markdown:
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
vn
1
TUYỂ N TẬ P CÁC BÀI TOÁN THỂ TÍCH HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 01: Cho l aêng truïtöùgi aùc ñeàu ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
coùchi eàu cao baèng a vaøgoùc cuûa hai maët beân keànhau phaùt
xuaát töømoät ñænh l aø .
a) Tính di eän tích xung quanh vaøtheåtích l aêng truï.
b) Goïi M, N l aøtrung ñi eåm cuûa BB
/
vaøDD
/
, tính goùc cuûa mp(AMN) vaømaët ñaùy cuûa l aêng truï.
Bài 02: Cho l aêng truï xi eân ABC.A
/
B
/
C
/
coùñaùy ABC l aøtam gi aùc ñeàu taâm O vaøhình chi eáu cuûa C
/
treân ñaùy
(ABC) truøng vôùi O. Cho khoaûng caùch töøO ñeán CC
/
l aøa vaøsoáño nhòdi eän caïnh CC
/
l aø120
0
.
a) Chöùng mi nh maët beân ABB
/
A
/
l aøhình chữ nhaät.
b) Tính theåtích l aêng truï.
c) Tính goùc cuûa maët beân BCC
/
B
/
vaømaët ñaùy ABC.
Bài 03: Cho hình hoäp ABCDA
/
B
/
C
/
D
/
coùcaùc maët ñeàu l aøhình thoi caïnh a. Ba caïnh xuaát phaùt töøñænh A taïo
vôùi nhau caùc goùc nhoïn baèng nhau vaøbaèng .
a) Chöùng mi nh hình chi eáu H cuûa A
/
treân (ABCD) naèm treân ñöôøng cheùo AC.
b) Tính theåtích hình hoäp .
c) Tính goùc cuûa ñöôøng cheùo CA
/
vaømaët ñaùy cuûa hình hoäp .
Bài 04: Cho hình l aäp phöông ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
coùñoaïn noái hai taâm cuûa hai maët beân keànhau l aø
2
2
a
a) Tính theåtích hình l aäp phöông .
b) Laáy ñi eåm M treân BC. Maët phaúng MB
/
D caét A
/
D
/
taïi N. Chöùng mi nh MN ±C
/
D.
c) Tính goùc cuûa hai maët phaúng (A
/
BD) vôùi maët phẳ ng (ABCD).
Bài 05: Cho hình l aäp phöông ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
coùñöôøng cheùo baèng a
a) Döïng vaøtính ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng AC vaøDC
/
.
b) Goïi G l aøtroïng taâm cuûa tam giác A
/
C
/
D
/
. Maët phaúng (GCA) caét hình l aäp phöông theo hình gì. Tính di eän
tích cuûa hình naøy.
c) Ñi eåm M l öu ñoäng treân BC. Tìm quỹ tích hình chi eáu cuûa A
/
l eân DM.
Bài 06: Cho l aäp phöông ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
caïnh a. Goïi N l aøñi eåm gi ữ a cuûa BC.
a) Tính goùc vaøñoaïn vuoâng goùc chung gi öõa hai ñöôøng thaúng AN vaøBC
/
.
b) Ñi eåm M l öu ñoäng treân AA
/
. Xaùc ñònh gi aùtrònhoûnhaát cuûa di eän tích thi eát di eän gi öõa maët phaúng MBD
/
vaø
hình l aäp phöông .
Bài 07: Cho hình choùp töùgi aùc ñeàu S.ABCD coùchi eàu cao SH = a vaøgoùc ôûñaùy cuûa maët beân l aø .
a) Tính di eân tích xung quanh vaøtheåtích hình choùp naøy theo a vaø .
b) Xaùc ñònh taâm vaøbaùn kính maët caàu ngoaïi ti eáp hình choùp S.ABCD.
c) Ñi eåm M l öu ñoäng treân SC. Tìm quỹ tích hình chi eáu cuûa S xuoáng maët phaúng MAB.
Bài 08: Cho hình choùp tam gi aùc ñeàu SABC caïnh ñaùy a vaøgoùc gi öõa hai caïnh beân keànhau l aø .
a) Tính theåtích hình choùp .
b) Tính di eän tích xung quanh cuûa hình noùn noäi ti eáp trong hình choùp .
c) Tính di eän tích cuûa thi eát di eän gi öõa hình choùp vaømaët phaúng qua AB vaøvuoâng goùc vôùi SC.
Bài 09: Ñaùy cuûa hình choùp l aømoät tam gi aùc vuoâng coùcaïnh huyeàn l aøa vaømoät goùc nhoïn 60
0
. Maët beân qua
caïnh huyeàn vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët coøn l aïi hôïp vôùi ñaùy goùc .
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
2
a) Tính theåtích hình choùp naøy .
b) Moät maët phaúng qua caïnh ñaùy vaøcaét caïnh beân ñoái di eän thaønh hai ñoaïn tæl eävôùi 2 vaø3 . Tìm tæsoátheåtích
cuûa hai phaàn cuûa hình choùp do maët phaúng aáy taïo ra .
Bài 10: Cho hình choùp SABC coùñaùy l aøtam gi aùc ABC caân taïi A coùtrung tuyeán AD = a vaøhai maët beân SAB
vaøSAC vuoâng goùc vôùi ñaùy. Caïnh beân SB hôïp vôùi ñaùy moät goùc vaøhôïp vôùi maët phaúng SAD goùc .
a) Tính theåtích hình choùp .
b) Tính khoaûng caùch töøA ñeán maët (SBC).
Bài 11: Cho hình choùp SABC coùñaùy l aøtam gi aùc ABCvuoâng taïi A vaøgoùc C = 60
0
, baùn kính ñöôøng troøn noäi
ti eáp l aøa. Ba maët beân cuûa hình choùp ñeàu hôïp vôùi ñaùy goùc .
a) Tính theåtích vaødi eän tích xung quanh cuûa hình choùp .
b) Tính di eän tích thi eát di eän qua caïnh beân SA vaøñöôøng cao cuûa hình choùp .
Bài 12: Cho hình choùp SABCD coùñaùy l aøhình thoi coùgoùc nhoïn A = . Hai maët beân (SAB) vaø(SAD) vuoâng
goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn l aïi hôïp vôùi ñaùy goùc . Cho SA = a.
a) Tính theåtích vaødi eän tích xung quanh hình choùp .
b) Tính goùc cuûa SB vaømaët phaúng (SAC).
Bài 13: Cho tam gi aùc ñeàu ABC caïnh a treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa tam gi aùc taïi B vaøC
l aàn l öôït l aáy ñi eåm D l öu ñoäng vaøE coáñònh sao cho CE = a 2 . Ñaët BD = x.
a) Tính x ñeåtam gi aùc DAE vuoâng taïi D. Trong tröôøng hôïp naøy tính goùc cuûa hai maët phaúng (DAE) vaø
(ABC).
b) Gi aûsöûx =
2
2
a
. Tính theåtích hình choùp ABCED.
c) KeûCH vuoâng goùc vôùi AD . Tìm quyõtích cuûa H khi x bi eán thi eân.
Bài 14: Cho hình choùp töùgi aùc ñeàu SABCD coùcaïnh ñaùy l aøa. Maët phaúng qua AB vaøtrung ñi eåm M cuûa SC
hôïp vôùi ñaùy moät goùc .
a) Tính theåtích cuûa hình choùp.
b) Goïi I vaøJ l aøñi eåm gi öõa cuûa AB vaøBC. Maët phaúng qua I J vaøvuoâng goùc vôùi ñaùy chi a hình choùp thaønh hai
phaàn. Tính theåtích cuûa hai phaàn naøy .
Bài 15: Laáy ñi eåm C l öu ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2R vaøH l aøhình chi eáu cuûa C l eân AB.
Goïi I l aøtrung ñi eåm cuûa CH. Treân nöûa ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng cuûa nöûa ñöôøng troøn taïi I ta l aáy
ñi eåm D sao cho goùc ADB baèng 90
0
. Ñaët AH = x.
a) Tính theåtích cuûa töùdi eän DABC theo R vaøx . Tính x ñeåtheåtích naøy l ôùn nhaát .
b) Xaùc ñònh taâm I vaøtính hình caàu ngoaïi ti eáp töùdi eän AI BD.
c) Chöùng mi nh khi C l öu ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn thì taâm hình caàu ôûcaâu b chaïy treân ñöôøng thaúng coáñònh.
Bài 16: Ñaùy cuûa hình choùp l aømoät tam gi aùc vuoâng caân coùcaïnh goùc vuoâng baèng a. Maët beân qua caïnh huyeàn
vuoâng goùc vôùi ñaùy, moãi maët beân coøn l aïi taïo vôùi ñaùy goùc 45
0
.
a) Chöùng mi nh raèng chaân ñöôøng cao hình choùp truøng vôùi trung ñi eåm caïnh huyeàn.
b) Tính theåtích vaødi eän tích toaøn phaàn hình choùp.
Bài 17: Cho hình l aäp phöông ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
. Goïi O l aøgi ao ñi eåm caùc ñöôøng cheùo cuûa ABCD. Bi eát OA
/
= a.
a) Tính theåtích hình choùp A
/
.ABD, töøñoùsuy ra khoaûng caùch töøñænh A ñeán maët phaúng A
/
BD.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
3
b) Chöùng mi nh raèng AC
/
vuoâng goùc vôùi maët phaúng A
/
BD.
Bài 18: Moät hình choùp töùgi aùc ñeàu S.ABCD coùcaïnh ñaùy baèng a vaøgoùc ASB = .
a) Tính di eän tích xung quanh hình choùp .
b) Chöùng mi nh raèng ñöôøng cao hình choùp baèng
2
cot 1
2 2
a
÷ .
c) Goïi O l aøgi ao ñi eåm caùc ñöôøng cheùo cuûa ñaùy ABCD. Xaùc ñònh goùc ñeåmaët caàu taâm O ñi qua naêm ñi eåm
S, A, B, C, D.
Bài 19: Cho hình choùp töùgi aùc ñeàu coùcaïnh beân taïo vôùi ñaùy goùc 60
0
vaøcaïnh ñaùy baèng a.
a) Tính theåtích hình choùp.
b) Tính goùc do maët beân taïo vôùi ñaùy.
c) Xaùc ñònh taâm maët caàu ngoaïi ti eáp hình choùp vaøtính baùn kính maët caàu ñoù.
Bài 20: Moät l aêng truï ABC.A
/
B
/
C
/
coùñaùy l aøtam gi aùc ñeàu caïnh a, caïnh beân BB
/
= a, chaân ñöôøng vuoâng goùc
haïtöøB
/
xuoáng ñaùy ABC truøng vôùi trung ñi eåm I cuûa caïnh AC .
a) Tính goùc gi öõa caïnh beân vaøñaùy vaøtính theåtích cuûa l aêng truï.
b) Chöùng mi nh raèng maët beân AA
/
C
/
C l aøhình chöõnhaät.
Bài 21: Cho hình nón có đư ờ ng cao h. Mộ t mặ t phẳ ng ( α ) đi qua đỉnh S củ a hình nón tạ o vớ i mặ t đáy hình nón
mộ t góc 60
0
, đi qua hai đư ờ ng sinh SA, SB củ a hình nón và cắ t mặ t đáy củ a hình nón theo dây cung AB, cung AB
có số đo bằ ng 60
0
. Tính diệ n tích thiế t diệ n SAB.
Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đề u cạ nh a. SA = 2a và SA vuông góc vớ i mặ t
phẳ ng (ABC). Gọ i M và N lầ n lư ợ t là hình chiế u vuông góc củ a A trên các đư ờ ng thẳ ng SB và SC. Tính thể tích củ a
khố i chóp A.BCNM.
Bài 22: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhậ t vớ i, , AB = a, AD = 2 a , SA = a và SA vuông góc
vớ i mặ t đáy (ABCD). Gọ i M và N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a AD và SC; I là giao điể m củ a BM và AC. Chứ ng minh
rằ ng mặ t phẳ ng (SAC) vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (SMB). Tính thể tích củ a khố i tứ diệ n ANIB.
Bài 23: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằ ng chiề u cao và bằ ng a. Trên
đư ờ ng tròn đáy tâm O lấ y điể m A, trên đư ờ ng tròn đáy tâm O' lấ y điể m B sao cho AB = 2a. Tính thể tích củ a khố i tứ
diệ n OO'AB.
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, ZABC = ZBAD, BA = BC = a, AD = 2a, SA = a 2 , SA
± (ABCD). H là hình chiế u củ a A lên SB. Chứ ng minh tam giác SCD vuông và tính khoả ng cách từ H đế n mặ t
phẳ ng (SCD).
Bài 25: Cho hình cóp tam giác đề u S.ABC đỉnh S, có độ dài cạ nh đáy bằ ng a. Gọ i M và N lầ n lư ợ t là các trung
điể m củ a các cạ nh SB và SC. Tính theo a diệ n tích tam giác AMN, biế t rằ ng mặ t phẳ ng (AMN) vuông góc vớ i mặ t
phẳ ng (SBC).
Bài 26: Cho hình tứ diệ n ABCD có cạ nh AD vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
BC = 5cm. Tính khoả ng cách từ điể m A tớ i mặ t phẳ ng (ACD).
Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có độ dài cạ nh đáy AB = a, góc SAB = α . Tính thể tích hình chóp
S.ABCD theo a và α .
Bài 28: Hình chóp S.ABCcó SA là đư ờ ng cao và đáy là tam giác ABC vuông tạ i B. Cho ZBSC = 45
0
, gọ i
ZASB = α ; tìm α để góc nhị diệ n (SC) bằ ng 60
0
.
Bài 29: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạ nh a. Gọ i O
1
là tâm củ a hình vuông A
1
B
1
C
1
D
1
. Tính thể tích
khố i tứ diệ n A
1
B
1
OD.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
4
Bài 30: Cho khố i lăng trụ tam giác đề u ABC.A'B'C' có cạ nh đáy bằ ng 2a, cạ nh bên ' = a 3 AA . Gọ i D, E lầ n
lư ợ t là trung điể m củ a AB và A'B'.
a. Tính thể tích khố i đa diệ n ABA'B'C'.
b. Tính khoả ng cách giữ a đư ờ ng thẳ ng AB và mặ t phẳ ng (CEB').
Bài 31: Cho khố i lăng trụ đứ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là mộ t tam giác vuông tạ i A, AC = b, góc C = 60
0
.
Đư ờ ng chéo BC’củ a mặ t bên BB’C’ tạ o vớ i mặ t phẳ ng (AA’C’C) mộ t góc 30
0
.
a. Tính độ dài đoạ n AC’.
b. Tính thể tích củ a khố i lăng trụ .
Bài 32: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tạ i B, cạ nh SA vuông góc vớ i đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA = 3 a . Gọ i M là trung điể m cạ nh SB. Chứ ng minh mặ t phẳ ng (SAB) vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (SBC).
Tính thể tích khố i tứ diệ n MABC.
Bài 33: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tạ i A , góc ABC = 60
0
, BC = a, SB vuông góc vớ i
mặ t phẳ ng (ABC), SA tạ o vớ i đáy (ABC) mộ t góc 45
0
. Gọ i E, F lầ n lư ợ t là hình chiế u củ a B trên SA, SC.
a. Tính thể tích củ a hình chóp S.ABC
b. Chứ ng minh rằ ng A, B, C, E, F cùng thuộ c mộ t mặ t cầ u, xác định tâm và bán kính củ a mặ t cầ u đó.
Bài 34: Cho tứ diệ n ABCD. Mộ t mặ t phẳ ng ( α ) song song vớ i AD và BC cắ t các cạ nh AB, AC, CD, DB tư ơ ng
ứ ng tạ i các điể m M, N, P, Q.
a. Chứ ng minh rằ ng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí củ a để cho diệ n tích củ a tứ giác MNPQ đạ t giá trị lớ n nhấ t.
Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạ nh a và SA = SB = SD = a.
a. Tính diệ n tích toàn phầ n và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b. Tính cosin củ a góc nhị diệ n (SAB,SAD)
Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậ t. Lấ y M, N lầ n lư ợ t trên các SB, SD sao
cho: 2
SM SN
BM DN
= = .
a. Mặ t phẳ ng (AMN) cắ t cạ nh SC tạ i P. Tính tỷ số
SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V củ a hình chóp S.ABCD.
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạ nh còn lạ i đề u bằ ng 1.
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b. Vớ i x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớ n nhấ t?
Bài 38: Cho 2 nử a đư ờ ng thẳ ng Ax và By vuông góc vớ i nhau và nhậ n AB = a, (a > 0) là đoạ n vuông góc
chung. Lấ y điể m M trên Ax và điể m N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R củ a
mặ t cầ u ngoạ i tiế p tứ diệ n ABMN. Tính khoả ng cách giữ a 2 đư ờ ng thẳ ng AM và BI.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạ i A, cạ nh SB vuông góc vớ i đáy (ABC). Qua B
kẻ BH vuông góc vớ i SA, BK vuông góc vớ i SC. Chứ ng minh SC vuông góc vớ i (BHK) và tính diệ n tích tam giác
BHK biế t rằ ng AC = a, BC = 3 a và 2 SB a = .
Bài 40: Cho tứ diệ n ABCD. Lấ y M bấ t kỳ nằ m trong mặ t phẳ ng (ABD). Các mặ t phẳ ng qua M lầ n lư ợ t song
song vớ i các mặ t phẳ ng (BCD); (CDA); (ABC) lầ n lư ợ t cắ t các cạ nh CA, CB, CD tạ i A', B', C'. Xác định vị trí điể m
M để biể u thứ c sau đạ t giá trị lớ n nhấ t:
1 1 1
CMAB CMBD CMAD
P
V V V
= + +
Bài 41: Cho hình chóp tam giác đề u S.ABC có đư ờ ng cao SO = 1 và đáy ABC có các cạ nh bằ ng 2 6 . Điể m
M, N là trung điể m củ a cạ nh AC, AB tư ơ ng ứ ng. Tính thể tích và bán kính hình cầ u nộ i tiế p hình chóp S.AMN.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
5
Bài 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhậ t vớ i AB = 2a, BC = a. Các cạ nh bên củ a hình
chóp bằ ng nhau và bằ ng 2 a .
a) Tính thể tích củ a hình chóp S.ABCD.
b) Gọ i M, N, E, F lầ n lư ợ t là trung điể m củ a các cạ nh AB, CD, SC, SD. Chứ ng minh rằ ng SN vuông góc vớ i
mặ t phẳ ng (MEF).
c) Tính khoả ng cách từ A đế n mặ t phẳ ng (SCD).
Bài 43: Cho tứ diệ n O.ABC có cạ nh OA, OB, OC đôi mộ t vuông góc vớ i nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệ u
K, M, N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a các cạ nh AB, BC, CA. Gọ i E là điể m đố i xứ ng củ a O qua K và I là giao điể m củ a
CE vớ i mặ t phẳ ng (OMN).
a) Chứ ng minh rằ ng: CE vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (OMN).
b) Tính diệ n tích củ a tứ giác OMIN theo a.
Bài 44: Cho tam giác đề u ABC cạ nh a. Gọ i D là điể m đố i xứ ng vớ i A qua BC. Trên đư ờ ng thẳ ng vuông góc
vớ i mặ t phẳ ng (ABC) tạ i D lấ y điể m S sao cho SD = 6 a . Chứ ng minh mp(SAB) vuông góc vớ i mp(SAC).
Bài 45: Cho tứ diệ n ABCD vớ i tâm diệ n vuông đỉnh A. Xác định vị trí điể m M để : P = MA + MB + MC + MD
đạ t giá trị nhỏ nhấ t.
Bài 46: Cho hình lăng trụ đứ ng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác đề u cạ nh a, AA
1
= a. Tính cosin củ a góc
giữ a 2 mặ t phẳ ng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân vớ i BA = BC = a, SA = a và vuông góc vớ i
đáy. Gọ i M, N là trung điể m AB và AC.
a) Tính cosin góc giữ a 2 mặ t phẳ ng (SAC) và (SBC).
b) Tính cosin góc giữ a 2 mặ t phẳ ng (SMN) và (SBC).
Bài 48: Cho hình thoi ABCD có tâm O, cạ nh a và AC = a . Từ trung điể m H củ a cạ nh AB dự ng SH vuông góc
vớ i mặ t phẳ ng (ABCD) vớ i SH = a.
a) Tính khoả ng cách từ O đế n mặ t phẳ ng (SCD).
b) Tính khoả ng cách từ A đế n mặ t phẳ ng (SBC).
Bài 49: Cho hình lăng trụ tứ giác đề u ABCD.A'B'C'D', có chiề u cao a và cạ nh đấ y 2a. Vớ i M là mộ t điể m trên
cạ nh AB. Tìm giá trị lớ n nhấ t củ a góc A'MC'
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành vớ i AB = a; AD = 2a. Tam giác SAB vuông
cân tạ i A . M điể m trên cạ nh AD (M khác A và B). Mặ t phẳ ng (α ) qua M và song song vớ i mặ t phẳ ng (SAB) cắ t
BC; SC; SD lầ n lư ợ t tạ i N; P; Q.
a) Chứ ng minh rằ ng MNPQ là hình thang vuông .
b) Đặ t AM = x . Tính diệ n tích hình thang MNPQ theo a ; x
Bài 51: Cho tứ diệ n đề u ABCD có cạ nh bằ ng a. Gọ i O là tâm đư ờ ng tròn ngoạ i tiế p Δ BCD .
a) Chứ ng minh rằ ng AO vuông góc vớ i CD.
b) Gọ i M là trung điể m CD. Tính cosin góc giữ a AC và BM.
Bài 52: Cho hình lăng trụ đứ ng ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy là tam giác đề u cạ nh a. Cạ nh AA
1
= 2 a . Gọ i M, N lầ n lư ợ t
là trung điể m AB và A
1
C
1
.
a) Xác định thiế t diệ n củ a lăng trụ vớ i mp (P) qua MN và vuông góc vớ i mp(BCC
1
B
1
). Thiế t diệ n là hình gì.
b) Tính diệ n tích thiế t diệ n.
Bài 53: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có cạ nh đáy bằ ng a, tâm O. Gọ i M; N lầ n lư ợ t là trung điể m SA và
BC. Biế t góc giữ a MN và mặ t phẳ ng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạ n MN.
b) Tính cosin củ a góc giữ a MN và mặ t phẳ ng (SBD).
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
6
Bài 54: Trong mặ t phẳ ng (P), cho mộ t hình vuông ABCD có cạ nh bằ ng a. S là mộ t điể m bấ t kì nằ m trên đư ờ ng
thẳ ng At vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (P) tạ i A. Tính theo a thể tích hình cầ u ngoạ i tiế p chóp S.ABCD khi SA = 2a.
Bài 55: Cho tứ diệ n ABCD có = 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1 AC .
a. Chứ ng minh rằ ng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông .
b. Tính diệ n tích toàn phầ n củ a tứ diệ n ABCD.
Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạ nh a. SC vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (ABCD); SC = 2a.
Hai điể m M, N lầ n lư ợ t thuộ c SB và SD sao cho = = 2
SM SN
SB SD
. Mặ t phẳ ng (AMN) cắ t SC tạ i P .Tính thể tích
hình chóp S.MANP theo a
Bài 57: Cho lậ p phư ơ ng ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo củ a góc phẳ ng nhị diệ n [ B, A’C, D]
Bài 58: Cho hình lăng trụ đứ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là mộ t hình thoi cạ nh a, góc BAD = 60
0
. Gọ i M
là trung điể m cạ nh AA' và N là trung điể m cạ nh CC'. Chứ ng minh rằ ng bố n điể m B', M, D, N cùng thuộ c mộ t mặ t
phẳ ng. Hãy tính độ dài cạ nh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông .
Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có SA ± (ABC), tam giác ABC vuông tạ i B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọ i M và
N lầ n lư ợ t là hình chiế u vuông góc củ a A trên SB và SC. Tính diệ n tích củ a tam giác AMN theo a.
Bài 60: Cho hình chóp S.ABC.Đáy ABC là tam giác vuông tạ i B, cạ nh SA vuông góc vớ i đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA = a 3 . Chứ ng minh mặ t phẳ ng (SAB) vuông góc vớ i mp (SBC). Tính thể tích khố i tứ diệ n MABC.
Bài 61: Cho hình hộ p chữ nhậ t ABCD.A'B'C'D' vớ i AB = a, BC = b, AA' = c.
a. Tính diệ n tích củ a tam giác ACD' theo a, b, c.
b. Giả sử M và N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a AB và BC. Hãy tính thể tích củ a tứ diệ n D'DMN theo a, b, c.
Bài 62: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A'B'C'D' vớ i cạ nh bằ ng a. Giả sử M, N, P, Q lầ n lư ợ t là trung điể m củ a
các cạ nh A'D', D'C', C'C, AA'.
a. Chứ ng minh rằ ng bố n điể m M, N, P, Q cùng nằ m trên mộ t mặ t phẳ ng. Tính chu vi củ a tứ giác MNPQ theo a.
b. Tính diệ n tích củ a tứ giác MNPQ theo a.
Bài 63: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A'B'C'D' vớ i cạ nh bằ ng a.
a. Hãy tính khoả ng cách giữ a hai đư ờ ng thẳ ng AA' và BD'.
b. Chứ ng minh rằ ng đư ờ ng chéo BD' vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (DA'C').
Bài 64: Cho hình hộ p chữ nhậ t ABCD.A'B'C'D'; vớ i AA' = a, AB = b, AC = c. Tính thể tích củ a tứ diệ n
ACB'D' theo a, b, c.
Bài 65: Cho tam diệ n ba mặ t vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lầ n lư ợ t lấ y các điể m A, B, C.
a. Tính diệ n tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c.
b. Giả sử A, B, C thay đổ i như ng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổ i.
Hãy xác định giá trị lớ n nhấ t củ a thể tích tứ diệ n OABC.
Bài 66: Bên trong hình trụ tròn xoay có mộ t hình vuông ABCD cạ nh a nộ i tiế p mà hai đỉnh liên tiế p A, B nằ m
trên đư ờ ng tròn đáy thứ nhấ t củ a hình trụ , hai đỉnh còn lạ i nằ m trên đư ờ ng tròn đáy thứ hai củ a hình trụ . Mặ t phẳ ng
hình vuông tạ o vớ i đáy củ a hình trụ mộ t góc 45
0
. Tính diệ n tích xung quanh và thể tích củ a hình trụ đó.
Bài 67: Cho hình lậ p phư ơ ng ABCD.A'B'C'D' cạ nh a và mộ t điể m M trên cạ nh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặ t
phẳ ng (P) đi qua điể m M và chứ a đư ờ ng chéo A'C' củ a hình vuông A'B'C'D'.
a. Tính diệ n tích thiế t diệ n củ a hình lậ p phư ơ ng cắ t bở i mặ t phẳ ng (P) .
b. Mặ t phẳ ng (P) chia hình lậ p phư ơ ng thành hai khố i đa diệ n hãy tìm x để thể tích củ a mộ t trong hai khố i đa
diệ n đó gấ p đôi diệ n tích củ a khố i đa diệ n kia.
Bài 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhậ t ABCD vớ i AB = 2a, BC = a. Các cạ nh bên củ a hình
chóp bằ ng nhau và bằ ng 2 a .
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
7
a. Tính thể tích củ a hình chóp S.ABCD
b. Gọ i M, N, E, F lầ n lư ợ t là trung điể m củ a các cạ nh AB, CD, SC, SD. Chứ ng minh rằ ng SN vuông góc vớ i
mặ t phẳ ng (MEF).
c. Tính khoả ng cách từ A đế n mặ t phẳ ng (SCD).
Bài 69: Cho lăng trụ đứ ng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông a AC AB = = , AA
1
= a 2 . Gọ i M, N
lầ n lư ợ t là trung điể m củ a đoạ n AA
1
và BC
1
. Chứ ng minh MN là đư ờ ng vuông góc chung củ a các đư ờ ng thẳ ng AA
1
và BC
1
. Tính
1 1
BC MA
V .
Bài 70: Cho lăng trụ đứ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạ nh a, góc nhọ n BAD = 60
0
. Biế t
' ' AB BD ±
. Tính thể tích lăng trụ trên theo a.
Bài 71: Trong mặ t phẳ ng (P) , cho mộ t hình vuông ABCD có cạ nh bằ ng a. S là mộ t điể m bấ t kì nằ m trên đư ờ ng
thẳ ng At vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (P) tạ i A. Gọ i M, N lầ n lư ợ t là hai điể m di độ ng trên các cạ nh CB , CD ( M e
CB, N e CD ), và đặ t CM = m, CN = n. Tìm mộ t biể u thứ c liên hệ giữ a m và n để các mặ t phẳ ng (SMA) và (SAN)
tạ o vớ i nhau mộ t góc 45
0
.
Bài 72: Cho hình hộ p chữ nhậ t ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
a. Tính khoả ng cách giữ a 2 đư ờ ng thẳ ng AD' và B'C'.
b. Gọ i M là điể m chia đoạ n AD theo tỉ số AM:MD = 3. Hãy tính khoả ng cách từ điể m M đế n mp (AB'C).
c. Tính thể tích tứ diệ n A.B'D'C'.
Bài 73: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đư ờ ng tròn C bán kính a, chiề u cao
3
=
4
h a ; và cho hình chóp đỉnh S, đáy
là mộ t đa giác lồ i ngoạ i tiế p C.
a. Tính bán kính mặ t cầ u nộ i tiế p hình chóp (mặ t cầ u ở bên trong hình chóp, tiế p xúc vớ i đáy và vớ i các mặ t bên
củ a hình chóp).
b. Biế t thể tích khố i chóp bằ ng 4 lầ n thể tích khố i nón, hãy tính diệ n tích toàn phầ n củ a hình chóp.
Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậ t. Lấ y M, N lầ n lư ợ t trên các cạ nh SB, SD sao
cho 3
BN
SN
BM
SM
= = .
a. Mặ t phẳ ng (AMN) cắ t cạ nh SC tạ i P. Tính tỷ số
SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V củ a hình chóp S.ABCD.
Bài 75: Cho tứ diệ n OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = góc AOC = 60
0
, góc BOC = 90
0
. Tính độ dài
các cạ nh còn lạ i củ a tứ diệ n và chứ ng minh rằ ng tam giác ABC vuông.
Bài 76: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tạ i B, cạ nh SA vuông góc vớ i đáy, góc ACB = 60
0
,
BC = a, SA = 3 a . Gọ i M là trung điể m củ a SB. Chứ ng minh mặ t phẳ ng (SAB) vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (SBC).
Tính thể tích khố i tứ diệ n MABC.
Bài 77: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là tam giác cân vớ i AB = AC = a, góc BAC = α và ba cạ nh
bên nghiêng đề u trên đáy mộ t góc nhọ n β . Hãy tính thể tích hình chóp đã cho theo a , α , β .
Bài 78: Cho hình hộ p đứ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông ABCD cạ nh bên AA' = h. Tính thể tích tứ
diệ n BDD'C'.
Bài 79: Cho hình chóp S.ABC có (ABC) SA ± , tam giác ABC vuông tạ i B, SA = AB = a , BC = 2a. Gọ i M ,
N lầ n lư ợ t là hình chiế u vuông góc củ a A trên SB và SC. Tính diệ n tích củ a tam giác AMN theo a.
Bài 80: Cho tứ diệ n ABCD có AB = CD = a ; AC = BD = b và AD = BC =c ( a, b , c > 0). Xác định tâm và tính
bán kính mặ t cầ u ngoạ i tiế p theo a, b, c.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
8
Bài 81: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biế t rằ ng góc nhọ n tạ o bở i hai đư ờ ng chéo
AC và BD là 60
0
, các tam giác SAC và SBD đề u có cạ nh bằ ng a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 82: Tính thể tích củ a khố i nón xoay biế t khoả ng cách từ tâm củ a đáy đế n đư ờ ng sinh bằ ng 3 và thiế t diệ n
qua trụ c là mộ t tam giác đề u.
Bài 83: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biế t rằ ng góc nhọ n tạ o bở i hai đư ờ ng chéo
AC và BD là 60
0
, các tam giác SAC và SBD đề u có cạ nh bằ ng a. Tính thể tích hình chóp theo a.
Bài 84: Cho khố i chóp tứ giác đề u SABCD có cạ nh đáy a và đư ờ ng cao bằ ng a/2.
a/. Tính sin củ a góc hợ p bở i cạ nh bên SC và mặ t bên (SAB ).
b/. Tính diệ n tích xung quanh và thể tích củ a khố i chóp đã cho .
Bài 85: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạ nh a, góc ABC bằ ng 60
0
. Chiề u cao SO
củ a hình chóp bằ ng
3
2
a
, trong đó O là giao điể m củ a hai đư ờ ng chéo AC và BD. Gọ i M là trung điể m củ a AD,
( ) là mặ t phẳ ng đi qua BM, song song vớ i SA, cắ t SC tạ i K. Tính thể tích hình chóp K.BCDM.
Bài 86: Cho hình chóp tam giác đề u S.ABC có cạ nh bên bằ ng a . Cho M , N lầ n lư ợ t là trung điể m các cạ nh SA
và SC và mặ t phẳ ng (BMN) vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (SAC).
a/. Tính thể tích hình chóp tam giác đề u S.ABC.
b/. Tính thể tích hình chóp SBMN.
Bài 87: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tạ i B, BC = a, SA = 2 a , AS ±
mp(ABC). Gọ i (P) là mặ t phẳ ng đi qua A và vuông góc vớ i SC cắ t SB, SC, SD lầ lư ợ t tạ i B’, C’, D’. Tính thể tích
củ a khố i chóp S.AB’C’D’.
Bài 88: Cho hình chóp S.ABC có mặ t bên (SBC) vuông góc vớ i đáy, hai mặ t bên (SAB) và (SAC) cùng lậ p vớ i
đáy mộ t góc 45
0
; đáy ABC là tam giác vuông cân tạ i A có AB = a.
a/. Chứ ng minh rằ ng hình chiế u củ a S trên mặ t (ABC) là trung điể m củ a BC.
b/. Tính thể tích củ a hình chóp S.ABC theo a ?
Bài 89: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là hình chữ nhậ t có AB = a, cạ nh bên SA vuông góc vớ i đáy;
cạ nh bên SC hợ p vớ i đáy góc và hợ p vớ i mặ t bên (SAB) mộ t góc .
a/. Chứ ng minh
2
2
2 2
os sin
a
SC
c
=
÷
.
b/. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, và .
Bài 90: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có cạ nh đáy bằ ng a, góc giữ a cạ nh bên và đáy là . Gọ i M là
trung điể m củ a cạ nh SC, mặ t phẳ ng (MAB) cắ t SD tạ i N. Tính theo a và thể tích hình chóp S.ABMN.
Bài 91: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạ nh SA ± mp(ABCD). Mặ t phẳ ng ( )
qua AB cắ t các cạ nh SC, SD lầ n lư ợ t tạ i M, N và chia hình chóp thành hai phầ n có thể tích bằ ng nhau. Tính tỉ số
SM
SC
.
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhậ t có AB = a; AD = b; SA = b là chiề u cao củ a hình
chóp. M là điể m trên cạ nh SA vớ i SA = x ( 0 < x < b); mặ t phẳ ng (MBC) cắ t SD tạ i N. Tính thể tích củ a khố i đa
diệ n ABCDMN theo a, b và x?
Bài 93: Cho lăng trụ đứ ng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác AB vuông cân có AB = AC = a. Gọ i E là trung
điể m củ a AB, F là hình chiế u vuông góc củ a E trên BC. Mặ t phẳ ng (C’EF) chia lăng trụ thành hai phầ n.Tính tỉ số
thể tích củ a hai phầ n đó?
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
9
Bài 94: Cho hình chóp S.ABC. M là điể m trên SA, N là điể m trên SB sao cho
1
2
SM
MA
= và 2
SN
NB
= . Mặ t
phẳ ng (P) qua MN và song song vớ i SC chia khố i chóp thành hai phầ n. Tìm tỉ số thể tích củ a hai phầ n đó.
Bài 95: Khố i chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọ i B', D’ lầ n lư ợ t là trung điể m củ a SB, SD. Mặ t
phẳ ng (AB'D') cắ t SC tạ i C'. Tìm tỉ số thể tích củ a hai khố i chóp S.AB'C'D' và S.ABCD.
Bài 96: Khố i chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọ i M, N, P lầ n lư ợ t là trư ng điể m củ a AB, AD và SC.
Chứ ng minh mặ t phẳ ng (MNP) chia khố i chóp thành hai phầ n có thể tích bằ ng nhau.
Bài 97: Cho khố i chóp tứ giác đề u S.ABCD. Mộ t mặ t phẳ ng (P) đi qua A, B và trung điể m M củ a cạ nh SC.
Tính tỉ số thể tích củ a hai phầ n khố i chóp bị phân chia bở i mặ t phẳ ng đó.
Bài 98: Cho khố i lậ p phư ơ ng ABCD.A'B'C'D' cạ nh a. Các điể m E và F lầ n lư ợ t là trung điể m củ a C’B’ và C'D'.
a/. Dự ng thiế t diệ n củ a khố i lậ p phư ơ ng khi cắ t bở i mp(AEF).
b/.Tính tỉ số thể tích hai phầ n củ a khố i lậ p phư ơ ng bị chia bở i mặ t phẳ ng (AEF).
Bài 99: Trên nử a đư ờ ng tròn đư ờ ng kính AB = 2R, lấ y mộ t điể m C tuỳ ý (C khác A, B). Kẻ CH ± AB (H e
AB). gọ i I là trung điể m củ a CH. Trên nử a đư ờ ng thẳ ng It vuông góc vớ i mp(ABC), lấ y điể m S sao cho
0
AS 90 B = .
a/. Chứ ng minh rằ ng khi C chạ y trên nử a đư ờ ng tròn đã cho thì :
+ Mặ t phẳ ng (SAB) cố định. + Điể m cách đề u các điể m S, A, B, I chạ y trên mộ t đư ờ ng thẳ ng cố định.
b/. Cho AH = x. Tính thế tích khố i chóp S.ABC theo R và x. Tìm vị trí củ a C để thể tích đó lớ n nhấ t.
Bài 100: Cho hình chóp tứ giác đề u S.ABCD có độ dài cạ nh đáy AB = a và góc SAB = . Tính thể tích hình
chóp S.ABCD theo a và .
Bài 101: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có chiề u cao bằ ng a hai đư ờ ng thẳ ng AB’ và BC’ vuông góc vớ i nhau.
Tính thể tích hình lăng trụ đó theo a.
Bài 102: Cho hình chóp đề u S.ABCD cạ nh đáy bằ ng a, góc giữ a mặ t phẳ ng (SAB) và (SBC) là . Tính thể tích
khố i chóp S.ABCD theo a và .
Bài 103: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tạ i B, đư ờ ng thẳ ng SA vuông góc vớ i mp(ABC),
biế t AB = a, BC = 3 a và SA = 3a.
a) Tính thể tích khố i chóp S.ABC theo a
b) Gọ i I là trung điể m củ a cạ nh SC, tính độ dài đoạ n BI theo a.
Bài 104: Cho hình chóp tam giác đề u S. ABC có cạ nh đáy bằ ng a, cạ nh bên bằ ng 2a. Gọ i I là trung điể m củ a BC.
a) Chứ ng minh SA vuông góc vớ i BC.
b) Tính thể tích khố i chóp S.ABI theo a.
Bài 105: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tạ i B, cạ nh bên SA vuông góc vớ i đáy. Biế t SA = AB
= BC = a. Tính thể tích khố i chóp S.ABC.
Bài 106: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạ nh a, cạ nh bên SA vuông góc vớ i đáy, cạ nh bên
SA bằ ng 3 a .
a) Tính thể tích củ a khố i chóp S.ABCD.
b) Chứ ng minh trung điể m củ a cạ nh SC là tâm mặ t cầ u ngoạ i tiế p hình chóp S.ABCD.
Bài 107: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc vớ i nhau từ ng đôi mộ t. Biế t SA = a, AB = BC =
3 a . Tính thể tích củ a khố i chóp S.ABC.
Bài 108: Cho khố i chóp S.ABC có hai mặ t ABC và SBC là hai tam giác đề u nằ m trong hai mặ t phẳ ng vuông góc
nhau. Biế t BC =1, tính thể tích củ a khố i chóp S.ABC.
Bài 109: Cho khố i chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tạ i A và hình chiế u vuông góc củ a S lên
(ABC) trùng vớ i trọ ng tâm G củ a tam giác ABC. Biế t SA hợ p vớ i đáy góc
0
60 = . Tính thể tích củ a khố i chóp
S.ABC.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
10
Bài 110: Cho khố i chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC và SAC là hai tam giác đề u cạ nh a, SB =SD.
Tính thể tích củ a khố i chóp S.ABCD.
Bài 111: Cho khố i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậ t, cho SA ± (ABCD). Biế t SA = 2a, AB = a,
BC = 3a. Tính thể tích củ a khố i chóp S.ABC.
Bài 112: Cho khố i chóp S. ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B. Cho SA vuông góc vớ i mặ t đáy
(ABCD), SA = AD = 2a và AB = BC = a . Tính thể tích củ a khố i chóp S. ABCD.
Bài 113: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạ nh a, SA vuông góc vớ i mặ t đáy (ABCD), góc giữ a
SC và đáy (ABCD) là 45
0
.Tính thể tích củ a khố i chóp S.ABCD.
Bài 114: Cho khố i chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đề u A, B, C mặ t
bên (SAB) hợ p vớ i mặ t đáy (ABC) góc 60
0
. Tính thể tích khố i chóp S.ABC.
Bài 115: Cho khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đề u cạ nh bằ ng a, cạ nh bên bằ ng 3 a và hình chiế u
(vuông góc) củ a A’ lên (ABC) trùng vớ i trung điể m củ a BC . Tính thể tích khố i lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích củ a
khố i chóp A’.ABC
Bài 116: Cho khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đề u cạ nh bằ ng a, cạ nh bên hợ p vớ i đáy góc
60
0
, A’ cách đề u A, B, C. Chứ ng minh BB’C’C là hình chữ nhậ t và tính thể tích củ a khố i lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 117: Cho hình lăng trụ đứ ng ABC.A’B’C’ có đáy là mộ t tam giác vuông tạ i A, AC = b,
o
60 ACB = Z .
Đư ờ ng chéo BC’ củ a mặ t bên BB’C’C tạ o vớ i mặ t phẳ ng (AA’C’C) mộ t góc 30
0
.
a) Chứ ng minh tam giác ' ABC vuông tạ i A
b) Tính độ dài đoạ n AC’.
c) Tính thể tích củ a khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích củ a khố i chóp C’.ABC
Bài 118: Cho khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằ ng V. Gọ i M , N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a hai cạ nh AA’
và BB’. Mặ t phẳ ng (C’MN) chia khố i lăng trụ đã cho thành hai phầ n .
a). Tính thể tích củ a khố i chóp C’.ABC theo V.
b). Tính thể tích củ a khố i chóp C’. ABB’A’ theo V.
c) Tính thể tích khố i chóp C’. MNB’A’ theo V.
d) Tính tỉ lệ thể tích củ a hai khố i chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’.
Bài 119: Cho khố i lăng trụ đứ ng ABC.A’B’C’ có đáy AABC vuông tạ i A, AB = a, góc B bằ ng 60
0
, AA’ = a 3 .
a/ Tính thể tích khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.
b/ Tính thể tích tứ diệ n ABA’C’.
Bài 120: Cho khố i lăng trụ tam giác đề u ABC.A’B’C’ có cạ nh đáy bằ ng a, góc giữ a B’C và mặ t đáy bằ ng 45
0
.
a/ Tính khố i lăng trụ tam giác đề u ABC.A’B’C’.
b/ M là trung điể m A’A. mp(B’CM) chia khố i lăng trụ đã cho thành 2 khố i chóp. Hãy nêu tên 2 khố i chóp đó
và tính tỉ số thể tích củ a chúng?
Bài 121: Cho khố i hộ p chữ nhậ t ABCD.A’B’C’D’ vớ i AB = a , AD = a 3 . Góc A’C và mặ t đáy bằ ng 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i hộ p chữ nhậ t ABCD.A’B’C’D’.
b/ Tính thể tích khố i tứ diệ n ACB’D’.
Bài 122: Cho khố i lăng trụ tứ giác đề u ABCD.A’B’C’D’ có cạ nh đáy bằ ng a , chiề u cao bằ ng 2a.
a/ Tính thể tích khố i lăng trụ tứ giác đề u ABCD.A’B’C’D’.
b/ Gọ i I là trung điể m A’C . Tính thể tích khố i chóp I.ABCD.
Bài 123: Cho khố i lăng trụ đứ ng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạ nh bằ ng a , góc A bằ ng 60
0
, góc
giữ a đư ờ ng thẳ ng AC’ và mặ t đáy bằ ng 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
b/ Tính thể tích khố i chóp A.BCC’B’.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
11
Bài 124: Cho khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đề u cạ nh bằ ng a , hình chiế u vuông góc củ a
đỉnh A’ trên mặ t đáy ABC là trung điể m củ a BC, góc giữ a cạ nh bên và mặ t đáy bằ ng 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.
b/ M là hình chiế u vuông góc củ a B trên A’A. Mặ t phẳ ng (BCM) chia khố i lăng trụ đã cho thành 2 khố i đa diệ n,
hãy tính tỉ số thể tích củ a chúng
Bài 125: Cho khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đề u cạ nh bằ ng a , đỉnh A’ cách đề u các
điể m A, B, C. Cạ nh A’A tạ o vớ i mặ t đáy mộ t góc 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’
b/ Chứ ng minh mặ t bên BCC’B’ là hình chữ nhậ t . Từ đó tính khoả ng cách từ điể m A’ đế n mặ t bên BCC’B’
Bài 126: Cho khố i chóp tam giác S.ABC có đáy AABC vuông tạ i B, AB = a, BC = 2a, SC = 3a và cạ nh bên SA
vuông góc vớ i mặ t đáy.
a/ Tính thể tích khố i chóp tam giác S.ABC .
b/ M là trung điể m SB và H là hình chiế u vuông góc A trên SC.Tính thể tích tứ diệ n SAMH.
Bài 127: Cho khố i chóp tam giác S.ABC có đáy AABC vuông tạ i A, AB = a, góc C bằ ng 30
0
, cạ nh bên SB
vuông góc vớ i mặ t đáy và SC tạ o vớ i mặ t đáy mộ t góc 45
0
.
a/ Tính thể tích khố i chóp tam giác S.ABC.
b/ Gọ i A’ là hình chiế u vuông góc củ a B trên SA và C’ thuộ c SC sao cho SC = 3SC’. Tính thể tích tứ diệ n
SBA’C’ và khoả ng cách từ điể m C’ đế n mp(SAB).
Bài 128: Cho khố i chóp tam giác S.ABC có đáy AABC đề u cạ nh bằ ng a, chân đư ờ ng cao củ a khố i chóp là trung
điể m củ a cạ nh BC còn các mặ t bên SAB, SAC cùng tạ o vớ i đáy mộ t góc 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i chóp tam giác S.ABC.
b/ Gọ i O là tâm AABC và G là trọ ng tâm ASBC. Tính thể tích tứ diệ n OGBC.
Bài 129: Cho khố i chóp tam giác đề u S.ABC có cạ nh đáy bằ ng a, cạ nh bên tạ o vớ i đáy mộ t góc α.
a/ Tính thể tích khố i chóp tam giác đề u S.ABC.
b/ Mặ t phẳ ng qua BC và vuông góc vớ i SA tạ i D. Tính thể tích khố i chóp S.BCD.
Bài 130: Cho khố i tứ diệ n đề u cạ nh bằ ng a.
a/ Tính thể tích khố i tứ diệ n đề u trên.
b/ M là điể m tùy ý thuộ c miề n trong củ a khố i tứ diệ n. Chứ ng minh tổ ng các khoả ng cách từ điể m M đế n các
mặ t củ a tứ diệ n không phụ thuộ c vị trí củ a điể m M.
Bài 131: Cho khố i chóp tứ giác S.ABCD đáy hình chữ nhậ t có AB = a, BC = 2a, cạ nh bên SA ± (ABCD) và SA
= 2a.
a/ Tính thể tích khố i chóp tứ giác S.ABCD.
b/ Gọ i B’,D’ lầ n lư ợ t là hình chiế u vuông góc củ a A trên SB , SD. Chứ ng minh mp(AB’D’) vuông góc vớ i SC.
c/ Gọ i C’ là giao điể m củ a SC vớ i mp(AB’D’). Tính thể tích khố i chóp S.AB’C’D’.
Bài 132: Cho khố i chóp tứ giác S.ABCD đáy hình vuông cạ nh bằ ng a, cạ nh bên SA ± (ABCD), góc giữ a cạ nh
bên SC và mặ t đáy bằ ng 45
0
.
a/ Tính thể tích khố i chóp tứ giác S.ABCD.
b/ Mặ t phẳ ng đi qua A và vuông góc vớ i SC cắ t SB, SC, SD lầ n lư ợ t tạ i B’, C’, D’. Tính thể tích khố i chóp
S.AB’C’D’.
Bài 133: Cho khố i chóp tứ giác đề u S.ABCD cạ nh đáy bằ ng a, cạ nh bên bằ ng b.
a/ Tính thể tích khố i chóp tứ giác S.ABCD.
b/ Gọ i M là trung điể m củ a SC. Mặ t phẳ ng đi qua AM và song song vớ i BD cắ t SB, SD lầ n lư ợ t tạ i E, F. Tính
thể tích khố i chóp S.AEMF.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
12
Bài 134: Tính thể tích khố i bát diệ n đề u cạ nh bằ ng a .
Bài 135: Cho khố i chóp tam giác S.ABC có đáy AABC vuông tạ i A, AB = a, BC = 2a. Đỉnh S cách đề u các
điể m A, B, C và cạ nh bên tạ o vớ i đáy mộ t góc 60
0
.
a/ Tính thể tích khố i chóp tam giác S.ABC.
b/ Gọ i G là trọ ng tâm ASBC. Mặ t phẳ ng đi qua AG và song song vớ i BC cắ t SB, SC lầ n lư ợ t tạ i M, N. Tính thể
tích khố i chóp S.AMN.
Bài 136: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã ®êng cao SO = 1 vµ ®¸y ABC cã c¹nh b»ng 2 6 . §iÓm M, N
lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AC, AB t¬ng øng. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.AMN.
Bài 137: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R trong MP(P) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®êng trßn ®ã. Cho
o = ZMAB . Trªn ®êng vu«ng gãc víi (P) t¹i A lÊy SA h = . Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A
trªn SM, SB.
a. Chøng minh r»ng , ) SB KHA ± .
b. Gäi I lµ giao cña HK víi (P). H·y chøng minh AI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®· cho.
c. Cho 2 h R = , 30
o
= . TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.KHA.
Bài 138: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’, cã c¸c c¹nh ®Òu b»ng a. Hai ®iÓm M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm
cña BB’, CC’ vµ I lµ t©m cña tam gi¸c ABC.
a. H·y dùng ®êng th¼ng d ®i qua I c¾t ®ång thêi c¶ MN vµ AB’.
b. Gäi giao cña d víi MN vµ AB’ lÇn lît lµ P, Q. H·y tÝnh ®é dµi cña IP vµ PQ.
c. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu ngo¹i tiÕp h×nh l¨ng trô.
Bài 139: Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã SA = x, BC = y, c¸c c¹nh cßn l¹i ®Òu b»ng 1.
a. ThÓ tÝch h×nh chãp theo x, y.
b. Víi x, y nµo th× thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt?
Bài 140: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ò S.ABCD, tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a.
a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD.
b. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ t©m mÆt ®¸y ABCD ®Õn c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp.
Bài 141: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m I. C¸c nöa ®êng th¼ng Ax, Cy vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD)
vµ ë vÒ cïng mét phÝa ®èi víi mÆt ph¼ng ®ã. Cho ®iÓm M kh«ng trïng víi A trªn Ax, cho ®iÓm N kh«ng trïng víi C
trªn Cy. §Æt AM = m, CN = n.
a. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp B.AMNC.
b. TÝnh MN theo a, m, n vµ t×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a, m, n ®Ó gãc MIN lµ gãc vu«ng.
Bài 142: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a vµ mét ®iÓm M trªn c¹nh AB, AM = x, 0 x a < < . XÐt
mÆt ph¼ng (P) ®i qua M vµ chøa ®êng chÐo A’C’ cña h×nh vu«ng A’B’C’D’.
a. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph¬ng c¾t bëi mÆt ph¼ng (P).
b. MÆt ph¼ng (P) chia h×nh lËp ph¬ng thµnh hai khèi ®a diÖn, h·y t×m x ®Ó thÓ tÝch cña mét trong hai khèi ®a
diÖn ®ã gÊp ®«i thÓ tÝch khèi ®a diÖn kia.
Bài 143: Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c mÆt bªn ®Òu lµ h×nh vu«ng c¹nh a . Gäi E , D lµ trung ®iÓm
A’C’ vµ BD . MÆt ph¼ng (ADE) chia khèi l¨ng trô thµnh hai phÇn tÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn
Bài 144: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB a = , 2 AD a = , SA a = vµ SA vu«ng
gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD). Gäi M vµ N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ SC; I lµ giao ®iÓm cña BM vµ AC. Chøng
minh r»ng , ) , ) SAC SMB ± . TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ANIB.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
13
Bài 145: Cho l¨ng trô ®øng ABC.A
1
B
1
C
1
cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng, AB AC a = = ,
1
2 AA a = . Gäi M, N
lÇn lît lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AA
1
vµ BC
1
. Chøng minh r»ng MN lµ ®êng vu«ng gãc chung cña c¸c ®êng th¼ng
AA
1
vµ BC
1
. TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn MA
1
BC
1
.
Bài 146: Khố i lăng trụ tứ giác đề u ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có khoả ng cách hai đư ờ ng thẳ ng AB và A
1
D bằ ng 2 và độ
dài đư ờ ng chéo củ a mặ t bên bằ ng 5.
a) Hạ AK± A
1
D (K eA
1
D ).CMR: AK = 2.
b) Tính thể tích khố i lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
Bài 147: Cho h×nh chãp ®Òu tø gi¸c S.BACD cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu b»ng a . Gäi M, N thø tù lµ trung ®iÓm cña
SA mÆt ph¼ng (BMN) c¾t SD t¹i F . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SBMFN.
Bài 148: Cho hình hộ p chữ nhậ t ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
vớ i AB = a; BC = b; AA
1
= c.
a) Tính diệ n tích tam giác ACD
1
theo a, b, c.
b) Giả sử M,N lầ n lư ợ t là trung điể m củ a AB và AC. Tính thể tích củ a tứ diệ n D
1
DMN theo a, b, c.
Bài 149: Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC = 2a. biế t rằ ng các mặ t bên
(SAB), (SBC), (SCA) đề u hợ p vớ i mặ t phẳ ng đáy (ABC) mộ t góc 60
o
. Kẻ đư ờ ng cao SH củ a hình chóp.
a) Chứ ng tỏ H là tâm đư ờ ng tròn nộ i tiế p tam giác ABC và SA± BC.
b) Tính thể tích củ a khố i chóp.
Bài 150: Cho hình chóp đề u SABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạ nh 2a. Cạ nh bên SA = a 5 . Mộ t mặ t
phẳ ng (P) đi qua A, B và vuông góc vớ i mp(SCD), (P) lầ n lư ợ t cắ tt SC, SD tạ i C
1
và D
1
.
a) Tính diệ n tích củ a tứ giác ABC
1
D
1
.
b) Tính thể tích củ a khố i đa diệ n ABCDD
1
C
1
.
Bài 151: Cho hình chóp tứ giác đề u SABCD đỉnh S, độ dài cạ nh đáy AB = a và góc SAB = 60
o
. Tính thể tích
hình chóp SABCD theo a.
Bài 152: Cho tam giác đề u ABC cạ nh a. Trên đư ờ ng thẳ ng d vuông góc vớ i mf(ABC) tạ i Alấ y điể m M. Gọ i H là
trự c tâm củ a tam giấ cBC,K là trự c tâm củ a tam giác BCM.
a) CMR: MC ± (BHK); HK ± (BMC).
b)Khi M thay đổ i trên d, tìm GTLN củ a thể tích tứ diệ n KABC.
Bài 153: Trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R, lÊy ®iÓm C tuú ý. KÎ CH vu«ng gãc víi AB. Gäi I lµ trung
®iÓm cña CH. Trªn nöa ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) t¹i I, lÊy ®iÓm S sao cho gãc ASB = 90
0
.
a) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (SAB) t¹o víi mÆt ph¼ng (ABC) gãc 60
0
.
b) Cho AH = x. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SABC theo R vµ x. T×m vÞ trÝ cña C ®Ó thÓ tÝch ®ã lín nhÊt.
Bài 154: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R trong mÆt ph¼ng (P) vµ mét ®iÓm M n»m trªn ®êng trßn ®ã sao
cho gãc MAB b»ng 30
0
. Trªn ®êng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy ®iÓm S sao cho SA = 2R. Gäi H vµ K lÇn
lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SM, SB.
a) Chøng minh r»ng SB vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (KHA).
b) TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SKHA.
Bài 155: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a. Gäi K lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ I lµ t©m cña
mÆt bªn CC’D’D.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph¬ng víi mÆt ph¼ng (AIK).
b) TÝnh thÓ tÝch cña c¸c h×nh ®a diÖn do mÆt ph¼ng (AIK) chia ra trªn h×nh lËp ph¬ng.
Bài 156: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD, AB, SC.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNP).
b) So s¸nh thÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn do mÆt ph¼ng (MNP) chia ra trªn h×nh chãp.
Bài 157: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu cã chiÒu cao h vµ c¹nh ®¸y a. TÝnh thÓ tÝch cña khèi lËp ph¬ng cã mét mÆt
n»m trªn ®¸y cña h×nh chãp vµ 4 ®Ønh n»m trªn 4 c¹nh bªn cña h×mh chãp ®ã.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
14
Bài 158: Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A
1
B
1
C
1
. Trªn tia A
1
B
1
lÊy ®iÓm M sao cho B
1
M =
1
2
A
1
B
1
. Qua M
vµ c¸c trung ®iÓm cña A
1
C
1
vµ B
1
B dùng mét mÆt ph¼ng. TÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn cña khèi l¨ng trô do mÆt ph¼ng
nµy chia ra.
Bài 159: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. Qua A, B vµ trung ®iÓm cña SC dùng mét mÆt ph¼ng. Tinh tØ sè thÓ
tÝch hai phÇn cña khèi chãp do mÆt ph¼ng nµy chia ra.
Bài 160: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm M thay ®æi trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC)
t¹i A (M kh«ng trïng víi A). Gäi O vµ H theo thø tù lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC vµ MBC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó
thÓ tÝch khèi tø diÖn OHBC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bài 161: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’. ThiÕt diÖn cña h×nh lËp ph¬ng t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua ®Ønh
A, trung ®iÓm cña c¹nh BC vµ t©m cña mÆt DCC’D’ chia khèi lËp ph¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai
phÇn ®ã.
Bài 162: Cho h×nh tø diÖn ABCD cã BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gäi H lµ ch©n cña ®êng cao h×nh tø diÖn
xuÊt ph¸t tõ A, K lµ ch©n cña ®êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng AD. §Æt AH = a, HK = b. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø
diÖn ABCD theo a vµ b.
Bài 163: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c c©n víi AB = AC = a vµ gãc BAC b»ng α . C¹nh SA = h cña
h×nh chãp vu«ng gãc víi ®¸y. LÊy trung ®iÓm P cña BC vµ c¸c ®iÓm M, N lÇn lît trªn AB, AC sao cho AM = AN =
AP. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.AMPN.
Bài 164: Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC = a), BB’ = CC’ = a lµ hai ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (ABC) vÒ cïng mét phÝa víi mÆt ph¼ng ®ã. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCC’B’.
Bài 165: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = SB = SC = SD = a.
a) TÝnh ®êng cao vµ thÓ tÝch khèi chãp theo a.
b) Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AD, SC. MÆt ph¼ng (MNP) c¾t SB, SD lÇn lît t¹i Q, R. So s¸nh
c¸c ®o¹n th¼ng QB, RD víi SB.
c) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (MNP) chia khèi chãp thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.
Bài 166: Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a , BD =
2
3
a
. Trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (P)
vµ ®i qua giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo h×nh thoi, lÊy ®iÓm S sao cho SB = a .
a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ASC lµ tam gi¸c vu«ng.
b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD.
Bài 167: Cho h×nh tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a . Gäi A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC, CD, BD.
a) Chøng minh r»ng A’B’C’D’ lµ h×nh vu«ng.
b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo a .
c) TÝnh thÓ tÝch cña khèi ®a diÖn DAA’B’C’D’ theo a nÕu A’, B’, C’, D’ theo thø tù lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh
AB, AC, CD, BD sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ =
4
a
Bài 168: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, c¹nh bªn SA = 2a vµ vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (ABC). Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn c¸c ®êng th¼ng SB vµ SC. TÝnh thÓ tÝch cña
khèi chãp A.BCMN.
Bài 169: Cho khèi chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã chiÒu cao b»ng h vµ gãc ASB b»ng 2 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp.
Bài 170: BiÕt thÓ tÝch khèi hép ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
b»ng V. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ACB
1
D
1
.
Bài 171: Cho tø diÖn ®Òu SABC cã c¹nh lµ a. Dùng ®êng cao SH
a) Chøng minh SA ± BC.
b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SABC.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
15
Bài 172: Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n AB = AC = a. Mp(SBC) vu«ng gãc víi mp(ABC) vµ
SA = SB = a.
a) CMR tam gi¸c SBC lµ tam gi¸c vu«ng.
b) Cho SC = x.TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ x.
Bài 173: Cho mét h×nh chãp cã ®¸y lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n cã c¹nh gãc vu«ng b»ng a. MÆt bªn qua c¹nh
huyÒn vu«ng gãc víi ®¸y, hai mÆt bªn cßn l¹i ®Òu t¹o víi ®¸y gãc 45
o
a) CMR h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®Ønh h×nh chãp xuèng ®¸y lµ trung ®iÓm c¹nh huyÒn cña ®¸y.
b) TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp.
Bài 174: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn t¹o víi ®¸y mét gãc 60
o
vµ c¹nh ®¸y b»ng a. TÝnh thÓ
tÝch cña khèi chãp.
Bài 175: Cho l¨ng trô ®Òu ABCA
1
B
1
C
1
.Tam giac ABC
1
cã diÖn tÝch lµ 3 S vµ hîp víi mÆt ®¸y gãc
a) TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô.
b) S kh«ng ®æi, cho thay ®æi. TÝnh ®Ó thÓ tÝch l¨ng trô lín nhÊt.
Bài 176: Cho l¨ng trô ®Òu ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
c¹nh ®¸y a. Gãc gi÷a ®êng chÐo AC
1
vµ ®¸y lµ 60
o
. TÝnh thÓ tÝch
khèi l¨ng trô.
Bài 177: Cho l¨ng trô ®øng ABCA
1
B
1
C
1
, ®¸y ABC c©n ®Ønh A. Gãc gi÷a AA
1
vµ BC
1
lµ 30
o
vµ kho¶ng c¸ch gi÷a
chóng lµ a. Gãc gi÷a hai mÆt bªn qua AA
1
lµ 60
o
. TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô
Bài 178: Cho l¨ng trô ABCA
1
B
1
C
1
®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. H×nh chiÕu cña A
1
lªn m¨t ph¼ng (ABC) trïng víi
t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.BiÕt gãc BAA
1
= 45
o
. TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô.
Bài 179: Cho h×nh hép ABCDA
1
B
1
C
1
D
!
cã ®¸y lµ h×nh thoi ABCD c¹nh a, gãc A b»ng 60
o
. Ch©n ®êng vu«ng
gãc h¹ tõ B
1
xuèng ®¸y ABCD trïng víi giao ®iÓm hai ®êng chÐo cña ®¸y. BiÕt BB
1
=a
a). TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y.
b). TÝnh thÓ tÝch cña khèi hép.
Bài 180: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA± (ABCD) vµ SA = a 2 . Trªn c¹nh
®¸y AD lÊy ®iÓm M thay ®æi, ®Æt gãc ACM = . H¹ SN± CM. Chøng minh N lu«n thuéc mét ®êng trßn cè ®Þnh
vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn SACN theo a vµ
Bài 181: Cho lăng trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là mộ t tam giác đêï c¹nh a, ®iÓm A
1
c¸ch ®Òu c¸c ®iÓm
A, B, C. C¹nh AA
1
t¹o víi mÆt ph¼ng ®¸y mét gãc 60
o
.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô.
b) Chøng minh mÆt bªn BCC
1
B
1
lµ mét h×nh ch÷ nhËt
Bài 182: H×nh l¨ng trô ®øng ABCA
1
B
1
C
1
®¸y ABC lµ mét tam gi¸c vu«ng t¹i A, AC = b, gãc C = 60
o
. §êng
chÐo BC
1
t¹o víi mp(A A
1
C
1
C) mét gãc 30
o
.
a) TÝnh ®é dµi AC
1
.
b) TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô.
Bài 183: Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c mÆt bªn ®Òu lµ h×nh vu«ng c¹nh a . Gäi E , D lµ trung ®iÓm
AC vµ BD . MÆt ph¼ng (ADE) chia khèi l¨ng trô thµnh hai phÇn tÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn.
Bài 184: Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC cã SA = x; BC = y; c¸c c¹nh cßn l¹i ®Òu b»ng 1.
a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo x, y.
b) Víi x, y b»ng bao nhiªu th× thÓ tÝch khèi chãp lín nhÊt?
Bài 185: Trong không gian cho đoạ n OO
1
= H và hai nử a đư ờ ng thẳ ng Od, O
1
d
1
cùng vuông góc vớ i OO
1
và
vuông góc vớ i nhau. Điể m M chạ y trên Od, điể m N chạ y trên O
1
d
1
sao cho ta luôn có OM
2
+O
1
N
2
=k
2
(k cho trư ớ c)
a) Chứ ng minh đoạ n MN có độ dài không đổ i.
b) Xác định vị trí M trên Od và N trên O
1
d
1
sao cho tứ diệ n OO
1
MN có thể tích lớ n nhấ t
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
dung_toan78@yahoo.com ti eumai 03/www.maths.vn
16
Bài 186: Cho khố i lăng trụ đứ ng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là mộ t tam giác vuông tạ i A , AC = b,
0
60
ˆ
= C .
Đư ờ ng chéo BC’ củ a mặ t bên (BB’C’) tạ o vớ i mặ t phẳ ng (AA’C’C) mộ t góc
0
30 .
a. Tính độ dài đoạ n AC’ b. Tính thể tích củ a khố i lăng trụ
Bài 187: Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh a vµ ®iÓm A’ c¸ch ®Òu c¸c ®iÓm A , B ,
C. C¹nh AA’ t¹o víi mÆt ph¼ng ®¸y mét gãc 60
0
. TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô.
Bài 188: Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®Òu lµ b»ng a ba gãc ë ®Ønh A ®Òu b»ng 60
0
. TÝnh
thÓ tÝch khèi hép theo a.
Bài 189: Cho h×nh chãp tam gi¸c S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA = 2a vµ SA vu«ng gãc víi mÆt
ph¼ng (ABC) . Gäi M, N lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC . TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp A.BCNM.
Bài 190: Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tạ i B, cạ nh SA vuông góc vớ i đáy, góc ACB =60
0
,
BC = a, 3 a SA = . Gọ i M là trung điể m cạ nh SB. Chứ ng minh mặ t phẳ ng (SAB) vuông góc vớ i mặ t phẳ ng (SBC).
Tính thể tích khố i tứ diệ n MABC.
Bài 191: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n, c¹nh ®¸y BC = a, gãc BAC = . C¸c c¹nh bªn t¹o
víi ®¸y mét gãc . TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.
Bài 192: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh diÖn tÝch b»ng 3 vµ gãc gi÷a hai ®êng chÐo cña
®¸y b»ng 60
0
, gãc gi÷a c¸c c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y b»ng 45
0
. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
Bài 193: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh AB = BC = CD = AD
2
1
, tam gi¸c SBD
lµ tam gi¸c vu«ng n»m trªn mp vu«ng gãc víi ®¸y cã c¸c c¹nh gãc vu«ng SB = 8a, SD = 15a. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp
Bài 194: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc vớ i hình chóp. Cho AB = a,
SA = a 2 . Gọ i H và K lầ n lư ợ t là hình chiế u củ a A lên SB, SD. Chứ ng minh SC ± (AHK) và tính thể tích hình
chóp OAHK
Bài 195: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAD lµ tam gi¸c ®Òu vµ n»m trong
mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh SB, BC, CD. Chøng minh r»ng AM vu«ng
gãc víi BP vµ thÓ tÝch khèi tø diÖn CMNP.
Bài 196: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a 3 mÆt ph¼ng (SAB )
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ®¸y. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.BMDN
vµ tÝnh cosin cña gãc gi÷a hai ®êng th¼ng SM, DN .
Bài 197: Cho h×nh l¨ng trô ABC .A’B’C’cã ®é dµi c¹nh bªn b»ng 2a, ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A, AB = a, AC =
a 3 vµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®Ønh A’ trªn mÆt ph¼ng (ABC) lµ trung ®iÓm c¹nh B . TÝnh theo a thÓ tÝch khèi
chãp A’ABC vµ tÝnh cosin gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AA’, B’C’.
Bài 198: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a , AD = a 2 , SA = a vµ SA vu«ng
gãc víi (ABCD). Gäi M , N lÇn lît lµ tung ®iÓm cña AD vµ SC , I lµ giao ®iÓm cña BM vµ AC.
a, Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (SAC) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SMB).
b, TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ANIB.
Bài 199: Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC .A’B’C’ cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng , AB = BC = a , AA’ = a 2 . Gäi
M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC . TÝnh theo a thÓ tÝch khèi l¨ng trô ABC. A’B’C’ vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng
AM, B’C.
Bài 200: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ZBAD = ZABC = 90
0
, AB = BC = a, AD = 2a.
SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = 2a , Gäi M , N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña SA , SD.
a/ Chøng minh r»ng BCNM lµ h×nh ch÷ nhËt. b/ TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp SBCNM.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
We've moved you to where you read on your other device.
Get the full title to continue reading from where you left off, or restart the preview.

X-Served-By: cache, cache-jfk8128-JFK

X-Cache: MISS from squid06, MISS


markdown:
# (16420) 1987 UN
1
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
**(16420) 1987 UN 1** là một [tiểu hành tinh](/wiki/Ti%E1%BB%83u_h%C3%A0nh_tinh) [vành đai chính](/wiki/V%C3%A0nh_%C4%91ai_ti%E1%BB%83u_h%C3%A0nh_tinh). Nó được phát hiện bởi [Seiji Ueda](/w/index.php?title=Seiji_Ueda&action=edit&redlink=1)và [Hiroshi Kaneda](/w/index.php?title=Hiroshi_Kaneda&action=edit&redlink=1)ở [Kushiro, Hokkaidō](/wiki/Kushiro,_Hokkaid%C5%8D), Nhật Bản, ngày 28 tháng 10, 1987. [[1]](#cite_note-1)
## Xem thêm[
[sửa](/w/index.php?title=(16420)_1987_UN1&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=(16420)_1987_UN1&action=edit§ion=1)]
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=(16420)_1987_UN1&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=(16420)_1987_UN1&action=edit§ion=2)]
|
|
|
|
|Danh sách/danh mục
|

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wikipedia.org

Connection: close

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

X-Cache-Status: miss

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Content-Language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

X-Cache: cp1053 miss, cp1065 miss

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Accept-Ranges: bytes


markdown:
# Bài toán đường đi rộng nhất
**Bài toán đường đi rộng nhất**, còn gọi là **bài toán đường đi nút cổ chai rộng nhất** hay **bài toán tìm đường đi có khả năng thông qua lớn nhất**, là bài toán yêu cầu tìm [đường đi](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B)) giữa hai [đỉnh](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B)) trong [đồ thị có hướng](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_(l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_%C4%91%E1%BB%93_th%E1%BB%8B)#.C4.91.E1.BB.93_th.E1.BB.8B_c.C3.B3_h.C6.B0.E1.BB.9Bng) có trọng số sao cho trọng số của cung có trọng số nhỏ nhất là lớn nhất có thể.
Một ví dụ cụ thể là khi đồ thị biểu diễn mạng lưới các
[bộ định tuyến](/wiki/Router) trên mạng [internet](/wiki/Internet), và trọng số của các cung là [băng thông](/wiki/B%C4%83ng_th%C3%B4ng) của cáp nối giữa hai [bộ định tuyến](/wiki/Router). Bài toán đường đi rộng nhất tương ứng với tìm đường đi giữa hai bộ định tuyến cho trước với băng thông lớn nhất có thể. Chiều rộng của cung hẹp nhất được gọi là khả năng thông qua hay băng thông của đường đi. Ngoài ứng dụng trong định tuyến trên mạng, bài toán đường đi rộng nhất còn là một thành phần quan trọng của [1] [phương pháp Schulze](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Schulze&action=edit&redlink=1)cho việc xác định người thắng cuộc trong bầu cử nhiều ứng cử viên , và có ứng dụng trong [[2]](#cite_note-Schulze-2) [tổng hợp số](/w/index.php?title=T%E1%BB%95ng_h%E1%BB%A3p_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1), phân tích sự trao đổi chất, [[3]](#cite_note-fga-3) và trong thuật toán tìm [[4]](#cite_note-ulh09-4) [luồng cực đại](/wiki/Lu%E1%BB%93ng_c%E1%BB%B1c_%C4%91%E1%BA%A1i). Hầu hết các thuật toán tìm [[5]](#cite_note-amo-5) [đường đi ngắn nhất](/wiki/B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_ng%E1%BA%AFn_nh%E1%BA%A5t)đều có thể được sửa đổi để tính đường đi rộng nhất thay vì đường đi ngắn nhất. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, có những thuật toán nhanh hơn để tính đường đi rộng nhất. [[6]](#cite_note-6)
Một bài toán liên quan mang tên
**bài toán đường đi minimax** yêu cầu tìm đường đi sao cho trọng số lớn nhất trên đường là nhỏ nhất có thể. Bất kì thuật toán tìm đường đi rộng nhất nào cũng đều có thể được dùng để tìm đường đi minimax và ngược lại, bằng cách đảo ngược tất cả các phép so sánh của thuật toán hoặc thay mọi trọng số bằng số đối của chúng.
## Mục lục
## Đồ thị vô hướng[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=1)]
Trong
[đồ thị vô hướng](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_v%C3%B4_h%C6%B0%E1%BB%9Bng), đường đi rộng nhất giữa hai đỉnh chính là đường đi giữa chúng trên cây bao trùm lớn nhất của đồ thị, và đường đi minimax giữa hai đỉnh chính là đường đi trên cây bao trùm nhỏ nhất. [[7]](#cite_note-7) [[8]](#cite_note-punnen-8) [[9]](#cite_note-9)
Trong bất kì đồ thị nào, dù có hướng hay vô hướng, đều có thể áp dụng thuật toán đơn giản sau để tìm đường đi rộng nhất sau khi đã biết trọng số nhỏ nhất trên đường đi đó: xóa tất cả các cung có trọng số nhỏ hơn và tìm đường đi trên các cung còn lại bằng
[tìm kiếm theo chiều rộng](/wiki/T%C3%ACm_ki%E1%BA%BFm_theo_chi%E1%BB%81u_r%E1%BB%99ng) hoặc [tìm kiếm theo chiều sâu](/wiki/T%C3%ACm_ki%E1%BA%BFm_theo_chi%E1%BB%81u_s%C3%A2u). Dựa trên ý tưởng này, có thể xây dựng một thuật toán chạy trong thời gian tuyến tính để tìm đường đi rộng nhất từ *s* đến *t* mà không cần đến cây bao trùm lớn nhất. Ý tưởng chính của thuật toán là tìm trọng số [trung vị](/wiki/S%E1%BB%91_trung_v%E1%BB%8B) trong đồ thị, rồi kiểm tra xem có tồn tại đường đi rộng hơn giá trị trung vị hay không theo phương pháp trên. Nếu đường đi tồn tại, thì xóa hết các cung nhỏ hơn giá trị trung vị. Nếu đường đi không tồn tại, thì hợp mỗi thành phần liên thông tạo bởi các cung lớn hơn lại thành một đỉnh. Trong cả hai trường hợp, thuật toán tiếp tục trên đồ thị nhỏ hơn mới thu được. [[8]](#cite_note-punnen-8) [[10]](#cite_note-10) [[11]](#cite_note-kp-11)
## Đồ thị có hướng[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=2)]
Có nhiều thuật toán khác nhau cho đồ thị có hướng, tùy theo nhu cầu sử dụng chẳng hạn như đỉnh xuất phát hay kết thúc có cố định hay không, và có cần tìm đường cho nhiều cặp đỉnh cùng một lúc hay không.
### Mọi cặp đỉnh[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=3)]
Bài toán đường đi rộng nhất giữa mọi cặp đỉnh có ứng dụng trong
[phương pháp Schulze](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Schulze&action=edit&redlink=1) để xác định người thắng cuộc trong [bầu cử](/wiki/B%E1%BA%A7u_c%E1%BB%AD) với nhiều ứng cử viên trong đó trên mỗi phiếu, các ứng cử viên được xếp hạng theo thứ tự ưu tiên. Phương pháp Schulze xây dựng một [đồ thị đấu loại](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_%C4%91%E1%BA%A5u_lo%E1%BA%A1i&action=edit&redlink=1) trong đó mỗi đỉnh biểu diễn một ứng cử viên và hai đỉnh bất kì đều được nối với nhau bằng 1 cung. Mỗi cung có hướng từ người thắng cuộc đến người thua cuộc trong cuộc đấu tay đôi giữa hai ứng viên ở hai đầu của cung, và được gắn nhãn bằng chênh lệch giữa hai người. Sau đó, tính đường đi rộng nhất giữa mọi cặp đỉnh của đồ thị và người thắng cuộc là ứng cử viên có đường đi tới mỗi đối thủ rộng hơn đường đi rộng nhất theo hướng ngược lại. . Kết quả của phương pháp này tương thích với [2] [phương pháp Condorcet](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Condorcet&action=edit&redlink=1)- nếu một ứng cử viên thắng trong tất cả các kết quả so sánh tay đôi thi người đó thắng chung cuộc - nhưng nó cũng cho phép lựa chọn người thắng cuộc trong nhiều trường hợp khi phương pháp Condorcet thất bại. Phương pháp Schulze đã được sử dụng bởi nhiều tổ chức, chẳng hạn như [[12]](#cite_note-12) [Wikimedia Foundation](/wiki/Wikimedia_Foundation). [[13]](#cite_note-Wikimedia-13)
Để tính chiều rộng của đường đi rộng nhất giữa mọi cặp đỉnh trong
[đồ thị trù mật](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_tr%C3%B9_m%E1%BA%ADt&action=edit&redlink=1) có hướng, chẳng hạn như đồ thị thu được trong ứng dụng bầu cử, thuật toán nhanh nhất hiện nay chạy trong thời gian *O*( *n* (3+ω)/2) trong đó ω là lũy thừa trong thời gian chạy của thuật toán [nhân ma trận nhanh](/w/index.php?title=Nh%C3%A2n_ma_tr%E1%BA%ADn_nhanh&action=edit&redlink=1). Nếu sử dụng thuật toán nhân ma trận nhanh nhất hiện nay, thì độ phức tạp trên trở thành *O*( *n* 2.688). Thay vào đó, cách lập trình thông thường của phương pháp Schulze sử dụng một phiên bản của [14] [thuật toán Floyd-Warshall](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Floyd-Warshall)chạy trong thời gian *O*( *n* 3). Trên [[2]](#cite_note-Schulze-2) [đồ thị thưa](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_th%C6%B0a&action=edit&redlink=1), có thể việc chạy thuật toán tìm đường đi rộng nhất với đỉnh nguồn cố định nhiều lần còn hiệu quả hơn các phương pháp trên.
### Một đỉnh nguồn cố định[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=4)]
Nếu độ dài các cạnh đã được sắp xếp thì có thể sử dụng một biến thể của
[thuật toán Dijkstra](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Dijkstra) để tìm các đường đi rộng nhất từ một đỉnh nguồn cố định tới tất cả các đỉnh khác trong thời gian tuyến tính. Ý tưởng chính ở đây là trong bài toán đường đi rộng nhất, thứ tự các đỉnh được xem xét trong thuật toán chính là một dãy con tăng dần của danh sách các cung sắp xếp theo trọng số. Do đó [hàng đợi ưu tiên](/w/index.php?title=H%C3%A0ng_%C4%91%E1%BB%A3i_%C6%B0u_ti%C3%AAn&action=edit&redlink=1) của thuật toán Dijkstra trong trường hợp này có thể thay bằng một mảng kích thước *m* lưu trữ các cung của đồ thị theo trọng số tăng dần. Phương pháp này cho phép tìm kiếm đường đi rộng nhất trong thời gian ngang với thời gian [sắp xếp](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_s%E1%BA%AFp_x%E1%BA%BFp). Nếu các trọng số là số nguyên thì thuật toán có cùng thời gian chạy với thuật toán sắp xếp số nguyên. [[11]](#cite_note-kp-11)
### Một nguồn và một đích[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=5)]
Có thể tìm đường đi rộng nhất cho một đỉnh nguồn và một đỉnh đích duy nhất một cách hiệu quả ngay cả trong mô hình chỉ cho phép so sánh trọng số của các cung mà không được tính toán trên chúng.
[[11]](#cite_note-kp-11) Thuật toán duy trì một tập hợp các cung [15] *S*sao cho các cung trên đường đi rộng nhất chắc chắn nằm trong *S*. Ban đầu, *S*chứa tất cả *m*cung của đồ thị. Trong mỗi lượt, thuật toán chia tập *S*thành một danh sách các tập con được sắp thứ tự *S* 1, *S* 2,... (các số trong tập trước nhỏ hơn hoặc bằng các số trong tập sau) có kích thước xấp xỉ nhau. Số lượng tập hợp con được chọn sao cho các giá trị để phân chia *S*thành các tập con có thể được xác định bằng cách lặp đi lặp lại việc tìm phần tử trung vị trong thời gian *O*( *m*). Sau đó, thuật toán thay trọng số của các cung trên đồ thị bằng số thứ tự của tập chứa nó. Do ta đã có danh sách các cung sắp xếp theo trọng số mới, có thể tìm đường đi rộng nhất trong thời gian tuyến tính theo kết quả ở trên và do đó xác định được cung hẹp nhất của đường đi nằm trong tập nào. Sau đó, thuật toán thay tập *S*bằng tập *S* đã được xác định là chứa cung hẹp nhất trên đường, và lặp lại các bước trên. Số lượng tập hợp mà ta có thể chia *i* *S*tăng theo hàm mũ sau mỗi lần lặp nên số lần lặp là *O*( [log*](/w/index.php?title=H%C3%A0m_logarit_l%E1%BA%B7p&action=edit&redlink=1) *n*). Tổng thời gian, do đó, là *O*( *m* [log*](/w/index.php?title=H%C3%A0m_logarit_l%E1%BA%B7p&action=edit&redlink=1) *n*). Khi các trọng số là số nguyên, bước lặp đi lặp lại việc tìm kiếm trung vị có thể thay bằng kĩ thuật phân chia danh sách bởi [[15]](#cite_note-gt-15) [Han & Thorup (2002)](#CITEREFHanThorup2002), cho phép chia *S*thành tập con *S* trong một bước và toàn bộ thuật toán chạy trong thời gian tuyến tính. *i* [[16]](#cite_note-16)
## Ghi chú[
[sửa](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91i_r%E1%BB%99ng_nh%E1%BA%A5t&action=edit§ion=6)] **Shacham, N. (1992), “Multicast routing of hierarchical data”,** [^](#cite_ref-1) *IEEE International Conference on Communications (ICC '92)* **3**, tr. 1217–1221, [doi](/wiki/DOI): [10.1109/ICC.1992.268047](//dx.doi.org/10.1109%2FICC.1992.268047); Wang, Zheng; Crowcroft, J. (1995), “Bandwidth-delay based routing algorithms”, *IEEE Global Telecommunications Conference (GLOBECOM '95)* **3**, tr. 2129–2133, [doi](/wiki/DOI): [10.1109/GLOCOM.1995.502780](//dx.doi.org/10.1109%2FGLOCOM.1995.502780)
- ^
**a** **ă** [Schulze, Markus (2011), “A new monotonic, clone-independent, reversal symmetric, and Condorcet-consistent single-winner election method”,](#cite_ref-Schulze_2-2) **â** *Social Choice and Welfare* **36**(2): 267–303, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/s00355-010-0475-4](//dx.doi.org/10.1007%2Fs00355-010-0475-4) **Fernandez, Elena; Garfinkel, Robert; Arbiol, Roman (1998), “Mosaicking of aerial photographic maps via seams defined by bottleneck shortest paths”,** [^](#cite_ref-fga_3-0) *Operations Research* **46**(3): 293–304, [JSTOR](/wiki/JSTOR) [222823](//www.jstor.org/stable/222823) **Ullah, E.; Lee, Kyongbum; Hassoun, S. (2009), “An algorithm for identifying dominant-edge metabolic pathways”,** [^](#cite_ref-ulh09_4-0) [, tr. 144–150](http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5361299) *IEEE/ACM International Conference on Computer-Aided Design (ICCAD 2009)* [^](#cite_ref-amo_5-0) [Ahuja, Ravindra K.](/w/index.php?title=Ravindra_K._Ahuja&action=edit&redlink=1); [Magnanti, Thomas L.](/w/index.php?title=Thomas_L._Magnanti&action=edit&redlink=1); [Orlin, James B.](/w/index.php?title=James_B._Orlin&action=edit&redlink=1)(1993), “7.3 Capacity Scaling Algorithm”, *Network Flows: Theory, Algorithms and Applications*, Prentice Hall, tr. 210–212, [ISBN](/wiki/ISBN) [0-13-617549-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-13-617549-X) **Pollack, Maurice (1960), “The maximum capacity through a network”,** [^](#cite_ref-6) *Operations Research* **8**(5): 733–736, [JSTOR](/wiki/JSTOR) [167387](//www.jstor.org/stable/167387) **Hu, T. C. (1961), “The maximum capacity route problem”,** [^](#cite_ref-7) *Operations Research* **9**(6): 898–900, [JSTOR](/wiki/JSTOR) [167055](//www.jstor.org/stable/167055)
- ^
**a** [Punnen, Abraham P. (1991), “A linear time algorithm for the maximum capacity path problem”,](#cite_ref-punnen_8-1) **ă** *European Journal of Operational Research* **53**(3): 402–404, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0377-2217(91)90073-5](//dx.doi.org/10.1016%2F0377-2217%2891%2990073-5) **Malpani, Navneet; Chen, Jianer (2002), “A note on practical construction of maximum bandwidth paths”,** [^](#cite_ref-9) *Information Processing Letters* **83**(3): 175–180, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/S0020-0190(01)00323-4](//dx.doi.org/10.1016%2FS0020-0190%2801%2900323-4), [MR](/wiki/Mathematical_Reviews) [1904226](//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1904226) **Camerini, P. M. (1978), “The min-max spanning tree problem and some extensions”,** [^](#cite_ref-10) *Information Processing Letters* **7**(1): 10–14, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0020-0190(78)90030-3](//dx.doi.org/10.1016%2F0020-0190%2878%2990030-3)
- ^
**a** **ă** [Kaibel, Volker; Peinhardt, Matthias A. F. (2006),](#cite_ref-kp_11-2) **â** [(PDF), ZIB-Report 06-22, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin](http://www.zib.de/Publications/Reports/ZR-06-22.pdf) *On the bottleneck shortest path problem* **Cụ thể hơn, trường hợp duy nhất phương pháp Schulze không thể phân định người thắng cuộc là khi hai ứng viên có đường đi rộng bằng nhau đi tới nhau** [^](#cite_ref-12) **Xem Jesse Plamondon-Willard,** [^](#cite_ref-Wikimedia_13-0) [Board election to use preference voting](https://lists.wikimedia.org/pipermail/foundation-l/2008-May/043134.html), tháng 5 năm 2008; Mark Ryan, [2008 Wikimedia Board Election results](https://lists.wikimedia.org/pipermail/foundation-l/2008-June/044361.html), tháng 6 năm 2008; [Bầu cử hội đồng năm 2008](https://meta.wikimedia.org/wiki/Board_elections/2008/Results/vi), tháng 6 năm 2008; và [Bầu cử hội đồng năm 2009](https://meta.wikimedia.org/wiki/Board_elections/2009/Results/vi), tháng 8 năm 2009. **Duan, Ran; Pettie, Seth (2009), “Fast algorithms for (max, min)-matrix multiplication and bottleneck shortest paths”,** [^](#cite_ref-14) [, tr. 384–391 Có thể tham khảo một thuật toán cũ hơn cũng sử dụng nhân ma trận nhanh ở Vassilevska, Virginia;](http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1496813) *Proceedings of the 20th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '09)* [Williams, Ryan](/w/index.php?title=Ryan_Williams_(computer_scientist)&action=edit&redlink=1); Yuster, Raphael (2007), “All-pairs bottleneck paths for general graphs in truly sub-cubic time”, *, New York: ACM, tr. 585–589,* [Proceedings of the 39th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '07)](/w/index.php?title=Symposium_on_Theory_of_Computing&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1145/1250790.1250876](//dx.doi.org/10.1145%2F1250790.1250876), [MR](/wiki/Mathematical_Reviews) [2402484](//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2402484)và chương 5 của Vassilevska, Virginia (2008), [(PDF), Ph.D. thesis, Report CMU-CS-08-147, Carnegie Mellon University School of Computer Science](http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/Web/People/virgi/thesis.pdf) *Efficient Algorithms for Path Problems in Weighted Graphs*
- ^
**a** [Gabow, Harold N.;](#cite_ref-gt_15-1) **ă** [Tarjan, Robert E.](/wiki/Robert_Tarjan)(1988), “Algorithms for two bottleneck optimization problems”, *Journal of Algorithms* **9**(3): 411–417, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0196-6774(88)90031-4](//dx.doi.org/10.1016%2F0196-6774%2888%2990031-4), [MR](/wiki/Mathematical_Reviews) [955149](//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=955149) **Han, Yijie; Thorup, M. (2002), “Integer sorting in expected time and linear space”,** [^](#cite_ref-16) *, tr. 135–144,* [Proc. 43rd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS 2002)](/w/index.php?title=Symposium_on_Foundations_of_Computer_Science&action=edit&redlink=1) [doi](/wiki/DOI): [10.1109/SFCS.2002.1181890](//dx.doi.org/10.1109%2FSFCS.2002.1181890).

X-Cache: cp1054 miss, cp1065 miss


markdown:
*Beaucarnea recurvata*
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|Beaucarnea recurvata
|
|[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Plantae](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt) [Angiospermae](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_hoa) [Monocot](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_m%E1%BB%99t_l%C3%A1_m%E1%BA%A7m) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Asparagales](/wiki/B%E1%BB%99_M%C4%83ng_t%C3%A2y) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Asparagaceae](/wiki/H%E1%BB%8D_M%C4%83ng_t%C3%A2y) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Beaucarnea](/wiki/Beaucarnea) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **B. recurvata** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Beaucarnea recurvata* [Lem.](/w/index.php?title=Charles_Antoine_Lemaire&action=edit&redlink=1), 1861 [Danh pháp đồng nghĩa](/wiki/T%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%93ng_ngh%C4%A9a_(sinh_v%E1%BA%ADt_h%E1%BB%8Dc)) [[1]](#cite_note-1) *Beaucarnea inermis*(S.Watson) Rose *Beaucarnea tuberculata*Roezl *Dasylirion inerme*S.Watson *Dasylirion inermis*S. Watson *Dasylirion recurvatum*(Lem.) J.F.Macbr. *Nolina recurvata*(Lem.) Hemsl. *Pincenectitia tuberculata*Lem. * là một loài Beaucarnea recurvata* [thực vật có hoa](/wiki/Th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_hoa)trong [họ Măng tây](/wiki/H%E1%BB%8D_M%C4%83ng_t%C3%A2y). Loài này được Lem. mô tả khoa học đầu tiên năm 1861. [[2]](#cite_note-2)
## Hình ảnh[
[sửa](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&action=edit§ion=1)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&action=edit§ion=2)] [^](#cite_ref-1) [“The Plant List: A Working List of All Plant Species”](http://www.theplantlist.org/tpl1.1/record/kew-300353). Truy cập ngày 16 tháng 5 năm 2014. **The Plant List (2010).** [^](#cite_ref-2) [“](http://www.theplantlist.org/tpl1.1/record/kew-300353). Truy cập ngày 16 tháng 7 năm 2013. *Beaucarnea recurvata*”
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Beaucarnea_recurvata&action=edit§ion=3)]
Phương tiện liên quan tới
[Beaucarnea recurvata](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Beaucarnea_recurvata)tại [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons)
Dữ liệu liên quan tới
[Beaucarnea recurvata](https://species.wikimedia.org/wiki/Beaucarnea_recurvata)tại [Wikispecies](/wiki/Wikispecies) [Vườn thực vật hoàng gia Kew](/wiki/V%C6%B0%E1%BB%9Dn_th%E1%BB%B1c_v%E1%BA%ADt_ho%C3%A0ng_gia_Kew); [Đại học Harvard](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc_Harvard); [Australian Plant Name Index](/wiki/Australian_Plant_Name_Index)(biên tập). [“Beaucarnea recurvata”](http://www.ipni.org/ipni/idPlantNameSearch.do?id=531735-1). *. Truy cập ngày 16 tháng 7 năm 2013.* [International Plant Names Index](/wiki/International_Plant_Names_Index)

X-Cache: cp1065 miss, cp1065 miss


markdown:
# Xã Conoy, Quận Lancaster, Pennsylvania
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ
[Conoy, Quận Lancaster, Pennsylvania](/w/index.php?title=Conoy,_Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania&redirect=no))
|Xã Conoy
|
Conoy Township
|—
|![ Hình nền trời của Xã Conoy](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Falmouth%2C_Pennsylvania.jpg/250px-Falmouth%2C_Pennsylvania.jpg)
![ Hình nền trời của Xã Conoy](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Falmouth%2C_Pennsylvania.jpg/250px-Falmouth%2C_Pennsylvania.jpg)
[Vị trí trong Quận Lancaster, Pennsylvania](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%E1%BA%A3i_l%C3%AAn&wpDestFile=Map_of_Conoy_Township,_Lancaster_County,_Pennsylvania_Highlighted.png)
Vị trí trong
[Quận Lancaster](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania), [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania) ![ Vị trí quận Lancaster trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Map_of_Pennsylvania_highlighting_Lancaster_County.svg/250px-Map_of_Pennsylvania_highlighting_Lancaster_County.svg.png)
![ Vị trí quận Lancaster trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Map_of_Pennsylvania_highlighting_Lancaster_County.svg/250px-Map_of_Pennsylvania_highlighting_Lancaster_County.svg.png)
Vị trí quận Lancaster trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ
[Quốc gia](/wiki/Qu%E1%BB%91c_gia) [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3) [Tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania) [Quận](/w/index.php?title=Danh_s%C3%A1ch_c%C3%A1c_qu%E1%BA%ADn_%E1%BB%9F_Pennsylvania&action=edit&redlink=1) [Quận Lancaster](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [EST](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_%C4%90%C3%B4ng_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) **EDT**( [UTC-4](/wiki/UTC-4)) **Xã Conoy** ( [tiếng Anh](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Anh): *Conoy Township*) là một [xã](/wiki/X%C3%A3_c%E1%BB%A7a_Hoa_K%E1%BB%B3) thuộc [quận Lancaster](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania), tiểu bang [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Năm 2010, dân số của xã này là 3.194 người. [[1]](#cite_note-1)
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=X%C3%A3_Conoy,_Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=X%C3%A3_Conoy,_Qu%E1%BA%ADn_Lancaster,_Pennsylvania&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [“2010 Census Gazetteer Files”](http://www.census.gov/geo/www/gazetteer/gazetteer2010.html). [Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA_D%C3%A2n_s%E1%BB%91_Hoa_K%E1%BB%B3). Truy cập ngày 8 tháng 10 năm 2012.

X-Cache: cp1068 miss, cp1065 miss


markdown:
# Xã Guilford, Quận Franklin, Pennsylvania
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ
[Guilford, Quận Franklin, Pennsylvania](/w/index.php?title=Guilford,_Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania&redirect=no))
|Xã Guilford
|
Guilford Township
|—
|![ Hình nền trời của Xã Guilford](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Guilford_Twp_Sign.JPG/250px-Guilford_Twp_Sign.JPG)
[Vị trí trong Quận Franklin, Pennsylvania](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:T%E1%BA%A3i_l%C3%AAn&wpDestFile=Map_of_Guilford_Township,_Franklin_County,_Pennsylvania_Highlighted.png)
Vị trí trong
[Quận Franklin](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania), [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania) ![ Vị trí quận Franklin trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Map_of_Pennsylvania_highlighting_Franklin_County.svg/250px-Map_of_Pennsylvania_highlighting_Franklin_County.svg.png)
![ Vị trí quận Franklin trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Map_of_Pennsylvania_highlighting_Franklin_County.svg/250px-Map_of_Pennsylvania_highlighting_Franklin_County.svg.png)
Vị trí quận Franklin trong tiểu bang Pennsylvania ở Hoa Kỳ
[Quốc gia](/wiki/Qu%E1%BB%91c_gia) [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3) [Tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania) [Quận](/w/index.php?title=Danh_s%C3%A1ch_c%C3%A1c_qu%E1%BA%ADn_%E1%BB%9F_Pennsylvania&action=edit&redlink=1) [Quận Franklin](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [EST](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_%C4%90%C3%B4ng_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) **EDT**( [UTC-4](/wiki/UTC-4)) **Xã Guilford** ( [tiếng Anh](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Anh): *Guilford Township*) là một [xã](/wiki/X%C3%A3_c%E1%BB%A7a_Hoa_K%E1%BB%B3) thuộc [quận Franklin](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania), tiểu bang [Pennsylvania](/wiki/Pennsylvania), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Năm 2010, dân số của xã này là 14.531 người. [[1]](#cite_note-1)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=X%C3%A3_Guilford,_Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=X%C3%A3_Guilford,_Qu%E1%BA%ADn_Franklin,_Pennsylvania&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [“2010 Census Gazetteer Files”](http://www.census.gov/geo/www/gazetteer/gazetteer2010.html). [Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA_D%C3%A2n_s%E1%BB%91_Hoa_K%E1%BB%B3). Truy cập ngày 8 tháng 10 năm 2012.


markdown:
# Mrač
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|Mrač|
|—
|![ Mrač tvrz.jpg](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Mra%C4%8D_tvrz.jpg/250px-Mra%C4%8D_tvrz.jpg)
![ Mrač tvrz.jpg](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Mra%C4%8D_tvrz.jpg/250px-Mra%C4%8D_tvrz.jpg)
|
|![]()
**Cờ hiệu** ![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Flag_of_the_Czech_Republic.svg/23px-Flag_of_the_Czech_Republic.svg.png)
[Cộng hòa Séc](/wiki/C%E1%BB%99ng_h%C3%B2a_S%C3%A9c) [Vùng](/w/index.php?title=V%C3%B9ng_c%E1%BB%A7a_C%E1%BB%99ng_h%C3%B2a_S%C3%A9c&action=edit&redlink=1) [Středočeský](/wiki/%C4%8Cechy_Trung_(v%C3%B9ng)) [Huyện](/w/index.php?title=Huy%E1%BB%87n_c%E1%BB%A7a_C%E1%BB%99ng_h%C3%B2a_S%C3%A9c&action=edit&redlink=1) [Benešov](/wiki/Bene%C5%A1ov_(huy%E1%BB%87n)) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [CET](/wiki/Gi%E1%BB%9D_chu%E1%BA%A9n_Trung_%C3%82u)( [UTC+1](/wiki/UTC%2B1)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) [CEST](/wiki/Gi%E1%BB%9D_M%C3%B9a_h%C3%A8_Trung_%C3%82u)( [UTC+2](/wiki/UTC%2B2)) [NUTS 5](/wiki/C%C3%A1c_v%C3%B9ng_c%E1%BB%A7a_Li%C3%AAn_minh_ch%C3%A2u_%C3%82u) **Mrač** là một [làng](/w/index.php?title=L%C3%A0ng_c%E1%BB%A7a_C%E1%BB%99ng_h%C3%B2a_S%C3%A9c&action=edit&redlink=1) thuộc huyện [Benešov](/wiki/Bene%C5%A1ov_(huy%E1%BB%87n)), vùng [Středočeský](/wiki/%C4%8Cechy_Trung_(v%C3%B9ng)), [Cộng hòa Séc](/wiki/C%E1%BB%99ng_h%C3%B2a_S%C3%A9c). [[1]](#cite_note-1)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Mra%C4%8D&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Mra%C4%8D&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [“Struktura území ČR od 1.1.2008 do 1.1.2012 - xls”](http://www.czso.cz/csu/klasifik.nsf/i/ii_struktura_uzemi_ceske_republiky/). Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2012.

X-Cache: cp1055 miss, cp1065 miss


markdown:
# neckerchief
Từ điển mở Wiktionary
## Tiếng Anh[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-eng-&action=edit§ion=T-1)]
### Cách phát âm[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-pron-&action=edit§ion=T-1)]
### Danh từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-noun-&action=edit§ion=T-1)] **neckerchief** [/ˈnɛ.kɜː.tʃəf/](/wiki/Wiktionary:IPA)
### Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-ref-&action=edit§ion=T-1)]
- Hồ Ngọc Đức,
[Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí](http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc/Dict/)( [chi tiết](/wiki/Wiktionary:Ngu%E1%BB%93n_g%E1%BB%91c/FVDP)) **neckerchief** [/ˈnɛ.kɜː.tʃəf/](/wiki/Wiktionary:IPA)

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wiktionary.org

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wiktionary.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

X-Cache: cp1067 miss, cp1052 miss


markdown:
# worships
Từ điển mở Wiktionary
## Tiếng Anh[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-eng-&action=edit§ion=T-1)]
### Động từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-verb-&action=edit§ion=T-1)] **worships** [Động từ](/wiki/%C4%91%E1%BB%99ng_t%E1%BB%AB) *chia ở* [worship](/wiki/worship) [ngôi thứ ba](/wiki/ng%C3%B4i_th%E1%BB%A9_ba) [số ít](/wiki/s%E1%BB%91_%C3%ADt).
#### Chia động từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-forms-&action=edit§ion=T-1)]
worship
|Dạng không chỉ ngôi|
|Động từ
|[worship](/wiki/worship) [Phân từ](/wiki/ph%C3%A2n_t%E1%BB%AB) [hiện tại](/wiki/hi%E1%BB%87n_t%E1%BA%A1i) [worshipping](/wiki/worshipping) [quá khứ](/wiki/qu%C3%A1_kh%E1%BB%A9) [worshipped](/wiki/worshipped) [Lối trình bày](/wiki/l%E1%BB%91i_tr%C3%ACnh_b%C3%A0y) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc [worshippest](/w/index.php?title=worshippest&action=edit&redlink=1)¹ **worships**hoặc [worshippeth](/w/index.php?title=worshippeth&action=edit&redlink=1)¹ [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped)hoặc [worshippedst](/w/index.php?title=worshippedst&action=edit&redlink=1)¹ [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [Tương lai](/wiki/t%C6%B0%C6%A1ng_lai) [will](/wiki/will)/ [shall](/wiki/shall)² [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc [wilt](/wiki/wilt)/ [shalt](/wiki/shalt)¹ [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [Lối cầu khẩn](/wiki/l%E1%BB%91i_c%E1%BA%A7u_kh%E1%BA%A9n) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc [worshippest](/w/index.php?title=worshippest&action=edit&redlink=1)¹ [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [worshipped](/wiki/worshipped) [were](/wiki/were)to [worship](/wiki/worship)hoặc [should](/wiki/should) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc should [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc should [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc should [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc should [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)hoặc should [worship](/wiki/worship) [Lối mệnh lệnh](/wiki/l%E1%BB%91i_m%E1%BB%87nh_l%E1%BB%87nh) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship) [worship](/wiki/worship)
- Cách chia động từ cổ.
- Thường nói
*will*; chỉ nói *shall*để nhấn mạnh. Ngày xưa, ở ngôi thứ nhất, thường nói *shall*và chỉ nói *will*để nhấn mạnh.

X-Cache: cp1068 miss, cp1052 miss


markdown:
-
## Agoda PointsMAX!
- cùng chương trình, nhiều điểm hơn
1
#### Chọn chương trình thành viên
PointsMAX
Ngôn ngữ
Chương trình thành viên A
![ Chương trình thành viên A](https://cdn6.agoda.net/images/abtest/PRIUS/icon/icon-pointer@2x.png)
Chương trình thành viên B
Trong menu, nhấp PointsMAX và chọn chương trình thành viên yêu thích của bạn.
2
#### Chọn điểm ưu đãi
![ Chọn điểm ưu đãi](https://cdn6.agoda.net/images/abtest/PRIUS/icon/icon-bed.png)
Phòng khách sạn A
Thông tin phòng
Tích lũy5000 điểm
Chọn loại phòng và điểm cho khách sạn bạn đã chọn.
3
#### Nhập mã số thành viên
Nước cấp hộ chiếu
Mã số thành viên chương trình
1234
Điền số thẻ thành viên của chương trình đã chọn khi đặt phòng. Số điểm sẽ được cộng vào tài khoản của bạn sau khi trả phòng.
Bắt đầu ở đây và chọn chương trình yêu thích của bạn:

Access-Control-Allow-Credentials: true

Cache-Control: private

X-Origin: ashburn

X-Recruiting: Like HTTP headers? Come write ours: http://grnh.se/1qxadk

Access-Control-Allow-Methods: GET,POST

Access-Control-Allow-Headers: Content-Type

Vary: User-Agent, Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=utf-8


markdown:
## Photos
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Building](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_16_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_25_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bar](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_24_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Lobby](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-7348bebd_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Restaurant](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_19_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_35_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Outdoors view](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_86_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_26_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Front desk](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_70_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_28_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Conference room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_17_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Conference room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_18_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Living room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_29_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Dining room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_30_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Dining room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_31_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Living room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_33_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_36_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_38_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_39_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Conference room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_43_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Living room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_53_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_48_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_50_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Conference room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_90_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bar](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_59_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Kitchen](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_6_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Living room](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4478262_10_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Balcony](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-143f06f5_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-079bf6d1_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-2593c7b8_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-27b83a92_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-2e93e84a_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-335c3003_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-f9748f6c_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-d4e10edc_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-e63b6759_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-216b553e_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-4ef200f9_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-54f000ee_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-565e1765_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-5899ddb6_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-73c7adc6_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-9c22cc58_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-ab849d4a_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-ba94fe70_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-c507652d_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=501)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-f39d2351_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bedroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-f6acadc3_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=247)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Outdoors view](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-b97bf095_b-image.jpg?crop=true&height=357&width=650)
[]
Provided by Hotels.com
![ Hotel Bramslevgaard - Hobro - Bathroom](https://a1.r9cdn.net/rimg/himg/fa/b6/29/hotelsdotcom-384189-0f1794a3_b-image.jpg?crop=true&height=176&width=350)
[More](javascript:void(0))

x-frame-options: SAMEORIGIN

r9-cache: User-agent

cache-control: no-cache, no-store

x-esi: YES

x-kayak-presentation: web

Via: 1.1 varnish

Content-Language: en-US

content-security-policy-report-only: default-src https:; connect-src https: wss://inspectletws.herokuapp.com; font-src https: data:; frame-src https:; img-src https: data:; media-src https:; object-src https: data:; script-src 'unsafe-inline' 'unsafe-eval' https:; style-src 'unsafe-inline' https:; report-uri /s/run/cspreport

content-security-policy: upgrade-insecure-requests

X-Cache: MISS

pragma: no-cache

x-xss-protection: 1; mode=block