text:
Cực trị của hàm số ( có lời giải)
Chia sẻ: Nguyen Quang Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28
lượt xem 979
download
Cực trị của hàm số ( có lời giải)
Giá trị cực đại và gái trị cực tiểu được gọi chung là cực trị... - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm
Bình luận(7) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Cực trị của hàm số ( có lời giải)
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn C C TR C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : ( ) Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D () a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a 0 hàm s f . () b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a 0 hàm s f . Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . ( ) Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0 Chú ý : • ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 . • Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm . • Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm s không có ñ o hàm . 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó : 0 0 f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x ) () 0 0 a) N u ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i thì hàm s f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b ) 0 0 d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . x0 x a b () − + f' x f (x ) () () fa fb () f x0 () ( ) f ' x > 0, x ∈ a; x () 0 0 b) N u thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i () ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . -41-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x0 x a b () + − f' x f (x ) () f x0 () () fa fb () () ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 . () a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s b) f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . 0 4. Quy t c tìm c c tr : Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2 () • Tìm f ' x ( ) • Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm. a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ • Xét d u c i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3 () • Tìm f ' x ( ) () • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . V i m i x tính f '' ( x ) . • i i N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s − ñ t c c ñ i t i ñi m x i . i N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s − ñ t c c ti u t i ñi m x i . i Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : ( ) x (x − 3 ) 1 5 () c) f x = a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 3 3 f (x ) = x () ( ) d) b) f x = x x + 2 Gi i : 13 5 () a) f x = x − x 2 − 3x + 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 Cách 1. B ng bi n thiên +∞ −1 −∞ 3 x () + 0− + f' x 0 10 () +∞ fx 3 22 −∞ − 3 -42-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − 3 3 () Cách 2 : f '' x = 2x − 2 10 () () Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = . 3 22 () () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − . 3 ( ) x x + 2 khi x ≥ 0 () ( ) b) f x = x x + 2 = ( ) −x x + 2 khi x < 0 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . 2x + 2 > 0 khi x > 0 () () Ta có f ' x = f ' x = 0 ⇔ x = −1 −2x − 2 khi x < 0 Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 . B ng bi n thiên +∞ −∞ −1 0 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 1 −∞ 0 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () ( ) c) f x = x x −3 ( ) x x − 3 khi x ≥ 0 () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x = . ( ) −x x − 3 khi x < 0 ( ) 3 x − 1 khi x > 0 2x () () Ta có f ' x = f' x =0⇔x =1 3 − x + −x > 0 khi x < 0 2 −x +∞ −∞ 0 1 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 0 −∞ −2 () () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2 () d) f x = x -43-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x khi x ≥ 0 () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x = . −x khi x < 0 1 khi x > 0 () Ta có f ' x = −1 khi x < 0 B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 x () − + f' x f (x ) +∞ +∞ 0 () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau : () () c) f x = 2 sin 2x − 3 a) f x = x 4 − x 2 f ( x ) = x − sin 2x + 2 f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d) b) Gi i : () a) f x = x 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n −2;2 4 − 2x 2 () ( ) () Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 4 − x2 () f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2, () f − 2 = −2 () 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2, f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m ( 2) = 2 f Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n: −2 −2 2 2 x () − 0+ − f' x 0 f (x ) 0 2 −2 0 () b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . -44-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () ( ) Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x sin x = 0 x = k π () ⇔ f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ . cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π 2 3 3 () f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x 2π 2π 2π 2π 1 + k 2π = 6 cos + k 2π = 4 + k 2π , f ± f '' ± = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ± 3 3 3 2 3 () () ( ) f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . π π () () Ta có f ' x = 4 cos 2x f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ ℤ , 4 2 −8 khi k = 2n π π π () f '' + k = −8 sin + k π = f '' x = −8 sin 2x , khi k = 2n + 1 8 4 2 2 π π V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f + nπ = −1 và ñ t c c ñ i t i 4 4 π π π π ( ) ( ) x = + 2n + 1 ; f + 2n + 1 = −5 4 2 4 2 () d ) f x = x − sin 2x + 2 π + k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = − 6 π + kπ , k ∈ ℤ . x= 6 Ví d 3 : ( ) x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 ( ) 1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = luôn x −m có c c ñ i và c c ti u . ( )( ) 2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u . mx 2 + x + m ( ) 3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = không có c c ñ i , c c ti u . x +m () ( ) 4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch có m t ñi m c c tr . 14 3 ( ) 5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c 2 2 ñ i. Gi i : -45-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . g (x ) − 2mx + m − 1 x2 2 () Ta có y ' = = , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) (x − m ) 2 2 ( ) () () D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh . +∞ −∞ m −1 m +1 x m () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1 y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) −3 < m < 1 ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0 2 V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . mx 2 + 2m 2x {} 3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' = (x + m ) 2 Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 () Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . 4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x x = 0 y' = 0 ⇔ 2 (*) 2kx + k − 1 = 0 -46-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 k = 0 k = 0 k ≤ 0 ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔ k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1 ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0 ( ) V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm . 5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔ 2 () x = m * Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m ⇔m≤0 V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm. Ví d 4 : x 2 + mx + 1 () 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ñ t c c ñ i t i x = 2. x +m () ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i x = −1. () ( ) 3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u. x 2 + mx + 2 () 4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = có ñi m c c ti u n m trên Parabol x −1 (P ) : y = x +x −4 2 Gi i : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m (x + m ) 2 m = −3 () N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m = −1 x = 2 x − 6x + 8 2 () () m = −3 , ta có f ' x = ,x ≠ 3 f' x =0⇔ x = 4 ( ) 2 x −3 B ng bi n thiên : +∞ −∞ 2 3 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ 1 -47-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5 D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn . Tương t v i m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m ( ) 2 x +m 2 y '' = , x ≠ −m ( ) 3 x +m Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi 1 1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0 () ( ) 2 y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3 2+m ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3 () m < −2 y '' 2 < 0 2 m < −2 <0 ( ) 2+m 3 V y m = −3 là giá tr c n tìm. 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 () ( ) ( ) () ⇒f' x =0⇔ Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6 2 x = − 2m + 6 3 2m + 6 +∞ −∞ − 0 x 3 () + 0− + f' x 0 f (x ) 2m + 6 3 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = −1 ⇔ − = −1 ⇔ m = − . 3 2 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 . ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2 + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2 3 3 ( )( ) G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình () ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . Trong ñó : -48-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( )() ( ) 1 y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ( ) ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2 3 () y ' x 1 = 0 ( )() ( ) 1 y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ( ) ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2 3 () y ' x 2 = 0 Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) (2x )( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2 2 m − 2 x 2 + m − 2 > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0 2 2 2 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2 17 So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm . 4 {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 x 2 − 2x − m − 2 () Ta có y ' = ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1 ( ) ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0 m + 3 > 0 ⇔ ⇔ m > −3 () m ≠ −3 g 1 = −m − 3 ≠ 0 m+3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3 − m+3 Khi ñó y ' = 0 ⇔ m+3 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3 m+3 B ng bi n thiên : +∞ −∞ 1 x1 x2 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ y1 −∞ −∞ y2 ) ( D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s . ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm. Ví d 5 : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, () () f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m 3 x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) . ax 2 + bx + ab () 3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . ax + b Gi i : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m () c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1 x = 0, f 0 = 0 và ñ t c Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b () f ' 0 = 0 c = 0 c = 0 () () ⇔ ⇔ Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi 1 () 2b > 0 b>0 f '' 0 > 0 () f ' 1 = 0 3a + 2b + c = 0 () () ⇔ Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi 2 () 6a + 2b < 0 f '' 1 < 0 () () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x 3 2 Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 2 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1 V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 () 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 () và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b -50-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () f ' −2 = 0 4a − b = 12 () ⇔ Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi 1 () 4a − 2b + c = 8 f −2 = 0 () () () ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 (1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 . T a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' = (ax + b ) 2 • ði u ki n c n : Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi b 2 − a 2b = 0 b 2 − a 2b b = a 2 > 0 =0 () y ' 0 = 0 a = −2 b≠0 2 b ( ) ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔ () b = 4 16a + 8ab + b − a b = 0 y ' 4 = 0 2 2 =0 4a + a 2 ≠ 0 ( ) 2 4a + b ≠ 0 4a + b • ði u ki n ñ : a = −2 x = 0 x 2 − 4x ⇒ y' = y' = 0 ⇔ b = 4 x = 4 ( ) 2 −x + 2 B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 2 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ Cð −∞ −∞ CT T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm. Ví d 6: () (C ) . Hãy xác ñ nh t t c 1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i (C ) và ñi m c c ti u c a ñ th v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 2 a x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 () 2. Cho hàm s y = f x = . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i x ( ) x ∈ 0;2m 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua -51-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñư ng th ng y = x − 2 2 ( ) x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) . có c c x −1 tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t. ( ) x 2 + m + 2 x + 3m + 2 5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = có giá tr x +1 1 c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > . 2 2 2 Gi i : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = −2 ()( ) ()( ) ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 v hai phía c a hai () ñư ng tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 5 a a () ( )( ) + (y − 2a ) 2 2 Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a 2 2 36 6 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2 Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5 a + + ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B 2 5 5 5 () n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn 3 (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( ) 2 a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ <a <1 a 5 {} 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 0 và có ñ o hàm () x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x () y' = = 2 , x ≠ 0 V i g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 Hàm s ñ t c c ti u t i 2 x x ( ) () ( ) x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 tho m > 0 1 m > 0 m > 0 m < 1 <m <1 () ⇔ 2 x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔ 3 m > m > 3 1.g 2m > 0 2m 2 + 5m − 3 > 0 () 2 2 m < −3 1 m > 2 -52-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 x 1.x 2 = , . 3 ( )( ) G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB . ðư ng th ng AB có h s góc ( ) ( ) y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 x 2 − x1 x 2 − x1 2m 2 − 6 m2 kAB = 4 − − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 () ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 2 AB ⊥ ∆ ( )( ) () Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi I ∈ ∆ 1 2m − 6 2 • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ . = −1 ⇔ m = 0 2 3 () x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔ 1 • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2 1 () x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4 ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 . g (x ) x − 2x + m − 3m + 3 2 2 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 Ta có y ' = = ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x khác 1 . 1 2 2 ∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1<m <2 () g 1 ≠0 m − 3m + 2 ≠ 0 A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình Gi 1 1 2 2 () g x = 0, x ≠ 1 . x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 Khi ñó y ' = 0 ⇔ 1 x = 1 + −m + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 2 2 2 )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 = 1 − m − 4 −m 2 + 3m − 2 -53-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2 7 4 4 4 7 y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5 m − − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m = 5 5 5 5 5 7 So v i ñi u ki n , v y m = là giá tr c n tìm . 5 {} 5. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 . () gx x 2 + 2x − 2m () Ta có : y ' = = , x ≠ −1 g x = x 2 + 2x − 2m ( ) ( x + 1) 2 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác ∆ ' > 0 2m + 1 > 0 1 −1 ⇔ ⇔ ⇔m >− () −2m − 1 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2 ( )( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 nghi m c Theo ñ nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) ( 2 2 2 y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y1 + y 2 = 4 x 1 + x 2 + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 − 2x 1x 2 2 2 1 2 y1 + y2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 () () Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2 2 1 1 1 1 () () Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈ − ; +∞ và f m > f − = , m ∈ − ; +∞ 2 2 2 2 1 1 V y y CÑ + yCT > , m ∈ − ; +∞ 2 2 2 2 Ví d 7: 1 1 ( ) ( ) 1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i , 3 3 c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m 2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = tương ng có m t x +m () (IV ) c II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th ñi m c c tr thu c góc ph n tư th am t ph ng t a ñ . Gi i : 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . -54-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) ( ) Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình ( ) ( ) mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ ⇔ 2 − 6 2+ 6 ( ) ( ) 2 −2m + 4m + 1 > 0 2 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0 <m < 2 2 Theo ñ nh lý Vi – ét và yêu c u bài toán, ta có: x = 3m − 4 () x 1 + 2x 2 = 1 gt 1 m () 2 2 m −1 2−m m= ( ) ⇔ 3m − 8m + 4 = 0 m ≠ 0 ⇔ x1 + x 2 = ⇔ x 2 = 2 3 m m m =2 ( ) ( ) 3 m −2 3m − 4 2 − m 3 m − 2 x 1.x 2 = = m m m m 2 So v i ñi u ki n bài toán , v y m = ∨ m = 2 là giá tr c n tìm . 3 4m 3 {} ( ) 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và y = mx + 1 + m≠0 x +m mx 2 + 2m 2x − 3m 3 Ta có : y ' = , x ≠ −m (x + m ) 2 G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c ( ) a ñ th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương 1 1 2 2 trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m 2 2 3 (II ) và m ð th c a hàm s có m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th t ñi m c c tr thu c góc ph n tư (IV ) c th a m t ph ng t a ñ khi (1 ) • x < 0 < x A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II) 1 2 (2) ⇔ ⇔ • y2 < 0 < y1 B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 ( 3) (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4 (2 ) ⇔ ð th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô + 1 x + 4m 3 + m = 0 2 2 nghi m 1 m < − m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 (b ) 5 ⇔ 2 1⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) 2 −15m − 2m + 1 < 0 4 2 m > 1 ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 2 3 m > 5 5 ( 3 ) ⇔ m < 0 (c ) -55-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 ()()() T a b c suy ra m < − là giá tr c n tìm. 5 Ví d 8: () () ( ) ( ) Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñ th là C m , m là tham s . 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u . () 2. Khi m = 1 , ñ th hàm s là C () () x a ). Vi t phương trình ñư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = và ti p xúc v i ñ th C . 3 () b ). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a C . Gi i : Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . () ( ) ( ) 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . () Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ñó ñ th c a hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . ( ) () 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 i M ( x ; y ) là to () (C ) a ). G ñ ti p ñi m c a ñư ng th ng d và ñ th 0 0 () x ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ðư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = 3 2 khi 3 1 y 0 ' = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () (C ) t i ñi m ( 0; −1) . V y ñư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i ñ th () ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ñó ñư b ). ð th C có ñi m c c ñ i là A −1;1 , ñi m c ng th ng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví d 9: ( ) () ( ) 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . ( ) x 2 − m + 1 x + 3m + 2 () 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = có hai ñi m c c ñ i và x −1 c c ti u cùng d u . ( ) () ( ) 3. Cho hàm s y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ð nh m ñ hàm s ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1. x 2 + 2mx + 2 () 4. Tìm giá tr c a m ñ ñ th hàm s f x = có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u và x +1 kho ng cách t hai ñi m ñó ñ n ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : () ( ) 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 -56-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình () () f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . x 2 − 2x − 2m − 1 {} () 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 , khi ñó ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 (1 ) ⇔ ⇔ m > −1 () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0 ( )( ) () là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0 G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2 − 2m + 2 Khi ñó: y ' = 0 ⇔ 2m + 2 x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2 2m + 2 Hai giá tr c c tr cùng d u khi )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m − 4 2m + 2 > 0 (2 ) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2 T x 2 − 2x − 2m − 1 {} () Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( x − 1) 2 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ⇔ ⇔ m > −1 () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0 Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay ( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 c là m < 5 − 4 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0 ( ) ( ) m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m > 5 + 4 2 ( ) 2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0 m ≠ −1 So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm . -57-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) () ( ) 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2 ( ) () ( ) ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n : () () 1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 ( ) 3 3m 2 + m − 4 < 0 ( ) 9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ( ) () x < 1 < x ∆ ' > 0 1 ⇔ 1 ⇔ 2 ( ) () () () 3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 x1 < x 2 ≤ 1 2 2 ⇔ −3.f ' 1 ≥ 0 S m + 1 < 1 <1 2 4 4 − < m < 1 − < m < 1 3 4 3 − < m < 1 m < 4 −3m + 12 > 0 ⇔ 3 ⇔ ⇔ ⇔m <1 4 m ≤ − 4 3m 2 + m − 4 ≥ 0 m ≤ − ∨m ≥1 3 3 m < 0 m < 0 x 2 + 2x + 2m − 2 {} () 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −1 ( ) 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi f ' x ñ i d u hai l n qua nghi m x hay phương trình () g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0 3 − 2m > 0 3 ⇔ ⇔ ⇔m< () 2m − 3 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2 A (x ; y )( ) = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là Gi 1 1 a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñ nh lý Vi ét x + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m nghi m c 1 Theo yêu c u bài toán x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ = ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 2 2 ( ) = ( 3x ) ( ) − ( 3x ) 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 =0 2 2 1 ( )( ) ( ) (x ) () ⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = 1 2 1 So v i ñi u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Ví d 10: 1. Ch ng t r ng ch có m t ñi m A duy nh t trên m t ph ng to ñ sao cho nó là ñi m c c ñ i c a ( ) x2 − m m + 1 x + m3 + 1 () ñ th f x = ng v i m t giá tr thích h p c a m và cũng là ñi m c c x −m ti u c a ñ th ng v i m t giá tr thích h p khác. Tìm to ñ c a A . -58-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s y = x − 2mx + 2m + m có c c ñ i , c c ti u ñ ng th i các ñi m 4 2 4 c c tr l p thành tam giác ñ u. Gi i : {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . x 2 − 2mx + m 2 − 1 () () Ta có f ' x = ,x ≠ m g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m (x − m ) 2 ( ) () x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 () Do ñó f ' x = 0 ⇔ 1 1 ( ) () x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2 ( ) ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A ð t A x 0 ; y 0 .Gi s là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s x = m1 − 1 x = m2 + 1 Ta có: 0 ; 0 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 2 2 m − 1 = m2 + 1 m − m2 = 2 ⇔ 1 Theo bài toán , ta có : 1 2 ( )( ) −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2 m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4 2 1 1 m1 = x 0 = − m1 − m2 = 2 2 ⇒ A− 1;− 7 2 ⇒ ⇔ ⇔ m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7 2 4 2 0 2 4 1 7 V y A − ; − là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán . 2 4 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ x = 0 ( ) Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔ 2 () x = m * ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các () nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : ( ) x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔ )( ) ( x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C m ; m 4 − m 2 + 2m Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u AB = AC ( ) ( ) ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 AB = BC V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Ví d 11: 1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Gi i : -59-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) a x −2 a 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + y '' = (x ) x 2 − 4x + 5 3 − 4x + 5 2 ( ) a x −2 x 2 − 4x + 5 () (1) a y ' x = 0 0 =2 0 2 = 0 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔ ⇔ x − 4x + 5 ⇔ 0 x0 − 2 () 2 y '' x 0 < 0 0 0 a < 0 a < 0 () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 0 − 4x 0 + 5 2 () Xét hàm s : f x 0 = , x0 < 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 x 0 − 4x 0 + 5 2 2 () () lim f x 0 = lim = −1 , lim f x 0 = lim = −∞ x0 − 2 x0 − 2 − − x →−∞ x →−∞ x →2 x →2 −2 () ( ) Ta có f ' x 0 = < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 ( ) 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 B ng bi n thiên : −∞ 2 x () − f' x f (x ) −1 −∞ () a Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 BÀI T P T LUY N 1. Tìm c c tr c a các hàm s sau : () 1 () f ) f x = 8 − x2 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 3 () x g) f x = 2 13 () b) f x = x − x 2 + 2x − 10 x +1 3 x3 () h) f x = 1 () c) f x = x + x +1 x () i) f x = 5 − x 2 1 1 () d) f x = x 5 − x 3 + 2 j ) f (x ) = x + x2 − 1 5 3 x 2 − 3x + 3 () 1 4 k ) f (x ) = x e) f x = − x 2 − 3x + 3 x −1 3 3 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau : -60-
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Khảo sát cực trị hàm số 12
5 p | 779 | 252
-
Phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối
12 p | 1184 | 201
-
Các dạng bài toán về cực trị của hàm số
6 p | 999 | 191
-
Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số
18 p | 399 | 128
-
Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số
14 p | 443 | 109
-
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (1)
11 p | 241 | 99
-
Bài tập tự luyện : Cực trị của hàm số
0 p | 215 | 83
-
Chuyên đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
13 p | 76 | 33
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương
6 p | 21 | 14
-
Một số bài tập ứng dụng đạo hàm môn toán 12 - Cực trị của hàm số
2 p | 37 | 12
-
Giáo án Toán 12 ban cơ bản : Tên bài dạy : BÀI TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
4 p | 77 | 11
-
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tt)
8 p | 43 | 7
-
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
7 p | 61 | 6
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số (Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương
1 p | 14 | 5
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số-P2 (Tài liệu bài giảng) - GV. Lê Bá Trần Phương
1 p | 6 | 4
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số-P1 (Tài liệu bài giảng) - GV. Lê Bá Trần Phương
2 p | 5 | 3
-
Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số - Nguyễn Nhật Điền
100 p | 2 | 1

markdown:
# Cực trị của hàm số ( có lời giải)
Chia sẻ: Nguyen Quang Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28
![](images/blank.gif)
![](images/blank.gif)
lượt xem 979
download
![](http://image1.tailieu.vn/document/thumbnail/2011/20110301/maiyeunh0c_nt/80x100/cuc_tri_ham_so_4595.jpg)
##
Cực trị của hàm số ( có lời giải)
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Giá trị cực đại và gái trị cực tiểu được gọi chung là cực trị... - Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm - Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(7)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Cực trị của hàm số ( có lời giải)
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn C C TR C A HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. Khái ni m c c tr hàm s : ( ) Gi s hàm s f xác ñ nh trên t p h p D D ⊂ ℝ và x 0 ∈ D () a ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ñ i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) < f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ñ i c a 0 hàm s f . () b ) x 0 ñư c g i là m t ñi m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b ch a ñi m x 0 sao cho (a;b ) ⊂ D và f (x ) > f (x ) v ( ){} () i m i x ∈ a;b \ x 0 . Khi ñó f x 0 ñư c g i là giá tr c c ti u c a 0 hàm s f . Giá tr c c ñ i và giá tr c c ti u ñư c g i chung là c c tr N u x 0 là m t ñi m c c tr c a hàm s f thì ngư i ta nói r ng hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . ( ) Như v y : ñi m c c tr ph i là m t ñi m trong c a t p h p D D ⊂ ℝ 2. ði u ki n c n ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 1: Gi s hàm s f ñ t c c tr t i ñi m x 0 . Khi ñó , n u f có ñ o hàm t i ñi m x 0 thì f ' x 0 = 0 Chú ý : • ð o hàm f ' có th b ng 0 t i ñi m x 0 nhưng hàm s f không ñ t c c tr t i ñi m x 0 . • Hàm s có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó hàm s không có ñ o hàm . • Hàm s ch có th ñ t c c tr t i m t ñi m mà t i ñó ñ o hàm c a hàm s b ng 0 , ho c t i ñó hàm s không có ñ o hàm . 3. ði u ki n ñ ñ hàm s ñ t c c tr : () ð nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 và có ñ o hàm trên các kho ng (a; x ) và (x ;b ) . Khi ñó : 0 0 f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x ) () 0 0 a) N u ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i thì hàm s f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b ) 0 0 d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . x0 x a b () − + f' x f (x ) () () fa fb () f x0 () ( ) f ' x > 0, x ∈ a; x () 0 0 b) N u thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . Nói m t cách khác , n u f ' x ñ i () ( ) f ' x 0 < 0, x ∈ x 0 ;b d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . -41-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x0 x a b () + − f' x f (x ) () f x0 () () fa fb () () ð nh lý 3: Gi s hàm s f có ñ o hàm c p m t trên kho ng a;b ch a ñi m x 0 , f ' x 0 = 0 và f có ñ o hàm c p hai khác 0 t i ñi m x 0 . () a ) N u f '' x 0 < 0 thì hàm s f ñ t c c ñ i t i ñi m x 0 . N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s b) f ñ t c c ti u t i ñi m x 0 . 0 4. Quy t c tìm c c tr : Quy t c 1: Áp d ng ñ nh lý 2 () • Tìm f ' x ( ) • Tìm các ñi m x i i = 1, 2, 3... t i ñó ñ o hàm b ng 0 ho c hàm s liên t c nhưng không có ñ o hàm. a f ' (x ) . N u f ' (x ) ñ • Xét d u c i d u khi x qua ñi m x 0 thì hàm s có c c tr t i ñi m x 0 . Quy t c 2: Áp d ng ñ nh lý 3 () • Tìm f ' x ( ) () • Tìm các nghi m x i i = 1, 2, 3... c a phương trình f ' x = 0 . V i m i x tính f '' ( x ) . • i i N u f '' ( x ) < 0 thì hàm s − ñ t c c ñ i t i ñi m x i . i N u f '' ( x ) > 0 thì hàm s − ñ t c c ti u t i ñi m x i . i Ví d 1 : Tìm c c tr c a các hàm s : ( ) x (x − 3 ) 1 5 () c) f x = a ) f x = x 3 − x 2 − 3x + 3 3 f (x ) = x () ( ) d) b) f x = x x + 2 Gi i : 13 5 () a) f x = x − x 2 − 3x + 3 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = x 2 − 2x − 3 f ' x = 0 ⇔ x = −1, x = 3 Cách 1. B ng bi n thiên +∞ −1 −∞ 3 x () + 0− + f' x 0 10 () +∞ fx 3 22 −∞ − 3 -42-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 10 22 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − 3 3 () Cách 2 : f '' x = 2x − 2 10 () () Vì f '' −1 = −4 < 0 nên hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = . 3 22 () () Vì f '' 3 = 4 > 0 hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 3, f 3 = − . 3 ( ) x x + 2 khi x ≥ 0 () ( ) b) f x = x x + 2 = ( ) −x x + 2 khi x < 0 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . 2x + 2 > 0 khi x > 0 () () Ta có f ' x = f ' x = 0 ⇔ x = −1 −2x − 2 khi x < 0 Hàm s liên t c t i x = 0 , không có ñ o hàm t i x = 0 . B ng bi n thiên +∞ −∞ −1 0 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 1 −∞ 0 () () V y hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = −1, f −1 = 1 , hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, f 0 = 0 () ( ) c) f x = x x −3 ( ) x x − 3 khi x ≥ 0 () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x = . ( ) −x x − 3 khi x < 0 ( ) 3 x − 1 khi x > 0 2x () () Ta có f ' x = f' x =0⇔x =1 3 − x + −x > 0 khi x < 0 2 −x +∞ −∞ 0 1 x () + − + f' x 0 f (x ) +∞ 0 −∞ −2 () () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 , hàm s ñ t ñi m c c ti u t i ñi m x = 1, f 1 = −2 () d) f x = x -43-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn x khi x ≥ 0 () Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . f x = . −x khi x < 0 1 khi x > 0 () Ta có f ' x = −1 khi x < 0 B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 x () − + f' x f (x ) +∞ +∞ 0 () Hàm s ñ t ñi m c c ñ i t i ñi m x = 0, f 0 = 0 Ví d 2 : Tìm c c tr c a các hàm s sau : () () c) f x = 2 sin 2x − 3 a) f x = x 4 − x 2 f ( x ) = x − sin 2x + 2 f ( x ) = 3 − 2 cos x − cos 2x d) b) Gi i : () a) f x = x 4 − x 2 Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ño n −2;2 4 − 2x 2 () ( ) () Ta có a ) f ' x = , x ∈ −2;2 f ' x = 0 ⇔ x = − 2, x = 2 4 − x2 () f ' x ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m − 2 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x = − 2, () f − 2 = −2 () 2 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x = 2, f ' x ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m ( 2) = 2 f Ho c dùng b ng bi n thiên hàm s ñ k t lu n: −2 −2 2 2 x () − 0+ − f' x 0 f (x ) 0 2 −2 0 () b ) f x = 3 − 2 cos x − cos 2x Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . -44-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () ( ) Ta có f ' x = 2 sin x + 2 s in2x = 2 sin x 1 + 2 cos x sin x = 0 x = k π () ⇔ f' x =0⇔ ,k ∈ ℤ . cos x = − 1 = cos 2π x = ± 2π + k 2π 2 3 3 () f '' x = 2 cos x + 4 cos 2x 2π 2π 2π 2π 1 + k 2π = 6 cos + k 2π = 4 + k 2π , f ± f '' ± = −3 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = ± 3 3 3 2 3 () () ( ) f '' k π = 2 cos k π + 4 > 0, ∀k ∈ ℤ . Hàm s ñ t c c ti u t i x = k π , f k π = 2 1 − cos k π c) f ( x ) = 2 sin 2x − 3 Hàm s ñã cho xác ñ nh và liên t c trên ℝ . π π () () Ta có f ' x = 4 cos 2x f ' x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = +k ,k ∈ ℤ , 4 2 −8 khi k = 2n π π π () f '' + k = −8 sin + k π = f '' x = −8 sin 2x , khi k = 2n + 1 8 4 2 2 π π V y hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = + nπ ; f + nπ = −1 và ñ t c c ñ i t i 4 4 π π π π ( ) ( ) x = + 2n + 1 ; f + 2n + 1 = −5 4 2 4 2 () d ) f x = x − sin 2x + 2 π + k π , k ∈ ℤ và ñ t c c ti u t i các ñi m Tương t trên hàm s ñ t c c ñ i t i các ñi m x = − 6 π + kπ , k ∈ ℤ . x= 6 Ví d 3 : ( ) x 3 − m m + 1 x + m3 + 1 ( ) 1. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , hàm s y = f x , m = luôn x −m có c c ñ i và c c ti u . ( )( ) 2 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = m + 2 x 3 + 3x 2 + mx + m có c c ñ i , c c ti u . mx 2 + x + m ( ) 3 . V i giá tr nào c a m ,hàm s y = f x , m = không có c c ñ i , c c ti u . x +m () ( ) 4 . Xác ñ nh các giá tr c a tham s k ñ ñ th c a hàm s y = f x , k = kx 4 + k − 1 x 2 + 1 − 2k ch có m t ñi m c c tr . 14 3 ( ) 5 . Xác ñ nh m ñ ñ th c a hàm s y = f x , m = y = x − mx 2 + có c c ti u mà không có c c 2 2 ñ i. Gi i : -45-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . g (x ) − 2mx + m − 1 x2 2 () Ta có y ' = = , x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 (x − m ) (x − m ) 2 2 ( ) () () D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m . Do ñó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1 thu c t p xác ñ nh . +∞ −∞ m −1 m +1 x m () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ −∞ −∞ y ' ñ i d u t dương sang âm khi x qua ñi m x 1 = m − 1 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m x 1 = m − 1 y ' ñ i d u t âm sang dương khi x qua ñi m x 2 = m + 1 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñi m x 2 = m + 1 2 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 3 m + 2 x 2 + 6x + m Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t hay m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) −3 < m < 1 ∆ ' = 9 − 3m m + 2 > 0 3 −m − 2m + 3 > 0 2 V y giá tr m c n tìm là −3 < m < 1, m ≠ −2 . mx 2 + 2m 2x {} 3 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm y ' = (x + m ) 2 Hàm s không có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 không ñ i d u qua nghi m , khi ñó phương trình () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép • Xét m = 0 ⇒ y ' = 0, ∀x ≠ −m ⇒ m = 0 tho . • Xét m ≠ 0 . Khi ñó ∆ ' = m 4 () Vì ∆ ' = m 4 > 0, ∀m ≠ 0 ⇒ g x = 0 có hai nghi m phân bi t nên không có giá tr tham s m ñ () ( ) g x = mx 2 + 2m 2x = 0, x ≠ −m vô nghi m ho c có nghi m kép V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . 4 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có y ' = 4kx 3 − 2 k − 1 x x = 0 y' = 0 ⇔ 2 (*) 2kx + k − 1 = 0 -46-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s ch có m t c c tr khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i d u khi x ñi qua (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 nghi m ñó .Khi ñó phương trình 2kx 2 + k − 1 = 0 k = 0 k = 0 k ≤ 0 ⇔ k ≠ 0 ⇔ ⇔ k < 0 ∨ k ≥ 1 k ≥ 1 ∆ ' = −2k k − 1 ≤ 0 ( ) V y k ≤ 0 ∨ k ≥ 1 là giá tr c n tìm . 5 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 Ta có y ' = 2x 3 − 2mx y' = 0 ⇔ 2 () x = m * Hàm s có c c ti u mà không có c c ñ i khi phương trình y ' = 0 có m t nghi m duy nh t và y ' ñ i (*) vô nghi m hay có nghi m kép x = 0 d u khi x ñi qua nghi m ñó Khi ñó phương trình x 2 = m ⇔m≤0 V y m ≤ 0 là giá tr c n tìm. Ví d 4 : x 2 + mx + 1 () 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = ñ t c c ñ i t i x = 2. x +m () ( ) 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m ñ t c c ñ i t i x = −1. () ( ) 3. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = x 3 − 6x 2 + 3 m + 2 x − m − 6 ñ t c c ñ i và c c ti u ñ ng th i hai giá tr c c tr cùng d u. x 2 + mx + 2 () 4. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s y = f x = có ñi m c c ti u n m trên Parabol x −1 (P ) : y = x +x −4 2 Gi i : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m (x + m ) 2 m = −3 () N u hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 thì f ' 2 = 0 ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m = −1 x = 2 x − 6x + 8 2 () () m = −3 , ta có f ' x = ,x ≠ 3 f' x =0⇔ x = 4 ( ) 2 x −3 B ng bi n thiên : +∞ −∞ 2 3 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ 1 -47-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn −∞ −∞ 5 D a vào b ng bi n thiên ta th y hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 , do ñó m = −3 tho mãn . Tương t v i m = −1 Cách 2 : x 2 + 2mx + m 2 − 1 {} () Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −m ( ) 2 x +m 2 y '' = , x ≠ −m ( ) 3 x +m Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 2 khi 1 1 − =0 m 2 + 4m + 3 = 0 () ( ) 2 y ' 2 = 0 m = −1 ∨ m = −3 2+m ⇔ ⇔ m ≠ −2 ⇔ ⇔ m = −3 () m < −2 y '' 2 < 0 2 m < −2 <0 ( ) 2+m 3 V y m = −3 là giá tr c n tìm. 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . x = 0 () ( ) ( ) () ⇒f' x =0⇔ Ta có f ' x = 3x + 2 m + 3 x = x 3x + 2m + 6 2 x = − 2m + 6 3 2m + 6 +∞ −∞ − 0 x 3 () + 0− + f' x 0 f (x ) 2m + 6 3 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = −1 ⇔ − = −1 ⇔ m = − . 3 2 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . ( ) Ta có : y ' = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 . ( ) Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆ ' = 36 − 9 m + 2 > 0 ⇔ 2−m > 0 ⇔ m < 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 y = x − 2 . 3x 2 − 12x + 3 m + 2 + 2 m − 2 x + m − 2 = x − 2 .y '+ 2 m − 2 x + m − 2 3 3 ( )( ) G i A x1; y1 , B x 2 ; y2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình () ( ) g x = 3x 2 − 12x + 3 m + 2 = 0 . Trong ñó : -48-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( )() ( ) 1 y1 = x 1 − 2 .y ' x 1 + 2 m − 2 x 1 + m − 2 ( ) ⇒ y1 = 2 m − 2 x 1 + m − 2 3 () y ' x 1 = 0 ( )() ( ) 1 y2 = x 1 − 2 .y ' x 2 + 2 m − 2 x 2 + m − 2 ( ) ⇒ y2 = 2 m − 2 x 2 + m − 2 3 () y ' x 2 = 0 Theo ñ nh lý Vi-ét , ta có : x 1 + x 2 = 4, x 1x 2 = m + 2 Theo bài toán : ( ) ( ) ( ) (2x )( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 2 m − 2 x 1 + m − 2 2 m − 2 x 2 + m − 2 > 0 ⇔ m − 2 + 1 2x 2 + 1 > 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4m + 17 ) > 0 2 2 2 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 4x 1x 2 + 2 x 1 + x 2 + 1 > 0 ⇔ m − 2 17 m > − ⇔ 4 m ≠ 2 17 So v i ñi u ki n bài toán , v y −< m < 2 là giá tr c n tìm . 4 {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 x 2 − 2x − m − 2 () Ta có y ' = ,x ≠ 1 g x = x 2 − 2x − m − 2 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t khác 1 ( ) ∆ ' = 1 − −m − 2 > 0 m + 3 > 0 ⇔ ⇔ m > −3 () m ≠ −3 g 1 = −m − 3 ≠ 0 m+3 x 1 = 1 − m + 3 ⇒ y1 = 1 − m + 3 + m + 1 + =m +2−2 m +3 − m+3 Khi ñó y ' = 0 ⇔ m+3 x 2 = 1 + m + 3 ⇒ y2 = 1 + m + 3 + m + 1 + =m +2+2 m +3 m+3 B ng bi n thiên : +∞ −∞ 1 x1 x2 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ y1 −∞ −∞ y2 ) ( D a vào bàng bi n thiên suy ra A 1 + m + 3; m + 2 + 2 m + 3 là ñi m c c ti u c a hàm s . ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 +1+ m +3 −4 ⇔ m +3 =1 -49-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ) ( 2 () A∈ P ⇔ m +2 +2 m + 3 = 1+ m + 3 + 1 + m + 3 − 4 ⇔ m + 3 = 1 ⇔ m = −2 So v i ñi u ki n bài toán ,v y m = −2 là giá tr c n tìm. Ví d 5 : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m x = 0, () () f 0 = 0 và ñ t c c ñ i t i ñi m x = 1, f 1 = 1 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f ( x ) = x + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m 3 x = −2 và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A (1; 0 ) . ax 2 + bx + ab () 3. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f x = ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . ax + b Gi i : () 1. Tìm các h s a, b, c, d sao cho hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ñ t c c ti u t i ñi m () c ñ i t i ñi m x = 1, f (1) = 1 x = 0, f 0 = 0 và ñ t c Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () () Ta có f ' x = 3ax 2 + 2bx + c , f '' x = 6ax + 2b () f ' 0 = 0 c = 0 c = 0 () () ⇔ ⇔ Hàm s f x ñ t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi 1 () 2b > 0 b>0 f '' 0 > 0 () f ' 1 = 0 3a + 2b + c = 0 () () ⇔ Hàm s f x ñ t c c ñ i t i x = 1 khi và ch khi 2 () 6a + 2b < 0 f '' 1 < 0 () () () f 0 = 0 ⇒ d = 0 , f 1 = 1 ⇒ a + b + c + d = 1 hay a + b + c = 1 do d = 0 3 T (1) , ( 2 ) , ( 3 ) suy ra a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 Ta ki m tra l i f ( x ) = −2x + 3x 3 2 Ta có f ' ( x ) = −6x + 6x , f '' ( x ) = −12x + 6 2 f '' ( 0 ) = 6 > 0 . Hàm s ñ t c c ti u t i x = 0 f '' (1) = −6 < 0 . Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 1 V y : a = −2, b = 3, c = 0, d = 0 () 2. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 () và ñ th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 . Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ . () Ta có f ' x = 3x 2 + 2ax + b -50-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn () f ' −2 = 0 4a − b = 12 () ⇔ Hàm s ñ t c c tr b ng 0 t i ñi m x = −2 khi và ch khi 1 () 4a − 2b + c = 8 f −2 = 0 () () () ð th c a hàm s ñi qua ñi m A 1; 0 khi và ch khi f 1 = 0 ⇔ a + b + c + 1 = 0 2 (1) , (2 ) suy ra a = 3,b = 0, c = −4 . T a 2x 2 + 2abx + b 2 − a 2b 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh khi ax + b ≠ 0 và có ñ o hàm y ' = (ax + b ) 2 • ði u ki n c n : Hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 khi và ch khi b 2 − a 2b = 0 b 2 − a 2b b = a 2 > 0 =0 () y ' 0 = 0 a = −2 b≠0 2 b ( ) ⇔ 16a 2 + 8ab + b 2 − a 2b ⇔ 2 ⇔ 8a 2 a + 2 = 0 ⇔ () b = 4 16a + 8ab + b − a b = 0 y ' 4 = 0 2 2 =0 4a + a 2 ≠ 0 ( ) 2 4a + b ≠ 0 4a + b • ði u ki n ñ : a = −2 x = 0 x 2 − 4x ⇒ y' = y' = 0 ⇔ b = 4 x = 4 ( ) 2 −x + 2 B ng bi n thiên +∞ −∞ 0 2 4 x () + − − + f' x 0 0 f (x ) +∞ +∞ Cð −∞ −∞ CT T b ng bi n thiên :hàm s ñ t c c tr t i ñi m x = 0 và x = 4 . V y a = −2, b = 4 là giá tr c n tìm. Ví d 6: () (C ) . Hãy xác ñ nh t t c 1. Cho hàm s y = f x = x 3 − 3x 2 + 2 các giá tr c a a ñ ñi m c c ñ i (C ) và ñi m c c ti u c a ñ th v hai phía khác nhau c a ñư ng tròn (phía trong và phía ngoài): (C ) : x + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 2 a x 2 + m 2x + 2m 2 − 5m + 3 () 2. Cho hàm s y = f x = . Tìm m > 0 ñ hàm s ñ t c c ti u t i x ( ) x ∈ 0;2m 3. y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + m 2x + m. có c c ñ i , c c ti u và hai ñi m ñó ñ i x ng nhau qua -51-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 5 ñư ng th ng y = x − 2 2 ( ) x 2 − m + 1 x − m 2 + 4m − 2 4. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) . có c c x −1 tr ñ ng th i tích các giá tr c c ñ i và c c ti u ñ t giá tr nh nh t. ( ) x 2 + m + 2 x + 3m + 2 5. Tìm t t c các giá tr c a tham s m thì hàm s y = f (x ) = có giá tr x +1 1 c c tr , ñ ng th i y CÑ + yCT > . 2 2 2 Gi i : x = 0 ⇒ y = 2 1. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x y' = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = −2 ()( ) ()( ) ð th hàm s có hai ñi m c c tr A 0;2 , B 2; −2 . Hai ñi m A 0;2 , B 2; −2 v hai phía c a hai () ñư ng tròn C a khi ( )( ) 3 ⇔ PA/(C ) .PB /(C ) < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 5a 2 + 4a + 7 < 0 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ < a < 1 5 a a () ( )( ) + (y − 2a ) 2 2 Cách 2 : C a : x 2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a 2 − 1 = 0 ⇔ C a : x − a =1 (C ) có tâm I (a;2a ) và bán kính R = 1 a 2 2 36 6 (a − 2 ) + (2a + 2 ) 2 2 Ta có : IB = = 5a + 4a + 8 = 5 a + + ≥ > 1 = R ⇒ ñi m B 2 5 5 5 () n m ngoài C a , do ñó ñi m A n m trong ñư ng tròn 3 (C ) ⇔ IA < 1 ⇔ ( ) 2 a 2 + 2 − 2a < 1 ⇔ 5a 2 − 8a + 3 < 0 ⇔ <a <1 a 5 {} 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 0 và có ñ o hàm () x 2 − 2m 2 + 5m − 3 g x () y' = = 2 , x ≠ 0 V i g x = x 2 − 2m 2 + 5m − 3 Hàm s ñ t c c ti u t i 2 x x ( ) () ( ) x ∈ 0;2m ⇔ g x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 x 1 < x 2 tho m > 0 1 m > 0 m > 0 m < 1 <m <1 () ⇔ 2 x 1 < 0 < x 2 < 2m ⇔ 1.g 0 < 0 ⇔ −2m 2 + 5m − 3 < 0 ⇔ 3 m > m > 3 1.g 2m > 0 2m 2 + 5m − 3 > 0 () 2 2 m < −3 1 m > 2 -52-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 3 V y giá tr m c n tìm là < m < 1 ∨ m > . 2 2 3. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = 3x 2 − 6x + m 2 . Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m2 ⇔ ∆ ' = 9 − 3m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 .Vi-ét, ta có x 1 + x 2 = 2 x 1.x 2 = , . 3 ( )( ) G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s và I là trung ñi m c a ño n AB . ðư ng th ng AB có h s góc ( ) ( ) y 2 − y1 x 2 − x 1 − 3 x 2 − x 1 + m x 2 − x 1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 kAB = = = x1 + x 2 − x 1x 2 − 3 x 1 + x 2 + m 2 x 2 − x1 x 2 − x1 2m 2 − 6 m2 kAB = 4 − − 6 + m2 = 3 3 1 5 1 () ðư ng th ng y = x − ∆ có h s góc k = 2 2 2 AB ⊥ ∆ ( )( ) () Hai ñi m A x1; y1 , B x 2 ; y2 ñ i x ng nhau qua ñư ng th ng ∆ khi và ch khi I ∈ ∆ 1 2m − 6 2 • AB ⊥ ∆ ⇔ kAB .k = −1 ⇔ . = −1 ⇔ m = 0 2 3 () x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ A 0; 0 ( ) y' = 0 ⇔ 1 • m = 0 ⇒ y ' = 3x 2 − 6x ⇒ I 1; −2 1 () x 2 = 2 ⇒ y2 = −4 ⇒ B 2; −4 ( ) D th y I 1; −2 ∈ ∆ V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán . {} 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 . g (x ) x − 2x + m − 3m + 3 2 2 g ( x ) = x − 2x + m − 3m + 3 Ta có y ' = = ,x ≠ 1 2 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 có hai nghi m phân bi t x , x khác 1 . 1 2 2 ∆ ' > 0 −m + 3m − 2 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔1<m <2 () g 1 ≠0 m − 3m + 2 ≠ 0 A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a phương trình Gi 1 1 2 2 () g x = 0, x ≠ 1 . x = 1 − −m 2 + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 Khi ñó y ' = 0 ⇔ 1 x = 1 + −m + 3m − 2 ⇒ y = 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 2 2 2 )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 = 1 − m + 2 −m 2 + 3m − 2 1 − m − 2 −m 2 + 3m − 2 = 1 − m − 4 −m 2 + 3m − 2 -53-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2 7 4 4 4 7 y1.y2 = 5m 2 − 14m + 9 = 5 m − − ≥ − ⇒ min y1.y2 = − khi m = 5 5 5 5 5 7 So v i ñi u ki n , v y m = là giá tr c n tìm . 5 {} 5. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 . () gx x 2 + 2x − 2m () Ta có : y ' = = , x ≠ −1 g x = x 2 + 2x − 2m ( ) ( x + 1) 2 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi phương trình g x = 0, x ≠ −1 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 khác ∆ ' > 0 2m + 1 > 0 1 −1 ⇔ ⇔ ⇔m >− () −2m − 1 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2 ( )( ) G i A x 1; y1 = 2x 1 + m + 2 , B x 2 ; y2 = 2x 2 + m + 2 là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ −1 nghi m c Theo ñ nh lý Vi- ét x 1 + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m Theo bài toán : ) + (2x + m + 2 ) = 4 (x + x ) + 4 (m + 2 )(x + x ) + 2 (m + 2 ) ( 2 2 2 y CÑ + yCT = y1 + y2 = 2x 1 + m + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 y1 + y 2 = 4 x 1 + x 2 + 4 m + 2 x + x + 2 m + 2 = 4 4 + 4m − 8 m + 2 + 2 m + 2 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 2 2 2 − 2x 1x 2 2 2 1 2 y1 + y2 = 2m 2 + 16m + 8 2 2 1 1 () () Xét f m = 2m 2 + 16m + 8, m > − f ' m = 4m + 16 > 0, ∀m > − 2 2 1 1 1 1 () () Do ñó hàm s f m ñ ng bi n trên kho ng m ∈ − ; +∞ và f m > f − = , m ∈ − ; +∞ 2 2 2 2 1 1 V y y CÑ + yCT > , m ∈ − ; +∞ 2 2 2 2 Ví d 7: 1 1 ( ) ( ) 1. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = mx 3 − m − 1 x 2 + 3 m − 2 x + có c c ñ i , 3 3 c c ti u ñ ng th i hoành ñ c c ñ i c c ti u x 1, x 2 th a x 1 + 2x 2 = 1 ( ) mx 2 + m 2 + 1 x + 4m 3 + m 2. V i giá tr nào c a m thì ñ th c a hàm s y = tương ng có m t x +m () (IV ) c II và m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th ñi m c c tr thu c góc ph n tư th am t ph ng t a ñ . Gi i : 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . -54-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) ( ) Ta có y ' = mx − 2 m − 1 x + 3 m − 2 2 Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' ñ i d u hai l n qua nghi m x , t c là phương trình ( ) ( ) mx 2 − 2 m − 1 x + 3 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 ⇔ ⇔ 2 − 6 2+ 6 ( ) ( ) 2 −2m + 4m + 1 > 0 2 ∆ ' = m − 1 − 3m m − 2 > 0 <m < 2 2 Theo ñ nh lý Vi – ét và yêu c u bài toán, ta có: x = 3m − 4 () x 1 + 2x 2 = 1 gt 1 m () 2 2 m −1 2−m m= ( ) ⇔ 3m − 8m + 4 = 0 m ≠ 0 ⇔ x1 + x 2 = ⇔ x 2 = 2 3 m m m =2 ( ) ( ) 3 m −2 3m − 4 2 − m 3 m − 2 x 1.x 2 = = m m m m 2 So v i ñi u ki n bài toán , v y m = ∨ m = 2 là giá tr c n tìm . 