markdown:
# Pi
[Pi (chữ cái)](/wiki/Pi_(ch%E1%BB%AF_c%C3%A1i)). Về các cách sử dụng khác, xem [Pi (định hướng)](/wiki/Pi_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_h%C6%B0%E1%BB%9Bng))
Số
**pi** (kí hiệu:
) là một
[hằng số](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91) [toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc) có giá trị bằng [tỷ số](/w/index.php?title=T%E1%BB%B7_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1) giữa [chu vi](/wiki/Chu_vi) của một [đường tròn](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n) với [đường kính](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_k%C3%ADnh) của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159. Nó được biểu diễn bằng [chữ cái Hy Lạp](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Hy_L%E1%BA%A1p) [π](/wiki/Pi_(ch%E1%BB%AF_c%C3%A1i)) từ giữa thế kỉ 18.
là một
[số vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89), nghĩa là nó không thể được biểu diễn chính xác dưới dạng tỉ số của hai [số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn). Nói cách khác, nó là một số [thập phân](/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_ph%C3%A2n) vô hạn không tuần hoàn. Hơn nữa,
còn là một
[số siêu việt](/wiki/S%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t) - tức là nó không phải là nghiệm của bất kì [đa thức](/wiki/%C4%90a_th%E1%BB%A9c) hệ số hữu tỉ khác không nào. Tính siêu việt của
kéo theo sự vô nghiệm của bài toán
[cầu phương](/wiki/C%E1%BA%A7u_ph%C6%B0%C6%A1ng_h%C3%ACnh_tr%C3%B2n). Các con số trong biểu diễn thập phân của
dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này.
Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng hiểu biết của con người về số
, đôi khi bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao. Trước thế kỉ 15, các nhà toán học như
[Archimedes](/wiki/Archimedes) và [Lưu Huy](/wiki/L%C6%B0u_Huy) đã sử dụng các kĩ thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của
. Bắt đầu từ thế kỉ 15, những
[thuật toán](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n) mới dựa trên [chuỗi vô hạn](/wiki/Chu%E1%BB%97i_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)) đã cách mạng hóa việc tính toán số
, và được những nhà toán học như
[Madhava của Sangamagrama](/wiki/Madhava_c%E1%BB%A7a_Sangamagrama), [Isaac Newton](/wiki/Isaac_Newton), [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler), [Carl Friedrich Gauss](/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F), và [Srinivasa Ramanujan](/wiki/Srinivasa_Ramanujan) sử dụng.
Trong
[thế kỉ 21](/wiki/Th%E1%BA%BF_k%E1%BB%B7_21), các nhà toán học và các nhà [khoa học máy tính](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_m%C3%A1y_t%C3%ADnh) đã khám phá ra những cách tiếp cận mới - kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao - để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số
tới 10 nghìn tỉ (10
13) chữ số . Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của [1] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[siêu máy tính](/wiki/Si%C3%AAu_m%C3%A1y_t%C3%ADnh)và các thuật toán tính nhân với độ chính xác cao.
Do định nghĩa của
liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong nhiều công thức
[lượng giác](/wiki/L%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c) và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của các ngành khoa học khác, như [vũ trụ học](/wiki/V%C5%A9_tr%E1%BB%A5_h%E1%BB%8Dc), [lý thuyết số](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91), [thống kê](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA), [phân dạng](/wiki/Ph%C3%A2n_d%E1%BA%A1ng), [nhiệt động lực học](/wiki/Nhi%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%99ng_l%E1%BB%B1c_h%E1%BB%8Dc), [cơ học](/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc) và [điện từ học](/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_t%E1%BB%AB_h%E1%BB%8Dc). Sự có mặt rộng khắp của số
khiến nó trở thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫn bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số
đã được xuất bản; có cả
[Ngày số pi](/wiki/Ng%C3%A0y_s%E1%BB%91_pi); và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới của
trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của
với độ chính xác ngày càng tăng, đạt tới kỉ lục trên 67.000 chữ số.
## Mục lục
[1 Đại cương](#.C4.90.E1.BA.A1i_c.C6.B0.C6.A1ng) [2 Lịch sử](#L.E1.BB.8Bch_s.E1.BB.AD) [3 Sử dụng](#S.E1.BB.AD_d.E1.BB.A5ng) [4 Ngoài địa hạt khoa học](#Ngo.C3.A0i_.C4.91.E1.BB.8Ba_h.E1.BA.A1t_khoa_h.E1.BB.8Dc) [5 Xem thêm](#Xem_th.C3.AAm) [6 Chú thích tham khảo](#Ch.C3.BA_th.C3.ADch_tham_kh.E1.BA.A3o) [7 Tài liệu tham khảo](#T.C3.A0i_li.E1.BB.87u_tham_kh.E1.BA.A3o) [8 Tài liệu đọc thêm](#T.C3.A0i_li.E1.BB.87u_.C4.91.E1.BB.8Dc_th.C3.AAm) [9 Liên kết ngoài](#Li.C3.AAn_k.E1.BA.BFt_ngo.C3.A0i)
## Đại cương[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=1)]
### Định nghĩa[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=2)]
thông thường được định nghĩa là tỉ số giữa
[chu vi](/wiki/Chu_vi) của [đường tròn](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n) *C* với đường kính của nó *d* : [2]
Tỉ số
*C*/ *d* là hằng số, bất kể kích thước của đường tròn. Ví dụ, nếu một đường tròn có đường kính gấp đôi đường kính của một đường tròn khác thì nó cũng có chu vi lớn gấp đôi, bảo toàn tỉ số *C*/ *d*. Định nghĩa này về
không phổ quát, bởi vì nó chỉ đúng trong
[hình học Euclid (phẳng)](/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_Euclid) và không đúng trong [hình học phi Euclid (cong)](/wiki/H%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc_phi_Euclid) . Vì lí do này, một số nhà toán học ưa dùng những định nghĩa khác về [2] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[vi tích phân](/wiki/Vi_t%C3%ADch_ph%C3%A2n)hoặc [lượng giác](/wiki/L%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c)vốn không phụ thuộc vào đường tròn. Một định nghĩa như thế là: ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*x*dương, nhỏ nhất mà với nó [cos](/wiki/Cosine)( *x*) bằng 0 [[2]](#cite_note-Arndt-2) . [[3]](#cite_note-3)
### Tên gọi[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=3)]
Kí hiệu được các nhà toán học sử dụng để biểu diễn tỉ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó là
[chữ cái Hy Lạp](/wiki/Pi_(ch%E1%BB%AF_c%C3%A1i))
. Chữ cái này được biểu diễn bằng từ Latin
*pi* . Không được nhầm lẫn kí tự in thường [4] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
Nhà toán học đầu tiên dùng
với định nghĩa như trên là
[William Jones](/wiki/William_Jones_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)), trong cuốn " *Synopsis Palmariorum Matheseos*" (tạm dịch, *Nhập môn Toán học mới*) năm 1706 . Cụ thể, ký tự [5] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*περιφέρεια*của từ *periphery*(nghĩa là *viền ngoài*, cũng tức là *chu vi*) . Jones viết rằng các phương trình của [[6]](#cite_note-6) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*bản viết có sẵn của John Machin thiên tài*", dẫn đến phỏng đoán rằng [Machin](/w/index.php?title=John_Machin&action=edit&redlink=1)có lẽ đã sử dụng kí tự Hy Lạp này trước Jones, tuy nhiên không có bằng chứng trực tiếp về điều này . Ngoài ra, kí tự [[7]](#cite_note-Arndt_a-7) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[William Oughtred](/wiki/William_Oughtred)đã dùng nó để biểu diễn nửa chu vi của hình tròn . [[7]](#cite_note-Arndt_a-7)
Sau khi Jones giới thiệu kí hiệu này năm 1706, nó đã không được các nhà toán học khác chấp nhận; thay vào đó họ thường dùng chữ cái
*c* hoặc *p* . Điều này thay đổi khi Euler bắt đầu dùng nó năm 1736. Vì Euler thường xuyên trao đổi thư từ với những nhà toán học khác trên toàn châu Âu, việc sử dụng kí tự Hy Lạp này lan rộng nhanh chóng [7] . Năm 1748, Euler sử dụng [[7]](#cite_note-Arndt_a-7) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*(* [Introductio in analysin infinitorum](/w/index.php?title=Introductio_in_analysin_infinitorum&action=edit&redlink=1) *Dẫn nhập Giải tích vô hạn*), trong đó ông viết: " *để cho ngắn gọn chúng ta sẽ viết số này là*".
; nghĩa là,
bằng một nửa chu vi của đường tròn bán kính bằng 1
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
Cách kí hiệu này kể từ đó được chấp nhận rộng rãi ở phương Tây [[8]](#cite_note-8) . [[7]](#cite_note-Arndt_a-7)
### Tính chất[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=4)]
là một
[số vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89), có nghĩa là nó không thể được biểu diễn dưới dạng [tỉ số của hai số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89), như 22/7 hay các phân số khác thường được dùng để xấp xỉ . Vì [9] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[chứng minh bằng phản chứng](/wiki/Ch%E1%BB%A9ng_minh_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc#Ch.E1.BB.A9ng_minh_b.E1.BA.B1ng_ph.E1.BA.A3n_ch.E1.BB.A9ng). Mức độ xấp xỉ hóa ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[độ vô tỉ](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%99_v%C3%B4_t%E1%BB%89&action=edit&redlink=1), hay hằng số Liouville-Roth) vẫn chưa được xác định chính xác; người ta ước lượng rằng độ vô tỉ của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*e*hoặc ln(2), nhưng nhỏ hơn [số Liouville](/wiki/S%E1%BB%91_Liouville). . [[10]](#cite_note-autogenerated1-10) ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/220px-Squaring_the_circle.svg.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a7/Squaring_the_circle.svg/220px-Squaring_the_circle.svg.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[số siêu việt](/wiki/S%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t), bài toán [cầu phương hình tròn](/wiki/C%E1%BA%A7u_ph%C6%B0%C6%A1ng_h%C3%ACnh_tr%C3%B2n)không thể giải được với số bước làm hữu hạn bằng những công cụ cổ điển là [thước kẻ và compa](/wiki/Th%C6%B0%E1%BB%9Bc)].
là một
[số siêu việt](/wiki/S%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t), tức là nó không phải là [nghiệm](/wiki/Nghi%E1%BB%87m_s%E1%BB%91) của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào, như . Tính chất siêu việt của [11] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*n*như ![ \scriptstyle \sqrt[3]{31}](http://upload.wikimedia.org/math/6/4/8/64878d4d6f23518ce71af9b2c2bb2bbc.png)
![ \scriptstyle \sqrt[2]{10}](http://upload.wikimedia.org/math/3/c/f/3cfc71033301de6682f372d36934f63e.png)
. Thứ hai, vì không có số siêu việt nào có thể được xác định bằng [[10]](#cite_note-autogenerated1-10) [phép dựng hình bằng thước kẻ và compa](/wiki/Ph%C3%A9p_d%E1%BB%B1ng_h%C3%ACnh_b%E1%BA%B1ng_th%C6%B0%E1%BB%9Bc_k%E1%BA%BB_v%C3%A0_compa), nên không thể giải bài toán " [cầu phương hình tròn](/wiki/C%E1%BA%A7u_ph%C6%B0%C6%A1ng_h%C3%ACnh_tr%C3%B2n)". Nói cách khác, nếu chỉ sử dụng compa và thước kẻ thì không thể xây dựng một hình vuông mà diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho trước . Cầu phương hình tròn là một trong những bài toán hình học quan trọng trong thời cổ đại [[12]](#cite_note-12) . Một số nhà toán học nghiệp dư thời hiện đại có lúc tuyên bố họ thành công dù điều này là không thể [[13]](#cite_note-13) . [[14]](#cite_note-14)
Các chữ số của
không có một quy luật rõ ràng nào và vượt qua những kiểm thử về tính
[ngẫu nhiên thống kê](/w/index.php?title=Ng%E1%BA%ABu_nhi%C3%AAn_th%E1%BB%91ng_k%C3%AA&action=edit&redlink=1), trong đó có kiểm thử tính chuẩn tắc; một số vô hạn được gọi là 'chuẩn tắc' khi mọi dãy số khả dĩ (với độ dài bất kì) có tần suất xuất hiện là như nhau . Người ta vẫn chưa thể khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết rằng [15] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Kể từ khi máy vi tính ra đời, người ta đã tính được số [[15]](#cite_note-random-15) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Yasumasa Kanada](/w/index.php?title=Yasumasa_Kanada&action=edit&redlink=1)đã thực hiện các phân tích thống kê chi tiết về các chữ số thập phân của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[ý nghĩa thống kê](/wiki/%C3%9D_ngh%C4%A9a_th%E1%BB%91ng_k%C3%AA), và không tìm thấy bằng chứng về một hình mẫu nào . Bất chấp việc các chữ số của [[16]](#cite_note-16) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[điểm Feynman](/w/index.php?title=%C4%90i%E1%BB%83m_Feynman&action=edit&redlink=1), là một dãy sáu chữ số 9 liên tiếp bắt đầu từ vị trí thứ 762 trong biểu diễn thập phân của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[17]](#cite_note-17)
### Phân số liên tục[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=5)]
Giống như tất cả các số vô tỉ khác,
không thể được biểu diễn bằng một phân số thường; nhưng mặt khác, mọi số vô tỉ, bao gồm cả
, có thể được biểu diễn bởi một chuỗi vô hạn những phân số lồng vào nhau, được gọi là
[phân số liên tục](/wiki/Ph%C3%A2n_s%E1%BB%91_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c):
Chặt cụt phân số liên tục này ở bất kì điểm nào sẽ tạo nên một phân số xấp xỉ với
; hai phân số như vậy (22/7 và 355/113) từng được sử dụng trong lịch sử để tính gần đúng hằng số này. Các số gần đúng được sinh ra theo cách này là được gọi là 'xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất'; nghĩa là, chúng gần với
hơn bất kì phân số nào khác có mẫu số bằng hoặc nhỏ hơn
. Mặc dầu phân số liên tục đơn giản cho [18] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
, các nhà toán học đã khám phá ra vài [[19]](#cite_note-ReferenceA-19) [phân số liên tục tổng quát](/w/index.php?title=Ph%C3%A2n_s%E1%BB%91_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c_t%E1%BB%95ng_qu%C3%A1t&action=edit&redlink=1)(tổng quát hóa phân số liên tục thường trong dạng chính tắc) có quy luật, chẳng hạn : [[20]](#cite_note-20)
### Giá trị gần đúng[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=6)]
Một số giá trị gần đúng của
bao gồm:
**Dạng phân số**: Các giá trị xấp xỉ bao gồm (theo thứ tự độ chính xác tăng dần) 227, 333106, 355113, 5216316604, và 10399333102 . [[18]](#cite_note-Eymard_1999_78-18) **Dạng thập phân**: 100 chữ số thập phân đầu của
là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679....
[[21]](#cite_note-21) **:11.001001000011111101101010100010001000010110100011....** [Dạng nhị phân](/wiki/H%E1%BB%87_nh%E1%BB%8B_ph%C3%A2n) **:3.243F6A8885A308D31319....** [Dạng thập lục phân](/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_l%E1%BB%A5c_ph%C3%A2n) [[22]](#cite_note-22) [Dạng lục thập phân](/w/index.php?title=H%E1%BB%87_l%E1%BB%A5c_th%E1%BA%ADp_ph%C3%A2n&action=edit&redlink=1): Xấp xỉ cơ số 60 của số pi là 3:8:29:44:1
## Lịch sử[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=7)]
### Thời Cổ đại[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=8)] [Kim tự tháp Kheops](/wiki/Kim_t%E1%BB%B1_th%C3%A1p_Kheops) ở [Giza](/wiki/Giza) (xây dựng vào khoảng thời gian 2589-2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng 1760 [cubit](/w/index.php?title=Cubit&action=edit&redlink=1) (1 cubit bằng khoảng 0.5 mét) và chiều cao khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp xỉ bằng 2
≈ 6.2832, một số nhà
[Ai Cập học](/wiki/Ai_C%E1%BA%ADp_h%E1%BB%8Dc) kết luận rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số
và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn
. Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến này và khẳng định mối quan hệ với số [23] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[24]](#cite_note-24)
Những ước lượng sớm nhất về
được tìm thấy ở Ai Cập và
[Babylon](/wiki/Babylon) có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ 1 phần trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900-1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số
bằng 25/8 = 3,1250
. Ở Ai Cập, [25] [cuộn giấy Rhind](/w/index.php?title=Cu%E1%BB%99n_gi%E1%BA%A5y_Rhind&action=edit&redlink=1), có niên đại khoảng 1650 tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850 tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn, trong đó gán cho giá trị của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
2≈ 3,1605 . [[25]](#cite_note-Arndt_d-25)
Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ
[Kinh Shulba](/w/index.php?title=Kinh_Shulba&action=edit&redlink=1) (viết bằng [tiếng Phạn](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Ph%E1%BA%A1n) với nhiều nội dung [toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)) đã cho số
bằng (9785/5568)
2 ≈ 3,088. . Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn Độ đánh giá [26] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \scriptstyle \sqrt{10}](http://upload.wikimedia.org/math/9/7/3/9736889dce9e710e1db07ca517808696.png)
. [[27]](#cite_note-27)
Hai bài thơ trong
[Kinh thánh Hebrew](/wiki/Kinh_th%C3%A1nh_Hebrew) (được viết giữa thế kỉ 8 và thế kỉ 3 tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong nghi lễ tại [Đền Solomon](/wiki/%C4%90%E1%BB%81n_Solomon) có đường kính 10 cubit và chu vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng
bằng 3 nếu hồ có hình tròn
[[28]](#cite_note-28) . Học giả người Do Thái [29] [Rabbi Nehemiah](/w/index.php?title=Rabbi_Nehemiah&action=edit&redlink=1)giải thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về hình học của ông, *, viết vào khoảng năm 150 CN và coi* [Mishnat ha-Middot](/w/index.php?title=Mishnat_ha-Middot&action=edit&redlink=1) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[30]](#cite_note-30)
### Thời kì của phép xấp xỉ đa giác[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=9)]
Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của
là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp
[Archimedes](/wiki/Archimedes) . Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho [31] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của [[32]](#cite_note-32) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[đa giác đều](/wiki/%C4%90a_gi%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%81u)có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 < ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp-La Mã [[33]](#cite_note-33) [Ptolemaeus](/wiki/Claudius_Ptolemaeus), trong bộ *của mình, đã đưa ra giá trị* [Almagest](/w/index.php?title=Almagest&action=edit&redlink=1) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Apollonius xứ Pergaeus](/w/index.php?title=Apollonius_x%E1%BB%A9_Pergaeus&action=edit&redlink=1) . Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của [[34]](#cite_note-34) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[35]](#cite_note-ArPI-35)
Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của
bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ nhất sau Công nguyên),
(100 sau Công nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỉ thứ 3, xấp xỉ 3,1556)
. Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều [36] [Tào Ngụy](/wiki/T%C3%A0o_Ng%E1%BB%A5y)tên là [Lưu Huy](/wiki/L%C6%B0u_Huy)đã phát minh ra thuật toán lặp dựa trên đa giác ( *thuật toán*) và sử dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị của
Lưu Huy
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[[37]](#cite_note-autogenerated202-37) . Cũng chính Lưu Huy sau đó đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính [[38]](#cite_note-38) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Vào khoảng năm 480, một nhà toán học Trung Quốc khác là [[37]](#cite_note-autogenerated202-37) [Tổ Xung Chi](/wiki/T%E1%BB%95_Xung_Chi)đã tính toán ra ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[39]](#cite_note-39)
Trong khi đó,
[nhà thiên văn](/wiki/Nh%C3%A0_thi%C3%AAn_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dc) người [Ấn Độ](/wiki/%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99) [Aryabhata](/w/index.php?title=Aryabhata&action=edit&redlink=1) sử dụng giá trị 3,1416 trong sách [Āryabhaṭīya](/w/index.php?title=%C4%80ryabha%E1%B9%AD%C4%ABya&action=edit&redlink=1) của ông (499 sau Công nguyên) . [40] [Fibonacci](/wiki/Fibonacci)vào khoảng năm 1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp đa giác khác với phương pháp của Archimedes . Văn hào người Ý [[41]](#cite_note-Arndt_e-41) [Dante](/wiki/Dante_Alighieri)dường như đã sử dụng giá trị của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \scriptstyle 3+\sqrt{2}/10](http://upload.wikimedia.org/math/3/3/3/333895f8b87758dc653676865927b0e2.png)
. [[41]](#cite_note-Arndt_e-41)
Nhà thiên văn Ba Tư
[Jamshīd al-Kāshī](/wiki/Jamsh%C4%ABd_al-K%C4%81sh%C4%AB) đã tìm ra 16 chữ số vào năm [1424](/wiki/1424) bằng cách sử dụng đa giác có 3×2 28 cạnh [[42]](#cite_note-42) , xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được khoảng 180 năm [43] . Nhà toán học Pháp [[44]](#cite_note-Arndt_f-44) [François Viète](/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te)vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác 3×2 17cạnh . Nhà toán học xứ [[44]](#cite_note-Arndt_f-44) [Flanders](/wiki/Flanders) [Adriaan van Roomen](/w/index.php?title=Adriaan_van_Roomen&action=edit&redlink=1)đạt tới chữ số 15 vào năm 1593 . Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan [[44]](#cite_note-Arndt_f-44) [Ludolph van Ceulen](/wiki/Ludolph_van_Ceulen)đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Khoa học gia người Hà Lan [[45]](#cite_note-45) [Willebrord Snellius](/wiki/Willebrord_Snellius)đạt tới 34 chữ số vào năm 1621 và nhà thiên văn học người Áo [[46]](#cite_note-46) [Christoph Grienberger](/w/index.php?title=Christoph_Grienberger&action=edit&redlink=1)đạt tới 39 chữ số vào năm 1630 , đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác. [[47]](#cite_note-47)
### Các chuỗi số vô hạn[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=10)]
Việc tính toán số
được cách mạng hóa bởi sự phát triển kĩ thuật
[chuỗi số vô hạn](/wiki/Chu%E1%BB%97i_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)) trong các thế kỉ 16 và 17. Một chuỗi vô hạn là một tổng các số hạng của một [dãy](/wiki/D%C3%A3y_s%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c) vô hạn . Chuỗi vô hạn cho phép các nhà toán học tính toán [48] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Mặc dù chuỗi vô hạn được sử dụng cho số [[48]](#cite_note-Ais-48) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[James Gregory](/wiki/James_Gregory_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc))và [Gottfried Leibniz](/wiki/Gottfried_Leibniz), cách tiếp cận này được khám phá lần đầu tiên ở [Ấn Độ](/wiki/%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99)vào giữa những năm 1400 và 1500 CN . Bản ghi chép đầu tiên mô tả một chuỗi vô hạn có thể tính toán số [[49]](#cite_note-49) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Nilakantha Somayaji](/w/index.php?title=Nilakantha_Somayaji&action=edit&redlink=1)trong tập *của ông, ra đời khoảng năm 1500* [Tantrasamgraha](/w/index.php?title=Tantrasamgraha&action=edit&redlink=1) . Trong tập sách, chuỗi này được chép lại mà không có chứng minh, nhưng phép chứng minh đã được trình bày trong một công trình Ấn Độ sau đó, [[50]](#cite_note-Roypp-50) [Yuktibhāṣā](/w/index.php?title=Yuktibh%C4%81%E1%B9%A3%C4%81&action=edit&redlink=1), do [Jyesthadeva](/w/index.php?title=Jyesthadeva&action=edit&redlink=1)biên soạn vào khoảng năm 1530. Nilakantha quy chuỗi này là phát hiện của một nhà toán học Ấn Độ trước đó, [Madhava của Sangamagrama](/wiki/Madhava_c%E1%BB%A7a_Sangamagrama), người sống trong khoảng những năm 1350-1425 . Một số chuỗi vô hạn được mô tả, bao gồm các chuỗi sin, tang, và cosin, ngày nay được biết dưới tên [[50]](#cite_note-Roypp-50) [chuỗi Madhava](/w/index.php?title=Chu%E1%BB%97i_Madhava&action=edit&redlink=1)hay chuỗi Gregory-Leibniz . Madhava đã sử dụng những chuỗi vô hạn để đánh giá [[50]](#cite_note-Roypp-50) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Jamshīd al-Kāshī](/wiki/Jamsh%C4%ABd_al-K%C4%81sh%C4%AB)năm 1430 . [[51]](#cite_note-51) ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/220px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/220px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg)
[Isaac Newton](/wiki/Isaac_Newton)đã sử dụng [chuỗi vô hạn](/w/index.php?title=Chu%E1%BB%97i_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1)để tính toán ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[52]](#cite_note-Newton-52)
Dãy số vô hạn đầu tiên được khám phá ở châu Âu là một
[tích vô hạn](/w/index.php?title=T%C3%ADch_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1) (thay vì một [tổng vô hạn](/w/index.php?title=T%E1%BB%95ng_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1), vốn phổ biến hơn trong phép tính số
) được tìm thấy bởi nhà toán học Pháp
[François Viète](/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te) năm 1593 : [53]
Dãy số vô hạn thứ hai ở châu Âu của
[John Wallis](/wiki/John_Wallis) (1655) cũng là một tích vô hạn nữa . Khám phá ra phép [53] [vi tích phân](/wiki/Vi_t%C3%ADch_ph%C3%A2n), bởi nhà khoa học Anh [Isaac Newton](/wiki/Isaac_Newton)và nhà toán học Đức [Leibniz](/wiki/Gottfried_Leibniz)vào thập niên 1660 đã dẫn tới sự phát triển nhiều chuỗi vô hạn để đánh giá ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[52]](#cite_note-Newton-52)
Ở châu Âu, công thức Madhava được khám phá lại bởi nhà toán học
[Scotland](/wiki/Scotland) [James Gregory](/wiki/James_Gregory_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)) năm 1671, và bởi Leibniz năm 1674 [[54]](#cite_note-54) : [55]
Công thức này, tức chuỗi Gregory-Leibniz, tương đương
khi đánh giá với
*z* = 1 . Năm 1699, nhà toán học Anh [55] [Abraham Sharp](/w/index.php?title=Abraham_Sharp&action=edit&redlink=1)sử dụng chuỗi Gregory-Leibniz để tính ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Chuỗi Gregory-Leibniz đơn giản, nhưng nó hội tụ rất chậm (có nghĩa là, tiệm cận với giá trị chính xác một cách từ từ qua từng số hạng), do đó người ta không dùng nó trong các phép tính toán số [[56]](#cite_note-56) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[57]](#cite_note-57)
Năm 1706
[John Machin](/w/index.php?title=John_Machin&action=edit&redlink=1) sử dụng chuỗi Gregory-Leibniz để tạo nên một thuật toán hội tụ nhanh hơn nhiều : [58]
Machin đã đạt tới 100 chữ số của
với công thức này
. Các nhà toán học khác tạo nên những biến thể của nó, ngày nay được biết dưới tên "các công thức kiểu Machin", được dùng để thiết lập một số kỉ lục tiếp theo cho số chữ số của [59] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Các công thức kiểu Machin duy trì là phương pháp được biết đến nhiều nhất để tính toán [[59]](#cite_note-A72n4-59) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Daniel Ferguson](/w/index.php?title=Daniel_Ferguson&action=edit&redlink=1)- đây chính là kết quả cao nhất mà con người từng đạt được mà không có sự giúp đỡ của một thiết bị tính toán nào . [[60]](#cite_note-60)
Một kỉ lục đáng chú ý được thiết lập bởi thiên tài tính toán
[Zacharias Dase](/w/index.php?title=Zacharias_Dase&action=edit&redlink=1) vào năm 1844 khi ông 20 tuổi. Ông đã sử dụng một công thức kiểu Machin để tính toán 200 chữ số của
trong đầu dưới sự chỉ đạo của nhà toán học Đức
[Carl Friedrich Gauss](/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F) . Nhà toán học Anh [61] [William Shanks](/w/index.php?title=William_Shanks&action=edit&redlink=1)nổi tiếng vì dành 15 năm để tính toán ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[61]](#cite_note-A194-61)
#### Tốc độ hội tụ[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=11)]
Một số chuỗi vô hạn cho
hội tụ nhanh hơn những chuỗi khác. Cho trước hai chuỗi vô hạn cho
