text:
Ghi danh
Hội nhập
GIÁO HỘI PGVNTTG
TIN TỨC SINH HOẠT CỦA GIÁO HỘI
CƠ CẤU HÀNH CHÍNH GIÁO HỘI TRUNG ƯƠNG
TRUNG ƯƠNG VIỆN TRỰC THUỘC GIÁO HỘI
TẠP CHÍ PHÁP ÂM GIÁO HỘI
VIDEO & AUDIO GIÁO HỘI
HÌNH ẢNH GIÁO HỘI
TTVHPG-CHÙA BẢO QUANG
THÔNG BÁO
TIN PHẬT GIÁO
TIN TỨC CHÙA BẢO QUANG
THẦY THÍCH QUẢNG THANH
HÌNH ẢNH CHÙA BẢO QUANG
VIDEO CHÙA BẢO QUANG
BÁO TRÚC LÂM
PHẬT PHÁP
CHƯƠNG TRÌNH TU HỌC TẠI CHÙA BẢO QUANG
CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC TẠI CHÙA BẢO QUANG
CÁC LỚP VIỆT NGỮ
CÁC LỚP ÂM NHẠC
CÁC LỚP VÕ THUẬT
NGHỆ THUẬT
NGHỆ THUẬT CẮM HOA
NGHỆ THUẬT NHIẾP ẢNH
NGHỆ THUẬT HỘI HỌA
NGHỆ THUẬT ĐIÊU KHẮC
GIA ĐÌNH PHẬT TỬ CHÙA BẢO QUANG
HOẠT ĐỘNG TỪ THIỆN X.H
VĂN THƠ
Ý ĐẸP LỜI HAY
AUDIO
TIN MỚI NHẤT
GIÁO HỘI PGVN HẢI NGOẠI
CHÙA BẢO QUANG
GHPGVN TRÊN THẾ GIỚI
TTVHPG BẢO QUANG
TIN SINH HOẠT CHÙA BẢO QUANG
CHÙA BẢO QUANG - VIETBAO.COM
TRANG NHÀ
DANH MỤC
GIÁO HỘI PGVNTTG
TIN TỨC SINH HOẠT CỦA GIÁO HỘI
CƠ CẤU HÀNH CHÍNH GIÁO HỘI TRUNG ƯƠNG
TRUNG ƯƠNG VIỆN TRỰC THUỘC GIÁO HỘI
TẠP CHÍ PHÁP ÂM GIÁO HỘI
VIDEO & AUDIO GIÁO HỘI
HÌNH ẢNH GIÁO HỘI
TTVHPG-CHÙA BẢO QUANG
THÔNG BÁO
TIN PHẬT GIÁO
TIN TỨC CHÙA BẢO QUANG
THẦY THÍCH QUẢNG THANH
HÌNH ẢNH CHÙA BẢO QUANG
VIDEO CHÙA BẢO QUANG
BÁO TRÚC LÂM
PHẬT PHÁP
CHƯƠNG TRÌNH TU HỌC TẠI CHÙA BẢO QUANG
CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC TẠI CHÙA BẢO QUANG
CÁC LỚP VIỆT NGỮ
CÁC LỚP ÂM NHẠC
CÁC LỚP VÕ THUẬT
NGHỆ THUẬT
NGHỆ THUẬT CẮM HOA
NGHỆ THUẬT NHIẾP ẢNH
NGHỆ THUẬT HỘI HỌA
NGHỆ THUẬT ĐIÊU KHẮC
GIA ĐÌNH PHẬT TỬ CHÙA BẢO QUANG
HOẠT ĐỘNG TỪ THIỆN X.H
VĂN THƠ
Ý ĐẸP LỜI HAY
AUDIO
TIN MỚI NHẤT
GIÁO HỘI PGVN HẢI NGOẠI
CHÙA BẢO QUANG
CHUYÊN MỤC
GHPGVN TRÊN THẾ GIỚI
TTVHPG BẢO QUANG
TIN SINH HOẠT CHÙA BẢO QUANG
CHÙA BẢO QUANG - VIETBAO.COM
LIÊN LẠC
TIN MỚI NHẤT GHPGVN HẢI NGOẠI
Phân Ưu Trong Báo Trúc Lâm
23/05/2018
(Xem: 20)
Đọc thêm
THÔNG BẠCH THAY THƯ MỜI LỄ TIỂU TƯỜNG CỐ TRƯỞNG LÃO HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
27/06/2016
(Xem: 3261)
Để tỏ lòng tri ân và báo ân với bậc THẦY tôn kính, bậc thạch trụ của Phật giáo; Sơn môn pháp phái Tổ Đình Từ Quang và môn đồ pháp quyến sẽ tổ chức Lễ Tiểu Tường truy niệm Giác Linh Cố Trưởng Lão Hòa Thượng thượng Tâm hạ Châu, Thượng Thủ Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới kiêm Viện Chủ Tổ Đình Từ Quang.
Đọc thêm
TIỂU SỬ VÀ SỰ HÀNH ĐẠO CỦA HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
11/09/2015
(Xem: 6627)
Ngài sinh trong gia đình họ Đoàn ngày 02 tháng 11 năm 1921 (Tân-Dậu), tại Ninh Bình, Bắc phần, Việt Nam. Ngài là người con trai út, trong 4 anh em trai trong gia-đình. Ngài nhập đạo năm 11 tuổi.
Đọc thêm
THÔNG BẠCH THAY THƯ MỜI LỄ CHUNG THẤT CỐ TRƯỞNG LÃO HÒA THƯỢNG TÂM CHÂU
10/09/2015
(Xem: 6712)
Để tỏ lòng tri ân và báo ân trong muôn một đối với vị Thầy tôn kính, bậc thạch trụ của Phật Giáo; Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới cùng môn đồ pháp quyến đồng thuận tổ chức Lễ Chung Thất,
Đọc thêm
Điện Thư Phân Ưu - chùa Pháp Vương
22/08/2015
(Xem: 3318)
Kính bạch quý Ngài, Nhận được tin đức Trưởng Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu, Thượng Thủ Giáo Hội PGVN Trên Thế Giới vừa mới viên tịch tại Tổ đình Từ Quang, thành phố Montreal, Canada
Đọc thêm
Điện Thư Phân Ưu của GHPGTGKS Úc Châu
22/08/2015
(Xem: 2773)
Nam Mô Tiếp Dẩn Đạo Sư A Di Đà Phật. Kính Bạch chư Tôn đức và môn đồ pháp quyến. Chúng con Tăng Ni và Phật tử GHPG Tăng già Khất Sĩ Úc châu đồng ngưỡng vọng về Bắc Mỹ Canada.
Đọc thêm
THÀNH KÍNH TƯỞNG NGUYỆN Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu viên tịch.
21/08/2015
(Xem: 1521)
Kính gởi: - Hòa Thượng Phó Thượng Thủ Thích Chơn Thành, và Chư Tôn Hòa Thượng, Thượng Tọa, Đại Đức Tăng Ni cùng Môn đồ Pháp quyến Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới.
Đọc thêm
TIN MỚI CHÙA BẢO QUANG
Phân Ưu Trong Báo Trúc Lâm
23/05/2018
(Xem: 20)
Đọc thêm
TIN VIÊN TỊCH ĐẠI LÃO HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
20/08/2015
(Xem: 5299)
Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu, Thượng thủ Giáo hội Phật giáo Việt Nam trên Thế giới vừa thâu thần viên tịch tại Tổ đình Từ Quang, thành phố Montreal, Canada lúc 10g15 thứ Năm, ngày 20-8-2015 (giờ Canada),
Đọc thêm
THƯ MỜI ĐẠI LỄ VU LAN 2015 - PL 2559
20/08/2015
(Xem: 4519)
Để tỏ lòng tri ân công đức sinh thành của cha mẹ, chùa Bảo Quang sẽ long trọng cử hành Đại Lễ Vu Lan, Phật lịch 2559. Kính mời quý Đồng Hương - Phật Tử dành thời giờ quý báu đến tham dự.
Đọc thêm
THƯ CUNG THỈNH v/v Nghiên Tu An Cư & Đại Hội Thường Niên năm 2013
04/06/2013
(Xem: 14272)
Chiếu theo sự chỉ đạo của Đại Lão Hòa Thượng Thượng Thủ, chúng con đê đầu cung kính chư Tôn Giáo Phẩm, chư Hòa Thượng, Đại Đức Tăng, Ni thành viên trực thuộc Giáo Hội từ bi hoan hỷ quang lâm Văn Phòng Hội Đồng Điều Hành GHPGVNTTG trụ sở đặt tại chùa Bảo Quang tham dự tuần lễ Nghiên Tu An Cư & Đại Hội Thường Niên Giáo Hội năm 2013.
Đọc thêm
Phóng sự Lễ Phật Đản PL 2257, năm 2013 tại chùa Bảo Quang, Santa Ana.
01/06/2013
(Xem: 14502)
Chiều Thứ Bảy ngày 25 tháng 5 năm 2013, Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới, Trung Tâm Văn Hóa Phật Giáo Chùa Bảo Quang đã long trọng tổ chức Đại Lễ Phật Đản Phật Lịch 2557, Dương Lịch 2013.
Đọc thêm
Thông Báo Đại Lễ Phật Đản Phật Lịch -2557
22/03/2013
(Xem: 9784)
Để tỏ lòng tri ân Đức Thích Ca Mâu Ni Phật, chùa Bảo Quang sẽ long trọng cử hành đại lễ Phật Đản, Phật lịch 2557: Thứ Bẩy ngày 25 tháng 5, năm 2013, tức ngày 16 tháng 4 năm Quý Tỵ Tại khuôn viên chùa.
Đọc thêm
Thông báo buổi thiền trà và biểu diễn nghệ thuật cắm hoa
22/03/2013
(Xem: 11083)
Kính mời quý Đồng Hương- Phật Tử, quý thức giả yêu nghệ thuật cắm hoa tham dự: ¨ Buổi Thiền Trà, ¨ Biểu Diễn Nghệ Thuật Cắm Hoa Trường Phái Biểu Tượng, ¨ Hòa nhạc và hát những bài Đạo Ca Tiêu Biểu tại Hội Trường Chùa Bảo Quang lúc 2 giờ đến 6 giờ chiều Chủ Nhật ngày 14-4-2013.
Đọc thêm
GIÁO HỘI PHẬT GIÁO VIỆT NAM TRÊN THẾ GIỚI
TIN TỨC SINH HOẠT CỦA GIÁO HỘI
THÔNG BẠCH THAY THƯ MỜI LỄ TIỂU TƯỜNG CỐ TRƯỞNG LÃO HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
27/06/2016
(Xem: 3261)
Để tỏ lòng tri ân và báo ân với bậc THẦY tôn kính, bậc thạch trụ của Phật giáo; Sơn môn pháp phái Tổ Đình Từ Quang và môn đồ pháp quyến sẽ tổ chức Lễ Tiểu Tường truy niệm Giác Linh Cố Trưởng Lão Hòa Thượng thượng Tâm hạ Châu, Thượng Thủ Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới kiêm Viện Chủ Tổ Đình Từ Quang.
Đọc thêm
TIỂU SỬ VÀ SỰ HÀNH ĐẠO CỦA HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
11/09/2015
(Xem: 6627)
Ngài sinh trong gia đình họ Đoàn ngày 02 tháng 11 năm 1921 (Tân-Dậu), tại Ninh Bình, Bắc phần, Việt Nam. Ngài là người con trai út, trong 4 anh em trai trong gia-đình. Ngài nhập đạo năm 11 tuổi.
Đọc thêm
THÔNG BẠCH THAY THƯ MỜI LỄ CHUNG THẤT CỐ TRƯỞNG LÃO HÒA THƯỢNG TÂM CHÂU
10/09/2015
(Xem: 6712)
Để tỏ lòng tri ân và báo ân trong muôn một đối với vị Thầy tôn kính, bậc thạch trụ của Phật Giáo; Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới cùng môn đồ pháp quyến đồng thuận tổ chức Lễ Chung Thất,
Đọc thêm
TIN VIÊN TỊCH ĐẠI LÃO HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
20/08/2015
(Xem: 5299)
Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu, Thượng thủ Giáo hội Phật giáo Việt Nam trên Thế giới vừa thâu thần viên tịch tại Tổ đình Từ Quang, thành phố Montreal, Canada lúc 10g15 thứ Năm, ngày 20-8-2015 (giờ Canada),
Đọc thêm
Đạo từ Phật Đản 2015 của Trưởng Lão Hòa thượng Thượng thủ GHVNTTG
18/05/2015
(Xem: 4733)
Nhân mùa Phật-đản năm thứ 2639, tức Phât-lịch 2559, âm-lịch Ất-Mùi, dương-lịch 2015, thay mặt Giáo-Hội Phật-Giáo Việt-Nam Trên Thế-Giới, chúng tôi trân-trọng kính chúc chư tôn Hòa-Thượng, chư Thượng-Tọa, Đại-Đức Tăng, Ni trong và ngoài nước, phước trí trang nghiêm, thân tâm an-lạc, Quý đồng hương, đồng bào, Phật-tử được an vui như ý.
Đọc thêm
HÌNH ẢNH GIÁO HỘI
Chúc Mừng Năm Mới-Xuân Đinh Dậu 2017
13/01/2017
(Xem: 1957)
Trung Tâm Văn Hoá Phật Giáo Chùa Bảo Quang Chúc Mừng Năm Mới. Xuân Đinh Dậu 2017.
Đọc thêm
THIỆP CHÚC XUÂN 2017
13/01/2017
(Xem: 1808)
Chùa Bảo Quang xin kính chúc tất cả quý chư tôn giáo phẩm, Hoà Thượng, Thượng Toạ, Đại Đức Tăng-Ni cùng quý Đồng Hương-Phật Tử thân tâm thường lạc, Phật sự viên thành sở nguyện.
Đọc thêm
Ảnh Lễ Chung Thất Đức Trưởng Lão Thượng Thủ Thích Tâm Châu
22/10/2015
(Xem: 6309)
Đọc thêm
Lễ Khánh Thành chùa Bảo Quang 12/10-14/10/2012
19/11/2012
(Xem: 14258)
Đọc thêm
An Cư - ảnh Vương Niên
13/08/2012
(Xem: 14847)
Đọc thêm
VIDEO & AUDIO GIÁO HỘI
Cám ơn Phật
Thích Quảng Thanh
15/11/2017
(Xem: 179)
Đọc thêm
Điều Ngự Thiền Sư - Bảo Yến
04/06/2017
(Xem: 727)
Đọc thêm
LỄ PHẬT ĐẢN PL.2561 - 2017 (PART 1)
Chùa Bảo Quang
24/05/2017
(Xem: 832)
Đọc thêm
Khánh Thành Chùa Bảo Quang
20/05/2017
(Xem: 827)
Đọc thêm
Toàn Cảnh Chùa Bảo Quang
Thùy Linh
20/05/2017
(Xem: 1046)
Đọc thêm
TRUNG TÂM VĂN HÓA PHẬT GIÁO - CHÙA BẢO QUANG
HÌNH ẢNH CHÙA BẢO QUANG
Bảo Tàng Viện
08/06/2017
(Xem: 816)
Vu Lan 2016
10/03/2017
(Xem: 855)
Chúc Mừng Năm Mới-Xuân Đinh Dậu 2017
13/01/2017
(Xem: 1957)
THIỆP CHÚC XUÂN 2017
13/01/2017
(Xem: 1808)
Ảnh Lễ Chung Thất Đức Trưởng Lão Thượng Thủ Thích Tâm Châu
22/10/2015
(Xem: 6309)
Lễ Phật đản 2013 PL 2557 tại chùa Bảo Quang
02/06/2013
(Xem: 7141)
VIDEO CHÙA BẢO QUANG
Đạp Tuyết Tầm Xuân
Thanh Trí Cao
19/12/2017
(Xem: 532)
ngàn năm phiêu bồng
Thích Quảng Thanh
01/12/2017
(Xem: 308)
Bảo Quang Hợp Khúc
Thích Quảng Thanh
30/11/2017
(Xem: 316)
Ngan năm phiêu bồng
28/11/2017
(Xem: 338)
Điều Ngự Thiền Sư
Thích Quảng Thanh
25/11/2017
(Xem: 298)
Diều Ngự Thiền Sư
Thích Quảng Thanh
25/11/2017
(Xem: 287)
THẦY THÍCH QUẢNG THANH
HÒA THƯỢNG THÍCH QUẢNG THANH, Viện Chủ chùa Bảo Quang - Chủ Tịch Hội Đồng Điều Hành Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới - nhiệm kỳ 2012-2016
10/12/2009
(Xem: 17349)
Kính thưa quý độc giả! Trang Web site Tiếng Nói Phật Giáo Hải Ngoại chẳng mong gì khác hơn là chung góp một bàn tay trong những việc làm có ý nghĩa. Chúng tôi rất hi vọng được sự thông cảm bao dung từ quý độc giả.
Đọc thêm
LỊCH SỬ TRUNG TÂM VĂN HÓA PHẬT GIÁO CHÙA BẢO QUANG
31/12/2010
(Xem: 16883)
Chùa Bảo Quang được sáng lập ngày 14 tháng 3 năm 1989 do Hòa Thượng Thích Quảng Thanh và quý Phật tử xây dựng nền tảng bắt đầu tại thành phố Fountain Valley. Năm 1990, vì nhu cầu phát triển Phật Pháp, chùa dời về địa chỉ 11561 Magnolia thành phố Garden Grove.
Đọc thêm
HÒA THƯỢNG THÍCH QUẢNG THANH ĐẢM NHIỆM CHỨC TỖNG VỤ TRƯỞNG NGOẠI GIAO GIÁO HỘI PHẬT GIÁO VN TRÊN THỂ GIỚI
25/04/2010
(Xem: 6963)
Theo Giáo chỉ số 292/VP/TT ký ngày 19/7/09 của Thượng Thủ Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam trên Thế giới do Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu ấn ký tại Tổ đình Từ Quang, Canada, chiếu theo Hiến chương Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam trên Thế giới,
Đọc thêm
TIỂU SỬ HÒA THƯỢNG THÍCH QUẢNG THANH
10/12/2009
(Xem: 16546)
Về lãnh vực văn hóa, Hòa thượng Thích Quảng Thanh còn là một thi sĩ nổi tiếng với tên Thanh Trí Cao, là hội viên của Hiệp Hội Thi Sĩ Quốc Tế, từng xuất bản nhiều tập thơ như Trăng Ngủ Trong Mây, Trên Dòng Tử Sinh, Hương Vị Chân Tâm, Hái Hoa Tuyết Đông và Khoác Áo Chân Không v.v.. Thơ đã được đăng tải rộng rãi trên nhiều tập san người Việt hải ngoại và được nhiều nhạc sĩ phổ thành ca khúc và phát hành CD rộng rãi khắp nơi.
Đọc thêm
TÂM THƯ CỦA HÒA THƯỢNG THÍCH QUẢNG THANH
10/12/2009
(Xem: 11019)
Kính thưa quý Đồng Hương và Phật Tử, Sau năm 1975, đồng bào - Phật tử lũ lượt như đàn chim vỡ tổ tung cánh bay đi có mặt khắp nơi trên thế giới để tái tạo tự do, nhất là tự do tín ngưỡng. Phật Giáo Việt Nam chịu chung vận nước nổi trôi suốt chiều dài lịch sử. Buổi đầu thân phận người Việt ly hương tỵ nạn Cộng Sản đã trả giá tự do quá đắt.
Đọc thêm
TIN PHẬT GIÁO
Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu viên tịch ở tuổi 95
21/08/2015
(Xem: 3847)
Đại Lão Hòa Thượng Thích Tâm Châu, thượng thủ Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới, vừa viên tịch vào lúc 10 giờ sáng Thứ Năm, 20 Tháng Tám, tại tổ đình Từ Quang, Montreal, Canada, trụ thế 95 năm.
Đọc thêm
Cải cách đạo Phật tại Đài Loan
18/05/2015
(Xem: 5231)
Hsiao Hsiu-Chu, một phụ nữ cao niên đã về hưu, là hình ảnh tiêu biểu của một Phật tử theo cao trào cải cách đạo Phật đang lan rộng tại Đài Loan. Hàng ngày, bà đi đến trung tâm vật liệu phế thải để giúp việc gây quỹ cho Từ Tế, một hiệp hội Phật giáo chuyên về từ thiện tại Đài Loan.
Đọc thêm
Lễ mừng sinh nhật thứ 80 của Đức Đạt Lai Lạt Ma tại Irvine, CA.
18/05/2015
(Xem: 1856)
Lễ mừng sinh nhật thứ 80 của Đức Đạt Lai Lạt Ma, vị lãnh tụ của Phật giáo Tây Tạng, sẽ được cử hành tại Irvine, California vào ngày 7 tháng 7, năm 2015. Đây sẽ là một dịp để vinh danh ngài như một vị lãnh đạo thế giới đã cống hiến rất nhiều cho cho hòa bình, tình thương và ý thức trách nhiệm chung cho nhân loại, đã đem lại niềm hứng khởi cho hàng triệu người trên thế giới trong công cuộc xây dựng hòa bình.
Đọc thêm
Tâm Thư chùa Khánh Anh
02/06/2014
(Xem: 3115)
Khí trời mùa hạ với thời tiết thất thường năm nay hòa lẫn vào những tâm tư đầy bâng khuâng, lo lắng, hoang mang, phưởng phất đâu đây một sự mất mát to lớn khó nỗi bù lấp… đó là tâm trạng của hàng môn đồ pháp quyến tứ chúng đệ tử chùa Khánh Anh sau gần một năm với sự vắng bóng thạch trụ Ân Sư.
Đọc thêm
TIN TỨC CHÙA BẢO QUANG
Thông Tin Phật Đản 2561 - 2017
Chùa Bảo Quang
05/05/2017
(Xem: 482)
Đọc thêm
TIỂU SỬ VÀ SỰ HÀNH ĐẠO CỦA HÒA THƯỢNG THÍCH TÂM CHÂU
11/09/2015
(Xem: 6627)
Ngài sinh trong gia đình họ Đoàn ngày 02 tháng 11 năm 1921 (Tân-Dậu), tại Ninh Bình, Bắc phần, Việt Nam. Ngài là người con trai út, trong 4 anh em trai trong gia-đình. Ngài nhập đạo năm 11 tuổi.
Đọc thêm
THÔNG BẠCH THAY THƯ MỜI LỄ CHUNG THẤT CỐ TRƯỞNG LÃO HÒA THƯỢNG TÂM CHÂU
10/09/2015
(Xem: 6712)
Để tỏ lòng tri ân và báo ân trong muôn một đối với vị Thầy tôn kính, bậc thạch trụ của Phật Giáo; Giáo Hội Phật Giáo Việt Nam Trên Thế Giới cùng môn đồ pháp quyến đồng thuận tổ chức Lễ Chung Thất,
Đọc thêm
PHẬT PHÁP
Kinh điển Đại Thừa có phải do Phật thuyết hay không? - Thích Hạnh Bình
20/08/2015
(Xem: 3670)
Dẫu rằng, các lần kiết tập thứ nhất, hai và ba không đề cập đến tên các kinh điển của Phật giáo Đại thừa, chỉ đề cập đến 5 bộ Nikāya và 4 bộ A-hàm nhưng nội dung tư tưởng trong các kinh điển của Phật giáo Đại thừa đều có nguồn gốc từ các kinh trong A hàm và Nikaya.
Đọc thêm
Sơ Lược Nghĩa Danh Xưng Phẩm Vị Trong Giới Đàn Phật Giáo Bắc Truyền. - Thích Thiện Tài
18/05/2015
(Xem: 5692)
Ngẫm thấy thời kỳ Phật giáo suy vi bởi danh chức lợi quyền. Hậu học Tỳ kheo thấy mình phước mỏng đúc kém biết làm sao trước ma lực bạo ngược của một số đám sống lâu niên kiêm quyền độc đoán. Thương cảm nhiều trăn trở nhưng biết nói sao đây với thân phận thấp cổ bé miệng, nên đành kính soạn những lời sơ lược phép tắc uy nghi, để gởi đến những ai hành trì kính tin Luật tạng.
Đọc thêm
VẤN ĐẠO VỚI AJAHN CHAH - Diệu Huyền dịch
18/11/2014
(Xem: 6477)
Hỏi: Con đã cố gắng chuyên cần tu tập bao lâu nay mà chẳng đi đến đâu cả. Đáp: Điều quan trọng trong sự tu tập là đừng có cố kỳ vọng mình sẽ đi đến đâu. Chính cái ước muốn mong cầu giác ngộ ấy lại là trở ngại cho sự giải thoát của bạn.
Đọc thêm
THIỀN VÀ NGỘ - Pháp Sư Thánh Nghiêm
06/10/2014
(Xem: 4811)
Thiền không nhất định phải tĩnh tọa, nhưng phải có tĩnh tọa làm cơ sở. Tĩnh tọa đối với thân tâm của chúng ta đều có lợi ích. Nó có khả năng làm cho cơ thể khoẻ mạnh và làm cân bằng tâm lý, có thể khiến cho chúng ta giảm bớt chấp trước, cũng có thể làm cho đầu óc chúng ta bình tĩnh hơn, sáng suốt hơn.
Đọc thêm
CHƯỚNG NGẠI TRÊN ĐƯỜNG TU - Sakyong Mipham Rinpoche
22/06/2014
(Xem: 4579)
Chướng ngại không nhất thiết là điều ta phải tránh. Khi ta biết cách đối trị, chính chướng ngại lại trở thành con đường tu của chúng ta. Trong bài sau đây, đại sư Sakyong Mipham Rinpoche đã liệt kê những loại chướng ngại khác nhau mà chúng ta thường gặp phải và chỉ ra những phương cách thích hợp để đối trị.
Đọc thêm
CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC
- LỚP BỐN & MÙA XUÂN - Phan Như Huyên và các em
07/02/2013
(Xem: 6460)
Kính chào quý Phật tử, quý đồng hương, và các bạn thân mến, Chúng em là học sinh lớp Bốn, trường Việt Ngữ Hùng Vương, thuộc Trung Tâm Văn Hóa Phật Giáo chùa Bảo Quang.
Đọc thêm
Lễ Bế Giảng Trường Việt Ngữ Hùng Vương 2011-2012
07/09/2012
(Xem: 6665)
Cũng như mọi năm, mùa hè là mùa hoa phượng nở. Nhưng nơi đây, không có phượng đỏ mà chỉ có phượng tím. Ngày 23 tháng Sáu, năm 2012 vừa qua, Trường Việt Ngữ Hùng Vương đã tổ chức bế giảng niên khóa 2011-2012 cho hơn 150 em học sinh của trường, từ lớp Mẫu giáo đến lớp Sáu.
Đọc thêm
Lễ bế giảng niên khóa 2011-2012 Trường Việt Ngữ Hùng Vương
06/07/2012
(Xem: 17813)
Ngày 23 tháng 6 năm 2012, lễ bế giảng niên khóa 2011-2012 của trường Việt Ngữ Hùng Vương đã diễn ra tốt đẹp tại khuôn viên chùa Bảo Quang.
Đọc thêm
Trường Việt Ngữ Hùng Vương/ Trung Tâm Văn Hóa Phật giáo chùa Bảo Quang - Phần 2
09/06/2012
(Xem: 18285)
Đọc thêm
Phóng sự về Trường Việt Ngữ Hùng Vương/ Trung Tâm Văn Hóa Phật giáo chùa Bảo Quang - Phần 1
09/06/2012
(Xem: 16682)
Đọc thêm
Trường Việt Ngữ Hùng Vương và những tấm lòng thiện nguyện- Ngọc Như Ý
04/03/2012
(Xem: 18120)
Hùng Vương là tên gọi cho trường Việt ngữ tại Trung Tâm Văn Hóa Phật giáo chùa Bảo Quang. Tên gọi đầy ý nghĩa nhắc nhở những con dân của nước Việt phải nhớ ơn những vị vua Hùng lập quốc đầu tiên đã khai phá nền văn minh Âu Lạc đặc thù của nước Việt.
Đọc thêm
Ý ĐẸP LỜI HAY
Vượt qua cô đơn bằng bốn tâm vô lượng
21/06/2014
(Xem: 5923)
Trong xã hội hiện đại, sự quan tâm chia sẻ giữa mọi người ngày càng ít đi, thay vào đó là nhịp sống hối hả với bao nhiêu toan tính. Mọi người, nhất là các bạn trẻ phải đối mặt với sự cô đơn, khi nó đủ lớn thì ta trở nên trầm cảm hay tự kỷ. Nó gặm nhấm đi những khoảng thời gian quý báu của đời người, để lại trong tâm hồn những khoảng trống, sự cô đơn buồn tẻ.
Đọc thêm
Đạo Hay Nhất
29/05/2013
(Xem: 8917)
Thuở xưa có một ông vua hiền đức, cai trị công bằng, dân chúng trong nước sống thanh bình. Một hôm, dưới sự đề nghị của cận thần tả hữu, vua triệu tập tất cả trưởng lão tôn túc của các tôn giáo trong nước.
Đọc thêm
ĐẠO KHẢ ĐẠO PHI THƯỜNG ĐẠO
25/03/2013
(Xem: 11487)
Nên đọc nhiều sách, nhưng nếu không biết lựa sách để đọc thì đọc cả đời cũng vô công. Xin nhớ giùm, thời gian ta có không nhiều, mà thứ không đáng đọc phải tính bằng số triệu.
Đọc thêm
NHẠC CD
Hành Trình Giác Ngộ - Thùy Linh
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 602)
Đọc thêm
Hạt Thơ Trên Mảnh Đất Thiền - Bảo Yến
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 680)
Đọc thêm
Ô Hay !- Thu Phương
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 543)
Đọc thêm
Dị Nhân Phiêu Bồng - Nhã Phương
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 531)
Đọc thêm
Dấu Chân Xưa - Quang Dũng
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 528)
Đọc thêm
Mẹ Tôi - Dương Hồng Loan
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 414)
Đọc thêm
Niềm Riêng Sỏi Đá - Nguyễn Chánh Tín
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 486)
Đọc thêm
Bây Giờ Là Mùa Đông - Bảo Yến
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 408)
Đọc thêm
Đời Lãng Tử - Lưu Việt Hùng
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 414)
Đọc thêm
Góp Nhặt hạt Kinh - Thuỳ Linh
Thơ: Thanh Trí Cao; Phổ Nhạc: Thùy Linh
10/06/2017
(Xem: 371)
Đọc thêm
CÁC MỤC KHÁC
HOẠT ĐỘNG TỪ THIỆN X.H
THỂ HIỆN TẤM LÒNG - Thanh Trí Cao
03/02/2013
(Xem: 5660)
Người ta hơn nhau qua cách thể hiện tình người. Những ai đánh mất bản chất lương thiện kẻ ấy không xứng đáng hành nghề giáo dục, tôi nghĩ như thế. Những tấm lòng vàng bị tổn thương từ lúc đó. Nghĩa là một nhóm người đi nghịch lại lòng từ tâm của những người hiến tặng quà cho nạn nhân bão Sandy.
Đọc thêm
NGƯỜI CHO VÀ KẺ NHẬN - Bảo Trí
07/09/2012
(Xem: 5349)
Xin thưa, ai cũng hình dung được một nước cường quốc như Hoa Kỳ, những tiện nghi vật chất quá đủ để đáp ứng nhu cầu đời sống cho mọi công dân hợp pháp. Nghĩa công dân chính thức được thừa hưởng mọi đặc quyền tự do dân chủ. Những ai không đủ tiêu chuẩn phải chờ đợi cơ hội được hưởng đặc ân hợp pháp.
Đọc thêm
GIA ĐÌNH PHẬT TỬ
BÉ YÊU TIẾNG VIỆT - GĐPT BẢO QUANG - Kathy Nguyễn
07/02/2013
(Xem: 3473)
Lisa ơi! sáng rồi…rồi, dậy đi con. Tiếng gọi của Diễm thốt lên vang cả nhà, nhưng cửa phòng của bé Lisa vẫn còn đóng thiêm thiếp.
Đọc thêm
Lửa Hồng Trên Đất Trại - Kathy Nguyễn
07/09/2012
(Xem: 16104)
Tiếng hò reo trong đêm tăm tối, nơi hoang vắng núi rừng u tịch về khuya, bài hát lửa trại của các em Gia Đình Phật Tử Bảo Quang, cất lên gợi lại trong tôi một kỷ niệm xa xôi của mảnh đất thân thương, cách xa nửa vòng địa cầu, nhớ cảnh thân thương quê Mẹ lại hiện ra trong lý ức của tôi.
Đọc thêm
99,713
Copyright © 2018
phatgiaovietnamhaingoai.org
All rights reserved

Set-Cookie: fn.gzip=2;expires=Tue, 23 May 2028 22:07:28 GMT;path=/

Vary: Accept-Encoding,Cookie


text:
Trong hôn nhân gia đình, để cuộc sống của vợ chồng hạnh phúc cần rất nhiều yếu tố. Trong số đó, phong thủy phòng ngủ là một trong những yếu tố vô cùng quan trọng có tác động trực tiếp đến tình cảm, sự gắn bó và gìn giữ hạnh phúc vợ chồng.
Sau đây là 7 lời khuyên hữu ích về việc bố trí phòng ngủ hợp phong thủy cho cuộc sống hôn nhân gia đình viên mãn.
1. Kê giường có điểm tựa vững chắc
Khoa học phong thủy cho rằng giường ngủ của vợ chồng không nên kê ngay giữa phòng mà cần phải có điểm tựa. Điều này giúp tiết kiệm không gian, khiến căn phòng thêm gọn gàng và ngăn nắp. Quan trọng hơn, đầu giường có điểm tựa vững chắc sẽ là biểu hiện cho chỗ dựa trong cuộc sống hôn nhân của 2 vợ chồng.
Tham khảo cách kê đầu giường tại căn hộ chung cư Gamuda Gardens
Trong gia đình, chỗ dựa của người vợ là người chồng, vì thế, nếu kê đầu giường quay về phía cửa sổ mở toang thì gia đình có xu hướng sẽ bị kẻ thứ 3 quấy phá.
2. Nên đóng cửa nhà vệ sinh
Hiện nay, để thuận tiện thì các căn nhà thường bố trí nhà vệ sinh bên trong phòng ngủ. Tốt nhất, bạn nên thường xuyên đóng cửa nhà vệ sinh hoặc sử dụng bình phong để che chắn để không rơi vào thế “phiếm thủy đào hoa”. Nghĩa là vợ chồng dễ rơi vào hoàn cảnh bất hòa vì đối phương ngoại tình.
Không nên kê giường ngủ đối diện cửa nhà vệ sinh, đây cũng là điều cấm kị. Nên chọn lựa các căn hộ chung cư được thiết kế khoa học và hợp lý, có thể tham khảo thiết kế căn hộ chung cư Gamuda Gardens trong bài viết liên quan.
3. Lưu ý khi đặt bình hoa trong phòng ngủ
Nếu có thói quen đặt bình hoa trong phòng ngủ thì bạn nên lưu ý là tránh kê bình hoa quá lớn. Bởi vì có thể bạn sẽ đặt trúng đào hoa vị, đây là điểm tăng vận đào hoa của đối phương, khiến cho vợ chồng có thể bị kẻ thứ 3 xem vào giữa và đổ vỡ hạnh phúc.
4. Bố trí cân bằng bên phải – trái
Mẫu bố trí phòng ngủ hợp phong thủy
Theo phong thủy, phía bên trái căn nhà đại diện cho người đàn ông còn bên phải đại diện cho người phụ nữ. Vì vậy, khi bố trí đồ đạc trang trí cần cân đối 2 bên sao cho cân bằng, không dồn hết những thứ giá trị sang 1 bên sẽ khiến vị thế 2 vợ chồng không cân bằng, dễ dẫn đến tranh cãi, bất hòa.
5. Sử dụng màu sắc trang nhã
Để gây ấn tượng, nhiều người chọn cách trang trí đồ vật, màu sơn sặc sỡ, tuy nhiên trong không gian phòng ngủ thì nên chọn những gam màu nhẹ nhàng, trang nhã. Bởi vì màu sắc sặc sỡ là những gam màu nóng, dễ gây ra tâm trạng bức bối, nóng nảy dẫn đến cãi vã.
Tuy nhiên, cũng không hẳn lựa chọn màu sắc lạnh hay nhiều đồ gỗ, kim loại sẽ khiến tình cảm vợ chồng lạnh nhạt, không mặn nồng. Nên treo những bức tranh thiên nhiên hài hòa, hạnh phúc và cát tường.
6. Tránh kê gương đối diện với giường ngủ
Nhiều gia đình chọn cách kê gương đối diện giường ngủ, nhưng không hề biết rằng việc này có thể gây ra họa đào hoa, khiến người thứ 3 xen giữa hạnh phúc vợ chồng. Bởi vì gương sẽ giúp vượng Phu tinh hoặc Thê tinh, gây bất lợi cho hôn nhân.
7. Trang trí nhiều vật dụng hình tròn
Hình tròn thường là biểu tượng của sự viên mãn, vì vậy trong phòng ngủ vợ chồng nên bố trí nhiều vật dụng có hình dáng này để tăng thêm tình cảm vợ chồng, tăng sự gắn kết tình yêu. Đồng thời, cần loại bỏ nhiều đồ vật sắc cạnh, đây chính là nguyên nhân khiến vợ chồng dễ đổ vỡ vì một người không chung thủy.

markdown:
Trong hôn nhân gia đình, để cuộc sống của vợ chồng hạnh phúc cần rất nhiều yếu tố. Trong số đó,
[phong thủy](https://vi.wikipedia.org/wiki/Phong_th%E1%BB%A7y)phòng ngủ là một trong những yếu tố vô cùng quan trọng có tác động trực tiếp đến tình cảm, sự gắn bó và gìn giữ hạnh phúc vợ chồng.
Sau đây là 7 lời khuyên hữu ích về việc bố trí phòng ngủ hợp phong thủy cho cuộc sống hôn nhân gia đình viên mãn.
**1. Kê giường có điểm tựa vững chắc**
Khoa học phong thủy cho rằng giường ngủ của vợ chồng không nên kê ngay giữa phòng mà cần phải có điểm tựa. Điều này giúp tiết kiệm không gian, khiến căn phòng thêm gọn gàng và ngăn nắp. Quan trọng hơn, đầu giường có điểm tựa vững chắc sẽ là biểu hiện cho chỗ dựa trong cuộc sống hôn nhân của 2 vợ chồng.
![7 điều nên và không nên cho phong thủy phòng ngủ vợ chồng 17176084 1577925952235486 2036471450 o - 7 điều nên và không nên cho phong thủy phòng ngủ vợ chồng](https://phongthuyphongngu.net/wp-content/uploads/2018/01/17176084_1577925952235486_2036471450_o.jpg)
*Tham khảo cách kê đầu giường tại căn hộ chung cư Gamuda Gardens*
Trong gia đình, chỗ dựa của người vợ là người chồng, vì thế, nếu kê đầu giường quay về phía cửa sổ mở toang thì gia đình có xu hướng sẽ bị kẻ thứ 3 quấy phá.
**2. Nên đóng cửa nhà vệ sinh**
Hiện nay, để thuận tiện thì các căn nhà thường bố trí nhà vệ sinh bên trong phòng ngủ. Tốt nhất, bạn nên thường xuyên đóng cửa nhà vệ sinh hoặc sử dụng bình phong để che chắn để không rơi vào thế “phiếm thủy đào hoa”. Nghĩa là vợ chồng dễ rơi vào hoàn cảnh bất hòa vì đối phương ngoại tình.
Không nên kê giường ngủ đối diện cửa nhà vệ sinh, đây cũng là điều cấm kị. Nên chọn lựa các căn hộ chung cư được thiết kế khoa học và hợp lý, có thể tham khảo
[trong bài viết liên quan.](http://phongthuycoban.com/2017/05/16/3-diem-noi-bat-trong-thiet-ke-chung-cu-gamuda-gardens/) **thiết kế căn hộ chung cư Gamuda Gardens** **3. Lưu ý khi đặt bình hoa trong phòng ngủ**
Nếu có thói quen đặt bình hoa trong phòng ngủ thì bạn nên lưu ý là tránh kê bình hoa quá lớn. Bởi vì có thể bạn sẽ đặt trúng đào hoa vị, đây là điểm tăng vận đào hoa của đối phương, khiến cho vợ chồng có thể bị kẻ thứ 3 xem vào giữa và đổ vỡ hạnh phúc.
**4. Bố trí cân bằng bên phải – trái** ![7 điều nên và không nên cho phong thủy phòng ngủ vợ chồng 17122311 1571760309518717 17886098 o - 7 điều nên và không nên cho phong thủy phòng ngủ vợ chồng](https://phongthuyphongngu.net/wp-content/uploads/2018/01/17122311_1571760309518717_17886098_o.jpg)
*Mẫu bố trí phòng ngủ hợp phong thủy*
Theo phong thủy, phía bên trái căn nhà đại diện cho người đàn ông còn bên phải đại diện cho người phụ nữ. Vì vậy, khi bố trí đồ đạc trang trí cần cân đối 2 bên sao cho cân bằng, không dồn hết những thứ giá trị sang 1 bên sẽ khiến vị thế 2 vợ chồng không cân bằng, dễ dẫn đến tranh cãi, bất hòa.
**5. Sử dụng màu sắc trang nhã**
Để gây ấn tượng, nhiều người chọn cách trang trí đồ vật, màu sơn sặc sỡ, tuy nhiên trong không gian phòng ngủ thì nên chọn những gam màu nhẹ nhàng, trang nhã. Bởi vì màu sắc sặc sỡ là những gam màu nóng, dễ gây ra tâm trạng bức bối, nóng nảy dẫn đến cãi vã.
Tuy nhiên, cũng không hẳn lựa chọn màu sắc lạnh hay nhiều đồ gỗ, kim loại sẽ khiến tình cảm vợ chồng lạnh nhạt, không mặn nồng. Nên treo những bức tranh thiên nhiên hài hòa, hạnh phúc và cát tường.
**6. Tránh kê gương đối diện với giường ngủ**
Nhiều gia đình chọn cách kê gương đối diện giường ngủ, nhưng không hề biết rằng việc này có thể gây ra họa đào hoa, khiến người thứ 3 xen giữa hạnh phúc vợ chồng. Bởi vì gương sẽ giúp vượng Phu tinh hoặc Thê tinh, gây bất lợi cho hôn nhân.
**7. Trang trí nhiều vật dụng hình tròn**
Hình tròn thường là biểu tượng của sự viên mãn, vì vậy trong phòng ngủ vợ chồng nên bố trí nhiều vật dụng có hình dáng này để tăng thêm tình cảm vợ chồng, tăng sự gắn kết tình yêu. Đồng thời, cần loại bỏ nhiều đồ vật sắc cạnh, đây chính là nguyên nhân khiến vợ chồng dễ đổ vỡ vì một người không chung thủy.

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

Server: cloudflare

Connection: close

Set-Cookie: __cfduid=d4dd21dcd73cf8aa2bcb10d788a32dc1c1527113376; expires=Thu, 23-May-19 22:09:36 GMT; path=/; domain=.phongthuyphongngu.net; HttpOnly; Secure

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Chăn quấn trái cam N99506
Thương hiệu: Made in Việt Nam | Mã hàng: CHAN-361
- Chất liệu cotton thun co giãn tốt
- Giúp bé ngủ ngon và sâu hơn
- Thiết kế ấm áp cho bé cảm giác êm ái
Chăn quấn trái cam N99506 là loại chăn quấn bé đơn giản nhất, giúp bé thoải mái, ấm áp với đôi cánh mềm, ôm sát toàn thân. Chăn quấn đủ chặt giúp bé có cảm giác như đang được nằm trong lòng mẹ ấm áp cho bé một giấc ngủ sâu và đủ giấc. Với chăn quấn hoạ tiết hình trái cam sẽ mang đến cho bé giấc ngủ ngon đồng thời mẹ cũng yên tâm khi sử dụng cho bé.
Đặc điểm nổi bật của chăn quấn trái cam N99506
Chất liệu cotton thun co giãn tốt
Chất liệu vải mềm mại, thông thoáng, tạo cho bé cảm giác thoải mái, dễ chịu mọi lúc. Tuyệt đối an toàn cho bé.
Giúp bé ngủ ngon và sâu hơn
Đây là cách đơn giản nhất để cuốn bé sơ sinh, giúp bé thoải mái, ấm áp với đôi cánh mềm, ôm sát. Việc cuốn bé đủ chặt giúp dỗ dành bé, cho bé cảm giác như đang được nằm trong lòng mẹ ấm áp.
Thiết kế tiện dụng
Phần túi chân có thể bật xuống để bạn nhanh chóng thay bỉm cho bé mà vẫn giữ cho bé dễ chịu.
Khi bé lớn, cánh có thể điều chỉnh để chăn cuốn vừa vặn. Khi sử dụng chăn quấn bạn nên kiểm tra trước khi sử dụng để đảm bảo cho bé giấc ngủ ngon.
Có đai để luồn thắt lưng an toàn khi cho bé ngồi vào xe đẩy, ghế ngồi xe hơi của bé.
Hình ảnh của chăn quấn thêu hình trái cam N99506
Chăn quấn trái cam N99506 mịn màng cho làn da bé
Các viền được may chắc chắn tránh xổ khi sử dụng
Chất liệu mềm mại, màu sắc trang nhã phù hợp với cả bé trai và bé gái
Hoạ tiết hình trái cam rất đẹp

markdown:
# Chăn quấn trái cam N99506
Thương hiệu:
[Made in Việt Nam](/thuong-hieu/made-in-viet-nam)
|
Mã hàng: CHAN-361
- Chất liệu cotton thun co giãn tốt
- Giúp bé ngủ ngon và sâu hơn
- Thiết kế ấm áp cho bé cảm giác êm ái
**Chăn quấn trái cam N99506** là loại chăn quấn bé đơn giản nhất, giúp bé thoải mái, ấm áp với đôi cánh mềm, ôm sát toàn thân. Chăn quấn đủ chặt giúp bé có cảm giác như đang được nằm trong lòng mẹ ấm áp cho bé một giấc ngủ sâu và đủ giấc. Với chăn quấn hoạ tiết hình trái cam sẽ mang đến cho bé giấc ngủ ngon đồng thời mẹ cũng yên tâm khi sử dụng cho bé.
### Đặc điểm nổi bật của chăn quấn trái cam N99506
**Chất liệu cotton thun co giãn tốt**
Chất liệu vải mềm mại, thông thoáng, tạo cho bé cảm giác thoải mái, dễ chịu mọi lúc. Tuyệt đối an toàn cho bé.
**Giúp bé ngủ ngon và sâu hơn**
Đây là cách đơn giản nhất để cuốn bé sơ sinh, giúp bé thoải mái, ấm áp với đôi cánh mềm, ôm sát. Việc cuốn bé đủ chặt giúp dỗ dành bé, cho bé cảm giác như đang được nằm trong lòng mẹ ấm áp.
**Thiết kế tiện dụng**
Phần túi chân có thể bật xuống để bạn nhanh chóng thay bỉm cho bé mà vẫn giữ cho bé dễ chịu.
Khi bé lớn, cánh có thể điều chỉnh để chăn cuốn vừa vặn. Khi sử dụng chăn quấn bạn nên kiểm tra trước khi sử dụng để đảm bảo cho bé giấc ngủ ngon.
Có đai để luồn thắt lưng an toàn khi cho bé ngồi vào
[xe đẩy](/danh-muc/xe-day-em-be), [ghế ngồi xe hơi](/danh-muc/ghe-ngoi-o-to) của bé.
### Hình ảnh của chăn quấn thêu hình trái cam N99506
*Chăn quấn trái cam N99506 mịn màng cho làn da bé* *Các viền được may chắc chắn tránh xổ khi sử dụng* *Chất liệu mềm mại, màu sắc trang nhã phù hợp với cả bé trai và bé gái* *Hoạ tiết hình trái cam rất đẹp*
|
|![]()
Bạn có muốn tạo tài khoản để cập nhật nhiều ưu đãi không ?

Cache-Control: private

Set-Cookie: _CookiesCustomerId=PC4D64D3A27FD44,1; expires=Thu, 23-May-2019 22:46:52 GMT; path=/

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22
lượt xem 239
download
Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số....
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 liên tục giờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. 1
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = {y ∈ , y = f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là [ −1,1] . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x < 0 Hàm f (x) là một hàm số xác định trên R . Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: f (x) = x 2 + 1 . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f (x) = 1 − 2x. 1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X ⊂ R . Ứng với mỗi giá trị x 0 ∈ X ta có giá trị y 0 = f (x 0 ) của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm M 0 = (x 0 , y0 ) . Khi x 0 thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì M 0 cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ M ( x; y ) , ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X. 2
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 < x ≤ 1 được biểu diễn như sau: ⎪3 ⎪ khi x > 1 ⎩2 Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • Xác định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi. 1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) • Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≤ f (x 2 ) . 3
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) ). • Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≥ f (x 2 ) . (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.3 1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn [ −a, a ] , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 < a < b) ,… Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) = f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi. Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x) = −f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu. Ví dụ 4: Các hàm số f (x) = x 2 , g(x) = cos x là các hàm chẵn trên R vì: ⎫ f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f (x) ⎬ ∀x ∈ R g(− x) = cos(− x) = cos x = g(x) ⎭ 4
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D và f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ của hàm f . 5
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f . Ví dụ 5: Các hàm sin x, cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , giả sử tồn tại số dương T < 2π để: sin ( x + T ) = s inx ∀x ∈ . Khi đó với x = 0 ta phải có: sin T = sin 0 = 0 ⇒ T = kπ (k ∈ Z) mà T < 2π nên T = π . π ⎛π ⎛π⎞ ⎞ Khi đó với x = thì sin ⎜ + π ⎟ = sin ⎜ ⎟ , hay 1 = −1 . 2 ⎝2 ⎝2⎠ ⎠ Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T. Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4. Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số y = f (u) biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u u = ϕ(x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x . Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y = f (u) . Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc: x ⎯ϕ → u ⎯⎯ y , hay y = f (ϕ(x)) . ⎯ → f 6
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x ). Ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm y = u 5 và u = sin x . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”. 1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác định X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại duy nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số y ∈ Y thành nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = y là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) có hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → [ − 1,1] ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ [ − 1,1] → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ([0, π] → [ − 1,1]) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ([ − 1,1] → [ 0, π]) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay vì x = f −1 (y) có viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị của hai hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ' = (y, x) ∈ (C ') Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit 1.1.6. Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là R \ {0} . 1 Nếu α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o p p chẵn và R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . o • Hàm mũ: f (x) = a x (0 < a ≠ 1) + MXĐ: R , MGT: R* ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu 0 < a < 1 . • Hàm số lôgarit: f (x) = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) + MXĐ: R* , MGT: R ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu o 0 < a
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : Có MXĐ là R , o MGT [ − 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π . y = tgx : Có MXĐ là o π ⎧ ⎫ R \ ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . y = cotgx: Có MXĐ là R \ {kπ, k ∈ Z} , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x o với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. o ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. y = arccos x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT [ 0, π] là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. o ⎛ π π⎞ y = arctgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b . 10
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • Hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x2 1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1. Khái niệm 1.2.1.1. Dãy số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được đánh số bằng các số tự nhiên. Để cho một dãy số, người ta có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự của số hạng đó trong dãy. • Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ 9: Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • Công thức truy hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng liền trước. Công thức tổng quát của dãy số là cách biểu diễn tốt nhất để có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: Dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con các số tự nhiên liên tiếp của ) và lấy giá trị trong tập các số thực R . Ta thường ký hiệu dãy số bởi {x n }n =1 hay gọn hơn {x n } . ∞ 11
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ {(−1) } = {−1,1, −1,..., (−1) n ,...} n∞ (B) n =1 {n } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭ 1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy {x n } gọi là • Dãy tăng nếu x n < x n +1 ∀n ∈ • Dãy giảm nếu x n > x n +1 ∀n ∈ • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm. • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. 1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: Cho trước một số ε > 0 bé tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ bé hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = < 0, 05 . 256 Ta nói dãy {x n } dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng. Định nghĩa: Dãy {x n } có giới hạn a hữu hạn khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số ε > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n − a < ε . 12
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . n →∞ Dãy {x n } được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n = a . Trong trường hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên, số n 0 phụ thuộc vào ε nên ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ 11: 1 = 0. lim n →∞ n Thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . n ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 bất kỳ chỉ cần chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = < =ε. 1 n ε Định nghĩa: Dãy {x n } được nói là có giới hạn ∞ khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M > 0 cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ và là dãy phân kỳ. n →∞ Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ . 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • Giới hạn là duy nhất. 1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp Nếu có ba dãy số {x n } , { y n } , {z n } thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì { y n } có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . n →∞ 1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số Cho {x n } , { y n } là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ Chú ý rằng khi cả {x n } , { y n } có các giới hạn vô cực thì nhìn chung không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các kết quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là 0∞ phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định. Ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn 1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 1.3.1. Định nghĩa 1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: Với mọi số ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số δ > 0 sao cho khi: x − x 0 < δ thì f (x) − A < ε . Kí hiệu là: lim f (x) = A hay f (x) → A khi x → a . x →x0 Một cách tương đương ta có thể định nghĩa f ( x ) có giới hạn là A khi x → x 0 khi và chỉ khi với mọi {x n } → x 0 ta có {f ( x n )} → A . 1.3.1.2. Định nghĩa (giới hạn một phía) Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình x → x 0 không phân biệt x > x 0 hay x < x 0 . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu như sau: 14
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 + • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên trái, tức là x → x 0 với điều kiện x < x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 − 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 − • Giới hạn của hàm số f (x) khi x → x 0 + hoặc khi x → x 0 − được gọi tương ứng là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x 0 . • Giới hạn bên phải: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 + x → x 0 ,x > x 0 • Giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 − x → x 0 ,x < x 0 Từ định nghĩa trên ta suy ra: Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là: lim f (x) = lim f (x) = L . x →x0 x →x0 + x →x0 − 1.3.2. Tính chất 1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn khi x → a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì nó bị chặn trong miền X = {x ∈ R : 0 < x − a < δ} , với δ là một số dương đủ nhỏ. Định lý: Nếu lim f (x) = L và L > b (L < b) thì, với δ là một số dương đủ nhỏ ta cũng có x →a f (x) > b (f (x) < b) ∀x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} . Định lý: Nếu f (x) ≥ g(x) ( f (x) > g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và cả hai hàm số f (x), g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì lim f (x) ≥ lim g(x) . x →a x →a 1.3.2.2. Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây: Định lý: Nếu khi x → a các hàm số f (x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực L1 và L 2 thì: lim ( f (x) + g(x) ) = L1 + L 2 • x →a lim ( kf (x) ) = kL1 • x →a 15
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . lim g(x) L 2 x →a Định lý: Giả sử ϕ( x) và f (u) thỏa mãn các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • tồn tại số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . x →a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . x →a Định lý: Nếu tồn tại số δ > 0 sao cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và lim u(x) = lim v(x) = b thì lim f (x) = b . x →a x →a x →a Định lý: Giả sử các hàm số f (x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a : lim f (x) = b > 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim [ f (x) ] g(x ) = bα . x →a x →a x →a Ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , do lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: Nếu lim f (x) = 0 và g(x) là một hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . x →a x →a 1 1 = 0 vì lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →0 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) = 0 . x →a Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A khi x → a thì f (x) = A + α(x) Trong đó α(x) là một VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a 16
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 • Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi x → a thì là VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi x → a thì là một VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x → a 1.3.3.2. Tính chất • Nếu f1 (x), f 2 (x) là hai VCB khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những VCB khi x → a . • Nếu f1 (x), f 2 (x) cùng dấu và là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là một VCL khi x → a . 1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé • Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử α( x), β(x) là hai VCB khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là VCB bậc cao hơn β( x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Nếu lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ 14: 1 − cos x và 2x đều là những VCB khi x → 0 . x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là VCB bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin và 2x là những VCB khi x → 0 . x 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . x = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 1 nên x sin và 2x là hai VCB khi x → 0 không Nhưng không tồn tại lim sin x x x →0 so sánh được với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB α ( x ) và β ( x ) khác 0 khi x → a gọi là tương đương với nhau nếu α(x) =1. lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) Nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. Định lý: Nếu α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . x → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) Thật vậy, vì α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 1 1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x). 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa f là một hàm số xác định trong khoảng (a, b), x 0 là một điểm thuộc (a, b) .Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 Nếu hàm số f không liên tục tại x 0 , ta nói rằng nó gián đoạn tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim [ f (x) − f (x 0 ) ] = 0 hay lim Δy = 0 . x →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . x →x0 x →x0 Ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại mọi x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . lim Δx + lim Δx. lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó. 18
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. liên tục trên đoạn [ a, b ] , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). x →a + 0 x →b −0 1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số hợp y = (f ϕ)(x) = f [ ϕ(x) ] liên tục tại x 0 . Chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì ϕ liên tục tại x 0 . x →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Do đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u0 1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [ a; b ] . Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] ; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn tại ξ ∈ [ a, b ] sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên [ a, b ] , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm ξ sao cho: f ( ξ ) = 0 19
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số • Dãy số và giới hạn của dãy số • Giới hạn của hàm số Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số. Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé. 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Toán học cao cấp: Tập 1
270 p | 1175 | 474
-
Bài tập Toán cao cấp Tập 1: Đại số và hình học giải tích - Nguyễn Đình Trí
388 p | 657 | 292
-
Bài tập Toán cao cấp - Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
277 p | 493 | 272
-
Toán cao cấp A1 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn - Liên tục
9 p | 857 | 207
-
Ebook Bài tập toán cao cấp (Tập 1: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích) - Nguyễn Thủy Thanh
278 p | 198 | 85
-
Ebook Bài tập toán cao cấp Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
279 p | 180 | 70
-
Bài giảng môn học Toán cao cấp A1 - ThS. Trần Bảo Ngọc
42 p | 154 | 63
-
Giáo trình Toán cao cấp (Phần Giải tích): Phần 1 - ThS. Lê Quang Hoàng Nhân
245 p | 112 | 57
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương
31 p | 94 | 32
-
Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số
39 p | 122 | 28
-
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục
84 p | 103 | 28
-
Bài giảng Toán cao cấp - Chương A: Hàm số một biến số
115 p | 100 | 27
-
Giáo trình Bài tập toán cao cấp (Tập 1): Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh
133 p | 50 | 24
-
Đề thi môn: Toán cao cấp - Đề số 1 - ĐH Kinh tế TP. HCM
1 p | 103 | 20
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh
7 p | 50 | 17
-
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1
86 p | 55 | 15
-
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục
84 p | 28 | 7

markdown:
# Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
Chia sẻ: Nguyen Minh Phung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22
lượt xem 239
download
![](https://tailieu.vn/image/document/thumbnail/2011/20110224/dinhlan0501/80x100/bai_1_mat101_269.jpg)
##
Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](https://tailieu.vn/static/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số....
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 liên tục giờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. 1
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = {y ∈ , y = f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y = f (x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là [ −1,1] . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x < 0 Hàm f (x) là một hàm số xác định trên R . Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: f (x) = x 2 + 1 . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f (x) = 1 − 2x. 1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X ⊂ R . Ứng với mỗi giá trị x 0 ∈ X ta có giá trị y 0 = f (x 0 ) của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm M 0 = (x 0 , y0 ) . Khi x 0 thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì M 0 cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ M ( x; y ) , ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X. 2
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 < x ≤ 1 được biểu diễn như sau: ⎪3 ⎪ khi x > 1 ⎩2 Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n từ miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • Xác định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi. 1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) • Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≤ f (x 2 ) . 3
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) ). • Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 kéo theo: f (x1 ) ≥ f (x 2 ) . (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.3 1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn [ −a, a ] , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 < a < b) ,… Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) = f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi. Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x) = −f (− x) với mọi x ∈ D . • Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu. Ví dụ 4: Các hàm số f (x) = x 2 , g(x) = cos x là các hàm chẵn trên R vì: ⎫ f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f (x) ⎬ ∀x ∈ R g(− x) = cos(− x) = cos x = g(x) ⎭ 4
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D và f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ của hàm f . 5
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f . Ví dụ 5: Các hàm sin x, cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , giả sử tồn tại số dương T < 2π để: sin ( x + T ) = s inx ∀x ∈ . Khi đó với x = 0 ta phải có: sin T = sin 0 = 0 ⇒ T = kπ (k ∈ Z) mà T < 2π nên T = π . π ⎛π ⎛π⎞ ⎞ Khi đó với x = thì sin ⎜ + π ⎟ = sin ⎜ ⎟ , hay 1 = −1 . 2 ⎝2 ⎝2⎠ ⎠ Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T. Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4. Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số y = f (u) biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u u = ϕ(x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x . Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y = f (u) . Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc: x ⎯ϕ → u ⎯⎯ y , hay y = f (ϕ(x)) . ⎯ → f 6
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ . Ký hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x ). Ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm y = u 5 và u = sin x . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm f (x) = x 5 và ϕ(x) = sin x ”. 1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) có miền xác định X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại duy nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số y ∈ Y thành nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = y là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) có hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → [ − 1,1] ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ [ − 1,1] → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ([0, π] → [ − 1,1]) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ([ − 1,1] → [ 0, π]) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay vì x = f −1 (y) có viết y = f −1 (x) . Chẳng hạn y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị của hai hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ' = (y, x) ∈ (C ') Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit 1.1.6. Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là R \ {0} . 1 Nếu α = , p ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o p p chẵn và R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là R + . o • Hàm mũ: f (x) = a x (0 < a ≠ 1) + MXĐ: R , MGT: R* ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu 0 < a < 1 . • Hàm số lôgarit: f (x) = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) + MXĐ: R* , MGT: R ; Hàm số đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu o 0 < a
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : Có MXĐ là R , o MGT [ − 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π . y = tgx : Có MXĐ là o π ⎧ ⎫ R \ ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . y = cotgx: Có MXĐ là R \ {kπ, k ∈ Z} , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x o với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác 9
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. o ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. y = arccos x : Có MXĐ là [ − 1,1] , MGT [ 0, π] là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. o ⎛ π π⎞ y = arctgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : Có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. o ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b . 10
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • Hàm lượng giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x2 1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1. Khái niệm 1.2.1.1. Dãy số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được đánh số bằng các số tự nhiên. Để cho một dãy số, người ta có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục). • Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự của số hạng đó trong dãy. • Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ 9: Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • Công thức truy hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng hai số hạng liền trước. Công thức tổng quát của dãy số là cách biểu diễn tốt nhất để có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản mà chặt chẽ. Định nghĩa: Dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là (hoặc một tập con các số tự nhiên liên tiếp của ) và lấy giá trị trong tập các số thực R . Ta thường ký hiệu dãy số bởi {x n }n =1 hay gọn hơn {x n } . ∞ 11
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ {(−1) } = {−1,1, −1,..., (−1) n ,...} n∞ (B) n =1 {n } = {1, 4,9,..., n 2 ,...} 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭ 1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy {x n } gọi là • Dãy tăng nếu x n < x n +1 ∀n ∈ • Dãy giảm nếu x n > x n +1 ∀n ∈ • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm. • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Trong ví dụ 10 • Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi −1 và bị chặn trên bởi 1. • Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn. • Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. 1.2.2. Giới hạn của dãy số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét dãy số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: Cho trước một số ε > 0 bé tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ bé hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, cho trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = < 0, 05 . 256 Ta nói dãy {x n } dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng. Định nghĩa: Dãy {x n } có giới hạn a hữu hạn khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số ε > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n − a < ε . 12
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . n →∞ Dãy {x n } được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n = a . Trong trường hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên, số n 0 phụ thuộc vào ε nên ta viết n 0 = n 0 (ε) . Ví dụ 11: 1 = 0. lim n →∞ n Thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . n ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 bất kỳ chỉ cần chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = < =ε. 1 n ε Định nghĩa: Dãy {x n } được nói là có giới hạn ∞ khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M > 0 cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ và là dãy phân kỳ. n →∞ Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ . 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị chặn . • Giới hạn là duy nhất. 1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp Nếu có ba dãy số {x n } , { y n } , {z n } thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì { y n } có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . n →∞ 1.2.3.3. Định lý Weierstrass Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số Cho {x n } , { y n } là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ Chú ý rằng khi cả {x n } , { y n } có các giới hạn vô cực thì nhìn chung không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các kết quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là 0∞ phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định. Ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn 1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số 1.3.1. Định nghĩa 1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: Với mọi số ε > 0 cho trước, đều tồn tại một số δ > 0 sao cho khi: x − x 0 < δ thì f (x) − A < ε . Kí hiệu là: lim f (x) = A hay f (x) → A khi x → a . x →x0 Một cách tương đương ta có thể định nghĩa f ( x ) có giới hạn là A khi x → x 0 khi và chỉ khi với mọi {x n } → x 0 ta có {f ( x n )} → A . 1.3.1.2. Định nghĩa (giới hạn một phía) Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình x → x 0 không phân biệt x > x 0 hay x < x 0 . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu như sau: 14
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 + • Quá trình x tiến đến x 0 về phía bên trái, tức là x → x 0 với điều kiện x < x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 − 0 hoặc đơn giản hơn là x → x 0 − • Giới hạn của hàm số f (x) khi x → x 0 + hoặc khi x → x 0 − được gọi tương ứng là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x 0 . • Giới hạn bên phải: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 + x → x 0 ,x > x 0 • Giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . lim x →x0 − x → x 0 ,x < x 0 Từ định nghĩa trên ta suy ra: Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là: lim f (x) = lim f (x) = L . x →x0 x →x0 + x →x0 − 1.3.2. Tính chất 1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn khi x → a thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì nó bị chặn trong miền X = {x ∈ R : 0 < x − a < δ} , với δ là một số dương đủ nhỏ. Định lý: Nếu lim f (x) = L và L > b (L < b) thì, với δ là một số dương đủ nhỏ ta cũng có x →a f (x) > b (f (x) < b) ∀x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} . Định lý: Nếu f (x) ≥ g(x) ( f (x) > g(x) ) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và cả hai hàm số f (x), g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì lim f (x) ≥ lim g(x) . x →a x →a 1.3.2.2. Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây: Định lý: Nếu khi x → a các hàm số f (x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực L1 và L 2 thì: lim ( f (x) + g(x) ) = L1 + L 2 • x →a lim ( kf (x) ) = kL1 • x →a 15
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . lim g(x) L 2 x →a Định lý: Giả sử ϕ( x) và f (u) thỏa mãn các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • tồn tại số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . x →a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . x →a Định lý: Nếu tồn tại số δ > 0 sao cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với mọi x ∈ {x ∈ R : 0 < x − a < δ} và lim u(x) = lim v(x) = b thì lim f (x) = b . x →a x →a x →a Định lý: Giả sử các hàm số f (x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a : lim f (x) = b > 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim [ f (x) ] g(x ) = bα . x →a x →a x →a Ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 và lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , do lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: Nếu lim f (x) = 0 và g(x) là một hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . x →a x →a 1 1 = 0 vì lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →0 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → a nếu lim f (x) = 0 . x →a Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A khi x → a thì f (x) = A + α(x) Trong đó α(x) là một VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → a nếu lim F(x) = +∞ x →a 16
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 • Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi x → a thì là VCL f (x) 1 và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi x → a thì là một VCB F(x) khi x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x → a 1.3.3.2. Tính chất • Nếu f1 (x), f 2 (x) là hai VCB khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những VCB khi x → a . • Nếu f1 (x), f 2 (x) cùng dấu và là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là một VCL khi x → a . 1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé • Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử α( x), β(x) là hai VCB khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là VCB bậc cao hơn β( x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta nói rằng α(x) là VCB bậc thấp hơn β(x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta nói rằng α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Nếu lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ 14: 1 − cos x và 2x đều là những VCB khi x → 0 . x x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 nên 1 − cos x là VCB bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin và 2x là những VCB khi x → 0 . x 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . x = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 1 nên x sin và 2x là hai VCB khi x → 0 không Nhưng không tồn tại lim sin x x x →0 so sánh được với nhau. • VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB α ( x ) và β ( x ) khác 0 khi x → a gọi là tương đương với nhau nếu α(x) =1. lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) Nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc. Định lý: Nếu α(x) và β(x) là hai VCB khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . x → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) Thật vậy, vì α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 1 1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x). 1.3.4. Hàm số liên tục 1.3.4.1. Định nghĩa f là một hàm số xác định trong khoảng (a, b), x 0 là một điểm thuộc (a, b) .Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 Nếu hàm số f không liên tục tại x 0 , ta nói rằng nó gián đoạn tại x 0 . Nếu đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim [ f (x) − f (x 0 ) ] = 0 hay lim Δy = 0 . x →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . x →x0 x →x0 Ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại mọi x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . lim Δx + lim Δx. lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó. 18
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. liên tục trên đoạn [ a, b ] , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). x →a + 0 x →b −0 1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số hợp y = (f ϕ)(x) = f [ ϕ(x) ] liên tục tại x 0 . Chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì ϕ liên tục tại x 0 . x →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 . Do đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u0 1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục. Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [ a; b ] . Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ [ a, b ] Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] ; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn tại ξ ∈ [ a, b ] sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên [ a, b ] , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm ξ sao cho: f ( ξ ) = 0 19
- Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số • Dãy số và giới hạn của dãy số • Giới hạn của hàm số Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số. Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé. 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Toán học cao cấp: Tập 1
270 p |
1175 |
474
-
Bài tập Toán cao cấp Tập 1: Đại số và hình học giải tích - Nguyễn Đình Trí
388 p |
657 |
292
-
Bài tập Toán cao cấp - Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
277 p |
493 |
272
-
Toán cao cấp A1 - Chương 1: Hàm số - Giới hạn - Liên tục
9 p |
857 |
207
-
Ebook Bài tập toán cao cấp (Tập 1: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích) - Nguyễn Thủy Thanh
278 p |
198 |
85
-
Ebook Bài tập toán cao cấp Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
279 p |
180 |
70
-
Bài giảng môn học Toán cao cấp A1 - ThS. Trần Bảo Ngọc
42 p |
154 |
63
-
Giáo trình Toán cao cấp (Phần Giải tích): Phần 1 - ThS. Lê Quang Hoàng Nhân
245 p |
112 |
57
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương
31 p |
94 |
32
-
Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số nhiều biến số
39 p |
122 |
28
-
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục
84 p |
103 |
28
-
Bài giảng Toán cao cấp - Chương A: Hàm số một biến số
115 p |
100 |
27
-
Giáo trình Bài tập toán cao cấp (Tập 1): Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh
133 p |
50 |
24
-
Đề thi môn: Toán cao cấp - Đề số 1 - ĐH Kinh tế TP. HCM
1 p |
103 |
20
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - GV. Ngô Quang Minh
7 p |
50 |
17
-
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1
86 p |
55 |
15
-
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục
84 p |
28 |
7

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=kt2fnarmh3fg8rsnflfa52bif5; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Vary: Accept-Encoding


text:
Dịch vụ sửa máy rửa bát Electrolux uy tín tại Hà Nội, mỗi năm cung cấp cho hơn 1.200 lượt khách hàng trên địa bàn Hà Nội, 100% khách hàng gật đầu đồng ý và hài lòng về chất lượng dịch vụ tại đây. Liên hệ ngay (04)3 993 3386 để được tư vấn cách sử dụng và đăng ký dịch vụ sửa chữa chính hãng ngay hôm nay
ĐỊA CHỈ SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX CHÍNH HÃNG
Ngày nay máy rửa bát được sử sụng phổ biến hơn và có mặt tại nhiều gia đình, và một chiếc máy rửa bát electrolux là ưu tiên lựa chọn số 1 cho các gia đình. Chính vì vậy kéo theo nhu cầu sử dụng dịch vụ bảo hành và sửa máy rửa bát Electrolux ngày càng tăng cao, vậy sửa chữa bảo hành máy rửa bát Electrolux chính hãng ở đâu?
Địa chỉ sửa máy rửa bát electrolux uy tín tại Hà Nội
Bạn đang băn khoăn tìm kiếm một địa chỉ sửa chữa bảo hành máy rửa bát Electrolux chính hãng tại Hà Nội, thì đây có lẽ là địa chỉ tốt nhất giành cho bạn. Trung tâm bảo hành Electrolux tại Hà Nội là địa chỉ chuyên tiếp nhân bảo hành và sửa chữa máy rửa bát Electrolux chính hãng, với giá tốt nhất
Với lợi thế trung tâm bảo hành Electrolux chính hãng chúng tôi cam kết khi quý khách hàng sửa chữa máy rửa bát tại đây sẽ được các kỹ thuật viên chuyên nghiệp được đào tạo bởi Electrolux phục vụ, đảm bảo 100% linh kiện thay thế là hàng mới, hàng chính hãng. Bảo hành dài hạn, có kèm phiếu bảo hành
>>>Tham khảo thêm dịch vụ
- Sửa máy giặt Electrolux uy tín | tiết kiệm 10%
- Sửa tủ lanh Electrolux uy tín | vệ sinh miễn phí
LÍ DO BẠN NÊN CHỌN SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX TẠI ĐÂY
Có rất nhiều tiêu chí đua ra để các bạn chọn lựa bất cứ một dịch vụ nào đó. Nhưng chắc chắn rằng với các tiêu chí dưới đây sẽ giúp bạn chọn được địa chỉ sửa máy rửa bát Electrolux uy tín, giá tốt.
- Là trung tâm bảo hành sửa chữa chính hãng Electrolux
- Phục vụ nhanh chóng 24/7, có mặt chỉ sau 30 phút
- Đội ngũ kỹ thuật viên giỏi,có chuyên môn cao
- Linh kiện thay thế 100% hàng mới hàng chính hãng
- Khắc phục hầu hết các sự cố tại nhà một cách nhanh chóng
- Báo giá chính hãng, đúng giá niêm yết
- Bắt bệnh chính xác sử lí dứt điểm triệt để, không lỗi phát sinh
- Bảo hành chính hãng, dài hạn từ 06 – 12 tháng ( tùy thuộc vào loại linh kiện)
NHẬN SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX VỚI CÁC LỖI
Bên cạnh dịch vụ bảo hành tại đây chúng tôi tiếp nhận sửa chữa máy rửa bát (chén) Electrolux với tất cả các lỗi. Dưới đây là một số lỗi cơ bản của máy rửa bát
- Sửa máy rửa bát Electrolux mất nguồn
- Sửa máy rửa bát Electrolux không có nước vào
- Sửa máy rửa bát Electrolux có điện vào nhưng không chạy
- Sửa máy rửa bát Electrolux không hoạt động
- Sửa máy rửa bát Electrolux hỏng bơm
- Sửa máy rửa bát Electrolux rò nước
- Sửa máy rửa bát Electrolux rò rỉ điện
- Sửa máy rửa bát Electrolux hỏng mạch
- Sửa máy rửa bát Electrolux báo lỗi khi hoạt động
TRUNG TÂM BẢO HÀNH ELECTROLUX TẠI HÀ NỘI
- Địa chỉ : số 147 Thái thịnh 1, Đống Đa, Hà Nội
- CSKH: (04)3 993 3386
- Hotline: 0966 645 346
- Địa chỉ 2: số 23 Nguyễn Khánh Toàn, Cầu giấy, Hà Nội
- Hotline: 0933 643 645
- Email: cskh.electrolux@gmail.com
3 thoughts on “SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX UY TÍN”
dịch vụ cũng được 😛
xin cảm ơn ! Quý khách hàng đã đánh giá cao dịch vụ

markdown:
Dịch vụ
[ tại Hà Nội, mỗi năm cung cấp cho hơn 1.200 lượt khách hàng trên địa bàn Hà Nội, 100% khách hàng gật đầu đồng ý và hài lòng về chất lượng dịch vụ tại đây. Liên hệ ngay sửa máy rửa bát Electrolux uy tín](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/sua-may-rua-bat-electrolux-uy-tin/) **(04)3 993 3386**để được tư vấn cách sử dụng và đăng ký dịch vụ sửa chữa chính hãng ngay hôm nay
## ĐỊA CHỈ SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX CHÍNH HÃNG
Ngày nay máy rửa bát được sử sụng phổ biến hơn và có mặt tại nhiều gia đình, và một chiếc máy rửa bát electrolux là ưu tiên lựa chọn số 1 cho các gia đình. Chính vì vậy kéo theo nhu cầu sử dụng dịch vụ bảo hành và sửa máy rửa bát Electrolux ngày càng tăng cao, vậy sửa chữa
[ chính hãng ở đâu? bảo hành máy rửa bát Electrolux](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/dich-vu/bao-hanh-may-rua-bat-electrolux/)
*Địa chỉ sửa máy rửa bát electrolux uy tín tại Hà Nội*
Bạn đang băn khoăn tìm kiếm một địa chỉ sửa chữa bảo hành máy rửa bát Electrolux chính hãng tại Hà Nội, thì đây có lẽ là địa chỉ tốt nhất giành cho bạn.
[ là địa chỉ chuyên tiếp nhân bảo hành và sửa chữa máy rửa bát Electrolux chính hãng, với giá tốt nhất Trung tâm bảo hành Electrolux tại Hà Nội](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/)
Với lợi thế trung tâm
**bảo hành Electrolux** chính hãng chúng tôi cam kết khi quý khách hàng sửa chữa máy rửa bát tại đây sẽ được các kỹ thuật viên chuyên nghiệp được đào tạo bởi Electrolux phục vụ, đảm bảo 100% linh kiện thay thế là hàng mới, hàng chính hãng. Bảo hành dài hạn, có kèm phiếu bảo hành **>>>Tham khảo thêm dịch vụ** [Sửa máy giặt Electrolux uy tín](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/sua-tu-lanh-electrolux-uy-tin/)| tiết kiệm 10% [Sửa tủ lanh Electrolux uy tín](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/sua-may-giat-electrolux-uy-tin/)| vệ sinh miễn phí
### LÍ DO BẠN NÊN CHỌN SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX TẠI ĐÂY
Có rất nhiều tiêu chí đua ra để các bạn chọn lựa bất cứ một dịch vụ nào đó. Nhưng chắc chắn rằng với các tiêu chí dưới đây sẽ giúp bạn chọn được địa chỉ
**sửa máy rửa bát Electrolux uy tín**, giá tốt.
- Là trung tâm bảo hành sửa chữa chính hãng Electrolux
- Phục vụ nhanh chóng 24/7, có mặt chỉ sau 30 phút
- Đội ngũ kỹ thuật viên giỏi,có chuyên môn cao
- Linh kiện thay thế 100% hàng mới hàng chính hãng
- Khắc phục hầu hết các sự cố tại nhà một cách nhanh chóng
- Báo giá chính hãng, đúng giá niêm yết
- Bắt bệnh chính xác sử lí dứt điểm triệt để, không lỗi phát sinh
- Bảo hành chính hãng, dài hạn từ 06 – 12 tháng ( tùy thuộc vào loại linh kiện)
### NHẬN SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX VỚI CÁC LỖI
Bên cạnh dịch vụ bảo hành tại đây chúng tôi tiếp nhận sửa chữa máy rửa bát (chén) Electrolux với tất cả các lỗi. Dưới đây là một số lỗi cơ bản của máy rửa bát
[mất nguồn](https://trungtamsuachuaelectrolux.com/sua-chua/sua-may-rua-bat-electrolux/) **Sửa máy rửa bát Electrolux**
- Sửa máy rửa bát Electrolux không có nước vào
- Sửa máy rửa bát Electrolux có điện vào nhưng không chạy
- Sửa máy rửa bát Electrolux không hoạt động
- Sửa máy rửa bát Electrolux hỏng bơm
- Sửa máy rửa bát Electrolux rò nước
- Sửa máy rửa bát Electrolux rò rỉ điện
- Sửa máy rửa bát Electrolux hỏng mạch
- Sửa máy rửa bát Electrolux báo lỗi khi hoạt động
**TRUNG TÂM BẢO HÀNH ELECTROLUX TẠI HÀ NỘI**
- Địa chỉ : số 147 Thái thịnh 1, Đống Đa, Hà Nội
- CSKH:
**(04)3 993 3386**
- Hotline: 0966 645 346
- Địa chỉ 2: số 23 Nguyễn Khánh Toàn, Cầu giấy, Hà Nội
- Hotline: 0933 643 645
- Email: cskh.electrolux@gmail.com
## 3 thoughts on “SỬA MÁY RỬA BÁT ELECTROLUX UY TÍN”
dịch vụ cũng được 😛
xin cảm ơn ! Quý khách hàng đã đánh giá cao dịch vụ

Server: LiteSpeed

P3P: CP="NOI"

X-XSS-Protection: 1; mode=block

X-Content-Type-Options: nosniff

Accept-Ranges: bytes

Cache-Control: max-age=0, private, no-store, no-cache, must-revalidate