text:
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37
lượt xem 18
download
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
Tham khảo tài liệu 'ôn thi toán đại số tổ hợp_chương 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
- ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông IV TOÅ HÔÏP Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (0 ≤ k ≤ n) khoâng ñeå yù ñeán thöù töï choïn. Moãi caùch choïn nhö vaäy goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Ta thaáy moãi toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû taïo ra ñöôïc Pk = k! chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Do ñoù, neáu kí hieäu Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû, ta coù : k An k n! C = k n = k! k!(n − k)! Tính chaát : Ck = Cn − k n n Ck = Ck −1 + Ck −1 n n −1 n C0 + C1 + … + Cn = 2n n n n Ví duï 1. Coù 5 hoïc sinh, caàn choïn ra 2 hoïc sinh ñeå ñi tröïc lôùp, hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : 5! 5.4 C2 = 5 = = 10 caùch choïn. 2!3! 2 (Giaû söû 5 hoïc sinh laø {a, b, c, d, e} thì 10 caùch choïn laø : {a, b} , {a, c} , {a, d} , {a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e} . Ví duï 2. Moät noâng daân coù 6 con boø, 4 con heo. Moät noâng daân khaùc ñeán hoûi mua 4 con boø vaø 2 con heo. Hoûi coù maáy caùch choïn mua ? Giaûi Choïn mua 4 con boø trong 6 con boø laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 6 phaàn töû, coù : C6 4 caùch choïn. Choïn mua 2 con heo trong 4 con heo laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû, coù : C2 4 caùch choïn. Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn mua boø vaø heo laø :
- 6! 4! 6! 6.5.4.3.2.1 C6 × C2 = 4 4 × = = 4!2! 2!2! (2!) 3 8 = 6 × 5 × 3 = 90 caùch choïn. Ví duï 3. Trong moät kì thi, moãi sinh vieân phaûi traû lôøi 3 trong 5 caâu hoûi. a) Coù maáy caùch choïn. b) Coù maáy caùch choïn neáu trong 5 caâu hoûi coù 1 caâu hoûi baét buoäc. Giaûi a) Choïn 3 trong 5 caâu hoûi laø toå hôïp chaäp 3 cuûa 5 phaàn töû. 5! 5.4 Vaäy coù : C3 = 5 = = 10 caùch choïn. 3!2! 2 b) Choïn 2 trong 4 caâu hoûi coøn laïi laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû 4! 4.3 Vaäy coù : C2 = 4 = = 6 caùch choïn. 2!2! 2 Chuù yù : – Coù theå xem moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät taäp con goàm k phaàn töû cuûa taäp n phaàn töû ñaõ cho. – Caàn phaân bieät trong moãi baøi toaùn choïn k vaät töø n vaät, coù hay khoâng haøm yù thöù töï . Neáu coù thöù töï, ñoù laø chænh hôïp, neáu khoâng coù thöù töï, ñoù laø toå hôïp. 1 1 1 Baøi 60. Giaûi phöông trình : – x = x (*) C4 x C5 C6 Giaûi Ñieàu kieän : x ∈ ¥ vaø x ≤ 4. x!(4 − x)! x!(5 − x)! x!(6 − x)! (*) ⇔ – = 4! 5! 6! (4 − x)! (5 − x)(4 − x)! (6 − x)(5 − x)(4 − x)! ⇔ – = (do x! > 0) 4! 5 × 4! 6 × 5 × 4! 5−x (6 − x)(5 − x) ⇔ 1– = (do (4 – x)! > 0) 5 30 ⇔ 30 – 6(5 – x) = 30 – 11x + x2 ⎡ x1 = 2 ⇔ x2 – 17x + 30 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x 2 = 15 (loaïi so ñieàu kieän x ≤ 4)
- ⇔ x = 2. Cn −13 1 Baøi 61. Tìm n sao cho n− < (*) A n +1 4 14P3 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1999 Giaûi Ñieàu kieän : n ∈ ¥ vaø n + 1 ≥ 4 ⇔ n ∈ ¥ vaø n ≥ 3. (n − 1)! (n − 3)!2! 1 (n − 1)! 1 1 (*) ⇔ < ⇔ × < (n + 1)! 14 × 3! 2! (n + 1)! 14 × 6 (n − 3)! 1 1 ⇔ < ⇔ n2 + n – 42 < 0 (n + 1)n 42 ⇔ –7 < n < 6 Do ñieàu kieän n ∈ ¥ vaø n ≥ 3 neân n ∈ {3, 4,5} . 1 2 6 3 Baøi 62. Tìm x thoûa : A 2x – A 2 ≤ x Cx + 10. 2 x Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2000 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 3. Baát phöông trình ñaõ cho 1 (2x)! x! 6 x! ⇔ . – ≤ . + 10 2 (2x − 2)! (x − 2)! x 3!(x − 3)! 1 ⇔ .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ (x – 1)(x – 2) + 10 2 ⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x≤4 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù nghieäm baát phöông trình laø x = 3 ∨ x= 4 ⎧2A y + 5Cy = 90 ⎪ x Baøi 63. Tìm x, y thoûa ⎨ y x ⎪5A x − 2Cx = 80 y ⎩ Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2001 Giaûi
- Ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. ⎧4A y + 10Cy = 180 ⎪ x x ⎧29A y = 580 ⎪ x Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ y ⎪25A x − 10Cx = 400 ⎪4A x + 10Cx = 180 y y y ⎩ ⎩ ⎧ x! ⎧A = 20 y ⎪ (x − y)! = 20 ⎪ x ⎪ ⇔⎨ y ⇔ ⎨ ⎪Cx = 10 ⎩ ⎪ x! = 10 ⎪ y!(x − y)! ⎩ ⎧ x! ⎪ (x − y)! = 20 ⎧ x! = 20 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ (x − y)! ⎪ 20 = 10 ⎪y! = 2 ⎪ y! ⎩ ⎩ ⎧ x! ⎪ = 20 ⎧x(x − 1) = 20 ⇔ ⎨ (x − 2)! ⇔ ⎨ ⎪y = 2 ⎩y = 2 ⎩ ⎧x 2 − x − 20 = 0 ⎧x = 5 ∨ x = −4(loaïi ) ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩y = 2 ⎩y = 2 ⎧x = 5 ⇔ ⎨ thoûa ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. ⎩y = 2 Baøi 64. Cho k, n ∈ N thoûa n ≥ k ≥ 2. Chöùng minh : k(k – 1) Cn = n(n – 1) Cn −2 . k k −2 Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi 1999 Giaûi (n − 2)! Ta coù : k −2 n(n – 1) Cn −2 = n(n – 1) (k − 2)!(n − k)! n! k(k − 1)n! n(n – 1) Cn −2 = k −2 = (k − 2)!(n − k)! k(k − 1)(k − 2)!(n − k)! n! = k(k – 1) k = k(k – 1) Cn . k!(n − k)! Baøi 65. Cho 4 ≤ k ≤ n. Chöùng minh : Cn + 4 Cn −1 + 6 Cn −2 + 4 Cn −3 + Cn − 4 = Cn + 4 . k k k k k k
- Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi k k k −1 AÙp duïng tính chaát cuûa toå hôïp C n = Cn −1 + Cn −1 Ta coù : Cn + 4 Cn −1 + 6 Cn −2 + 4 Cn −3 + Cn − 4 k k k k k = ( C n + Cn −1 ) + 3( Cn −1 + Cn −2 ) + 3( Cn −2 + Cn −3 ) + Cn −3 + Cn − 4 k k k k k k k k = k k −1 k −2 k −3 Cn +1 + 3 Cn +1 + 3 Cn +1 + Cn +1 = ( Cn +1 + Cn +1 ) + 2( Cn +1 + Cn +1 ) + ( Cn +1 + Cn +1 ) k k −1 k −1 k −2 k −2 k −3 = Cn + 2 + 2 Cn +1 + Cn + 2 k k− 2 k −2 = ( Cn + 2 + Cn +1 ) + ( Cn +1 + Cn + 2 ) k k− 2 k− 2 k −2 = Cn +3 + Cn +1 = Cn + 4 . k k− 3 k Baøi 66. Tìm k ∈ N sao cho C14 + C14+ 2 = 2 C14+1 . k k k Cao ñaúng Sö phaïm TP. HCM 1998 Giaûi Ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12. Ta coù : C14 + C14+ 2 = 2 C14+1 k k k 14! 14! 14! ⇔ + =2 k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 1 2 ⇔ + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) ⇔ 2k2 – 24k + 184 = 2(–k2 + 12k + 28) ⇔ 4k2 – 48k + 128 = 0 ⇔ k=8 ∨ k=4 (nhaän so ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12). Baøi 67*. Chöùng minh neáu k ∈ N vaø 0 ≤ k ≤ 2000 thì C2001 + C2001 ≤ C1000 + C1001 (1) k k +1 2001 2001 Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái A 2000 Giaûi
- Do C n = Cn −1 + Cn −1 neân k k −1 k (1) ⇔ C2002 ≤ C1001 k +1 2002 Xeùt daõy {u k } = C2002 vôùi k ∈ [0, 1000] ñaây laø 1 daõy taêng vì k uk ≤ uk+1 ⇔ C2002 ≤ C2002 k k +1 (2002)! (2002)! ⇔ ≤ k!(2002 − k)! (k + 1)!(2001 − k)! (k + 1)! (2002 − k)! ⇔ ≤ k! (2001 − k)! ⇔ k + 1 ≤ 2002 – k ⇔ 2k ≤ 2001 luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 1000]. Do ñoù : uk+1 ≤ uk+2 ≤ … ≤ u1001 neân C2002 ≤ C1001 ∀ k ∈ [0, 1000] k +1 2002 Maët khaùc do C2002 = C2001− k k +1 2002 neân khi k ∈ [1001, 2000] thì (2001 – k) ∈ [1, 1000] Baát ñaúng thöùc (1) vaãn ñuùng. Vaäy (1) luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 2000]. Baøi 68*. Vôùi moïi n, k ∈ N vaø n ≥ k ≥ 0. Chöùng minh : ( ) 2 C2n + k . C2n − k ≤ C2n . n n n Ñaïi hoïc Y döôïc TP. HCM 1998 Giaûi Xeùt daõy soá {u k } = C2n + k . C2n − k ñaây laø daõy giaûm vì n n uk ≥ uk+1 ⇔ C2n + k . C2n − k ≥ C2n + k +1 . C2n − k −1 n n n n (2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! ⇔ . ≥ . n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! (n + k + 1)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (n − k)! ⇔ . ≥ . (n + k)! (2n − k − 1)! (2n + k)! (n − k − 1)! ⇔ (n + k + 1)(2n – k) ≥ (2n + k + 1)(n – k) ⇔ 2n2 + nk – k2 + 2n – k ≥ 2n2 – nk – k2 + n – k
