text:
Kỹ thuật điều khiển tự động
Chia sẻ: Long Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18
lượt xem 225
download
Kỹ thuật điều khiển tự động
Trải qua lịch sử con người vẫn đang cố gắng điều khiển thế giới mà họ đang sống. Từ những ngày đầu tiên con người đã nhận thấy rằng sức lực yếu đuối của mình không đủ cạnh tranh với những sinh vật xung quang mình.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Kỹ thuật điều khiển tự động
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM LỜI GIỚI THIỆU Nội dung chính của cuốn sách gồm những chương như sau: Chương 1. Giới thiệu công nghệ điều khiển: Khái quát lịch sử phát triển hệ thống tự động và lý thuyết điều khiển tự động. Chương 2. Mô hình hóa hệ thống: Phát triển mô hình toán học cho các hệ thống điều khiển và các phần tử của hệ thống tự động nhằm mục đích phân tích, tìm hiểu đặc tính động và thiết kế hệ thống điều khiển tự động. Mô hình hóa hệ thống cơ bản dựa trên các định luật vật lý. Chương 3. Phân tích trong miền thời gian: Giới thiệu các phương pháp kinh điển phân tích đặc tính động của hệ thống điều khiển như biến đổi Laplace, hàm truyền và phân tích các đáp ứng hệ thống khi áp dụng một tín hiệu đầu vào. Chương 4. Hệ thống điều khiển vòng kín: Khái quát những phương pháp biểu diễn hệ điều khiển vòng kín và giới thiệu hệ thống điều khiển PID (tỷ lệ tích phân vi phân). Chương 5. Thiết kế điều khiển kinh điển trong mặt phẳng S: Giới thiệu các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển kinh điển trong miền S như tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz, phương pháp quỹ tích nghiệm. Chương 6. Thiết kế điều khiển kinh điển trong miền tần số: Giới thiệu các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển kinh điển trong miền tần số sử dụng các biểu đồ như Biểu đồ Bode, Biểu đồ Nyquist và Biểu đồ Nichols. Chương 7. Thiết kế hệ thống điều khiển số: Giới thiệu hệ thống điều khiển xung số sử dụng bộ vi xử lý và trình bày các khái niệm và nguyên lý phân tích thiết kế hệ thống điều khiển xung số như biến đổi z, hàm truyền xung số và tính ổn định trong miền z. Chương 8. Phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển không gian trạng thái: Giới thiệu phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển sử dụng mô 1/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM hình không gian trạng thái. Chương này cũng giới thiệu một số phương pháp thiết kế bộ quan sát trạng thái. Phụ lục 1. Thiết kế hệ thống điều khiển dùng MATLAB: Cung cấp các chương trình mẫu bằng MATLAB® và Simulink® để minh họa các thuật toán điều khiển đã trình bày trong các chương trước. Phụ lục 2. Khái niệm cơ bản về ma trận: Tóm tắt một số khái niệm cơ bản ma trận làm cơ sở toán học cho lập trình với MATLAB. Với nội dung trên, cuốn sách phù hợp cho các khóa học cơ sở về điều khiển tự động ở các đại học. Với nội dung không quá nặng về lý thuyết có kết hợp với thực hành cuốn sách cũng còn có thể dùng được cho cả sinh viên các khóa học về thiết bị điều khiển tự động ở các trường cao đẳng kỹ thuật. Những nội dung trong cuốn sách đã được tác giả lựa chọn công phu bằng kinh nghiệm giảng dạy lâu năm về lĩnh vực điều khiển tự động tại Đại học Plymouth, Anh Quốc. 2/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Ch¬ng i. giíi thiÖu c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn tù ®éng 1.1. Khái quát lịch sử Trải qua lịch sử con người vẫn đang cố gắng điều khiển thế giới mà họ đang sống. Từ những ngày đầu tiên con người đã nhận thấy rằng sức lực yếu đuối của mình không đủ cạnh tranh với những sinh vật xung quanh mình. Con người chỉ có thể tồn tại bằng cách sử dụng trí khôn và sự khéo léo của mình. Tài sản chính của con người so với tất cả các loài khác trên trái đất là trí thông minh tuyệt đỉnh của mình. Con người Thời kỳ Đồ đá (Stone Age) đã phát minh ra dụng cụ và vũ khí từ viên đá lửa, đá và xương và đã phát hiện ra rằng có thể huấn luyện động vật tuân mệnh lệnh của mình, và đã nhận biết được một dạng sơ khởi đầu tiên của hệ thống điều khiển. Trước đó một thời gian dài, con người đã biết khai thác sức ngựa và sức bò để thực hiện nhiều công việc khác nhau, bao gồm cả vận tải. Phải trải qua một thời gian rất dài con mới người học được cách thay thế động vật bằng máy móc. Hình 1.1 Bộ điều tốc ly tâm của James Watt 3/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Bước quan trọng nhất trong thiết kế máy móc, mà lần lượt sứ giả đưa tin cho cách mạng công nghiệp, là sự phát triển của máy hơi nước. Một vấn đề thách thức kỹ sư tại thời đó là làm sao có thể điều khiển được vận tốc quay của máy mà không cần có sự can thiệp của con người. Trong số nhiều phương pháp được thử, phương thành công nhất là sử dụng con lắc hình nón, có góc nghiêng là một hàm số (nhưng không phải là một hàm tuyến tính) của tốc độ góc quay của trục. Nguyên lý này được James Watt khai thác vào năm 1769 trong việc thiết kế quả bóng bay (flyball) của ông, hay còn gọi là máy điều tốc ly tâm. Vì vậy có lẽ hệ thống đầu tiên để điều khiển tự động máy móc đã được khai sinh. Nguyên lý làm việc của máy điều tốc Watt được biểu diễn trong Hình 1.1, trong đó thay đổi vận tốc trục quay sẽ làm cho góc hình nón khác nhau của những quả bóng bay. Góc hình nón thay đổi tiếp theo sẽ tạo nên chuyển động tuyến tính của ống ngoài kết quả là điều chỉnh được lưu lượng hơi vào máy bằng một chiếc van. Watt là một kỹ sư thực hành và không có nhiều thời gian để phân tích lý thuyết. Tuy nhiên ông đã quan sát thấy rằng trong những điều kiện nhất định nào đó thì máy xem ra như săn đuổi theo vận tốc đầu ra dao động xung quanh một giá trị mong muốn. Sự loại trừ việc săn đuổi hoặc tên phổ biến hơn không ổn định là một đặc điểm quan trọng trong thiết kế tất cả các hệ thống điều khiển. - Trong công trình của mình “Về các bộ điều tốc” Maxwell (1868) đã phát triển phương trình vi phân cho bộ điều tốc, tuyến tính hóa điểm cân bằng và chứng minh rằng tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng có các phần thực âm. - Bài toán nhận dạng tiêu chuẩn ổn định cho hệ thống tuyến tính được nghiên cứu bởi Hurwitz (1875) và Routh (1905). Bài toán này được mở rộng để xét tính ổn định của hệ phi tuyến tính bởi nhà toán học Nga Lyapunov 4/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM (1893). Phần cốt lõi toán học để phân tích lý thuyết đuợc Laplace (1749-1827) và Fourier (1758-1830) phát triển. - Một hướng tiếp cận quan trọng khác để thiết kế hệ thống điều khiển được Evans (1948) phát triển. Dựa trên tác phẩm của Maxwell và Routh, Evans bằng phương pháp quỹ tích nghiệm đã thiết kế những quy tắc và kỹ thuật cho phép nghiệm của phương trình đặc trưng được biểu thị bằng đồ thị. - Sự ra đời của máy tính trong thập niên 1950s đã làm gia tăng việc biểu diễn phương trình vi phân bằng không gian trạng thái, nghĩa là sử dụng ký hiệu ma trận véc tơ, chính nó góp phần sẵn sàng vào việc tính toán (machine computation). - Thập niên 1980s đã trải qua những tiến bộ lớn về lý thuyết điều khiển để thiết kế hệ thống bền vững với tính không chắc chắn trong đặc tính động. Công trình của Athans (1971), Safanov (1980), Chiang (1988), Grimble (1988) và những người khác đã trình diễn cách có thể mô hình hóa tính không chắc chắn và đưa ra khái niệm và lý thuyết tổng hợp. Thập niên 1990s đã mở ra cho cộng đồng điều khiển khái niệm những hệ thống điều khiển thông minh. Mạng trí năng nhân tạo chứa đựng nhiều phần tử tính toán đơn giản hoạt động song song với nhau nhằm cố gắng cạnh tranh với những đối tác sinh học. Lý thuyết dựa trên công trình thực hiện bởi Hebb (1949), Rosenbatt (1961), Kohanen (1987), Widrow-Hoff (1960) và những người khác. Khái niệm lô gíc mờ được Zadeh (1965) giới thiệu. Lô gíc mờ này đã được phát triển cho phép máy tính mô hình hóa tính lơ đãng của con người (human vagueness). Những bộ điều khiển lô gíc mờ, trong khi thiếu vắng phương pháp thiết kế mãnh liệt chính thức những kỹ thuật khác, đã cho đưa ra điều khiển bền vững mà không cần thiết phải mô hình hóa hành vi động của hệ thống. Những tác giả trong lĩnh vực này có thể kể đến (bao gồm): Mamdani (1976), Sugeno (1985), Sutton (1991) và Tong (1978). 1.2 Cơ sở hệ thống điều khiển 1.2.1 Khái niệm hệ thống 5/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Trước khi thảo luận cấu trúc một hệ điều khiển cần phải định nghĩa một hệ thống (a system) có nghĩa là gì? Hệ thống có nghĩa những vật khác nhau đối với người khác nhau, có thể bao gồm những hệ thống thuần vật lý như bàn máy của công cụ máy điều khiển máy tính số (CNC) hoặc nói một cách khác những thủ tục cần thiết để mua những vật liệu thô cùng với điều khiển hàng tồn kho (kiểm kê, inventory) trong một hệ thống kế hoạch hóa yêu cầu vật liệu (Material Requirements Planning System). Tổng quát, một hệ thống có thể được định nghĩa là một bộ sưu tập của vật chất, các bộ phận, các phần tử hoặc các thủ tục được bao gồm trong một giới hạn được định rõ nào đó như trong Hình 1.2. Một hệ thống có thể có nhiều đầu vào Hình 1.2 Khái niệm hệ thống và nhiều đầu ra. Trong công nghệ học điều khiển, cách mà đầu ra hệ thống đáp ứng đối với sự thay đổi đầu vào hệ thống (nghĩa là đáp ứng hệ thống) rất quan trọng. Trong trường hợp tàu thủy được cho trong Hình 1.3. Bánh lái và máy là đầu vào điều khiển mà giá trị của chúng có thể được điều chỉnh để điều khiển đầu ra nào đó, ví dụ hướng tàu và vận tốc chạy tới. Gió, sóng và dòng chảy là những đầu vào nhiễu loạn và chúng làm phát sinh sai số trong các đầu ra (được gọi là biến số được điều khiển) vị trí, hướng, tốc độ chạy tới. ngoài 6/16 Hình 1.3 Tàu thủy là một hệ động
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM ra, nhiễu loạn sẽ gây ra chuyển động của tàu gia tăng (lắc ngang, lắc dọc và trượt dọc) là những chuyển động không mong muốn. Một Hình 1.4 Đầu vào và đầu ra hệ thống cách tổng quát, mối quan hệ giữa đầu vào điều khiển, đầu vào nhiễu loạn, nhà máy và biến được điều khiển được cho trong Hình 1.4. 1.2.2 Hệ thống vòng mở (hệ mở) Hình 1.4 biểu diễn một hệ thống vòng mở (gọi ngắn gọn là hệ mở) và được dùng cho những ứng dụng rất đơn giản. Vấn đề chủ yếu của hệ mở là biến được điều khiển nhạy cảm với những thay đổi đầu vào nhiễu loạn. Vì vậy, ví dụ, nếu một lò sưởi ga được bật lên ở trong phòng, và nhiệt độ tăng lên tới 20oC, nhiệt độ sẽ duy trì tại giá trị đó trừ khi có nhiễu loạn. Nhiễu loạn có thể được gây ra bởi để cửa phòng mở chẳng hạn. Hoặc nói cách khác bằng thay đổi môi trường bên ngoài. Trong cả hai trường hợp nhiệt độ phòng sẽ thay đổi. Để duy trì nhiệt độ phòng không đổi cần một cơ cấu thay đổi đầu ra năng lượng từ lò sưởi ga. 1.2.3 Hệ thống vòng kín (hệ kín) 7/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Đối với hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng, yêu cầu đầu tiên là nhận ra hoặc cảm biến thay đổi nhiệt độ phòng. Yêu cầu thứ hai là điều khiển hoặc thay đổi đầu ra năng lượng của lò sưởi ga, nếu nhiệt độ phòng được cảm biến khác với nhiệt độ phòng mong muốn. Nói chung, một hệ thống được thiết kế để điều khiển đầu ra của một thiết bị (nhà máy) phải chứa đựng ít nhất một bộ cảm biến và một bộ điều khiển như được biểu diễn trong Hình 1.5. Hình 1.5 Hệ kín Hình 1.5 trình bày một sơ đồ khối tổng quát cho một hệ thống điều khiển vòng kín, hoặc cũng gọi là hệ điều khiển phản hồi. Bộ điều khiển và thiết bị nằm dọc theo đường truyền thẳng (forward path), còn bộ cảm biến thì nằm trong đường phản hồi (feedback path). Giá trị đầu ra thiết bị đo được so sánh với giá trị mong muốn tại điểm tính tổng (summing point, cũng có thể gọi là phần tử so sánh, comparison element). Sự khác nhau, hoặc sai số (error) được cấp cho bộ điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển để điều chỉnh thiết bị cho 8/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM đến khi đầu ra thiết bị bằng với giá trị mong muốn. Sự bố trí như vậy đôi khi được gọi là một hệ thống chấp hành sai số (an error-actuated system). 