишком велика, так что можно считать, что пищевых ресурсов хватает всем.
Глава 3. Динамические модели эволюции Популярность тригонометрических функций во многом обусловлена тем, что согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную периодическую функцию x(t ) можно сколь угодно точно приблизить тригонометрическим многочленом K x(t ) = ck cos(2k T + k ), (3.15) i = где K – порядок многочлена. Непериодическую функцию можно приблизить с помощью такого многочлена на конечном отрезке.
Аналогичная теорема о возможностях приближения функций была доказана Вейерштрассом и для алгебраического многочлена (3.14).
Алгебраический и тригонометрический многочлены широко используются для приближенного описания зависимостей. Это предмет теории аппроксимации (конструктивной теории функций), подробнее см. п.7.2.
Конкуренцию им составляют в последние годы искусственные нейронные сети (пп. 3.8, 10.2.1.3), радиальные базисные функции (п. 10.2.1.2) и вейвлеты. Последние получили очень широкое распространение на практике и подробнее рассмотрены в п. 6.4.2.2. Здесь скажем только, что это – хорошо локализованные функции с нулевым средним, например, x(t ) = e t 2 (1 2 )e t 8.
2 К рассмотрению вопроса о других (не элементарных) функциях и расширениях класса элементарных функций мы вернемся в п. 3.5.
3.4. Линейность и нелинейность «Нелинейность всепроникающа и вездесуща, многолика и неисчерпаемо многообразна. Она повсюду: в большом и малом, в явлениях быстротечных и длящихся эпохи… Нелинейность – понятие емкое, с множеством оттенков и градаций.
Нелинейность эффекта или явления означает одно, нелинейность теории –другое».
Ю.А. Данилов. «Нелинейность» [71] 3.4.1. Линейность и нелинейность функций и уравнений На чувственном уровне слово «линейный» близко к «прямолинейный», ассоциируется с прямой линией, с пропорциональным изменением причины и следствия, неизменным курсом, графиком в виде прямой, как на рис.3.4,а. Однако, в соответствии с терминологией, принятой в математике и нелинейной динамике, линейными являются все рассмотренные в предыдущем параграфе динамические системы, хотя графики их решений – отнюдь не прямые линии (рис.3.4,б-г). Линейны операторы эволюции этих динамических систем – дифференциальные или Часть I. Модели и прогноз разностные уравнения и отображения последования, но не их решения – не функции времени, описывающие временные реализации.
Что же общего во всех представленных в п. 3.3 уравнениях эволюции?
Все они подчиняются принципу суперпозиции. Если функции независимых переменных x1 (t ) и x2 (t ) являются решениями уравнения, то и их линейная комбинация ax1 (t ) + bx2 (t ) – это тоже решение, т.е. будучи подставлена в уравнение вместо x(t ), она превращает его в тождество. В правых и левых частях линейных ДУ могут стоять только первые степени динамической переменной и ее производных: x, dx dt, …, d n x dt n. Но там не должно быть их более высоких степеней и произведений.
Соответственно, в линейных разностных уравнениях могут стоять только первые степени конечных разностей или значений динамической переменной в дискретные моменты времени. Уравнения любых видов линейны, если отображения, определенные на множестве значений динамических переменных, стоящие слева и справа от знака равенства, линейны. Нарушение этого правила означает нелинейность уравнения.
Например, линейны уравнения (3.2), (3.4)-(3.6), (3.13). Нелинейно уравнение (2.1). Заметим, что линейные неавтономные (с явной зависимостью от времени) уравнения могут включать в себя нелинейные функции независимой переменной (времени). Например, неавтономный линейный осциллятор d 2 x dt 2 + 2 dx dt + 0 x = A cost.
Линейная функция «ведет себя» очень просто – монотонно убывает или возрастает с изменением аргумента или является постоянной. Но линейность динамических систем не означает, что демонстрируемые ими движения обязательно примитивны. Это видно даже из нескольких приведенных на рис.3.4 примеров. Учитывая выполнение принципа суперпозиции, для многомерных линейных уравнений с помощью комбинаций степенных, экспоненциальных и тригонометрических функций, являющихся их решениями, можно подобрать решение в виде очень сложной зависимости от времени, на конечном интервале неотличимой внешне от беспорядочной, хаотической. Но линейные системы «не могут позволить себе» многого: изменения формы колебаний, требующего появления новых гармоник, динамического хаоса (беспорядочных решений с экспоненциальной чувствительностью к малым возмущениям), мультистабильности (наличия нескольких вариантов установившихся движений), и т.д.
Системы, процессы, эффекты, явления классифицируют как линейные или нелинейные, в зависимости от того, описываются ли они адекватно линейными уравнениями или необходимо использовать уравнения нелинейные. Мир нелинейных операторов несравненно богаче, чем линейных: нелинейных динамических систем и видов их поведения Глава 3. Динамические модели эволюции несравнимо больше. Место «линейного» в преимущественно нелинейном окружающем мире, «частность» линейных представлений следует хотя бы из того, что нелинейные системы могут быть сведены к линейным – линеаризованы – только при малых амплитудах колебаний (и когда разложение нелинейных функций в ряд Тейлора содержит линейные члены). Для этого требуется заменить в уравнениях динамические переменные xk на сумму их стационарной и переменной частей xk = x0,k + ~k, где x0,k ~k, и пренебречь малыми членами – степенями ~k x x x выше первой, произведениями малых и т.д.
Исторически, в докомпьтерную эпоху, линейные уравнения имели неоспоримое преимущество в научной практике над нелинейными, поскольку могли быть строго исследованы и решены аналитически. Долгое время даже существовало устойчивое мнение об относительно большей важности и представленности в природе линейных феноменов и самодостаточности линейных подходов [71]. Развитие вычислительной техники, численных методов решения нелинейных уравнений и возможностей их графического представления, формирование современных математических концепций, в частности, теории динамического хаоса, сместили чашу весов в пользу нелинейных методов и представлений и отношению к линейным ситуациям, как к важному, но частному случаю.
3.4.2. Природа нелинейности Нелинейность естественна и органично присуща миру, в котором мы существуем, ее природа может быть различной и определяется специфическими свойствами объектов. Скорее надо было бы говорить об условиях проявления линейности, а не нелинейности, но, в соответствии с исторически сложившимися традициями (см. выше п.3.4.1), появление нелинейности часто объясняют конкуренцией собственных мод колебаний линеаризованной системы или зависимостью параметров изначально линейной системы от величины динамической переменной. Последняя зависимость часто жизненно необходима и может реализоваться, например, за счет обратных связей. Если бы чувствительность органов зрения или слуха была бы постоянной и не зависела от уровня воздействия (уровня освещенности или громкости звука), нельзя было бы успешно ориентироваться в сумраке и не слепнуть солнечным днем, слышать шорох подползающей змеи и не глохнуть от грома. «... Биологические системы, которые не смогли охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не выдержав борьбы за существование. На их могилах можно было бы написать: «Они были слишком линейными для этого мира» ([71] со ссылкой на А.М.
Молчанова).
Часть I. Модели и прогноз Так, если бы коэффициент размножения k в популяции был постоянным и не зависел от численности xn особей (n – дискретное время), то в соответствии с линейным законом эволюции xn+1 = kxn (3.16) при k 1 с течением времени наблюдался бы ее неограниченный рост. В этом случае было бы неизбежно перенаселение, а при k 1, наоборот, грозило бы полное исчезновение популяции. Более реалистична зависимость параметра k от переменной xn, например, k = r (1 xn ), ведущая к нелинейности оператора эволюции: xn+1 = rxn (1 xn ).
Нетривиальные, включая хаотические, свойства этой эталонной одномерной динамической системы – логистического отображения – хорошо известны, см. п. 3.6.2.
3.4.3. Иллюстрация на маятниках Признанными эталонными объектами для иллюстрации линейных и нелинейных колебательных феноменов являются различные маятники – системы, совершающие колебания около положения устойчивого равновесия. Их простейшие механические представители: массивный груз, подвешенный на нити или стержне (рис.3.5,а), груз на пружине (рис.3.5,в), шарик, катающийся в ямке, бутылка, плавающая на воде, жидкость в U– образной трубке и множество других. Электрическим маятником называют цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности (колебательный контур, рис.3.5,б). Говорят и о химическом маятнике – смеси химикатов, вступающих в колебательную реакцию, экологическом – двух взаимодействующих популяциях хищников и жертв [163].
Предоставленный самому себе (собственные движения) реальный маятник оказывается, в конце концов, в состоянии устойчивого равновесия (рис.3.5). В зависимости от начальных значений динамических переменных (отклонения от положения устойчивого равновесия x и скорости его изменения dx dt ) и свойств объекта этому предшествуют различные варианты движений. На рис.3.5 выделены две области, в которых движения качественно различны: левая, заштрихованная, соответствует относительно большим x, при которых существенна нелинейность, а правая – малым, «линейным». Временные реализации малых колебаний идентичны для всех рассматриваемых маятников:
колебания изохронны (квазипериод T1 не зависит от текущего состояния) и близки к затухающей синусоиде – решению линейного уравнения (3.2), описывающего малые колебания всех рассматриваемых систем. Последнее обстоятельство является законным основанием для того, чтобы называть эти колебания линейными. Монотонное затухание колебаний Глава 3. Динамические модели эволюции моделируется и линейным одномерным отображением xn+1 = axn, где a = exp( T1 ) 1 (рис.3.2,в).
Рис.3.5. Качественный вид временных реализаций x и x маятников: груз на стержне (а), & колебательный контур с диодом (б), груз на пружине (в). г) Одинаковая для всех примеров линейная стадия колебаний представлена в увеличенном масштабе, для нее приведен и портрет на фазовой плоскости ( x, dx dt ) : точка, изображающая состояние системы, движется по скручивающейся спирали к аттрактору – точке устойчивого равновесия в начале координат. В области больших значений координат и скоростей фазовые портреты маятников сильно различаются и более замысловаты По сравнению с единым «стандартом» линейных колебаний (3.2), многообразие типов нелинейного поведения очень велико и определяется свойствами каждого конкретного маятника. Так, в трех примерах на рис.3.5 при полной идентичности линейной стадии (рис.3.5,г) характер участков нелинейного поведения существенно различается. Это связано с особенностями каждого из маятников, с характером их нелинейности – видом зависимости параметров системы от координат и скоростей.
Например, в случае маятника на стержне (рис.3.5,а) нелинейность определяется синусоидальной зависимостью момента силы тяжести относительно оси вращения от угла поворота. В электрическом маятнике с полупроводниковым конденсатором (варакторным диодом, рис.3.5,б) она связана со свойствами p-n перехода, инжекцией и конечностью времени жизни носителей заряда, а в пружинном маятнике (рис.3.5,в) – обусловлена видом зависимости силы упругости от величины деформации пружины.
Например, при сильном сжатии витки пружины смыкаются, так что сила упругости резко возрастает по сравнению с ожидаемой по закону Гука:
пружина «становится более жесткой». При этом период колебаний Часть I. Модели и прогноз уменьшается при увеличении их размаха. По аналогии нелинейность любого осциллятора, приводящую к уменьшению (увеличению) периода с ростом амплитуды колебаний, стали называть нелинейностью типа жесткой (мягкой) пружины.
3.5. Модели – обыкновенные дифференциальные уравнения 3.5.1. Виды решений Появление обыкновенных дифференциальных уравнений и их история связаны с именами Ньютона и Лейбница (XVII-XVIII вв.).
Впоследствии в рамках аналитической механики и теории дифференциальных уравнений развивались общие процедуры для получения модельных уравнений и разрабатывались методы их решения.
3.5.1.1. Элементарные решения. Решение дифференциального уравнения в виде элементарной функции называют элементарным решением. Ограничимся для иллюстрации примерами из п.3.3. Во всех примерах функции-решения дают исчерпывающую информацию о динамике модели. Интересно, что в ньютоновские времена понять поведение динамической системы означало именно записать формулу решения x = F (t ). Этот подход получил даже название ньютоновской (или лапласовской) парадигмы [291]. Речь шла о конечном (предпочтительно, коротком) выражении, составленном из радикалов (корней n-ой степени), дробно-рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций. Все решения, рассмотренные в п. 3.3, имеют такую форму.
Заметим только, что класс элементарных функций (и элементарных решений) часто расширяют, добавляя в него алгебраические функции – решения алгебраических уравнений an (t ) x n (t ) + an1 (t ) x n1 (t ) +... + a1 (t ) x(t ) + a0 (t ) = 0, (3.17) где n – целое, a i (t ) – алгебраические многочлены. Все дробно рациональные функции и радикалы являются алгебраическими функциями. Обратное – неверно. Например, существуют алгебраические функции, которые неявно задаются уравнением (3.17).