3 4m 3 {} ( ) 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −m và y = mx + 1 + m≠0 x +m mx 2 + 2m 2x − 3m 3 Ta có : y ' = , x ≠ −m (x + m ) 2 G i A ( x ; y ) , B ( x ; y ) là các ñi m c c tr c ( ) a ñ th hàm s thì x 1, x 2 x 1 < x 2 là nghi m c a phương 1 1 2 2 trình g ( x ) = mx + 2m x − 3m = 0, x ≠ −m 2 2 3 (II ) và m ð th c a hàm s có m t ñi m c c tr thu c góc ph n tư th t ñi m c c tr thu c góc ph n tư (IV ) c th a m t ph ng t a ñ khi (1 ) • x < 0 < x A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II) 1 2 (2) ⇔ ⇔ • y2 < 0 < y1 B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV) • Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0 ( 3) (1) ⇔ m.g ( 0 ) < 0 ⇔ −3m < 0 ⇔ m ≠ 0 (a ) 4 (2 ) ⇔ ð th c a hàm s không c t tr c Ox ⇔ mx + (m ) (x ≠ −m ) vô + 1 x + 4m 3 + m = 0 2 2 nghi m 1 m < − m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 (b ) 5 ⇔ 2 1⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( ) 2 −15m − 2m + 1 < 0 4 2 m > 1 ∆ = m + 1 − 4m 4m + m < 0 2 3 m > 5 5 ( 3 ) ⇔ m < 0 (c ) -55-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 1 ()()() T a b c suy ra m < − là giá tr c n tìm. 5 Ví d 8: () () ( ) ( ) Cho hàm s f x = x 3 + m − 1 x 2 − m + 2 x − 1 , có ñ th là C m , m là tham s . 1. Ch ng minh r ng hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u . () 2. Khi m = 1 , ñ th hàm s là C () () x a ). Vi t phương trình ñư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = và ti p xúc v i ñ th C . 3 () b ). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a C . Gi i : Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ . () ( ) ( ) 1. Ta có f ' x = 3x 2 + 2 m − 1 x − m + 2 . () Vì ∆ ' = m 2 + m + 7 > 0, ∀m ∈ ℝ nên phương trình f ' x = 0 luôn có hai nghi m phân bi t . Do ñó ñ th c a hàm s luôn có m t c c ñ i , m t c c ti u v i m i giá tr c a tham s m . ( ) () 2. m = 1 ⇒ C : f x = x 3 − 3x − 1 i M ( x ; y ) là to () (C ) a ). G ñ ti p ñi m c a ñư ng th ng d và ñ th 0 0 () x ⇒ y 0 = x 0 − 3x 0 − 1, y 0 ' = 3x 0 − 3 . ðư ng th ng d vuông góc v i ñư ng th ng y = 3 2 khi 3 1 y 0 ' = −1 ⇔ 3x 0 − 3 = −3 ⇔ x 0 = 0 ⇔ x 0 = 0, y 0 = −1 2 2 3 () (C ) t i ñi m ( 0; −1) . V y ñư ng th ng d : y = −3x − 1 và ti p xúc v i ñ th () ( ) c ti u là B (1; −3 ) . Do ñó ñư b ). ð th C có ñi m c c ñ i là A −1;1 , ñi m c ng th ng qua AB là : y = −2x − 1 . Ví d 9: ( ) () ( ) 1. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = x 3 − 2m + 1 x 2 + m 2 − 3m + 2 x + 4 có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung . ( ) x 2 − m + 1 x + 3m + 2 () 2. Xác ñ nh giá tr tham s m ñ hàm s f x = có hai ñi m c c ñ i và x −1 c c ti u cùng d u . ( ) () ( ) 3. Cho hàm s y = f x = −x 3 + 3 m + 1 x 2 − 3m 2 + 7m − 1 x + m 2 − 1 .ð nh m ñ hàm s ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1. x 2 + 2mx + 2 () 4. Tìm giá tr c a m ñ ñ th hàm s f x = có ñi m c c ñ i, ñi m c c ti u và x +1 kho ng cách t hai ñi m ñó ñ n ñư ng th ng ∆ : x + y + 2 = 0 b ng nhau. Gi i : () ( ) 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = 3x 2 − 2 2m + 1 x + m 2 − 3m + 2 -56-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn Hàm s có hai ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía tr c tung khi và ch khi phương trình () () f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 tho mãn x 1 < 0 < x 2 ⇔ 3.f ' 0 < 0 ⇔ m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 V y giá tr c n tìm là 1 < m < 2 . x 2 − 2x − 2m − 1 {} () 2. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( ) 2 x −1 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 , khi ñó ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 (1 ) ⇔ ⇔ m > −1 () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0 ( )( ) () là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là nghi m c a g x = 0 G i A x 1 ; y1 , B x 2 ; y 2 2m + 2 x 1 = 1 − 2m + 2 ⇒ y1 = 1 − 2m + 2 − m + = 1 − m − 2 2m + 2 − 2m + 2 Khi ñó: y ' = 0 ⇔ 2m + 2 x 2 = 1 + 2m + 2 ⇒ y2 = 1 + 2m + 2 − m + = 1 − m + 2 2m + 2 2m + 2 Hai giá tr c c tr cùng d u khi )( ) ( ( ) ( ) 2 y1.y2 > 0 ⇔ 1 − m − 2 2m + 2 1 − m + 2 2m + 2 > 0 ⇔ 1 − m − 4 2m + 2 > 0 (2 ) ⇔ m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 (1) và (2 ) suy ra −1 < m < 5 − 4 2 ∨m >5+4 2 T x 2 − 2x − 2m − 1 {} () Cách khác : Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ 1 và có ñ o hàm f ' x = ,x ≠ 1 ( x − 1) 2 () Hàm s có c c ñ i và c c ti u khi f ' x = 0 có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 hay phương trình ∆ ' > 0 2m + 2 > 0 () g x = x 2 − 2x − 2m − 1 = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ⇔ ⇔ m > −1 () −2m − 2 ≠ 0 g 1 ≠ 0 Hai giá tr c c tr cùng d u khi ñ th c a hàm s y = 0 c t tr c hoành t i hai ñi m phân bi t x ≠ 1 hay ( ) (x ≠ 1) có hai nghi m phân bi t x ≠ 1 . T phương trình x 2 − m + 1 x + 3m + 2 = 0 c là m < 5 − 4 2 ∆ = m + 1 2 − 4 3m + 2 > 0 ( ) ( ) m 2 − 10m − 7 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m > 5 + 4 2 ( ) 2m + 2 ≠ 0 1 − m + 1 + 3m + 2 ≠ 0 m ≠ −1 So v i ñi u ki n , giá tr −1 < m < 5 − 4 2 ∨ m > 5 + 4 2 là giá tr c n tìm . -57-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) () ( ) 3. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm f ' x = −3x + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 .Hàm s 2 ( ) () ( ) ñ t c c ti u t i m t ñi m có hoành ñ nh hơn 1 ⇔ f ' x = −3x 2 + 6 m + 1 x − 3m 2 + 7m − 1 = 0 có hai nghi m x 1, x 2 tho mãn ñi u ki n : () () 1 ⇔ −3.f ' 1 < 0 ( ) 3 3m 2 + m − 4 < 0 ( ) 9 m + 1 2 − 3 3m 2 + 7m − 1 > 0 ( ) () x < 1 < x ∆ ' > 0 1 ⇔ 1 ⇔ 2 ( ) () () () 3 3m 2 + m − 4 ≥ 0 x1 < x 2 ≤ 1 2 2 ⇔ −3.f ' 1 ≥ 0 S m + 1 < 1 <1 2 4 4 − < m < 1 − < m < 1 3 4 3 − < m < 1 m < 4 −3m + 12 > 0 ⇔ 3 ⇔ ⇔ ⇔m <1 4 m ≤ − 4 3m 2 + m − 4 ≥ 0 m ≤ − ∨m ≥1 3 3 m < 0 m < 0 x 2 + 2x + 2m − 2 {} () 4. Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ −1 và có ñ o hàm f ' x = , x ≠ −1 ( ) 2 x +1 () Hàm s có c c ñ i , c c ti u khi f ' x ñ i d u hai l n qua nghi m x hay phương trình () g x = x 2 + 2x + 2m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1 ∆ ' > 0 3 − 2m > 0 3 ⇔ ⇔ ⇔m< () 2m − 3 ≠ 0 g −1 ≠ 0 2 A (x ; y )( ) = 2x 1 + 2m , B x 2 ; y2 = 2x 2 + 2m là các ñi m c c tr c a ñ th hàm s thì x 1, x 2 là Gi 1 1 a phương trình g ( x ) = 0, x ≠ 1 . Theo ñ nh lý Vi ét x + x 2 = −2, x 1 .x 2 = −2m nghi m c 1 Theo yêu c u bài toán x 1 + y1 + 2 x 2 + y2 + 2 ( ) ( ) d A, ∆ = d B, ∆ ⇔ = ⇔ 3x 1 + 2m + 2 = 3x 2 + 2m + 2 2 2 ( ) = ( 3x ) ( ) − ( 3x ) 2 2 2 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 ⇔ 3x 1 + 2m + 2 + 2m + 2 =0 2 2 1 ( )( ) ( ) (x ) () ⇔ x 1 − x 2 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ⇔ 3 x 1 + x 2 + 4m + 4 = 0 ≠ x 2 ⇔ 3 −2 + 4m + 4 = 0 ⇔ m = 1 2 1 So v i ñi u ki n, v y m = là giá tr c n tìm . 2 Ví d 10: 1. Ch ng t r ng ch có m t ñi m A duy nh t trên m t ph ng to ñ sao cho nó là ñi m c c ñ i c a ( ) x2 − m m + 1 x + m3 + 1 () ñ th f x = ng v i m t giá tr thích h p c a m và cũng là ñi m c c x −m ti u c a ñ th ng v i m t giá tr thích h p khác. Tìm to ñ c a A . -58-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn 2. Tìm m ñ ñ th c a hàm s y = x − 2mx + 2m + m có c c ñ i , c c ti u ñ ng th i các ñi m 4 2 4 c c tr l p thành tam giác ñ u. Gi i : {} Hàm s ñã cho xác ñ nh trên D = ℝ \ m . x 2 − 2mx + m 2 − 1 () () Ta có f ' x = ,x ≠ m g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1 ∆g = 1 > 0, ∀m (x − m ) 2 ( ) () x = m − 1 ⇒ f x = −m 2 + m − 2 ⇒ M m − 1; −m 2 + m − 2 () Do ñó f ' x = 0 ⇔ 1 1 ( ) () x 2 = m + 1 ⇒ f x 2 = −m 2 + m + 2 ⇒ N m + 1; −m 2 + m + 2 ( ) ng v i giá tr m = m1 thì A là ñi m c c ñ i và ng v i giá tr m = m2 thì A ð t A x 0 ; y 0 .Gi s là ñi m c c ti u c a ñ th hàm s x = m1 − 1 x = m2 + 1 Ta có: 0 ; 0 y 0 = −m1 + m1 − 2 y 0 = −m2 + m2 + 2 2 2 m − 1 = m2 + 1 m − m2 = 2 ⇔ 1 Theo bài toán , ta có : 1 2 ( )( ) −m1 + m1 − 2 = −m2 + m2 + 2 m1 − m2 m1 + m2 − 1 = −4 2 1 1 m1 = x 0 = − m1 − m2 = 2 2 ⇒ A− 1;− 7 2 ⇒ ⇔ ⇔ m1 + m2 = −1 m = − 3 y = − 7 2 4 2 0 2 4 1 7 V y A − ; − là ñi m duy nh t c n tìm tho yêu c u bài toán . 2 4 2. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ x = 0 ( ) Ta có y ' = 4x 3 − 4mx = 4x x 2 − m y' = 0 ⇔ 2 () x = m * ð th hàm s có c c ñ i , c c ti u khi y ' = 0 có 3 nghi m phân bi t và y ' ñ i d u khi x qua các () nghi m ñó , khi ñó phương trình * có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ m > 0 Khi ñó : ( ) x = 0 ⇒ y = m 4 + 2m ⇒ A 0; m 4 + 2m y' = 0 ⇔ )( ) ( x = ± m ⇒ y = m 4 − m 2 + 2m ⇒ B − m ; m 4 − m 2 + 2m ,C m ; m 4 − m 2 + 2m Hàm s có 3 c c tr A, B,C l p thành tam giác ñ u AB = AC ( ) ( ) ⇔ ⇔ AB 2 = BC 2 ⇔ m + m 4 = 4m ⇔ m m 3 − 3 = 0 ⇔ m = 3 3 m > 0 AB = BC V y m = 3 3 là giá tr c n tìm . Ví d 11: 1. Xác ñ nh tham s a ñ hàm s sau có c c ñ i: y = −2x + 2 + a x 2 − 4x + 5 Gi i : -59-
- Nguy n Phú Khánh – ðà L t 063.28.78.79 ho c 0989.80.78.79 http://www.maths.vn ( ) a x −2 a 1. Hàm s cho xác ñ nh trên ℝ và có ñ o hàm y ' = −2 + y '' = (x ) x 2 − 4x + 5 3 − 4x + 5 2 ( ) a x −2 x 2 − 4x + 5 () (1) a y ' x = 0 0 =2 0 2 = 0 Hàm s ñ t c c ñ i t i x = x 0 ⇔ ⇔ x − 4x + 5 ⇔ 0 x0 − 2 () 2 y '' x 0 < 0 0 0 a < 0 a < 0 () V i a < 0 thì 1 ⇒ x 0 < 2 . x 0 − 4x 0 + 5 2 () Xét hàm s : f x 0 = , x0 < 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 x 0 − 4x 0 + 5 2 2 () () lim f x 0 = lim = −1 , lim f x 0 = lim = −∞ x0 − 2 x0 − 2 − − x →−∞ x →−∞ x →2 x →2 −2 () ( ) Ta có f ' x 0 = < 0, ∀x 0 ∈ −∞;2 ( ) 2 x0 − 2 x 0 − 4x 0 + 5 2 B ng bi n thiên : −∞ 2 x () − f' x f (x ) −1 −∞ () a Phương trình 1 có nghi m x 0 < 2 ⇔ < −1 ⇔ a < −2 2 BÀI T P T LUY N 1. Tìm c c tr c a các hàm s sau : () 1 () f ) f x = 8 − x2 a ) f x = x 3 + 2x 2 + 3x − 1 3 () x g) f x = 2 13 () b) f x = x − x 2 + 2x − 10 x +1 3 x3 () h) f x = 1 () c) f x = x + x +1 x () i) f x = 5 − x 2 1 1 () d) f x = x 5 − x 3 + 2 j ) f (x ) = x + x2 − 1 5 3 x 2 − 3x + 3 () 1 4 k ) f (x ) = x e) f x = − x 2 − 3x + 3 x −1 3 3 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau : -60-
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Khảo sát cực trị hàm số 12
5 p |
779 |
252
-
Phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối
12 p |
1184 |
201
-
Các dạng bài toán về cực trị của hàm số
6 p |
999 |
191
-
Chuyên đề Giá trị cực trị của hàm số
18 p |
399 |
128
-
Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số
14 p |
443 |
109
-
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (1)
11 p |
241 |
99
-
Bài tập tự luyện : Cực trị của hàm số
0 p |
215 |
83
-
Chuyên đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
13 p |
76 |
33
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương
6 p |
21 |
14
-
Một số bài tập ứng dụng đạo hàm môn toán 12 - Cực trị của hàm số
2 p |
37 |
12
-
Giáo án Toán 12 ban cơ bản : Tên bài dạy : BÀI TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
4 p |
77 |
11
-
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tt)
8 p |
43 |
7
-
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
7 p |
61 |
6
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số (Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương
1 p |
14 |
5
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số-P2 (Tài liệu bài giảng) - GV. Lê Bá Trần Phương
1 p |
6 |
4
-
Toán 12: Cực đại, cực tiểu của hàm số-P1 (Tài liệu bài giảng) - GV. Lê Bá Trần Phương
2 p |
5 |
3
-
Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số - Nguyễn Nhật Điền
100 p |
2 |
1


text:
Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Quảng cáo Trực tuyến 24H Trụ sở: Tầng 12, Tòa nhà Geleximco, 36 Hoàng Cầu, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, TP Hà Nội Tel: (84-4) 73 00 24 24 hoặc (84-4) 3512 1806 - Fax: (84-4) 3512 1804 VPĐD: Tầng 5 – Toà nhà Hải Âu - 39B Trường Sơn, P2, Q.Tân Bình, TP.Hồ Chí Minh Tel: (84-8) 73 00 24 24 hoặc (84-8) 3848 9845 - Fax: (84-8) 3848 6519 / Giấy phép số 2517/GP- TT ĐT ngày cấp 27/08/2013 SỞ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HÀ NỘI. Chịu trách nhiệm xuất bản: Ngô Kỳ Lam.
HOTLINE: 0965 08 24 24 hoặc 0903 288 624

markdown:
|
|![]()
Tin tức, hình ảnh, video về chủ đề áo dài cách tân
Thứ Ba, ngày 14/07/2015 18:01 PM (GMT+7)24H cập nhật thông tin mới nhất, nhanh nhất và đầy đủ nhất về chủ đề
áo dài cách tân. Mời các bạn đón đọc các bài viết về áo dài cách tân và chia sẻ thông tin áo dài cách tân trên 24H.
Thích và chia sẻ chủ đề trên:
## Tin tức mới nhất về áo dài cách tân
## Tin tức khác về áo dài cách tân
|
|
|
|
Thông tin cần biết
Sự kiện tiêu điểm

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Content-Type: text/html; charset=Utf-8

Connection: close

X-Cache: QuickCache vv2.1.1rc1 - file

Cache-Control: public

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Encoding: gzip


markdown:
Địa danh Vũng Chùa (thôn Minh Sơn, xã Quảng Đông, huyện Quảng Trạch, tỉnh Quảng Bình) không hề tìm thấy trên bản đồ của cỗ máy tìm kiếm Google.
Khu vực Vũng Chùa được bao bọc bởi 3 hòn đảo Hòn La, Hòn Gió và Hòn Nồm. Nhìn về phía đông nam là một phần của biển Đông và cách 1 hải lý là Đảo Yến án ngữ, sau lưng là núi Mũi Rồng hùng vĩ.
Mạch đất ở đây rất đẹp, hướng đông nam chính trực tuyệt đối.
Tại đây có ngôi miếu và một mái chuông đã được dựng lên từ mấy năm trước.
Ngoài ra, ở mảnh đất linh thiêng này còn có 2 ngôi mộ - là những người có công trạng với làng.
Đường vào Vũng Chùa. Giữa thung lũng, có 3 con suối chảy về biển, mùa hè hạn hán nặng vẫn không hề hết nước.
Trên vùng đất còn có một cái giếng cổ.
Bãi biển Vũng Chùa có cấu tạo địa chất đặt biệt, những thớ đá xếp lên nhau như những chiếc vảy của con rồng đang ngơi nghỉ.
Một tháp chuông trên đó có in tên của phu nhân
[Đại tướng Võ Nguyên Giáp](http://www.24h.com.vn/dai-tuong-vo-nguyen-giap-qua-doi-c46e2860.html) cùng gia đình cung tiến. Bốn chữ lớn đúc vào chuông: “Vũng Chùa Hồng Chung”.
Địa danh Mũi Rồng trên bản đồ vẽ tay.


text:
Canon PowerShot A810 – Máy ảnh số cung cấp tất cả mọi thứ bạn cần
Là một trong những dòng máy ảnh tầm trung khá phổ biến của Canon, Canon PowerShot A810 thật sự nổi bật nhờ sự kết hợp độc đáo của vi xử lý ảnh DIGIC 4 và cảm biến CCD 16.0MP cho hình ảnh sắc nét, mịn màng với màu sắc trung thực, rực rỡ. Kết hợp cùng zoom quang 5x, khả năng quay phim chuẩn HD, và thiết kế tiện dụng với nguồn năng lượng 2 pin AA, Canon PowerShot A810 hẳn sẽ làm người dùng phải bất ngờ bởi những gì mà mình đem lại. Tại AP computer, với hai màu đen và bạc sang trọng, bạn sẽ có thêm nhiều lựa chọn cho sở thích của mình.
Canon Powershot A810 trang bị 16-megapixel cảm biến CCD độ phân giải cao, 28-140mm, khả năng video HD 720p, và màn hình LCD sáng để sáng tác và xem hình ảnh và phim của bạn. Cảm biến hình ảnh 16,0 megapixel với bộ xử lý hình ảnh DIGIC 4 cho hiệu suất đặc biệt. Zoom quang 5x với ống kính góc rộng 28mm cung cấp hình ảnh tuyệt đẹp.
Canon A810 được trang bị chế độ Auto thông minh tự động lựa chọn các chế độ chụp có sẵn trong máy giúp bạn dễ dàng bắt lấy những khoảnh khắc đáng nhớ. Chế độ hình ảnh như Fisheye Effect, Toy Camera Effect và đơn sắc cung cấp tự do sáng tạo để chụp ảnh của bạn.
Với thiết kế được bo tròn hợp lý làm cho chiếc máy ảnh Canon A810 khá dễ dàng để giữ dù chỉ với một tay. Máy gọn nhẹ nên bạn có thể dễ dàng đút túi và mang theo trong bất kỳ chuyến đi nào. Ngoài ra, Canon A810 còn có một điểm đặc biệt đó là sử dụng pin AA, một loại pin thông dụng sẵn có trên toàn thế giới, và đôi khi, sự đơn giản lại mang đến những hiệu quả bất ngờ.
Canon A810 được thiết kế gần như hoàn toàn để chụp tự động. Có một chế độ tự động nút chuyên dụng trên máy ảnh. Bao gồm: Chân dung, khuôn mặt tự chụp, ánh sáng yếu, có hiệu lực Fisheye, Miniature Effect, Toy Camera Effect, đơn sắc, Vivid Poster siêu, hiệu ứng, chụp tuyết, chụp pháo hoa, màn trập dài, kín đáo, và phim iFrame.
Tính năng nhận diện khuôn mặt của chiếc mày này có thể nhận diện lên đến 35 khuôn mặt trong một khung duy nhất đảm bảo rằng họ vẫn còn trong tập trung và với độ sáng tối ưu. Phát hiện khuôn mặt cân bằng trắng đảm bảo tông màu da tự nhiên ngay cả trong điều kiện ánh sáng khác thường. Auto Red Eye Correction giúp loại bỏ mắt đỏ.
Canon PowerShot A810 cũng có được những chế độ chụp thú vị như hiệu ứng mắt cá, Toy Camera hay chế độ chụp đơn sắc, poster. Miniature Effect làm cho các cảnh trong ảnh tĩnh hoặc xem phim trông giống như các mô hình quy mô nhỏ. Live Xem Control cho phép bạn dễ dàng thử nghiệm với các cài đặt hình ảnh như độ sáng và cường độ màu sắc và xem trước kết quả trong khi khung, vì vậy bạn có thể chụp những tấm ảnh tốt nhất. Canon A810, đơn giản nhưng thực sự thú vị với những bức ảnh mà nó mang lại.
Máy có 2 màu Đen và bạc để bạn lựa chọn
CLICK XEM THÔNG SỐ KỶ THUẬT CỦA MÁY ẢNH CANON A810
Đừng chần chừ nữa! Nhanh tay click MUA ngay để sở hữu bộ sản phẩm với giá cực ưu đãi các bạn nhé! Nhanh tay lên, số lượng có hạn!
Bản Đồ
TAGS: máy ảnh canon powershot a810, may anh canon powershot a810

markdown:
[Canon PowerShot A810](/Hang-cong-nghe/May-Anh-Canon-PowerShot-A810/HCM.aspx) – Máy ảnh số cung cấp tất cả mọi thứ bạn cần
Là một trong những dòng máy ảnh tầm trung khá phổ biến của Canon, Canon PowerShot A810 thật sự nổi bật nhờ sự kết hợp độc đáo của vi xử lý ảnh DIGIC 4 và cảm biến CCD 16.0MP cho hình ảnh sắc nét, mịn màng với màu sắc trung thực, rực rỡ. Kết hợp cùng zoom quang 5x, khả năng quay phim chuẩn HD, và thiết kế tiện dụng với nguồn năng lượng 2 pin AA, Canon PowerShot A810 hẳn sẽ làm người dùng phải bất ngờ bởi những gì mà mình đem lại. Tại AP computer, với hai màu đen và bạc sang trọng, bạn sẽ có thêm nhiều lựa chọn cho sở thích của mình.
Canon Powershot A810 trang bị 16-megapixel cảm biến CCD độ phân giải cao, 28-140mm, khả năng video HD 720p, và màn hình LCD sáng để sáng tác và xem hình ảnh và phim của bạn. Cảm biến hình ảnh 16,0 megapixel với bộ xử lý hình ảnh DIGIC 4 cho hiệu suất đặc biệt. Zoom quang 5x với ống kính góc rộng 28mm cung cấp hình ảnh tuyệt đẹp.
Canon A810 được trang bị chế độ Auto thông minh tự động lựa chọn các chế độ chụp có sẵn trong máy giúp bạn dễ dàng bắt lấy những khoảnh khắc đáng nhớ. Chế độ hình ảnh như Fisheye Effect, Toy Camera Effect và đơn sắc cung cấp tự do sáng tạo để chụp ảnh của bạn.
Với thiết kế được bo tròn hợp lý làm cho chiếc máy ảnh Canon A810 khá dễ dàng để giữ dù chỉ với một tay. Máy gọn nhẹ nên bạn có thể dễ dàng đút túi và mang theo trong bất kỳ chuyến đi nào. Ngoài ra, Canon A810 còn có một điểm đặc biệt đó là sử dụng pin AA, một loại pin thông dụng sẵn có trên toàn thế giới, và đôi khi, sự đơn giản lại mang đến những hiệu quả bất ngờ.
Canon A810 được thiết kế gần như hoàn toàn để chụp tự động. Có một chế độ tự động nút chuyên dụng trên máy ảnh. Bao gồm: Chân dung, khuôn mặt tự chụp, ánh sáng yếu, có hiệu lực Fisheye, Miniature Effect, Toy Camera Effect, đơn sắc, Vivid Poster siêu, hiệu ứng, chụp tuyết, chụp pháo hoa, màn trập dài, kín đáo, và phim iFrame.
Tính năng nhận diện khuôn mặt của chiếc mày này có thể nhận diện lên đến 35 khuôn mặt trong một khung duy nhất đảm bảo rằng họ vẫn còn trong tập trung và với độ sáng tối ưu. Phát hiện khuôn mặt cân bằng trắng đảm bảo tông màu da tự nhiên ngay cả trong điều kiện ánh sáng khác thường. Auto Red Eye Correction giúp loại bỏ mắt đỏ.
Canon PowerShot A810 cũng có được những chế độ chụp thú vị như hiệu ứng mắt cá, Toy Camera hay chế độ chụp đơn sắc, poster. Miniature Effect làm cho các cảnh trong ảnh tĩnh hoặc xem phim trông giống như các mô hình quy mô nhỏ. Live Xem Control cho phép bạn dễ dàng thử nghiệm với các cài đặt hình ảnh như độ sáng và cường độ màu sắc và xem trước kết quả trong khi khung, vì vậy bạn có thể chụp những tấm ảnh tốt nhất. Canon A810, đơn giản nhưng thực sự thú vị với những bức ảnh mà nó mang lại.
Máy có 2 màu Đen và bạc để bạn lựa chọn
**CLICK XEM THÔNG SỐ KỶ THUẬT CỦA MÁY ẢNH CANON A810** **Đừng chần chừ nữa! Nhanh tay click MUA ngay để sở hữu bộ sản phẩm với giá cực ưu đãi các bạn nhé! Nhanh tay lên, số lượng có hạn!**
Bản Đồ
TAGS:
[máy ảnh canon powershot a810](/Hang-cong-nghe/May-Anh-Canon-PowerShot-A810/HCM.aspx), [may anh canon powershot a810](/Hang-cong-nghe/May-Anh-Canon-PowerShot-A810/HCM.aspx)

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-cache

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
Hotels.com mang đến cho bạn những ưu đãi và khuyến mãi giá phòng khách sạn tuyệt vời tại Cartagena, Colombia. Đặt phòng khách sạn trực tuyến ngay hôm nay cùng chúng tôi để hưởng giá tốt nhất.
Tại Hotels.com, bạn có thể tìm và so sánh giá phòng khách sạn tại Cartagena để chọn khách sạn hoàn hảo cho chuyến đi của mình. Bất kể bạn đang lên kế hoạch cho một chuyến du lịch, kỳ nghỉ hè hay đi công tác tại Cartagena, Hotels.com luôn có phòng phù hợp cho nhu cầu của bạn.
Tại Hotels.com, bạn có thể tìm và so sánh giá phòng khách sạn tại Cartagena để chọn khách sạn hoàn hảo cho chuyến đi của mình. Bất kể bạn đang lên kế hoạch cho một chuyến du lịch, kỳ nghỉ hè hay đi công tác tại Cartagena, Hotels.com luôn có phòng phù hợp cho nhu cầu của bạn.

Server: Application-Server

Content-Language: vi-VN

X-UA-Compatible: IE=Edge

Cache-Control: max-age=0, no-cache, no-store

Vary: Accept-Encoding

Set-Cookie: user=QSp2aV9WTnxIQ09NX1ZO; Domain=.hotels.com; Expires=Fri, 26-Aug-2016 19:24:30 GMT; Path=/


text:
Top Definition
The subjective measure of the psychological "impact" of any given event.
Those involved the plotting of the 9/11 attacks were attempting to maximize the shock factor.
viết bởi Guido1 27 Tháng ba, 2008
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.×

markdown:
Top Definition
The subjective measure of the psychological "impact" of any given event.
Those involved the plotting of the 9/11 attacks were attempting to maximize the shock factor.
viết bởi
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận
**Từ vựng của Urban** mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

Server: Cowboy

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

X-Xss-Protection: 1; mode=block

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: max-age=3600, public

Via: 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

X-Cache: MISS


text:
Sign in to post new definitions, images, and sounds and create lists of favorites.
Sign in to post new definitions, images, and sounds and create lists of favorites.
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.×

markdown:
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận
**Từ vựng của Urban** mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

WARC-Truncated: length

Cache-Control: max-age=0, private, must-revalidate


text:
Chiếc máy bay dân dụng phiên bản mới nhất của Nga chở 44 hành khách vừa biến mất khỏi màn hình rađa trong suốt chuyến bay mang tính trình diễn tại thủ đô Jakarta.
Máy bay phản lực siêu âm Sukhoi Superjet 100 (SSJ-100)
Các nhà chức trách không loại trừ khả năng máy bay đã bị không tặc hoặc đâm vào núi cao.
Đây là chiếc máy bay phản lực siêu âm đời mới nhất có tên gọi Sukhoi Superjet 100 (SSJ-100)
Chiếc máy bay này đã không trở lại sân bay theo lịch trình đã định để hạ cánh. Vào lúc đó, nguồn nhiên liệu trên máy bay chắc chắn đã sử dụng hết.
Hãng tin RIA trích dẫn nguồn từ một quan chức hàng không Indonesia, cho biết trước khi biến mất khỏi màn hình, phi hành đoàn của chiếc máy bay đã yêu cầu được hạ độ cao.
Chiếc máy bay được phép hạ độ cao từ 10.000 feet (3048m) xuống còn 6.000 feet (1800m). Theo quan chức này, khu vực máy bay mất tích có các ngọn núi cao tới gần 1900m.
Tuy nhiên, các quan chức hàng không Indonesia không loại trừ khả năng chiếc máy bay đã bị không tặc.
Theo nguồn tin của VietNamNet tại Jakarta, chiếc máy bay đã bị mất tích không lâu sau khi cất cánh. Khu vực máy bay mất liên lạc là tại Bogor, một thành phố có rất nhiều núi cao.
Có 44 người trên chiếc máy bay mất tích, bao gồm 8 người Nga và 36 công dân từ các quốc gia khác nhau - hầu hết họ là các đại diện cho các công ty hàng không lớn.
Phi hành đoàn của máy bay là người Nga.
Báo cáo mới nhất cho biết không thể liên lạc qua điện thoại với bất cứ thành viên nào trong máy bay.
Chiếc máy bay của Nga tới Indonesia vào ngày hôm nay 9/5 - chặng dừng chân thứ tư trong chuyến trình diễn tại châu Á. Trước đó, chiếc máy bay này đã tới Mynamar, Pakistan, Kazakhstan. Sau khi tới Jakarta, hai chặng dừng chân cuối cùng của máy bay sẽ là Lào và Việt Nam.
SSJ-100 đã thực hiện các chuyên bay kéo dài 2 giờ đồng hồ tại Jakarta.
Hồi tháng Hai, hãng United Aircraft Corporation cho biết họ sẽ xuất khẩu 10 chiếc SSJ-100 vào năm nay. Các máy bay này sẽ được chuyển tới Mexico, Indonesia, Lào trong quý hai của năm.
Cho tới lúc này, chỉ có một chiếc được xuất khẩu sang Armenia. 10 chiếc khác sẽ được giao cho hãng hàng không nội địa Aeroflot và Armavia.
SSJ-100 là máy bay vận chuyển tầm trung do hãng Sukhoi phát triển cùng với sự hợp tác của Mỹ và các hãng máy bay châu Âu khác, bao gồm Boeing, Snecma, Thales, Messier Dowty, Liebherr Aerospace và Honeywell.
Nga từng đặt hy vọng SSJ-100 sẽ là "hy vọng mới cho ngành công nghiệp hàng không thương mại" của mình.
Chiếc máy bay có thể vận chuyển 100 hành khách trên chặng bay trên 4500km.
Hiện nay, hãng Sukhoi đã nhận được 200 đơn hàng chắc chắn cho chiếc SSJ này từ 100 hãng hàng không.
Máy bay biến mất khỏi màn hình rađa
Máy bay bảo dưỡng trước khi bay
Sơ đồ lắp ráp, thiết bị của SSJ-100 kết hợp cùng các hãng máy bay Mỹ và châu Âu
Bạn có thể gửi nhận xét, góp ý hay liên hệ về bài viết Máy bay tối tân Sukhoi của Nga đột ngột mất tích bằng cách gửi thư điện tử tới Lien He Bao Viet Nam. Xin bao gồm tên bài viết May bay toi tan Sukhoi cua Nga dot ngot mat tich ở dạng tiếng Việt không dấu. Hoặc Máy bay tối tân Sukhoi của Nga đột ngột mất tích ở dạng có dấu. Bài viết trong chuyên đề Thị Trường của chuyên mục Kinh Tế.
Russian warplanes sudden mysterious disappearance
the latest version, civil aircraft, radar screen, missing, aviation, sudden, art, vanishing, mystery, its , to, from, high
Civil aircraft of Russia's latest version has disappeared from radar screens during the flight demonstration in Jakarta ..
Tàu đâm ôtô, lái xe văng xuống cống tử vong; Ông Đặng Thành Tâm đối mặt với tin đồn bị bắt; Một nửa ít biết của MC Thanh Tùng, Thụy Vân; Bé gái bị mẹ tẩm xăng đốt vì thiếu nợ tiền vé số;
Dân khóc ròng vì 1.600 cây sưa đỏ bị chặt trộm; Thanh sắt công trình đường sắt trên cao rơi trúng ô tô; Ảnh bất ngờ của MC Long Vũ, Anh Tuấn; Xác định được lái xe Audi gây tai nạn trên cao tốc;
Bộ GTVT lên tiếng vụ xây cầu treo phục vụ chủ tịch xã; Lạ: Đang sống, cả nhà tự làm đám tang cho mình; Siêu xe 15 tỷ "nát đầu" sau khi đâm dải phân cách; Tài sản kếch xù của đại gia vừa đột tử ở HN;
Bộ trưởng nhận trách nhiệm về bất cập trong xét tuyển ĐH; Ông Đoàn Văn Vươn được đề nghị đặc xá năm 2015; Xuất hiện dòng suối 'máu' bất thường ở Điện Biên; MC Thảo Vân bị tổn thương nặng nề trên máy bay; Giết vợ rồi đi cả ngàn km về quê chém chết tình địch; Xe máy chứa hơn một tỷ đồng bỏ lại bên lề đường...là những thông tin thời sự nổi bật tuần qua.
"Chúng ta nợ nhân dân đường sắt cao tốc BắcNam”; Hà Nội: Cháy dữ dội gần hồ Đền Lừ; Gần 43.000 lượt thí sinh thay đổi nguyện vọng; Bi kịch 2 gia đình vụ giết vợ và tình địch;... là những thông tin đáng chú ý ngày 22/8.
Đã có rất nhiều trường hợp vận chuyển ma túy, đối tượng truy nã bị bắt giữ ngay trên đường di chuyển và dĩ nhiên ở góc độ này, Cảnh sát giao thông chính là những người đấu tranh trực tiếp với những kẻ phạm tội
19 giờ tối 17/8, một quả bom được cài ngay bên trong khuôn viên ngôi đền Hindu giáo ở trung tâm thủ đô Bangkok của Thái Lan đã phát nổ, gây ra một cảnh tượng tang hoang, hỗn loạn. Chưa có tổ chức nào nhận trách nhiệm gây ra vụ..
Nhận định về tình hình kinh tế Việt Nam trong sự biến động của tỷ giá, HSBC cho biết, Việt Nam trong thời gian gần đây đã thể hiện là một trong vài nền kinh tế châu Á có số liệu xuất khẩu mạnh mẽ... ------------ Xem thêm: Tăng tiếp 1% tỷ giá, nới biên độ lên +/-3%, http://vietbao.vn/tp/Ty-gia-tang/12367640/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Đó là lời khẳng định của các bác sỹ chuyên ngành trước hiện tượng, có nhiều trẻ mới chỉ 5 tuổi, thậm chí 2-3 tuổi đã có những biểu hiện của tuổi dậy thì.
Mang tấm biển kể lể về hoàn cảnh khó khăn sau tốt nghiệp, ông bố 9X nhận được rất nhiều ý kiến đa chiều từ dân mạng, các bạn trẻ.
'Nước sâm lạnh ngon, bạn cứ lấy uống nhé. Cảm ơn! Miễn phí'.
Từ vỏ chai, gốm hỏng, đất cát ven sông… đều được chàng trai trẻ thu gom để bán nhằm gây quỹ từ thiện ủng hộ người dân vùng cao.
Cùng dõi theo những hình ảnh ngày làm việc của các nữ chiến sĩ CSGT vừa được Giám đốc Công an TP Hà Nội tặng bằng khen vì có thành tích xuất sắc.
Những ngày qua, cộng đồng mạng liên tục chia sẻ câu chuyện về đôi vợ chồng già bán xăng chịu cho người qua đường khi khách chẳng may "cháy túi" khiến nhiều người cảm động.
Trong khi chúng ta đang có một mùa đông ấm áp cùng gia đình, bạn bè thì ở ngoài kia biết bao em thơ và cụ già đang phải chống chọi với cái lạnh cắt da cắt thịt của tiết trời miền Bắc.
Clip tắm bé sơ sinh trong bồn rửa inox gây tranh cãi; Cẩn trọng với bệnh viêm màng não; Bé gái 5 tuổi đã dậy thì vì ăn cơm mẹ nấu; Con nhiễm lỵ amip, đau bụng triền miên vì mẹ cho ăn cơm "nhá"; Ăn chay tốt cho sức khỏe hay không; Suy kiệt cơ thể và nhập viện vì mắc chứng loạn dâm;...là những tin sức khỏe đáng chú ý tuần qua. ------------ Xem thêm: Tin Sức khỏe tuần qua (15/08-22/08): Tranh cãi clip tắm bé sơ sinh trong bồn inox, http://vietbao.vn/Suc-khoe/Tin-Suc-khoe-tuan-qua-15082208-Tranh-cai-clip-tam-be-so-sinh-trong-bon-inox/2147590769/248/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Chiều 19/8 giá xăng giảm gần 800 đồng/lít, với lần điêu chỉnh này các DN xăng dầu vẫn tiếp tục lãi lớn nhờ giá xăng dầu NK giảm xuống mức thấp kỷ lục; cũng ngày 19/8 NHNN quyết định tăng thêm 1% tỷ giá bình quân liên ngân hàng giữa đồng Việt Nam với Đô la Mỹ, nới biên độ tỷ giá từ +/-2% lên +/-3% với mục đích chủ động dẫn dắt thị trường; CEO và Phó tổng giám đốc DongA Bank bị đình chỉ chức vụ, quyền hạn tại ngân hàng... Cùng với đó, những thông tin về bất động sản, tài chính- ngân hàng, thị trường tiêu dùng... tiếp tục là những tin tức, sự kiện kinh tế nóng hổi trong tuần vừa qua. ------------ Xem thêm: Toàn cảnh kinh tế tuần 16/08 - 22/08/2015, http://vietbao.vn/Kinh-te/Toan-canh-kinh-te-tuan-1608-22082015/2147590745/47/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Bục túi nước hầm lò than ở Quảng Ninh; Thực hư sinh viên trường múa thoát y phản cảm ở quán bar?; Cô gái xinh đẹp bỗng hóa thành bà lão đã qua đời; Tắm trẻ sơ sinh trong bồn rửa bát; Hà Nội mất nước, trách nhiệm như đứa trẻ mồ côi....là những tin tức nổi bật được dư luận quan tâm trong tuần qua. ------------ Xem thêm: Nghìn lẻ chuyện tuần qua (16/08 - 22/08), http://vietbao.vn/Xa-hoi/Nghin-le-chuyen-tuan-qua-1608-2208/2147590760/157/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Đằng sau những vụ đột kích sới bạc lớn; Những má mì xinh đẹp điều hành bán dâm; 'Nóng' tội phạm trộm cắp xe máy; Những chiến công thầm lặng của lực lượng 141 Hà Nội; Nghi án con dâu hạ độc cả nhà bằng thuốc trừ sâu tại Trung Quốc; Những “bóng hồng” phá án khiến không ít trùm ma túy phải khiếp sợ;.....là những tin đáng chú ý trong tuần. ------------ Xem thêm: Tin An ninh - Pháp luật tuần qua (16/08 - 22/08), http://vietbao.vn/An-ninh-Phap-luat/Tin-An-ninh-Phap-luat-tuan-qua-1608-2208/2147590736/218/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Bangkok rung chuyển vì đánh bom; Indonesia đánh chìm 34 tàu cá nước ngoài; tình hình căng thẳng trên bán đảo Triều Tiên; nữ Thủ tướng đầu tiên của Hàn Quốc lãnh án tù... là những tin chính trong tuần qua.
Viết phản hồi

markdown:
**Chiếc máy bay dân dụng phiên bản mới nhất của Nga chở 44 hành khách vừa biến mất khỏi màn hình rađa trong suốt chuyến bay mang tính trình diễn tại thủ đô Jakarta.**
Máy bay phản lực siêu âm Sukhoi Superjet 100 (SSJ-100)
Các nhà chức trách không loại trừ khả năng máy bay đã bị không tặc hoặc đâm vào núi cao.
Đây là chiếc máy bay phản lực siêu âm đời mới nhất có tên gọi Sukhoi Superjet 100 (SSJ-100)
Chiếc máy bay này đã không trở lại sân bay theo lịch trình đã định để hạ cánh. Vào lúc đó, nguồn nhiên liệu trên máy bay chắc chắn đã sử dụng hết.
Hãng tin RIA trích dẫn nguồn từ một quan chức hàng không Indonesia, cho biết trước khi biến mất khỏi màn hình, phi hành đoàn của chiếc máy bay đã yêu cầu được hạ độ cao.
Chiếc máy bay được phép hạ độ cao từ 10.000 feet (3048m) xuống còn 6.000 feet (1800m). Theo quan chức này, khu vực máy bay mất tích có các ngọn núi cao tới gần 1900m.
Tuy nhiên, các quan chức hàng không Indonesia không loại trừ khả năng chiếc máy bay đã bị không tặc.
Theo nguồn tin của VietNamNet tại Jakarta, chiếc máy bay đã bị mất tích không lâu sau khi cất cánh. Khu vực máy bay mất liên lạc là tại Bogor, một thành phố có rất nhiều núi cao.
Có 44 người trên chiếc máy bay mất tích, bao gồm 8 người Nga và 36 công dân từ các quốc gia khác nhau - hầu hết họ là các đại diện cho các công ty hàng không lớn.
Phi hành đoàn của máy bay là người Nga.
Báo cáo mới nhất cho biết không thể liên lạc qua điện thoại với bất cứ thành viên nào trong máy bay.
Chiếc máy bay của Nga tới Indonesia vào ngày hôm nay 9/5 - chặng dừng chân thứ tư trong chuyến trình diễn tại châu Á. Trước đó, chiếc máy bay này đã tới Mynamar, Pakistan, Kazakhstan. Sau khi tới Jakarta, hai chặng dừng chân cuối cùng của máy bay sẽ là Lào và Việt Nam.
SSJ-100 đã thực hiện các chuyên bay kéo dài 2 giờ đồng hồ tại Jakarta.
Hồi tháng Hai, hãng United Aircraft Corporation cho biết họ sẽ xuất khẩu 10 chiếc SSJ-100 vào năm nay. Các máy bay này sẽ được chuyển tới Mexico, Indonesia, Lào trong quý hai của năm.
Cho tới lúc này, chỉ có một chiếc được xuất khẩu sang Armenia. 10 chiếc khác sẽ được giao cho hãng hàng không nội địa Aeroflot và Armavia.
SSJ-100 là máy bay vận chuyển tầm trung do hãng Sukhoi phát triển cùng với sự hợp tác của Mỹ và các hãng máy bay châu Âu khác, bao gồm Boeing, Snecma, Thales, Messier Dowty, Liebherr Aerospace và Honeywell.
Nga từng đặt hy vọng SSJ-100 sẽ là "hy vọng mới cho ngành công nghiệp hàng không thương mại" của mình.
Chiếc máy bay có thể vận chuyển 100 hành khách trên chặng bay trên 4500km.
Hiện nay, hãng Sukhoi đã nhận được 200 đơn hàng chắc chắn cho chiếc SSJ này từ 100 hãng hàng không.
Máy bay biến mất khỏi màn hình rađa
Máy bay bảo dưỡng trước khi bay
Sơ đồ lắp ráp, thiết bị của SSJ-100 kết hợp cùng các hãng máy bay Mỹ và châu Âu
|
|
00:00 / --:--
|
|
|
|
TIN
![]()
Bạn có thể gửi nhận xét, góp ý hay liên hệ về bài viết
** bằng cách gửi thư điện tử tới Máy bay tối tân Sukhoi của Nga đột ngột mất tích**
Tàu đâm ôtô, lái xe văng xuống cống tử vong; Ông Đặng Thành Tâm đối mặt với tin đồn bị bắt; Một nửa ít biết của MC Thanh Tùng, Thụy Vân; Bé gái bị mẹ tẩm xăng đốt vì thiếu nợ tiền vé số;
Dân khóc ròng vì 1.600 cây sưa đỏ bị chặt trộm; Thanh sắt công trình đường sắt trên cao rơi trúng ô tô; Ảnh bất ngờ của MC Long Vũ, Anh Tuấn; Xác định được lái xe Audi gây tai nạn trên cao tốc;
Bộ GTVT lên tiếng vụ xây cầu treo phục vụ chủ tịch xã; Lạ: Đang sống, cả nhà tự làm đám tang cho mình; Siêu xe 15 tỷ "nát đầu" sau khi đâm dải phân cách; Tài sản kếch xù của đại gia vừa đột tử ở HN;
Bộ trưởng nhận trách nhiệm về bất cập trong xét tuyển ĐH; Ông Đoàn Văn Vươn được đề nghị đặc xá năm 2015; Xuất hiện dòng suối 'máu' bất thường ở Điện Biên; MC Thảo Vân bị tổn thương nặng nề trên máy bay; Giết vợ rồi đi cả ngàn km về quê chém chết tình địch; Xe máy chứa hơn một tỷ đồng bỏ lại bên lề đường...là những thông tin thời sự nổi bật tuần qua.
"Chúng ta nợ nhân dân đường sắt cao tốc BắcNam”; Hà Nội: Cháy dữ dội gần hồ Đền Lừ; Gần 43.000 lượt thí sinh thay đổi nguyện vọng; Bi kịch 2 gia đình vụ giết vợ và tình địch;... là những thông tin đáng chú ý ngày 22/8.
Đã có rất nhiều trường hợp vận chuyển ma túy, đối tượng truy nã bị bắt giữ ngay trên đường di chuyển và dĩ nhiên ở góc độ này, Cảnh sát giao thông chính là những người đấu tranh trực tiếp với những kẻ phạm tội
19 giờ tối 17/8, một quả bom được cài ngay bên trong khuôn viên ngôi đền Hindu giáo ở trung tâm thủ đô Bangkok của Thái Lan đã phát nổ, gây ra một cảnh tượng tang hoang, hỗn loạn. Chưa có tổ chức nào nhận trách nhiệm gây ra vụ..
Nhận định về tình hình kinh tế Việt Nam trong sự biến động của tỷ giá, HSBC cho biết, Việt Nam trong thời gian gần đây đã thể hiện là một trong vài nền kinh tế châu Á có số liệu xuất khẩu mạnh mẽ... ------------ Xem thêm: Tăng tiếp 1% tỷ giá, nới biên độ lên +/-3%, http://vietbao.vn/tp/Ty-gia-tang/12367640/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Đó là lời khẳng định của các bác sỹ chuyên ngành trước hiện tượng, có nhiều trẻ mới chỉ 5 tuổi, thậm chí 2-3 tuổi đã có những biểu hiện của tuổi dậy thì.
Mang tấm biển kể lể về hoàn cảnh khó khăn sau tốt nghiệp, ông bố 9X nhận được rất nhiều ý kiến đa chiều từ dân mạng, các bạn trẻ.
'Nước sâm lạnh ngon, bạn cứ lấy uống nhé. Cảm ơn! Miễn phí'.
Từ vỏ chai, gốm hỏng, đất cát ven sông… đều được chàng trai trẻ thu gom để bán nhằm gây quỹ từ thiện ủng hộ người dân vùng cao.
Cùng dõi theo những hình ảnh ngày làm việc của các nữ chiến sĩ CSGT vừa được Giám đốc Công an TP Hà Nội tặng bằng khen vì có thành tích xuất sắc.
Những ngày qua, cộng đồng mạng liên tục chia sẻ câu chuyện về đôi vợ chồng già bán xăng chịu cho người qua đường khi khách chẳng may "cháy túi" khiến nhiều người cảm động.
Trong khi chúng ta đang có một mùa đông ấm áp cùng gia đình, bạn bè thì ở ngoài kia biết bao em thơ và cụ già đang phải chống chọi với cái lạnh cắt da cắt thịt của tiết trời miền Bắc.
Clip tắm bé sơ sinh trong bồn rửa inox gây tranh cãi; Cẩn trọng với bệnh viêm màng não; Bé gái 5 tuổi đã dậy thì vì ăn cơm mẹ nấu; Con nhiễm lỵ amip, đau bụng triền miên vì mẹ cho ăn cơm "nhá"; Ăn chay tốt cho sức khỏe hay không; Suy kiệt cơ thể và nhập viện vì mắc chứng loạn dâm;...là những tin sức khỏe đáng chú ý tuần qua. ------------ Xem thêm: Tin Sức khỏe tuần qua (15/08-22/08): Tranh cãi clip tắm bé sơ sinh trong bồn inox, http://vietbao.vn/Suc-khoe/Tin-Suc-khoe-tuan-qua-15082208-Tranh-cai-clip-tam-be-so-sinh-trong-bon-inox/2147590769/248/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Chiều 19/8 giá xăng giảm gần 800 đồng/lít, với lần điêu chỉnh này các DN xăng dầu vẫn tiếp tục lãi lớn nhờ giá xăng dầu NK giảm xuống mức thấp kỷ lục; cũng ngày 19/8 NHNN quyết định tăng thêm 1% tỷ giá bình quân liên ngân hàng giữa đồng Việt Nam với Đô la Mỹ, nới biên độ tỷ giá từ +/-2% lên +/-3% với mục đích chủ động dẫn dắt thị trường; CEO và Phó tổng giám đốc DongA Bank bị đình chỉ chức vụ, quyền hạn tại ngân hàng... Cùng với đó, những thông tin về bất động sản, tài chính- ngân hàng, thị trường tiêu dùng... tiếp tục là những tin tức, sự kiện kinh tế nóng hổi trong tuần vừa qua. ------------ Xem thêm: Toàn cảnh kinh tế tuần 16/08 - 22/08/2015, http://vietbao.vn/Kinh-te/Toan-canh-kinh-te-tuan-1608-22082015/2147590745/47/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Bục túi nước hầm lò than ở Quảng Ninh; Thực hư sinh viên trường múa thoát y phản cảm ở quán bar?; Cô gái xinh đẹp bỗng hóa thành bà lão đã qua đời; Tắm trẻ sơ sinh trong bồn rửa bát; Hà Nội mất nước, trách nhiệm như đứa trẻ mồ côi....là những tin tức nổi bật được dư luận quan tâm trong tuần qua. ------------ Xem thêm: Nghìn lẻ chuyện tuần qua (16/08 - 22/08), http://vietbao.vn/Xa-hoi/Nghin-le-chuyen-tuan-qua-1608-2208/2147590760/157/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Đằng sau những vụ đột kích sới bạc lớn; Những má mì xinh đẹp điều hành bán dâm; 'Nóng' tội phạm trộm cắp xe máy; Những chiến công thầm lặng của lực lượng 141 Hà Nội; Nghi án con dâu hạ độc cả nhà bằng thuốc trừ sâu tại Trung Quốc; Những “bóng hồng” phá án khiến không ít trùm ma túy phải khiếp sợ;.....là những tin đáng chú ý trong tuần. ------------ Xem thêm: Tin An ninh - Pháp luật tuần qua (16/08 - 22/08), http://vietbao.vn/An-ninh-Phap-luat/Tin-An-ninh-Phap-luat-tuan-qua-1608-2208/2147590736/218/ Tin nhanh Việt Nam ra thế giới vietbao.vn
Bangkok rung chuyển vì đánh bom; Indonesia đánh chìm 34 tàu cá nước ngoài; tình hình căng thẳng trên bán đảo Triều Tiên; nữ Thủ tướng đầu tiên của Hàn Quốc lãnh án tù... là những tin chính trong tuần qua.
Ý kiến bạn đọc
Viết phản hồi

Cache-Control: max-age=280, public