1.3 Ví dụ hệ thống điều khiển 1.3.1 Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong phòng Biểu diễn vật lý hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng được cho trong Hình 1.6. Ở đây tín hiệu ra từ thiết bị cảm biến nhiệt độ là cặp nhiệt độ hay nhiệt kế điện trở được so sánh với nhiệt độ mong muốn. Bất kỳ sự khác nhau hoặc sai số nào làm cho bộ điều khiển gửi một tín hiệu điều khiển cho van solenoid khí tạo ra chuyển động tuyến tính của sống van, vì thế điều khiển lưu lượng khí tới bộ đốt của lò sưởi ga. Nhiệt độ mong muốn thường thu được từ điều chỉnh bằng tay biến trở (potentiometer). Hình 1.6 Hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng Sơ đồ khối chi tiết được cho trong Hình 1.7. Những giá trị vật lý của các tín hiệu xung quanh vòng điều khiển được cho trong ngoặc. 9/16 Hình 1.7 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Điều kiện tĩnh sẽ tồn tại khi nhiệt độ thực và nhiệt độ mong muốn giống nhau, và đầu vào nhiệt lượng cân bằng chính xác với tổn thất nhiệt qua các bức tường của tòa nhà. Hệ thống làm việc theo hai chế độ: (a) Điều khiển tỷ lệ (Proportional control): Ở đây chuyển động tuyến tính của sống van tỷ lệ với sai số. Chuyển động này cung cấp một điều chế liên tục đầu vào nhiệt cho phòng tạo ra điều khiển nhiệt độ rất chính xác. Chuyển động này được áp dụng khi điều khiển nhiệt độ, ý nói là hơn 1 oC, được yêu cầu (nghĩa là phòng mổ bệnh viện, các phòng chuẩn công nghiệp…), mà ở đó sự chuẩn xác quan trọng hơn rất nhiều so với giá cả. (b) Điều khiển mở tắt (On-off control): Cũng được gọi là điều khiển tĩnh nhiệt hay điều khiển bang-bang (bang-bang control), van ga hoặc được mở hết cỡ hoặc đóng hết cỡ, nghĩa là lò sưởi chạy (on) hoặc tắt (off). Dạng điều khiển này tạo ra một dao động khoảng 2 hoặc 3oC xung quanh nhiệt độ mong muốn, nhưng dễ thực hiện và được sử dụng cho những ứng dụng rẻ tiền (ví dụ hệ thống sưởi trong nhà). 1.3.2 Điều khiển máy nâng máy bay Trong thuở bay ban đầu (in early days of flight), mặt điều khiển của máy bay được thao tác bằng dây cáp nối liền giữa cột điều khiển, máy nâng và cánh nhỏ của máy bay. Máy bay cao tốc hiện đại yêu cầu những thiết bị trợ giúp công suất hoặc cơ quan phụ để cung cấp những lực lớn cần thiết thao tác các mặt điều khiển. Hình 1.8 biểu diễn một hệ thống điều khiển máy nâng cho máy bay phản lực cao tốc. 10/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Chuyển động của cột điều khiển tạo ra tín hiện từ bộ cảm ứng góc đầu vào được so sánh với góc máy nâng đo được bằng bộ điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển tỷ lệ với sai số. Chuyển được này được cung cấp cho van phụ điện thủy lực tạo ra chuyển động của van ống (spool valve) tỷ lệ với tín hiệu điều khiển, vì vậy cho phép chất lỏng cao áp vào trong xi lanh thủy lực. Sự chênh lệch áp suất qua pít tông cung cấp lực chấp hành (actuating force) để hoạt Hình 1.8 Hệ thống điều khiển máy nâng cho máy bay phản lực cao tốc động máy nâng. 11/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Cơ quan phụ thủy lực có tỷ số năng lượng - trọng lượng tốt, và lý tưởng cho những ứng dụng yêu cầu tạo ra lực lớn bằng những thiết bị nhỏ nhẹ. Trong thực tế, một bộ ‘mô phỏng cảm giác’ (a feel simulator) được gắn với cột điều khiển cho phép phi công cảm nhận được độ lớn của lực khí động học tác dụng lên các mặt điều khiển, do đó tránh được tải thừa của cánh và đuôi máy bay. Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển máy nâng được cho trong Hình 1.9. Hình 1.9 Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển máy nâng 1.3.3 Máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) Nhiều hệ thống hoạt động theo điều khiển máy tính. Hình 1.10 cho một ví dụ hệ thống máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC). Thông tin liên quan tới hình dáng của chi tiết (work-piece) và bởi vậy chuyển động của bàn máy được lưu trong chương trình máy tính. Thông tin được làm trễ theo định dạng số (digital format), theo một dạng chuỗi tới bộ điều khiển và được so sánh với tín hiệu phản hồi xung số từ bộ mã hóa trục quay (shaft encoder) để tạo ra tín hiệu sai số xung số. Tín hiệu này được chuyển đổi sang tín hiệu điều khiển liên tục, sau khi được khuếch đại sẽ điều chế động cơ servo một chiều. Nối liền với trục quay đầu ra của động cơ servo (trong một số trường hợp qua hộp số) là vít dẫn hướng (lead-screw) được gắn liền với bàn máy, bộ mã hóa trục quay và bộ đo tốc độ quay của trục (tachogentorator). Mục đích của thiết bị sau tạo ra tín hiện liên tục 12/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM (analogue signal) tỷ lệ với vận tốc là để định dạng cho vòng điều khiển bên trong, hoặc điều khiển thứ cấp nhằm giảm hoặc ổn định đáp ứng của hệ thống. Sơ đồ khối của hệ thống máy công cụ CNC được cho trong Hình 1.11. Hình 1.10 Máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) Hình 1.11 Sơ đồ khối của máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) 1.3.4 Hệ thống điều khiển tự động tàu thủy Một máy lái tự động tàu thủy được thiết kế để duy trì tàu trên một hướng đã đặt khi tàu chịu ảnh hưởng của một loạt nhiễu loạn như gió, sóng, và dòng chảy như được cho trong Hình 1.3. Phương pháp điều khiển này được gọi là giữ hướng (course-keeping). Máy lái tự động cũng có thể được dùng để thay 13/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM đổi hướng tới một hướng mới, được gọi là chuyển hướng (course-changing). Những thành phần chính của hệ máy lái tự động được cho trong Hình 1.12. Hình 1.12 Hệ thống máy lái tự động tàu thủy Chú thích: Desired heading: hướng mong muốn Actual rudder angle: Góc bánh lái thực Hướng thực được đo bởi một la bàn con quay (hoặc la bàn từ trên những tàu nhỏ), và được so sánh với hướng mong muốn, được quay vào máy lái tự động bởi thuyền trưởng (sỹ quan). Máy lái tự động, hoặc bộ điều khiển, tính góc lái mệnh lệnh và gửi tín hiệu điều khiển tới máy lái. Góc bánh lái thực tế được kiểm tra bằng bộ cảm biến góc bánh lái và so sánh với góc bánh lái mệnh lệnh, để hình thành nên mộty vòng điều khiển không khác với hệ thống điều khiển máy nâng trong Hình 1.8. Bánh lái cung cấp mô men điều khiển tác dụng lên thân tầu điều chế (drive) hướng thực tế hướng tới giá trị mong muốn còn gió, sóng, và dòng chảy tạo ra mô men có thể giúp hoặc hạn chế hành động này. Sơ đồ khối của hệ thống được cho trong Hình 1.13. 14/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Hình 1.13 Sơ đồ khối của hệ thống máy lái tự động tàu thủy 1.4 Tóm tắt Để thiết kế và thực hiện hệ thống điều khiển, yêu cầu cần có những yếu tố chung cơ bản như sau: * Hiểu biết về giá trị mong muốn: Cần thiết biết chúng ta điều khiển cái gì, với độ chuẩn xác như thế nào, và trong khoảng giá trị nào. Điều này cần phải được trình bày bằng thông số đặc tính. Trong hệ thống vật lý thông tin phải được chuyển đổi sang dạng phù hợp cho bộ điều khiển hiểu được (tín hiệu liên tục hoặc gián đoạn). * Hiểu biết về đầu ra và van thừa hành: Hiểu biết này cần phải được đo bằng một bộ cảm biến phản hồi cũng lại cần phải có dạng phù hợp cho bộ điều khiển hiểu được. Ngoài ra, bộ cảm biến phải có độ phân giải cần thiết và đáp ứng động sao cho giá trị đo được có độ chuẩn xác yêu cầu cho thông số đặc tính. * Hiểu biết về thiết bị điều khiển: Bộ điều khiển phải có khả năng chấp nhận các giá trị đo mong muốn (giá trị đặt), và giá trị đo thực đồng thời phải tính toán để đưa ra một tín hiệu điều khiển thích hợp cho cơ cấu thừa hành. Các bộ điều khiển có thể bao gồm các cơ cấu điều khiển cơ khí, bộ phận thuỷ khí, các mạch số hay tương tự, hoặc các vi điều khiển. * Hiểu biết về thiết bị chấp hành: Bộ chấp hành này khuếch đại tín hiệu điều khiển và cung cấp một ‘nỗ lự’ (effort) để di chuyển đầu ra của máy móc hướng tới giá trị mong muốn. Trong trường hợp hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng, thiết bị chấp hành là van solenoid và bộ đốt, sự “nỗ lực” là nhiệt 15/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM vào phòng (W). Đối với hệ thống lái tàu tự động, bộ chấp hành là máy lái và bánh lái, ‘nỗ lực’ là mô men quay (Nm). * Hiểu biết về máy móc: Hầu hết các chiến lược điều khiển đòi hỏi một số hiểu biết về đặc tính tĩnh và động của máy móc. Có thể có hiểu biết về những đặc tính này từ việc đo lường hoặc từ ứng dụng các định luật vật lý cơ bản hoặc kết hợp cả hai. Thiết kế hệ thống điều khiển Với tất cả hiểu biết và thông tin có sẵn cho người thiết kế hệ thống điều khiển những việc còn lại là thiết kế hệ thống. Vấn đề đầu tiên gặp phải là hiểu biết về hệ thống sẽ không chắc chắn và không hoàn toàn. Nói cụ thể, những đặc tính động của hệ thống có thể biến đổi theo thời gian (time- invariant) và vì vậy một chiến lược điều khiển không đổi sẽ không thực hiện được. Ví dụ do phải dùng nhiên liệu, cuối một chuyến bay đường dài khối lượng của một máy bay có thể hầu như giảm một nửa so với giá trị lúc cất cánh. Đo lường những giá trị được điều khiển sẽ bị nhiễm tạp nhiễu điện và ảnh hưởng nhiễu loạn. Một số bộ cảm biến sẽ cung cấp dữ liệu chuẩn xác và tin cậy, một số khác vì khó khăn trong đo lường biến đầu ra, có thể tạo ra thông tin ngẫu nhiên cao độ và hầu như không thích hợp. Tuy nhiên có một phương pháp tiêu chuẩn có thể áp dụng được cho việc thiết kế hầu hết các hệ thống điều khiển. Những bước trong phương pháp này được cho trong Hình 1.14. 16/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Hình 1.14 Các bước (lưu đồ) thiết kế một hệ thống điều khiển 17/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Thiết kế một hệ thống điều khiển là một hỗn hợp pha trộn của kỹ thuật và kinh nghiệm. Cuốn sách này giải thích một số thử nghiệm và kiểm tra, và một số hướng tiếp cận, kỹ thuật và phương pháp gần đây hơn có sẵn cho kỹ sư thiết kế hệ thống điều khiển. Tuy nhiên kinh nghiệm chỉ đến theo thời gian. ===***=== 18/16
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ebook Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động - Nguyễn Phùng Quang
485 p | 436 | 275
-
Bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động
102 p | 462 | 237
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 1
19 p | 414 | 219
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 2
19 p | 409 | 200
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 3
19 p | 338 | 185
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 4
19 p | 234 | 146
-
Giáo trình kỹ thuật điều khiển 1
11 p | 425 | 137
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 5
19 p | 155 | 97
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 16
18 p | 176 | 87
-
Bài giảng học phần Kỹ thuật điều khiển tự động - ThS. Phan Văn Cường
33 p | 190 | 77
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14
18 p | 139 | 64
-
Thuyết trình Kỹ thuật điều khiển tự động
74 p | 103 | 46
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 1
24 p | 106 | 42
-
Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động (Bài giảng phát cho sinh viên)
107 p | 85 | 35
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 6
16 p | 72 | 24
-
Ebook Kỹ thuật điều khiển tự động
199 p | 63 | 18
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 4
10 p | 62 | 16

markdown:
# Kỹ thuật điều khiển tự động
Chia sẻ: Long Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18
lượt xem 225
download
![](http://image1.tailieu.vn/document/thumbnail/2010/20100315/loglih/80x100/177901_147.jpg)
##
Kỹ thuật điều khiển tự động
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static1.tailieu.vn/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Trải qua lịch sử con người vẫn đang cố gắng điều khiển thế giới mà họ đang sống. Từ những ngày đầu tiên con người đã nhận thấy rằng sức lực yếu đuối của mình không đủ cạnh tranh với những sinh vật xung quang mình.