3.5.1.2. Решения в замкнутой форме. Далеко не все уравнения имеют элементарные решения. Существуют элементарные функции, интегралы с переменным верхним пределом от которых не являются элементарными функциями. Один из самых простых примеров – эллиптический интеграл d t. Интеграл существует, но это не элементарная функция. Он 0 1+ Глава 3. Динамические модели эволюции dx = является решением простого ДУ. Однако, даже если интеграл dt 1+ t от элементарной функции и не является элементарной функцией, с ним можно эффективно работать – его значения можно вычислить приближенно с помощью известных численных методик.
Выражение решения в виде формул, содержащих интегралы от элементарных функций, называется интегрированием в квадратурах и также считается полным решением уравнения. Так, решение уравнения dx dt + e t x = 0 (3.18) t при x(0) = x0 имеет вид x(t ) = x0 exp e d. Результат называют 0 решением в замкнутой форме. Элементарное решение – его частный случай.
Уже Лиувилль показал, что некоторые ДУ не имеют решений в замкнутой форме. Например, очень простое внешне уравнение dx dt + x 2 = t (3.19) не решается в квадратурах. Решение существует, но не может быть выражено в замкнутой форме. Общей процедуры для нахождения решения в замкнутой форме нет, хотя разработано очень много частных методов.
Получить решение в замкнутой форме зачастую очень трудно или вовсе невозможно.
3.5.1.3. Аналитические решения. Когда решение в замкнутой форме отсутствует, можно сделать следующий шаг на пути усложнения методики и пытаться найти решение в виде бесконечного степенного ряда.
Например, будем искать решение уравнения d 2 x dt 2 2t dx dt 2 x = 0 (3.20) в виде x(t ) = a0 + a1t + a2t 2 +... = ai t i. (3.21) i = Подставим эту формулу в исходное уравнение и сгруппируем члены с одинаковыми степенями при t. Приравняем нулю отдельно каждое слагаемое. В итоге получим рекурсивное соотношение между коэффициентами: a n+ 2 = 2a n n + 2. Коэффициенты a0 и a1 определяются начальными условиями. Так, для a0 = 1 и a1 = 0 получим x(t ) = 1 + t 2 + t 4 2! + t 6 3! +.... (3.22) Часть I. Модели и прогноз Можно заметить, что в этом частном случае мы получили в ответе ряд Тейлора для функции x(t ) = e t. Если полученный степенной ряд сходится, что бывает не всегда, и найдена формула для коэффициентов, то такое решение называется аналитическим решением или решением в виде ряда.
Оно считается «лучшим» после решений в замкнутой форме. Но если построенный ряд сходится медленно, то его практическое использование не реально. В частности, такая ситуация имеет место в знаменитой задаче трех тел, которая имеет практически бесполезное аналитическое решение в виде очень медленно сходящегося ряда [336].
3.5.1.4. Численные решения. Обратите внимание, что предметом забот в только что рассмотренных разделах были сравнительно простые уравнения с явной зависимостью от времени и элементарной нелинейностью. В общем случае, когда задача не сводится к линейной или некоторому избранному классу уравнений, решение ищут приближенно численными методами (при заданных начальных и граничных условиях).
Первым и наиболее простым методом решения ДУ был метод Эйлера, на идею которого так или иначе опираются все более точные и сложные современные методы. Очень популярны методы Рунге – Кутты. Из других следует упомянуть методы Адамса и Булирша – Штоера, имеющие свои преимущества и недостатки, но чаще превосходящие методы Рунге – Кутты по скорости работы и точности решения [289, 85, 153].
Согласно упомянутой ньютоновской парадигме численное решение было вовсе не удовлетворительно, поскольку оно не позволяло понять качественные черты динамики, и могло быть полезно только для целей прогноза поведения системы. Этот взгляд изменился с появлением мощных компьютеров и богатых средств компьютерной графики, которые позволяют нам сегодня составить как качественное представление о поведении модели, так и вычислить достаточно точно приближенное решение. Поскольку численно можно исследовать эффективно очень широкий класс нелинейных уравнений, то в настоящее время все большее внимание исследователей уделяется вопросами получения модельных ДУ.
Возможно использование любого из четырех путей, упомянутых в п. 1.5. В связи с тем, что большинство известных в физике законов природы имеют форму ДУ, да и сам аппарат ДУ был создан для описания фундаментальных закономерностей механики, наиболее популярным методом их получения можно считать путь от общего к частному.
Большинство моделей, рассматриваемых физиками, – асимптотические, полученные через ограничения, вводимые в универсальные формулировки с учетом специфики задачи. Иногда говорят, что модель получают «из первых принципов», имея в виду под первыми принципами некоторые общие соотношения для рассматриваемой области явлений, из которых Глава 3. Динамические модели эволюции выводятся конкретные модели (хотя термин «первые принципы» в таком употреблении критикуется с позиций философии). Это – законы сохранения, уравнения непрерывности, законы Ньютона в механике, уравнения Навье – Стокса в гидродинамике, уравнения Максвелла в электродинамике, производные от них более частные правила типа уравнений Кирхгофа в теории электрических цепей, и т.д. Массу нестандартных примеров асимптотического моделирования практически важных физических и биологических объектов можно найти, например, в учебнике известного математика, специалиста по моделированию Ю.И.
Неймарка [127].
Эмпирический подход к получению модельных ДУ (реконструкция по временным рядам) рассматривается во второй части книги.
Моделирование по пути «от простого к сложному» – создание ансамблей – типично при использовании аппарата ДУ. Оно широко используется для описания пространственно развитых систем и позволяет охватить тем более широкий класс явлений, чем больше элементов включено в ансамбль. Классическими примерами могут служить ансамбли связанных осцилляторов – проверенный путь последовательного усложнения рассматриваемых явлений в учебниках по теории колебаний.
3.5.2. Популярный класс модельных уравнений – осцилляторы Выбирая показательный пример описательных возможностей моделей с оператором эволюции, заданным дифференциальными уравнениями, мы вновь остановились на классе осцилляторов. Почему столь однообразен выбор из «моря» моделей? Дело в том, что сколько бы различных примеров объектов или классов систем мы ни рассматривали, это не охватит всего специфического, что могут демонстрировать ДУ. Все равно представленное будет лишь фрагментом общей картины, но действительно общее будет присутствовать и в нем. Поэтому из методических соображений есть смысл обратиться к примеру, предыстория и базовая информация о котором имеется у широкой аудитории (первое знакомство с ним у многих состоялось на школьных уроках физики).
Осцилляторами называют и объекты, способные совершать колебания около положения равновесия (осцилляции) и уравнения, моделирующие их движения. Движение осциллятора происходит в некоторой потенциальной яме при наличии трения или без него.
Эталонным уравнением осциллятора является ДУ второго порядка:
d 2 x dt 2 + ( x, dx dt ) dx dt + f ( x) = F (t ), (3.23) где второе слагаемое в левой части связано с диссипацией (силами трения), третье – с потенциалом U(x) и потенциальной силой U x = f (x ), а правая часть представляет собой внешнюю силу. Исследованию различных Часть I. Модели и прогноз видов осцилляторов посвящена масса статей, обзоров, диссертаций, см., например, [300, 340]. Линейные диссипативные осцилляторы, для которых = const и f ( x) = 0 x (последнее означает квадратичность потенциальной ямы U ( x) ~ x 2 ), в отсутствие внешнего воздействия демонстрируют только затухающие (при 0 ) или, наоборот, неограниченно нарастающие (при 0 ) собственные колебания. При наличии периодического внешнего воздействия устанавливаются периодические колебания с периодом воздействия и наблюдается явление резонанса. При наличии нелинейности в диссипативном члене, например, как в уравнении Ван дер Поля:
d 2 x dt 2 (1 x 2 ) dx dt + 0 x = 0, (3.24) осциллятор приобретает способность к собственным периодическим колебаниям (режим автоколебаний), а в неавтономном варианте – демонстрирует квазипериодические колебания или синхронизацию автоколебаний внешним сигналом.
Отличие потенциальной ямы от квадратичной тоже приводит к нелинейности уравнения и существенному расширению видов его решений. Даже при гармоническом воздействии нелинейный осциллятор способен демонстрировать целую иерархию колебательных режимов и нелинейных феноменов, таких как переход к хаосу, мультистабильность, гистерезис в области резонанса. Специфические свойства различных нелинейных осцилляторов определяются конкретным видом входящих в уравнение (3.23) функций. Для выявления общего проводятся систематизации: по зависимости периода колебаний от амплитуды – осцилляторы с «мягкой» или «жесткой пружинами» [300, 129, 325], по порядкам многочленов, задающих потенциальную яму, как в теории катастроф [103, 261], и т.д.
При уровнях диссипации, исключающих автоколебания, или силах воздействия, подавляющих автоколебания, для структуры пространства управляющих параметров этих систем в режимах вынужденных движений типично наличие в пространстве параметров конфигураций бифуркационных множеств, получивших в работах [205, 275] название «crossroad area» («перекресток» – пересекаются области существования двух циклов, ограничивающие эти области линии удвоения периода идут вдоль границ «клюва», образованного линиями седло-узловых переходов, внутри которого имеет место бистабильность) и «spring area» («завиток» – линия удвоения, идущая вдоль упомянутого «клюва» делает характерный оборот вокруг точки, куда упирается клюв, точки катастрофы «сборка»), рис.3.6. Эти универсальные конфигурации самоподобно заполняют пространство параметров системы [282, 300]. Фрагмент типичной картины в пространстве параметров просматривается уже на рис.3.6: правая Глава 3. Динамические модели эволюции структура spring area, образованная на базе цикла удвоенного периода, «встроена» в аналогичную верхнюю структуру, но на базе цикла «прародителя», который удвоился при движении по плоскости параметров вниз. См. также структуры на карте режимов рис.3.11.
Рис.3.6. Типичные конфигурации бифуркационных линий – сrossroad area и spring area на плоскости параметров. Области устойчивости циклов выделены оттенками серого цвета. Линии бифуркации седло-узел обозначены sn, бифуркации удвоения периода pd, потери симметрии – sb. В скобках указаны отношения числа периодов внешнего воздействия n к числу квазипериодов собственных колебаний m, «укладывающихся» на периоде цикла, теряющего устойчивость на данной линии. А и B – условные листы, используемые для выделения бистабильности Представленные самоподобные типовые конфигурации не исчерпывают разнообразия возможных бифуркационных структур в пространствах параметров осцилляторов. Например в пространстве параметров осцилляторов с сильной диссипацией и потенциальной ямой, существенно отличающейся от квадратичной, имеет место специфическая конфигурации области существования и эволюции к хаосу любого колебательного режима в виде далеко отходящих от основной узкой области фрагментов – «уха», рис.3.7. Уравнение возбуждаемого гармонической внешней силой осциллятора с потенциалом Тоды, для которого получена описываемая структура пространства параметров внешнего воздействия, имеет вид:
d 2 x dt 2 + dx dt + e x 1 = A sin t. (3.25) Часть I. Модели и прогноз Обозначим нормированную частоту воздействия N = 0, где 0 – частота малых собственных колебаний. Для системы (3.25) 0 = 1.
Еще с одной универсальной конфигурацией бифуркационных множеств в пространстве управляющих параметров Рис.3.7. Плоскость параметров A – N неавтономных осцилляторов, можно осциллятора Тоды (3.25): A – познакомиться ниже в п. 3.6, где на амплитуда воздействия, – N рис.3.9,б представлена плоскость нормированная частота воздействия.
отображения Цветом показаны области параметров для существования различных режимов.
окружности. Она соответствует периодическое Цифры – период колебаний в единицах ситуации, когда воздействие оказывается на осциллятор, способный совершать автоколебания. Универсальная конфигурация в пространстве параметров воздействия представляет собой иерархию клювообразных областей, известных как «языки Арнольда», где имеет место синхронизация.
Бифуркационные линии внутри клюва имеют структуру crossroad area.
В качестве «сухого остатка» от этого параграфа подчеркнем 1) большое разнообразие эволюционных феноменов, которые могут моделироваться уравнениями осцилляторов и ОДУ вообще;
2) сложность наблюдаемых картин, которые можно пытаться систематизировать и расшифровывать, опираясь на результаты уже проведенных исследований, в чем могут помочь «карты» типовых ситуаций и учет закономерностей подобия («скейлинга»), с которыми удобно познакомиться по [282, 300, 103, 129, 102, 101,340];
3) возможность обнаружения новых конфигураций и специфических особенностей для других видов нелинейностей.
3.5.3. «Стандартная форма» обыкновенных дифференциальных уравнений При всем многообразии видов ОДУ наиболее популярной и имеющей простое геометрическое толкование является следующая форма записи dx1 dt = F1 ( x1, x2,..., xn ), dx2 dt = F2 ( x1, x2,..., xn ), (3.26)..., dxn dt = Fn ( x1, x2,..., xn ).
Глава 3. Динамические модели эволюции К этой форме можно привести любую систему ОДУ, разрешенную относительно старших производных, даже если она содержит явную зависимость от времени. Систему (3.26) путем замены переменных (быть может, за счет увеличения размерности) можно привести к виду dy1 dt = y 2, dy 2 dt = y3, (3.27)..., dy D dt = F ( y1, y 2,..., y D ), где y1 – произвольная гладкая функция вектора x: y1 = h( x1, x2,..., xn ), например, y1 = x1. Форма (3.27) иногда называется стандартной [232, 233] и широко используется при эмпирическом моделировании с восстановлением вектора состояния по скалярной наблюдаемой методом последовательного дифференцирования (п. 10.2.2). Но не всегда можно получить функцию F в (3.27) в явном виде. Возможность приведения любой системы ОДУ к форме (3.27) доказана голландским математиком Флорисом Такенсом. Условия теорем и некоторые комментарии представлены в п. 10.1.1.
Проиллюстрируем сведение к этим формам на примере уравнения диссипативного осциллятора под силовым гармоническим воздействием d 2 x dt 2 + dx dt + f ( x ) = A cos( t ). (3.28) Уравнение (3.28) с = const можно представить в виде двухмерной неавтономной системы x1 = x2, & (3.29) x2 = x2 f ( x1 ) + A cos(t ), & где x1 = x, или трехмерной автономной системы x1 = x2, & x2 = 0 x2 f 0 ( x1 ) + A cos x3, (3.30) & x3 =, & где x1 = x, x3 = t, или четырехмерной «стандартной» системы x1 = x2, & x 2 = x3, & x3 = x 4, (3.31) & df ( x1 ) d 2 f ( x1 ) x4 = 0 x4 + x2 2x2 + 2 f ( x1 ), x3 + & dx1 dx Часть I. Модели и прогноз где x1 = x. Для получения формулы (3.31) уравнение (3.28) следует дважды продифференцировать по времени и подставить в полученное уравнение вместо A cos(t ) левую часть исходного уравнения. Обратите внимание, что при этом, кроме увеличения числа динамических переменных модели, усложнился вид функции в правой части последнего уравнения по сравнению с исходной формой. Но зато все динамические переменные связаны только с величиной x (это ее производные), что имеет существенные преимущества при построении такой модели по временной реализации x.
3.6. Модели – точечные отображения 3.6.1. Введение Как и ДУ, отображения последования представляют собой «слой»
математической культуры со своей историей и спецификой [128]. В данном разделе мы представим специализированное введение, ориентированное на приложения этого аппарата для моделирования по временным рядам.
Весьма распространенным методом получения модельных отображений является аппроксимация дискретных последовательностей экспериментальных данных. При асимптотическом моделировании отображения чаще всего появляются в результате перехода от ДУ к разностным схемам или в результате дискретизации решений этих уравнений, например, с помощью сечений Пуанкаре, о чем уже шла речь в п. 3.1. Создание ансамблей отображений – популярный путь построения моделей пространственно развитых систем. Обычно такие модели имеют вид цепочек или решеток отображений с различной архитектурой связей (локальные связи – только между «соседями», глобальные – «все со всеми», и т.д.).
Простота численного исследования, наглядность и возможность графического «решения» в одномерном случае (п. 3.1), разнообразие режимов поведения (от равновесия до хаоса) даже простых одномерных отображений, удобство создания ансамблей из простых базовых элементов, как из кирпичиков, сделали отображения, пожалуй, доминирующим математическим аппаратом нелинейной динамики – полноценным конкурентом потоковых систем. Рассмотрим некоторые эталонные отображения.
3.6.2. Эталонные нелинейные отображения 3.6.2.1. Кусочно-линейные отображения. Наиболее простыми после линейного отображения (3.16), которое демонстрирует только монотонное Глава 3. Динамические модели эволюции нарастание или убывание значения переменной, по всей видимости, являются кусочно-линейные отображения. Рассмотрим три варианта, имеющих познавательную и прикладную ценность.
1) «Зуб пилы» – отображение xn+1 = {2 xn }, где фигурные скобки означают дробную часть числа. Его график приведен на рис.3.8,а. Это отображение замечательно тем, что позволяет строго и наглядно доказать наличие динамического хаоса в простых нелинейных системах. При итерации чисел, заданных в двоичной системе счисления, отображение за один шаг реализует сдвиг точки, разделяющей целую и дробную части, на один знак вправо (сдвиг Бернулли) и отбрасывание целой части. Для иллюстрации присущей хаотическим движениям беспорядочности и «сверхчувствительности» к малым возмущениям зададим начальное значение в виде бесконечной непериодической двоичной дроби, например, x0 = 0.0100101010001010010001011010... (иррациональное число). Тогда xn генерируемая отображением последовательность также непериодическая, а изменение x0, сделанное в знаке, сколь угодно далеком от разделяющей точки (т.е. сколь угодно малое), через конечное число шагов приведет к изменениям значения xn порядка 1.
Рис.3.8. Одномерные отображения : а) «зуб пилы», б) модель нейрона, в) отображение для записи информации, г) квадратичное отображение с различным положением максимума, д) «дерево Фейгенбаума» для квадратичного отображения 2) «Модель нейрона». Моделирование динамики нейронов – задача, актуальная не только в биофизике, но и в теории колебаний и нелинейной динамике, см., например, работы [245, 82, 83, 130, 255], где рассматриваются, главным образом, модельные ОДУ. Но в последнее время развиваются и модели в виде отображений, численное исследование динамики которых требует меньших затрат машинного времени, а потому Часть I. Модели и прогноз расширяются возможности моделирования больших ансамблей связанных нейронов. Предложены простые модельные отображения, способные, в частности, генерировать «спайки» и «берсты» (т.е. отдельные короткие импульсы и «пачки» импульсов). В числе пионерских работ в этом направлении, рассматривающих двухмерное кусочно-гладкое отображение, следует указать статьи [296]. Кусочно-линейное отображение, предложенное в [2] (см. график на рис.3.8,б) также способно демонстрировать упомянутые черты динамики. Оно двухмерно, поэтому изображенная зависимость xn+1 от xn неоднозначна: выбор ветви «регулируется» второй переменной модели y (громоздкие уравнения мы здесь не приводим).
3) Отображения для записи и обработки информации (рис.3.8,в).
Этот пример иллюстрирует возможности практического использования кусочно-линейных отображений – реализацию записи информации с помощью множества генерируемых ими циклов [75, 3]. Причем авторами этого подхода уже реализованы и внедрены программные продукты, позволяющие запоминать и избирательно обрабатывать с помощью одного отображения объемы информации, сравнимые с хранящимися в больших библиотеках (см. сайт [343]).
3.6.2.2. Одномерное квадратичное отображение. Наиболее естественный и представленный в природе вид нелинейности – квадратичный – отражается целым классом одномерных отображений xn+1 = f ( xn ), характеризующихся наличием у функции f квадратичного максимума. Наиболее «именитый» представитель этого класса – логистическое отображение (рис.3.8,г, кривая 1):
xn+1 = rxn (1 xn ). (3.32) В динамике популяций параметр r играет роль коэффициента размножения. К логистическому отображению сводится, например, и закономерность роста накоплений на счете в банке с «плавающим»
процентом, введенным из соображений недопущения неограниченного обогащения вкладчиков [176]. Так, если xn – сумма на банковском счете в n-ом году, а годовой процент = const, то при простом проценте сумма на счете в следующий год составит x n +1 = (1 + ) x n и будет неограниченно расти. При этом малый начальный вклад не обещает существенных изменений благосостояния вкладчика в ближайшие годы по сравнению с хорошими перспективами того, на чей счет положена солидная начальная сумма. Если из «соображений справедливости» ввести плавающий процент, то получим отображение xn+1 = 0 (1 xn xmax ) xn, которое заменой переменных z n = xn 0 / xmax (1 + 0 ). сводится к логистическому с Глава 3. Динамические модели эволюции параметром r = xmax (1 + 0 ) 2 / 0. Перечисление подобных примеров из разных областей знаний можно было бы продолжить. Любое отображение xn+1 = f ( xn ) с многочленом f второго порядка, может быть сведено к форме (3.32) или к другой часто рассматривающейся форме x n +1 = x n (рис.3.8,г, кривая 2). Среди «заслуг» квадратичного отображения выделим следующие:
1) обнаружение на его примере сценария перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и описание М. Фейгенбаумом универсальных закономерностей на пороге перехода к хаосу [165, 100]. На рис.3.8,д представлено известное «дерево Фейгенбаума» – зависимость установившихся после некоторого переходного процесса значений динамической переменной xn от значений параметра. Универсальными оказались, в частности, соотношения между бифуркационными значениями параметров в окрестности точки перехода к хаосу. Так, при n 1 бифуркационные значения параметра подчиняются правилу n = const n, где = 4,6692016091…;
2) оно является базовым элементом для построения моделей нелинейных систем в виде цепочек и решеток [102] и для иллюстрации явлений при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии [29];
3) на нем продемонстрированы явления гистерезиса и потери симметрии при быстрых переходах параметра через точку бифуркации [49].
3.6.2.3. Отображение окружности. Это одномерное отображение:
n+1 = n + + (k 2 )sin n (mod 2 ), (3.33) график которого представлен на рис.3.9,а. Возможна физическая интерпретация этого отображения. При некоторых допущениях к нему сводятся модельные ДУ автоколебательной системы, на которую действуют периодические импульсы. Аттрактором в фазовом пространстве исходной системы может быть тор, а отображение (3.33) можно рассматривать как отображение Пуанкаре при поперечном сечении тора плоскостью [104].
Часть I. Модели и прогноз Рис.3.9. График отображения окружности (3.33) без вычитания из величины 2 (а) и плоскость параметров (k, ), на которой различными оттенками серого выделены области периодических режимов, а белыми – области квазипериодики и хаоса (б) В сечении тора изображающая точка «нарисует» при последовательных «проколах» замкнутую кривую, точкам которой можно приписать угловую координату n, где n – номер прокола. Параметр определяется отношением периодов обхода по «большой» и «малой»
окружностям (соотношением частот автономной автоколебательной системы и воздействия), k характеризует амплитуду воздействия.
Структура плоскости параметров системы (3.33) представлена на рис.3.9,б.
Различными тонами серого цвета выделены области периодических движений. В различных сужающихся к низу областях параметров, похожих на клювы, имеют место периодические режимы, означающие синхронизацию автоколебаний внешним сигналом (они названы «языки Арнольда» в знак признания заслуг советского математика В.И. Арнольда по исследованию рассматриваемых феноменов). При этом траектория на торе замыкается. Различные языки соответствуют различным значениям числа вращения – числа оборотов изображающей точки по малой окружности за один оборот по большой окружности. Динамика отображения окружности подробно изучена, в частности, обнаружена характерная зависимость суммарной ширины интервалов синхронизации (языков) от k, закономерности появления областей хаоса, и т.д.
3.6.2.4. Отображение неизохронного нелинейного осциллятора при диссипативном импульсном возбуждении. На рис.3.10,a приведен график одномерного многопараметрического отображения [32] cos(2 ( N (1 + xn ) )) + A.
xn+1 = xn e d N (3.34) Глава 3. Динамические модели эволюции Рис.3.10. Результаты исследования отображения (3.34). Его графики и диаграммы Ламерея при A = 3.4, N = 0.1, d = 0.1 и значениях = 0.05 (а) и = 0 (б).
Бифуркационные диаграммы x n (N), построенные для = 0.05 (в) и = 0 (г), могут быть истолкованы и как резонансные кривые. Участки однозначности соответствуют колебаниям периода 1, раздвоение линий означает удвоение периода, «размазанные»
участки – хаос. Резонансные кривые при различных значениях А показывают переход от линейного резонанса к нелинейному (д). Закрашена область бистабильности и гистерезиса Идею его получения и смысл четырех его параметров иллюстрирует рис.3.14,в, где приведена временная реализация колебаний около положения равновесия диссипативного осциллятора, например, математического маятника, периодически возбуждаемого специфическим образом. А именно, груз отводят в направлении оси x на одинаковое расстояние A, после чего маятнику предоставляют возможность колебаться с одинаковой начальной фазой. Например, груз хватают рукой и отпускают с нулевой начальной скоростью. В случае электрического маятника – RL диод цепи, представленной на рис.3.5,б, – подобное возбуждение реализуется импульсами тока прямой для диода полярности. При этом большая активная проводимость диода быстро гасит собственные колебания, так что начальная фаза собственных колебаний от импульса к импульсу почти не меняется (рис.3.14,a). Если квазипериод T во время собственных экспоненциально затухающих колебаний x(t ) = xn e cos(2t T ) t считать постоянным между импульсами воздействия, а неизохронность упрощенно учесть зависимостью T от начальной амплитуды T = T0 (1 + xn ), где xn – стартовое значение в n-ом цуге собственных колебаний (после n-го импульса), то отображение последования приобретает вид (3.34). Здесь А – амплитуда импульса воздействия, N = T0 T – нормированная частота, d = T0 – коэффициент Часть I. Модели и прогноз диссипации, – коэффициент нелинейности (для «мягкой пружины»
положителен, для «жесткой» – отрицателен).
Рассматриваемое отображение, несмотря на одномерность и относительную простоту (см. демонстрационную программу на сайте [347]), обнаруживает практически все нелинейные феномены, присущие маломерным нелинейным динамическим системам: множество колебательных режимов на базе различных видов колебаний (мод), линейный и нелинейный резонансы, би- и мультистабильность, сложность и фрактальность бассейнов притяжения аттракторов, гистерезис, динамический хаос (см. рис.3.10 и 3.11, а также [143]).
Отображения большей размерности способны демонстрировать еще более разнообразную динамику, но и того, что продемонстрировано на одномерных примерах, достаточно для формирования весьма серьезного отношения к этому виду математического аппарата.
3.6.3. Место дискретных моделей Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере. В 1981 году Дж. Линсей опубликовал сообщение о наблюдении динамического хаоса в очень доступной (недорогой) и популярной системе – цепи с катушкой индуктивности и варакторным диодом, возбуждаемой гармонической э.д.с.
[270]. С тех пор свернутый в катушку кусок проволоки и кусочек полупроводника с контактами активно используются для экспериментальной демонстрации нелинейных феноменов, а в одной из статей в известном научно-популярном журнале «Sсientific American» даже проскочила шуточная рекомендация иметь их «в каждом доме на подоконнике».6 На примере этого объекта продемонстрируем возможности дискретных моделей.
Диод с p-n-переходом, емкостные свойства которого зависят от напряжения на диоде, – электрически перестраиваемый конденсатор, детали см. в [33] на сайте [347].
Цепи с такими диодами уже больше полувека используются в радиотехнике, и даже предлагались в качестве запоминающих элементов ЭВМ. Колебательный контур с диодом в различных вариантах представлен в любом современном радиоприемнике и телевизоре.
Глава 3. Динамические модели эволюции Рис.3.11. Карта режимов модели (3.34) на плоскостях параметров A–N и d–N. Серыми полутонами выделены области колебаний, период которых указан цифрами внизу рисунка. Одному оттенку могут соответствовать различные движения одинакового периода или хаос на базе разных циклов. На границах областей происходят бифуркации. Ситуацию в областях би- и мультистабильности отражает фрагмент в середине рисунка. Здесь использован способ изображения области существования и эволюции определенного цикла на отдельном листе: sn – границы листов, pd – линии бифуркаций удвоения периода. Наложение двух листов соответствует бистабильности и гистерезису 3.6.3.1. Начнем с «предков»
объекта. Цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (колебательный контур), – электрический аналог механического маятника.
Аналогично тому, как свойства механического маятника определяются его формой и Рис.3.12. Простейший колебательный контур (а) и его эквивалентная схема (б).
Эквивалентная схема цепи, в которой роль конденсатора исполняет диод, представленный совокупностью нелинейных емкости и сопротивлений (в) Часть I. Модели и прогноз параметрами, процессы в контуре зависят от конструкции используемых элементов. В простейшем случае, когда обкладки воздушного конденсатора соединены витками проволоки, рис.3.12,a, содержательная модель (эквивалентная схема) такой цепи имеет вид рис.3.12,б. При постоянстве параметров L,C, R эквивалентной схемы,7 используя уравнения Кирхгофа, легко получить модель этой цепи в виде уравнения линейного диссипативного осциллятора (3.2), где x – динамическая переменная (заряд), = R / 2 L – коэффициент диссипации. Собственные колебания диссипативного осциллятора затухают, а вынужденные (при периодическом внешнем воздействии) – представляют собой колебания с периодом воздействия T. Единственным демонстрируемым колебательным эффектом в линейной ситуации является резонанс – увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний и частоты воздействия.
3.6.3.2. К чему приводит замена конденсатора. Включение в цепь диода, эквивалентные параметры которого R и C зависят от величин токов и напряжений (рис.3.12,в), приводит к поразительному расширению круга колебательных явлений, наблюдаемых в цепи. Даже при простейшем гармоническом воздействии этот «электрический маятник» демонстрирует иерархию вынужденных движений различной сложности: гармонических, сложных периодических, хаотических. Похожая картина имеет место и при возбуждении импульсами. Бифуркационные множества (на трехмерных картинках – поверхности, а на двухмерных сечениях – линии) ограничивают области существования различных колебательных режимов в пространстве параметров, образуя структуры, представленные на рис.3.13. Здесь на осях координат трехмерной картины отложены значения амплитуды V и нормированной частоты N = 0 воздействия ( 0 – частота малых собственных колебаний), по вертикали – величина линейного сопротивления R. Структуру можно лучше понять, рассматривая различные сечения пространства параметров плоскостями, а вид колебаний внутри областей – по их временным реализациям.
При появлении разноименных зарядов на обкладках конденсатора и тока через витки катушки появляются электрическая и магнитная силы, которые будут стремиться их сжимать и растягивать. Поэтому, если материалы катушки и конденсатора недостаточно жестки, то их размеры, а значит и C, и L, могут зависеть от величин токов и напряжений (динамических переменных), что означает появление нелинейности.
Глава 3. Динамические модели эволюции Рис.3.13. Структура пространства параметров контура с диодом при гармоническом внешнем воздействии по данным экспериментальных исследований. Штрихами показаны линии гистерезисных (жестких) переходов. Заштрихованы области хаоса, цифрами показан период колебаний в соответствующих областях Примеры типичных временных реализаций тока при возбуждении цепи импульсами ЭДС, полярность которой «прямая» для диода, представлены на рис.3.14. Импульсы следуют с периодом Т, = 2 T.
Несмотря на малую длительность импульсов, за время их действия собственные колебания быстро затухают, так как при протекании прямого тока эквивалентная емкость диода (см.рис.3.12,в) шунтируется малым активным сопротивлением. По окончании импульса колебания начинаются почти с одинаковой фазы (рис.3.14,а,б), а между импульсами временная реализация состоит из цугов (последовательностей) затухающих собственных колебаний.
В зависимости от амплитуды и периода воздействия, уровня затухания, вида нелинейности, а также начальных условий, в системе могут устанавливаться различные повторяющиеся движения – циклы.
Периоды циклов равны периоду воздействия или кратны ему – составляют величину kТ, где k – целое. Вариантов периодических движений может быть очень много, но их описание удается систематизировать. Например, по признаку подобия все циклы можно условно разделить на две группы. В каждой из них сохраняются некоторые особенности формы временных реализаций, а также предельных циклов в фазовом пространстве.
Часть I. Модели и прогноз Рис.3.14. Временные реализации колебаний тока в LR–диод цепи при периодическом воздействии импульсами прямой полярности F(t): а) цикл класса субгармонических колебаний – период воздействия Т больше квазипериода собственных движений в раза ( 1 3 );
б) цикл класса «последовательности добавления периода» – период воздействия меньше периода колебаний в 3 раза ( 3 1 = 3 );
в) модель временной зависимости субгармонических колебаний – квазипериода затухающих колебаний в цуге неизменен и зависит только от начального отклонения Первую группу составляют циклы, период которых равен периоду воздействия 1Т, существующие в области низких частот N 1. Такие циклы обычно называют субгармоническими. Так как период воздействия велик по сравнению с временным масштабом собственных движений, на временных реализациях этих циклов в общем случае имеется несколько максимумов (см. рис.3.14,а). Вторую группу составляют циклы периода kT, где k = 2,3,..., которые наблюдаются при больших частотах воздействия 0.5 N 2. Примеры таких циклов представлены на рис.3.14,б. Так как при увеличении амплитуды воздействия смена этих режимов сопровождается последовательным увеличением k на единицу, их называют циклами «последовательности добавления периода». Достаточно традиционно условное обозначение циклов – m k. Здесь k соответствует отношению периода воздействия к квазипериоду собственных колебаний (его можно оценить по числу максимумов на осциллограмме на интервале Т), а m – период цикла, измеренный в единицах периода воздействия.
3.6.3.3. Математические модели. Процессы в полупроводниковых диодах, свойства которых определяют нелинейность системы, наиболее строго анализируют с помощью уравнений в частных производных.
Однако для достаточно медленных процессов диод можно рассматривать как двухполюсник с некоторыми эквивалентными свойствами (отражающими связь между напряжением на его контактах и током в подводящих проводах) и ограничиться ОДУ. Еще более простые модели удается получить в виде отображений, если ограничиться описанием лишь Глава 3. Динамические модели эволюции части возможных движений. Рассмотрим модели, способные отразить фрагменты описанной выше (рис.3.12) сложной картины колебаний.
Модель с непрерывным временем. Представим полупроводниковый диод в виде нелинейного конденсатора, зависимость емкости C которого от напряжения опишем известным выражением C = C0 /(1 U / ), где C0 – начальная емкость диода, U – напряжение на диоде, – контактная разность потенциалов. При этом модельное уравнение цепи, полученное на основе законов Кирхгофа, имеет вид осциллятора Тоды (3.25):
d 2 x d 2 + dx d + e x 1 = A sin N, где x – безразмерный заряд на обкладках, – коэффициент диссипации, A – N = безразмерная амплитуда внешнего воздействия, – нормированная частота внешнего воздействия, = 0t – безразмерное время. Результаты численных исследований этого уравнения, представленные на рис.3.7, демонстрируют хорошее качественное описание во всем пространстве параметров.
Дискретные модели. 1) В качестве дискретной модели режима субгармонических колебаний (в низкочастотной области N = 0 1 ) можно с успехом применить одномерное мультимодальное отображение (3.34). Модель адекватна реальной системе в области пространства параметров, где имеют место движения на базе циклов 1 2, 1 3, и т.д. (см.
рис.3.11). Эти области имеют качественно одинаковую структуру. Они подобны друг другу и самоподобны. Самоподобие означает устройство по типу «матрешки»: основной конструктивный элемент, представленный на черно-белых фрагментах рисунка, дублируется во всё более мелких масштабах;
он просматривается во всех цветных «языках» и их фрагментах. Но в отличие от «матрешки», границы составляющих элементов которой не пересекаются, области существования различных видов колебаний на плоскости параметров маятника при достаточно малых уровнях затухания накладываются друг на друга, образуя области мультистабильности (см. рис.3.11, нижняя панель).
2) Двухмерное отображение, моделирующее вынужденную динамику контура с диодом в более высокочастотной области 0.8 N 2 построено в [28] с опорой на характерный вид временной реализации цикла «последовательности добавления периода», рис.3.14,б. Оно сложнее, чем (3.34), и хорошо воспроизводит устройство плоскости параметров реальной цепи [89] в области больших частот и амплитуд воздействия (где существуют «циклы добавления периода», ср. рис.3.15 и 3.13,б), хотя не отражает многообразия базовых циклов и других ранее описанных особенностей динамики контура.
Часть I. Модели и прогноз 3) В областях, где любой из базовых циклов с изменением параметров демонстрирует последовательность бифуркаций удвоения периода, хорошей моделью контура с диодом является одномерное квадратичное отображение, например, вида xn+1 = xn.
4) В области отрицательных сопротивлений, где объект демонстрирует автоколебания, его динамика хорошо Рис.3.15. Карта режимов отображения для моделируется отображением циклов «добавления периода»
окружности (3.33), которое демонстрирует феномены синхронизации малым и подавления большим внешним периодическим воздействием.
Таким образом, наиболее полно из рассмотренных моделей отражает динамику контура с диодом уравнение осциллятора Тоды (3.25). Оно моделирует все семейства характерных циклов системы и особенности структуры пространства параметров. Дискретная модель (3.34) и двухмерная модель хорошо описывают только одно из двух существующих семейств циклов – «субгармоническое» и «добавления периода». В частности, модель (3.34) отражает такие феномены, как линейный и нелинейный резонансы, мультистабильность, гистерезис при изменении параметров. Квадратичное отображение универсально, но не отражает специфики рассматриваемого объекта, как и отображение окружности. Можно ли построить конкурентоспособное с дифференциальным уравнением осциллятора Тода точечное отображение?
Пока мы не можем сказать, сколь сложной окажется формула для такого отображения.
3.7. Модели пространственно-развитых систем Для конструирования моделей пространственно-развитых объектов часто используют ансамбли связанных ОДУ или отображений, см., например, [21, 279]. Пространственные свойства в таких системах проявляются в наличии решений с различным распределением одновременных значений характеризующих величин в элементах ансамбля. Например, колебания двух связанных линейных осцилляторов можно представить совокупностью двух собственных синусоидальных движений с отличающимися частотами. Одно из них соответствует синфазным колебаниям, когда элементы движутся абсолютно идентично, а Глава 3. Динамические модели эволюции другое – противофазным, когда имеет место постоянный сдвиг по фазе на. Эту особенность пространственно развитых систем из сосредоточенных элементов, можно рассматривать, как аналог пространственных мод ограниченной распределенной системы (рис.3.16).
Рис.3.16. Колебательные моды ансамбля двух (а,б) и нескольких (в) маятников – вверху;
пространственные моды распределенной системы – внизу Свойство мультистабильности, перекликающееся с пространственной многомодовостью, типично для ансамблей колебательных систем. Именно принципиальная многомодовость и связанная с ней негрубость (чувствительность к малому изменению параметров), когда возможные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру, является типичным свойством пространственно развитых нелинейных систем. Далее мы проиллюстрируем способность относительно простых дискретных конструкций описывать этот фундаментальный феномен.
3.7.1. Решетки связанных отображений 3.7.1.1. Система двух диссипативно связанных квадратичных отображений. При конструировании цепочек и решеток (CML-модели8) базовые отображения xn+1 = f ( xn ), обычно идентичные, связываются между собой тем или иным способом: локально (только ближайшие соседи), глобально (все со всеми), или по группам. На рис.3. симметричная связь, когда элементы взаимодействуют друг на друга одинаково, обозначена прямоугольником, а однонаправленная, когда реализуется только воздействие первого элемента на второй, – треугольником. Возможны и промежуточные случаи, когда связь несимметрична. Проблема систематизации видов связи рассматривалась в [105], где варианты симметричной связи между отображениями сведены к следующим видам: диссипативному xn+1 = f ( xn ) + k ( f ( y n ) f ( xn ) ), (3.35) y n+1 = f ( y n ) + k ( f ( xn ) f ( y n ) ), От английского Coupled Map Lattice.
Часть I. Модели и прогноз инерционному xn+1 = f ( xn ) + k ( y n xn ), (3.36) y n+1 = f ( y n ) + k ( xn y n ), или их комбинации. Здесь x, y – динамические переменные, k – коэффициент связи, f – функция нелинейности базового отображения.
Рис.3.17. Одномерные (а,б) и двумерные (г) решетки связанных отображений и иллюстрация видов симметричной связи на пространственно-временной диаграмме обменивающихся особями популяций (в) Авторами приведенной систематизации предложена интересная интерпретация введенных видов связи на языке популяционной биологии.
Можно предположить, что особи сначала размножаются, оставаясь в своей популяции, а потом на некоторое время получают возможность мигрировать между популяциями («сначала размножаются, потом расползаются»). На следующий год цикл повторяется. На рис.3.17,в этому соответствуют сплошные «тропы» на пространственно-временной диаграмме. Такая связь стремится выровнять мгновенные состояния подсистем, и ее естественно назвать диссипативной. Штриховые линии на рис.3.17,в соответствуют ситуации, когда особи имеют возможность миграции, минуя цикл размножения и гибели в «своей» популяции. Такую связь имеет смысл именовать инерционной, т.к. она способствует сохранению «памяти» о состоянии на предыдущем шаге. Возможна и комбинированная связь.
Выбор вида связи при моделировании нетривиален. Это, в частности, иллюстрируют результаты экспериментальных исследований системы связанных нелинейных электрических контуров (см. п. 3.6.3) в области параметров, где каждая из систем переходит к хаосу через удвоения периода. Оказалось, что при связи через резистор (диссипативный элемент) адекватно ее описание как диссипативной, а через конденсатор (чисто реактивный элемент) – как комбинированной, а не чисто инерционной (!) [20].
Глава 3. Динамические модели эволюции Выбор базового отображения и вида связи вносят свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в ансамблях связанных отображений всегда является определяющим.
Проиллюстрируем это на простейшей системе двух квадратичных отображений, взяв в варианте с диссипативной связью (3.36) квадратичное отображение f ( xn ) = xn :
( ) xn+1 = xn + k xn y n, 2 2 (3.37) + k (y x ).
y n+1 = y n 2 2 n n Ограничившись случаем, когда значения параметра нелинейности в первой и второй подсистемах одинаковы, мы введем следующую систематизацию колебательных мод системы. В пределе нулевой связи (k = 0) каждый режим периода N может быть реализован N способами, отличающимися сдвигом колебаний подсистем во времени на величину m = 0, 1, 2, …, N – 1, как это показано на рис.3.18 для колебаний периода N = 2 и 4. Назовем их видами колебаний и используем для описания иерархии колебательных режимов при введении связи, когда взаимодействие подсистем приводит к различным вариантам их взаимной синхронизации. Для обозначения периодических видов будем использовать запись N m. В хаотических режимах, обозначаемых N m, несмотря на отсутствие повторяемости в движениях, можно сохранить принцип классификации, используемый для периодических режимов, если понимать под N число лент аттрактора, а под m – временной сдвиг между, например, максимальными значениями xn и yn. Режимы с m = 0 называют синфазными, с m 0 – несинфазными.
Рис.3.18. Временные реализации колебаний в подсистемах (мгновенные значения переменной x n в одной из них обозначены темными точками, а в другой – светлыми) для периода N = 2 (а) и 4 (б). Справа приведены обозначения видов колебаний N m Если воспользоваться известным графическим приемом и изобразить области существования и эволюции каждого из видов колебаний на отдельных листах, то можно построить наглядную многолистную схему областей существования (устойчивости) колебательных режимов на плоскости ( k, ). На рис.3.19,а представлена схема, отражающая области существования всех режимов колебаний периода 1, 2, 4 и 8 при k 0.5.
Приведенная на рис.3.19,б схема представляет собой сечение многолистной картины рис.3.19,а плоскостью k = 0.05 и качественно Часть I. Модели и прогноз иллюстрирует эволюцию движений в системе (3.37) с изменением параметра при слабой фиксированной связи. Сплошные линии на этой схеме соответствуют устойчивым режимам, штриховые — неустойчивым.
Точками отмечены бифуркационные переходы. Буквами А, B, C, D выделены ветви, объединяющие некоторые группы режимов9: они начинаются периодическими режимами, количество которых увеличивается с ростом, а заканчиваются хаотическими.
Рис.3.19. Схема эволюции видов колебаний на плоскости параметров (а) и ее вариант при k = 0.05 (б). Примеры разбиения фазового пространства системы на бассейны притяжения различных видов колебаний в ситуациях мультистабильности (в) Области хаотических режимов заштрихованы, критическое значение параметра нелинейности, при котором реализуется переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, обозначено кр. В областях, обозначенных на схемах буквой Q или словом torus, существуют квазипериодические колебания, и реализуется переход к хаосу через их разрушение. Бассейны притяжения аттракторов мультистабильных видов движений делят фазовое пространство на бассейны притяжения (рис.3.19,в), структура которых фрактальна. С ростом силы диссипативной Ветвь А соответствует эволюции синфазных режимов (m = 0), B, C, D – несинфазных.
Глава 3. Динамические модели эволюции связи k количество сосуществующих состояний системы уменьшается, а при больших k существует только синфазное движение, т.е. система фактически становится одномерной. 3.7.1.2. Сложная динамика цепочки (к чему приводит увеличение числа элементов). Не будет неожиданным услышать, что увеличение числа элементов рассматриваемого ансамбля приводит к еще большему усложнению колебательной картины. Действительно, в пространственно развитой системе имеется тем больше возможных вариантов движений подсистем во времени и относительно друг друга (пространственных структур), чем длиннее цепочка. Для иллюстрации на рис.3.20 приведены результаты численных экспериментов с цепочкой диссипативно связанных отображений маятника:
) xn+1 = (1 k ) f ( xn ) + (k 2)( f ( xn +1 ) + f ( xn 1 ), m m m m (3.38) где n – дискретное время, m – номер элемента цепочки, k – коэффициент связи, f – мультимодальное отображение (3.34). По горизонтальной оси отложен номер элемента, по вертикальной – мгновенное состояние.
Пологие участки структуры называются доменами, перепады – кинками. С изменением параметров структуры эволюционируют: удваиваются временной и пространственные периоды, формируются периодические, квазипериодические и хаотические конфигурации. С увеличением коэффициента связи домены становятся шире, а кинки – более пологими. В итоге при очень больших коэффициентах связи при любых начальных условиях существует лишь пространственно однородный режим – аналог появлению льдины в примере с охлажденной водой (с. 92). Подробности о свойствах рассматриваемой цепочки см. в [31].
Желающим подробнее познакомиться со сложной динамикой этой нелинейной системы можно предложить учебнyю программу на сайте [347] и статьи [18, 19].
Отображение (3.34) взято для упрощения: если в системе квадратичных отображений мультистабильность формируется на базе движений удвоенного периода, то здесь она свойственна уже циклам периода 1. При наличии у изолированной подсистемы двух состояний периода 1 в двух связанных отображениях имеет место 4 вида колебаний периода 1 – два синфазных и два зеркально симметричных друг другу несинфазных [31].
Часть I. Модели и прогноз Рис. 3.20. Режим периода 1 с неоднородным пространственным распределением в цепочке из 120 элементов: A=0.965, N=0.64, d=0.2, = 0.2: а) k = 0.1;
б) k = 0.35.
Значения x1 и x2 – состояния равновесия бистабильной элементарной ячейки 3.7.1.3. Двуxмерная решетка отображений. Дальнейшее усложнение модели (3.38), ее пространственное развитие, может вестись как по линии увеличения количества элементов, так и усложнения способа связи между ними. Рассмотрим пример, где те же мультимодальные отображения образуют решетку, в которой каждый элемент взаимодействует с ближайшими соседними элементами, связь локальная и диссипативная:
) xn,+j1 = (1 k ) f ( xn, j ) + (k 4)( f ( xn+1, j ) + f ( xn1, j ) + f ( xn, j +1 ) + f ( xn, j 1 ). (3.39) i i i i i i i, j— Здесь определяют положение элемента решетки.
Пример мгновенной колебательно-вол-новой картины такой решетки, имеющей одинаковое число элементов по обоим направлениям, представлен на рис.3.21. Это стационарная структура, полученная при случайном задании начальных условий. Задавая начальные условия по тому или иному Рис.3.21. Режим динамики двухмерной закону, можно получить при решетки 5050 элементов периода 1 с слабой связи между элементами неоднородным пространственным практически любое требуемое распределением, A= 0.965, N=0.64, d=0.2, стационарное распределение. При = 0.2, k = 0.2. Периодические граничные увеличении связи между элементами число возможных структур уменьшается, а при уровнях связи выше некоторого порогового, разрешенным остается лишь однородное пространственное распределение.
Глава 3. Динамические модели эволюции 3.7.2. Клеточные автоматы «Клеточный автомат – дискретная динамическая система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток, одинаковым образом соединенных между собой. Все клетки образуют так называемую решетку клеточного автомата. Решетки могут быть разных типов, отличаясь как по размерности, так и по форме клеток» [120]. Клеточные автоматы были предложены в работе фон Неймана [169] и стали универсальной моделью параллельных вычислений, также как машины Тьюринга – моделью для последовательных вычислений. «…Любая клетка на каждом шаге вычисляет свое новое состояние по состояниям ее близких соседей. Таким образом, законы системы являются локальными и повсюду одинаковыми. "Локальный" означает, что для того чтобы узнать, что произойдет здесь мгновение спустя, достаточно посмотреть на состояние ближайшего окружения, никакое дальнодействие не допускается.
"Одинаковость" означает, что законы везде одни и те же: я могу отличить одно место от другого по форме ландшафта,12 а не по какой-то разнице в законах» [162]. Отсюда можно выделить следующие характерные свойства клеточных автоматов.
1. Решетка однородна. Закон эволюции клеток всюду одинаков.
2. Изменения значений всех клеток происходят одновременно после вычисления нового состояния каждой клетки решетки.
3. Взаимодействия локальны. Лишь клетки окрестности (как правило, соседние) способны повлиять на данную клетку.
4. Множество состояний клетки конечно.
В качестве примера клеточного автомата обычно приводят модель под названием игра «жизнь», созданную в 1970 году Д. Конуэем – математиком Кембриджского университета. Она широко представлена в сети Интернет, см., например, [344]. Правила функционирования этого автомата составлены с учетом особенностей реальных процессов, происходящих при зарождении, развитии и гибели колонии живых организмов. Рассматривается бесконечная плоская решётка квадратных клеток (рис.3.22). Темным цветом выделяются живые клетки. Время дискретно (n = 0, 1, 2,...), а ситуация на решетке в следующий момент времени n+1 определяется наличием живых соседей у каждой живой клетки. Соседние клетки – те, что имеют общие рёбра. Ход эволюции диктуется следующими законами.
1. Выживание. Каждая клетка, имеющая две или три соседние живые клетки, выживает и переходит в следующее поколение.
Т.е. по распределению характеризующей величины по рабочему полю автомата.

Server: nginx

Content-Type: text/html; charset=WINDOWS-1251


markdown:
|
|
![]()
|
Welcome to MotoHouston.com! You are currently viewing our forums as a guest which gives you limited access to the community. By joining our |free community you will have access to great discounts from our sponsors, the ability to post topics, communicate privately with other members, respond to polls, upload content, free email, classifieds, and access many other special features. Registration is fast, simple and absolutely free, join our community
|
|
|Advertisement|
|
|![]()
|
|
Share This Thread:
|
|
|
|![]()
|
|![]()
|Advertisement|
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|
I've been riding a Cruiser ONE WEEK. And I have some complaints none of you "Stunta" or "Sporter" buddies thought to share with me!
#10 - The "other" crazy people on the road.
![]()
#9 - Non-Gear wearing/using Squids
![]()
#8 - Sharing my new found Uh...Joy/Friends with everyone else -
![]()
#7 - The legal drinking limit is 0.0
![]()
#6 - Knowing I will outgrow my Yami Virago 250 really fast and already wanting another, bigger/more expensive ride!
![]()
#5 - Husband rides a Sportsbike too fast!
![]()
#4 - Wind Buffetting that will pull you off your bike or your gear off of you!
![]()
#3 - Becoming a Gear .
![]()
#2 - Wanting to ride more - but it HURTS and I'm TIRED!
![]()
And the #1 Reason I hate riding my own Cruiser instead of a Cage
#1 - SMELL-O-VISION! (What is THAT SMELL! A skunk? Dead Cow? Someone buring dirty diapers/porta potties? Who knew the world smelled this bad! And Heaven forbid you get behind a Big Rig belching black! BLEGH!!!
![]()
![]()
|
We as riders know the
| risks take we everytime we put that kickstand up and twist the throttle.
|
|![]()
|
|![]()
|
|
Just addressing some of the comments from previous posts -
(And thanks for caring and sharing!)
Hubby only got 1 ticket - 27 over the Limit -
Don't think he'll do it again... And not because of me -
He's a tight-wad and it cost him MONEY!
I always knew Houston Stunk, only now I get to smell it... I have had the chance to smell some good things too, like fajitas.
I bought a bike, took the BRC, got the "M" and Joined this site -
to meet/make new friends. (PS - It's working!)
I also already have boots, under armor hip/ pads, Icon Moto Jeans, 2 Jackets, 2 Helmets and 5 or 6 pairs of gloves... (And I still want more!)
I still really want a windshield - I've had some bugs commit suicide on my jacket/helmet and 2 rocks from trucks to the face shield! I killed a bee trying to get in my helmet and I don't want to consider spiders in my gear...
Thanks for an awful mental picture!
I don't prefer a cage unless I've got the kids. And I really do love my Yami. I don't want a "Rocket" I'm not ready for more CC's, but I do realize why people outgrow them so quickly.
Only 250 miles under my Yami so far, think I need the full 3000 and take the Advanced rider course and then upgrade to a more substantial ride.
I love that you don't even know me, but we're family.
As before - Something Compels Me!
![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|
|
...wait just wait. You'll be ridind one warm day or evening...and you feel & smell the change in the air as you see a rain cloud, or front off in the distance.
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
|Thread Tools
|
|
|
|Advertisement|

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Set-Cookie: bblastactivity=0; expires=Wed, 21-Feb-2018 22:03:05 GMT; path=/; domain=.motohouston.com

Connection: close

Server: Apache/2.2.31 (Unix) mod_ssl/2.2.31 OpenSSL/0.9.8m mod_bwlimited/1.4

Cache-Control: private

Pragma: private

Vary: User-Agent

Content-Type: text/html; charset=ISO-8859-1


markdown:
Hình minh họaTạo khung pháp lý cho các hoạt động công nghệ cao
Ngày 20/9/2006, Ủy Ban Khoa Học - Công Nghệ - Môi Trường (KH – CN – MT) của Quốc Hội đã có buổi họp để lấy ý kiến cho dự thảo Pháp Lệnh Công Nghệ Cao. Đây là dự án trong chương trình xây dựng pháp luật, pháp lệnh năm 2006 do Ủy Ban KH – CN – MT của Quốc Hội chủ trì soạn thảo. Việc xây dựng và ban hành Pháp Lệnh Công Nghệ Cao sẽ tạo khung pháp lý cho các hoạt động về công nghệ cao, thúc đẩy nghiên cứu ứng dụng công nghệ cao trong các hoạt động sản xuất kinh doanh, an ninh quốc phòng và hình thành các khu công nghệ cao tại Việt Nam.
Tham dự buổi họp, các đại biểu cũng đã cho ý kiến của Nhà Nước đối với công nghệ cao; về đào tạo và sử dụng nguồn nhân lực công nghệ cao; về nghiên cứu phát triển công nghệ cao; về khu công nghệ cao và nhiều hoạt động khác. (Nhân Dân 21/9/2006)
Bộ TNMT: Hiệu quả tích cực từ giao lưu trực tuyến
Ngày 20/9/2006, Bộ Tài Nguyên Môi Trường (TNMT) đã tổ chức buổi giao lưu trực tuyến lần thứ 3 với nội dung về các quy hoạch, dự án “treo”. Tính đến 20h ngày 20/9/2006, đã có 54.898 lượt truy cập trang web www.gltt.monre.gov.vn của Bộ. Có tổng số 724 câu hỏi được gửi qua mạng và gần 100 câu hỏi đã được trả lời trên mạng. Nhiều người dân đã rất ấn tượng về cách làm này của Bộ và đề nghị nhân rộng xuống các cấp địa phương.
Trước tình trạng rất nhiều câu hỏi còn chưa được trả lời, đặc biệt là những vấn đề của Hà Nội, Bộ Trưởng Mai Ái Trực đã quyết định tiếp tục buổi giao lưu trực tuyến vào ngày 21/9/2006. (QĐND 21/9/2006)
Bộ KHCN khảo sát hiện trạng phần mềm nguồn mở
Để có được các thông tin chính xác về ứng dụng và phát triển phần mềm nguồn mở (PMNM) của các cơ quan nhà nước và doanh nghiệp cùng hiện trạng tại các đại học và cơ sở đào tạo, Bộ KHCN với sự hợp tác của tổ chức quốc tế Pháp Ngữ đang tiến hành cuộc điều tra về hiện trạng PMNM tại Việt Nam. Thứ Trưởng Trần Quốc Thắng cho biết, kết quả cuộc điều tra này sẽ là cơ sở cho việc xây dựng kế hoạch triển khai các giải pháp thực hiện cũng như đề xuất những cơ chế, chính sách nhằm tháo gỡ những khó khăn và đẩy nhanh việc ứng dụng, phát triển PMNM ở Việt Nam trong thời gian tới. (Bưu Điện Việt Nam 21/9/2006)
Sở BCVT TP.HCM triển khai sử dụng chữ ký điện tử
Ngày 20/9/2006, Sở BCVT TP.HCM đã triển khai sử dụng chữ ký số trong các giao dịch. Chữ ký số là một dạng chữ ký điện tử sử dụng công nghệ khóa công khai (PKI), đảm bảo tính toàn vẹn và bảo mật trong giao dịch điện tử; cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật, ký xác nhận nội dung thông tin mà không cần các khóa chung bí mật trước đó, làm cơ sở cho giao dịch Chính Phủ Điện Tử…
Mỗi chuyên viên của Sở sẽ được cấp 1 thẻ thông minh chứa chữ ký số được chứng thực bởi trung tâm chứng thực của Sở. Các chuyên viên sẽ sử dụng thẻ này để thực hiện chữ ký số trên các văn bản số đã được soạn thảo. Ngoài ra, thẻ thông minh này cũng được dùng để khai báo giờ đến và về trong ngày làm việc. Đây là cơ quan Nhà Nước đầu tiên tại TP.HCM sử dụng chữ ký số đối với các văn bản số. (SGGP 21/9/2006)
Hình minh họaBoeing hỗ trợ phát triển năng lực CNTT Việt Nam
Trong hai ngày 18 - 19/9/2006, tập đoàn sản xuất máy bay Boeing (Mỹ) đã tổ chức hội thảo chuyên đề về CNTT tại ĐH Bách Khoa Hà Nội. Tiếp sau đó, Boeing sẽ tổ chức hai hội thảo nữa tại Đà Nẵng và TP.HCM. Ông John Vũ - Viện Sĩ Viện Hàn Lâm và kỹ sư trưởng của Boeing cho biết, Boeing đang làm việc với Việt Nam để hỗ trợ ngành CNTT về các tiêu chuẩn của ngành này trên toàn cầu và giúp Việt Nam học hỏi kinh nghiệm của các nước.
Vào tháng 11/2006, Boeing sẽ tổ chức hội thảo CMMI – tiêu chuẩn về chất lượng phần mềm tại Việt Nam và hội thảo ABET vào tháng 12/2006 nhằm giúp các trường đại học tại Việt Nam tiến tới được các tiêu chuẩn quốc tế được công nhận bởi ABET (Ủy ban chứng nhận kỹ thuật và công nghệ). (TBKTVN 21/9/2006)
TP.HCM & Bình Dương thí điểm quản lý hàng chuyển khẩu qua mạng
Thực hiện Quyết Định số 927 của Tổng Cục Hải Quan, Chi Cục Hải Quan Cảng Sài Gòn khu vực 1 - TP.HCM và Cục Hải Quan tỉnh Bình Dương đã được chọn làm thí điểm thủ tục quản lý chuyển khẩu qua mạng.
Ông Ngô Minh Hải – Phó Vụ Trưởng Vụ Giám Sát Quản Lý Tổng Cục Hải Quan cho biết với quy trình thủ công cũ thì chỉ tính riêng chi phí fax hồ sơ và đi lại giữa các đơn vị trong ngành đã là rất tốn kém và còn xảy ra tình trạng không đầy đủ hồ sơ, không kịp thời trong giải quyết công việc. Nay với việc thực hiện qua mạng, các chi cục chỉ cần nhập số liệu vào máy theo các phần mềm cài sẵn là toàn bộ thông tin sẽ được truyền đến địa chỉ có hàng hóa chuyển khẩu để làm thủ tục theo yêu cầu, không cần phải chờ đợi như trước đây. (Người Lao Động 20/9/2006)
Hà Nội: Hội thi CNTT công nhân viên chức toàn thành
Sáng 20/9/2006 tại Cung Văn Hóa Hữu Nghị Việt – Xô đã diễn ra hội thi “CNTT công nhân viên chức toàn thành phố 2006” với sự tham gia của 60 thí sinh đại diện cho 564 công đoàn cơ sở. Hội thi do Liên Đoàn Lao Động Hà Nội phối hợp với Sở BCVT, ĐH Bách Khoa Hà Nội và ĐH Xây Dựng Hà Nội tổ chức với các nội dung lý thuyết và thực hành về khai thác, sử dụng phần mềm và Internet. Kết quả hội thi sẽ được công bố vào cuối tháng 9/2006.
Cùng ngày, Công Đoàn Bộ GTVT đã tổ chức hội thi tin học khối công nhân viên chức các cơ quan thuộc Bộ mở rộng lần thứ 2. (Hà Nội Mới 21/9/2006)
Cần Thơ: Tổng kết chương trình phổ cập tin học
Sáng 20/9/2006, Thành Đoàn Cần Thơ đã tổ chức tổng kết chương trình “Phổ cập tin học - nối mạng tri thức cho thanh niên”. Trong dịp hè 2006, 150 sinh viên Khoa CNTT ĐH Cần Thơ đã tham gia phổ cập tin học cho 3.113 đoàn viên thanh viên tại 30 xã thuộc thành phố Cần Thơ và cho 1.200 đoàn viên thanh niên ở các tỉnh Hậu Giang và Sóc Trăng. (Tiền Phong 21/9/2006)
Viện Nghiên Cứu Con Người khai trương trang web
Nhân kỷ niệm 7 năm thành lập, Viện Nghiên Cứu Con Người trực thuộc Viện Khoa Học Xã Hội Việt Nam đã chính thức khai trương trang thông tin điện tử tại địa chỉ www.his.org.vn. Trong 7 năm qua, Viện đã hoàn thành nhiều đề tài khoa học ở các cấp viện, bộ và Nhà Nước. (Lao Động 21/9/2006)
Khu CNC TP.HCM: Sonion khánh thành nhà máy cuối năm 2006
Cuối năm nay, tập đoàn Sonion (Đan Mạch) sẽ khánh thành nhà máy sản xuất linh kiện siêu nhỏ cho máy nghe nhạc và ĐTDĐ tại Khu Công Nghệ Cao (CNC) TP.HCM.
Nhà máy có tổng vốn đầu tư 25 triệu USD được xây dựng trên diện tích 800m2. Ông Tjerk Veenstra - tổng giám đốc Sonion Việt Nam cho biết, trước mắt nhà máy sẽ cung cấp sản phẩm cho thị trường Việt Nam và sau đó sẽ xuất khẩu sang các thị trường khác. Sonion Việt Nam đã gửi nhân viên sang Châu Âu để đào tạo về sản phẩm và quy trình sản xuất linh kiện. (TBKTVN 21/9/2006)
Đã có công nghệ ghi vé xe tự động
Tại các điểm trông giữ xe công hiện nay, sự phiền phức trong việc lấy vé vẫn là một thực tế tồn tại. Mới đây, trung tâm Công Nghệ Mô Phỏng thuộc Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự đã nghiên cứu và đưa vào ứng dụng công nghệ ghi vé xe tự động. Trước mắt, công nghệ này đã được thực hiện tại bãi trông giữ xe ở Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự. Với một camera, hệ thống sẽ tự động chụp ảnh biển số xe của khách và truyền tín hiệu về máy tính rồi in vé, trả cho khách. Thời gian in mỗi vé chỉ mất 2 – 3 giây, đủ để người gửi nhận được vé ở cuối luồng bãi xe. Vé được phát với đầy đủ các thông tin gồm biển số xe, ngày giờ gửi, số serie của vé phát ra… Nhờ vào hệ thống tự động ghi vé này mà mỗi luồng xe đi qua chỉ cần không quá một thao tác. (Tuổi trẻ Thủ đô 20/9/2006)
Ứng dụng CNTT vào các ngành: Cần có chiến lược cụ thể
Phát biểu trước thềm Hội Thảo Quốc Gia về CNTT-TT 2006 tổ chức tại Huế trong 2 ngày 21 - 22/9/2006, ông Hoàng Quốc Lập – chánh văn phòng Ban Chỉ Đạo Quốc Gia về CNTT kiêm cục trưởng Cục Ứng Dụng CNTT Bộ BCVT cho biết, chủ đề của Hội Thảo Quốc Gia năm nay chỉ “bó hẹp” trong hai lĩnh vực y tế và giáo dục vì đây là hai ngành có nhu cầu rất lớn về ứng dụng CNTT trong quản lý điều hành và các hoạt động chuyên môn. Hơn nữa, giáo dục và y tế cũng được xác định là cơ sở để phát triển “cái gốc” của công cuộc đổi mới và hội nhập – đó là con người. Ông cũng cho biết, hiện tại cả hai ngành y tế và giáo dục đều đã đề ra kế hoạch ứng dụng và phát triển CNTT tới 2010. Nếu như không có chiến lược thì không thể đưa CNTT vào những ngành đó nhanh được. Các lãnh đạo phải nhận thức và trả lời rõ câu hỏi CNTT có vai trò thế nào với ngành mình? Phải lồng ghép CNTT vào các chương trình, các chính sách và kế hoạch phát triển của ngành. Từ vĩ mô, bản thân các đơn vị phải nhận thức và có tầm nhìn về ứng dụng CNTT trong tổ chức của mình. Bên cạnh đó, theo ông các ngành cũng cần có cơ chế hàng năm để đánh giá kết quả ứng dụng CNTT trong ngành. Có như vậy, CNTT mới có cơ hội thâm nhập vào sự phát triển của ngành và đáp ứng mong muốn thực tiễn của ngành. Để đảm bảo các ứng dụng CNTT, các ngành phải tạo ra hạ tầng đủ đảm bảo cho các ứng dụng. (Bưu Điện Việt Nam 21/9/2006)