, các nhà toán học thông thường sử dụng chuỗi hội tụ nhanh hơn bởi như thế đồng nghĩa với việc giảm được số lượng phép tính cho bất kì độ chính xác yêu cầu nào
. Một chuỗi vô hạn cho [62] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[[63]](#cite_note-63)
Khi các số hạng riêng lẻ của chuỗi vô hạn này được cộng thêm vào tổng, tổng số tiến gần hơn dần dần tới
, và - với một số lượng số hạng đủ - nó sẽ tiến đến
gần như mong muốn. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của
. [64]
Một chuỗi vô hạn cho
được công bố bởi Nilakantha vào thế kỉ 15 hội tụ nhanh hơn nhiều chuỗi Gregory-Leibniz
: [65]
Bảng sau so sánh tốc độ hội tụ của hai chuỗi này:
|Chuỗi vô hạn cho
|![]()
|Sau số hạng thứ nhất||Sau số hạng thứ 3||Sau số hạng thứ 3||Sau số hạng thứ 4||Sau số hạng thứ 5||Hội tụ tới:|
|
|![]()
|4,0000||2,6666...||3,4666...||2,8952...||3,3396...||
|![]()
|
|![]()
|3,0000||3,1666...||3,1333...||3,1452...||3,1396...|
Sau 5 số hạng, tổng của chuỗi Gregory-Leibniz nằm trong sai số tuyệt đối cỡ 0,2 của
, trong khi tổng của chuỗi Nilakantha sai số chỉ cỡ 0,002. Như vậy chuỗi Nilakantha hội tụ nhanh hơn và hữu dụng hơn trong việc tính toán số
. Những chuỗi thậm chí hội tụ còn nhanh hơn bao gồm các chuỗi kiểu Machin và chuỗi Chudnovsky, trong đó chuỗi Chudnovsky tạo ra 14 chữ số thập phân đúng cho mỗi số hạng thêm vào
. [62]
### Tính vô tỉ và tính siêu việt[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=12)]
Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới
đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ. Khi Euler giải
[Bài toán Basel](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_Basel&action=edit&redlink=1) vào năm 1735, tìm ra giá trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập một mối liên hệ giữa
và các
[số nguyên tố](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91) mà về sau góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu [hàm Riemann zeta](/w/index.php?title=H%C3%A0m_Riemann_zeta&action=edit&redlink=1) : [66]
Nhà khoa học Thụy Sĩ
[Johann Heinrich Lambert](/wiki/Johann_Heinrich_Lambert) vào năm 1761 chứng minh rằng
là
[số vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89), có nghĩa nó không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào . Phép chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân số liên tục của hàm [9] *tang* . Nhà toán học Pháp [[67]](#cite_note-67) [Adrien-Marie Legendre](/wiki/Adrien-Marie_Legendre)vào năm 1794 chứng tỏ rằng ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
2cũng là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức [Ferdinand von Lindemann](/wiki/Ferdinand_von_Lindemann)chứng tỏ rằng ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[số siêu việt](/wiki/S%E1%BB%91_si%C3%AAu_vi%E1%BB%87t), xác nhận một phỏng đoán được cả [Legendre](/wiki/Adrien-Marie_Legendre)và [Euler](/wiki/Leonhard_Euler)đưa ra trước đó [[68]](#cite_note-68)
### Kỉ nguyên máy tính và các thuật toán lặp[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=13)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif/220px-JohnvonNeumann-LosAlamos.gif)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/JohnvonNeumann-LosAlamos.gif/220px-JohnvonNeumann-LosAlamos.gif)
[John von Neumann](/wiki/John_von_Neumann)tham gia vào nhóm nghiên cứu đầu tiên sử dụng một máy tính số, [ENIAC](/wiki/ENIAC), để tính toán số ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
Sự phát triển của máy tính vào giữa thế kỉ 20 một lần nữa đã cách mạng hóa cuộc săn lùng những chữ số của
. Các nhà toán học Hoa Kỳ là
[John Wrench](/w/index.php?title=John_Wrench&action=edit&redlink=1) và [Levi Smith](/w/index.php?title=Levi_Smith&action=edit&redlink=1) đã đạt tới 1120 chữ số vào năm 1949 với một máy tính bàn . Sử dụng một chuỗi vô hạn [69] *arctang*, một nhóm đứng đầu bởi [George Reitwiesner](/w/index.php?title=George_Reitwiesner&action=edit&redlink=1)và [John von Neumann](/wiki/John_von_Neumann)đã đạt được 2037 chữ số với một phép tính đòi hỏi 70 giờ làm việc của máy tính [ENIAC](/wiki/ENIAC) . Kỉ lục, luôn dựa vào các chuỗi [[70]](#cite_note-70) *arctang*, liên tục bị phá vỡ sau đó (7 480 chữ số năm 1957, 10 000 chữ số năm 1958, 100 000 năm 1961) cho đến khi 1 triệu chữ số đạt được vào năm 1973 . [[71]](#cite_note-71) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Những thuật toán như vậy là đặc biệt quan trọng trong việc tính toán số [[72]](#cite_note-72) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Chúng bao gồm [[73]](#cite_note-73) [thuật toán Karatsuba](/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Karatsuba&action=edit&redlink=1), [phép nhân Toom-Cook](/w/index.php?title=Ph%C3%A9p_nh%C3%A2n_Toom-Cook&action=edit&redlink=1), và các phương pháp dựa trên biến đổi Fourier . [[74]](#cite_note-74)
Thuật toán lặp Gauss-Legendre:
Khởi tạo
Lặp
Sau đó một phép ước lượng
được tính từ
Các thuật toán lặp được công bố một cách độc lập trong năm 1975-1976 bởi nhà vật lý Hoa Kỳ
[Eugene Salamin](/w/index.php?title=Eugene_Salamin&action=edit&redlink=1) và nhà khoa học Australia [Richard Brent](/w/index.php?title=Richard_Brent_(nh%C3%A0_khoa_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1) . Các thuật toán này chấm dứt sự phụ thuộc vào các chuỗi vô hạn. Một thuật toán lặp (iterative algorithm) lặp lại một phép tính đặc trưng, mỗi lần lặp lại sử dụng đầu ra từ bước lặp trước làm đầu vào của nó, và sinh ra một kết quả trong mỗi bước hội tụ về giá trị mong muốn. Cách tiếp cận này thực ra đã được khám 160 năm trước đó bởi [75] [Carl Friedrich Gauss](/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F), trong một phương pháp mà ngày nay gọi là phương pháp AGM ( *arithmetic-geometric mean method*, phương pháp trung bình hình học-đại số) hay [thuật toán Gauss-Legendre](/w/index.php?title=Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Gauss-Legendre&action=edit&redlink=1) . Vì được sửa đổi bởi Salamin và Brent, nó cũng còn được gọi là thuật toán Brent-Salamin. [[75]](#cite_note-Arndt_j-75)
Các thuật toán lặp được sử dụng rộng rãi sau 1980 bởi nó nhanh hơn các thuật toán chuỗi vô hạn: trong khi các chuỗi vô hạn thường tăng số chữ số chính xác dần dần một cách cộng thêm, các thuật toán lặp lại thường "nhân" số chữ số chính xác ở mỗi bước. Ví dụ, thuật toán Brent-Salamin nhân đôi số chữ số trong mỗi lần lặp. Năm 1984, hai anh em người Canada
[John](/w/index.php?title=Jonathan_Borwein&action=edit&redlink=1) và [Peter Borwein](/w/index.php?title=Peter_Borwein&action=edit&redlink=1) tạo nên một thuật toán lặp nhân bốn lần số chữ số trong mỗi bước; và năm 1987, một thuật toán nhân năm lần mỗi bước . Các phương pháp lặp được sử dụng bởi nhà toán học Nhật Bản [76] [Yasumasa Kanada](/w/index.php?title=Yasumasa_Kanada&action=edit&redlink=1)để lập lên một số kỉ lục giữa 1995 và 2002 . Sự hội tụ nhanh có được kèm theo một cái giá: các thuật toán lặp đòi hỏi bộ nhớ nhiều hơn đáng kể so với các chuỗi vô hạn [[77]](#cite_note-Background-77) . [[77]](#cite_note-Background-77)
### Động lực tính toán số
[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=14)]
Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới
, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ thể thực hiện các tính toán
[vũ trụ học](/wiki/V%C5%A9_tr%E1%BB%A5_h%E1%BB%8Dc), bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử . Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán [78] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với [[79]](#cite_note-79) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[[80]](#cite_note-msnbc.msn.com-80) . Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các [[81]](#cite_note-independent.co.uk-81) [siêu máy tính](/wiki/Si%C3%AAu_m%C3%A1y_t%C3%ADnh), kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[82]](#cite_note-Arndt_c-82)
### Các chuỗi hội tụ nhanh[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=15) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=15)]
Các máy tính số
hiện đại không chỉ sử dụng duy nhất thuật toán lặp. Các chuỗi vô hạn mới được phát hiện vào những thập niên 1980 và 1990 cũng hội tụ nhanh không kém các thuật toán lặp, nhưng đơn giản hơn và tốn ít bộ nhớ hơn
. Chúng đã manh nha xuất hiện vào năm 1914, khi nhà toán học Ấn Độ [77] [Srinivasa Ramanujan](/wiki/Srinivasa_Ramanujan)công bố hàng chục công thức mới cho số ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Một trong các công thức của ông, dựa trên các phương trình module: [[83]](#cite_note-83)
Chuỗi này hội tụ nhanh hơn rất nhiều hầu hết mọi chuỗi
*arctang*, bao gồm cả công thức Machin . [84] [Bill Gosper](/w/index.php?title=Bill_Gosper&action=edit&redlink=1)là người đầu tiên sử dụng nó để tạo nên những tiến bộ trong tính toán ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Các công thức của Ramanujan báo trước các thuật toán hiện đại phát triển bởi anh em nhà Borwein và anh em nhà Chudnovsky [[85]](#cite_note-85) . [[86]](#cite_note-86) [Thuật toán Chudnovsky](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n_Chudnovsky)được phát triển vào năm 1987 là:
Nó sinh ra khoảng 14 chữ số của
mỗi số hạng
, và đã được dùng cho một vài phép tính lập kỉ lục về [87] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
Fabrice Bellard đã lập kỉ lục khi sử dụng công thức Chudnovsky để tính chữ số thứ 2,7 nghìn tỉ của số Pi [[88]](#cite_note-88) trước khi bị Shigeru Kondo vượt mặt khi tính ra chữ số thứ 5 nghìn tỉ vào năm 2010 [[89]](#cite_note-89) và sau đó là [[90]](#cite_note-90) [chữ số thứ 10 nghìn tỉ của Pi vào năm 2011](#Thu.E1.BA.ADt_to.C3.A1n_mi.E1.BB.87ng_v.C3.B2i). [[91]](#cite_note-NW-91)
Năm 2006, nhà toán học Canada
[Simon Plouffe](/w/index.php?title=Simon_Plouffe&action=edit&redlink=1) đã sử dụng "thuật toán hệ thức nguyên PSLQ" (PSLQ: Partial Sum of Least Squares - tổng riêng phần của các bình bương cực tiểu) để tạo ra một vài công thức mới cho
, tuân theo mẫu sau:
trong đó
là
[hằng số Gelfond](/w/index.php?title=H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_Gelfond&action=edit&redlink=1) e , ![ \mathit{k}](http://upload.wikimedia.org/math/6/1/c/61cb5fc1583891b5b592b604950c42bd.png)
![ \mathit{a, b, c}](http://upload.wikimedia.org/math/1/3/4/134345d1ef75b46a7fd5934d1dfb718e.png)
. [[92]](#cite_note-92)
### Thuật toán miệng vòi[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=16) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=16)]
Hai thuật toán được khám phá vào năm 1995 đã mở ra một hướng đi mới cho nghiên cứu về số
. Chúng gọi là các thuật toán "miệng vòi" (spigot algorithms) bởi vì, giống như nước nhỏ giọt khỏi một miệng vòi, chúng tạo ra từng chữ số riêng lẻ của
không được tái sử dụng sau khi đã được tính ra
[[93]](#cite_note-Arndtpp-93) . Điều này đối lập với các chuỗi vô hạn hay những thuật toán lặp, là những thuật toán lưu giữ và sử dụng tất cả những chữ số trung gian cho đến khi kết quả cuối cùng được tạo ra [94] . [[93]](#cite_note-Arndtpp-93)
Các nhà toán học Hoa Kỳ
[Stan Wagon](/w/index.php?title=Stan_Wagon&action=edit&redlink=1) và Stanley Rabinowitz đã tạo nên một thuật toán miệng vòi đơn giản vào năm 1995 [[94]](#cite_note-Gibbons-94) [[95]](#cite_note-Arndt_k-95) . Tốc độ của nó là tương đương với các thuật toán [96] *arctang*, nhưng không nhanh bằng các thuật toán lặp . [[95]](#cite_note-Arndt_k-95)
Một thuật toán miệng vòi khác, thuật toán trích xuất chữ số Bailey-Borwein-Plouffe (BBP digit extraction algorithm), được phát hiện vào năm 1995 bởi Simon Plouffe
[[97]](#cite_note-Arndtpp_a-97) : [98]
Công thức này, không giống những công thức trước đó, có thể sinh ra bất kì chữ số
[hệ thập lục phân](/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_l%E1%BB%A5c_ph%C3%A2n) của
mà không tính toán tới các chữ số đứng trước nó
. Các chữ số nhị phân hay bát phân riêng rẽ có thể trích xuất từ các chữ số hệ thập lục phân. Các biến thể của thuật toán này đã được phát hiện, nhưng cho tới nay chưa tìm thấy thuật toán trích xuất chữ số nào sinh ra nhanh chóng các chữ số thập phân [97] . Một ứng dụng quan trọng của các thuật toán trích xuất chữ số là hợp thức hóa những tuyên bố mới về kỉ lục tính toán số [[99]](#cite_note-99) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[91]](#cite_note-NW-91)
Giữa năm
[1998](/wiki/1998) và [2000](/wiki/2000), dự án tính toán phân bố [PiHex](/w/index.php?title=PiHex&action=edit&redlink=1) sử dụng [công thức Bellard](/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_Bellard) (một bản chỉnh sửa của thuật toán BBP) để tính toán bit thứ một triệu tỉ(10 15) của
, đã cho ra kết quả là 0
. Tháng Chín năm [100] [2010](/wiki/2010), một nhân viên của [Yahoo!](/wiki/Yahoo!)đã sử dụng ứng dụng Hadoop của công ty trên một ngàn máy tính trong một thời gian 23 ngày để tính toán 256 bit của pi ở vị trí bit 2 triệu tỉ (2×10 15) . [[101]](#cite_note-101)
Không thể nào tính được phần khiếm khuyết còn lại của số Pi khi cố gắng nhìn xa hơn, phần còn lại siêu nhỏ đấy tiến rất gần số 0 mặc dù không bao giờ bằng 0 được. Nếu giá trị bằng 0 đồng nghĩa với việc nói rằng một số thực a/∞ = 0 (a ∈ N), như thể phủ nhận sự tồn tại của một hạt bụi trong vũ trụ và hạt bụi đó có thể là nơi mà bạn đang sống. [[(a/∞ > 0 (a ∈ N)]]. Tuy nhiên xét về mặt tương đối, tạo ra một cái gì đó với mức độ
[tương đối](/w/index.php?title=T%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%E1%BB%91i&action=edit&redlink=1) chính xác trong khoa học, kĩ thuật hay nghiên cứu nào đó dù là định hướng duy vật hay duy tâm thì nó được chấp nhận như hoàn thiện và từ đó có thể được tiếp tục phát triển.
Đi về phía cân bằng 08:23, ngày 24 tháng 5 năm 2013 (UTC)
## Sử dụng[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=17) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=17)]
Do
liên hệ chặt chẽ với đường tròn, nó xuất hiện trong nhiều công thức thuộc các lĩnh vực hình học và lượng giác, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, hình cầu, hoặc elip. Một số ngành khoa học khác cũng có các công thức liên quan tới
, như
[thống kê](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA), [phân dạng](/wiki/Ph%C3%A2n_d%E1%BA%A1ng), [cơ học](/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc), [vũ trụ học](/wiki/V%C5%A9_tr%E1%BB%A5_h%E1%BB%8Dc), [lý thuyết số](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91), và [điện từ học](/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_t%E1%BB%AB_h%E1%BB%8Dc).
### Hình học và lượng giác[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=18) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=18)]
xuất hiện trong những công thức về chu vi, diện tích và thể tích các hình hình học liên quan tới đường tròn, như các hình elip,
[hình cầu](/wiki/Qu%E1%BA%A3_c%E1%BA%A7u), [hình nón](/wiki/M%E1%BA%B7t_n%C3%B3n#H.C3.ACnh_n.C3.B3n), [hình xuyến](/w/index.php?title=H%C3%ACnh_xuy%E1%BA%BFn&action=edit&redlink=1). Một vài công thức phổ biến hơn cả trong số đó là : [102]
- Chu vi của một đường tròn với bán kính
*r*là
- Diện tích của một hình tròn với bán kính
*r*là
- Thể tích của một hình cầu với bán kính
*r*là
- Diện tích mặt cầu với bán kính
*r*là
xuất hiện trong các
[tích phân](/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n) xác định mô tả chu vi, diện tích, hoặc thể tích các hình tạo ra từ đường tròn. Chẳng hạn, một tích phân xác định nửa diện tích của một đường tròn với bán kính bằng 1 được cho bởi : [103]
Trong công thức này, hàm
biểu diễn nửa trên của đường tròn (căn thức là hệ quả của
[định lý Pythagoras](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Pytago)), và tích phân
tính diện tích giữa nửa đường tròn và trục
*x*.
Trong lượng giác, các
[hàm lượng giác](/wiki/H%C3%A0m_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c) liên hệ với các góc, và các nhà toán học thường sử dụng [radian](/wiki/Radian) như một đơn vị đo. Mặt khác,
đóng một vai trò quan trọng trong các góc đo bằng radian, do radian được định nghĩa sao cho một đường tròn chiếm một góc bằng 2
radian
, hoặc nói cách khác, góc 180° bằng với [104] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[104]](#cite_note-WR-104)
Các hàm lượng giác phổ biến thường có chu kì là bội của
; chẳng hạn,
*sin* và *cosin* có chu kỳ 2 , do đó với bất kì góc [105] *θ*và bất kì số nguyên *k*nào, ![ \scriptstyle \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)](http://upload.wikimedia.org/math/3/a/1/3a176e7222dadea604130521c6cab930.png)
![ \scriptstyle \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).](http://upload.wikimedia.org/math/e/d/0/ed0c5daa24c7ba73eb68916dbcb3c502.png)
[[105]](#cite_note-WCS-105)
### Phương pháp Monte Carlo[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=19) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=19)] [Kim Buffon](/w/index.php?title=Kim_Buffon&action=edit&redlink=1). Các cây kim *a*và *b*được thả ngẫu nhiên. [Phương pháp Monte Carlo](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Monte_Carlo), dựa trên phép thử ngẫu nhiên, có thể dùng để ước lượng số ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
Họ
[phương pháp Monte Carlo](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Monte_Carlo), vốn dùng để tính toán kết quả của những phép thử ngẫu nhiên nhiều lần, có thể dùng để tạo nên các phép xấp xỉ số . [106] [Kim Buffon](/w/index.php?title=Kim_Buffon&action=edit&redlink=1)là một kĩ thuật như vậy: nếu một cây kim có chiều dài *ℓ*được thả *n*lần lên một bề mặt trên đó vẽ các đường thẳng song song cách nhau *t*đơn vị, và nếu *x*lần trong số đó nó dừng lại cắt qua một vạch ( *x*> 0), thì người ta có thể tính gần đúng ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
: [[107]](#cite_note-bn-107)
Một phương pháp Monte Carlo khác để tính
là vẽ một đường tròn nội tiếp một hình vuông, và đặt ngẫu nhiên các chấm lên hình vuông. Tỉ lệ các chấm nằm trong hình tròn trên tổng số chấm xấp xỉ bằng
[[108]](#cite_note-108)
Phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng
rất chậm so với những phương pháp khác. Năm 1901 nhà toán học Italia
[Mario Lazzarini](/w/index.php?title=Mario_Lazzarini&action=edit&redlink=1) đã tung một cây kim 3048 lần để thu được kết quả ước lượng
bằng 355/113
, một thí nghiệm nhằm minh họa cho phương pháp hơn là nỗ lực lập kỉ lục về số [109] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[110]](#cite_note-110)
### Số phức và giải tích[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=20) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=20)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/220px-Euler%27s_formula.svg.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Euler%27s_formula.svg/220px-Euler%27s_formula.svg.png)
*e*với [các điểm](/wiki/%C4%90i%E1%BB%83m_(h%C3%ACnh_h%E1%BB%8Dc))trên [đường tròn đơn vị](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n_%C4%91%C6%A1n_v%E1%BB%8B)có tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng phức được cho bởi [Công thức Euler](/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_Euler).
Bất kỳ
[số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c) *z* nào đều có thể biểu diễn bằng một cặp số thực. Trong [hệ tọa độ cực](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_c%E1%BB%B1c), một số (bán kính *r*) được dùng để biểu diễn khoảng cách từ z tới gốc tọa độ của [mặt phẳng phức](/wiki/M%E1%BA%B7t_ph%E1%BA%B3ng_ph%E1%BB%A9c) và một số khác (góc *φ*) để biểu diễn một phép quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia dương của trục thực tới z : [111]
Ở đây
*i* 2 = −1. Sự xuất hiện thường xuyên của
trong
[giải tích phức](/wiki/Gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_ph%E1%BB%A9c) liên quan tới biểu diễn [hàm mũ](/wiki/H%C3%A0m_m%C5%A9) của một biến phức, được mô tả bằng [công thức Euler](/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_Euler) : [112]
Ở đây
[hằng số e](/wiki/S%E1%BB%91_e) là cơ số của [lôgarit tự nhiên](/wiki/L%C3%B4garit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn). Công thức này lập lên một mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của *e*và các điểm trên [đường tròn đơn vị](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_tr%C3%B2n_%C4%91%C6%A1n_v%E1%BB%8B)có tâm ở gốc của mặt phẳng phức. Đặt *φ*= ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Đồng nhất thức Euler](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%93ng_nh%E1%BA%A5t_th%E1%BB%A9c_Euler&action=edit&redlink=1), một công thức được các nhà toán học ca ngợi do chứa đựng năm hằng số toán học quan trọng nhất [[112]](#cite_note-EF-112) : [[113]](#cite_note-113)
Có
*n* số phức *z* khác nhau thỏa mãn
, và chúng được gọi là "nghiệm bậc n của đơn vị"
. Chúng được cho bởi công thức: [114] [Công thức tích phân Cauchy](/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_t%C3%ADch_ph%C3%A2n_Cauchy&action=edit&redlink=1) chi phối các [hàm giải tích phức](/w/index.php?title=H%C3%A0m_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch_ph%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1) và thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa các phép tích phân và vi phân, bao gồm một điều đáng chú ý là giá trị của một hàm phức trong một miền đóng hoàn toán được xác định bởi những giá trị trong miền [[115]](#cite_note-115) : [116] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg/220px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg/220px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[tập Mandelbrot](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_Mandelbrot), bằng cách tính số vòng lặp cần thiết trước khi điểm (−0.75, ε) phân kỳ.
Sự hiện diện của
trong
[fractal](/wiki/Ph%C3%A2n_d%E1%BA%A1ng) (phân dạng) [tập Mandelbrot](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_Mandelbrot) được một người Mỹ tên là David Boll khám phá vào năm 1991 . Ông đã kiểm tra biểu hiện của tập Mandelbrot ở gần vùng "cổ" ở (-0.75, 0). Xem xét những điểm có tọa độ (-0.75, ε), khi ε tiến tới 0, số lần tự lặp lại hình dạng của tập cho đến khi phân kì đối với điểm đó nhân với ε hội tụ về [117] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[[117]](#cite_note-KA-117) . [[118]](#cite_note-118) [Hàm gamma](/w/index.php?title=H%C3%A0m_gamma&action=edit&redlink=1) mở rộng khái niệm về [giai thừa](/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa) - vốn thông thường chỉ được định nghĩa cho các số nguyên - sang mọi số thực. Nếu hàm gamma được tính ở các số bán nguyên, thì kết quả sẽ chứa
, chẳng hạn
và
. Hàm gamma có thể được sử dụng để tạo ra một phép tính gần đúng [119] ![ \scriptstyle n!](http://upload.wikimedia.org/math/f/2/6/f26466fe30b03a8b4b49ca0ed28e64fb.png)
![ \scriptstyle n](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/8/9488ed01565ef3fb618b3ccd71349138.png)
![ \scriptstyle n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n](http://upload.wikimedia.org/math/b/a/6/ba6a94f3943b7310a32fc1be0a6f52d1.png)
[xấp xỉ Stirling](/w/index.php?title=X%E1%BA%A5p_x%E1%BB%89_Stirling&action=edit&redlink=1) . [[120]](#cite_note-120)
### Lý thuyết số và hàm zeta Riemann[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=21) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=21)] [Hàm zeta Riemann](/w/index.php?title=H%C3%A0m_zeta_Riemann&action=edit&redlink=1) *ζ*( *s*) được dùng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Khi tính cho
, nó có thể viết lại thành
Tìm một nghiệm đơn cho chuỗi vô hạn này là một bài toán nổi tiếng trong toán học gọi là
[bài toán Basel](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_Basel&action=edit&redlink=1). [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler) giải nó vào năm 1735 khi ông chỉ ra nó bằng . Kết quả của Euler dẫn đến một kết luận quan trọng trong [66] [lý thuyết số](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91)là xác suất để hai số ngẫu nhiên [nguyên tố cùng nhau](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91_c%C3%B9ng_nhau)(nghĩa là không có ước chung nào ngoài 1) bằng ![ \scriptstyle 6/ \pi^2](http://upload.wikimedia.org/math/8/6/3/863cf80a6fdf5e10920ea5fda0ba39d2.png)
[[121]](#cite_note-121) . Xác suất này dựa trên một nhận xét rằng bất kì số nào chia hết cho một số nguyên tố [[122]](#cite_note-122) ![ \scriptstyle p](http://upload.wikimedia.org/math/9/9/6/99618fd6beeb7e798d84651656d8599c.png)
![ \scriptstyle 1/p](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/c/94cb24044dbc77ad66d11d0dc2480565.png)
![ \scriptstyle 1/p^2](http://upload.wikimedia.org/math/d/4/c/d4c89d0425b952a2ed5e6c2fedbc765b.png)
![ \scriptstyle 1-1/p^2](http://upload.wikimedia.org/math/6/9/0/6907dff6ece24423cb56d30f6bc59d4b.png)
: [[123]](#cite_note-123)
Xác suất này có thể dùng cùng với một phương pháp sinh số ngẫu nhiên để tính gần đúng
sử dụng cách tiếp cận Monte Carlo
. [124]
### Vật lý[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=22) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=22)]
Mặc dù không phải là một
[hằng số vật lí](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD),
xuất hiện thường xuyên trong các phương trình mô tả các nguyên lý cơ bản của vũ trụ, thường do mối liên hệ giữa
với đường tròn và với
[hệ tọa độ cầu](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_c%E1%BA%A7u). Một công thức đơn giản trong lĩnh vực [cơ học cổ điển](/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_c%E1%BB%95_%C4%91i%E1%BB%83n) cho ta [chu kỳ dao động](/wiki/Chu_k%E1%BB%B3#Trong_chuy.E1.BB.83n_.C4.91.E1.BB.99ng_s.C3.B3ng) gần đúng *T* của một [con lắc](/wiki/Con_l%E1%BA%AFc) đơn với chiều dài *L*, dao động với biên độ nhỏ ( *g* là [gia tốc trọng trường](/w/index.php?title=Gia_t%E1%BB%91c_tr%E1%BB%8Dng_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng&action=edit&redlink=1) trên [bề mặt Trái Đất](/wiki/Tr%C3%A1i_%C4%90%E1%BA%A5t)) : [125]
Một trong những công thức tối quan trọng của
[cơ học lượng tử](/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD) là [nguyên lý bất định Heisenberg](/wiki/Nguy%C3%AAn_l%C3%BD_b%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BB%8Bnh) chỉ ra rằng độ bất định trong phép đo vị trí của một hạt (Δ *x*) và [động lượng](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng) (Δ *p*) không thể đồng thời nhỏ tùy ý ở cùng một thời điểm (ở đây *h* là [hằng số Planck](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_Planck)) : [126]
Trong ngành
[vũ trụ học](/wiki/V%C5%A9_tr%E1%BB%A5_h%E1%BB%8Dc),
xuất hiện trong một công thức nền tảng, đó là
[phương trình trường Einstein](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_Einstein) tạo nên cơ sở của [thuyết tương đối tổng quát](/wiki/Thuy%E1%BA%BFt_t%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%E1%BB%91i_r%E1%BB%99ng) và mô tả [tương tác cơ bản](/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_t%C3%A1c_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n) của [lực hấp dẫn](/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_t%C3%A1c_h%E1%BA%A5p_d%E1%BA%ABn) như một kết quả của [không-thời gian](/wiki/Kh%C3%B4ng-th%E1%BB%9Di_gian) bị [uốn cong](/wiki/%C4%90%E1%BB%99_cong) bởi [vật chất](/wiki/V%E1%BA%ADt_ch%E1%BA%A5t) và [năng lượng](/wiki/N%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng) : [127]
- Trong đó
là tenxơ độ cong Ricci,
là
[độ cong vô hướng](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%99_cong_v%C3%B4_h%C6%B0%E1%BB%9Bng&action=edit&redlink=1),
là tenxơ metric,
là
[hằng số vũ trụ học](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_v%C5%A9_tr%E1%BB%A5_h%E1%BB%8Dc),
là
[hằng số hấp dẫn](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_h%E1%BA%A5p_d%E1%BA%ABn),
là
[vận tốc ánh sáng](/wiki/T%E1%BB%91c_%C4%91%E1%BB%99_%C3%A1nh_s%C3%A1ng)trong [chân không](/wiki/Ch%C3%A2n_kh%C3%B4ng), và
là
[tenxơ ứng suất-năng lượng](/wiki/Tenx%C6%A1_%E1%BB%A9ng_su%E1%BA%A5t-n%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng).
- Trong đó
Trong lĩnh vực
[điện từ học](/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_t%E1%BB%AB_h%E1%BB%8Dc), [định luật Coulomb](/wiki/L%E1%BB%B1c_t%C4%A9nh_%C4%91i%E1%BB%87n) mô tả [điện trường](/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng) giữa hai [điện tích](/wiki/%C4%90i%E1%BB%87n_t%C3%ADch) ( *q* 1 và *q* 2) cách nhau một khoảng *r* (với ε 0 biểu diễn cho [hằng số điện môi](/wiki/H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_%C4%91i%E1%BB%87n_m%C3%B4i) trong chân không) : [128]
Việc
xấp xỉ bằng 3 góp phần vào thời gian sống tương đối lâu của
[ortho-positronium](/w/index.php?title=Positronium&action=edit&redlink=1) (hệ lượng tử có một [electron](/wiki/Electron) và một [positron](/wiki/Positron) nằm trên cùng một quỹ đạo quay xung quanh một khối tâm). Nghịch đảo thời gian sống
đối với bậc thấp nhất trong
[hằng số cấu trúc tế vi](/w/index.php?title=H%E1%BA%B1ng_s%E1%BB%91_c%E1%BA%A5u_tr%C3%BAc_t%E1%BA%BF_vi&action=edit&redlink=1)
được cho bởi công thức
: [129]
- trong đó m là khối lượng electron.
### Xác suất thống kê[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=23) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=23)]
Các lĩnh vực
[xác suất](/wiki/X%C3%A1c_su%E1%BA%A5t) và [thống kê](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA) sử dụng thường xuyên [phân bố chuẩn](/wiki/Ph%C3%A2n_ph%E1%BB%91i_chu%E1%BA%A9n) như một mô hình đơn giản cho các hiện tượng phức tạp; chẳng hạn các nhà khoa học thông thường giả định rằng các sai số quan sát trong hầu hết các thí nghiệm tuân theo một phân bố chuẩn . [130] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[hàm Gauss](/wiki/H%C3%A0m_Gauss)(là hàm [mật độ xác suất](/w/index.php?title=M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_x%C3%A1c_su%E1%BA%A5t&action=edit&redlink=1)của phân bố chuẩn với giá trị trung bình μ và độ lệch chuẩn σ : [[131]](#cite_note-GaussProb-131)
Diện tích dưới đồ thị của đường cong phân bố chuẩn được cho bởi
[tích phân Gauss](/w/index.php?title=T%C3%ADch_ph%C3%A2n_Gauss&action=edit&redlink=1) : [131]
,
trong khi tích phân tương tự đối với
[phân bố Cauchy](/w/index.php?title=Ph%C3%A2n_b%E1%BB%91_Cauchy&action=edit&redlink=1) là
.
### Kỹ thuật và địa chất[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=24) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=24)]
hiện diện trong một số công thức trong kĩ thuật cấu trúc, như công thức tính độ
[cong vênh](/w/index.php?title=Cong_v%C3%AAnh&action=edit&redlink=1) do Euler tìm ra, cho ta biết tải trọng theo trục tối đa *F* mà một cột dài, mảnh có độ dài *L*, [suất đàn hồi](/w/index.php?title=Su%E1%BA%A5t_%C4%91%C3%A0n_h%E1%BB%93i&action=edit&redlink=1) *E*, và momen quán tính diện tích *I* có thể mang được mà không bị cong vênh : [132]
Lĩnh vực
[thủy động lực học](/wiki/Th%E1%BB%A7y_%C4%91%E1%BB%99ng_l%E1%BB%B1c_h%E1%BB%8Dc) cũng chứa
trong
[định luật Stokes](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_lu%E1%BA%ADt_Stokes&action=edit&redlink=1), cho phép tính gần đúng lực ma sát F tác dụng lên một vật thể nhỏ dạng cầu bán kính *R* chuyển động với vận tốc *v* trong một [chất lỏng](/wiki/Ch%E1%BA%A5t_l%E1%BB%8Fng) với [độ nhớt động](/wiki/%C4%90%E1%BB%99_nh%E1%BB%9Bt) *η* : [133]
Biến đổi Fourier là một phép toán biểu diễn thời gian như một hàm của
[tần số](/wiki/T%E1%BA%A7n_s%E1%BB%91), được biết như [phổ tần số](/w/index.php?title=Ph%E1%BB%95_t%E1%BA%A7n_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1) của nó. Nó có nhiều ứng dụng trong [vật lý](/wiki/V%E1%BA%ADt_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc) và [kỹ thuật](/wiki/C%C3%B4ng_ngh%E1%BB%87), đặc biệt trong [xử lý tín hiệu](/w/index.php?title=X%E1%BB%AD_l%C3%BD_t%C3%ADn_hi%E1%BB%87u&action=edit&redlink=1) : [134]
Dưới các điều kiện lý tưởng (dốc thoải đều trên một nền xói mòn một cách đồng đều), độ uốn khúc của một con sông tiến gần tới
. Độ uốn khúc (sinousity) là tỉ số giữa độ dài thực và khoảng cách theo đường kẻ giữa thượng nguồn và cửa sông. Các dòng chảy nhanh hơn dọc các cạnh bên ngoài của chỗ uốn dòng sông gây ra nhiều xói lở hơn dọc các cạnh trong, do đó đẩy các chỗ uốn ra xa hơn, và gia tăng sự uốn vòng lặp lại tổng thể của dòng sông. Tuy nhiên, sự uốn vòng quá mức dẫn tới ở một số chỗ, dòng cuộn thành một đường vòng quanh, tạo ra những hồ có hình chữ U (box-ow lake), làm giảm độ uốn khúc tổng thể. Sự cân bằng giữa hai nhân tố đối lập này khiến cho dẫn tới độ uốn khúc của dòng sông trung bình gần bằng
[[135]](#cite_note-135) . [136]
## Ngoài địa hạt khoa học[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=25) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=25)]
### Ghi nhớ các chữ số[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=26) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=26)]
Nhiều người đã cố gắng nhớ càng nhiều càng tốt các chữ số của
, một sự luyện tập được gọi là
*piphilology* (kết hợp từ *pi* và *philology* tức [ngữ văn học](/wiki/V%C4%83n_hi%E1%BA%BFn_h%E1%BB%8Dc)) . Một kĩ thuật phổ biến là ghi nhớ một câu chuyện hay một bài thơ, trong đó độ dài các từ ứng với số các chữ số: từ thứ nhất có 3 chữ cái, từ thứ hai có 1, từ thứ ba có 4, thứ tư có 1, thứ năm có 4, và tiếp tục như vậy. Một trong những ví dụ sớm nhất về biện pháp hỗ trợ ghi nhớ này được đề xuất bởi nhà khoa học Anh [137] [James Hopwood Jeans](/w/index.php?title=James_Hopwood_Jeans&action=edit&redlink=1): "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics" . Một bài thơ (tiếng Anh: [[137]](#cite_note-A445-137) *poem*) dùng cho việc ghi nhớ này đôi khi được gọi là một *piem*. Ngoài tiếng Anh, các bài thơ để ghi nhớ ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
; như trong tiếng Việt, soạn giả Vô Biên trên diễn đàn khoahocnet từng giới thiệu bài "Pi trường Tân thanh" ( [[137]](#cite_note-A445-137) [lẩy Kiều](/wiki/Truy%E1%BB%87n_Ki%E1%BB%81u#L.E1.BA.A9y_Ki.E1.BB.81u)để ghi nhớ 50 chữ số đầu tiên, với quy luật có sửa đổi một chút do đặc thù tiếng Việt . [[138]](#cite_note-138)
Kỉ lục về ghi nhớ các chữ số của
, được xác nhận bởi
[Sách kỉ lục Guiness](/wiki/S%C3%A1ch_K%E1%BB%B7_l%E1%BB%A5c_Guinness), là 67 890 chữ số, được [Lữ Siêu](//en.wikipedia.org/wiki/Lu_Chao), một người Trung Quốc đọc thuộc lòng trong 24 giờ và 4 phút vào ngày 20 tháng 11 năm 2005 [[139]](#cite_note-139) . Năm 2006, một kĩ sư Nhật về hưu tên là [140] [Haraguchi Akira](/w/index.php?title=Haraguchi_Akira&action=edit&redlink=1)tuyên bố là đã đọc thuộc lòng 100 000 chữ số, nhưng tuyên bố này không được sách Kỷ lục Guiness kiểm chứng . Những người lập nên kỉ lục về ghi nhớ các chữ số của [[141]](#cite_note-japantimes-141) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[phương pháp loci](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_loci&action=edit&redlink=1)(ghi nhớ bằng cách liên hệ số với vị trí) . [[142]](#cite_note-142)
Một vài tác giả sử dụng các chữ số của
để thiết lập nên một dạng hạn từ mới, trong đó độ dài từ yêu cầu phải biểu diễn các chữ số của
, trong tiếng Anh gọi là
*pilish*. Truyện thơ ngắn * chứa 3835 chữ số đầu tiên của Cadaeic Cadenza* ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
, và toàn bộ cuốn sách [[143]](#cite_note-143) *Not a Wake*chứa 10 000 từ, mỗi từ biểu diễn một chữ số của ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[144]](#cite_note-KeithNAW-144)
### Trong văn hóa đại chúng[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=27) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=27)]
Có lẽ do
có định nghĩa đơn giản mà lại hiện diện ở khắp các lĩnh vực, nó được thể hiện trong văn hóa đại chúng nhiều hơn bất kì khái niệm toán học nào khác. Tại bảo tàng
[Palais de la Découverte](/wiki/Palais_de_la_d%C3%A9couverte) ở Paris có một căn phòng hình tròn được gọi là "phòng pi" trên tường thể hiện 707 chữ cái của
, dưới dạng những kí tự làm bằng gỗ gắn vào trần vòm. Các chữ số này dựa trên tính toán năm 1853 của
[William Shanks](/w/index.php?title=William_Shanks&action=edit&redlink=1) có chứa một lỗi sai bắt đầu từ chữ số thứ 528. Lỗi này được phát hiện năm 1946 và được sửa lại vào năm 1949 [[145]](#cite_note-145) *e to the u, du / dx* *e to the x, dx* *Cosine, secant, tangent, sine* *3.14159* *Integral, radical, mu dv* *Slipstick, slide rule, MIT!* *GOOOOOO TECH!*
Nhiều trường học ở nước Mỹ cử hành kỉ niệm
[Ngày số pi](/wiki/Ng%C3%A0y_s%E1%BB%91_pi) vào 14 tháng 3 (trong ngôn ngữ Anh-Mỹ, ngày này viết là 3/14) . Ngày 9 tháng 3 năm 2009, Hạ viện Hoa Kỳ đã chính thức chọn ngày [147] [14 tháng 3](/wiki/14_th%C3%A1ng_3)hàng năm là ngày số Pi nhằm khuyến khích học sinh, giáo viên nghiên cứu toán học. [[148]](#cite_note-148) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
[Học viện Công nghệ Massachusetts](/wiki/H%E1%BB%8Dc_vi%E1%BB%87n_C%C3%B4ng_ngh%E1%BB%87_Massachusetts)(MIT) cũng xuất hiện số "3,14159" . Trong vụ bán đấu giá các tài liệu về bằng phát minh công nghệ có giá trị của tập đoàn [[146]](#cite_note-MIT-146) [Nortel](/wiki/Nortel)năm 2010, ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. [[149]](#cite_note-FP_2011-149)
Những người ủng hộ một hằng số toán học mới là
*tau* (τ), bằng 2 lần
, lập luận rằng một hằng số dựa trên tỉ số giữa chu vi đường tròn với bán kính của nó thay vì với đường kính sẽ có tính tự nhiên hơn và sẽ đơn giản hóa nhiều công thức
[[150]](#cite_note-150) . Trong khi những đề xuất của họ, như việc tổ chức kỉ niệm ngày 28 tháng 6 như "Ngày Tau" được tường thuật trên truyền thông, họ không được các sách vở khoa học phản ánh [151] [[152]](#cite_note-152) . [[153]](#cite_note-153)
Trong tiểu thuyết "Contact",
[Carl Sagan](/wiki/Carl_Sagan) đề xuất rằng Đấng Sáng tạo ra vũ trụ đã chôn giấu một thông điệp ẩn sâu trong các chữ số của . Các chữ số của [154] ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
*của* [Aerial](/w/index.php?title=Aerial_(album)&action=edit&redlink=1) [Kate Bush](/w/index.php?title=Kate_Bush&action=edit&redlink=1) . Pi cũng được dùng để đặt tên cho một bài hát trong album " [[155]](#cite_note-155) *Horses and Grasses*" phát hành năm 2005 của ban nhạc Mỹ *Hard 'n Phirm*. [[156]](#cite_note-156) [[157]](#cite_note-157)
Năm 1897, nhà toán học nghiệp dư
*Edwin J. Goodwin* đã nỗ lực thuyết phục [cơ quan lập pháp](/wiki/H%E1%BA%A1_vi%E1%BB%87n_Hoa_K%E1%BB%B3) bang [Indiana](/wiki/Indiana) (Hoa Kỳ) thông qua [Dự luật Indiana Pi](/w/index.php?title=D%E1%BB%B1_lu%E1%BA%ADt_Indiana_Pi&action=edit&redlink=1), trong đó mô tả một phương pháp [cầu phương hình tròn](/wiki/C%E1%BA%A7u_ph%C6%B0%C6%A1ng_h%C3%ACnh_tr%C3%B2n), và chứa những nội dung giả thiết những giá trị sai của
như 3,2.
Dự luật này nổi danh như một nỗ lực thiết lập một chân lý khoa học bằng sắc lệnh lập pháp. Dự thảo đã được Hạ nghị viện Indiana thông qua, nhưng bị Thượng nghị viện bác bỏ [158] . [[159]](#cite_note-159)
Trong tập
* thuộc sêri Midnight* *, vị Tiến sĩ chạm chán với với Thực thể Nửa đêm (Midnight Entity), kẻ nhập xác một số nhân vật. Nhân vật Sky Silvestry khi bị nhập xác đã bắt chước kiểu nói của Tiến sĩ bằng cách lặp lại khớp nhau số* [Doctor Who](/wiki/Doctor_Who) ![ \pi](http://upload.wikimedia.org/math/5/2/2/522359592d78569a9eac16498aa7a087.png)
. Điều này đòi hỏi các diễn viên [[160]](#cite_note-160) [David Tennant](/w/index.php?title=David_Tennant&action=edit&redlink=1)và [Leslie Sharp](/w/index.php?title=Leslie_Sharp&action=edit&redlink=1)học chuỗi số để có thể nhắc lại nó. [Tiểu thuyết của Yann Martel](/wiki/Cu%E1%BB%99c_%C4%91%E1%BB%9Di_c%E1%BB%A7a_Pi) xuất bản năm 2001, được dựng thành [161] [phim năm 2012](/wiki/Cu%E1%BB%99c_%C4%91%E1%BB%9Di_c%E1%BB%A7a_Pi_(phim)) ( [[162]](#cite_note-162) [Lý An](/wiki/L%C3%BD_An)đạo diễn) nói về nhân vật chính tên Pi có thể nhớ được rất nhiều chữ số thập phân của Pi.
Trong
[Thuyền trưởng Đơn Vị](/wiki/Thuy%E1%BB%81n_tr%C6%B0%E1%BB%9Fng_%C4%90%C6%A1n_V%E1%BB%8B), một tác phẩm của nhà văn [Liên Xô](/wiki/Li%C3%AAn_X%C3%B4) [Vladimir Lyovshin](/wiki/Vladimir_Arturovich_Lyovshin), Pi là một nhân vật cùng đi với Số Không, thuyền trưởng Đơn Vị và Hoa Tiêu trong cuộc hải trình.
## Xem thêm[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=28) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=28)]
## Chú thích tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=29) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=29)] [^](#cite_ref-1) [Notable Large Computations: Pi](http://numberworld.org/digits/Pi/)Alexander J. Yee, cập nhật 25/4/2012: kỷ lục 10,000,000,000,050 chữ số thập phân được ghi cho Shigeru Kondo & Alexander Yee. Để chạy kết quả này, các ông đã phải sử dụng máy tính 2 x [Intel](/wiki/Intel) [Xeon X5680](//en.wikipedia.org/wiki/List_of_Intel_Xeon_microprocessors#.22Westmere-EP.22_.2832_nm.29_Efficient_Performance)@ 3.33 [G](/wiki/Giga) [Hz](/wiki/Hertz)- (12 nhân vật lý, 24 siêu phân luồng), 96 [GB](/wiki/Gigabyte) [DDR3](/wiki/RAM#C.C3.A1c_lo.E1.BA.A1i_DRAM)với 1066 [M](/wiki/M%C3%AAga) [Hz](/wiki/Hertz), [ổ đĩa cứng](/wiki/%E1%BB%94_%C4%91%C4%A9a_c%E1%BB%A9ng)24 x 2 [TB](/wiki/Terabyte)và tính toán trong 371 ngày, từ 10/10/2010 đến 16/10/2011. Xem ảnh cấu hình máy tính [tại đây](http://numberworld.org/misc_runs/pi-10t/main_top.jpg)
- ^
**a** **ă** **â** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 8 **Rudin, Walter (1976).** [^](#cite_ref-3) *Principles of Mathematical Analysis*. McGraw-Hill. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-07-054235-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-07-054235-X)., p 183. **Holton, David; Mackridge, Peter (2004).** [^](#cite_ref-4) *Greek: an Essential Grammar of the Modern Language*. Routledge. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-415-23210-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-415-23210-4)., p. xi. [^](#cite_ref-5) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 165. Một bản sao tác phẩm của Jones có thể tìm thấy trong [Berggren, Borwein & Borwein 1997](#CITEREFBerggrenBorweinBorwein1997), tr. 108–109 **Xem** [^](#cite_ref-6) [Schepler 1950](#CITEREFSchepler1950), tr. 220: trước đó ở thế kỉ 17, [William Oughtred](/wiki/William_Oughtred)đã sử dụng kí tự
để biểu diễn chu vi của một đường tròn.
- ^
**a** **ă** **â** **b** **c** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 166 **Leonhard Euler.** [^](#cite_ref-8) [. tr. 166.](http://books.google.com.vn/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA166&dq=Introductio+in+analysin+infinitorum+thus+%CF%80+is+equal+to+half+the+circumference+of+a+circle+of+radius&hl=vi&sa=X&ei=6BmOUICIM8WViAfph4GYCw&ved=0CC0Q6AEwAA#v=onepage&q=thus%20%CF%80%20is%20equal%20to%20half%20the%20circumference%20of%20a%20circle%20of%20radius&f=false) *Introductio in analysin infinitorum*
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 5
- ^
**a** [Salikhov, V. (2008). “On the Irrationality Measure of pi”.](#cite_ref-autogenerated1_10-1) **ă** *Russian Mathematical Survey* **53**(3): 570. [Bibcode](/wiki/Bibcode): [2008RuMaS..63..570S](http://adsabs.harvard.edu/abs/2008RuMaS..63..570S). [doi](/wiki/DOI): [10.1070/RM2008v063n03ABEH004543](http://dx.doi.org/10.1070%2FRM2008v063n03ABEH004543). **Mayer, Steve.** [^](#cite_ref-ttop_11-0) [“The Transcendence of](http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html). Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2007.
”
[^](#cite_ref-12) [Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 25 [^](#cite_ref-13) [Eymard & Lafon 1999](#CITEREFEymardLafon1999), tr. 129 [^](#cite_ref-14) [Beckmann 1989](#CITEREFBeckmann1989), tr. 37
Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001).
*Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery*. Gale Group. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-7876-3933-8](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-7876-3933-8)., p 185.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 22–23
[Preuss, Paul](/w/index.php?title=Paul_Preuss&action=edit&redlink=1)(23 tháng 7 năm 2001). [“Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key”](http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html). [Lawrence Berkeley National Laboratory](/w/index.php?title=Lawrence_Berkeley_National_Laboratory&action=edit&redlink=1). Truy cập ngày 10 tháng 11 năm 2007. [^](#cite_ref-16) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 22, 28–30 [^](#cite_ref-17) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 3
- ^
**a** **ă** [Eymard & Lafon 1999](#CITEREFEymardLafon1999), tr. 78 [^](#cite_ref-ReferenceA_19-0) ["Sloane's A001203: Continued fraction for Pi"](http://oeis.org/A001203), The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Khôi phục 12 tháng Tư 2012. **Lange, L. J. (May năm 1999). “An Elegant Continued Fraction for** [^](#cite_ref-20)
”.
[The American Mathematical Monthly](/w/index.php?title=The_American_Mathematical_Monthly&action=edit&redlink=1) **106**(5): 456–458. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2589152](http://dx.doi.org/10.2307%2F2589152). [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2589152](http://www.jstor.org/stable/2589152). [^](#cite_ref-21) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 240 [^](#cite_ref-22) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 242 **"Chúng ta có thể kết luận rằng mặc dù những người Ai Cập cổ đại không định nghĩa chính xác giá trị của** [^](#cite_ref-23)
, trên thực tế họ đã dùng nó"Verner, M. (2003).
*The Pyramids: Their Archaeology and History*., p. 70.
Petrie (1940).
*Wisdom of the Egyptians*., p. 30.
. Xem thêm Legon, J. A. R. (1991).
[“On Pyramid Dimensions and Proportions”](http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm). *Discussions in Egyptology* **20**: 25–34..
Xem thêm Petrie, W. M. F. (1925). “Surveys of the Great Pyramids”.
*Nature Journal* **116**(2930): 942–942. [Bibcode](/wiki/Bibcode): [1925Natur.116..942P](http://adsabs.harvard.edu/abs/1925Natur.116..942P). [doi](/wiki/DOI): [10.1038/116942a0](http://dx.doi.org/10.1038%2F116942a0). **Egyptologist: Rossi, Corinna,** [^](#cite_ref-24) *Architecture and Mathematics in Ancient Egypt*, Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, [ISBN 9780521829540](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780521829540).
Skeptics:
[Shermer, Michael](/w/index.php?title=Michael_Shermer&action=edit&redlink=1), *The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience*, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, [ISBN 9781576076538](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9781576076538).
Xem thêm Fagan, Garrett G.,
*Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public*, Routledge, 2006, [ISBN 9780415305938](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780415305938).
Một danh sách các cách giải thích về hình dạng kim tự tháp không liên quan tới
có thể xem tại Roger Herz-Fischler (2000),
*The Shape of the Great Pyramid*, Wilfrid Laurier University Press, tr. 67–77, 165–166, [ISBN](/wiki/ISBN) [9780889203242](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780889203242)Đã bỏ qua tham số không rõ
|(
[http://books.google.co.uk/books?id=](http://books.google.co.uk/books?id=) [trợ giúp](//en.wikipedia.org/wiki/Help:CS1_errors#parameter_ignored))
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 167 [^](#cite_ref-26) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 168–169 [^](#cite_ref-27) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 169 **Đó là các bài 1 Các nhà vua 7:23 và 2 Biên niên sử 4:2; xem** [^](#cite_ref-28) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 169, [Schepler 1950](#CITEREFSchepler1950), tr. 165, và [Beckmann 1989](#CITEREFBeckmann1989), tr. 14–16. **Các giả thiết rằng hồ có hình lục giác hoặc có một vành cong bao ngoài được đưa ra để giải thích độ chênh lệch với giá trị thực khá lớn. XemBorwein, Jonathan M.; Bailey, David H. (2008).** [^](#cite_ref-29) *Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century*(ấn bản 2). A. K. Peters. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-1-56881-442-1](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-56881-442-1)., pp. 103, 136, 137. [^](#cite_ref-30) [The Scientific & the Divine.](http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9)James A. Arieti, Patrick A. Wilson (2003). Rowman & Littlefield. pp. 9–10. [ISBN 9780742513976](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780742513976). [^](#cite_ref-31) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 170 [^](#cite_ref-32) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 175, 205 [^](#cite_ref-33) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 171 [^](#cite_ref-34) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 176
[Boyer & Merzbach 1991](#CITEREFBoyerMerzbach1991), tr. 168 [^](#cite_ref-ArPI_35-0) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger đạt được 39 chữ số năm 1630; Sharp 71 chữ số năm 1699. [^](#cite_ref-36) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 176–177
- ^
**a** **ă** [Boyer & Merzbach 1991](#CITEREFBoyerMerzbach1991), tr. 202 [^](#cite_ref-38) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 177 [^](#cite_ref-39) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 178 [^](#cite_ref-40) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 179
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 180 **Azarian, Mohammad K. (2010),** [^](#cite_ref-42) [“al-Risāla al-muhītīyya: A Summary”](http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf)(PDF), *Missouri Journal of Mathematical Sciences* **22**(2): 64–85. **O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999),** [^](#cite_ref-43) [“Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi”](http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html), *, truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012.* [MacTutor History of Mathematics archive](/w/index.php?title=MacTutor_History_of_Mathematics_archive&action=edit&redlink=1)
- ^
**a** **ă** **â** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 182 [^](#cite_ref-45) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 182–183 [^](#cite_ref-46) [Arndt, Haenel & 2006 p183](#CITEREFArndtHaenel2006p183) [^](#cite_ref-47) [Grienbergerus, Christophorus](/w/index.php?title=Christoph_Grienberger&action=edit&redlink=1)(1630). [(PDF) (bằng Latin).. Kết quả của ông là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 <](http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf) *Elementa Trigonometrica*
< 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 185–191 [^](#cite_ref-49) [Roy 1990](#CITEREFRoy1990), tr. 101–102
[Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 185–186
- ^
**a** **ă** **â** [Roy 1990](#CITEREFRoy1990), tr. 101–102 [^](#cite_ref-51) [Joseph 1991](#CITEREFJoseph1991), tr. 264
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 188. Newton được Arndt trích dẫn.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 187 [^](#cite_ref-54) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 188–189
- ^
**a** **ă** [Eymard & Lafon 1999](#CITEREFEymardLafon1999), tr. 53–54 [^](#cite_ref-56) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 189 [^](#cite_ref-57) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 156 [^](#cite_ref-58) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 192–193
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 72–74 [^](#cite_ref-60) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 192–196, 205
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 194–196
- ^
**a** [Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988). “Ramanujan and Pi”.](#cite_ref-Aconverge_62-1) **ă** *Scientific American* **256**(2): 112–117. [Bibcode](/wiki/Bibcode): [1988SciAm.258b.112B](http://adsabs.harvard.edu/abs/1988SciAm.258b.112B). [doi](/wiki/DOI): [10.1038/scientificamerican0288-112](http://dx.doi.org/10.1038%2Fscientificamerican0288-112).
[Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202 [^](#cite_ref-63) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 69–72 **Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989). “Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions”.** [^](#cite_ref-64) *American Mathematical Monthly* **96**(8): 681–687. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2324715](http://dx.doi.org/10.2307%2F2324715). [^](#cite_ref-65) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 223, (công thức 16.10). Chú ý rằng ( *n*− 1) *n*( *n*+ 1) = *n* 3− *n*.
Wells, David (1997).
*The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers*. Penguin. tr. 35. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-140-26149-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-140-26149-3).
- ^
**a** **ă** [Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 284 **Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", in lại trong** [^](#cite_ref-67) [Berggren, Borwein & Borwein 1997](#CITEREFBerggrenBorweinBorwein1997), tr. 129–140 [^](#cite_ref-68) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 196 [^](#cite_ref-69) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 197 [^](#cite_ref-70) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 197. Xem thêm [Reitwiesner 1950](#CITEREFReitwiesner1950). [^](#cite_ref-71) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 197 [^](#cite_ref-72) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 15–17 [^](#cite_ref-73) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 131 [^](#cite_ref-74) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 132, 140
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 87 [^](#cite_ref-76) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
Xem
[Borwein & Borwein 1987](#CITEREFBorweinBorwein1987)để có thêm chi tiết về các thuật toán.
- ^
**a** **ă** [Bailey, David H. (16 tháng 5 năm 2003).](#cite_ref-Background_77-2) **â** [“Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation”](http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf). Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012. [^](#cite_ref-Arndt_b_78-0) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 17. "39 chữ số của
là đủ để tính toán thể tích vũ trụ tới nguyên tử gần nhất."
Liên quan tới các chữ số thêm vào để bù cho sai số làm tròn trong tính toán, Arndt kết luận rằng một vài trăm chữ số sẽ đáp ứng đủ bất kỳ ứng dụng toán học nào.
[^](#cite_ref-79) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 17–19 **Schudel, Matt (25 tháng 3 năm 2009). “John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi”.** [^](#cite_ref-msnbc.msn.com_80-0) *The Washington Post*. tr. B5. [^](#cite_ref-independent.co.uk_81-0) [“The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?”](http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html). *The Independent*. 8 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012. [^](#cite_ref-Arndt_c_82-0) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 18 [^](#cite_ref-83) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 103–104 [^](#cite_ref-84) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 104 [^](#cite_ref-85) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 104, 206 [^](#cite_ref-86) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 110–111 [^](#cite_ref-87) [Eymard & Lafon 1999](#CITEREFEymardLafon1999), tr. 254 [^](#cite_ref-88) [http://bellard.org/pi/pi2700e9/](http://bellard.org/pi/pi2700e9/) [^](#cite_ref-89) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 110–111, 206
Bellard, Fabrice,
["Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer"](http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf), 11 Feb 2010. [^](#cite_ref-90) [http://numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html](http://numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html)
- ^
**a** **ă** ["Round 2... 10 Trillion Digits of Pi"](http://numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html), Alexander J. Yee & Shigeru Kondo trên NumberWorld.org, Cập nhật 22/10/2011. Truy cập 7/1/2013. [^](#cite_ref-92) [Plouffe, Simon](/w/index.php?title=Simon_Plouffe&action=edit&redlink=1)(tháng 4 năm 2006). [“Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)”](http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf). Truy cập ngày 10 tháng 4 năm 2009.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 77–84
- ^
**a** [Gibbons, Jeremy,](#cite_ref-Gibbons_94-1) **ă** ["Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi"](http://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf), 2005. Gibbons đã tạo ra một phiên bản cải tiến của thuật toán Wagon.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 77 **Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (March năm 1995). “A spigot algorithm for the digits of Pi”.** [^](#cite_ref-96) *American Mathematical Monthly* **102**(3): 195–203. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2975006](http://dx.doi.org/10.2307%2F2975006). Một chương trình máy tính đã được tạo ra thực hiện thuật toán Wagon với chỉ 120 kí tự của phần mềm.
- ^
**a** **ă** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 117, 126–128 [^](#cite_ref-bbpf_98-0) [Bailey, David H.](/w/index.php?title=David_H._Bailey&action=edit&redlink=1); [Borwein, Peter B.](/w/index.php?title=Peter_Borwein&action=edit&redlink=1); and [Plouffe, Simon](/w/index.php?title=Simon_Plouffe&action=edit&redlink=1)(April năm 1997). [“On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants”](http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf)(PDF). *Mathematics of Computation* **66**(218): 903–913. [doi](/wiki/DOI): [10.1090/S0025-5718-97-00856-9](http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-97-00856-9). [^](#cite_ref-99) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 128. Plouffe đã tạo ra một thuật toán trích xuất chữ số thập phân, nhưng nó chậm hơn các tính toán đầy đủ, trực tiếp tất cả các số đứng trước. [^](#cite_ref-100) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 20
Bellards formula in:
[Bellard, Fabrice](/w/index.php?title=Fabrice_Bellard&action=edit&redlink=1). [“A new formula to compute the n](http://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html). thbinary digit of pi” [Bản gốc](http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html)lưu trữ ngày 12 tháng 9 năm 2007. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. **Palmer, Jason (16 tháng 9 năm 2010).** [^](#cite_ref-101) [“Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit”](http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194). *BBC News*. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2011. [^](#cite_ref-102) [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 200, 209 [^](#cite_ref-udi_103-0) [Weisstein, Eric W.](/wiki/Eric_W._Weisstein), " [Semicircle](http://mathworld.wolfram.com/Semicircle.html)" từ [MathWorld](/wiki/MathWorld).
- ^
**a** **ă** [Ayers 1964](#CITEREFAyers1964), tr. 60
- ^
**a** **ă** [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 210–211 [^](#cite_ref-106) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 39 **Ramaley, J. F. (October năm 1969). “Buffon's Noodle Problem”.** [^](#cite_ref-bn_107-0) *The American Mathematical Monthly* **76**(8): 916–918. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2317945](http://dx.doi.org/10.2307%2F2317945). [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2317945](http://www.jstor.org/stable/2317945). [^](#cite_ref-108) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 39–40
[Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 105 **Badger, Lee (April năm 1994). “Lazzarini's Lucky Approximation of π”.** [^](#cite_ref-109) *Mathematics Magazine*(Mathematical Association of America) **67**(2): 83–91. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2690682](http://dx.doi.org/10.2307%2F2690682). [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2690682](http://www.jstor.org/stable/2690682). [^](#cite_ref-110) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 43
[Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 105–108 [^](#cite_ref-111) [Ayers 1964](#CITEREFAyers1964), tr. 100
- ^
**a** **ă** [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 592 **Maor, Eli,** [^](#cite_ref-113) *E: The Story of a Number*, Princeton University Press, 2009, p 160, [ISBN 978-0-691-14134-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780691141343)("five most important" constants). [^](#cite_ref-114) [Weisstein, Eric W.](/wiki/Eric_W._Weisstein), " [Roots of Unity](http://mathworld.wolfram.com/RootofUnity.html)" từ [MathWorld](/wiki/MathWorld). [^](#cite_ref-115) [Eric W. Weisstein](/wiki/Eric_W._Weisstein), *tại* [Cauchy Integral Formula](http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html) [MathWorld](/wiki/MathWorld). **Joglekar, S. D.,** [^](#cite_ref-116) *Mathematical Physics*, Universities Press, 2005, p 166, [ISBN 978-81-7371-422-1](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9788173714221).
- ^
**a** [Klebanoff, Aaron (2001).](#cite_ref-KA_117-1) **ă** [“Pi in the Mandelbrot set”](http://home.comcast.net/~davejanelle/mandel.pdf). *Fractals* **9**(4): 393–402. [doi](/wiki/DOI): [10.1142/S0218348X01000828](http://dx.doi.org/10.1142%2FS0218348X01000828). Truy cập ngày 14 tháng 4 năm 2012. **Peitgen, Heinz-Otto,** [^](#cite_ref-118) *Chaos and fractals: new frontiers of science*, Springer, 2004, pp. 801–803, [ISBN 978-0-387-20229-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780387202297). [^](#cite_ref-119) [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 191–192 [^](#cite_ref-120) [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 190 [^](#cite_ref-121) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 41–43 **Định lý này được chứng minh bởi** [^](#cite_ref-122) [Ernesto Cesàro](/w/index.php?title=Ernesto_Ces%C3%A0ro&action=edit&redlink=1)năm 1881. Xem một chứng minh chặt chẽ hơn ở Hardy, G. H., *An Introduction to the Theory of Numbers*, Oxford University Press, 2008, [ISBN 978-0-19-921986-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780199219865), định lý 332. **Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T.,** [^](#cite_ref-123) *Excursions in Number Theory*, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, [ISBN 0-486-25778-9](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0486257789). [^](#cite_ref-124) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 43 **Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl,** [^](#cite_ref-125) *Fundamentals of Physics, 5th Ed.*, John Wiley & Sons, 1997, p 381, [ISBN 0-471-14854-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0471148547). **Imamura, James M (17 tháng 8 năm 2005).** [^](#cite_ref-126) [“Heisenberg Uncertainty Principle”](http://web.archive.org/web/20071012060715/http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html). [University of Oregon](/w/index.php?title=University_of_Oregon&action=edit&redlink=1). [Bản gốc](http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html)lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2007. Truy cập ngày 9 tháng 9 năm 2007. **Yeo, Adrian,** [^](#cite_ref-127) *The pleasures of pi, e and other interesting numbers*, World Scientific Pub., 2006, p 21, [ISBN 978-981-270-078-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9789812700780).
Ehlers, Jürgen,
*Einstein's Field Equations and Their Physical Implications*, Springer, 2000, p 7, [ISBN 978-3-540-67073-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9783540670735). **Nave, C. Rod (28 tháng 6 năm 2005).** [^](#cite_ref-128) [“Coulomb's Constant”](http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3). *. Georgia State University. Truy cập ngày 9 tháng 11 năm 2007.* [HyperPhysics](/w/index.php?title=HyperPhysics&action=edit&redlink=1) **C. Itzykson, J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.** [^](#cite_ref-129) **Feller, W.** [^](#cite_ref-130) *An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1*, Wiley, 1968, pp 174–190.
- ^
**a** **ă** [Bronshteĭn & Semendiaev 1971](#CITEREFBronshte.C4.ADnSemendiaev1971), tr. 106–107, 744, 748 **Low, Peter,** [^](#cite_ref-132) *Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation*, CUP Archive, 1971, pp 116–118, [ISBN 978-0-521-08089-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780521080897). **Batchelor, G. K.,** [^](#cite_ref-133) *An Introduction to Fluid Dynamics*, Cambridge University Press, 1967, p 233, [ISBN 0-521-66396-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0521663962). **Bracewell, R. N.,** [^](#cite_ref-134) *The Fourier Transform and Its Applications*, McGraw-Hill, 2000, [ISBN 0-07-116043-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0071160434). **Hans-Henrik Stølum (22 tháng 3 năm 1996). “River Meandering as a Self-Organization Process”.** [^](#cite_ref-135) [Science](/wiki/Science_(journal)) **271**(5256): 1710–1713. [Bibcode](/wiki/Bibcode): [1996Sci...271.1710S](http://adsabs.harvard.edu/abs/1996Sci...271.1710S). [doi](/wiki/DOI): [10.1126/science.271.5256.1710](http://dx.doi.org/10.1126%2Fscience.271.5256.1710). [^](#cite_ref-136) [Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 140–141
- ^
**a** **ă** **â** [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 44–45 [^](#cite_ref-138) [“Số “Pi” và nàng Thơ”](http://khoahocnet.com/2012/03/08/vo-bien-s%E1%BB%91-pi-va-nang-th%C6%A1/)(Thông cáo báo chí). Vô Biên. 3 tháng 8 năm 2012. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012. [^](#cite_ref-139) [“Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi”](http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm). *News Guangdong*. 28 tháng 11 năm 2006. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. Ông đọc sai số thứ 67 891, đáng lẽ là "0" lại đọc là "5" [^](#cite_ref-140) ["Most Pi Places Memorized"](http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/1/most-pi-places-memorised), Guinness World Records. Retrieved 3 April 2012. **Otake, Tomoko (17 tháng 12 năm 2006).** [^](#cite_ref-japantimes_141-0) [“How can anyone remember 100,000 numbers?”](http://www.japantimes.co.jp/text/fl20061217x1.html). *. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007.* [The Japan Times](/w/index.php?title=The_Japan_Times&action=edit&redlink=1) **Raz, A.; Packard, M. G. (2009). “A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist”.** [^](#cite_ref-142) *Neurocase* **6**: 1–12. [^](#cite_ref-143) [Keith, Mike](/w/index.php?title=Mike_Keith_(mathematician)&action=edit&redlink=1). [“Cadaeic Cadenza Notes & Commentary”](http://www.cadaeic.net/comments.htm). Truy cập ngày 29 tháng 7 năm 2009.
:{|style="border: none; text-align: center;" |- |One||/||A||Poem||/||A||Raven||/||Midnights||so||dreary,||tired||and||weary, |- |3 ||.||1||4 || ||1||5 || ||9 Ỗ ||2 ||6 ||5 ||3 ||5 |}
**Keith, Michael; Diana Keith (17 tháng 2 năm 2010).** [^](#cite_ref-KeithNAW_144-0) *Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals*(Paperback ). Vinculum Press. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0963009715](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0963009715). [^](#cite_ref-145) [Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 118
[Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 50
- ^
**a** **ă** [MIT cheers](http://web.mit.edu/cheer/2004-2005SpecificWebPages/GeneralInformation/cheers.html). Retrieved 12 April 2012. [^](#cite_ref-147) [Pi Day activities](http://www.piday.org/2010/discussions/2008-pi-day-activities-for-teachers/) [^](#cite_ref-148) [“Supporting the designation of Pi Day, and for other purposes”](http://thomas.loc.gov/cgi-bin/query/z?c111:H.RES.224:)(Thông cáo báo chí). Hạ viện Hoa Kỳ, Library of Congress. 9*3*2009. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm 2012. [^](#cite_ref-FP_2011_149-0) [“Google's strange bids for Nortel patents”](http://business.financialpost.com/2011/07/05/googles-strage-bids-for-nortel-patents/). *FinancialPost.com*. Reuters. 5 tháng 7 năm 2005. Truy cập ngày 16 tháng 8 năm 2011. **Abbott, Stephen (tháng 4 năm 2012).** [^](#cite_ref-150) [“My Conversion to Tauism”](http://www.maa.org/Mathhorizons/apr12_aftermath.pdf). *Math Horizons* **19**(4): 34. [doi](/wiki/DOI): [10.4169/mathhorizons.19.4.34](http://dx.doi.org/10.4169%2Fmathhorizons.19.4.34). **Palais, Robert (2001).** [^](#cite_ref-151) [“](http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf).
Is Wrong!”
*The Mathematical Intelligencer* **23**(3): 7–8. [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF03026846](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF03026846). **Hartl, Michael.** [^](#cite_ref-152) [“The Tau Manifesto”](http://tauday.com). Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012. **Palmer, Jason (28 tháng 6 năm 2011).** [^](#cite_ref-153) [“'Tau day' marked by opponents of maths constant pi”](http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13906169). *BBC News*. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012. [^](#cite_ref-154) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 14. Phần này của câu chuyện bị lược đi trong kịch bản chuyển thể phim từ tiểu thuyết này. **Gill, Andy (4 tháng 11 năm 2005).** [^](#cite_ref-155) [“Review of Aerial”](http://gaffa.org/reaching/rev_aer_UK5.html). *. ‘hầu hết sự thỏa mãn tự kỉ của nhà toán học bị ám ảnh-ép buộc bị mê hoặc bởi "Pi" (thứ tạo nên cơ hội được nghe Bush chậm rãi hát những khúc dài con số được xem xét, dài hàng tá chữ số)’* [The Independent](/wiki/The_Independent) **Hard 'n Phirm (2005).** [^](#cite_ref-156) [“Horses and Grasses. Hard 'N Phirm”](http://web.archive.org/web/20100120110502/http://www.cdbaby.com/cd/hardnphirm)(bằng tiếng Anh). [Bản gốc](http://cdbaby.com/cd/hardnphirm)lưu trữ ngày 10 tháng 10 năm 2010. [^](#cite_ref-157) [Hard 'n Phirm: "Pi". Đạo diễn: Keith Schofield](http://keithschofield.com/pi/std.html) **Edward J. Goodwin (July 1894) "Quadrature of the circle,"** [^](#cite_ref-158) *American Mathematical Monthly*, **1**(7): 246-248.
- See:
[Purdue Agricultural Economics](http://www.agecon.purdue.edu/crd/localgov/Topics/Materials/Pi_Goodwin_AmMathMonthly_1894.pdf).
- Reprinted in: Lennart Berggren, Jonathan Borwein, and Peter Borwein,
*Pi: A Source Book*, 3rd ed. (New York, New York: Springer-Verlag, 2004), [page 230.](http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA230#v=onepage&q&f=false)
- See also: Edward J. Goodwin (1895) "(A) The trisection of an angle; (B) Duplication of the cube,"
*American Mathemtical Monthly*, **2**: 337.
- See:
[^](#cite_ref-159) [Arndt & Haenel 2006](#CITEREFArndtHaenel2006), tr. 211–212
[Posamentier & Lehmann 2004](#CITEREFPosamentierLehmann2004), tr. 36–37
Hallerberg, Arthur (tháng 5 năm 1977). “Indiana's squared circle”.
*Mathematics Magazine* **50**(3): 136–140. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2689499](http://dx.doi.org/10.2307%2F2689499). [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2689499](http://www.jstor.org/stable/2689499). [^](#cite_ref-160) [Midnight Entity](http://tardis.wikia.com/wiki/Midnight_entity), Tardis Index File. accessed 22 July 2012 **(** [^](#cite_ref-161) [ISBN 0547350651](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0547350651)) [^](#cite_ref-162) [Life of Pi](http://www.lifeofpimovie.com/)
## Tài liệu tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=30) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=30)]
- Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006).
[. Springer-Verlag.](http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false) *Pi Unleashed* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-3-540-66572-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-540-66572-4). bản dịch tiếng Anh của Catriona và David Lischka.
- Ayers, Frank (1964).
*Calculus*. McGraw-Hill. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-070-02653-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-070-02653-7). *Mathematics from the Birth of Numbers*của Jan Gullberg, [ISBN 0-393-04002-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/039304002X) *A History of Mathematical Notation*của Florian Cajori, [ISBN 0-486-67766-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0486677664)
- Blatner, David (1999).
*The Joy of Pi*. Walker & Company. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8027-7562-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8027-7562-7). [Borwein, Jonathan Michael](/w/index.php?title=Jonathan_Michael_Borwein&action=edit&redlink=1)và [Borwein, Peter Benjamin](/w/index.php?title=Peter_Benjamin_Borwein&action=edit&redlink=1), "The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions", *SIAM Review*, **26**(1984) 351–365 [Borwein, Jonathan Michael](/w/index.php?title=Jonathan_Michael_Borwein&action=edit&redlink=1), [Borwein, Peter Benjamin](/w/index.php?title=Peter_Benjamin_Borwein&action=edit&redlink=1), và [Bailey, David H.](/w/index.php?title=David_H._Bailey&action=edit&redlink=1), *Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi",*The American Mathematical Monthly *,* **96**(1989) 201–219
- Chudnovsky, David V. và Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", trong
*Ramanujan Revisited*(G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472
- Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss",
*L' Ensignement Mathematique*, **30**(1984) 275–330
- Engels, Hermann, "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt",
*Historia Mathematica* **4**(1977) 137–140 [Euler, Leonhard](/wiki/Leonhard_Euler), "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in *Introduction to Analysis of the Infinite. Book I*, dịch từ tiếng Latin sang tiếng Anh bởi J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
- Heath, T. L.,
*The Works of Archimedes*, Cambridge, 1897; in lại trong *The Works of Archimedes with The Method of Archimedes*, Dover, 1953, pp 91–98 [Huygens, Christiaan](/wiki/Christiaan_Huygens), "De Circuli Magnitudine Inventa", *Christiani Hugenii Opera Varia I*, Leiden 1724, pp 384–388 [Lay-Yong, Lam](/w/index.php?title=Lam_Lay_Yong&action=edit&redlink=1)và Tian-Se, Ang, "Circle Measurements in Ancient China", *Historia Mathematica* **13**(1986) 325–340 [Lindemann, Ferdinand](/wiki/Ferdinand_von_Lindemann), "Ueber die Zahl pi", *Mathematische Annalen* **20**(1882) 213–225
- Matar, K. Mukunda, và Rajagonal, C., "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Phụ lục của K. Balagangadharan).
*Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society* **20**(1944) 77–82 [Niven, Ivan](/w/index.php?title=Ivan_M._Niven&action=edit&redlink=1), "A Simple Proof that pi Is Irrational", *Bulletin of the American Mathematical Society*, **53**:7 (July 1947), 507 [Ramanujan, Srinivasa](/wiki/Srinivasa_Ramanujan), "Modular Equations and Approximations to pi", *Journal of the Indian Mathematical Society*, **XLV**, 1914, 350–372. In lại trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, và B. M. Wilson (eds), *Srinivasa Ramanujan: Collected Papers*, 1962, pp 23–29 [Shanks, William](/w/index.php?title=William_Shanks&action=edit&redlink=1), *Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals*, 1853, pp. i–xvi, 10 [Shanks, Daniel](/w/index.php?title=Daniel_Shanks&action=edit&redlink=1)và [Wrench, John William](/w/index.php?title=John_Wrench&action=edit&redlink=1), "Calculation of pi to 100,000 Decimals", *Mathematics of Computation* **16**(1962) 76–99
- Tropfke, Johannes,
*Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung*( *The history of elementary mathematics*), BiblioBazaar, 2009 (in lại), [ISBN 978-1-113-08573-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9781113085733) [Viete, Francois](/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te), *Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica*(in lại), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446 [Wagon, Stan](/w/index.php?title=Stan_Wagon&action=edit&redlink=1), "Is Pi Normal?", *The Mathematical Intelligencer*, **7**:3(1985) 65–67 [Wallis, John](/wiki/John_Wallis), *Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata*, Oxford 1655–6. In lại trong tập 1 (pp 357–478) của *Opera Mathematica*, Oxford, 1693
- Zebrowski, Ernest,
*A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe*, Rutgers Univ Press, 1999, [ISBN 978-0-8135-2898-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780813528984)
## Tài liệu đọc thêm[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=31) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=31)]
- Blatner, David (1999).
*The Joy of Pi*. Walker & Company. [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8027-7562-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8027-7562-7). [Borwein, Jonathan Michael](/w/index.php?title=Jonathan_Michael_Borwein&action=edit&redlink=1)và [Borwein, Peter Benjamin](/w/index.php?title=Peter_Benjamin_Borwein&action=edit&redlink=1), "The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions", *SIAM Review*, **26**(1984) 351–365 [Borwein, Jonathan Michael](/w/index.php?title=Jonathan_Michael_Borwein&action=edit&redlink=1), [Borwein, Peter Benjamin](/w/index.php?title=Peter_Benjamin_Borwein&action=edit&redlink=1), và [Bailey, David H.](/w/index.php?title=David_H._Bailey&action=edit&redlink=1), *Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi",*The American Mathematical Monthly *,* **96**(1989) 201–219
- Chudnovsky, David V. và Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", trong
*Ramanujan Revisited*(G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, 375–396, 468–472
- Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss",
*L' Ensignement Mathematique*, **30**(1984) 275–330
- Engels, Hermann, "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt",
*Historia Mathematica* **4**(1977) 137–140 [Euler, Leonhard](/wiki/Leonhard_Euler), "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", trong *Introduction to Analysis of the Infinite. Book I*, dịch từ tiếng Latin bởi J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153
- Heath, T. L.,
*The Works of Archimedes*, Cambridge, 1897; in lại trong *The Works of Archimedes with The Method of Archimedes*, Dover, 1953, pp 91–98 [Huygens, Christiaan](/wiki/Christiaan_Huygens), "De Circuli Magnitudine Inventa", *Christiani Hugenii Opera Varia I*, Leiden 1724, pp 384–388 [Lay-Yong, Lam](/w/index.php?title=Lam_Lay_Yong&action=edit&redlink=1)và Tian-Se, Ang, "Circle Measurements in Ancient China", *Historia Mathematica* **13**(1986) 325–340 [Lindemann, Ferdinand](/wiki/Ferdinand_von_Lindemann), "Ueber die Zahl pi", *Mathematische Annalen* **20**(1882) 213–225
- Matar, K. Mukunda, and Rajagonal, C., "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan).
*Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society* **20**(1944) 77–82 [Niven, Ivan](/w/index.php?title=Ivan_M._Niven&action=edit&redlink=1), "A Simple Proof that pi Is Irrational", *Bulletin of the American Mathematical Society*, **53**:7 (July 1947), 507 [Ramanujan, Srinivasa](/wiki/Srinivasa_Ramanujan), "Modular Equations and Approximations to pi", *Journal of the Indian Mathematical Society*, **XLV**, 1914, 350–372. In lại trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, và B. M. Wilson (eds), *Srinivasa Ramanujan: Collected Papers*, 1962, 23–29 [Shanks, William](/w/index.php?title=William_Shanks&action=edit&redlink=1), *Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals*, 1853, pp. i–xvi, 10 [Shanks, Daniel](/w/index.php?title=Daniel_Shanks&action=edit&redlink=1)và [Wrench, John William](/w/index.php?title=John_Wrench&action=edit&redlink=1), "Calculation of pi to 100,000 Decimals", *Mathematics of Computation* **16**(1962) 76–99
- Tropfke, Johannes,
*Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung*( *The history of elementary mathematics*), BiblioBazaar, 2009 (in lại), [ISBN 978-1-113-08573-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9781113085733) [Viete, Francois](/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te), *Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica*(in lại), Georg Olms Verlag, 1970, 398–401, 436–446 [Wagon, Stan](/w/index.php?title=Stan_Wagon&action=edit&redlink=1), "Is Pi Normal?", *The Mathematical Intelligencer*, **7**:3(1985) 65–67 [Wallis, John](/wiki/John_Wallis), *Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata*, Oxford 1655–6. In lại trong tập 1 (tr. 357–478) của *Opera Mathematica*, Oxford, 1693
- Zebrowski, Ernest,
*A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe*, Rutgers Univ Press, 1999, [ISBN 978-0-8135-2898-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780813528984) [The Life of Pi: History and Computation](http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/pi-slides.pdf) [Jonathan Michael Borwein](//en.wikipedia.org/wiki/Jonathan_Borwein), 21/6-17/7/2003
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Pi&veaction=edit§ion=32) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Pi&action=edit§ion=32)]
|
|![]()
[Pi](//commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pi?uselang=vi) **(tiếng Anh)** [Weisstein, Eric W.](/wiki/Eric_W._Weisstein), " [Pi](http://mathworld.wolfram.com/Pi.html)" từ [MathWorld](/wiki/MathWorld). [Representations of Pi](http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi)tại [Wolfram Alpha](/wiki/Wolfram_Alpha) [Pi Search Engine](http://www.subidiom.com/pi)tìm kiểm 2 tỉ chữ số của
,
, và
*e* [Dữ liệu Pi tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng](http://planetmath.org/Pi.html) [GFDL](/wiki/Wikipedia:Nguy%C3%AAn_v%C4%83n_Gi%E1%BA%A5y_ph%C3%A9p_T%C3%A0i_li%E1%BB%87u_T%E1%BB%B1_do_GNU). **(tiếng Việt)** [số Pi](http://bachkhoatoanthu.gov.vn/noidung/tudien/Lists/GiaiNghia/View_Detail.aspx?ItemID=25698)trên [Từ điển bách khoa Việt Nam](/wiki/T%E1%BB%AB_%C4%91i%E1%BB%83n_b%C3%A1ch_khoa_Vi%E1%BB%87t_Nam) [Lịch sử số Pi](http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/179-l%E1%BB%8Bch-s%E1%BB%AD-s%E1%BB%91-pi/)của Ngocson52 trên diễn đàn toán học, 29/12/2004 [Lịch sử số Pi - Phần 1](http://www.mathvn.com/2008/06/s-pi-phn-1.html)1/6/2008, [Lịch sử số Pi - Phần 2](http://www.mathvn.com/2008/06/s-pi-phn-2.html)3/6/2008, [Số Pi - Phần 3: Hỗn độn số Pi](http://www.mathvn.com/2008/06/s-pi-phn-3.html)4/6/2008 và [Số Pi - Phần 4: Một số công thức tính giá trị của Pi](http://www.mathvn.com/2008/06/s-pi-phn-4.html)27/11/2008 [Lịch sử con số Pi bí ẩn diệu kỳ](http://vietsciences.free.fr/lichsu/lichsuconsopi.htm)Vietsciences, Võ Thị Diệu Hằng, 13/05/2006

X-Cache: cp1054 miss (0), cp1055 frontend miss (0)