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Kỹ thuật điều khiển tự động
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM LỜI GIỚI THIỆU Nội dung chính của cuốn sách gồm những chương như sau: Chương 1. Giới thiệu công nghệ điều khiển: Khái quát lịch sử phát triển hệ thống tự động và lý thuyết điều khiển tự động. Chương 2. Mô hình hóa hệ thống: Phát triển mô hình toán học cho các hệ thống điều khiển và các phần tử của hệ thống tự động nhằm mục đích phân tích, tìm hiểu đặc tính động và thiết kế hệ thống điều khiển tự động. Mô hình hóa hệ thống cơ bản dựa trên các định luật vật lý. Chương 3. Phân tích trong miền thời gian: Giới thiệu các phương pháp kinh điển phân tích đặc tính động của hệ thống điều khiển như biến đổi Laplace, hàm truyền và phân tích các đáp ứng hệ thống khi áp dụng một tín hiệu đầu vào. Chương 4. Hệ thống điều khiển vòng kín: Khái quát những phương pháp biểu diễn hệ điều khiển vòng kín và giới thiệu hệ thống điều khiển PID (tỷ lệ tích phân vi phân). Chương 5. Thiết kế điều khiển kinh điển trong mặt phẳng S: Giới thiệu các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển kinh điển trong miền S như tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz, phương pháp quỹ tích nghiệm. Chương 6. Thiết kế điều khiển kinh điển trong miền tần số: Giới thiệu các phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển kinh điển trong miền tần số sử dụng các biểu đồ như Biểu đồ Bode, Biểu đồ Nyquist và Biểu đồ Nichols. Chương 7. Thiết kế hệ thống điều khiển số: Giới thiệu hệ thống điều khiển xung số sử dụng bộ vi xử lý và trình bày các khái niệm và nguyên lý phân tích thiết kế hệ thống điều khiển xung số như biến đổi z, hàm truyền xung số và tính ổn định trong miền z. Chương 8. Phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển không gian trạng thái: Giới thiệu phương pháp thiết kế hệ thống điều khiển sử dụng mô 1/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM hình không gian trạng thái. Chương này cũng giới thiệu một số phương pháp thiết kế bộ quan sát trạng thái. Phụ lục 1. Thiết kế hệ thống điều khiển dùng MATLAB: Cung cấp các chương trình mẫu bằng MATLAB® và Simulink® để minh họa các thuật toán điều khiển đã trình bày trong các chương trước. Phụ lục 2. Khái niệm cơ bản về ma trận: Tóm tắt một số khái niệm cơ bản ma trận làm cơ sở toán học cho lập trình với MATLAB. Với nội dung trên, cuốn sách phù hợp cho các khóa học cơ sở về điều khiển tự động ở các đại học. Với nội dung không quá nặng về lý thuyết có kết hợp với thực hành cuốn sách cũng còn có thể dùng được cho cả sinh viên các khóa học về thiết bị điều khiển tự động ở các trường cao đẳng kỹ thuật. Những nội dung trong cuốn sách đã được tác giả lựa chọn công phu bằng kinh nghiệm giảng dạy lâu năm về lĩnh vực điều khiển tự động tại Đại học Plymouth, Anh Quốc. 2/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Ch¬ng i. giíi thiÖu c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn tù ®éng 1.1. Khái quát lịch sử Trải qua lịch sử con người vẫn đang cố gắng điều khiển thế giới mà họ đang sống. Từ những ngày đầu tiên con người đã nhận thấy rằng sức lực yếu đuối của mình không đủ cạnh tranh với những sinh vật xung quanh mình. Con người chỉ có thể tồn tại bằng cách sử dụng trí khôn và sự khéo léo của mình. Tài sản chính của con người so với tất cả các loài khác trên trái đất là trí thông minh tuyệt đỉnh của mình. Con người Thời kỳ Đồ đá (Stone Age) đã phát minh ra dụng cụ và vũ khí từ viên đá lửa, đá và xương và đã phát hiện ra rằng có thể huấn luyện động vật tuân mệnh lệnh của mình, và đã nhận biết được một dạng sơ khởi đầu tiên của hệ thống điều khiển. Trước đó một thời gian dài, con người đã biết khai thác sức ngựa và sức bò để thực hiện nhiều công việc khác nhau, bao gồm cả vận tải. Phải trải qua một thời gian rất dài con mới người học được cách thay thế động vật bằng máy móc. Hình 1.1 Bộ điều tốc ly tâm của James Watt 3/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Bước quan trọng nhất trong thiết kế máy móc, mà lần lượt sứ giả đưa tin cho cách mạng công nghiệp, là sự phát triển của máy hơi nước. Một vấn đề thách thức kỹ sư tại thời đó là làm sao có thể điều khiển được vận tốc quay của máy mà không cần có sự can thiệp của con người. Trong số nhiều phương pháp được thử, phương thành công nhất là sử dụng con lắc hình nón, có góc nghiêng là một hàm số (nhưng không phải là một hàm tuyến tính) của tốc độ góc quay của trục. Nguyên lý này được James Watt khai thác vào năm 1769 trong việc thiết kế quả bóng bay (flyball) của ông, hay còn gọi là máy điều tốc ly tâm. Vì vậy có lẽ hệ thống đầu tiên để điều khiển tự động máy móc đã được khai sinh. Nguyên lý làm việc của máy điều tốc Watt được biểu diễn trong Hình 1.1, trong đó thay đổi vận tốc trục quay sẽ làm cho góc hình nón khác nhau của những quả bóng bay. Góc hình nón thay đổi tiếp theo sẽ tạo nên chuyển động tuyến tính của ống ngoài kết quả là điều chỉnh được lưu lượng hơi vào máy bằng một chiếc van. Watt là một kỹ sư thực hành và không có nhiều thời gian để phân tích lý thuyết. Tuy nhiên ông đã quan sát thấy rằng trong những điều kiện nhất định nào đó thì máy xem ra như săn đuổi theo vận tốc đầu ra dao động xung quanh một giá trị mong muốn. Sự loại trừ việc săn đuổi hoặc tên phổ biến hơn không ổn định là một đặc điểm quan trọng trong thiết kế tất cả các hệ thống điều khiển. - Trong công trình của mình “Về các bộ điều tốc” Maxwell (1868) đã phát triển phương trình vi phân cho bộ điều tốc, tuyến tính hóa điểm cân bằng và chứng minh rằng tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng có các phần thực âm. - Bài toán nhận dạng tiêu chuẩn ổn định cho hệ thống tuyến tính được nghiên cứu bởi Hurwitz (1875) và Routh (1905). Bài toán này được mở rộng để xét tính ổn định của hệ phi tuyến tính bởi nhà toán học Nga Lyapunov 4/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM (1893). Phần cốt lõi toán học để phân tích lý thuyết đuợc Laplace (1749-1827) và Fourier (1758-1830) phát triển. - Một hướng tiếp cận quan trọng khác để thiết kế hệ thống điều khiển được Evans (1948) phát triển. Dựa trên tác phẩm của Maxwell và Routh, Evans bằng phương pháp quỹ tích nghiệm đã thiết kế những quy tắc và kỹ thuật cho phép nghiệm của phương trình đặc trưng được biểu thị bằng đồ thị. - Sự ra đời của máy tính trong thập niên 1950s đã làm gia tăng việc biểu diễn phương trình vi phân bằng không gian trạng thái, nghĩa là sử dụng ký hiệu ma trận véc tơ, chính nó góp phần sẵn sàng vào việc tính toán (machine computation). - Thập niên 1980s đã trải qua những tiến bộ lớn về lý thuyết điều khiển để thiết kế hệ thống bền vững với tính không chắc chắn trong đặc tính động. Công trình của Athans (1971), Safanov (1980), Chiang (1988), Grimble (1988) và những người khác đã trình diễn cách có thể mô hình hóa tính không chắc chắn và đưa ra khái niệm và lý thuyết tổng hợp. Thập niên 1990s đã mở ra cho cộng đồng điều khiển khái niệm những hệ thống điều khiển thông minh. Mạng trí năng nhân tạo chứa đựng nhiều phần tử tính toán đơn giản hoạt động song song với nhau nhằm cố gắng cạnh tranh với những đối tác sinh học. Lý thuyết dựa trên công trình thực hiện bởi Hebb (1949), Rosenbatt (1961), Kohanen (1987), Widrow-Hoff (1960) và những người khác. Khái niệm lô gíc mờ được Zadeh (1965) giới thiệu. Lô gíc mờ này đã được phát triển cho phép máy tính mô hình hóa tính lơ đãng của con người (human vagueness). Những bộ điều khiển lô gíc mờ, trong khi thiếu vắng phương pháp thiết kế mãnh liệt chính thức những kỹ thuật khác, đã cho đưa ra điều khiển bền vững mà không cần thiết phải mô hình hóa hành vi động của hệ thống. Những tác giả trong lĩnh vực này có thể kể đến (bao gồm): Mamdani (1976), Sugeno (1985), Sutton (1991) và Tong (1978). 1.2 Cơ sở hệ thống điều khiển 1.2.1 Khái niệm hệ thống 5/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Trước khi thảo luận cấu trúc một hệ điều khiển cần phải định nghĩa một hệ thống (a system) có nghĩa là gì? Hệ thống có nghĩa những vật khác nhau đối với người khác nhau, có thể bao gồm những hệ thống thuần vật lý như bàn máy của công cụ máy điều khiển máy tính số (CNC) hoặc nói một cách khác những thủ tục cần thiết để mua những vật liệu thô cùng với điều khiển hàng tồn kho (kiểm kê, inventory) trong một hệ thống kế hoạch hóa yêu cầu vật liệu (Material Requirements Planning System). Tổng quát, một hệ thống có thể được định nghĩa là một bộ sưu tập của vật chất, các bộ phận, các phần tử hoặc các thủ tục được bao gồm trong một giới hạn được định rõ nào đó như trong Hình 1.2. Một hệ thống có thể có nhiều đầu vào Hình 1.2 Khái niệm hệ thống và nhiều đầu ra. Trong công nghệ học điều khiển, cách mà đầu ra hệ thống đáp ứng đối với sự thay đổi đầu vào hệ thống (nghĩa là đáp ứng hệ thống) rất quan trọng. Trong trường hợp tàu thủy được cho trong Hình 1.3. Bánh lái và máy là đầu vào điều khiển mà giá trị của chúng có thể được điều chỉnh để điều khiển đầu ra nào đó, ví dụ hướng tàu và vận tốc chạy tới. Gió, sóng và dòng chảy là những đầu vào nhiễu loạn và chúng làm phát sinh sai số trong các đầu ra (được gọi là biến số được điều khiển) vị trí, hướng, tốc độ chạy tới. ngoài 6/16 Hình 1.3 Tàu thủy là một hệ động
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM ra, nhiễu loạn sẽ gây ra chuyển động của tàu gia tăng (lắc ngang, lắc dọc và trượt dọc) là những chuyển động không mong muốn. Một Hình 1.4 Đầu vào và đầu ra hệ thống cách tổng quát, mối quan hệ giữa đầu vào điều khiển, đầu vào nhiễu loạn, nhà máy và biến được điều khiển được cho trong Hình 1.4. 1.2.2 Hệ thống vòng mở (hệ mở) Hình 1.4 biểu diễn một hệ thống vòng mở (gọi ngắn gọn là hệ mở) và được dùng cho những ứng dụng rất đơn giản. Vấn đề chủ yếu của hệ mở là biến được điều khiển nhạy cảm với những thay đổi đầu vào nhiễu loạn. Vì vậy, ví dụ, nếu một lò sưởi ga được bật lên ở trong phòng, và nhiệt độ tăng lên tới 20oC, nhiệt độ sẽ duy trì tại giá trị đó trừ khi có nhiễu loạn. Nhiễu loạn có thể được gây ra bởi để cửa phòng mở chẳng hạn. Hoặc nói cách khác bằng thay đổi môi trường bên ngoài. Trong cả hai trường hợp nhiệt độ phòng sẽ thay đổi. Để duy trì nhiệt độ phòng không đổi cần một cơ cấu thay đổi đầu ra năng lượng từ lò sưởi ga. 1.2.3 Hệ thống vòng kín (hệ kín) 7/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Đối với hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng, yêu cầu đầu tiên là nhận ra hoặc cảm biến thay đổi nhiệt độ phòng. Yêu cầu thứ hai là điều khiển hoặc thay đổi đầu ra năng lượng của lò sưởi ga, nếu nhiệt độ phòng được cảm biến khác với nhiệt độ phòng mong muốn. Nói chung, một hệ thống được thiết kế để điều khiển đầu ra của một thiết bị (nhà máy) phải chứa đựng ít nhất một bộ cảm biến và một bộ điều khiển như được biểu diễn trong Hình 1.5. Hình 1.5 Hệ kín Hình 1.5 trình bày một sơ đồ khối tổng quát cho một hệ thống điều khiển vòng kín, hoặc cũng gọi là hệ điều khiển phản hồi. Bộ điều khiển và thiết bị nằm dọc theo đường truyền thẳng (forward path), còn bộ cảm biến thì nằm trong đường phản hồi (feedback path). Giá trị đầu ra thiết bị đo được so sánh với giá trị mong muốn tại điểm tính tổng (summing point, cũng có thể gọi là phần tử so sánh, comparison element). Sự khác nhau, hoặc sai số (error) được cấp cho bộ điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển để điều chỉnh thiết bị cho 8/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM đến khi đầu ra thiết bị bằng với giá trị mong muốn. Sự bố trí như vậy đôi khi được gọi là một hệ thống chấp hành sai số (an error-actuated system). 1.3 Ví dụ hệ thống điều khiển 1.3.1 Hệ thống điều khiển nhiệt độ trong phòng Biểu diễn vật lý hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng được cho trong Hình 1.6. Ở đây tín hiệu ra từ thiết bị cảm biến nhiệt độ là cặp nhiệt độ hay nhiệt kế điện trở được so sánh với nhiệt độ mong muốn. Bất kỳ sự khác nhau hoặc sai số nào làm cho bộ điều khiển gửi một tín hiệu điều khiển cho van solenoid khí tạo ra chuyển động tuyến tính của sống van, vì thế điều khiển lưu lượng khí tới bộ đốt của lò sưởi ga. Nhiệt độ mong muốn thường thu được từ điều chỉnh bằng tay biến trở (potentiometer). Hình 1.6 Hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng Sơ đồ khối chi tiết được cho trong Hình 1.7. Những giá trị vật lý của các tín hiệu xung quanh vòng điều khiển được cho trong ngoặc. 9/16 Hình 1.7 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Điều kiện tĩnh sẽ tồn tại khi nhiệt độ thực và nhiệt độ mong muốn giống nhau, và đầu vào nhiệt lượng cân bằng chính xác với tổn thất nhiệt qua các bức tường của tòa nhà. Hệ thống làm việc theo hai chế độ: (a) Điều khiển tỷ lệ (Proportional control): Ở đây chuyển động tuyến tính của sống van tỷ lệ với sai số. Chuyển động này cung cấp một điều chế liên tục đầu vào nhiệt cho phòng tạo ra điều khiển nhiệt độ rất chính xác. Chuyển động này được áp dụng khi điều khiển nhiệt độ, ý nói là hơn 1 oC, được yêu cầu (nghĩa là phòng mổ bệnh viện, các phòng chuẩn công nghiệp…), mà ở đó sự chuẩn xác quan trọng hơn rất nhiều so với giá cả. (b) Điều khiển mở tắt (On-off control): Cũng được gọi là điều khiển tĩnh nhiệt hay điều khiển bang-bang (bang-bang control), van ga hoặc được mở hết cỡ hoặc đóng hết cỡ, nghĩa là lò sưởi chạy (on) hoặc tắt (off). Dạng điều khiển này tạo ra một dao động khoảng 2 hoặc 3oC xung quanh nhiệt độ mong muốn, nhưng dễ thực hiện và được sử dụng cho những ứng dụng rẻ tiền (ví dụ hệ thống sưởi trong nhà). 1.3.2 Điều khiển máy nâng máy bay Trong thuở bay ban đầu (in early days of flight), mặt điều khiển của máy bay được thao tác bằng dây cáp nối liền giữa cột điều khiển, máy nâng và cánh nhỏ của máy bay. Máy bay cao tốc hiện đại yêu cầu những thiết bị trợ giúp công suất hoặc cơ quan phụ để cung cấp những lực lớn cần thiết thao tác các mặt điều khiển. Hình 1.8 biểu diễn một hệ thống điều khiển máy nâng cho máy bay phản lực cao tốc. 10/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Chuyển động của cột điều khiển tạo ra tín hiện từ bộ cảm ứng góc đầu vào được so sánh với góc máy nâng đo được bằng bộ điều khiển tạo ra tín hiệu điều khiển tỷ lệ với sai số. Chuyển được này được cung cấp cho van phụ điện thủy lực tạo ra chuyển động của van ống (spool valve) tỷ lệ với tín hiệu điều khiển, vì vậy cho phép chất lỏng cao áp vào trong xi lanh thủy lực. Sự chênh lệch áp suất qua pít tông cung cấp lực chấp hành (actuating force) để hoạt Hình 1.8 Hệ thống điều khiển máy nâng cho máy bay phản lực cao tốc động máy nâng. 11/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Cơ quan phụ thủy lực có tỷ số năng lượng - trọng lượng tốt, và lý tưởng cho những ứng dụng yêu cầu tạo ra lực lớn bằng những thiết bị nhỏ nhẹ. Trong thực tế, một bộ ‘mô phỏng cảm giác’ (a feel simulator) được gắn với cột điều khiển cho phép phi công cảm nhận được độ lớn của lực khí động học tác dụng lên các mặt điều khiển, do đó tránh được tải thừa của cánh và đuôi máy bay. Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển máy nâng được cho trong Hình 1.9. Hình 1.9 Sơ đồ khối của hệ thống điều khiển máy nâng 1.3.3 Máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) Nhiều hệ thống hoạt động theo điều khiển máy tính. Hình 1.10 cho một ví dụ hệ thống máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC). Thông tin liên quan tới hình dáng của chi tiết (work-piece) và bởi vậy chuyển động của bàn máy được lưu trong chương trình máy tính. Thông tin được làm trễ theo định dạng số (digital format), theo một dạng chuỗi tới bộ điều khiển và được so sánh với tín hiệu phản hồi xung số từ bộ mã hóa trục quay (shaft encoder) để tạo ra tín hiệu sai số xung số. Tín hiệu này được chuyển đổi sang tín hiệu điều khiển liên tục, sau khi được khuếch đại sẽ điều chế động cơ servo một chiều. Nối liền với trục quay đầu ra của động cơ servo (trong một số trường hợp qua hộp số) là vít dẫn hướng (lead-screw) được gắn liền với bàn máy, bộ mã hóa trục quay và bộ đo tốc độ quay của trục (tachogentorator). Mục đích của thiết bị sau tạo ra tín hiện liên tục 12/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM (analogue signal) tỷ lệ với vận tốc là để định dạng cho vòng điều khiển bên trong, hoặc điều khiển thứ cấp nhằm giảm hoặc ổn định đáp ứng của hệ thống. Sơ đồ khối của hệ thống máy công cụ CNC được cho trong Hình 1.11. Hình 1.10 Máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) Hình 1.11 Sơ đồ khối của máy công cụ điều khiển theo chương trình số (CNC) 1.3.4 Hệ thống điều khiển tự động tàu thủy Một máy lái tự động tàu thủy được thiết kế để duy trì tàu trên một hướng đã đặt khi tàu chịu ảnh hưởng của một loạt nhiễu loạn như gió, sóng, và dòng chảy như được cho trong Hình 1.3. Phương pháp điều khiển này được gọi là giữ hướng (course-keeping). Máy lái tự động cũng có thể được dùng để thay 13/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM đổi hướng tới một hướng mới, được gọi là chuyển hướng (course-changing). Những thành phần chính của hệ máy lái tự động được cho trong Hình 1.12. Hình 1.12 Hệ thống máy lái tự động tàu thủy Chú thích: Desired heading: hướng mong muốn Actual rudder angle: Góc bánh lái thực Hướng thực được đo bởi một la bàn con quay (hoặc la bàn từ trên những tàu nhỏ), và được so sánh với hướng mong muốn, được quay vào máy lái tự động bởi thuyền trưởng (sỹ quan). Máy lái tự động, hoặc bộ điều khiển, tính góc lái mệnh lệnh và gửi tín hiệu điều khiển tới máy lái. Góc bánh lái thực tế được kiểm tra bằng bộ cảm biến góc bánh lái và so sánh với góc bánh lái mệnh lệnh, để hình thành nên mộty vòng điều khiển không khác với hệ thống điều khiển máy nâng trong Hình 1.8. Bánh lái cung cấp mô men điều khiển tác dụng lên thân tầu điều chế (drive) hướng thực tế hướng tới giá trị mong muốn còn gió, sóng, và dòng chảy tạo ra mô men có thể giúp hoặc hạn chế hành động này. Sơ đồ khối của hệ thống được cho trong Hình 1.13. 14/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Hình 1.13 Sơ đồ khối của hệ thống máy lái tự động tàu thủy 1.4 Tóm tắt Để thiết kế và thực hiện hệ thống điều khiển, yêu cầu cần có những yếu tố chung cơ bản như sau: * Hiểu biết về giá trị mong muốn: Cần thiết biết chúng ta điều khiển cái gì, với độ chuẩn xác như thế nào, và trong khoảng giá trị nào. Điều này cần phải được trình bày bằng thông số đặc tính. Trong hệ thống vật lý thông tin phải được chuyển đổi sang dạng phù hợp cho bộ điều khiển hiểu được (tín hiệu liên tục hoặc gián đoạn). * Hiểu biết về đầu ra và van thừa hành: Hiểu biết này cần phải được đo bằng một bộ cảm biến phản hồi cũng lại cần phải có dạng phù hợp cho bộ điều khiển hiểu được. Ngoài ra, bộ cảm biến phải có độ phân giải cần thiết và đáp ứng động sao cho giá trị đo được có độ chuẩn xác yêu cầu cho thông số đặc tính. * Hiểu biết về thiết bị điều khiển: Bộ điều khiển phải có khả năng chấp nhận các giá trị đo mong muốn (giá trị đặt), và giá trị đo thực đồng thời phải tính toán để đưa ra một tín hiệu điều khiển thích hợp cho cơ cấu thừa hành. Các bộ điều khiển có thể bao gồm các cơ cấu điều khiển cơ khí, bộ phận thuỷ khí, các mạch số hay tương tự, hoặc các vi điều khiển. * Hiểu biết về thiết bị chấp hành: Bộ chấp hành này khuếch đại tín hiệu điều khiển và cung cấp một ‘nỗ lự’ (effort) để di chuyển đầu ra của máy móc hướng tới giá trị mong muốn. Trong trường hợp hệ thống điều khiển nhiệt độ phòng, thiết bị chấp hành là van solenoid và bộ đốt, sự “nỗ lực” là nhiệt 15/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM vào phòng (W). Đối với hệ thống lái tàu tự động, bộ chấp hành là máy lái và bánh lái, ‘nỗ lực’ là mô men quay (Nm). * Hiểu biết về máy móc: Hầu hết các chiến lược điều khiển đòi hỏi một số hiểu biết về đặc tính tĩnh và động của máy móc. Có thể có hiểu biết về những đặc tính này từ việc đo lường hoặc từ ứng dụng các định luật vật lý cơ bản hoặc kết hợp cả hai. Thiết kế hệ thống điều khiển Với tất cả hiểu biết và thông tin có sẵn cho người thiết kế hệ thống điều khiển những việc còn lại là thiết kế hệ thống. Vấn đề đầu tiên gặp phải là hiểu biết về hệ thống sẽ không chắc chắn và không hoàn toàn. Nói cụ thể, những đặc tính động của hệ thống có thể biến đổi theo thời gian (time- invariant) và vì vậy một chiến lược điều khiển không đổi sẽ không thực hiện được. Ví dụ do phải dùng nhiên liệu, cuối một chuyến bay đường dài khối lượng của một máy bay có thể hầu như giảm một nửa so với giá trị lúc cất cánh. Đo lường những giá trị được điều khiển sẽ bị nhiễm tạp nhiễu điện và ảnh hưởng nhiễu loạn. Một số bộ cảm biến sẽ cung cấp dữ liệu chuẩn xác và tin cậy, một số khác vì khó khăn trong đo lường biến đầu ra, có thể tạo ra thông tin ngẫu nhiên cao độ và hầu như không thích hợp. Tuy nhiên có một phương pháp tiêu chuẩn có thể áp dụng được cho việc thiết kế hầu hết các hệ thống điều khiển. Những bước trong phương pháp này được cho trong Hình 1.14. 16/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Hình 1.14 Các bước (lưu đồ) thiết kế một hệ thống điều khiển 17/16
- Kü thuËt ®iÒu khiÓn tù ®éng © THM Thiết kế một hệ thống điều khiển là một hỗn hợp pha trộn của kỹ thuật và kinh nghiệm. Cuốn sách này giải thích một số thử nghiệm và kiểm tra, và một số hướng tiếp cận, kỹ thuật và phương pháp gần đây hơn có sẵn cho kỹ sư thiết kế hệ thống điều khiển. Tuy nhiên kinh nghiệm chỉ đến theo thời gian. ===***=== 18/16
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ebook Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động - Nguyễn Phùng Quang
485 p |
436 |
275
-
Bài giảng: Kỹ thuật điều khiển tự động
102 p |
462 |
237
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 1
19 p |
414 |
219
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 2
19 p |
409 |
200
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 3
19 p |
338 |
185
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 4
19 p |
234 |
146
-
Giáo trình kỹ thuật điều khiển 1
11 p |
425 |
137
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 5
19 p |
155 |
97
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 16
18 p |
176 |
87
-
Bài giảng học phần Kỹ thuật điều khiển tự động - ThS. Phan Văn Cường
33 p |
190 |
77
-
Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14
18 p |
139 |
64
-
Thuyết trình Kỹ thuật điều khiển tự động
74 p |
103 |
46
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 1
24 p |
106 |
42
-
Bài giảng Kỹ thuật điều khiển tự động (Bài giảng phát cho sinh viên)
107 p |
85 |
35
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 6
16 p |
72 |
24
-
Ebook Kỹ thuật điều khiển tự động
199 p |
63 |
18
-
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 4
10 p |
62 |
16

Set-Cookie: TLDEVNamespace=n2gp4avt1fjot11h6j3vs7rke6; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
Chia sẻ: Nguyen Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:167
lượt xem 100
download
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm cơ hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ năng giải toán, chúng tôi thực hiện cuốn sách này. Thông qua việc giải và bình luận đề thi học sinh giỏi các tỉnh và các trường đại học, chúng tôi sẽ đưa ra những bài tập tương tự, nói thêm về phương pháp sử dụng trong bài giải nhằm giúp các bạn nhìn rộng hơn về vấn đề, có thể áp dụng những bài toán khác....