Content-Type: text/html; charset=utf-8


markdown:
[10 bộ phim lãng mạn sẽ khiến bạn khóc nhiều hơn cả "Me Before You"](/giai-tri-172/10-bo-phim-lang-man-se-khien-ban-khoc-nhieu-hon-ca-me-before-you-132961)
**Công việc & Xã hội**
Người phụ nữ hiện đại bên cạnh việc thực hiện trọn thiên chức làm vợ, làm mẹ, làm con dâu trong gia đình đã không ngừng học hỏi, rèn luyện để hoàn thiện về tri thức, kỹ năng sống... Điều này đã giúp họ thoát khỏi những định kiến, lễ giáo cổ hủ, hà khắc để vươn lên xây dựng cuộc sống tốt và đủ đầy hơn cũng như có nhiều đóng góp hơn cho xã hội.
Nếu như trước đây, vai trò của người phụ nữ chỉ gói gọn trong gia đình thì phụ nữ hiện đại lại luôn xem trọng sự nghiệp. Đó không chỉ là phương tiện giúp họ bảo đảm nhu cầu vật chất cho mình và gia đình, mà còn là nguồn vui, lẽ sống, trách nhiệm của một người công dân.
**Góc riêng**
Không chỉ đảm đương vai trò là người giữ lửa cho mái ấm gia đình, phụ nữ hiện đại còn phải đảm bảo có một công việc tốt để lo kinh tế, chu toàn các mối quan hệ xã hội, quỹ thời gian của phụ nữ ngày càng trở nên eo hẹp và việc chăm sóc bản thân cũng vì thế mà bị lãng quên.
Phụ nữ hiện đại không phải là người dành hết thời gian cho công việc hay hy sinh mọi thứ cho gia đình mà còn phải biết cách chăm sóc bản thân. Bởi khi đã hiểu rõ giá trị của cái đẹp cả về hình thức và nội tâm, người phụ nữ sẽ dễ dàng có được sự thành công, hạnh phúc hơn trong cuộc sống.
**Sức khỏe**
Một người phụ nữ đẹp cần có sự hài hòa giữa cái đẹp sắc vóc và phong thái. Với sắc vóc thì vấn đề sức khỏe là ưu tiên hàng đầu, bởi mọi vẻ đẹp đều bắt nguồn từ một cơ thể khỏe mạnh và giàu sức sống.
Vậy nên ngoài một chế độ ăn uống giàu dưỡng chất, phụ nữ cần có một chế độ tập luyện thể thao để nâng cao sức khỏe. Khi đã có một sức khỏe đủ, người phụ nữ cần quan tâm đến sức khỏe làn da, mái tóc, cách trang điểm, cách lựa chọn phục trang... để tôn nét quyến rũ của bản thân. Đặc biệt, để thật nổi bật, người phụ nữ đẹp cũng cần phải có một phong thái tự tin và khéo léo trong giao tiếp.
**Gia đình**
Nếu gia đình được coi là tế bào của xã hội thì phụ nữ chính là hạt nhân của tế bào ấy, bởi dù sự nghiệp vững chắc đến đâu, địa vị xã hội lớn thế nào thì đối với gia đình, phụ nữ vẫn là người con dâu, người vợ, người mẹ, người giữ lửa mái ấm, người thầy của các con và là cở sở của một cuộc hôn nhân bền vững.
Do đó, phụ nữ hiện đại cần phải trang bị những kiến thức cần thiết trong việc chăm sóc bản thân, gia đình, con cái và khéo léo trong cách ứng xử để có thể định hướng con cái trước những cám dỗ trong cuộc sống.
**Giải trí**
Phụ nữ hiện đại ngoài có một công việc yêu thích, chu toàn vai trò trong gia đình còn cần thời gian chăm sóc bản thân và tận hưởng những niềm vui, sở thích riêng, đó là lúc được thoải mái vui chơi bên bạn bè, café tán gẫu, du lịch, shopping hay đơn giản là ngồi xem bộ phim mình yêu thích, thưởng thức trọn vẹn một bản nhạc hay, lắng nghe những chia sẻ của các chuyên gia tâm lý về những tâm tư, tình cảm của riêng mình cũng như giải đáp những khúc mắc chuyện nhà, chuyện chồng, chuyện con cái...
Bởi có câu, nếu bạn không yêu và chiều chuộng bản thân mình thì sẽ chẳng có ai làm thay bạn cả.
Đón xem YouTV trên Truyền hình vệ tinh K+ (kênh 61); VTC (kênh 88/SD, kênh 128/HD); HTVC (kênh 39/Analog; kênh số 90/Digital); VTVCab (kênh 123/Digital; kênh 56/Analog); BTS (kênh 9/Analog & Digital); RTB (kênh 14); SDTV (kênh 14)
Chi tiết xem tại:
[www.youtv.vn](http://www.youtv.vn) hoặc [f/ KenhYouTV](https://www.facebook.com/KenhYouTV/?fref=ts).


markdown:
[0](/mua-hang/gio-hang)
# Pearhead Pregnancy Journal, Multicolored
Sản phẩm này được bán tại
[www.amazon.com](http://www.amazon.com/Pearhead-35002-Pregnancy-Journal-Multicolored/dp/B00B7VHH5M)
Thương hiệu:
[Pearhead](/thuong-hieu/pearhead_th103)
Ngay sau khi quý khách đặt hàng và thanh toán, ShipTo.vn sẽ mua sản phẩm từ Mỹ và vận chuyển về Việt Nam
Thời gian giao hàng dự kiến từ 10 - 20 ngày làm việc kể từ khi thanh toán
Chọn số lượng:
[Xem chi tiết sản phẩm tại www.amazon.com](http://www.amazon.com/Pearhead-35002-Pregnancy-Journal-Multicolored/dp/B00B7VHH5M)
-
Giá giảm 10-50%
so với hàng xách tay
-
100% sản phẩm thật
được mua trực tiếp từ Mỹ
-
Hoàn tiền 100%
nếu hàng bị thất lạc hư hỏng
-
Miễn phí dịch vụ
nếu giao hàng trễ
#### Product Features
Seven pocket pages to store all of your special keepsakes
Divided into sections to remember each pregnancy stage
Includes 20 pages for you to add your personal photos
Stylish hidden-spiral bound book
#### Product Description
#### Product information
|Product Dimensions||9.37 x 7.4 x 0.87 inches|
|Shipping Weight||1.06 pounds|
|ASIN||B00B7VHH5M|
|Item model number||35002|
#### Mua hàng theo yêu cầu
-
1.Đặt mua
Đặt mua những sản phẩm được ShipTo.vn tuyển chọn, hoặc gửi link của sản phẩm muốn mua để nhận báo giá.
-
2.Thanh toán
Thanh toán cho ShipTo.vn (tiền mặt, chuyển khoản, hoặc thẻ tín dụng).
-
3.Vận chuyển
ShipTo.vn mua hàng từ nước ngoài, chuyển về Việt Nam, và lo tất cả thủ tục hải quan.
-
4. Giao hàng
ShipTo.vn giao hàng tận nơi miễn phí trong vòng 10 - 20 ngày làm việc kể từ ngày thanh toán.
#### Vận chuyển theo yêu cầu
-
1.Đăng ký địa chỉ Mỹ
Đăng ký tài khoản ShipTo.vn có ngay địa chỉ riêng tại Mỹ.
-
2.Tự mua hàng
Tự mua tại bất kỳ website nào và chuyển hàng tới địa chỉ Mỹ của bạn.
-
3.Vận chuyển
ShipTo.vn nhận hàng, kiểm hàng và chuyển quốc tế.
-
4. Giao hàng
ShipTo.vn thông quan, giao hàng tận tay và thu tiền dịch vụ.
[ Mở rộng](javascript:void(0);) [ Thu gọn](javascript:void(0);)
ĐĂNG KÝ EMAIL ĐỂ BẮT ĐẦU

Cache-Control: private, no-cache="Set-Cookie"

Set-Cookie: website_id=1; expires=Wed, 21-Feb-2018 17:00:00 GMT; path=/


markdown:
Địa chỉ: 131/82 Lê Lợi, P. 3, Q. Gò Vấp,
Điện thoại: 9851258, 9850461
Email: tuanhien-button@hcm.fpt.vn
Website: www.tuanhien-button.com

Content-Type: application/xhtml+xml; charset=utf-8


markdown:
Địa chỉ: Khu Công Nghiệp Tam PhướcĐường 5, Lô 21, H. Long Thành,
Điện thoại: 512471, 512470
Email:
Website: