markdown:
## Are you sure?
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
1
ĐỀ 1
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
4 2
2 3 = ÷ ÷ y x x (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng y m = cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp
thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3
cạnh của một tam giác bất kỳ.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
sin .sin 4 2 2 cos 4 3 cos .sin .cos 2
6
x x x x x x
| |
= ÷ ÷
|
\ .
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( )
2 2
2 3 8 1
, y
8 3 13
¦
+ ÷ + =
¦
e
´
+ + + =
¦
¹
R
x y y x
x
x x y y
.
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I =
4
2
1
1
4
+
+
}
x
x
x e
dx
x xe
.
Câu IV (1,0 điểm). Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c
và
0
BAC CAD DAB 60 = = = .
Câu V (1,0 điểm). Chứng minh phương trình: ( )
1
1
x
x
x x
+
= + luôn có nghiệm thực dương
duy nhất.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 1 0 d x y ÷ + = và đường tròn
( )
2 2
: 2 4 0 C x y x y + + ÷ = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai
đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( ) C tại A và B sao cho
0
60 AMB = .
2. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) ; 0; 0 , B 0; ; 0 , C 0; 0; A a b c với a, b, c là các
số dương thay đổi và thỏa mãn
2 2 2
3 a b c + + = . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ
gốc toạ độ O( ) 0; 0; 0 đến mặt phẳng ( ) ABC đạt giá trị lớn nhất.
Câu VII a (1,0 điểm). Tìm , a beR để phương trình
2
0 z az b + + = có nhận số phức
1 z i = + làm nghiệm.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol ( )
2
: P y x = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua
M(1; 3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) A 1; 5; 0 , B 3; 3; 6 và đường
thẳng d:
1 1
2 1 2
x y z + ÷
= =
÷
. Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam
giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
2
Câu VII b (1,0 điểm). Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 3
2 2 4 2 4 2
4 1 2
2
2
1
log 1 log 1 log 1 log 1
3
x x x x x x x x + + ÷ ÷ + = + + + ÷ + .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳngy = m và đồ thị (C):
4 2
x 2x 3 m ÷ ÷ = ( )
4 2
x 2x 3 m 0 1 · ÷ ÷ ÷ =
Đặt ( )
2
t x t 0 = > .Phương trình trên thành: ( )
2
t 2t 3 m 0 2 ÷ ÷ ÷ =
Gọi
1 2 3 4
x , x , x , x lần lượt là hoành độ các giao điểm M, N, P, Q.
Khi đó
1 2 3 4
x , x , x , x là nghiệm của phương trình (1).
Dựa vào đồ thị , ta thấy với điều kiện: 4 m 3 ÷ < < ÷ thì phương trình (2) có hai nghiệm
là:
1 2
t 1 m 4 ; t 1 m 4 = ÷ + = + + .
Suy ra
1 2 2 1 3 1 4 2
x t , x t , x t , x t = ÷ = ÷ = =
Ta có
4 3 3 2 3
MN PQ x x , NP = x x 2x = = ÷ ÷ =
Để ý rằng: Điều kiện để ba số dương a, b, c là độ dài 3 cạnh của một A là:
a b c
b c a
c a b
+ > ¦
¦
+ >
´
¦
+ >
¹
.
Vì MN PQ = nên để MN, NP, PQ là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ nên ta chỉ cần:
( )
4 3 3 4 3
2 2 2 2 MN PQ NP PQ NP x x x x x + > · > · ÷ > · >
hay
( ) 2 1 2 1
3 91
t 2 t t 4t 1 m 4 4 1 m 4 m 4 m
5 25
> · > · + + > ÷ + · + > · > ÷
Kết hợp với điều kiện : 4 m 3 ÷ < < ÷ ta được:
91
m 3
25
÷ < < ÷ .
Câu II
1. Ta có:
sin .sin 4 2 2 cos 3 cos .sin 4
6
x x x x x
| |
= ÷ ÷
|
\ .
( )
sin 4 sin 3 cos 2 2 cos
6
x x x x
| |
· + = ÷
|
\ .
( )
sin 4 . sin sin cos cos 2 cos sin 4 2 cos 0
6 6 6 6
x x x x x x
| | | | | |
· + = ÷ · ÷ ÷ =
| | |
\ . \ . \ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
3
cos 0
6
x
| |
· ÷ =
|
\ .
( vì sin 4 2 0 x ÷ < ) ( )
2
6 2 3
x k x k k
· ÷ = + · = + eZ .
2. Điều kiện:
2 2
x 3y 0 , y 8x 0 + > + >
Đặt
2 2
u x 3y , v = y 8x = + + ( u, v 0 > )
Hệ phương trình thành:
( )
2
2 2 2 2 2
v 2u 1
2u v 1 v 2u 1
u v 13 u v 13 u 2u 1 13
= ÷ ¦ ÷ = = ÷ ¦ ¦
¦
· ·
´ ´ ´
+ = + = + ÷ =
¦ ¹ ¹
¹
2
v 2u 1
5u 4u 12 0
= ÷ ¦
·
´
÷ ÷ =
¹
2 1
2
2
3
6
5
v u
u
u
v
u
= ÷ ¦
¦
= ¦ = ¦
· ·
´ ´
=
¹
¦
= ÷
¦
¸ ¹
.
Khi đó:
2
2 2
2
2 2
2
4 x
y
3 x 3y 2 x 3y 4
4 x y 8x 9
y 8x 3
8x 9
3
¦ ÷
=
¦
¦
+ = ¦ + =
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
| | ÷ + = ¦
+ = ¦ ¦ ¹
¹
+ =
|
¦
\ . ¹
( ) ( )( )
2
2
2
2 4 2
1
4
4
4
1
3
3
3
1
5
1 5 4 13 0 8 72 65 0
5
7
x
x
x y
x
y y
y
x
x
x x x x x x x
x
y
= ¦ ¦ ÷
¦ ÷ = ´ ¦ ÷
¦
= =
=
¦ ¦ ¦ ¹
· · · ·
´ ´ ´
=
= ÷ ¦
¦ ¦ ¦
÷ + ÷ + = ÷ + ÷ =
¹ ´
¹
¦ = ÷
= ÷ ¸ ¹
¹ ¸
Kết hợp với điều kiện ta đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là:
( ) ( ) { }
1;1 , 5; 7 S = ÷ ÷ .
Câu III
Ta có:
4 4 x
2x 2x x
1 1
1 x e 1 1 1
I dx dx
4x 4x e xe xe
+
= + = + +
} }
2
4
x
1
1 1
dx
e 2 x
| |
= +
|
\ .
}
=
4
x
1
1 1
dx
e 2 x
| |
+
|
\ .
}
=
4
x
1
x e
÷
÷
4
1 1
1
e e
= + ÷
Câu IV
Giả sử { } a min a, b, c =
Trên cạnh AC lấy điểm E, AD lấy điểm F sao cho
AB AE AF a = = = .
Tứ diện ABEF có bốn mặt là các tam giác đều bằng
nhau nên là tứ diện đều cạnh bằng a.
b
a
c
B
C
D
A
H
E
F
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
4
Ta dễ dàng tính được
3
ABEF
a 2
V
12
= .
Gọi H là chân đường cao hạ từ B.
Ta có:
AEF
ACD
0
2
ABEF
0
ABCD
1 1
BH.S AEAFsin 60
V a
3 2
1 1
V bc
BH.S ACADsin 60
3 2
A
A
= = = .
Suy ra
ABCD
abc 2
V
12
= .
Câu V
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
x
x 1
x x 1 x 0 x 1 ln x x ln x 1 0
+
= + > · + ÷ + =
Xét hàm số: ( ) ( ) ( ) ( ) f x x 1 ln x x ln x 1 x 0 = + ÷ + >
( )
1 1 1
f x ln 1
x x x 1
| |
' = ÷ + + +
|
+
\ .
Chứng minh bất đẳng thức cơ bản ( ) ln 1 t t t > 0 + < ¬ ta suy ra
1 1
ln 1
x x
| |
÷ + > ÷
|
\ .
Do đó ( ) ( )
1 1 1 1
f x 0 f x
x x x 1 x 1
' > ÷ + + = > ¬
+ +
đồng biến trên ( ) 0; +· (1)
Mặt khác: do ( ) f x liên tục trên ( ) 0; +· và ( ) ( ) ( )( ) f 2 f 3 ln8 ln9 ln81 ln 64 0 = ÷ ÷ < suy ra
tồn tại ( ) ( )
0
2; 3 0 x , e c +· sao cho ( )
0
f x 0 = (2)
Từ (1) và (2) điều phải chứng minh.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu Via
1. Viết lại ( ) C dưới dạng ( ) ( )
2 2
1 2 5 x y + + ÷ =
Vậy ( ) C có tâm ( ) 1; 2 I ÷ , bán kính 5 R = .
( ) ; 1 M d M t t e ¬ +
Theo giả thiết
60
o
AMB =
Suy ra
30 2 2 2 5
o
AMI MI IA R = ¬ = = =
hay ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3; 4
20 1 1 20 9
3 3; 2
t M
MI t t t
t M
= ¬
= · ÷ ÷ + ÷ = · = ·
= ÷ ¬ ÷
¸
2. Phương trình mặt phẳng (ABC):
x y z
1
a b c
+ + =
( )
2 2 2
1
d d O; ABC
1 1 1
a b c
( = =
¸ ¸
+ +
B
A
M
-
I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
5
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 a. b. c. a b c 3
a b c a b c a b c
| | | | | |
= + + s + + + + = + +
| | |
\ . \ . \ .
.
Suy ra:
2 2 2
1 1 1
3
a b c
+ + > . Do đó:
1
3
d s .
Dấu bằng xảy ra
2 2 2
1 1 1
1 a b c 1
a b c
· = = = · = = = .
Vậy
1
Max d
3
= khi a b c 1 = = = .
Câu VIIa
Theo đề, ta có: ( ) ( )
2
1 i a 1 i b 0 + + + + =
2
1 2 0 i i a ai b · + + + + + =
( ) ( ) a 2 i a b 0 · + + + = ·
a 2 0 a 2
a b 0 b 2
+ = = ÷ ¦ ¦
·
´ ´
+ = =
¹ ¹
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
2 2
A a; a , B b; b ( b > a)
PT đường thẳng d: ( ) y a b x ab = + ÷
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đt d . Ta có:
( )
b
2
a
S a b x ab x dx = + ÷ ÷
}
( )( )
b
a
x a x b dx = ÷ ÷
}
( )( )
b
a
x a x b dx = ÷ ÷ ÷
}
= ( )
b
3
3 2
a
1 a b 1
x x abx b a
3 2 6
+ | |
÷ ÷ + = ÷
|
\ .
.
Do ( ) M 1; 3 d a b ab 3 e ¬ + = +
Suy ra ( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2
2
1 1 1
S b a a b 4ab ab 3 4ab
36 36 36
( ( (
= ÷ = + ÷ = + ÷
¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
= ( )
3
3
2 1 8 128 8 2
ab 1 8 S
36 36 9 3
(
+ + > = ¬ >
¸ ¸
8 2
MinS ab 1 0 ab 1 a b 2
3
= · + = · = ÷ ¬ + = .
Vậy ta lập được phương trình đường thẳng d : y 2x 1 = + .
2. Ta có: ( ) C d C 1 2t;1 t; 2t e ¬ ÷ + ÷
( ) ( ) AB 2; 2; 6 , AC 2t 2; t 4; 2t = ÷ = ÷ ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
( )
2 6 6 2 2 2
AB; AC ; ; 2t 24;8t 12; 2t 12
t 4 2t 2t 2t 2 2t 2 t 4
| | ÷ ÷
(
= = + ÷ ÷
|
¸ ¸
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
\ .
¸¸¸, ¸¸¸,
Gọi S là diện tích tam giác ABC.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
6
Ta có: S = ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 1
AB; AC 2t 24 8t 12 2t 12
2 2
(
= + + ÷ + ÷
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
2
1
72t 144t 864
2
= ÷ + = ( )
2 1
72 t 1 792 3 22
2
÷ + > .
Dấu = xảy ra khi ( ) t 1 C 1; 0; 2 = ¬
Vậy khi ( ) C 1; 0; 2 thì MinS 3 22 =
Câu VIIb
Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1 + + + ÷ + = + + + ÷ +
( )( ) ( ) ( )
2 2 4 2 4 2
2 2 2
log x x 1 x x 1 log x x 1 log x x 1 · + + ÷ + = + + + ÷ +
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 4 2
2 2 2
log x x 1 log x x 1 log x x 1 · + + = + + + ÷ +
( )
4 2
2
log x x 1 0 · ÷ + =
4 2
x x 1 1 · ÷ + =
4 2
x 0
x x 0 x 1
x 1
=
· ÷ = · = ÷
=
¸
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là: { } 1; 0;1 S = ÷
ĐỀ 2
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) .
Cho hàm số:
2 3
2
x
y
x
÷
=
÷
(C).
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại
M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện
tích nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm 0;
2
x
| |
e
|
\ .
của phương trình sau đây :
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
x
x x
| | | | | |
÷ ÷ = + ÷
| | |
\ . \
÷
\ . .
.
2. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
8 27 18
4 6
x y y
x y x y
¦
+ =
¦
´
+ =
¦
¹
.
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I =
2
10 5 9
0
1 cos .sin .cos I x x xdx
= ÷
}
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
7
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của
AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC ; M là điểm di động trên tia đối
của tia BA sao cho
( )
0
0 90 ECM = < < và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC.
Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo , a và tìm để thể tích đó lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng: ( )
x 1
1 x 1 x
2
x x x 0;1
e
÷ ÷
+ > ¬ e .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự
là: 2 2 0 ; 2x + y + 1= 0 x y + ÷ = . Cạnh BD chứa điểm M( ) 1; 2 . Tìm toạ độ các đỉnh của
hình thoi.
2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
1 2 2
x y z
d
÷ +
= =
÷
. Viết phương trình mặt
phẳng (P) biết rằng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
Câu VII a (1,0 điểm).
Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z 2 i 1 ÷ + = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại BeOx, phương trình cạnh AB có dạng:
3 2 3 0 x y ÷ ÷ = ; tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( ) 0; 2 I . Tìm toạ độ các đỉnh của
tam giác.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( ) A 2; 0; 0 và ( ) J 2; 0; 0 . Giả sử ( ) là mặt phẳng
thay đổi, nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm
( ) B 0; b; 0 , ( ) C 0; 0; c với b, c 0 > . Chứng minh rằng:
bc
b c
2
+ = và tìm b, c sao cho diện
tích tam giác ABC nhỏ nhất.
Câu VII b (1,0 điểm).
Tính
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
P ...
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
= ÷ + ÷ + +
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
8
2. Ta có: ( )
0
0 0
0
2 3
; , 2
2
x
M x C x
x
| | ÷
e =
|
÷
\ .
,
( )
2
0
0
2 x
1
) x ( ' y
÷
÷
=
Phương trình tiếp tuyến A với ( C) tại M :
( ) 2 x
3 x 2
) x x (
2 x
1
y :
0
0
0 2
0
÷
÷
+ ÷
÷
÷
= A
Toạ độ giao điểm J, K của (A) và hai tiệm cận là: J
0
0
2 2
2; ;
2
x
x
| | ÷
|
÷
\ .
K( )
0
2 2; 2 x ÷
Ta có:
0
0
2 2 2
2 2
J K
M
x x x
x x
+ + ÷
= = = ,
0
0
2 3
2 2
J K
M
y y x
y
x
+ ÷
= =
÷
¬ M là trung điểm JK.
Mặt khác I(2; 2) và AIJK vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp AIJK có diện tích:
S =
2
2 2 2 0
0 0 2
0 0
2 3 1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
(
| | ÷
(
( = ÷ + ÷ = ÷ + >
|
(
÷ ÷
(
\ . ¸ ¸ ¸ ¸
x
IM x x
x x
Dấu “=” xảy ra khi
( )
( )
0
2
0 2
0 0
1 1;1
1
( 2)
( 2) 3 3;3
x M
x
x x M
= ¬
÷ = ·
÷ = ¬
¸
.
Câu II
1. Ta có:
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
x
x x
| | | | | |
÷ ÷ = + ÷
| | |
\ . \
÷
\ . .
( ) 2 1 cos 2 3 cos 2 1 1 cos 2
3
2
x x x
| |
( · ÷ ÷ = + + ÷
|
¸ ¸
\ .
÷
2 2cos 3 cos 2 2 sin 2 sin 2 3 cos 2 2cos x x x x x x · ÷ ÷ = ÷ · ÷ =
1 3
sin 2 cos 2 cos sin 2 cos
2 2 3 2
x x x x x
| | | |
· ÷ = · ÷ = ÷
| |
\ . \ .
( )
2
2 2
5
3 2 18 3
2 2 2
3 2 6
5
x x k x k
k
x x k x k
÷ = ÷ + = +
· ·
÷ = + + = +
¸ ¸
e .
Vì 0;
2
x
| |
e
|
\ .
nên ta chọn được nghiệm
18
5
x
= .
2. Với 0 y = hệ phương trình đã cho thành:
27 0
6 0 x
= ¦
´
=
¹
( Vô lý). Suy ra 0 y =
Khi đó:
3
3
3 3
2 2
3
(2 ) 18
8 27 18
4 6 3 3
2 . 2 3
x
x y y y
x y x y
x x
y y
¦
| |
¦ + =
|
¦
+ = ¦ ¦
\ .
·
´ ´
+ = | | ¦
¹ ¦
+ =
|
¦
\ . ¹
.
Đặt
3
2 , u x v =
y
= . Hệ phương trình trên thành:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
9
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
3 18 3 18 27
1
3
3 3
u v u v u v uv u v u v
uv
uv u v
uv u v uv u v
¦ ¦
¦
+ = + = + ÷ + = + = ¦
¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´ ´
=
+ =
+ = + = ¹ ¦ ¦ ¦
¹
¹ ¹
. Suy ra u, v là
nghiệm của phương trình:
2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
t
t t
t
+
=
÷ + = ·
÷
=
¸
.
Do đó:
( ) ( )
3 5 3 5
3 5 3 5
2 2
4 4
2 2
3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5
2 2
2 2
x x x x
y y
y y
¦ ¦
¦ ¦ + ÷
+ ÷
= = = =
¦ ¦
¦ ¦
¦ ¦ ¦ ¦
v · v
´ ´ ´ ´
+ ÷ ÷ +
¦ ¦ ¦ ¦
= =
= =
¦ ¦ ¦ ¦
¹ ¹ ¹ ¹
.
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
( ) ( )
3 3 5 3 3 5
3 5 3 5
; ; ;
4 2 2 2
S
¦ ¹ | | | |
+ ÷
+ ÷ ¦ ¦
| |
=
´ `
| |
¦ ¦
\ . \ .
¹ )
.
Câu III
Đặt
10 5 10 5
1 cos 1 cos t x t x = ÷ ¬ = ÷
9 4 4 9
10 5sin .cos sin .cos 2 t dt x xdx x xdx t dt ¬ = ¬ =
Ta có: I
( ) ( )
1 1 2
10 5 5 4 10 9 10 20
0 0 0
1 cos .cos .sin cos 2 1 2 x x x xdx t t t dt t t dt
= ÷ = ÷ = ÷
} } }
1
11 21
0
20
2
11 21 231
t t | |
= ÷ =
|
\ .
.
Câu IV
ABC vuông cân tại B nên
2 2 2 2
4 4 2 2 AC AB BC a a a = + = + =
EBC vuông cân tại B nên
2 2 2 2
4 5 C BE BC a a a = + = + = .
Theo định lý ba đường vuông góc ta có:
EH HC ± . Suy ra: sin EH EC =
1 5
2 2
a
EI EC = = .
1 1 5
. sin 5 sin . cos
2 2 2
HEI
a
S EH EI HEI a
= =
=
2
5
sin 2
8
a .
B
A
C
S
M
E
I
J
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
10
Trong SCE A , IJ là đoạn trung bình nên
1
2
IJ SE a = = và ( ) IJ HEI ± .
Do đó
3
2
1 1 5 5
. sin 2 sin 2 .
3 3 8 24
EHIJ HEI
a
V IJ S a a = = =
EHIJ
V đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 1 0
2
| |
= < <
|
\ .
tức .
4
=
Câu V
Xét hàm số: ( ) ( ) ( )
x 1 x x x
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
f x x x x x.x 1 x x x 0;1
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= + = + = + ¬ e .
( )
( )
( )
x
1 x
2
1 x x
1 x
f x 2. ln x
1 x
1 x
÷
+
÷ | |
' = +
|
+
\ . ÷
.
Xét: ( )
1 x
g x 2. ln x
1 x
÷
= +
+
( )
( )
( )
( )
2
2
1 x
g x 0 g x
x 1 x
÷
' = > ¬
+
đồng biến trên ( ) 0;1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g 1 0 f x 0 x 0;1 f x ' ¬ < = ¬ < ¬ e ¬ nghịch biến trên ( ) 0;1
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 x
1
1
1 x
x 1 x 1 x 1
1 2
f x limf x lim 1 x x .x 2lim 1 x 0;1
1
e
1 x
÷ ÷ ÷
÷
÷
÷
÷ ÷ ÷
| |
|
¬ > = + = + = ¬ e
|
|
÷ \ .
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa
1. Ta có: A AB AD = · ¬toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
4
2 2 0
3
2 1 0 5
3
x
x y
x y
y
¦
= ÷
¦
+ ÷ = ¦ ¦
·
´ ´
+ + =
¹
¦
=
¦
¹
.
Do đó
4 5
;
3 3
A
| |
÷
|
\ .
.
Gọi ( ) ; N x y AC e ( AC là tia phân giác
BAD ). Hơn nữa M và N nằm cùng phía đối với
đường thẳng AB nên ta có: ( )( )
( )( )
2 2 2 1
2 2 2 1
5 5
2 2 1 4 2 0 2 2 0
2 2 0
2 1 2 2 2 0
x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
¦ + ÷ + +
=
¦
¦ + ÷ = + +
¦
¦
¦
+ ÷ + ÷ > · + ÷ >
´ ´
¦ ¦
+ ÷ >
+ + + ÷ >
¹
¦
¦
¹
A
C
B
D
M
N
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
11
2 2 2 1 x y x y ¬ + ÷ = + + hay 3 0 x y ÷ + = . Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AC
là: 3 0 x y ÷ + = .
Đường chéo BD qua ( ) 1; 2 M nhận ( ) 1; 1
BD AC
u n = = ÷
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình là:
1 2
3 0
1 1
x y
x y
÷ ÷
= · + ÷ =
÷
.
B AB BD = · ¬ toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0 4
3 0 1
x y x
x y y
+ ÷ = = ¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ = = ÷
¹ ¹
. Do đó ( ) 4; 1 B ÷ .
D AD BD = · ¬ toạ độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
2 1 0 4
3 0 7
x y x
x y y
+ + = = ÷ ¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ = =
¹ ¹
. Do đó ( ) 4; 7 D ÷ .
Gọi I AC BD = · ¬ toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
3 0 0
3 0 3
x y x
x y y
÷ + = = ¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ = =
¹ ¹
. Do đó ( ) 0; 3 I .
Vì I là trung điểm AC nên
4 13
;
3 3
C
| |
|
\ .
.
2. Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: ( ) ( )
2 2 2
; ; 0 p n a b c a b c = + + >
.
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (xOy) là: ( ) 0; 0;1 xOy n =
vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: ( ) 1;1; 2
d
u = ÷
( ) . 0 2 0 2
d P
P u n a b c b a c d c ¬ = · ÷ + + = · = ÷
.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (xOy) 0
2
| |
s s
|
\ .
.
Ta có:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
cos
2 4 5
2
c c c
a b c a ac c
a a c c
= = =
+ + ÷ +
+ ÷ +
.
+ Nếu 0 c = thì cos 0
2
= ¬ = .
+ Nếu 0 c = thì ta chọn 1 c = . Khi đó:
( )
2 2
1 1 1
cos
3
2 4 5
2 1 3
a a
a
= = s
÷ +
÷ +
.
Dấu “=” xảy ra khi 1 a = .
nhỏ nhất cos · lớn nhất.
Do đó so sánh hai trường hợp này ta được
0;
2
1
max cos
3
(
e
(
¸ ¸
= khi 1 1 a c ; b= = = ÷ .
Mặt phẳng ( ) P qua ( ) 1; 2; 0 A d ÷ e và ( ) 1; 1;1
P
n = ÷
làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình: ( ) ( ) ( ) 1. 1 1. 2 1. 0 0 3 0 x y z x y z ÷ ÷ + + ÷ = · ÷ + ÷ = .
Câu VIIa
Hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau, ta suy ra
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
12
z 2 i z 2 i ÷ + = ÷ ÷ (vì ( ) z 2 i z 2 i z 2 i ÷ + = + ÷ + = ÷ ÷ ).
Từ đó ta có: z 2 i 1 ÷ ÷ = .
Đặt ( ) , z x iy x y = + eR .
Suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z i x y i x y x y ÷ ÷ = · ÷ + ÷ = · ÷ + ÷ = · ÷ + ÷ =
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm ( ) I 2;1 , bán kính R 1. =
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b
1. Gọi phương trình đường thẳng AB đi qua điểm
M(4;5) là: ( ) ( ) ( )
2 2
4 5 0 0 a x b y a b ÷ + ÷ = + > .
Khi đó phương trình đường thẳng BC đi qua N(6;5) và
vuông góc với AB là: ( ) ( ) 6 5 0 b x a y ÷ ÷ ÷ = .
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là:
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
4 3
3 4 4
; . ; .
a b a b
a b b a
d P AB d Q BC
a b
a b a b
÷ ÷
÷ ÷ +
= =
+
+ +
.
Theo đề, ta có:
( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
4 3
16 3 4
a b a b
a b a b a b
a b
÷ ÷
= · ÷ ÷ = +
+
.
Cho b = 1, ta được: ( )( ) ( )
2 2 2
3 1 4 1 4 3 4 4 a a a a a a ÷ ÷ = + · ÷ + = +
( )
2 2
2
2 2 2
1
4 3 4 4
3 4 1 0
1
4 3 4 4 5 4 7 0
3
a
a a a
a a
a a a a a a
= ÷
÷ + = +
+ + =
· · ·
= ÷ ÷ + = ÷ + ÷ + =
¸
¸
¸
Vậy phương trình cạnh AB là: 1 0 ; 3 11 0 x y x y ÷ + = ÷ + = .
2. mp ( ) qua ( ) ( ) ( ) ( ) A 2; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c b,c > 0 nên có phương trình là:
x y z
1
2 b c
+ + =
( ) ( ) ( )
1 1 1 bc
J 1;1;1 1 b c 1
2 b c 2
e ¬ + + = · + =
( ) ( ) AB 2; b; 0 , AC 2; 0;c = ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
( )
b 0 0 2 2 b
AB; AC ; ; bc; 2c; 2b
0 c c 2 2 0
| ÷ ÷ |
(
¬ = =
|
¸ ¸
÷ ÷
\ .
¸¸¸, ¸¸¸,
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
ABC
1 1 1
S AB; AC b c 4c 4b b c 4 b c
2 2 2
(
= = + + = + +
¸ ¸
.
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1.b 1.c 2 b c 4 b c 2 b c + s + ¬ + > + .
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
ABC
1 1 6
S b c 2 b c 4 b c 2 b c b c
2 2 2
> + + = + + + = +
.
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b c. =
C
A
B
D
P
Q N
M
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
13
Từ (1) suy ra
2b
c 0 b 2.
b 2
= > ¬ >
÷
Suy ra ( )
ABC
6 2b 6 4 6 4
S b b 2 b 2 4
2 b 2 2 b 2 2 b 2
| | | | (
> + = + + = ÷ + +
| |
(
÷ ÷ ÷
\ . \ . ¸ ¸
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương: ( )
4
b 2 4
b 2
÷ + >
÷
ABC
S 4 6 ¬ >
.
.
Do đó
ABC
MinS 4 6 =
.
đạt được khi
b c 0
b c 4
bc
b c
2
= > ¦
¦
· = =
´
+ =
¦
¹
.
Câu VIIb
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
k k
k k
k
2010
k
k 1
k 1
2011
2 2010! 2 2010! 2 C
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011! 1 1
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
+
+
÷ ÷
÷ = =
+ ÷ + + ÷
÷
= · = ÷ · ÷
+ ÷ ÷
ĐỀ 3
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3 2
1 5
4 4
3 2
= ÷ ÷ ÷ y x mx mx (C).
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 0 = .
6. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
1 2
, x x sao cho biểu thức :
2 2
2 1
2 2
1 2
5 12
5 12
x mx m m
A
x mx m m
+ +
= +
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
3. Giải phương trình: ( ) tan tan 2sin 1 6cos 3 sin 1 tan tan
2
x
x x x x x x
| |
+ + ÷ = + +
|
\ .
.
4. Giải hệ phương trình:
6 2 6
5 2
6 2 6
2
5
2
2 33
2
2 33
xy
x x y
x x
xy
y y x
x y
¦
+ = +
¦
÷ +
¦
´
¦
+ = +
¦
÷ +
¹
( ) , y x eR .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2011
1 2 2011
2011 2011 2011
2011 0
0
2011
1
P 2 C 2 C ... 2 C
4022
1 1
2 1 2 C .
4022 2011
(
¬ = ÷ · ÷ + ÷ + + ÷
¸ ¸
(
= ÷ · ÷ + ÷ ÷ =
¸ ¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
14
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân:
( )
ln5
ln 2
.
10 1 1
x x
dx
I
e e
÷
=
÷ ÷
}
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,
cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy hình chóp và SA a 2 = . Gọi H và K lần lượt
là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh ( ) SC AHK ± và tính thể tích O.AHK.
Câu V (1,0 điểm). Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( ) 4 3 3 3 4 1 1 0 m x m x m ÷ + + ÷ ÷ + ÷ =
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2
C : x y 9 ; C : x 1 y 1 25 + = ÷ + ÷ = . Gọi A, B là các giao điểm của ( )
1
C
và ( )
2
C . Viết phương trình đường thẳng AB. Hãy chứng minh rằng nếu K AB e thì
KI KJ < với I, J lần lượt là tâm của ( )
1
C và ( )
2
C .
4. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) A 5; 5; 0 và đường thẳng
x 1 y 1 z 7
d :
2 3 4
+ + ÷
= =
÷
.
Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và
BC 2 17 = .
Câu VII a (1,0 điểm). Giải phương trình:
2
z 2011 0 + = trên tập số phức C.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, xác định toạ độ các điểm B và C của tam giác đều ABC biết
( ) A 3; 5 ÷ và trọng tâm ( ) G 1;1 .
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 0; 0; 3 , N 2; 0; 1 M ÷ ÷ và mặt phẳng
( ) : 3 8 7 1 0 x y z ÷ + ÷ = . Tìm tọa độ P nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho tam giác MNP
đều.
Câu VII b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
3 3
log y log x
3 3
x 2y 27
log y log x 1
¦ + =
´
÷ =
¹
.
BÀI GIẢI
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. TXĐ: D = R
2
5 4 y x mx m ' = ÷ ÷ .
Hàm số đạt cực trị tại
1 2
, x x · Phương trình 0 y' = có hai nghiệm phân biệt
1 2
, x x
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
15
2
16
25 16 0 25
0
m
m m
m
< ÷
· A = + > ·
>
¸
(1)
Theo định lý Viet, ta có:
1 2
1 2
5
4
x x m
x x m
+ = ¦
´
= ÷
¹
Vì
1
x là nghiệm của phương trình nên:
2 2
1 1 1 1
5 4 0 5 4 x mx m x mx m ÷ ÷ = ¬ = + .
Do đó: ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
5 12 5 4 5 12 5 16 15 16 0 x mx m mx m mx m m x x m m m + + = + + + = + + = + > .
Tương tự, ta cũng tính được:
2 2
2 1
5 12 25 16 0 x mx m m m + + = + > .
Khi đó:
2 2 2 2
2 1
2 2 2 2
1 2
5 12 25 16
2
5 12 25 16
x mx m m m m m
A
x mx m m m m m
+ + +
= + = + >
+ + +
( Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương).
Dấu “=” xảy ra ·
( )
2 2
2
4 2 2 2
2 2
25 16
25 16 25 16
25 16
m m m
m m m m m m
m m m
+
= · = + · = +
+
2
0
24 16 0
2
3
m
m m
m
=
· + = ·
= ÷
¸
. Kết hợp với (1) ta chọn
2
.
3
m = ÷
Vậy min 2 A = khi
2
3
m = ÷ .
Câu II
1. Điều kiện:
2
cos 0 cos 0
cos 0 cos 0
1 cos 0 cos 1 cos 0 2cos 0
2 2
x x
x x
x x
x x
= = ¦ ¦
= = ¦ ¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´ ´
+ = = ÷ = =
¹ ¹
¦ ¦
¹ ¹
.
Ta có: ( ) tan tan 2sin 1 6cos 3 sin 1 tan tan
2
x
x x x x x x
| |
+ + ÷ = + +
|
\ .
( )
sin
sin
2
tan tan 2sin 1 6cos 3 sin 1
cos
cos
2
x
x
x x x x x
x
x
| |
|
· + + ÷ = + +
|
|
\ .
( )
cos cos sin sin
2 2
tan tan 2sin 1 6cos 3 sin
cos cos
2
x x
x x
x x x x x
x
x
+
· + + ÷ = +
( )
cos
2
tan tan 2sin 1 6cos 3 sin
cos cos
2
x
x x x x x
x
x
· + + ÷ = +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
16
( ) tan tan 2sin tan 6cos 3 tan x x x x x x · + + ÷ = +
( ) tan tan 2sin 6cos 3 x x x x · + = +
( ) ( ) ( )( )
2 2
tan 1 2cos 3 1 2cos 1 2cos tan 3 0 x x x x x · + = + · + ÷ =
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1
cos
cos cos cos
2
2 2 2
1
cos tan 3 sin 3 os 1 os 3cos
4
x
x x x
x x x c x c x x
= ÷
= ÷ = ÷ = ÷
· · · ·
= = = ÷ =
¸ ¸ ¸
¸
2
1 1 2
os os2 2 2
4 2 3 3
c x c x x k x k
· = · = ÷ · = ± + · = ± + ( ) k eZ (thoả điều kiện)
2. Cộng vế theo vế của hai phương trình trên ta được:
2 2
5 2 2
5
1 1
2
2 33 2 33
xy x y
x x y y
| |
| + = +
|
÷ + ÷ +
\ .
( ) ( )
2 2
2 2
5 5
1 1
2
1 32 1 32
xy x y
x y
| |
|
· + = +
|
÷ + ÷ +
\ .
(*)
Nhận xét: ( ) ( )
2 2
* 2 * VT xy x y VP s s + = .
( ) ( )
0
* *
1
1
0
x y
x y
VT VP
x y
x y
x y
¦ =
¦
= = ´
= · ·
= = ¦
¹
= =
¸
= =
¸
.
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( ) ( ) { }
0; 0 , 1;1 S = .
Câu III
Ta có:
( ) ( )
ln5 ln5
ln 2 ln 2
.
10 1 1 10 1
x
x x x x
dx e dx
I
e e e e
÷
= =
÷ ÷ ÷ ÷
} }
Đặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx = ÷ ¬ = ÷ ¬ =
Đổi cận: ln 2 1 ; ln5 2 x t x t = ¬ = = ¬ =
Khi đó:
( )
( )( )
2
2 2 2
2
1 1 1 1
2tdt dt 1 1 1 1 3 t 1 5
I 2 dt ln ln
3 t 3 t 3 3 t 3 t 3 3 t 3 2 9 t t
+ | |
= = = + = =
|
÷ + ÷ + ÷ ÷ \ .
} } }
.
Câu IV
+ Chứng minh ( ) SC AHK ±
Ta có: ( )
BC AB
BC SAB BC AH
BC SA
± ¦
¬ ± ¬ ±
´
±
¹
.
Mặt khác AH SB ± nên ( ) AH SBC ± , do đó
AH SC ± .
G
O
D
A
B
C
S
H
K
I
M
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
17
Chứng minh tương tự ta cũng có: AK SC ± .
Vậy ( ) SC AHK ± .
+ Tính thể tích khối chóp O.AHK
Gọi G SO HK = · và I AG SC = · .
Vì ( ) SC AHK ± nên SC AI ± .
Mặt khác 2 SA AC a = = nên tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A. Suy ra I là trung
điểm SC và G là trọng tâm tam giác SAC.
Ta có: 2 2 SC SA a = = nên
1
2
AI SC a = = và
2 2
.
3 3
a
AG AI = =
Ngoài ra: ( )
BD AC
BD SAC BD SC
BD SA
± ¦
¬ ± ¬ ±
´
±
¹
.
Từ đó:
( )
( )
( ) / /
AHIK SC
BD SC BD AHIK
BD AHIK
¦ ±
¦
± ¬
´
¦
c
¹
.
Do đó: ( ) ( ) / / . AHK SBD HK BD · =
Ta có:
2 2 2 2
3 3 3
HK SG a
HK BD
BD SO
= = ¬ = = .
Diện tích của tam giác AHK là:
2
1 1 2 2 2 2 2
. . .
2 2 3 3 9
AHK
a a a
S HKAG = = =
.
Gọi M là trung điểm của AI thì / / OM IC và
1
.
2 2
a
OM IC = =
Mà ( ) SC AHK ± nên ( ) OM AHK ± .
Thể tích hình chóp O.AHK là:
2 3
1 1 2 2 2
. . .
3 3 9 2 27
AHK
a a a
V S OM = = =
.
.
Câu V
Điều kiện : 3 1. x ÷ s s
Khi đó: ( ) ( )
3 3 4 1 1
4 3 3 3 4 1 1 0
4 3 3 1 1
x x
m x m x m m
x x
+ + ÷ +
÷ + + ÷ ÷ + ÷ = · =
+ + ÷ +
(*)
Vì
2 2
x 3 1 x
1
2 2
| | | |
+ ÷
+ =
| |
| |
\ . \ .
nên ta đặt x 3 2sin ; 1 x 2cos + = ÷ =
Đặt t tan , 0 , 0 t 1
2 2
= s s s s .
Phương trinh (*) trở thành:
2
2
7 12 9
5 16 7
t t
m
t t
÷ + +
=
÷ + +
(**)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm trên | | 0;1 .
Xét hàm số: ( )
2
2
7 12 9
5 16 7
t t
f t
t t
÷ + +
=
÷ + +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
18
( ) f t liên tục trên | | 0;1
( )
( )
2
2
2
52 8 60
0
5 16 7
t t
f t
t t
÷ ÷ ÷
' = < ¬
÷ + +
( ) f t là hàm nghịch biến trên | | 0;1 .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi
7 9
.
9 7
m s s
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
9
;
1 1 25
x y
M x y C C
x y
¦ + =
¦
e · ·
´
÷ + ÷ =
¦
¹
2 2
2 2
9
7 0
2 2 23 0
x y
x y
x y x y
¦ + =
¦
· ¬ + + =
´
+ ÷ ÷ ÷ = ¦
¹
là phương trình đường thẳng AB.
( ) ; 7 K AB K t t e ¬ ÷ ÷ .
Đường tròn ( )
1
C có tâm là: ( ) 0; 0 I , đường tròn ( )
2
C có tâm là: ( ) 1;1 J .
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 8 7 16 0 KJ KI a a a a KI KJ ÷ = ÷ + + ÷ ÷ + = > ¬ < .
2. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên
2 2
1
34
2
AB BC = = .
B, C d e nên có toạ độ là ( ) 1 2 ; 1 3 ; 7 4 t t t ÷ + ÷ + ÷ .
Khi đó ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1
34 2 6 3 6 4 7 34 29 116 87 0
3
t
AB t t t t t
t
=
= · ÷ + ÷ + ÷ + = · ÷ + = ·
=
¸
.
Vậy ( ) ( ) 1; 2; 3 , C 5;8; 5 B ÷ hoặc ( ) ( ) B 5;8; 5 , C 1; 2; 3 ÷ .
Câu VIIa
Đặt ( ) , b z a bi a = + eR .
Khi đó
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2011 2011 2 z a b abi z a b abi z a b abi = ÷ + ¬ = ÷ ÷ ¬ + = ÷ + ÷
Do đó
( )
2 2
2 2 2
2011 0
2011 0 2011 2 0
2 0
a b
z a b abi
ab
¦ ÷ + =
+ = · ÷ + ÷ = ·
´
÷ =
¹
.
÷
9
7
t
( ) f t '
( ) f t
0
1
9
7
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
19
Nếu 0 b = thì
2
2011 0 a + = ( vô lý) . Do đó 0 0 b a = ¬ = . Dẫn đến: 2011 b = ± .
Vậy số phức z cần tìm là: 2011.i ±
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Gọi M là trung điểm BC, suy ra ( )
3
0; 4
2
MA GA M = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
Trong tam ABM vuông tại M ta có:
0
0
3 10
cos30 2 30
cos 30 3
2
AM AM
AB
AB
= ¬ = = = .
Suy ra:
2 30
30
2
BM CM = = =
Giả sử ( )
0 0
; B x y . Khi đó ( )
2
2 2
0 0
30 4 30 MB x y = · + ÷ = (1)
Mặt khác
0 0 0 0
. 0 3 12 0 3 12 AM BM AM BM x y x y ± ¬ = · ÷ + = · = ÷
¸¸¸¸, ¸¸¸¸,
(2)
Thay (2) vào (1) ta được: ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
3 12 4 30 4 3 y y y ÷ + ÷ = · ÷ =
0 0
0 0
7 9
1 9
y x
y x
= ¬ =
·
= ¬ = ÷
¸
Vậy ( ) ( ) 9; 7 , C 9;1 B ÷ hoặc ( ) ( ) 9;1 , C 9; 7 B ÷ .
2. Đường thẳng MN qua ( ) M 0; 0; 3 ÷ nhận ( ) MN 2; 0; 2 =
¸¸¸¸,
làm vectơ chỉ phương
nên có phương trình: ( )
x 2t
y 0 t
z 3 2t
= ¦
¦
= e
´
¦
= ÷ +
¹
R .
Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Gọi I là trung điểm MN ( ) I 1; 0; 2 ¬ ÷ .
Mặt phẳng ( ) qua ( ) I 1; 0; 2 ÷ nhận ( ) 2; 0; 2 MN =
¸¸¸¸,
làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình: ( ) ( ) 2. x 1 2. z 2 0 x z 1 0 ÷ + + = · + + = .
( ) P e sao cho MNP A đều
( ) ( )
2 2
P
MN NP
¦ e ·
¦
·
´
= ¦
¹
Giả sử tọa độ điểm N là ( )
0 0 0
; ; x y z , ta có:
( )
0 0 0
0 0
2
2 2
0 0 0
3 8 7 1 0
1 0
3 8
x y z
x z
x y z
¦
÷ + ÷ =
¦
¦
+ + =
´
¦
+ + + =
¦
¹
.
Giải hệ phương trình này ta tìm được ( )
2 2 1
P 2; 2; 3 , P ; ;
3 3 3
| |
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
|
\ .
.
Câu VIIb
Điều kiện : , 0 x y > .
M B
C
A
G
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
20
Đặt
3
3
og 3
log
3
a
b
a l x x
b y
y
¦ = = ¦
¦
¬
´ ´
=
= ¦ ¹
¹
HPT đã cho thành:
( ) ( )
( ) 2 3 9 3 2 3 27
1 1
1
b a
ab a b
a b
a b a b
b a
¦
¦ ÷ = ÷ ¦ = = = ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ + = ÷ + =
¦
¹ ÷ = ¹ ¦
¹
; b a ¬ ÷ là nghiệm của phương trình:
2
1
2 0
2
t
t t
t
= ÷
÷ ÷ = ·
=
¸
Khi đó:
3
1 1
9
2 2
1
2 2
9
1 1 1
3
x
a a
y
b b
x
a a
b b
y
= ¦
´
÷ = ÷ = ¦ ¦
=
¹
´ ´
= =
¹ ¹
¦
· ¬
=
¦
÷ = = ÷ ¦ ¦ ¦
´ ´ ´
= ÷ = ÷
¹ ¹ ¸ ¸ ¦
=
¦
¹ ¸
( thoả điều kiện).
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( )
1 1
S 3;9 , ;
9 3
¦ ¹
| |
=
´ `
|
\ . ¹ )
.
ĐỀ 4
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
1
1
x
y
x
÷
=
+
(C).
7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
8. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
2
cos 2 1
tan 3tan
2 cos
π x
x x
x
÷ | |
+ ÷ =
|
\ .
.
2. Giải hệ phương trình:
3
3
2 3
1 3
82
y x
x y
¦
÷ + = ¦
´
+ =
¦
¹
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân:
( )
4
2
3
4
tan tan
x
I x x e dx
÷
= ÷
}
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có ( ) SA ABC ± , tam giác ABC vuông cân
đỉnh C và SC a = . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) ABC để thể tích khối chóp
lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm). Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho:
2 2 2 2
4 a b c d + + + = .
Chứng minh:
3 3 3 3
8 a b c d + + + s .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
21
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với 5, AB = ( ) 1; 1 , C ÷ ÷ đường
thẳng AB có phương trình 2 3 0 x y + ÷ = và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường
thẳng 2 0. x y + ÷ = Hãy tìm toạ độ các điểm A và B.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) ( ) 3;1;1 , B 7; 3; 9 , C 2; 2; 2 A và
mặt phẳng (P) có phương trình: 3 0 x y z + + + = .
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2 3 MA MB MC + +
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸,
nhỏ nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và
1
2
i
z z
+
' = .
Chứng minh tam giác OAB vuông cân.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng : 2 1 2 0 d x my + + ÷ = và
đường tròn ( )
2 2
: 2 4 4 0 C x y x y + ÷ + ÷ = . Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m sao cho d cắt
(C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất
và tính diện tích đó.
2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có ( ) A 1; 2; 5 và phương trình hai đường
trung tuyến :
1 2
x 3 y 6 z 1 x 4 y 2 z 2
d : ; d :
2 2 1 1 4 1
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= = = =
÷ ÷
Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác ABC.
Câu VII b (1,0 điểm).
Giải hệ phương trình sau:
( )
2 1
2 2
5 5
2 2 2
log 3 1 log 2 4 1
y x y x
x y y x y
÷ +
¦ + =
¦
´
+ + ÷ = ÷ + ÷
¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có: ( )
0
0
0
1
;
1
x
M x C
x
| | ÷
e
|
+
\ .
Gọi
M
d là khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ, khi đó:
( ) ( )
0
0
0
1
; Ox ;
1
M
x
d d M d M Oy x
x
÷
= + = +
+
Chọn ( ) ( ) 1; 0 1
M
M H d e ¬ = . Do đó, để tìm
M
Mind ta chỉ cần xét:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
22
0
0
0
0
0 0
0
1
1 1
0 1
1
1 1 1
1
x
x
x
x
x x
x
¦ <
÷ < < ¦ ¦
¬ ¬ < <
´ ´ ÷
÷ < + <
¹
¦
+
¹
.
Với
0
0 1 x < < thì
( )
0
0 0 0
0 0 0
1 2 2
1 1 2
1 1 1
M
x
d x x x
x x x
÷
= + = ÷ + = + + ÷
+ + +
( )
( ) 0
0
2
2 1 2 2 2 2 2 2 1
1
x
x
> + ÷ = ÷ = ÷
+
( Bất đẳng thức Cauchy).
Dấu bằng xảy ra
0
0
0
0
0 1
2 1 2
1
1
x
x
x
x
< < ¦
¦
· ¬ = ÷
´
+ =
¦
+
¹
Vậy
( )
2 2 1
M
mind = ÷ khi
( )
2 1;1 2 M ÷ ÷ .
Câu II
1. Điều kiện: ( )
cos 0
cos 0
sin 2 0
s 0 sin 0 2
2
x
x
π
x x k k
π
co x x
= ¦
= ¦ ¦
· · = · = e
´ ´ | |
+ = =
¹ |
¦
\ . ¹
Z
Phương trình tương đương với
2
2 2 3
2
2sin 1
cot 3tan tan 0 tan 1
cos tan
x
x x x x
x x
÷
÷ ÷ = · ÷ ÷ = · = ÷
( ) tan 1
4
π
x x kπ k · = ÷ · = ÷ + eZ .
2. Đặt
3
,u 0 ; v = 1 u x y = > ÷ . Suy ra:
2 2 4
3 3 3 3
1 1
x u x u
y v y v
¦ ¦ = =
¦ ¦
·
´ ´
÷ = = + ¦ ¦
¹ ¹
Hệ đã cho trở thành: ( )
3
4
4 3 4 3
3 3
3 81
81 81
u v v u
u u
u v u v
+ = = ÷ ¦ ¦
· ¬ + ÷ =
´ ´
+ = + =
¹ ¹
( ) ( )
4 3 2 3 2
9 27 54 0 3 2 15 18 0 u u u u u u u u · ÷ + ÷ ÷ = · ÷ + + + = .
Do 0 u > nên
3 2
2 15 18 0 u u u + + + > . Suy ra 3, v = 0 u = .
Khi đó:
3
3
3 9
1
1 0
x x
y
y
¦
= = ¦ ¦
·
´ ´
=
¹ ÷ =
¦
¹
.
Vậy
9
1
x
y
= ¦
´
=
¹
là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Câu III
( )
2 x 2 x x
1 2
3 3 3
4 4 4
I tan x tan x e dx tan x.e dx t anx.e dx I I
÷ ÷ ÷
= ÷ = ÷ = ÷
} } }
Sử dụng tích phân từng phần đối với
2
I ta được:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
23
( )
2
3
2 1 1 2
4 3
4
t anx. 1 tan .
x x
I e x e dx e I I I I e
÷ ÷ ÷
= ÷ + + = ÷ + ¬ = ÷ =
}
.
Câu IV
Ta có:
( ) ( )
, 0;
2
BC SBC ABC
SC BC SCA
CA BC
¦ = ·
¦
| |
± ¬ = e
´
|
\ .
¦
±
¹
Trong SAC . vuông tại A, ta có: sin sin SA SC a = = .
và cos cos AC SC a = = .
Vì ABC . vuông cân tại C nên:
2 2 2
1 1 1
. cos
2 2 2
ABC
S AB AC AC a = = =
.
.
Thể tích hình chóp . S ABC là:
( )
2
2 2 3 2 3
.
1 1 1 1
. sin . cos sin cos sin sin
3 3 2 6 6
S ABC ABC
a
V SAS a a a = = = = ÷
.
Xét hàm số ( )
3
sin sin y f = = ÷ , 0;
2
| |
e
|
\ .
.
Đặt sin t = , ( ) 0; 0;1
2
t
| |
e ¬ e
|
\ .
.
Khi đó xét hàm số ( ) ( )
3
, t 0;1 g t t t = ÷ e
( )
2
1 3 g t t ' = ÷
( )
( )
( )
2
1
0;1
3
0 1 3 0
1
0;1
3
t
g t t
t
= ÷ e
' = · ÷ = ·
= e
¸
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
( )
( )
( )
3 3 3 3
.
0;1
0;
2
2 3
max max max .
6 6 6 27 3 3
S ABC
t
a a a a
V f g t
e | |
e
|
\ .
= = = = khi
1
sin
3
= , 0;
2
| |
e
|
\ .
Câu V
A C
B
S
÷ +
0
0
t
( ) g t '
( ) g t
0
1
0
1
3
2
3 3
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
24
Từ
2 2 2 2
4 a b c d + + + = suy ra
2
4 2. a a s ¬ s Khi đó ( )
2 3 2
2 0 2 a a a a ÷ s ¬ s .
Tương tự ta cũng chứng minh được:
3 2
2 b b s ,
3 2
2 c c s ,
3 2
2 d d s .
Cộng vế theo vế của bốn bất đẳng thức trên ta được
( )
3 3 3 3 2 2 2 2
2 8. a b c d a b c d + + + s + + + =
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên :
1 3
1 3
A B C A B G
A B C A B G
x x x x x x
y y y y y y
+ + = + ÷ = ¦
´
+ + = + ÷ =
¹
Suy ra ( ) 2 3
A A B B G G
x y x y x y + + + ÷ = + .
Vì G eđường thẳng 2 0 x y + ÷ = nên 2 0 2
G G G G
x y x y + ÷ = ¬ + = .
Do đó: 2 6 8
A A B B A A B B
x y x y x y x y + + + ÷ = · + + + =
Lại vì A, B thuộc đường thẳng 2 3 0 x y + ÷ = nên: ( )
2 3 0
1
2 3 0
A A
B B
x y
x y
+ ÷ = ¦
´
+ ÷ =
¹
.
( )
2
8 3 2 3 2 6
10
A B
A A B B A A B B A B
A B
y y
x y x y y y y y y y
x x
+ = ÷ ¦
= + + + = ÷ + + ÷ + = ÷ + ¬
´
+ =
¹
Mặt khác ( ) ( )
2 2
5 5
A B A B
AB x x y y = · ÷ + ÷ =
Nhưng theo (1) 3 2 , x 3 2
A A B B
x y y = ÷ = ÷ nên ( ) 2
A B B A
x x y y ÷ = ÷ .
Suy ra ( ) ( ) ( )
2 2 2
5 5
A B A B A B
x x y y y y ÷ + ÷ = ÷ =
Vậy
1 1
1 1
2 2
2 2 3 3
2 2
A A
A B A B
A B A B
B B
y y
y y y y
y y y y
y y
¦ ¦
= ÷ =
¦ ¦
÷ = ÷ = ÷ ¦ ¦
¦ ¦
v · v
´ ´ ´ ´
+ = ÷ + =
¹ ¹
¦ ¦
= ÷ =
¦ ¦
¹ ¹
Cuối cùng ta thu được:
1 3
4; , B 6;
2 2
A
| | | |
÷ ÷
| |
\ . \ .
hoặc
3
6;
2
A
| |
÷
|
\ .
,
1
4;
2
B
| |
÷
|
\ .
.
2. Giả sử I là một điểm thoả 2 3 0 IA IB IC + + =
¸¸, ¸¸, ¸¸, ,
. Khi đó ta tính được I
23 13 25
; ;
6 6 6
| |
|
\ .
.
Ta có:
( ) ( )
2 3 2 3 6 MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI + + = + + + + + =
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸,
2 3 MA MB MC + +
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸,
nhỏ nhất MI ·
¸¸¸,
nhỏ nhất M · là hình chiếu vuông góc của I lên mặt
phẳng (P).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
25
Gọi A là đường thẳng qua I nhận ( ) 1;1;1
P
u n = =
.
¸¸, ¸¸,
làm vectơ chỉ phương nên có phương
trình tham số : ( )
23
6
13
6
25
6
x t
y t t
z t
¦
= +
¦
¦
¦
= + e
´
¦
¦
= +
¦
¹
R .
Ta có ( ) M P = A· ¬ toạ độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình :
23 13 25 79 5 20 2
3 0 ; ;
6 6 6 18 9 9 9
t t t t M
| |
+ + + + + + = · = ÷ ¬ ÷ ÷
|
\ .
.
Vậy 2 3 MA MB MC + +
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸,
nhỏ nhất khi
5 20 2
; ;
9 9 9
M
| |
÷ ÷
|
\ .
Câu VII a
Giả sử z x yi = + thì ta có ( ) A x; y . Vì z 0 = nên
2 2
x y 0 + > .
Ta có ( )( )
1 1
1 .
2 2 2 2
i x y x y
z z i x yi i
+ ÷ +
' = = + + = +
Vậy B có tọa độ : ; .
2 2
x y x y
B
÷ + | |
|
\ .
Ta lại có:
2 2
2 2
2 2 2 2
; OB
2 2 2
x y x y x y
OA x y
÷ + + | | | |
= + = + =
| |
\ . \ .
.
2 2 2 2
2 2
2
.
2 2 2 2 2
x y x y x y y x x y
AB x y
÷ + + ÷ + | | | | | | | |
= ÷ + ÷ = + =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
Từ đó, suy ra :
2 2 2
OB AB
.
OA OB AB
= ¦
´
= +
¹
Vậy tam giác OAB vuông cân tại B.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b
1. ( ) C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B
( , ) · < d I d R
2
2 2 1 2 3 2 · ÷ + ÷ < + m m
2 2
1 4 4 18 9 m m m · ÷ + < +
2
5 4 17 0 m m · + + > ( luôn đúng m ¬ eR).
Ta có:
1 1 9
. sin .
2 2 2
S IA IB AIB IA IB
IAB
= s =
.
Vậy: S
IAB .
lớn nhất là
9
2
khi
0
90 = AIB · AB = 2 3 2 = R ·
3 2
( , )
2
= d I d
d
B
A
I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
26
·
3 2
2
1 2 2
2
m m ÷ = +
2 2
16 16 4 36 18 m m m · ÷ + = +
2
2 16 32 0 m m · + + = 4 · = ÷ m
2. Thay tọa độ ( ) A 1; 2; 5 vào hai phương trình
1 2
d , d thấy không thỏa. Do đó
1 2
A d , A d e e . Giả sử
1
d là trung tuyến vẽ từ B,
2
d là trung tuyến vẽ từ C
( ) ( )
1 2
, C d B d B 3 2b; 6 2b;1 b C 4 c; 2 4c; 2 c e e ¬ ÷ + + ¬ + ÷ + .
1 2
G d d = · ¬ Tọa độ điểm G là nghiệm của hệ :
3 6 1
2 2 1
.
4 2 2
1 4 1
x y z
x y z
÷ ÷ ÷ ¦
= =
¦
¦ ÷
´
÷ ÷ ÷
¦
= =
¦
÷ ¹
Giải hệ này ta thu được x 3; y 6; z 1. = = =
Do đó ( ) G 3; 6;1
G là trọng tâm của tam giác ABC nên
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x 1 3 2b 4 c
x 3
3 3
2b c 1
y y y 2 6 2b 2 4c
y 6 b 2c 4
3 3
b c 5
z z z 5 1 b 2 c
1 z
3 3
+ + + ÷ + + ¦ ¦
= =
¦ ¦
÷ = ÷ ¦ ¦ ¦
+ + + + + ÷ ¦ ¦ ¦
= · = · ÷ =
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
+ = ÷
¹
+ + + + + + ¦ ¦
= =
¦ ¦
¹ ¹
( )
( )
b 2 B 7; 2; 1
c 3 C 1;14; 1
¦ = ÷ ¬ ÷
¦
·
´
= ÷ ¬ ÷
¦
¹
Từ đó ta lập được phương trình các cạnh của tam giác ABC là:
1 2 5
:
1 0 1
7 2 1
:
1 2 0
1 14 1
: .
0 2 1
x y z
AB
x y z
BC
x y z
CA
÷ ÷ ÷
= =
÷
÷ ÷ +
= =
÷
÷ ÷ +
= =
÷
Câu VII b
( )
( ) ( )
2 1
2 2
5 5
2 2 2 1
log 3 1 log 2 4 1 2
y x y x
x y y x y
÷ +
¦ + =
¦
´
+ + ÷ = ÷ + ÷
¦
¹
Điều kiện : 0 y > .
Chia cả hai vế của (1) cho
x
2 0 > ta được:
( ) ( ) 2 2
2 1
2 2 2 2 2 2 0
2 2 0
y x
y x y x y x y x
y x
÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷
=
+ = · + ÷ = ·
= ÷ <
¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
27
Ta có: 2 1
y x
x y
÷
= · = . Thay y x = vào (2) ta được:
( ) ( )
2
2 2
5 5 5
1
log 3 1 log 2 4 1 log 3 1 2 1 x x x x x x x
x
| |
+ + ÷ = ÷ + ÷ · + + = ÷ ÷
|
\ .
(3)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: ( ) ( )
5 5
1
3 og 3 log 2 3 1 VT l x
x
| |
= + + > + =
|
\ .
.
( ) 3 1 VP s .
Vậy ( ) ( )
( )
2
1
3 3 1 1 1
1 0
x
x
VT VP x y
x
¦
=
¦
= = · · = ¬ =
´
¦
÷ =
¹
(thỏa điều kiện y 0 > )
Vậy 1 x y = = là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
ĐỀ 5
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 y x m x m x = ÷ + + + ÷ ( )
m
C
9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )
m
C của hàm số khi m 0 = .
10. Tìm m để ( )
m
C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= + .
2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )
2 3
3 2 4
4 4 4
1 1 1 1 . x x x x x x x x + ÷ + ÷ = ÷ + + ÷
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân:
( )
0
1
2
1 1
dx
I
x x
÷
=
+ ÷ +
}
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo
AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1,0 điểm). Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:
2
2
1 1
2 sinx sinx 7
sinx sinx
2.
1 1
3 sinx sinx 12
sinx sinx
m
| | | |
+ ÷ ÷ ÷
| |
\ . \ .
>
| | | |
+ + ÷ + ÷
| |
\ . \ .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
28
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm ( ) 2;1 A . Lấy điểm B thuộc trục Ox có
hoành độ 0 b > và điểm C thuộc trục Oy có tung độ 0 c > sao cho tam giác ABC vuông tại
A. Tìm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz cho các điểm ( ) ( ) 2; 0; 0 , M 0; 3; 6 A ÷ . Viết phương trình mặt
phẳng ( ) P chứa A, M và cắt các trục , Oy Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho
3.
OABC
V =
Câu VII a (1,0 điểm).
Xét số phức:
( ) 1 2
i m
z
m m i
÷
=
÷ ÷
. Tìm m để
1
.
2
z z = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng : 2 2 0 x y A + ÷ = và hai điểm
( ) ( ) 1; 3 , B 3; 2 A ÷ . Tìm M trên A sao cho MA MB ÷ đạt giá trị lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( )
( )
2;3; 0 , B 0; 2; 0 A ÷ và đường thẳng
: 0
2
x t
y
z t
= ¦
¦
A =
´
¦
= ÷
¹
. Tìm CeA sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
Câu VII b (1,0 điểm).
Tìm miền xác định của hàm số:
( )
3 2 lg 2 lg
ln 8 4
x x
y
÷ + ÷
= ÷
BÀI GIẢI
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. + Điều kiện cần : Giả sử ( )
m
C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
1 2 3
, , x x x lập thành
một cấp số nhân . Khi đó ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 0 x m x m x ÷ + + + ÷ = có 3 nghiệm là
1 2 3
, , x x x
· ( ) ( ) ( )( )( )
3 2
1 2 3
3 1 5 4 8 x x m x m x x x x x x x ÷ + + + ÷ = ÷ ÷ ÷ ¬ eR
· ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 x m x m x ÷ + + + ÷ ( ) ( )
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
x x x x x x x x x x x x x x x = ÷ + + + + + ÷
Suy ra :
1 2 3
8 x x x = . Vì
1 2 3
, , x x x lập thành một cấp số nhân nên
2
2 1 3
x x x = . Do đó
3
2 2
8 2. x x = · = Thay
2
2 x = vào phương trình ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 0 x m x m x ÷ + + + ÷ =
ta thu được 4 2 0 2. m m ÷ = · =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
29
+ Điều kiện đủ : Với 2 m = thay vào phương trình ( ) ( )
3 2
3 1 5 4 8 0 x m x m x ÷ + + + ÷ = ta
thu được ( )( )( )
3 2
1 2 3
7 14 8 0 1 2 4 0 1 , 2, 4 x x x x x x x x x ÷ + ÷ = · ÷ ÷ ÷ = · = = = lập
thành một cấp số nhân .
Vậy 2 m = là giá trị cần tìm.
Câu II
1. Điều kiện: ( )
sin 0
sin 2 0 .
cos 0 2
x
x x k k
x
= ¦
· = · = e
´
=
¹
Z
Phương trình đã cho tương đương với:
2
8sin cos 3sin cos x x x x = +
( ) 4 1 cos 2 cos 3sin cos x x x x · ÷ = +
4cos 4cos 2 cos 3sin cos x x x x x · ÷ = +
( ) 4cos 2 cos3 cos 3sin cos x x x x x · ÷ + = +
1 3
cos sin cos3 cos cos3
2 2 3
x x x x x
| |
· ÷ = · + =
|
\ .
( )
3 2
3 6
3 2
3 12 2
x x k x k
k
x x k x k
+ = + = +
· · e
+ = ÷ + = ÷ +
¸ ¸
Z thoả điều kiện ban đầu.
2. Điều kiện: 0 1 x s s
Đặt
4
4
4 4
0
0
1
1
u
u x
v
v x
u v
¦ >
¦
=
¦ ¦
¬ >
´ ´
= ÷ ¦ ¦
¹
+ =
¹
Từ phương trình đã cho ta được :
( ) ( )
2 2 3 2 2 2
2 2
0
u uv v v u u v
u v u v u uv v
+ + = + +
(
· ÷ + ÷ + + =
¸ ¸
( ) ( )( )
( ) ( )
1 0
1 0
u v u v u v
u v u v
· ÷ + ÷ ÷ =
· ÷ ÷ ÷ =
( do u , v không âm và u , v không đồng thời bằng 0 nên 0 u v + > ).
Ta được các hệ :
4
4 4
4
1
0
2
)
1 1
2
u
u v
a
u v
v
¦
=
¦ ÷ = ¦
¦
·
´ ´
+ =
¹ ¦
=
¦
¹
. Do đó
1
1
2
.
1 2
1
2
x
x
x
¦
=
¦
¦
· =
´
¦
÷ =
¦
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
30
( )
2
2
4 4 2 2
1
1
)
1 2 2 1
u v
u v
b
u v u v uv u v
+ = ¦
+ = ¦
¦
·
´ ´
(
+ = + ÷ ÷ =
¹ ¦
¸ ¸ ¹
2 2
1 0
1
0 1 1
0
2 4 0 1 1
2
2 0
u v u
u v
uv v u v
uv
u v uv u v u
uv
uv v
+ = = ¦ ¦
+ = ¦ ´ ´
= = + = ¦
¦ ¹ ¹
· · · · = ´ ´
÷ = + = = ¦ ¦
¹ ¦
=
¸ ´ ´ ¹
= =
¹ ¹ ¸ ¸
. Do đó
0
1 1 0
1 1
1 0
x
x x
x x
x
= ¦
´
÷ = = ¹
·
= = ¦ ¸
´
÷ =
¹ ¸
.
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là:
1
0; ;1
2
S
¦ ¹
=
´ `
¹ )
.
Câu III
Ta có:
( )
0 0
2
1 1
2 2
1 1
1 1
1
4 2
dx dx
I
x x
x
÷ ÷
= =
+ ÷ +
| |
+ ÷ +
|
\ .
} }
Đặt
1 1 1
sin costdt ; t ;
2 2 2 2 2
x t dx
(
+ = ¬ = e ÷
(
¸ ¸
Lúc đó:
2 2 2
2 0 0 0
1
cos
cos 2
2
1 2 .
2 cos 2 cos 2 1 1
1 sin
4 4
tdt
t
I dt dt J
t t
t
(
= = = ÷ = ÷
(
+ +
¸ ¸
+ ÷
} } }
Cần tính J
2
0
dt
2 cos t
=
+
}
. Đặt
2
2
tan
2 1
x dt
t dx
t
= ¬ =
+
Ta có:
1 1
2
2 2
0 0
2
2
1
2
1 3
2
1
dt
dt
t
J
t t
t
+
= =
÷ +
+
+
} }
Đặt
( )
2
3 tan 3 1 tan t u dt u du = ¬ = +
( )
2
6 6
2
0 0
3 1 tan
1
3 3tan 3 6 3
u du
J du
u
+
= = =
+
} }
.
Suy ra:
( )
9 4 3
I 2.
2 18 6 3
÷
= ÷ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
31
Câu IV
Trong .ABO vuông tại O ta có:
2 3
tan 3
2
OA AC a
ABO
OB BD a
= = = =
0
60 ABO ¬ = hay .ABD đều.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAC ABCD
SBD ABCD SO ABCD
SO SAC SBD
¦ ±
¦
± ¬ ±
´
¦
= ·
¹
.
Do .ABD đều nên với H, K
lần lượt là trung điểm của AB, HB nên DH AB ± và DH = 3 a ;
OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH = = ¬ OK AB AB (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) ,
hay ( ) ( )
; OI d O SAB =
.SOK vuông tại O ta có:
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ¬ = .
Diện tích đáy:
2
4 2 . 2 3 2 3
ABCD ABO
S S OAOB a a a = = = = .
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
2
.
1 1 3
. 2 3
3 3 2 3
S ABCD ABCD
a a
V SO S a = = = .
Câu V
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2
2
1 1
2 sin sin 1
sin sin
2
1 1
3 sin sin
sin sin
x x
x x
x x m
x x
| | | |
÷ ÷ ÷ +
| |
\ . \ .
>
| | | |
÷ + ÷ +
| |
\ . \ .
.
Đặt ( )
1
sin , t
sin
t x x k
x
= ÷ = eR .
Bài toán tương đương với việc tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi t:
2
2
2 1
2
3
t t
t t m
÷ +
s
+ +
.
Vì mẫu thức xác định t ¬ eR nên
1
1 12 0 .
12
t m A = ÷ < · > Khi đó
2
3 0 t t t m + + > ¬ eR.
Vì
2
2 1 0 t t t ÷ + > ¬ eR nên
2
2
2
2 1
2 4 3 2 1 0
3
t t
t t t m t
t t m
÷ +
s ¬ e · + + ÷ > ¬ e
+ +
R R
( )
35
9 16 2 1 0 .
12
m m · A = ÷ ÷ s · >
S
A
B
K
H
C
O
I
D
a
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
32
Vậy
35
12
m > là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: ( ) ( ) ; 0 , C 0; B b Ox c Oy e e với , c 0 b > .
( ) ( ) 2; 1 , 2; 1 AB b AC c = ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Do tam giác ABC vuông tại A nên ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 0 1 2 2 ABAC b c c b = ¬ ÷ ÷ ÷ ÷ = ¬ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸,¸¸¸,
.
( ) ( )
2 2 1 1
2 1. 4 1
2 2
ABC
S ABAC b c = = ÷ + + ÷
.
( ) ( ) ( )
2 2 2 1
2 1 4 4 2 2 1 1
2
b b b = ÷ + + ÷ = ÷ + > .
Do
5
2 5 0 0
2
c b b = ÷ + > ¬ s s .
Dấu “=” xảy ra khi 2 b = , 1 c = .
Vậy min 1
ABC
S =
.
khi ( ) 2; 0 B , ( ) 0;1 C .
2. Giả sử ( ) ( ) 0; ; 0 , C 0; 0; B b c . Mặt phẳng ( ) P qua A , B , C nên có phương trình là :
1.
2
x y z
b c
+ + =
( ) ( )
3 6
0; 3; 6 1 6 3 . M P b c bc
b c
÷
÷ e · + = · ÷ =
Lại có :
1 2 1
. . . 3 9.
3 3 2 3
OABC OBC
bc
V OAS bc bc = = = = ¬ =
.
Từ đó ta có được các hệ phương trình :
(a) .
( )
2
3
2 3
3
2 3 2 3 6 3 9
3
3
2 3 9 9 2 3 9 0
3
2
2
6
b
c b
c
c b c b b c
b
b b bc b b b
b
c
= ¦
= ÷ ¦ ´
=
¹ ¦
= ÷ = ÷ ¦ ÷ = ¦ ¦ ¦ ¦ =
· · · ·
´ ´ ´ ´
¦
÷ = = ÷ ÷ = = ÷ ¦ ¹ ¦ ¹ ¹ ¦
= ÷
´
¦
¸ ¹
¦
= ÷
¹ ¸
.
(ii ).
( )
2
2 3 2 3 6 3 9
2 3 9 9 2 3 9 0
c b c b b c
b b bc b b
= + = + ¦ ÷ = ÷ ¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
+ = ÷ = ÷ + + =
¦ ¹ ¹ ¹
( Hệ vô nghiệm).
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) P cần tìm là :
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
33
1 , 1.
3
2 3 3 2 6
2
x y z x y z
+ + = + + =
÷
÷
Câu VII a
Ta có:
( )
( )( )
( )
2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 4
m i m mi
i m
z
m mi
m m
÷ + ÷ ÷
÷
= =
÷ +
÷ +
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 2 1 2 1 1
1 1
m m m i m m m m i m
m m
÷ ÷ + + ÷ + + + +
= =
+ +
=
2 2
1
1 1
m
i
m m
+
+ +
2 2
1
1 1
m
z i
m m
¬ = ÷
+ +
Do đó
( )
2
2
2 2
2
1 1 1 1 1
. 1 2 1.
2 2 1 2
1
m
z z m m
m
m
+
= · = · = · + = · = ±
+
+
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b
1. Đặt ( ) ; 2 2 F x y x y = + ÷ . Do ( ) ( ) 1; 3 . 3; 2 15 0 F F ÷ = ÷ < nên A và B nằm về hai phía
khác nhau đối với A .
Gọi d là đường thẳng qua A vuông góc với A . Khi đó d nhận ( ) 1; 2
d
u n
A
= =
¸¸, ¸¸,
làm vectơ chỉ
phương nên có phương trình:
1 3
2 1 0
1 2
x y
x y
÷ ÷
= · ÷ + = .
Gọi H d = ·A ¬ Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: ( )
2 1 0 0
0;1
2 2 0 1
x y x
H
x y y
÷ + = = ¦ ¦
· ¬
´ ´
+ ÷ = =
¹ ¹
.
Gọi C là điểm đối xứng của A qua A nên H là trung điểm của AC. Suy ra ( ) 1; 1 C ÷ ÷ .
Ta có: 17. MA MB MC MB BC ÷ = ÷ s =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . M BC = ·A
Đường thẳng BC qua ( ) 3; 2 B ÷ nhận ( ) 4;1 BC = ÷
¸¸¸,
làm vectơ chỉ phương nên có phương
trình:
3 2
4 5 0
4 1
x y
x y
÷ +
= · + + =
÷
.
Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ:
9
2 2 0
7
9;
7
4 5 0 2
2
x
x y
M
x y y
= ¦
+ ÷ = ¦ ¦ | |
· ¬ ÷
´ ´
|
+ + = = ÷ \ .
¹
¦
¹
.
Vậy 17 Max MA MB ÷ = khi
7
9;
2
M
| |
÷
|
\ .
.
2. Ta có: ( ) ; 0; 2 C C t t eA ¬ ÷
Gọi P là chu vi của tam giác ABC, ta có:
P AB AC BC = + +
2 2
15 6 2 2 8 17 2 4 6 t t t y = + + ÷ + + ÷ +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
34
( ) ( )
2 2
2 2
15 6 2 2 2 3 2 1 2 t t = + + ÷ + + ÷ +
Trong mặt phẳng Oxy, đặt ( )
( )
( )
( )
2 2 ;3 , 2 1 ; 2 u t v t = ÷ = ÷ ÷
, ,
3 3 AC BC u v u v + = + > + =
¸, , , ,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u
,
và v
,
cùng phương
( )
( )
2 2 3 7
2 5 2 1
t
t
t
÷
· = · =
÷ ÷
.
15 6 3 3 3 MinP = + + khi
7 3
; 0;
5 5
C
| |
|
\ .
.
Câu VII b
Hàm số xác định khi và chỉ khi
( ) ( )
3 2 lg 2 lg
3 2
2 lg 2 lg 3 2 lg 2 lg
0
0
8 4 0
8 4
8 4
x x
x x x x
x
x
÷ + ÷
÷ + ÷ ÷ + ÷
> ¦ > ¦
¦ ¦
÷ > · ·
´ ´
>
> ¦
¦ ¹
¹
( ) ( )
( ) ( )
9 2 lg 4 2 lg
0 0
9 2 lg 4 2 lg
2 2
x x
x x
x x
÷ + ÷
> > ¦ ¦
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ + > ÷
> ¦ ¦
¹ ¹
0 0
100
lg 2 100
x x
x
x x
> > ¦ ¦
· · · >
´ ´
> >
¹ ¹
.
Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: ( ) 100; D = +· .
ĐỀ 6
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3 2
3 2 y x x = ÷ + ( ) C
11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
12. Tìm m để ( ) C có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn
( )
2 2 2
: 2 4 5 1 0
m
C x y mx my m + ÷ ÷ + ÷ = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( ) 0; của phương trình:
sin3 cos3
7 cos 4 cos 2
2sin 2 1
x x
x x
x
÷ | |
÷ = ÷
|
÷
\ .
.
2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
( )
5 1 5 1
2
7 7 2012 2012
2 2 3 0
x x x
x
x m x m
+ + + +
¦
÷ + s
¦
´
÷ + + + >
¦
¹
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân: I =
1
2 4 2
11 3 1
dx
x x x x ÷ + + + + +
}
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C,
, AB = 2a, SA AC a = vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
35
0
60 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Chứng minh AK HK ± và tính thể
tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1,0 điểm). Cho ( ) , y, z 0,1 x e . Chứng minh rằng ( )( ) ( ) 1 1 1 1 xyz x y z + ÷ ÷ ÷ < .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 2; 3 M và đường thẳng
( ) ( ) : 2 1 2 1 0 m x m y m A ÷ + ÷ + ÷ = . Tìm tham số thực m để khoảng cách từ M đến
đường thẳng A là lớn nhất.
6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1
2 1
:
2 1 2
x y z
d
÷ ÷
= =
÷
và ( )
2
2 2
: 3
x t
d y t
z t
= ÷ ¦
¦
= e
´
¦
=
¹
R . Chứng minh hai đường thẳng trên chéo
nhau. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung
của
1 2
, d d .
Câu VII a (1,0 điểm). Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự
các số phức
1 2
, z z khác 0 thỏa mãn đẳng thức
2 2
1 2 1 2
z z z z + = . Chứng minh tam giác OMN
là tam giác đều.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của hai đường thẳng
1 2
: 3 0, d : 6 0 d x y x y ÷ ÷ = + ÷ = . Trung điểm M của
cạnh AD là giao điểm của đường thẳng
1
d với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ
nhật.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu ( ) S lần lượt có
phương trình: ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 0 ; 1 2 4 25. x y z x y z ÷ + ÷ = ÷ + + + ÷ = Xét vị trí tương đối
giữa mặt cầu ( ) S và mặt phẳng ( ) . Viết phương trình mặt cầu ( ) V đối xứng với ( ) S qua
mặt phẳng ( ) .
Câu VII b (1,0 điểm). Giải bất phương trình:
( ) ( ) 2 2
log 3 1 6 1 log 7 10 x x + + ÷ > ÷ ÷ .
BÀI GIẢI
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Hàm số xác định và liên tục trên R.
Ta có:
2
3 6 y x x ' = ÷ ;
2
0
0 3 6 0
2
x
y x x
x
=
' = · ÷ = ·
=
¸
Tọa độ các điểm cực trị: ( ) ( ) 0; 2 , B 2; 2 A ÷ .
Cách 1: (C) có điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường tròn ( )
m
C khi và chỉ khi
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
36
( )( )
2 2
4 8 5 1 4 4 4 8 5 1 0 m m m m m · ÷ + ÷ + ÷ + + ÷ <
( )( )
2 2 2
5 8 3 5 4 7 0 5 8 3 0 m m m m m m · ÷ + + + < · ÷ + < ( vì
2
5 4 7 0 m m m + + > ¬ eR).
3
1
5
m · < < .
Cách 2: Đường tròn ( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1
m
C x m y m ÷ + ÷ = có tâm ( ) ; 2 I m m , bán kính 1 R = .
Ta có:
2
2
2 36 6
5 4 8 5 1
5 5 5
IB m m m R
| |
= + + = + + > > = ¬
|
\ .
điểm B nằm ở phía ngoài
đường tròn ( )
m
C . Do đó điểm A nằm ở phía trong đường tròn ( )
m
C , tức là:
2 2
3
1 5 8 4 1 5 8 3 0 1
5
IA R m m m m m < = · ÷ + < · ÷ + < · < < .
Câu II
1. Điều kiện: ( )
5
2
12
sin 2 1
2
12
x k
x k
x k
¦
= +
¦
¦
= · e
´
¦
= +
¦
¹
Z .
Phương trình đã cho tương đương với:
3 3
3sin 4sin 4cos 3cos
7 cos 4 cos 2
2sin 2 1
x x x x
x x
x
| | ÷ ÷ +
÷ = ÷
|
÷
\ .
( ) ( )( ) 3 sin cos 4 sin cos 1 sin cos
7 4 cos 2
2sin 2 1
x x x x x x
x
x
| | + ÷ + ÷
· = ÷
|
÷
\ .
( )( ) sin cos 3 4 4sin cos
7 cos 4 cos 2
2sin 2 1
x x x x
x x
x
| | + ÷ +
· ÷ = ÷
|
÷
\ .
( ) ( )
( )
2
sin cos 2sin 2 1
7 cos 4 cos 2 7sin 4 1 2sin
2sin 2 1
x x x
x x x x
x
| | + ÷
· ÷ = ÷ · = ÷ ÷
|
÷
\ .
2
1 2
sin
6
2sin 7sin 3 0 2
5
sin 3 2
6
x k
x
x x
x x k
= +
=
· ÷ + = · ·
= = +
¸
¸
Vì ( ) 0; x e nên ta có được hai nghiệm sau đây:
5
,
6 6
x x
= = .
2. Điều kiện: 1 x > ÷
Ta có:
( ) ( )
5 1 5 1 1 5 5
7 7 2012 2012 7 7 7 2012 1
x x x x x
x x
+ + + + +
÷ + s · ÷ s ÷ (*)
Nếu 1 x > thì ( ) ( ) * 0 * VP VT < < ( Vô lý).
Bất phương trình (*) luôn đúng khi 1 1 x ÷ s s .
Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm·Bất phương trình ( )
2
2 2 3 0 x m x m ÷ + + + > có
nghiệm | | 1;1 x e ÷ · Bất phương trình: ( )
2
2 2 3 m x x x ÷ s ÷ + có nghiệm | | 1;1 x e ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
37
2
2 3
2
x x
m
x
÷ +
· >
÷
có nghiệm | | 1;1 x e ÷
| |
( )
1;1
min
x
m f x
e ÷
· > với ( )
2
2 3
2
x x
f x
x
÷ +
=
÷
.
Hàm số này được viết lại : ( )
3
2
f x x
x
= +
÷
, | | 1;1 x e ÷
( )
( ) ( )
2
2 2
3 4 1
1
2 2
x x
f x
x x
÷ +
' = ÷ =
÷ ÷
( )
| |
| |
2 3 1;1
0
2 3 1;1
x
f x
x
= + e ÷
' = ·
= ÷ e ÷
¸
( )
2 3 2 2 3 f ÷ = ÷ ; ( ) ( ) 1 1 2 f f ÷ = = ÷ ;
Do đó
| |
( ) ( ) ( )
1;1
min 1 1 2
x
f x f f
e ÷
= ÷ = = ÷ .
Vậy 2 m > ÷ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu III
Đặt x t dx dt = ÷ ¬ = ÷ .
Khi đó:
1 1
2 4 2 2 4 2
1 1 1 3 1 1 3 1
dt dx
I
t t t t x x x x
÷
÷
÷
= =
÷ + + + + ÷ + + + +
} }
.
Suy ra: ( ) ( ) ( )
1
1
2I g x g x dx
÷
= + ÷
}
với ( )
2 4 2
1
1 3 1
g x
x x x x
=
+ + + + +
.
Ta có: ( ) ( )
2 4 2 2 4 2
1 1
1 3 1 3
g x g x
x x x x x x x x
+ ÷ = +
+ + + + ÷ + + +
=
( )( )
2 4 2 2 4 2
2 4 2 2 4 2
1 3 1 1 3 1
1 3 1 1 3 1
x x x x x x x x
x x x x x x x x
÷ + + + + + + + + + +
+ + + + + ÷ + + + +
( )
( )
2 4 2
2
2 4 2 2
2 1 3 1
1 3 1
x x x
x x x x
+ + + +
=
+ + + + ÷
=
( )
2 4 2
4 4 2 2 4 2 2 4 2 2
2 1 3 1
1 3 1 2 2 3 1 2 3 1
x x x
x x x x x x x x x x
+ + + +
+ + + + + + + + + + + ÷
( )
2 4 2
4 2 4 2 2 4 2
2 1 3 1
2 2 4 2 3 1 2 3 1
x x x
x x x x x x x
+ + + +
=
+ + + + + + + +
2 4 2
4 2 4 2 2 4 2
1 3 1
1 2 3 1 3 1
x x x
x x x x x x x
+ + + +
=
+ + + + + + + +
( ) ( )
2 4 2
2
2 4 2 2 4 2 4 2
1 3 1 1
1
1 3 1 3 1
x x x
x
x x x x x x x x
+ + + +
= =
+
+ + + + + + + + +
.
Do đó:
1 1 1
2 2 2
1 0 0
2 2
1 1 1
dx dx dx
I I
x x x
÷
= = ¬ =
+ + +
} } }
Đặt
( )
2
tan 1 tan x u dx u du = ¬ = +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
38
Vậy
( )
2
4 4
4
2 0
0 0
1 tan
1 tan 4
u du
I du u
u
+
= = = =
+
} }
.
Câu IV.
.
Ta có: ( )
SA BC
BC SAC BC AK
AC BC
± ¦
¬ ± ¬ ±
´
±
¹
Mà AK SC ± nên ( ) AK SBC AK HK ± ¬ ± .
Hơn nữa ( ) AK SBC AK SB ± ¬ ±
Suy ra: ( ) SB AHK SB HK ± ¬ ±
Mà ( ) ( ) SB SAB SBC = · nên
0
60 AHK = .
Dễ dàng tính được
2
ABC
a 3
S
2
=
Trong tam vuông AKH có
0
3
AK AHsin 60 AH
2
= =
Các tam giác SAB, SAC vuông tại A nên
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AH SA AB SA 4a
= + = + (1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1 1 3 3
AK SA AC 3AH SA a AH 4SA 4a
= + ¬ = + ¬ = + (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
1 1 a 2
SA
4SA 2a 2
= ¬ = .
Vậy
3
S.ABC
a 6
V
12
= .
Câu V
Cách 1: Do ( ) , , 0;1 x y z e nên
( )
( ) ( )( ) ( )
0;1
1 1 1 0;1
xyz
x y z
¦ e
¦
´
÷ ÷ ÷ e
¦
¹
.
Khi đó: ( )( )( ) ( )( )( )
3 3
1 1 1 1 1 1 xyz x y z xyz x y z + ÷ ÷ ÷ < + ÷ ÷ ÷
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
( )( )( )
3 3
1 1
1 1 1 1
3 3
x y z x y z
xyz x y z
+ + 1÷ + ÷ + ÷
+ ÷ ÷ ÷ s + =
Suy ra: ( )( ) ( ) 1 1 1 1 xyz x y z + ÷ ÷ ÷ < .
Cách 2:
Ta có ( ) ( ) 0;1 1 0;1 z z e ¬ ÷ e
Do đó: ( )( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 xyz x y z xy x y + ÷ ÷ ÷ < + ÷ ÷
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
A
C
B
S
H
K
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
39
( )
( ) ( ) ( )( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1 x y x y x x y y xy x y + ÷ ÷ s + ÷ ÷ + = ¬ + ÷ ÷ s
Suy ra: ( )( ) ( ) 1 1 1 1 xyz x y z + ÷ ÷ ÷ < .
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 3 1 2 1
7 8
,
2 6 5
2 1
m m m
m
d d M
m m
m m
÷ + ÷ + ÷
÷
= A = =
÷ +
÷ + ÷
Suy ra:
2
2
2
49 112 64
2 6 5
m m
d
m m
÷ +
=
÷ +
Cách 1:
Ta có:
2
2 2 2 2 2 2
2
49 112 64
2 6 5 49 112 64
2 6 5
m m
d d m d m d m m
m m
÷ +
= ¬ ÷ + = ÷ +
÷ +
hay
( ) ( )
2 2 2 2
2 49 2 56 3 5 64 0 d m d m d ÷ + ÷ + ÷ = .
+ Nếu
2
7 2
2 49 0
2
d d ÷ = · = ( do 0 d > ) thì
117 117
35 0
2 70
m m ÷ + = · = .
+ Nếu
2
7 2
2 49 0
2
d d ÷ = · = thì phương trình bậc hai ẩn theo ẩn m ở trên có nghiệm
khi và chỉ khi
( ) ( )( )
2
2 2 2
56 3 2 49 5 64 0 d d d ' A = ÷ ÷ ÷ ÷ >
4 2 2
37 0 37 0 d d d · ÷ s · ÷ s ( do 0 d > )
2
37 37 d d · s ¬ s
Với 37 d = ta có:
2
11
25 110 121 0
5
m m m ÷ + = · = .
Vậy max 37 d = khi
11
5
m =
Cách 2:
Xét hàm số: ( )
2
2
49 112 64
2 6 5
m m
f m
m m
÷ +
=
÷ +
Tập xác định D = R
( )
( )
2
2
2
70 234 176
2 6 5
m m
f m
m m
÷ + ÷
' =
÷ +
( )
2
8
7
0 70 234 176 0
11
5
m
f m m m
m
=
' = · ÷ + ÷ = ·
=
¸
( ) ( )
49 49
lim , lim
2 2
x x
f m f m
÷÷· ÷+·
= = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
40
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra ( )
11
max 37
5
m
f m f
e
| |
= =
|
\ .
R
.
Vậy max 37 d = khi
11
5
m = .
2. Đường thẳng
1
d đi qua ( ) 2;1; 0 M và có vectơ chỉ phương ( )
1
1; 1; 2 u = ÷
¸,
.
Đường thẳng
2
d đi qua ( ) 2;3; 0 N và có vectơ chỉ phương ( )
1
2; 0;1 u = ÷
¸,
.
Ta có:
1 2 1 2
; 10 0 , d
(
= ÷ = ¬
¸ ¸
¸, ¸¸, ¸¸¸¸,
u u MN d chéo nhau.
( ) ( )
1 2
2 ;1 ; 2 ; B 1 2 ; 3; A a a a d b b d + ÷ e ÷ e
AB là đoạn vuông góc chung của
1
1 2
2
1
. 0
, d 3
. 0
0
¦
¦
= = ÷
¦ ¦
· ·
´ ´
=
¦ ¦
¹
=
¹
¸¸¸,¸,
¸¸¸,¸¸,
ABu a
d
ABu
b
.
Do đó : ( )
5 4 2
; ; , B 2;3; 0
3 3 3
A
| |
÷
|
\ .
Mặt cầu (S) có tâm
11 13 1
; ;
6 6 3
| |
÷
|
\ .
I , bán kính
30
2 6
= =
AB
R
Vậy phương trình của mặt cầu (S) là :
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
| | | | | |
÷ + ÷ + + =
| | |
\ . \ . \ .
x y z .
Câu VII a
Ta có:
( )
( )
2
2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1
z z z z z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
¦
¦ = ÷ = ÷
¦ ¦
+ = ¬ ¬
´ ´
= ÷
= ÷ ¦ ¦
¹
¹
( ) -
Vì
1 2
, z 0 z = nên
1 2
, 0 z z = .
Từ ( ) - ta có:
2 2
3 3
2 1
2 1 1 2 1 2 2 2
1 2
z z
z z z z z z
z z
÷ = = ¬ = ¬ =
Do đó:
2 1 1 2
z z z z ÷ = =
Mà
1 2 2 1
; ON = ; MN = OM z z z z = ÷ .
Vậy tam giác OMN đều.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
÷ + 0
t
( ) f m '
( ) f m
8
7
11
5
0
÷· +·
÷
49
2
49
2
37
0
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
41
1. Ta có :
1 2
I d d = · ¬ toạ độ điểm I là nghiệm của hệ :
9
3 0
2
6 0 3
2
x
x y
x y
y
¦
=
¦
÷ ÷ = ¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ =
¹
¦
=
¦
¹
.
Do đó
9 3
;
2 2
I
| |
|
\ .
.
( )
1
3; 0 M d Ox M = · ¬ .
Ta có : 2I 3 2 AB M = =
Giả thiết
12
12 . 12 2 2
3 2
ABCD
S AB AD AD = · = · = =
Vì
1
, M d I e nên
1
d AD ± .
Đường thẳng AD qua ( ) 3; 0 M và nhận ( )
1
1; 1
AD d
u n = = ÷
¸¸¸, ¸¸,
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
3 0
3 0
1 1
x y
x y
÷ ÷
= · + ÷ =
÷
.
Toạ độ A, D có dạng: ( ) ; 3 t t ÷ .
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 3 3 2 MA MD MA MD t t = = · = = · ÷ + ÷ =
2
2
6 8 0
4
t
t t
t
=
· ÷ + = ·
=
¸
.
Do đó: ( ) ( ) 2;1 , D 4; 1 A ÷ hoặc ( ) ( ) 4; 1 , D 2;1 A ÷ .
+ Với ( ) ( ) 2;1 , D 4; 1 A ÷ suy ra ( ) 7; 2 C , ( ) 5; 4 B
+ Với ( ) ( ) 4; 1 , D 2;1 A ÷ suy ra ( ) 5; 4 C , ( ) 7; 2 B
2. + Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 1; 2; 4 I ÷ và bán kính 5 R = .
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2.1 2 2.4 3
; 3 5
2 1 2
d I R
÷ ÷ + ÷
= = < =
+ ÷ +
.
Vậy mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) S .
+ Gọi J là điểm đối xúng của I qua mặt phẳng ( ) thì ( ) V là mặt cầu có tâm J, bán kính
5 R = .
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( ) . Khi đó d nhận ( ) 2; 1; 2 n
= ÷
¸¸,
làm
vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số:
1 2
2
4 2
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ ÷
´
¦
= +
¹
Gọi H là trung điểm IJ. Khi đó H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( ) . Toạ độ
điểm H ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 4 2 3 0 1 t t t t + ÷ ÷ ÷ + + ÷ = · = ÷ .
I
M
A
D
C
B
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
42
Suy ra ( ) 1; 1; 2 H ÷ ÷ . Vì H là trung điểm IJ nên dễ dàng suy ra được ( ) J 3; 0; 0 ÷ .
Vậy phương trình mặt cầu (V) là: ( )
2
2 2
3 25. x y z + + + =
Câu VII b (1,0 điểm)
Điều kiện:
1
10.
3
x ÷ s s
Bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) 2 2
3 1 6 3 1 6
log log 7 10 7 10
2 2
x x
x x
+ + + +
> ÷ ÷ · > ÷ ÷
3 1 2 10 8 x x · + + ÷ > ( )( ) ( ) 3 1 4 3 1 10 4 10 64 x x x x · + + + ÷ + ÷ >
( )( ) ( )( ) ( )
2
4 3 1 10 23 16 3 1 10 23 x x x x x x · + ÷ > + · + ÷ > +
2
369
49 418 369 0 1
49
x x x · ÷ + s · s s
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của bất phương trình trên là:
369
1;
49
S
(
=
(
¸ ¸
.
ĐỀ 7
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: ( )
3 2
1
x
y C
x
÷
=
+
13. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d
cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thoả
5 26
cos
26
BAI = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: )
2
sin( 2
cos sin
2 sin
cot
2
1
+ =
+
+ x
x x
x
x
2. Giải bất phương trình sau:
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x ÷ + + ÷ + > ÷ +
Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường sau:
Elip (E):
2
2
1
4
x
y + = , đường thẳng d: 2 3 4 0 x y ÷ ÷ = và trục hoành.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
2 , CD = a = = AB AD a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) là (ABCD) bằng
0
60 . Gọi I là
trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
43
Câu V (1,0 điểm). Tìm m để phương trình:
2
2cos 2 mx x + = có đúng 2 nghiệm thực phân
biệt trong đoạn 0;
2
(
(
¸ ¸
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC . có trọng tâm ( ) 2; 0 . G ÷ Biết phương
trình các cạnh AB,AC theo thứ tự là 4 14 0 x y + + = , 2 5 2 0. x y + ÷ = Tìm tọa độ các đỉnh
A,B,C .
2. Trong không gian Oxy cho các điểm ( ) ( ) 3; 5; 5 , B 5; 3; 7 A ÷ ÷ ÷ và mặt phẳng
( ) : 0 P x y z + + = . Tìm điểm ( ) M P e sao cho
( )
2 2
MA MB + nhỏ nhất .
Câu VII a (1,0 điểm)
Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ
( )
4
3 5 +
n
biết n thỏa mãn
1 2 3 2 496
4 1 4 1 4 1 4 1
... 2 1
+ + + +
+ + + + = ÷
n
n n n n
C C C C .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Cho parabol
2
. y x = Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại
1
A và
2
A . Hình chiếu của
1 2
, A A lên Ox là
1 2
, B B . Chứng minh rằng:
1 2
. OB OB const = .
2. Cho mặt cầu: ( )
2 2 2
: 2 2 2 0 S x y z x z + + ÷ + ÷ = và các điểm ( ) 0;1;1 , A ( ) B 1; 2; 3 ÷ ÷ ÷
( ) C 1; 0; 3 ÷ . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.
Câu VII b (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n bé nhất để
3
1
| |
+
|
|
÷
\ .
n
i
i
là số thực
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Gọi ( ) ( )
0
0 0
0
3 2
; 1
1
x
M x C x
x
| | ÷
e = ÷
|
+
\ .
Tiếp tuyến d với (C) tại M có phương trình:
( )
( )
0
0 2
0
0
3 2 5
1
1
x
y x x
x
x
÷
÷ = ÷
+
+
.
Do d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A, B và IAB . có
5 26
cos
26
BAI = nên
tan 5 BAI = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
44
Lại có
**tan BAI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà ( )
**
( )
0 2
0
5
0
1
y x
x
' = >
+
nên
( )
( )
2
0
0 2
0
0
0
5
5 1 1
2
1
x
x
x
x
=
= · + = ·
= ÷
+
¸
.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán: 5 2 ; 5 2 y x y x = ÷ = + .
Câu II
1. Điều kiện: . 0 cos sin , 0 sin = + = x x x
Ta có:
1 sin 2
cot 2sin( )
sin cos 2 2
x
x x
x x
+ = + ·
+
0 cos 2
cos sin
cos sin 2
sin 2
cos
= ÷
+
+ x
x x
x x
x
x
2
cos 2cos
0
sin cos 2 sin
x x
x x x
· ÷ =
+
cos 0
cos sin( ) sin 2 0
sin sin 2 4
4
x
x x x
x x
=
| |
· + ÷ = ·
| | |
+ =
\ .
|
\ . ¸
( )
2
2
2
2 4
2
4 3
4 3
x k
x k
x k k
k
x
k
x
= +
= +
· = + · e
= +
¸
= +
¸
Z ( thoả điều kiện ban đầu)
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm: ( )
2
2
4 3
x k
k
k
x
= +
e
= +
¸
Z
2. Điều kiện:
2
2
2
3 2 0
1 2
4 3 0 1 3 1 4
1 4
5 4 0
x x
x x
x x x x x x
x x
x x
¦ ÷ + >
s v > ¦
¦
¦
÷ + > · s v > · s v >
´ ´
¦ ¦
s v >
÷ + >
¹
¹
.
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x ÷ + + ÷ + > ÷ +
( ) ( )
2 2 2 2
3 2 5 4 4 3 5 4 0 x x x x x x x x · ÷ + ÷ ÷ + + ÷ + ÷ ÷ + >
( )
2 2 2 2
2 1
1
0
3 2 5 4 4 3 5 4
x
x
x x x x x x x x
÷
÷
· + >
÷ + + ÷ + ÷ + + ÷ +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
45
( )
2 2 2 2
2 1
1 0
3 2 5 4 4 3 5 4
x
x
x x x x x x x x
| |
÷
· ÷ + >
|
÷ + + ÷ + ÷ + + ÷ +
\ .
1 0 1 x x · ÷ > · > .
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta được: 1 4 x x = v > .
Câu III
+ Giao điểm của d và (E) là
3
A 1;
2
| |
|
|
\ .
+ d cắt trục hoành tại ( ) B 4; 0 .
Gọi A là chân đường vuông góc hạ từ A
xuống Ox. Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm
là phần gạch xiên như hình vẽ.
Ta có:
AKB AKC
S S S = ÷ .
AKB
1 1 3 3 3
S AK.KB .3
2 2 2 4
= = =
Những điểm thuộc hình phẳng có tung độ y 0 > nên từ phương trình (E) suy ra:
2
1
y 4 x
2
= ÷ .
Do đó:
2
2
AKC
1
1
S 4 x dx
2
= ÷
}
Đặt 2sin 2cos x t dx tdt = ¬ =
Khi đó:
( )
2 2 2
2
2 2
6
6 6 6
1 1 3
4 4sin .2cos 2 cos 1 cos 2 sin 2
2 2 3 4
AKC
S t tdt tdt t dt t t
| |
= ÷ = = + = + = ÷
|
\ .
} } }
Vậy
3 3 3
S 3
4 3 4 3
| |
= ÷ ÷ = ÷
|
|
\ .
(
đvdt).
Câu IV
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SBI ABCD
SCI ABCD SI ABCD
SI SBI SCI
¦ ±
¦
± ¬ ±
´
¦
= ·
¹
.
Gọi I là hình chiếu của I lên BC.
Theo định lý 3 đường vuông góc
suy SH BC ± .
Mà ( ) ( ) BC SBC ABCD = · nên
0
60 SHI =
y
A
K C
B O x
I
A
D
C
B
S
E
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
46
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) SBC và (ABCD).
Ta có : ( ) ( )
2
1 1
2 2 3 .
2 2
ABCD
S AD AB CD a a a a = + = + =
2
2 2 2 2
1 1 1 3
3 . . 3
2 2 2 2
IBC ABCD ICD IAB
a
S S S S a IDCD IA AB a a a = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ =
. . .
.
Kẻ CE AB ± , ta có:
2
2
2 2 2 2
3
2.
2 3 3 5
2
5
4
IBC
a
S a a
IH
BC
CE BE a a
= = = =
+ +
.
Trong tam giác SIH vuông tại I, ta có:
0
3 5 3 15
tan 60 . 3
5 5
a a
SI IH = = = .
Do đó :
3
2
1 1 3 15 3 15
. . .3
3 3 5 5
ABCD
a a
V SI S a = = = ( đvtt).
Câu V
+ Rõ ràng: 0 = x là một nghiệm của PT.
+ Với 0;
2
| (
e
(
\ ¸
x ta có:
2
2
4sin
2
=
x
m
x
. Đặt
2
x
t = , 0; 0;
2 4
x t
| ( | (
e ¬ e
( (
\ ¸ \ ¸
Ta có phương trình sau:
2
sin
, t 0;
4
| | | (
= e
|
(
\ . \ ¸
t
m
t
.
Xét hàm số: ( )
2
sin
, t 0;
4
| | | (
= e
|
(
\ . \ ¸
t
f t
t
.
( ) ( )
3
sin 2
1 tan 0 t 0;
4
| (
' = ÷ < ¬ e
(
\ ¸
t
f t t
t
suy ra f(t) nghịch biến trên 0;
4
| (
(
\ ¸
.
( )
0
lim 1
t
f t
+
÷
= .
Phương trình trên có 2 nghiệm thực phân biệt tong đoạn 0;
2
(
·
(
¸ ¸
PT ( ) = f t m có đúng 1
nghiệm thực trong 0;
4
| (
(
\ ¸
.
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được :
2
8
1 m
s < .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
0
÷
t
( ) f t '
( ) f t
4
1
2
8
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
47
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Ta có : A AB AC = · ¬ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
4 14 0 4
2 5 2 0 2
x y x
x y y
+ + = = ÷ ¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ = =
¹ ¹
hay ( ) A 4; 2 ÷
( ) ; 4 14 B AB B b b e ¬ ÷ ÷ ;
2 1
;
5 5
C AC C c c
| |
e ¬ ÷
|
\ .
Vì G là trọng tâm ABC . nên
( )
( )
4 6
3 3; 2
2 1
2 4 14 0 1 1; 0
5 5
b c
b B
b c c C
÷ + + = ÷ ¦
¦ = ÷ ¬ ÷ ÷
¦ ¦
·
´ ´
÷ ÷ + ÷ = = ¬
¦ ¦ ¹
¹
Vậy ( ) A 4; 2 ÷ , ( ) 3; 2 B ÷ ÷ , ( ) 1; 0 C .
2. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Theo công thức độ dài trung tuyến MH của tam
giác MAB ta có:
2
2 2 2
2
2
AB
MA MB MH + = + .
2 2
MA MB + nhỏ nhất MH · nhỏ nhất.
Ta có: ( ) 1;1;1 H cố định. Suy ra MH nhỏ nhất M · là chân của đường vuông góc hạ từ H
đến (P).
Để ý rằng ( ) 1;1;1 OH =
¸¸¸,
là vectơ pháp tuyến của mp (P) và ( ) O P e nên ( ) M O 0; 0; 0 . ÷
Vậy
2 2
MA MB + nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với gốc tọa độ và
( ) ( )
2 2 2 2
142 Min MA MB Min OA OB + = + = .
Câu VII a (1,0 điểm)
Ta có: ( )
4n 1
0 1 2 2 3 3 4n 1 4n 1
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
1 x C C x C x C x ... C x
+
+ +
+ + + + +
+ = + + + + +
Chọn x 1 = ¬
4n 1 0 1 2 3 4n 1
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C ... C
+ +
+ + + + +
= + + + + +
( )
0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
2 C C C C ... C
+ + + + +
= + + + + +
Suy ra
4n
2 =
0 1 2 3 2n
4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1
C C C C ... C
+ + + + +
+ + + + +
Hay
4n 496
2 2 4n 496 n 124. = · = · =
( ) ( ) ( )
124 k k
124 124
124 124 k k
k k 4 4 2 4
124 124
k 0 k 0
3 5 C 3 5 C 3 5
÷
÷
= =
+ = =
¿ ¿
.
Trong khai triển có số hạng hữu tỉ
124 k 2
k 4
0 k 124
÷ ¦
¦
·
´
¦
s s
¹
.
.
k 4 k 4t
0 t 31
0 k 124 0 4t 124
= ¦ ¦
· · ¬ s s
´ ´
s s s s
¹ ¹
.
Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
48
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Giả sử
( ) ( )
2
1 0 0
; A x x P e .Khi đó:
1
B là hình chiếu của
1
A lên Ox nên có tọa độ
là ( )
1 0 1 0
; 0 B x OB x ¬ = .
Phương trình đường thẳng
1 0
: OA y xx = .
Do
2 1
OA OA ± nên phương trình đường thẳng
2
0
1
: OA y x
x
= ÷ .
Tọa độ
2
A là nghiệm của hệ phương trình:
2
2 2
0 0
0
1 1
;
1
y x
A
y x x x
x
¦ =
| |
¦
¬ ÷
´ |
= ÷
\ . ¦
¹
.
2
B là hình chiếu
của
2
A lên Ox nên có tọa độ là
2 2
0 0
1 1
;0 B OB
x x
| |
÷ ¬ =
|
\ .
. Vì thế
1 2
. 1 OA OB = .
2. ( ) S có tâm ( ) 1; 0; 1 I ÷ , bán kính 2 R = .
( ) ( ) 1; 3; 4 , 1; 1; 4 AB AB = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Gọi ( ) là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận ( ) , 8; 8; 4 n AB AC
(
= = ÷
¸ ¸
, ¸¸¸, ¸¸¸,
làm vectơ pháp
tuyến nên có phương trình: ( ) ( ) ( ) 8 1 8 2 4 3 0 2 2 1 0 x y x x y z + ÷ + + + = · ÷ + + = .
( )
( )
2
2 2
2 0 1 1 2
, 2
3
2 2 1
d I R
÷ ÷ +
= = < =
+ ÷ +
( ) ( ) S ¬ · = C.
Ta có:
1
.
3
ABCD D ABC
V h S =
.
nên
ABCD
V lớn nhất
D
h · lớn nhất.
Gọi
1 2
D D là đường kính của ( ) S vuông góc với mặt phẳng ( ) .
Vì D là điểm bất kì thuộc ( ) S nên ( ) ( ) ( ) { }
1 2
, max , , , d D d D d D s .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm
1
D hoặc
2
D .
2
A
1
A
-
-
1
B
2
B
-
O
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
49
1 2
D D qua I nhận vectơ pháp tuyến của ( ) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
tham số:
1 2
1 2
: 2 t
1
x t
D D y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ e
´
¦
= ÷ +
¹
R .
Gọi ( )
0 0 0 1 2
1 2 ; 2 ; 1 D d d d D D + ÷ ÷ + e là điểm cần tìm. Khi đó D là nghiệm của phương
trình: ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0 0 0 0 0 0
2
1 2 4 1 2 1 2 2 1 2 0
3
d d d d d d + + + ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ = · = ± .
Ta có: ( )
0
9 2
,
3
d
d D
+
= . Vì
2
2
9. 2
9. 2
3
3
3 3
| |
÷ +
+ |
\ .
> nên D phải ứng với
0
2
3
d = .
Vậy
7 4 1
; ;
3 3 3
D
| |
÷ ÷
|
\ .
là điểm cần tìm.
Câu VIIb (1,0 điểm)
Ta có: 3 2 os sin ; 1 = 2 os i sin .
6 6 4 4
| |
| | | | | |
+ = + ÷ ÷ + ÷
| | | |
\ . \ . \ . \ .
i c i i c
3 5 5
2 os i sin .
1 12 12
+ | |
¬ = +
|
÷
\ .
i
c
i
Do đó:
2
3 1 5 5
2 os i sin .
1 12 12
| |
+ | |
= +
|
|
|
÷
\ .
\ .
n
n
n n
c
i
Số đó là thực khi và chỉ khi ( )
5 5 5
sin 0 .
12 12 12
= · = · = eZ
n n n
k k k
Số nguyên dương bé nhất cần tìm là: 12 = n .
ĐỀ 8
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3 2
1 8
3
3 3
y x x x = ÷ ÷ + (C).
14. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O ( O là gốc toạ độ).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2
1
1 4sin sin3
2
x x ÷ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
50
2. Giải phương trình :
4 2 2
1 1 2 x x x x ÷ ÷ + + + = .
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
3
0
1 sin cos
dx
I
x x
=
+ +
}
Câu IV (1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác . ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a
và đỉnh A' cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh AA' tạo với đáy góc
0
60 . Tính thể tích khối
lăng trụ.
Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa:
2 2
2 2
3
16
x xy y
y yz z
¦ + + =
¦
´
+ + = ¦
¹
.
Chứng minh rằng: 8 xy yz zx + + s .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 7; 8 P ÷ và hai đường thẳng:
1
: 2 5 3 0, d x y + + =
2
d : 5 2 7 0 x y ÷ ÷ = cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua P và tạo với
1 2
, d d thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng
29
2
.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 4; 5; 6 . H Viết phương trình mặt phẳng (P) qua H,
cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Câu VII a (1,0 điểm) . Tính
n
i với neZ.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol ( )
2
: 64 P y x = và đường thẳng : 4 3 46 0 x y A + + = .
Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến A nhỏ nhất. Tính khoảng cách nhỏ nhất đó.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
( ) ( ) ( ) A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c
Gọi , , lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng
(ABC). Chứng minh rằng:
2 2 2
os os os 1. c c c + + =
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
¦
¹
¦
´
¦
= + ÷ +
= + ÷ + + + ÷ ÷
+ ÷
+ ÷
1 ) 4 ( log ) 5 ( log
6 ) 1 2 ( log ) 2 2 ( log 2
2 1
2
2 1
x y
x x y x xy
y x
y x
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Vì d song song với trục hoành nên phương trình của d là: ( ) 0 y m m = = .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
51
( )
3 2 3 2
1 8
3 3 9 8 3 0 1
3 3
x x x m x x x m ÷ ÷ + = · ÷ ÷ + ÷ =
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân thì phương trình (1)
phải có các nghiệm:
1 1 2
, , x x x ÷ ( với
1 1
, x x ÷ là hoành độ của , B A ).
Khi đó
1 2
, x x là nghiệm của phương trình:
( )( )
2 2 3 2 2 2
1 2 2 1 1 2
0 0 x x x x x x x x x x x ÷ ÷ = · ÷ ÷ + = (2)
Đồng nhất (1) và (2) ta được:
2
2
1
2
1 2
3
9 9.3 8 3
8 3
x
x m
x x m
= ¦
¦
= ¬ = ÷
´
¦
= ÷
¹
hay
19
3
m = ÷ .
Vậy
19
:
3
d y = ÷ .
Câu II
1. Nhận xét: cos 0 x = không phải là nghiệm của phương trình . Do đó, nhân cả hai vế của
phương trình cho cos 0 x = ta được:
( ) ( )
2 2
1 1
cos 4cos sin sin3 cos cos 4cos 1 cos sin3 cos
2 2
x x x x x x x x x x
(
÷ = · ÷ ÷ =
¸ ¸
( )
3
2sin3 4cos 3cos cos 2sin3 cos3 cos sin6 cos x x x x x x x x x · ÷ = · = · =
( )
2
14 7
sin6 sin
2 2
10 5
x k
x x k
x k
= +
| |
· = ÷ · e
|
\ .
= +
¸
Z .
15. Điều kiện:
2
2
1 0
1
1
x
x
x x
¦ ÷ >
¦
· >
´
> ÷
¦
¹
.
Khi đó:
4 2 2 2
1 1 1 x x x x x x + + > + ÷ > + ÷ ( do 1 x > ).
Suy ra:
4 4 4 2 2 2 2
1 1 1 1 x x x x x x x x ÷ ÷ + + + > ÷ ÷ + + ÷
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
4 4 4 4 2 2 2 2
1 1 2 1. 1 2 x x x x x x x x ÷ ÷ + + ÷ > ÷ ÷ + ÷ =
Do đó:
4 2 2
1 1 1 x x x x ÷ ÷ + + + > . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu III
Đặt
2
2
tan
2 1
x dt
t dx
t
= ¬ =
+
1
0 0 ; x =
3 3
x t t
= ¬ = ¬ =
( )
1 1
3 3 1
3
2 0
2 0 0
2 2
2 1
ln 1 ln 1
1 2 1 3
1 1
1 1
dt dt
I t
t t t
t
t t
| |
= = = + = +
|
+ | | ÷
\ .
+ + +
|
+ +
\ .
} }
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
52
Câu IV
Gọi H là hình chiếu của A' lên mp (ABC)
và M là trung điểm của BC.
Do ABC là tam giác đều và
A A A B A C ' ' ' = = nên H là trọng tâm tam
giác ABC.
Ta có:
2 2 3 3
3 3 2 3
a a
AH AM = = = .
Mặt khác AH là hình chiếu của AA' lên
mặt phẳng (ABC) nên
0
60 A AH ' = là góc
hợp bởi cạnh bên AA' và ( ) ABC .
Trong tam giác A HA ' vuông tại H, ta có :
0
3
tan 60 . 3
3
a
A H AH a ' = = = .
2
3
4
ABC
a
S =
.
.
Vậy
2
3
.
3 3
. .
4 4
ABC A B C ABC
a
V A H S a a
' ' '
' = = =
.
.
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
( )
2
2 3 3 3
4 2 2 2 2
x z
xy yz zx y z x y
(
| | | |
+ + = + + +
(
| |
\ . \ .
¸ ¸
( )( )
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
48
2 4 4 2
x z
y x z y x xy y y yz z
( (
| | | |
s + + + + = + + + + =
( (
| |
\ . \ .
( (
¸ ¸ ¸ ¸
( )
2
64 8 xy yz zx xy yz zx ¬ + + s ¬ + + s ( đpcm).
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có:
1 2
A d d = · ¬ toạ độ điểm A là nghiệm
của hệ :
2 5 3 0 1
5 2 7 0 1
x y x
x y y
+ + = = ¦ ¦
·
´ ´
÷ ÷ = = ÷
¹ ¹
hay ( ) 1; 1 A ÷ .
Phương trình các đường phân của góc tạo bởi
1 2
, d d là:
1 2
: 7 3 4 0 , : 3 7 10 0 x y x y A + ÷ = A ÷ ÷ =
Vì d tạo với
1 2
, d d một tam giác vuông cân nên
M
A
B
C
A'
C'
B'
H
d2
d
C
B
A
d1
H
P
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
53
1 1
2 2
3 7 0
7 3 0
d x y C
d x y C
± A ÷ + =
¬
± A + + =
¸ ¸
Mặt khác ( ) 7;8 P d ÷ e nên
1 2
77, C 25 C = = .
Suy ra:
: 3 7 77 0
: 7 3 25 0
d x y
d x y
÷ + =
+ + =
¸
Gọi
1 2
, C B d d d d = · = ·
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên
2
1 1 29
29
2 2 2
ABC
S ABAC AB AB = = = ¬ =
.
.
và 2 58 BC AB = =
Suy ra:
29
2.
2 58
2
2 58
ABC
S
AH
BC
= = =
.
.
Với : 3 7 77 0 d x y ÷ + = , ta có: ( )
( )
( )
2
2
3.1 7. 1 77
87 58
;
2 58
3 7
d A d AH
÷ ÷ +
= = = =
+ ÷
( loại).
Với : 7 3 25 0 d x y + + = , ta có : ( )
( )
2 2
7.1 3. 1 25
29 58
;
2 58
7 3
d A d AH
+ ÷ +
= = = =
+
( thoả).
Vậy : 7 3 25 0 d x y + + = .
2. Giả sử : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0; P Ox A a P Oy B b P Oz C c · = · = · =
Khi đó (P) có phương trình : 1
x y z
a b c
+ + = .
Ta có : ( ) ( )
4 5 6
4;5;6 1 H P
a b c
e · + + =
( ) ( ) ( ) ( ) 4 ;5; 6 , 4;5 ; 6 , 0; ; , ; 0; AH a BH b BC b c AC a c = ÷ = ÷ = ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
. 0 5 6 0
4 6 0
. 0
AH BC b c
b c
BH AC
¦
= ÷ + = ¦ ¦
·
´ ´
÷ + =
= ¹ ¦
¹
¸¸¸, ¸¸¸,
¸¸¸¸,¸¸¸,
Giải hệ phương trình :
77
4 5 6
1
4
77
5 6 0
5
4 6 0
77
6
a
a b c
b c b
b c
c
¦
= ¦
¦
+ + =
¦
¦
¦
¦
÷ + = · =
´ ´
¦ ¦
÷ + =
¦ ¦
=
¹ ¦
¹
.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là : 1
77 77 77
4 5 6
x y z
+ + = .
Câu VIIa
+ Nếu ( ) 4 n k k = eZ thì
( )
4 4
1
k
n k
i i i = = =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
54
+ Nếu ( ) 4 1 n k k = + eZ thì
4
1.
n k
i i i i i = = =
+ Nếu ( ) 4 2 n k k = + eZ thì ( )
4 2
1. 1 1
n k
i i i = = ÷ = ÷
+ Nếu ( ) 4 3 n k k = + eZ thì ( )
4 3
1
n k
i i i i i = = ÷ = ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b
1. Ta có: ( )
2
2
: 64 ;
64
a
A P y x A a
| |
e = ¬
|
\ .
( ) ( )
2
2
2
2 2
4. 3 46
64 1 1
, 48 736 24 160
80 80
4 3
a
a
d A a a a
+ +
A = = + + = + +
+
( )
2 1 160
24 160 2
80 80
a
(
= + + > =
¸ ¸
.
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi 24 0 24 a a + = · = ÷ .
Lúc đó ( ) Mind A, 2 A = khi ( ) 9; 24 A ÷ .
2.
( ) ( ) : 1 0
x y z
P ABC
a b c
÷ + + ÷ = có phương vectơ pháp tuyến
1 1 1
, , n
a b c
| |
=
|
\ .
,
( ) mp OAB có vectơ pháp tuyến ( )
1
0, 0, n OC c = =
¸, ¸¸¸,
( ) mp OBC có vectơ pháp tuyến ( )
2
, 0, 0 n OA a = =
¸¸, ¸¸¸¸,
( ) mp OAC có vectơ pháp tuyến
3
(0, , 0) n OB b = =
¸¸, ¸¸¸,
Gọi , , lần lượt là góc giữa các mặt phẳng ( ) ( ) ( ) , , OAB OBC OCA với ( ) mp ABC .
Do đó:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0
c
a b c
c
c
c
a b c a b c
+ +
= =
+ + + + + +
(1)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0
a
a b c
a
c
a
a b c a b c
+ +
= =
+ + + + + +
(2)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
0 0
os
1 1 1 1 1 1
0 0
b
a b c
b
c
b
a b c a b c
+ +
= =
+ + + + + +
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
2 2 2
os os os 1. c c c + + =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
55
Câu VIIb
Điều kiện:
¹
´
¦
÷ = ÷ >
= < < ÷
1 ; 2
0 , 1 4
y y
x x
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) 1
2 2log 2 2log 1 6
2log 1 2 log 1 6
log 5 log 4 1
log 5 log 4 1
x y
x y
x y
x y
x y
x y
xy x y x x
y x
y x
x y x
y x
y x
÷ +
÷ +
÷ +
÷ +
÷ +
÷ +
¦ ÷ ÷ + + + ÷ + =
¦
´
+ ÷ + =
¦
¹
¦
¦ + + + ÷ =
÷ + + ÷ =
¦ ¦
· ·
´ ´
+ ÷ + =
+ ÷ + =
¦ ¦
¹
¹
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 1 1
1 2 1 2
log 2 log 1 2 log 2 2log 2 1 0
log 5 log 4 1 log 5 log 4 1
x y x x
x y x y
y x y y
y x y x
÷ + ÷ ÷
÷ + ÷ +
¦ ¦ + + ÷ = + ÷ + + =
¦ ¦
· ·
´ ´
+ ÷ + = + ÷ + =
¦ ¦
¹ ¹
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 2
log 2 1 1
log 4 log 4 1 log 5 log 4 1
x
x x
x y
y y x
x x y x
÷
÷ ÷
÷ +
¦ + = = ÷ ÷ ¦
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ ÷ + = + ÷ + =
¦
¦ ¹
¹
2 2
1
1 1
1 1 2
4 4
1 log 1 1 4 3 4 2 0
4 4
x
y x y x
y x y x x
x x
y x x x x x x
x x
÷
= ÷ ÷ = ÷ ÷ ¦ ¦
= ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
· · · · ·
÷ ÷ ´ ´ ´ ´ ´
= = = ÷ ÷ = ÷ ÷ + + =
¹ ¹ ¹ ¦ ¦
+ + ¹ ¹
.
Vậy
2
1
x
y
= ÷ ¦
´
=
¹
là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
ĐỀ 9
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: ( )
3 2
2 3 4 y x mx m x = ÷ + + + có đồ thị ( )
m
C
16. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 1 m = .
2. Cho đường thẳng : 4 d y x = + và điểm ( ) 1; 3 E . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao
cho d cắt ( )
m
C tại ba điểm phân biệt ( ) 0; 4 , , A B C sao cho tam giác EBC có diện tích bằng
4 .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
÷ = .
2. Giải hệ phương trình:
( )
( )( )
( )
2
2
1 4
,
1 2
x y y x y
x y
x y x y
¦ + + + =
¦
e
´
+ + ÷ =
¦
¹
R .
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:
( )
( ) ( )
4
2
ln 9
ln 9 ln 3
x
I dx
x x
÷
=
÷ + +
}
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
56
Câu IV (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng tứ giác đều . ABCD A B C D ' ' ' ' có chiều cao bằng h.
Góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng
( )
0 0
0 90 < < .
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Câu V (1,0 điểm). Giải phương trình:
2 2
2 2 2
3 2 2 2 3 10
3 3 3 4 4 3
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
+ + + + + + + +
+ + + + =
+ + + + + + + + + + + +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ độ các
đỉnh ( ) ( ) 2; 0 , B 3; 0 A và I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I nằm trên đường
thẳng y x = . Xác định toạ độ các điểm C, D.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
:
1 1 2
x y z
d = = và
2
1 1
:
2 1 1
x y z
d
+ ÷
= =
÷
.
Chứng minh
1 2
, d d chéo nhau. Tìm
1 2
, A d B d e e sao cho đường thẳng AB song song với
mặt phẳng ( ) : 0 P x y z ÷ + = và độ dài 2 AB = .
Câu VII a (1,0 điểm)
Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân
biệt khác A, B, C, D. Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 6 n + điểm đã cho là 439.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình đường tròn ( ) C qua ( ) M 2; 4 và tiếp xúc với
hai trục tọa độ.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 1; 0; 1 , 2; 3; 1 , 1; 3;1 A B C ÷ ÷ và
đường thẳng
1 3
:
1 1 2
x y z
d
÷ ÷
= =
÷
. Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích
khối tứ diện ABCD bằng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng A qua trực tâm H
của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải phương trình:
2
0 z z + = .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( )
m
C và d:
( ) ( )
( )
3 2 3 2
2
0
2 3 4 4 2 2 0
2 2 0 *
x
x mx m x x x mx m x
x mx m
=
+ + + + = + · + + + = ·
+ + + =
¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
57
d cắt ( )
m
C tại ba điểm phân biệt ( ) 0; 4 , B,C A · Phương trình (*) có hai nghiệm phân
biệt khác 0
2
1 2
2 0
2
2 0
m m
m m
m
m
¦ s ÷ v > ' ¦ A = ÷ ÷ > ¦
· ·
´ ´
= ÷
+ = ¦ ¹
¹
.
Gọi
1 2
, x x theo thứ tự là hoành độ của các điểm , B C . Do đó
1 2
, x x là hai nghiệm phân biệt
của phương trình (*). Theo định lý Viet, ta có:
1 2
1 2
2
2
x x m
x x m
+ = ÷ ¦
´
= +
¹
.
( )
2
1 1
4 , . 4 2. 4 4 2 32
2 2
EBC
S d E d BC BC BC BC = · = · = · = · =
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 2
4 4 32 2 32 x x x x x x · ÷ + + ÷ + = · ÷ =
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 1 1 2 1 2
16 4 16 4 4 2 16 x x x x x x m m · ÷ = · + ÷ = · ÷ + =
2
2
6 0
3
m
m m
m
= ÷
· ÷ ÷ = ·
=
¸
. So với điều kiện ta đầu ta tìm được 3 m =
Vậy 3 m = là giá trị cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Ta có:
3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
÷ =
cos3 3cos 3sin sin3 2 3 2
cos3 . sin3 .
4 4 8
x x x x
x x
+ ÷ +
· ÷ =
2 2
2cos 3 6cos3 cos 6sin3 sin 2sin 3 2 3 2 x x x x x x · + ÷ + = +
·
( ) ( )
2 2
2 cos 3 sin 3 6 cos3 cos sin3 sin 2 3 2 x x x x x x + + ÷ = +
( )
2
16 2
cos 4
2
16 2
x k
x k
x k
= +
· = · e
= ÷ +
¸
Z .
2. + Với 0 y = ta có:
( )( )
2
2
1 0
1 2 0
x
x x
¦ + =
¦
´
+ ÷ =
¦
¹
( Hệ vô nghiệm).
+ Với 0 y = , ta có :
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2 2
1
2 2
1 4
1 2 1
2 1
x
y x
x y y x y
y
x y x y x
y x
y
¦ +
+ + ÷ =
¦
¦ + + + =
¦ ¦
·
´ ´
+ + ÷ = +
¦ ¦
¹
+ ÷ =
¦
¹
Suy ra:
2
1
, 2
x
y x
y
+
+ ÷ là nghiệm của phương trình:
2
2 1 0 1 t t t ÷ + = · = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
58
Do đó:
2
2 2
1
1
1
2 1 1 2 0
2
3 3 2
2 1 3
5
x
x
x
y
y x x x
x y
y x y x x
y x y x
y
= ¦
¦ = ¦ ´ +
= = ¦ ¦ = + + ÷ = ¦ ¦ ¹
· · · · = ÷
´ ´ ´ ´¸
= ÷ = ÷ = ÷ ¦
¹ ¹ ¦ ¦
+ ÷ = = ÷
´ ¹ ¹
=
¹ ¸
.
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) { }
1; 2 , 2;5 S = ÷ .
Câu III
Đặt 6 x t dx dt = ÷ ¬ = ÷
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 4
4 2
ln 3 ln 3
ln 3 ln 9 ln 3 ln 9
t dt t
I dt
t t t t
+ ÷ +
= =
+ + ÷ + + ÷
} }
( )
( ) ( )
4
2
ln 3
ln 3 ln 9
x
dx
x x
+
=
+ + ÷
}
4
4
2
2
2 2 1 I I I dx x I ¬ = + = = = ¬ =
}
.
Câu IV
Giả sử
**B AD ' = và x là cạnh đáy của hình lăng trụ.
**
Áp dụng định lý Côsin trong A BD ' . ta có:
2 2 2
2 . cos BD A B A D A B A D ' ' ' ' = + ÷
2 2 2
2 2 cos BD A B A B ' ' · = ÷
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 cos 2 2 .2sin
2
x x h x x h
· = + ÷ · = +
( )
2 2
2 0 0
2 sin
2
0 90
cos
h
x
· = < < .
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
3 2
2
2 sin
2
cos
ABCD
h
V AA S x h
' = = = .
Câu V
Đặt
2
2, 1, 1, 1, 1 a b x c x d x x e x = = + = + = + = + .
Phương trình đã cho trở thành:
10
3
a b b c c d d e e a
c d e d e a e a b a b c b c d
+ + + + +
+ + + + =
+ + + + + + + + + +
10
1 1 1 1 1 5
3
a b b c c d d e e a
c d e d e a e a b a b c b c d
+ + + + + | | | | | | | | | |
· + + + + + + + + + = +
| | | | |
+ + + + + + + + + +
\ . \ . \ . \ . \ .
( )
1 1 1 1 1 25
3
a b c d e
c d e d e a e a b a b c b c d
| |
· + + + + + + + + =
|
+ + + + + + + + + +
\ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
25 *
c d e d e a e a b a b c b c d
c d e d e a e a b a b c b c d
| |
· + + + + ×
|
+ + + + + + + + + +
\ .
+ + + + + + + + + + + + + + = (
¸ ¸
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của (*) thì ta được ( ) * 25 VT > .
h
A'
B'
D'
C'
B
C
A
D
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
59
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c d e x = = = = · = .
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có:
1
1
4
IAB ABCD
S S = =
.
.
Mặt khác
( )
2
2
1 1 1
. . 3 2 0 1 2
2 2 2
IAB
S IH AB IH IH IH
A
= = ÷ + = = ¬ =
( ) : ; I d y x I a a e = ¬ , ta có phương trình đường thẳng AB là : 0 y = .
Ta có : ( )
2
2 , 2 2
2
a
IH d I AB a
a
=
= · = · = ·
= ÷
¸
.
+ Nếu 2 a = thì suy ra : ( ) ( ) ( ) 2; 2 , C 2; 4 , 2; 4 I D
+ Nếu 2 a = ÷ thì suy ra : ( ) ( ) ( ) 2; 2 , C 5; 4 , 6; 4 I D ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ .
2.
1
d qua ( ) 0; 0; 0 O nhận ( )
1
1;1; 2 u =
¸,
làm vectơ chỉ phương
2
d qua ( ) 1; 0;1 I ÷ nhận ( )
2
2;1;1 u = ÷
¸¸,
làm vectơ chỉ phương.
Ta tính được
1 2
, 4 0 u u OI
(
= =
¸ ¸
¸, ¸¸, ¸¸,
. Suy ra
1 2
, d d chéo nhau.
( ) ( )
1 2
; ; 2 ; B d 1 2 ; ;1 A d A a a a B b b b e ¬ e ¬ ÷ ÷ +
( ) / / . 0
P
AB P AB n b a ¬ = ¬ = ÷
¸¸¸, ¸¸,
.
Do đó ( ) 1 2 ; ;1 B a a a ÷ + ÷ ÷ và ( ) 1 ; 2 ;1 3 AB a a a = ÷ + ÷ ÷
¸¸¸,
.
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 1 4 1 3 2 AB AB a a a = · = · ÷ + + ÷ =
2
0
7 4 0
4
7
a
a a
a
=
· ÷ = ·
=
¸
.
+ Với 0 a = ta có A O ÷ ( loại)
+ Với
4
7
a = ta được
4 4 8 1 4 3
; ; , B ; ;
7 7 7 7 7 7
A
| | | |
÷
| |
\ . \ .
.
Câu VIIa
Nếu 2 n s thì 6 8 n + s và số tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ 6 n + điểm đó không
vượt quá
3
8
56 439 C = < . Vậy 3 n > .
Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một tổ hợp chập 3 từ 6 n + phần tử. Nhưng trên
cạnh CD có 3 điểm, trên cạnh DA có n điểm nên số tam giác được tạo thành chỉ là
( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3
6 3
6 5 4 1 2
1
6 6
n n
n n n n n n
C C C
+
+ + + ÷ ÷
÷ ÷ = ÷ ÷ .
Theo giả thiết ta có:
( )( )( ) ( )( ) 6 5 4 1 2
439 1 440
6
n n n n n n + + + ÷ ÷ ÷
= + =
2
10
4 140 0
14
n
n n
n
=
· + ÷ = ·
= ÷
¸
. Chọn 10 n = .
I
D
A B
C
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
60
Vậy 10 n = là giá trị cần tìm.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Gọi ( ) I a; b là tâm và R là bán kính của đường tròn ( ) C .
Vì ( ) C tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R a b = = .
( ) C qua điểm ( ) M 2; 4 nên ( ) C nằm ở góc phần tư thứ I
trên mặt phẳng Oxy. Do đó a 0; b 0 > > .
Như vậy R a b = = .
Khi đó, phương trình đường tròn ( ) C có dạng:
( ) ( )
2 2
2
x a y a a ÷ + ÷ = .
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2; 4 2 4 12 20 0
10
a
M C a a a a a
a
=
e ¬ ÷ + ÷ = · ÷ + = ·
=
¸
Kết luận: Phương trình đường tròn ( ) C là:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 4
10 10 100
x y
x y
÷ + ÷ =
÷ + ÷ =
2. Ta có:
1
.
3
ABCD ABC
V S h
A
= trong đó
ABC
S
A
là diện tích tam giác ABC, h là khoảng cách từ
D đến mặt phẳng ( ) ABC .
( ) 1;3; 0 AB =
¸¸¸,
, ( ) 0;3; 2 AC =
¸¸¸,
( ) , 6; 2;3 AB AC
(
¬ = ÷
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
1 7
,
2 2
ABC
S AB AC
A
(
= =
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
Do đó:
3 3 6
.
7
7
2
ABC
V
h
S
A
= = =
Mặt phẳng ( ) ABC qua ( ) 1; 0; 1 A ÷ nhận ( ) , 6; 2;3 AB AC
(
= ÷
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
làm vectơ pháp tuyến nên
có phương trình: ( ) ( ) 6 1 2 3 1 0 6 2 3 3 0 x y z x y z ÷ ÷ + + = · ÷ + ÷ =
Dạng tham số của : 1
3 2
x t
d y t
z t
= ¦
¦
= +
´
¦
= ÷
¹
Do ( ) ;1 ; 3 2 D d D t t t e ¬ + ÷ nên
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
6 2 1 3 3 2 3 2 4 6
,
7 7
6 2 3
t t t t
h d D ABC
÷ + + ÷ ÷ ÷ +
= = = =
+ +
Suy ra: 1 5 t t = ÷ v =
Vậy có hai điểm D và D' thỏa mãn yêu cầu bài toán ( ) ( ) 1; 0; 5 , D 5; 6; 7 D ' ÷ ÷ .
x
y
( ) M 2; 4
-
-
I
O
-
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
61
b) Đường thẳng A đi qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng
(ABC) là giao tuyến của mặt phẳng qua A- vuông góc với đường thẳng BC với mặt phẳng
qua B-vuông góc với đường thẳng AC ( cũng là giao tuyến với mặt phẳng qua C, vuông
góc với đường thẳng AB).
Mặt phẳng qua ( ) 1; 0; 1 A ÷ nhận ( ) 1; 0; 2 BC = ÷
¸¸¸,
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
( ) ( ) 1 2 1 0 2 3 0 x z x z ÷ ÷ + + = · ÷ ÷ = .
Mặt phẳng qua ( ) 2; 3; 1 B ÷ nhận ( ) 0;3; 2 AC =
¸¸¸,
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
( ) ( ) 1 2 1 0 2 3 0 x z x z ÷ ÷ + + = · ÷ ÷ = .
Dễ thấy ( )
0
7;1; 2 M eA
Vectơ chỉ phương của A là: ( )
0 2 2 1 1 0
; ; 6; 2;3
3 2 2 0 0 3
u
| ÷ ÷ |
= = ÷
|
\ .
,
Phương trình tham số của A là:
7 6
1 2
2 3
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷
´
¦
= +
¹
Câu VII b (1,0 điểm)
Đặt z x yi = + . Suy ra:
2 2 2
2 z x y xyi = ÷ + và
2 2
z x y = + .
Phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
0 1
2 0 .
2 0 2
x y x y
x y x y xyi
xy
¦
÷ + + =
¦
÷ + + + = ·
´
=
¦
¹
Các trường hợp sau:
+ 0 x y = = .
+ 0 , y 0 x = = . Khi đó từ (1) ta có:
2 2 2
0 0 1 1. y y y y y y ÷ + = · ÷ + = · = · = ±
+ 0 , y = 0 x = . Khi đó hệ (1) và (2) trở thành:
2
0
1 0
x x
x
¦ + =
¦
´
+ =
¦
¹
( Vô nghiệm).
ĐỀ 10
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
( )
4 2 2
2 1 1 y x m m x m = ÷ ÷ + + ÷ có đồ thị ( )
m
C
17. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 1 m = .
2. Tìm m để đồ thị ( )
m
C có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
62
1. Tìm các nghiệm thực của phương trình:
( )
sin tan 2 3 sin 3 tan 2 3 3 x x x x + ÷ = thỏa
mãn
1
3
1 log 0 x + > .
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1
xy
x y
x y
x y x y
¦
+ + =
¦
+
´
¦
+ = ÷
¹
.
Câu III (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
, 0, 0,
1 sin
x
y y x x
x
= = = =
+
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA (ABC) ± . Từ
A kẻ AD SB ± và AE SC ± . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp
S.ADE?
Câu V (1,0 điểm).
Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn
1 1 1
2011
a b c
+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
2 2 2
P
a b c a b c a b c
= + +
+ + + + + +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 0 , 2; 4 , 1; 4 , 3; 5 A B C D ÷ ÷ . Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng : 3 5 0 x y A ÷ ÷ = sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện
tích bằng nhau.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0 P x y z ÷ + ÷ = và hai đường thẳng
1
1 2 3
:
2 1 3
x y z
d
÷ + ÷
= = ,
2
1 1 2
:
2 3 2
x y z
d
+ ÷ ÷
= = . Viết phương trình đường thẳng A song
song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng
1
d và cắt đường thẳng
2
d tại điểm C
có hoành độ bằng 3.
Câu VII a (1,0 điểm)
Tìm phần thực của số phức ( ) 1 ,
n
z i n = + eN. Trong đó n thỏa mãn :
( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4 n n ÷ + + = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
16 5
x y
E + = và hai điểm ( ) ( ) 5; 1 , 1;1 A B ÷ ÷ ÷ . Tìm
một tọa độ điểm M nằm trên (E) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
63
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) ( )
2 2 2
: 2 2 16 0, : 4 2 6 5 0 P x y z S x y z x y z + ÷ + = + + ÷ + ÷ + = . Điểm M di động trên (S),
điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của MN. Xác định vị trí của , M N .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 0
2log 2 3log 1 4
y xy y x
x y y
¦ ÷ + ÷ + =
¦
´
÷ + + =
¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
( )
3 2
4 4 1 y x m m ' = ÷ ÷ +
m ¬ eR, đồ thị ( )
m
C luôn có ba điểm cực trị.
2
0
0
1
x
y
x m m
=
' = ·
= ± ÷ +
¸
Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là:
2
2
1 3
2 1 2 3
2 4
d m m m
| |
= ÷ + = ÷ + >
|
\ .
.
Dấu “=” xảy ra khi
1
2
m = .
Câu II
1. Ta có:
1
1
3
3
0
1 log 0 0 3
log 1
x
x x
x
> ¦
¦
+ > · · < s
´
> ÷
¦
¹
.
( ) ( ) ( )
sin tan 2 3 sin 3 tan 2 3 3 sin tan 2 3sin 3 tan 2 3 3 0 x x x x x x x x + ÷ = · + ÷ + =
( ) ( ) ( )
( ) sin tan 2 3 3 tan 2 3 0 tan 2 3 sin 3 0 x x x x x · + ÷ + = · + ÷ =
( ) tan 2 3 2
3 6 2
x x k x k k
· = ÷ · = ÷ + · = ÷ + eZ .
Kết hợp với điều kiện 0 3 x < s , ta chọn được 1; 2 k = .
Vậy ta có được các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5
;
3 6
x x
= = .
2. Điều kiện: 0 x y + > .
Ta có: ( ) ( )( )
2
2 2 2 2
2 2
1 2 1 0 1 0
xy xy
x y x y xy x y x y x y
x y x y
+ + = · + ÷ + ÷ = · + ÷ + + + =
+ +
Vì 0 x y + > nên
2 2
0 x y x y + + + > . Do đó: 1 0 1 x y y x + ÷ = · = ÷ . Thay vào phương
trình thứ hai ta được: ( )
2 2
1 0
1 1 2 0
2 3
x y
x x x x
x y
= ¬ =
= ÷ ÷ · + ÷ = ·
= ÷ ¬ =
¸
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
64
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình trên là: ( ) ( ) { }
1; 0 , 2; 3 S = ÷ .
2. + Với 0 y = ta có:
( )( )
2
2
1 0
1 2 0
x
x x
¦ + =
¦
´
+ ÷ =
¦
¹
( Hệ vô nghiệm).
+ Với 0 y = , ta có :
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2 2
1
2 2
1 4
1 2 1
2 1
x
y x
x y y x y
y
x y x y x
y x
y
¦ +
+ + ÷ =
¦
¦ + + + =
¦ ¦
·
´ ´
+ + ÷ = +
¦ ¦
¹
+ ÷ =
¦
¹
Suy ra:
2
1
, 2
x
y x
y
+
+ ÷ là nghiệm của phương trình:
2
2 1 0 1 t t t ÷ + = · = .
Do đó:
2
2 2
1
1
1
2 1 1 2 0
2
3 3 2
2 1 3
5
x
x
x
y
y x x x
x y
y x y x x
y x y x
y
= ¦
¦ = ¦ ´ +
= = ¦ ¦ = + + ÷ = ¦ ¦ ¹
· · · · = ÷
´ ´ ´ ´¸
= ÷ = ÷ = ÷ ¦
¹ ¹ ¦ ¦
+ ÷ = = ÷
´ ¹ ¹
=
¹ ¸
.
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) { }
1; 2 , 2;5 S = ÷ .
Câu III
Nhận xét: | | 0, 0;
1 sin
x
y x
x
= > ¬ e
+
. Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Ta có:
2
2
0 0 0
1
1 sin 2
os
sin os
2 4
2 2
x x x
S dx dx
x x
x x
c
c
= = =
+ | |
| |
÷
+ |
|
\ .
\ .
} } }
.
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:
0 0 0
tan tan 2ln os
4 2 4 2 4
x x
I x x dx c
| | | | | |
= ÷ ÷ ÷ = + ÷ =
| | |
\ . \ . \ .
}
Câu IV
AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC
ABC A vuông tại B nên AB BC ±
Giả thiết cho : SA (ABC) ±
¬ SA BC ± ¬ BC (ABC) ± ¬ AD BC ±
AD là đường cao trong tam giác SAB
¬ AD SB ±
¬ AD (SBC) ±
¬ AD SC ±
Mặt khác : AE SC ± ¬SC (ADE) ±
Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
A
B
C
S
D
E
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
65
2 2 2 2
AS.AB AS.AB a.c
AD
SB
AS AB a c
= = =
+ +
2 2
2 2 2 2 2
AS.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c
+
= = =
+ + +
Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c (a b )
SE AS AE c
a b c
+
= ÷ = ÷
+ +
=
2
2 2 2
c
a b c + +
DE =
2 2
AE AD + =
2 2
2 2 2 2 2
c .b
(a b c ).(a c ) + + +
S =
1
.AD.AE
2
=
2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 c .b ac
. .
2
(a b c ).(a c ) a c + + + +
=
3 3
2 2 2 2 2
1 a.c .b
.
2
(a b c ).(a c ) + + +
Thể tích:
V =
1 1
.SE. .AD.DE
3 2
=
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 c 1 a.c .b
. .
3 2
a b c (a b c ).(a c ) + + + + +
2 4
2 2 2 2 2
1 a.b .c
.
6 (a c )(a b c )
=
+ + +
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( )
2 1 1 1 1
4
4
xy x y
x y x y
| |
s + · s +
|
+
\ .
.
Dấu “=” xảy ra khi x y = .
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 8 2 2 a b c a b a c a b a c a b c
( | | | | | | | |
s + s + + + = + +
| | | | (
+ + + +
\ . \ . \ . \ . ¸ ¸
Tương tự:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
,
2 8 2 2 2 8 2 2 a b c a b c a b c a b c
| | | |
s + + s + +
| |
+ + + +
\ . \ .
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
1 1 1 1 2011
4 4
P
a b c
| |
s + + =
|
\ .
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: ( ) ; 3 5 M M t t eA ¬ ÷ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
66
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
. , . , . , . ,
2 2
MAB MCD
S S AB d M AB CDd M CD AB d M AB CDd M CD
A A
= · = · = .
Đường thẳng AB qua ( ) 1; 0 A , nhận ( ) 3; 4 AB = ÷
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương
trình:
1 0
4 3 4 0
3 4
x y
x y
÷ ÷
= · + ÷ =
÷
.
Đường thẳng CD qua ( ) 1; 4 C ÷ , nhận ( ) 4;1 CD =
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương
trình:
1 4
4 17 0
4 1
x y
x y
+ ÷
= · ÷ + = .
5, 17 AB CD = =
Do đó:
( ) ( ) 4 3 3 5 4 4 3 5 17
5. 17. 13 19 11 37
5 17
t t t t
t t
+ ÷ ÷ ÷ ÷ +
= · ÷ = ÷ +
( )
7 7
; 2
13 19 11 37
3 3
13 19 11 37
9 9; 32
t M
t t
t t
t M
| |
= ¬
÷ = ÷ + |
· · \ .
÷ = ÷
¸
= ÷ ¬ ÷ ÷
¸
.
2. Ta có: ( )
2
3; 7; 6 C d C e ¬ .
Gọi
1
, ,
P d
u n u
A
¸¸, ¸¸, ¸¸,
lần lượt là vecto chỉ phương của A, vecto pháp tuyến của (P), vecto chỉ
phương của
1
d .
Khi đó: ( )
1
, 4; 4; 4
P d
u n u
A
(
= = ÷ ÷
¸ ¸
¸¸, ¸¸, ¸¸,
.
Đường thẳng A qua ( ) 3; 7; 6 C nhận u
A
¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương trình:
( )
3
7
6
x t
y t t
z t
= + ¦
¦
= + e
´
¦
= ÷
¹
R
Câu VIIa
Phương trình: ( ) ( )
4 5
log 3 log 6 4 n n ÷ + + = có nghiệm duy nhất là n = 19 ( vì VT của
phương trình là một hàm số đồng biến nên đồ thì của nó cắt đường thẳng 4 y = tại một
điểm duy nhất).
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
19 19
19 19 19
19 1 1 19 19
1 2 2 os sin 2 os i sin
4 4 4 4 2 2
z i i c i c
| | | | | |
= + = + = + = +
| | |
\ . \ . \ .
=
( )
19
9 9
1 1
2 2 2
2 2
i i
| |
÷ = ÷
|
\ .
. Suy ra:
9
Re 2 512 z = = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Gọi ( ) ( )
2 2
2 2 0 0
0 0 0 0
; 1 5 16 80
16 5
x y
M x y E x y e ¬ + = · + = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
67
Ta có: ( )
0 0
2 3
,
5
x y
d M AB
÷ +
=
( )
0 0
1
. , 2 3
2
MAB
S ABd M AB x y
A
= = ÷ ÷ .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai cặp số
( ) 0 0
1 1
; , 5 ; 4
2 5
x y
| |
÷
|
\ .
ta có:
( )
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5 4 5 5 16 36
2 5 4 5
x y x y
| | | |
÷ s + + =
| |
\ . \ .
0 0 0 0 0 0 0 0
2 6 6 2 6 3 2 9 2 3 9 x y x y x y x y ¬ ÷ s · ÷ s ÷ s · ÷ s ÷ s ¬ ÷ + s .
0
0 0
0
0 0
5 4 8
1 1
3
ax 2 9 9
2 5 5
2 3 9 3
x y
x
m x y
y
x y
¦
¦
= =
¦
¦
¦ ¦
÷ ÷ + = · ·
´ ´
¦ ¦
= ÷
¦ ¦ ÷ + = ¹
¹
.
2. Mặt cầu (S) có tâm ( ) 2; 1; 3 I ÷ và bán kính 3 R = .
( ) ( )
( ) 2.2 2. 1 3 16
, 5
3
d I P d R
+ ÷ ÷ +
= = ¬ > .
Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy min 5 3 2 MN d R = ÷ = ÷ = .
Trong trường hợp này thì M ở vị trí
0
M , N ở vị trí
0
N . Dễ thấy
0
N là hình chiếu vuông
góc của I lên mặt phẳng (P) và
0
M là giao điểm của đoạn thẳng
0
IN với mặt cầu (S).Gọi A
là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) thì
0
N là giao điểm của A và (P).
Đường thẳng A có vecto chỉ phương là ( ) 2; 2; 1
P
u n
A
= = ÷
¸¸, ¸¸,
và qua I nên có phương trình là:
( )
2 2
1 2
3
x t
y t t
z t
= + ¦
¦
= ÷ + e
´
¦
= ÷
¹
R
Tọa độ điểm
0
N ứng với tham số t nghiệm đúng phương trình:
( ) ( ) ( )
5
2 2 2 2 1 2 3 16 0
3
t t t t + + ÷ + ÷ ÷ + = · = ÷ .
Suy ra
0
4 1 14
; ; .
3 3 3
N
| |
÷ ÷
|
\ .
Ta có: ( )
0 0 0
3
0; 3; 4
5
IM IN M = ¬ ÷
¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
Câu VII b
Điều kiện:
2 0
1
x y
y
÷ > ¦
´
> ÷
¹
Với điều kiện đó, hệ phương trình đã cho tương đương với:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
68
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2
2 1 2 log 2 log 1 1
2log 2 3log 1 4 2log 2 3log 1 4
1 7
log 2 1
2
2 4
log 1 2
1 4 3
x y y x y y
x y y x y y
x y
x y x
y
y y
÷ + = ÷ + + = ¦ ¦
¦ ¦
·
´ ´
÷ + + = ÷ + + =
¦ ¦
¹ ¹
¦ ¦
÷ = ÷ ¦
÷ = =
¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´
+ =
¦
¦ ¦ ¹
+ = =
¹ ¹
ĐỀ 11
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2 1
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị ( ) C
18. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
2. Chứng minh đường thẳng : d y x m = ÷ + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3
os os os sin 2 0
2 6 3 2 2 6
x x
c c x c x
| | | | | | | |
÷ + ÷ + ÷ + ÷ =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
.
2. Giải hệ phương trình:
3 2 2 3
6 9 4 0
2
x x y xy y
x y x y
¦
÷ + ÷ =
¦
´
÷ + + =
¦
¹
.
Câu III (1,0 điểm) Cho số thực ln 2 a > .Tính
ln10
3
2
x
x
a
e
J dx
e
=
÷
}
và suy ra
ln 2
lim
a
J
÷
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường
thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng
0
60 . Tam giác ABC vuông tại C, góc
0
BAC 60 = ,
hình chiếu vuông góc của E lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích của tứ diện D.ABC?
Câu V (1,0 điểm).
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + =
+ + + + + +
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c = + + .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
25 16
x y
E + = . Gọi A, B là các điểm trên (E) sao cho
1 2
AF 8 BF + = với
1 2
, F F là các tiêu điểm. Tính
2 1
AF BF + .
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
69
1 2
8 6 10
: ; : 2
2 1 1
4 2
x t
x y z
d d y t
z t
= ¦
+ ÷ ÷ ¦
= = = ÷
´
÷
¦
= ÷ +
¹
Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt
1
d tại A, cắt
2
d tại B. Tính
AB.
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải phương trình: ( )
2
2 2
log 7 log 12 4 0 x x x x + ÷ + ÷ = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số
dương, hai điểm B, C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh ( ) : 3 7 1 AB y x = ÷ . Biết chu vi
của tam giác ABC bằng 18. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C.
2. Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân ABCD với ( ) ( ) ( ) 3; 1; 2 , 1; 5;1 , 2; 3; 3 A B C ÷ ÷ ,
trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm tọa độ điểm D.
Câu VII b (1,0 điểm)
Chứng minh rằng nếu ( )
n
a bi c di + = + thì
( )
2 2 2 2
n
a b c d + = + .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là:
( )
2 2
2 2
2 1
2 4 1 2 0 2 1 2 2
x x
x
x m
x x m x m x x mx x m
= ÷ = ÷ ¦ ¦
+ ¦ ¦
= ÷ + · ·
´ ´
+ + ÷ + ÷ = + = ÷ + ÷ +
¦ ¦
¹ ¹
Vì
( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
2
2 4 2 1 2 3 0
4 4 1 2 12 0
m m
m m m m
¦
÷ + ÷ ÷ + ÷ = ÷ =
¦
´
A = ÷ ÷ ÷ = + > ¬ ¦
¹
nên phương trình ( )
2
4 1 2 0 x m x m + ÷ + ÷ = có hai nghiệm phân biệt khác 2 ÷ . Do đó d
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi
1 2
, x x lần lượt là hoành độ của hai điểm A, B.
Khi đó: ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; A x x m B x x m ÷ + ÷ +
Ta có: ( ) ( )
2 2
2
2 1 1 2 1 2
2 2 4 AB x x x x x x
(
= ÷ = + ÷
¸ ¸
(1)
Hơn nữa
1 2
, x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình ( )
2
4 1 2 0 x m x m + ÷ + ÷ = nên
theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
4
1 2
x x m
x x m
+ = ÷ ¦
´
= ÷
¹
. (2)
Thay (2) vào (1) ta được: ( ) ( )
( )
2
2 2
2 4 4 1 2 2 12 24 2 6 AB m m m AB
(
= ÷ ÷ ÷ = + > ¬ >
¸ ¸
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0 m = .
Vậy min 2 6 AB = khi 0 m = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
70
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
os os2 os3 os4 0
2 6 2 6 2 6 2 6
x x x x
c c c c
| | | | | | | |
÷ + ÷ + ÷ + ÷ =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
.
Đặt
2 6
x
t
= ÷ .
Phương trình trên trở thành:
3 7
cos os2 os3 os4 0 2cos os 2cos os 0
2 2 2 2
t t t t
t c t c t c t c c + + + = · + =
3 7 5
2cos os os 0 4cos cos cos 0
2 2 2 2 2
t t t t t
c c t
| |
· + = · =
|
\ .
7
2 4
os 0
3
2
4
cos 0 2
2 3
7
2 11 4 os 0
2
5 5 15 5
t k x k t
c
t t k x k
t
k k c
t x
= + ¬ = +
=
· = · = + ¬ = +
=
= + ¬ = +
¸
¸
( ) k eZ .
2. Ta có:
( ) ( )
( )
2
3 2 2 3
6 9 4 0 4 0
4
2
2
2 *
x y
x x y xy y x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y
¦ =
¦
¦
÷ + ÷ = ÷ ÷ = ¦ ¦ ¦
=
· · ¸ ´ ´ ´
÷ + + =
÷ + + = ¦ ¦ ¦
¹
¹
÷ + + =
¹
+ Với x y = , thay vào phương trình (*) ta thu được 2 x y = = .
+ Với 4 x y = , thay vào phương trình (*) ta thu được: 32 8 15, 8 2 15 x y = ÷ = ÷ .
Câu III
Đặt
3 3 2
1 1 3
x x x
t e t e t dt e dx = ÷ ¬ = ÷ ¬ = .
Đổi cận:
3
1 ; ln10 3
a
x a t e x t = ¬ = ÷ = ¬ = .
Khi đó:
( )
3
3 3
2 2 2 2 2
2
3
1
1 1
3 3 3
3 4 2
2 2 a
a a
a
e
e e
t dt
I tdt t e
t
÷
÷ ÷
(
= = = = ÷ ÷
(
(
¸ ¸
} }
.
Suy ra
ln 2
3
lim .4 6
2
a
J
÷
= =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
71
Câu IV. Ta có: EG (ABC) ± nên EG là đường cao của chóp
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
EGB ta có:
EG = EBsinB = asin
0
60 =
a 3
2
Áp dụng pytago:
2 2
BG BE EG = ÷ =
a
2
Mà BG =
2
3
BM ¬ BM =
3
2
BG =
3a
4
Áp dung Pytago trong tam giác BMC:
MC = MBsin
0
15 =
3a
4
sin
0
15 , AC = 2MC =
3a
2
sin
0
15 ,
BC = ACtan
0
60 =
3a
2
sin
0
15 3
Thể tích của khối chóp:
V =
3
ABC
1 3
EG.S a .
3 4
A
=
2 0
sin 15 (đvtt)
Câu V
Trước hết ta chứng minh: ( )
3
2 2
2
1
3
a a b
a ab b
÷
>
+ +
.
Thật vậy, ( ) ( )
( )
3 2 2 3 3 2 2
1 3 2 0 a a b a ab b a b a b ab · > ÷ + + · + ÷ ÷ >
( )
( )
( ) ( )( )
2
2 2
0 0 a b a ab b ab a b a b a b · + ÷ + ÷ + > · + ÷ > ( luôn đúng).
Tương tự ta cũng chứng minh được: ( ) ( )
3 3
2 2 2 2
2 2
2 ; 3
3 3
b b c c c a
b bc c c ca a
÷ ÷
> >
+ + + +
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
3
a b c a b c
S
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + > ¬ s
+ + + + + +
.
Vậy max 3 S = khi 1 a b c = = = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Từ phương trình elip, ta có:
1 2
AF AF 2a + = và
1 2
2 BF BF a + =
Suy ra:
1 2 1 2
AF AF 20 BF BF + + + = .
Mà
1 2
AF 8 BF + = . Do đó:
2 1
AF 12 BF + = .
2. ( )
1
8 2 ; 6 ;10 A d A t t t e ¬ ÷ + + ÷ ; ( )
2
; 2 ; 4 2 B d B s s s e ¬ ÷ ÷ +
B
C
A
F
E
D
M
G
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
72
Suy ra: ( ) 2 8; 4; 2 14 AB s t s t s t = ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷
¸¸¸,
.
, AB i
¸¸¸, ,
cùng phương
( )
( )
22 52; 16;32
4 0
2 14 0 18 18; 16;32
t A
s t
s t s B
= ÷ ¬ ÷ ÷ ¦
÷ ÷ ÷ = ¦ ¦
· ·
´ ´
+ ÷ = = ¬ ÷
¹ ¦
¹
Suy ra: phương trình đường thẳng d:
52
16
32
x t
y
z
= ÷ + ¦
¦
= ÷
´
¦
=
¹
và 70 AB = .
Câu VIIa
Điều kiện: 0 x >
Đặt
2
og t l x = . Phương trình đã cho thành: ( )
2
4
7 12 4 0
3
t
t x t x
t x
=
÷ ÷ + ÷ = ·
= ÷
¸
.
+ Với 4 t = , ta có:
2
log 4 16 x x = · = .
+ Với 3 t x = ÷ , ta có:
2
log 3 x x = ÷ . Phương trình này có nghiệm duy nhất 2 x = ( vì vế
trái của phương trình là một hàm đồng biến, vế phải của phương trình là một hàm nghịch
biến).
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Ta có: ( ) Ox 1; 0 B AB B = · ¬ ; ( )
( )
;3 7 1 A AB A a a e ¬ ÷ .
Theo giả thiết, ta suy ra 1 a > .
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC
¬ ( ) ; 0 H a ( ) ( ) ( ) 2 1; 0 2 1 , 8 1 C a BC a AB AC a ¬ ÷ ¬ = ÷ = = ÷
Chu vi tam giác ABC là 18 · 18 AB AC BC + + = 18 18 18 2 a a · ÷ = · = .
Do đó ( )
( )
3; 0 , 2;3 7 C A .
2. Vì ABCD là hình thang cân nên 3 AD BC = = .
Gọi A là đường thẳng qua C và song song với AB
Gọi (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của A và (S).
Đường thẳng A có vecto chỉ phương ( ) 2; 6;3 AB = ÷
¸¸¸,
nên có phương trình:
2 2
3 6
3 3
x t
y t
z t
= ÷ ¦
¦
= +
´
¦
= +
¹
.
Phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 1 2 9 S x y z ÷ + + + + = .
Tọa độ điểm D là nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1
2 1 6 4 3 5 9 49 82 33 0
33
49
t
t t t t t
t
= ÷
÷ ÷ + + + + = · + + = ·
= ÷
¸
+ Với 1 t = thì ( ) 4; 3; 0 D ÷ : không thỏa vì 7 AB CD = = .
+ Với
33
49
t = ÷ thì
164 1 48
; ;
49 49 49
D
5 | |
÷
|
\ .
( thỏa mãn).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
73
Câu VIIb
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2
n
n n n
a bi c di a bi c di a bi c di a b c d + = + ¬ + = + ¬ + = + ¬ + = + .
ĐỀ 12
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
÷
=
+
có đồ thị ( ) C
19. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
2. Gọi M là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm I có hoành độ
dương sao cho tiếp tuyến tại I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn:
2 2
40 MA MB + = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2 sin 2 3sin cos 2
4
x x x
| |
+ = + +
|
\ .
.
2. Giải hệ phương trình:
( ) 2 32
2 2 2 2
log 5log 2
1 3
x y x y
x y x y
¦
+ = ÷ +
¦
´
¦
+ + ÷ ÷ =
¹
.
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x
=
+
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED
bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu V (1,0 điểm).
Cho , x y là hai số thực thỏa mãn
2 2
2 x xy y ÷ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 2
2 3 M x xy y = + ÷ .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( )
2 2
1
: 13 C x y + = và
( ) ( )
2
2
2
: 6 25 C x y ÷ + = . Gọi A là giao điểm của ( )
1
C và ( )
2
C với 0
A
y > . Viết phương
trình đường thẳng d đi qua A và cắt ( ) ( )
1 2
, C C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )
2 2 2
: 2 4 6 11 0 S x y z x y z + + ÷ + ÷ ÷ = và mặt
phẳng ( ) : 2 2 17 0 x y z + ÷ + = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) và
cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6 .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
74
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho
1 2
, z z là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0 z z ÷ + = . Tính giá trị của biểu
thức
( )
2 2
1 2
2012
1 2
z z
M
z z
+
=
+
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng
1 2
: 1 0, : 2 1 0 d x y d x y + + = ÷ ÷ = . Lập
phương trình đường thẳng d đi qua ( ) 1;1 M và cắt
1 2
, d d tương ứng tại A, B sao cho
2 0 MA MB + =
¸¸¸, ¸¸¸, ,
.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng
1
:
1 1 2
x y z ÷
A = =
÷ ÷
và
tạo với mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 x y z ÷ ÷ + = góc
0
60 . Tìm tọa độ giao điểm M của mặt
phẳng ( ) với trục Oz.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 1
,
1
x y x y
x y
e e x
x y
e x y
÷ +
+
¦
+ = +
¦
e
´
= ÷ + ¦
¹
R .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có: 1 x = ÷ (TCĐ), 2 y = (TCN). M là giao điểm hai tiệm cận nên ( ) 1; 2 M ÷ .
Gọi ( )
0
0
0
2 1
;
1
x
I x C
x
| | ÷
e
|
+
\ .
,
0
0 x > .
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại I là:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 1 3
1
1
x
y x x
x
x
÷
= ÷ +
+
+
.
Tiếp tuyến cắt TCĐ tại
0
0
2 4
1;
1
x
A
x
| | ÷
÷
|
+
\ .
, cắt TCN tại ( )
0
2 1; 2 B x + .
( )
( ) ( ) ( )
2 4 2
2 2
0 0 0
2
0
36
40 4 1 40 4 1 40 1 36 0
1
MA MB x x x
x
+ = · + + = · + ÷ + + =
+
( ) ( )
( )
( )
2
0 4 2 0
0 0
2
0
0
1 1 1 1
1 10 1 9 0
1 3
1 9
x x
x x
x
x
+ = + =
· + ÷ + + = · ·
+ =
+ =
¸
¸
.
Vì
0
0 x > nên chọn được
0 0
2 1 x y = ¬ = .
Vậy ( ) 2;1 I thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
75
2
sin 2 os2 3sin cos 2 2sin cos 2cos 1 3sin cos 2 x c x x x x x x x x + = + + · + ÷ = + +
( ) ( ) ( )
2
2sin cos 2cos 3sin cos 3 0 2cos sin cos 3 sin cos 2cos 3 0 x x x x x x x x x x x · + ÷ ÷ ÷ = · + ÷ + + ÷ =
( )( ) ( ) ( )( ) sin cos 2cos 3 2cos 3 0 sin cos 1 2cos 3 0 x x x x x x x · + ÷ + ÷ = · + + ÷ =
1
sin cos 1 2 sin 1 sin sin
4 4 4 2
x x x x
| | | | | |
· + = ÷ · + = ÷ · + = ÷ = ÷
| | |
\ . \ . \ .
( )
2
2
4 4
2
5
2 2
4 4
x k
x k
k
x k x k
+ = ÷ +
= ÷ +
· · e
= + + = +
¸
¸
Z .
2. Ta có:
( ) ( )
( )
2
3 2 2 3
6 9 4 0 4 0
4
2
2
2 *
x y
x x y xy y x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y
¦ =
¦
¦
÷ + ÷ = ÷ ÷ = ¦ ¦ ¦
=
· · ¸ ´ ´ ´
÷ + + =
÷ + + = ¦ ¦ ¦
¹
¹
÷ + + =
¹
+ Với x y = , thay vào phương trình (*) ta thu được 2 x y = = .
+ Với 4 x y = , thay vào phương trình (*) ta thu được: 32 8 15, 8 2 15 x y = ÷ = ÷ .
2. Điều kiện: 0, 0 x y x y ÷ > + > .
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y
¦
+ = + ÷
¦
´
+ + ÷ ÷ = ¦
¹
Đặt ; a x y b x y = + = ÷ 0, 0 a b > > . Suy ra:
2 2 2 2
,
2 2
a b a b
x y
+ ÷
= =
Hệ phương trình đã cho thành:
2 2
2 2 2 2
4 4
2
2
1
2 2 4 3
1 3
2
2 2
a b
a b
a b a b
a b ab
ab
= + ¦
= + ¦
¦
¦ ¦
·
´ ´ | | | |
+ ÷
+ + ÷ =
+ + ÷ =
| | ¦ ¦
¹
\ . \ . ¦
¹
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 4
2 2 4 2 6 2 2 4 2 6
a b
a b ab
a b a b ab a b a b ab
¦ ÷ = ¦ + = +
¦ ¦
· ·
´ ´
(
(
+ ÷ + ÷ = + ÷ + ÷ =
¦ ¦
(
(
¸ ¸
¸ ¸ ¹
¹
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 4
2 4
2 2 4 2 4 2 6
4 32 36 2 6
a b ab
a b ab
ab a b ab
a b ab ab
¦
+ = +
¦
+ = +
¦ ¦
· ·
´ ´
(
+ ÷ + ÷ =
÷ + ÷ = ¦ ¦
¹
¸ ¸
¹
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 4
2 4
2 4
0
8 9 6 9
8 9 3
a b ab
a b ab
a b ab
ab
a b ab a b ab
a b ab ab
¦
¦ + = + ¦ + = +
+ = + ¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´
= ¦ ÷ + = + + ¦ ÷ + = + ¹ ¦ ¹
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
76
( )
2
2 2
2 0
4 2 4
0 2
0
0
a b a
a b a b ab
ab b
ab
ab
¦
¦ + = = ¦ ¦ + = + ÷ = ¦ ¦
· · · ·
´ ´ ´ ´
= =
= ¦ = ¹ ¹ ¦ ¹
¹
( do 0, 0 a b > > ).
Do đó:
0 0 2
4 2
2
x y x y x
x y y
x y
¦
+ = + = = ¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ = = ÷
÷ = ¹ ¹
¦
¹
.
Câu III
Ta có:
3
3 2
2
3
2 2 2
1 1 1
ln
log 1 ln ln ln 2
ln 2
1 3ln 1 3ln 1 3ln
e e e
x
x x
I dx dx dx
x
x x x x x
| |
|
\ .
= = =
+ + +
} } }
.
Đặt
2 2 2
ln ln 1
1 3ln 1 3ln 3
3
x x
t x t x tdt dx dx tdt
x x
= + ¬ = + ¬ = ¬ = .
Đổi cận: 1 1 ; 2 x t x e t = ¬ = = ¬ = .
Khi đó:
( )
2
2
2 2 3
2
3 3 3 3
1 1
1
1
1 1 1 1 4
3
1 .
3 3 ln 2 9ln 2 9ln 2 27ln 2
t
t
I tdt t dt t
t
÷
| |
= = ÷ = ÷ =
|
\ .
} }
Câu IV
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên
ED¬ AK ED ± , AB// EF (EFD) e do đó AB
// (EFD)
¬ d(A,EFD) = d(AB,ED)
Mà EF ±(EFDA) nên EF ±AK
¬ AB AK ±
¬ AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2
Đặt EK = x ( 0 s x s 5 ). Trong tam giác
vuông AED ta có: AK
2
= KE.KD
hay 4 = x(5-x) · x
2
- 5x + 4 = 0 ·
x 1
x 4
=
=
¸
Với x = 4 ta có AE =
2 2
AK KE 5 + = ¬ V = AE.
ABCD
S = 5 ( đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2 5 ¬ V = 10 5 ( đvtt)
Câu V
Nếu 0 y = thì
2
2 M x = = .
Nếu 0 y = thì đặt
x
t
y
= , ta được:
A
B
C
E
F
G
H
K
D
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
77
2
2 2 2
2 2 2 2
2 3
2 3 2 3
2. 2 2
1
1
x x
y y x xy y t t
M
x xy y t t
x x
y y
| | | |
+ ÷
| |
+ ÷ + ÷
\ . \ .
= = =
÷ + ÷ +
| | | |
÷ +
| |
\ . \ .
.
Cách 1: Xét phương trình: ( ) ( )
2
2
2
2 3
1 2 3 0
1
t t
m m t m t m
t t
+ ÷
= · ÷ ÷ + + + =
÷ +
. Phương trình
này có nghiệm 1 m · = hoặc ( ) ( )( )
2
2 4 1 3 0 m m m A = + ÷ ÷ + >
( ) ( )
2 13 1 2 13 1
3 3
m
+ ÷
· ÷ s s .
Hay
( ) ( )
4 13 1 4 13 1
3 3
M
+ +
÷ s s
Vậy
( ) ( )
4 13 1 4 13 1
max , min
3 3
M M
÷ +
= = ÷ .
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2
2 3
1
t t
f t
t t
+ ÷
=
÷ +
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. ( )
1
C có tâm O( ) 0; 0 , bán kính
1
13 R =
( )
2
C có tâm I ( ) 6; 0 , bán kính
2
5 R =
Đường thẳng d đi qua ( ) 2; 3 A nhận ( ) ; n a b =
,
làm vecto pháp tuyến nên có phương trình
( ) ( ) 2 3 0 2 3 0 a x b y ax by a b ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ =
( )
2 2
0 a b + >
Gọi ( ) ( )
1 2
, ; , d d O d d I d = = . Theo giả thiết ta suy ra:
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1
12 R d R d d d ÷ = ÷ · ÷ =
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
0 4 3 2 3
12 3 0
3
b a b a b
b ab
b a a b a b
= ÷ ÷ ÷
· ÷ = · + = ·
= ÷ + +
¸
.
+ Với 0 b = chọn 1 a = . Ta có phương trình đường thẳng d: 2 0 x ÷ = .
+ Với 3 b a = ÷ , chọn 1 3 a b = ¬ = ÷ . Ta có phương trình đường thẳng d: 3 7 0 x y ÷ + = .
2. Do ( ) ( ) / / nên ( ) ( ) : 2 2 0 17 x y z D D + ÷ + = = .
Mặt cầu (S) có tâm ( ) 1; 2; 3 I ÷ , bán kính 5 R = .
Đường tròn có chu vi là 6 nên bán kính của đường tròn này là 3 r = .
Ta có: ( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2.1 2. 2 3 7
, 4 5 12
17
2 2 1
D D
d I R r D
D
+ ÷ ÷ + = ÷
= ÷ · = · ÷ = ·
=
¸
+ + ÷
A
O
I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
78
Nhận giá trị 7 D = ÷ . Vậy ( ) có phương trình là: 2 2 7 0 x y z + ÷ ÷ = .
Câu VIIa
Giải phương trình:
2
2 4 11 0 z z ÷ + = ta được các nghiệm:
1 2
3 2 3 2
1 ; 1
2 2
z i z i = ÷ = + .
Suy ra:
1 2
22
2
z z = = ,
1 2
2 z z + = .
Do đó:
2012 2012
11 11
11
2 2
2 2
M
+
= = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Ta có: ( ) ( )
1 2
; 1 , ; 2 1 A d A a a B d B b b e ¬ ÷ ÷ e ¬ ÷ .
Khi đó: ( ) ( ) 1; 2 , 1; 2 2 MA a a MB b b = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Ta có:
( )
( )
0 0; 1
2 2 1 0
2 0
2 4 2 2 0 3 3;5
a A
a b
MA MB
a b b B
= ¬ ÷ ¦
÷ + ÷ = ¦ ¦
+ = · ·
´ ´
÷ ÷ + ÷ = = ¬
¹ ¦
¹
¸¸¸, ¸¸¸, ,
Đường thẳng d qua ( ) 0; 1 A ÷ nhận ( ) 3; 6 AB =
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương trình
là:
0 1
2 1 0
3 6
x y
x y
÷ +
= · ÷ ÷ = .
2. Đường thẳng A đi qua điểm ( ) 1; 0; 0 A và có vecto chỉ phương ( ) 1; 1; 2 u = ÷ ÷
,
.
Mặt phẳng ( ) có vecto pháp tuyến là ( ) 2; 2; 1 n = ÷ ÷
,
.
Giao điểm ( ) 0; 0; M m cho ra ( ) 1; 0; AM m = ÷
¸¸¸¸,
.
Mặt phẳng ( ) có vecto pháp tuyến là: ( ) ; ; 2;1 n AM u m m
(
= = ÷
¸ ¸
, ¸¸¸¸, ,
.
( )
( ) ( ) ( )
0
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 1.1
1 1
os60
2
2 4 5
2 2 1 . 2 1
m m
c
m m
m m
÷ ÷ ÷
= · =
÷ +
+ ÷ + ÷ + ÷ +
2 2
2 2
2 4 5 2 2 4 1 0
2 2
m
m m m m
m
= ÷
· ÷ + = · ÷ + = ·
= +
¸
.
Vậy tọa độ các điểm M cần tìm là:
( )
0; 0; 2 2 M ÷ ,
( )
0; 0; 2 2 M +
Câu VIIb
Hệ phương trình đã cho tương đương
với:
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1
1 2
x y x y x y
x y x y x y x y x y
e x y e x y e x y
e e x y x y e x y e x y e x y
÷ ÷ ÷
+ ÷ + + ÷
¦ ¦ ¦ = + + = + + = + +
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ = ÷ ÷ + = ÷ + + + = + ÷ ¦ ¦ ¦ ¹ ¹ ¹
Xét hàm số: ( )
t
f t e t = +
( ) ( ) 1 0
t
f t e t f t ' = + > ¬ e ¬ R đồng biến trên R.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
79
Theo phương trình (2) thì ( ) ( ) f x y f x y + = ÷ .
Do đó: 0 x y x y y + = ÷ · = .
Thay 0 y = vào phương trình (1) ta được: 1
x
e x = + .
Xét hàm số: ( ) 1
x
g x e x = ÷ ÷ ; ( ) 1
x
g x e ' = ÷ ; ( ) 0 1 0 0
x
g x e x ' = · ÷ = · = .
Dựa bào bảng biến thiên của hàm ( ) g x ta có ( ) 0 0 f x x = · = .
ĐỀ 13
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3 2
3 1 y x x = ÷ + có đồ thị ( ) C
20. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị ( ) C sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song
với nhau đồng thời 4 2 AB = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: cot 2cot 2 tan 3 3 x x x + + + = .
2. Giải hệ phương trình:
2012 2012 2011 2011
2 x y
x y x y
+ = ¦
¦
´
+ = +
¦
¹
.
Câu III (1,0 điểm).
Cho hàm số: ( )
( )
3
1
x
a
f x bxe
x
= +
+
. Tìm a, b biết ( ) 0 22 f ' = và ( )
1
0
5 f x dx =
}
Câu IV (1,0 điểm).
Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt
phẳng (DBC) một góc
0
30 . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
đó?
Câu V (1,0 điểm).
Cho hai số thực | | , 2011; 2012 x y e . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( )
( )
2 2
2
x y x y
A
xy
+ +
= .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
80
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 2 4 2 0 C x y x y + ÷ + + = . Viết
phương trình đường tròn ( ) C' tâm ( ) 5;1 M biết ( ) C' cắt ( ) C tại hai điểm , A B sao cho
3 AB = .
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 2;1; 4 M và đương thẳng
1 2 1
:
1 1 2
x y x
d
÷ ÷ ÷
= = .
Tìm điểm H thuộc d sao cho
33
2
HMO
S
A
= biết 4
H
x > ÷ .
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho
2013
1
1
i
z
i
+ | |
=
|
÷
\ .
. Chứng minh rằng:
1 2 3 *
0,
k k k k
z z z z k
+ + +
+ + + = eN .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 6; 3 , 4; 3 , 9; 2 A B C ÷ ÷ ÷ . Tìm điểm
D thuộc đường phân giác trong l của góc A để tứ giác ABDC là hình thang.
2. Trong không gian Oxyz, cho họ đường thẳng
1
: , 0, 1
1 1
m
x y z
d m m
m m
÷
= = = =
÷ ÷
.
Chứng minh rằng:
m
d nằm trong một mặt phẳng cố định khi m thay đổi.
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm m để hệ phương trình:
2
2 2
2
1
x
x x y m
x y
¦
+ = + +
¦
´
+ = ¦
¹
có nghiệm duy nhất.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Giả sử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2
; 3 1 , ; 3 1 A a a a C B b b b C a b ÷ + e ÷ + e = .
Vì tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 6 3 6 2 2 2 0 y a y b a a b b a a b b a b a b ' ' = · ÷ = ÷ · ÷ = ÷ · ÷ ÷ ÷ =
( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 a b a b a b a b a b a b · + ÷ ÷ ÷ = · ÷ + ÷ = · + ÷ = ( vì a b = ).
Mặt khác: ( ) ( )
2
2
2 3 2 3 2
3 3 AB b a b b a a = ÷ + ÷ ÷ + (*)
Thay 2 b a = ÷ vào (*) ta được:
( ) ( ) ( )
2
2 3 2
2 3 2
2 2 2 3 2 3 AB a a a a a
(
= ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ +
¸ ¸
= ( ) ( )
2
2
2 3 2 3 2
4 1 8 12 6 12 12 3 3 a a a a a a a a ÷ + ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ +
= ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3 2 3 2
4 1 2 6 4 4 1 4 3 2 a a a a a a ÷ + ÷ + ÷ = ÷ + ÷ ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
81
= ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
4 1 4 1 2 2 a a a a ÷ + ÷ ÷ ÷ = ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
4 1 4 1 1 3 a a a
(
÷ + ÷ ÷ ÷
¸ ¸
= ( ) ( ) ( ) ( )
2 6 4 2
4 1 4 1 24 1 36 1 a a a a ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷
= ( ) ( ) ( )
6 4 2
4 1 24 1 40 1 a a a ÷ ÷ ÷ + ÷
Mà 4 2 AB = nên ( ) ( ) ( )
6 4 2
4 1 24 1 40 1 32 a a a ÷ ÷ ÷ + ÷ =
( ) ( ) ( )
6 4 2
1 6 1 10 1 8 0 a a a · ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ =
Đặt ( )
2
1 t a = ÷ . Do 2 1 a b a a a = · = ÷ · = nên 0 t > .
Phương trình trên trở thành: ( ) ( )
3 2 2
6 10 8 0 4 2 2 0 4 t t t t t t t ÷ + ÷ = · ÷ ÷ + = · = .
Với 4 t = ta có: ( )
2
2
1 3
1 4 2 3 0
3 1
a b
a a a
a b
= ÷ ¬ =
÷ = · ÷ ÷ = ·
= ¬ = ÷
¸
.
Vậy ( ) ( ) 3;1 , 1; 3 A B ÷ ÷ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Ta có:
2 2
os2 os sin
2cot 2 2 2 cot tan
sin 2 2sin cos
c x c x x
x x x
x x x
÷
= = = ÷ .
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
2
3 cot 0
cot 3
cot 3 3 cot
cot 1 cot 3 3 cot
x
x
x x
x x x
÷ > ¦
s ¦ ¦
+ = ÷ · ·
´ ´
= + = ÷
¹ ¦
¹
.
( ) cot 1
4
x x k k
· = · = + eZ
2. Hệ phương trình tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2012 2012 2011 2011 2012 2012 2011 2011
2 2
2 2 2
x y x y
x y x y x y x y x y
+ = + = ¦ ¦
¦ ¦
·
´ ´
+ = + + = + +
¦ ¦
¹ ¹
2012 2012 2012 2011 2011 2012 2012 2012 2011 2011
2 2
2 2
x y x y
x y x xy x y y x y x y xy
+ = + = ¦ ¦
· ·
´ ´
+ = + + + + = +
¹ ¹
( ) ( ) ( )( )
2011 2011 2011 2011
2
2
2
1
0 0 0
x y
x y
x y
x y
x y x y x y x x y y x y
+ = ¦ + = ¦ + = ¦ ¦ ¦
· · · · = =
´ ´ ´
÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ =
¦ ¹ ¦ ¹
¹
Câu III
TXĐ: { } \ 1 D = ÷ R .
Ta có: ( )
( )
( ) ( )
4
3
1 0 3
1
x
a
f x be x f b a
x
' ' = ÷ + + ¬ = ÷
+
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 1 1 1 1
3
2
0 0 0 0 0
0
3
1 1
8
2 1
x x x
a a
f x dx a x d x b xe dx xe dx b xd e
x
÷
= + + + = ÷ + = +
+
} } } } }
3
8
a
b = + .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
82
Do đó có hệ phương trình
3 22 8
3 8 40 2
a b a
a b b
÷ = = ¦ ¦
·
´ ´
+ = =
¹ ¹
.
Câu IV
Đặt CK = x, DK vuong góc với
BC nên
DKA =
0
30
Xét tam giác ADK có:
cos
0
30 =
AK
DK
¬ AK = x 3 ,
DK = 2x
Diện tích tam giác BCD:
S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2
¬ AD = AK.tan
0
30 = x 3 .
3
3
= 2
Thể tích khối lăng trụ:
V =
1
3
AD.CK.AK =
8
3
(đvtt)
Câu V
+ Nếu 2011 2012 x y s s s thì
2011
1
2012
t s s với
a
t
b
= . Khi đó A có dạng
( ) ( )
1
1 A t t t
t
| |
= + +
|
\ .
. Bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
2
1 2011
1, ;1
2012
A t t t t
t
(
= + + + e
(
¸ ¸
( ) ( )
3 2
2 2
1 2 1 2011
2 1 0 ;1
2012
t t
A t t t A t
t t
+ ÷ (
' = + ÷ = > ¬ e ¬
(
¸ ¸
đồng biến trên
2011
;1
2012
(
(
¸ ¸
Suy ra:
( )
2 2
2
4023 2011 2012
min
2011.2012
A
+
= đạt được khi
2011
2012
x
t
y
= = . Kết hợp với điều kiện
đang xét ta suy ra: 2011, 2012 x y = = .
+ Nếu 2011 2012 y x s s s thì lập luận tương tự như trên ta tìm được min 4 A = khi x y = .
Qua hai trường hợp trên ta thu được:
( )
2 2
2
4023 2011 2012
min
2011.2012
A
+
= khi 2011, 2012 x y = = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1; 2 I ÷ , bán kính 3 R = .
A
B
C
D
E
F
K
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
83
Đường tròn ( ) C' tâm M cắt đường tròn ( ) C tại , A B nên AB IM ± tại trung điểm H của
đoạn . AB Khi đó:
3
2 2
AB
AH = = .
Để ý rằng hai vị trí của đoạn AB là AB và A B ' ' chúng có cùng độ dài là 3 . Các trung
điểm H và H' đối xứng nhau qua tâm I và cùng nằm trên đường thẳng IM .
Ta có:
2
2 2
3 3
3
2 2
IH IH IA AH
| |
' = = ÷ = ÷ =
|
|
\ .
Suy ra:
2 2 2
MA AH MH = + .
Mà ( ) ( )
2 2
5 1 1 2 5 MI = ÷ + + =
nên
3 7
5
2 2
MH MI IH = ÷ = ÷ = ;
3 13
5
2 2
MH MI IH ' ' = + = + =
Do đó:
2 2 2
3 49
13
4 4
MA AH MH = + = + =
2 2 2
3 169
43
4 4
MA A H MH ' ' ' = + = + = .
Vậy phương trình đường tròn ( ) C' thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
( ) ( )
2 2
5 1 13 x y ÷ + ÷ = ; ( ) ( )
2 2
5 1 43 x y ÷ + ÷ =
2. Ta có: ( ) 2;1; 4 OM =
¸¸¸¸,
, ( ) 1; 2; 2 1 OH t t t = + + +
¸¸¸,
( do H thuộc d).
( )
2
; 2 7; 2; 3 ; 5 34 29 OM OH t t OM OH t t
( (
¬ = ÷ ÷ + ¬ = + +
¸ ¸ ¸ ¸
¸¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸,
Khi đó:
2
2
33 5 34 62 33
5 34 62 33
2 2 2
HMO
t t
S t t
A
+ +
= · = · + + =
2
1
5 34 29 0
29
5
t
t t
t
= ÷
· + + = ·
= ÷
¸
.
Do 4
H
x > ÷ nên 1 4 5 t t + > ÷ · > ÷ . Do đó chọn ( ) 1 0;1; 1 t H = ÷ ¬ ÷ .
Câu VIIa
Ta có:
( ) ( )
( )( )
2
2013
2
1 1 1 2 1
1 1 1 1
i i i i i
i z i i
i i i i
+ + + + +
= = = ¬ = =
÷ ÷ + ÷
.
Do đó:
( )
( )
1 2 3 1 2 3 2 3
1 1 1 0
k k k k k k k k k k
z z z z i i i i i i i i i i i
+ + + + + +
+ + + = + + + = + + + = + ÷ ÷ = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Dễ dàng lập được phương trình đường thẳng AB, AC tương ứng như sau:
3 15 0; 3 3 0 x y x y ÷ + = ÷ ÷ =
Phương trình hai đường phân giác của góc A là:
1
2
: 9 0
3 15 3 3
: 3 0 10 10
l x y
x y x y
l x y
+ + = ÷ + ÷ ÷
= ± ·
÷ + =
¸
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
84
Xét
1
: 9 0 l x y + + = có: ( )( ) 9 9 160 0 ,
B B C C
x y x y B C + + + + = > ¬ ở cùng phía với
1
l . Do
đó
1
l là phân giác ngoài của góc A.
Vậy phương trình đường phân giác trong l của góc A là: 3 0 x y ÷ + = .
Ta có: ( ) ; 3 D l D d d e ¬ + .
( ) ( ) ( ) ( ) 2;6 , 15;5 , 4; , 9; 1 AB AC BD d d CD d d = = = + = ÷ +
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
Để ABDC là hình thang, ta xét hai trường hợp sau đây:
* ( )
9 1
/ / / / 14 14; 7
1 3
d d
AB CD AB CD d D
÷ +
· · = · = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
.
* ( )
4
/ / / / 2 2;5
3 1
d d
AC BD AC BD d D
+
· · = · = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
.
2. Gọi ( ) là một mặt phẳng cố định chứa
m
d .
m
d đi qua ( ) 0; 0;1 M , nhận ( ) ;1 ; 1 u m m = ÷ ÷
,
làm vecto chỉ phương.
Gọi ( ) ; ; n a b c =
,
là vecto pháp tuyến của ( ) ,
2 2 2
0 a b c + + > .
Do ( )
m
d c nên ( ) ( ) . 0 1 0 0 nu m ma m b c m a b m b c m = ¬ · + ÷ ÷ = ¬ · ÷ + ÷ = ¬
, ,
0
0
a b
a b c
b c
÷ = ¦
· · = =
´
÷ =
¹
. Khi đó chọn ( ) 1;1;1 n =
,
.
( ) qua ( ) 0; 0;1 M , nhận ( ) 1;1;1 n =
,
làm vecto pháp tuyến nên có phương trình là:
( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 x y z x y z ÷ + ÷ + ÷ = · + + ÷ = .
Câu VIIb
* Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất ( )
0 0
; x y . Khi đó ( )
0 0
; x y ÷ cũng là
nghiệm của hệ này. Do hệ có nghiệm duy nhất nên
0 0 0
0 x x x ÷ = · = . Thay vào hệ phương
trình ban đầu ta được:
0
2
0
1 0
1 1
y m m
m y
= + ¦ = ¦
¬
´
= =
¦ ¸
¹
.
* Điều kiện đủ:
+ Nếu 2 m = thì hệ phương trình thành:
2
2 2
2 2
1
x
x x y
x y
¦
+ = + +
¦
´
+ = ¦
¹
. Dễ thấy hệ này có ít
nhất hai nghiệm ( ) ( ) 1;0 , 1; 0 ÷ nên loại trường hợp này.
+ Nếu 0 m = thì hệ phương trình thành:
2
2 2
2
1
x
x x y
x y
¦
+ = +
¦
´
+ = ¦
¹
.
Từ
2 2
1 x y + = ¬ 1, 1 x y s s ¬
2
, 2
x
x x y > > .
Do đó:
2
2
2 2
2 2
2 0
2
1
1
1
x
x
x x
x x y x
y
y
x y
x y
¦ =
¦ ¦
+ = + = ¦ ¦ ¦
· = ·
´ ´ ´
=
+ = ¹ ¦ ¦ ¹
+ =
¦
¹
.
Vậy với 0 m = thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
85
ĐỀ 14
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2
1
x
y
x
=
÷
có đồ thị ( ) C
21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
2. Tìm hai điểm B, C nằm trên hai nhánh của đồ thị ( ) C sao cho tam giác ABC cân tại
A(2;0).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2
2 3 os 2sin
2 4
1
2cos 1
x
c x
x
| |
÷ ÷ ÷
|
\ .
=
÷
.
2. Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
¦
+ = +
¦
´
¦
+ =
¹
.
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
2 4
3
6
os
sin sin
4
c x
I dx
x x
=
| |
+
|
\ .
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh SA (ABC) ± ,
SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của
khối chóp ABCMN?
Câu V (1,0 điểm).
Cho , , 0 a b c > thỏa
3
2
a b c + + s . Chứng minh rằng:
1 1 1 15
2
a b c
a b c
+ + + + + > .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
12 2
x y
E + = . Viết phương trình
hypebol (H) có hai đường tiệm cận là: 2 y x = ± và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của (E).
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 1; 0; 3 I và đường thẳng
1 1 1
:
2 1 2
x y z
d
÷ + ÷
= = . Viết
phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm , A B sao cho cho IAB A vuông tại I.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
86
Câu VII a (1,0 điểm)
Giả sử , , a b c là ba số thực sao cho cos cos os 0 a bc c = .
a) Hãy tìm phần ảo của số phức ( )( )( ) 1 tan 1 tan 1 tan z i a i b i c = + + + .
b) Chứng minh rằng: ( ) tan tan tan tan tan tan , a b c a b c a b c k k + + = · + + = eZ
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho họ đường thẳng
( ) ( )
2 2
: 4 6 3 4 0
m
d m x my m ÷ ÷ + + = . Chứng
minh rằng họ đường thẳng
m
d tiếp xúc với một cônic cố định.
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) 4; 0; 0 , 0; 4; 0 A B và mặt phẳng
( ) : 3 2 4 0 P x y z + ÷ + = . Gọi I là trung điểm của AB. Tìm K mà KI vuông góc với (P) đồng
thời K cách đều gốc O và (P).
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
3
2
log 3
2 12 3 81
x
x y
y y y
+ = ¦
¦
´
÷ + =
¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Hàm số trên được viết lại là: ( )
2
2
1
y C
x
= +
÷
.
Gọi ( ) ( )
2 2
; 2 , ; 2
1 1
B b C C c C
b c
| | | |
+ e + e
| |
÷ ÷
\ . \ .
.
( ) 1 b c < <
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục
Ox.
Xét ABH A và CAK A có:
AB AC = ( do ABC A cân tại A)
0
90 CAK BAH CAK ACK BAH ACK + = = + ¬ = .
Do đó hai tam giác vuông này bằng nhau.
Suy ra:
AH CK
HB AK
= ¦
´
=
¹
hay
2
2 2
1
2
2 2
1
b
c
c
b
¦
÷ = +
¦
÷ ¦
´
¦
+ = ÷
¦ ÷
¹
. Giải hệ này ta thu được: 1; 3 b c = ÷ =
Vậy ( ) ( ) 1;1 , 3; 3 A B ÷ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
H K
B
C
A
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
87
Câu II
1. Điều kiện:
1
cos
2
x = .
Phương trình đã cho tương đương với:
2cos 3 os 1 os 2cos 1 3 os sin 0
2
x c x c x x c x x
| |
÷ ÷ + ÷ = ÷ · ÷ + =
|
\ .
( ) sin 3 os tan 3
3
x c x x x l l
· = · = · = + eZ .
+ Nếu l chẵn, tức 2 l k = thì 2
3
x k
= + (loại).
+ Nếu l lẻ, tức 2 1 l k = + thì ( )
4
2
3
x k k
= + eZ (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
4
2
3
x k
= + ( ) k eZ .
2. Đặt
3
3
, u x v y = = . Hệ phương trình đã cho thành:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 2 2
3
6
2 3
2 3 3
6
u v
u v u v uv
u v uv u v uv u v
u v
+ = ¦
¦
+ = +
¦ ¦
·
´ ´
(
+ ÷ + = +
+ = ¦ ¦
¹ ¸ ¸ ¹
( )
6 6
12 36 3 18 8
u v u v
uv uv uv
+ = ¦ + = ¦ ¦
· ·
´ ´
÷ = =
¦ ¹
¹
, u v ¬ là nghiệm của phương trình:
2
2
6 8 0
4
t
t t
t
=
÷ + = ·
=
¸
.
Do đó:
2
4
4
2
u
v
u
v
= ¦
´
=
¹
= ¦
´
=
¹ ¸
. Suy ra:
8
64
64
8
x
y
x
y
= ¦
´
=
¹
= ¦
´
=
¹ ¸
.
Vậy nghiệm của hệ là: ( ) ( ) 8; 64 , 64; 8 .
Câu III
Ta có:
( ) ( )
2 2 4 4
3 2
6 6
os cot
2 2
sin sin os sin 1 cot
c x x
I dx dx
x x c x x x
= =
+ +
} }
( ) ( )
2 4 4
6 6
cot 1
2 cot 2 cot 1 cot
1 cot cot 1
x
d x x d x
x x
| |
= ÷ = ÷ ÷ +
|
+ +
\ .
} }
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
88
2
4
6
cot 1 3
2 cot ln cot 1 2 2 3 ln
2 2
x
x x
| |
| | +
= ÷ ÷ + + = ÷ +
|
|
|
\ .
\ .
.
Câu IV
Xét ASAB và ASAC có AB = AC, SA chung, A =
0
90
¬ ASAB = ASAC ¬ SB =SC ¬ mặt bên SBC là tam giác cân.
Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:
2 2
AB.AS
AM
AB AS
=
+
=
2a
5
2 2
AC.AS
AN
AC AS
=
+
=
2a
5
Áp dung định lý Pytago:
SM =
2 2
4a
SA AM
5
÷ =
2 2
4a
SN SA AN
5
= ÷ =
Ta có các tỷ số:
SM
SB
=
SN
SC
=
4
5
¬
S.AMN
S.ABC
V
V
=
16
25
¬
S.AMN
V =
16
25
S.ABC
V =
3
8a 3
75
Thể tích :
ABCNM
V =
S.ABC
V -
S.AMN
V =
3
a 3
6
-
3
8a 3
75
=
3
3a 3
50
(đvtt)
Câu V
A
B
C
S
M
N
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
89
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1 1 1 1 3
3 . . a b c a b c a b c
a b c a b c abc
| |
+ + + + + > + + + = + + +
|
\ .
( ) ( )
( ) ( )
3 9 27
4 4
3
a b c a b c
a b c
a b c a b c
(
> + + + = + + + +
(
+ +
+ + + +
¸ ¸
( )
( )
9 27 15
2 .
3
4 2
4.
2
a b c
a b c
> + + + =
+ +
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Giả sử ( ) ( )
2 2
2 2
: 1 , 0
x y
H a b
a b
÷ = > .
Do (H) có hai tiệm cận là: 2 y x = ± nên 2 2
b
b a
a
= · = .
Từ phương trình (E) ta có:
2
12 2 10. c = ÷ =
Do đó:
2 2 2 2 2 2
4 5 10 2 a b a a a a + = + = = · = . Suy ra
2
8 b = .
Vậy ( )
2 2
: 1
2 8
x y
H ÷ = .
2. Phương trình tham số của d là:
1 2
1
1 2
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ +
´
¦
= +
¹
Kẻ IH d H ± ¬ là trung điểm
của AB.
( ) ( ) 1 2 ; 1 ;1 2 2 ; 1; 2 2 H d H t t t IH t t t e ¬ + ÷ + + ¬ = ÷ ÷
¸¸¸,
.
( ) 2;1; 2
d
u =
¸¸,
là vecto chỉ phương của đường thẳng d.
Ta có:
5
. 0 4 1 4 4 0
9
d
IH u t t t t = · + ÷ + ÷ = · =
¸¸¸, ¸¸,
10 4 8 20
; ;
9 9 9 3
IH IH
| |
¬ = ÷ ÷ ¬ =
|
\ .
¸¸¸,
.
Do tam giác IAB vuông tại I nên
2 2 2 2
1 1 1 2 40
2
3
R IH
IH IA IB R
= + = ¬ = = .
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( ) ( )
2 2
2
40
1 3
9
x y z ÷ + + ÷ = .
Câu VIIa
Ta có:
d
B
A
I
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
90
( )( )( ) 1 tan 1 tan 1 tan z i a i b i c = + + +
= ( ) ( ) ( ) 1 tan tan tan tan 1 tan a b a b i i c ÷ + + + (
¸ ¸
= ( ) ( ) 1 tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan a b b c c a a b c a b c i ÷ ÷ ÷ + + + ÷
a) Suy ra Im tan tan tan tan tan tan z a b c a b c = + + ÷ .
b) tan tan tan tan tan tan a b c a b c + + = · Im 0 z = ·z có acgumen bằng ( ) k k eZ .
Mà số phức ( )
1
1 tan os sin
os
i a c a i a
c a
+ = + , vì vậy số phức này có acgumen là
( ) a l l + eZ .
Tương tự 1 tan ; 1 tan i b i c + + có acgumen là ( ) ( ) ; b m m c n n + e + e Z Z .
Vậy số phức z có acgumen là: ( ) a b c l m n + + + + + .
Khi đó ( ) Im 0 z a b c k k = · + + = eZ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 6 3 4 0 3 6 4 12 0 m x my m x m ym x ÷ ÷ + + = · ÷ ÷ + + = (*)
Điểm ( ) ; M x y không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ
m
d khi và chỉ khi phương trình
(*) ẩn m vô nghiệm. Tức là:
2 2
2 2
0 4 9 36 0 1
9 4
m
x y
x y ' A < · + ÷ < · + < .
Xét elip có phương trình:
2 2
1
9 4
x y
+ = .
Hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
3 3
1
9 4
4 6 3 4
4 6 3 4 0
x y
mx y m
m x my m
m x my m
¦
+ = ¦ + =
¦ ¦
·
´ ´
÷ ÷ = ÷ +
¦ ¦
¹
÷ ÷ + + =
¹
có định thức
2
2
3
3 12 0
4 6
m
m m
m m
= ÷ ÷ = ¬
÷ ÷
nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy
nhất với mọi m.
Vậy
m
d luôn tiếp xúc với elip cố định có phương trình là:
2 2
1
9 4
x y
+ = .
2. Ta có: I là trung điểm AB ( ) 2; 2; 0 I ¬ .
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: ( ) 3; 2; 1 n = ÷
,
.
Vì ( ) KI P ± nên đường thẳng KI qua I nhận ( ) 3; 2; 1 n = ÷
,
làm vecto chỉ phương nên có
phương trình:
2 3
2 2
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= +
´
¦
= ÷
¹
.
( ) 2 3 ; 2 2 ; K KI K t t t e ¬ + + ÷ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
91
Theo đề ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
6 9 4 4 4
; 2 3 2 2
14
t t t
d K P KO t t t
+ + + + +
= · = + + + +
2 2 2
3
14 20 4 14 1 14 20 4 14 28 14
4
t t t t t t t t · + + = + · + + = + + · = ÷ .
Vậy
1 1 3
; ;
4 2 4
K
| |
÷
|
\ .
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu VIIb
Điều kiện: 0 y > .
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
( ) ( )
3
2
2 2
27
27
3
log 3
3
27 2 12 3 81
2 12 3 81 2 12 81
x
x
x
x
y x y
y
y y y
y y y y y y
y
¦
¦ =
¦ = ÷ = ¦
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ + =
¦ ¦ ¦
¹ ÷ + = ÷ + =
¹
¦
¹
2
27
3
27
3
2
3 9
4 3
3
12 0
3
x
x
x
y
x
y
y y
y
y y
y
¦
=
¦
¦
=
¦ = ¦ = ¦ ¦ ¦
· · · ·
´ ´ ´ ´
= ÷ = = ¦ ¹
¹ ¦ ¦
+ ÷ =
¹
¦
=
¸ ¹
.
Vậy
2
3
x
y
= ¦
´
=
¹
là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
ĐỀ 15
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
4 2 2
2 y x mx m m = + + + có đồ thị ( )
m
C
22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 2 m = ÷ .
2. Tìm m để đồ thị ( )
m
C của hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc
bằng
0
120 .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ ÷ ÷ = .
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 8 2
4
¦
+ + =
¦
´
+ = ¦
¹
x y xy
x y
.
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
2
0
sin I x xdx
=
}
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
92
Câu IV (1,0 điểm).
Cho góc tam diện vuông Oxyz đỉnh O trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao
cho OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V là thể tích của tứ diện ABCD.
Chứng minh rằng :
3
( 2 1)
162
L
V
÷
s
Câu V (1,0 điểm). Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3 ab a b + + = .
Chứng minh rằng:
2 2
3 3 3
1 1 2
a b ab
a b
b a a b
+ + s + +
+ + +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng
1 2 3
: 2 3 0, : 3 4 5 0, : 4 3 2 0 d x y d x y d x y + ÷ = + + = + + = . Viết phương trình đường tròn có
tâm thuộc
1
d và tiếp xúc với
2 3
, . d d
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) 0; 0; 4 , 2; 0; 0 A B và mặt phẳng
( ) : 2 5 0 P x y z + ÷ = = . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua , , O A B và có khoảng cách từ
tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng
5
6
.
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải phương trình: ( )
3 2
2 1 3 1 0 z i z iz i ÷ + + + ÷ = trên tập số phức C.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 3 4 0 d x y ÷ ÷ = và đường tròn
( )
2 2
: 4 0 C x y y + ÷ = . Tìm điểm M thuộc d, điểm N thuộc ( ) C sao cho hai điểm này đối
xứng nhau qua ( ) 3;1 A .
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 0;1;1 A và hai đường thẳng:
1 2
1
1 2
: , :
3 1 1
1
x
x y z
d d y t
z t
= ÷ ¦
÷ + ¦
= = =
´
¦
= +
¹
.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc với
1
d và cắt
2
d .
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm m để hệ phương trình:
( ) ( )
( )
2
3
3 3
2
2
2 5
log 1 log 1 log 4
log 2 5 log 2 5
x x
x x
x x m
÷ +
+ ÷ ÷ > ¦
¦
´
÷ + ÷ =
¦
¹
có hai nghiệm thực
phân biệt.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
93
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
3
4 4 y x mx ' = + ;
( )
2
0 4 0 y x x m ' = · + = .
Đồ thị ( )
m
C của hàm số có ba điểm cực trị · phương trình
( )
2
4 0 x x m + = có ba nghiệm
phân biệt 0 m · < . Khi đó phương trình 0 y' = có ba nghiệm là:
0 x
x m
x m
=
= ÷ ÷
= ÷
¸
.
Gọi
( ) ( ) ( )
2
0; , ; , ; A m m B m m C m m + ÷ ÷ ÷ là các điểm cực trị.
Ta có:
( ) ( )
2 2
; , ; AB m m AC m m = ÷ ÷ ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
Vì A Ox e , B và C là hai điểm đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A. Như
vậy góc
0
120 chính là
´
A.
Ta có:
4
4 3
4
3
1 . 1 1 1
os 3 0 3 1 0
2 2 2 3
AB AC m m
c A m m m m
m m
AB AC
+
= ÷ · = ÷ · = ÷ · + = · + = · = ÷
÷
¸¸¸, ¸¸¸,
¸¸¸, ¸¸¸,
Câu II
1. Điều kiện: ( ) sin 2 0
2
= · = eZ x x k k .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
2
2
os 2 os2 2cos 2
os 2 cos cos 2 2cos 2
sin 2 2sin sin 2
÷ ÷ = · ÷ ÷ =
c x c x x
c x x x x
x x x
( )
cos 2 0
cos 2 cos 2 cos 2 0
cos 2 cos 2 0
=
· + + = ·
+ + =
¸
x
x x x
x x
* ( ) cos 2 0
4 2
= · = + eZ x x k k ( thỏa mãn điều kiện)
*
2
cos 2 cos 2 0 2cos cos 1 0 + + = · + + = x x x x ( Phương trình này vô nghiệm).
2. Điều kiện , 0 x y > .
Đặt ; u x y v xy = + = . Suy ra:
2
2 x y u v + = ÷
Hệ phương trình đã cho thành:
( )
2
2 2
2
4
2 2 2 8 2
32 128 8
4
u
u v v v
v v v
u
¦
= ¦
÷ ÷ + = ¦ ¦
·
´ ´
÷ + = ÷
¦
¦ ¹ =
¹
2 2
4
4
0 8
4
32 128 64 16
u
u
v
v
v v v v
¦ =
= ¦ ¦
· s s ·
´ ´
=
¹
¦
÷ + = ÷ +
¹
Hay
8
8
x y
xy
¦
+ =
¦
´
=
¦
¹
. Do đó: , x y là nghiệm của phương trình
2
4 4 0 2 t t t ÷ + = · = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
94
Vậy 2 4 x y x y = = · = = .
Câu III
Ta có: Đặt
2
2 t x t x dx tdt = ¬ = ¬ = .
Đổi cận:
2
0 0; x t x t = ¬ = = ¬ = .
Khi đó:
2
0
2 sin I t tdt
=
}
.
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được:
2 2 2 2
0 0
0
0 0
2 os 4 cos 2 4 sin 4 sin 2 4 os 2 8 I t c t t tdt t t tdt c t
= ÷ + = + ÷ = + = ÷
} }
Câu IV
Đặt OA = a, OB = b, OC = c
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki:
a + b
2 2
2( ) a b s +
a + c
2 2
2( ) a c s +
b + c
2 2
2(c b ) s +
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
2 2 2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a c c b + + s + + + + +
Suy ra: (a + b + c)( 1 + 2 ) s
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) a b a c c b a b c + + + + + + + +
Hay (a + b + c)( 1 + 2 ) s L (1)
Dấu “ = “ trong (1) xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c
3
abc > (2)
Ta có V =
6
abc
, BĐT (2) ·a + b + c
3
3 6V > (3)
Dầu “=” trong (3) xảy ra khi a = b = c
Từ (1), (3) ta có
3
3.(1 2).3. 6 L V > + hay
3
( 2 1)
162
L
V
÷
s (4)
Dấu “ = “ trong (4) xảy ra khi a = b = c =
( 2 1)
3
L ÷
Câu V
Từ giả thiết , 0 a b > và 3 ab a b + + = ta suy ra ba điều sau đây:
(i)
( )
( ) ( )
2
2
2
3 4 12 0
6 4
a b a b
ab a b a b a b a b
a b
+ > +
= + + s + + ¬ + + + ÷ > ¬
+ s ÷
¸
.
6 a b + s ÷ không xảy ra. Vì thế 2 a b + > (1)
(ii)
3 3
3 1 1
ab ab
ab a b
a b a b a b a b
+ + = ¬ + = ¬ = ÷ +
+ + + +
(2)
A
C O
B
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
95
(iii) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 4 1 1 4 ab a b a b b a b + + = ¬ + + + = ¬ + + = (3)
Sử dụng ( ) ( ) 2 , 3 để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh ta được:
2 2
3 3 3 1 1 3
3 3 1
2 1 1 4 4
a b ab a b
a b a b
b a a b a b
+ +
+ + > + + = + + ÷
+ + + +
( )
( )
2 2
3 3 3
1
4 4
a b a b
a b
= + + + + ÷
+
Hay
( ) ( )
( )
2 2 2 2
12
4 6 3 3 4 a b a b a b
a b
+ + > + + + + ÷
+
( )
2 2
12
3 10 a b a b
a b
· + > + + ÷
+
(4).
Để ý rằng
( )
2
2 2
2
a b
a b
+
+ > nên (4) sẽ được chứng minh nếu bất đẳng thức sau là đúng:
( )
( )
2
12
3 10
2
a b
a b
a b
+
> + + ÷
+
(5).
Đặt a b s + = . Từ giả thiết và (1) ta suy ra: 1 ab s . Khi đó bất đẳng thức (5) trở thành:
( )
( )
2 2
24
6 20 0 2 4 12 0 2 s s s s s s
s
÷ ÷ + > · ÷ ÷ + > ¬ > ( luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra khi 2 1 s a b = · = = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi I là tâm đường tròn. Vì
1
I d e nên ( ) ; 3 2 I t t ÷ .
Ta có: ( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 4 3 2 5 4 3 3 2 2
; ;
5 5
t t t t
d I d d I d
+ ÷ + + ÷ +
= · =
17 5 11 2 2
17 5 11 2
17 5 2 11 4
t t t
t t
t t t
÷ = ÷ =
· ÷ = ÷ · ·
÷ = ÷ =
¸ ¸
.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2
49 9
: 2 1 , : 4 5
25 25
C x y C x y ÷ + + = ÷ + + = .
2. Giả sử ( ) S có phương trình là:
2 2 2
2 2 2 0 x y z ax by cz d + + ÷ ÷ ÷ + = .
( ) 0 O S d e · =
( ) ( ) 0; 0; 4 16 8 0 A S c d e · ÷ + = . Mà 0 d = nên suy ra 2 c = .
( ) ( ) 2; 0; 0 4 4 0 B S a d · · ÷ + = . Mà 0 d = nên suy ra 1 a = .
Với ( ) 1; ; 2 I b , ta có: ( ) ( )
0 5 5 5
;
5 6 6 6
b b
d I P
b
= +
= · = ·
= ÷
¸
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
96
Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
2 2 2 2 2 2
2 4 0; 2 20 4 0 x y z x z x y z x y z + + ÷ ÷ = + + ÷ + ÷ = .
Câu VIIa
Rõ ràng 1 z = là một nghiệm của phương trình đã cho.
Từ đó ta có phân tích vế trái của phương trình đã cho thành dạng:
( ) ( )
( )
3 2 2
2 1 3 1 1 z i z iz i z z az b ÷ + + + ÷ = ÷ + + , , a beC
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2 1 3 1 1 z i z iz i z a z b a z b · ÷ + + + ÷ = + ÷ + ÷ ÷ .
Đến đây, ta có hệ phương trình sau:
1 2 2
1
3
1 2
1
a i
a i
b a i
b i
b i
÷ = ÷ ÷ ¦
= ÷ + ¦ ¦
÷ = ·
´ ´
= ÷ ÷
¹
¦
= ÷
¹
.
Do đó phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
2
1
1 2 1 0
z
z i z i
=
÷ + + ÷ =
¸
Giải phương trình ( ) ( )
2
1 2 1 0 z i z i ÷ + + ÷ = ta thu được hai nghiệm:
1
z i
z i
=
= +
¸
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Ta có: ( ) 3 4; M d M t t e ¬ + . Vì M và N đối xứng nhau qua A nên A là trung điểm đoạn
thẳng MN. Khi đó ( ) 2 3 ; 2 N t t ÷ ÷ .
Mặt khác ( ) N C e nên ( ) ( ) ( )
2 2
0
2 3 2 4 2 0
6
5
t
t t t
t
=
÷ + ÷ ÷ ÷ = ·
=
¸
.
Vậy ta đã tìm được hai cặp điểm như sau:
( ) 4; 0 M , ( ) 2; 2 N hoặc
38 6 8 4
; , ;
3 5 5 5
M
| | | |
÷
| |
\ . \ .
2. Đường thẳng
1
d có vecto chỉ phương là: ( ) 3;1;1 u =
,
.
Gọi ( ) ( )
2 2
1; ;1 1; 1; B d d B d B t t AB t t = · ¬ e ¬ ÷ + ¬ = ÷ ÷
¸¸¸,
.
Vì
1
d d ± nên ( ) . 0 3 1 0 2 1;1; 2 AB u AB u t t t AB ± · = · ÷ + ÷ + = · = ¬ = ÷
¸¸¸, , ¸¸¸, , ¸¸¸,
.
Đường thẳng d đi qua ( ) 0;1;1 A nhận ( ) 1;1; 2 AB = ÷
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương
trình là:
1 1
1 1 2
x y z ÷ ÷
= =
÷
.
Câu VIIb
( ) ( ) ( )
( )
( ) 2
3
3 3
2
2
2 5
log 1 log 1 log 4 1
log 2 5 log 2 5 2
x x
x x
x x m
÷ +
+ ÷ ÷ > ¦
¦
´
÷ + ÷ =
¦
¹
* Giải bất phương trình (1):
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
97
Điều kiện 1 x >
Với điều kiện này, (1)
3 3
1 1
og log 2 2 1 2 2 3
1 1
x x
l x x x
x x
+ +
· > · > · + > ÷ · <
÷ ÷
Kết hợp với điều kiện 1 x > ta được: 1 3 x < < .
* Xét phương trình (2):
Đặt
( )
2
2
og 2 5 t l x x = ÷ + . Vì 1 3 x < < nên 2 3 t < < .
Phương trình (2) thành:
2
5 5
m
t t t m
t
÷ = · ÷ = .
Xét hàm số: ( ) ( )
2
5 , 2;3 f t t t t = ÷ e .
Dựa vào bảng biến thiên ta thu được:
25
6
4
m ÷ < < ÷ .
ĐỀ 16
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2 4
1
x
y
x
÷
=
+
có đồ thị ( ) C
23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị ( ) C , hai điểm A và B đối xứng qua đường thẳng MN.
Biết rằng ( ) ( ) 3; 0 , 1; 1 M N ÷ ÷ ÷ .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
4
1 3 7
4cos os2 os4 os
2 4 2
x
x c x c x c ÷ ÷ + = .
2. Giải hệ phương trình:
2 1
2 1
2 2 2011 1
2 2 2011 1
y
x
x x x
y y y
÷
÷
¦
+ ÷ + = +
¦
´
¦ + ÷ + = +
¹
.
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
( )
2
2012
1
1
dx
I
x x
=
+
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt bên SAB và SCD
vuông góc với đáy. Đường chéo AC của đáy tạo với cạnh AB một góc . Cạnh SC có
độ dài bằng a và tạo với mặt phẳng ( ) SAB một góc . Tính thể tích khối chóp . S ABCD .
Câu V (1,0 điểm)
Cho , , a b c là ba số dương thỏa mãn
3
4
a b c + + = . Chứng minh rằng:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
98
3 3 3
3 3 3 3 a b b c c a + + + + + s .
Dấu “=” xảy ra khi nào?
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol ( )
2
: P y x = và điểm ( ) 0; 2 I . Tìm tọa
độ hai điểm , A B thuộc ( ) P sao cho 4 0 IA IB ÷ =
¸¸, ¸¸, ,
.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )
2
: 2 2 3 0 P x y m m + ÷ ÷ = và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 9 S x y z ÷ + + + ÷ = . Tìm m để mặt phẳng ( ) P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S .
Với m tìm được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho , , , A B C D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số
( ) ( )
4 3 3 ; 2 3 3 ; 1 3 ; 3 i i i i + + + + + + . Chứng minh rằng bốn điểm , , , A B C D cùng nằm
trên một đường tròn.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 5; 0 B . Điểm A nằm trên góc phần tư thứ nhất sao cho
tam giác OAB vuông tại A và đường tròn nội tiếp có bán kính 1 r = . Tìm tọa độ đỉnh A.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu ( )
2 2 2
1
: 2 4 2 30 0 S x y z x y z + + ÷ ÷ + ÷ =
( )
2 2 2
2
: 6 8 16 0 S x y z x y + + ÷ ÷ + = . Chứng tỏ rằng hai mặt cầu ( )
1
S và ( )
2
S tiếp xúc
trong với nhau. Viết phương trình tiếp diện chung của chúng.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải phương trình:
( ) ( )
3 3
log log
2
2012 2003 2012 2003
3
x x
x + ÷ ÷ >
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Đường thẳng MN qua ( ) 3; 0 M ÷ , nhận ( ) 2; 1 MN = ÷
¸¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có
phương trình:
3
2 3 0
2 1
x y
x y
+
= · + + =
÷
.
Gọi ( ) 2 3; I a a MN ÷ ÷ e .
Gọi d là đường thẳng đi qua ( ) 2 3; I a a ÷ ÷ và vuông góc với MN. Khi đó ta có phương
trình của d là: ( ) ( ) 2 2 3 1 2 5 6 x a y a y x a + + ÷ ÷ · = + + .
Hoành độ các giao điểm , A B của (C) và d là nghiệm của phương trình:
( )
2
1
2 4
2 5 6
1 2 4 2 5 6 2 5 6
x
x
x a
x x x a x x a
= ÷ ¦
÷ ¦
= + + ·
´
+ ÷ = + + + + +
¦
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
99
( )
2
1
2 5 6 5 10 0
x
x a x a
= ÷ ¦
¦
·
´
+ + + + =
¦
¹
.
, A B đối xứng nhau qua MN I · là trung điểm của AB .
Khi đó:
5 6 5 6
2 3 2 3 2
2 4 4
A B
I
x x a a
x a a a
+ + +
= · ÷ ÷ = ÷ · + = · = ÷ .
Suy ra phương trình đường thẳng : 2 4 d y x = ÷ . Do đó: ( ) ( ) 2; 0 , 0; 4 A B ÷ .
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
2
1 os2 1 3 7
4 os2 os4 os
2 2 4 2
c x x
c x c x c
+ | |
÷ ÷ + =
|
\ .
2
1 3 7
1 2cos 2 os 2 cos 2 os4 os
2 4 2
x
x c x x c x c · + + ÷ ÷ + =
1 os4 1 3 7 3
1 os os4 os os2 os 2
2 2 4 2 4
c x x x
c x c x c c x c
+
· + + ÷ + = · + =
( )
os2 1
8
8 3
os 1
3 4
x k c x
x m m
x
x l c
= = ¦ ¦
¦ ¦
· · · = e
´ ´
= =
¦ ¦
¹ ¹
Z .
2. Đặt 1, 1 u x v y = ÷ = ÷ . Hệ phương trình đã cho thành:
2
2
1 2011
1 2011
v
u
u u
v v
¦
+ + =
¦
´
¦ + + =
¹
.
Xét hàm số: ( )
2
1 f t t t = + + .
Ta có: ( ) ( )
2
2 2
1
0
1 1
t t
t t
f t t f t
t t
+
+ +
' = > > ¬ e ¬
+ +
R luôn đồng biến trên R.
+ Nếu u v > thì ( ) ( ) f u f v > suy ra: 2011 2011
v u
v u > · > ( Vô lý).
+ Nếu u v < thì lập luận tương tự như trên ta cũng chỉ ra được điều vô lý.
Suy ra: u v = .
Xét phương trình:
2
1 2011
u
u u + + = . Ta có:
2
1
2011
1
u
u u
=
+ ÷
.
Do đó:
2
2
1 2011
1 2011
u
u
u u
u u
÷
¦
+ ÷ =
¦
´
¦ + + =
¹
Trừ vế theo vế ta được: 2 2011 2011 2011 2011 2 0
u u u u
u u
÷ ÷
= ÷ · ÷ ÷ = .
Xét hàm số ( ) 2011 2011 2
u u
g u u
÷
= ÷ ÷ .
Ta có: ( ) 2011 ln 2011 3 ln 2011 2
u u
g u
÷
' = + ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
100
( )
ln 2011. 2011 2011 2 2ln 2011 2 0
u u
u
÷
= + ÷ > ÷ > ¬ eR
Suy ra ( ) g u luôn đồng biến trên R. Vậy 0 u = là nghiệm duy nhất của phương trình
( ) 0 g u = .
Kết luận: hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 1;1 x y = .
Câu III
Ta có:
( )
( )
( )
2012 2012 2012
2 2 2 2 2
2011
2012 2012 2012
1 1 1 1 1
1 1
1
2012 1 1
1
x x d x
dx x dx
I dx dx
x x x x
x x
+ ÷ +
= = ÷ = ÷
+ +
+
} } } } }
( )
2012
2
2
2012
1
1
2 1
ln
2
1
ln ln 1 ln 2
2012 2012
x x
| |
+
|
\ .
= ÷ + = ÷ .
Câu IV
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SA SAB SAD
± ¦
¦
± ¬ ±
´
¦
= ·
¹
.
( )
BC AB
BC SAB SB
BC SA
± ¦
¬ ± ¬
´
±
¹
là hình chiếu
của SC trên mặt phẳng ( )
SAB BSC ¬ = là góc
giữa SC và ( ) SAB .
Trong tam giác vuông SBC ta có:
sin sin BC SC a = = ;
cos cos SB SC a = = .
Trong tam giác vuông ABC ta có:
cot sin cot AB BC a = = .
Trong tam giác vuông SAB ta có:
2 2 2 2
sin cot cot SA SB AB a = ÷ = ÷ .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là:
2 2
. sin cot
ABCD
S AB BC a = = .
Thể tích khối chóp . S ABCD là:
3 3 2 2
1 1
. sin cot cot cot
3 3
ABCD
V S SA a = = ÷ .
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 3 ; 1; 1 a b + ta có:
( )
3
3 1 1 3 2
3 .1.1
3 3
a b a b
a b
+ + + + +
+ s = .
Tương tự:
3 3
3 2 3 2
3 , 3
3 3
b c c a
b c c a
+ + + +
+ s + s .
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được:
a
S
A
B C
D
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
101
( )
3 3 3
4 4 3
3 3 3 2 . 2 3
3 3 4
a b b c c a a b c + + + + + s + + + = + = .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
4
4
3 3 3 1
a b c
a b c
a b b c c a
¦
+ + =
¦
· = = =
´
¦
+ = + = + =
¹
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: ( )
( ) ( )
2 2
, ; , ; , A B P A a a B b b a b e ¬ = .
( )
2
IA ; 2 a a = ÷
¸¸,
,
( )
2
; 2 IB b b = ÷
¸¸,
( )
2 2
2 2 2 2
4 0 4 0 4 0
4 0
2 4 2 0 4 6 0 4 6
a b a b a b
IA IB
a b a b a b
¦ ¦ ¦ ÷ = ÷ = ÷ = ¦ ¦ ¦
÷ = · · ·
´ ´ ´
÷ ÷ ÷ = ÷ + = = ÷ ¦ ¦
¦ ¹ ¹ ¹
¸¸, ¸¸, ,
( )
2
2
4 6 4 0
4 6
b b
a b
¦
÷ ÷ = ¦
·
´
= ÷ ¦
¹
2
2
1
1
12 48 36 0
3
6 4 6
4 6
3
a
b
b
b b
b
a a b
a b
b
= ÷ ¦
¦ = ´
= ¦
÷ + = ¦ ¦ ¹
· · · =
´ ´¸
= = ÷ ¦ ¦
¹ ¦
= ÷
´ ¹
=
¹ ¸
Vậy ( ) ( ) 4; 2 , 1;1 A B ÷ hoặc ( ) ( ) 36; 6 , 9; 3 A B .
2. Mặt cầu (S) có tâm ( ) 1; 1;1 I ÷ và bán kính 3 R = .
(P) tiếp xúc với (S) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
2.1 2. 1 1.1 3
; 3 3 3 1 9
2 2 1
m m
d I P m m
+ ÷ + ÷ ÷
· = · = · + ÷ =
+ +
2 2
2 2
3 1 9 3 10 0 2
5
3 1 9 3 8 0
m m m m m
m
m m m m
+ ÷ = + ÷ = =
· · ·
= ÷
+ ÷ = ÷ + + = ¸
¸ ¸
.
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: ( ) 2; 2;1 n =
,
.
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) nên có phương trình là:
1 2
1 2
1
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ +
´
¦
= +
¹
.
Tọa độ tiếp điểm của (P) và (S) ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 10 0 1 t t t t + + ÷ + + + ÷ = · = ¬tọa độ tiếp điểm là ( ) 3;1; 2 .
Câu VIIa
Bốn điểm đã cho có các tọa độ như sau:
( ) ( )
( ) ( ) 4;3 3 , 2;3 3 , 1;3 , 3;1 A B D + +
Gọi ( ) 3; 3 I là một điểm xác định. Ta có: 2 IA IB IC ID = = = = ¬ tứ giác ABCD nội tiếp
trong đường tròn tâm ( ) 3; 3 I , bán kính 2 R = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
102
1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Từ giả thiết suy ra: ( ) ;1 I t , 0 t > .
Phương trình đường thẳng OA là: ( ) 0 0 y kx kx y k = · ÷ = > .
Đường thẳng AB qua ( ) 5; 0 B và vuông góc với OA nên có phương trình: 5 0 x ky + ÷ = .
Phương trình các đường phân giác trong góc A của tam giác OAB là:
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
2
: 1 1 5 0
5
: 1 1 5 0
1 1
l k x k y
kx y x ky
l k x k y
k k
÷ ÷ + + =
÷ + ÷
= ± ·
+ + ÷ ÷ =
+ +
¸
.
Xét ( ) ( )
1
: 1 1 5 0 l k x k y ÷ ÷ + + = .
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 5 1 1 5 25 0
O O B B
k x k y k x k y k ÷ ÷ + + ÷ ÷ + + = > ( (
¸ ¸ ¸ ¸
. Suy ra , O B nằm
cùng phía đối với
1
l . Do đó
1
l là phân giác ngoài của góc A.
Vậy phương trình đường phân giác trong l của góc A là: ( ) ( ) 1 1 5 0 k x k y + + ÷ ÷ = .
( )
6 6
;1 ;1
1 1
k k
I a l a I
k k
÷ ÷ | |
e ¬ = ¬
|
+ +
\ .
.
Ta có: ( )
2 2
2
6
1
1
, 1 1 5 1 1 1
1
k
k
k
d I OA k k k k
k
÷
÷
+
= · = · ÷ + ÷ = + +
+
.
Giải phương trình này, ta tìm được:
4
3
3
4
k
k
=
=
¸
.
+ Với
4
3
k = ta có: : 4 3 0; : 3 4 15 0 OA x y AB x y ÷ = + ÷ = . Tọa độ điểm A là nghiệm của
hệ phương trình:
9
4 3 0
9 12
5
;
3 4 15 0 12 5 5
5
x
x y
A
x y
y
¦
=
¦
÷ = ¦ ¦ | |
· ¬
´ ´ |
+ ÷ =
\ .
¹
¦
=
¦
¹
.
+ Với
3
4
k = ta có: : 3 4 0, : 4 3 20 0 OA x y AB x y ÷ = + ÷ = . Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
phương trình:
16
3 4 0
16 12
5
;
4 3 20 0 12 5 5
5
x
x y
A
x y
y
¦
=
¦
÷ = ¦ ¦ | |
· ¬
´ ´ |
+ ÷ =
\ .
¹
¦
=
¦
¹
.
Vậy
9 12
;
5 5
A
| |
|
\ .
hoặc
16 12
;
5 5
A
| |
|
\ .
.
2. Mặt cầu ( )
1
S có tâm ( )
1
1; 2; 1 I ÷ , bán kính
1
6 R =
Mặt cầu ( )
2
S có tâm ( )
2
3; 4; 0 I , bán kính
2
3 R = .
Vì
1 2 1 2
I I R R = ÷ nên hai mặt cầu ( )
1
S và ( )
2
S tiếp xúc với nhau.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
103
Gọi A là tiếp điểm của ( )
1
S và ( )
2
S , ta có: ( )
1 2
2 5; 6;1 AI AI A = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Gọi ( ) là tiếp diện của ( )
1
S và ( )
2
S tại A. Khi đó ( ) có vecto pháp tuyến là
( )
1 2
2; 2;1 I I =
¸¸¸,
. Vậy phương trình của ( ) là:
( ) ( ) ( ) 2 5 2 6 1 1 0 2 2 23 0 x y z x y z ÷ + ÷ + ÷ = · + + ÷ = .
Câu VIIb
Điều kiện: 0 x > .
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
3 3
3
log log
log
2
2012 2003 2012 2003 .3
3
x x
x
+ ÷ ÷ >
3 3
log log
2012 2003 2012 2003 2
3 3 3
x x
| | | |
+ ÷
· ÷ >
| |
| |
\ . \ .
Đặt
3
log
2012 2003
, 0
3
x
t t
| |
+
= >
|
|
\ .
.
Bất phương trình trên thành:
2
1
1 2
3 2 1 0 3
3
1
t
t t t
t
t
s ÷
÷ > · ÷ ÷ > ·
>
¸
. Kết hợp với 0 t > ta
thu được: 1 t > .
Khi đó:
3
log
3
2012 2003
1 log 0 1
3
x
x x
| |
+
> · > · >
|
|
\ .
.
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: | ) 1; S = +· .
ĐỀ 17
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2
2
x
y
x
=
÷
có đồ thị ( ) C .
24. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại , A B mà
tam giác OAB thỏa mãn 2 AB OA = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
2
tan tan 2
sin
tan 1 2 4
x x
x
x
+ | |
= +
|
+
\ .
.
2. Giải hệ phương trình:
( )( )
2
2 2
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
¦
= + ÷
¦
´
÷ ÷ + ÷ + = ¦
¹
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
104
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
( )
3ln 2
2
3
0
2
x
dx
I
e
=
+
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ( ) ( ) SAB ABCD ± và SCD A đều
cạnh a , góc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ) ABCD bằng . Tính thể tích khối chóp theo
a và . Tìm để thể tích đó lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
Cho số nguyên n ( ) 2 n > và hai số thực không âm , x y .
Chứng minh
1 1 1 n n n n n n
x y x y
+ + +
+ > + . Dấu “=” xảy ra khi nào?
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( )
2
2
: 4 4 C x y ÷ + = và điểm
( ) 4;1 E . Tìm tọa độ các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến
, MA MB đến đường tròn ( ) C với , A B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB đi qua
điểm E .
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 1; 1;1 A ÷ và hai đường thẳng:
1 2
1 1 4
: , :
1 2 3 1 2 5
x y z x y z
d d
+ ÷ ÷
= = = =
÷
.
Chứng minh rằng hai đường thẳng
1 2
, d d và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng.
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
log log
2 2 3
y x
x y
xy y
¦
=
¦
´
+ = ¦
¹
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 12 4 36 0 C x y x y + ÷ ÷ + = . Viết phương
trình đường tròn ( ) C' tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với
đường tròn ( ) C .
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) ( ) ( ) 2; 0; 0 , 2; 2; 0 , 0; 0; A B S m . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng SA. Chứng minh rằng với mọi 0 m > diện
tích tam giác OBH nhỏ hơn 3.
Câu VII b (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số phức z, ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
105
1
1
2
z + > hoặc
2
1 1 z + > .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Cách 1:
Gọi ( )
0
0 0
0
2
; , 2
2
x
M x C x
x
| |
e =
|
÷
\ .
. Phương trình tiếp tuyến d tại M có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 4
2
2
x
y x x
x
x
÷
= ÷ +
÷
÷
.
Do , d Ox A d Oy · = · và tam giác OAB có 2 AB OA = nên tam giác OAB vuông cân
tại . O Suy ra: d vuông góc với một trong hai đường phân giác: y x = hoặc y x = ÷ .
+ Trường hợp 1: d vuông góc với y x = .
Ta có:
( )
( )
2 0 2
0 0 0
2
0
0
0
4
1 2 4 4 0
4
2
x
x x x
x
x
= ÷
= ÷ · ÷ = · ÷ = ·
=
÷ ¸
Với
0
0 x y x = ¬ = ÷ ( loại)
Với
0
4 8 x y x = ¬ = ÷ +
+ Trường hợp 2: d vuông góc với y x = ÷ .
Ta có:
( )
( ) ( )
2
0
2
0
4
1 1 1 4
2
x
x
÷
÷ = ÷ · ÷ = ÷
÷
( loại).
Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: : 8 d y x = ÷ + .
Cách 2:
Vì tam giác OAB vuông tại O nên
0
1
sin 45
2
OA
ABO ABO
AB
= = ¬ =
¬ tam giác OAB vuông cân tại O.
Phương trình tiếp tuyến d với ( ) C tại điểm ( )
0
0
0
2
;
2
x
M x C
x
| |
e
|
÷
\ .
có dạng:
( )
( )
0
0
2
0
0
2 4
2
2
x
y x x
x
x
÷
= ÷ +
÷
÷
.
Suy ra:
( )
2 2
0 0
2
0
2
; 0 , 0;
2
2
x x
d Ox A d Oy B
x
| |
| |
| · = · =
|
|
÷
\ .
\ .
.
Vì OA OB = nên
( )
( ) ( )
2 2
2 0 2 2 3 0 0
0 0 0 0 0
2
0
0
0
2
2 4 4 0
4 2
2
x
x x
x x x x x
x
x
=
= · ÷ = · ÷ = ·
=
÷ ¸
.
Với
0
0 x y x = ¬ = ÷ ( loại).
Với
0
4 8 x y x = ¬ = ÷ + .
Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: : 8 d y x = ÷ + .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
106
Câu II
1. Điều kiện: ( ) os 0 ,
2
c x x k k
= · = + eZ .
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
( )
2 2
2
1
tan tan os sin os
2
1
sin sin os sin os
2
x x c x x c x
x xc x x c x
+ = +
· + = +
( )
2
2sin sin 2 sin os 2sin sin os sin os x x x c x x x c x x c x · + = + · + = +
( ) ( )
sin os 0
sin os 2sin 1 0
2sin 1 0
x c x
x c x x
x
+ =
· + ÷ = ·
÷ =
¸
tan 1
1
sin
2
x
x
= ÷
·
=
¸
( )
4
2
6
5
2
6
x k
x k k
x k
= ÷ +
· = + e
= +
¸
Z
2. Ta có: ( )
2 2 2 2
5 4 16 8 16 0 4 8 5 16 16 0 y x xy x y y x y x x ÷ ÷ + ÷ + = · ÷ + ÷ + + = . Xem đây
là một phương trình bậc hai theo ẩn y ( tham số x ).
Ta có:
2
9x ' A = , từ đó:
5 4
4
y x
y x
= +
= ÷ +
¸
.
+ Với 5 4 y x = + , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 4
5 4 5 4 4 6 5 4 0
5
0
4
x y
x x x x x
x y
= ¬ =
+ = + ÷ · + = ·
= ÷ ¬ =
¸
.
+ Với 4 y x = ÷ + , thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta được:
( ) ( )( ) ( )
2
0 4
4 5 4 4 6 4 0
4 0
x y
x x x x x
x y
= ¬ =
÷ + = + ÷ · ÷ = ·
= ¬ =
¸
.
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( ) ( )
4
0; 4 ; 4;0 ; ;0
5
S
¦ ¹ | |
= ÷
´ `
|
\ . ¹ )
.
Câu III
Ta có:
3ln 2
3
2
0
3 3
2
x
x x
e dx
I
e e
=
| |
+ |
|
\ .
}
.
Đặt
3 3 3
1
3
3
x x x
t e dt e dx e dx dt = ¬ = ¬ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
107
Đổi cận: 0 1; 3ln 2 2 x t x t = ¬ = = ¬ = .
Khi đó:
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1
3 1 1 1
3
4 4 1
1 2 1
dt
I dt
t t
t t t
| |
| = = ÷ ÷
|
+
+ +
\ .
} }
=
( )
2
1
1 1 1 3 1
3 ln ln 1 ln 2
4 4 2 1 4 8
t t
t
| |
÷ + + = ÷
|
|
+
\ .
.
Câu IV
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
AB SAB ABCD
SH ABCD
SH AB
SH SAB
± ¦
¦
= ·
¦
¬ ±
´
±
¦
¦
c
¹
Kẻ ( ) HM CD CD SHM ± ¬ ±
**CD SM SMH ¬ ± ¬ = là góc giữa ( ) SCD
**
và đáy.
Do SCD A đều nên M là trung điểm của CD
và H là trung điểm của AB .
Ta có:
3 3
sin sin
2 2
a a
SM SH SM = ¬ = = ,
3
cos os
2
a
HM AD SM c = = = .
Vậy
3 3
.
1 1
. . . sin os sin 2
3 3 4 8
S ABCD ABCD
a a
V S SH ADCD SH c = = = = .
Ta có:
3
.
sin 2 1
8
S ABCD
a
V s ¬ s .
3
0
S.ABCD
axV sin 2 1 45
8
a
M = · = · = .
Câu V
+ Nếu 0 x = hoặc 0 y = thì bất đẳng thức luôn đúng.
+ Xét trường hợp 0, 0 x y > > .
Vai trò của , x y như nhau trong bất đẳng thức cần chứng minh nên không giảm tính
tổng quát có thể giả sử x y > .
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
1 1
1
1
1 1 1 1 1
n n n n
n n
n n
n n
y y y y
x x
x x x x
+ +
+
+
+
| | | |
| | | | | | | |
+ > + · + > + | |
| | | |
| |
\ . \ . \ . \ .
\ . \ .
1
1
1 1
n n
n n
y y
x x
+
+
| | | |
| | | |
· + > + | |
| |
| |
\ . \ .
\ . \ .
.
a
1
S
H
A
B
C
D
M
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
108
Ta có:
1
0 1 0
n n
y y y
x x x
+
| | | |
< s ¬ < >
| |
\ . \ .
.
Suy ra:
1
1
1 1 1 1 1
n n n n
n n n n n
y y y y y
x x x x x
+
+
| | ( ( ( (
| | | | | | | | | |
+ = + + > + > + | ( ( ( (
| | | | |
|
\ . \ . \ . \ . \ .
( ( ( (
\ . ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸
.
Trong trường hợp , 0 x y > , bất đẳng thức không có dấu “=” xảy ra. Vậy dấu “=” chỉ xảy ra
khi 0 x = hoặc 0 y = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 4; 0 I , bán kính 2 R = .
Gọi ( ) ( ) ; , ;
A A B B
A x y B x y là tọa độ các tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến MA: ( )( ) 4 4 0
A A
x x y y ÷ ÷ + = . Vì tiếp tuyến này đi qua
( ) 0; M m Oy e nên
4 12 4 12
;
A A
A A
x x
y A x
m m
÷ ÷ | |
= ¬
|
\ .
.
Tương tự như trên ta cũng tìm được:
4 12
;
B
B
x
B x
m
÷ | |
|
\ .
.
Phương trình đường thẳng AB:
( )
( )
4 12
4 12 4
4
4
A
A A
A
B A
B A
x
y
x x x m
y x
x x m m
x x
m
÷ | |
÷
|
÷ ÷
\ .
= · ÷ = ÷
÷
÷
.
Vì E AB e nên ( )
4 12 4
1
A
A
x
x x
m m
÷
÷ = ÷ . Giải phương trình này tìm được 4 m = .
Vậy 4 m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Đường thẳng
1
d qua ( ) 0; 1; 0 B ÷ nhận ( )
1
1; 2;3 u = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương.
Đường thẳng
2
d qua ( ) 0;1; 4 C nhận ( )
2
1; 2;5 u =
¸¸,
làm vecto chỉ phương.
Ta có:
1 2
; 0 u u BC
(
=
¸ ¸
¸¸, ¸¸, ¸¸¸,
nên
1 2
, d d đồng phẳng.
Dễ dàng lập được phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng
1 2
, d d như sau:
2 2 0 x y z + ÷ + = .
Rõ ràng: ( ) A e .
Vậy hai đường thẳng
1 2
, d d và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng.
Câu VIIa
Điều kiện: 0 , 1 x y < = .
Với điều kiện trên hệ phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
( )
1 1
1 1
log 1
log log log 1 log
2 log
2 2
2 2 3 2 2 3
2 2 3
y
y x y x
y
x y x y
x y
x
xy y x y
x
¦
¦ ¦
+ =
= + =
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
+ = + =
+ = ¹ ¹
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
109
( )
( )
2
y
2
2
log 1
2 2 3
log og 2 0 1
log 2
1
2 2 3
2 2 3
2 2 3
2 2 3
x y
y
y
y
x y
x y
x y
x y
x y
I x y
x
x l x
x x
y
x
y II
= ¦
¦
¦ = ´
¦ =
+ = ¦
¦ ¹
¦
+ ÷ = ¦
¦ ¦ ¦
= = ÷
· · · ·
´ ´ ´ ¦
¸
=
¸
+ = ¦ ¦ ¦ ¦
¹
´ + = ¦
¦ ¹
+ =
¹
¦
+ =
¹ ¸
.
Giải hệ ( ) I ta thu được:
2
3
og
2
x y l = = .
Giải hệ ( ) II :
Xét phương trình: ( )
2
1
2 2 3 0 1
y y
y + = < = .
+ Nếu 1 y > thì
2
2
1
1
0
2 2
2 2 3
2 2 1
y
y y
y
¦
>
¦
¬ + >
´
¦
> =
¹
( Vô lý).
+ Nếu 0 1 y < < thì
2
2
y
1
1
1
2 1
2 2 3
2 2
y y
y
¦
>
¦
¬ + >
´
¦
>
¹
( Vô lý).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất:
2
3
log
2
x y = = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 6; 2 I , bán kính 2 R = .
Gọi ( ) ; , J a b R' lần lượt là tâm, bán kính của đường tròn ( ) C' .
Khi đó phương trình đường tròn ( ) C' có dạng: ( ) ( )
2 2
2
x a y b R' ÷ + ÷ = .
Vì ( ) C' tiếp xúc với Ox,Oy nên R a b ' = =
+ Trường hợp: b a = ÷ .
Ta có: ( ) ; J a a ÷ , R a ' = .
( ) C' tiếp xúc ngoài với
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
6 2 2 6 2 4 4 C IJ R R a a a a a a a ' · = + · ÷ + ÷ = + · ÷ + ÷ = + +
2
16 4 36 0 a a a · ÷ ÷ + = .
Nếu 0 a < thì phương trình thành:
2
12 36 0 6 a a a ÷ + = · = (loại)
Nếu 0 a > thì phương trình thành:
2
2
20 36 0
18
a
a a
a
=
÷ + = ·
=
¸
Với 2 a = ta có phương trình ( ) ( ) ( )
2 2
: 2 2 4 C x y ' ÷ + ÷ =
Với 18 a = ta có phương trình ( ) ( ) ( )
2 2
2
: 18 18 18 C x y ' ÷ + ÷ = .
+ Trường hợp b a = ÷ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
110
Giải tương tự như trường hợp ta tìm được ( ) ( ) ( )
2 2
: 6 6 36 C x y ' ÷ + + = .
2.
Cách 1: Đường thẳng SA qua ( ) 2; 0; 0 A nhận ( ) 2; 0; SA m = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương nên
có phương trình:
2 2
0
x t
y
z mt
= + ¦
¦
=
´
¦
= ÷
¹
( ) t eR .
( ) ( ) 2 2 ; 0; 2 2 ; 0; H SA H t mt OH t mt e ¬ + ÷ ¬ = + ÷
¸¸¸,
.
H là hình chiếu của O lên SA · . 0 OH SA OH SA ± · =
¸¸¸, ¸¸,
( ) ( )
( )
2
2
4
2 2 .2 0.0 . 0 4 4 0
4
t mt m m t t
m
· + + ÷ ÷ = · + + = · = ÷
+
.
2; 2; 0
2
2 2
2 4
;0;
4 4
m m
H
m m
| |
¬
|
+ +
\ .
Ta có: ( ) 2; 2; 0 OB =
¸¸¸,
.
Suy ra:
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
0 2 2 2
2 0
8 8 4
; ; ; ; ;
4
4 2 2
0 4 4 4 0
4
4 4 4
m m m
OB OH
m
m m m
m m m
m
m m m
| |
| |
|
(
= = ÷ ÷
|
| ¸ ¸
+ + +
\ . |
+
+ + +
\ .
¸¸¸, ¸¸¸,
Do đó:
2
2 2
2
2 2 2
1 1 8 8 4
;
2 2 4 4 4
OBH
m m m
S OB OH
m m m
A
| |
| | | |
(
= = + ÷ + ÷
| | |
¸ ¸
+ + + \ . \ .
\ .
¸¸¸, ¸¸¸,
=
( )
4 2 2
2 2
2
1 16 128 2 8
.
2 4
4
m m m m
m
m
+ +
=
+
+
.
Xét hàm số: ( )
2
2
2 8
4
m m
f m
m
+
=
+
, ( ) 0; me +·
( )
( )
( )
2
2
2 2
86 32
0 0;
8 8
m
f m m
m m
+
' = > ¬ e +·
+ +
( ) f m ¬ đồng biến trên ( ) 0; +·
( ) ( ) lim
m
f m f m
÷+·
¬ < =2 < 3.
Vậy 3
OBH
S
A
< .
Cách 2:
Ta có: 2 OH OA < = ; ( ) ; 8 d B OH OB s =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
111
Suy ra: ( )
1 1
. ; .2. 8 8 3
2 2
OBH
S OH d B OH = < = <
Câu VIIb
Giả sử đồng thời
1
1
2
z + < và
2
1 1 z + < .
Đặt ( ) , z a bi a b = + eR .
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
2 4 1 0
1
2
2 0
1 4 1
a b a
a b
a b a b
a b a b
¦
¦
+ + + <
+ + <
¦ ¦
¬
´ ´
¦ ¦ + + ÷ <
+ ÷ + <
¹
¹
( )
( )
2
2
2 2
2 1 0 a b a ¬ + + + < ( Vô lý).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
ĐỀ 18
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: ( )
3
1
m
y x mx m C = ÷ + ÷ có đồ thị ( ) C .
25. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 3 m = .
2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
0
1 x = ÷ cắt đường
tròn ( ) C : ( ) ( )
2 2
2 3 4 x y ÷ + ÷ = theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
sin 2 os4
2 2 sin 3
sin3 os3 4
x c x
x
x c x
+ | | | |
= + +
| |
+
\ . \ .
.
2. Giải hệ phương trình:
( )
( )
( )
4 3 2 2
2
4 2 2 2
6 12 6
5 1 11 5
x x x y y x
x x y x
¦
÷ ÷ ÷ + = ÷
¦
´
¦ ÷ ÷ ÷ = ÷
¹
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
( )
2
3
1
ln ln
ln 1
e
x x
I dx
x x
+
=
+ +
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng A và một điểm A không thuộc A. Trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S cố định khác A. Góc
0
90 xAy = xoay
quanh A; hai tia Ax, Ay cắt A tại , B C . Cho SA h = và khoảng cách từ A đến A bằng
a . Tính theo h và a thể tích nhỏ nhất của khối chóp . S ABC .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
112
Câu V (1,0 điểm)
Cho , , 0 x y z > thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
3 3 3
x y z
Q
x yz y zx z xy
= + +
+ + +
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
9 4
x y
E + = và đường thẳng
: 1 0
m
d x my ÷ + = và điểm ( ) 1; 0 C . Chứng minh rằng
m
d luôn cắt ( ) E tại hai điểm phân
biệt , A B. Tìm m để ABC . có diện tích lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) ( ) 0; 0; 2 , 0; 2; 0 , 2; 0; 0 A B C ,
( ) 2; 2; 2 D . Tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm trong tứ diện.
Câu VII a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1 2 3 4 z i z i + ÷ = + + và
2 z i
z i
÷
+
là một số ảo.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 2 3 0 C x y x + ÷ ÷ = . Gọi , B C là giao điểm
của đường thẳng với đường tròn ( ) C . Hãy tìm các điểm A trên đường tròn ( ) C sao cho
ABC . có chu vi lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )
2 2 2
: 4 4 2 7 0 S x y z x y z + + ÷ + ÷ ÷ = và đường
thẳng
m
d là giao tuyến của hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 1 2 4 4 0 x m y mz + ÷ + ÷ = và
( ) ( ) : 2 2 1 8 0 x my m z + ÷ + ÷ = . Chứng minh rằng các giao điểm của
m
d và ( ) S nằm trên
một đường tròn cố định khi m thay đổi. Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm m để phương trình:
( )
2 2 2 2
27 1
3
3log 2 2 4 log 2 0 x x m m x mx m ÷ + ÷ + + ÷ = có hai
nghiệm
1 2
, x x sao cho
2 2
1 2
1 x x + > .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
2
3 y x m ' = ÷
Cách 1:
Phương trình tiếp tuyến A tại điểm nằm trên ( )
m
C có hoành độ
0
1 x = ÷ là:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 3 1 2 2 3 1 0 y y x y y m x m m x y m ' = ÷ + + · = ÷ + + ÷ · ÷ ÷ + + = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
113
Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 2; 3 I , bán kính 2 R = .
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
3 .2 3 1 3 1 2. 3 1
, 2
3 1 3 1 3 1
m m m m
d I
m m m
÷ ÷ + + ÷ + ÷ +
A = = s =
÷ + ÷ ÷ + ÷ +
.
Dấu “=” xảy ra · 3 1 2 m m ÷ = · =
A cắt ( ) C tại hai điểm , A B sao cho dây cung AB có độ dài nhỏ nhất · ( ) , d I A lớn
nhất. Khi đó 2 m = ứng với tiếp tuyến : d 3 0 x y ÷ + = .
Cách 2:
Giống như cách 1 ta lập được phương trình tiếp tuyến A điểm nằm trên ( )
m
C có
hoành độ
0
1 x = ÷ là: ( ) 3 1 0 m x y m ÷ ÷ + + = .
Dễ dàng tìm được điểm cố định mà tiếp tuyến luôn đi qua là: ( ) 1; 4 M .
Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 2; 3 I , bán kính 2 R = .
Rõ ràng: 2 2 IM R = < = nên suy ra M nằm trong đường tròn ( ) C .
Hạ IH ± A. Giả sử A cắt ( )
m
C theo dây cung AB , khi đó:
2 2
2 2 AB AH R IH = = ÷
AB nhỏ nhất IH · lớn nhất H M · ÷ · A nhận ( ) 1;1 IM = ÷
¸¸¸,
làm vecto pháp tuyến.
Từ đó suy ra: 2 m = ứng với phương trình tiếp tuyến : 3 0 x y A ÷ + = .
Câu II
1. Điều kiện: ( ) cos3 sin3 0 tan3 1
12 3
x x x x k k
+ = · = ÷ · = ÷ + eZ .
Ta có: sin 2 cos 4 os 2 cos 4 2cos 3 os
2 4 4
x x c x x x c x
| | | | | |
+ = ÷ + = ÷ +
| | |
\ . \ . \ .
sin3 os3 2 os 3
4
x c x c x
| |
+ = ÷
|
\ .
Suy ra:
sin 2 os4
2 os
sin3 os3 4
x c x
c x
x c x
+ | |
= +
|
+
\ .
.
Phương trình đã cho thành:
2 2
2cos 2 2 sin 2 2 1 sin 2 2 sin 2
4 4 4 4
x x x x
( | | | | | | | |
+ = + + · ÷ + = + +
| | | | (
\ . \ . \ . \ . ¸ ¸
2
2 1
sin 2 sin 0 sin 2
4 4 4 2
2
x k
x x x
x k
= ÷ +
| | | | | |
· + + + = · + = ÷ ·
| | |
\ . \ . \ .
= +
¸
( ) k eZ .
2.
+ Xét 0 x = , hệ phương trình đã cho thành:
2
0 6
5 y
= ÷ ¦
¦
´
÷ = ÷
¦
¹
( vô lý)
+ Chia vế theo vế của từng phương trình trong hệ cho
2
0 x > ta được:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
114
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 6 1 1
6 12 6 12 0
1 5 1 1
5 11 5 11 0
x x y y x x y y
x x x x
x x y x x y
x x x x
¦ ¦ | | | | | |
÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ =
| | | ¦ ¦
\ . \ . \ .
¦ ¦
·
´ ´
| | | | | | ¦ ¦
÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ ÷ ÷ =
| | |
¦ ¦
\ . \ . \ . ¹ ¹
.
Đặt
2 2
2
1 1
2 t x x t
x x
= ÷ ¬ + = + .
Hệ phương trình thành:
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
6 2 12 0
6 0
5 1 0 5 2 11 0
t ty y
t ty y
t t y t t y
¦
+ ÷ ÷ ÷ =
¦
÷ ÷ =
¦ ¦
·
´ ´
÷ ÷ = ¦ + ÷ ÷ =
¦ ¹
¹
+ Xét 0 t = , hệ phương trình thành:
0
1 0
y ÷ = ¦
´
÷ =
¹
( vô lý).
+ Chia vế theo vế của từng phương trình trong hệ cho
2
0 t > ta được:
2 2
2 2
2
2 2
2 2
1
6
6 0 6
1 1
1
5 0 5
2. 5
y
y y y y
y
t t
t t t t
y
y y
y
t t t t
¦ | |
¦ ¦
+ =
| ¦ ÷ ÷ = + =
¦ ¦
\ .
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
| | ¦ ¦ ¦
÷ ÷ = + =
+ ÷ =
|
¦ ¦ ¦
¹ ¹
\ . ¹
Đặt:
1
;
y
a y b
t t
= + =
Hệ phương trình thành:
2
2
2
5
6
6
2
2 5
5
2
a
a
ab
a b
a
b
¦
÷
=
¦
= ¦
¦ ¦
·
´ ´
÷ = ¦ ÷
¹ ¦
=
¦
¹
3
2
5 12 0
5
2
a a
a
b
¦
÷ ÷ =
¦
·
´
÷
=
¦
¹
( )
( )
2
2
3 3 4 0
3
5
2
2
a a a
a
a
b
b
¦
÷ + + =
= ¦ ¦
· ·
´ ´
÷
=
¹
¦ =
¹
Khi đó:
2
1
1
1
2 1 3
2 3 2 3 1 0 1
1
2 2
2 2
2
2
1
t
t
y
y
t t t
t
t t
y
y t t
y t
t y t
y
= ¦
¦ = ´
¦
=
+ = ¦
¹ ¦ ¦
¦ + = ÷ + = ¦ ¦ ¦ ¦
· · · · =
´ ´ ´ ´
¦
¸ = = ¦ ¦
¹ ¦ ¦ ¦
= =
¹
´
¦ ¦
= ¹
¹
¦
=
¹ ¸
* Với 1 t = ta có:
2
1 1 5
1 1 0
2
x x x x
x
±
÷ = · ÷ ÷ = · = .
* Với
1
2
t = ta có:
2
1 1 1 17
2 2 0
2 4
x x x x
x
±
÷ = · ÷ ÷ = · = .
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
115
1 5 1 5 1 17 1 17
; 2 , ; 2 , ;1 , ;1
2 2 4 4
S
¦ ¹ | | | | | | | |
+ ÷ + ÷ ¦ ¦
=
| | | | ´ `
| | | |
¦ ¦ \ . \ . \ . \ . ¹ )
.
Câu III
Ta có:
( )
( )
( )
2
3 3
1 1
ln
ln ln 1 ln 1
ln 1
1
ln 1
e e
x
x x x
I dx dx
x x x
x
+ +
= =
+ + | |
+
|
+
\ .
} }
.
Đặt
( )
2
ln
ln 1
ln 1
x x
t dt dx
x
x
= ¬ =
+
+
.
Đổi cận: 0 0;
2
e
x t x e t = ¬ = = ¬ = .
Khi đó:
( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2 2
0
1
1 1 1 1 2
8 8
1 2 1 2
2 1
2
e e
dt
I
t t e e
= = ÷ = ÷ + = ÷
+ + + | |
+
|
\ .
}
.
Câu IV
Trong ABC . kẻ đường cao AH .
Khi đó ( ) ; . AH d A a = A =
Thể tích khối chóp . S ABC là:
.
1 1
. .
3 3
S ABC ABC ABC
V S SA S h = =
. .
.
Trong ABC . vuông tại A ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 2
. a AH AB AC AB AC
= = + >
( bất đẳng thức Cauchy)
Suy ra:
2 2
.
1 1
.
2 3
ABC S ABC
S AB AC a V a h = > ¬ >
.
.
Dấu “=” xảy ra khi
2
2
a
AB AC = = .
Vậy
2
.
min
3
S ABC
a h
V = khi
2
2
a
AB AC = = .
Câu V
Đặt
2 2 2
z
, , 1
y zx xy
A B C ABC
x y z
= = = ¬ = .
Khi đó:
1 1 1
3 3 3
Q
A B C
= + +
+ + +
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 1 1 1 1
2 .
3 4 3 4 3 A A A
+ > =
+ + +
h
S
a
A
B
C
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
116
Tương tự :
1 1 1 1 1 1
,
3 4 3 4 3 3 B C B C
+ > + >
+ + + +
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức này, ta thu được:
1 1 1 3
3 3 3 4
Q
A B C
s + + +
+ + +
.
Ta sẽ chứng minh ( )
1 1 1 3
*
3 3 3 4 A B C
+ + s
+ + +
.
Thật vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) * 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 B C A C A B A B C · + + + + + + + + s + + + (
¸ ¸
( ) ( ) 3 5 24 A B C AB BC CA · + + + + + > ( Đúng theo bất đẳng thức Cauchy).
Suy ra:
3
2
Q s .
Vậy
3
max
2
Q =
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Xét hệ phương trình:
2 2
2 2
4 9 36 0 1
9 4
1
1 0
x y
x y
x my
x my
¦
¦ + ÷ = + = ¦
·
´ ´
= ÷
¹ ¦
÷ + =
¹
Suy ra: ( ) ( )
2
2 2 2
4 1 9 36 0 4 9 8 32 0 my y m y my ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ = . Phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt vì
1 2 2
32
0
4 9
c
P y y
a m
= = = ÷ <
+
. Do đó
m
d luôn cắt ( ) E tại hai điểm
phân biệt , . A B
Giả sử ( ) ( )
1 1 2 2
1; , 1; A my y B my y ÷ ÷ .
( )
2
2 1 2 1
2
1 1 2
. . ; 1
2 2
1
ABC m
S AB d C d y y m y y
m
= = ÷ + = ÷
+
.
.
Suy ra: ( )
2
2
1 2 1 2
4
ABC
S y y y y = + ÷
.
(1)
Theo định lý Viet ta có:
1 2 2
1 2 2
8
4 9
32
4 9
m
y y
m
y y
m
¦
+ =
¦
¦ +
´
¦
= ÷
¦
+ ¹
(2)
Thay ( ) 2 vào (1) ta được:
( )
( )
2 2 2
2
2
2 2 2 4 2
2
64 128 4 9
8 128 576 1620
4 9 4 9 16 72 81
4 9
ABC
m m
m m
S
m m m m
m
+ +
+ | |
= + = =
|
+ + + +
\ .
+
.
Đặt
2
, 0 t m t = >
Xét hàm số: ( )
2
576 1620
16 72 81
t
f t
t t
+
=
+ +
, | ) 0; t e +·
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
117
Khảo sát hàm ( ) f t để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.
2. Hết sức đơn giản, ta có thể lập được phương trình của các mặt tứ diện như sau:
( ) : 2 0 ABC x y z + + ÷ =
( ) : 2 0 ABD x y z ÷ ÷ + =
( ) : 2 0 ADC x y z ÷ + ÷ =
( ) : 2 0 BCD x y z + ÷ ÷ =
( ) ; ; , , M x y z x y z eZ nằm trong tứ diện ABCD · D và M, C và M, B và M, A và M lần
lượt nằm cùng phía với các mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ABC ABD ADC BCD
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 0 2 1
2 0 0 2 2 0 2 2
0 2 0 2 2 0 2 3
0 0 2 2 2 0 2 4
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
+ + ÷ + + ÷ > + + > ¦ ¦
¦ ¦
÷ ÷ + ÷ ÷ + > ÷ ÷ > ÷
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ + ÷ ÷ + ÷ > ÷ + <
¦ ¦
¦ ¦
+ ÷ ÷ + ÷ ÷ > + ÷ <
¹ ¹
Cộng vế theo vế (1) và (2), (3) và (4) ta được: 0 2 x < < . Vì x eZ nên 1 x = .
Thay 1 x = vào (1), (2) ta được: 1 3 y z < + < (5)
Thay 1 x = vào (3), (4) ta được: 1 1 y z ÷ < ÷ < (6)
Vì , y z eZ nên từ (5) và (6) ta suy ra:
2
1
0
y z
y z
y z
+ = ¦
· = =
´
÷ =
¹
.
Vậy ( ) 1;1;1 M là điểm nguyên duy nhất nằm trong tứ diện ABCD.
Câu VIIa
Ta có: ( )
( ) ( )
( ) 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3 4 z i z i z i z i z i z i + ÷ = + + · + ÷ + + = + + + ÷
( ) ( )
10 z z z z i · + + ÷ = ÷ (1)
Vì
2 z i
z i
÷
+
là một số ảo nên ( )( )
( )( )
2 2
2 2
z i z i
z i z i z i z i
z i z i
÷ +
= · ÷ ÷ = + +
÷ +
( ) ( )
5 2 4 z z z z i · + ÷ ÷ = ÷ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: ta suy ra:
24
12 23
7
46 7 7
7
z z
z i
z z i
¦
+ = ÷
¦
¦
¬ = ÷ +
´
¦
÷ =
¦
¹
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Theo giả thiết đề toán, ta dễ dàng tìm được ( ) ( ) 3; 0 , 1; 2 B C .
Vì , B C cố định nên chu vi ABC . lớn nhất khi và chỉ khi AB AC + lớn nhất.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
118
Ta có:
2 2
2 2
1
2 3 0 1
2 2
x y
x y x
÷ | | | |
+ ÷ ÷ = · + =
| |
\ . \ .
.
Đặt
1
sin
1 2sin
2
2 os
os
2
x
t
x t
y y c t
c t
÷ ¦
=
¦
= + ¦ ¦
¬
´ ´
=
¹
¦
=
¦
¹
, | ) 0; 2 t e .
( ) ( ) 1 2sin ; 2 os A C A t c t e ¬ + .
Khi đó: ( ) ( )
2 2
2 2
2sin 2 4cos 4sin 2cos 2 AB AC t t t t + = ÷ + + + ÷
=
( )
2 2 1 sin 1 os t c t ÷ + ÷
s ( )( ) 2 2. 1 1 1 sin 1 os 4 2 2 sin 4 2 2
4
t c t t
| |
+ ÷ + ÷ = ÷ + s +
|
\ .
( Bất đẳng thức Bunhiacopski)
Dấu “=” xảy ra
sin os
1 sin 1 os
5
sin t+ 1 4 sin t+ 1
4
4
t c t
t c t
t
¦ = ¦ ÷ = ÷
¦ ¦
· · · =
´ ´ | |
| |
= ÷
= ÷
|
| ¦ ¦
\ . ¹ \ . ¹
.
Chu vi ABC . lớn nhất khi
( )
1 2; 2 A ÷ .
2. Các điểm trên
m
d có tọa độ thỏa mãn hai phương trình mặt phẳng ( ) và ( ) .
Do đó: ( ) ( ) 1 2 4 4 2 2 2 1 8 0 5 2 20 0 x m y mz x my m z x y z + ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ = (
¸ ¸
.
Suy ra
m
d luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi m thay đổi.
Vậy các giao điểm của họ đường thẳng
m
d với mặt cầu ( ) S thuộc giao tuyến của ( ) P và
(S).
(S) có tâm ( ) 2; 2;1 I ÷ và bán kính 4 R = .
Gọi H là hình chiếu của I trên ( ) P .
Khi đó: ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
5.2 2 2.1 20 10
, 4
30
5 1 2
IH d I P P
÷ + ÷
= = = < ¬
+ + ÷
cắt ( ) S theo giao tuyến là
đường tròn tâm H , bán kính
2 2
10 38
16
3 5
r R IH = ÷ = ÷ = .
Gọi A là đường thẳng qua I vuông góc với ( ) P . Do đó A nhận ( ) 5;1; 2
P
n = ÷
¸¸,
làm vecto
chỉ phương nên có phương trình:
2 5
2
1 2
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ +
´
¦
= ÷
¹
( ) H P = A· ¬ tọa độ điểm H ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
119
( ) ( ) ( )
7 13 23 1
5 2 5 2 2 1 2 20 0 30 14 0 ; ;
15 3 15 15
t t t t t H
| |
+ + ÷ + ÷ ÷ ÷ = · ÷ = · = ¬ ÷
|
\ .
.
Câu VIIb
Ta có:
( )
2 2 2 2
27 1
3
3log 2 2 4 log 2 0 x x m m x mx m ÷ + ÷ + + ÷ =
( ) ( )
2 2 2 2
3 3
log 2 2 4 log 2 x x m m x mx m · ÷ + ÷ = + ÷
2 2
2 2 2 2
2 0
2 2 4 2
x mx m
x x m m x mx m
¦
+ ÷ >
¦
·
´
÷ + ÷ = + ÷ ¦
¹
( )
2 2
2 2
2 0
1 2 2 0
x mx m
x m x m m
¦
+ ÷ >
¦
·
´
÷ + + ÷ =
¦
¹
2 2
1
2
2 0
1
x mx m
x m
x m
¦
+ ÷ >
¦
·
= ´
¦
= ÷
¸ ¹
.
Phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa mãn
2 2
1 2
1 x x + >
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2 .2 2 0
4 0
1 . 1 2 0 2 1 0
5 2 0
2 1 1
m m m m
m
m m m m m m
m m
m m
¦
+ ÷ > ¦
>
¦
¦
¦ ¦
· ÷ + ÷ ÷ > · ÷ ÷ + >
´ ´
¦ ¦
÷ >
+ ÷ >
¦ ¦
¹
¹
0
1 0
1
1
2 1
2
5 2
2
0
5
m
m
m
m
m m
¦
¦ =
÷ < < ¦
¦
· ÷ < < ·
´
< <
¦
¸
¦
< v >
¦
¹
ĐỀ 19
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số: ( )
3 2
2
x
y C
x
+
=
+
có đồ thị ( ) C .
26. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Đường thẳng y x = cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B. Tìm m để đường thẳng
y x m = + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , C D sao cho tam giác ABCD là hình bình hành.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
2
4
4
2 sin 2 sin3
tan 1
os
x x
x
c x
÷
+ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
120
2. Giải hệ phương trình:
( )
( ) ( )
2 4 2 2 2 4
2
2 4 2 2
3 2 1 2
1 1 2 2 1 0
x y x y x x y
x y x x x xy
¦
+ ÷ + ÷ =
¦
´
¦ + + ÷ + ÷ ÷ + =
¹
.
Câu III (1,0 điểm).
Cho ( ) H là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số:
2
log
xe
y x = , trục Ox và đường thẳng
có phương trình x e = . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi ( ) H quay quanh Ox .
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể
tích khối chóp . S ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp
đó.
Câu V (1,0 điểm)
Cho , , x y z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4 4 4 2 .
x y z
P x y y z z x
y z x
| |
= + + + + + + + +
|
\ .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) d có phương trình : 0 x y ÷ =
và điểm (2;1) M . Tìm phương trình đường thẳng A cắt trục hoành tại A cắt đường thẳng
( ) d tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M
2. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
3 2 1
2 1 1
x y z ÷ + +
= =
÷
và mặt phẳng
(P): 2 0 x y z + + + = . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng A
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới A
bằng 42 .
Câu VII a (1,0 điểm)
Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ
( )
4
3 5
n
+ biết n thỏa mãn :
1 2 3 2 496
4 1 4 1 4 1 4 1
... 2 1
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
1 2 9 x y ÷ + + = và đường thẳng : 0 d x y m + + = . Tìm m để trên đường thẳng d có
duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C)
(B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông tại A.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
121
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
÷ ÷ ÷
= =
÷
và
2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
÷ ÷ ÷
= =
÷
.
Chứng minh đường thẳng d
1
; d
2
và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ
độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d
1
chứa đường cao BH và d
2
chứa đường trung
tuyến CM của tam giác ABC.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình ) 3 (log 5 3 log log
2
4
2
2
2
2
÷ > ÷ ÷ x x x
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Tọa độ hai điểm , A B là nghiệm của phương trình:
2 2
2
2 2
1
3 2
1
2 2
3 2 2 2 0
2
x
x x
x
x
x x
x x
x x x x x
x
= ÷ ¦
= ÷ = ÷ ¦ ¦ = ÷ + ¦ ¦ ¦
= · · · · = ÷ ´ ´ ´
= +
+ = + ÷ ÷ = ¦ ¦ ¸ ¹ ¹ ¦
=
¸ ¹
.
Do đó: ( ) ( ) 1; 1 , 2; 2 A B ÷ ÷ .
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y x m = + và ( ) C là:
( ) ( )
2 2
2 2
3 2
2 1 2 2 0 * 3 2 2 2
x x
x
x m
x x m x m x x mx x m
= ÷ = ÷ ¦ ¦
+ ¦ ¦
= + · ·
´ ´
+ + ÷ + ÷ = + = + + + ¦ ¦ ¹ ¹
Đường thẳng y x m = + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , C D · phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt khác
( ) ( )
( ) ( )( )
2
2
2
1 4 2 2 0
1
10 9 0
2
9
4 0
2 1 2 2 2 0
m m
m
m m
m
m m
¦
A = ÷ ÷ ÷ > ¦ < ÷ + > ¦ ¦
÷ · · ·
´ ´
>
= ¦ ¸
÷ + ÷ ÷ + ÷ = ¹ ¦
¹
.
Gọi ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; C x m x D x x m + + , với
1 2
, x x là nghiệm của phương trình ( ) * .
ABCD là hình bình hành
2
0 0 //
18 3 2
m m AB CD
AB CD CD CD
= = ¦ ¦ ¦ ¦
· · ·
´ ´ ´
= = = ¦ ¹ ¹ ¹
( ) ( )
2 2
2 1 1 2 1 2
0 0
2 18 4 9
m m
x x x x x x
= = ¦ ¦
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ = + ÷ =
¦ ¦
¹ ¹
( ) ( )
2
0
1 4 2 2 9
m
m m
= ¦
¦
·
´
÷ ÷ ÷ =
¦
¹
2
0
0
10 0
10 0
10
m
m
m m
m m
m
= ¦
= ¦
¦
· · · = = ´ ´
÷ =
¹ ¦
=
¸ ¹
(thỏa điều kiện trên).
Vậy 10 m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Điều kiện os 0 sin 1 c x x = · = ± .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
122
( ) ( ) ( )
2
4 4 2 2 2 2 2 2
sin os 2 sin 2 sin3 sin os 2sin cos 2 sin 2 sin3 x c x x x x c x x x x x + = ÷ · + ÷ = ÷
( ) ( )( )
2 2 2
1
1 sin 2 2 sin 2 sin3 2 sin 2 1 2sin3 0
2
x x x x x · ÷ = ÷ · ÷ ÷ =
1
sin3
2
x · = ( do
2
2 sin 2 1 x x ÷ > ¬ )
( )
2
3 2
6 18 3
5 5 2
3 2
6 18 3
x k x k
k
x k x k
= + = +
· · e
= + = +
¸ ¸
Z ( thỏa điều kiện ban đầu).
2. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 4 2 2
2
2 4 2 2
4 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
x y y x x
x y x x x xy
¦
÷ ÷ = ÷ ÷ s
¦
´
¦
+ + ÷ = ÷ ÷ ÷ + >
¹
.
Suy ra:
( )
4 2 2
1 2 y x x ÷ ÷ s
( )
2 4 2 2
2 2 1 x x x xy ÷ ÷ ÷ +
4 2 4 6 4 3 2 2
2 2 2 y x x x x x y x · ÷ + s ÷ + + ÷
( )
2
6 3 2 4 3 2 3 2
2 0 0 x x y y x y x y · ÷ + = · ÷ = · = (*)
Từ (*) và dấu “=” xảy ra ở bất đẳng thức trên ta suy ra: 1 x y = = .
Câu III
Đồ thị hàm số
2
log
e x
y x = cắt Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình:
2
2
1
0
log 0 1
1
e x
x
x x e
x
¦
< =
¦
= · · =
´
¦
=
¹
.
Gọi V là thể tích vật tròn xoay thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có:
2
2
2
2 2 2 2
1 1 1
2 4 4
log 1 1
ln ln ln
e e e
e x
V xdx dx dx
e x e x e x
| | | |
= = ÷ = ÷ +
| |
\ . \ .
} } }
= ( )
2 2 2
1 1
1 1
1 4
ln ln
e e
e dx dx
e x e x
| |
÷ + ÷
|
\ .
} }
Xét tích phân:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
ln ln ln 3 2 ln
e
e e e
x e
I dx dx dx
e x e x e x e x
= = + = ÷ +
} } }
Suy ra:
2 2 2
1 1
1 1 1
ln ln 3 2
e e
e
dx dx
e x e x
÷ = ÷ +
} }
Do đó: ( )
1
1 4 1
3 2 3
e e
V e
| | | |
= ÷ + ÷ + = ÷
| |
\ . \ .
.
Câu IV
Gọi O là giao điểm AC và BD ( ) SO ABCD ¬ ±
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
123
Ta có:
2
2 2 2
2 2
4 2
a a
SO SA OA a = ÷ = ÷ = .
2 3
.
1
2
6
ABCD S ABCD
S a V a = ¬ = .
Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là
tâm đường tròn nội tiếp
tam giác SMN. Ta chứng minh I cách
đều các mặt của hình chóp
( )
( )
2
2 3 1
2 2
4
4 3
SMN
a
a
S pr r
a a
A
÷
= ¬ = =
+
là bán kính cần tìm.
Câu V
Với , , 0 x y z > ta luôn có:
a)
( ) ( )
3
3 3
4 x y x y + > + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . x y =
b)
( ) ( )
3
3 3
4 y z y z + > + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . y z =
c)
( ) ( )
3
3 3
4 z x z x + > + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . z x =
Ta chứng minh a). Việc chứng minh b) và c) là hoàn toàn tương tự như việc chứng minh a).
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2 2 2 2
) 4 4 a x y x xy y x y x xy y x y · + ÷ + > + · ÷ + > +
( ) ( )
2
2 2
3 2 0 3 0 x y xy x y · + ÷ > · ÷ > .
Bất đẳng thức a) có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
4 4 4 2 6 x y y z z x x y z xyz + + + + + > + + > .
Lại có:
2 2 2
3
6
2
x y z
y z x xyz
| |
+ + >
|
\ .
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . x y z = =
Suy ra:
3
3
1
6 12. P xyz
xyz
| |
> + >
|
|
\ .
Dấu “=” xảy ra
1
1.
xyz
x y z
x y z
= ¦
· · = = =
´
= =
¹
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. A Ox e ¬ ( ) ; 0 A a , ( ) ; B d B b b e ¬
(2;1) M ( 2; 1), ( 2; 1) MA a MB b b ¬ = ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)
a b b
MAMB
MA MB a b b
÷ ÷ ÷ ÷ = ¦
¦
= ¦ ¦
·
´ ´
= ÷ + = ÷ + ÷ ¦
¦ ¹
¹
¸¸¸, ¸¸¸,
,
N
M
O
A
D
B
C
S
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
124
Nhận xét 2 b = không thỏa mãn hệ phương trình này.
Ta có:
2
2 2 2 2 2
1
2 , 2
1
2 , 2 2
2
1
( 2) 1 ( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1)
2
b
a b
b
a b b
b
b
a b b b b
b
÷ ¦
÷ = =
÷ ¦
¦
÷ = = ÷
¦ ¦
· ÷
´ ´
÷ | |
¦ ¦
÷ + = ÷ + ÷ + = ÷ + ÷
¹ |
¦
÷
\ . ¹
2 2
2
2
1
2 , 2
1 2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
a
b
a b
b b
a
b b
b
b
= ¦ ÷ ¦
÷ = =
´
¦
= ÷
¦ ¹
· ·
´
(
= ¦
¦
( ÷ + ÷ ÷ =
( ¸ ¸ ´
¦ ÷
= ¸ ¸ ¹
¹ ¸
+ Với
2
1
a
b
= ¦
´
=
¹
đường thẳng A qua A, B có phương trình 2 0 x y + ÷ =
+ Với
4
3
a
b
= ¦
´
=
¹
đường thẳng Aqua A, B có phương trình 3 12 0 x y + ÷ =
2. Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2
1
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ +
´
¦
= ÷ ÷
¹
Suy ra: toạ độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 0 1 (1; 3; 0) t t t t M + + ÷ + + ÷ ÷ + = · = ÷ ¬ ÷
Lại có VTPT của(P) là (1;1;1)
P
n
¸¸,
, VTCP của d là (2;1; 1)
d
u ÷
¸¸,
.
Vì A nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP , (2; 3;1)
d P
u u n
A
(
= = ÷
¸ ¸
¸¸, ¸¸, ¸¸,
Gọi ( ) ; ; N x y z là hình chiếu vuông góc của M trên A, khi đó ( 1; 3; ) MN x y z = ÷ +
¸¸¸¸,
.
Ta có MN
¸¸¸¸,
vuông góc với u
A
¸¸,
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Lại có Ne(P) và MN = 42 nên ta có hệ:
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
x y z
x y z
x y z
¦ + + + =
¦
÷ + ÷ =
´
¦
÷ + + + =
¹
.
Giải hệ phương trình này ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
Câu VIIa
Ta có: ( )
4 1
0 1 2 2 3 3 4 1 4 1
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
1 ...
n
n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+
+ +
+ + + + +
+ = + + + + +
Chọn 1 x = ¬
4 1 0 1 2 3 4 1
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
2 ...
n n
n n n n n
C C C C C
+ +
+ + + + +
= + + + + +
( )
0 1 2 3 2
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
2 ...
n
n n n n n
C C C C C
+ + + + +
= + + + + +
Suy ra
4n
2 =
0 1 2 3 2
4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
...
n
n n n n n
C C C C C
+ + + + +
+ + + + +
Hay
4 496
2 2 4 496 124.
n
n n = · = · =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
125
( ) ( ) ( )
124
124 124
124 124
4 4 2 4
124 124
0 0
3 5 3 5 3 5
k k
k k
k k
k k
C C
÷
÷
= =
+ = =
¿ ¿
.
Trong khai triển có số hạng hữu tỉ
124 2
4
0 124
k
k
k
÷ ¦
¦
·
´
¦
s s
¹
.
.
4 4
0 31
0 124 0 4 124
k k t
t
k t
= ¦ ¦
· · ¬ s s
´ ´
s s s s
¹ ¹
.
Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Đường tròn ( ) C ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường
tròn và AC AB ± => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 2 3 = ¬ IA
¸
=
=
· = ÷ · =
÷
·
7
5
6 1 2 3
2
1
m
m
m
m
2. d
1
qua M
1
(2;3;3) có vectơ chỉ phương (1;1; 2) u = ÷
,
d
2
qua M
2
(1;4;3) có vectơ chỉ phương (1; 2;1) v = ÷
,
Ta có
1 2
, 0 , 0 u v va u v M M
( (
= =
¸ ¸ ¸ ¸
¸,, , , , ¸¸¸¸¸¸,
Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa hai đường thẳng
1 2
, d d . Dễ dàng lập được phương trình mặt
phẳng ( ) P là: ( ) ( ) 8 0 3; 2; 3 x y z A P + + ÷ = ¬ e .
( )
1
2 ; 3 ; 3 2 B d B b b b e ¬ + + ÷ .Vì M là trung điểm AB nên
5 5
; ;3
2 2
b b
M b
+ + | |
÷
|
\ .
.
( )
2
1 1; 2; 5 M d b B e · = ÷ ¬
( )
2
1 ; 4 3 ; 3 C c c c d + ÷ + e . Ta có: AC u ±
¸¸¸, ,
( ) 0 1; 4; 3 c C · = ¬ .
Vậy ta tìm được: ( ) ( ) 1; 2; 5 , 1; 4; 3 B C .
Câu VIIb
Điều kiện :
¹
´
¦
> ÷ ÷
>
0 3 log log
0
2
2
2
2
x x
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 2 2
log log 3 5(log 3) x x x ÷ ÷ > ÷ (1)
Đặt t = log
2
x, bất phương trình (1) thành:
) 3 ( 5 ) 1 )( 3 ( ) 3 ( 5 3 2
2
÷ > + ÷ · ÷ > ÷ ÷ t t t t t t
¸
< <
÷ s
·
¸
< <
÷ s
·
¸
¹
´
¦
÷ > ÷ +
>
÷ s
·
4 log 3
1 log
4 3
1
) 3 ( 5 ) 3 )( 1 (
3
1
2
2
2
x
x
t
t
t t t
t
t
¸
< <
s <
·
16 8
2
1
0
x
x
.
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là:
1
(0; ] (8;16)
2
S = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
126
ĐỀ 20
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số
3 2 3
3 4 y x mx m = ÷ + (m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
y x = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 1 cos 4 4 cos 3 2
4
cos 2
2 2
÷ = + |
.
|
\
|
÷ x x x
2. Tìm m để hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m
¦
÷ + ÷ ÷ =
¦
´
+ ÷ ÷ ÷ + = ¦
¹
có nghiệm thực.
Câu III (1,0 điểm).
Cho
1
, , , ;1
4
x y z t
| |
e
|
\ .
. Chứng minh:
1 1 1 1
log log log log 8
4 4 4 4
x y z t
y z t x
| | | | | | | |
÷ + ÷ + ÷ + ÷ >
| | | |
\ . \ . \ . \ .
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều
cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính
tan và thể tích chóp A’.BCC’B’.
Câu V (1,0 điểm). Tính tích phân:
6
0
tan( )
4
os2x
x
I dx
c
÷
=
}
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2 3 4 0 x y A + + = .
Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng A sao cho đường thẳng AB và A hợp với nhau góc
45
0
.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 4 0 P x y z + ÷ + = và mặt cầu
(S):
2 2 2
2 4 2 3 0 x y z x y z + + ÷ + + ÷ = . Viết phương trình tham số đường thẳng d
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
127
tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải phương trình
( )
1 2 3 2
3 7 ... 2 1 3 2 6480
n n n n
n n n n
C C C C + + + + ÷ = ÷ ÷ trên tập
*
N .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Elip (E):
2 2
5 5 x y + = , Parabol ( )
2
: 10 P x y = . Hãy
viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng : 3 6 0 x y A + ÷ = , đồng thời tiếp
xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P).
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 P x y z + ÷ + = và hai điểm
( ) ( ) 1; 7; 1 , 4; 2; 0 A B ÷ . Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB lên mặt phẳng (P).
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )( )
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
2 2
x y x x y
x y y y x y x
÷ ÷
¦ ÷ + =
¦
´
÷ = + ÷ +
¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có: y’ = 3x
2
÷ 6mx = 0 ·
0
2
x
x m
=
=
¸
Hàm số có cực đại và cực tiểu · m = 0.
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m
3
), B(2m; 0) ¬
3
(2 ; 4 ) AB m m = ÷
¸¸¸,
Trung điểm của đoạn AB là
( )
3
; 2 I m m
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y
= x và I thuộc đường thẳng y = x
3
3
0
2 4 0
2
2
2
m
m m
m
m m
=
¦
÷ =
¦
· ·
´
= ±
=
¦
¹
¸
.
Kết hợp với điều kiện ta có:
2
2
m = ± .
Câu II
1. Phương trình tương đương với
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
128
2
1 cos 4 3 cos 4 4cos 1
2
x x x
| |
+ ÷ + = ÷
|
\ .
( )
( )
2
1 3
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1 sin 4 cos 4 cos 2
2 2
12
cos 4 cos 2
6
36 3
x x x x x x
x k
x x k
k
x
· + = ÷ · + =
= +
| |
· ÷ = · e
|
\ .
= +
¸
Z
2.
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m
¦
÷ + ÷ ÷ =
¦
´
+ ÷ ÷ ÷ + = ¦
¹
Điều kiện:
2
2
1 0 1 1
0 2
2 0
x x
y
y y
¦
÷ > ÷ s s ¦ ¦
·
´ ´
s s
¹ ÷ >
¦
¹
Đặt t = x + 1 ¬ te[0; 2]; ta có (1) · t
3
÷ 3t
2
= y
3
÷ 3y
2
.
Hàm số f(u) = u
3
÷ 3u
2
nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) · y = y · y = x + 1
Do đó: (2) ·
2 2
2 1 0 x x m ÷ ÷ + =
Đặt
2
1 u x = ÷ ¬ u e[0; 1] ¬ (2) ·
2
2 1 u u m + ÷ =
Hàm số ( )
2
2 1 g u u u = + ÷ đạt
[0;1] [0;1]
min ( ) 1; max ( ) 2 g u g u = ÷ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ÷1 s ms 2
Câu III
2 6 6
2
0 0
tan( )
tan 1
4
os2x (t anx+1)
x
x
I dx dx
c
÷
+
= = ÷
} }
Đặt
2
2
1
t anx dt= (tan 1)
cos
t dx x dx
x
= ¬ = +
Đổi cận:
1
0 0;
6 3
x t x t
= ¬ = = ¬ =
Suy ra
1
1
3
3
2
0
0
1 1 3
( 1) 1 2
dt
I
t t
÷
= ÷ = =
+ +
}
.
Câu IV
Gọi O là tâm đáy suy ra ( ) ' A O ABC ± và góc
' AIA =
'
tan
A O
OI
= với
1 1 3 3
3 3 2 6
a a
OI AI = = =
I
B'
C'
O
A
C
B
A'
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
129
2 2 2
2 2 2 2
3
' '
3 3
a b a
A O A A AO b
÷
= ÷ = ÷ =
2 2
2 3
tan
b a
a
÷
¬ =
Tính
'. ' ' A BCC B
V
( )
'. ' ' . ' ' ' '.
2 2 2 2 2
1
' . ' .
3
2 3 1 3 3
. . .
3 2 2 6 3
A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC
V V V A O S A O S
b a a a b a
a dvtt
= ÷ = ÷
÷ ÷
= =
Câu V
Dễ dàng có được
2 2 2 2
1 1 1 1
; y ; z ; t
4 4 4 4
x x y z t > ÷ > ÷ > ÷ > ÷ (1)
Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi
1
2
x y z t = = = =
Vì
1
, y, z, t ;1
4
x
| |
e
|
\ .
nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1)
ta có:
2
1
log log
4
x x
y y
| |
s ÷
|
\ .
;
2
1
log log
4
y y
z z
| |
s ÷
|
\ .
;
2
1
log log
4
z z
t t
| |
s ÷
|
\ .
;
2
1
log log
4
t t
x z
| |
s ÷
|
\ .
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:
1 1 1 1
log log log log
4 4 4 4
x y z t
y z t x
| | | | | | | |
÷ + ÷ + ÷ + ÷ >
| | | |
\ . \ . \ . \ .
( )
2 log log log log
x y z t
y z t x > + + + (2)
Dễ thấy log ; log ; log ; log
x y z t
y z t x luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức cauchy ta
được:
4
log log log log 4 log log log log
x y z t x y z t
y z t x y z t x + + + > (3)
Mà
log log
log log log log log log 1
log log
x x
x y z t x t
x x
z t
y z t x y x
y z
= = (4)
Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Đường thẳng A có phương trình tham số là:
1 3
2 2
x t
y t
= ÷ ¦
´
= ÷ +
¹
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng A là: ( ) 3; 2 u = ÷
,
( ) ( ) 1 3 ; 2 2 3 ; 2 3 B B t t AB t t eA ¬ ÷ ÷ + ¬ = ÷ ÷
¸¸¸,
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
130
Theo đề ta có:
( )
( )
0
2
2
.
9 2 2 3
1
cos 45
2
9 2 3 . 9 4
ABu
t t
AB u
t t
+ ÷
= · =
+ ÷ +
¸¸¸, ,
¸¸¸, ,
2
13. 13 12 9 2 13 6 t t t · ÷ + = ÷
2
15
13
169 156 45 0
3
13
=
· ÷ ÷ = ·
= ÷
¸
t
t t
t
Vậy các điểm cần tìm là :
1 2
32 4 22 32
; , ;
13 13 13 13
A A
| | | |
÷ ÷
| |
\ . \ .
2. Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: ( ) 1;1; 2 n = ÷
,
.
Mặt cầu (S) có tâm ( ) 1; 2; 1 I ÷ ÷ .
Ta có: IA
¸¸,
= (2;1;2). Gọi u
,
là vecto chỉ phương đường thẳng A.
A tiếp xúc với (S) tại A u IA ¬ ±
, ¸¸,
.
Vì ( ) // P A nên u n ±
, ,
.
Suy ra: ( )
1 2 2 2 2 1
, ; ; 4; 6;1
1 2 2 1 1 1
u IA n
| |
(
= = = ÷
|
¸ ¸
÷ ÷
\ .
, ¸¸, ,
.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ( )
3 4
: 1 6
1
x t
y t t
z t
= ÷ ¦
¦
A = ÷ + e
´
¦
= +
¹
R .
Câu VIIa
Ta có: ( )
n n
n n n n n
n
x C x C x C x C C x . ... . . . 1
3 3 2 2 1 0
+ + + + + = +
Lấy đạo hàm hai vế: ( )
1 2 3 2 1 1
. ... . 3 . 2 1
÷ ÷
+ + + + = +
n n
n n n n
n
x nC x C x C C x n .
Lấy tích phân hai vế: ( ) x d x nC x d x C x xd C dx C dx x n
n n
n n n n
n
} } } } }
÷ ÷
+ + + + = +
2
1
1
2
1
2 3
2
1
2
2
1
1
2
1
1
... 3 2 1 .
Tính toán các tích phân trên, ta được: ( )
n n n
n
n
n n n
C C C C 2 3 1 2 ... 7 3
3 2 1
÷ = ÷ + + + + .
Theo đề ta có: 0 6480 3 3 6480 2 3 2 3
2 2
= ÷ ÷ · ÷ ÷ = ÷
n n n n n n
. Giải phương trình mũ
này ta tìm được 4 n = .
Vậy 4 n = là nghiệm của phương trình đã cho.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Gọi ( ) C là đường tròn có phương trình cần tìm.
Toạ độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của HPT:
¹
´
¦
= +
=
5 5
10
2 2
2
y x
y x
Nhận thấy: với mỗi x > 0, có 2 giá trị y đối xứng nhau, suy ra đường thẳng đi qua các giao
điểm là: x = 2 ( cát tuyến chung).
Gọi I là tâm đường tròn ( ) C và ( ) 6 3 ; I I b b eA ¬ = ÷ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
131
Theo đề ta có:
¸
=
=
·
¸
÷ = ÷
= ÷
· = ÷ ÷
2
1
3 4
3 4
2 3 6
b
b
b b
b b
b b .
+ Với 1 b = ta có: tâm ( ) 1 ; 3
1
= I và bán kính 1
1
= R . Suy ra: ( ) ( ) ( )
2 2
: 3 1 1 C x y ÷ + ÷ =
+ Với 2 b = ta có: tâm ( ) 2 ; 0
2
= I và bán kính 2
2
= R . Suy ra: ( ) ( )
2
2
: 2 4 C x y + ÷ =
2. Phương trình tham số của đường thẳng
4 3
: 2 5
x t
AB y t
z t
= + ¦
¦
= ÷
´
¦
=
¹
Gọi ( ) M AB P = · ¬ tọa độ điểm M ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 5 2 1 0 1 7; 3;1 t t t t M + + ÷ ÷ + = · = ¬ ÷ .
Gọi I là hình chiếu của B lên (P). Dễ dàng tìm được ( ) 3; 0; 2 I . Hình chiếu d của đường
thẳng AB lên (P) là MI .
Vậy phương trình đường thẳng d là:
3 4
3
2
x s
y s
z s
= ÷ ¦
¦
=
´
¦
= +
¹
.
Câu VIIb
Điều kiện:
, 0 x y
x y
> ¦
´
>
¹
.
Với điều kiện trên hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
( )
( )( )
3 2 3 2 3 2 3 2
3 5.6 4.2 0 3 5.6 4.2 0
2 2 2 2 2
x y x x y x y x x y
x y y y x y x x y y x y x x y y
÷ ÷ ÷ ÷
¦ ¦ ÷ + = ÷ + =
¦ ¦
·
´ ´
÷ ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ +
¦ ¦
¹ ¹
( )
( ) ( )
( )
( )
3 2 3 2
3 2 3 2
3 5.6 4.2 0
3 5.6 4.2 0 1
2 2 1 1 0 2 2
x y x x y
x y x x y
y x y x x y y x
÷ ÷
÷ ÷
¦ ÷ + =
¦ ÷ + =
¦ ¦
· ·
´ ´
(
÷ + ÷ + + = =
¦ ¦ ¹
¸ ¸ ¹
.
Thay (2) vào (1) ta được:
2
2 2
3
2
3
1
0
2 3 3
3 5.6 4.2 0 5. 4 0
log 4
2 2
3
4
2
x
x x
x x x
x
x
x
| |
=
| =
\ . | | | |
÷ + = · ÷ + = · ·
| |
=
\ . \ .
| |
¸
=
|
\ . ¸
.
+ Với 0 x = suy ra 0 y = .
+ Với
3
2
log 4 x = suy ra
3
2
log 2 y = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
132
ĐỀ 21
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
4 2 2
( 10) 9 y x m x = ÷ + + .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm pbiệt
1 2 3 4
, , , x x x x thỏa mãn điều kiện:
1 2 3 4
10 x x x x + + + = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
2sin cos x 1 sin sin2x
2 2
t t
| | | |
= ÷
| |
\ . \ .
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
2
14 2 2
9
2 2
xy y x y x y x y
x y x y
¦
+ ÷ + ÷
= + ¦
¦
´
+ ÷ ¦ | | | |
+ =
| | ¦
\ . \ .
¹
.
Câu III (1,0 điểm). Tnh tích phân sau :
ln3 2
ln 2 1 2
x
x x
e dx
I
e e
=
÷ + ÷
}
Câu IV (1,0 điểm).
Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là . O , A B là hai điểm trên đường tròn đáy
sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a ,
0
60 ASO SAB = = . Tính theo
a chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón
Câu V (1,0 điểm).
Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm:
( )
8
8 8
256
2
x y
x y m
¦
+ =
¦
´
+ = + ¦
¹
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: cos sin 2cos 1 0. x t y t t + + + =
Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
2. Trong không gian Oxyz, lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm
( ) 0; 0;1 M , ( ) 3; 0; 0 N và tạo với mặt phẳng ( ) Oxy một góc
3
.
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho n là một số nguyên dương và ( )
0 1 2 2
1 ... ...
n
k n
k n
x a a x a x x x a x + = + + + + + + . Biết rằng
tồn tại số nguyên dương k ( ) 1 1 k n s s ÷ sao cho
1 1
.
2 9 24
k k k
a a a
÷ +
= =
Tính
( ) 2011! 10
2012
n
M
÷
= .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
133
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol: ( )
2
: P y x = ÷ và đường thẳng
d: 1 y mx = ÷ ÷ . Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng ( ) d luôn cắt parabol ( ) P
tại hai điểm phân biệt M và N. Hãy tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN
khi m thay đổi.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình :
d : z
y
x =
÷
÷
=
1
2
và d’ :
1
5
3
2
2
÷
+
= ÷ =
÷ z
y
x
.
Viết phương trình mặt phẳng ) ( đi qua d và tạo với d’ một góc
0
30
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải phương trình:
( )
3
3 2
3log 1 2log x x x + + = .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox là:
( )
4 2
10 9 0 x m x ÷ + + = (1)
Đặt
2
, 0 t x t = > . Phương trình (1) thành:
( )
2 2
10 9 0 t m t ÷ + + = (2)
(C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
1 2 3 4
, , , x x x x ·Phương trình (1) có 4 nghiệm phân
biệt
1 2 3 4
, , , x x x x ·Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
1 2
, t t
2 2
2
( 10) 36 0
9 0
10 0
m
P
S m
¦A = + ÷ >
¦
· = >
´
¦
= + >
¹
( luôn đúng với mọi m).
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt là:
1 1 2 1 3 2 4 2
, , , x t x t x t x t = ÷ = = ÷ = .
Theo đề, ta có:
( ) 1 2 3 4 1 2 1 2
10 2 10 5 x x x x t t t t + + + = · + = · + =
( )
2 2
1 2 1 2
2 25 10 2 9 25 9 3 t t t t m m m · + + = · + + = · = · = ± (thỏa điều kiện).
Vậy 3 m = ± là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
134
Câu II
1. Phương trình tương đương với
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
1 2sin cos x sin sin2x cos cos x sin sin2x
2 2 2
cos cos x cos sin2x cos cos x cos (1 sin2x)
2 2 2
1
cos x (1 sin2x) k2 cos x (1 sin2x) 2k
2 2
1 1
(1 cos2x) (1 sin2x) 2k
2 2
1
t t t | | | | | |
· ÷ = · t =
| | |
\ . \ . \ .
t t t | | | |
· t = ÷ · t = ÷
| |
\ . \ .
t
· t = ± ÷ + t · = ± ÷ +
+ = ÷ +
·
1 cos2x 1 sin2x 4k sin2x cos2x 4k (1)
1 1 cos2x sin2x 1 4k sin2x cos2x 2 4k (2)
(1 cos2x) (1 sin2x) 2k
2 2
+ = ÷ + + =
· ·
+ = ÷ + ÷ = ÷
¸ ¸
+ = ÷ ÷ +
¸
Phương trình (1) có nghiệm
2 2 2
1 1
k
(4k) 1 1 2 16k 2 8k 1 0 k 0 2 2 2 2
k
¦
÷ s s
¦
· s + = · s · ÷ s · · =
´
¦
e
¹
Z
Phương trình (2) có nghiệm
2 2 2 2
(2 4k) 1 1 2 4(1 2k) 2 4(1 4k 4k ) 2 8k 8k 1 0 · ÷ s + = · ÷ s · ÷ + s · ÷ + s
2 2 2 2
k
k
4 4
k
¦
÷ +
s s ¦
· · e| ¬
´
¦
e
¹
Z
phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi k 0 = sin 2x cos2x 0 · + =
k
sin 2x 0 2x k x ; (k ).
4 4 8 2
t t t t
| |
· + = · + = t · = ÷ + e
|
\ .
Z
2. Điều kiện
0
0
x y
x y
+ > ¦
´
÷ >
¹
.
Đặt ,
2 2
x y x y
u v
+ ÷
= = ; , 0 u v > . Suy ra:
2 2 2 2
, x u v y u v = + = ÷ .
Hệ phương trình đã cho thành:
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
2 4
14
9
u v u v u v u v
u v
u v
¦
+ ÷ + ÷
¦
= +
´
¦
+ =
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
135
( )( )
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
7 0 0 7
9 9
9
u v u v u v u v
u v u v
u v
¦
+ ÷ ÷ = + = ¦ ÷ = ¦
¦ ¦
· · v
´ ´ ´
+ = + =
¦ + = ¹ ¹ ¦
¹
.
Hệ
3 3
0
9
u v
u v
+ = ¦
´
+ =
¹
vô nghiệm.
Giải hệ
3 3
3 3
7
9
u v
u v
¦ ÷ =
¦
´
+ = ¦
¹
ta được
2
1
u
v
= ¦
´
=
¹
.
Do đó:
2
8 5
2
2 3
1
2
x y
x y x
x y y
x y
¦
+
=
¦
+ = = ¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ = =
÷ ¹ ¹
¦
=
¦
¹
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
5
3
x
y
= ¦
´
=
¹
Câu III
Đặt
2
2 2 2
x x x
t e e t e dx tdt = ÷ ¬ = + ¬ =
Đổi cận: ln 2 0; ln3 1 x t x t = ¬ = = ¬ = .
I = 2
1 2
2
0
( 2)
1
t tdt
t t
+
+ +
}
= 2
1
2
0
2 1
( 1 )
1
t
t dt
t t
+
÷ +
+ +
}
= 2
1
0
( 1) t dt ÷
}
+ 2
1 2
2
0
( 1)
1
d t t
t t
+ +
+ +
}
=
2 1
( 2 )
0
t t ÷ + 2ln(t
2
+ t + 1)
1
0
= 2ln3 - 1.
Câu IV
Gọi I là trung điểm của AB , nên OI a =
Đặt OA R =
0
60 SAB SAB = ¬ A đều
1 1 1
2 2 2 3 sin
OA R
IA AB SA
ASO
= = = =
Tam giác OIA vuông tại I nên
2 2 2
OA IA IO ÷ =
2
2 2
6
3 2
R a
R a R · ÷ = · =
2 SA a ¬ =
Chiếu cao:
2
2
a
SO =
Diện tích xung quanh:
2
6
2 3
2
xq
a
S Rl a a = = =
S
O O
S
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
136
Câu V
Giả sử ( )
0 0
; x y là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Khi đó
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
; , ; , ; y x x y y x ÷ ÷ ÷ ÷ cũng là các nghiệm của hệ. Vì vậy điều kiện cần để hệ có
đúng hai nghiệm là:
0 0 0
0 , x x y = = .
Thay nghiệm này vào hệ phương trình trên ta được
0
1 x = ± và 0 m = .
Ngược lại với 0 m = , ta được hệ phương trình:
( )
8
8 8
256
2
x y
x y
¦
+ =
¦
´
+ = ¦
¹
.
Áp dụng liên tiếp hữu hạn lần bất đẳng thức Bunhiacoski, ta được:
( ) ( )
8
7 8 8
2 256. x y x y + s + = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y = . Từ đây, ta dễ dàng giải
ra được nghiệm của hệ là: ( ) ( ) 1;1 , 1; 1 ÷ ÷ .
Vậy 0 m = là giá trị cần tìm.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi ( )
0 0
; I x y là tâm và R là bán kính của đường tròn cần tìm.
d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: ( )
0 0
2 2
x cos t y sin t 2cos t 1
d I; d R R
cos t sin t
+ + +
= · =
+
( )
0 0 0 0
x cos t y sin t 2cos t 1 R x 2 cos t y sin t 1 R · + + + = · + + + = .
Để R là hằng số không phụ thuộc vào t thì:
0 0
x 2; y 0 = ÷ =
Lúc đó, d tiếp xúc với đường tròn cố định tâm ( ) I 2; 0 ÷ , bán kính R = 1.
2. Gọi ( ) là mặt phẳng cần tìm có dạng: ax 0 by cz d + + + =
Vì ( ) ( ) ( ) 0; 0;1 , N 3; 0; 0 M e nên
0
3 0
c d
a d
+ = ¦
´
+ =
¹
. Chọn 1 3 , c 3 a d = ¬ = ÷ =
Lúc đó: ( ) : 3 3 0 x by z + + ÷ = có VTPT có VTPT ( ) n 1; b;3 =
,
Mặt phẳng Oxy có VTPT ( ) k 0;0;1 =
,
Theo đề, ta có:
2 2
n.k
3
3 1
cos b 26.
3 2
n k 1 b 9. 1 b 10
= = · = · = ±
+ + +
, ,
, ,
Vậy có 2 mặt phẳng ( ) thỏa mãn đề toán: 26 3 3 0 x y z + + ÷ = ; 26 3 3 0 x y z ÷ + ÷ = .
Câu VIIa
Ta có: ( )
1 1
1 1
2 9 24
k k k
a a a
k n
÷ +
= = s s ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
137
1 1
2 9 24
k k k
n n n
C C C
÷ +
· = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ! 1 ! 1 !
2 1 ! 1 ! 9 ! ! 24 1 ! 1 !
n n n
k n k k n k k n k
· = =
÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ! 1 ! 9. ! ! 24. 1 ! 1 ! k n k k n k k n k · ÷ ÷ + = ÷ = + ÷ ÷
( )( ) ( ) ( ) 2. 1 9 24 1 n k n k k n k k k · ÷ + ÷ = ÷ = +
( )
( ) ( )
2 2
2 1 9
2 2 3 8
11
10
3 8 11 11 9 24 1
11
n
k
n k k
n n
k
n n k k
k
+ ¦
=
¦ ÷ + = ¦
+ ÷ ¦ ¦
· · ¬ = · =
´ ´
÷ ÷ = +
¦
¦ ¹
=
¦
¹
.
Khi đó:
( ) 2011! 10 10 0
2012 2012 1. M
÷
= = =
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và d:
2
1 0 x mx ÷ ÷ =
Ta có:
2
4 0 m m A = + > ¬ .
Vậy d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt M và N.
Gọi
1 2
, x x là hoành độ của M, N. Ta có: ( ) ( )
1 1 2 2
; 1 , N ; 1 M x mx x mx + + với
1 2 1 2
, x 1 x x m x + = = ÷ . Gọi I là trung điểm MN thì
2
2
;
2 2
m m
I
| | +
|
\ .
.
Mặt khác ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
. 1 1 . 1 . 1 0 OM ON x x m x x m x x m mm = + + + + = ÷ + ÷ + + =
¸¸¸¸, ¸¸¸,
Suy ra: OM ON ± hay tam giác OMN vuông tại O hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác OMN. Với
2
2
, y =
2 2
m m
x
+
= khử m từ hai phương trình này ta được:
2
2 1. y x = +
Đây cũng chính là quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.
2. Đường thẳng d đi qua điểm ) 0 ; 2 ; 0 ( M và có vectơ chỉ phương ) 1 ; 1 ; 1 ( ÷ u
Đường thẳng d’ đi qua điểm ) 5 ; 3 ; 2 ( ' ÷ M và có vectơ chỉ phương ) 1 ; 1 ; 2 ( ' ÷ u .
Mp ) ( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và
2
1
60 cos ) ' ; cos(
0
= = u n . Bởi vậy nếu đặt ) ; ; ( C B A n = thì ta phải có :
¦
¹
¦
´
¦
=
+ +
÷ +
= + ÷
2
1
6
2
0
2 2 2
C B A
C B A
C B A
·
¹
´
¦
= ÷ ÷
+ =
·
¦
¹
¦
´
¦
+ + + =
+ =
0 2 ) ( 6 3 2
2 2 2 2 2
C AC A
C A B
C C A A A
C A B
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
138
Ta có 0 ) 2 )( ( 0 2
2 2
= + ÷ · = ÷ ÷ C A C A C AC A . Vậy C A = hoặc C A ÷ = 2 .
Nếu C A = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2 = B , tức là ) 1 ; 2 ; 1 ( = n và ) ( mp có phương trình
0 ) 2 ( 2 = + ÷ + z y x hay 2 4 0 x y z + + ÷ =
Nếu C A ÷ = 2 ta có thể chọn 2 , 1 ÷ = = C A , khi đó 1 ÷ = B , tức là ) 2 ; 1 ; 1 ( ÷ ÷ = n và ) ( mp có
phương trình 0 2 ) 2 ( = ÷ ÷ ÷ z y x hay 2 2 0 x y z ÷ ÷ + =
Câu VIIb
Điều kiện: 0 x > .
Đặt
12
12
y
x =
Phương trình đã cho thành:
( ) ( )
6 4 6 4 6 4 4
3 3
3log 1 2 2 12 log 1 2 2 4 1 2 2 3
y y y y y y y
y y + + = · + + = · + + =
1 64 16
1 64 16 81 1
81 81 81
y y y
y y y
| | | | | |
· + + = · + + =
| | |
\ . \ . \ .
(*)
Nhận xét: Phương trình (*) có một nghiệm 1 y = .
VT(*) là tổng các hàm nghịch biến nên là một hàm nghịch biến, VP(*) là một hàm hằng.
Do đó y = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).Với 1 y = ta suy ra 4096. x =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 4096. x =
ĐỀ 22
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
4 2
4 y x x m = ÷ + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2. Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao diện tích hình phẳng giới hạn
bởi ( )
m
C và trục hoành có phần trên bằng phần dưới.
Câu II (2,0 điểm)
1. Tìm m để phương trình
( )
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0 x x x x m + + + ÷ = có nghiệm trên
0; .
2
(
(
¸ ¸
2. Giải bất phương trình:
2
1 2 1 2 2 x x x + ÷ + + > .
Câu III (1,0 điểm). Tnh tích phân sau :
2
3
0
sin
1 cos 2
x x
I dx
x
+
=
+
}
Câu IV (1,0 điểm). ): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần
lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho ( ) ( ) DMN ABC ± . Đặt AM = x, AN = y. Tính
thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 3 x y xy + = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
139
Câu V (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 3. a b c + + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức 4 9 16 9 16 4 16 4 9 .
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là một điểm trên
( ) : 2 0 d x y ÷ + = . Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một góc 45
0
tiếp xúc với (C) tại A, B.
Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d
1
và d
2
biết:
1
2
: 2
3
x t
d y t
z t
= + ¦
¦
= +
´
¦
= ÷
¹
2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
÷ ÷ ÷
= = .
Câu VII a (1,0 điểm)
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
3
z 2 3i
2
÷ + = . Hãy tìm số phức có môđun nhỏ
nhất.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm
1 2
( 3; 0); ( 3; 0) F F ÷ và đi
qua điểm
1
3;
2
A
| |
|
\ .
. Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy
tính biểu thức:
2 2 2
1 2 1 2
3 . P FM F M OM FM F M = + ÷ ÷ .
2. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2),
( ) DH ABC ± và 3 DH = với H là trực tâm tam giác ABC. Tính tan của góc giữa (DAB) và
( ) ABC .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 2
3 3
2 2
2 2
log log
4
y x y x x xy y
x y
¦
÷ = ÷ ÷ +
¦
´
¦
+ =
¹
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
140
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox là:
4 2
4 0 x x m ÷ + = (1)
Đặt
2
, 0 t x t = > . Phương trình (1) thành:
2
4 0 t t m ÷ + = (2)
(C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ·Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt
·Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
1 2
, t t
4 0
4 0 0 4
0
m
P m
S m
A = ÷ > ¦
¦
· = > · < <
´
¦
= >
¹
(*)
Không giảm tính tổng quát, giả sử
1 2
t t <
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:
1 2 2 1 3 1 4 2
, , , x t x t x t x t = ÷ = ÷ = = .
Do tính đối xứng của đồ thị nên ta có:
( ) ( )
3 4
3 4
3 3
5 5
4 2 4 2 3 3
0 0
4 4
4 4
5 3 5 3
x x
x x
x x
x x
x x m dx x x m dx x mx x mx ÷ + = ÷ + ÷ · ÷ + = ÷ + ÷
} }
4 2
4 4
... 3 20 15 0 x x m · · ÷ + = .
Ta có:
4
x là nghiệm của hệ phương trình:
4 2 4 2
4 4 4 4 2
4
4 2 4 2
4 4 4 4
4 0 3 12 3 0
3
2
3 20 15 0 3 20 15 0
x x m x x m
m
x
x x m x x m
¦ ¦ ÷ + = ÷ + =
¦ ¦
· ¬ =
´ ´
÷ + = ÷ + =
¦ ¦
¹ ¹
.
Thay
2
4
3
2
m
x = vào phương trình:
4 2
4 4
4 0 x x m ÷ + = ta được:
2
0
9
5 0
20
4
9
m
m
m
m
=
÷ = ·
=
¸
.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được
20
9
m = là giá trị cần tìm.
Câu II
1. Ta có
4 4 2
1
sin os 1 sin 2
2
x c x x + = ÷ và
2
os4 1 2sin 2 . c x x = ÷
Do đó phương trình đã cho tương đương với:
2
3sin 2 2sin 2 3 x x m ÷ + + = .
Đặt sin 2 t x = . Ta có | | | | 0; 2 0; 0;1 .
2
x x t
(
e ¬ e ¬ e
(
¸ ¸
Đặt ( )
2
3 2 3 f t t t = ÷ + +
( ) 6 2 f t t ' = ÷ + ; ( )
1
0
3
f t t ' = · = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
141
Ta có: ( ) ( )
1 10
0 3, , 1 2
3 3
f f f
| |
= = =
|
\ .
.
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
| |
( )
| |
( )
0,1 t 0,1
min ax
t
f t m m f t
e e
s s hay
10
2
3
m s s .
2. Điều kiện:
1 1
2 2
x ÷ s s . Suy ra:
2
2 0 x ÷ > .
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2 2 4 2
1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 4 4 4 x x x x x x x x x + ÷ + + > · ÷ + + > ÷ · + ÷ > ÷ +
( )
4
2
4 2 2 4 2
2
0
4 2 1 4 2 0 1 4 1 0 0
1 4 1
x
x x x x x x
x
¦ =
¦
· ÷ ÷ ÷ + s · + ÷ ÷ s · · =
´
÷ = ¦
¹
.
Vậy 0 x = là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu III
2 2
3 3 3
1 2 2 2
0 0 0
sin sin
1 cos 2 2cos 2cos
x x x x
I dx dx dx I I
x x x
+
= = + = +
+
} } }
3 3
1 2 2
0 0
1
2cos 2 cos
x x
I dx dx
x x
= =
} }
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x dv
x
= ¦
= ¦ ¦
¬
´ ´
= =
¹
¦
¹
3 3 3
1
0 0 0
1 1 1
tan tan ln cos ln 2
2 2 2 2 3 2 3
I x x xdx x
(
¬ = ÷ = + = ÷
(
¸ ¸
}
| |
2
2 2
3 3 3 3 3
2 2
0 0 0 0 0
sin 1 1 1 1
tan (1 tan ) tan 3
2cos 2 2 2 2 3
x
I dx xdx x dx dx x x
x
(
| |
= = = + ÷ = ÷ = ÷
( |
\ .
¸ ¸
} } } }
Suy ra :
( )
1 2
3 1
1 1 1
ln 2 3 ( 3 ln 2)
2 2 3 6 2 2 3
I I I
÷
| |
= + = ÷ + ÷ = + ÷
|
\ .
.
Câu IV
Dựng DH MN ± tại H.
Do ( ) ( ) ( ) DMN ABC DH ABC ± ¬ ± mà . D ABC là
tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC .
Trong tam giác vuông DHA:
2
2 2 2
3 6
1
3 3
DH DA AH
| |
= ÷ = ÷ =
|
|
\ .
Diện tích tam giác AMN là
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy = =
D
A
B C
H
M
N
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
142
Thể tích tứ diện . D AMN là
1 2
.
3 12
AMN
V S DH xy = =
Ta có:
AMN AMH AMH
S S S = +
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin30 . .sin30
2 2 2
xy x AH y AH · = + · 3 . x y xy + =
Câu V
Đặt
( ) ( ) ( )
2 ;3 ; 4 , 2 ;3 ; 4 , w 2 ;3 ; 4 w
a b c c a b b c a
u v M u v = = = ¬ = + +
, , ¸¸, , , ¸¸,
( ) ( ) ( )
2 2 2
w 2 2 2 3 3 3 4 4 4
a b c a b c a b c
M u v > + + = + + + + + + + +
, , ¸¸,
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
2
2 2 2 3 2 6
b c a b c + +
+ + > =
3
3 3 3 3 3 9
a b c a b c + +
+ + > = ;
3
4 4 4 4 4 16
a b c a b c + +
+ + > = .
Vậy 3 29. M > Dấu bằng xảy ra khi 1. a b c = = =
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Dễ thấy ( ) I d e . Hai tiếp tuyến hợp với (d) một góc 45
0
suy ra tam giác MAB vuông cân
và tam giác IAM cũng vuông cân . Suy ra: 2 IM = .
( ) ( M d M e ¬ a; a+2), ( 1; 1) IM a a = + +
¸¸¸,
,
0
2 2 1 2
2
a
IM a
a
=
= · + = ·
= ÷
¸
.
Suy ra có 2 điểm thỏa mãn: M
1
(0; 2) và M
2
(-2; 0).
+ Đường tròn tâm M
1
bán kinh R
1
=1 là (C
1
):
2 2
4 3 0 x y y + ÷ + = .
Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C
1
) nên AB:
2 2 2 2
4 3 2 2 1 1 0 x y y x y x y x y + ÷ + = + + ÷ + · + ÷ = .
+ Đường tròn tâm M
2
bán kinh R
2
=1 là (C
2
):
2 2
4 3 0 x y x + + + = .
Khi đó AB đi qua giao điểm của (C ) và (C
2
) nên AB:
2 2 2 2
4 3 2 2 1 1 0 x y x x y x y x y + + + = + + ÷ + · + + = .
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: 1 0 x y + ÷ = và 1 0 x y + + = .
2. Đường thẳng d
2
có PTTS là:
1 2
2
1 5
x s
y s
z s
= +
¦
¦
= +
´
¦
= +
¹
Vectơ chỉ phương của d
1
và d
2
là:
1 2
(1;1; 1), (2;1;5)
d d
u u = ÷ =
¸¸,
,
Vecto pháp tuyến của mp( ) là
1 2
. (6; 7; 1)
d d
n u u
( = = ÷ ÷
¸ ¸
, , ,
Phương trình mp( ) có dạng 6x – 7y – z + d = 0
Đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt đi qua 2 điểm M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
nên suy ra : ( , ( )) ( , ( )) d M d N =
| 12 14 3 | | 6 14 1 | | 5 | | 9 | 7 d d d d d · ÷ ÷ + = ÷ ÷ + · ÷ + = ÷ + · =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
143
Vậy phương trình mp( ) là: 3x – y – 4z +7 0 =
Câu VIIa
Đặt: z a bi = +
Ta có :
2 2
3 3 3 9
z 2 3i a bi 2 3i (a 2) (b 3)i (a 2) (b 3) (*)
2 2 2 4
÷ + = · + ÷ + = · ÷ + + = · ÷ + + =
Từ (*) suy ra điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn
tâm I(2; 3) ÷ và bán kính
3
R
2
= .
Ta có:
min
z ·M nằm trên đường tròn và gần gốc tọa độ O nhất. Đó là điểm
1
M trên
hình vẽ
(là một trong hai giao điểm của OI với đường tròn)
Kẻ
1
M H Ox ± ta có:
2 2
1
OI OH OM 4 9 13 = + = + =
Theo Talet ta có:
1 1
1
3
3
M H M O OH
2
2 3 OI 13
6 13 9 78 9 13
M H b
26 2 13
2 3 3 26 3 13
OH a
13 13
÷
= = =
¦
÷ ÷
= = =
¦
¦
¬
´
÷ ÷
¦
= = =
¦
¹
Vậy số phức cần tìm là:
26 3 13 78 9 13
z i
13 26
÷ ÷
= +
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Dạng chính tắc của elip (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
( ) ( )
2 2
1 2
3; 0 , 3;0 3 3 F F c a b ÷ ¬ = · ÷ = (1)
( )
2 2
1 3 1
3; 1
2 4
A E
a b
| |
e · + =
|
\ .
(2)
Từ (1) và (2) ta tìm được
2 2
4; 1 a b = = .
Do đó:
2 2
1
4 1
x y
+ =
Ta có:
2 2 2
1 2 1 2
3 . P FM F M OM FM F M = + ÷ ÷
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3
M M M M M M
a ex a ex x y a ex a ex = + + ÷ ÷ + ÷ + ÷
2
-3
I
y
x
O
H
1
M
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
144
=
( )
2 2
2 2
3 3 3 3
1 1 3 1 1
2 2 2 2
M M M M M M
x x x y x x
| | | | | |
| |
+ + ÷ ÷ + ÷ + ÷
| | |
|
| | |
\ .
\ . \ . \ .
= 1.
2.
Trong tam giác ABC, gọi K CH AB = · .
Khi đó, dễ thấy ( ) AB DCK ± . Suy ra góc giữa (DAB) và
(ABC) chính là góc
**DKH .Ta tìm tọa độ điểm H rồi
**
mp (ABC) qua ( ) 0; 0; 2 A nhận ( ) [ , ] 0; 4; 4 n AB AC = = ÷ ÷
, ¸¸¸, ¸¸¸,
làm vecto pháp tuyến nên có
phương trình là: (ABC): 2 0 y z + ÷ = .
( ) H ABC e nên giả sử ( ; ; 2 ) H a b b ÷ .
Ta có: ( ; ; ), (4; 2; 2). AH a b b BC = ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
( 2; ; ), ( 2; 2; 2). CH a b b AB = ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
Khi đó:
. 0 0
2
2 2 0
. 0
BC AH a b
a b
a b
ABCH
¦
= ÷ = ¦ ¦
· · = = ÷
´ ´
÷ + + =
= ¹ ¦
¹
¸¸¸, ¸¸¸,
¸¸¸, ¸¸¸,
Vậy H(-2; -2; 4).
Phương trình mặt phẳng ( ) qua H và vuông góc với AB là: 4 0 x y z ÷ + ÷ = .
Phương trình đường thẳng AB là:
2
x t
y t
z t
= ¦
¦
= ÷
´
¦
= +
¹
.
( ) K AB = · ¬ tọa độ điểm K là nghiệm của phương trình:
2 2 2 8
2 4 0 ; ;
3 3 3 3
t t t t K
| |
+ + + ÷ = · = ¬ ÷
|
\ .
Suy ra:
2 2 2
2 2 8 96
2 2 4
3 3 3 3
HK
| | | | | |
= + + ÷ + + ÷ =
| | |
\ . \ . \ .
.
Gọi là góc cần tìm. Ta có:
96 6
tan
12 3
DH
HK
= = = .
Câu VIIb
Điều kiện : x > 0 ; y > 0 . Ta có : 0
4
3
2
2
2
2 2
> + |
.
|
\
|
÷ = + ÷ y
y
x y xy x y x, ¬ >0
Xét x > y
3 3
2 2
VT(*) 0
log log
VP(*) 0
x y
> ¦
¬ < ¬ ¬
´
<
¹
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
Xét x < y
3 3
2 2
VT(*) 0
log log
VP(*) 0
x y
< ¦
¬ > ¬ ¬
´
>
¹
(*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
145
Do đó : x y = .
Khi x = y , thay vào hệ phương trình ta được
2 2
0 0
2 2 4 x y
= ¦
´
= =
¹
· x = y = 2 ( do x, y > 0).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )
( )
; 2; 2 x y = .
ĐỀ 23
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3
2
x
y
x
+
=
÷
( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Tìm m để đường thẳng : 1 d y x m = ÷ + + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho
AOB
nhọn.
Câu II (2,0 điểm)
1.Giải phương trình:
( )
3
3
8sin x 1 162sin x 27 0 + ÷ + = .
2. Giải hệ phương trình:
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
¦
÷ + =
¦
´
÷ + ÷ ÷ = ÷ ÷
¦
¹
.
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân sau :
( ) 1
ln
2 ln 2 ln
e
xdx
I
x x x
=
+ + ÷
}
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho đường cao khối chóp đều S.ABC bằng h không đổi, góc ở đáy của
mặt bên bằng với |
.
|
¸
e
2
;
4
.Tính thể tích của khối chóp đó theo h và .Với giá trị
nào của thì thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất .
Câu V (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số dương thuộc khoảng
( )
0; 6 và a b c 3 3 + + = .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
P
6 a 6 b 6 c
= + +
÷ ÷ ÷
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
146
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có ( ) 6; 6 D ÷ ÷ . Đường trung trực của
đoạn DC có phương trình
1
: 2 3 17 0 x y A + + = và đường phân giác góc
BAC có phương
trình là
2
: 5 3 0 x y A + ÷ = . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.
2. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện với đỉnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 0; 0 , 0; 4; 0 , 0; 0; 6 , 2; 4; 6 A B C D
Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho: 40 MA MB MC MD + + + =
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸¸,
.
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải phương trình trên C: 3 0 z z z i ÷ ÷ = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ( ) 1; 5 B và phương trình đường cao
: 2 2 0 AD x y + ÷ = , đường phân giác
2
: 1 0 CC x y ÷ ÷ = . Tìm tọa độ các đỉnh , A C .
2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1 1
:
3 2 2
x y z
d
÷ +
= =
÷
và hai điểm ( ) ( ) 3; 0; 2 , 1; 2;1 A B .
Kẻ AA,BB ' ' vuông góc với đường thẳng d . Tính độ dài A B ' ' .
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
4
(2 1)[ln(x + 1) lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) lny]
3 1 2 ( 1)( 1) 1 0
x
y y x m x
+ ÷ ÷ ¦
¦
´
÷ ÷ + ÷ + + =
¦
¹
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và d là:
( ) ( )
2
2
3
1
2 2 5 0 * 2
x
x
x m
x m x m x
= ¦
+ ¦
= ÷ + + ·
´
÷ + + + = ÷
¦
¹
.
d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B · phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt khác 2
( )
2
2
4 16 0 2 2 5
2 2 2 2 5 0
2 2 5
m m m
m m
m
¦A = ÷ ÷ > < ÷
¦
· ·
´
÷ + + + =
> + ¦
¹ ¸
.
Gọi ( ) ( )
1 1 2 2
; 1 , ; 1 A x x m B x x m ÷ + + ÷ + + là hai giao điểm của ( ) C và d.
AOB nhọn ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 1 1 2
2 1 1 AB OA OB x x x m x m · < + · ÷ = ÷ + + + ÷ + +
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2
2 1 1 0 ... 3 x x m x x m m · ÷ + + + ÷ + < · · > ÷ .
Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta thu được:
3 2 2 2
2 2 5
m
m
÷ < < ÷
> +
¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
147
Câu II
1. Đặt 2sin u x = . Điều kiện : 2 2 u ÷ s s
Phương trình đã cho thành:
( ) ( )
3 3
3 3
1 81 27 0 1 81 27 u u u u + ÷ + = · + = ÷ .
Đặt
3 3
3 1 3 1 v u u v = + ¬ = ÷ . Do đó, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
3
3 3 2 2 3
1 3 1 3
1 3
3 3 0 1 3
u v u v
u v
u v v u u v u uv v v u
¦ ¦ + = + =
¦ + =
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ = ÷ ÷ + + + = + =
¦
¹ ¦ ¦
¹ ¹
( )
3
3
3 2
2
1 3
1 3
3 1
3
3 0
2 4
u v
u v
u u
v
u v u v u v
¦ + =
¦ ¦ + =
( · ¬ ÷ =
´ ´ | |
÷ + + + = =
(
¹ | ¦
\ .
(
¸ ¸ ¹
Lúc đó:
3 3
1
6sin 8sin 1 3sin 4sin sin3 sin
2 6
x x x x x
÷ = · ÷ = · =
2
3 2
6 18 3
5 5 2
3 2
6 18 3
x k x k
x k x k
= + = +
· ·
= + = +
¸ ¸
( k eZ ).
2. Điều kiện: 1 y > ÷ .
Ta có:
( ) ( )
2
2
3
3
2 1 3 2 1 3
4 6 5 4 1 3
x
x
x y y x
y x x y x
> ¦ > ¦
¦
÷ + = · + = ÷ · ·
´ ´
= ÷ + + = ÷
¦ ¹
¹
Thay
2
4 6 5 y x x = ÷ + vào phương trình thứ hai của hệ phương trình ta được:
( ) ( ) ( )
3 2 2 2
2 3 9 2 6 5 52 6 5 x x x x x x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ +
2
3
4 21 0
7
x
x x
x
= ÷
· + ÷ = ·
=
¸
.
So với điều kiện 3 x > , chọn nghiệm 7 x = .Thay vào phương trình
2
4 6 5 y x x = ÷ + ta
được 3 y = .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 7; 3 x y = .
Câu III
Đặt ln
dx
t x dt
x
= ¬ = .
Đổi cận: 1 0 ; 1 x t x e t = ¬ = = ¬ = .
Khi đó:
( )
1 1
0 0
1
2 2
2 2 2
t
I dt t t dt
t t
= = + ÷ ÷
+ + ÷
} }
( ) ( )
( )
( )
1
3 3
0
1 1 1 4 2
2 2 27 1 8 8 3
3 3 3 3
t t = + + ÷ = + ÷ ÷ = + ÷ .
Câu IV
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
148
Xác định đúng góc
...... SBA SBC = = = và SA=SB=SC
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S, ta có SH=h,
và H là tâm dáy .
Gọi K là trung điểm BC ta có BC SK ±
Đặt cạnh đáy BC = 2x, khi đó BK = x
Ta có tan . x SK = (trong tam giác SBK)
Trong : SHK A
2
2 2 2 2 2 2
. tan
3
x
SH HK SK h x + = · + =
1 tan 3
3
2
2
2
÷
= ¬
h
x
= = ¬
4
3 ) 2 (
2
x
S
ABC
1 tan 3
3 3
2
2
÷
h
Vậy . .
3
1
.S
3
1
ABC
h SH V = =
1 tan 3
3 3
2
2
÷
h
3
2
3
3tan 1
h
=
÷
(đ.v.t.t)
|
.
|
¸
e
2
;
4
| ) +· e ¬ ; 1 tan .Suy ra
3 3 3
2
3 3 3
3tan 1 3.1 1 2
h h h
V
= s =
÷ ÷
.
Vậy,
3
3
max tan 1
2 4
h
V
= · = · =
Câu V
Dựng đường tròn tâm O đường kính AB 6 =
Do 0 a 6 < < , trên đường tròn ta lấy điểm M sao cho
2
AM a MB 6 a = ¬ = ÷ .
Gọi C là điểm chính giữa của nửa cung tròn
chứa điểm M CO AB ¬ ±
(Chú ý rằng các tam giác MAB và CAB vuông tại M và C).
Ta có:
AMB
2S AM.MB HM.AB CO.AB
A
= = s (Vì MHsOC)
2
6
a 6 a . 6 3
2
¬ ÷ s =
2
1 a
3
6 a
¬ >
÷
(1).
Dấu đẳng thức xảy ra khi a 3 =
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
2
1 b
3
6 b
>
÷
(2) và
2
1 c
3
3 c
>
÷
(3).
Cộng (1) , (2) và (3) vế theo vế ta được:
2 2 2
1 1 1 a b c 3 3
3
3 3
6 a 6 b 6 c
+ +
+ + > = =
÷ ÷ ÷
Vậy
min
P 3 = đạt được khi a = b = c = 3 .
A
B
C
M
a
O
H
2
6 a ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
149
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi I là trung điểm của CD.
( )
1
3 1; 2 5 I I a a eA ¬ ÷ ÷ ÷ .
Ta có:
1
. 0 u DI =
¸, ¸¸¸,
Trong đó: ( ) 3 5; 2 1 DI a a = + ÷ +
¸¸¸,
và ( )
1
3; 2 u = ÷
¸,
là vecto chỉ phương của
1
A . Suy ra 1 a = ÷ .
Vậy ( ) 4; 3 I ÷ ÷ suy ra ( ) 2; 0 C ÷ .
( )
2
; 3 5 A a A a eA ¬ ÷ .
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên
( )
4 4
4;9 5
3 5 6 9 5
B B
B B
x a x a
AB DC B a a
y a y a
÷ = = + ¦ ¦
= · · ¬ + ÷
´ ´
÷ + = = ÷
¹ ¹
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Vì DA
¸¸¸,
và DC
¸¸¸,
không cùng phương nên
6 9 5
0
4 6
a a
a
+ ÷
= · = .
Đường thẳng
2
A là phân giác
BAC và nhận ( )
2
1;5 u = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương nên
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
. . 26 26 13
os , os , 1
52 . .
2 5 3
ABu AC u a
c AB u c AC u a
AB u AC u
a a
÷
= · = · = · =
+ + ÷
¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸,
¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸,
¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸,
Vậy tọa độ các điểm , A B là: ( ) ( ) 1; 2 , 5; 4 A B ÷ .
2. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD ( ) 1; 2; 3 G ¬ .
Ta có: 40 4 40 10 MA MB MC MD MG MG + + + = · = · =
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸¸,
.
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu ( ) S tâm ( ) 1; 2; 3 G , bán kính 10 R = có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 100 x y z ÷ + ÷ + ÷ = .
Câu VIIa
Ta có:
( )
3 z z i ÷ = . Vì 3 z ÷ là số thực nên z là số thuần ảo.
Đặt ( ) z ti t = eR . Phương trình đã cho có dạng: 3 1 0 t t t ÷ ÷ = .
+ Nếu 0 t > thì
2
3 13
2
3 1 0
3 13
2
t
t t
t
+
=
÷ ÷ = ·
÷
=
¸
. Loại nghiệm
3 13
2
t
÷
= .
+ Nếu 0 t < thì
2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
t
t t
t
÷ +
=
+ + = ·
÷ ÷
=
¸
I
A
B
D
C
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
150
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
3 13
2
3 5
2
3 5
2
z i
z i
z i
+
=
÷ +
=
÷ ÷
=
¸
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Vì BC qua ( ) 1; 5 B và vuông góc với AD nên có vecto pháp tuyến ( ) 2; 1 n = ÷
,
. Suy ra
phương trình của BC là 2 3 0 x y ÷ + = . Vậy tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
( )
1
4; 5
2 3
x y
C
x y
÷ = ¦
¬ ÷ ÷
´
÷ = ÷
¹
.
Gọi B' là điểm đối xứng của B qua
2
CC thì BB' có vecto pháp tuyến là ( ) 1;1 m =
¸,
nên
phương trình BB' là 6 0 x y + ÷ = .
Gọi
2
K BB CC ' = · ¬ tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
( )
6
7 5
; 6; 0 .
1 2 2
x y
K B
x y
+ = ¦
| |
' ¬ ¬
´
|
÷ =
\ .
¹
Do đó phương trình đường AC là phương trình đường : 2 6 0 B C x y ' ÷ ÷ = .
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( )
2 2
4; 1
2 6
x y
A
x y
+ = ¦
¬ ÷
´
÷ =
¹
.
2. AA AA d ' ' ± ¬ nằm trong mặt phẳng ( ) qua và vuông góc với d .
BB d BB ' ' ± ¬ nằm trong mặt phẳng ( ) qua và vuông góc với d .
Suy ra: ( ) ( ) / / .
Dễ dàng lập được phương trình mặt phẳng ( ) : 3 2 11 0 x y z ÷ + ÷ = .
Do đó: ( ) ( ) ( )
3 4 1 11 11
, ,
9 4 1 14
A B d d B
÷ + ÷
' ' = = = =
+ +
.
Câu VIIb
Đặt ( ) ( ) ( ) 2 1 ln 1 ln f x x x x = + + ÷ (
¸ ¸
, ( ) 0; x e +·
=
1
(2 1) ln
x
x
x
+
+
Gọi ( )
1 2
, 0; x x e +· với
1 2
x x > .
Ta có :
1 2
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1 0
( ) ( ) 1 1
ln ln 0
x x
f x f x x x
x x
+ > + > ¹
¦
¬ > + +
`
> >
¦
)
¬ f(x) là hàm số tăng trên ( ) 0; +·
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
151
Do đó theo phương trình (1) : ( ) ( ) f x f y x y = · = . Thay y x = vào phương trình (2) ta
được:
4
3 1 2 ( 1)( 1) 1 0 x x x m x ÷ ÷ ÷ + + + =
4
1 1
3 2 0
1 1
x x
m
x x
÷ ÷
· ÷ + =
+ +
(3)
Đặt
4 4
1 2
1
1 1
x
t
x x
÷
= = ÷
+ +
¬ 0 1 t s < .
Phương trình (3) thành:
2 2
3 2 0 3 2 t t m t t m ÷ + = · ÷ + = (4)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm· phương trình (4) có nghiệm | ) 0;1 t e .
Đặt ( )
2
3 2 f t t t = ÷ + ; ( ) 6 2 f t t ' = ÷ + ; ( )
1
0
3
f t t ' = · = .
Lập bảng biến thiên, ta tìm được:
1
1
3
m ÷ < s .
ĐỀ 24
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2
4 2
6
2
m
y x mx = + ÷ + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 2 m = .
2. Tìm m để ( )
m
C có ba điểm cực trị , , A B C ( trong đó A thuộc trục tung) sao cho tứ giác
ABOC là hình bình hành.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2 2 2
os os 2 os 3 os 4 2 c x c x c x c x + + + = .
2. Giải hệ phương trình:
( )
4 4
2009 2013 2013 2009
2011
2 1
2
3
xy x y
x y x y
¦
+ + =
¦
´
¦ + =
¹
.
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân sau :
3 2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ ÷
=
+
}
Câu IV (1,0 điểm). Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là là trung điểm
của BC và D là điểm đối xứng của A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy
một điểm S sao cho
a 6
SD
2
= . Gọi H là hình chiếu của I trên SA. Chứng minh rằng
(SAB) (SAC) ± và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC.
Câu V (1,0 điểm).
Cho x, y, z là ba số thỏa 0 x y z + + = Chứng minh rằng : 3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + >
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
152
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 2 0 C x y x + + = . Viết phương trình
tiếp tuyến của ( ) C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương
trình
1 2
1 3
x t
y t
z t
= +
¦
¦
=
´
¦
= +
¹
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng
cách từ d tới (P) là lớn nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó.
Hãy tìm xác suất để trong 6 sản phẩm đó có không quá 1 phế phẩm.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol ( )
2 2
: 1
4 5
x y
H ÷ = và đường thẳng : 0 x y m A ÷ + = .
Chứng minh rằng A luôn cắt ( ) H tại hai điểm , M N thuộc hai nhánh khác nhau của ( ) H
( )
M N
x x < . Xác định m để
2 1
2 F N F M = ( biết
1 2
, F F lần lượt là tiêu điểm trái, phải của
( ) H ).
2. Trong không gian Oxyz, cho các mặt phẳng:
( ) : cos sin sin 6sin 5cos 0 P x t y t z t t t + + ÷ ÷ =
( ) : sin cos cos 2cos 5sin 0 Q x t y t z t t t ÷ + ÷ + =
( ) : sin 2 cos 2 1 0 R x t y t z ÷ + ÷ = .
( đây t eR: tham số)
Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q song song với mặt phẳng
( ) R .
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
2 4
2
1
x
x
m e e + = + có nghiệm thực .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
( )
3 2
4 2 2 2 y x mx x x m ' = + = + .
( )
m
C có ba điểm cực trị , , A B C · Phương trình 0 y' = có 3 nghiệm phân biệt
· Phương trình
2
2 0 x m + = có 2 nghiệm phân biệt khác 0 0 m · < .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
153
2
2
2
0 6
2
3
0 6
2 4
3
6
2 4
m
x y
m m
y x y
m m
x y
= ¬ = ÷
' = · = ÷ ÷ ¬ = ÷
= ÷ ¬ = ÷
¸
Tọa độ các điểm cực trị là:
2
0;6
2
m
A
| |
÷
|
\ .
,
2
3
; 6
2 4
m m
B
| |
÷ ÷ ÷
|
|
\ .
,
2
3
;6
2 4
m m
C
| |
÷ ÷
|
|
\ .
.
Khi đó
2
;
2 4
m m
BA
| |
= ÷
|
|
\ .
¸¸¸,
,
2
3
; 6
2 4
m m
OC
| |
= ÷ ÷
|
|
\ .
¸¸¸,
.
ABOC là hình bình hành
2 2
3
6 6
4 4
m m
BA OC m · = · = ÷ · = ±
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Vì 0 m < nên chọn 6 m = ÷ .
Vậy 6 m = ÷ là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
1 os2 1 os4 1 os6 1 os8
2 os2 os4 os6 os8 0
2 2 2 2
c x c x c x c x
c x c x c x c x
+ + + +
+ + + = · + + + =
( ) ( ) os2 os4 os6 os8 0 2cos3 cos 2cos7 cos 0 c x c x c x c x x x x x · + + + = · + =
( ) 2cos os3 os7 0 4cos cos 2 cos5 0 x c x c x x x x · + = · =
( )
2 2
cos 0
os2 0 2
2 4 2
os5 0
5
2 10 5
x k x k
x
c x x k x k k
c x
x k x k
= + = +
=
· = · = + · = +
=
¸
= + = +
¸ ¸
eZ
2. Ta có: ( ) ( )
2009
4 4 2009 2013 2013 2009
2011
2
0 0
3
xy x y x y x y xy + = + = > ¬ > .
Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta có:
( )
4 4
1 2 2 2 xy x y xy xy ÷ = + > = ( Bất đẳng thức Cauchy)
1
3
xy ¬ s và
( )
2
4 4
1
2
xy
x y
÷
+ = .
Lại có: ( ) ( ) ( )
( )
2
2009 2009
2009 2013 2013 2009 4 4
1
.
2
xy
x y x y xy x y xy
÷
+ = + =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
154
( ) ( ) ( )
2008 2008
3 2011
1 1 1 2
2 . . . 2 .
2 2 3 3
xy xy
xy xy xy
÷ ÷
= s s .
Dấu “=” xảy ra
4 4
1
2
1 1
3 3
xy
xy
xy x y
x y
÷ ¦
=
¦
¦
¦
· = · = = ±
´
¦
¦
=
¦
¹
.
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
1 1 1 1
; , ;
3 3 3 3
S
¦ ¹ | | | |
= ÷ ÷
´ `
| |
\ . \ . ¹ )
.
Câu III
3 2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+ ÷
=
+
}
Đặt
2
1 1 x t x t + = · = ÷ => dx=2tdt
Đổi cận: x = 0 =>t = 1, x = 3 =>t = 2.
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 5
4 2 3 2
1
1 1
2 1 1 1
4
2 =2 2 3 2
5
128 4 124 54
= 16 2 14
5 5 5 5
t t
t
I tdt t t dt t
t
÷ + ÷ ÷
| |
= ÷ = ÷
|
\ .
÷ ÷ + = ÷ =
} }
Câu IV
Chứng minh: (SAB) (SAC) ± .
Ta có:
BC AD
BC (SAD) BC SA
BC SD (doSD (ABC))
± ¹
¬ ± ¬ ±
`
± ±
)
Như vậy:
SA BC
SA (HBC)
SA IH
± ¹
¬ ±
`
±
)
SA HB ¬ ± và
SA HC ±
[(SAB), (SAC)] BHC ¬ = .
Ta có:
HI AI
AHI ADS
SD AS
A A ¬ = ~ với:
a 6
SD
2
= ,
a 3
AI
2
=
2 2 2 2
a 6 3a 2
AS AD SD (a 3) ( )
2 2
= + = + =
AI.DS a 3 a 6 2 a
HI SD . .
AS 2 2 2 3a 2
¬ = = = =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
155
Tam giác HBC có
a
IH IB IC
2
= = = HBC ¬ A vuông tại H
0
BHC 90 ¬ =
Vậy: (SAB) (SAC) ± (đpcm)
Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC
Ta có:
H.ABC S.ABC S.HBC
V V V = ÷
2 3
S.ABC ABC
1 1 a 6 a 3 a 2
V SD.S . .
3 3 2 4 8
= = = (đvtt).
SH là đường cao của hình chóp S.HBC
S.HBC BCH
1
V SH.S
3
A
¬ =
Tam giác IHC có
a a 2
IH IC , HC IHC
2 2
= = = ¬ A vuông cân tại I.
IHB ¬ A vuông cân tại I
a 2
HB HC
2
¬ = =
2
2
BHC
1 1 a 2 a
S HB.HC .( )
2 2 2 4
A
¬ = = = (đvdt)
Tam giác AHB vuông tại H
2
2 2 2 2 2
a 2 a a 2
AH BA BH a ( ) a
2 2 2
¬ = ÷ = ÷ = ÷ =
3a 2 a 2 2a 2
SH SA AH a 2
2 2 2 2
= ÷ = ÷ = =
2 3
S.HBC
1 a a 2
V .a 2.
3 4 12
¬ = = (đvtt).
Vậy:
3 3 3
H.ABC S.ABC S.HBC
a 2 a 2 a 2
V V V
8 12 24
= ÷ = ÷ = (đvtt).
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
4
3 4 1 1 1 4 4 4
x x x
+ = + + + > ¬
8 4
3 4 2 4 2. 4
x x x
+ > =
Tương tự:
8
3 4 2. 4
y x
+ > ;
8
3 4 2 4
z z
+ >
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên và tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
8 8 8
3 4 3 4 3 4 2 4 4 4
x y z x y z (
+ + + + + > + +
(
¸ ¸
3 8 24
6 4 .4 .4 6 4 6
x y z x y z + +
> > = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
A
H
B
I
C
D
S
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
156
1. Ta có hệ số góc của tiếp tuyến A cần tìm là 3 ± .
Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1; 0 I ÷ , bán kính 1 R = .
Do đó
1
: 3 0 x y b A ÷ + = tiếp xúc (C) ( )
1
, d I R · A =
3
1 2 3
2
b
b
÷
· = · = ± + . Suy ra:
1
: 3 2 3 0 x y A ÷ ± + = .
2
: 3 0 x y b A + + = tiếp xúc (C) ( )
2
, d I R · A =
3
1 2 3
2
b
b
÷
· = · = ± + . Suy ra
2
: 3 2 3 0 x y A + ± + = .
2.Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách
giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI AH > => HI lớn nhất khi A I ÷
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véctơ pháp tuyến.
) 3 1 ; ; 2 1 ( t t t H d H + + ¬ e vì H là hình chiếu của A trên d nên
. 0 ( (2;1;3) AH d AH u u ± ¬ = =
¸¸¸, , ,
là véc tơ chỉ phương của d ) 5 ; 1 ; 7 ( ) 4 ; 1 ; 3 ( ÷ ÷ ¬ ¬ AH H
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 · 7x + y -5z -77 = 0.
Câu VIIa
Số cách chọn 6 sản phẩm bất kì trong 10 sản phẩm là:
6
10
210 C = .
Số cách chọn 6 sản phẩm mà có 1 phế phẩm là:
1 5
2 8
112 C C = .
Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm nào:
6
8
28 C = .
Suy ra: Số cách chọn 6 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm là: 112 28 140. + =
Vậy xác suất cần tìm là:
140 2
210 3
P = = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. ( )
2 2
2 2
: 1 5 4 20 0
4 5
x y
H x y ÷ = · ÷ ÷ = .
Từ phương trình của ( ) H ta suy ra: 2, 5, 3 a b c = = = .
Nhánh trái của ( ) H ứng với 2 x s ÷ , nhánh phải của ( ) H ứng với 2 x > .
Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) H và A là:
( )
( )
2
2 2 2
5 4. 20 0 8 4 5 0 x x m x mx m ÷ + ÷ = · ÷ ÷ + = .
Vì
( )
2
1 2
4 5 0 P x x m m = = ÷ + < ¬ nên phương trình ( ) 1 luôn có hai nghiệm trái dấu m ¬ .
Do đó A luôn cắt ( ) H tại hai điểm , M N thuộc hai nhánh khác nhau.
Theo giả thiết
M N
x x < nên M thuộc nhánh trái, N thuộc nhánh phải.
( ) H có các tiêu điểm ( ) ( )
1 2
3; 0 , 3; 0 F F ÷ .
2
3 3
2 2
2 2
N N N
c
F N a x x x
a
= ÷ = ÷ = ÷ ( do 2
N
x > ).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
157
1
3 3
2 2
2 2
M M M
c
F M a x x x
a
= + = + = ÷ ÷ ( do 2
M
x s ÷ ).
Ta có:
2 1
3 3
2 2 2 3 6 4 0
2 2
N M N M
F N F M x x x x
| |
= · ÷ = ÷ ÷ · + + =
|
\ .
(1).
Theo định lý Viet ta có:
( )
( )
( )
2
8 2
4 5 3
M N
M N
x x m
x x m
¦ + =
¦
´
= ÷ +
¦
¹
.
Từ (1) và (2) ta được:
4
8
3
M
x m = ÷ ÷ ,
4
16
3
N
x m = + .
Thay ,
M N
x x vào (3) ta có:
( )
2
4 4
8 16 4 5
3 3
m m m
| | | |
÷ ÷ + = ÷ +
| |
\ . \ .
2
12 1415
279 72 41 0
93
m m m
÷ ±
· + ÷ = · = .
2. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q .
Gọi u
,
là vecto chỉ phương của d và
1 2
, n n
¸¸, ¸¸,
lần lượt là vecto pháp tuyến của ( ) ( ) , P Q .
Ta có: ( )
1
cos ;sin ;sin n t t t =
¸¸,
, ( )
2
sin ; cos ;cos n t t t = ÷
¸¸,
.
Suy ra: ( )
1 2
; sin 2 ; os2 ; 1 u n n t c t
(
= = ÷ ÷
¸ ¸
, ¸¸, ¸¸,
.
Vecto pháp tuyến của ( ) R là ( )
3
sin 2 ; os2 ;1 n t c t = ÷
¸¸,
.
Xét
2 2
3 3
. sin 2 os 2 1 0 u n t c t u n = + ÷ = ¬ ±
, ¸¸, , ¸¸,
.
Chọn
2 2
5
4sin 2 5cos 2 ; 6sin 2cos sin 2 ;0
2
M t t t t t d
| |
+ ÷ + e
|
\ .
.
Nhưng ( ) M R e .
Vậy d song song với mặt phẳng ( ) R .
Câu VIIb
Đặt
2
x
t e = , 0 t >
Phương trình đã cho trở thành:
4 4 4 4
1 1 m t t m t t + = + · = + ÷ (*)
Xét hàm số:
4 4
( ) 1 f t t t = + ÷ ; ( ) 0; t e +· .
3
4
4
4
'( ) 1 0
1
t
f t
t
| |
= ÷ <
|
+
\ .
¬hàm số ( ) f t nghịch biến trên ( ) 0; + · .
Ta có: ( ) 0 1 f =
( )( )
4 4 4 4
4 2
4 4 4 4
1 1
1
lim ( ) lim lim
1 1
t t t
t t t t
t t
f t
t t t t
÷+· ÷+· ÷+·
+ ÷ + +
+ ÷
= =
+ + + +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
158
( )( )
( )( ) ( )( )
4 2 4 2
4 4 2 4 4 2 4 4
1 1
1
lim lim 0
1 1 1 1
t t
t t t t
t t t t t t t t
÷+· ÷+·
+ ÷ + +
= = =
+ + + + + + + +
.
Phương trình đã cho có nghiệm· phương trình (*) có nghiệm· 0 1 m < < .
ĐỀ 25
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
3 2
1
1
3
y x x x = + + + ( ) C và ba điểm ( ) ( )
22 27
1;1 , 0; 2 , ;
5 5
A B C
| |
|
\ .
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến A với đồ thị ( ) C biết rằng giao điểm của A và đường thẳng
: 1 d y x = + là trọng tâm của ABC . .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan( ). tan( )
4 4
x c x
c x
x x
+
=
÷ +
2. Giải hệ phương trình:
4 4 2 2
4 4 2 2
2 6
2
8 6 0
x y x y x y
y x y x y x
x y x
¦ | |
+ ÷ + + + = ÷
¦ |
´ \ .
¦
+ ÷ + =
¹
.
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân :
1
2 2
0
.ln(1 ) I x x dx = +
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
) thuộc đường thẳng
B
1
C
1
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo a.
Câu V (1,0 điểm).
Cho , b, c a eR. Chứng minh rằng : sin .sin .sin cos .cos .cos 1 a b c a b c + s
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết đường thẳng d
đi qua điểm M(1; 3) và chắn trên các trục tọa độ những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
159
( )
1
1
: 2
2
x t
d y t t
z t
= ÷ ¦
¦
= e
´
¦
= ÷ +
¹
R và
1
1
3
1
1
:
2
÷
÷
=
÷
=
z y x
d .
Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Câu VII a (1,0 điểm) Giải phương trình:
x x
sin cos 1
n n
| | | |
+ =
| |
\ . \ .
với 2 n < eN .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 6 = 0, và điểm A(1;
3). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (C), tại B, C sao cho BA = BC
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng với phương trình:
1
1 1 1
:
1 2 2
x y z
d
÷ ÷ ÷
= = ;
2
1 3
:
1 2 2
x y z
d
+ ÷
= =
÷ ÷
.
Gọi I là giao điểm của
1
d và
2
d . Lập phương trình đường thẳng d qua ( ) 0; 1; 2 P ÷ cắt
1 2
, d d lần lượt tại , A B I = sao cho AI AB = .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
¦ + ÷ + = ÷
¦
´
÷ + = ¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình tiếp tuyến A của ( ) C tại điểm ( )
3 2
0 0 0 0
1
; 1
3
x x x x C
| |
+ + + e
|
\ .
là:
( ) ( ) ( )
2 2
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 1 1 1
3 3
y x x x x x x y x x x x = + ÷ + + + + · = + ÷ ÷ + .
( )
( )
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
2 3 3
2 3
;
3 2 3 2
x x
x x
G d G
x x
| |
+ +
+
| = A· ¬
|
+ +
\ .
, (
0 0
0; 2 x x = = ÷ ).
Điểm G là trọng tâm của ABC · .
( )
( )
( )
2
0 0
0
2
0 0
0
22
1 0
2 3 9
5
3 2 3 5
27
1 2
2 3 3
14
5
3 2 3 5
x x
x
x x
x
¦
+ +
¦
+
= =
¦
+
¦
´
¦
+ +
+ +
¦
= =
¦
+
¹
.
Giải hệ phương trình này ta thu được:
0
3 x = hoặc
0
9
5
x = ÷ ( thỏa điều kiện).
Ta thu được các tiếp tuyến như sau: 16 26 y x = ÷ ;
16 206
25 125
y x = + .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
160
Câu II
1. Điều kiện : ,
4 2
x k k
= + eZ.
Ta có :
4 4 2 2
tan( ) tan( ) tan( ) cot( ) 1
4 4 4 4
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
x x x x
x c x x c x
÷ + = ÷ ÷ =
+ = ÷ = +
Phương trình đã cho tương đương với :
2
4 2
2
os 4 1
2cos 4 os 4 1 0
1
os 4
2
c x
x c x
c x
=
÷ ÷ = ·
= ÷
¸
.
Loại :
2
1
os 4
2
c x = ÷ .
2
os 4 1 sin 4 0
4
c x x x k
= · = · = ( ) k eZ .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là ,
2
x k k
= eZ.
2. Đặt , 2
x y
t t
y x
= + > .
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
4 2
5 6 0 t t t ÷ + + = .
Xét hàm số: ( ) ( | | )
4 2
5 6, ; 2 2; f t t t t t = ÷ + + e ÷· ÷ +· .
Ta có: ( )
3
4 10 1 f t t t ' = ÷ + ; ( )
2
12 10 0 f t t '' = ÷ > ( | | ) ; 2 2; t ¬ e ÷· ÷ +· .
Suy ra ( ) f t ' đồng biến trên các nửa khoảng ( | ; 2 ÷· ÷ , | ) 2; +· .
Do đó với 2 t s ÷ thì ( ) ( ) 2 0 f t f ' ' s ÷ < và với 2 t > thì ( ) ( ) 2 0 f t f ' ' > > .
Dựa vào bảng biến thiên , nhận thấy ( ) 0 f t = có nghiệm duy nhất 2 t = ÷ .
Với 2 t = ÷ ta có: ( )
2
2 2
2 2 0
x y
x y xy x y y x
y x
+ = ÷ · + = ÷ · + = · = ÷ .
Thay y x = ÷ vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
6 2
8 6 0 x x x + ÷ + = (*)
+ Với 0 x s thì phương trình (*) vô nghiệm.
+ Với 0 x > :
Xét hàm số: ( )
6 2
8 6 f x x x x = + ÷ +
( )
5
6 2 8 f x x x ' = + ÷ ; ( ) ( )
4
30 2 0 0; f x x x '' = + > ¬ e +· .
Suy ra: ( ) f x ' đồng biến trong ( ) 0; +· và ( ) 1 0 f ' = . Do đó trong ( ) 0; +· , phương trình
( ) 0 f x ' = có nghiệm duy nhất 1 x = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
161
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra được 1 x = là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Vậy ( ) 1; 1 ÷ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Câu III
Đặt
2
2
2
3
2
ln(1 )
1
1
3
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x
¦
=
¦
¦ = +
¦ ¦ +
¬
´ ´
= ¦
¹ ¦
=
¦
¹
1 1 4
3 2
2
0 0
1 2
.ln(1 )
3 3 1
x
I x x dx
x
¬ = + ÷
+
}
.
1 1 4
2
2 2
0 0
1 2
1 ...
1 1 3 4
x
J dx x dx
x x
| |
= = ÷ + = = ÷ ÷
|
+ +
\ .
} }
Vậy
1 4
.ln 2
3 9 6
I
= + + .
Câu IV
Do ) (
1 1 1
C B A AH ± nên góc H AA
1
Z là góc
giữa AA
1
và (A
1
B
1
C
1
), theo giả thiết thì
0
1
30 AA H =
Xét tam giác vuông AHA
1
có AA
1
= a
1
AAH =30
0
2
3
1
a
H A = ¬ .
Do tam giác A
1
B
1
C
1
là tam giác đều cạnh a, H thuộc B
1
C
1
và
2
3
1
a
H A = nên A
1
H vuông
góc với B
1
C
1
. Mặt khác
1 1
C B AH ± nên ) (
1 1 1
H AA C B ±
Kẻ đường cao HK của tam giác AA
1
H thì HK chính là khoảng cách giữa AA
1
và B
1
C
1
Ta có AA
1
.HK = A
1
H.AH
4
3 .
1
1
a
AA
AH H A
HK = = ¬ .
Câu V
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn các vecto như sau:
( )
2 2
sin , cos sin os 1. u a a u a c a = ¬ = + =
, ,
( )
2 2 2 2
sin sin ;cos cos sin sin os os v b c b c v b c c bc c = ¬ = +
, ,
2 2 2 2
. . sin .sin .sin cos .cos .cos sin sin os os u v u v a b c a b c b c c bc c s ¬ + s +
, , , ,
Mà
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin os os os 1 sin sin 1 os b c c bc c c b c b c c + = ÷ + ÷
2 2 2 2 2 2
os os sin sin sin cos c b c b c b b c = ÷ + ÷
2 2 2 2
1 os sin sin co 1. c b c b s c = ÷ ÷ s
A
1
A B
C
C
B
1
K
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
162
Dấu bằng xảy ra
sin sin sin 1
.
cos cos cos 1
a b c
a b c
= = =
·
= = =
¸
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Vì ( ) ( ) ; 0 , 0; d Ox A a d Oy B b · ¬ · = nên d có phương trình là: 1
x y
a b
+ = .
( )
1 3
1;3 1 M d
a b
e ¬ + = .
Theo đề ta có: b a = ± .
+ Nếu b a = thì
4
1 4 a
a
= · = hay 4 a b = = .
+ Nếu b a = ÷ thì
2
1 2 2 a b
a
÷ = · = ÷ ¬ = .
Do đó phương trình của đường thẳng d là: 4 0 x y + ÷ = ; 2 0 x y ÷ + =
2. Đường thẳng d
1
đi qua A(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phương là
1
( 1; 2;1) u = ÷
¸,
Đường thẳng d
2
đi qua B(0; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là
2
(1; 3; 1) u = ÷
¸¸,
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :
1 1
1. 0 1. 0 0
2 2
x z x z
| | | |
÷ + + + = · + =
| |
\ . \ .
.
Câu VIIa
Khi n 2 > , rõ ràng phương trình có một nghiệm 2. x = Cần chứng minh 2 x = là nghiệm
duy nhất của phương trình . Thật vậy! Ta có 0 sin 1
n
< < và 0 os 1 c
n
< < .
Nếu 2 x > thì
2
sin sin
x
n n
| | | |
<
| |
\ . \ .
và
2
os os
x
c c
n n
| | | |
<
| |
\ . \ .
thì
2 2
sin os sin os 1 .
x x
c c
n n n n
| | | | | | | |
+ < + =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
Nếu 2 x < thì
2
sin sin
x
n n
| | | |
>
| |
\ . \ .
và
2
os os
x
c c
n n
| | | |
>
| |
\ . \ .
thì
2 2
sin os sin os 1 .
x x
c c
n n n n
| | | | | | | |
+ > + =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
Điều này chứng tỏ 2 x ¬ = không phải là nghiệm của phương trình. Vậy 2 x = là nghiệm
duy nhất của phương trình đã cho.
Gọi E trung điểm AB , và (P) là mặt phẳng qua )
2
1
;
2
1
;
2
1
( ÷ E song song 2 đường thẳng d
1
,d
2
thì (P) là mặt phẳng phải tìm .
Ta có
1 2
, u u
(
¸ ¸
¸, ¸,
= (-5;0;-5) nên (1; 0;1) n =
,
là một véctơ pháp tuyến của (P) .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
163
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Đường tròn có tâm I(3;-1) ; bán kính R = 2.và R IA = > = 2 5 2 A ¬ ngoài đường tròn
.
Gọi d là đường thẳng qua A cắt (C) tại B,C sao cho AB=BC ta có :
16 4 20 2 .
2 2 2
= ÷ = · ÷ = AB R AI AC AB BE BC AB 2 2 2 = = = ·
Với E là trung điểm BC 2 = ¬ BE 2 ) , ( = ¬ d I d .
Đường thẳng d qua ( ) 1; 3 A , nhận ( ) , n a b =
,
làm vecto pháp tuyến nên có phương
trình: ( ) ( ) 1 3 0 3 0 a x b y ax by a b ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ =
( )
2 2
0 a b + >
( )
2 2 2 2
2 2
3 3
, 2 2 2 2 2 2 2
a b a b
d I d a b a b a b a b
a b
÷ ÷ ÷
= · = · ÷ = + · ÷ = +
+
( )
2 2 2 2 2 2
2 4 4 8 7 0
7
a b
a ab b a b a ab b
a b
=
· ÷ + = + · ÷ + = ·
=
¸
+ Với a b = , chọn 1 a b = = . Do đó d có phương trình là 4 0 x y + ÷ =
+ Với 7 a b = , chọn 1 7 b a = ¬ = . Do đó d có phương trình là 7 10 0 x y + ÷ = .
Vậy có 2 đường thẳng d thoả mãn yêu cầu bài toán là: 4 0 x y + ÷ = ; 7 10 0 x y + ÷ = .
2. Dễ dàng tìm được điểm ( ) 1;1;1 I .
( ) ( )
1 2
1 ;1 2 ;1 2 , ; 1 2 ; 3 2 A d A a a a B d B b b b e ¬ + + + e ¬ ÷ ÷ ÷ + .
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
4 4 1 2 2 2 2 2 2 AI AB AI AB a a a b a b a b a = · = · + + = ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ +
2 2 2 2
9 9 9 2 2 18 9 2 2 18 9 0 a b a ab a b b ab a b · = + + + + · + + + + = .
Chọn 1 b = , ta được: 4 36 0 9 a a + = · = ÷ . Suy ra: ( ) ( ) 8; 17; 17 , 1; 3; 5 A B ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ .
Đường thẳng d qua ( ) 0; 1; 2 P ÷ nhận ( ) 7;14; 22 AB =
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có
phương trình tham số là:
1 2
7 14 22
x y z + ÷
= =
÷
.
Câu VIIb
Điều kiện 1, 1 x y > ÷ > ÷ .
Ta có:
2 2
2
12 20 0
10
x y
x xy y
x y
=
÷ + = ·
=
¸
(*)
( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 x y x y x x y y + ÷ + = ÷ · + ÷ = + ÷ (**)
Xét hàm số: ( ) ( ) ln 1 f t t t = + ÷ , 1 t > ÷
( )
1
1
1 1
t
f t
t t
' = ÷ = ÷
+ +
( ) 0 0 f t t ' = · = .
Dựa vào bảng biến thiên ta sẽ thấy: nếu phương trình (**) có nghiệm ( ) , x y với x y = thì
, x y phải là hai số trái dấu , nhưng điều này mâu thuẫn với (*). Vậy hệ phương trình phải
có nghiệm 0 x y = = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
164
ĐỀ 26
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
4 2
2 4 y x mx = ÷ + ÷ ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 2 m = .
2. Tìm các giá trị của m để để tất cả các cực trị của ( )
m
C nằm trên các trục tọa độ.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
5 os2
2cos
3 2tan
c x
x
x
+
=
+
.
2. Giải hệ phương trình:
1
1 1
3
xy xy x
y y y
x x x
¦
+ + =
¦
´
+ = +
¦
¹
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân :
( )
5
1
2 1 2 1 I x x x x dx = + ÷ + ÷ ÷
}
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu
vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là
a 3
4
.
Câu V (1,0 điểm).
Cho , , 0 x y z > . Chứng minh rằng:
( )
( )( )
2 2 2
2 2 2
3 3
9
xyz x y z x y z
x y z xy yz zx
+ + + + +
+
s
+ + + +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính diện tích tam giác đều nội tiếp elip ( )
2 2
: 1
16 4
x y
E + = ,
nhận điểm ( ) 0; 2 A làm đỉnh và trục tung làm trục đối xứng.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm , , M N P lần lượt thuộc các đường thẳng
1 2 3
1 2 2 1 1
: , : , :
1 2 2 2 2 1 2 1 1
x y z x y z x y z
d d d
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= = = = = =
÷ ÷
sao cho , , M N P thẳng
hàng đồng thời N là trung điểm của đoạn thẳng MP .
Câu VII a (1,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
165
Giải hệ phương trình:
3 5
5 3
3 5 log 5 log
3 log 1 log 1
y x
x y
¦
÷ = ÷
¦
´
÷ = ÷
¦
¹
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích tam giác đều nội tiếp parabol ( )
2
: 2 P y x = ,
nhận đỉnh của parabol làm một đỉnh và trục hoành Ox làm trục đối xứng.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )
2 2 2
: 2 2 2 0 S x y z x z + + ÷ + ÷ = . Tìm điểm A
thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) : 2 2 6 0 P x y z ÷ + + = lớn nhất.
Câu VII b (1,0 điểm)
Cho hàm số
( )
( )
2 2 3
1 4
m
mx m x m m
y C
x m
+ + + +
=
+
. Tìm m để một điểm cực trị của ( )
m
C
thuộc góc phần tư thứ I , một điểm cực trị của ( )
m
C thuộc góc phần tư thứ III của hệ tọa
độ Oxy .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
( )
3 2
4 4 4 y x mx x x m ' = ÷ + = ÷ + ;
2
0
0
x
y
x m
=
' = ·
=
¸
.
Nếu 0 m s thì ( )
m
C chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung.
Nếu 0 m > thì ( )
m
C có 3 điểm cực trị.Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm cực đại
có tọa độ
( ) ( )
2 2
; 4 , ; 4 m m m m ÷ ÷ ÷ .Hai điểm cực đại này chỉ có thể nằm trên trục
hoành. Do đó
2
4 0 2 m m ÷ = · = ± . Nhưng do 0 m > nên chọn 2 m = .
Vậy ( | { } ; 0 2 me ÷· là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Điều kiện
3
tan , cos 0
2
x x = ÷ = .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với :
( )
2 2 2 2
5 os sin 2 3cos 2sin os 6cos 5 sin 4sin c x x x x c x x x x + ÷ = + · ÷ + = +
( ) ( ) ( )( )
2 2
cos 3 sin 2 cos sin 1 cos sin 5 0 x x x x x x · ÷ = + · + ÷ ÷ ÷ =
1
cos sin 1 2 sin 1 sin
4 4 2
x x x x
| | | |
· + = · + = · + =
| |
\ . \ .
2 2
4 4
3 2
2
2
4 4
x k x k
x k
x k
= + = +
· ·
= +
+ = +
¸
¸
( ) k eZ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
166
Đối chiếu với điều kiện chọn nghiệm 2 x k = , ( ) k eZ .
2. Điều kiện 0, 0 x y > > .
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
1
1 1 3
xy xy x
xy xy x xy
¦
+ + =
¦
´
+ = +
¦
¹
.
Đặt , 0 t xy t = > . Hệ phương trình trên thành:
( )
2
3
1
1 1 3
t t x
t x t
¦ + + =
¦
´
+ = +
¦
¹
.
Suy ra:
( )( ) ( )
3 2 3 2 2
1 1 1 3 2 4 4 2 2 2 0 0 t t t t t t t t t t t + = + + + · + + = + + = · = .
Với 0 t = , thay vào hệ phương trình trên ta được
1
0
x
y
= ¦
´
=
¹
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ( ) 1; 0 .
Câu III
Ta có:
( )
5 2 5
1 1 2
34
1 1 1 1 2 1 ...
3
I x x dx dx x dx
| |
= ÷ + + ÷ ÷ = + ÷ = =
|
\ .
} } }
.
Câu IV
Gọi M là trung điểm BC ta thấy:
)
`
¹
±
±
BC O A
BC AM
'
) ' ( AM A BC ± ¬ Kẻ , ' AA MH ±
(do
´
A nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
Do BC HM
AM A HM
AM A BC
± ¬
)
`
¹
e
±
) ' (
) ' (
.
Vậy HM là đọan vông góc chung củaAA’và BC, do đó
4
3
) BC , A' ( a HM A d = = .
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có:
AH
HM
AO
O A
=
'
· suy ra
3
a
a 3
4
4
3 a
3
3 a
AH
HM . AO
O ' A = = = .
Thể tích khối lăng trụ:
3
1 1 3 3
' . ' . .
2 2 3 2 12
ABC
a a a
V A O S A O AM BC a = = = =
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1. 1. 1. 3 3. x y z x y z x y z x y z + + s + + ¬ + + s + + .
A
B
C
C
B
A
H
O
M
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
167
Ta lại có: ( )
2
2 2 2
3
3 x y z xyz + + > và ( )
2
3
3 xy yz zx xyz + + > .
Do đó
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
3
1 3
.3
xyz x y z x y z
xyz x y z
x y z xy yz zx
x y z xyz
+ + + + +
+ + +
s
+ + + +
+ +
=
=
3
2 2 2
1 3 1 3 3 3
. .
3 9 3 3
xyz
x y z
+ + +
s =
+ +
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Điểm B và C đối xứng nhau qua trục tung nên ( ) ( )
0 0 0 0
; , ; B x y C x y ÷ với
0
0 x > .
Độ dài cạnh của tam giác đều là
0
2 a x = .
Độ dài đường cao:
0
2 h y = ÷ .
Ta có:
0 0 0 0
3
2 3 2 3
2
a
h y x y x = · ÷ = · = ÷ .
Suy ra:
( ) ( ) 0 0 0 0
; 2 3 , ; 2 3 B x x C x x ÷ ÷ ÷ .
( )
( )
2
0
2
0
2 0
0 0
0
0
2 3
1 13 16 3 0
16 3
16 4
13
x
x
x
B E x x
x
=
÷
e · + = · ÷ = ·
=
¸
.
Vì
0
0 x > nên chọn
0
16 3
13
x = . Suy ra
16 3 22 16 3 22
; , ;
13 13 13 13
B C
| | | |
÷ ÷ ÷
| |
| |
\ . \ .
.
Diện tích tam giác đều
2
2
3 3 32 3 768 3
4 4 13 169
a
S
| |
= = =
|
|
\ .
.
2. ( )
1
1 ; 2 2 ; 2 M d M m m m e ¬ + + ÷
( )
2
2 2 ; 2 ;1 N d N n n n e ¬ + ÷
( )
3
2 ; ;1 P d P p p p e ¬ +
N là trung điểm
15
2 1 4 4 4 2 3
19
2 2 4 2 4 2
2
2 1 2 2 2 2 1
10
m
m p n m n p
MP m p n m n p n
m p n m n p
p
= ÷ ¦
+ + = + ÷ + = ¦ ¦
¦
¦ ¦ ¦
· + + = · ÷ + = ÷ · = ÷
´ ´ ´
¦ ¦ ¦
÷ + + = ÷ + ÷ + + =
¹ ¹
= ÷ ¦
¹
.
Suy ra: ( ) ( )
21
14; 28;30 , 17; 19; , 20; 10; 9
2
M N P
| |
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
|
\ .
Hay ( )
39
3;9; , 6;18; 39
2
MN MP
| |
= ÷ ÷ = ÷ ÷
|
\ .
¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
168
Ta thấy
1
2
MN MP =
¸¸¸¸, ¸¸¸,
. Như vậy ( ) ( )
21
14; 28;30 , 17; 19; , 20; 10; 9
2
M N P
| |
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
|
\ .
là ba
điểm thẳng hàng cần tìm.
Câu VIIa
Điều kiện: 5, 0 243 x y > < s .
Đặt
5 3
log 1, 5 log a x b y = ÷ = ÷ ; , 0 a b > .
Hệ phương trình đã cho trở thành:
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
3 4
3 3 0
3
3 4
b a b a
b a b a b a b a
b a
a b
¦ = ÷ = ¦
¬ ÷ = ÷ · ÷ + ÷ = ·
´
= ÷
= ÷ ¦ ¸
¹
.
+ Với b a = thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
1
3 4 0
4 0
a
a a
a
=
+ ÷ = ·
= ÷ <
¸
.
Do đó tìm được 1, 1 a b = = . Suy ra
25
81
x
y
= ¦
´
=
¹
.
+ Với 3 b a = ÷ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
3 5 0 a a ÷ + = . Phương
trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất : ( ) 25;81 .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành nên ( ) ( )
0 0 0 0
; , ; A x y B x y ÷ với
0
0 y > .
Độ dài cạnh của tam giác đều là
0
2 a y = .
Độ dài đường cao:
0
h x = .
Ta có:
0 0
3
3
2
a
h x y = · = .
Suy ra:
( ) ( ) 0 0 0 0
3; , 3; B y y C y y ÷ .
( )
0
2 2
0 0 0 0
0
0
2 3 2 3 0
2 3
y
B P y y y y
y
=
e · = · ÷ = ·
=
¸
.
Vì
0
0 y > nên chọn
0
2 3 y = . Suy ra
( ) ( )
6; 2 3 , 6; 2 3 A B ÷ .
Diện tích tam giác đều
( )
2
2
3 3
2 3 3 3
4 4
a
S = = = .
2. Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( )
2 2
2
: 1 1 4 S x y z ÷ + + + = có tâm ( ) 1; 0; 1 I ÷ , bán kính 2 R =
( ) : 2 2 6 0 P x y z ÷ + + = có vecto pháp tuyến là: ( ) 2; 2;1 n = ÷
,
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm ( ) 1; 0; 1 I ÷ và vuông góc với ( ) P . Suy ra d có phương
trình là:
1 2
2
1
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷
´
¦
= ÷ +
¹
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
169
Tọa độ giao điểm A của d với mặt cầu ( ) S có phương trình là:
( ) ( )
2 2
2
2
2 2 4
3
t t t t + ÷ + = · = ± . Suy ra:
1 2
7 4 1 1 4 5
; ; , ; ;
3 3 3 3 3 3
A A
| | | |
÷ ÷ ÷ ÷
| |
\ . \ .
.
Dễ dàng tính được: ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
13 1
, ,
3 3
d A P d A P = > = .
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là:
7 4 1
; ;
3 3 3
A
| |
÷ ÷
|
\ .
.
Cách 2:
Giải sử điểm ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0 0 0 0 0 0
; ; 1 1 4 A x y x S x y z e · ÷ + + + = .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 7 2 1 2 1 2 2 6 7
,
3 3 3 3
x y z x y z x y z
d A P
÷ ÷ + + + ÷ ÷ + + ÷ + +
= = s +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 9 1 1 9.4 6 x y z x y z
(
÷ ÷ + + s ÷ + + + = =
¸ ¸
Suy ra: ( ) ( )
13
,
3
d A P s .
Dấu “=” xảy ra
( ) ( )
2 2
2
0 0 0
0 0 0
1 1 4
1 1
2 2 1
x y z
x y z
¦
÷ + + + =
¦
·
´
÷ +
= =
¦
¹ ÷
.
Giải hệ phương trình này ta tìm được
0 0 0
7 4 1
, ,
3 3 3
x y z = = ÷ = ÷ .
Vậy ( ) ( )
13
max ,
3
d A P = khi
7 4 1
; ;
3 3 3
A
| |
÷ ÷
|
\ .
.
Câu VIIb
Ta có:
( )
2 2 3
2
2 3 mx m x m
y
x m
+ ÷
' =
+
Hàm số có cực trị · Phương trình 0 y' = có 2 nghiệm phân biệt · phương trình
2 2 3
2 3 0 mx m x m + ÷ = có hai nghiệm phân biệt khác 0 m m ÷ · = .
Tọa độ các điểm cực trị là:
( )
2
;3 1 A m m + ,
( )
2
3 ; 5 1 B m m ÷ ÷ + .
Vì
2
3 1 0 m + > nên để một cực trị của ( )
m
C thuộc góc phần tư thứ I , một cực trị của ( )
m
C
thuộc góc phần tư thứ III của hệ tọa độ Oxy thì :
2
0
0
1
3 0 1 1
5
5 5 5 1 0
m
m
m m
m m
m
¦ >
> ¦
¦ ¦
÷ < · · >
´ ´
< ÷ v >
¦ ¦
÷ + < ¹
¹
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
170
ĐỀ 27
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
+
( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) C sao cho khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đến tiếp tuyến A
của ( ) C tại M là lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: ( )
sin3
sin 2 os2 tan sin os
cos
x
x c x x x c x
x
÷ + = + .
2. Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 2
2011 2013
2011 2013
1
2014
x y
x y y x x y xy
¦ + =
¦
´
÷ = ÷ + + +
¦
¹
Câu III (1,0 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số
1
x
x
xe
y
e
=
+
, trục hoành và đường thẳng 1 x = quay quanh trục hoành.
Câu IV (1,0 điểm).
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) SBC bằng 2. Với giá
trị nào của góc o giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V (1,0 điểm).
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 1 xyz = . Chứng minh rằng:
1
1 1
9
3
xy yz zx
y
x z
x y z
+ +
s .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình chứa đường cao và đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là: 2 13 0, 13 6 9 0 x y x y ÷ ÷ = ÷ ÷ = . Tìm
tọa độ , B C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( ) 5;1 I ÷ .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( ) ( ) ( ) 1; 0; 0 , 2; 1; 2 , 1;1; 3 A B C ÷ ÷ và
đường thẳng
1 2
:
1 2 2
x y x ÷ ÷
A = =
÷
. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng A,
đi qua điểm A và cắt mặt phẳng ( ) ABC theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho số phức
1 2
, z z thỏa mãn
1 2 1 2
0 z z z z ÷ = = > . Tính
4 4
1 2
2 1
z z
A
z z
| | | |
= +
| |
\ . \ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
171
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho đường tròn ( )
2 2
: 1 C x y + = và đường thẳng
: 0 d x y m + + = . Tìm m để d cắt ( ) C tại , A B sao ch ABO . có diện tích lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 1; 2;3 M . Viết phương trình mặt cầu tâm M và cắt
mặt phẳng Oxy theo thiết diện là đường tròn ( ) C có chu vi bằng 8 .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình:
( ) ( )
2 2
5
1
4 3 1 log 2 8 6 1 0
5
x
x x x x
x
÷ + + + ÷ + ÷ + s .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Gọi ( )
0
0
0
2 1
;
1
x
M x C
x
| | +
e
|
+
\ .
với
0
1 x = ÷ .
Tiếp tuyến A của ( ) C tại M là:
( )
( ) ( ) ( )( )
2
0
0 0 0 0 0 2
0
0
2 1 1
1 2 1 1 0
1
1
x
y x x x x y x x x
x
x
+
= ÷ + · ÷ + + + + ÷ =
+
+
.
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Dễ dàng tìm được ( ) 1; 2 I ÷ .
Ta có:
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
2
0 0 0 0
0
4 4
2
2
0 0
0 2
0
1 1 .2 2 1 1
2 1 2
,
1
1 1 1 1
1
1
x x x x
x
d I
x x
x
x
÷ + + + + + ÷
+
A = = =
+ + + +
+ +
+
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
( )
( )
2
0 2
0
1
1 2
1
x
x
+ + >
+
.
Suy ra: ( ) , 2 d I A s .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
( )
( ) ( )
2 4
0 0 2
0
1
1 1 1
1
x x
x
= + · + =
+
0 0
0
0 0
1 1 0
1 1
1 1 2
x x
x
x x
+ = =
· + = · ·
+ = ÷ = ÷
¸ ¸
.
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: ( ) ( ) 2; 3 , 0;1 ÷ .
Câu II
1. Điều kiện ( ) cos 0
2
x x k k
= · = + eZ .
( ) sin 2 sin os2 sin sin3 cos sin cos x x c x x x x x x ÷ + = +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
172
( ) sin 2 sin os2 sin sin 2 cos os2 sin cos sin cos x x c x x x x c x x x x x · ÷ + + = +
( ) ( ) sin 2 sin cos cos sin cos x x x x x x · + = +
( )( ) cos sin cos 2sin 1 0 x x x x · + ÷ = ( )( ) sin os 2sin 1 0 x c x x · + ÷ = ( vì cos 0 x = ).
( )
4
tan 1
sin cos 0
2
1
2sin 1 0 6 sin
2
5
2
6
x
x
x x
x k k
x x
x k
= ÷
= ÷
+ =
· · · = +
÷ = =
¸
¸
= +
¸
eZ ( thỏa mãn điều kiện)
2.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta suy ra: 1 , 1 x y ÷ s s .
Do đó: ( )( ) 2014 1 1 2013 0 x y xy x y + + + = + + + > .
+ Nếu x y > thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái dương, vế phải âm. Điều này vô lý.
+ Nếu x y < thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái âm, vế phải dương. Điều này vô lý.
+ Nếu x y = thì phương trình thứ hai của hệ thỏa mãn. Thay vào phương trình thứ nhất ta
được:
2
1
2 1
2
x x = · = ± .
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:
1 1
;
2 2
| |
|
\ .
,
1 1
;
2 2
| |
÷ ÷
|
\ .
.
Câu III
Ta có: 0 0
1
x
x
xe
x
e
= · =
+
.
Suy ra hình phẳng đã cho là hình thang cong giới hạn bởi các đường
; 0; 0; 1
1
x
x
xe
y y x x
e
= = = =
+
.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay.Ta có:
( )
1
2
0 1
x
x
xe
dx
e
V
+
=
}
.
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
( )
1
1 1 1
2
0 0 0 0
1
1
1 1 1 1
1
x x
x x x
x
xe x dx e
dx dx
e e e e
e
| |
= ÷ + = ÷ + ÷
|
+ + + +
\ . +
} } }
( ) ( )
1
0
1 1
ln 1 ln
1 1 2
x
e e
x e
e e
+
= ÷ + ÷ + = ÷
+ +
.
Vậy
1
ln
1 2
e e
V
e
+ | |
= ÷
|
+
\ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
173
Câu IV
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
ABCD 2
SMN , d A; SBC d N; SBC NH 2
NH 2 4
MN S MN
sin sin sin
tan 1
SI MI. tan
sin cos
= o = = =
¬ = = ¬ = =
o o o
o
= o = =
o o
SABCD 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
SABCD
2 2
1 4 1 4
V
3 sin cos 3.sin .cos
sin sin 2cos 2
sin .sin .2cos
3 3
1
sin .cos
3
V min sin .cos max
1
sin 2cos cos
3
¬ = · · =
o o o o
o+ o+ o
o o o s =
¬ o o s
· o o
· o = o · o =
Câu V
Lấy
3
log hai vế, ta được:
3 3 3
1 1 1
log log log
3
xy yz zx
x y z
x y z xyz
+ +
+ + s
( )
3 3 3
1 1 1 1 1 1
3 log log log 1 x y z
x y z x y z
| |
· + + s + +
|
\ .
Đặt
3 3 3
log , b = log , c = log a x y z = .
Giả thiết 3 xyz = trở thành 1 a b c + + = .
Từ đó ( )
1 1 1
1 3
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
a b c | |
· + + s + +
|
\ .
( )
1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
a b c a b c
a b c
a b c
| | | |
· + + s + + + +
| |
\ . \ .
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
0
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
| | | | | |
· ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ s
| | |
\ . \ . \ .
.
N
M I
D
A
B
C
S
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
174
Điều này luôn đúng, vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. A là giao điểm của đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ A. Suy ra ( ) 3; 8 A ÷ ÷ .
Gọi M là trung điểm BC / / IM AH ¬ .
Dễ dàng tìm được phương trình : 2 7 0 IM x y ÷ + = .
Tọa độ điểm M thỏa mãn: ( )
2 7 0
3;5
13 6 9 0
x y
M
x y
÷ + = ¦
¬
´
÷ ÷ =
¹
.
Phương trình đường thẳng ( ) : 2 3 5 0 2 11 0 BC x y x y ÷ + ÷ = · + ÷ = .
( ) ;11 2 BC B a B a e ¬ ÷ .
Ta có:
2
4
6 8 0
2
a
IA IB a a
a
=
= · ÷ + = ·
=
¸
.
Từ đó suy ra: ( ) ( ) 4; 3 , 2; 7 B C hoặc ( ) ( ) 2; 7 , 4; 3 B C .
2. Dễ dàng lập được phương trình mặt phẳng ( ) : 1 0. ABC x y z ÷ ÷ ÷ =
( ) 1 ; 2 ; 2 2 I t I t t eA ¬ ÷ + .
Khi đó ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2 1 6 2 4 8
, 2
3 3
t t t
r IA d I ABC
+ + + +
= ÷ = = > .
Dấu “=” xảy ra khi 1 t = ÷ . Suy ra: ( ) 2; 2; 0 I ÷ , 5 R IA = = .
Vậy phương trình của mặt cầu là: ( ) ( )
2 2
2
2 2 5 x y z ÷ + + + =
Câu VIIa
Đặt
1
2
w
z
z
= ta được:
2 2 2 2
w w 0 z z z z ÷ = = > hay w 1 w 1. ÷ = =
Giả sử w a bi = + ( ) , a beR .
Khi đó ta có: ( )
2
2 2 2
1 1 a b a b ÷ + = + = hay
1 3
,
2 2
a b = = ± .
+ Với
4
1 3 4 4
cos sin cos sin
2 2 3 3 3 3
w i i w i
= + = + ¬ = +
và
4
1 4
cos sin
3
4
3
i
w
| |
= ÷
|
\ .
. Do đó
4
2cos 1
3
A
= = ÷ .
+ Với
1 3
2 2
w i = ÷ ta cũng tính được: 1 A = ÷ .
Vậy 1 A = ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. ( ) C có tâm ( ) 0; 0 O , bán kính 1 R = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
175
d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt ( )
4 4
, , 1 1 2 2
2
m
A B d O d m · < · < · ÷ < < (*)
Ta có:
1 1 1
. sin sin
2 2 2
ABO
S OAOB AOB AOB = = s
.
ABO
S
.
lớn nhất ·
( )
0
1
90 , 1
2
AOB d I d m = · = · = ± ( thỏa điều kiện (*) ).
2. Gọi r là bán kính của đường tròn ( ) C . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên mặt
phẳng ( ) Oxy . Ta có bán kính của mặt cầu ( ) S là
2 2
R r MN = + .
Mà 3
M
MN z = = và 2 8 4 r r = · = . Suy ra: 5 R = .
Vậy phương trình mặt cầu ( ) S là: ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 25 x y z ÷ + ÷ + ÷ = .
Câu VIIb
Điều kiện:
2
2
0
0
1 1
4 3 0
3 3
2 8 6 0
1 3
x
x
x x
x x
x x
x x
x
> ¦
> ¦
¦
s = ¦ ¦
÷ + > · ·
´ ´
> =
¸ ¸
¦ ¦
÷ + ÷ >
¹
¦
s s
¹
.
+ Với 1 x = thì bất phương trình đã cho luôn đúng
+ Với 3 x = thì bất phương trình đã cho không thỏa mãn.
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1 x = .
ĐỀ 28
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
4
2
5
3
2 2
x
y x = ÷ + ( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Cho A là một điểm nằm trên ( ) C có hoành độ là m. Tìm các giá trị thực của m để tiếp tuyến
của ( ) C cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , B C khác A sao cho 3 AC AB = ( B nằm giữa A
và C ).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 2
2 sin sin 3 sin tan tan
3 3 4 4
x x x x x
( | | | | | | | |
+ + ÷ = + + ÷
| | | | (
\ . \ . \ . \ . ¸ ¸
.
2. Giải bất phương trình: ( )
2
4 1 3 1 x x x x + + s + .
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
1
6
5
5
0
1
dx
I
x
=
+
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
176
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ,
**BAD = . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng
**
vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại hợp với đáy một góc . Cạnh SA = a. Tính
diện tích xung quanh và thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm).
Cho hệ phương trình:
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 1 2 2 0
2 9 0
m m x m y m m
x y x
¦
+ + ÷ + ÷ ÷ =
¦
´
+ + ÷ = ¦
¹
.
Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt ( )
1 1
, x y và ( )
2 2
, x y .
Tìm m để biểu thức ( ) ( )
2 2
1 2 1 2
P x x y y = ÷ + ÷ đạt giá trị nhỏ nhất.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có : 2 3 0 d x y ÷ ÷ = là đường phân giác trong
góc A. Biết ( ) ( )
1 1
6; 0 , 4; 4 B C ÷ ÷ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh , B C trên các
đường thẳng , AC AB . Xác định tọa độ các đỉnh , , A B C của tam giác ABC .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:
1 2
1 2
: , :
1 1 1 1 1 2
x y z x y z ÷ ÷
A = = A = =
÷
và điểm ( ) 1; 0;1 A ÷ . Xác định tọa độ điểm M trên
1
A và điểm N trên
2
A sao cho 6 MN = và . 3 AM AN =
¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
Câu VII a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:
( ) ( )
( )
2
1 2 1 2 6
2 3 0
i z i z
z i z z
¦
÷ + + =
¦
´
+ ÷ + =
¦
¹
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho ba đường thẳng:
1
: 3 0 d x y ÷ = ,
2
: 2 5 0 d x y + ÷ = ,
3
: 0 d x y ÷ = . Tìm tọa độ các điểm
1 2 3
, , , d B d C A D d e e e để tứ giác ABCD là một hình
vuông.
2. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 0; 0 , 0;1; 0 , 1;1; 0 , 0; 0; A B C D m với
0 m > . Gọi , E F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên các đường
thẳng AD và BD. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa các đường thẳng OE và OF .
Tìm m để
0
EOF 45 = .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( ) ( )
3 3
log log
2 2
4 4 4
4 2 2
1
log 4 4 log log 3
2
xy xy
x y x x y
¦ ÷ =
¦
´
+ = + + +
¦
¹
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
177
2. Ta có: ( )
4
2
5
; 3
2 2
m
A m m C
| |
÷ + e
|
\ .
.
Phương trình tiếp tuyến tại A là:
( )( )
4
3 2
5
2 6 3
2 2
m
y m m x m m = ÷ ÷ + ÷ + .
Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và tiếp tuyến này:
( )( ) ( ) ( )
4 4
2
2 3 2 2 2
5 5
3 2 6 3 2 3 6 0
2 2 2 2
x m
x m m x m m x m x mx m ÷ + = ÷ ÷ + ÷ + · ÷ + + ÷ =
Tiếp tuyến cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , B C khác A · phương trình
2 2
2 3 6 0 x mx m + + ÷ = có hai nghiệm phân biệt khác m
3 3
1
m
m
¦
÷ < < ¦
·
´
= ¦
¹
.
Gọi
1 2
, x x lần lượt là hoành độ của , B C . Hơn nữa
1 2
, x x cũng là nghiệm của phương trình
2 2
2 3 6 0 x mx m + + ÷ = nên theo định lý Viet ta có:
1 2
2
1 2
2
3 6
x x m
x x m
+ = ÷ ¦
´
= ÷
¹
.
Mặt khác: 3 AC AB = ( B nằm giữa A và C)
2 1
3 3 2 AC AB x x a ¬ = ¬ ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Giải hệ:
2 1
2 1
3 2
2
x x m
x x m
÷ = ÷ ¦
´
+ = ÷
¹
ta được:
1
2
0
2
x
x m
= ¦
´
= ÷
¹
.
Thay
1
2
0
2
x
x m
= ¦
´
= ÷
¹
vào
2
1 2
3 6 x x m = ÷ ta được
2
3 6 0 2 m m ÷ = · = ± thỏa điều kiện trên.
Câu II
1. Điều kiện : ( )
4
cos cos 0
3 4 4
4
x k
x x k
x k
¦
= +
¦
¦ | | | |
+ ÷ = ·
´ | |
\ . \ .
¦
= +
¦
¹
eZ .
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với :
2 2
1 os 2 1 os 2 3 sin cot tan
3 3 4 4
c x c x x x x
| | | | | | | |
÷ + + ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷
| | | |
\ . \ . \ . \ .
2 2
1 sin os 2 os 2 0 1 sin 2cos 2 c
2
os 0
3 3 3
x c x c x x x
| | | |
· ÷ + + + ÷ = · ÷ + =
| |
\ . \ .
2
1 os2 sin 0 2sin sin 0 c x x x x · ÷ ÷ = · ÷ =
sin 0
sin 1
x
x
=
·
=
¸
( ) 2
6
2
6
5
x k
x k k
x k
=
· = +
= +
¸
eZ ( thỏa điều kiện ban đầu).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
178
2. Điều kiện 0 x > .
+ Với 0 x = , bất phương trình thành: 1 0 s ( Vô lý)
+ Với 0 x > , chia cả hai vế của bất phương trình cho x ta được:
1 1
4 3 x x
x x
| |
+ + s +
|
\ .
(*)
Đặt
1
t x
x
= + , 2 t > ( theo bất đẳng thức Cauchy).
Suy ra:
2
1
2 x t
x
+ = ÷ .
Bất phương trình ( ) * thành:
( )
2 2
2 4 3 3 2 0 1 2 t t t t t ÷ + s · ÷ + s · s s . Kết hợp với
2 t > ta thu được 2 t = .
Với 2 t = ta có:
1
2 2 1 0 1 x x x x
x
+ = · ÷ + = · = .
Vậy 1 x = là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu III
Ta có:
( )
( )
( )
5 5
1 1 1 5
5 5 5 5 5 6
5
5
0 0 0
1
.
1 1 1
1
x x
dx x
I dx x dx
x x x
x
+ ÷
= = ÷
+ + +
+
} } }
.
Đặt:
( )
4
6
5 5 5
5
1
1 1
u x
du dx
x
dv dx
v
x x
= ¦
= ¦
¦
¦ ¦
¬
´ ´
=
= ÷
¦ ¦
+ +
¹
¦
¹
.
Khi đó:
( )
1
1 1 1 5
5
5 5 5 6 5 5 5
5
5
0 0 0
0
1
2
1 1 1
1
x x dx dx
dx
x x x
x
= ÷ + = ÷ +
+ + +
+
} } }
.
Do đó:
5
1
2
I = .
Câu IV
Kẻ đường cao SI của tam giác SBC. Khi đó AI ±BC
(Định lí 3 đường vuông góc) do đó
´
SIA =
AI = a.cot , AB = AD =
cot
sin
a
, SI =
sin
a
2 2
cot
. .sin
sin
ABCD
a
S AB AD
= =
S
A
B C
D
I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
179
3 2
.
cot
3sin
S ABCD
a
V
=
S
xq
= S
SAB
+ S
SAD
S
SBC
+ S
SCD
=
2
cot 1
.(1 )
sin sin
a
+
Câu V
Nghiệm của hệ phương trình này là toạ độ giao điểm của đường thẳng
( ) ( )
2 2 2
: 2 1 2 2 0 m m x m y m m A + + ÷ + ÷ ÷ = và đường tròn ( ) ( )
2
2
: 1 10 C x y + + = tâm
( ) 1; 0 I ÷ , bán kính 10 R = .
Ta có:
( ) ( )
2 2 2
2 1 2 2 0 m m x m y m m + + ÷ + ÷ ÷ =
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 2 0 x y m x m y · ÷ + + ÷ + ÷ = . Phương trình này nghiệm đúng với mọi m khi
1, y = 2 x = nghĩa là: A luôn đi qua điểm cố định ( ) 1; 2 A và A nằm trong ( ) C . Do đó A
luôn cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
1 1 2 2
; , N ; M x y x y . Vậy hệ đã cho luôn có hai
nghiệm phân biệt.
Ta có:
2
P MN = nhỏ nhất khi và chỉ khi
( ) ( )
2 2
. 0 1 .2 2 .2 0 IA IAu m m m
A
± A · = · ÷ + + =
¸¸, ¸¸,
2
1 3
4 4 2 0
2
m m m
÷ ±
· + ÷ = · = . Vậy
1 3
2
m
÷ ±
= .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi ( )
1
; B a b ' là điểm đối xứng của
1
B qua d .
( )
1 1
6; B B a b ' = +
¸¸¸¸,
; trung điểm đoạn thẳng
1 1
B B' là
6
;
2 2
a b
I
÷ | |
|
\ .
.
Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: ( ) 1; 2 u =
,
.
Ta có:
1 1
6
. 0
6
d
a
B B u
b
I
¦ = ' ¦ = ¦
·
´ ´
= ÷
¦ ¹
e
¹
¸¸¸¸, ,
hay ( )
1
6; 6 B' ÷ .
Rõ ràng
1
B AB ' e ¬ đường thẳng AB đi qua điểm
1
B' và
1
C . Phương trình cạnh
: 0 AB x y + = .
A AB d = · ¬ tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ
2 3 0 1
0 1
x y x
x y y
÷ ÷ = = ¦ ¦
·
´ ´
+ = = ÷
¹ ¹
hay ( ) 1; 1 A ÷ .
M
N
A
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
180
Dễ dàng lập được phương trình các đường cao:
1
: 7 42 0 BB x y ÷ + = ;
1
: 8 0 CC x y ÷ + = .
1
B AB BB = · ¬ tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
21
0
4
7 42 0 21
4
x
x y
x y
y
¦
= ÷
¦
+ = ¦ ¦
·
´ ´
÷ + =
¹
¦
=
¦
¹
hay
21 21
;
4 4
B
| |
÷
|
\ .
.
1
C AC CC = · ¬ tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
31
7 6 0
4
8 0 1
4
x
x y
x y
y
¦
= ÷
¦
+ + = ¦ ¦
·
´ ´
÷ + =
¹
¦
=
¦
¹
hay
31 1
;
4 4
C
| |
÷
|
\ .
2. ( ) ( )
1 2
; ; 1 , ; 2; 2 M M m m m N N n n n eA ¬ + eA ¬ + ÷ .
Ta có:
( ) ; 2; 2 1 MN m n m n m n = ÷ + ÷ + + ÷ ÷ ÷
¸¸¸¸,
, ( ) ( ) 1; ; , 1; 2; 2 1 AM m m m AN n n n = + = + + ÷ ÷
¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
Từ giả thiết ta có:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 1 3
2 2 1 6
m n m n m n
m n m n m n
+ + + + + ÷ ÷ = ¦
¦
´
÷ + + ÷ + + + ÷ ÷ ÷ =
¦
¹
.
Giải hệ này ta được:
1
0
m
n
= ¦
´
=
¹
hoặc
13
9
8
9
m
n
¦
=
¦
¦
´
¦
= ÷
¦
¹
.
Do đó ( ) ( ) 1;1; 2 , 0; 2; 0 M N hoặc
13 13 22 8 10 16
; ; , ; ;
9 9 9 9 9 9
M N
| | | |
÷
| |
\ . \ .
.
Câu VIIa
Đặt z a bi = + , , a beR.
Ta xây dựng được một hệ phương trình như sau:
2 2
2 3
4 3 0
a b
a b b
+ = ¦
´
+ ÷ + =
¹
.
Giải hệ này ta được:
1
2
a
b
= ÷ ¦
´
=
¹
hoặc
3
5
6
5
a
b
¦
=
¦
¦
´
¦
=
¦
¹
.
Vậy có hai số phức cần tìm là:
1 2
3 6
1 2 ,
5 5
z i z i = ÷ + = + .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. ( )
2
; 5 2 d B b B b e ¬ ÷ . Đường thẳng
1
A qua B và vuông góc
3
d cắt
3
d tại C .
Phương trình
1
: 5 0 x y b A + + ÷ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
181
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
5 3 0
9 15 3 5
;
3 0 2 2
x y b
b b
A
x y
÷ + ÷ = ¦ ÷ ÷ | |
¬
´
|
÷ =
\ .
¹
.
Đường thẳng
2
A qua A và vuông góc với
3
d cắt
3
d tại D.
Phương trình
1
: 6 10 0 x y b A + ÷ + = .
Vậy tọa độ điểm D là nghiệm của hệ ( )
0
3 5;3 5
6 10 0
x y
D b b
x y b
÷ = ¦
¬ ÷ ÷
´
+ ÷ + =
¹
.
ABCD là hình vuông
2
2
... 2 9 10 0
5
2
b
AB CD b b
b
=
· = · · ÷ + = ·
=
¸
.
Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD là:
( ) ( )
3 1 3 3
; , 2;1 , ; , 1;1
2 2 2 2
A B C D
| | | |
| |
\ . \ .
hoặc
15 5 5 5 5 5 5
; , ; 0 , ; , ;
4 4 2 4 4 2 2
A B C D
| | | | | | | |
| | | |
\ . \ . \ . \ .
.
2. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOD và BOD với các đường cao ứng với
cạnh huyền là: , OF OE . Suy ra:
2 2
2 2 2 2
; 0; , 0; ;
1 1 1 1
m m m m
E F
m m m m
| | | |
| |
+ + + +
\ . \ .
.
Sau khi tính được , OF OE
(
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
ta suy ra phương trình ( ) EF : 0 O x y mz + ÷ = .
Ta có:
2
.OF 1
os
1
. OF
OE
c EOF
m
OE
= =
+
¸¸¸, ¸¸¸,
¸¸¸, ¸¸¸, .
Mà
0
EOF 45 = nên
2
1 1
2 1
1 2
m
m
= · = ÷
+
( do 0 m > )
Câu VIIb
Điều kiện: , 0 x y > .
Đặt
3
log
2 0
xy
t = > . Phương trình thứ nhất của hệ thành:
2
1
2 0
2
t
t t
t
= ÷
÷ ÷ = ·
=
¸
Loại 1 t = ÷ . Với 2 t = ta có:
3
og
3
3
2 2 log 1 3
l xy
xy xy y
x
= · = · = · = .
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 2
4 4 4 2 2
36 1 9 36 9
og 4 log log 4 2
2
l x x x x x x
x x x x
| | | | | |
+ = + + + · + = +
| | |
\ . \ . \ .
2
4 2
2
3 3
3
9 18 0
6
6
6
2
x y
x
x x
x
x y
= ¬ =
=
· ÷ + = · ·
=
= ¬ =
¸
¸
.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:
( )
6
3; 3 , 6;
2
| |
|
|
\ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
182
ĐỀ 29
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
1
2 1
x
y
x
+
=
+
( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Tìm m để : 2 2 1 0 d mx y m ÷ + + = cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho biểu thức
2 2
P OA OB = + đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
4
6
2
cos 2
3 1 tan 7
cos
x
x
x
| |
+ + =
|
\ .
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
3 9 10 3 3
1
3 6
3
x y x y x y
x y
x y
¦
÷ + ÷ = +
¦
´
+ + =
¦
÷
¹
Câu III (1,0 điểm). Cho
8 8
: cos sin ; y = 0 ; x = 0 ; x =
2
S y x x
¦ ¹
= +
´ `
¹ )
. Tìm
x
V khi S
quay quanh Ox.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, = = cạnh SA
vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc
o
60 . Trên cạnh SA lấy điểm
M sao cho
a 3
AM
3
= . Mặt phẳng ( ) BCM cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối
chóp . . S BCNM
Câu V (1,0 điểm).
Cho ba số thực không âm , , x y z thỏa mãn
2 2 2
3 x y z + + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
5
A xy yz zx
x y z
= + + +
+ +
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip ( )
2 2
: 1
8 2
x y
E + = . Viết phương trình đường thẳng d cắt
( ) E tại hai điểm phân biệt có tọa độ là các số nguyên.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
183
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 12 2 ,
đỉnh A thuộc Oz , đỉnh C thuộc mặt phẳng Oxy , hai đỉnh B và D thuộc đường thẳng
1
:
1 1 2
x y z
d
+
= = và B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm , , , A B C D .
Câu VII a (1,0 điểm)
Gọi
1 2
, z z là các nghiệm phức của phương trình:
2
4 5 0 z z ÷ + = .
Tính ( ) ( )
2011 2011
1 2
1 1 z z ÷ + ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho parabol ( )
2
: 4 P y x = có tiêu điểm F . Gọi M là điểm
thỏa điều kiện: 3 FM FO = ÷
¸¸¸¸, ¸¸¸,
, d là đường thẳng bất kì qua M , d cắt ( ) P tại hai điểm
phân biệt , A B. Chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0 P x y z ÷ + + = và hai điểm
( ) ( ) 3; 1; 2 , 1; 5; 0 A B ÷ ÷ . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) P sao cho . MAMB
¸¸¸, ¸¸¸,
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình:
( ) ( )
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1 x x x x + + > + ÷
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
1
: 2 2 1 0
2
m
d mx y m y mx
+
÷ + + = · = + .
Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là:
( )
2 1 0
1 1
1
1 2 1 2 1 2
2
x
x m
mx
m
x x mx x
+ = ¦
+ + ¦
= + ·
+ ´ | |
+ = + + +
|
¦
\ . ¹
( ) ( )
2 2
1 1
2 2
1 1
1 2 1 2 2 0 1
2 2
x x
m m
x mx m x mx mx mx
¦ ¦
= ÷ = ÷
¦ ¦
¦ ¦
· ·
´ ´
+ ÷
¦ ¦
+ = + + + + + + =
¦ ¦
¹ ¹
d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B · phương trình( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác
1
2
÷
2
0
0
1 1 1 1
2 . 2 . 0
2 2 2 2
m
m
m
m m
' A = > ¦
¦
· · >
´ ÷ | | | |
÷ + ÷ + = ÷ =
| | ¦
\ . \ . ¹
.
Gọi
1 2
, x x lần lượt là hoành độ của , A B. Khi đó:
1 2 2 2
1 1
; , ;
2 2
m m
A x mx B x mx
+ + | | | |
+ +
| |
\ . \ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
184
Ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
m m
P OA OB x mx x mx
+ + | | | |
= + = + + + + +
| |
\ . \ .
=
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
4 4
m m
x m x m m x x m x m m x
+ +
+ + + + + + + + +
=
( )( ) ( )( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1
1
2
m
m x x m m x x
+
+ + + + + +
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1
1 2
2
m
m x x x x m m x x
+
(
+ + ÷ + + + +
¸ ¸
=
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
2 2
1 1
1 1 2. 1
4 2
m m
m m m
m
+ ÷ (
+ ÷ ÷ + + ÷ +
(
¸ ¸
=
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1
1 1
2 2
m m
m m m
m
+ ÷ | |
+ ÷ ÷ + +
|
\ .
=
( )( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 2 1
2
m m m m m m m
m
+ + ÷ + + +
=
3 2 3 2 3 2
1 2 2 2
2
m m m m m m m m
m
+ + + ÷ ÷ + + +
=
2
2 1 1 1 1 1
2 2 . 2 2
2 2 2
m m
m m
m m m
| |
+ + | |
= + + > + =
|
|
|
\ .
\ .
( bất đẳng thức Cauchy).
Dấu “=” xảy ra
2
1
1 1 m m m
m
· = · = · = ± . Vì 0 m > nên chọn 1 m = .
Vậy
min
2 P = khi 1 m = .
Câu II
1. Đặt
2
2
cos 2
, tan
cos 1
x
a b x
x
= =
+
.
Phương trình đã cho thành:
4 3
3 4 7 a b + = .
Dễ thấy a, b 0 > và 2 a b + = .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
4 3
1 1 1 4 , b 1 1 3 a a b + + + > + + > .
Suy ra:
( ) ( )
4 3 4 3
3 3 12 , 4 2 12 3 4 7 a a b b a b + > + > ¬ + > .
Dấu bằng xảy ra
4 4
1 1 a b a b = = ¬ = = hay ( ) tan 1
4
x x k k
= ± · = ± + eZ
là nghiệm của phương trình đã cho.
2. Điều kiện: 3 0 3 x y y x ÷ = · = .
Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 3 0 x y ÷ = , ta được:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
185
2 2
3
5
3 3 3 3 3
3 10 3 10 0
3 3 3 3 3
2
3
x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y
+
=
÷ | | | | | | | | + + + +
+ = · ÷ ÷ = ·
| | | |
+ ÷ ÷ ÷ ÷
\ . \ . \ . \ .
= ÷
÷
¸
(i) Với
3
5
3
x y
x y
+
=
÷
, ta có hệ:
( )
( )
1
3 6
3
1
3 . 5
3
x y
x y
x y
x y
¦
+ + =
¦
÷
¦
¬
´
¦
+ =
¦
÷
¹
3x y + và
1
3x y ÷
là nghiệm của
phương trình:
2
5
6 5 0
1
X
X X
X
=
÷ + = ·
=
¸
Do đó:
3 5
1
3 5
1
2
1
3 1
3
1
3 1
3 1
5
1
1 2 3
5
5
3 5
x y
x
x y
y
x y
x y
x y x
x y
x y
y
x y
+ = ¦
= ¦
+ = ¦ ¦
´
´
= ´
¹
=
÷ =
¹ ¦
÷
¹
¦
· ·
+ = = ¦
¦
+ = ¦ ¦ ¦
¦ ´ ´
÷ = ´
¦ ¦
= =
¹ ¸
¦
¦
÷ ¹ ¸ ¹ ¸
.
(ii) Nếu
3
2
3
x y
x y
+
= ÷
÷
, ta có hệ:
( )
( )
1
3 6
3
1
3 . 2
3
x y
x y
x y
x y
¦
+ + =
¦
÷
¦
´
¦
+ = ÷
¦
÷
¹
¬3x y + và
1
3x y ÷
là ¬nghiệm
của phương trình
2
3 11
6 2 0
3 11.
Y
Y Y
Y
= +
÷ ÷ = ·
= ÷
¸
Do đó:
( )
( )
3 11
12
3 3 11 3 3 11
3 3 11
1
3 11
3 11
3
3
2 4
3 3 11 3 3 11 3 11
12
1
3 11
3 11
3
3 3 3 11
2
4
x
x y x y
x y y
x y
x y x y
x
x y
x y
y
¦
+
=
¦
¦ ¦
¦ + = + + = +
´ ¦ ¦
+
´ ´
¦ +
= ÷
÷ = ÷ =
¦ ¦
¦
÷
¹ ¹ ¹
· ·
¦ ¦ ¦
+ = ÷ + = ÷ ÷
=
¦ ¦ ¦
´ ´ ¦
÷ +
= +
´ ÷ =
¦ ¦
÷ ÷
¹ ¹ ¸ ¸ ¦
=
¦
¹ ¸
Vậy tập hợp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
( )
( ) ( )
3 3 11 3 3 11
1 2 3 11 3 11
S 1; 2 , ; , ; , ;
5 5 12 4 12 4
¦ ¹ | | | |
+ ÷
+ ÷ ¦ ¦ | |
| |
=
´ ` |
| |
\ .
¦ ¦
\ . \ . ¹ )
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
186
Câu III
Ta có:
( )
( )
2 2
2
8 8 8 8
0 0
cos sin cos sin
x
V x x dx x x dx
= + = +
} }
.
Ta lại có:
( )
( )
( ) ( )
2
8 8 4 4 4 4
2
2
2 2 2 2 4 4
2
2 4 2 4
2
cos sin cos sin 2cos sin
cos sin 2cos sin 2cos sin
1 1 1
1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2
2 8 8
1 1 1
1 1 cos 4 1 cos 4
2 8 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
+ = + ÷
(
= + ÷ ÷
(
¸ ¸
| |
= ÷ ÷ = ÷ +
|
\ .
(
= ÷ ÷ + ÷
(
¸ ¸
2
1 1 1 1 1
1 cos 4 cos 4 cos 4
2 2 32 16 32
x x x = ÷ + + ÷ +
( )
17 7 1 1
cos 4 . 1 cos8
32 16 32 2
35 7 1
cos 4 cos8 .
64 16 64
x x
x x
= + + ÷
= + ÷
Suy ra :
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
35 7
cos 4 cos8
64 16 64
35 7 1 1 35
. sin 4 . sin8 .
64 16 4 64 8 128
x
V dx xdx xdx
x x x
= + ÷
= + ÷ =
} } }
Vậy
35
128
x
V
= là giá trị cần tìm.
Câu IV
Ta có ( SAB) ±( BCNM) và
( ) ( ) SAB BCNM BM · = .
Từ S hạ SH vuông góc với đường thẳng BM
thì SH ±(BCNM) hay SH là đường cao
của hình chóp SBCNM.
Mặt khác :
SA = AB.tan60
0
= a 3 .
N
D
B
C
A
S
M
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
187
Suy ra : MA =
1
3
SA
Lại có : MN là giao tuyến của của
mp(BCM) với mp(SAD), mà
BC // (SAD) nên NM // AD và MN // BC
Do đó :
MN SM 2 4a
MN
AD SA 3 3
= = ¬ =
Vì AD ±(SAB) nên MN ±(SAB) , suy ra MN ±BM và BC ±BM
Vậy thiết diện của mp(BCM) với hình chóp SABCD là hình thang vuông BCNM .
Ta có : S
BCNM
= ( )
1
MN BC BM
2
+
Trong đó : BC = 2a , MM
4a
3
= và BM =
2 2
AB AM + =
2a 3
3
Do đó: S
BCNM
=
2
4a
2a
2a 3 10a 3
3
2 3 9
| |
+
|
=
|
|
\ .
Khi đó : V
SBCNM
=
1
3
SH. S
BCNM
Tính SH : Ta có ∆MAB ~ ∆ MHS , suy ra :
SH MS
AB BM
=
MS.AB
SH
MB
¬ = =
2a 3
.a
3
a
2a 3
3
=
Vậy : V
SBCNM
=
1
3
.a.
2
10a 3
9
=
3
10a 3
27
Câu V
Đặt
2
3
2
t
t x y z xy yz zx
÷
= + + ¬ + + = .
Vì
2 2 2
0 3 xy yz zx x y z s + + s + + = nên
2
3 9 3 3 t t s s ¬ s s ( vì 0 t > ).
Khi đó
2 2
3 5 5 3
2 2 2
t t
A
t t
÷
= + = + ÷ .
Xét hàm số: ( )
2
5 3
, 3;3
2 2
t
f t t
t
(
= + ÷ e
¸ ¸
( )
3
2 2
5 5
0
t
f t t
t t
÷
' = ÷ = > 3;3 t e ¬
(
¬
¸ ¸
( ) f t đồng biến trên 3;3
(
¸ ¸
.
Do đó: ( )
3;3
14
ax
3 x
m f t
(
e
¸ ¸
= tại 3 t = . Với 3 t = suy ra 1 x y z = = = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
188
Vậy
14
max
3
A = khi 1 x y z = = = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi ( ) ( ) ; M x y E e với , x y eZ .
Từ
2 2 2
2
1 2 1 2 2 2
8 2 8
x y x
y y
| |
+ = ¬ = ÷ s ¬ ÷ s s
|
\ .
.
Vì y eZ nên { } 0;1; 1 y e ÷ .
Với 0 y = ta được 2 2 x = ± loại.
Với 1 y = ± ta được 2 x = ± .
Do đó bốn điểm thuộc elip ( ) E có tọa độ nguyên là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2;1 , 2; 1 , 2;1 , 2; 1 ÷ ÷ ÷ ÷ .
Vậy có 6 đường thẳng thỏa mãn là: 2; 2; 1; 1; 2 0; 2 0 x x y y x y x y = = ÷ = = ÷ ÷ = + = .
2. ( ) ( ) ( ) 0; 0; , ; ; 0 A Oz A a C Oyz C b c e ¬ e ¬ . Ta có: ( ) ; ; AC b c a = ÷
¸¸¸,
.
Đường thẳng d có vecto chỉ phương ( ) 1;1; 2 u =
,
.
Tọa độ trung điểm I của AC là ; ;
2 2 2
b c a
I
| |
|
\ .
.
Ta có:
. 0
2
d
AC u
a b c
I
¦
= ¦
· = = =
´
¦
¹
e
¸¸¸, ,
. Do đó ( ) ( ) ( ) 0; 0; 2 , 2; 2; 0 , 1;1;1 A C I .
Diện tích hình thoi
1
AC 12 2
2
S BD = = , mà 2 3 AC = suy ra 4 6 2 6 BD IB = ¬ = .
( ) ; ; 1 2 , 0 B d B t t t t e ¬ ÷ + > . Khi đó ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 6 1 1 2 2 24 IB t t t = · ÷ + ÷ + ÷ =
2 2
1
6 12 18 0 2 3 0
3
t
t t t t
t
= ÷
· ÷ ÷ = · ÷ ÷ = ·
=
¸
. Vì 0 t > nên 3 t = .
Suy ra: ( ) ( ) 3; 3; 5 , 1; 1; 3 B D ÷ ÷ ÷ .
Câu VIIa
Phương trình
2
4 5 0 z z ÷ + = có hai nghiệm là:
1
2
2
2
z i
z i
= ÷
= +
¸
.
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2011 2011
1 2
1 1 1 1 z z i i ÷ + ÷ = ÷ + +
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1005 1005
2 2 1005 1005
1 1 1 1 1 2 1 2 i i i i i i i i
( (
÷ ÷ + + + = ÷ ÷ + +
¸ ¸ ¸ ¸
= ( ) ( )
1005 1005 1006
2 1 2 1 2 i i i i = ÷ ÷ + + = ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Tiêu điểm ( ) 1; 0 F . Theo giả thiết đề toán ta suy ra: ( ) 4; 0 M .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
189
Nếu Ox : 4 d d x ± ¬ = . Hệ
2
4
4
y x
x
¦
= ¦
´
=
¦
¹
cho ra ( ) ( ) 4; 4 , 4; 4 A B ÷ .
Suy ra: . 0 OAOB OAB = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
. vuông tại O.
Nếu không ± với ( ) Ox : 4 d y k x ¬ = ÷ .
Tọa độ , A B là nghiệm của hệ:
2
2
4 16 0
4
y kx k
ky y k
y x
= ÷ ¦
¦
¬ ÷ ÷ =
´
=
¦
¹
(*).
d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B · phương trình ( ) * có hai nghiệm phân
biệt 0 k · = .
Giả sử
2 2
1 2
1 2
; , ;
4 4
y y
A y B y
| | | |
| |
\ . \ .
trong đó
1 2
, y y là nghiệm của phương trình ( ) * .
Theo định lý Viet ta có:
1 2
16 y y = ÷ .
Ta có:
( )
2
1 2
1 2
. 0
16
y y
OAOB y y OAB = + = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
. vuông tại O.
Vậy OAB . vuông tại O.
2. Gọi I là trung điểm AB . Suy ra: ( ) 2; 3;1 I ÷ .
Ta có:
( )( ) ( )( )
2 2
. MAMB MI IA MI IB MI IA MI IA MI IA = + + = + ÷ = ÷
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸, ¸¸¸, ¸¸,
.
. MAMB
¸¸¸, ¸¸¸,
nhỏ nhất MI · nhỏ nhất · M là hình chiếu vuông góc của I trên ( ) P .
Gọi A là đường thẳng qua I , vuông góc với ( ). P Suy ra:
2 2
3
1 2
x t
y t
z t
= + ¦
¦
= ÷ ÷
´
¦
= +
¹
.
( ) M P = A· ¬ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 9 0 2 2; 1; 3 t t t t M + ÷ ÷ ÷ + + + = · = ÷ ¬ ÷ ÷ ÷ .
Vậy . MAMB
¸¸¸, ¸¸¸,
đạt giá trị nhỏ nhất khi ( ) 2; 1; 3 M ÷ ÷ ÷ .
Câu VIIb
Điều kiện : 0 x > .
Bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
2 2
3 1 3 5
5
log log 1 log log 1 0 x x x x + ÷ + + + <
( ) ( )
2 2
3 1 5
5
log log 1 .log 1 0 x x x x
(
· + ÷ + + <
(
(
¸ ¸
( ) ( )
2 2 2
5 5
log 1 1 0 log 1 1 x x x x · + + < · < + + < .
( )
2 2
5
log 1 0 1 1 0 x x x x x + + > · + + > · > .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
190
( )
2 2 2
5
log 1 1 1 5 1 5 x x x x x x + + < · + + < · + < ÷
2 2
0 5
0 5
12
0
12
5 1 25 10
5
x
x
x
x x x x
< s ¦
< s ¦
¦ ¦
· · · < <
´ ´
< + < ÷ +
¦
¹ ¦
¹
.
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là:
12
0;
5
S
| |
=
|
\ .
.
ĐỀ 30
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
2
1
x m
y
mx
÷
=
+
( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m =
2. Chứng minh rằng với mọi 0 m = đồ thị ( )
m
C cắt : 2 2 d y x m = ÷ tại hai điểm phân biệt
, A B thuộc một đường ( ) H cố định. Đường thẳng d cắt trục , Ox Oy lần lượt tại các điểm
, M N . Tìm m để 3
OAB OMN
S S =
. .
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Tìm ( ) 0; x e thỏa mãn phương trình:
2
os2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
c x
x x x
x
÷ = + ÷
+
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( )
3 2 2 3
2 2
1 2 30
1 11
x y y x y y xy
x y x y y y
¦
+ + + + =
¦
´
+ + + + =
¦
¹
( , x y eR).
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
3
2
4
tan
os 1 os
x
I dx
c x c x
=
+
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt
phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để
thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Câu V (1,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2
3
1 2 2 1
3 3 2
x y xy x
x x xy m
¦
+ ÷ ÷ =
¦
´
÷ ÷ = + ¦
¹
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
191
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 6 và hai đỉnh
( ) ( ) 1; 2 , 2; 3 A B ÷ ÷ . Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại, biết giao điểm của hai đường chéo hình
bình hành nằm trên trục Ox và có hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:
1 1 1
:
2 1 2
x y z
d
÷ ÷ ÷
= =
và
2 3 4
:
1 2 3
x y z ÷ ÷ ÷
A = = . Biết rằng d và A cắt nhau. Hãy viết phương trình mặt phẳng
( ) P chứa A sao cho góc giữa d và ( ) P lớn nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn:
2
2
2 . 8 z z z z + + = và 2 z z + = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình thoi ABCD có tâm ( ) 2;1 I và 2 AC BD = . Điểm
1
0;
3
M
| |
|
\ .
thuộc đường thẳng AB , điểm ( ) 0; 7 N thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh
B biết 0
B
x > .
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
2
1 2
:
4
x y z
d
n m
÷ ÷
= =
÷
;
2
1
:
1 2 1
x m y z
d
÷ ÷
= =
÷
Tìm , m n để
1 2
, d d song song và khi đó tính khoảng cách giữa
1 2
, d d .
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình:
( )
2
2 5 3 3 1 2.5 2
2
3 .5 1
x
x
x x x
x
÷
÷
÷ + + + + ÷
<
÷
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của ( )
m
C và : d
( )
2 2 2
1 1
2
2 2
1
2 2 1 0 0 2 2 0
x x
x m
m m x m
mx
x mx m mx m x m
¦ ¦
= ÷ = ÷
÷ ¦ ¦
= ÷ · ·
´ ´
+
¦ ¦
÷ ÷ = = ÷ ÷ =
¹ ¹
Rõ ràng:
2
2
2
1 1 2
2. 2 . 1 1 0
2 0
m
m m m
m
¦
¦
´
| | | |
÷ ÷ ÷ ÷ = + =
¦
| |
\ . \
A =
.
' +
¹
>
đúng 0 m ¬ =
Do đó phương trình:
2
2 2 1 0 x mx ÷ ÷ = có hai nghiệm phân biệt
1 2
, x x khác
1
m
÷ .
Suy ra d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
192
Mặt khác
1 2
1
2
x x = nên , A B thuộc một đường ( ) H cố định.
Kẻ ( )
2
,
5
m
OH AB OH d O d
÷
± ¬ = = .
Ta có : ( ) ( )
1 1 2 2
; 2 2 , ; 2 2 A x x m B x x m ÷ ÷ .
Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
1
2
x x m
x x
+ = ¦
¦
´
=
¦
¹
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
2 2 5 5 4 5 10 AB x x x x x x x x x x m
(
= ÷ + ÷ = ÷ = + ÷ = +
¸ ¸
.
Theo giả thiết:
2
2
3 . 3 . . 5 10 3
5
OAB OMN M N
m
S S OH AB OM ON m x y
÷
= · = · + =
. .
2 2
2 1
. 5 10 3 2 2 3
2 5
m
m m m m m m
÷
· + = · + = · = ± .
Câu II
1. Điều kiện:
sin 2 0 sin 2 0
sin cos 0 tan 1
x x
x x x
= = ¦ ¦
·
´ ´
+ = = ÷
¹ ¹
.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
2
cos sin os2 .cos
sin sin os
sin cos sin
x x c x x
x xc x
x x x
÷
= + ÷
+
2 2
cos sin
os sin os sin sin os
sin
x x
c x xc x x xc x
x
÷
· = ÷ + ÷
( ) ( )
( )
2
2
cos sin sin cos sin cos sin sin os sin 1 0 x x x x x x x xc x x · ÷ = ÷ · ÷ ÷ ÷ =
( )( ) os sin sin 2 os2 3 0 c x x x c x · ÷ + ÷ =
( ) os sin 0 tan 1
4
c x x x x k k
· ÷ = · = · = + eZ .
Vì ( ) 0; x e nên 0 k = . Suy ra:
4
x
= .
2. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
( )
30
11
xy x y xy x y
xy x y xy x y
+ + + = ¦
¦
´
+ + + + =
¦
¹
( ) , xy x y xy x y ¬ + + + là nghiệm của phương trình:
2
5
11 30 0
6
t
t t
t
=
÷ + = ·
=
¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
193
Suy ra:
( )
( )
5
6
6
5
xy x y
xy x y
xy x y
xy x y
+ = ¦
¦
´
+ + =
¦
¹
+ = ¦
¦
´
+ + = ¦
¹ ¸
.
Giải các hệ trên ta tìm được bốn nghiệm là:
( ) ( )
5 21 5 21 5 21 5 21
1; 2 , 2;1 , ; , ;
2 2 2 2
| | | |
÷ + + ÷
| |
| |
\ . \ .
Câu III
Ta có:
3 3 3
2 2 2
2
2
4 4 4
tan tan tan
1
os 1 os os 2 tan
os 1
os
x x x
I dx dx dx
c x c x c x x
c x
c x
= = =
+ +
+
} } }
( )
3
3 2 2
4
4
2 tan 2 tan 5 3 d x x
= + = + = ÷
}
.
Câu IV
SH±BM và SA±BM suy ra AH±BM
V
SABH
= BH AH
h
BH AH SA .
6
. .
6
1
= .
V
SABH
lớn nhất khi AH.BH lớn nhất.
Ta có: AH + BH BH AH. 2 >
BH AH BH AH . 2
2 2
> + ¬
BH AH a . 2
2
> ¬ , vậy AH.BH lớn nhất
· AH.BH =
2
2
a
· AH = BH
· H là tâm của hình vuông ·M D ÷ .
Khi đó V
SABH
=
12
2
h a
.
Câu V
Đặt 1, 0 k y k = + > . Hệ phương trình thành:
2 2
3 2
2 1
3 2
x k xk
x xk m
¦
÷ =
¦
´
÷ = + ¦
¹
.
Rõ ràng: 0 k = không phải là nghiệm của hệ phương trình.
Với 0 k > , đặt . x t k = hệ trở thành:
( )
( )
( )
( )
3 2
3 3
2 1 1
3 2 2
k t t
k t t m
¦
÷ =
¦
´
÷ = +
¦
¹
.
h
H
M
D
C
B
A
S
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
194
Do 0 k > nên từ ( ) 1 suy ra
2
0
2 0
2
t
t t
t
<
÷ > ·
>
¸
.
Từ (1) và (2) ta có:
2
3
2
2
t
m
t
÷
+ =
÷
với
0
2
t
t
<
>
¸
.
Xét hàm số: ( )
2
3
2
t
f t
t
÷
=
÷
, ( ) ( ) ; 0 2; t e ÷· +· .
Ta có: ( )
( )
2
2
1
4 3
0
3
2
t
t t
f t
t
t
s ÷ +
' = > ·
>
÷ ¸
.
Lập bảng biến thiên và suy ra được rằng: hệ có nghiệm
2 6 4
3 1
2
2 2
m m
m m
+ > >
· ·
+ < < ÷
¸ ¸
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1.
3
6
2
ABCD IAB
S S = ¬ =
.
. Gọi ( ) ; 0
I
I x Ox e là giao điểm hai đường chéo ( ) 0
I
x >
Phương trình đường thẳng : 1 0 AB x y + + = .
Ta có: ( )
2 1 2 3
, 1 3
4 0 2 2
I I IAB
I
I
x x S
d I AB x
x AB
= +
= · = · + = ·
= ÷ <
¸
.
.
Loại 4
I
x = ÷ . Với 2
I
x = ta có: ( ) 2; 0 I . Suy ra: ( ) ( ) 3; 2 , 2; 3 C D .
2. Dễ dàng tìm được giao điểm của
d và A là ( ) 1;1;1 M .
Lấy ( ) 3; 2; 3 A d e .
Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của
A trên ( ) P và A.
Ta có:
AH AK AMH AMK s ¬ s .
Dấu “=” xảy ra
( ) H K AK P · ÷ · ± .
Như vậy góc giữa d và ( ) P lớn nhất ( ) AK P · ± tại K .
Dễ dàng tìm được tọa độ điểm
12 17 22
; ;
7 7 7
K
| |
|
\ .
.
Mặt phẳng ( ) P đi qua K nhận
9 3 1
; ;
7 7 7
AK
| |
= ÷
|
\ .
¸¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương
trình là: 9 3 5 0 x y z ÷ ÷ ÷ = .
P
K
d
H
M
A
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
195
Câu VIIa
Gọi z a bi = + . Ta có: z a bi = ÷ ;
2
2
2 2
. z z z z a b = = = + .
Theo giả thiết bài toán ta xây dựng được hệ phương trình:
( )
2 2
4 8 1
1
2 2
a b a
b
a
¦
+ = = ¦ ¦
·
´ ´
= ±
¹ = ¦
¹
.
Vậy các số phức cần tìm là: 1 ; 1 i i + ÷ .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
1. Gọi N' là điểm đối xứng của N qua I thì ( ) 4; 5 N AB N ' ' e ¬ ÷ .
Phương trình đường thẳng : 4 3 1 0 AB x y + ÷ = ; ( ) , 2 d I AB = .
Vì 2 AC BD = nên 2 AI BI = .
Trong tam giác vuông ABI ta có:
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 5
5
4 , 4 4
BI
d I AB BI BI BI
= + · = ¬ = .
Điểm B là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính 5 R = với đường thẳng
4 3 1 0 x y + ÷ = nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
4 3 1 0
2 1 5
x y
x y
+ ÷ = ¦
¦
´
÷ + ÷ =
¦
¹
.
Giải hệ trên và kết hợp với 0
B
x > ta suy ra ( ) 1; 1 B ÷ .
2.
1
d qua ( )
1
1; 2; 0 M nhận
( )
2
1
; ; 4 u m n = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương.
2
d qua ( )
2
; 0;1 M m nhận ( )
2
1; 2;1 u = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương.
1 2 1 2
/ / , d d u u ·
¸¸, ¸¸,
cùng phương và
1 2 2
, M M u
¸¸¸¸¸¸, ¸¸,
không cùng phương
1 2
, u u
¸¸, ¸¸,
cùng phương
2
2
4
8 1 2 1
m
m n
n
= ± ¦ ÷
· = = ·
´
= ÷
¹
1 2 2
, M M u
¸¸¸¸¸¸, ¸¸,
không cùng phương
1 2 1
2
1 2 1
m
m
÷ ÷
· = = · =
÷
.
Vậy
1 2
2
/ /
8
m
d d
n
= ÷ ¦
·
´
=
¹
.
Khoảng cách giữa
1
d và
2
d là: ( ) ( )
1 2 2
1 2 1 2
2
;
40
, ,
3
M M u
d d d d M d
u
(
¸ ¸
= = =
¸¸¸¸¸¸, ¸¸,
¸¸, .
Câu VIIb
Điều kiện:
2
1
3 2 5 3 0
2
3 .5 1 0
3 .5 1 0
x
x
x x x
x
x
÷
÷
¦
¦ ÷ s s ÷ + + >
¦ ¦
·
´ ´
÷ = ¦
¦ ¹
÷ =
¹
.
Xét hàm số: ( ) 3 .5 1
x
f x x
÷
= ÷ với
1
;3
2
x
(
e ÷
(
¸ ¸
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
196
( ) ( ) 3.5 1 ln5
x
f x x
÷
' = ÷
( )
1
0
ln5
f x x ' = · = .
1
2
1 3
1 .5 0
2 2
f
| |
÷ = ÷ ÷ <
|
\ .
; ( )
116
3 0
125
f = ÷ < ;
1
ln5
1 3 1
1 . 0
ln5 ln5
5
f
| |
= ÷ + <
|
\ .
.
Vậy ( ) ( )
1
;3
2
1
ax 0 0, ;3
2
x
m f x f x x
(
e ÷
(
¸ ¸
(
< ¬ < ¬ e ÷
(
¸ ¸
.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2 5 3 2 3 6 .5 6 .5 2 2 5 3 3
x x
x x x x x x x x
÷ ÷
÷ + + ÷ + + > ÷ · ÷ + + > ÷
2 2 2
0
3 0 0
0
3 0 0
5 157 5 157
2 5 3 9 11 5 3 0
22 22
x
x x
x
x x
x x x x x x
>
÷ < >
s ¦
÷ > s ¦ ¦ · · ·
¦ ¦ ¦
´ ´ ´
÷ +
÷ + + > ÷ ÷ < < < ¦ ¦
¹ ¹ ¦ ¸ ¸
¹ ¸
0
5 157
5 157
22
0
22
x
x
x
>
÷
· · >
÷
< s
¸
. Kết hợp với
1
;3
2
x
(
e ÷
(
¸ ¸
suy ra:
5 157
3
22
x
÷
< s
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là:
5 157
;3
22
S
| (
÷
=
(
\ ¸
.
ĐỀ 31
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số: ( ) ( )
4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m = ÷ + + + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0 m = .
2. Tìm m để ( )
m
C có 3 điểm cực trị tọa thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độO
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 3 3 3
sin os sin cot os tan 2sin 2 x c x x x c x x x + + + = .
2. Giải hệ phương trình:
3 3
3 3
1 1
9
1 1 1 1
1 1 18
x y
x y x y
¦
+ =
¦
¦
´
| | | |
| |
¦
+ + + =
| |
|
| |
¦
\ .
\ . \ . ¹
( , x y eR).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
197
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
2
10 10 4 4
0
os sin sin cos I c x x x x dx
= + ÷
}
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C bằng
15
5
a
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Câu V (1,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :
2
9
(1 )(1 )(1 ) 256
y
x
x y
+ + + > .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có ( ) 2; 6 A ÷ , đỉnh B thuộc đường thẳng
: 2 6 0 d x y ÷ + = . Gọi , M N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh , BC CD sao cho
BM CN = . Biết AM cắt BN tại
1 14
;
2 5
I
| |
|
\ .
. Xác định tọa độ đỉnh C .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d
÷ + +
= =
÷
và mặt
phẳng ( ) : 2 0 P x y z + + + = . Lập phương trình đường thẳng A nằm trong mặt phẳng d ,
cắt d và tạo với d góc lớn nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
1 3 2 z i z ' = + +
trong đó z là số phức thỏa: 1 2 z ÷ = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 16 C x y + = . Viết phương trình chính
tắc của elip ( ) E có tâm sai
1
2
e = biết ( ) E cắt ( ) C tại bốn điểm , , , A B C D sao cho AB
song song với trục hoành và 2 AB CD = .
2. Trong không gian Oxyz, cho họ mặt phẳng
( )
, ,
: 1 0
a b c
P ax by cz + + ÷ = , ( ) , , 0 a b c > và
1 1 1
1
2 3 a b c
+ + = . Tìm , , a b c để
( )
, , a b c
P cắt các trục tọa độ , , Ox Oy Oz lần lượt tại , , A B C
sao cho OABC có thể tích lớn nhất.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2 2
3 3
3 3 27 9
log 1 log 1 1
x y x y x y
x y
+ + + +
¦ + = +
¦
´
+ + + =
¦
¹
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
198
2. Ta có: ( ) ( )
3 2
2 3 1 2 3 1 y x m x x x m ' ( = ÷ + = ÷ +
¸ ¸
.
( )
m
C có ba điểm cực trị · phương trình 0 y' = có ba nghiệm phân biệt
1
3
m · > ÷ .
Tọa độ các điểm cực trị
( )
( ) ( )
2 2
0; 2 2 , 6 2; 9 4 1 , 6 2; 9 4 1 A m B m m m C m m m + ÷ + ÷ ÷ + + ÷ ÷ + .
Tam giác ABC có trọng tâm O
2
2
3
18 6 8 0
1
3
m
m m
m
= ÷
· ÷ ÷ + = ·
=
¸
.
So với điều kiện
1
3
m > ÷ ta có:
1
3
m = .
Câu II
1. Điều kiện:
cos 0
sin 0 sin 2 0
sin 2 0
x
x x
x
= ¦
¦
= · >
´
¦
>
¹
.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
2 2
sin os sin sin cos cos sin cos sin cos 2sin 2 x c x x x x x x x x x x + ÷ + + + =
2 sin 0 sin cos 0
sin cos 2sin 2 4
1 sin 2 2sin 2
sin 2 1
x x x
x x x
x x
x
¦ | |
+ > + > ¦ ¦
|
· = · ·
\ . ´ ´
+ =
¹
¦
=
¹
( )
sin 0
4
2
2
4
4
5
2
4
x
x k
x k
x k
k
¦ | |
+ >
| ¦
\ .
¦
¦
· · = +
´ = +
¦
¦
= +
¦
¸ ¹
eZ
2. Điều kiện , 0 x y = .Đặt
3
3
1 1
, u v
x y
= = .
Hệ phương trình đã cho thành:
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
3
3 3
9 3 9
1 1 18
1 18
u v u v uv u v
u v u v
u v u v uv
¦
¦ + = + ÷ + =
¦ ¦
·
´ ´
+ + + =
+ + + + = ¦
¦ ¹
¹
.
Đặt , S u v P uv = + = . Điều kiện
2
4 S P > .
Hệ phương trình thành:
( )
( )
( )
3 3
2
3 9 1 3 9
1 18 18 2
S PS S PS
S S P PS S S
¦ ÷ = ¦ ÷ =
¦ ¦
·
´ ´
+ + = = ÷ ÷
¦ ¦ ¹ ¹
Thay (2) vào (1) ta được: ( )
3
3 2
3 3 63 0 1 64 3 2 S S S S S P + + ÷ = · + = · = ¬ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
199
Với
3
2
S
P
= ¦
´
=
¹
ta suy ra: , u v là nghiệm của phương trình:
2
1
3 2 0
2
X
X X
X
=
÷ + = ·
=
¸
.
Khi đó:
1
2
u
v
= ¦
´
=
¹
hoặc
2
1
u
v
= ¦
´
=
¹
. Suy ra:
1
8
1
x
y
¦
=
¦
´
¦
=
¹
hoặc
1
1
8
x
y
= ¦
¦
´
=
¦
¹
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
1 1
;1 , 1;
8 8
| | | |
| |
\ . \ .
.
Câu III
Ta có:
( )
10 10 4 4 10 10 4 4 2 2
cos sin sin cos cos sin sin cos sin os x x x x x x x x x c x + ÷ = + ÷ +
( )( )
10 10 4 6 6 4 6 6 4 4
os sin sin cos sin cos os sin os sin c x x x x x x c x x c x x = + ÷ ÷ = ÷ ÷
2 2 2 2
1 1 1 os4 1 os8
os 2 1 sin 2 os 2 sin 4
4 16 2 32
c x c x
c x x c x x
+ ÷ | |
= ÷ = ÷ = ÷
|
\ .
15 1 1
os4 os8
32 2 32
c x c x = + + .
Suy ra:
2
2
0 0
15 1 1 15 1 1 15
os4 os8 sin 4 sin8
32 2 32 32 8 256 64
I c x c x dx x x x
| |
= + + = + + =
|
\ .
}
.
Câu IV
Gọi M; M’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
Hạ MH ± M’C
AB // (A’B’C) ==> d(AB,A’C) = MH
HC =
15
10
a
; M’C =
15
2
a
; MM’ = 3 a
Vậy V =
3
3
4
a
Câu V
Ta có:
3
4
3
1 1 4
3 3 3 3
x x x x
x + = + + + >
3
4
3 3
1 1 4
3 3 3 3 .
y y y y y
x x x x x
+ = + + + >
( )
3
4 3
9 3 3 3 3
1 1 4
y y y y
y
+ = + + + > ¬
2
6
4
3
9 3
1 16
y y
| |
+ >
|
|
\ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
200
Vậy ( )
2
3 3 6
4
3 3 3 3
9 3
1 1 1 256 256
3 3 .
y x y
x
x x y y
| |
| |
+ + + > =
|
|
|
\ .
\ .
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. ( ) 2 6; d B b B b e ¬ ÷ .
12 16 32 14
; , 2 ;
5 5 5 5
IA IB b b
| | | |
= ÷ = ÷ ÷
| |
\ . \ .
¸¸, ¸¸,
.
( ) . 0 2 2; 4 AMB BNC IA IB IA IB b B A = A ¬ ± ¬ = · = ¬
¸¸, ¸¸,
.
Dễ dàng lập đường phương trình : 2 0 BC x y ÷ = .
( ) ; 2 BC C C c c e ¬ .
( ) ( )
2 2
2 5, 2 2 4 AB BC c c = = ÷ + ÷
Ta có: ( ) ( )
( )
( )
2 2
0 0; 0
2 2 4 2 5 12 2
4 4;8
c C
c c c
c C
= ¬
÷ + ÷ = · ÷ = ·
= ¬
¸
.
Do I nằm trong hình vuông nên , I C cùng phía đối với đường thẳng ( ) 4; 8 AB C ¬ bị
loại. Vậy ( ) 0; 0 C .
2. Phương trình tham số của ( )
3 2
: 2
1
x t
d y t t
z t
= + ¦
¦
= ÷ + e
´
¦
= ÷ ÷
¹
R .
Gọi ( ) I d P = · ¬ tọa độ điểm I ứng với tham số t là nghiệm của phương trình:
( ) 3 2 2 1 2 0 1 1; 3; 0 t t t t I + ÷ + ÷ ÷ + = · = ÷ ¬ ÷ .
Vì A cắt d nên A đi qua I .
( )
, d A lớn nhất ( )
0
, 90 d d = A · · A ± .
Đường thẳng d có vecto chỉ phương ( )
1
2;1; 1 u = ÷
¸,
Mặt phẳng ( ) P có vecto pháp tuyến ( ) 1;1;1 n =
,
.
Gọi
2
u
¸¸,
là vecto chỉ phương của A, ta có:
( )
( )
1 2
2 1
2
, 2; 3;1
d u u
u u n
P
n u
¦ ± ± ¦
¦ ¦
(
¬ ¬ = = ÷
´ ´
¸ ¸
¦ ±
¦ ¹
¹
A
A
¸, ¸¸,
¸¸, ¸, ,
, ¸¸,
Vậy A qua ( ) 1; 3; 0 I ÷ nhận ( )
2
2; 3;1 u = ÷
¸¸,
làm vecto chỉ phương nên có phương trình:
1 3
2 3 1
x y z ÷ +
= =
÷
.
Câu VIIa
Ta có:
( )
( )
1 3
2 1 3
1 3
4 2 1 3
z i
z i
z i z z
i
' ÷
' ÷ ÷
' = + ¬ = = ÷
+
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
201
Khi đó:
( )
1 2 1 3 6 2 3 8 z z i i ' ÷ = · ÷ ÷ + = .
Đặt z x yi ' = + , ( ) , x y eR .
Ta có: ( )
( ) ( ) ( )
1 3 6 2 3 8 3 6 2 3 3 8 x yi i i x y y x + ÷ ÷ + = · + ÷ + + ÷ =
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
3 6 2 3 3 8 3 3 16 x y y x x y · + ÷ + + ÷ = · ÷ + ÷ = .
Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn cho số phức z thỏa mãn bài toán là
đường tròn tâm
( )
3; 3 I , bán kính 4 R = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
1. Giả sử elip có phương trình chính tắc ( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ = , theo đề bài
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 3
2 4 4 4
c c a b
e b a
a a a
÷
= = · = · = · = .
Suy ra elip có phương trình:
2 2
2 2 2
2 2
4
1 3 4 3
3
x y
x y a
a a
+ = · + = .
Tọa độ các giao điểm , , , A B C D của elip và đường tròn là nghiệm của hệ
( )
( )
2 2
2 2 2
16 1
3 4 3 2
x y
x y a
¦ + =
¦
´
+ =
¦
¹
Do ( ) E và ( ) C cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và / /Ox AB nên
, A B đối xứng nhau qua Oy ; , C D đối xứng nhau qua
Ox .
2 2
2 2 2.2 4 AB CD x y x y = · = · = (3).
Từ (1) và (2) tìm được:
2 2
64 16
;
5 5
x y = = .
Thay vào (3) ta được:
2
256
15
a = .
Suy ra phương trình của elip ( )
2 2
: 1
256 64
15 5
x y
E + = .
2.
( )
, , a b c
P cắt các trục tọa độ tại
1 1 1
; 0; 0 , 0; ;0 , 0; 0; A B C
a b c
| | | | | |
| | |
\ . \ . \ .
.
Thể tích tứ diện OABC là:
3
1 1 1
1 1 1
2 3
. . 8
2 3 3
OABC
a b c
V
a b c
| |
+ +
|
= s =
|
|
\ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
202
Dấu "=" xảy ra
1
1 1 1 2
0
1
2 3
1 1 1 4
6
1
2 3
6
a
a b c
b
a b c
c
¦
=
¦
¦
¦ = = >
¦
¦ ¦
· · =
´ ´
¦ ¦
+ + =
¦ ¦
¹
=
¦
¹
.
Vậy max 8
OABC
V = đạt được khi
1 1 1
, ,
2 4 6
a b c = = = .
Câu VIIb
Điều kiện: , 1 x y > ÷ .
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
( ) ( )
3 2 1 2 1
3.3 3.3 3 9
1 1 3
x y x y x y
x y
+ + + + ÷
¦
+ = +
¦
´
+ + =
¦
¹
.
Đặt
2 1 2 1
3 , 3
x y x y
u v
+ + + ÷
= = . Điều kiện , 0 u v > . Phương trình thứ nhất của hệ này thành:
( )( )
3
3 3 9 3 3 0
3
u
u v uv u v
v
=
+ = + · ÷ ÷ = ·
=
¸
.
Với 3 u = , hệ phương trình vô nghiệm.
Với 3 v = ta có hệ
( )( )
2 1
2
0
3 3
1
1 1 3
1
2
x y
x
y
x
x y
y
+ ÷
= ¦
´
=
¹
¦ =
¦
·
´ = ¦
+ + =
¦ ¦
¹
´
=
¦
¹ ¸
.
So sánh với điều kiện, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: ( )
1
2; 0 , 1;
2
| |
|
\ .
.
ĐỀ 32
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số: ( )
3 2
2 2 3 y x x m x m = ÷ + ÷ + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m = .
2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số nhỏ nhất của ( )
m
C đi qua điểm
55
1;
27
A
| |
÷
|
\ .
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 3
sin .sin3 os cos3 1
8
tan . tan
6 3
x x c x x
x x
+
= ÷
| | | |
÷ +
| |
\ . \ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
203
2. Giải bất phương trình:
( )
2 4 2
6 3 1 1 0 x x x x ÷ + + + + s
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
1
2
1
0
2
2 9 3 2
x
x x
I dx
÷
=
÷ ÷
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho lăng trụ đứng . ABC A B C ' ' ' có
0
, 2 , 120 AC a BC a ACB = = = và đường thẳng A C '
tạo với mặt phẳng ( ) ABB A ' ' góc
0
30 . Gọi M là trung điểm của BB' . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC' theo a .
Câu V (1,0 điểm).
Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
( )
3 3 2 4 2
3 3 3 3 8 2 2 4 4
1
1 1 2
m x x x xy
m x x x m x y x
¦
+ + + =
¦
´
¦ + + + + ÷ =
¹
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 9 C x y ÷ + ÷ = . Biết
tam giác ABC đều nội tiếp ( ) C có ( ) 2; 2 A ÷ . Tìm tọa độ các đỉnh , B C .
2. Trong không gian Oxyz cho điểm ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 1;1; 2 , 2; 1; 2 , A B C D ÷ ÷ ÷ ÷ là đỉnh thứ tư
của hình bình hành ABCD. Tìm điểm S thuộc trục cao sao cho thể tích khối chóp . S BCD
bằng 4.
Câu VII a (1,0 điểm)
Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
log log
2
3 1 3 1 1
x x
x x ÷ + + = + .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm ( ) 3; 0 A và elip ( ) E có phương trình:
2
2
1
9
x
y + = . Tìm
tọa độ các điểm , B C thuộc ( ) E sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
2. Trong không gian Oxyz cho điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 5; 3;1 , 4; 1; 3 , 6; 2; 4 , 2;1; 7 A B C D ÷ ÷ . Tìm tập
hợp các điểm M sao cho 3 2 MA MB MC MD MA MB ÷ + + = ÷
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
.
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm số thực m để bình phương số phức
3
1
m i
z
i
+
=
÷
là một số thực.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
204
2. Ta có:
2
3 4 2 y x x m ' = ÷ + ÷ ; 6 4 y x '' = ÷ ;
2
0
3
y x '' = · = .
Lập bảng biến thiên, ta thu được
10
min
3 x
y m
e
' = ÷
R
khi
2
3
x = .
Suy ra điểm uốn
2 11 52
;
3 3 27
m
I
| |
÷
|
\ .
.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là:
10 2 11 52
3 3 3 27
m
y m x
| || |
= ÷ ÷ + ÷
| |
\ .\ .
(d)
10 1 11 1 1
3 3 3 9 4
m
m m A d
| |
e ¬ ÷ + = ÷ · =
|
\ .
.
Câu II
1. Điều kiện: ( )
6
x k k
= + eZ
Ta có: tan . tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
| | | | | | | |
÷ + = ÷ ÷ = ÷
| | | |
\ . \ . \ . \ .
.
Phương trình đã cho tương đương với:
3 3
1
sin .sin3 os . os3
8
x x c x c x + =
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
c x c x c x c x c x c x ÷ ÷ + +
· + =
( ) ( )
1 1
2 os2 os2 . os4 2cos 2 1 os4
2 2
c x c x c x x c x · ÷ = · ÷ =
( )
3
1 1
6
os 2 cos 2
8 2
6
x k
c x x k
x k
= +
· = · = ·
= ÷ +
¸
eZ
Đối chiếu với điều kiện ban đầu, chọn ( )
6
x k k
= ÷ + eZ .
2. Bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 2 2 2 4 2
6 3 1 6 1 0 6 2 1 1 6 1 0 x x x x x x x x x x
(
÷ + + + + s · ÷ + ÷ + + + + + s
¸ ¸
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
12 1 6 1 1 6 1 0 x x x x x x x x · ÷ + + ÷ + + + ÷ + + s
( )
2
2
2 2
6 1
1
12 6 0
1 1
x x
x x
x x x x
÷ +
| | ÷ +
· + ÷ s
|
+ + + +
\ .
( vì
2
1 0 x x x + + > ¬ eR )
Đặt
( )
2
2
6 1
, 0
1
x x
t t
x x
÷ +
= >
+ +
.
Bất phương trình thành:
2
3
2 6 0 0
2
t t t + ÷ s · < s .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
205
Do đó:
( )
2
2
2
6 1
9 11 21 11 21
5 11 5 0
1 4 10 10
x x
x x x
x x
÷ +
÷ +
s · ÷ + s · s s
+ +
.
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là:
11 21 11 21
;
10 10
S
(
÷ +
=
(
¸ ¸
.
Câu III
Đặt ( )
2
2
3.2 2 3.2 2 2 3ln 2 .2 2
3ln 2
x x x x
tdt
t t tdt dx dx = ÷ ¬ = ÷ ¬ = ¬ = .
Đổi cận: 0 1 x t = ¬ = ; 1 2 x t = ¬ = .
Khi đó:
2 2 2
2 2
1 1 1
2
1 1 1 1
3ln 2
2ln 2 25 5ln 2 5 5 2
9
3
tdt
dt
I dt
t t t t
t
| |
= = = ÷
|
÷ ÷ + | | + \ .
÷
|
\ .
} } }
2
1
1 5 1 9
ln ln
5ln 2 5 5ln 2 4
t
t
÷
= =
+
.
Câu IV
Kẻ CH AB ± . Vì ( ) AA ABC ' ± nên
( ) AA CH CH ABB A ' ' ' ± ¬ ±
( ) ( )
0
, 30 CA H A C ABB A ' ' ' ' ¬ = = .
Sử dụng định lý cosin và áp dụng công thức diện
tích cho ABC . ta thu được:
0
2 .2 .sin120 3
7,
7 7
ABC
S a a
AB a CH a
AB a
= = = =
.
.
Suy ra:
2 2
3 5
2 2 AA
7 7
CA CH a A C AC a ' ' ' = = ¬ = ÷ =
Thể tích khối lăng trụ là:
2 3
5 3 105
AA . .
7 2 14
ABC
a a
V S a ' = = =
.
.
Mặt phẳng ( ) ABB A ' ' chứa AM và song song với CC' nên:
( ) ( ) ( )
3 21
, ,
7 7
a
d AM CC D C ABB A CH a ' ' ' = = = = .
Câu V
+ Nếu 0 m = thì hệ phương trình thành:
3 3 4 4
0
0
2
xy
x
y
x y x
= ¦ = ¦ ¦
·
´ ´
e
÷ = ¹ ¦
¹
R
. Do đó nghiệm
của hệ là: ( ) 0; y , y eR.
+ Nếu m = thì ta đặt
3
t x = , hệ phương trình thành:
C
C'
B
B'
A
A'
M
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
206
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
6 4 2 3 6 4 2 3
8 6 2 4 4 8 6 4 2 4
1 1
1 1 2 1 2 1
m t t t yt m t t t yt
m t t t m t yt m t t t t y t
¦ ¦
+ + + = + + + =
¦ ¦
·
´ ´
+ + + + ÷ = + + + + = +
¦ ¦
¹ ¹
(I)
Vì 0 t = không phải là nghiệm của hệ phương trình (I) nên trong hệ này chia vế
theo vế của phương trình thứ nhất cho
3
t , phương trình thứ hai cho
4
t ta được:
3
3
4 2
4 2
1 1
1 1
2 1
m t t y
t t
m t t y
t t
¦ | |
+ + + =
| ¦
¦ \ .
´
| |
¦
+ + + = +
|
¦
\ . ¹
(II)
Đặt
1
u t
t
= + , 2 u > .
` Dễ dàng có được:
2 2
2
1
2 t u
t
+ = ÷ ;
3 3
3
1
3 t u u
t
+ = ÷ ;
( )
2
4 2
4
1
2 2 t u
t
+ = ÷ ÷
Hệ (II) trở thành:
( )
( )
( )
( )
3
3
2
2 2 4 2
3
2
2 2 2 1 2 1 3 1 2 1
m u u u y
m u u y
m u u y m u u y
¦
÷ + =
¦
÷ =
¦ ¦
·
´ ´
(
÷ ÷ + ÷ + = + ÷ + = +
¦ ¦
¹ (
¸ ¸ ¹
Khi đó:
( ) ( ) ( )
4 2 3 4 3 2
3 1 2 2 1 2 3 4 1 1 m u u m u u m u u u u ÷ + = ÷ + · ÷ ÷ + + =
4 3 2
1
2 3 4 1 u u u u
m
· ÷ ÷ + + = .
Xét hàm số: ( )
4 3 2
2 3 4 1 f u u u u u = ÷ ÷ + + với 2 u > .
( )
3 2
4 6 6 4 f u u u u ' = ÷ ÷ +
( )
3 2
1
1
0 4 6 6 4 0
2
2
u
f u u u u u
u
= ÷
' = · ÷ ÷ + = · =
=
¸
. Đối chiếu với 2 u > chọn 2 u = .
Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm tược
1
1 1 3
3 0 3
0
m m
m m
m
s ÷ +
> ÷ · > ·
>
¸
Vậy giá trị cần tìm của mthỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1
3
0
m
m
s ÷
>
¸
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
207
Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1; 2 I
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A.
Do tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm. Suy ra:
5
2 ; 2
2
AI AH H
| |
= ¬
|
\ .
¸¸, ¸¸¸,
.
Đường thẳng BC qua
5
;0
2
H
| |
|
\ .
nhận ( ) 3; 0 AI =
¸¸,
làm vecto pháp tuyến nên có phương
trình:
5
2
x = .
( ) { } , BC C B C · = ¬ tọa độ các điểm , B C là nghiệm của hệ:
( ) ( )
2 2
2 2
5
2
3 3 5
5 2
1 2 9
2 2
2
5
9 5
4 4 9 4 16 11 0
2
4 2
3 3
2
2
x
y x x y
x
x
y y y y x
y
¦
=
¦
¦
´
¦
¦
¦ = + ¦ = ÷ + ÷ =
¦
¦ =
¦ ¦ ¦ ¹
· · ·
´ ´ ´
¦ =
¦ ¦ ¦
+ ÷ + = ÷ ÷ = =
¹
¹ ¦
¦
¹
¦
´
¦
= ÷
¦
¹ ¸
Vậy tọa độ các điểm , B C cần tìm là:
5 3 3 5 3 3
; 2 , ; 2
2 2 2 2
| | | |
+ ÷
| |
| |
\ . \ .
.
2.
Giả sử ( )
0 0 0
; ; D x y z là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.
Do đó: AB DC =
¸¸¸, ¸¸¸,
hay ( )
0 0
0 0
0 0
2 2 4
1 1 0 0; 4; 5
3 2 5
x x
y y D
z z
÷ = ÷ = ¦ ¦
¦ ¦
÷ = ÷ ÷ · = ¬ ÷
´ ´
¦ ¦
= ÷ ÷ = ÷
¹ ¹
( ) 0; 0; S Oz S s e ¬
Ta có : ( ) ( ) 3; 2; 4 , 5; 1; 7 BC BD = ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
Do đó: ( ) , 10;1;7 BC BD
(
=
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
; ( ) 1; 1; 2 BS s = ÷ ÷
¸¸¸,
Suy ra: , 7 5 BC BD BS s
(
= ÷
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
Theo đề:
.
19
7 5 24
1
7
4 7 5 4 7 5 24
7 5 24 29 6
7
S BCD
s
s
V s s
s
s
= ÷
÷ = ÷
= · ÷ = · ÷ = · ·
÷ =
¸
=
¸
Suy ra tọa độ các điểm S cần tìm là:
19 29
0;0; , 0; 0;
7 7
| | | |
÷
| |
\ . \ .
Câu VIIa
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
208
Điều kiện: 0 x > .
Đặt
( )
2
log
3 1
x
t = ÷ , 0 t > .
Phương trình đã cho thành:
( )
2
2 2 2 2
2
1
1 1 0
t
x
t x t x t x
t t x
=
+ = + · ÷ + + = ·
=
¸
+ Với 1 t = ta có:
( )
2
log
2
3 1 1 log 0 1
x
x x ÷ = · = · =
+ Với
( ) ( )
2
2 2
log 2
log og 2
3 1 2 4
x
x l x
t x = · ÷ = =
2
og
2
3 1
1 log 0 1
4
l x
x x
| |
÷
· = · = · =
|
|
\ .
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 1 x = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
1.
Rõ ràng ( ) ( ) 3; 0 A E e
Theo giả thiết bài toán suy ra , B C và hai điểm đối xứng qua trục hoành.
Giả sử ( ) ( )
0 0 0 0
; ; B x y C x y ¬ ÷ ,
0
3 x <
Gọi H là trung điểm ( )
2
0 0 0 0 0
2
;0 2 9 ; 3 3
3
BC H x BC y x AH x x ¬ ¬ = = ÷ = ÷ = ÷
ABC . vuông cân tại A ·
2
0 0
1 1
3 9
2 3
AH BC x x = · ÷ = ÷ ( ) ( )( )
2
0 0 0
9 3 3 3 x x x · ÷ = ÷ +
( )
0 0 0 0 0
12
9 3 3 27 9 3
5
x x x x x · ÷ = + · ÷ = + · =
Khi đó:
0 0
3 3
5 5
y y = · = ± .
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là:
12 3 12 3
; , ;
5 5 5 5
B C
| | | |
÷
| |
\ . \ .
hoặc
12 3 12 3
; , ;
5 5 5 5
B C
| | | |
÷
| |
\ . \ .
.
2. Giả sử tồn tại điểm ( )
0 0 0
; ; I x y z thỏa mãn hệ thức: 3 2 0 IA IB IC ID ÷ + + =
¸¸, ¸¸, ¸¸, ¸¸, ,
.
Dễ dàng tìm được điểm
8 10 1
; ;
3 3 3
I
| |
|
\ .
.
Ta có:
1
3 2 3
3
MA MB MC MD MA MB MI AB MI AB ÷ + + = ÷ · = · =
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
.
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm
8 10 1
; ;
3 3 3
I
| |
|
\ .
, bán kính
1 1
3 3
R AB = = và phương
trình mặt cầu là:
2 2 2
8 10 1 1
3 3 3 9
x y z
| | | | | |
÷ + ÷ + ÷ =
| | |
\ . \ . \ .
.
Câu VIIb
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
209
Ta có:
( )( )
( )( )
2
2
3 1 3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 2
m i i m i m mi i i m m
z i
i i i i
+ + + + + + ÷ +
= = = = +
÷ ÷ + ÷
Suy ra
2 2
2 2
2 2
3 9 3 9
3
2 2 2 2
m m m m
z i i m i
÷ ÷ + ÷ | | | |
= + + = ÷ +
| |
\ . \ .
2
z là số thực
2
9
0 3
2
m
m
÷
· = · = ± .
Vậy 3 m = ± là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
ĐỀ 33
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
4 2
2 2 y x mx = ÷ + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m = .
2. Tìm m để ( )
m
C có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông có đường tròn ngoại
tiếp đi qua điểm
3 9
;
5 5
D
| |
|
\ .
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
4
2
1 tan
8 os sin 4 2
4 1 tan
x
c x x
x
÷ | |
+ + =
|
+
\ .
2. Giải bất phương trình: ( )
2
4
, ,
16 2 3
x y x y x y
x y
x y x
¦
+ ÷ ÷ = ÷
¦
e
´
¦ ÷ = + ÷
¹
R
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
5
2
ln 1 1
1 1
x
I dx
x x
÷ +
=
÷ + ÷
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền bằng 3 . a
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ( ) SG ABC ± ,
14
2
a
SB = . Tính thể tích khối chóp
. S ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC .
Câu V (1,0 điểm).
Cho , 0 x y > thỏa
3 3
x y x y + = ÷ . Chứng minh rằng:
2 2
4 1 x y + < .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là
CD, đường thẳng AD có phương trình 3 0 x y ÷ = , đường thẳng BD có phương trình
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
210
2 0 x y ÷ = , góc tạo bởi đường thẳng BC và AB bằng
0
45 . Viết phương trình đường thẳng
BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
2. Trong không gian Oxyz , cho điểm ( ) ( ) 0; 2; 0 , 0; 0; 1 A B ÷ và C Ox e . Viết phương trình
mặt phẳng ( ) ABC biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) : 2 2 0 P x y z + ÷ = bằng khoảng
cách từ C đến đường thẳng
1 2
:
1 2 2
x y z ÷ +
A = = .
Câu VII a (1,0 điểm) Tìm meR để phương trình: ( )
2
2 2 1 2 1 0 z m z m + ÷ + + = có 2
nghiệm phân biệt
1 2
, z z eC thỏa mãn
1 2
10 z z + = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ( ) ( ) 0;1 , 2; 1 A B ÷ và các đường thẳng:
( ) ( )
1
: 1 2 2 0 d m x m y m ÷ + ÷ + ÷ = ; ( ) ( )
2
: 2 1 3 5 0 d m x m y m ÷ + ÷ + ÷ = .
Chứng minh
1
d và
2
d luôn cắt nhau. Gọi
1 2
P d d = · , tìm m sao cho PA PB + lớn nhất.
2.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
5 5
1; 2; , 4; 2;
2 2
A B
| | | |
÷
| |
\ . \ .
. Tìm tọa độ điểm M trên
mặt phẳng ( ) Oxy sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
¦ ÷ =
¦
´
+ ÷ ÷ =
¦
¹
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
( )
3 2
4 4 4 y x mx x x m ' = ÷ = ÷
( )
m
C có ba điểm cực trị ·phương trình 0 y' = có ba nghiệm phân biệt 0 m · > .
Tọa độ các điểm cực trị là: ( )
( ) ( )
2 2
3 9
0; 2 , ; 2 , ; 2 , ;
5 5
A B m m C m m D
| |
÷ ÷ + ÷ +
|
\ .
.
Gọi ( ) ; I x y là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Theo đề: đường tròn này đi qua điểm
3 9
;
5 5
D
| |
|
\ .
khi và chỉ khi
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
3 1 0
2 2
2 2
x y IA ID
IB IC x m x m
IB IA
x m y m x y
¦
÷ + = ¦ =
¦
¦
¦
= · = ÷
´ ´
¦ ¦
=
+ + + ÷ = + ÷ ¹ ¦
¹
.
Giải hệ phương trình này tìm được 1 m = .
Vậy 1 m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
211
Câu II
1. Điều kiện: ( ) cos 0
2
x x k k
= · = + eZ .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )( )
2
2
4 4
2 2
2
sin
1
os
cos sin 2sin 2 cos 2 2 cos sin os sin 1 sin 2
1
os
x
c x
x x x x x x c x x x
c x
÷
÷ + = · ÷ = ÷ ÷
( ) ( ) ( ) ( )
4 3 3
cos sin cos sin cos sin cos sin sin 0 x x x x x x x x x · ÷ = ÷ + · ÷ =
cos sin 0 tan 1
4
sin 0 sin 0
x x x x k
x x
x k
÷ = = = +
· · ·
= =
¸ ¸
=
¸
, ( ) k eZ .
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm: ( ) 4
x k
k
x k
= +
=
¸
eZ
2. Điều kiện:
2
4, 0, , 4 , 3 x y x y x y y x > > > > > .
Phương thứ nhất của hệ đã cho tương đương với:
( )
2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 4 4 4 x x y x y x y y x x y y xy x ÷ ÷ = ÷ · ÷ = ÷ · ÷ = ÷ +
2
0
4 4 0
4 4
y
y xy y
y x
=
· ÷ + = ·
= ÷
¸
.
Trường hợp 0 y = không thỏa điều kiện nên loại.
Với 4 4 y x = ÷ , thay vào phương trình thứ hai của hệ phương trình đã cho ta được:
2
2 2
2
25 5
16 2 4 16 3 4 1
4 1
16 3
x x
x x x x
x
x
÷ ÷
÷ = + ÷ · ÷ ÷ = ÷ ÷ · =
÷ +
÷ +
( )
2
5 1
5 0
4 1
16 3
x
x
x
x
| |
+
· ÷ ÷ =
|
÷ +
÷ +
\ .
.
Vì
2 2
5 5 5 1
1 4
3 4 1
16 3 3
x x x
x
x x
x x
+ + +
> = > > ¬ >
+ ÷ +
÷ + +
nên ta thu được 5 16 x y = ¬ = .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( ) 5;16
Câu III
Đặt ( ) ( )
2
1 1 1 1 2 1 t x x t dx t dt = ÷ + ¬ = ÷ + ¬ = ÷ .
Đổi cận: 2 2 x t = ¬ = ; 5 3 x t = ¬ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
212
Ta có:
( )
( )
( )
3 3
3
2 2 2
2
2
2 2
1 ln ln
2 1 2 ln ln 3 ln 2
1 1
t t t
I t dt dt t
t
t t
÷
= ÷ = = = ÷
÷ + ÷
} }
Câu IV
Gọi I là trung điểm AB ,
3
2 2
a a
CI IG = ¬ = .
Trong BIG . vuông tại I ta có:
2
2 2 2
5
2
a
BG BI IG = + = .
Suy ra:
2 2
2 2
7 5
2 2
a a
SG SB BG a = ÷ = ÷ = .
Do đó:
3
.
1 1 1 3 3
. . 3
3 3 2 2 4
S ABC ABC
a a
V SG S a a
| |
= = =
|
\ .
.
.
Kẻ , GK AC K AC ± e , / / GK BC SK BC ¬ ± .
2
2 2 2
3
2 2 2 2
GC a a a
GK SK SG GK a = = ¬ = + = + = ;
3
2
a
AC =
2
1 3 3 3 3
.
2 2 4 2
SAC
a a
S a = =
.
Vậy ta có khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) SAC là: ( ) ( )
.
3
, 3
S ABC
SAC
V
d B SAC a
S
= =
.
.
Câu V
Ta có:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2
1 4 4 4 x y x y x y x y x y x y x y x y + ÷ ÷ = + ÷ + + = + ÷ ÷ +
=
( )
3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2
4 4 5 3 5 3 x y x xy x y y y xy x y y y xy x + ÷ ÷ + + = ÷ + = ÷ +
( )
2
2
2 0 y x y y xy
(
= ÷ + + >
¸ ¸
, 0 x y ¬ > .
Vì
3 3
0 x y + > nên
2 2 2 2
1 4 0 4 1 x y x y ÷ ÷ > · + < ( điều phải chứng minh).
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Ta có: D AD BD = · ¬ tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:
( )
3 0 0
0; 0
2 0 0
x y x
D O
x y y
÷ = = ¦ ¦
· ¬ ÷
´ ´
÷ = =
¹ ¹
.
0
1
os 45
2
c ADB ADB AD AB = ¬ = ¬ = (1)
Vì góc giữa hai đường thẳng BC và AB bằng
0
45 nên
0
45 BCD =
BCD ¬. vuông cân tại 2 B DC AB ¬ = .
G
A
C
B
S
I
M
K
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
213
Theo đề bài ta có: ( )
2
1 3.
. 24 4 4 2
2 2
ABCD
AB
S AB CD AD AB BD = + = = ¬ = ¬ = .
( ) 2 ; B BD B b b e ¬ , 0 b > .
Ta có:
2 2 2 2
4 10
32
5
4 2 32 4 32
5
4 10
0
5
b
BD BD b b b
b
=
= · = · + = · = ·
= ÷ <
¸
.
Vì 0 b > nên chọn
8 10
5
b = . Do đó tọa độ điểm
8 10 4 10
;
5 5
B
| |
|
|
\ .
.
Phương trình đường thẳng : 2 4 10 0 BC x y + ÷ = .
2. Gọi ( ) ; 0; 0 C c Ox e .
Ta có: ( ) ( )
2
,.
3
c
d C P =
Đường thẳng A qua ( ) 1; 0; 2 M ÷ nhận ( ) 1; 2; 2 u =
,
làm vecto chỉ phương.
( ) , 4; 4 2 ; 2 2 MC u c c
(
= ÷ ÷ ÷
¸ ¸
¸¸¸¸, ,
. Suy ra: ( )
2 ,
8 24 36
,
3
MC u
c c
d C
u
(
÷ +
¸
= A
¸
=
¸¸¸¸, ,
,
Theo đề ta có: ( ) ( ) ( )
2
2
2 8 24 36
, , 2 6 9
3 3
c c c
d C d C P c c c
÷ +
= · = · ÷ + = A
( )
2 2 2
2 6 9 6 9 0 3 3; 0; 0 c c c c c c C · ÷ + = · ÷ + = · = ¬ .
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) P là: 1 2 3 6 6 0
3 2 1
x y z
x y z + + = · + ÷ ÷ =
÷
.
Câu VIIa
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
1 2
, 0 z z ' e · A = C .
Trường hợp 1: 0 ' A > .
Ta có:
2 2
1 2 1 2 1 2
10 2 10 z z z z z z + = · + + =
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 10 1 2 1 2 1 10 z z z z z z m m m · + ÷ + = · ÷ ÷ + + + = .
Giải tìm được 3 2 5 m = ÷
Trường hợp 2: 0 ' A < . Ta có:
( ) ( )
2
2
2
1 2
10 1 6 1 10 2 z z m m m m + = · ÷ + ÷ + + = · = .
Vậy 3 2 5, 2 m m = ÷ = là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Ta có:
1 2
P d d = · ¬ tọa độ điểm P là nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2
2 1 3 5
m x m y m
m x m y m
÷ + ÷ = ÷ ¦
¦
´
÷ + ÷ = ÷ +
¦
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
214
Định thức của hệ là: ( ) ( )
2 2
2
1 2
1 2 2 6 5 0
2 1
m m
D m m m m m
m m
÷ ÷
= = ÷ + ÷ = ÷ + > ¬
÷ ÷
Suy ra: hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Với mọi m thì
1
d luôn đi qua ( ) 0;1 A ,
2
d luôn đi qua ( ) 2; 1 B ÷ .
Hơn nữa
1 2
, d d vuông góc với nhau vì
1 2
1 2
, . 1
2 1
m m
k k
m m
÷ ÷ | | | |
= ÷ = ÷
| |
÷ ÷
\ . \ .
( Nếu 1 m = thì
1 2
: 1, : 2 d y d x = = ; nếu 2 m = thì
1 2
: 0, : 1 d x d y = = ÷ )
Vậy với mọi m, giao điểm ( ) ; P x y của
1
d và
2
d luôn thuộc đường tròn đường kính AB .
Ta có: ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 16 4 PA PB PA PB AB PA PB + s + = = ¬ + s .
Dấu "=" khi và chỉ khi PA PB = tức P nằm tại I hoặc J ( với , I J những điểm nằm
chính giữa cung AB ).
Vậy ( ) 4 Max PA PB + = khi P I ÷ hoặc P J ÷ ứng với 1 m = hoặc 2 m = .
2. Gọi I là trung điểm
5 5
; 0; ; 5
2 2
AB I AB
| |
¬ =
|
\ .
M thuộc mặt cầu ( )
2 2
2
5 5 25
:
2 2 4
S x y z
| | | |
÷ + + ÷ =
| |
\ . \ .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
2 2
2
0
5 5 25
2 2 4
z
x y z
= ¦
¦
´
| | | |
÷ + + ÷ =
| | ¦
\ . \ . ¹
Hạ ( ) ; MH AB HK Oxy ± ±
( ) ( ) ( )
/ / , AB Oxy HK d AB Oxy ¬ = không đổi mà MH HK > nên
ABM
S
.
nhỏ nhất MH ·
nhỏ nhất · M nằm trên đường thẳng A là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng
( ) Oxy .
Mặt khác ( ) S tiếp xúc với mặt phẳng ( ) Oxy nên M eA .
Vậy
5
; 0; 0
2
M
| |
|
\ .
.
Câu VIIb
Điều kiện:
0
0
x y
x y
+ > ¦
´
÷ >
¹
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 3 3 3
log 1 log log 1 log 1 log x y x y x y x y x y ÷ = · + + ÷ = · + = ÷ ÷ (*)
Thay (*) vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 5 3 3 3
1 log log 1 1 log 5 log 0 log 0 1 x y x y x y x y x y ÷ ÷ ÷ ÷ = · ÷ ÷ = · ÷ = · ÷ =
Khi đó ta có hệ phương trình:
2 2
3 2 3
1 1 1
x y x x y
x y y x y
+ = = ¦ ÷ = ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
÷ = = ÷ =
¹ ¹ ¹
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ( ) 2;1 .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
215
ĐỀ 34
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số: ( )
3 2
1
2 3 1 1
3
y x mx m x = + + ÷ + ( )
m
C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0 m = .
2. Viết phương trình tiếp tuyến A của ( )
m
C tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm m để
giao điểm của A và : 2 d y x = cách đều gốc tọa độ.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
5 3
sin os 2 os
2 4 2 4 2
x x x
c c
| | | |
÷ ÷ ÷ =
| |
\ . \ .
.
2. Giải hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 4 3
12 2 3 7 1 12 3 5
x y x y x y
x x y xy y x
¦
+ + + = + + +
¦
´
+ + = ÷ ÷ +
¦
¹
, , x y eR.
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:
( )
4
0
tan .ln os
cos
x c x
I dx
x
=
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , 3 SA a = và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện . S ACD và tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng , SB AC .
Câu V (1,0 điểm).
Cho , , 0 a b c > thỏa 1 ab bc ca + + = . Chứng minh rằng:
2 2
2
3
10
1 1
1
a b c
a b
c
+ + s
+ +
+
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( ) C : ( ) ( )
2 2 25
1 2
2
x y ÷ + + = và đường thẳng
: 3 4 20 0 d x y + ÷ = . Lập phương trình các cạnh hình vuông ABCD ngoại tiếp ( ) C biết
A d e .
2. Trong không gian Oxyz , cho các điểm ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0; 0 , ; ; 0 , 0; ; 0 , 0; 0; 2 B a C a a D a S a . Giả
sử N là trung điểm của cạnh SD. Tìm giá trị nguyên dương lớn nhất của a để khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và CN lớn hơn
2
7
a
.
Câu VII a (1,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
216
Viết dạng lượng giác của số phức
( )
8
1 3 z i = + . Trong các acgumen của số phức z , hãy
tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
( )
2 2
: 4 2 8 0 C x y x y + ÷ ÷ ÷ = . Đỉnh A thuộc tia Oy , đường cao vẽ từ C nằm trên đường
thẳng : 5 0 d x y + = . Tìm tọa độ các đỉnh , , A B C biết rằng điểm C có hoành độ là một số
nguyên.
2.Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
1 4
:
2 1 2
x y z
d
+ ÷
= =
÷
và các điểm ( ) 1; 2; 7 A ,
( ) ( ) 1; 5; 2 , 3; 2; 4 B C . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho
2 2 2
MA MB MC ÷ ÷ đạt giá trị
lớn nhất.
Câu VII b (1,0 điểm)
Cho hàm số:
( )
2
2
2
x m x m
y
x
+ ÷ ÷
=
÷
( )
m
C .
Tìm m để ( )
m
C có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có:
2
4 3 1 y x mx m ' = + + ÷ ; ( ) 1 7 y m ' = và ( )
1
1 5
3
y m = + .
Phương trình tiếp tuyến của ( )
m
C tại
1
1;5
3
m
| |
+
|
\ .
là:
1
7 2
3
y mx m = ÷ +
Gọi K d = A· ¬ tọa độ điểm K là nghiệm của hệ:
( )
( )
6 1
1
3 7 2
7 2
3
12 2
2
3 7 2
m
x
m
y mx m
m
y x y
m
÷ ¦
=
¦ ¦
÷
= ÷ +
¦ ¦
·
´ ´
÷
¦ ¦
= =
¹
¦ ÷
¹
.
Theo đề: ( ) ( )
( ) ( )
6 1 12 2
, ,
3 7 2 3 7 2
m m
d K Ox d K Oy
m m
÷ ÷
= · =
÷ ÷
2
2
7
7
1 1
6 1 12 2
6 6
6 1 12 2 1
6
m
m
m m
m m
m m
m
¦
=
¦
¦
=
¦
¦
¦ ¦
· · · = =
´ ´
÷ = ÷
¦ ¦
¦ ¦ ÷ = ÷ +
¸ ¹
=
¦
¸ ¹
.
Vậy
1
6
m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
217
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
5 3 5 3 3
sin sin 2 os sin sin 2 os
2 4 2 4 2 2 2 4 4 2 2
x x x x x x
c c
| | | | | | | |
÷ ÷ + ÷ = · ÷ ÷ ÷ =
| | | |
\ . \ . \ . \ .
3 3 3 3
2cos sin 2 os 2cos os 2 os
4 2 2 2 4 2 2
x x x x
x c x c c
| | | | | |
· + ÷ = · ÷ + =
| | |
\ . \ . \ .
( )
2 3
3
3 3 2 2
os 0
2
2 2
2 4 4 2
os
4
2
4
3
2
4
3
2
x
x k k
x
c
x k x k k
c x
x
x k
k
= + = +
=
· · + = + · = +
| |
+ = ÷
|
= ÷
\ . ¸
+ = ÷ +
¸ ¸
e
+
Z
2. Đặt 1 0 u x y = + + > ; ( ) 3 0 v x y = + > .
Hệ phương trình đã cho thành:
( )
2 2
2 2
2
4 2 2 4
3 3
3 3
9 9 4 9 9 3 4 9
u v
u v
u v u u v v
¦ ÷ =
¦ ÷ =
¦ ¦
·
´ ´
+ = + + ÷ = + ¦
¹ ¦
¹
( )( )
2 2
2 2
3 2 2 3 4 2 2 4
3 3
3 3
9 9 3 3 0 9 9 9 6 3 0
u v
u v
u v u u v uv v u v u u v v
¦ ÷ =
¦ ÷ =
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ + + + = ÷ + ÷ ÷ =
¦
¹ ¦
¹
2 2
2 3 6
2
u v
u v
u v
¦ ÷ =
· · = =
´
=
¹
Khi đó:
( )
6
1
1 1
2
2 2
6
3
2
x y
x y y x
x y
¦
+ + =
¦
¦
· + = · = ÷
´
¦
+ =
¦
¹
. Thay vào phương trình thứ hai của hệ
phương trình đã cho ta tìm được:
4 5
3 6
1 7
6 10
y x
y x
= ¬ = ÷
= ÷ ¬ =
¸
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:
5 4 7 1
; , ;
6 3 10 6
| | | |
÷ ÷
| |
\ . \ .
.
Câu III
Đặt cos sin t x dt xdx = ¬ = ÷
Đổi cận: 0 1 x t = ¬ = ;
1
4 2
x t
= ¬ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
218
Khi đó:
1
1 1 1 1 2
2 2 2
1 1
1 1 1
2 2
2 2
ln ln 1 1 2 1 2
ln ln 2 2 1 ln 2
2 2
t t
I dt t dt
t t t t t
= ÷ = = ÷ + = ÷ ÷ = ÷ ÷
} } }
Câu IV
2 3
.
1 1 3
. . 3.
3 3 2 6
S ACD ACD
a a
V SAS a = = =
.
.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là trung điểm của cạnh SD thì
AOI = là góc
giữa hai đường thẳng SB và AC
( do / / OI SB).
Trong SAD . vuông tại A có:
2 2
1 1
3
2 2
AI SD a a a = = + =
Trong SBD . , OI là đường trung bình nên
1
2
OI SB a = = .
OIA . cân ở I suy ra:
1 2
2
2 4
os cos
4
a
OA
c AOI
OI a
= = = = .
Câu V
Đặt tan , tan , tan a b c = = = với , , 0;
4
| |
e
|
\ .
.
Theo giả thiết 1 tan tan tan tan tan tan 1 ab bc ca + + = · + + =
( )
1 tan tan
tan tan . tan 1 tan tan
tan 1 tan tan
+
· + = ÷ · =
÷
( ) cot tan · = + ( ) os 0 c · + + = (1)
Vì , , 0;
4
| |
e
|
\ .
nên
3
0;
4
| |
+ + e
|
\ .
. Do đó ( ) 1
2
· + + = .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: sin 2 sin 2 6sin 2 10 + + s (2)
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin . os 6sin 2sin . os 6sin
2
VT c c
| |
= + ÷ + = ÷ ÷ +
|
\ .
= ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2cos . os 6sin 4cos 6 os sin 4 36 2 10 c c ( ÷ + s ÷ + + s + =
¸ ¸
.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1; 2 I ÷ , bán kính
5
2
R = .
I
O
A
D
C
B
S
d
I
A
D
B
C
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
219
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
4
5 3
x t
y t
= ¦
´
= ÷
¹
.
( ) 4 ; 5 3 A d A t t e ¬ ÷ .
Theo giả thiết ( ) ( ) ( )
2 2
2 4 1 7 3 5 1 4; 2 AI R t t t A = · ÷ + ÷ = · = ¬ .
Phương trình các cạnh hình vuông chứa điểm A có dạng:
( ) ( ) : 4 2 0 4 2 0 a x b y ax by a b A ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ =
( )
2 2
0 a b + > .
Ta có: ( )
2 2
2 2
7 3 4
5
, 7 48 7 0
7 2
a b a b
d I R a ab b
b a
a b
= ÷ ÷
= · = · ÷ ÷ = ·
= ÷
+
A
¸
.
+ Với 7 a b = , chọn 1 b = suy ra: 7 a = . Do đó A có phương trình là: 7 30 0 x y + ÷ = .
+ Với 7 b a = ÷ , chọn 1 a = suy ra: 7 b = ÷ . Do đó A có phương trình là: 7 10 0 x y ÷ + = .
Không mất tính tổng quát, gọi : 7 30 0 AB x y + ÷ = , : 7 10 0 AD x y ÷ + = .
Do I là trung điểm của AC nên suy ra ( ) 2; 6 C ÷
BC qua C và song song với AD nên : 7 40 0 BC x y ÷ ÷ =
CD qua C và song song với AB nên : 7 20 0 Cd x y + + = .
Vậy phương trình của bốn cạnh hình vuông là:
: 7 30 0 AB x y + ÷ = ; : 7 10 0 AD x y ÷ + = ; : 7 40 0 BC x y ÷ ÷ = ; : 7 20 0 CD x y + + = .
2. Ta có: ( ) ( ) ; 0; 2 , ; ; , ; ; 2
2
a
BS a a CN a a SC a a a
| |
= ÷ = ÷ ÷ = ÷
|
\ .
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
2
2 2 3
, ; ; , ,
2
a
BS CN a a BS CN SC a
| |
( (
= ÷ = ÷
|
¸ ¸ ¸ ¸ |
\ .
¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
( )
( ) ( )
3
2
2
2 2
2 2
2
,
3
2
a
a
d SB CN
a
a a
÷
= =
| |
+ ÷ +
|
\ .
.
Theo đề: ( )
2 2
2 14
, 0
7 3 7 3
a a a
d SB CN a > · > · < < . Vì a
+
eZ nên { } 1; 2; 3; 4 ae .
Suy ra giá trị lớn nhất của a là 4.
Câu VIIa
Ta có:
1 3
1 3 2 2 os sin
2 2 3 3
i i c i
| |
| |
+ = + = +
|
|
|
\ .
\ .
.
Theo công thức Moavơrơ ta có:
( )
8
8
8 8
1 3 2 os sin
3 3
z i c i
| |
= + = +
|
\ .
.
Nhận thấy
8 2
2
3 3
= + và
2
0 2
3
< < nên acgumen dương nhỏ nhất của z là
2
3
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. A thuộc tia Oy nên ( ) 0; , 0 A a a >
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
220
( ) ( )
2
4
2 8 0 0; 4
2 0
a
A C a a A
a
=
e · ÷ ÷ = · ¬
= ÷ <
¸
.
( ) 5 ; d C c C c e ¬ ÷
( )
2 2 2
1
25 20 2 8 0 26 18 8 0
4
13
c
C C c c c c c c
c
= ÷
e ¬ + + ÷ ÷ = · + ÷ = ·
=
¸
Vì c eZ nên 1 c = ÷ . Suy ra ( ) 5; 1 C ÷ .
: 5 0 AB d AB x y m ± ¬ ÷ + = . Mà A AB e nên 4 m = . Vậy : 5 4 0 AB x y ÷ + = .
( ) ; 5 4 AB B b B b e ¬ + .
( )
( )
( )
2
0 0; 4
26 26 0
1 1; 1
b B
C b b
b B
B
= ¬
e · + = ·
= ÷ ¬ ÷ ÷
¸
Loại ( ) 0; 4 B vì trùng với A.
Vậy ( ) ( ) 0; 4 , 1; 1 A B ÷ ÷ và ( ) 5; 1 C ÷ .
2. ( ) 2 1; 4; 2 d M t M t t e ¬ ÷ ÷ +
( )
2
2 2 2 2
9 18 12 21 9 1 21 MA MB MC t t t ÷ ÷ = ÷ ÷ + = ÷ + s .
Dấu "=" xảy ra khi 1 t = ÷ .
Vậy
( )
2 2 2
21 max MA MB MC ÷ ÷ = khi ( ) 1; 3; 2 M ÷ .
Câu VIIb
Hàm số được viết lại như sau:
2
m
y x m
x
= + +
÷
.
Tập xác định : { } \ 2 D = R .
Đạo hàm
( )
( )
2
2
2
2
x m
y
x
÷ ÷
' =
÷
.
Hàm số có cực trị · phương trình ( ) 0 y x ' = có 2 nghiệm phân biệt · phương trình
( )
2
2 x m ÷ = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0 m · > .
Giả sử ta có tọa độ các điểm cực trị là: ( ) ( )
1 1 2 2
; , B ; A x y x y .
1 1
2 2 2 x m y m m = ÷ ¬ = + ÷ ;
2 2
2 2 2 . x m y m m = + ¬ = + +
Đường thẳng AB qua
( )
2 ; 2 2 A m m m ÷ + ÷ nhận
( )
2 ; 4 AB m m =
¸¸¸,
làm vectơ chỉ
phương nên có phương trình:
( ) ( )
2 2 2
2 4
x m y m m
m m
÷ ÷ ÷ + ÷
= ( ) 0 m > 2 2 0 x y m · ÷ + ÷ = .
Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ nên ta có được: 2.0 0 2 0 2 m m ÷ + ÷ = · = thỏa điều
kiện 0 m > .
Vậy 2 m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
221
ĐỀ 35
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số:
2
1
x
y
x
÷
=
+
( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến A của ( ) C biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của
( ) C một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
9 6
2cos os 1
10 5
x x
c = ÷
2. Giải hệ phương trình:
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y
¦
+ ÷ + ÷ ÷ = +
¦
´
+ ÷ + ÷ ÷ = ÷ +
¦
¹
, , x y eR.
Câu III (1,0 điểm).
Cho ( ) ( ) { }
2 2 2
: 2 ; : 8 P y x C x y = + = . ( ) P chia ( ) C làm 2 phần. Tìm tỉ số diện tích của
hai phần đó?
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A và AB AC a = = . Mặt phẳng
( ) SBC vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mỗi mặt bên còn lại với mặt phẳng đáy
bằng
0
45 . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABC .
Câu V (1,0 điểm).
Giả sử hai số thực ( ) , 0;1 x y e và 1 x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
x y
x y +
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip ( )
2 2
: 1
25 16
x y
E + = có hai tiêu điểm
1 2
, F F . Tìm điểm M
trên ( ) E sao cho
1 2
1 2
1 1
P MF MF
MF MF
= + + + đạt giá trị lớn nhất.
2. Trong không gian Oxyz , cho bốn đường thẳng:
1
1 2
:
1 2 2
x y z
d
÷ ÷
= =
÷
;
2
2 2
:
2 4 4
x y z
d
÷ ÷
= =
÷
;
3
1
:
2 1 1
x y z
d
÷
= = ;
4
2 1
:
2 2 1
x y z
d
÷ ÷
= =
÷
Chứng minh
1 2
, d d cùng thuộc một mặt phẳng ( ) P . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đó
và chứng minh có một đường thẳng A cắt cả bốn đường thẳng trên. Viết phương trình
đường thẳng A đó.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
222
Câu VII a (1,0 điểm)
Cho hai số phức
1 2 1
2
3 6 ,
3
i
z i z z = ÷ + = ÷ có các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức tương
ứng là , A B. Chứng minh rằng tam giác OAB vuông tại O.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường thẳng A đi qua ( ) 1;8 M , cắt chiều
dương của các trục , Ox Oy tại , A B sao cho AB nhỏ nhất.
2.Trong không gian Oxyz , cho hình vuông ABCD có đỉnh ( ) 1; 1; 2 C ÷ ÷ và đường chéo
1 1 1
:
4 1 1
x y z
BD
+ ÷ +
= =
÷
. Tìm tọa độ các đỉnh , , A B D biết điểm B có hoành độ dương.
Câu VII b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( )( )
2
3
3
1 4
2 1 log 1
log 3
1 log 1 2 2
x
x
y
x
y
y
¦
÷
+ ÷ = ¦
¦
´
¦
÷ + =
¦
¹
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Phương trình tiếp tuyến A có dạng:
( )
( )
0
0 2
0
0
2 3
1
1
x
y x x
x
x
÷
= ÷ +
+
+
(
0
x là hoành độ tiếp điểm)
Gọi I là giao điểm hai tiệm cận và , A B lần lượt là giao điểm của A với hai tiệm cận.
Ta có: ( ) ( )
0
0
0
5
1;1 , 1; , 2 1;1
1
x
I A B x
x
| | ÷
÷ ÷ +
|
+
\ .
. Suy ra:
0
0
6
; 2 1
1
IA IB x
x
= = +
+
2 2
. . . 6
2 . 2 . 2 3 6
IA IB IA IB IA IB
r
IA IB AB IAIB IA IB
IA IB IA IB
= = s =
+ + + +
+ + +
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ( )
2
0 0
0
6
2 1 1 3
1
IA IB x x
x
= · = + · + =
+
0 2
0 0
0
1 3
2 2 0
1 3
x
x x
x
= ÷ ÷
· + ÷ = ·
= ÷ +
¸
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2 2 3 y x = + ÷ ; 2 3 y x = + + .
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
3 2
9 6 3 3 3
1 os os 1 4cos 2cos 3cos 3 0
5 5 5 5 5
x x x x x
c c + = ÷ · ÷ ÷ + =
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
223
2
2
3
os 1
3 3 3
5
os 1 4cos 6cos 3 0
3 3 5 5 5
4cos 6cos 3 0
5 5
x
c
x x x
c
x x
= ÷
| || |
· + ÷ + = ·
| |
\ .\ .
÷ + =
¸
Ta có:
5 10
2
3
s
3
3
o 1
5 3 5
x x
c k x k
+ · = + = ÷ · = ( ) k eZ .
Phương trình:
2
3 3
4cos 6cos 3 0
5 5
x x
÷ + = vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm: ( )
5 10
3 3
x k k
= + eZ .
2. Điều kiện 2, 1 x y s > .
Trừ vế theo vế của hai phương trình trong hệ đã cho ta được:
( )( )
2 2
2
2 2 3 2 2 2 1 0
2 1
x y
x y xy x y x y x y
x y
=
÷ = + ÷ · ÷ + ÷ = ·
+ =
¸
.
+ Với 2 x y = thì 2 2 2 x y > = > nên 2; 1 x y = = (Không thỏa hệ.
+ Với 2 1 x y + = thì thay vào phương trình ban đầu ta được:
2
6 3 34 2 2 0 x x x x ÷ ÷ + ÷ + ÷ = (Điều kiện 0 x < )
( )( )
( )
( ) ( )
2 2 2 1 2
3 2 2 5 0 2 3 2 5 0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x
x x x x
x x x x
+ + (
· + ÷ ÷ ÷ = · + ÷ ÷ ÷ =
(
÷ + ÷ + ÷ + ÷ +
¸ ¸
Vì 0 x < nên ( )
1 2
3 2 5 0
2 2 2 2
x
x x
÷ ÷ ÷ <
÷ + ÷ +
.
Do đó phương trình trên có nghiệm 2 x = ÷ . Suy ra 5 y = .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: ( ) 2; 5 ÷ .
Câu III
Theo hình vẽ bên ( ) P chia ( ) C thành hai miền
ký hiệu là
1 2
, S S . Ta có:
2 2
2
2
0
2 8
2
y
S y dy
| |
= ÷ ÷
|
\ .
}
2 2
2 2
0 0
2 8 . y dy y dy = ÷ ÷
} }
Đặt
2
2
0
8 I y dy = ÷
}
. Đổi biến 2 2 sin 2 2 cos y u dy udu = ¬ = .
O
y
x
-
2 2
2
2 ÷
2
-
-
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
224
Khi đó
4 4
2 2
0 0
8 8sin .2 2 cos 8 1 sin .cos I u udu u udu
= ÷ = ÷
} }
( )
4 4
4
2
0 0 0
1 1
8 cos 4 1 cos 2 4 sin 2 4 2
2 4 2
udu u du u u
| | | |
= = + = + = + = +
| |
\ . \ .
} }
.
Do đó
2
8 8 4
2 2 4 2
3 3 3
S I = ÷ = + ÷ = + ( đvdt ).
Ta có
( )
2
1 2 1
4 4
2 2 8 8 2 6
3 3
S S S
| |
+ = = ¬ = ÷ + = ÷
|
\ .
( đvdt )
1
2
4
6
9 2
3
4
3 2
2
3
S
S
÷
÷
¬ = =
+
+
là tỉ số diện tích cần tìm
Câu IV
Hạ SH BC ± tại H .
( ) ( ) ( ) SBC ABC SH ABC ± ¬ ± .
Hạ HI AB ± tại I ; HJ AC ± tại J .
**HI AB SI AB SIH ± ¬ ± ¬ là góc hợp bởi
**
mặt phẳng ( ) SAB và đáy
( )
0
45 SI A H BC = ¬ .
Tương tự:
0
45 SJH = .
( ) , SH ABC SH HI SH HJ ± ¬ ± ±
H ¬ là trung điểm BC I ¬ là trung điểm
đoạn AB
2 2
AC a
SH IH ¬ = = =
2
1
.
2 2
ABC
a
S AB AC = =
.
Vậy
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a
V SH S = = =
.
.
Câu V
Xét hàm số ( ) ( ) ln 1, 0; . f x x x x = ÷ + e +·
Ta có : ( )
1
1. f x
x
' = ÷
Vậy ( ) ( ) 1 0, f 0 f x ' ' = > khi 0 1 x < < và ( ) 0 f x ' < khi 1 x > . Suy ra
( ) ( ) ( ) 1 0, x 0; . f x f s = ¬ e +·
Vậy
1 1
0
2 2
xf yf
x y
| |
| |
+ s
| |
\ .
\ .
, 0 x y ¬ >
B
A
C
S
H
I
J
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
225
Hay
1 1
ln ln 0
2 2
y
x
x y
| |
| |
+ s
| |
\ .
\ .
. Suy ra
1
. .
2
x y
x y >
Mặt khác
1
2 2 2.
2
x y x y
x y x y + > > =
Dấu “=” xảy ra khi
1
.
2
x y = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y
x y + là 2 .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi ( ) ( )
2 2
; 1
25 16
x y
M x y E e · + = .
Từ phương trình của ( ) E suy ra: 5, 4, 3 a b c = = = .
Hai tiêu điểm của elip là: ( ) ( )
1 2
3; 0 , 3; 0 F F ÷
1 2
3 3
4 , 4
5 5
MF a ex x MF a ex x = + = + = ÷ = ÷
Suy ra:
1 2 2
2
1 2
1 1 10 250
10 10
9
625 9
25
25
P MF MF
MF MF x
x
= + + + = + = +
÷
÷
Để P lớn nhất thì
2
x phải lớn nhất 5 x = ± . Khi đó
85
m
8
ax =
2.
1
d qua ( )
1
1; 2; 0 M có vecto chỉ phương ( )
1
1; 2; 2 u = ÷
¸,
;
2
d qua ( )
2
2; 2; 0 M có vecto chỉ
phương ( )
2
2; 4; 4 u = ÷
¸¸,
.Rõ ràng
1 2
/ / d d ¬
1 2
, d d thuộc mặt phẳng ( ) P .
( ) P qua ( )
1
1; 2; 0 M có vecto pháp tuyến ( )
1 2 1
; 0; 2; 2 n M M u
(
= =
¸ ¸
, ¸¸¸¸¸¸, ¸,
nên có phương trình: 2 0 y z + ÷ = .
Ta có: ( )
3
1 3
1; ;
2 2
A d P A
| |
= · ¬
|
\ .
; ( ) ( )
4
4; 2; 0 B d P B = · ¬ .
Suy ra: , A B thuộc mặt phẳng ( ) P .
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:
3 3
3; ;
2 2
AB
| |
= ÷
|
\ .
¸¸¸,
Vì
1
AB ku =
¸¸¸, ¸,
nên AB cắt
1
d và
2
d .
Đường thẳng A cần tìm chính là đường thẳng AB :
1 2
2 1 1
x y z ÷ ÷
= =
÷
Câu VIIa
Ta có:
2 1
65 AB z z = ÷ = ;
1
45 OA z = = ;
2
20 OB z = = .
Suy ra:
2 2 2
OA OB AB + = . Vậy tam giác OAB vuông tại O.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
226
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Giả sử ( ) ( ) ; 0 , 0; A a B b ; , 0 a b >
Khi đó : 1
x y
a b
A + = . Vì A đi qua ( ) 1;8 M nên
1 8
1
a b
+ = .
Ta có:
5
4
10
2 8
1 8 1 1 1 1 1 10
1 ... 10
2 2 4 2
ab
a b a a b b a b
= + = + + + + > ¬ >
( bất đẳng thức Cauchy cho 10 số dương)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
1 8
1
5
1 1 10
2
a
a b
b
a b
¦
+ =
¦
= ¦ ¦
·
´ ´
=
¹
¦
=
¦
¹
Ta có:
2 2 2 2 2 8
5
4
2 2 2 2 2 2
4
5
4 4 4 4
b b b b
AB OA OB a
a
b
b
a = + = + = + + + + >
( bất đẳng thức Cauchy cho 5 số dương)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
2
2
2
4
b
a b a = · = .
Vậy
2 8 10
2
5 5
4 5
10
5 5 125
4 4
a b
AB > > = .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 5, 10 a b = = .
Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi : 1 2 10 0
5 10
x y
x y A + = · + ÷ = .
2. Gọi I là tâm của hình vuông thì I chính là hình chiếu của C lên BD.
Ta có: ( ) 1 4 ;1 ; 1 I t t t ÷ + ÷ ÷ + nên ( ) 4 2; 2 ; 1 CI t t t = ÷ ÷ +
¸¸,
.
Vì CI BD ± nên ( ) ( )
1
. 0 4 4 2 2 1 0
2
BD
CI u t t t t = · ÷ ÷ ÷ + + = · =
¸¸, ¸¸¸,
.
Do đó:
1 1 3 2
1; ; ,
2 2 2
I CI
| |
÷ =
|
\ .
.
I là trung điểm ( ) 1; 2; 3 AC A ¬ .
Tọa độ điểm ( ) 1 4 ;1 ; 1 B t t t ÷ + ÷ ÷ + với
1
4
t > .
Ta có: IB IC = nên ( )
2 2
2
2
0
1 1 9
2 4 0
1 2 2 2
t
t t t t t
t
=
| | | |
÷ + + ÷ + ÷ + = · ÷ = ·
| |
=
\ . \ .
¸
.
Tọa độ điểm ( ) 3; 0; 0 B . Suy ra: ( ) 1;1; 1 D ÷ ÷ .
Câu VIIb. Điều kiện:
3
0 1
2 1
log 1
x
y
x
¦
< =
¦
¦
s
´
¦
s
¦
¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
227
Đặt:
3
; log 2 os os
x
y c c = = với | | , 0; e
Hệ phương trình đã cho thành:
( )( )
( ) ( )
2 2
sin os os
1 os . os os os
1 os 1 os 2
sin 1
1 .
1 os 1 os
1
2
c c
c
c
c c
c c c
c
¦
¦ ÷
¦ ¦
·
´ ´
÷ + =
¦ ÷
+ =
+ ÷ =
+ =
¹ ¦
¹
( )
( )( )
( )
2
sin 1
sin 1
1 os 1 os 2
sin os os 0 *
c
c c
c
+ + =
¦
= ¦
¦ ¦
· ·
´ ´
÷ + =
÷ ÷ =
¦
¹
÷
¦
¹
Đặt ; si ; 2 n os 2 c t t
(
÷ e ÷
¸
=
¸
. Suy ra:
2
sin o
2
s
1 t
c
÷
= .
Phương trình ( ) * thành:
2
2
1
1
1 0 2 3
2 2
0
3 2 ;
t
t
t t t
t
=
÷
÷ ÷ = · + ÷ = ·
(
e ÷
¸ ¸
= ÷
¸
Với 1 t = tức
2
2 sin 0 1
4
| |
= ¬
|
\ .
÷ = ¬ = .
Khi đó:
3
0 2 1
1 log 1
x
x
y y
¦ = = ¦
·
´ ´
= =
¹ ¹
( không thỏa mãn điều kiện ban đầu)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐỀ 36
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số: ( )
3 2
3 3 2 1 y x x m m x = ÷ ÷ + ÷ (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 0 m =
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3 3 2
tan ot cot 2 55 x c x x + + = .
2. Giải hệ phương trình:
( )
( ) ( )
4 4
2 2 2
1 1
2
2
1 1
3 3
2
y x
x y
y x x y
x y
2
¦
÷ = ÷
¦
¦
´
¦
+ = + +
¦
¹
, , x y eR
Câu III (1,0 điểm).
Tính tích phân:
2
2
0
os2 cos 2
1 cos cos os
c x x
I dx
x x c x
+ +
=
+ + ÷
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C ' ' ' có BB a ' = , góc giữa đường thẳng BB' và mặt
phẳng ( ) ABC bằng
0
60 ; tam giác ABC vuông tại C và
0
60 BAC = . Hình chiếu của điểm
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
228
B' lên mặt phẳng ( ) ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ
diện A ABC ' theo a .
Câu V (1,0 điểm).
Chứng minh rằng hệ phương trình:
2
2
2012
1
2012
1
x
y
y
e
y
x
e
x
¦
+ =
¦
÷
¦
´
¦
+ =
¦
÷
¹
có đúng hai nghiệm phân biệt
( ) , x y thỏa mãn 1, 1 x y > > .
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đường tròn ( ) C biết ( ) C có tâm nằm trên
đường thẳng : 2 3 0 x y A ÷ ÷ = và cắt hai trục tọa độ theo hai dây cung có độ dài bằng nhau
và bằng 2.
2. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 2 12 0 P x y z ÷ ÷ ÷ = và hai điểm
( ) ( ) 1;1; 3 , 2;1; 4 A B . Tìm tập hợp tất cả các điểm ( ) C P e sao cho tam giác ABC có diện
tích nhỏ nhất.
Câu VII a (1,0 điểm)
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập
{ }
2
: 12 11 0 X x x x = e ÷ + s N . Tính xác suất để ba số được
chọn ra có tổng là một số chẵn.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có ( ) ( ) ( ) 1; 3 , 1;1 , 3; 0 A B C ÷ . Lập phương
trình đường thẳng A biết A qua A và cùng với đường thẳng ' A cũng qua A chia tam giác
ABC thành ba phần có diện tích bằng nhau.
2.Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ( )
3 2
: 1
3
x t
y t t
z t
= ÷ + ¦
¦
A = ÷ + e
´
¦
= +
¹
R và mặt phẳng có
phương trình ( ) : 2 5 0 x y z + ÷ + = . Gọi A là giao điểm của A và ( ) . Tìm điểm
( ) , B C eA e sao cho 2 6 BA BC = = và
0
60 ABC = .
Câu VII b (1,0 điểm)
Tìm m để bất phương trình:
( ) ( )
1
2
2
6 1 6 2 1
6
0
2012
x x
x
x m m
ex x
÷ (
÷ ÷ ÷ + +
(
¸ ¸
>
÷ +
đúng | | 0;1 x ¬ e .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải
2. Ta có: ( ) ( )
2 2
3 6 3 2 3 2 2 y x x m m x x m m ' ( = ÷ ÷ + = ÷ ÷ +
¸ ¸
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
229
Hàm số (1) có cực trị ·phương trình 0 y' = có hai nghiệm phân
biệt ( )
2
0 1 0 1 m m ' · A > · + > · = ÷ .
0
2
x m
y
x m
= ÷
' = ·
= +
¸
.
Hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu ( ) ( ) . 2 0 y m y m · ÷ + >
( ) ( )( )
4
1 2 5 2 1 0 m m m · ÷ + + ÷ > ( )( )
5 1
2 5 2 1 0
2 2
m m m · + ÷ < · ÷ < < .
Vậy
5 1
2 2
m ÷ < < và 1 m = ÷ là những giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Điều kiện: sin 2 0 ,
2
k x x k
= = · eZ .
Đặt
2
tan cot
sin 2
t x x
x
= + = ; 2 t > .
Suy ra:
3 3 3
tan cot 3 x x t t + = ÷ ;
2
2
2
1
cot 2 1 1
sin 2 4
t
x
x
= ÷ = ÷
Phương trình đã cho thành:
( )( )
2
3 3 2 2
3 1 55 4 12 224 0 4 4 17 56 0 4
4
t
t t t t t t t t t ÷ + ÷ = · + ÷ ÷ = · ÷ + + = · = .
Với 4 t = ta có: ( )
2 2
2 1
6 12
4 sin 2
5 sin 2 2
2 2
6 1
5
2
x k x k
x k
x
x k x k
= + = +
= · = · ·
= + = +
¸ ¸
eZ
2. Điều kiện , 0 x y = .
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
4 4 2 2
5
4 5 3 2
4 5 2 3 5
4 4 2 2
2
5 10
3
2 5 10
1
1 5 10
1
5 10
y x x y
x y
xy x x y
x
x y y x y
x y
x y x y
y
¦
= + +
¦ ¦
+ = ¦ = + +
¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
= + +
¦ ÷ = ¹ ¦ ¦
= + + ¹
¦
¹
5
5
5
3 1
3
2
1
3 1
2
x
x y
x y
y
¦
+
=
¦
¦
+ = ¦ ¦
· ·
´ ´
÷ =
¦ ÷
¹ ¦
=
¦
¹
( thỏa điều kiện).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:
5 5
3 1 3 1
;
2 2
| |
+ ÷
|
|
\ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
230
Câu III
Ta có: ( ) ( )
2
2 2
os2 cos 2 2cos cos 1 cos 1 cos os c x x x x x x c x + + = + + = + ÷ ÷
Khi đó:
( )
2 2
2 2
2
0
0 0
1 cos cos os sin cos os 1
2
I x x c x dx x x x c xdx J
= + ÷ ÷ = + ÷ ÷ = + ÷
} }
.
( )
2 2 2
2
0 0
cos os cos
sin cos
1 os 1 cos
x c x x
J xdx d x
c x x
÷
= = ÷
÷ +
} }
.
Đặt cos sin t x dt xdx = ¬ = ÷
Đổi cận: 0 1; 0
2
x t x t
= ¬ = = ¬ = .
Do đó:
0 1 1 1
2 2
1 0 0 0
2 1 1
1 1
2
t t t t
J dt dt dt dt
t t
t t t t
+ ÷
= ÷ = = =
+ +
+ +
} } } }
.
1
2 2
0
2 1 1
...
2 2
t
dt
t t t t
| |
+
= ÷ =
|
+ +
\ .
}
( )
2 ln 2 1 = ÷ +
Vậy
( )
1 2 ln 2 1
2
I
= + ÷ + + .
Câu IV
Gọi M là trung điểm của AC và G là trọng tâm
tam giác ABC . Ta có ( ) B G ABC ' ± nên góc giữa
đường thẳng BB' và mặt phẳng ( ) ABC là
0
60 B BG ' = .
Tam giác B BG ' vuông tại G
0
3
sin 60
2
a
B G BB ' ' = =
0
os60
2
a
BG BB c ' = =
Suy ra:
3 3
2 4
BM BG a = = .
Tam giác ABC vuông tại C và
0
60 BAC = nên đặt AB x = thì
3
,
2 2
x x
AC BC = = .
Tam giác BCM vuông nên
2 2 2
BM BC CM = +
hay
2
2 2
3 3 3 13
4 2 4 13
x x
a x a
| |
| | | |
= + ¬ =
|
| |
|
\ . \ .
\ .
;
2 2
1 3 9 3
.
2 8 104
ABC
S CACB x a = = =
.
Vậy
3
.
1 9
.
3 208
A ABC B ABC ABC
V V B G S a
' '
' = = =
.
.
B
C
A
B'
C'
A'
M
G
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
231
Câu V
Với 1, 1 x y > > hệ phương trình đã cho luôn xác định.
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
2
2 2
2012 1
1
2
1 1
x
x y
y
e
y
x y
e e
x y
¦
= ÷
¦
÷
¦
´
¦
÷ = ÷
¦
÷ ÷
¹
Xét hàm số: ( )
2
, 1
1
t
t
f t e t
t
= ÷ >
÷
.
Ta có: ( )
( )
( )
3
2
1
0 1
1
t
f t e t f t
t
' = + > ¬ > ¬
÷
đồng biến trên ( ) 1; +· .
Mà phương trình ( ) 2 có dạng ( ) ( ) f x f y = nên x y = .
Khi đó phương trình (1) trở thành:
2
2012
1
x
x
e
x
+ =
÷
(3)
Xét hàm số: ( )
2
1
x
x
g x e
x
= +
÷
với ( ) 1; x e +·
( )
( )
3
2
1
,
1
x
g x e
x
' = ÷
÷
( )
( )
( )
5
2
3
0 1
1
x
x
g x e x g x
x
'' ' = + > ¬ > ¬
÷
đồng biến trên ( ) 1; +· .
Vì ( ) ( )
1
lim , lim
x x
g x g x
+
÷+· ÷
' ' = ÷· = +· phương trình ( ) 0 g x ' = có đúng một nghiệm ( )
0
1; x e +·
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( ) 0 g x = có không quá hai nghiệm phân biệt
thuộc khoảng ( ) 1; +· .
Mà ( ) g x liên tục trên ( ) 1; +· đồng thời
( ) ( ) ( )
2
1
lim ; 2 2010 0; lim
x x
g x g e g x
+
÷+· ÷
= +· = ÷ < = +·.
Vì thế phương trình ( ) 0 g x = có đúng hai nghiệm phân biệt.
÷ +
x
( ) g x '
( ) g x
1 +· 0
x
0
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
232
Vậy hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt ( ) , x y thỏa 1, 1 x y > > .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a
1. Gọi I là tâm của đường tròn ( ) C .
( ) ; 2 3 I I t t eA ¬ ÷
Giả sử ( ) C cắt các trục , Ox Oy theo hai dây cung , AB CD. Kẻ , IH AB IK CD ± ± .
Vì AB CD = nên IH IK = .
Mặt khác 2 AB = nên 1 AH = . Do đó:
2 2 2
1 IH IA AH R = ÷ = ÷ .
Do đó:
( )
( )
2
2
, 1
, 1
d I Ox R
d I Oy R
¦
= ÷
¦
´
= ÷ ¦
¹
hay
2
2
2
2
3
3
2 3
10
1
1
1
1
2
t
t
t t
R
t
t
t R
t R
R
= ¦
¦ =
´
¦ = ÷
= ¦
¦ ¹
=
· · ¸
´ ´
= ¦ = ÷
¦ ¦
¹
= ÷
´
¹
=
¹ ¸
Vậy có hai đường tròn ( ) C cần tìm là: ( ) ( )
2 2
3 3 10 x y ÷ + ÷ = ; ( ) ( )
2 2
1 1 2 x y ÷ + + = .
2. Từ phương trình mặt phẳng ( ) P ta có: 2 2 12 y x z = ÷ ÷ nên tọa độ điểm ( ) ; 2 2 ; C a a b b ÷
Ta có: ( ) ( ) 1; 0;1 , 1; 2 2 13; 3 AB AC a a b v = = ÷ ÷ ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Suy ra: ( ) , 2 2 13; 2;13 2 2 AB AC a b b a a b
(
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ +
¸ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
Do đó: ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 1
, 2 2 13 2 13 2 2
2 2
ABC
S AB AC a b b a a b
(
= = ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ +
¸ ¸
.
¸¸¸, ¸¸¸,
Đặt t a b = ÷ thì
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
50 578 578
4 2 13 2 13 2 9 100 342 30
3 9 9
ABC
S t t t t t t
| |
= ÷ + + + ÷ = ÷ + = ÷ + >
|
\ .
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
50
9
t = .
Do đó
17 2
min
6
ABC
S =
.
khi
50
9
t = . Vì thế
50
9
b a = ÷ . Suy ra:
8 50
; ;
9 9
C a a
| |
÷ ÷
|
\ .
.
Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình: ( )
8
9
8
9
x t
y t
z t
¦
¦ =
¦
¦
= ÷ e
´
¦
¦
= ÷ +
¦
¹
R
Câu VIIa
Ta có: { }
2
12 11 0 1 11 1; 2;...;11 x x X x s s ¬ = ÷ + s · .
Số cách chọn ngẫu nhiên ba số trong 11 số là:
3
11
C
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
233
Số cách chọn ba số có tổng là số chẵn là :
3 1 2
5 5 6
C C C + .
Xác suất cần tìm là:
3 1 2
5 5 6
3
11
17
33
C C C
C
+
= .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Gọi , M N là các điểm thuộc cạnh BC sao cho , AM AN chia tam giác thành ba phần có
diện tích bằng nhau. Khi đó do ba tam giác , , ABM AMN ANC có cùng chiều cao nên
. BM MN NC = =
Suy ra:
1 2
,
3 3
BM BC BN BC = =
¸¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸, ¸¸¸,
Ta có: ( ) ( ) ( ) 4; 1 , 1; 1 , 1; 1
M M N N
BC BM x y BN x y = ÷ = + ÷ = + ÷
¸¸¸, ¸¸¸¸, ¸¸¸,
.
+ Từ
1
3
BM BC =
¸¸¸¸, ¸¸¸,
thì
4
1
1 2
3
;
1 3 3
1
3
M
M
x
M
y
¦
+ =
¦
¦ | |
¬
´ |
\ .
¦
÷ = ÷
¦
¹
. Phương trình : 7 2 1 0. AM x y ÷ ÷ =
+ Từ
2
3
BN BC =
¸¸¸, ¸¸¸,
thì
8
1
5 1
3
;
2 3 3
1
3
N
N
x
N
y
¦
+ =
¦
¦ | |
¬
´ |
\ .
¦
÷ = ÷
¦
¹
. Phương trình : 4 7 0 AN x y + ÷ = .
Vậy đường thẳng A cần tìm là: 7 2 1 0; 4 7 0 x y x y ÷ ÷ = + ÷ = .
2. Góc giữa A và ( ) là
0
30 . Điểm ( ) 1; 0; 4 A ÷ .
Ta có ( ) 3 2 ; 1 ; 3 B t t t ÷ + ÷ + + và 6 AB = nên ( ) 3; 1; 3 B ÷ ÷ hoặc ( ) 1;1; 5 B .
Vì 2 6 BA BC = = và
0
60 ABC = nên tam giác ABC vuông tại C .
Suy ra:
0
30 BAC = , do đó C là hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng ( ) .
Từ đó ta tìm được hai điểm C tương ứng với hai điểm B ở trên là:
5 5
;0;
2 2
C
| |
÷
|
\ .
hoặc
1 11
; 0;
2 2
C
| |
|
\ .
.
Câu VIIb.
Vì 1 x = thì bất phương trình đã cho đúng với mọi x nên chỉ cần tìm m để bất phương
trình đúng với | ) 0;1 x e .
Xét hàm số: ( )
1
6
x
f x x
÷
= ÷ với | | 0;1 x e
Ta có: ( ) | | ( )
1
1 6 ln6 0 0;1
x
f x x f x
÷
' = + > ¬ e ¬ đồng biến trên | | 0;1
( ) ( ) | | 1 0 0;1 f x f x ¬ s = ¬ e
( ) | | 0 0;1 f x x ¬ < ¬ e
Hơn nữa | |
2
2012 0 0;1 x ex x + > ¬ e ÷ .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
234
Vậy bài toán quy về tìm m để bất phương trình: ( )
2
1 6 2 1 0
6
x
x
m m ÷ ÷ + + s với | ) 0;1 x e
Đặt 6
x
t = thì | ) 1; 6 t e . Bất phương trình thành:
( )
| )
( )
2
2
1;6
2 2
1 2 1 0 min
2
t
t t
m t m m m g t
t t t
e
÷ +
÷ ÷ + + s · s · s
+
Với ( )
2
2
2
2
t t
g t
t t
÷ +
=
+
, | ) 1; 6 t e
( )
( )
2
2
2
3 4 4
2
t t
g t
t t
÷ ÷
' =
+
; ( )
2
0 3
2
t
g t
t
=
' = ·
=
¸
.
Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên ta tìm được:
| )
( )
1;6
1
min
2
t
g t
e
= .
Vậy
1
2
m s thỏa mãn yêu cầu bài toán.
ĐỀ 37
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2
1
x
y
x
+
=
÷
(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi A là đường thẳng đi qua ( ) 1; 0 A và có hệ số góc m. Tìm m để A cắt ( ) C tại hai
điểm phân biệt , M N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho 2 AM AN = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 5 os2 6 3sin 2 c x x ÷ = ÷ .
2. Giải bất phương trình:
3 3 2 2
4 6 7 12 6 2 x x x x x + ÷ + + + > ÷
Câu III (1,0 điểm) .
Tính tích phân:
2
0
sin
1 sin 2
x
e x
I dx
x
=
+
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
góc giữa mặt phẳng ( ) SBC và mặt phẳng ( ) ABC bằng
0
60 . Gọi , H K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SC , I là trung điểm BC . Tính thể tích khối tứ
diện AIHK .
Câu V (1,0 điểm).
Cho hàm số ( ) : 0; f +· ÷R thỏa mãn điều kiện: ( )
4
4
1
tan 2 tan
tan
f x x
x
= +
0;
4
x
| |
¬ e
|
\ .
.Chứng minh rằng: ( ) ( ) sin cos 196 0;
2
f x f x x
| |
+ > ¬ e
|
\ .
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
235
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol ( )
2 2
2 2
: 1
3
x y
H
a a
÷ = , đỉnh A thuộc nhánh phải của
( ) H và tiêu điểm
1
F thuộc nhánh trái. Một đường tròn di động đi qua A và
1
F cắt ( ) H tại
, , M N P khác A. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
2. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm ( ) 3; 6;1 G và
( ) 4; 8; 1 M ÷ là trung điểm của BC . Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng 2 2 14 0 x y z + + ÷ = .
Tìm tọa độ các đỉnh , , A B C .
Câu VII a (1,0 điểm).
Tìm các căn bậc hai của os2 sin 2 z c i + = .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) ( )
2 2
: 1 3 9 C x y ÷ + + = và hai điểm
( ) ( ) 1;1 , 2; 2 A B ÷ ÷ . Tìm tọa độ các điểm , C D nằm trên đường tròn ( ) C sao cho ABCD là
hình bình hành.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
3 3 3
:
2 2 1
x y z
d
÷ ÷ ÷
= = ;
2
d là giao tuyến của hai mặt phẳng: 5 6 6 13 0 x y z ÷ ÷ + = và 6 6 7 0 x y z ÷ + ÷ = . Chứng
minh rằng
1
d và
2
d cắt nhau. Gọi I là giao điểm của
1
d và
2
d . Tìm tọa độ các điểm , A B
lần lượt thuộc
1 2
, d d sao cho tam giác IAB vuông cân tại I và có diện tích bằng
41
42
.
Câu VII b (1,0 điểm).
Giải hệ phương trình:
( )
( )
2012 2
2012 2
log 2 3 5 2012
log 2 3 5 2012
x
y
x x x y
y y y x
¦
+ ÷ ÷ =
¦
´
+ ÷ ÷ =
¦
¹
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. Đường thẳng A qua ( ) 1; 0 A với hệ số góc m nên có phương trình: ( ) 1 y m x = ÷
Phương trình hành độ giao điểm của ( ) C và A là:
( )
( ) ( )
2
1
2
1
2 1 2 0 1 1
x
x
m x
mx m x m x
= ¦
+ ¦
= ÷ ·
´
÷ + + ÷ = ÷
¦
¹
Đặt 1 1 t x x t = ÷ ¬ = + . Phương trình ( ) 1 thành:
2
3 0 mt t ÷ ÷ = ( ) 2 .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
236
A cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , M N thuộc hai nhánh khác nhau của ( ) C · phương
trình ( ) 1 phải có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa
1 2
1 x x < < · phương trình ( ) 2 có hai nghiệm
1 2
, t t
thỏa
1 2 1 2
3
0 0 0 0 t t P t t m
m
< < · = < · ÷ < · > .
Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và 2 AM AN = nên
1 2
2 2 3 AM AN x x = ÷ ¬ + =
¸¸¸¸, ¸¸¸,
( ) 3
Theo định lý Viet ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 1
4
2
5
m
x x
m
m
x x
m
+ ¦
+ =
¦
¦
´
÷
¦
=
¦
¹
Từ (3) và (4) ta thu được:
1 2
2 1
,
m m
x x
m m
+ ÷
= = . Thay vào (5) ta được:
( )( )
2
2 1 2 2
3 2 0
3
m m m
m m
m m
+ ÷ ÷
= · ÷ = · = ( thỏa điều kiện 0 m > ).
Câu II
1. Phương trình đã cho tương đương với:
2
sin 2 3 3sin 2 x x + = ÷ .
Đặt
sin
3sin 2
u x
v x
= ¦
¦
´
= ÷
¦
¹
; Điều kiện: 1, 0 1
2
3
u v s s s s
Ta có hệ phương trình sau:
( )( )
2 2
2
2 3 2 3
3 0 2 3
u v u v
u v u v v u
¦ ¦ + = + =
¦ ¦
·
´ ´
÷ + + = + = ¦ ¦
¹ ¹
Vì
2
3 3 0
3
u v + + > + > nên u v = . Do đó:
2
1
3 2 0
2
u
u u
u
=
÷ + = ·
=
¸
Loại nghiệm 2 u = . Với 1 u = thì ( ) sin 1 2
2
k x x k
= · = + eZ .
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm: ( ) 2
2
x k k
= + eZ .
2. Điều kiện:
3
2
x > ÷ .
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x
(
+ ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ + > ÷
(
¸ ¸
Đặt
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 2 3 2
3
4 6 2 , 7 12 6 2 7 12 6 2 A x x B x x x x x x x x = + + + = + + + + + + + + + + (*)
Thế thì
3
2
x > ÷ ta có: 0 , 0 A B > >
Khi đó ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3
2 2
2
2 2 2 2 2 2
* 2
x x x x x x
x
A B
+ ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ +
· + > ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
237
( )
2 2
1 1
2 1 0 2 0 2 2 x
B
x x
A
| |
· ÷ + + > · ÷ > · ÷
|
s
.
s
\
( thỏa điều kiện
3
2
x > ÷ )
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2; 2 S
(
= ÷
¸ ¸
.
Câu III
Cách 1:
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
sin cos cos sin sin 1
1 sin 2 2 2 sin cos
sin os
x x x x
e x x e x x e x e
dx dx d
x x x
x c x
| | + ÷ ÷
= =
|
|
+ +
+
\ .
Nên
( )
2 2
0
1
2 sin cos 2
x
e e
I
x x
÷
= =
+
.
Cách 2:
Đặt
2
0
cos
1 sin 2
x
e x
J dx
x
=
+
}
.
Khi đó:
2
0
sin cos
x
e
I J dx
x x
+ =
+
}
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
0 0 0 0
sin os
1
1
sin os sin cos sin os
sin os
x x x
x
e x c x
e e
I J dx e d dx e I J
x c x x x x c x
x c x
÷
| |
÷ = = = ÷ = ÷ ÷ +
|
+ + +
\ . +
} } }
Suy ra:
2
1
2
e
I
÷
= .
Câu IV
Ta có:
0
3
60
2
a
SAI SA = ¬ =
2 3
.
1 3 3 3
. .
3 2 2 8
S ABC
a a a
V = = .
Các tỉ số thể tích của hình chóp tam giác:
2 2
4
.
2 4
.
. 81
169
S AHK
S ABC
V SH SH SB SA
V SB SB SB
| | | |
= = = =
| |
\ . \ .
.
2
.
2 2
.AS
. 1 2
. .
2 2 13
B AHI
B C
V BH BI BH BS AB
V BS BC BS BS
= = = = .
Do đó:
3 3
. .
36 3 9 3
2 .
169 8 338
AIHK S ABC S AHK BAHI
a a
V V V V = ÷ ÷ = = .
Câu V
Đặt tan 2 t x = , ta có:
2
2 2 2
2t 2 1 4 1
tan tan 2
1 tan tan tan
an
t x x
x t x t x
= ¬ = ÷ ¬ = + ÷
÷
.
A
B
C
S
H
K
I
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
238
Từ đó:
2 2
2 4
2 2 4 4 2
4 1 1 16 16
2 tan tan 2
tan tan
x x
t x x t t
| | | |
+ = + ¬ + = + +
| |
\ . \ .
.
Lúc đó: ( )
4 2
16 16
2 f t
t t
= + + với tan 2 , x 0;
4
t x
| |
= e
|
\ .
.
Khi 0;
4
x
| |
e
|
\ .
thì ( ) tan 2 0; t x = e +· và liên tục trên miền đó nên ta có: ( ) ( )
4 2
16 16
2 0; f t t
t t
= + + ¬ e +· .
Bắt đầu từ đây ta có: ( ) ( )
4 2 4 2
16 16 16 16
sin cos 2 2
sin sin cos cos
f x f x
x x x x
+ = + + + + +
4 4 2 2
1 1 1 1
16 16 4
sin cos sin cos x x x x
| | | |
= + + + +
| |
\ . \ .
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
4 4 2 2 2
1 1 2 8
8 x 0;
sin cos sin cos sin 2 2 x x x x x
| |
+ > = > ¬ e
|
\ .
.
2 2
1 1 2 4
4 x 0;
sin cos sin cos sin 2 2 x x x x x
| |
+ > = > ¬ e
|
\ .
.
Cuối cùng ta thu được: ( ) ( ) sin cos 196 x 0;
2
f x f x
| |
+ > ¬ e
|
\ .
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4
x
= .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa
1. Ta có: ( ) ( )
1
; 0 , 2 ; 0 A a F a ÷ .
Tâm của đường tròn ( ) C luôn đi qua A và
1
F là: ;
2
a
I m
| |
÷
|
\ .
.
Đường tròn ( )
2 2 2
: 2 2 0 C x y ax my a + + ÷ ÷ = .
Tọa độ các điểm , , , A M N P thỏa mãn hệ phương trình:
2 2 2
2 2
2 2
2 2 0
1
3
x y ax my a
x y
a a
¦ + + ÷ ÷ =
¦
´
÷ =
¦
¹
.
Suy ra hoành độ các điểm , , M N P thỏa mãn:
( )
3 2 2 2 2 2
16 24 3 5 4 12 25 0 x ax a m x am a + ÷ + ÷ ÷ = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
239
Ta có:
2
M N P I
a
x x x x + + = ÷ = ; ( )
2
2 6
M N P
m y y y m + + = .
Do đó: G I ÷ hay MNP là tam giác đều.
2. Gọi ( )
0 0 0
; ; A x y z . Ta có: ( ) ( )
0 0 0
3; 6; 1 , 1; 2; 2 GA x y z MG = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸¸,
Vì 2 GA MG =
¸¸¸, ¸¸¸¸,
nên ( )
0
0
0
3 2
6 4 1; 2;5
1 4
x
y A
z
÷ = ÷ ¦
¦
÷ = ÷ ¬
´
¦
÷ =
¹
.
B thuộc mặt phẳng 2 2 14 0 x y z + + ÷ = nên ( ) ;14 2 2 ; B a a b b ÷ ÷ .
Suy ra: ( ) ( ) 4;6 2 2 ; 1 , 3; 6;6 MB a a b b MA = ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Tam giác ABC vuông tại A nên
MA MB
MA MB
± ¦
´
=
¹
hay
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 4 6 6 2 2 6 1 0
. 0
4 6 2 2 1 81
a a b b
MAMB
MA MB a a b b
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + = ¦
¦
= ¦ ¦
·
´ ´
= ÷ + ÷ ÷ + + = ¦
¹ ¦
¹
¸¸¸, ¸¸¸,
Giải hệ phương trình này ta được
2 10
;
2 4
a a
b b
= ÷ = ¦ ¦
´ ´
= = ÷
¹ ¹
.
Vậy ( ) ( ) 2;14; 2 , 10; 2; 4 B C ÷ ÷ hoặc ( ) ( ) 10; 2; 4 , 2;14; 2 B C ÷ ÷ .
Câu VIIa
Với mọi eR ta có: ( ) ( )
2
2 2
os sin os sin 2sin os os2 sin 2 c i c c i c i + = ÷ + = + .
Vậy các căn bậc hai của số phức z đã cho là: ( ) os sin c i ± + .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Đường tròn ( ) C có tâm ( ) 1; 3 I ÷ , bán kính 3 R = .
Ta có: ( ) 3; 3 AB = ÷
¸¸¸,
. Phép tịnh tiến theo AB
¸¸¸,
biến D thành C , biến ( ) C thành ( ) C' có
tâm ( ) 4; 6 I ' ÷ , bán kính 3 R R ' = = .
Phương trình đường tròn ( ) ( ) ( )
2 2
: 4 6 9 C x y ' ÷ + + = .
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 3 9
4 6 9
x y
x y
¦
÷ + + =
¦
´
÷ + + = ¦
¹
.
Giải hệ phương trình này ta tìm được nghiệm:
4 1
;
3 6
x x
y y
= = ¦ ¦
´ ´
= ÷ = ÷
¹ ¹
.
Suy ra các điểm C là: ( ) ( ) 4; 3 , 1; 6 C C ÷ ÷ .
+ Với ( ) 4; 3 C ÷ thì từ DC AB =
¸¸¸, ¸¸¸,
suy ra ( ) 1; 0 D .
+ Với ( ) 1; 6 C ÷ thì từ DC AB =
¸¸¸, ¸¸¸,
suy ra ( ) 2; 3 D ÷ ÷ .
Vậy các cặp điểm cần tìm là: ( ) ( ) 4; 3 , 1; 0 C D ÷ hoặc ( ) ( ) 1; 6 , 2; 3 C D ÷ ÷ ÷ .
2. Tọa độ giao điểm I nếu có là nghiệm của hệ phương trình:
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
240
( )
3 3 3
1
2 2 1
5 6 6 13 0 1 1;1; 2
6 6 7 0 2
x y z
x
x y z y I
x y z z
÷ ÷ ÷ ¦
= =
¦
= ¦
¦
¦
÷ ÷ + = · = ¬
´ ´
¦ ¦
÷ + ÷ = =
¹
¦
¹
.
Vậy
1
d cắt
2
d tại ( ) 1;1; 2 I .
Vecto chỉ phương của
1
d là: ( )
1
2; 2;1 u =
¸,
Vecto chỉ phương của
Vecto chỉ phương của
2
d tỉ lệ với tích có hướng
1 2
, n n
(
¸ ¸
¸, ¸¸,
với ( ) ( )
1 2
5; 6; 6 , 1; 6; 6 n n = ÷ ÷ = ÷
¸, ¸¸,
lần
lượt là vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng đã cho trong đề toán.
( )
1 2
, 72; 36; 24 n n
(
= ÷ ÷ ÷ ¬
¸ ¸
¸, ¸¸,
chọn ( )
2 1 2
1
, 6;3; 2
12
u u u
(
= ÷ =
¸ ¸
¸¸, ¸, ¸¸,
.
Gọi là góc giữa
1
d và
2
d
( )
0 0
0 90 s s .
Ta có:
1 2
1 2
.
2.6 2.3 1.2 20 41
os sin
21 21 9 49
u u
c
u u
+ +
= = = ¬ =
¸, ¸¸,
¸, ¸¸, .
Gọi S là diện tích tam giác AIB , ta có:
2 2
1 1 41 41 41
sin . 1
2 2 21 42 42
S IAIB IA IA IA IB = = = = ¬ = = .
( )
1
2 1; 2 1; 2 A d A a a a e ¬ + + + ; ( )
2
6 1; 3 1; 2 2 d B b b b Be ¬ + + + .
Ta có:
1
3 1
1
3
1 1 7 1
7
a
a
IA
IB b
b
¦
= ±
¦ ¦ =
= ¦ ¦ ¦
· ·
´ ´ ´
= =
¹ ¦
¦ ¹
= ±
¦
¹
.
Vậy có bốn cặp điểm , A B thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5 5 7
; ;
3 3 3
13 10 16
; ;
7 7 7
A
B
¦ | |
| ¦
¦ \ .
´
| |
¦
|
¦
\ . ¹
;
5 5 7
; ;
3 3 3
1 4 12
; ;
7 7 7
A
B
¦ | |
| ¦
¦ \ .
´
| |
¦
|
¦
\ . ¹
;
1 1 5
; ;
3 3 3
13 10 16
; ;
7 7 7
A
B
¦ | |
| ¦
¦ \ .
´
| |
¦
|
¦
\ . ¹
;
1 1 5
; ;
3 3 3
1 4 12
; ;
7 7 7
A
B
¦ | |
| ¦
¦ \ .
´
| |
¦
|
¦
\ . ¹
Câu VIIb
Điều kiện:
2012 2
2012 2
0 1
0 1
2 3 5 0
2 3 5 0
x
y
x x x y
y y y x
< = ¦
¦
< =
¦
´
+ ÷ ÷ >
¦
¦
+ ÷ ÷ >
¹
Với điều kiện trên, hệ phương trình đã cho tương đương với:
2012 2 2012 2
2012 2 2012 2
2 3 5 2 3 5 0
2 3 5 2 3 5 0
x x x y x x x y
y y y x y y y x
¦ ¦ + ÷ ÷ = ÷ ÷ =
¦ ¦
·
´ ´
+ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ¦ ¦
¹ ¹
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
241
Trừ vế theo vế của hai phương trình ta được:
( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 0 2 1 0
1
y x
x y x y x y x y
y x
=
÷ + ÷ = · ÷ + + = ·
= ÷ ÷
¸
+ Với y x = thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
2
0
2 8 0
4
x
x x
x
=
÷ = ·
=
¸
Loại 0 x = . Với 4 4 x y = ¬ = . Do đó nghiệm ( ) 4; 4 thỏa điều kiện trên.
+ Với 1 y x = ÷ ÷ vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
( )
2 2
2 3 5 1 0 2 2 5 0 x x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ = · + + = ( phương trình vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ( ) 4; 4 .
ĐỀ 38
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
2 3 mx
y
x m
+
=
÷
(
m
C ).
27. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1 m =
2. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm
cận tại , A B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 42 .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
8
8cot tan 8sin
3
x x x
| |
÷ = ÷
|
\ .
.
2. Giải hệ phương trình:
( )( )
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y
¦
÷ ÷ =
¦
´
¦
+ + ÷ ÷ + =
¹
, , x y eR.
Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân:
2
3
6
tan t an
tan tan
x x x x
I dx
x x x x
(
+ | | | |
= +
(
| |
÷ ÷
\ . \ .
(
¸ ¸
}
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp đều . S ABC có các cạnh đáy bằng a , đường cao hình chóp là 3 a . Mặt
phẳng ( ) P qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên SA. Hỏi mặt phẳng ( ) P chia
hình chóp thành 2 phần có tỉ số thể tích là bao nhiêu?
Câu V (1,0 điểm).
Cho , 0 x y > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
2 2
4 2 2 4
7 7 x x y y y x
A
x y x y
+ + +
=
+
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
242
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 2 4 0 d x y + ÷ = và điểm B chạy trên d . Trên
tia OB lấy điểm A thỏa mãn . 1 OAOB = . Hãy tìm tập hợp các điểm A.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 4; 3; 2 M ÷ và hai đường thẳng:
1
2 3 1
:
1 2 2
x y z
d
÷ ÷ +
= =
÷ ÷
;
2
2 1 2
:
1 2 1
x y z
d
÷ + ÷
= =
÷
.
Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt
1 2
, d d lần lượt tại , A B sao cho 2 MA MB = .
Câu VII a (1,0 điểm).
Cho các số phức ( ) , 0 p q q = . Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình
2 2
0 z pz q + + = có môđun bằng nhau thì
p
q
là số thực.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng
1 2
: 2 2 0, : 2 1 0 d x y d x y + ÷ = ÷ + = . Gọi
, , A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
5 12
;
13 13
M
| |
÷
|
\ .
xuống
1 2
, d d và Ox .
Chứng minh ba điểm , , A B C thẳng hàng.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
2
: 2 3
3 2
x t
d y t
z t
= + ¦
¦
= +
´
¦
= ÷ ÷
¹
và mặt cầu
( )
2 2 2
: 4 4 8 1 0 S x y z x y z + + ÷ + ÷ ÷ = . Chứng minh rằng d cắt ( ) S tại hai điểm phân biệt
, A B. Khi đó hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua , A B và cắt mặt cầu ( ) S theo
giao tuyến là một đường tròn lớn nhất.
Câu VII b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
( )
2
9
2 4
4 log 4
log 3 1 log 3
2 3 10
x y
x y
÷
¦ + ÷ =
¦
´
+ = ¦
¹
.
.
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. Tiệm cận đứng: x m = ; tiệm cận ngang: 2 y m = .
Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là: ( ) ; 2 I m m .
Gọi
0
0 0
0
2 3
; ,
mx
M x x m
x m
| | +
=
|
÷
\ .
là điểm bất kỳ thuộc ( )
m
C .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này là:
( )
( )
2
0
0 2
0
0
2 3 2 3 mx m
y x x
x m
x m
+ +
= ÷ ÷ +
÷
÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
243
Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại
2
0
0
2 2 6
;
mx m
A m
x m
| | + +
|
÷
\ .
và cắt tiệm cận ngang tại ( )
0
2 ; 2 B x m m ÷ .
Ta có:
2
0
0
4 6
, 2
m
IA IB x m
x m
+
= = ÷
÷
.
Như vậy
2
1
. 4 6
2
IAB
S IA IB m = = +
.
.
Theo đề ta có: 42
IAB
S =
.
nên
2
4 6 42 3 m m + = · ± .
Vậy 3 m = ± là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu II
1. Điều kiện ( ) sin 2 0
2
x x k k
= · = eZ .
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
2 2
3cos sin 3cos sin 2
8sin 2 8sin
sin os 3 sin os 3
x x x x
x x
x c x xc x
2 ÷ | | | |
÷ = ÷ ÷ · = ÷
| |
\ . \ .
( )( ) ( )
3 cos sin 3 os sin 2sin 2 3 os sin x x c x x x c x x · ÷ + = ÷ +
( )
3
tan 3
3 cos sin 0
2
3 sin 2 sin
3 cos sin 2sin 2
3
4 2
9 3
x k
x
x x
x k k
x x
x x x
x k
= ÷ +
= ÷
+ =
· · · = ÷ +
| |
= ÷
÷ = ÷ | ¸
\ . ¸
= +
¸
eZ
Đối chiếu với điều kiện ta thu được: ( )
3
4 2
9 3
x k
k
x k
= ÷ +
= +
¸
eZ .
2. Nhận xét: 0 xy = không thỏa hệ phương trình.
Với 0 xy = , hệ phương trình được viết lại như sau:
2 2
1 1 7
2 2
2
7 6 14 0
x y
x y
x y xy x y
¦ | |
| |
÷ ÷ =
¦ | |
\ . ´ \ .
¦
+ + ÷ ÷ + =
¹
.
Điều kiện để phương trình:
( )
2 2 2 2
7 6 14 0 7 6 14 0 x y xy x y x y x y y + + ÷ ÷ + = · + ÷ + ÷ + = theo ẩn x có nghiệm là:
( )
2
2
1
7
7 4 24 56 0 1
3
y y y y A = ÷ ÷ + ÷ > · s s .
Điều kiện để phương trình:
( )
2 2 2 2
7 6 14 0 6 7 14 0 x y xy x y y x y x x + + ÷ ÷ + = · + ÷ + ÷ + = theo ẩn y có nghiệm là:
( )
2
2
2
10
6 4 28 56 0 2
3
x x x x A = ÷ ÷ + ÷ > · s s .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
244
Xét hàm số: ( ) ( )
1
2 , 0; f t t t
t
= e ÷ +·
( ) ( ) ( )
2
1
2 0 0; f t t f t
t
' = + > ¬ e +· ¬ đồng biến trên ( ) 0; +· .
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )
7
2 . 1
2
f x f y f f > = hay
1 1 7
2 2
2
x y
x y
| |
| |
÷ ÷ >
| |
\ .
\ .
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
2
1
x
y
= ¦
´
=
¹
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( ) 2;1 .
Câu III
Ta có:
( )
( )
2
3 3
2
6 6
tan
tan
tan
tan
x d x x
x x
I dx
x x
x x
÷
+
= ÷ +
÷
÷
} }
2 3 3
3
6
6 6
2
2 1
tan tan tan
x x x
dx dx
x x x x x x
| |
= ÷ + ÷
|
÷ ÷ ÷
\ .
} }
( tích phân từng phần).
=
2
3
6
tan 3
3
3 3 6
x
x
x x
| |
÷ = ÷
|
÷
\
÷ ÷
.
.
Câu IV
Vì . S ABC là hình chóp đều nên chân đường
cao H của chóp là tâm của tam giác đều ABC .
Ta có AH cắt BC tại trung điểm M của BC và
BC SA ± .
Hạ ( ) BN SA SA BCN BCN ± ¬ ± ¬. là thiết
diện cần tìm.
Vì SAH MAN . ~. nên
2
2
3 3
.
. 3
3 2
10
20
3
a a
AN AH AM
SA SA
a
= = = .
Ta có:
ANBC
SNBC
V AN
V SN
= nên suy ra tỉ số thể tích là:
3
17
hoặc
17
3
.
Câu V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3
2 3
3
7 7 7 4 4 x x y y y x x y xy x y x y xy x xy x y y + + + = + + + = + + + > +
( )
( )
2
2 2
4 2 2 4 2 2
2
2 .
2 2 2 2 2
xy x y xy xy x y xy
x y x y xy x y
+ + +
+ = + s =
Suy ra: 8 2 A > .
A
B
S
C
M
H
N
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
245
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x y = .
Vậy min 8 2 A = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu Via
1. ( ) 2 4; B d B b b e ¬ ÷ + ; giả sử ( ) ; A x y
( )
2 2
0 x y + > .
Dễ thấy:
2 2
. . 1 . OAOB OAOB OA OB = = =
¸¸¸, ¸¸¸,
. Từ đó ta có hệ :
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 4 1
2 4 1
x b yb
b b x y
÷ + + = ¦
¦
´
(
÷ + + + =
¦
¸ ¸ ¹
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 4 2 4 1 2 1 4 x b yb x y b b x b yb
(
÷ + + s + ÷ + + = ¬ ÷ + + (
¸ ¸
¸ ¸
s .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ( )
2 4 4
2 4
2
b b y
bx b y b
x y x y
÷ +
= · = ÷ + · =
+
.
Thay vào ( ) 2 4 1 x b yb ÷ + + = ta được:
2 2 2 2
1 1
4 4 2 0 0
4 2
x y x y x y x y + ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = .
Vậy tập hợp các điểm A là đường tròn
1 1
;
8 4
I
| |
|
\ .
, bán kính
5
8
R = .
2.
( )
1
2 ; 3 2 ; 1 2 A d A a a a e ¬ ÷ ÷ ÷ + , ( )
2
2 ; 1 2 ; 2 d b B B b b e ¬ + ÷ ÷ + .
Ta có: ( ) ( ) 2 ; 2 ;1 2 , 2 ; 4 2 ; 4 MA a a a MB b b b = ÷ ÷ ÷ + = ÷ + ÷ ÷ +
¸¸¸, ¸¸¸,
Theo đề 2 MA MB = nên
3
1
2
2
5
2
1
2
a
b
MA MB
a
MA MB
b
= ¦
¦
´
= ÷
¦
=
¹
·
= ÷ ¦ = ÷
¸
¦
´
=
¦
¹ ¸
¸¸¸, ¸¸¸,
¸¸¸, ¸¸¸,
Vậy ta tìm được phương trình đường thẳng d là:
4 3 2 4 3 2
;
5 6 7 3 10 9
x y z x y z ÷ ÷ + ÷ ÷ +
= = = =
÷ ÷
Câu VIIa
Cách 1:
Gọi
1 2
, z z là hai nghiệm của phương trình:
2 2
0 z pz q + + = .
Theo định lý Viet ta có:
2
1 2
z z q = .
Đặt
2
1 2
. k z z q q k = = ¬ = và
2
1 1
. z z k = .
Mặt khác do 0 q = nên
1
0 z = và
2 2 1
1 1
1
9
0
z p
z pz q
q q z
+ + = · ÷ = + .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
246
Đặt
p
w
q
= ÷ thì
2
1 1 1
2
1 1 1
.
.
z q z z q k q
w w
q z k q z z q
= + = + = + = . Do weR.
Cách 2:
Gọi
1 2
, z a bi z c di = + = + là hai nghiệm của phương trình
2 2
0 z pz q + + = .
Theo định lý Viet ta có:
1 2
2
1 2
z z p
z z q
+ = ÷ ¦
´
=
¹
Suy ra:
( )
2
2 2 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2
2
z z
z z p
q z z z z
+
+
= = + .
Do
2 2 2 2
1 2
z z a b c d k = = + = + = nên
( )
2 2
1 2 1 2 2 1
1 2
2
2 2
ac bd z z z z z z
z z k k
+ + +
+ = = + .
Ta có:
( )( )
( )
2 2 2 2
2
2
ac bd
ac bd a b c d k
k
+
+ s + + = ¬ > ÷ .
Do đó:
2
2
0
p p
m m
q q
= > ¬ = ± là số thực.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1.
Đường thẳng
1 2
, d d lần lượt có các vecto chỉ phương là: ( )
1
1; 2 u = ÷
¸,
, ( )
2
2;1 u =
¸¸,
.
Giả sử ( )
1
; 2 2 A a a d ÷ e ; ( )
2
2 1; B b b d ÷ e .
Suy ra :
5 36
; 2
13 13
MA a a
| |
= ÷ ÷
|
\ .
¸¸¸,
;
18 12
2 ;
13 13
MB b b
| |
= ÷ +
|
\ .
¸¸¸,
Ta có:
1
81 81 32
. 0 ;
65 65 65
MAu a A
| |
= · = ¬ ÷
|
\ .
¸¸¸, ¸,
2
24 17 24
. 0 ;
65 65 65
MBu b B
| |
= · = ¬ ÷
|
\ .
¸¸¸, ¸¸,
Mặt khác:
5
; 0
13
C
| |
|
\ .
nên
56 32
;
65 65
AC
| |
= ÷
|
\ .
¸¸¸,
;
42 24
;
65 65
BC
| |
= ÷
|
\ .
¸¸¸,
. Suy ra:
3
4
BC AC = ÷
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Vậy ba điểm , , A B C thẳng hàng.
2. Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 2; 2; 4 I ÷ , bán kính 5 R = .
Đường thẳng d đi qua ( ) 2; 2; 3 M ÷ và có vecto chỉ phương ( ) 1;3; 2 u = ÷
,
.
Ta có: ( ) ( ) 0; 4; 7 , , 13; 7; 4 IM u IM
(
= ÷ = ÷
¸ ¸
¸¸¸, , ¸¸¸,
.
Suy ra: ( )
, I
117
, 5
7
u M
d I d R
u
(
¸ ¸
= = < =
, ¸¸¸,
, .
Do đó d luôn cắt ( ) S tại hai điểm , A B phân biệt.
Mặt phẳng ( ) thỏa yêu cầu bài toán chính là mặt phẳng đi qua ( ) 2; 2; 4 I ÷ và chứa d .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
247
Suy ra ( ) nhận ( ) , 13; 7;14 n u IM
(
= = ÷
¸ ¸
, , ¸¸¸,
làm vecto pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là:
( ) ( ) ( ) 13 2 7 2 4 3 0 13 7 4 24 0 x y z x y z ÷ ÷ + ÷ + + = · ÷ ÷ ÷ =
Câu VIIb
Điều kiện:
2
1
, 0
3
0 , 4 x y x y > > ÷ > ÷ .
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: ( )
2 2
log 3 1 3 log 3 1 8 x y x y + = + · + = (*)
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 2
4 4 2 2
2 2 10 2 8 4 3 4 9
x y x y
x y y x
÷ ÷
+ = · = · ÷ = · = ÷ (**)
Thay (**) vào (*) ta được:
( )
2 2 2
5
3 9 16 9 7 6 145 0
19
7
x
x x x x
x
=
÷ = ÷ · ÷ ÷ = ·
= ÷
¸
Loại nghiệm:
19
7
x = ÷ . Với 5 x = suy ra 4 y = .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( ) 5; 4 .
ĐỀ 39
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
3
3 y x x = ÷ + (C).
28. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
29. Tìm trên đồ thị ( ) C có bao nhiêu bộ điểm , , , A B C D sao cho tứ giác ABCD là hình
vuông tâm O.
Câu II (2,0 điểm)
5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
( )
2
sin 3 9 16 80 0
4
x x x
(
÷ ÷ ÷ =
(
¸ ¸
.
6. Giải hệ phương trình:
( )
( )
2 2
1 2
2
1 1 3 1
y x
x y x
y x x
¦
+ = +
¦
¦
´
¦
+ ÷ = +
¦
¹
( ) , x y eR .
Câu III (1,0 điểm) .
Tính tích phân:
{ }
2
0
min 3 , 4
x
I x dx = ÷
}
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
248
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp . S ABC , gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng quay quanh AG cắt
cạnh , SB SC theo thứ tự tại , M N . Gọi
1
V là thể tích tứ diện SAMN ; V là thể tích tứ diện
SABC . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số
1
2
V
V
.
Câu V (1,0 điểm).
Cho
2
,
5
, a b c > ÷ và 3 a b c + + = . Chứng minh rằng:
2 2 2
26 5 26 5 26 5
9
5 2 5 2 5 2
a b c
a b c
÷ ÷ ÷
+ + >
+ + +
.
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : 2 0 x y A + + = và đường tròn
( )
2 2
: 4 2 0 C x y x y + ÷ ÷ = . Gọi I là tâm của ( ) C , M là điểm thuộc A. Qua M kẻ các
tiếp tuyến , MA MB đến ( ) C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác
MAIB có diện tích bằng 10.
2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 2; 0; 0 , 0; 4; 0 , 0; 0; 4 A C S . Tìm tọa độ điểm
B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt
cầu ( ) S đi qua bốn điểm , , , O B C S . Tìm tọa độ
1
A đối xứng với A qua SC .
Câu VII a (1,0 điểm).
Cho số phức z thỏa mãn 1 z = . Chứng minh:
3 2
1 1 1 5 z z z s + + + + s .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip ( ) E biết rằng ( ) E có
tâm sai bằng
5
3
và hình chữ nhật cơ sở của ( ) E có chu vi bằng 20.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( )
2 2 2
: 10 2 6 10 0 S x y z x y z + + ÷ ÷ ÷ + = và
mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0 P x y z + + + = . Từ một điểm M trên một mặt phẳng ( ) P kẻ một đường
thẳng A tiếp xúc với mặt cầu ( ) S tại N . Tìm vị trí điểm M để 11 MN = .
Câu VII b (1,0 điểm).
Giải bất phương trình:
( ) ( )
2011 2012
log 2010 log 2011 2
x x
e + + + s .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. Giả sử
( ) ( ) ( )
3 3
; 3 , ; 3 A a a a B C b b b ÷ + ÷ + e , , 0, b a b a > = .
ABCD là hình vuông tâm ( )
. 0
0;0
OA OB
OAOB
O
OA OB
OA OB
¦ ± ¦ = ¦
· ·
´ ´
=
= ¦ ¹
¹
¸¸¸, ¸¸¸,
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
249
( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 2 3
3 3 0
3 3
ab ab a b
a a a b b b
¦
+ ÷ ÷ =
¦
·
´
+ ÷ = + ÷ ¦
¹
(I )
Biến đổi và rút gọn ( ) I ta được:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3 10 0 1
0
3 1 0 2
a b a b
a b
a b a b
¦
÷ + + =
¦
¦
+ =
´
¦
+ ÷ ÷ + =
¦
¸ ¹
Trường hợp 1: Với 0 a b + = thay vào ( ) 1 ta được:
4 2
6 10 0 a a ÷ + = ( Vô nghiệm)
Trường hợp 2: Đặt
2 2 2 2
, A a b B a b = + = .
Khi đó hệ (1) và (2) trở thành:
( )
2
2
3 10 0
3 10
9 20 0 3 1 0
B A
B A
A A A B
÷ + = ¦ = ÷ ¦
¦
·
´ ´
÷ + = ÷ ÷ + =
¦ ¹
¹
Giải hệ phương trình này ta được:
4
2
5
5
A
B
A
B
= ¦
´
=
¹
= ¦
´
=
¹ ¸
+ Với
4
2
A
B
= ¦
´
=
¹
ta có:
2 2
2 2
4 2 2
2
2 2
a b a
a b
b
¦
¦ + = = ÷
¦ ¦
¬
´ ´
= ¦
¹ ¦ = +
¹
hoặc
2 2
2 2
a
b
¦
= +
¦
´
¦ = ÷
¹
+ Với
5
5
A
B
= ¦
´
=
¹
ta có:
2 2
2 2
5 5
5
2
5
5 5
2
a
a b
a b
b
¦
÷
¦ =
¦ + =
¦ ¦
¬
´ ´
=
¦
¹ ¦ +
=
¦
¹
hoặc
5 5
2
5 5
2
a
b
¦
+
¦ =
¦
´
¦ ÷
=
¦
¹
Vai trò của , A B như nhau nên trên ( ) C có hai bộ bốn điểm , , , A B C D để ABCD là
hình vuông tâm ( ) 0;0 O .
Câu II
1. Điều kiện:
2
9 16 80 0 4 x x x ÷ ÷ > · > .
Phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
2
3 90 16 80
4
x x x k k
÷ ÷ ÷ = eZ
2 2
3 9 16 80 4 9 16 80 3 4 x x x k x x x k · ÷ ÷ ÷ = · ÷ ÷ = ÷
( )
2
2
2
10
9 16 80 3 4
3
4
4
3
3
2
x
x
k
x x x k x
k
k
k
¦
¦
¦
¦ ¦
· ·
´ ´
2 +
¦ ¦
÷ ÷ = ÷ =
¹
÷
>
¹
>
¦
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
250
Yêu cầu bài toán tương đương với
2
2
2
4
3
2 10
3 2
2 10
3 2
2
4
10
3 2
k
k
k
x
k
k
k
k ¦ +
¦
÷
¦
+ ¦
=
´
÷
>
+
¦
÷
>
¦
¦
e
¹
Z
Ta có:
2 2
2 2
2 10 6 8 30
2
3 2 3 2
3
4
0
3
3
4
2 10 2 12 18
3 2 3
0
2
k k k
k k
k
k k k
x
k k
k ¦ ¦ + ÷ + +
¦ ¦
¦ ¦ ÷ ÷
· · <
´ ´
+ ÷ +
¦ ¦
=
¦ ¦
÷ ÷ ¹ ¹
> >
s
> >
.
Vì k eZ nên { } 1, 2, 3 k e .
Với 1 k = suy ra
2
2 10
12
3 2
k
k
+
=
÷
eZ
Với 2 k = suy ra:
2
2 10
2
9
3
9
2 2
k
k
+
=
÷
e
Với 3 k = suy ra:
2
2 10
4
3 2
k
k
+
= e
÷
Z
Kết hợp với điều kiện ta có: 4, 12 x x = = là những giá trị cần tìm.
2. Điều kiện: , 0 0 x y > = .
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:
( )
2
1 2
2 2 2 2 2 2 0
y x
y x xy x x xy y x x y x x
x y x
+ = + · + = + · + ÷ ÷ =
Xem đây là một phương trình bậc hai theo biến y, ta có:
( ) ( )
2 2
2 8 2 0
x
x x x x x x A = ÷ + = + > .
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
2
y x
y x
= ÷
=
¸
.
+ Với y x = ÷ , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
( )
( )
2 2
1 1 3 1 x x x ÷ + ÷ = +
Rõ ràng:
( )
( )
2 2
1 1 0 3 1 x x x ÷ + ÷ < < + nên phương trình này vô nghiệm.
+ Với 2 y x = , thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2 1 1 3 1 1 2 3 0 1 *
2 3
x
x x x x x x
x
+ ÷ = + · + ÷ = · + =
÷
( Dễ thấy
3
2
x = không thỏa mãn đẳng thức nên chỉ xét
3
2
x = và phép biến đổi trên là
phù hợp).
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
251
Xét hàm số: ( )
2
1, 0 f x x x = + > và ( )
2
, 0
2 3
x
g x x
x
= >
÷
.
Ta có: ( )
2
0
1
x
f x
x
= >
+
nên hàm số đồng biến , ( )
( )
2
2 3
0
2 3
g x
x
÷
' = <
÷
nên hàm số
nghịch biến.
Suy ra phương trình ( ) * có không quá một nghiệm.
3 x = là một nghiệm nên đây cũng chính là nghiệm duy nhất của ( ) * .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:
( )
3; 2 3 .
Câu III
Rõ ràng:
| | | | 3 4 0;1 , 3 4 1; 2
x x
x x x x < ÷ ¬ e > ÷ ¬ e .
Do đó:
{ } ( )
2 1
2 1 2 2
0 0 1 0 1
3 2 5
min 3 , 4 3 4 4
ln3 2 ln3 2
x
x x
x
I x dx dx x dx x
| |
= ÷ = + ÷ = + ÷ = +
|
\ .
} } }
.
Câu IV
Gọi E là trung điểm BC .
Đặt ,
SM SN
x y
SB SC
= = ( ) 0 , 1 x y s s .
Ta có:
1
.
.
V SM SN
xy
V SB SC
= = .
2 2
SMN SMG SNG SMG SNG
SBC SBC SBE SCE
S S S S S
S S S S
A
A A
+
= = +
. . . .
. .
( )
. . 1
2 . 2 . 3
SM SG SN SG
x y
SB SE SC SE
= + = + (1)
Lại có:
.
.
SMN
SBC
S SM SN
xy
S SASB
= =
.
.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( )
1
3
1
1 .
3 3 1 3
x
xy x y x y x y x
x
| |
= + · ÷ = · =
\
=
|
÷
.
Vậy ( )
2
1
3 1
V x
xy f x
V x
= = =
÷
.
Từ
0
1
1
,
3 2
1
x
x y x
x y
y
¦
¬
=
¹
s
s s
´
+
s
.
Xét hàm số: ( )
2
1
;1
2
,
3 1
x
f x x
x
(
e
(
¸
=
¸
÷
G
A
B
C
S
E
M
N
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
252
( )
( )
2
2
3 2
3 1
x x
f x
x
÷
' =
÷
; ( )
2
0
0 3 2 0
2
3
x
f x x x
x
=
' = · ÷ = ·
=
¸
( )
1 1
1
2 2
f f
| |
= =
|
\ .
;
2 4
3 9
f
| |
=
|
\ .
Do đó: ( )
1
;1
2
1
ax
2
x
m f x
(
e
(
¸ ¸
= khi
1
2
x = hoặc 1 x = ; ( )
1
;1
2
4
min
9
x
f x
(
e
(
¸ ¸
= khi
2
3
x = .
Vậy
1
4
min
9
V
V
= ;
1
1
ax
2
V
m
V
= .
Câu V
Xét hàm số:
2
26 5
5 2
x
y
x
÷
=
+
. Ta có:
( )
2
2
2
25 260 10
5 2
x x
y
x
÷ ÷
' =
+
nên ( ) 1 5 y' = ÷ .
Suy ra tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 1 x = là 5 8 y x = ÷ + .
Ta chứng minh với
2
;3
5
x
(
e ÷
(
¸ ¸
thì
2
26 5
5 8
5 2
x
x
x
÷
> ÷ +
+
(*)
Quy đồng và rút gọn ta được: ( ) ( )
2
3 2
5 8 2 0 2 5 1 0 x x x x x ÷ + + > · + ÷ > .
Áp dụng bất đẳng thức ( ) * cho các số
2
, , ;3
5
a b c
(
e ÷
(
¸ ¸
ta có:
2
26 5
5 8
5 2
a
a
a
÷
> ÷ +
+
;
2
26 5
5 8
5 2
b
b
b
÷
> ÷ +
+
;
2
26 5
5 8
5 2
c
c
c
÷
> ÷ +
+
Cộng vế theo vế ta được: ( )
2 2 2
26 5 26 5 26 5
5 24 9
5 2 5 2 5 2
a b c
a b c
a b c
÷ ÷ ÷
+ + > ÷ + + + =
+ + +
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1 a b c = = = .
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa
1. Ta có: 10 5 2 5
MAIB MAI
S S AM = ¬ = ¬ =
.
và
2 2 2
25 MI IA AM = + = (*)
( ) ; 2 M m m M eA ¬ ÷ ÷ và ( ) 2 ; 3 MI m m = ÷ +
¸¸¸,
.
Khi đó: ( )
( )
( )
2 2 2
2 2; 4
* 4 4 6 9 25 6 0
3 3;1
m M
m m m m m m
m M
= ¬ ÷
· + ÷ + + + = · + ÷ = ·
= ÷ ¬ ÷
¸
2.
B mp e Oxy ( ) ; B a b ¬ .
Tứ giác OABC là hình chữ nhật ( ) 2; 4; 0 OC AB B ¬ = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Vì , O C cùng nhìn SB dưới một góc vuông nên trung điểm ( ) 1; 2; 2 I của SB là tâm mặt
cầu đi qua bốn điểm , , , O B S C và bán kính
1
3
2
R SB = = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
253
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 9 x y z ÷ + ÷ + ÷ = .
Phương trình tham số của
0
: 4 4
4
x
SC y t
z t
= ¦
¦
= ÷
´
¦
=
¹
.
Gọi H là hình chiếu của A lên ( ) ( ) 0; 4 4 ; 4 2; 4 4 ; 4 SC H t t AH t t ¬ ÷ ¬ = ÷ ÷
¸¸¸,
.
Vì AH SC ± nên ( )
1
. 0 0; 2; 2
2
AH SC t H = · = ¬
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Do H là trung điểm
1
AA nên ( )
1
2; 4; 4 A ÷ .
Câu VIIa
Ta có:
3 2
3 2
1 1 1 1 5 z z z z z z + + + + s + + + + = .
Do 1 z = nên: 1 1 2 z z ÷ s + = và
3 3 3
1
1 0 1 1
2
z z z + > ¬ + > + .
Suy ra:
3
3 2 3 3 3 3 3
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 2
z
z z z z z z z z
z
÷
+ + + + = + + > + + ÷ > + + ÷ =
÷
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. Phương trình chính tắc của elip ( ) E có dạng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = với 0 a b > > .
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình: ( )
2 2 2
5
3
2 2 2 20
c
a
a b
c a b
¦
=
¦
¦
¦
+ =
´
¦
= ÷
¦
¦
¹
.
Giải hệ trên ta tìm được: 3, 2 a b = = .
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
2 2
1
9 4
x y
+ = .
2. Mặt cầu ( ) S có tâm ( ) 5;1; 3 I và bán kính 5 R = .
Vì đường thẳng A tiếp xúc với mặt cầu ( ) S tại điểm N nên IN ± A hay tam giác IMN
vuông tại . N Do đó:
2 2 2 2 2
6 6 MI MN IN MN R MI = + = + = · = .
Ta có: ( ) ( )
2 2 2
5 2.1 2.3 5
, 6
1 2 2
d I P IM
+ + +
= = =
+ +
. Suy ra điểm M chính là hình chiếu của điểm
I lên mặt phẳng ( ) P .
Gọi ( )
0 0 0
; ; M x y z thì ( )
0 0 0
5; 1; 3 IM x y z = ÷ ÷ ÷
¸¸¸,
.
Mặt phẳng ( ) P có vecto pháp tuyến là: ( ) 1; 2; 2 n =
,
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
254
Ta có:
( )
( )
IM P
M P
± ¦
¦
´
e
¦
¹
nên ( )
0 0 0
0 0 0
5 1 3
3; 3; 1 1 2 2
2 2 5 0
x y z
M
x y z
÷ ÷ ÷ ¦
= =
¦
¬ ÷ ÷
´
¦
+ + + =
¹
.
Vậy điểm M cần tìm là: ( ) 3; 3; 1 M ÷ ÷ .
Câu VIIb
Xét hàm số: ( ) ( ) ( )
2011 2012
log 2010 log 2011
x x
f x e = + + +
( )
( ) ( )
( )
ln
0
2010 ln 2011 2011 ln 2012
x x
x x
e
f x f x
e
' = + > ¬
+ +
đồng biến trên R.
Mà ( ) 0 2 f = nên bất phương trình: ( ) ( ) 0 0 f x f x s · s .
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là: ( | ; 0 S = ÷· .
ĐỀ 40
A- PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) . Cho hàm số:
( )
2
2 1
x
y
x
+
=
÷
(C).
30. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
31. Tìm tất cả các giá trị của tham số meR để đường thẳng : d y x m = + cắt đồ thị ( ) C
tại hai điểm phân biệt , A B sao cho
2 2
37
2
OA OB + = .
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 5sin 2cos3 1 5cos3 2sin 1 x x x x ÷ ÷ = ÷ ÷ .
2. Giải hệ phương trình:
6
2 3 3
2 3 3 6 3 4
x
x y y
y
x x y x y
¦
÷ = ÷ +
¦
´
¦
+ ÷ = + ÷
¹
.
Câu III (1,0 điểm) .
Tính tích phân:
2
2
1
1
1
x
I dx
x x
+
=
+ ÷
}
.
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình lập phương . ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm
các cạnh , A B B C ' ' ' ' . Tính theo a thể tích khối tứ diện AD MN ' và khoảng cách từ A đến
đường thẳng D N ' .
Câu V (1,0 điểm).
Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn
1
2
a b c + + = . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a b b c b c a c a c a b
P
a b b c a c b c a c a b a c a b b c
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + + + + +
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
255
B- PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VI a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( )
2 2
: 16 C x y + = . Viết phương trình chính tắc
của elip có tâm sai
1
2
e = biết elip cắt đường tròn ( ) C tại bốn điểm , , , A B C D sao cho AB
song song với trục hoành và 2 AB CD = .
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) 2; 0; 0 , 1;1;1 A H . Viết phương trình mặt phẳng
( ) P đi qua , A H sao cho ( ) P cắt , Oy Oz lần lượt tại , B C thỏa mãn diện tích tam giác
ABC bằng 4 6 .
Câu VII a (1,0 điểm).
Cho số phức
1 3
2 2
z i = ÷ + . Hãy tính
2
1 z z + + .
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VI b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol ( )
2
: 16 P y x = và điểm ( ) 1; 4 A . Hai điểm phân biệt
, B C ( khác A) di động trên ( ) P sao cho
0
90 BAC = . Chứng minh rằng đường thẳng BC
luôn đi qua một điểm cố định.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 3 6 18 0 x y z + + ÷ = . Gọi
, , A B C lần lượt là giao điểm của ( ) với các trục , , Ox Oy Oz và gọi H là trực tâm tam
giác ABC . Chứng minh rằng với mọi M thuộc mặt phẳng ( ) không trùng với các điểm
, , , A B C H ta luôn có:
2 2 2 2
2 2 2 2
2
MA MB MC MH
OA OB OC OH
+ + = + .
Câu VII b (1,0 điểm).
Giải bất phương trình:
( )
2 3 4 2 2
2 2
5 6 log log 5 5 6 x x x x x x x x x x + + ÷ > ÷ + + + ÷ .
BÀI GIẢI
A- PHẦN CHUNG
Câu I
1. Học sinh tự giải.
2. Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2 3 2
1
1 0 * 2 1
x
x
x m
x m x m x
¦
+ ¦
= + ·
´
+ ÷ ÷ + =
=
÷
¦
¹
Vì
( )
2
4 4 25 0
1 3 0
m m
m
f
¦ + + >
¦
¬
´
= =
¦
¹
eR nên phương trình ( ) * luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1
với mọi m. Vậy d luôn cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt m ¬ eR.
Gọi ( ) ( )
1 1 2 2
; , ; A x x m B x x m + + là tọa độ giao điểm của d và ( ) C .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
256
Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 3
, 1
2
m
x x x x m
÷
+ = ÷ = ÷ ÷ .
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 4 2 2 OA OB x x m x x m x x x x m x x m + = + + + + + = + ÷ + + +
=
( )
2
1
4 2 17
2
m m + + .
Giả thiết
( )
2 2 2 2
5
37 1 37
4 2 17 2 10 0 2
2 2 2
2
m
OA OB m m m m
m
= ÷
+ = · + + = · + ÷ = ·
=
¸
.
Vậy
5
2
m = ÷ hoặc 2 m = là những giá trị cần tìm.
Câu II
1. Điều kiện:
1
2
1
3
2
sin
os
x
c x
¦
¦
>
´
>
¦
¦
¦
¹
.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:
5sin 5cos3 2sin 1 2cos3 1 0 x x x x ÷ + ÷ ÷ ÷ =
( )
2
sin os3 5 0
2sin 1 2cos3 1
x c x
x x
| |
· ÷ + =
|
÷ + ÷
\ .
.
Do đó: ( )
8 2
sin os3 os os3
2
4
x k
x c x c x c x k
x k
= +
| |
= · ÷ = ·
|
\ .
= +
¸
eZ .
Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác và so sánh với điều kiện ta được các nghiệm
cần tìm là: ( )
5
2 ; 2
8 8
x k k x k
= + = + eZ .
2. Điều kiện: 0 ; 3 3 3 0 ; 0 x y x x y y > + ÷ > = ÷ .
Ta có:
( ) ( )
2
2 3 2 3 3 6
2 3 3 3 3 3
x y x y x y x
x y y y x y
y y y y
÷ ÷ ÷
÷ = ÷ + · ÷ = ÷ · ÷ = .
Đặt
3x y
t
y
÷
= . Khi đó:
2
1
2 3 0
3
2
t
t t
t
= ÷
÷ ÷ = ·
=
¸
.
+ Với 1 t = ÷ ta có:
2 2
0 0
3
3 3
y y
x y y
x y y x y y
< < ¦ ¦
÷ = ÷ · ·
´ ´
÷ = = +
¹ ¹
.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 2 2 2
2 2 5 4 2 2 5 4 2 2 5 4 y y y y y y y y y = + ÷ · = + ÷ · ÷ = + ÷
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
257
2
4 4
2 7 4 0
1
0
2
y x
y y
y
= ÷ ¬ =
· + ÷ = ·
= >
¸
.
+ Với
3
2
t = ta có:
2
0
3
3
9
2 3
4
y
x y y
x y y
> ¦
¦
÷ = ·
´
= +
¦
¹
.
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
2 2
9 5 9
2 5 4
4 2 2
y y y y + = + ÷ .
Đặt
2
9
4
u y y = + , 0 u > . Ta có:
2
2
2 2 4 0
1 0
u
u u
u
=
÷ ÷ = ·
= ÷ <
¸
.
Với 2 u = suy ra:
2
8 8
9 10 16 0 9 9
2 0
y x
y y
y
= ¬ =
+ ÷ = ·
= ÷ <
¸
.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là: ( )
8 8
4; 4 , ;
9 9
| |
÷
|
\ .
.
Câu III
Ta có:
( )
( )( )
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 I x x x dx x x dx x x dx J K = + ÷ ÷ = + ÷ + ÷ = ÷
} } }
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3 1 5 3
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 8 3 4 2
1 1 1 1 1 1 1
5 3 5 15
J x x dx x dx x dx x x = + ÷ + = + ÷ + = + ÷ + = ÷
} } }
( )( ) ( )
2 2
2
1 1
1 1 1 1 K x x dx x x dx = + ÷ = + ÷
} }
.
Đặt
2
1 1 2 t x t x dx dt = ÷ ¬ = ÷ ¬ =
( ) ( )
1
1 1
2 4 2 5 3
0 0 0
2 4 26
2 .2 2 2
5 3 5
K t t tdt t t dt t t
| |
= + = + = + =
|
\ .
} }
.
Vậy
8 3 4 2 26
5 15 5
I = ÷ ÷ .
Câu IV
Ta có:
2 2 2 2
2
3
4 4 8 8
D MN A B C D D A M B MN D CN
a a a a
S S S S S a
' ' ' ' ' ' ' ' '
= ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ =
. . . .
.
2 3
1 1 3
. .
3 3 8 8
AD MN D MN
a a
V AA S a
' '
' = = =
.
.
Gọi H là hình chiếu của S lên D N ' và là góc giữa
AD' và D N ' .
N
M
D
A
C
B
A' D'
C'
B'
H
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
258
Ta có:
5 3
2 , ,
2 2
a a
AD a D N AN ' ' = = = .
2
2 2 2
2
3
sin 1 os 1 .
2. . 10
D A D N AN
c
D A D N
' ' | | + ÷
= ÷ = ÷ =
|
' '
\ .
3 3
.sin 2.
10 5
a
AH AD a ' = = = .
Vậy
3
8
AD MN
a
V
'
= và ( )
3
,
5
a
d A D N ' = .
Câu V
Đặt , , x a b y b c z a c = + = + = + . Suy ra: ( ) 2 1 x y z a b c + + = + + = .
Khi đó:
xy yz zx
P
xy z yz x zx y
= + +
+ + +
.
Ta có:
( ) ( )( )
1
2
.
xy xy xy xy x y
xy z xy z x y z x z y z xy z
x y
x z y y z x z z
=
| |
s + = ¬ =
+ + + + +
|
+ +
\
+ + +
.
+
.
Chứng minh tương tự ta được:
1
2
yz y z
yz x y x z x
| |
s +
|
+ + +
\ .
;
1
2
z x
z y x
x
zx y y
z | |
s +
+ +
\
+
|
.
.
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
3
2
P s .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
1
6
a b c = = = .
Vậy
3
max
2
P = khi
1
6
a b c = = = .
B- PHẦN RIÊNG
B.1. CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa
1. Giả sử elip có phương trình chính tắc là: ( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ = .
Theo đề:
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 3
2 4 4 4
c c a b
e b a
a a a
÷
= = · = · = · = .
Suy ra elip có phương trình:
2 2
2 2 2
2 2
4
1 3 4 3
3
x y
x y a
a a
+ = · + = .
Tọa độ các giao điểm , , , A B C D của ( ) E và ( ) C là nghiệm của hệ
2 2
2 2 2
16
3 4 3
x y
x y a
¦ + =
¦
´
+ = ¦
¹
(I)
Do ( ) E và ( ) C cùng nhận trục hoành và trục tung làm trục đối xứng và AB song song Ox
nên , A B đối xứng nhau qua Oy ; , C D đối xứng nhau qua Ox .
2 2
2 2 2.2 4 AB CD x y x y = · = · = (*)
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
259
Giải hệ ( ) I ta tìm được:
2 2
64 16
,
5 5
x y = = . Thay vào (*) ta tìm được:
2
256
15
a = .
Vậy elip có phương trình là ( )
2 2
: 1
256 64
15 5
x y
E + = .
2. Giả sử ( ) ( ) 0; ; 0 , 0; 0; B b C c ; 0 , b c = . Suy ra ( ) : 1
2
x y z
P
b c
+ + = .
( ) ( ) 1;1;
1
1
1 1
2
P
b
H
c
e · + = (1)
2 2 2 2
1 1
4 6 ; 4 6 4 4 4 6
2 2
ABC
S AB AC b c c b
(
= · = · + + =
¸ ¸
.
¸¸¸, ¸¸¸,
2 2 2 2
4 4 384 b c b c · + + = (2)
Đặt , u b c v bc = + = .
Từ (1) và (2) ta có:
( )
2 2
2
8, 16
4 2 384 6, 12
v u
u v
v u v u v
= ¦
= = ¦
·
´
+ ÷ = = ÷ = ÷
¸ ¦
¹
.
Suy ra: 4 b c = = ; 3 21 b c = ÷ = ÷ + ; 3 21 b c = ÷ = ÷ ÷ .
Vậy có ba mặt phẳng ( ) P thỏa mãn là:
2 4 0 x y z + + ÷ = ;
( ) ( )
6 3 21 3 21 12 0 x y z + + + ÷ ÷ = ;
( ) ( )
6 3 21 3 21 12 0 x y z + ÷ + + ÷ = .
Câu VIIa
Ta có:
2
1 3
2 2
z i = ÷ ÷ .
Do đó:
2
1 3 1 3
1 1 0
2 2 2 2
z z i i
| | | |
+ + = + ÷ + + ÷ ÷ =
| |
| |
\ . \ .
.
B.2. CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1. ( )
2 2
, ; , ;
16 16
b c
B C P B b C c
| | | |
e ¬
| |
\ . \ .
với 4, 4, c b b c = = = .
Ta có:
2 2
1; 4 , 1; 4
16 16
b c
AB b AC c
| | | |
= ÷ ÷ = ÷ ÷
| |
\ . \ .
¸¸¸, ¸¸¸,
và
0
90 BAC = nên:
( ) ( )
2 2
. 0 1 1 4 4 0
16 16
b c
AB AC b c
| || |
= · ÷ ÷ + ÷ ÷ =
| |
\ .\ .
¸¸¸, ¸¸¸,
.
Khai triển rồi phân tích thành nhân tử ta được: ( ) ( ) 272 4 0 b c b c bc ÷ + + + = (
¸ ¸
.
Dễ dàng lập được phương trình đường thẳng BC là: ( ) 16 0 x b c y bc ÷ + + = .
Rõ ràng ( ) 17; 4 B M C ÷ e nên BC luôn đi qua một điểm cố định ( ) 17; 4 M ÷ .
2. Ta luôn có:
2 2 2 2
1 1 1 49 1
324 OA OB OC OH
+ + = = .
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com
Bộ đề thi tự luận- môn Toán Dành cho học sinh lớp 12 ôn thi Đại học- Cao đẳng
Văn Phú Quốc- GV. Trường Đại học Quảng Nam DĐ: 0982 333 443 ; 0934 825 925
260
( ) ( ) ; ; 2 3 6 18 0 1
9 6 3
a b c
M a b c a b c e · + + ÷ = · + + = (*)
Ta có:
( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
9
2 2
1 1
9 9
a b c
MA a b c a OM a
OA OA OA OA
2
÷ + +
+ +
= = ÷ + = ÷ + .
Tương tự:
2 2
2 2
2
1
6
MB OM b
OB OB
= ÷ + ;
2 2
2 2
2
1
3
MC OM a
OC OC
= ÷ + .
Kết hợp với (*) ta được:
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
MA MB MC
OM
OA OB OC OA OB OC
| |
+ + = + + +
|
\ .
=
2 2 2 2
2 2 2
1 1 2
OM OH MH MH
OH OH OH
+
+ = + = + .
Câu VIIb
Điều kiện:
2
6 0
0 3
0
x x
x
x
¦ + ÷ >
· < s
´
>
¹
.
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với:
( )
( )
2
2
6 1 log 5 0 x x x x x + ÷ + ÷ ÷ > (1)
+ Với 0 1 x < s thì dễ thấy bất phương trình (1) vô nghiệm.
+ Với 1 3 x < s thì:
2 2
3log 3 5 0 log 5 x x ÷ ÷ s < .
Do đó: ( )
2 2 2
1
1 6 1 0 6 1 2 3 5 0
5
2
x
x x x x x x x x
x
< ÷
· + ÷ + ÷ < · + ÷ < ÷ · ÷ ÷ > ·
>
¸
Suy ra:
5
2
x > .
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là:
5
;3
2
S
| (
=
(
\ ¸
.
www.MATHVN.com
MATHVN.COM - Toán học Việt Nam
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

X-Served-By: cache, cache-iad2151-IAD

Set-Cookie: stg=73; Domain=.scribd.com; Path=/; Expires=Mon, 17-Apr-28 14:27:30 GMT

X-Page-Type: docview

X-Cache: MISS, MISS

Via: 1.1 varnish

Cache-Control: no-cache

Vary: Accept-Encoding, User-Agent