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
- TR N NAM DŨNG (ch biên) L I GI I VÀ BÌNH LU N Đ THI CÁC T NH, CÁC TRƯ NG Đ I H C NĂM H C 2009-2010 MATHSCOPE.ORG
- dddd
- L i nói đ u Kỳ thi VMO năm nay s đư c t ch c vào tháng 3/2010. Hi n nay các trư ng và các t nh đang hoàn t t vi c thi HSG c p t nh và thành l p đ i tuy n. Sau kỳ thi h c kì I, vi c luy n thi cho kỳ thi VMO 2010 s đư c kh i đ ng t i t t c các đ a phương. Nh m giúp các b n h c sinh có thêm cơ h i trao đ i, h c h i, rèn luy n k năng gi i toán, chúng tôi th c hi n cu n sách này. Thông qua vi c gi i và bình lu n các đ thi h c sinh gi i các t nh và các trư ng Đ i h c, chúng tôi s đưa ra nh ng bài t p tương t , nói thêm v phương pháp s d ng trong bài gi i nh m giúp các b n nhìn r ng hơn v v n đ , đ có th áp d ng cho nh ng bài toán khác. Cu n sách đư c s tham gia v chuyên môn c a các th y cô giáo chuyên toán, các c u IMO, VMO. Ý ki n đóng góp, bình lu n có th g i tr c ti p qua ch đ mà chúng tôi m trên Mathscope.org ho c theo đ a ch trannamdung@ovi.com v i tiêu đ [4VMO2010]. Các thành viên có đóng góp s đư c tôn vinh và nh n nh ng quà t ng ý nghĩa. Cu n sách đư c th c hi n v i s giúp đ c a Nokia Vietnam (http://www.nokia. com.vn). TP HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2009 Tr n Nam Dũng iii
- iv Tr n Nam Dũng (ch biên)
- L i c m ơn Xin c m ơn s nhi t tình tham gia đóng góp c a các b n: 1. Võ Qu c Bá C n 2. Ph m Ti n Đ t 3. Ph m Hy Hi u 4. T Minh Ho ng 5. Nguy n Xuân Huy 6. Mai Ti n Kh i 7. Hoàng Qu c Khánh 8. Nguy n Vương Linh 9. Nguy n Lâm Minh 10. Nguy n Văn Năm 11. Đinh Ng c Th ch 12. Lê Nam Trư ng 13. Võ Thành Văn Cùng r t nhi u b n yêu toán khác. v
- vi Tr n Nam Dũng (ch biên)
- M cl c L i nói đ u iii L i c m ơn v I Đ toán và l i gi i 1 1 S h c 3 1.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phương trình, h phương trình 15 2.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 B t đ ng th c và c c tr 27 3.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Phương trình hàm và đa th c 43 4.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Hình h c 57 5.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 T h p 71 6.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 vii
- viii Tr n Nam Dũng (ch biên) 7 Dãy s 89 7.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II M t s bài gi ng toán 99 8 Gi i phương trình hàm b ng cách l p phương trình 101 9 Dãy truy h i lo i un+1 = f (un ) 107 10 Các đ nh lý t n t i trong gi i tích và đ nh lý cơ b n c a đ i s 113 11 Phép ch ng minh ph n ch ng 123 12 Nguyên lý Dirichlet 127 13 Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Inequality 137 A Đ luy n đ i tuy n cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hư ng d n n i dung b i dư ng h c sinh thi ch n h c sinh gi i Toán Qu c gia l p 12 THPT 151
- Ph n I Đ toán và l i gi i 1
- Chương 1 S h c “Toán h c là b o v t quý giá hơn b t c th gì khác mà chúng ta đư c th a hư ng t kho tàng tri th c c a nhân lo i.” Rene Descartes 1.1 Đ bài n 1.1. Gi s m, n là hai s nguyên dương tho mãn là s l v i d = (m, n). Xác d đ nh (am + 1, an − 1) v i a là s nguyên dương l n hơn 1. 1.2. Dãy s {an } đư c xác đ nh như sau: a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6 và an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an v i m i n ≥ 0. (a) Ch ng minh r ng an chia h t cho n v i m i n ≥ 1. an ∞ (b) Ch ng minh r ng dãy s ch a vô s s h ng chia h t cho 2009. n n=1 1.3. Cho m, n là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau, m là s ch n. Tìm ư c s chung l n nh t c a m2 + n2 và m3 + n3 . 1.4. Cho các s nguyên dương a, b, c, d th a mãn ac + bd chia h t cho a2 + b2 . Ch ng minh r ng (c2 + d 2 , a2 + b2 ) > 1. 1.5. Tìm t t c các s nguyên dương k sao cho phương trình x2 + y2 + x + y = kxy có nghi m nguyên dương. 3
- 4 Tr n Nam Dũng (ch biên) 1.6. Tìm t t c các s nguyên dương x, y tho mãn x2 + 15y2 + 8xy − 8x − 36y − 28 = 0. 1.7. Ch ng minh r ng |12m − 5n | ≥ 7 v i m i m, n nguyên dương. 1.8. Cho n là s nguyên dương sao cho 3n − 1 chia h t cho 22009 . Ch ng minh r ng n ≥ 22007 . 100 +100 1.9. (1) Cho a = 52 . Ch ng minh s a có ít nh t 25 ch s 0 đ ng li n nhau. (2) Ch ng minh t n t i vô s s t nhiên n mà 5n có ít nh t 100 ch s 0 đ ng li n nhau. 1.10. Cho f : N∗ → N∗ tho mãn các đi u ki n (i) f (xy) = f (x) f (y) v i m i x, y tho mãn (x, y) = 1; (ii) f (x + y) = f (x) + f (y) v i m i b s nguyên t x, y. Hãy tính f (2), f (3), f (2009). 1.11. Tìm t t c các b s t nhiên a, b, c, d đôi m t phân bi t th a mãn a2 − b2 = b2 − c2 = c2 − d 2 . 1.12. Cho hai s nguyên dương p, q l n hơn 1, nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên k sao cho (pq − 1)n k + 1 là h p s v i m i s nguyên dương n.
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 5 1.2 L i gi i n Bài 1.1. Gi s m, n là hai s nguyên dương tho mãn là s l v i d = (m, n). d Xác đ nh (am + 1, an − 1) v i a là s nguyên dương l n hơn 1. (Đ i h c Vinh) m n n 2m n L i gi i. Do d = (m, n) nên , = 1. Vì là s l nên ta có , = 1, d d d d d suy ra (2m, n) = d. Theo đ nh lý Bezout, t n t i u, v nguyên sao cho 2mu + nv = d. Đ t D = (am + 1, an − 1). Khi đó am ≡ −1 (mod D), suy ra a2m ≡ 1 (mod D). Ngoài ra ta đã có an ≡ 1 (mod D). T nh ng đi u trên, ta suy ra ad = a2mu+nv ≡ 1 (mod D). Do m = dm nên t đây ta suy ra am ≡ 1 (mod D). K t h p v i am ≡ −1 (mod D) ta suy ra 2 ≡ 0 (mod D). T đây suy ra D = 1 ho c D = 2. D th y v i a l thì D = 2 còn v i a ch n thì D = 1. Đó chính là k t lu n c a bài toán. Bình lu n. Đây là m t bài toán khá căn b n v b c c a m t s theo modulo. Trong các bài toán như v y, đ nh lý Bezout luôn là m t k t qu h u ích. Bài 1.2. Dãy s {an } đư c xác đ nh như sau: a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6 và an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an v i m i n ≥ 0. (a) Ch ng minh r ng an chia h t cho n v i m i n ≥ 1. an ∞ (b) Ch ng minh r ng dãy s ch a vô s s h ng chia h t cho 2009. n n=1 (Đ i h c Khoa h c t nhiên) L i gi i. Phương trình đ c trưng c a dãy {an } có d ng x4 − 2x3 − x2 + 2x + 1 = 0, tương đương (x2 − x − 1)2 = 0. T đó s h ng t ng quát c a an có d ng an = c1 α n + c2 β n + n(c3 α n + c4 β n ),
- 6 Tr n Nam Dũng (ch biên) trong đó α > β là các nghi m c a phương trình x2 − x − 1 = 0. T đây, t các đi u 1 1 ki n ban đ u, ta tìm đư c c1 = c2 = 0, c3 = √ , c4 = − √ . Suy ra 5 5 1 1 an = n √ α n − √ β n . 5 5 an T đây ta đư c = Fn , v i F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 v i m i n = 1, 2, . . . n t c là dãy s Fibonacci. K t lu n câu (a) đ n đây là hi n nhiên. Đ gi i ph n (b), ta có th đi theo các hư ng sau. Cách 1. Dùng quy n p ch ng minh r ng Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn−1. Sau đó ti p t c dùng quy n p ch ng minh r ng Fkn chia h t cho Fn . T đây, đ ch ng minh k t lu n c a bài toán, ta ch c n ch ra m t giá tr nguyên dương n sao cho Fn chia h t cho 2009 là xong. Có th tính toán đư c r ng F56 chia h t cho 49, còn F20 chia h t cho 41, t đó F280 chia h t cho 2009. Cách 2. Ta ch ng minh m nh đ t ng quát: V i m i s nguyên dương N, t n t i vô s s h ng c a dãy s Fibonacci chia h t cho N. Đ th c hi n đi u này, ta b sung thêm s h ng F0 = 0 cho dãy Fibonacci. Chú ý là ta v n có h th c Fn+1 = Fn + Fn−1 v i m i n = 0, 1, 2, . . . G i ri là s dư trong phép chia Fi cho N. Xét N 2 + 1 c p s dư (r0 , r1 ), (r1 , r2 ), . . . , (rN , rN+1 ). Do 0 ≤ ri ≤ N − 1 nên ch có N 2 c p giá tr (ri , ri+1 ) khác nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, t n t i c p ch s i < j sao cho (ri , ri+1 ) ≡ (r j , r j+1 ). T đây, do rk−1 chính là s dư trong phép chia rk+1 − rk cho N nên ta suy ra ri−1 = r j−1 , ri−2 = r j−2 , . . . , r0 = r j−i . Suy ra dãy s dư tu n hoàn v i chu kỳ j − i. Vì r0 = 0 nên rk( j−i) = 0 v i m i k = 1, 2, . . . và ta có rk( j−i) chia h t cho N v i m i k = 1, 2, . . . (đpcm). Bình lu n. Ý tư ng dùng nguyên lý Dirichlet đ ch ng minh tính tu n hoàn c a dãy s dư không m i. Đ thi vô đ ch Liên Xô trư c đây có câu: Ch ng minh r ng trong dãy s Fibonacci t n t i ít nh t m t s t n cùng b ng b n ch s 0. Đ thi ch n đ i tuy n Vi t Nam năm 2004 cũng có ý tư ng tương t : Cho dãy s (xn ) (n = 1, 2, 3, . . .) đư c xác đ nh b i: x1 = 603, x2 = 102 và xn+2 = xn+1 + xn + 2 xn+1 xn − 2 v i m i n ≥ 1. Ch ng minh r ng (1) T t c các s h ng c a dãy s đã cho đ u là các s nguyên dương. (2) T n t i vô h n s nguyên dương n sao cho bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2003.
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 7 (3) Không t n t i s nguyên dương n mà bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2004. Bài 1.3. Cho m, n là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau, m là s ch n. Tìm ư c s chung l n nh t c a m2 + n2 và m3 + n3 . (Đ ng Nai) L i gi i. Do (m, n) nguyên t cùng nhau và m ch n nên n l . Đ t d = (m2 + n2 , m3 + n3 ). D th y d l . Do m3 + n3 = (m + n)(m2 + n2 − mn) nên t đây suy ra d | mn(m + n). T đây l i suy ra d là ư c c a (m + n)3 . Gi s d > 1. Khi đó g i p là m t ư c s nguyên t c a d thì p | (m + n)3 , suy ra p | m + n. M t khác (m + n)2 − (m2 + n2 ) = 2mn, suy ra p | 2mn. Vì p l nên p | mn. Vì p nguyên t và (m, n) = 1nên t đây suy ra p | m ho c p | n. Nhưng do p | m + n nên t đây l i suy ra p | n và tương ng là p | m. Mâu thu n. V y đi u gi s là sai, t c là d = 1. Bài 1.4. Cho các s nguyên dương a, b, c, d th a mãn ac + bd chia h t cho a2 + b2 . Ch ng minh r ng (c2 + d 2 , a2 + b2 ) > 1. (Đ i h c Sư ph m) L i gi i. Trư c h t xét trư ng h p (a, b) = 1. Gi s p là m t ư c nguyên t c a a2 + b2 . Khi đó p | ac + bd. T đ ng th c (ac + bd)2 + (ad − bc)2 = (a2 + b2 )(c2 + d 2 ), ta suy ra p | ad − bc. T đây, ta l n lư t có p | c(ac + bd) + d(ad − bc) = a(c2 + d 2 ), p | d(ac + bd) − c(ad − bc) = b(c2 + d 2 ). Vì (a, b) = 1 nên theo đ nh lý Bezout t n t i u, v sao cho au + bv = 1. T các đi u trên, ta có p | u · a(c2 + d 2 ) + v · b(c2 + d 2 ) = (au + bv)(c2 + d 2 ) = c2 + d 2 , suy ra p là ư c s chung c a a2 + b2 và c2 + d 2 , t c là (a2 + b2 , c2 + d 2 ) > 1.
- 8 Tr n Nam Dũng (ch biên) . Bây gi gi s (a, b) = D > 1. Đ t a = Dx, b = Dy thì ta có Dxc+Dyd . D2 (x2 +y2 ), . . 2 suy ra xc + yd . x + y2 . Theo k t qu . trên thì (x2 + y2 , c2 + d 2 ) > 1. T đó, m t cách hi n nhiên (D2 (x2 + y2 ), c2 + d 2 ) > 1, t c là (a2 + b2 , c2 + d 2 ) > 1. Bài toán đư c gi i quy t hoàn toàn. Bình lu n. Đ nh lý Bezout m i lúc, m i nơi! Bài 1.5. Tìm t t c các s nguyên dương k sao cho phương trình x2 + y2 + x + y = kxy (1) có nghi m nguyên dương. (Ph thông Năng khi u) L i gi i. Gi s k là m t giá tr sao cho phương trình (1) có nghi m nguyên dương. Khi đó t n t i nghi m (x0 , y0 ) c a (1) v i x0 + y0 nh nh t. Không m t tính t ng quát, có th gi s x0 ≥ y0 . Xét phương trình b c hai x2 − (ky0 − 1)x + y2 + y0 = 0. 0 (2) Theo gi s trên thì x0 là m t nghi m c a (2). Theo đ nh lý Viet thì y2 + y0 0 x1 = ky0 − 1 − x0 = x0 cũng là m t nghi m c a (2). D th y x1 là m t s nguyên dương, vì th (x1 , y0 ) cũng là m t nghi m nguyên dương c a (1). T gi thi t x0 + y0 nh nh t ta suy ra x1 + y0 ≥ x0 + y0 . y2 + y0 0 T c là ≥ x0 , suy ra y2 + y0 ≥ x0 . T đây ta có b t đ ng th c kép 0 2 x0 y2 ≤ x0 ≤ y2 + y0 < (y0 + 1)2 , 0 2 0 2 suy ra x0 = y0 . Thay vào (1) ta đư c 2 + = k, suy ra x0 ch có th b ng 1 ho c 2, x0 tương ng k b ng 4 ho c 3. V i k = 3 ta có (2, 2) là nghi m c a (1), v i k = 4 ta có (1, 1) là nghi m c a (1). V y k = 3 và k = 4 là t t c các giá tr c n tìm. Ta cũng có th đánh giá k khác m t chút, như sau. Cách 1. T đ ng th c x0 + y2 + x0 + y0 = kx0 y0 , chia hai v cho x0 , y0 , ta đư c 2 0 x0 y0 1 1 + + + = k. y0 x0 y0 x0
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 9 x0 k 1 M t khác, cũng theo lý lu n trên thì ky0 − 1 − x0 ≥ x0 nên suy ra ≤ − . y0 2 2y0 T đó ta có k 1 y0 1 1 k 1 y0 1 k 5 k≤ − + + + = + + + ≤ + . 2 2y0 x0 y0 x0 2 2y0 x0 x0 2 2 T đó suy ra k ≤ 5. Hơn n a k ch có th b ng 5 khi x0 = y0 = 1 (trư ng h p này d n đ n mâu thu n). Trư ng h p k = 3 ta có nghi m x = y = 2, k = 4 ta có nghi m x = y = 1. Còn v i k ≤ 2 thì rõ ràng là phương trình vô nghi m. Cách 2. Lý lu n như trên thì y2 + y0 0 x0 ≤ x1 = ≤ y0 + 1. x0 Như v y y0 + 1 n m ngoài hai nghi m c a tam th c f (x) = x2 − (ky0 − 1)x + y2 + y0 , 0 suy ra f (y0 + 1) ≥ 0. T đó 2(y0 + 1) 2 k≤ = 2 + ≤ 4. y0 y0 Bình lu n. K thu t s d ng trong l i gi i trên đư c g i là k thu t phương trình Markov. K thu t này hi n nay đã tr nên khá quen thu c. Dư i đây là m t s bài toán có th gi i đư c b ng k thu t này: x 2 + y2 1. Ch ng minh r ng n u x, y là các s nguyên dương sao cho n = là m t xy + 1 s nguyên thì n là m t s chính phương. (IMO 1988) 2. Hãy tìm t t c các s nguyên dương n sao cho phương trình √ x + y + z + t = n xyzt có nghi m nguyên dương. (VMO 2002) S thú v n u chúng ta xét bài toán tìm t t c các nghi m c a (1) khi k = 3 và k = 4. Bài 1.6. Tìm t t c các s nguyên dương x, y tho mãn x2 + 15y2 + 8xy − 8x − 36y − 28 = 0. (C n Thơ)
- 10 Tr n Nam Dũng (ch biên) L i gi i. Bi n đ i phương trình đã cho, ta vi t đư c nó dư i d ng (x + 4y − 4)2 − (y + 2)2 = 40, (x + 3y − 6)(x + 5y − 2) = 40. Do x, y là các s nguyên dương và x + 3y − 6 < x + 5y − 2 nên ta có th phân tích 40 = 1 · 40 = 2 · 20 = 4 · 10. Đ n đây ta gi i t ng trư ng h p. Trư ng h p 1. x + 3y − 6 = 1 và x + 5y − 2 = 0. Gi ra, ta tìm đư c x = −45.5 và y = 17.5, lo i. Trư ng h p 2. x + 3y − 6 = 2 và x + 5y − 2 = 20. Gi i ra, ta tìm đư c x = −13 và y = 7, lo i. Trư ng h p 3. x + 3y − 6 = 4 và x + 5y − 2 = 10. Gi i ra, ta tìm đư c x = 7 và y = 1, nh n. V y phương trình đã cho có m t nghi m nguyên dương duy nh t là (x, y) = (7, 1). Bài 1.7. Ch ng minh r ng |12m − 5n | ≥ 7 v i m i m, n nguyên dương. (H i Phòng) L i gi i v n t t. Gi s ngư c l i t n t i m, n nguyên dương sao cho |12m − 5n | < 7. Do |12m − 5n | không chia h t cho 2, 3, 5 nên ch có th x y ra trư ng h p |12m − 5n | = 1. + N u 12m − 5n = 1 thì xét modul 4 suy ra mâu thu n. + N u 12m − 5n = −1 thì xét modul 6 suy ra n ch n, sau đó xét modul 13 suy ra mâu thu n. Bài 1.8. Cho n là s nguyên dương sao cho 3n − 1 chia h t cho 22009 . Ch ng minh r ng n ≥ 22007 . (Bình Đ nh) L i gi i. Vì n nguyên dương nên ta có th đ t n = 2k m, v i k, m ∈ N, m l . Ta có k m k k m−1 k m−2 k 3n − 1 = 32 − 1 = 32 − 1 32 + 32 + · · · + 32 + 1 .
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 11 k m−1 k m−2 . + · · · + 32 + 1, suy ra 3n − 1 . 22009 khi và ch k Do m l nên 32 + 32 . . khi 32 − 1 . 22009 . T đây suy ra k ≥ 2, và ta có phân tích k . k 2 k−1 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1) 32 + 1 · · · 32 +1 2 k−1 = 23 (32 + 1) 32 + 1 · · · 32 +1 . i Nh n th y r ng 32 + 1 (i = 1, 2, . . . , k − 1) chia h t cho 2 nhưng l i không chia k h t cho 4. Do đó 32 − 1 chia h t cho 2k+2 nhưng không chia h t cho 2k+3 . Đi u . . này có nghĩa là 32 − 1 . 22009 khi và ch khi 2k+2 . 22009 , t c là k ≥ 2007. V y k . . n ≥ 22007 m ≥ 22007 . Đó là đi u ph i ch ng minh. Bình lu n. T bài toán trên, ta có th đưa ra bài toán t ng quát: Cho s nguyên dương n sao cho 3n − 1 chia h t cho 2k , k ∈ N, k ≥ 2. Ch ng minh r ng n ≥ 2k−2 . (ho c cũng có th ch ng minh n . 2k−2 ). . 100 +100 Bài 1.9. (1) Cho a = 52 . Ch ng minh s a có ít nh t 25 ch s 0 đ ng li n nhau. (2) Ch ng minh t n t i vô s s t nhiên n mà 5n có ít nh t 100 ch s 0 đ ng li n nhau. (B c Ninh) 100 Hư ng d n. Hãy ch ng minh r ng 52 +100 − 5100 t n cùng b ng ít nh t 100 ch s 0 (t c là chia h t cho 10100!) và 5100 < 1075 . Bình lu n. Bài toán này ki n th c s d ng không khó nhưng phát bi u khá đ p và thú v . Bài 1.10. Cho f : N∗ → N∗ tho mãn các đi u ki n (i) f (xy) = f (x) f (y) v i m i x, y tho mãn (x, y) = 1; (ii) f (x + y) = f (x) + f (y) v i m i b s nguyên t x, y. Hãy tính f (2), f (3), f (2009). (Ninh Bình) L i gi i. Thay x = 2, y = 3 vào (i), ta đư c f (6) = f (2) f (3). Thay x = y = 3 vào (ii), ta đư c f (6) = 2 f (3). T đây suy ra f (2) = 2. T đó f (4) = 2 f (2) = 4. Đ t f (3) = a, ta l n lư t tính đư c f (5) = f (3) + f (2) = a + 2, f (7) = f (5) + f (2) = a + 4, f (12) = f (7) + f (5) = 2a + 6.
- 12 Tr n Nam Dũng (ch biên) M t khác f (12) = f (3) f (4) = 4a nên ta suy ra 2a + 6 = 4a, t c là a = 3. V y f (3) = 3. T đây suy ra f (5) = 5, f (7) = 7. Ta l i có f (11) + f (3) = f (14) = f (2) f (7) = 2 · 7 = 14, suy ra f (11) = f (14) − f (3) = 11. Đ tính f (2009), ta s l n lư t tính f (41) và f (49). Vì 41 là s nguyên t nên f (41) + f (3) = f (44) = f (4) f (11) = 4 f (11) = 44, suy ra f (41) = 41. Ta có f (49) = f (47) + f (2) = 2 + f (47). Mà f (47) + f (5) = f (52) = f (4) f (13) = 4( f (11) + f (2) = 4(11 + 2) = 52, suy ra f (47) = 47 và f (49) = 49. Cu i cùng f (2009) = f (41) f (49) = 41 · 49 = 2009. Bình lu n. Đi u đáng ng i nh t trong l i gi i bài này là r t d nh m vì ng nh n. S thú v n u xét bài toán t ng quát: Ch ng minh f (n) = n v i m i n nguyên dương. Bài 1.11. Tìm t t c các b s t nhiên a, b, c, d đôi m t phân bi t th a mãn a2 − b2 = b2 − c2 = c2 − d 2 . (Đ i h c Khoa h c t nhiên) L i gi i. Bài toán tương đương v i vi c tìm m t c p s c ng th c s g m b n s chính phương. Ta ch ng minh r ng không t n t i m t c p s c ng như v y. Gi s ngư c l i t n t i b n s chính phương A2 , B2 , C2 , D2 l p thành m t c p s c ng tăng, t c là B2 − A2 = C2 − B2 = D2 −C2 . Trong các c p s như th , ch n c p s có công sai nh nh t. Ta có th gi s r ng các s chính phương này đôi m t nguyên t cùng nhau, và tính ch n l c a các phương trình ch ng t r ng m i m t s chính phương này ph i l . Như v y t n t i các s nguyên nguyên t cùng nhau u, v sao cho C2 − A2 A = u − v, C = u + v, u2 + v2 = B2 , và công sai c a c p s c ng b ng = 2uv. 2 D+B D−B Ta cũng có D2 − B2 = 4uv, và có th vi t thành = uv. Hai th a 2 2 s v trái nguyên t cùng nhau, và u và v cũng th . Như v y t n t i b n s nguyên
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học môn tiếng Anh khối D năm 2006
11 p | 401 | 121
-
Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Các Tỉnh, Các Trường Đại Học Năm Học 2009 - 2010
167 p | 127 | 68
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 28
6 p | 151 | 66
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2005 môn Anh văn
7 p | 285 | 61
-
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học năm 2009-2010
122 p | 107 | 51
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 30
5 p | 115 | 39
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 31
6 p | 104 | 37
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 32
8 p | 125 | 26
-
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh
5 p | 70 | 12
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 29
4 p | 71 | 12
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2003 đề số 23
5 p | 92 | 9
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 27
5 p | 80 | 9
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2003 đề số 22
7 p | 126 | 9
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 25
5 p | 89 | 7
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 26
5 p | 86 | 7
-
đề thi thử môn hóa trường trung học phổ thông đông đồ năm 2008
5 p | 29 | 4
-
để thi thử môn hóa trường trung học phổ thông vũng tàu năm 2008
5 p | 19 | 3

markdown:
# Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
Chia sẻ: Nguyen Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:167
lượt xem 100
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20101013/binhminhxanh_1988/80x100/_toanhocthpt_loigiaivabinhluandethicactinh_cactruongdaihocnamhoc2009_2010_1072.jpg)
##
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Nhằm giúp các bạn học sinh có thêm cơ hội trao đổi, học hỏi, rèn luyện kỹ năng giải toán, chúng tôi thực hiện cuốn sách này. Thông qua việc giải và bình luận đề thi học sinh giỏi các tỉnh và các trường đại học, chúng tôi sẽ đưa ra những bài tập tương tự, nói thêm về phương pháp sử dụng trong bài giải nhằm giúp các bạn nhìn rộng hơn về vấn đề, có thể áp dụng những bài toán khác....
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học (2009-2010)
- TR N NAM DŨNG (ch biên) L I GI I VÀ BÌNH LU N Đ THI CÁC T NH, CÁC TRƯ NG Đ I H C NĂM H C 2009-2010 MATHSCOPE.ORG
- dddd
- L i nói đ u Kỳ thi VMO năm nay s đư c t ch c vào tháng 3/2010. Hi n nay các trư ng và các t nh đang hoàn t t vi c thi HSG c p t nh và thành l p đ i tuy n. Sau kỳ thi h c kì I, vi c luy n thi cho kỳ thi VMO 2010 s đư c kh i đ ng t i t t c các đ a phương. Nh m giúp các b n h c sinh có thêm cơ h i trao đ i, h c h i, rèn luy n k năng gi i toán, chúng tôi th c hi n cu n sách này. Thông qua vi c gi i và bình lu n các đ thi h c sinh gi i các t nh và các trư ng Đ i h c, chúng tôi s đưa ra nh ng bài t p tương t , nói thêm v phương pháp s d ng trong bài gi i nh m giúp các b n nhìn r ng hơn v v n đ , đ có th áp d ng cho nh ng bài toán khác. Cu n sách đư c s tham gia v chuyên môn c a các th y cô giáo chuyên toán, các c u IMO, VMO. Ý ki n đóng góp, bình lu n có th g i tr c ti p qua ch đ mà chúng tôi m trên Mathscope.org ho c theo đ a ch trannamdung@ovi.com v i tiêu đ [4VMO2010]. Các thành viên có đóng góp s đư c tôn vinh và nh n nh ng quà t ng ý nghĩa. Cu n sách đư c th c hi n v i s giúp đ c a Nokia Vietnam (http://www.nokia. com.vn). TP HCM, ngày 02 tháng 12 năm 2009 Tr n Nam Dũng iii
- iv Tr n Nam Dũng (ch biên)
- L i c m ơn Xin c m ơn s nhi t tình tham gia đóng góp c a các b n: 1. Võ Qu c Bá C n 2. Ph m Ti n Đ t 3. Ph m Hy Hi u 4. T Minh Ho ng 5. Nguy n Xuân Huy 6. Mai Ti n Kh i 7. Hoàng Qu c Khánh 8. Nguy n Vương Linh 9. Nguy n Lâm Minh 10. Nguy n Văn Năm 11. Đinh Ng c Th ch 12. Lê Nam Trư ng 13. Võ Thành Văn Cùng r t nhi u b n yêu toán khác. v
- vi Tr n Nam Dũng (ch biên)
- M cl c L i nói đ u iii L i c m ơn v I Đ toán và l i gi i 1 1 S h c 3 1.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phương trình, h phương trình 15 2.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 B t đ ng th c và c c tr 27 3.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Phương trình hàm và đa th c 43 4.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 Hình h c 57 5.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 T h p 71 6.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 vii
- viii Tr n Nam Dũng (ch biên) 7 Dãy s 89 7.1 Đ bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 L i gi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II M t s bài gi ng toán 99 8 Gi i phương trình hàm b ng cách l p phương trình 101 9 Dãy truy h i lo i un+1 = f (un ) 107 10 Các đ nh lý t n t i trong gi i tích và đ nh lý cơ b n c a đ i s 113 11 Phép ch ng minh ph n ch ng 123 12 Nguyên lý Dirichlet 127 13 Cauchy-Bunyakovski-Schwarz Inequality 137 A Đ luy n đ i tuy n cho kỳ thi VMO 2010 145 B Hư ng d n n i dung b i dư ng h c sinh thi ch n h c sinh gi i Toán Qu c gia l p 12 THPT 151
- Ph n I Đ toán và l i gi i 1
- Chương 1 S h c “Toán h c là b o v t quý giá hơn b t c th gì khác mà chúng ta đư c th a hư ng t kho tàng tri th c c a nhân lo i.” Rene Descartes 1.1 Đ bài n 1.1. Gi s m, n là hai s nguyên dương tho mãn là s l v i d = (m, n). Xác d đ nh (am + 1, an − 1) v i a là s nguyên dương l n hơn 1. 1.2. Dãy s {an } đư c xác đ nh như sau: a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6 và an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an v i m i n ≥ 0. (a) Ch ng minh r ng an chia h t cho n v i m i n ≥ 1. an ∞ (b) Ch ng minh r ng dãy s ch a vô s s h ng chia h t cho 2009. n n=1 1.3. Cho m, n là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau, m là s ch n. Tìm ư c s chung l n nh t c a m2 + n2 và m3 + n3 . 1.4. Cho các s nguyên dương a, b, c, d th a mãn ac + bd chia h t cho a2 + b2 . Ch ng minh r ng (c2 + d 2 , a2 + b2 ) > 1. 1.5. Tìm t t c các s nguyên dương k sao cho phương trình x2 + y2 + x + y = kxy có nghi m nguyên dương. 3
- 4 Tr n Nam Dũng (ch biên) 1.6. Tìm t t c các s nguyên dương x, y tho mãn x2 + 15y2 + 8xy − 8x − 36y − 28 = 0. 1.7. Ch ng minh r ng |12m − 5n | ≥ 7 v i m i m, n nguyên dương. 1.8. Cho n là s nguyên dương sao cho 3n − 1 chia h t cho 22009 . Ch ng minh r ng n ≥ 22007 . 100 +100 1.9. (1) Cho a = 52 . Ch ng minh s a có ít nh t 25 ch s 0 đ ng li n nhau. (2) Ch ng minh t n t i vô s s t nhiên n mà 5n có ít nh t 100 ch s 0 đ ng li n nhau. 1.10. Cho f : N∗ → N∗ tho mãn các đi u ki n (i) f (xy) = f (x) f (y) v i m i x, y tho mãn (x, y) = 1; (ii) f (x + y) = f (x) + f (y) v i m i b s nguyên t x, y. Hãy tính f (2), f (3), f (2009). 1.11. Tìm t t c các b s t nhiên a, b, c, d đôi m t phân bi t th a mãn a2 − b2 = b2 − c2 = c2 − d 2 . 1.12. Cho hai s nguyên dương p, q l n hơn 1, nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng t n t i s nguyên k sao cho (pq − 1)n k + 1 là h p s v i m i s nguyên dương n.
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 5 1.2 L i gi i n Bài 1.1. Gi s m, n là hai s nguyên dương tho mãn là s l v i d = (m, n). d Xác đ nh (am + 1, an − 1) v i a là s nguyên dương l n hơn 1. (Đ i h c Vinh) m n n 2m n L i gi i. Do d = (m, n) nên , = 1. Vì là s l nên ta có , = 1, d d d d d suy ra (2m, n) = d. Theo đ nh lý Bezout, t n t i u, v nguyên sao cho 2mu + nv = d. Đ t D = (am + 1, an − 1). Khi đó am ≡ −1 (mod D), suy ra a2m ≡ 1 (mod D). Ngoài ra ta đã có an ≡ 1 (mod D). T nh ng đi u trên, ta suy ra ad = a2mu+nv ≡ 1 (mod D). Do m = dm nên t đây ta suy ra am ≡ 1 (mod D). K t h p v i am ≡ −1 (mod D) ta suy ra 2 ≡ 0 (mod D). T đây suy ra D = 1 ho c D = 2. D th y v i a l thì D = 2 còn v i a ch n thì D = 1. Đó chính là k t lu n c a bài toán. Bình lu n. Đây là m t bài toán khá căn b n v b c c a m t s theo modulo. Trong các bài toán như v y, đ nh lý Bezout luôn là m t k t qu h u ích. Bài 1.2. Dãy s {an } đư c xác đ nh như sau: a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6 và an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an v i m i n ≥ 0. (a) Ch ng minh r ng an chia h t cho n v i m i n ≥ 1. an ∞ (b) Ch ng minh r ng dãy s ch a vô s s h ng chia h t cho 2009. n n=1 (Đ i h c Khoa h c t nhiên) L i gi i. Phương trình đ c trưng c a dãy {an } có d ng x4 − 2x3 − x2 + 2x + 1 = 0, tương đương (x2 − x − 1)2 = 0. T đó s h ng t ng quát c a an có d ng an = c1 α n + c2 β n + n(c3 α n + c4 β n ),
- 6 Tr n Nam Dũng (ch biên) trong đó α > β là các nghi m c a phương trình x2 − x − 1 = 0. T đây, t các đi u 1 1 ki n ban đ u, ta tìm đư c c1 = c2 = 0, c3 = √ , c4 = − √ . Suy ra 5 5 1 1 an = n √ α n − √ β n . 5 5 an T đây ta đư c = Fn , v i F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 v i m i n = 1, 2, . . . n t c là dãy s Fibonacci. K t lu n câu (a) đ n đây là hi n nhiên. Đ gi i ph n (b), ta có th đi theo các hư ng sau. Cách 1. Dùng quy n p ch ng minh r ng Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn−1. Sau đó ti p t c dùng quy n p ch ng minh r ng Fkn chia h t cho Fn . T đây, đ ch ng minh k t lu n c a bài toán, ta ch c n ch ra m t giá tr nguyên dương n sao cho Fn chia h t cho 2009 là xong. Có th tính toán đư c r ng F56 chia h t cho 49, còn F20 chia h t cho 41, t đó F280 chia h t cho 2009. Cách 2. Ta ch ng minh m nh đ t ng quát: V i m i s nguyên dương N, t n t i vô s s h ng c a dãy s Fibonacci chia h t cho N. Đ th c hi n đi u này, ta b sung thêm s h ng F0 = 0 cho dãy Fibonacci. Chú ý là ta v n có h th c Fn+1 = Fn + Fn−1 v i m i n = 0, 1, 2, . . . G i ri là s dư trong phép chia Fi cho N. Xét N 2 + 1 c p s dư (r0 , r1 ), (r1 , r2 ), . . . , (rN , rN+1 ). Do 0 ≤ ri ≤ N − 1 nên ch có N 2 c p giá tr (ri , ri+1 ) khác nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, t n t i c p ch s i < j sao cho (ri , ri+1 ) ≡ (r j , r j+1 ). T đây, do rk−1 chính là s dư trong phép chia rk+1 − rk cho N nên ta suy ra ri−1 = r j−1 , ri−2 = r j−2 , . . . , r0 = r j−i . Suy ra dãy s dư tu n hoàn v i chu kỳ j − i. Vì r0 = 0 nên rk( j−i) = 0 v i m i k = 1, 2, . . . và ta có rk( j−i) chia h t cho N v i m i k = 1, 2, . . . (đpcm). Bình lu n. Ý tư ng dùng nguyên lý Dirichlet đ ch ng minh tính tu n hoàn c a dãy s dư không m i. Đ thi vô đ ch Liên Xô trư c đây có câu: Ch ng minh r ng trong dãy s Fibonacci t n t i ít nh t m t s t n cùng b ng b n ch s 0. Đ thi ch n đ i tuy n Vi t Nam năm 2004 cũng có ý tư ng tương t : Cho dãy s (xn ) (n = 1, 2, 3, . . .) đư c xác đ nh b i: x1 = 603, x2 = 102 và xn+2 = xn+1 + xn + 2 xn+1 xn − 2 v i m i n ≥ 1. Ch ng minh r ng (1) T t c các s h ng c a dãy s đã cho đ u là các s nguyên dương. (2) T n t i vô h n s nguyên dương n sao cho bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2003.
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 7 (3) Không t n t i s nguyên dương n mà bi u di n th p phân c a xn có b n ch s t n cùng là 2004. Bài 1.3. Cho m, n là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau, m là s ch n. Tìm ư c s chung l n nh t c a m2 + n2 và m3 + n3 . (Đ ng Nai) L i gi i. Do (m, n) nguyên t cùng nhau và m ch n nên n l . Đ t d = (m2 + n2 , m3 + n3 ). D th y d l . Do m3 + n3 = (m + n)(m2 + n2 − mn) nên t đây suy ra d | mn(m + n). T đây l i suy ra d là ư c c a (m + n)3 . Gi s d > 1. Khi đó g i p là m t ư c s nguyên t c a d thì p | (m + n)3 , suy ra p | m + n. M t khác (m + n)2 − (m2 + n2 ) = 2mn, suy ra p | 2mn. Vì p l nên p | mn. Vì p nguyên t và (m, n) = 1nên t đây suy ra p | m ho c p | n. Nhưng do p | m + n nên t đây l i suy ra p | n và tương ng là p | m. Mâu thu n. V y đi u gi s là sai, t c là d = 1. Bài 1.4. Cho các s nguyên dương a, b, c, d th a mãn ac + bd chia h t cho a2 + b2 . Ch ng minh r ng (c2 + d 2 , a2 + b2 ) > 1. (Đ i h c Sư ph m) L i gi i. Trư c h t xét trư ng h p (a, b) = 1. Gi s p là m t ư c nguyên t c a a2 + b2 . Khi đó p | ac + bd. T đ ng th c (ac + bd)2 + (ad − bc)2 = (a2 + b2 )(c2 + d 2 ), ta suy ra p | ad − bc. T đây, ta l n lư t có p | c(ac + bd) + d(ad − bc) = a(c2 + d 2 ), p | d(ac + bd) − c(ad − bc) = b(c2 + d 2 ). Vì (a, b) = 1 nên theo đ nh lý Bezout t n t i u, v sao cho au + bv = 1. T các đi u trên, ta có p | u · a(c2 + d 2 ) + v · b(c2 + d 2 ) = (au + bv)(c2 + d 2 ) = c2 + d 2 , suy ra p là ư c s chung c a a2 + b2 và c2 + d 2 , t c là (a2 + b2 , c2 + d 2 ) > 1.
- 8 Tr n Nam Dũng (ch biên) . Bây gi gi s (a, b) = D > 1. Đ t a = Dx, b = Dy thì ta có Dxc+Dyd . D2 (x2 +y2 ), . . 2 suy ra xc + yd . x + y2 . Theo k t qu . trên thì (x2 + y2 , c2 + d 2 ) > 1. T đó, m t cách hi n nhiên (D2 (x2 + y2 ), c2 + d 2 ) > 1, t c là (a2 + b2 , c2 + d 2 ) > 1. Bài toán đư c gi i quy t hoàn toàn. Bình lu n. Đ nh lý Bezout m i lúc, m i nơi! Bài 1.5. Tìm t t c các s nguyên dương k sao cho phương trình x2 + y2 + x + y = kxy (1) có nghi m nguyên dương. (Ph thông Năng khi u) L i gi i. Gi s k là m t giá tr sao cho phương trình (1) có nghi m nguyên dương. Khi đó t n t i nghi m (x0 , y0 ) c a (1) v i x0 + y0 nh nh t. Không m t tính t ng quát, có th gi s x0 ≥ y0 . Xét phương trình b c hai x2 − (ky0 − 1)x + y2 + y0 = 0. 0 (2) Theo gi s trên thì x0 là m t nghi m c a (2). Theo đ nh lý Viet thì y2 + y0 0 x1 = ky0 − 1 − x0 = x0 cũng là m t nghi m c a (2). D th y x1 là m t s nguyên dương, vì th (x1 , y0 ) cũng là m t nghi m nguyên dương c a (1). T gi thi t x0 + y0 nh nh t ta suy ra x1 + y0 ≥ x0 + y0 . y2 + y0 0 T c là ≥ x0 , suy ra y2 + y0 ≥ x0 . T đây ta có b t đ ng th c kép 0 2 x0 y2 ≤ x0 ≤ y2 + y0 < (y0 + 1)2 , 0 2 0 2 suy ra x0 = y0 . Thay vào (1) ta đư c 2 + = k, suy ra x0 ch có th b ng 1 ho c 2, x0 tương ng k b ng 4 ho c 3. V i k = 3 ta có (2, 2) là nghi m c a (1), v i k = 4 ta có (1, 1) là nghi m c a (1). V y k = 3 và k = 4 là t t c các giá tr c n tìm. Ta cũng có th đánh giá k khác m t chút, như sau. Cách 1. T đ ng th c x0 + y2 + x0 + y0 = kx0 y0 , chia hai v cho x0 , y0 , ta đư c 2 0 x0 y0 1 1 + + + = k. y0 x0 y0 x0
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 9 x0 k 1 M t khác, cũng theo lý lu n trên thì ky0 − 1 − x0 ≥ x0 nên suy ra ≤ − . y0 2 2y0 T đó ta có k 1 y0 1 1 k 1 y0 1 k 5 k≤ − + + + = + + + ≤ + . 2 2y0 x0 y0 x0 2 2y0 x0 x0 2 2 T đó suy ra k ≤ 5. Hơn n a k ch có th b ng 5 khi x0 = y0 = 1 (trư ng h p này d n đ n mâu thu n). Trư ng h p k = 3 ta có nghi m x = y = 2, k = 4 ta có nghi m x = y = 1. Còn v i k ≤ 2 thì rõ ràng là phương trình vô nghi m. Cách 2. Lý lu n như trên thì y2 + y0 0 x0 ≤ x1 = ≤ y0 + 1. x0 Như v y y0 + 1 n m ngoài hai nghi m c a tam th c f (x) = x2 − (ky0 − 1)x + y2 + y0 , 0 suy ra f (y0 + 1) ≥ 0. T đó 2(y0 + 1) 2 k≤ = 2 + ≤ 4. y0 y0 Bình lu n. K thu t s d ng trong l i gi i trên đư c g i là k thu t phương trình Markov. K thu t này hi n nay đã tr nên khá quen thu c. Dư i đây là m t s bài toán có th gi i đư c b ng k thu t này: x 2 + y2 1. Ch ng minh r ng n u x, y là các s nguyên dương sao cho n = là m t xy + 1 s nguyên thì n là m t s chính phương. (IMO 1988) 2. Hãy tìm t t c các s nguyên dương n sao cho phương trình √ x + y + z + t = n xyzt có nghi m nguyên dương. (VMO 2002) S thú v n u chúng ta xét bài toán tìm t t c các nghi m c a (1) khi k = 3 và k = 4. Bài 1.6. Tìm t t c các s nguyên dương x, y tho mãn x2 + 15y2 + 8xy − 8x − 36y − 28 = 0. (C n Thơ)
- 10 Tr n Nam Dũng (ch biên) L i gi i. Bi n đ i phương trình đã cho, ta vi t đư c nó dư i d ng (x + 4y − 4)2 − (y + 2)2 = 40, (x + 3y − 6)(x + 5y − 2) = 40. Do x, y là các s nguyên dương và x + 3y − 6 < x + 5y − 2 nên ta có th phân tích 40 = 1 · 40 = 2 · 20 = 4 · 10. Đ n đây ta gi i t ng trư ng h p. Trư ng h p 1. x + 3y − 6 = 1 và x + 5y − 2 = 0. Gi ra, ta tìm đư c x = −45.5 và y = 17.5, lo i. Trư ng h p 2. x + 3y − 6 = 2 và x + 5y − 2 = 20. Gi i ra, ta tìm đư c x = −13 và y = 7, lo i. Trư ng h p 3. x + 3y − 6 = 4 và x + 5y − 2 = 10. Gi i ra, ta tìm đư c x = 7 và y = 1, nh n. V y phương trình đã cho có m t nghi m nguyên dương duy nh t là (x, y) = (7, 1). Bài 1.7. Ch ng minh r ng |12m − 5n | ≥ 7 v i m i m, n nguyên dương. (H i Phòng) L i gi i v n t t. Gi s ngư c l i t n t i m, n nguyên dương sao cho |12m − 5n | < 7. Do |12m − 5n | không chia h t cho 2, 3, 5 nên ch có th x y ra trư ng h p |12m − 5n | = 1. + N u 12m − 5n = 1 thì xét modul 4 suy ra mâu thu n. + N u 12m − 5n = −1 thì xét modul 6 suy ra n ch n, sau đó xét modul 13 suy ra mâu thu n. Bài 1.8. Cho n là s nguyên dương sao cho 3n − 1 chia h t cho 22009 . Ch ng minh r ng n ≥ 22007 . (Bình Đ nh) L i gi i. Vì n nguyên dương nên ta có th đ t n = 2k m, v i k, m ∈ N, m l . Ta có k m k k m−1 k m−2 k 3n − 1 = 32 − 1 = 32 − 1 32 + 32 + · · · + 32 + 1 .
- L i gi i và bình lu n đ thi các t nh, các trư ng Đ i h c năm h c 2009-2010 11 k m−1 k m−2 . + · · · + 32 + 1, suy ra 3n − 1 . 22009 khi và ch k Do m l nên 32 + 32 . . khi 32 − 1 . 22009 . T đây suy ra k ≥ 2, và ta có phân tích k . k 2 k−1 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1) 32 + 1 · · · 32 +1 2 k−1 = 23 (32 + 1) 32 + 1 · · · 32 +1 . i Nh n th y r ng 32 + 1 (i = 1, 2, . . . , k − 1) chia h t cho 2 nhưng l i không chia k h t cho 4. Do đó 32 − 1 chia h t cho 2k+2 nhưng không chia h t cho 2k+3 . Đi u . . này có nghĩa là 32 − 1 . 22009 khi và ch khi 2k+2 . 22009 , t c là k ≥ 2007. V y k . . n ≥ 22007 m ≥ 22007 . Đó là đi u ph i ch ng minh. Bình lu n. T bài toán trên, ta có th đưa ra bài toán t ng quát: Cho s nguyên dương n sao cho 3n − 1 chia h t cho 2k , k ∈ N, k ≥ 2. Ch ng minh r ng n ≥ 2k−2 . (ho c cũng có th ch ng minh n . 2k−2 ). . 100 +100 Bài 1.9. (1) Cho a = 52 . Ch ng minh s a có ít nh t 25 ch s 0 đ ng li n nhau. (2) Ch ng minh t n t i vô s s t nhiên n mà 5n có ít nh t 100 ch s 0 đ ng li n nhau. (B c Ninh) 100 Hư ng d n. Hãy ch ng minh r ng 52 +100 − 5100 t n cùng b ng ít nh t 100 ch s 0 (t c là chia h t cho 10100!) và 5100 < 1075 . Bình lu n. Bài toán này ki n th c s d ng không khó nhưng phát bi u khá đ p và thú v . Bài 1.10. Cho f : N∗ → N∗ tho mãn các đi u ki n (i) f (xy) = f (x) f (y) v i m i x, y tho mãn (x, y) = 1; (ii) f (x + y) = f (x) + f (y) v i m i b s nguyên t x, y. Hãy tính f (2), f (3), f (2009). (Ninh Bình) L i gi i. Thay x = 2, y = 3 vào (i), ta đư c f (6) = f (2) f (3). Thay x = y = 3 vào (ii), ta đư c f (6) = 2 f (3). T đây suy ra f (2) = 2. T đó f (4) = 2 f (2) = 4. Đ t f (3) = a, ta l n lư t tính đư c f (5) = f (3) + f (2) = a + 2, f (7) = f (5) + f (2) = a + 4, f (12) = f (7) + f (5) = 2a + 6.
- 12 Tr n Nam Dũng (ch biên) M t khác f (12) = f (3) f (4) = 4a nên ta suy ra 2a + 6 = 4a, t c là a = 3. V y f (3) = 3. T đây suy ra f (5) = 5, f (7) = 7. Ta l i có f (11) + f (3) = f (14) = f (2) f (7) = 2 · 7 = 14, suy ra f (11) = f (14) − f (3) = 11. Đ tính f (2009), ta s l n lư t tính f (41) và f (49). Vì 41 là s nguyên t nên f (41) + f (3) = f (44) = f (4) f (11) = 4 f (11) = 44, suy ra f (41) = 41. Ta có f (49) = f (47) + f (2) = 2 + f (47). Mà f (47) + f (5) = f (52) = f (4) f (13) = 4( f (11) + f (2) = 4(11 + 2) = 52, suy ra f (47) = 47 và f (49) = 49. Cu i cùng f (2009) = f (41) f (49) = 41 · 49 = 2009. Bình lu n. Đi u đáng ng i nh t trong l i gi i bài này là r t d nh m vì ng nh n. S thú v n u xét bài toán t ng quát: Ch ng minh f (n) = n v i m i n nguyên dương. Bài 1.11. Tìm t t c các b s t nhiên a, b, c, d đôi m t phân bi t th a mãn a2 − b2 = b2 − c2 = c2 − d 2 . (Đ i h c Khoa h c t nhiên) L i gi i. Bài toán tương đương v i vi c tìm m t c p s c ng th c s g m b n s chính phương. Ta ch ng minh r ng không t n t i m t c p s c ng như v y. Gi s ngư c l i t n t i b n s chính phương A2 , B2 , C2 , D2 l p thành m t c p s c ng tăng, t c là B2 − A2 = C2 − B2 = D2 −C2 . Trong các c p s như th , ch n c p s có công sai nh nh t. Ta có th gi s r ng các s chính phương này đôi m t nguyên t cùng nhau, và tính ch n l c a các phương trình ch ng t r ng m i m t s chính phương này ph i l . Như v y t n t i các s nguyên nguyên t cùng nhau u, v sao cho C2 − A2 A = u − v, C = u + v, u2 + v2 = B2 , và công sai c a c p s c ng b ng = 2uv. 2 D+B D−B Ta cũng có D2 − B2 = 4uv, và có th vi t thành = uv. Hai th a 2 2 s v trái nguyên t cùng nhau, và u và v cũng th . Như v y t n t i b n s nguyên
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học môn tiếng Anh khối D năm 2006
11 p |
401 |
121
-
Lời Giải Và Bình Luận Đề Thi Các Tỉnh, Các Trường Đại Học Năm Học 2009 - 2010
167 p |
127 |
68
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 28
6 p |
151 |
66
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2005 môn Anh văn
7 p |
285 |
61
-
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường đại học năm 2009-2010
122 p |
107 |
51
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 30
5 p |
115 |
39
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 31
6 p |
104 |
37
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học môn anh văn đề số 32
8 p |
125 |
26
-
Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh
5 p |
70 |
12
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 29
4 p |
71 |
12
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2003 đề số 23
5 p |
92 |
9
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 27
5 p |
80 |
9
-
Đề thi tuyển sinh cao đẳng đại học năm 2003 đề số 22
7 p |
126 |
9
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 25
5 p |
89 |
7
-
Đề thi tuyển sinh Cao đẳng đại học đề số 26
5 p |
86 |
7
-
đề thi thử môn hóa trường trung học phổ thông đông đồ năm 2008
5 p |
29 |
4
-
để thi thử môn hóa trường trung học phổ thông vũng tàu năm 2008
5 p |
19 |
3

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Connection: close

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=mrectk1be7kum8g5f0ko0g49q2; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Vary: Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=UTF-8