text:
Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia
Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia
Quyết định dời nhà về vùng ngoại ô tuy tìm được sự yên tĩnh và không khí trong lành của vùng đất, nhưng cũng mất đi nhiều thuận tiện trong sinh hoạt ở khu đô thị. Thói quen cũ của gia đình phải từ bỏ để tập quen dần với môi trường mới. Ngôi biệt thự giờ đây sẽ tạo cho gia đình không gian sống mới, cùng những sinh hoạt, thói quen mới tiện nghi hơn trong chính không gian nội thất của gia đình.
Thiết kế nội thất phòng Gym theo phong cách cổ điển của kiến trúc biệt thự - Ảnh 1
Sự phồn vinh của khu đô thị kéo theo nhiều dịch vụ công cộng phát triển để đáp ứng cho các nhu cầu của con người từ vui chơi cho đến chăm sóc sức khỏe. Bên cạnh đó, không gian xanh và thời gian đang bị thu hẹp dần, nên thay vì tập thể dục ở công viên, nhiều người đã tìm đến các phòng tập Gym lớn có hệ thống và thiết bị tối tân, lại thuận tiện giờ giấc. Tuy nhiên, nhiều gia đình có điều kiện về kinh tế và diện tích nhà lớn như biệt thự Bình Chánh nhưng lại ở xa trung tâm đã chọn giải pháp bố trí thiết kế riêng cho gia đình một phòng Gym tại gia, với những thiết bị tập luyện đơn giản nhất.
1. Vị trí lý tưởng cho thiết kế nội thất phòng Gym
Thiết kế phòng Gym là một không gian sinh hoạt đặc biệt, khác với vị trí trung tâm của phòng khách, không gian phòng Gym thường được bố trí ở những vị trí yên tĩnh, khuất khỏi những khu vực ồn ào, sinh hoạt chung của gia đình. Hơn thế, nội thất phòng cũng phải có hướng nhìn thông thoáng, mở ra không gian bên ngoài.
Thiết kế nội thất phòng Gym của biệt thự Bình Chánh được nhà thiết kế và gia đình thống nhất đặt tại tầng 1 của biệt thự có hướng nhìn ra khu vườn nhà. Nội thất phòng tập tuy đơn giản nhưng vẫn được thiết kế theo phong cách cổ điển của kiến trúc tổng thể biệt thự.
Không gian phòng tập được bố trí cây xanh tạo không khí trong lành - Ảnh 2
Không gian nội thất phòng Gym tuy có diện tích không lớn nhưng được thiết kế hợp lý nên bảo đảm được sự thuận tiện trong sinh hoạt và tập luyện. Các thiết bị trong phòng tập được gia đình tận tay chọn lựa với sự tư vấn của trung tâm.
Kệ tivi giải trí trong phòng tập - Ảnh 3
Vị trí của phòng Gym tại tầng 1 có mặt phòng hướng ra vườn là thiết kế tạo cho không gian nhiều nguồn chiếu sáng. Ánh sáng trời tuy là nguồn chiếu sáng phụ trong phòng nhưng về mặt sức khỏe nó có ảnh hưởng rất lớn. Những buổi tập luyện vào sáng sơm sẽ trở nên thư giãn và hiệu quả hơn nếu có nắng và gió trời vào phòng tập.
2. Tiêu chuẩn thiết kế cho không gian đặc biệt
Thiết kế nội thất cho các không gian đặc biệt như phòng làm việc hay phòng tưởng đơn giản chỉ là mang bàn, mang kệ tủ hay máy tập vào đặt trong không gian phòng theo ý thích của gia đình. Nhưng thực tế để có được một không gian sinh hoạt, tập luyện phát huy tối đa công năng của nó cần phải bố trí nội thất dựa trên những tiêu chuẩn thiết kế của phòng.
Sắp xếp các thiết bị tập luyện là tiêu chuẩn đầu tiên cho thiết kế phòng tập hoàn hảo. Nếu thiết bị được bố trí ở những khu vực gần cửa sổ hay nơi thoáng đãng sẽ tạo cảm giác thoải mái cho người tập luyện. Tuy nhiên do nội thất phòng tập Bình Dương chỉ có một mặt tường nhìn ra vườn nên nhà thiết kế đã hóa giải không gian đơn điệu của các bức tường bằng việc lắp gương ngay vị trí máy tập. Không gian phòng Gym nhờ thế được nới rộng và trở nên sinh động hơn.
Cửa sổ lớn mang ánh sáng và gió vào phòng Gym với hướng nhìn đẹp ra vườn - Ảnh 4
Ngoài ra thảm trải sàn cũng là vật dụng nội thất nâng cao hiệu quả của phòng tập. Gam màu nâu của thảm mang đến sự ấm cúng cho không gian phòng tập với gam màu trắng chủ đạo. Hơn thế, thiết kế chọn thảm trải sàn còn nhằm mục đích bảo vệ sức khỏe so với việc thiết kế dùng nền đá hoa cương cho sàn phòng Gym.
Bộ ghế sofa là nơi nghỉ ngơi của gia đình - Ảnh 5
Không gian nội thất phòng tập tuy được thiết kế tập trung phát huy chức năng của mình, nhưng không gian phòng vẫn bảo đảm được tính thẩm mỹ chung cho kiến trúc biệt thự. Những mảng tường được dán giấy có hoa văn cùng những mảng gương giúp việc chiếu sáng trong phòng được tăng tối đa.
3. Nội thất phòng Gym - Không chỉ để tập luyện
Thiết kế nội thất phòng Gym ngoài việc đáp ứng các không gian tập luyện được bố trí đều khắc phòng tập. Không gian này còn mang đến cho gia đình góc thư giãn và giải trí mới với tivi và bộ ghế sofa nhỏ gam màu xám nổi bật.
Nội thất phòng Gym được trang bị những dụng cụ tập luyện hiện đại - Ảnh 6
Nội thất phòng tập vẫn giữ nét cổ điển của kiến trúc biệt thự nhờ vào các vật dụng nội thất được trang trí hoa văn cổ điên như kệ tủ để vật dụng, hay đèn chùm trên tường. Phong cách thiết kế này không làm không giam phòng tập trở nên nặng nề nhưng vẫn tránh cảm giác lạc lõng so với kiến trúc chung của biệt thự.
Thiết kế nội thất phòng Gym với những mảng tường kính nhân rộng không gian - Ảnh 7
Việc tập luyện của gia đình trong phòng Gym không phải là công việc cá nhân. Cả gia đình có thể cùng nhau tập luyện, xem tin tức hoặc là ngồi trò chuyện ngay trong căn phòng đặc biệt này. Mỗi không gian sinh hoạt của biệt thự ngoài việc phục vụ chức năng chính của đi kèm nhiều công năng khác.
Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia mang đến những cảm nhận mới lạ cho gia đình so với việc đi đến các phòng tập dịch vụ. Mối quan hệ gia đình cũng nhờ thế mà trở nên gắn bó mật thiết với nhau hơn. Một thiết kế nhỏ nhưng mang đến nhiều ưu điểm, lợi ích.

markdown:
[Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia](/trang-tri-noi-that/biet-thu/1035-noi-that-nha-dep-phong-gym-tai-gia.html)
# Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia
Quyết định dời nhà về vùng ngoại ô tuy tìm được sự yên tĩnh và không khí trong lành của vùng đất, nhưng cũng mất đi nhiều thuận tiện trong sinh hoạt ở khu đô thị. Thói quen cũ của gia đình phải từ bỏ để tập quen dần với môi trường mới. Ngôi biệt thự giờ đây sẽ tạo cho gia đình không gian sống mới, cùng những sinh hoạt, thói quen mới tiện nghi hơn trong chính không gian nội thất của gia đình.
### Thiết kế nội thất phòng Gym theo phong cách cổ điển của kiến trúc biệt thự - Ảnh 1
Sự phồn vinh của khu đô thị kéo theo nhiều dịch vụ công cộng phát triển để đáp ứng cho các nhu cầu của con người từ vui chơi cho đến chăm sóc sức khỏe. Bên cạnh đó, không gian xanh và thời gian đang bị thu hẹp dần, nên thay vì tập thể dục ở công viên, nhiều người đã tìm đến các phòng tập Gym lớn có hệ thống và thiết bị tối tân, lại thuận tiện giờ giấc. Tuy nhiên, nhiều gia đình có điều kiện về kinh tế và diện tích nhà lớn như biệt thự Bình Chánh nhưng lại ở xa trung tâm đã chọn giải pháp bố trí thiết kế riêng cho gia đình một phòng Gym tại gia, với những thiết bị tập luyện đơn giản nhất.
## 1. Vị trí lý tưởng cho thiết kế nội thất phòng Gym
Thiết kế phòng Gym là một không gian sinh hoạt đặc biệt, khác với vị trí trung tâm của phòng khách, không gian phòng Gym thường được bố trí ở những vị trí yên tĩnh, khuất khỏi những khu vực ồn ào, sinh hoạt chung của gia đình. Hơn thế, nội thất phòng cũng phải có hướng nhìn thông thoáng, mở ra không gian bên ngoài.
Thiết kế nội thất phòng Gym của biệt thự Bình Chánh được nhà thiết kế và gia đình thống nhất đặt tại tầng 1 của biệt thự có hướng nhìn ra khu vườn nhà. Nội thất phòng tập tuy đơn giản nhưng vẫn được thiết kế theo phong cách cổ điển của kiến trúc tổng thể biệt thự.
### Không gian phòng tập được bố trí cây xanh tạo không khí trong lành - Ảnh 2
Không gian nội thất phòng Gym tuy có diện tích không lớn nhưng được thiết kế hợp lý nên bảo đảm được sự thuận tiện trong sinh hoạt và tập luyện. Các thiết bị trong phòng tập được gia đình tận tay chọn lựa với sự tư vấn của trung tâm.
### Kệ tivi giải trí trong phòng tập - Ảnh 3
Vị trí của phòng Gym tại tầng 1 có mặt phòng hướng ra vườn là thiết kế tạo cho không gian nhiều nguồn chiếu sáng. Ánh sáng trời tuy là nguồn chiếu sáng phụ trong phòng nhưng về mặt sức khỏe nó có ảnh hưởng rất lớn. Những buổi tập luyện vào sáng sơm sẽ trở nên thư giãn và hiệu quả hơn nếu có nắng và gió trời vào phòng tập.
## 2. Tiêu chuẩn thiết kế cho không gian đặc biệt
Thiết kế nội thất cho các không gian đặc biệt như phòng làm việc hay phòng tưởng đơn giản chỉ là mang bàn, mang kệ tủ hay máy tập vào đặt trong không gian phòng theo ý thích của gia đình. Nhưng thực tế để có được một không gian sinh hoạt, tập luyện phát huy tối đa công năng của nó cần phải bố trí nội thất dựa trên những tiêu chuẩn thiết kế của phòng.
Sắp xếp các thiết bị tập luyện là tiêu chuẩn đầu tiên cho thiết kế phòng tập hoàn hảo. Nếu thiết bị được bố trí ở những khu vực gần cửa sổ hay nơi thoáng đãng sẽ tạo cảm giác thoải mái cho người tập luyện. Tuy nhiên do nội thất phòng tập Bình Dương chỉ có một mặt tường nhìn ra vườn nên nhà thiết kế đã hóa giải không gian đơn điệu của các bức tường bằng việc lắp gương ngay vị trí máy tập. Không gian phòng Gym nhờ thế được nới rộng và trở nên sinh động hơn.
### Cửa sổ lớn mang ánh sáng và gió vào phòng Gym với hướng nhìn đẹp ra vườn - Ảnh 4
Ngoài ra thảm trải sàn cũng là vật dụng nội thất nâng cao hiệu quả của phòng tập. Gam màu nâu của thảm mang đến sự ấm cúng cho không gian phòng tập với gam màu trắng chủ đạo. Hơn thế, thiết kế chọn thảm trải sàn còn nhằm mục đích bảo vệ sức khỏe so với việc thiết kế dùng nền đá hoa cương cho sàn phòng Gym.
### Bộ ghế sofa là nơi nghỉ ngơi của gia đình - Ảnh 5
Không gian nội thất phòng tập tuy được thiết kế tập trung phát huy chức năng của mình, nhưng không gian phòng vẫn bảo đảm được tính thẩm mỹ chung cho kiến trúc biệt thự. Những mảng tường được dán giấy có hoa văn cùng những mảng gương giúp việc chiếu sáng trong phòng được tăng tối đa.
## 3. Nội thất phòng Gym - Không chỉ để tập luyện
Thiết kế nội thất phòng Gym ngoài việc đáp ứng các không gian tập luyện được bố trí đều khắc phòng tập. Không gian này còn mang đến cho gia đình góc thư giãn và giải trí mới với tivi và bộ ghế sofa nhỏ gam màu xám nổi bật.
#### Nội thất phòng Gym được trang bị những dụng cụ tập luyện hiện đại - Ảnh 6
Nội thất phòng tập vẫn giữ nét cổ điển của kiến trúc biệt thự nhờ vào các vật dụng nội thất được trang trí hoa văn cổ điên như kệ tủ để vật dụng, hay đèn chùm trên tường. Phong cách thiết kế này không làm không giam phòng tập trở nên nặng nề nhưng vẫn tránh cảm giác lạc lõng so với kiến trúc chung của biệt thự.
### Thiết kế nội thất phòng Gym với những mảng tường kính nhân rộng không gian - Ảnh 7
Việc tập luyện của gia đình trong phòng Gym không phải là công việc cá nhân. Cả gia đình có thể cùng nhau tập luyện, xem tin tức hoặc là ngồi trò chuyện ngay trong căn phòng đặc biệt này. Mỗi không gian sinh hoạt của biệt thự ngoài việc phục vụ chức năng chính của đi kèm nhiều công năng khác.
Nội thất nhà đẹp - Phòng Gym tại gia mang đến những cảm nhận mới lạ cho gia đình so với việc đi đến các phòng tập dịch vụ. Mối quan hệ gia đình cũng nhờ thế mà trở nên gắn bó mật thiết với nhau hơn. Một thiết kế nhỏ nhưng mang đến nhiều ưu điểm, lợi ích.

P3P: CP="NOI ADM DEV PSAi COM NAV OUR OTRo STP IND DEM"

Content-Encoding: x-gzip

X-Content-Encoded-By: Joomla! 2.5

Cache-Control: no-cache

Vary: User-Agent


text:
Thăm dò ý kiến
Bạn muốn du học quốc gia nào nhất?
Du học Anh
Du học Mỹ
Du học Nhật Bản
Du học Úc
Cách phát âm của nguyên âm và phụ âm trong Tiếng Anh
08-01-2011 | 11:27:20
- Hầu hết các chữ được viết dưới dạng ee (meet), ea (meat), e-e (scene) đều được phát âm thành /i:/. Trường hợp e (me), ie (piece) cũng được phát âm như trên nhưng không nhiều.
Quay lạiLên đầu
Các tin khác
• Học lấy chứng chỉ TOEIC không khó (19.05.2014)
• Câu chuyện 20 USD (14.05.2014)
• Bí quyết học tiếng Anh của chàng trai 4 lần đạt điểm TOElC tối đa (10.05.2014)
• 5 lý do chọn hình thức học tiếng Anh online (10.05.2014)
• Tổng hợp các mẹo- thủ thuật làm bài thi TOEIC (28.09.2011)
• Để làm tốt bài thi TOEIC (28.09.2011)
• Website hay về TOEIC cho người đi làm (28.09.2011)
• Làm thế nào để làm tốt bài thi TOEFL iBT, TOEIC, SAT? (28.09.2011)
• Hướng dẫn cách làm bài thi TOEIC (New format) (28.09.2011)
• Để đạt điểm cao trong kỳ thi TOEIC (25.09.2011)
Hỗ trợ trực tuyến du học
Online
Sự kiện du học

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Cache-Control: private

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Set-Cookie: Online=1; expires=Thu, 30-Jul-2015 08:10:35 GMT; path=/

X-Powered-By-Plesk: PleskWin

Connection: close


text:
-
[Thông Báo] Fpt telecom ra mắt dịch vụ gửi file lớn miễn phí 20gb đầu tiên tại việt nam
Ngày 15/07/2015, FPT Telecom đã chính thức cho ra mắt dịch vụ Fsend.vn – Công cụ cho phép gửi file dung lượng lớn qua email miễn phí và đầu tiên tại Việt Nam.
-
Tuyển mod cho toàn diễn đànHãy tham gia phát triển và chia sẻ kiên thức cntt cùng diễn đàn
Kevin TvOnline 2.2 - Phần mềm xem tivi của người việt
Thảo luận trong 'Phần Mềm Việt' bắt đầu bởi Mr.P, 12 Tháng tám 2012.
Trang 1 của 2 trang
Trang 1 của 2 trang
Từ khóa tìm kiếm từ Google :
kevin tv online 2.2,
kevin tivi online 2.2

markdown:
-
[[Thông Báo] Fpt telecom ra mắt dịch vụ gửi file lớn miễn phí 20gb đầu tiên tại việt nam](http://phienbanmoi.com/threads/fpt-telecom-ra-mat-dich-vu-gui-file-lon-mien-phi-20gb-dau-tien-tai-viet-nam.84485/)
Ngày 15/07/2015, FPT Telecom đã chính thức cho ra mắt dịch vụ Fsend.vn – Công cụ cho phép gửi file dung lượng lớn qua email miễn phí và đầu tiên tại Việt Nam.
-
#### Hãy tham gia phát triển và chia sẻ kiên thức cntt cùng diễn đàn
[Tuyển mod cho toàn diễn đàn](http://phienbanmoi.com/threads/tuyen-mod-cho-toan-dien-dan.15563/)
# Kevin TvOnline 2.2 - Phần mềm xem tivi của người việt
Thảo luận trong '
[Phần Mềm Việt](forums/phan-mem-viet.92/)' bắt đầu bởi [Mr.P](members/mr-p.10287/), [12 Tháng tám 2012](threads/kevin-tvonline-2-2-phan-mem-xem-tivi-cua-nguoi-viet.7714/).
Trang 1 của 2 trang
Trang 1 của 2 trang
### Từ khóa tìm kiếm từ Google :
## kevin tv online 2.2,
### kevin tivi online 2.2

WARC-Truncated: length

Server: nginx admin

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Vary: Accept-Encoding

Cache-control: private, max-age=0

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

X-Cache: HIT from Backend

Content-Encoding: gzip


text:
- Đăng tin ưu tiên
-
Các dịch vụ ưu tiên trên Rồng Bay
-
Ưu đãi cho khách hàng thường xuyên
Sử dụng tài khoản chuyên nghiệp
-
Ðăng tin thu hút khách hàng
Cách viết tiêu đề thân thiện, lôi cuốn khách hàng
-
- Hỏi & đáp
- Hỗ trợ
- Nếu bạn cần hỗ trợ, vui lòng liên hệ
-
-
- Mua quảng cáo
- Đăng ký
- Đăng nhập

markdown:
- Đăng tin ưu tiên
-
__Các dịch vụ ưu tiên trên Rồng Bay__
-
__Ưu đãi cho khách hàng thường xuyên__ [Sử dụng tài khoản chuyên nghiệp](http://rongbay.com/su-dung-tai-khoan-chuyen-nghiep.html)
-
__Ðăng tin thu hút khách hàng__ [Cách viết tiêu đề thân thiện, lôi cuốn khách hàng](http://rongbay.com/Cach-viet-tieu-de-than-thien-loi-cuon-khach-hang-fp39.html)
-
[Hỏi & đáp](http://rongbay.com/faqs.html)
- Hỗ trợ
- Nếu bạn cần hỗ trợ, vui lòng liên hệ
-
Điện thoại : **(04) 73095555**(ext: 497 / 495 / 496) Hotline : **0936 194 226**(Dành cho cá nhân) **0926 863 922**(Dành cho doanh nghiệp) : [lienhe@rongbay.com](mailto:lienhe@rongbay.com) Skype : [cskh.rongbay](skype:cskh.rongbay?chat)
-
[Mua quảng cáo](http://rongbay.com/mua-quang-cao.html) [Đăng ký](javascript:void(0);) [Đăng nhập](javascript:void(0);)

Server: nginx

Content-Type: text/html

Set-Cookie: cityOtherRBName=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; path=/; domain=.rongbay.com

Pragma: no-cache

Cache-Control: max-age=0, no-cache, no-store


text:
Chân dài sexy cùng iPhone 'tắm' biển
Với nhiều người, đi tắm biển đồng nghĩa với việc không thể mang theo "dế" yêu của mình, nhưng với chân dài này thì không.
Thậm chí người đẹp còn mang cả smartphone khủng như iPhone 4S xuống biển mà không hề sợ bị ngấm nước.
Gửi ý kiến bình luận
Các mới đăng
- iPhone 5 dùng dock 19 pin và có dock adapter mới
- Tự kiểm tra ung thư tại nhà bằng iPhone
- 10 tựa game siêu "quái" trên iPhone
- 'Mở hộp' iPhone 3GS phiên bản 2012
- Nhà mạng lỡ lời lộ thông tin iPhone 5
Các tin khác

markdown:
# Chân dài sexy cùng iPhone 'tắm' biển
Với nhiều người, đi tắm biển đồng nghĩa với việc không thể mang theo "dế" yêu của mình, nhưng với chân dài này thì không.
Thậm chí người đẹp còn mang cả smartphone khủng như
[ xuống biển mà không hề sợ bị ngấm nước. iPhone 4S](http://sanphamapple.com/shop-apple/iphone)
### Gửi ý kiến bình luận
Các mới đăng
[iPhone 5 dùng dock 19 pin và có dock adapter mới](/iphone/iphone-5-dung-dock-19-pin-va-co-dock-adapter-moi) [Tự kiểm tra ung thư tại nhà bằng iPhone](/iphone/tu-kiem-tra-ung-thu-tai-nha-bang-iphone) [10 tựa game siêu "quái" trên iPhone](/iphone/10-tua-game-sieu-quai-tren-iphone) ['Mở hộp' iPhone 3GS phiên bản 2012](/iphone/mo-hop-iphone-3gs-phien-ban-2012) [Nhà mạng lỡ lời lộ thông tin iPhone 5](/iphone/nha-mang-lo-loi-lo-thong-tin-iphone-5)
Các tin khác

Server: Apache/2.2.24 (Unix) mod_ssl/2.2.24 OpenSSL/1.0.0-fips mod_auth_passthrough/2.1 mod_bwlimited/1.4 FrontPage/5.0.2.2635


text:
Epos swiss
Đồng hồ Stuhrling Original
Đồng hồ Diamond D
Đồng hồ Tourbillon
Đồng hồ Atlantic Swiss
CÔNG TY CỔ PHẦN TRỰC TUYẾN ĐĂNG QUANG
VPGD: Số 42 Phố Huế - Hoàn Kiếm - Hà Nội
Điện thoại: 04.36228508 - Email: sieuthidangquang@gmail.com
Giấy CNĐKKD và MSDN số: 0104938104 đăng ký lần đầu do Sở Kế hoạch và Đầu tư Thành phố Hà Nội cấp ngày 07/10/2010

markdown:
![ COD](http://sieuthidongho.com.vn/view/images/cod1.jpg)
Mạng xã hội Facebook
Thống kê truy cập
Người online: 87
Số lượt truy cập: 17586112
Số lượt truy cập: 17586112
![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15556](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/998719631_dong ho tourbillon (4).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15556](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/998719631_dong ho tourbillon (4).jpg)
[Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15556](http://sieuthidongho.com.vn/product/10524/Dong-ho-Tourbillon-Automatic-Memorigin-15556.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15556](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/998719631_dong ho tourbillon (4).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 88888](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1156830505_48943791011255555.png)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 88888](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1156830505_48943791011255555.png)
[Đồng hồ Tourbillon Memorigin 88888](http://sieuthidongho.com.vn/product/8623/Dong-ho-Tourbillon-Memorigin-88888.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 88888](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1156830505_48943791011255555.png)
![ Tourbillon Rồng vàng 99999 Black](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1494189886_Tourbillon Rồng vàng 99999 Black.jpg)
![ Tourbillon Rồng vàng 99999 Black](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1494189886_Tourbillon Rồng vàng 99999 Black.jpg)
[Tourbillon Rồng vàng 99999 Black](http://sieuthidongho.com.vn/product/9284/Tourbillon-Rong-vang-99999-Black.html) ![ Tourbillon Rồng vàng 99999 Black](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1494189886_Tourbillon Rồng vàng 99999 Black.jpg)
![ Tourbillon Memorigin 1668](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1591715891_Tourbillon Memorigin 1668.jpg)
![ Tourbillon Memorigin 1668](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1591715891_Tourbillon Memorigin 1668.jpg)
[Tourbillon Memorigin 1668](http://sieuthidongho.com.vn/product/9549/Tourbillon-Memorigin-1668.html) ![ Tourbillon Memorigin 1668](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1591715891_Tourbillon Memorigin 1668.jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 11666T](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/855674759_dong ho tourbillon (4).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 11666T](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/855674759_dong ho tourbillon (4).jpg)
[Đồng hồ Tourbillon Memorigin 11666T](http://sieuthidongho.com.vn/product/8622/Dong-ho-Tourbillon-Memorigin-11666T.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 11666T](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/855674759_dong ho tourbillon (4).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 8899 ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1926292009_dong ho tourbillon (5).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 8899 ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1926292009_dong ho tourbillon (5).jpg)
[Đồng hồ Tourbillon Memorigin 8899 ](http://sieuthidongho.com.vn/product/8618/Dong-ho-Tourbillon-Memorigin-8899.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 8899 ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1926292009_dong ho tourbillon (5).jpg)
![ Đồng hồ Tourbilon Memorigin 3366T ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1686160576_dong ho tourbillon (3).jpg)
![ Đồng hồ Tourbilon Memorigin 3366T ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1686160576_dong ho tourbillon (3).jpg)
[Đồng hồ Tourbilon Memorigin 3366T ](http://sieuthidongho.com.vn/product/8631/Dong-ho-Tourbilon-Memorigin-3366T.html) ![ Đồng hồ Tourbilon Memorigin 3366T ](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1686160576_dong ho tourbillon (3).jpg)
![ Tourbillon Memorigin 11111](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product_small/292484048_dong ho tourbillon (5).jpg)
![ Tourbillon Memorigin 11111](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product_small/292484048_dong ho tourbillon (5).jpg)
[Tourbillon Memorigin 11111](http://sieuthidongho.com.vn/product/9537/Tourbillon-Memorigin-11111.html) ![ Tourbillon Memorigin 11111](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/292484048_dong ho tourbillon (5).jpg)
![ Tourbillon Memorigin 77777](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/2034017116_Tourbillon Memorigin 7697.jpg)
![ Tourbillon Memorigin 77777](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/2034017116_Tourbillon Memorigin 7697.jpg)
[Tourbillon Memorigin 77777](http://sieuthidongho.com.vn/product/9292/Tourbillon-Memorigin-77777.html) ![ Tourbillon Memorigin 77777](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/2034017116_Tourbillon Memorigin 7697.jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 44444](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/290693_Auspiciousplus-2-2.jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 44444](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/290693_Auspiciousplus-2-2.jpg)
[Đồng hồ Tourbillon Memorigin 44444](http://sieuthidongho.com.vn/product/9291/Dong-ho-Tourbillon-Memorigin-44444.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Memorigin 44444](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/290693_Auspiciousplus-2-2.jpg)
![ Tourbillon Memorigin 33333](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1313767648_dong ho tourbillon (2).jpg)
![ Tourbillon Memorigin 33333](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1313767648_dong ho tourbillon (2).jpg)
[Tourbillon Memorigin 33333](http://sieuthidongho.com.vn/product/9536/Tourbillon-Memorigin-33333.html) ![ Tourbillon Memorigin 33333](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1313767648_dong ho tourbillon (2).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15551](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1730329550_dong ho tourbillon (1).jpg)
![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15551](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1730329550_dong ho tourbillon (1).jpg)
[Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15551](http://sieuthidongho.com.vn/product/10520/Dong-ho-Tourbillon-Automatic-Memorigin-15551.html) ![ Đồng hồ Tourbillon Automatic Memorigin 15551](http://sieuthidongho.com.vn//upload/product/1730329550_dong ho tourbillon (1).jpg)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Vary: Accept-Encoding,User-Agent


text:
Phương trình nghiệm nguyên
Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Thuỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52
lượt xem 85
download
Phương trình nghiệm nguyên
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Phương trình nghiệm nguyên
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN 1 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ........................................4 Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế. ................................................................................5 Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng.......................................................................................5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức ...................................................................................6 Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . .............................................................8 Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương .......................................................11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn ...............................................................14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng .................................................................................15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng ...................................................................................15 Phương pháp 9: Hạ bậc ......................................................................................................16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên .......................................................18 Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn ...............................................................................19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn .............................................................................19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. .................................................................21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên ..................................................................23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức ...............................................................................24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ ..........................................................................................25 Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ ...........................................................................................26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên ...................................................................28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago .......................................................................................28 Dạng 10: Phương trình Pel.................................................................................................30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. ..................................................32 Phần 3: Bài tập áp dụng ...................................................................................................33 Phụ lục ...............................................................................................................................48 Lời cảm ơn .........................................................................................................................52 2 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên. Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập 3 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 4 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) x 2 y 2 1998 b) x 2 y 2 1999 Giải: a) Dễ chứng minh x 2 , y 2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x 2 y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) x 2 , y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x 2 y 2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 9x 2 y2 y Giải Biến đổi phương trình: 9 x 2 y ( y 1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y ( y 1) chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: y 3k 1 , y 1 3k 2 với k nguyên Khi đó: 9 x 2 (3k 1)(3k 2) 9 x 9k ( k 1) x k ( k 1) Thử lại, x k ( k 1) , y 3k 1 thỏa mãn phương trình đã cho. x k (k 1) Đáp số với k là số nguyên tùy ý y 3k 1 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2 x y 8 (1) Giải: (1) 4 x 2 4 y 2 4 x 4 y 32 (4 x 2 4 x 1) (4 y 2 4 y 1) 34 | 2 x 1 |2 | 2 y 1 |2 32 52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32 ,52 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: | 2 x 1 | 3 | 2 x 1 | 5 hoặc | 2 y 1 | 5 | 2 y 1 | 3 5 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải các hệ trên phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( 1 ; 2), ( 2 ; 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x y z x. y. z (1) Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 x y z Do đó: xyz x y z 3z Chia hai vế của bất đảng thức xyz 3z cho số dương z ta được: xy 3 Do đó xy {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3 Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y z Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz 0 được: 1 1 1 1 yz xz xy Giả sử x y z 1 ta có 1 1 1 111 3 1 2 2 2 2 yz xz xy z z z z 3 Suy ra 1 2 do đó z 2 3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1): z x y 1 xy xy x y 1 x ( y 1) ( y 1) 2 ( x 1)( y 1) 2 Ta có x 1 y 1 0 nên x–1 2 y–1 1 Suy ra x 3 y 2 Ba số phải tìm là 1; 2; 3 Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt . 6 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t. Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 yzt 15 t 3 15 t 2 Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 2 yz 30 2 z 2 30 z 3 Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5). Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này. b) Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 111 xy3 Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y . Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y). 11 Hiển nhiên ta có nên y 3 (1) y3 11 Mặt khác do x y 1 nên . Do đó: xy 111112 nên y 6 (2) 3xyyyy Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4 y 6 111 1 Với y = 4 ta được: nên x = 12 x 3 4 12 111 2 Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên x 3 5 15 1111 Với y = 6 ta được: nên x = 6 x366 Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2 x 3x 5 x Giải: Viết phương trình dưới dạng: 7 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com x x 2 3 1 (1) 5 5 Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng x x 2 2 3 3 Với x 2 thì , nên: 5 5 5 5 x x 2 3 23 1 loại 5 5 55 Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1 d) Sử dụng diều kiện 0 để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x y xy x 2 y 2 (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: x 2 ( y 1) x ( y 2 y ) 0 (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 ( y 1) 2 4( y 2 y ) 3 y 2 6 y 1 0 3y2 6 y 1 0 3( y 1) 2 4 Do đó ( y 1) 2 1 suy ra: y–1 -1 0 1 y 0 1 2 Với y = 0 thay vào (2) được x 2 x 0 x1 0; x2 1 Với y = 1 thay vào (2) được x 2 2 x 0 x3 0; x4 2 Với y = 2 thay vào (2) được x 2 3x 2 0 x5 1; x6 2 Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.. a) Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và 2x đều chia hết cho 3 nên 17y 3 do đó y 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t ). Thay vào phương trình ta được: 8 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 x 53 17t Do đó: ( t ) y 3t Đảo lại, thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng. Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức: x 53 17t (t là số nguyên tùy ý) y 3t Ví dụ 10: Chứng minh rằng phương trình : x 2 5 y 2 27 (1) không có nghiệm là số nguyên. Giải Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng x = 5k hoặc x = 5k ± 1 hoặc x = 5k ± 2 trong đó k Nếu x = 5k thì : (1) (5k ) 2 5 y 2 27 5(5k 2 y 2 ) 27 Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 1 thì : (1) (5k 1) 2 5 y 2 27 25k 2 10k 1 5 y 2 27 5(5k 2 4k y 2 ) 23 Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 2 thì : (1) (5k 2) 2 5 y 2 27 25k 2 20k 4 5 y 2 27 5(5k 2 4k y 2 ) 23 Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729. Giải Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1) 2 2 Từ (1) suy ra x + y chia hết 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt x = 3u, y = 3v (u, v ) Thay vào phương trình đã cho ta được : 19u2 + 28v2 = 81. (2) Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra u = 3s, v = 3t ( s, t ) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = 9. (3) Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0, do đó 9 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 19s2 + 28t2 ≥ 19 > 9. Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm. Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ -1 (mod 4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên x. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Phương pháp đưa về phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y = 2 x(y – 1) – (y – 1) = 3 (y – 1)(x – 1) = 3 Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x – 1 và y – 1 là các số nguyên và là ước của 23. Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử x y, khi đó x – 1y – 1 Ta có: x–1 3 -1 y–1 1 -3 Do đó: x 4 0 y 2 -2 Nghiệm nguyên của phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9. Giải Phương trình đã cho có thể đưa về dạng : (x + 1)(y + 1) = 10. (1) Từ (1) ta suy ra (x + 1) là ước của 10 hay ( x 1) {1; 2; 5; 10} Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2). Ví dụ 14: Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau x 3 3367 2n Giải Để sử dụng được hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho 3 . Từ phương trình đã cho ta suy ra x 3 2n (mod 7). 10 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó x 3 khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức x 3 2n (mod 7). Vậy n = 3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được x 3 3367 23m (2m x )[(2m x ) 2 3 x.2m ] 3367 (1) Từ (1) ta suy ra 2 x là ước của 3367 m Hơn nữa, (2m x )3 23m x 3 3367 nên (2m x ) {1;7;13} Xét 2m x 1 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 1) = 2 × 561, vô nghiệm. Xét 2m x 3 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 13) = 2 × 15, vô nghiệm. Xét 2m x 7 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 7) = 24 × 32. Từ đó ta có m = 4; n = 3m = 12, và x = 9. Vậy (x; n) = (9; 12) c) Phương pháp tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ 15: Giải phương trình ở ví dụ 2 bằng cách khác Giải: Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y + 2 Ta thấy y 1 ( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 vô nghiệm) y 2 y 1 3 3 Do đó: x 1 y 1 y 1 y 1 3 Do x là số nguyên nên là số nguyên, do đó y – 1 là ước của 3. Lần lượt cho y y 1 – 1 bằng -1, 1, -3, 3 ta được các đáp số như ở ví dụ 2. 5) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương Ví dụ 16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp Giải: Cách 1: Giải sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 4n 2 4n 36 x 21 4n 2 4n 1 3(12 x 7) (2n 1) 2 Số chính phương (2n 1) 2 chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chi hết cho 9. Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1). Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi n 2 n 9 x 5 0 11 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Để phương trình bậc hai đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là là số chính phương. Nhưng 1 4(9 x 5) 36 x 21 chi hết cho 3 nhưng không chia hết hco 9 nên không là số chính phương. Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n + 1), tức là không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp. b) Tạo ra bình phương đúng: Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 4 x 19 3 y 2 Giải : 2 x 2 4 x 2 21 3 y 2 2( x 1) 2 3(7 y 2 ) Ta thấy 3(7 y 2 ) 2 7 y 2 2 y lẻ Ta lại có 7 y 2 0 nên chỉ có thể y 2 1 Khi đó (2) có dạng: 2( x 1) 2 18 Ta được: x + 1 = 3 , do đó: x1 2; x2 4 Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho. c) Xét các số chính phương liên tiếp: Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn t5ai số nguyên dương x sao cho: x ( x 1) k ( k 2) Giải: Giả sử x ( x 1) k ( k 2) với k nguyên, x nguyên dương. Ta có: x 2 x k 2 2k x 2 x 1 k 2 2k 1 ( k 1) 2 Do x > 0 nên x 2 x 2 x 1 ( k 1) 2 (1) Cũng do x > 0 nên ( k 1) 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 ( x 1) 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x 2 ( k 1)2 ( x 1) 2 vô lý Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Ví dụ 19: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương: x4 2 x3 2 x2 x 3 Giải: Đặt x 4 2 x 3 2 x 2 x 3 = y 2 (1) với y Ta thấy: y 2 ( x 4 2 x 3 x 2 ) ( x 2 x 3) y 2 ( x 2 x ) 2 ( x 2 x 3) Ta sẽ chứng minh a 2 y 2 ( a 2) 2 với a = x 2 x 12 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Thật vậy: 1 11 y 2 a 2 x 2 x 3 ( x )2 0 2 4 ( a 2) y ( x x 2) ( x 2 x 3 2 x 2 x 3) 2 2 2 2 4 3x 2 3x 1 1 1 3( x ) 2 0 2 4 Do a y ( a 2) nên y 2 ( a 1)2 2 2 2 x 4 2 x 3 2 x 2 x 3 ( x 2 x 1) 2 x2 x 2 0 x 1 x 2 Với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho bằng 9 32 d) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: xy z 2 (1) Giải: Trước hết ta có thể giả sử (x , y , z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số xo , yo , zo thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng d, giả sử xo dx1 , yo dy1 , zo dz1 thì x1 , y1 , z1 cũng là nghiệm của (1). Với (x , y , z) = 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số x, y, z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có z 2 xy mà (x, y) = 1 nên x a 2 , y b2 với a, b * Suy ra: z 2 xy (ab) 2 do đó, z = ab x ta 2 Như vậy: y tb2 với t là số nguyên dương tùy ý. z tab Đảo lại, hiển nhiên các số x, y, z có dạng trên thỏa mãn (1) Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1) e) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 Ví dụ 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 xy y 2 x 2 y 2 (1) Giải: Thêm xy vào hai vế: x 2 2 xy y 2 x 2 y 2 xy ( x y ) 2 xy ( xy 1) (2) 13 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0. Xét xy = 0. Từ (1) có x 2 y 2 0 nên x = y = 0 Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1) Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho. 6) PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Ví dụ 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 2 y3 4 z3 Giải: Hiển nhiên x 2 . Đặt x 2 x1 với x1 nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 4 x13 y 3 2 z 3 (2) Do đó y 2 . Đặt y 2 y1 với y1 nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 2 x13 4 y13 z 3 (3) Do đó z 2 . Đặt z 2 z1 với z1 nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được: x13 4 y13 4 z13 (4) Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì ( x1 , y1 , z1 ) cũng là nghiệm của (1) trong đó x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 . Lập luận tương tự như trên, ( x2 , y2 , z2 ) cũng là nghiệm của (1) trong đó x1 2 x2 , y1 2 y2 , z1 2 z2 . Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: x, y, z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi x = y = z = 0. Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1) Ví dụ 23: Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn : x 3 y 3 z 3 ( x y z )2 Giải Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z. Áp dụng bất đẳng thức : 3 x3 y3 z3 x y z 3 3 Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9. Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau. Vậy x + y + z ≤ 8. (1) Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra x y z {6;7;8} Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này 14 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 7) PHƯƠNG PHÁP XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1! 2! ... x ! y 2 (1) Giải: Cho x lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay2 nghiệm nguyên dương (x ; y) củ phương trình là (1 ; 1), (3 ; 3) Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x! có chữ số tận cùng bằng 3. Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3. Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) là (1 ; 1) và (3 ; 3) Ví dụ 25: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: x 2 x 1 32 y 1 (1) Giải: Cho x các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của x 2 x 1 chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy 32 y 1 là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9. Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương. 8) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG a) Cách giải Xét phương trình ax by c 0 (1) trong đó a , b, c , a 0, b 0 Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a, b, c) = 1. Thật vậy, nếu a, b, c d 1 thì ta chia hai vế của phương trình cho d. Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì (a, b) = 1 (*) Chứng minh: Giả sử ( xo , yo ) là nghiệm nguyên của (1) thì axo byo c Nếu a và b có ước chung là d 1 thì c d , trái với giả thiết (a, b, c) = 1. Vậy (a, b) = 1 Định lý 2: Nếu ( xo , yo ) là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng: x xo bt y yo at trong đó t là một số nguyên tùy ý (t 0, 1, 2,...) . Chứng minh: Bước 1: Mọi cặp số ( xo bt; yo at ) đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy ( xo , yo ) là nghiệm của (1) nên axo byo c Ta có: ax by a ( xo bt ) b( yo at ) axo byo c Do đó ( xo bt; yo at ) là nghiệm của (1) Bước 2: Mọi nghiệm (x, y) của (1) đều có dạng ( xo bt; yo at ) với t Z Thật vậy, do ( xo , yo ) và (x, y) là nghiệm của (1) nên 15 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com ax by c axo byo c a ( x xo ) b( y yo ) 0 Trừ từng vế: (2) a ( x xo ) b( yo y ) Ta có a ( x xo ) b mà (a, b) = 1 ( theo định lý 1) nên x xo b Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: x xo = bt Tức là: x xo bt . Thay vào (2): abt b( yo y ) at yo y y yo at Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: x xo bt y yo at b) Ví dụ: Ví dụ 26: Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình: 3x – 2y = 5 Giải: Cách 1: Ta thấy xo 3; yo 2 là một nghiệm riêng. Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là: x 3 2t (t là số nguyên tùy ý) y 2 3t Cách 2: Ta thấy xo 1; yo 1 là một nghiệm riêng Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là: x 1 2t (t là số nguyên tùy ý) y 1 3t Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình. c) Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn: Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình ax by c , ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho x bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ (0; 1; 2...) rồi tìm giá trị tương ứng của y. 9) PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC Ví dụ 27: 16 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + 2y3 – 4z3 = 0 (1) Giải (1) x3 = 4z3 – 2y3 (2) Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên x3 2 do đó x 2. Đặt x = 2x1 (x1 Z ). Thay vào (2) ta có : (2) 8x13 = 4x3 – 2y3 y3 = 2z3 – 4x13 (3) Lập luận tương tự ta có y 2, đặt y = 2y1 (y1 Z ). Biến đổi tương tự, ta được: z3 = 4y13 + 2x13 (4) Lập luận tương tự ta có z 2, đặt z = 2z1 (z1 Z ). Biến đổi tương tự, ta lại có: (4) 8z13 = 4y13 + 2x13 x13 + 2y13 – 4z13 = 0 (5) x0 y0 z0 Rõ ràng nếu bộ số (x0; y0; z0) là nghiệm của (1) thì bộ số ( ; ; ) cũng là 222 x0 y0 z0 ;; nghiệm của (1), hơn nữa x0, y0, z0 là số chẵn và cũng là số chẵn. Quá 222 x0 y0 z0 trình này có thể tiếp tục mãi và các số n ; n ; n là số chẵn với mọi n là số 222 nguyên dương. Vậy x = y = z = 0 17 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 18 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 11x + 18y = 120 Giải: Ta thấy 11x 6 nên x 6 . Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: 20 11k y 3 Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: k 1 y 7 4k 3 k 1 Lại đặt = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó: 3 y 7 4(3t 1) t 3 11t x 6k 6(3t 1) 18t 6 Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của (10 được biểu thị bởi công thức: x 18t 6 với t là số nguyên tùy ý y 3 11t Cách giải: - Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia. - Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x - Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1 , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1 - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên 2) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Giải: Biểu thị y theo x: (2x + 3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + 3 0 ( vì x nguyên ) do đó: 5 x 11 x5 y 2 2x 3 2x 3 Để y phải có x 5 2 x 3 2( x 5) 2 x 3 2 x 3 7 2 x 3 7 2 x 3 19 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta có: 2x + 3 1 -1 7 -7 x -1 -2 2 -5 y 6 -1 3 2 Thử lại các cặp giá trị trên của (x , y) đều thỏa mãn phương trình đã cho. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 2 x 11 y 2 Giải: Cách 1: Đưa về phương trình ước số: x 2 2 x 1 12 y 2 ( x 1) 2 y 2 12 ( x 1 y )( x 1 y ) 12 Ta có các nhận xét: a) Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y 0 . Thế thì x 1 y x 1 y b) ( x 1 y ) ( x 1 y ) 2 y nên x 1 y và x 1 y cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn. Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp: x–1+y 6 -2 x–1-y 2 -6 Do đó: x-1 4 -4 y 2 2 x 5 -3 Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x: x 2 2 x (11 y 2 ) 0 ' 1 11 y 2 12 y 2 Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên: ' là số chính phương 12 y 2 k 2 ( k ) k 2 y 2 12 (k y )( k y ) 12 Giả sử y 0 thì k + y k – y và k + y 0 (k + y) – (k – y) = 2y nên k + y và k – y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn. Từ các nhận xét trên ta có: k y 6 k y 2 Do đó: y = 2 20 www.vnmath.com
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Luận văn đề tài : Giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử
82 p | 629 | 246
-
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kuta 4
9 p | 423 | 128
-
Các phương pháp giải phương trình thường dùng
30 p | 364 | 116
-
ĐỀ TÀI: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
14 p | 167 | 75
-
Luận văn:Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai
74 p | 118 | 67
-
Chuyên đề: Phương pháp giải nhanh một số bài tập Hóa học lớp 11 bằng phương trình ion thu gọn và phương trình bảo toàn electron
10 p | 111 | 58
-
Luận văn: giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử
82 p | 124 | 52
-
Luận văn: Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính
65 p | 121 | 48
-
Tiểu luận : Kết hợp máy tính bỏ túi và Maple giải gần đúng nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường
29 p | 137 | 44
-
Hệ phương trình vi phân tuyến tính
12 p | 102 | 42
-
Tiểu luận:Bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10
15 p | 128 | 40
-
Thuyết trình Tài nguyên đất
32 p | 58 | 33
-
Bài tập lớn: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Văn Rin
40 p | 47 | 27
-
Luận văn: Tính điều khiển của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
67 p | 57 | 21
-
Đề tài “Phương trình Pell”
95 p | 42 | 13
-
Luận văn: Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
61 p | 40 | 13
-
Luận văn tốt nghiệp: Giải các phương trình Kohn-Sham
31 p | 18 | 7

markdown:
# Phương trình nghiệm nguyên
Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Thuỳ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52
![](images/blank.gif)
![](images/blank.gif)
lượt xem 85
download
![](http://image1.tlvnimg.com/document/thumbnail/2013/20130324/phthuynguyen01081997/80x100/8811364175039.jpg)
##
Phương trình nghiệm nguyên
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải...
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Phương trình nghiệm nguyên
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN 1 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ........................................4 Phương pháp 1:Xét số dư của từng vế. ................................................................................5 Phương pháp 2: Đưa về dạng tổng.......................................................................................5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức ...................................................................................6 Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư . .............................................................8 Phương pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương .......................................................11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn ...............................................................14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận cùng .................................................................................15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng ...................................................................................15 Phương pháp 9: Hạ bậc ......................................................................................................16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm nguyên .......................................................18 Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn ...............................................................................19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn .............................................................................19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. .................................................................21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên ..................................................................23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức ...............................................................................24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ ..........................................................................................25 Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ ...........................................................................................26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên ...................................................................28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago .......................................................................................28 Dạng 10: Phương trình Pel.................................................................................................30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên. ..................................................32 Phần 3: Bài tập áp dụng ...................................................................................................33 Phụ lục ...............................................................................................................................48 Lời cảm ơn .........................................................................................................................52 2 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của Số học và Đại số, từ những bài toán về tính mỗi loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến các chuyên gia toán học lớn với các bài toán như định lý lớn Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ thứ III, phương trình nghiệm nguyên vẫn còn là đối tượng nghiên cứu của toán học. Phương trình nghiệm nguyên vô cùng đa dạng, vì thế nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Thời gian qua, nhờ sự hướng dẫn của giáo viên bộ môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên”. Chuyên đề này là sự tập hợp các phương pháp cũng như các dạng phương trình khác nhau của phương trình nghiệm nguyên, do chúng em sưu tầm từ các nguồn kiến thức khác nhau. Chúng em mong muốn quyển chuyên đề sẽ giúp ích một phần cho việc tìm hiểu của các bạn học sinh về vấn đề nêu trên. Quyển chuyên đề này gồm có 3 phần chính. Đầu tiên chúng em xin giới thiệu các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên, sau đó là việc tìm hiểu cách giải các dạng phương trình khác nhau của nó và cuối cùng là phần bài tập. Trong quá trình biên soạn, sưu tầm và tập hợp các phương pháp cùng những ví dụ, bài tập, tuy chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng thiếu sót là điều khó tránh khỏi. Vì vậy, chúng em mong thầy và các bạn khi xem xong quyển chuyên đề này hãy đóng góp ý kiến để giúp những chuyên đề sau được hoàn thành tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập 3 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 4 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên: a) x 2 y 2 1998 b) x 2 y 2 1999 Giải: a) Dễ chứng minh x 2 , y 2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên x 2 y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. b) x 2 , y 2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x 2 y 2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 9x 2 y2 y Giải Biến đổi phương trình: 9 x 2 y ( y 1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên y ( y 1) chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể: y 3k 1 , y 1 3k 2 với k nguyên Khi đó: 9 x 2 (3k 1)(3k 2) 9 x 9k ( k 1) x k ( k 1) Thử lại, x k ( k 1) , y 3k 1 thỏa mãn phương trình đã cho. x k (k 1) Đáp số với k là số nguyên tùy ý y 3k 1 2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các bình phương, vế phải là tổng của các số chính phương. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y2 x y 8 (1) Giải: (1) 4 x 2 4 y 2 4 x 4 y 32 (4 x 2 4 x 1) (4 y 2 4 y 1) 34 | 2 x 1 |2 | 2 y 1 |2 32 52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có duy nhất một dạng phân tích thành tồng của hai số chính phương 32 ,52 . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: | 2 x 1 | 3 | 2 x 1 | 5 hoặc | 2 y 1 | 5 | 2 y 1 | 3 5 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải các hệ trên phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), ( 1 ; 2), ( 2 ; 1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Cách 1: Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z. Ta có: x y z x. y. z (1) Chú ý rằng các ẩn x, y, z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn, chẳng hạn: 1 x y z Do đó: xyz x y z 3z Chia hai vế của bất đảng thức xyz 3z cho số dương z ta được: xy 3 Do đó xy {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = 2. Thay vào (1) được z = 3 Với xy = 3, ta có x = 1, y = 3. Thay vào (1) được z = 2 loại vì y z Vậy ba số phải tìm là 1; 2; 3. Cách 2: Chia hai vế của (1) cho xyz 0 được: 1 1 1 1 yz xz xy Giả sử x y z 1 ta có 1 1 1 111 3 1 2 2 2 2 yz xz xy z z z z 3 Suy ra 1 2 do đó z 2 3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1): z x y 1 xy xy x y 1 x ( y 1) ( y 1) 2 ( x 1)( y 1) 2 Ta có x 1 y 1 0 nên x–1 2 y–1 1 Suy ra x 3 y 2 Ba số phải tìm là 1; 2; 3 Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt . 6 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải Vì vai trò của x, y, z, t như nhau nên có thể giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t. Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 yzt 15 t 3 15 t 2 Với t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 2 yz 30 2 z 2 30 z 3 Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là (x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5). Giải tương tự cho các trường còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta tìm được nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của các bộ số này. b) Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 111 xy3 Giải: Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x y . Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của số nhỏ hơn (là y). 11 Hiển nhiên ta có nên y 3 (1) y3 11 Mặt khác do x y 1 nên . Do đó: xy 111112 nên y 6 (2) 3xyyyy Ta xác định được khoảng giá tri của y là 4 y 6 111 1 Với y = 4 ta được: nên x = 12 x 3 4 12 111 2 Với y = 5 ta được: loại vì x không là số nguyên x 3 5 15 1111 Với y = 6 ta được: nên x = 6 x366 Các nghiệm của phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên Ví dụ 7: Tìm các số tự nhiên x sao cho: 2 x 3x 5 x Giải: Viết phương trình dưới dạng: 7 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com x x 2 3 1 (1) 5 5 Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2, loại. Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1, đúng x x 2 2 3 3 Với x 2 thì , nên: 5 5 5 5 x x 2 3 23 1 loại 5 5 55 Nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1 d) Sử dụng diều kiện 0 để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x y xy x 2 y 2 (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: x 2 ( y 1) x ( y 2 y ) 0 (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 ( y 1) 2 4( y 2 y ) 3 y 2 6 y 1 0 3y2 6 y 1 0 3( y 1) 2 4 Do đó ( y 1) 2 1 suy ra: y–1 -1 0 1 y 0 1 2 Với y = 0 thay vào (2) được x 2 x 0 x1 0; x2 1 Với y = 1 thay vào (2) được x 2 2 x 0 x3 0; x4 2 Với y = 2 thay vào (2) được x 2 3x 2 0 x5 1; x6 2 Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các biến số cũng như các biểu thức chứa trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.. a) Phương pháp phát hiện tính chia hết của ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Ta thấy 159 và 2x đều chia hết cho 3 nên 17y 3 do đó y 3 ( vì 17 và 3 nguyên tố cùng nhau) Đặt y = 3t ( t ). Thay vào phương trình ta được: 8 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 x 53 17t Do đó: ( t ) y 3t Đảo lại, thay các biểu thức của x và y vào phương trình ta được nghiệm đúng. Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyênđược xác định bằng công thức: x 53 17t (t là số nguyên tùy ý) y 3t Ví dụ 10: Chứng minh rằng phương trình : x 2 5 y 2 27 (1) không có nghiệm là số nguyên. Giải Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng x = 5k hoặc x = 5k ± 1 hoặc x = 5k ± 2 trong đó k Nếu x = 5k thì : (1) (5k ) 2 5 y 2 27 5(5k 2 y 2 ) 27 Điều này vô lí, vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 1 thì : (1) (5k 1) 2 5 y 2 27 25k 2 10k 1 5 y 2 27 5(5k 2 4k y 2 ) 23 Điều này cũng vô lí, vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không chia hết cho 5 Nếu x = 5k ± 2 thì : (1) (5k 2) 2 5 y 2 27 25k 2 20k 4 5 y 2 27 5(5k 2 4k y 2 ) 23 Lập luận tương tự như trên, điều này cũng vô lí Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên Ví dụ 11: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729. Giải Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 (1) 2 2 Từ (1) suy ra x + y chia hết 3, do đó x và y đều chia hết cho 3. Đặt x = 3u, y = 3v (u, v ) Thay vào phương trình đã cho ta được : 19u2 + 28v2 = 81. (2) Từ (2) lập luận tương tự trên ta suy ra u = 3s, v = 3t ( s, t ) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = 9. (3) Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0, do đó 9 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 19s2 + 28t2 ≥ 19 > 9. Vậy (3) vô nghiệm và do đó phương trình đã cho cũng vô nghiệm. Cách 2. Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình đã cho ta suy ra x2 ≡ -1 (mod 4), điều này không xảy ra với mọi số nguyên x. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm b) Phương pháp đưa về phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y = 2 x(y – 1) – (y – 1) = 3 (y – 1)(x – 1) = 3 Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phái là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x – 1 và y – 1 là các số nguyên và là ước của 23. Do vai trò bình đẳng của x và y trong phương trình nên có thể giả sử x y, khi đó x – 1y – 1 Ta có: x–1 3 -1 y–1 1 -3 Do đó: x 4 0 y 2 -2 Nghiệm nguyên của phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x + xy + y = 9. Giải Phương trình đã cho có thể đưa về dạng : (x + 1)(y + 1) = 10. (1) Từ (1) ta suy ra (x + 1) là ước của 10 hay ( x 1) {1; 2; 5; 10} Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2). Ví dụ 14: Xác định tất cả các cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau x 3 3367 2n Giải Để sử dụng được hằng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho 3 . Từ phương trình đã cho ta suy ra x 3 2n (mod 7). 10 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó x 3 khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1, hoặc 6 nên không thề có đồng dư thức x 3 2n (mod 7). Vậy n = 3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được x 3 3367 23m (2m x )[(2m x ) 2 3 x.2m ] 3367 (1) Từ (1) ta suy ra 2 x là ước của 3367 m Hơn nữa, (2m x )3 23m x 3 3367 nên (2m x ) {1;7;13} Xét 2m x 1 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 1) = 2 × 561, vô nghiệm. Xét 2m x 3 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 13) = 2 × 15, vô nghiệm. Xét 2m x 7 , thay vào (1) ta suy ra 2m(2m – 7) = 24 × 32. Từ đó ta có m = 4; n = 3m = 12, và x = 9. Vậy (x; n) = (9; 12) c) Phương pháp tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ 15: Giải phương trình ở ví dụ 2 bằng cách khác Giải: Biểu thị x theo y: x(y – 1) = y + 2 Ta thấy y 1 ( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 vô nghiệm) y 2 y 1 3 3 Do đó: x 1 y 1 y 1 y 1 3 Do x là số nguyên nên là số nguyên, do đó y – 1 là ước của 3. Lần lượt cho y y 1 – 1 bằng -1, 1, -3, 3 ta được các đáp số như ở ví dụ 2. 5) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG a) Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương Ví dụ 16: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp Giải: Cách 1: Giải sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên thì: 36x + 20 = 4n 2 4n 36 x 21 4n 2 4n 1 3(12 x 7) (2n 1) 2 Số chính phương (2n 1) 2 chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 9. Ta lại có 12x + 7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chi hết cho 9. Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1). Cách 2: Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n nguyên Biến đổi n 2 n 9 x 5 0 11 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Để phương trình bậc hai đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là là số chính phương. Nhưng 1 4(9 x 5) 36 x 21 chi hết cho 3 nhưng không chia hết hco 9 nên không là số chính phương. Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n + 1), tức là không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp. b) Tạo ra bình phương đúng: Ví dụ 17: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 x 2 4 x 19 3 y 2 Giải : 2 x 2 4 x 2 21 3 y 2 2( x 1) 2 3(7 y 2 ) Ta thấy 3(7 y 2 ) 2 7 y 2 2 y lẻ Ta lại có 7 y 2 0 nên chỉ có thể y 2 1 Khi đó (2) có dạng: 2( x 1) 2 18 Ta được: x + 1 = 3 , do đó: x1 2; x2 4 Các cặp số (2 ; 1), (2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho. c) Xét các số chính phương liên tiếp: Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn t5ai số nguyên dương x sao cho: x ( x 1) k ( k 2) Giải: Giả sử x ( x 1) k ( k 2) với k nguyên, x nguyên dương. Ta có: x 2 x k 2 2k x 2 x 1 k 2 2k 1 ( k 1) 2 Do x > 0 nên x 2 x 2 x 1 ( k 1) 2 (1) Cũng do x > 0 nên ( k 1) 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 ( x 1) 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x 2 ( k 1)2 ( x 1) 2 vô lý Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) Ví dụ 19: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương: x4 2 x3 2 x2 x 3 Giải: Đặt x 4 2 x 3 2 x 2 x 3 = y 2 (1) với y Ta thấy: y 2 ( x 4 2 x 3 x 2 ) ( x 2 x 3) y 2 ( x 2 x ) 2 ( x 2 x 3) Ta sẽ chứng minh a 2 y 2 ( a 2) 2 với a = x 2 x 12 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Thật vậy: 1 11 y 2 a 2 x 2 x 3 ( x )2 0 2 4 ( a 2) y ( x x 2) ( x 2 x 3 2 x 2 x 3) 2 2 2 2 4 3x 2 3x 1 1 1 3( x ) 2 0 2 4 Do a y ( a 2) nên y 2 ( a 1)2 2 2 2 x 4 2 x 3 2 x 2 x 3 ( x 2 x 1) 2 x2 x 2 0 x 1 x 2 Với x = 1 hoặc x = -2 biểu thức đã cho bằng 9 32 d) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương Ví dụ 20: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: xy z 2 (1) Giải: Trước hết ta có thể giả sử (x , y , z) = 1. Thật vậy nếu bộ ba số xo , yo , zo thỏa mãn (1) và có ƯCLN bằng d, giả sử xo dx1 , yo dy1 , zo dz1 thì x1 , y1 , z1 cũng là nghiệm của (1). Với (x , y , z) = 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu hai trong ba số x, y, z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có z 2 xy mà (x, y) = 1 nên x a 2 , y b2 với a, b * Suy ra: z 2 xy (ab) 2 do đó, z = ab x ta 2 Như vậy: y tb2 với t là số nguyên dương tùy ý. z tab Đảo lại, hiển nhiên các số x, y, z có dạng trên thỏa mãn (1) Công thức trên cho ta các nghiệm nguyên dương của (1) e) Sử dụng tính chất: nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thí một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 Ví dụ 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 xy y 2 x 2 y 2 (1) Giải: Thêm xy vào hai vế: x 2 2 xy y 2 x 2 y 2 xy ( x y ) 2 xy ( xy 1) (2) 13 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0. Xét xy = 0. Từ (1) có x 2 y 2 0 nên x = y = 0 Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1) Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho. 6) PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Ví dụ 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 2 y3 4 z3 Giải: Hiển nhiên x 2 . Đặt x 2 x1 với x1 nguyên. Thay vào (1) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 4 x13 y 3 2 z 3 (2) Do đó y 2 . Đặt y 2 y1 với y1 nguyên. Thay vào (2) rồi chia hai vế cho 2 ta được: 2 x13 4 y13 z 3 (3) Do đó z 2 . Đặt z 2 z1 với z1 nguyên. Thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 được: x13 4 y13 4 z13 (4) Như vậy nếu (x , y , z) là nghiệm của (1) thì ( x1 , y1 , z1 ) cũng là nghiệm của (1) trong đó x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 . Lập luận tương tự như trên, ( x2 , y2 , z2 ) cũng là nghiệm của (1) trong đó x1 2 x2 , y1 2 y2 , z1 2 z2 . Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến: x, y, z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tùy ý. Điều này chỉa xảy ra khi x = y = z = 0. Đó là nghiệm nguyên duy nhất của (1) Ví dụ 23: Tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau x, y, z thỏa mãn : x 3 y 3 z 3 ( x y z )2 Giải Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử x < y < z. Áp dụng bất đẳng thức : 3 x3 y3 z3 x y z 3 3 Với mọi x, y, z ≥ 0 ta suy ra x + y + z ≤ 9. Dấu bằng không xảy ra vì x, y, z đôi một khác nhau. Vậy x + y + z ≤ 8. (1) Mặt khác: x + y + z ≥ 1 + 2 + 3 = 6. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra x y z {6;7;8} Từ đây kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm được x, y, z Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) và các hoán vị của bộ ba số này 14 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 7) PHƯƠNG PHÁP XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1! 2! ... x ! y 2 (1) Giải: Cho x lần lượt bằng 1; 2; 3; 4, ta có ngay2 nghiệm nguyên dương (x ; y) củ phương trình là (1 ; 1), (3 ; 3) Nếu x > 4 thì dễ thấy k! với k > 4 đều có chữ số tận cùng bằng 0 1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x! có chữ số tận cùng bằng 3. Mặt khác vế phải là số chính phương nên không thể tận cùng là 3. Vậy phương trình (1) chỉ có hai nghiệm nguyên dương (x ; y) là (1 ; 1) và (3 ; 3) Ví dụ 25: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: x 2 x 1 32 y 1 (1) Giải: Cho x các giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định được chữa số tận cùng của x 2 x 1 chì nhận các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy 32 y 1 là lũy thừ bậc lẻ của 3 nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9. Vậy (1) không thể xảy ra. Nói các khác phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương. 8) PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG a) Cách giải Xét phương trình ax by c 0 (1) trong đó a , b, c , a 0, b 0 Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng (a, b, c) = 1. Thật vậy, nếu a, b, c d 1 thì ta chia hai vế của phương trình cho d. Ta có hai định lý: Định lý 1: Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì (a, b) = 1 (*) Chứng minh: Giả sử ( xo , yo ) là nghiệm nguyên của (1) thì axo byo c Nếu a và b có ước chung là d 1 thì c d , trái với giả thiết (a, b, c) = 1. Vậy (a, b) = 1 Định lý 2: Nếu ( xo , yo ) là một nghiệm của phương trình (1) thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng: x xo bt y yo at trong đó t là một số nguyên tùy ý (t 0, 1, 2,...) . Chứng minh: Bước 1: Mọi cặp số ( xo bt; yo at ) đều là nghiệm nguyên của (1). Thật vậy ( xo , yo ) là nghiệm của (1) nên axo byo c Ta có: ax by a ( xo bt ) b( yo at ) axo byo c Do đó ( xo bt; yo at ) là nghiệm của (1) Bước 2: Mọi nghiệm (x, y) của (1) đều có dạng ( xo bt; yo at ) với t Z Thật vậy, do ( xo , yo ) và (x, y) là nghiệm của (1) nên 15 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com ax by c axo byo c a ( x xo ) b( y yo ) 0 Trừ từng vế: (2) a ( x xo ) b( yo y ) Ta có a ( x xo ) b mà (a, b) = 1 ( theo định lý 1) nên x xo b Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: x xo = bt Tức là: x xo bt . Thay vào (2): abt b( yo y ) at yo y y yo at Vậy tồn tại số nguyên t sao cho: x xo bt y yo at b) Ví dụ: Ví dụ 26: Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình: 3x – 2y = 5 Giải: Cách 1: Ta thấy xo 3; yo 2 là một nghiệm riêng. Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là: x 3 2t (t là số nguyên tùy ý) y 2 3t Cách 2: Ta thấy xo 1; yo 1 là một nghiệm riêng Theo định lý 2, mọi nghiệm nguyên của phương trình là: x 1 2t (t là số nguyên tùy ý) y 1 3t Chú ý: Qua hai cách giải trên, ta thấy có nhiều công thức biểu thị tập hợp các nghiệm nguyên của cùng một phương trình. c) Cách tìm một nghiệm riêng của phương trình bậc nhất hai ẩn: Để tìm một nghiệm nguyên riêng của phương trình ax by c , ta có thể dùng phương pháp thử chọn: lần lượt cho x bằng số có giá giá trị tuyệt đối nhỏ (0; 1; 2...) rồi tìm giá trị tương ứng của y. 9) PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC Ví dụ 27: 16 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + 2y3 – 4z3 = 0 (1) Giải (1) x3 = 4z3 – 2y3 (2) Rõ ràng vế phải của (2) chia hết cho 2 nên x3 2 do đó x 2. Đặt x = 2x1 (x1 Z ). Thay vào (2) ta có : (2) 8x13 = 4x3 – 2y3 y3 = 2z3 – 4x13 (3) Lập luận tương tự ta có y 2, đặt y = 2y1 (y1 Z ). Biến đổi tương tự, ta được: z3 = 4y13 + 2x13 (4) Lập luận tương tự ta có z 2, đặt z = 2z1 (z1 Z ). Biến đổi tương tự, ta lại có: (4) 8z13 = 4y13 + 2x13 x13 + 2y13 – 4z13 = 0 (5) x0 y0 z0 Rõ ràng nếu bộ số (x0; y0; z0) là nghiệm của (1) thì bộ số ( ; ; ) cũng là 222 x0 y0 z0 ;; nghiệm của (1), hơn nữa x0, y0, z0 là số chẵn và cũng là số chẵn. Quá 222 x0 y0 z0 trình này có thể tiếp tục mãi và các số n ; n ; n là số chẵn với mọi n là số 222 nguyên dương. Vậy x = y = z = 0 17 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 18 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com 1) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 11x + 18y = 120 Giải: Ta thấy 11x 6 nên x 6 . Đặt x = 6k (k nguyên). Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k + 3y = 20 Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được: 20 11k y 3 Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này: k 1 y 7 4k 3 k 1 Lại đặt = t với t nguyên suy ra k = 3t + 1. Do đó: 3 y 7 4(3t 1) t 3 11t x 6k 6(3t 1) 18t 6 Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng. Vậy các nghiệm nguyên của (10 được biểu thị bởi công thức: x 18t 6 với t là số nguyên tùy ý y 3 11t Cách giải: - Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn - Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia. - Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x - Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t1 , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1 - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên 2) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Giải: Biểu thị y theo x: (2x + 3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + 3 0 ( vì x nguyên ) do đó: 5 x 11 x5 y 2 2x 3 2x 3 Để y phải có x 5 2 x 3 2( x 5) 2 x 3 2 x 3 7 2 x 3 7 2 x 3 19 www.vnmath.com
- www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta có: 2x + 3 1 -1 7 -7 x -1 -2 2 -5 y 6 -1 3 2 Thử lại các cặp giá trị trên của (x , y) đều thỏa mãn phương trình đã cho. Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x 2 2 x 11 y 2 Giải: Cách 1: Đưa về phương trình ước số: x 2 2 x 1 12 y 2 ( x 1) 2 y 2 12 ( x 1 y )( x 1 y ) 12 Ta có các nhận xét: a) Vì (1) chùa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y 0 . Thế thì x 1 y x 1 y b) ( x 1 y ) ( x 1 y ) 2 y nên x 1 y và x 1 y cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn. Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp: x–1+y 6 -2 x–1-y 2 -6 Do đó: x-1 4 -4 y 2 2 x 5 -3 Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Cách 2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x: x 2 2 x (11 y 2 ) 0 ' 1 11 y 2 12 y 2 Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên: ' là số chính phương 12 y 2 k 2 ( k ) k 2 y 2 12 (k y )( k y ) 12 Giả sử y 0 thì k + y k – y và k + y 0 (k + y) – (k – y) = 2y nên k + y và k – y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn. Từ các nhận xét trên ta có: k y 6 k y 2 Do đó: y = 2 20 www.vnmath.com
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Luận văn đề tài : Giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử
82 p |
629 |
246
-
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kuta 4
9 p |
423 |
128
-
Các phương pháp giải phương trình thường dùng
30 p |
364 |
116
-
ĐỀ TÀI: KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
14 p |
167 |
75
-
Luận văn:Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai
74 p |
118 |
67
-
Chuyên đề: Phương pháp giải nhanh một số bài tập Hóa học lớp 11 bằng phương trình ion thu gọn và phương trình bảo toàn electron
10 p |
111 |
58
-
Luận văn: giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử
82 p |
124 |
52
-
Luận văn: Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính
65 p |
121 |
48
-
Tiểu luận : Kết hợp máy tính bỏ túi và Maple giải gần đúng nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường
29 p |
137 |
44
-
Hệ phương trình vi phân tuyến tính
12 p |
102 |
42
-
Tiểu luận:Bất đẳng thức và phương trình toán lớp 10
15 p |
128 |
40
-
Thuyết trình Tài nguyên đất
32 p |
58 |
33
-
Bài tập lớn: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ - Nguyễn Văn Rin
40 p |
47 |
27
-
Luận văn: Tính điều khiển của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
67 p |
57 |
21
-
Đề tài “Phương trình Pell”
95 p |
42 |
13
-
Luận văn: Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
61 p |
40 |
13
-
Luận văn tốt nghiệp: Giải các phương trình Kohn-Sham
31 p |
18 |
7

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)


text:
- Nhạc Hàn Quốc
- Nhạc chờ theo tên
- Nhạc cực hay chọn lọc
- Nhạc trẻ hay nhất
- Nhạc không lời hay nhất
- Nhạc chế hay nhất
- Nhạc hướng về biển Đông
- Nhạc chờ hot tháng 7
- Nhạc chờ Hot nhất tháng
- Nhạc chờ Hot nhất tuần
- Nhạc chờ Hot nhất hiện nay
- Nhạc hot chọn lọc
- Nhạc trẻ hot nhất
- Nhạc chờ hot tháng 6
- Nhạc chờ 12 cung hoàng đạo
- Nhạc RAP
- Nhạc độc đáo
- Nhạc chờ hài hước
- Nhạc chờ vui
- Nhạc chờ cười
- Nhạc chế
- Nhạc remix
- Nhạc cho vợ yêu
- Nhạc cho chồng yêu
- Nhạc cho đại ca
- Nhạc kinh dị - ma
- Nhạc VIP
- Âm thanh cuộc sống
- Nhạc thể thao
- Nhạc Trịnh Công Sơn
- Nhạc trẻ em
- Nhạc bà bầu
- Nhạc quảng cáo
- Nhạc game
- Nhạc Thiên Chúa giáo
- Nhạc Phật
- Nhạc chờ phim
- Nhạc trẻ
- Việt Nam Idol
- Nhạc trữ tình
- Nhạc thiếu nhi
- Nhạc cách mạng - nhạc đỏ
- Nhạc không lời - cổ điển
- Love song
- Nhạc quốc tế
- Nhạc Việt
- Nhạc vàng
- Dân ca-chèo-cải lương
- Mừng sinh nhật
- Tết - năm mới
- Nhạc vui đón tết
- Nhạc đám cưới
- Nhạc chờ mùa xuân
- Valentine 14-2
- QT phụ nữ 8-3
- Cá tháng tư 1-4
- Quốc tế thiếu nhi 1-6
- Trung thu 15-8
- Halloween 31-10
- Phụ nữ VN 20-10
- Nhà giáo Việt Nam 20-11
- Giáng sinh - noel 25-12
Tặng bạn bè, soạn: CAI MãSố SốĐT
Kết quả tìm kiếm (0.021 giây)
HD tìm kiếm "Anniversary" (Mobifone)
Nếu bạn không tìm thấy kết quả tìm kiếm nhạc chờ Anniversary (mạng Mobifone), vui lòng kiểm tra chính xác lại từ khóa tìm kiếm đã nhập
Từ khóa tìm kiếm không phân biệt dấu, chữ hoa chữ thường và có thể là tên ca sĩ hoặc tên bài hát. Từ khóa tìm kiếm cần có chiều dài tối thiếu là 2 kí tự
Bạn có thể tải nhạc chờ Anniversary mạng Mobifone Funring miễn phí về máy tính bằng cách click vào nút download từ danh sách kết quả tìm kiếm. Nhạc chờ tải về có thể thuộc 1 trong các dạng: mp3, wav hoặc wma.
Click vào tên bài hát ở danh sách tìm kiếm để lấy thông tin cài đặt và mã số nhạc chờ Anniversary - Mobifone.
Bạn có thể tìm kiếm trang này theo các từ khóa sau đây:
Download/ tải nhạc chờ Anniversary Mobifone miễn phí về điện thoại, mobile, máy tính, pc, computer;
Mã số nhạc chờ Anniversary - Mobifone; Cài nhạc chờ Anniversary Mobifone Funring; Nghe nhạc chờ Anniversary (Mobifone Funring);
Tai nhac cho Anniversary Mobifone Funring mien phi ve dien thoai, mobile, may tinh, pc, computer;
Ma so nhac cho Anniversary - mang Mobifone Funring; Cai nhac cho Anniversary Mobifone Funring; Nghe nhac cho Anniversary (Mobifone Funring);

markdown:
[Nhạc Hàn Quốc](/mobifone/nhac-cho-han-quoc/) [Nhạc chờ theo tên](/mobifone/nhac-cho-theo-ten/) [Nhạc cực hay chọn lọc](/mobifone/nhac-cho-cuc-hay-chon-loc/) [Nhạc trẻ hay nhất](/mobifone/nhac-cho-tre-hay-nhat/) [Nhạc không lời hay nhất](/mobifone/nhac-cho-khong-loi-hay-nhat/) [Nhạc chế hay nhất](/mobifone/nhac-cho-che-hay-nhat/) [Nhạc hướng về biển Đông](/mobifone/nhac-cho-huong-ve-bien-dong/) [Nhạc chờ hot tháng 7](/mobifone/nhac-cho-hot-thang-7/) [Nhạc chờ Hot nhất tháng](/mobifone/nhac-cho-hot-nhat-thang/) [Nhạc chờ Hot nhất tuần](/mobifone/nhac-cho-hot-nhat-tuan/) [Nhạc chờ Hot nhất hiện nay](/mobifone/nhac-cho-hot-nhat-hien-nay/) [Nhạc hot chọn lọc](/mobifone/nhac-cho-hot-chon-loc/) [Nhạc trẻ hot nhất](/mobifone/nhac-cho-tre-hot-nhat/) [Nhạc chờ hot tháng 6](/mobifone/nhac-cho-hot-thang-6/) [Nhạc chờ 12 cung hoàng đạo](/mobifone/nhac-cho-12-cung-hoang-dao/) [Nhạc RAP](/mobifone/nhac-cho-rap/) [Nhạc độc đáo](/mobifone/nhac-cho-doc-dao/) [Nhạc chờ hài hước](/mobifone/nhac-cho-hai-huoc/) [Nhạc chờ vui](/mobifone/nhac-cho-vui/) [Nhạc chờ cười](/mobifone/nhac-cho-cuoi/) [Nhạc chế](/mobifone/nhac-cho-che/) [Nhạc remix](/mobifone/nhac-cho-remix/) [Nhạc cho vợ yêu](/mobifone/nhac-cho-vo-yeu/) [Nhạc cho chồng yêu](/mobifone/nhac-cho-chong-yeu/) [Nhạc cho đại ca](/mobifone/nhac-cho-dai-ca/) [Nhạc kinh dị - ma](/mobifone/nhac-cho-kinh-di-ma/) [Nhạc VIP](/mobifone/nhac-cho-vip/) [Âm thanh cuộc sống](/mobifone/nhac-cho-am-thanh-cuoc-song/) [Nhạc thể thao](/mobifone/nhac-cho-the-thao/) [Nhạc Trịnh Công Sơn](/mobifone/nhac-cho-trinh-cong-son/) [Nhạc trẻ em](/mobifone/nhac-cho-tre-em/) [Nhạc bà bầu](/mobifone/nhac-cho-ba-bau/) [Nhạc quảng cáo](/mobifone/nhac-cho-quang-cao/) [Nhạc game](/mobifone/nhac-cho-game/) [Nhạc Thiên Chúa giáo](/mobifone/nhac-cho-thien-chua-giao/) [Nhạc Phật](/mobifone/nhac-cho-phat/) [Nhạc chờ phim](/mobifone/nhac-cho-phim/) [Nhạc trẻ](/mobifone/nhac-cho-tre/) [Việt Nam Idol](/mobifone/nhac-cho-viet-nam-idol/) [Nhạc trữ tình](/mobifone/nhac-cho-tru-tinh/) [Nhạc thiếu nhi](/mobifone/nhac-cho-thieu-nhi/) [Nhạc cách mạng - nhạc đỏ](/mobifone/nhac-cho-cach-mang-nhac-do/) [Nhạc không lời - cổ điển](/mobifone/nhac-cho-khong-loi-co-dien/) [Love song](/mobifone/nhac-cho-love-song/) [Nhạc quốc tế](/mobifone/nhac-cho-quoc-te/) [Nhạc Việt](/mobifone/nhac-cho-viet/) [Nhạc vàng](/mobifone/nhac-cho-vang/) [Dân ca-chèo-cải lương](/mobifone/nhac-cho-dan-ca-cheo-cai-luong/) [Mừng sinh nhật](/mobifone/nhac-cho-mung-sinh-nhat/) [Tết - năm mới](/mobifone/nhac-cho-tet-nam-moi/) [Nhạc vui đón tết](/mobifone/nhac-cho-vui-don-tet/) [Nhạc đám cưới](/mobifone/nhac-cho-dam-cuoi/) [Nhạc chờ mùa xuân](/mobifone/nhac-cho-mua-xuan/) [Valentine 14-2](/mobifone/nhac-cho-valentine-14-2/) [QT phụ nữ 8-3](/mobifone/nhac-cho-qt-phu-nu-8-3/) [Cá tháng tư 1-4](/mobifone/nhac-cho-ca-thang-tu-1-4/) [Quốc tế thiếu nhi 1-6](/mobifone/nhac-cho-quoc-te-thieu-nhi-1-6/) [Trung thu 15-8](/mobifone/nhac-cho-trung-thu-15-8/) [Halloween 31-10](/mobifone/nhac-cho-halloween-31-10/) [Phụ nữ VN 20-10](/mobifone/nhac-cho-phu-nu-vn-20-10/) [Nhà giáo Việt Nam 20-11](/mobifone/nhac-cho-nha-giao-viet-nam-20-11/) [Giáng sinh - noel 25-12](/mobifone/nhac-cho-giang-sinh-noel-25-12/)
Tặng bạn bè, soạn: CAI MãSố SốĐT
**gửi**8377 **Chú ý:**Số ĐT được tặng nhạc chờ phải cùng mạng điện thoại với bạn và đang sử dụng dịch vụ nhạc chờ
### Kết quả tìm kiếm (0.021 giây)
|Tên nhạc chờ||Ca sĩ|
**HD tìm kiếm "Anniversary" (Mobifone)**
Nếu bạn không tìm thấy kết quả tìm kiếm nhạc chờ Anniversary (mạng Mobifone), vui lòng kiểm tra chính xác lại từ khóa tìm kiếm đã nhập
**Từ khóa tìm kiếm không phân biệt dấu, chữ hoa chữ thường và có thể là tên ca sĩ hoặc tên bài hát.** Từ khóa tìm kiếm cần có chiều dài tối thiếu là **2 kí tự**
Bạn có thể tải nhạc chờ Anniversary mạng Mobifone Funring miễn phí về máy tính bằng cách click vào nút download từ danh sách kết quả tìm kiếm. Nhạc chờ tải về có thể thuộc 1 trong các dạng: mp3, wav hoặc wma.
Click vào tên bài hát ở danh sách tìm kiếm để lấy thông tin cài đặt và mã số nhạc chờ Anniversary - Mobifone.
**Bạn có thể tìm kiếm trang này ** theo các từ khóa sau đây:
Download/ tải nhạc chờ Anniversary Mobifone miễn phí về điện thoại, mobile, máy tính, pc, computer;
Mã số nhạc chờ Anniversary - Mobifone; Cài nhạc chờ Anniversary Mobifone Funring; Nghe nhạc chờ Anniversary (Mobifone Funring);
Tai nhac cho Anniversary Mobifone Funring mien phi ve dien thoai, mobile, may tinh, pc, computer;
Ma so nhac cho Anniversary - mang Mobifone Funring; Cai nhac cho Anniversary Mobifone Funring; Nghe nhac cho Anniversary (Mobifone Funring);

Cache-Control: max-age=3600, public

Set-Cookie: provider=hvms; Expires=Fri, 29-Jul-2016 08:09:53 GMT; Path=/

Accept-Ranges: bytes


text:
HOME
CA SĨ
ALBUM
LIÊN HỆ
ĐIỀU KHOẢN
Theo tên bài hát, tên ca sĩ
Theo Album
THỂ LOẠI
NHẠC CHUÔNG ĐỘC ĐÁO
Tải Nhạc Chuông Đồ Vật
Tải Nhạc Chuông Động Vật
Tải Nhạc Chuông Kinh Dị
Nhạc Chuông Tin Nhắn SMS
Tải Nhạc Chuông Thể Thao
Tải Nhạc Chuông Thiên Nhiên
Tải Nhạc Chuông Thú Vị
Tải Nhạc Chuông Yahoo
Tải Nhạc Chuông Dễ Thương
Tải Nhạc Chuông Phật Giáo
Tải Nhạc Chuông DJ
Tải Nhạc Chuông Không Lời
Tải Nhạc Nâng Ngực
Nhạc Cho Bà Bầu
Nhạc Chuông Âm Thanh Thực
NHẠC CHUÔNG TỔNG HỢP
Tải Nhạc Chuông Game
Tải Nhạc Chuông Dance
Tải Nhạc Chuông Rap Việt
Tải Nhạc Chuông Rock
Tải Nhạc Chuông Hài Hước
Tải Nhạc Chuông Nhạc Cụ
Tải Nhạc Chuông Nhạc Phim
Tải Nhạc Chuông Quảng Cáo
Tải Nhạc Chuông Tổng Đài
Nhạc Chuông Đơn Âm-Đa Âm
Tải Nhạc Chuông Đọc Thơ Hài
Nhạc Chip Munks và Zin Zin
Nhạc Chuông Rap Quốc Tế
Tải Nhạc Chuông Audition
Tải Nhạc Chuông Liên Khúc
Tải Nhạc Chuông Theo Tên
Tải Nhạc Chuông Thiếu Nhi
Tải Nhạc Chuông Chế
NHẠC CHUÔNG VIỆT NAM
Tải Nhạc Chuông Dân Ca
Tải Nhạc Chuông Quan Họ
Tải Nhạc Chuông Cải Lương
Tải Nhạc Việt Tổng Hợp
Nhạc Trữ Tình - Cách Mạng
Tải Nhạc Chuông Việt Remix
Tải Nhạc Chuông Xuân Hinh
Nam Ca Sĩ Tổng Hợp
Nữ Ca Sĩ Tổng Hợp
NHẠC CHUÔNG QUỐC TẾ
Tải Nhạc Chuông Tây Du Ký
Tải Nhạc Chuông Nhật Bản
Tải Nhạc Chuông Nhạc Hoa
Tải Nhạc Chuông Tiếng Anh
Tải Nhạc Chuông Giao Hưởng
Tải Nhạc Chuông Hàn Quốc
Tải Nhạc Chuông Techno
NHẠC CHUÔNG SỰ KIỆN
Tải Chuông 12 Con Giáp
Tải Nhạc Chuông Giáng Sinh
Tải Nhạc Chuông Tết
Tải Nhạc Chuông Valentine
Tải Nhạc Chuông Táo Quân
Tải Nhạc Chuông Sinh Nhật
Nhạc Chuông Trung Thu
Tải Nhạc Chuông Thánh Ca
Tải Nhạc Chuông 8 Tháng 3
TOP ALBUM
Nhạc Chuông
Nhạc Chuông
Nhạc Chuông SMS
Nhạc Chuông
Nhạc Chuông Hài Hước
Nhạc Chuông
SMS
Tonic
Hài Hước
Hài Hước
Nhạc SMS
Nhạc SMS
Xem tiếp...
Tiếng chuông gió thổi
Thể hiện:
Nhạc Chuông
Album:
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
Thể loại:
Tải Nhạc Chuông Thiên Nhiên
Video
Tiếng chuông gió thổi
Chưa có link tải về điện thoại
Từ Khóa:
Video
Tiếng chuông gió thổi
Chưa có link tải về điện thoại
Nhạc chuông trong Album "Nhạc Chuông Thiên N..."
Bài nhạc chuông
Mã số
Zoological garden
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 53667 - Tải: 1478
409
Whistle
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 18963 - Tải: 885
408
Weather
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 12480 - Tải: 643
407
Tiếng thủy tinh lạo xạo
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 11943 - Tải: 615
382
Tiếng sóng bên bờ sông
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 13916 - Tải: 1411
403
Tiếng nước sôi sùng sục
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 12007 - Tải: 1420
405
Tiếng nước nhỏ giọt
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 15942 - Tải: 621
391
Tiếng máy chạy ro ro
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 5933 - Tải: 432
379
Tiếng máy bay cất cánh
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 15466 - Tải: 1116
386
Tiếng máy bay bay qua
Album :
Nhạc Chuông Thiên Nhiên
- Nghe: 13681 - Tải: 1067
385
Xem tiếp...
Nhạc chuông cùng ca sỹ "Nhạc Chuông"
Bài nhạc chuông
Mã số
Zoological garden
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 53667 - Tải: 1478
409
Zin zin hát chầu văn
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 73837 - Tải: 5498
509
Zedge pramod 16 s profile
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 58213 - Tải: 2129
345
Youre my heart (new)
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 70681 - Tải: 7368
825
Your phone
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 37199 - Tải: 1406
824
Your Color - BoA
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 26669 - Tải: 2413
3186
Youll Be In My Heart - FT Islan
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 32063 - Tải: 2734
2986
You re my heart
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 35430 - Tải: 1783
823
You re Already Gone
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 26130 - Tải: 1625
680
You Are Welcome
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 24335 - Tải: 1510
174
Xem tiếp...
Nhạc chuông cùng danh mục "
Tải Nhạc Chuông Thiên Nhiên "
Bài nhạc chuông
Mã số
Morning one more time
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 3055 - Tải: 412
389
Nhạc chuông tiếng gió thổi
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 21585 - Tải: 1246
384
Nhạc chuông tiếng sóng nước
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 8297 - Tải: 736
401
Âm thanh thiên nhiên hay
Thể hiện:
Âm Thanh Thực
- Nghe: 8016 - Tải: 39
14193
Tiếng thủy tinh lạo xạo
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 11943 - Tải: 615
382
Tiếng gió thổi mạnh
Thể hiện:
Âm Thanh Thực
- Nghe: 4623 - Tải: 74
13634
Nhạc chuông nước nhỏ từng...
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 4967 - Tải: 694
392
Tiếng sóng bên bờ sông
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 13916 - Tải: 1411
403
Nhạc chuông nước chảy chim hót
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 15893 - Tải: 1841
394
Tiếng chuông gió thổi
Thể hiện:
Nhạc Chuông
- Nghe: 15375 - Tải: 866
383
Xem tiếp...
Login Form
Tài khoản
Mật khẩu
Ghi Nhớ
Đăng ký
|
Quên mật khẩu?

markdown:
|
||
|
## THỂ LOẠI
|
||
|
|
||
|
## Login Form
|
|