- ⇔ 2nk + n ≥ 0 luoân ñuùng ∀ k, n ∈ N Do ñoù u0 ≥ u1 ≥ u2 ≥ … ≥ uk ≥ uk+1 … ≥ un Vaäy u0 ≥ uk ⇔ C2n + 0 . C2n − 0 ≥ C2n + k . C2n − k . n n n n Baøi 69. Cho n nguyeân döông coá ñònh vaø k ∈ ∈ {0,1, 2,...., n} . Chöùng minh raèng neáu Ck ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi ko thì k0 thoûa n n −1 n +1 ≤ k0 ≤ . 2 2 Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 2001 Giaûi Do C k coù tính ñoái xöùng, nghóa laø C k = Cn − k , ta coù : n n n C0 = Cn , C1 = Cn −1 , n n n n C2 = Cn −2 … n n Vaø daõy {u k } = C n vôùi k ∈ [0, n k ] ñaây laø 1 daõy taêng neân ta coù 2 ⎧ n! n! ⎧C ≥ C k k +1 ⎪ k!(n − k)! ≥ (k + 1)!(n − k − 1)! ⎪ ⎪ Ck ñaït max ⇔ ⎨ k ⇔ n n n k −1 ⎨ ⎪C n ≥ C n ⎩ ⎪ n! ≥ n! ⎪ k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! ⎩ ⎧ (k + 1)! (n − k)! ⎧ n −1 ≥ ⎪ k! ⎪ (n − k − 1)! ⎧k + 1 ≥ n − k ⎪k ≥ ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ (n − k + 1)! ≥ k! ⎩n − k + 1 ≥ k ⎪k ≤ n +1 ⎪ (n − k)! ⎩ (k − 1)! ⎪ ⎩ 2 n −1 n +1 Do ñoù k thoûa ≤k ≤ . 2 2 Baøi 70. Cho m, n ∈ N vôùi 0 < m < n. Chöùng minh : a) m Cm = n Cm−−11 n n b) Cm = Cm−−11 + Cm−−2 + … + Cm −1 + Cm −1 . n n n 1 m m −1 Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 1998 Giaûi
- (n − 1)! n! a) Ta coù : n Cm−−11 = n = (m − 1)!(n − m)! (m − 1)!(n − m)! n m.n! n! = = m. = m. Cm . m(m − 1)!(n − m)! m!(n − m)! n b) Vôùi k ∈ N vaø k ≥ m. Ta coù Cm = Cm + Cm−−11 k k-1 k ⇔ Cm−−11 = Cm – Cm k k k-1 Vôùi k = n ta coù Cm−−11 = Cm – Cm n n n-1 (1) Vôùi k = n – 1 ta coù Cm−−21 = Cm−1 – Cm−2 n n n (2) Vôùi k = n – 2 ta coù Cm−−31 = Cm− 2 – Cm−3 n n n (3) .............................................. .............................................. Vôùi k = m + 1 ta coù Cm −1 = Cm +1 – Cm m m m (n – m – 1) vaø Cm −1 = Cm = 1. m −1 m Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Baøi 71. Chöùng minh : C2002 . C2001 + C1 . C2000 + … + Ck . C2001− k + … + C2001 . C1 = 1001.22002. 0 2002 2002 2001 2002 2002 − k 2002 0 Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 2001 Giaûi 2001 2001 2002! (2002 − k)! Veá traùi = ∑ Ck .C 2002− k = 2001 −k ∑ k!(2002 − k)! . (2001 − k)!1! 2002 k =0 k =0 2001 2001 2002! 2002.2001! = ∑ k!(2001 − k)! = ∑ k!(2001 − k)! k =0 k =0 2001 n = 2002 ∑ Ck = 2002.22001 2001 (do ∑C k n = 2n) k =0 k =0 = 1001.22002 = veá phaûi. Baøi 72. Ñeà thi traéc nghieäm coù 10 caâu hoûi, hoïc sinh caàn choïn traû lôøi 8 caâu . a) Hoûi coù maáy caùch choïn tuøy yù ? b) Hoûi coù maáy caùch choïn neáu 3 caâu ñaàu laø baét buoäc ?
- c) Hoûi coù maáy caùch choïn 4 trong 5 caâu ñaàu vaø 4 trong 5 caâu sau ? Giaûi a) Choïn tuøy yù 8 trong 10 caâu laø toå hôïp chaäp 8 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9 C10 = 8 = = 45 caùch. 8!2! 2 b) Vì coù 3 caâu baét buoäc neân phaûi choïn theâm 5 caâu trong 7 caâu coøn laïi, ñaây laø toå hôïp chaäp 5 cuûa 7 phaàn töû, coù : 7! 7.6 C5 = 7 = = 21 caùch. 5!2! 2 c) Choïn 4 trong 5 caâu ñaàu, coù C5 caùch. Tieáp theo, choïn 4 trong 5 caâu sau, coù C5 4 4 caùch. Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : 2 ⎛ 5! ⎞ C .C = ⎜ 4 4 ⎟ = 25 caùch. ⎝ 4!1! ⎠ 5 5 Baøi 73. Coù 12 hoïc sinh öu tuù. Caàn choïn ra 4 hoïc sinh ñeå ñi döï ñaïi hoäi hoïc sinh öu tuù toaøn quoác. Coù maáy caùch choïn. a) Tuøy yù ? b) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B khoâng cuøng ñi ? c) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B cuøng ñi hoaëc cuøng khoâng ñi? Giaûi a) Choïn tuøy yù 4 trong 12 hoïc sinh, laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 12 phaàn töû. Vaäy, coù : 12! 12.11.10.9 C12 = 4 = = 11.5.9 = 495 caùch. 4!8! 2.3.4 b) * Caùch 1 : Neáu A, B cuøng khoâng ñi, caàn choïn 4 trong 10 hoïc sinh coøn laïi. Ñaây laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9.8.7 C10 = 4 = = 10.3.7 = 210 caùch. 4!6! 2.3.4 Neáu A ñi, B khoâng ñi, caàn choïn theâm 3 trong 10 hoïc sinh coøn laïi coù : 10! 10.9.8 C10 = 3 = = 5.3.8 = 120 caùch. 3!7! 2.3
- Töông töï, neáu B ñi, A khoâng ñi, coù : 120 caùch. Vaäy, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 210 + 120 +120 = 450 caùch. * Caùch 2 : Neáu A vaø B cuøng ñi, caàn choïn theâm 2 trong 10 hoïc sinh coøn laïi, coù : 10! C10 = 2 = 9.5 = 45 caùch. 2!8! Suy ra, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 495 – 45 = 450 caùch. c) A vaø B cuøng ñi, coù C10 = 45 caùch. 2 A vaø B cuøng khoâng ñi, coù C10 = 210 caùch. 4 Vaäy coù : 45 + 210 = 255 caùch. Baøi 74. Moät phuï nöõ coù 11 ngöôøi baïn thaân trong ñoù coù 6 nöõ. Coâ ta ñònh môøi ít nhaát 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi ñoù ñeán döï tieäc. Hoûi : a) Coù maáy caùch môøi ? b) Coù maáy caùch môøi ñeå trong buoåi tieäc goàm coâ ta vaø caùc khaùch môøi, soá nam nöõ baèng nhau . Giaûi a) Môøi 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. 3 Môøi 4 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. 4 Laäp luaän töông töï khi môøi 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 trong 11 ngöôøi. Vaäy, coù : C11 + C11 + … + C11 = ( C11 + C1 + … + C11 ) – ( C11 + C1 + C11 ) 3 4 11 0 11 11 0 11 2 = 211 – 1 – 11 – 55 = 1981 caùch. b) Môøi 1 nöõ trong 6 nöõ, 2 nam trong 5 nam, coù : C1 . C2 caùch. 6 5 Môøi 2 nöõ trong 6 nöõ, 3 nam trong 5 nam, coù : C2 . C3 caùch. 6 5 Môøi 3 nöõ trong 6 nöõ, 4 nam trong 5 nam, coù : C3 . C5 caùch. 6 4 Môøi 4 nöõ trong 6 nöõ, 5 nam trong 5 nam, coù : C6 . C5 caùch. 4 5
- Vaäy, coù : C1 . C2 + C2 . C3 + C3 . C5 + C6 . C5 = 325 caùch. 6 5 6 5 6 4 4 5 Baøi 75. Moät toå coù 12 hoïc sinh. Thaày giaùo coù 3 ñeà kieåm tra khaùc nhau. Caàn choïn 4 hoïc sinh cho moãi ñeà kieåm tra. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaàu tieân, choïn 4 trong 12 hoïc sinh cho ñeà moät, coù C12 caùch. 4 Tieáp ñeán, choïn 4 trong 8 hoïc sinh coøn laïi cho ñeà hai, coù C8 caùch. 4 Caùc hoïc sinh coøn laïi laøm ñeà ba. 12! 8! 12.11.10.9 8.7.6.5 Vaäy, coù : C12 . C8 = 4 4 . = . 4!8! 4!4! 2.3.4 2.3.4 = (11.5.9).(7.2.5) = 34650 caùch. Baøi 76. Coù 12 hoïc sinh öu tuù cuûa moät tröôøng trung hoïc. Muoán choïn moät ñoaøn ñaïi bieåu goàm 5 ngöôøi (goàm moät tröôûng ñoaøn, moät thö kyù, vaø ba thaønh vieân) ñi döï traïi quoác teá. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Coù giaûi thích ? Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi Soá caùch choïn 1 tröôûng ñoaøn : 12 Soá caùch choïn 1 thö kyù : 11 10! 10.9.8 Soá caùch choïn 3 thaønh vieân : C10 = 3 = = 120 3!7! 6 Soá caùch choïn ñoaøn ñaïi bieåu : 12 × 11 × 120 = 15 840. Baøi 77. Moät ñoaøn taøu coù 3 toa chôû khaùch; toa I, II, III. Treân saân ga coù 4 haønh khaùch chuaån bò ñi taøu. Bieát raèng moãi toa coù ít nhaát 4 choã troáng. Hoûi : a) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân 3 toa. b) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân taøu ñeå coù 1 toa trong ñoù coù 3 trong 4 vò khaùch. Ñaïi hoïc Luaät Haø Noäi 1999 Giaûi a) Ñoaøn taøu coù 3 toa ; haønh khaùch leân 3 toa nghóa laø leân taøu. Moãi khaùch coù 3 caùch leân toa I hoaëc II hoaëc III. Vaäy soá caùch saép 4 khaùch leân 3 toa laø :
- 3 × 3 × 3 × 3 = 81 caùch. 4! b) Soá caùch saép 3 khaùch leân toa I : C3 = 4 = 4. 3! Soá caùch saép 1 khaùch coøn laïi leân toa II hoaëc III : 2. Vaäy neáu 3 khaùch ôû toa I thì coù : 4 × 2 = 8 caùch. Laäp luaän töông töï neáu 3 khaùch ôû toa II, hoaëc III cuõng laø 8. Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 8 + 8 + 8 = 24 caùch. Baøi 78. Coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu khoù, 10 caâu trung bình vaø 15 caâu deã. Töø 30 caâu ñoù coù theå laäp bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu khaùc nhau, sao cho moãi ñeà phaûi coù 3 loaïi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu deã khoâng ít hôn 2 ? Tuyeån sinh khoái B 2004 Giaûi Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 2 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! 10! C15 . C10 .5 = 2 2 . × 5 = 23625. 2!13! 2!8! Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 2 caâu khoù 15! 5! C15 × 10 × C2 = 10. 2 5 . = 10500 2!13! 2!3! Soá ñeà thi goàm 3 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! C15 × 10 × 5 = 3 × 50 = 22750 3!12! Vì caùc caùch choïn ñoâi moät khaùc nhau, neân soá ñeà kieåm tra laø : 23 625 + 10 500 + 22 750 = 56875. Baøi 79. Moät chi ñoaøn coù 20 ñoaøn vieân trong ñoù 10 nöõ. Muoán choïn 1 toå coâng taùc coù 5 ngöôøi. Coù bao nhieâu caùch choïn neáu toå caàn ít nhaát 1 nöõ. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1998 Giaûi Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân baát kì C5 . 20 Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân toaøn laø nam C10 . 5
- Vaäy soá caùch choïn coù ít nhaát 1 nöõ laø : 20! 10! C5 – C10 = 20 5 – = 15252 caùch. 5!15! 5!5! Baøi 80. Moät ñoäi xaây döïng goàm 10 coâng nhaân, 3 kyõ sö. Ñeå laäp 1 toå coâng taùc caàn choïn 1 kyõ sö laø toå tröôûng, 1 coâng nhaân laøm toå phoù vaø 3 coâng nhaân laøm toå vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp toå coâng taùc. Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi 1998 Giaûi Soá caùch choïn 1 kyõ sö laøm toå tröôûng : 3 Soá caùch choïn 1 coâng nhaân laøm toå phoù : 10 Soá caùch choïn 3 coâng nhaân laøm toå vieân : C3 . 9 9! Vaäy soá caùch laäp toå : 3 × 10 × C3 = 3 × 10 × 9 = 2520. 3!6! Baøi 81. Moät ñoäi vaên ngheä goàm 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Coâ giaùo muoán choïn ra 1 toáp ca goàm 5 em trong ñoù coù ít nhaát laø 2 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Cao ñaúng Sö phaïm Haø Noäi 1999 Giaûi Soá caùch choïn 3 em nam vaø 2 em nöõ : C10 . C10 3 2 Soá caùch choïn 2 em nam vaø 3 em nöõ : C10 . C10 2 3 Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 10! 10! 10 × 9 × 8 10 × 9 2 C10 . C10 = 2 3 2 . =2 . = 10.800. 3!7! 2!8! 6 2 Baøi 82. Moät ñoäi caûnh saùt goàm coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy caàn 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï taïi ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi laøm taïi B coøn laïi 4 ngöôøi tröïc ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ? Hoïc vieän Kyõ Thuaät Quaân söï 2000 Giaûi Soá caùch phaân coâng 3 ngöôøi taïi A : C3 9 Soá caùch phaân coâng 2 ngöôøi taïi B : C2 6
- Soá caùch phaân coâng 4 ngöôøi coøn laïi : 1. Vaäy soá caùch phaân coâng laø : 9! 6! 9! 9 × 8× 7× 6 × 5 C3 . C 2 = 9 6 . = = = 1260. 3!6! 2!4! 3!2!4! 6×2 Baøi 83. Coù 5 nhaø Toaùn hoïc nam, 3 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø Vaät lí nam. Muoán laäp 1 ñoaøn coâng taùc coù 3 ngöôøi goàm caû nam laãn nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn hoïc laãn vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 2 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 3! C3 × 4 = 2 × 4 = 12 2! Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 2 nhaø Vaät lí nam laø : 4! 3.4.3 3 × C2 = 3 × 4 = = 18 2!2! 2 Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø Toaùn hoïc nam vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 5 × 3 × 4 = 60 Vaäy coù caùch choïn ñoaøn coâng taùc laø : 12 + 18 + 60 = 90. Baøi 84. Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä : a) Thaønh 2 nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ baèng nhau. b) Coù bao nhieâu caùch choïn 5 ngöôøi trong ñoù khoâng quaù 1 nam. Hoïc vieän Chính trò 2001 Giaûi a) Do moãi nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 5 ngöôøi. Do soá nöõ baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ. Vaäy moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ vaø 2 nam. Soá caùch choïn laø : 6! 4! 6 × 5× 4 4×3 C3 . C 2 = 6 4 × = × = 20 × 6 = 120. 3!3! 2!2! 6 2
- 6! b) Soá caùch choïn 5 ngöôøi toaøn nöõ laø : C5 = 6 = 6. 5! 6! 6×5 Soá caùch choïn 4 nöõ vaø 1 nam laø : C6 × 4 = 4 × 4= × 4 = 60 4!2! 2 Vaäy soá caùch choïn 5 ngöôøi maø khoâng quaù 1 nam : 6 + 60 = 66. Baøi 85. Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö cuõng khaùc nhau. Ngöôøi ta muoán choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö vaø daùn 3 tem thö ñoù leân 3 bì thö ñaõ choïn. Moät bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy. Tuù taøi 1999 Giaûi 5! Soá caùch choïn 3 tem töø 5 tem laø C3 = 5 = 10. 3!2! 6! Soá caùch choïn 3 bì thö töø 6 bì thö laø C3 = 6 = 20. 3!3! Do caùc tem ñeàu khaùc nhau, caùc bì thö cuõng khaùc nhau, neân soá caùch daùn 3 tem leân 3 bì thö laø 3! = 6. Vaäy soá caùch laøm laø : C3 . C3 .3! = 10.20.6 = 1200 caùch. 5 6 Baøi 86. Moät boä baøi coù 52 laù; coù 4 loaïi : cô, roâ, chuoàn, bích moãi loaïi coù 13 laù. Muoán laáy ra 8 laù baøi trong ñoù phaûi coù ñuùng 1 laù cô, ñuùng 3 laù roâ vaø khoâng quaù 2 laù bích. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi Soá caùch choïn 1 laù cô vaø 3 laù roâ : C1 . C13 caùch. 13 3 • Tröôøng hôïp 1 : Choïn tieáp 4 laù chuoàn (nghóa laø khoâng coù laù bích naøo) coù : C13 4 caùch. • Tröôøng hôïp 2 : Choïn tieáp 1 laù bích vaø 3 laù chuoàn coù : 13. C13 caùch. 3 • Tröôøng hôïp 3 : Choïn tieáp 2 laù bích vaø 2 laù chuoàn coù : C13 . C13 caùch. 2 2 Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu ñeà toaùn : 13. C13 ( C13 + 13. C13 + C13 . C13 ) = 39 102 206 caùch. 3 4 3 2 2 Baøi 87. Coù 2 ñöôøng thaúng song song (d1) vaø (d2). Treân (d1) laáy 15 ñieåm phaân bieät. Treân (d2) laáy 9 ñieåm phaân bieät. Hoûi soá tam giaùc maø coù 3 ñænh laø caùc ñieåm ñaõ laáy.
- Giaûi Ai (d1) Coù hai loaïi tam giaùc taïo thaønh. a) Moät ñænh treân (d1) vaø 2 ñænh treân (d2) (d2) Bj Bk Coù 15 caùch laáy 1 ñænh treân (d1) Coù C2 caùch laáy 2 ñænh treân (d2). 9 Ai Aj (d1) b) Hai ñænh treân (d1) vaø 1 ñænh treân (d2) Coù C15 caùch laáy 2 ñænh treân (d1) 2 (d2) 9 caùch laáy 1 ñænh treân (d2). Bk Vaäy soá tam giaùc taïo thaønh : 9! 15! 15 C2 + 9 C15 = 15. 9 2 + 9. = 540 + 945 = 1485. 2!7! 2!13! Baøi 88. Moät lôùp coù 20 hoïc sinh trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò cuûa tröôøng sao cho trong ñoù coù ít nhaát 1 caùn boä lôùp. Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 1 caùn boä lôùp 18! 2 × C18 = 2 × 2 = 18 × 17 2!16! Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp 1 C1 = 18 18 Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 18 × 17 + 18 = 182 = 324. Baøi 89. Coù 16 hoïc sinh goàm 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia soá hoïc sinh thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi, ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Hoïc vieän Quaân söï 2001 Giaûi
- Vì moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi neân soá hoïc sinh gioûi moãi toå laø 1 hay 2. Vì moãi toå ñeàu coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù neân soá hoïc sinh khaù moãi toå 2 hay 3. Do ñoù neáu xem soá hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình moãi toå laø toïa ñoä moät vectô 3 chieàu ta coù 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 1 laø (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). Töông öùng 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 2 laø : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5). Ta thaáy coù 2 tröôøng hôïp bò truøng. Vaäy chæ coù 2 tröôøng hôïp laø : Tröôøng hôïp 1 : Soá caùch choïn moät toå naøo ñoù coù 1 gioûi, 2 khaù vaø 5 trung bình laø : 3 × C 2 × C8 5 5 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 3 khaù, 3 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Tröôøng hôïp 2 : Soá caùch choïn moät toå coù 1 gioûi, 3 khaù vaø 4 trung bình laø : 3 × C3 × C8 5 4 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 2 khaù vaø 4 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Do ñoù soá caùch chia hoïc sinh laøm 2 toå thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 5! ⎛ 8! 8! ⎞ 3 C 2 C8 + 3 C3 C8 = 3 5 5 5 4 ⎜ + ⎟ = 3780. 2!3! ⎝ 5!3! 4!4! ⎠ Baøi 90. Moät ngöôøi coù 12 caây gioáng trong ñoù coù 6 caây xoaøi, 4 caây mít vaø 2 caây oåi. Ngöôøi ñoù muoán choïn 6 caây gioáng ñeå troàng. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho a) Moãi loaïi coù ñuùng 2 caây. b) Moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây. Tröôøng Haøng khoâng 2000. Giaûi a) Soá caùch choïn 2 caây xoaøi trong 6 caây xoaøi : C2 6 Soá caùch choïn 2 caây mít trong 4 caây mít : C2 4 Soá caùch choïn 2 caây oåi trong 2 caây oåi : 1 Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi ñuùng 2 caây : C2 . C2 = 90 caùch. 6 4 b) Choïn 1 caây oåi, 4 mít, 1 xoaøi : 2 × 1 × 6 = 12 caùch. Choïn 1 oåi, 3 mít vaø 2 xoaøi coù : 2 C3 . C2 = 2 × 4 × 15 = 120 caùch. 4 6
- Choïn 1 oåi, 2 mít vaø 3 xoaøi coù : 2 C2 . C3 = 240 caùch. 4 6 Choïn 1 oåi, 1 mít vaø 4 xoaøi coù : 2 × 4 × C6 = 120 caùch. 4 Choïn 2 oåi, 3 mít vaø 1 xoaøi coù : 1 × C3 × 6 = 24 caùch. 4 Choïn 2 oåi, 2 mít vaø 2 xoaøi coù : 1 × C2 × C2 = 90 caùch. 4 6 Choïn 2 oåi, 1 mít vaø 3 xoaøi coù : 1 × 4 × C3 = 80 caùch. 6 Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây laø : 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 caùch. Baøi 91. Moät lôùp hoïc coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc choïn ñeå laäp 1 toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau vaø phaûi coù ít nhaát 2 nöõ. Ñaïi hoïc Hueá 2000 Giaûi 45! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh baát kì nam hay nöõ : C6 = 45 = 8145060. 6!39! 30! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh toaøn nam : C30 = 6 = 593775. 6!24! 30! Soá caùch choïn 5 nam vaø 1 nöõ : C30 × 15 = 5 × 15 = 2137590. 25!5! Vaäy coù soá caùch choïn 6 hoïc sinh trong ñoù phaûi coù ít nhaát 2 nöõ C6 – ( C30 + 15 C30 ) = 5413695 caùch. 45 6 5 Baøi 92. Cho taäp con goàm 10 phaàn töû khaùc nhau. Tìm soá taäp con khaùc roãng chöùa 1 soá chaün caùc phaàn töû. Ñaïi hoïc Noâng nghieäp khoái B 2000 Giaûi Khi taäp X coù n phaàn töû thì soá taäp con cuûa X coù k phaàn töû laø Ck n Do ñoù n = 10 thì : Soá taäp con cuûa X coù 2 phaàn töû laø C10 2 Soá taäp con cuûa X coù 4 phaàn töû laø C10 4 Soá taäp con cuûa X coù 6 phaàn töû laø C10 6
- Soá taäp con cuûa X coù 8 phaàn töû laø C10 8 Soá taäp con cuûa X coù 10 phaàn töû laø C10 . 10 Vaäy soá taäp con thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 2 4 6 8 10 ⇔ S = 2 C10 + 2 C10 + 1 (do C10 = C10 vaø C10 = C10 ) 2 4 2 8 4 6 10! 10! ⇔ S = 2. + 2. + 1 = 511. 2!8! 4!6! Baøi 93. Moät toå sinh vieân coù 20 em. Trong ñoù chæ coù 8 em bieát noùi tieáng Anh, 7 em bieát tieáng Phaùp vaø 5 em chæ bieát tieáng Ñöùc. Caàn choïn 1 nhoùm ñi thöïc teá goàm 3 em bieát tieáng Anh, 4 em bieát tieáng Phaùp vaø 2 em bieát tieáng Ñöùc. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp nhoùm. Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 1999 Giaûi Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Anh : C8 3 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Phaùp: C7 4 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Ñöùc : C5 . 2 Vaäy soá caùch laäp thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 8! 7! 5! C8 × C 7 × C 5 = 3 4 2 × × = 1960 caùch. 3!5! 4!3! 2!3! Baøi 94. Trong 1 hoäp coù 7 quaû caàu xanh, 5 quaû caàu ñoû vaø 4 quaû caàu vaøng , caùc quaû caàu ñeàu khaùc nhau. Choïn ngaãu nhieân 4 quaû caàu trong hoäp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho trong 4 quaû caàu choïn ra coù ñuû 3 maøu. Ñaïi hoïc Noâng laâm khoái D 2001 Giaûi Soá caùch choïn 2 quaû caàu xanh, 1 ñoû, 1 vaøng laø : C7 . C1 . C1 = 420 2 5 4 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 2 ñoû vaø 1 vaøng laø : C1 . C5 . C1 = 280 7 2 4 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 1 ñoû vaø 2 vaøng laø : C1 . C1 . C 2 = 210 7 5 4 Vaäy soá caùch choïn 4 quaû caàu ñuû 3 maøu laø : 420 + 280 + 210 = 910.
- Baøi 95. Moät hoäp chöùa 6 bi traéng vaø 5 bi ñen. Hoûi coù maáy caùch laáy ra 4 bi : a) maøu tuøy yù ? b) goàm 2 bi traéng vaø 2 bi ñen ? Giaûi a) Laáy ra 4 bi maøu tuøy yù töø 11 bi laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 11 phaàn töû. 11! 8.9.10.11 Vaäy coù : C11 = 4 = = 3.10.11 = 330 caùch. 4!7! 2.3.4 b) Laáy ra 2 bi traéng trong 6 bi traéng laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 6 phaàn töû. Laáy ra 2 bi ñen trong 5 bi ñen laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy soá caùch choïn thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 6! 5! C 6 . C5 = 2 2 . = 15.10 = 150 caùch. 2!4! 2!3! Baøi 96. Moät hoäp coù 6 quaû caàu xanh ñaùnh soá töø 1 ñeán 6, 5 quaû caàu ñoû ñaùnh soá töø 1 ñeán 5, 4 quaû caàu vaøng ñaùnh soá töø 1 ñeán 4. a) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu, 3 quaû caàu cuøng soá. b) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu khaùc maøu ? 3 quaû caàu khaùc maøu vaø khaùc soá. Ñaïi hoïc Daân laäp Thaêng Long 1999 Giaûi 6! a) • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng xanh : C3 = 6 = 20 3!3! 5! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng ñoû : C3 = 5 = 10 3!2! 4! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng vaøng : C3 = 4 =4 3! Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu : C3 + C3 + C3 = 34. 6 5 4 • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 1 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 2 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 3 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 4 : 1 Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá : 4.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Các chủ đề ôn thi toán đại học và cao đẳng
11 p | 1003 | 400
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 2)
12 p | 90 | 33
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 1)
12 p | 81 | 31
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 4
37 p | 79 | 30
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 1
14 p | 101 | 26
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 1
14 p | 79 | 24
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 2
9 p | 74 | 24
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 3
15 p | 85 | 23
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 1: Quy tắc cơ bản của phép đếm
14 p | 56 | 18
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 2
9 p | 85 | 18
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (P1)
12 p | 70 | 17
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (P2)
12 p | 62 | 16
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 3
15 p | 74 | 15
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 5: Nhị thức Newton (phần 2)
12 p | 36 | 9
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 2: Hoán vị
9 p | 41 | 6
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 3: Chỉnh hợp
15 p | 35 | 5
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 5: Nhị thức Newton (phần 1)
12 p | 48 | 4

markdown:
# Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
Chia sẻ: Nhan Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37
lượt xem 18
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100621/nhantaivn/80x100/toan_daisotohop_chuong4_3596.jpg)
##
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tham khảo tài liệu 'ôn thi toán đại số tổ hợp_chương 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 4
- ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Chöông IV TOÅ HÔÏP Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät khaùc nhau (0 ≤ k ≤ n) khoâng ñeå yù ñeán thöù töï choïn. Moãi caùch choïn nhö vaäy goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Ta thaáy moãi toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû taïo ra ñöôïc Pk = k! chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Do ñoù, neáu kí hieäu Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû, ta coù : k An k n! C = k n = k! k!(n − k)! Tính chaát : Ck = Cn − k n n Ck = Ck −1 + Ck −1 n n −1 n C0 + C1 + … + Cn = 2n n n n Ví duï 1. Coù 5 hoïc sinh, caàn choïn ra 2 hoïc sinh ñeå ñi tröïc lôùp, hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaây laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy coù : 5! 5.4 C2 = 5 = = 10 caùch choïn. 2!3! 2 (Giaû söû 5 hoïc sinh laø {a, b, c, d, e} thì 10 caùch choïn laø : {a, b} , {a, c} , {a, d} , {a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e} . Ví duï 2. Moät noâng daân coù 6 con boø, 4 con heo. Moät noâng daân khaùc ñeán hoûi mua 4 con boø vaø 2 con heo. Hoûi coù maáy caùch choïn mua ? Giaûi Choïn mua 4 con boø trong 6 con boø laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 6 phaàn töû, coù : C6 4 caùch choïn. Choïn mua 2 con heo trong 4 con heo laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû, coù : C2 4 caùch choïn. Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn mua boø vaø heo laø :
- 6! 4! 6! 6.5.4.3.2.1 C6 × C2 = 4 4 × = = 4!2! 2!2! (2!) 3 8 = 6 × 5 × 3 = 90 caùch choïn. Ví duï 3. Trong moät kì thi, moãi sinh vieân phaûi traû lôøi 3 trong 5 caâu hoûi. a) Coù maáy caùch choïn. b) Coù maáy caùch choïn neáu trong 5 caâu hoûi coù 1 caâu hoûi baét buoäc. Giaûi a) Choïn 3 trong 5 caâu hoûi laø toå hôïp chaäp 3 cuûa 5 phaàn töû. 5! 5.4 Vaäy coù : C3 = 5 = = 10 caùch choïn. 3!2! 2 b) Choïn 2 trong 4 caâu hoûi coøn laïi laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû 4! 4.3 Vaäy coù : C2 = 4 = = 6 caùch choïn. 2!2! 2 Chuù yù : – Coù theå xem moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät taäp con goàm k phaàn töû cuûa taäp n phaàn töû ñaõ cho. – Caàn phaân bieät trong moãi baøi toaùn choïn k vaät töø n vaät, coù hay khoâng haøm yù thöù töï . Neáu coù thöù töï, ñoù laø chænh hôïp, neáu khoâng coù thöù töï, ñoù laø toå hôïp. 1 1 1 Baøi 60. Giaûi phöông trình : – x = x (*) C4 x C5 C6 Giaûi Ñieàu kieän : x ∈ ¥ vaø x ≤ 4. x!(4 − x)! x!(5 − x)! x!(6 − x)! (*) ⇔ – = 4! 5! 6! (4 − x)! (5 − x)(4 − x)! (6 − x)(5 − x)(4 − x)! ⇔ – = (do x! > 0) 4! 5 × 4! 6 × 5 × 4! 5−x (6 − x)(5 − x) ⇔ 1– = (do (4 – x)! > 0) 5 30 ⇔ 30 – 6(5 – x) = 30 – 11x + x2 ⎡ x1 = 2 ⇔ x2 – 17x + 30 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x 2 = 15 (loaïi so ñieàu kieän x ≤ 4)
- ⇔ x = 2. Cn −13 1 Baøi 61. Tìm n sao cho n− < (*) A n +1 4 14P3 Ñaïi hoïc Haøng haûi 1999 Giaûi Ñieàu kieän : n ∈ ¥ vaø n + 1 ≥ 4 ⇔ n ∈ ¥ vaø n ≥ 3. (n − 1)! (n − 3)!2! 1 (n − 1)! 1 1 (*) ⇔ < ⇔ × < (n + 1)! 14 × 3! 2! (n + 1)! 14 × 6 (n − 3)! 1 1 ⇔ < ⇔ n2 + n – 42 < 0 (n + 1)n 42 ⇔ –7 < n < 6 Do ñieàu kieän n ∈ ¥ vaø n ≥ 3 neân n ∈ {3, 4,5} . 1 2 6 3 Baøi 62. Tìm x thoûa : A 2x – A 2 ≤ x Cx + 10. 2 x Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2000 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ 3. Baát phöông trình ñaõ cho 1 (2x)! x! 6 x! ⇔ . – ≤ . + 10 2 (2x − 2)! (x − 2)! x 3!(x − 3)! 1 ⇔ .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ (x – 1)(x – 2) + 10 2 ⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x≤4 Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù nghieäm baát phöông trình laø x = 3 ∨ x= 4 ⎧2A y + 5Cy = 90 ⎪ x Baøi 63. Tìm x, y thoûa ⎨ y x ⎪5A x − 2Cx = 80 y ⎩ Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 2001 Giaûi
- Ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. ⎧4A y + 10Cy = 180 ⎪ x x ⎧29A y = 580 ⎪ x Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ y ⎪25A x − 10Cx = 400 ⎪4A x + 10Cx = 180 y y y ⎩ ⎩ ⎧ x! ⎧A = 20 y ⎪ (x − y)! = 20 ⎪ x ⎪ ⇔⎨ y ⇔ ⎨ ⎪Cx = 10 ⎩ ⎪ x! = 10 ⎪ y!(x − y)! ⎩ ⎧ x! ⎪ (x − y)! = 20 ⎧ x! = 20 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨ (x − y)! ⎪ 20 = 10 ⎪y! = 2 ⎪ y! ⎩ ⎩ ⎧ x! ⎪ = 20 ⎧x(x − 1) = 20 ⇔ ⎨ (x − 2)! ⇔ ⎨ ⎪y = 2 ⎩y = 2 ⎩ ⎧x 2 − x − 20 = 0 ⎧x = 5 ∨ x = −4(loaïi ) ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩y = 2 ⎩y = 2 ⎧x = 5 ⇔ ⎨ thoûa ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y. ⎩y = 2 Baøi 64. Cho k, n ∈ N thoûa n ≥ k ≥ 2. Chöùng minh : k(k – 1) Cn = n(n – 1) Cn −2 . k k −2 Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi 1999 Giaûi (n − 2)! Ta coù : k −2 n(n – 1) Cn −2 = n(n – 1) (k − 2)!(n − k)! n! k(k − 1)n! n(n – 1) Cn −2 = k −2 = (k − 2)!(n − k)! k(k − 1)(k − 2)!(n − k)! n! = k(k – 1) k = k(k – 1) Cn . k!(n − k)! Baøi 65. Cho 4 ≤ k ≤ n. Chöùng minh : Cn + 4 Cn −1 + 6 Cn −2 + 4 Cn −3 + Cn − 4 = Cn + 4 . k k k k k k
- Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi k k k −1 AÙp duïng tính chaát cuûa toå hôïp C n = Cn −1 + Cn −1 Ta coù : Cn + 4 Cn −1 + 6 Cn −2 + 4 Cn −3 + Cn − 4 k k k k k = ( C n + Cn −1 ) + 3( Cn −1 + Cn −2 ) + 3( Cn −2 + Cn −3 ) + Cn −3 + Cn − 4 k k k k k k k k = k k −1 k −2 k −3 Cn +1 + 3 Cn +1 + 3 Cn +1 + Cn +1 = ( Cn +1 + Cn +1 ) + 2( Cn +1 + Cn +1 ) + ( Cn +1 + Cn +1 ) k k −1 k −1 k −2 k −2 k −3 = Cn + 2 + 2 Cn +1 + Cn + 2 k k− 2 k −2 = ( Cn + 2 + Cn +1 ) + ( Cn +1 + Cn + 2 ) k k− 2 k− 2 k −2 = Cn +3 + Cn +1 = Cn + 4 . k k− 3 k Baøi 66. Tìm k ∈ N sao cho C14 + C14+ 2 = 2 C14+1 . k k k Cao ñaúng Sö phaïm TP. HCM 1998 Giaûi Ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12. Ta coù : C14 + C14+ 2 = 2 C14+1 k k k 14! 14! 14! ⇔ + =2 k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 1 2 ⇔ + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) ⇔ 2k2 – 24k + 184 = 2(–k2 + 12k + 28) ⇔ 4k2 – 48k + 128 = 0 ⇔ k=8 ∨ k=4 (nhaän so ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12). Baøi 67*. Chöùng minh neáu k ∈ N vaø 0 ≤ k ≤ 2000 thì C2001 + C2001 ≤ C1000 + C1001 (1) k k +1 2001 2001 Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi khoái A 2000 Giaûi
- Do C n = Cn −1 + Cn −1 neân k k −1 k (1) ⇔ C2002 ≤ C1001 k +1 2002 Xeùt daõy {u k } = C2002 vôùi k ∈ [0, 1000] ñaây laø 1 daõy taêng vì k uk ≤ uk+1 ⇔ C2002 ≤ C2002 k k +1 (2002)! (2002)! ⇔ ≤ k!(2002 − k)! (k + 1)!(2001 − k)! (k + 1)! (2002 − k)! ⇔ ≤ k! (2001 − k)! ⇔ k + 1 ≤ 2002 – k ⇔ 2k ≤ 2001 luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 1000]. Do ñoù : uk+1 ≤ uk+2 ≤ … ≤ u1001 neân C2002 ≤ C1001 ∀ k ∈ [0, 1000] k +1 2002 Maët khaùc do C2002 = C2001− k k +1 2002 neân khi k ∈ [1001, 2000] thì (2001 – k) ∈ [1, 1000] Baát ñaúng thöùc (1) vaãn ñuùng. Vaäy (1) luoân ñuùng ∀ k ∈ [0, 2000]. Baøi 68*. Vôùi moïi n, k ∈ N vaø n ≥ k ≥ 0. Chöùng minh : ( ) 2 C2n + k . C2n − k ≤ C2n . n n n Ñaïi hoïc Y döôïc TP. HCM 1998 Giaûi Xeùt daõy soá {u k } = C2n + k . C2n − k ñaây laø daõy giaûm vì n n uk ≥ uk+1 ⇔ C2n + k . C2n − k ≥ C2n + k +1 . C2n − k −1 n n n n (2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! ⇔ . ≥ . n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! (n + k + 1)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (n − k)! ⇔ . ≥ . (n + k)! (2n − k − 1)! (2n + k)! (n − k − 1)! ⇔ (n + k + 1)(2n – k) ≥ (2n + k + 1)(n – k) ⇔ 2n2 + nk – k2 + 2n – k ≥ 2n2 – nk – k2 + n – k
- ⇔ 2nk + n ≥ 0 luoân ñuùng ∀ k, n ∈ N Do ñoù u0 ≥ u1 ≥ u2 ≥ … ≥ uk ≥ uk+1 … ≥ un Vaäy u0 ≥ uk ⇔ C2n + 0 . C2n − 0 ≥ C2n + k . C2n − k . n n n n Baøi 69. Cho n nguyeân döông coá ñònh vaø k ∈ ∈ {0,1, 2,...., n} . Chöùng minh raèng neáu Ck ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi ko thì k0 thoûa n n −1 n +1 ≤ k0 ≤ . 2 2 Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 2001 Giaûi Do C k coù tính ñoái xöùng, nghóa laø C k = Cn − k , ta coù : n n n C0 = Cn , C1 = Cn −1 , n n n n C2 = Cn −2 … n n Vaø daõy {u k } = C n vôùi k ∈ [0, n k ] ñaây laø 1 daõy taêng neân ta coù 2 ⎧ n! n! ⎧C ≥ C k k +1 ⎪ k!(n − k)! ≥ (k + 1)!(n − k − 1)! ⎪ ⎪ Ck ñaït max ⇔ ⎨ k ⇔ n n n k −1 ⎨ ⎪C n ≥ C n ⎩ ⎪ n! ≥ n! ⎪ k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! ⎩ ⎧ (k + 1)! (n − k)! ⎧ n −1 ≥ ⎪ k! ⎪ (n − k − 1)! ⎧k + 1 ≥ n − k ⎪k ≥ ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ (n − k + 1)! ≥ k! ⎩n − k + 1 ≥ k ⎪k ≤ n +1 ⎪ (n − k)! ⎩ (k − 1)! ⎪ ⎩ 2 n −1 n +1 Do ñoù k thoûa ≤k ≤ . 2 2 Baøi 70. Cho m, n ∈ N vôùi 0 < m < n. Chöùng minh : a) m Cm = n Cm−−11 n n b) Cm = Cm−−11 + Cm−−2 + … + Cm −1 + Cm −1 . n n n 1 m m −1 Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 1998 Giaûi
- (n − 1)! n! a) Ta coù : n Cm−−11 = n = (m − 1)!(n − m)! (m − 1)!(n − m)! n m.n! n! = = m. = m. Cm . m(m − 1)!(n − m)! m!(n − m)! n b) Vôùi k ∈ N vaø k ≥ m. Ta coù Cm = Cm + Cm−−11 k k-1 k ⇔ Cm−−11 = Cm – Cm k k k-1 Vôùi k = n ta coù Cm−−11 = Cm – Cm n n n-1 (1) Vôùi k = n – 1 ta coù Cm−−21 = Cm−1 – Cm−2 n n n (2) Vôùi k = n – 2 ta coù Cm−−31 = Cm− 2 – Cm−3 n n n (3) .............................................. .............................................. Vôùi k = m + 1 ta coù Cm −1 = Cm +1 – Cm m m m (n – m – 1) vaø Cm −1 = Cm = 1. m −1 m Coäng veá theo veá caùc ñaúng thöùc treân ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Baøi 71. Chöùng minh : C2002 . C2001 + C1 . C2000 + … + Ck . C2001− k + … + C2001 . C1 = 1001.22002. 0 2002 2002 2001 2002 2002 − k 2002 0 Trung taâm Boài döôõng Caùn boä Y teá TP. HCM 2001 Giaûi 2001 2001 2002! (2002 − k)! Veá traùi = ∑ Ck .C 2002− k = 2001 −k ∑ k!(2002 − k)! . (2001 − k)!1! 2002 k =0 k =0 2001 2001 2002! 2002.2001! = ∑ k!(2001 − k)! = ∑ k!(2001 − k)! k =0 k =0 2001 n = 2002 ∑ Ck = 2002.22001 2001 (do ∑C k n = 2n) k =0 k =0 = 1001.22002 = veá phaûi. Baøi 72. Ñeà thi traéc nghieäm coù 10 caâu hoûi, hoïc sinh caàn choïn traû lôøi 8 caâu . a) Hoûi coù maáy caùch choïn tuøy yù ? b) Hoûi coù maáy caùch choïn neáu 3 caâu ñaàu laø baét buoäc ?
- c) Hoûi coù maáy caùch choïn 4 trong 5 caâu ñaàu vaø 4 trong 5 caâu sau ? Giaûi a) Choïn tuøy yù 8 trong 10 caâu laø toå hôïp chaäp 8 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9 C10 = 8 = = 45 caùch. 8!2! 2 b) Vì coù 3 caâu baét buoäc neân phaûi choïn theâm 5 caâu trong 7 caâu coøn laïi, ñaây laø toå hôïp chaäp 5 cuûa 7 phaàn töû, coù : 7! 7.6 C5 = 7 = = 21 caùch. 5!2! 2 c) Choïn 4 trong 5 caâu ñaàu, coù C5 caùch. Tieáp theo, choïn 4 trong 5 caâu sau, coù C5 4 4 caùch. Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : 2 ⎛ 5! ⎞ C .C = ⎜ 4 4 ⎟ = 25 caùch. ⎝ 4!1! ⎠ 5 5 Baøi 73. Coù 12 hoïc sinh öu tuù. Caàn choïn ra 4 hoïc sinh ñeå ñi döï ñaïi hoäi hoïc sinh öu tuù toaøn quoác. Coù maáy caùch choïn. a) Tuøy yù ? b) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B khoâng cuøng ñi ? c) Sao cho 2 hoïc sinh A vaø B cuøng ñi hoaëc cuøng khoâng ñi? Giaûi a) Choïn tuøy yù 4 trong 12 hoïc sinh, laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 12 phaàn töû. Vaäy, coù : 12! 12.11.10.9 C12 = 4 = = 11.5.9 = 495 caùch. 4!8! 2.3.4 b) * Caùch 1 : Neáu A, B cuøng khoâng ñi, caàn choïn 4 trong 10 hoïc sinh coøn laïi. Ñaây laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 10 phaàn töû, coù : 10! 10.9.8.7 C10 = 4 = = 10.3.7 = 210 caùch. 4!6! 2.3.4 Neáu A ñi, B khoâng ñi, caàn choïn theâm 3 trong 10 hoïc sinh coøn laïi coù : 10! 10.9.8 C10 = 3 = = 5.3.8 = 120 caùch. 3!7! 2.3
- Töông töï, neáu B ñi, A khoâng ñi, coù : 120 caùch. Vaäy, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 210 + 120 +120 = 450 caùch. * Caùch 2 : Neáu A vaø B cuøng ñi, caàn choïn theâm 2 trong 10 hoïc sinh coøn laïi, coù : 10! C10 = 2 = 9.5 = 45 caùch. 2!8! Suy ra, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 495 – 45 = 450 caùch. c) A vaø B cuøng ñi, coù C10 = 45 caùch. 2 A vaø B cuøng khoâng ñi, coù C10 = 210 caùch. 4 Vaäy coù : 45 + 210 = 255 caùch. Baøi 74. Moät phuï nöõ coù 11 ngöôøi baïn thaân trong ñoù coù 6 nöõ. Coâ ta ñònh môøi ít nhaát 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi ñoù ñeán döï tieäc. Hoûi : a) Coù maáy caùch môøi ? b) Coù maáy caùch môøi ñeå trong buoåi tieäc goàm coâ ta vaø caùc khaùch môøi, soá nam nöõ baèng nhau . Giaûi a) Môøi 3 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. 3 Môøi 4 ngöôøi trong 11 ngöôøi, coù : C11 caùch. 4 Laäp luaän töông töï khi môøi 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 trong 11 ngöôøi. Vaäy, coù : C11 + C11 + … + C11 = ( C11 + C1 + … + C11 ) – ( C11 + C1 + C11 ) 3 4 11 0 11 11 0 11 2 = 211 – 1 – 11 – 55 = 1981 caùch. b) Môøi 1 nöõ trong 6 nöõ, 2 nam trong 5 nam, coù : C1 . C2 caùch. 6 5 Môøi 2 nöõ trong 6 nöõ, 3 nam trong 5 nam, coù : C2 . C3 caùch. 6 5 Môøi 3 nöõ trong 6 nöõ, 4 nam trong 5 nam, coù : C3 . C5 caùch. 6 4 Môøi 4 nöõ trong 6 nöõ, 5 nam trong 5 nam, coù : C6 . C5 caùch. 4 5
- Vaäy, coù : C1 . C2 + C2 . C3 + C3 . C5 + C6 . C5 = 325 caùch. 6 5 6 5 6 4 4 5 Baøi 75. Moät toå coù 12 hoïc sinh. Thaày giaùo coù 3 ñeà kieåm tra khaùc nhau. Caàn choïn 4 hoïc sinh cho moãi ñeà kieåm tra. Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Ñaàu tieân, choïn 4 trong 12 hoïc sinh cho ñeà moät, coù C12 caùch. 4 Tieáp ñeán, choïn 4 trong 8 hoïc sinh coøn laïi cho ñeà hai, coù C8 caùch. 4 Caùc hoïc sinh coøn laïi laøm ñeà ba. 12! 8! 12.11.10.9 8.7.6.5 Vaäy, coù : C12 . C8 = 4 4 . = . 4!8! 4!4! 2.3.4 2.3.4 = (11.5.9).(7.2.5) = 34650 caùch. Baøi 76. Coù 12 hoïc sinh öu tuù cuûa moät tröôøng trung hoïc. Muoán choïn moät ñoaøn ñaïi bieåu goàm 5 ngöôøi (goàm moät tröôûng ñoaøn, moät thö kyù, vaø ba thaønh vieân) ñi döï traïi quoác teá. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Coù giaûi thích ? Ñaïi hoïc Quoác gia TP. HCM 1997 Giaûi Soá caùch choïn 1 tröôûng ñoaøn : 12 Soá caùch choïn 1 thö kyù : 11 10! 10.9.8 Soá caùch choïn 3 thaønh vieân : C10 = 3 = = 120 3!7! 6 Soá caùch choïn ñoaøn ñaïi bieåu : 12 × 11 × 120 = 15 840. Baøi 77. Moät ñoaøn taøu coù 3 toa chôû khaùch; toa I, II, III. Treân saân ga coù 4 haønh khaùch chuaån bò ñi taøu. Bieát raèng moãi toa coù ít nhaát 4 choã troáng. Hoûi : a) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân 3 toa. b) Coù bao nhieâu caùch saép 4 haønh khaùch leân taøu ñeå coù 1 toa trong ñoù coù 3 trong 4 vò khaùch. Ñaïi hoïc Luaät Haø Noäi 1999 Giaûi a) Ñoaøn taøu coù 3 toa ; haønh khaùch leân 3 toa nghóa laø leân taøu. Moãi khaùch coù 3 caùch leân toa I hoaëc II hoaëc III. Vaäy soá caùch saép 4 khaùch leân 3 toa laø :
- 3 × 3 × 3 × 3 = 81 caùch. 4! b) Soá caùch saép 3 khaùch leân toa I : C3 = 4 = 4. 3! Soá caùch saép 1 khaùch coøn laïi leân toa II hoaëc III : 2. Vaäy neáu 3 khaùch ôû toa I thì coù : 4 × 2 = 8 caùch. Laäp luaän töông töï neáu 3 khaùch ôû toa II, hoaëc III cuõng laø 8. Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn : 8 + 8 + 8 = 24 caùch. Baøi 78. Coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu khoù, 10 caâu trung bình vaø 15 caâu deã. Töø 30 caâu ñoù coù theå laäp bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu khaùc nhau, sao cho moãi ñeà phaûi coù 3 loaïi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu deã khoâng ít hôn 2 ? Tuyeån sinh khoái B 2004 Giaûi Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 2 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! 10! C15 . C10 .5 = 2 2 . × 5 = 23625. 2!13! 2!8! Soá ñeà thi goàm 2 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 2 caâu khoù 15! 5! C15 × 10 × C2 = 10. 2 5 . = 10500 2!13! 2!3! Soá ñeà thi goàm 3 caâu deã, 1 caâu trung bình vaø 1 caâu khoù 15! C15 × 10 × 5 = 3 × 50 = 22750 3!12! Vì caùc caùch choïn ñoâi moät khaùc nhau, neân soá ñeà kieåm tra laø : 23 625 + 10 500 + 22 750 = 56875. Baøi 79. Moät chi ñoaøn coù 20 ñoaøn vieân trong ñoù 10 nöõ. Muoán choïn 1 toå coâng taùc coù 5 ngöôøi. Coù bao nhieâu caùch choïn neáu toå caàn ít nhaát 1 nöõ. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 1998 Giaûi Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân baát kì C5 . 20 Soá caùch choïn 5 ñoaøn vieân toaøn laø nam C10 . 5
- Vaäy soá caùch choïn coù ít nhaát 1 nöõ laø : 20! 10! C5 – C10 = 20 5 – = 15252 caùch. 5!15! 5!5! Baøi 80. Moät ñoäi xaây döïng goàm 10 coâng nhaân, 3 kyõ sö. Ñeå laäp 1 toå coâng taùc caàn choïn 1 kyõ sö laø toå tröôûng, 1 coâng nhaân laøm toå phoù vaø 3 coâng nhaân laøm toå vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp toå coâng taùc. Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi 1998 Giaûi Soá caùch choïn 1 kyõ sö laøm toå tröôûng : 3 Soá caùch choïn 1 coâng nhaân laøm toå phoù : 10 Soá caùch choïn 3 coâng nhaân laøm toå vieân : C3 . 9 9! Vaäy soá caùch laäp toå : 3 × 10 × C3 = 3 × 10 × 9 = 2520. 3!6! Baøi 81. Moät ñoäi vaên ngheä goàm 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Coâ giaùo muoán choïn ra 1 toáp ca goàm 5 em trong ñoù coù ít nhaát laø 2 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Cao ñaúng Sö phaïm Haø Noäi 1999 Giaûi Soá caùch choïn 3 em nam vaø 2 em nöõ : C10 . C10 3 2 Soá caùch choïn 2 em nam vaø 3 em nöõ : C10 . C10 2 3 Vaäy soá caùch thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 10! 10! 10 × 9 × 8 10 × 9 2 C10 . C10 = 2 3 2 . =2 . = 10.800. 3!7! 2!8! 6 2 Baøi 82. Moät ñoäi caûnh saùt goàm coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy caàn 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï taïi ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi laøm taïi B coøn laïi 4 ngöôøi tröïc ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ? Hoïc vieän Kyõ Thuaät Quaân söï 2000 Giaûi Soá caùch phaân coâng 3 ngöôøi taïi A : C3 9 Soá caùch phaân coâng 2 ngöôøi taïi B : C2 6
- Soá caùch phaân coâng 4 ngöôøi coøn laïi : 1. Vaäy soá caùch phaân coâng laø : 9! 6! 9! 9 × 8× 7× 6 × 5 C3 . C 2 = 9 6 . = = = 1260. 3!6! 2!4! 3!2!4! 6×2 Baøi 83. Coù 5 nhaø Toaùn hoïc nam, 3 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø Vaät lí nam. Muoán laäp 1 ñoaøn coâng taùc coù 3 ngöôøi goàm caû nam laãn nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn hoïc laãn vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. Ñaïi hoïc Y Haø Noäi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 2 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 3! C3 × 4 = 2 × 4 = 12 2! Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ vaø 2 nhaø Vaät lí nam laø : 4! 3.4.3 3 × C2 = 3 × 4 = = 18 2!2! 2 Soá caùch choïn 1 nhaø Toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø Toaùn hoïc nam vaø 1 nhaø Vaät lí nam laø : 5 × 3 × 4 = 60 Vaäy coù caùch choïn ñoaøn coâng taùc laø : 12 + 18 + 60 = 90. Baøi 84. Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä : a) Thaønh 2 nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ baèng nhau. b) Coù bao nhieâu caùch choïn 5 ngöôøi trong ñoù khoâng quaù 1 nam. Hoïc vieän Chính trò 2001 Giaûi a) Do moãi nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 5 ngöôøi. Do soá nöõ baèng nhau neân moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ. Vaäy moãi nhoùm phaûi coù 3 nöõ vaø 2 nam. Soá caùch choïn laø : 6! 4! 6 × 5× 4 4×3 C3 . C 2 = 6 4 × = × = 20 × 6 = 120. 3!3! 2!2! 6 2
- 6! b) Soá caùch choïn 5 ngöôøi toaøn nöõ laø : C5 = 6 = 6. 5! 6! 6×5 Soá caùch choïn 4 nöõ vaø 1 nam laø : C6 × 4 = 4 × 4= × 4 = 60 4!2! 2 Vaäy soá caùch choïn 5 ngöôøi maø khoâng quaù 1 nam : 6 + 60 = 66. Baøi 85. Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö cuõng khaùc nhau. Ngöôøi ta muoán choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö vaø daùn 3 tem thö ñoù leân 3 bì thö ñaõ choïn. Moät bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy. Tuù taøi 1999 Giaûi 5! Soá caùch choïn 3 tem töø 5 tem laø C3 = 5 = 10. 3!2! 6! Soá caùch choïn 3 bì thö töø 6 bì thö laø C3 = 6 = 20. 3!3! Do caùc tem ñeàu khaùc nhau, caùc bì thö cuõng khaùc nhau, neân soá caùch daùn 3 tem leân 3 bì thö laø 3! = 6. Vaäy soá caùch laøm laø : C3 . C3 .3! = 10.20.6 = 1200 caùch. 5 6 Baøi 86. Moät boä baøi coù 52 laù; coù 4 loaïi : cô, roâ, chuoàn, bích moãi loaïi coù 13 laù. Muoán laáy ra 8 laù baøi trong ñoù phaûi coù ñuùng 1 laù cô, ñuùng 3 laù roâ vaø khoâng quaù 2 laù bích. Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi Soá caùch choïn 1 laù cô vaø 3 laù roâ : C1 . C13 caùch. 13 3 • Tröôøng hôïp 1 : Choïn tieáp 4 laù chuoàn (nghóa laø khoâng coù laù bích naøo) coù : C13 4 caùch. • Tröôøng hôïp 2 : Choïn tieáp 1 laù bích vaø 3 laù chuoàn coù : 13. C13 caùch. 3 • Tröôøng hôïp 3 : Choïn tieáp 2 laù bích vaø 2 laù chuoàn coù : C13 . C13 caùch. 2 2 Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu ñeà toaùn : 13. C13 ( C13 + 13. C13 + C13 . C13 ) = 39 102 206 caùch. 3 4 3 2 2 Baøi 87. Coù 2 ñöôøng thaúng song song (d1) vaø (d2). Treân (d1) laáy 15 ñieåm phaân bieät. Treân (d2) laáy 9 ñieåm phaân bieät. Hoûi soá tam giaùc maø coù 3 ñænh laø caùc ñieåm ñaõ laáy.
- Giaûi Ai (d1) Coù hai loaïi tam giaùc taïo thaønh. a) Moät ñænh treân (d1) vaø 2 ñænh treân (d2) (d2) Bj Bk Coù 15 caùch laáy 1 ñænh treân (d1) Coù C2 caùch laáy 2 ñænh treân (d2). 9 Ai Aj (d1) b) Hai ñænh treân (d1) vaø 1 ñænh treân (d2) Coù C15 caùch laáy 2 ñænh treân (d1) 2 (d2) 9 caùch laáy 1 ñænh treân (d2). Bk Vaäy soá tam giaùc taïo thaønh : 9! 15! 15 C2 + 9 C15 = 15. 9 2 + 9. = 540 + 945 = 1485. 2!7! 2!13! Baøi 88. Moät lôùp coù 20 hoïc sinh trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò cuûa tröôøng sao cho trong ñoù coù ít nhaát 1 caùn boä lôùp. Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000 Giaûi Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 1 caùn boä lôùp 18! 2 × C18 = 2 × 2 = 18 × 17 2!16! Soá caùch choïn 3 ngöôøi trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp 1 C1 = 18 18 Vaäy soá caùch choïn thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 18 × 17 + 18 = 182 = 324. Baøi 89. Coù 16 hoïc sinh goàm 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao nhieâu caùch chia soá hoïc sinh thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi, ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Hoïc vieän Quaân söï 2001 Giaûi
- Vì moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi neân soá hoïc sinh gioûi moãi toå laø 1 hay 2. Vì moãi toå ñeàu coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù neân soá hoïc sinh khaù moãi toå 2 hay 3. Do ñoù neáu xem soá hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình moãi toå laø toïa ñoä moät vectô 3 chieàu ta coù 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 1 laø (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3). Töông öùng 4 tröôøng hôïp ñoái vôùi toå 2 laø : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5). Ta thaáy coù 2 tröôøng hôïp bò truøng. Vaäy chæ coù 2 tröôøng hôïp laø : Tröôøng hôïp 1 : Soá caùch choïn moät toå naøo ñoù coù 1 gioûi, 2 khaù vaø 5 trung bình laø : 3 × C 2 × C8 5 5 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 3 khaù, 3 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Tröôøng hôïp 2 : Soá caùch choïn moät toå coù 1 gioûi, 3 khaù vaø 4 trung bình laø : 3 × C3 × C8 5 4 Vaäy toå coøn laïi coù 2 gioûi, 2 khaù vaø 4 trung bình thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Do ñoù soá caùch chia hoïc sinh laøm 2 toå thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 5! ⎛ 8! 8! ⎞ 3 C 2 C8 + 3 C3 C8 = 3 5 5 5 4 ⎜ + ⎟ = 3780. 2!3! ⎝ 5!3! 4!4! ⎠ Baøi 90. Moät ngöôøi coù 12 caây gioáng trong ñoù coù 6 caây xoaøi, 4 caây mít vaø 2 caây oåi. Ngöôøi ñoù muoán choïn 6 caây gioáng ñeå troàng. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho a) Moãi loaïi coù ñuùng 2 caây. b) Moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây. Tröôøng Haøng khoâng 2000. Giaûi a) Soá caùch choïn 2 caây xoaøi trong 6 caây xoaøi : C2 6 Soá caùch choïn 2 caây mít trong 4 caây mít : C2 4 Soá caùch choïn 2 caây oåi trong 2 caây oåi : 1 Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi ñuùng 2 caây : C2 . C2 = 90 caùch. 6 4 b) Choïn 1 caây oåi, 4 mít, 1 xoaøi : 2 × 1 × 6 = 12 caùch. Choïn 1 oåi, 3 mít vaø 2 xoaøi coù : 2 C3 . C2 = 2 × 4 × 15 = 120 caùch. 4 6
- Choïn 1 oåi, 2 mít vaø 3 xoaøi coù : 2 C2 . C3 = 240 caùch. 4 6 Choïn 1 oåi, 1 mít vaø 4 xoaøi coù : 2 × 4 × C6 = 120 caùch. 4 Choïn 2 oåi, 3 mít vaø 1 xoaøi coù : 1 × C3 × 6 = 24 caùch. 4 Choïn 2 oåi, 2 mít vaø 2 xoaøi coù : 1 × C2 × C2 = 90 caùch. 4 6 Choïn 2 oåi, 1 mít vaø 3 xoaøi coù : 1 × 4 × C3 = 80 caùch. 6 Vaäy soá caùch choïn maø moãi loaïi coù ít nhaát 1 caây laø : 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 caùch. Baøi 91. Moät lôùp hoïc coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc choïn ñeå laäp 1 toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau vaø phaûi coù ít nhaát 2 nöõ. Ñaïi hoïc Hueá 2000 Giaûi 45! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh baát kì nam hay nöõ : C6 = 45 = 8145060. 6!39! 30! Soá caùch choïn 6 hoïc sinh toaøn nam : C30 = 6 = 593775. 6!24! 30! Soá caùch choïn 5 nam vaø 1 nöõ : C30 × 15 = 5 × 15 = 2137590. 25!5! Vaäy coù soá caùch choïn 6 hoïc sinh trong ñoù phaûi coù ít nhaát 2 nöõ C6 – ( C30 + 15 C30 ) = 5413695 caùch. 45 6 5 Baøi 92. Cho taäp con goàm 10 phaàn töû khaùc nhau. Tìm soá taäp con khaùc roãng chöùa 1 soá chaün caùc phaàn töû. Ñaïi hoïc Noâng nghieäp khoái B 2000 Giaûi Khi taäp X coù n phaàn töû thì soá taäp con cuûa X coù k phaàn töû laø Ck n Do ñoù n = 10 thì : Soá taäp con cuûa X coù 2 phaàn töû laø C10 2 Soá taäp con cuûa X coù 4 phaàn töû laø C10 4 Soá taäp con cuûa X coù 6 phaàn töû laø C10 6
- Soá taäp con cuûa X coù 8 phaàn töû laø C10 8 Soá taäp con cuûa X coù 10 phaàn töû laø C10 . 10 Vaäy soá taäp con thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 2 4 6 8 10 ⇔ S = 2 C10 + 2 C10 + 1 (do C10 = C10 vaø C10 = C10 ) 2 4 2 8 4 6 10! 10! ⇔ S = 2. + 2. + 1 = 511. 2!8! 4!6! Baøi 93. Moät toå sinh vieân coù 20 em. Trong ñoù chæ coù 8 em bieát noùi tieáng Anh, 7 em bieát tieáng Phaùp vaø 5 em chæ bieát tieáng Ñöùc. Caàn choïn 1 nhoùm ñi thöïc teá goàm 3 em bieát tieáng Anh, 4 em bieát tieáng Phaùp vaø 2 em bieát tieáng Ñöùc. Hoûi coù bao nhieâu caùch laäp nhoùm. Ñaïi hoïc Sö phaïm Vinh 1999 Giaûi Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Anh : C8 3 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Phaùp: C7 4 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Ñöùc : C5 . 2 Vaäy soá caùch laäp thoûa yeâu caàu baøi toaùn laø : 8! 7! 5! C8 × C 7 × C 5 = 3 4 2 × × = 1960 caùch. 3!5! 4!3! 2!3! Baøi 94. Trong 1 hoäp coù 7 quaû caàu xanh, 5 quaû caàu ñoû vaø 4 quaû caàu vaøng , caùc quaû caàu ñeàu khaùc nhau. Choïn ngaãu nhieân 4 quaû caàu trong hoäp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho trong 4 quaû caàu choïn ra coù ñuû 3 maøu. Ñaïi hoïc Noâng laâm khoái D 2001 Giaûi Soá caùch choïn 2 quaû caàu xanh, 1 ñoû, 1 vaøng laø : C7 . C1 . C1 = 420 2 5 4 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 2 ñoû vaø 1 vaøng laø : C1 . C5 . C1 = 280 7 2 4 Soá caùch choïn 1 quaû caàu xanh, 1 ñoû vaø 2 vaøng laø : C1 . C1 . C 2 = 210 7 5 4 Vaäy soá caùch choïn 4 quaû caàu ñuû 3 maøu laø : 420 + 280 + 210 = 910.
- Baøi 95. Moät hoäp chöùa 6 bi traéng vaø 5 bi ñen. Hoûi coù maáy caùch laáy ra 4 bi : a) maøu tuøy yù ? b) goàm 2 bi traéng vaø 2 bi ñen ? Giaûi a) Laáy ra 4 bi maøu tuøy yù töø 11 bi laø toå hôïp chaäp 4 cuûa 11 phaàn töû. 11! 8.9.10.11 Vaäy coù : C11 = 4 = = 3.10.11 = 330 caùch. 4!7! 2.3.4 b) Laáy ra 2 bi traéng trong 6 bi traéng laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 6 phaàn töû. Laáy ra 2 bi ñen trong 5 bi ñen laø toå hôïp chaäp 2 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy soá caùch choïn thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn laø : 6! 5! C 6 . C5 = 2 2 . = 15.10 = 150 caùch. 2!4! 2!3! Baøi 96. Moät hoäp coù 6 quaû caàu xanh ñaùnh soá töø 1 ñeán 6, 5 quaû caàu ñoû ñaùnh soá töø 1 ñeán 5, 4 quaû caàu vaøng ñaùnh soá töø 1 ñeán 4. a) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu, 3 quaû caàu cuøng soá. b) Coù bao nhieâu caùch laáy 3 quaû caàu khaùc maøu ? 3 quaû caàu khaùc maøu vaø khaùc soá. Ñaïi hoïc Daân laäp Thaêng Long 1999 Giaûi 6! a) • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng xanh : C3 = 6 = 20 3!3! 5! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng ñoû : C3 = 5 = 10 3!2! 4! Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng vaøng : C3 = 4 =4 3! Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng maøu : C3 + C3 + C3 = 34. 6 5 4 • Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 1 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 2 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 3 : 1 Soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá 4 : 1 Vaäy soá caùch laáy 3 quaû caàu cuøng soá : 4.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Các chủ đề ôn thi toán đại học và cao đẳng
11 p |
1003 |
400
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 2)
12 p |
90 |
33
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (Phần 1)
12 p |
81 |
31
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 4
37 p |
79 |
30
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 1
14 p |
101 |
26
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 1
14 p |
79 |
24
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 2
9 p |
74 |
24
-
Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 3
15 p |
85 |
23
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 1: Quy tắc cơ bản của phép đếm
14 p |
56 |
18
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 2
9 p |
85 |
18
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (P1)
12 p |
70 |
17
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 5 (P2)
12 p |
62 |
16
-
Ôn thi Toán đại số tổ hợp_Chương 3
15 p |
74 |
15
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 5: Nhị thức Newton (phần 2)
12 p |
36 |
9
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 2: Hoán vị
9 p |
41 |
6
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 3: Chỉnh hợp
15 p |
35 |
5
-
Ôn tập Toán Đại số tổ hợp chương 5: Nhị thức Newton (phần 1)
12 p |
48 |
4

Set-Cookie: TLDEVNamespace=51gp5jt2d2s2iomvhut9i6e456; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly