text:
CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
Chia sẻ: Nguyen Manh Hung Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17
lượt xem 58
download
CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
Tham khảo tài liệu 'chương 3: đồ thị', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
- CHƯƠNG III ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Thí dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bảng điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình. 3.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó. Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị. Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị. Chẳng hạn người ta có thể dùng đồ thị để biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường sinh thái, dùng đồ thị để biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó, và cũng có thể dùng đồ thị để biểu diễn các kết cục của cuộc thi đấu thể thao. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để giải các bài toán như bài toán tính số các tổ hợp khác nhau của các chuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không, hay để giải bài toán đi tham quan tất cả các đường phố của một thành phố sao cho mỗi đường phố đi qua đúng một lần, hoặc bài toán tìm số các màu cần thiết để tô các vùng khác nhau của một bản đồ. Trong đời sống, chúng ta thường gặp những sơ đồ, như sơ đồ tổ chức bộ máy, sơ đồ giao thông, sơ đồ hướng dẫn thứ tự đọc các chương trong một cuốn sách, ..., gồm những điểm biểu thị các đối tượng được xem xét (người, tổ chức, địa danh, chương mục sách, ...) và nối một số điểm với nhau bằng những đoạn thẳng (hoặc cong) hay những mũi tên, tượng trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng. Đó là những thí dụ về đồ thị. 3.1.1. Định nghĩa: Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh phân biệt. 37
- 3.1.2. Định nghĩa: Một đa đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh phân biệt. Hai cạnh được gọi là cạnh bội hay song song nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh. Rõ ràng mỗi đơn đồ thị là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng là đơn đồ thị. 3.1.3. Định nghĩa: Một giả đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh (không nhất thiết là phân biệt). Với v∈V, nếu (v,v)∈E thì ta nói có một khuyên tại đỉnh v. Tóm lại, giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có thể chứa các khuyên và các cạnh bội. Đa đồ thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn đơn đồ thị là loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên. Thí dụ 1: v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v5 v6 v7 v4 v5 v6 Đơn đồ thị Giả đồ thị 3.1.4. Định nghĩa: Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cung, đó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. 3.1.5. Định nghĩa: Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cung, đó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. Đồ thị vô hướng nhận được từ đồ thị có hướng G bằng cách xoá bỏ các chiều mũi tên trên các cung được gọi là đồ thị vô hướng nền của G. Thí dụ 2: v1 v2 v3 v3 v5 v1 v2 V5 v6 v7 v4 v5 v6 Đồ thị có hướng Đa đồ thị có hướng 38
- Thí dụ 3: 1) Đồ thị “lấn tổ” trong sinh thái học. Đồ thị được dùng trong nhiều mô hình có tính đến sự tương tác của các loài vật. Chẳng hạn sự cạnh tranh của các loài trong một hệ sinh thái có thể mô hình hóa bằng đồ thị “lấn tổ”. Mỗi loài được biểu diễn bằng một đỉnh. Một cạnh vô hướng nối hai đỉnh nếu hai loài được biểu diễn bằng các đỉnh này là cạnh tranh với nhau. 2) Đồ thị ảnh hưởng. Khi nghiên cứu tính cách của một nhóm nguời, ta thấy một số người có thể có ảnh hưởng lên suy nghĩ của những người khác. Đồ thị có hướng được gọi là đồ thị ảnh hưởng có thể dùng để mô hình bài toán này. Mỗi người của nhóm được biểu diễn bằng một đỉnh. Khi một người được biểu diễn bằng đỉnh a có ảnh hưởng lên người được biểu diễn bằng đỉnh b thì có một cung nối từ đỉnh a đến đỉnh b. 3) Thi đấu vòng tròn. Một cuộc thi đấu thể thao trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần gọi là đấu vòng tròn. Cuộc thi đấu như thế có thể được mô hình bằng một đồ thị có hướng trong đó mỗi đội là một đỉnh. Một cung đi từ đỉnh a đến đỉnh b nếu đội a thắng đội b. 4) Các chương trình máy tính có thể thi hành nhanh hơn bằng cách thi hành đồng thời một số câu lệnh nào đó. Điều quan trọng là không được thực hiện một câu lệnh đòi hỏi kết quả của câu lệnh khác chưa được thực hiện. Sự phụ thuộc của các câu lệnh vào các câu lệnh trước có thể biểu diễn bằng một đồ thị có hướng. Mỗi câu lệnh được biểu diễn bằng một đỉnh và có một cung từ một đỉnh tới một đỉnh khác nếu câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ hai không thể thực hiện được trước khi câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ nhất được thực hiện. Đồ thị này được gọi là đồ thị có ưu tiên trước sau. 3.2. BẬC CỦA ĐỈNH. 3.2.1. Định nghĩa: Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e. 3.2.2. Định nghĩa: Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)=0. Thí dụ 4: v1 v2 v3 v4 v6 v5 v7 39
- Ta có deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2. Đỉnh v4 là đỉnh cô lập và đỉnh v6 là đỉnh treo. 3.2.3. Mệnh đề: Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó ∑ deg(v) . 2|E| = v∈V Chứng minh: Rõ ràng mỗi cạnh e = (u,v) được tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hai lần số cạnh. 3.2.4. Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của một đồ thị là một số chẵn. Chứng minh: Gọi V1 và V2 tương ứng là tập các đỉnh bậc chẵn và tập các đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = (V, E). Khi đó 2|E| = ∑ deg(v) ∑ deg( v) + v∈V1 v∈V2 Vế trái là một số chẵn và tổng thứ nhất cũng là một số chẵn nên tổng thứ hai là một số chẵn. Vì deg(v) là lẻ với mọi v ∈ V2 nên |V2| là một số chẵn. 3.2.5. Mệnh đề: Trong một đơn đồ thị, luôn tồn tại hai đỉnh có cùng bậc. Chứng minh: Xét đơn đồ thị G=(V,E) có |V|=n. Khi đó phát biểu trên được đưa về bài toán: trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau (xem Thí dụ 6 của 2.2.3). 3.2.6. Định nghĩa: Đỉnh u được gọi là nối tới v hay v được gọi là được nối từ u trong đồ thị có hướng G nếu (u,v) là một cung của G. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu và đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cung này. 3.2.7. Định nghĩa: Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G, ký hiệu degt(v) (t.ư. dego(v)), là số các cung có đỉnh cuối là v. Thí dụ 5: v2 v3 v1 v4 v5 v6 degt(v1) = 2, dego(v1) = 3, degt(v2) = 5, dego(v2) = 1, degt(v3) = 2, dego(v3) = 4, degt(v4) = 1, deg0(v4) = 3, degt(v5) = 1, dego(v5) = 0, degt(v6) = 0, dego(v6) = 0. Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo. 40
- 3.2.8. Mệnh đề: Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó ∑ deg t (v) = ∑ deg o (v) = |E|. v∈V v∈V Chứng minh: Kết quả có ngay là vì mỗi cung được tính một lần cho đỉnh đầu và một lần cho đỉnh cuối. 3.3. NHỮNG ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT. 3.3.1. Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là Kn, là đơn đồ thị mà hai đỉnh n(n − 1) phân biệt bất kỳ của nó luôn liền kề. Như vậy, Kn có cạnh và mỗi đỉnh của 2 v1 v2 Kn có bậc là n−1. v1 v1 Thí dụ 6: v1 v5 v3 v1 v2 v4 v2 v1 v3 v2 K1 K2 V4 v3 K3 K4 K5 3.3.2. Đồ thị vòng: Đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, ..., vn (n≥ 3) và n cạnh (v1,v2), (v2,v3), ..., (vn-1,vn), (vn,v1) được gọi là đồ thị vòng, ký hiệu là Cn. Như vậy, mỗi đỉnh của Cn có v1 v1 bậc là 2. Thí dụ 7: v v v v v v5 v2 1 1 2 6 2 v5 v3 v3 v2 v4 v3 v4 v3 v C3 C4 C5 C6 4 3.3.3. Đồ thị bánh xe:Từ đồ thị vòng Cn, thêm vào đỉnh vn+1 và các cạnh (vn+1,v1), (vn+1,v2), ..., (vn+1,vn), ta nhận được đơn đồ thị gọi là đồ thị bánh xe, ký hiệu là W n. Như vậy, đồ thị Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, một đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3. v1 v1 Thí dụ 8: v v1 v2 v6 v2 v5 v2 1 v7 v6 v5 v4 v5 v3 v3 v2 v4 v3 v4 v3 v4 W3 W4 W5 W6 3.3.4. Đồ thị lập phương: Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh này chỉ 41
- khác nhau đúng một bit được gọi là đồ thị lập phương, ký hiệu là Qn. Như vậy, mỗi đỉnh của Qn có bậc là n và số cạnh của Qn là n.2n-1 (từ công thức 2|E| = ∑ deg(v) ). v∈V 110 111 Thí dụ 9: 10 11 100 101 0 1 00 01 Q1 Q2 011 010 001 000 Q3 3.3.5. Đồ thị phân đôi (đồ thị hai phe): Đơn đồ thị G=(V,E) sao cho V=V1∪V2, V1∩V2=∅, V1≠∅ , V2≠∅ và mỗi cạnh của G được nối một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được gọi là đồ thị phân đôi. Nếu đồ thị phân đôi G=(V1∪V2,E) sao cho với mọi v1∈V1, v2∈V2, (v1,v2)∈E thì G được gọi là đồ thị phân đôi đầy đủ. Nếu |V1|=m, |V2|=n thì đồ thị phân đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n. Như vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh của V1 có bậc n và các đỉnh của V2 có bậc m. Thí dụ 10: v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v5 v6 v4 v5 v6 K2,4 K3,3 3.3.6. Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt: 1) Các mạng cục bộ (LAN): Một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hình sao, trong đó tất cả các thiết bị được nối với thiết bị điều khiển trung tâm. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị phân đôi đầy đủ K1,n. Các thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác đều phải qua thiết bị điều khiển trung tâm. Mạng cục bộ cũng có thể có cấu trúc vòng tròn, trong đó mỗi thiết bị nối với đúng hai thiết bị khác. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị vòng Cn. Thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác được truyền đi theo vòng tròn cho tới khi đến nơi nhận. v2 v3 v4 v1 v2 v2 v3 v8 v3 v9 v4 v5 v1 v6 v1 v7 v4 v8 v5 v7 v8 v9 v6 v542 v6
- v7 Cấu trúc hình sao Cấu trúc vòng tròn Cấu trúc hỗn hợp Cuối cùng, một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hỗn hợp của hai cấu trúc trên. Các thông báo được truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua thiết bị trung tâm. Sự dư thừa này có thể làm cho mạng đáng tin cậy hơn. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị bánh xe Wn. 2) Xử lý song song: Các thuật toán để giải các bài toán được thiết kế để thực hiện một phép toán tại mỗi thời điểm là thuật toán nối tiếp. Tuy nhiên, nhiều bài toán với số lượng tính toán rất lớn như bài toán mô phỏng thời tiết, tạo hình trong y học hay phân tích mật mã không thể giải được trong một khoảng thời gian hợp lý nếu dùng thuật toán nối tiếp ngay cả khi dùng các siêu máy tính. Ngoài ra, do những giới hạn về mặt vật lý đối với tốc độ thực hiện các phép toán cơ sở, nên thường gặp các bài toán không thể giải trong khoảng thời gian hợp lý bằng các thao tác nối tiếp. Vì vậy, người ta phải nghĩ đến kiểu xử lý song song. Khi xử lý song song, người ta dùng các máy tính có nhiều bộ xử lý riêng biệt, mỗi bộ xử lý có bộ nhớ riêng, nhờ đó có thể khắc phục được những hạn chế của các máy nối tiếp. Các thuật toán song song phân chia bài toán chính thành một số bài toán con sao cho có thể giải đồng thời được. Do vậy, bằng các thuật toán song song và nhờ việc sử dụng các máy tính có bộ đa xử lý, người ta hy vọng có thể giải nhanh các bài toán phức tạp. Trong thuật toán song song có một dãy các chỉ thị theo dõi việc thực hiện thuật toán, gửi các bài toán con tới các bộ xử lý khác nhau, chuyển các thông tin vào, thông tin ra tới các bộ xử lý thích hợp. Khi dùng cách xử lý song song, mỗi bộ xử lý có thể cần các thông tin ra của các bộ xử lý khác. Do đó chúng cần phải được kết nối với nhau. Người ta có thể dùng loại đồ thị thích hợp để biểu diễn mạng kết nối các bộ xử lý trong một máy tính có nhiều bộ xử lý. Kiểu mạng kết nối dùng để thực hiện một thuật toán song song cụ thể phụ thuộc vào những yêu cầu với việc trao đổi dữ liệu giữa các bộ xử lý, phụ thuộc vào tốc độ mong muốn và tất nhiên vào phần cứng hiện có. Mạng kết nối các bộ xử lý đơn giản nhất và cũng đắt nhất là có các liên kết hai chiều giữa mỗi cặp bộ xử lý. Các mạng này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ K n, trong đó n là số bộ xử lý. Tuy nhiên, các mạng liên kết kiểu này có số kết nối quá nhiều mà trong thực tế số kết nối cần phải có giới hạn. Các bộ xử lý có thể kết nối đơn giản là sắp xếp chúng theo một mảng một chiều. Ưu điểm của mảng một chiều là mỗi bộ xử lý có nhiều nhất 2 đường nối trực tiếp với các bộ xử lý khác. Nhược điểm là nhiều khi cần có rất nhiều các kết nối trung gian để các bộ xử lý trao đổi thông tin với nhau. P1 P3 43
- P2 P4 P5 P6 Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) rất hay được dùng cho các mạng liên kết. Trong một mạng như thế, số các bộ xử lý là một số chính phương, n=m2. Các bộ xử lý được gán nhãn P(i,j), 0 ≤ i, j ≤ m− Các kết nối hai chiều sẽ nối bộ xử lý P(i,j) 1. với bốn bộ xử lý bên cạnh, tức là với P(i,j± 1) và P(i± 1,j) chừng nào các bộ xử lý còn ở trong lưới. P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối. Với các mạng loại này số các bộ xử lý là luỹ thừa của 2, n=2m. Các bộ xử lý được gán nhãn là P0, P1, ..., Pn-1. Mỗi bộ xử lý có liên kết hai chiều với m bộ xử lý khác. Bộ xử lý Pi nối với bộ xử lý có chỉ số biểu diễn bằng dãy nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i tại đúng một bit. Mạng kiểu siêu khối cân bằng số các kết nối trực tiếp của mỗi bộ xử lý và số các kết nối gián tiếp sao cho các bộ xử lý có thể truyền thông được. Nhiều máy tính đã chế tạo theo mạng kiểu siêu khối và nhiều thuật toán đã được thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối. Đồ thị lập phương Qm biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2m bộ xử lý. P4 P0 P1 P2 P3 P5 P6 P7 3.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ: 3.4.1. Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với V={v1,v2,..., vn}. Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v1,v2,..., vn là ma trận A= (aij )1≤i , j ≤n ∈ M (n, Z ) , trong đó aij là số cạnh hoặc cung nối từ vi tới vj. Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, nghĩa aij = a ji , trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có hướng không có tính đối là xứng. Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4 là: v1 v2 44 v4 v3
- 0 2 3 0 3 0 1 1 0 2 1 1 2 0 1 2 Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 là: 1 1 0 1 1 v1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 v5 v2 0 0 2 0 1 1 1 0 1 0 v4 v3 3.4.2. Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v1, v2, ..., vn là các đỉnh và e1, e2, ..., em là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là ma trận ∈ M ( n × m, Z ) (m ) M= ij 1≤ij≤n , 1≤ ≤ m mij bằng 1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi và bằng 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi. Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 và các cạnh e1, e2, e3, e4, e5, e6 là: e6 v2 v3 v1 1 1 0 0 0 0 e3 e4 0 0 1 1 0 1 e5 e1 0 0 0 0 1 1 e2 v4 v5 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 3.4.3. Định nghĩa: Các đơn đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một song ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh u và v là liền kề trong G1 khi và chỉ khi f(u) và f(v) là liền kề trong G2 với mọi u và v trong V1. Ánh xạ f như thế gọi là một phép đẳng cấu. Thông thường, để chứng tỏ hai đơn đồ thị là không đẳng cấu, người ta chỉ ra chúng không có chung một tính chất mà các đơn đồ thị đẳng cấu cần phải có. Tính chất như thế gọi là một bất biến đối với phép đẳng cấu của các đơn đồ thị. Thí dụ 13: 1) Hai đơn đồ thị G1 và G2 sau là đẳng cấu qua phép đẳng cấu f: a ấ x, b x u, c u z, d z v, e v y: a u z v b 45 c e d
- y x G1 G2 2) Hai đồ thị G1 và G2 sau đều có 5 đỉnh và 6 cạnh nhưng không đẳng cấu vì trong G1 có một đỉnh bậc 4 mà trong G2 không có đỉnh bậc 4 nào. 3) Hai đồ thị G1 và G2 sau đều có 7 đỉnh, 10 cạnh, cùng có một đỉnh bậc 4, bốn đỉnh bậc 3 và hai đỉnh bậc 2. Tuy nhiên G1 và G2 là không đẳng cấu vì hai đỉnh bậc 2 của G1 (a và d) là không kề nhau, trong khi hai đỉnh bậc 2 của G2 (y và z) là kề nhau. b c v x w a h d u y g e t z G1 G2 4) Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay không? u1 u2 v1 v3 v2 u5 u6 v6 u4 u3 v5 v4 G1 G2 Hai đồ thị G1 và G2 là đẳng cấu vì hai ma trận liền kề của G1 theo thứ tự các đỉnh u1, u2, u3, u4, u5, u6 và của G2 theo thứ tự các đỉnh v6, v3, v4, v5, v1, v2 là như nhau và bằng: 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 46
- 3.5. CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ. 3.5.1. Định nghĩa: Cho hai đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2). Ta nói G2 là đồ thị con của G1 nếu V2 ⊂ V1 và E2 ⊂ E1. Trong trường hợp V1=V2 thì G2 gọi là con bao trùm của G1. Thí dụ 14: a d a a d a d e e c b b c b c b c G G1 G2 G3 a d a d e b c b c G4 G5 G1, G2, G3 và G4 là các đồ thị con của G, trong đó G2 và G4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G5 không phải là đồ thị con của G. 3.5.2. Định nghĩa: Hợp của hai đơn đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V1 ∪ V2 và tập các cạnh là E1 ∪ E2, ký hiệu là G1 ∪ G2. Thí dụ 15: x y z x y z x y z u v u w u v w G1∪G2 G1 G2 3.5.3. Định nghĩa: Đơn đồ thị G’=(V,E’) được gọi là đồ thị bù của đơn đồ thị G=(V,E) nếu G và G’ không có cạnh chung nào (E ∩ E’=∅) và G ∪ G’là đồ thị đầy đủ. Dễ thấy rằng nếu G’ là bù của G thì G cũng là bù của G’. Khi đó ta nói hai đồ thị là bù nhau. Thí dụ 16: x x x y x y v y v y u v u v u z u z G’ G G1’ G1 Hai đồ thị G’ và G là bù nhau và hai đồ thị G1 và G1’ là bù nhau. 3.6. TÍNH LIÊN THÔNG. 47
- 3.6.1. Định nghĩa: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương, trong đồ thị (giả đồ thị vô hướng hoặc đa đồ thị có hướng) G=(V,E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2, ..., en của đồ thị sao cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ...,en=(xn-1,xn), với x0=u và xn=v. Khi đồ thị không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh x0, x1, ..., xn. Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Đường đi hoặc chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung) quá một lần. Một đường đi hoặc chu trình không đi qua đỉnh nào quá một lần (trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối của chu trình là trùng nhau) được gọi là đường đi hoặc chu trình sơ cấp. Rõ ràng rằng một đường đi (t.ư. chu trình) sơ cấp là đường đi (t.ư. chu trình) đơn. Thí dụ 17: x y z w v u Trong đơn đồ thị trên, x, y, z, w, v, y là đường đi đơn (không sơ cấp) độ dài 5; x, w, v, z, y không là đường đi vì (v, z) không là cạnh; y, z, w, x, v, u, y là chu trình sơ cấp độ dài 6. 3.6.2. Định nghĩa: Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị. Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung. Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét. Như vậy, một đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông. Thí dụ 18: b a x y g k z u w d c i h l t v G G’ Đồ thị G là liên thông, nhưng đồ thị G’ không liên thông và có 3 thành phần liên thông. 3.6.3. Định nghĩa: Một đỉnh trong đồ thị G mà khi xoá đi nó và tất cả các cạnh liên thuộc với nó ta nhận được đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị G được gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp. Việc xoá đỉnh cắt khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị con không liên thông. Hoàn toàn tương tự, một cạnh mà khi ta bỏ nó 48
- đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần liên thông hơn so với đồ thị xuất phát được gọi là cạnh cắt hay là cầu. Thí dụ 19: x y z u v w s t Trong đồ thị trên, các đỉnh cắt là v, w, s và các cầu là (x,v), (w,s). 3.6.4. Mệnh đề: Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị liên thông luôn có đường đi sơ cấp. Chứng minh: Giả sử u và v là hai đỉnh phân biệt của một đồ thị liên thông G. Vì G liên thông nên có ít nhất một đường đi giữa u và v. Gọi x0, x1, ..., xn, với x0=u và xn=v, là dãy các đỉnh của đường đi có độ dài ngắn nhất. Đây chính là đường đi sơ cấp cần tìm. Thật vậy, giả sử nó không là đường đi đơn, khi đó xi=xj với 0 ≤ i < j. Điều này có nghĩa là giữa các đỉnh u và v có đường đi ngắn hơn qua các đỉnh x0, x1, ..., xi-1, xj, ..., xn nhận được bằng cách xoá đi các cạnh tương ứng với dãy các đỉnh xi, ..., xj-1. 3.6.5. Mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) có tổng bậc của hai đỉnh tuỳ ý không nhỏ hơn n đều là đồ thị liên thông. Chứng minh: Cho đơn đồ thị G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 2) và thoả mãn yêu cầu của bài toán. Giả sử G không liên thông, tức là tồn tại hai đỉnh u và v sao cho không có đường đi nào nối u và v. Khi đó trong đồ thị G tồn tại hai thành phần liên thông là G1 có n1 đỉnh và chứa u, G2 chứa đỉnh v và có n2 đỉnh. Vì G1, G2 là hai trong số các thành phần liên thông của G nên n1+n2 ≤ n. ta có: deg(u)+deg(v) ≤ (n1 − 1)+(n2 − 1) = n1+n2− ≤ n−
- Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử đỉnh x là điểm khớp trong đồ thị G. Khi đó đồ thị con G1 của G nhận được bằng cách xoá x và các cạnh liên thuộc với nó là không liên thông. Giả sử G2, G3 là hai trong các thành phần liên thông của G1. Lấy u là đỉnh trong G2 và v là đỉnh trong G3. Do u, v thuộc hai thành phần liên thông khác nhau, nên trong G1 các đỉnh u, v không liên thông. Nhưng trong G các đỉnh u, v lại liên thông, nên mọi đường đi nối u, v đều phải đi qua đỉnh x. Điều kiện đủ: Giả sử mọi đường đi nối u, v đều đi qua đỉnh x, nên nếu bỏ đỉnh x và các cạnh liên thuộc với x thì đồ thị con G1 nhận được từ G chứa hai đỉnh u, v không liên thông. Do đó G1 là đồ thị không liên thông hay đỉnh x là điểm khớp của G. 3.6.9. Định lý: Cho G là một đơn đồ thị có n đỉnh, m cạnh và k thành phần liên thông. Khi đó (n − k )(n − k + 1) n−k ≤ m≤ . 2 Chứng minh: Bất đẳng thức n − k ≤ m được chứng minh bằng quy nạp theo m. Nếu m=0 thì k=n nên bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng đến m− với m ≥ 1. 1, Gọi G’ là đồ thị con bao trùm của G có số cạnh m0 là nhỏ nhất sao cho nó có k thành phần liên thông. Do đó việc loại bỏ bất cứ cạnh nào trong G’ cũng tăng số thành phần liên thông lên 1 và khi đó đồ thị thu được sẽ có n đỉnh, k+1 thành phần liên thông và m0− cạnh. Theo giả thiết quy nạp, ta có m0− ≥ n− (k+1) hay m0 ≥ n− Vậy m ≥ n-k. 1 1 k. Bổ sung cạnh vào G để nhận được đồ thị G’’ có m1 cạnh sao cho k thành phần liên thông là những đồ thị đầy đủ. Ta có m ≤ m1 nên chỉ cần chứng minh (n − k )(n − k + 1) m1 ≤ . 2 Giả sử Gi và Gj là hai thành phần liên thông của G’’ với ni và nj đỉnh và ni ≥ nj >1 (*). Nếu ta thay Gi và Gj bằng đồ thị đầy đủ với ni+1 và nj− đỉnh thì tổng số đỉnh không 1 thay đổi nhưng số cạnh tăng thêm một lượng là: (ni + 1)ni ni (ni − 1) n j (n j − 1) (n j − 1)(n j − 2) − − − = ni − n j + 1 . 2 2 2 2 Thủ tục này được lặp lại khi hai thành phần nào đó có số đỉnh thoả (*). Vì vậy m 1 là lớn nhất (n, k là cố định) khi đồ thị gồm k-1 đỉnh cô lập và một đồ thị đầy đủ với n- k+1 đỉnh. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần tìm. 3.6.10. Định nghĩa: Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v và đường đi từ v tới u. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng nền của nó là liên thông. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v hoặc đường đi từ v tới u. 50
- Thí dụ 20: u v w u v w x x y s t y s t G G’ Đồ thị G là liên thông mạnh nhưng đồ thị G’ là liên thông yếu (không có đường đi từ u tới x cũng như từ x tới u). 3.6.11. Mệnh đề: Cho G là một đồ thị (vô hướng hoặc có hướng) với ma trận liền kề A theo thứ tự các đỉnh v1, v2, ..., vn. Khi đó số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trị của phần tử dòng i cột j của ma trận Ar. Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo r. Số các đường đi khác nhau độ dài 1 từ vi tới vj là số các cạnh (hoặc cung) từ vi tới vj, đó chính là phần tử dòng i cột j của ma trận A; nghĩa là, mệnh đề đúng khi r=1. Giả sử mệnh đề đúng đến r; nghĩa là, phần tử dòng i cột j của A r là số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj. Vì Ar+1=Ar.A nên phần tử dòng i cột j của Ar+1 bằng bi1a1j+bi2a2j+ ... +binanj, trong đó bik là phần tử dòng i cột k của Ar. Theo giả thiết quy nạp bik là số đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vk. Đường đi độ dài r+1 từ vi tới vj sẽ được tạo nên từ đường đi độ dài r từ vi tới đỉnh trung gian vk nào đó và một cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj. Theo quy tắc nhân số các đường đi như thế là tích của số đường đi độ dài r từ v i tới vk, tức là bik, và số các cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj, tức là akj. Cộng các tích này lại theo tất cả các đỉnh trung gian vk ta có mệnh đề đúng đến r+1. BÀI TẬP CHƯƠNG III: 1. Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn M, m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh của G. Chứng tỏ rằng 2e m≤ ≤ M. v 2. Chứng minh rằng nếu G là đơn đồ thị phân đôi có v đỉnh và e cạnh, khi đó e ≤ v2/4. 3. Trongmột phương án mạng kiểu lưới kết nối n=m2 bộ xử lý song song, bộ xử lý P(i,j) được kết nối với 4 bộ xử lý (P(i± 1) mod m, j), P(i, (j± 1) mod m), sao cho các kết 51
- nối bao xung quanh các cạnh của lưới. Hãy vẽ mạng kiểu lưới có 16 bộ xử lý theo phương án này. 4. Hãy vẽ các đồ thị vô hướng được biểu diễn bởi ma trận liền kề sau: 0 4 1 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 3 0 a) 2 0 4 , b) , c) 3 1 . 1 1 0 0 1 3 1 3 4 0 0 2 3 0 0 1 0 0 1 4 3 0 1 2 5. Nêu ý nghĩa của tổng các phần tử trên một hàng (t.ư. cột) của một ma trận liền kề đối với một đồ thị vô hướng ? Đối với đồ thị có hướng ? 6. Tìm ma trận liền kề cho các đồ thị sau: a) Kn , b) Cn, c) Wn , d) Km,n , e) Qn. 7. Có bao nhiêu đơn đồ thị không đẳng cấu với n đỉnh khi: a) n=2, b) n=3, c) n=4. 8. Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đây có là đẳng cấu không? 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 1 . 1 1 1 0 1 1 1 0 9. Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đây có là đẳng cấu không? 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 , . 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 10. Các đồ thị G và G’ sau có đẳng cấu với nhau không? a) u1 v1 v2 u2 v5 v6 u3 u4 v4 v3 u6 u5 b) u3 u1 u2 v1 v2 v6 v3 u4 u5 52 v5 v4
- u6 11. Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chương 4: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu
10 p | 124 | 60
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 3: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
30 p | 122 | 37
-
Chương III: Đồ thị phẳng
0 p | 113 | 35
-
Bài giảng Toán rời rạc - Chương 4: Đồ thị
114 p | 93 | 30
-
Lý thuyết đồ thị (Nguyễn Thanh Sơn) - chương 4 ĐỒ THỊ PHẲNG
24 p | 103 | 19
-
Giáo trình Toán rời rạc: Phần 1 - Đỗ Đức Giáo
238 p | 48 | 19
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị
21 p | 41 | 14
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 1 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
56 p | 51 | 12
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
36 p | 60 | 11
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 2 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
37 p | 50 | 8
-
Đồ thị và các thuật toán - Chương 6
24 p | 38 | 7
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 3 - Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton
19 p | 40 | 5
-
CHƯƠNG I: ĐỒ THỊ
39 p | 27 | 4
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 3: Đồ thị phẳng
9 p | 18 | 4
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị - ĐH Hàng Hải
35 p | 17 | 2
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - Nguyễn Trần Phi Phượng
13 p | 23 | 2
-
Bài giảng Chương 7: Đồ thị và các thuật toán đồ thị
0 p | 12 | 2

markdown:
# CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
Chia sẻ: Nguyen Manh Hung Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17
lượt xem 58
download
![](https://tailieu.vn/image/document/thumbnail/2009/20091030/toilahung/80x100/giao_trinh_toan_roi_rac_chuong_3_0534.jpg)
##
CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](https://tailieu.vn/static/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tham khảo tài liệu 'chương 3: đồ thị', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ
- CHƯƠNG III ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những ý tưởng cơ bản của nó được đưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đồ thị để giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. Đồ thị cũng được dùng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Thí dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực hiện một mạch điện trên một bảng điện phẳng được không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ đồ thị. Chúng ta cũng có thể xác định xem hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không nếu dùng mô hình đồ thị mạng máy tính. Đồ thị với các trọng số được gán cho các cạnh của nó có thể dùng để giải các bài toán như bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để lập lịch thi và phân chia kênh cho các đài truyền hình. 3.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó. Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và số các cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị. Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị. Chẳng hạn người ta có thể dùng đồ thị để biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường sinh thái, dùng đồ thị để biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó, và cũng có thể dùng đồ thị để biểu diễn các kết cục của cuộc thi đấu thể thao. Chúng ta cũng có thể dùng đồ thị để giải các bài toán như bài toán tính số các tổ hợp khác nhau của các chuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không, hay để giải bài toán đi tham quan tất cả các đường phố của một thành phố sao cho mỗi đường phố đi qua đúng một lần, hoặc bài toán tìm số các màu cần thiết để tô các vùng khác nhau của một bản đồ. Trong đời sống, chúng ta thường gặp những sơ đồ, như sơ đồ tổ chức bộ máy, sơ đồ giao thông, sơ đồ hướng dẫn thứ tự đọc các chương trong một cuốn sách, ..., gồm những điểm biểu thị các đối tượng được xem xét (người, tổ chức, địa danh, chương mục sách, ...) và nối một số điểm với nhau bằng những đoạn thẳng (hoặc cong) hay những mũi tên, tượng trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng. Đó là những thí dụ về đồ thị. 3.1.1. Định nghĩa: Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh phân biệt. 37
- 3.1.2. Định nghĩa: Một đa đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh phân biệt. Hai cạnh được gọi là cạnh bội hay song song nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh. Rõ ràng mỗi đơn đồ thị là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ thị nào cũng là đơn đồ thị. 3.1.3. Định nghĩa: Một giả đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp không có thứ tự của các đỉnh (không nhất thiết là phân biệt). Với v∈V, nếu (v,v)∈E thì ta nói có một khuyên tại đỉnh v. Tóm lại, giả đồ thị là loại đồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có thể chứa các khuyên và các cạnh bội. Đa đồ thị là loại đồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn đơn đồ thị là loại đồ thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên. Thí dụ 1: v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v5 v6 v7 v4 v5 v6 Đơn đồ thị Giả đồ thị 3.1.4. Định nghĩa: Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cung, đó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. 3.1.5. Định nghĩa: Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cung, đó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. Đồ thị vô hướng nhận được từ đồ thị có hướng G bằng cách xoá bỏ các chiều mũi tên trên các cung được gọi là đồ thị vô hướng nền của G. Thí dụ 2: v1 v2 v3 v3 v5 v1 v2 V5 v6 v7 v4 v5 v6 Đồ thị có hướng Đa đồ thị có hướng 38
- Thí dụ 3: 1) Đồ thị “lấn tổ” trong sinh thái học. Đồ thị được dùng trong nhiều mô hình có tính đến sự tương tác của các loài vật. Chẳng hạn sự cạnh tranh của các loài trong một hệ sinh thái có thể mô hình hóa bằng đồ thị “lấn tổ”. Mỗi loài được biểu diễn bằng một đỉnh. Một cạnh vô hướng nối hai đỉnh nếu hai loài được biểu diễn bằng các đỉnh này là cạnh tranh với nhau. 2) Đồ thị ảnh hưởng. Khi nghiên cứu tính cách của một nhóm nguời, ta thấy một số người có thể có ảnh hưởng lên suy nghĩ của những người khác. Đồ thị có hướng được gọi là đồ thị ảnh hưởng có thể dùng để mô hình bài toán này. Mỗi người của nhóm được biểu diễn bằng một đỉnh. Khi một người được biểu diễn bằng đỉnh a có ảnh hưởng lên người được biểu diễn bằng đỉnh b thì có một cung nối từ đỉnh a đến đỉnh b. 3) Thi đấu vòng tròn. Một cuộc thi đấu thể thao trong đó mỗi đội đấu với mỗi đội khác đúng một lần gọi là đấu vòng tròn. Cuộc thi đấu như thế có thể được mô hình bằng một đồ thị có hướng trong đó mỗi đội là một đỉnh. Một cung đi từ đỉnh a đến đỉnh b nếu đội a thắng đội b. 4) Các chương trình máy tính có thể thi hành nhanh hơn bằng cách thi hành đồng thời một số câu lệnh nào đó. Điều quan trọng là không được thực hiện một câu lệnh đòi hỏi kết quả của câu lệnh khác chưa được thực hiện. Sự phụ thuộc của các câu lệnh vào các câu lệnh trước có thể biểu diễn bằng một đồ thị có hướng. Mỗi câu lệnh được biểu diễn bằng một đỉnh và có một cung từ một đỉnh tới một đỉnh khác nếu câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ hai không thể thực hiện được trước khi câu lệnh được biểu diễn bằng đỉnh thứ nhất được thực hiện. Đồ thị này được gọi là đồ thị có ưu tiên trước sau. 3.2. BẬC CỦA ĐỈNH. 3.2.1. Định nghĩa: Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e. 3.2.2. Định nghĩa: Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)=0. Thí dụ 4: v1 v2 v3 v4 v6 v5 v7 39
- Ta có deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2. Đỉnh v4 là đỉnh cô lập và đỉnh v6 là đỉnh treo. 3.2.3. Mệnh đề: Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó ∑ deg(v) . 2|E| = v∈V Chứng minh: Rõ ràng mỗi cạnh e = (u,v) được tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v). Từ đó suy ra tổng tất cả các bậc của các đỉnh bằng hai lần số cạnh. 3.2.4. Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của một đồ thị là một số chẵn. Chứng minh: Gọi V1 và V2 tương ứng là tập các đỉnh bậc chẵn và tập các đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = (V, E). Khi đó 2|E| = ∑ deg(v) ∑ deg( v) + v∈V1 v∈V2 Vế trái là một số chẵn và tổng thứ nhất cũng là một số chẵn nên tổng thứ hai là một số chẵn. Vì deg(v) là lẻ với mọi v ∈ V2 nên |V2| là một số chẵn. 3.2.5. Mệnh đề: Trong một đơn đồ thị, luôn tồn tại hai đỉnh có cùng bậc. Chứng minh: Xét đơn đồ thị G=(V,E) có |V|=n. Khi đó phát biểu trên được đưa về bài toán: trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau (xem Thí dụ 6 của 2.2.3). 3.2.6. Định nghĩa: Đỉnh u được gọi là nối tới v hay v được gọi là được nối từ u trong đồ thị có hướng G nếu (u,v) là một cung của G. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu và đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cung này. 3.2.7. Định nghĩa: Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G, ký hiệu degt(v) (t.ư. dego(v)), là số các cung có đỉnh cuối là v. Thí dụ 5: v2 v3 v1 v4 v5 v6 degt(v1) = 2, dego(v1) = 3, degt(v2) = 5, dego(v2) = 1, degt(v3) = 2, dego(v3) = 4, degt(v4) = 1, deg0(v4) = 3, degt(v5) = 1, dego(v5) = 0, degt(v6) = 0, dego(v6) = 0. Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo. 40
- 3.2.8. Mệnh đề: Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó ∑ deg t (v) = ∑ deg o (v) = |E|. v∈V v∈V Chứng minh: Kết quả có ngay là vì mỗi cung được tính một lần cho đỉnh đầu và một lần cho đỉnh cuối. 3.3. NHỮNG ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT. 3.3.1. Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là Kn, là đơn đồ thị mà hai đỉnh n(n − 1) phân biệt bất kỳ của nó luôn liền kề. Như vậy, Kn có cạnh và mỗi đỉnh của 2 v1 v2 Kn có bậc là n−1. v1 v1 Thí dụ 6: v1 v5 v3 v1 v2 v4 v2 v1 v3 v2 K1 K2 V4 v3 K3 K4 K5 3.3.2. Đồ thị vòng: Đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, ..., vn (n≥ 3) và n cạnh (v1,v2), (v2,v3), ..., (vn-1,vn), (vn,v1) được gọi là đồ thị vòng, ký hiệu là Cn. Như vậy, mỗi đỉnh của Cn có v1 v1 bậc là 2. Thí dụ 7: v v v v v v5 v2 1 1 2 6 2 v5 v3 v3 v2 v4 v3 v4 v3 v C3 C4 C5 C6 4 3.3.3. Đồ thị bánh xe:Từ đồ thị vòng Cn, thêm vào đỉnh vn+1 và các cạnh (vn+1,v1), (vn+1,v2), ..., (vn+1,vn), ta nhận được đơn đồ thị gọi là đồ thị bánh xe, ký hiệu là W n. Như vậy, đồ thị Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, một đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3. v1 v1 Thí dụ 8: v v1 v2 v6 v2 v5 v2 1 v7 v6 v5 v4 v5 v3 v3 v2 v4 v3 v4 v3 v4 W3 W4 W5 W6 3.3.4. Đồ thị lập phương: Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh này chỉ 41
- khác nhau đúng một bit được gọi là đồ thị lập phương, ký hiệu là Qn. Như vậy, mỗi đỉnh của Qn có bậc là n và số cạnh của Qn là n.2n-1 (từ công thức 2|E| = ∑ deg(v) ). v∈V 110 111 Thí dụ 9: 10 11 100 101 0 1 00 01 Q1 Q2 011 010 001 000 Q3 3.3.5. Đồ thị phân đôi (đồ thị hai phe): Đơn đồ thị G=(V,E) sao cho V=V1∪V2, V1∩V2=∅, V1≠∅ , V2≠∅ và mỗi cạnh của G được nối một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được gọi là đồ thị phân đôi. Nếu đồ thị phân đôi G=(V1∪V2,E) sao cho với mọi v1∈V1, v2∈V2, (v1,v2)∈E thì G được gọi là đồ thị phân đôi đầy đủ. Nếu |V1|=m, |V2|=n thì đồ thị phân đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n. Như vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh của V1 có bậc n và các đỉnh của V2 có bậc m. Thí dụ 10: v1 v2 v1 v2 v3 v3 v4 v5 v6 v4 v5 v6 K2,4 K3,3 3.3.6. Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt: 1) Các mạng cục bộ (LAN): Một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hình sao, trong đó tất cả các thiết bị được nối với thiết bị điều khiển trung tâm. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị phân đôi đầy đủ K1,n. Các thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác đều phải qua thiết bị điều khiển trung tâm. Mạng cục bộ cũng có thể có cấu trúc vòng tròn, trong đó mỗi thiết bị nối với đúng hai thiết bị khác. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị vòng Cn. Thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác được truyền đi theo vòng tròn cho tới khi đến nơi nhận. v2 v3 v4 v1 v2 v2 v3 v8 v3 v9 v4 v5 v1 v6 v1 v7 v4 v8 v5 v7 v8 v9 v6 v542 v6
- v7 Cấu trúc hình sao Cấu trúc vòng tròn Cấu trúc hỗn hợp Cuối cùng, một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hỗn hợp của hai cấu trúc trên. Các thông báo được truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua thiết bị trung tâm. Sự dư thừa này có thể làm cho mạng đáng tin cậy hơn. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một đồ thị bánh xe Wn. 2) Xử lý song song: Các thuật toán để giải các bài toán được thiết kế để thực hiện một phép toán tại mỗi thời điểm là thuật toán nối tiếp. Tuy nhiên, nhiều bài toán với số lượng tính toán rất lớn như bài toán mô phỏng thời tiết, tạo hình trong y học hay phân tích mật mã không thể giải được trong một khoảng thời gian hợp lý nếu dùng thuật toán nối tiếp ngay cả khi dùng các siêu máy tính. Ngoài ra, do những giới hạn về mặt vật lý đối với tốc độ thực hiện các phép toán cơ sở, nên thường gặp các bài toán không thể giải trong khoảng thời gian hợp lý bằng các thao tác nối tiếp. Vì vậy, người ta phải nghĩ đến kiểu xử lý song song. Khi xử lý song song, người ta dùng các máy tính có nhiều bộ xử lý riêng biệt, mỗi bộ xử lý có bộ nhớ riêng, nhờ đó có thể khắc phục được những hạn chế của các máy nối tiếp. Các thuật toán song song phân chia bài toán chính thành một số bài toán con sao cho có thể giải đồng thời được. Do vậy, bằng các thuật toán song song và nhờ việc sử dụng các máy tính có bộ đa xử lý, người ta hy vọng có thể giải nhanh các bài toán phức tạp. Trong thuật toán song song có một dãy các chỉ thị theo dõi việc thực hiện thuật toán, gửi các bài toán con tới các bộ xử lý khác nhau, chuyển các thông tin vào, thông tin ra tới các bộ xử lý thích hợp. Khi dùng cách xử lý song song, mỗi bộ xử lý có thể cần các thông tin ra của các bộ xử lý khác. Do đó chúng cần phải được kết nối với nhau. Người ta có thể dùng loại đồ thị thích hợp để biểu diễn mạng kết nối các bộ xử lý trong một máy tính có nhiều bộ xử lý. Kiểu mạng kết nối dùng để thực hiện một thuật toán song song cụ thể phụ thuộc vào những yêu cầu với việc trao đổi dữ liệu giữa các bộ xử lý, phụ thuộc vào tốc độ mong muốn và tất nhiên vào phần cứng hiện có. Mạng kết nối các bộ xử lý đơn giản nhất và cũng đắt nhất là có các liên kết hai chiều giữa mỗi cặp bộ xử lý. Các mạng này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ K n, trong đó n là số bộ xử lý. Tuy nhiên, các mạng liên kết kiểu này có số kết nối quá nhiều mà trong thực tế số kết nối cần phải có giới hạn. Các bộ xử lý có thể kết nối đơn giản là sắp xếp chúng theo một mảng một chiều. Ưu điểm của mảng một chiều là mỗi bộ xử lý có nhiều nhất 2 đường nối trực tiếp với các bộ xử lý khác. Nhược điểm là nhiều khi cần có rất nhiều các kết nối trung gian để các bộ xử lý trao đổi thông tin với nhau. P1 P3 43
- P2 P4 P5 P6 Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) rất hay được dùng cho các mạng liên kết. Trong một mạng như thế, số các bộ xử lý là một số chính phương, n=m2. Các bộ xử lý được gán nhãn P(i,j), 0 ≤ i, j ≤ m− Các kết nối hai chiều sẽ nối bộ xử lý P(i,j) 1. với bốn bộ xử lý bên cạnh, tức là với P(i,j± 1) và P(i± 1,j) chừng nào các bộ xử lý còn ở trong lưới. P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối. Với các mạng loại này số các bộ xử lý là luỹ thừa của 2, n=2m. Các bộ xử lý được gán nhãn là P0, P1, ..., Pn-1. Mỗi bộ xử lý có liên kết hai chiều với m bộ xử lý khác. Bộ xử lý Pi nối với bộ xử lý có chỉ số biểu diễn bằng dãy nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i tại đúng một bit. Mạng kiểu siêu khối cân bằng số các kết nối trực tiếp của mỗi bộ xử lý và số các kết nối gián tiếp sao cho các bộ xử lý có thể truyền thông được. Nhiều máy tính đã chế tạo theo mạng kiểu siêu khối và nhiều thuật toán đã được thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối. Đồ thị lập phương Qm biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2m bộ xử lý. P4 P0 P1 P2 P3 P5 P6 P7 3.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ: 3.4.1. Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với V={v1,v2,..., vn}. Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v1,v2,..., vn là ma trận A= (aij )1≤i , j ≤n ∈ M (n, Z ) , trong đó aij là số cạnh hoặc cung nối từ vi tới vj. Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối xứng, nghĩa aij = a ji , trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có hướng không có tính đối là xứng. Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4 là: v1 v2 44 v4 v3
- 0 2 3 0 3 0 1 1 0 2 1 1 2 0 1 2 Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 là: 1 1 0 1 1 v1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 v5 v2 0 0 2 0 1 1 1 0 1 0 v4 v3 3.4.2. Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v1, v2, ..., vn là các đỉnh và e1, e2, ..., em là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là ma trận ∈ M ( n × m, Z ) (m ) M= ij 1≤ij≤n , 1≤ ≤ m mij bằng 1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi và bằng 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi. Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự các đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 và các cạnh e1, e2, e3, e4, e5, e6 là: e6 v2 v3 v1 1 1 0 0 0 0 e3 e4 0 0 1 1 0 1 e5 e1 0 0 0 0 1 1 e2 v4 v5 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 3.4.3. Định nghĩa: Các đơn đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một song ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh u và v là liền kề trong G1 khi và chỉ khi f(u) và f(v) là liền kề trong G2 với mọi u và v trong V1. Ánh xạ f như thế gọi là một phép đẳng cấu. Thông thường, để chứng tỏ hai đơn đồ thị là không đẳng cấu, người ta chỉ ra chúng không có chung một tính chất mà các đơn đồ thị đẳng cấu cần phải có. Tính chất như thế gọi là một bất biến đối với phép đẳng cấu của các đơn đồ thị. Thí dụ 13: 1) Hai đơn đồ thị G1 và G2 sau là đẳng cấu qua phép đẳng cấu f: a ấ x, b x u, c u z, d z v, e v y: a u z v b 45 c e d
- y x G1 G2 2) Hai đồ thị G1 và G2 sau đều có 5 đỉnh và 6 cạnh nhưng không đẳng cấu vì trong G1 có một đỉnh bậc 4 mà trong G2 không có đỉnh bậc 4 nào. 3) Hai đồ thị G1 và G2 sau đều có 7 đỉnh, 10 cạnh, cùng có một đỉnh bậc 4, bốn đỉnh bậc 3 và hai đỉnh bậc 2. Tuy nhiên G1 và G2 là không đẳng cấu vì hai đỉnh bậc 2 của G1 (a và d) là không kề nhau, trong khi hai đỉnh bậc 2 của G2 (y và z) là kề nhau. b c v x w a h d u y g e t z G1 G2 4) Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay không? u1 u2 v1 v3 v2 u5 u6 v6 u4 u3 v5 v4 G1 G2 Hai đồ thị G1 và G2 là đẳng cấu vì hai ma trận liền kề của G1 theo thứ tự các đỉnh u1, u2, u3, u4, u5, u6 và của G2 theo thứ tự các đỉnh v6, v3, v4, v5, v1, v2 là như nhau và bằng: 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 46
- 3.5. CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ. 3.5.1. Định nghĩa: Cho hai đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2). Ta nói G2 là đồ thị con của G1 nếu V2 ⊂ V1 và E2 ⊂ E1. Trong trường hợp V1=V2 thì G2 gọi là con bao trùm của G1. Thí dụ 14: a d a a d a d e e c b b c b c b c G G1 G2 G3 a d a d e b c b c G4 G5 G1, G2, G3 và G4 là các đồ thị con của G, trong đó G2 và G4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G5 không phải là đồ thị con của G. 3.5.2. Định nghĩa: Hợp của hai đơn đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V1 ∪ V2 và tập các cạnh là E1 ∪ E2, ký hiệu là G1 ∪ G2. Thí dụ 15: x y z x y z x y z u v u w u v w G1∪G2 G1 G2 3.5.3. Định nghĩa: Đơn đồ thị G’=(V,E’) được gọi là đồ thị bù của đơn đồ thị G=(V,E) nếu G và G’ không có cạnh chung nào (E ∩ E’=∅) và G ∪ G’là đồ thị đầy đủ. Dễ thấy rằng nếu G’ là bù của G thì G cũng là bù của G’. Khi đó ta nói hai đồ thị là bù nhau. Thí dụ 16: x x x y x y v y v y u v u v u z u z G’ G G1’ G1 Hai đồ thị G’ và G là bù nhau và hai đồ thị G1 và G1’ là bù nhau. 3.6. TÍNH LIÊN THÔNG. 47
- 3.6.1. Định nghĩa: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương, trong đồ thị (giả đồ thị vô hướng hoặc đa đồ thị có hướng) G=(V,E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2, ..., en của đồ thị sao cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ...,en=(xn-1,xn), với x0=u và xn=v. Khi đồ thị không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh x0, x1, ..., xn. Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Đường đi hoặc chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung) quá một lần. Một đường đi hoặc chu trình không đi qua đỉnh nào quá một lần (trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối của chu trình là trùng nhau) được gọi là đường đi hoặc chu trình sơ cấp. Rõ ràng rằng một đường đi (t.ư. chu trình) sơ cấp là đường đi (t.ư. chu trình) đơn. Thí dụ 17: x y z w v u Trong đơn đồ thị trên, x, y, z, w, v, y là đường đi đơn (không sơ cấp) độ dài 5; x, w, v, z, y không là đường đi vì (v, z) không là cạnh; y, z, w, x, v, u, y là chu trình sơ cấp độ dài 6. 3.6.2. Định nghĩa: Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị. Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung. Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét. Như vậy, một đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông. Thí dụ 18: b a x y g k z u w d c i h l t v G G’ Đồ thị G là liên thông, nhưng đồ thị G’ không liên thông và có 3 thành phần liên thông. 3.6.3. Định nghĩa: Một đỉnh trong đồ thị G mà khi xoá đi nó và tất cả các cạnh liên thuộc với nó ta nhận được đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị G được gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp. Việc xoá đỉnh cắt khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị con không liên thông. Hoàn toàn tương tự, một cạnh mà khi ta bỏ nó 48
- đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần liên thông hơn so với đồ thị xuất phát được gọi là cạnh cắt hay là cầu. Thí dụ 19: x y z u v w s t Trong đồ thị trên, các đỉnh cắt là v, w, s và các cầu là (x,v), (w,s). 3.6.4. Mệnh đề: Giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của một đồ thị liên thông luôn có đường đi sơ cấp. Chứng minh: Giả sử u và v là hai đỉnh phân biệt của một đồ thị liên thông G. Vì G liên thông nên có ít nhất một đường đi giữa u và v. Gọi x0, x1, ..., xn, với x0=u và xn=v, là dãy các đỉnh của đường đi có độ dài ngắn nhất. Đây chính là đường đi sơ cấp cần tìm. Thật vậy, giả sử nó không là đường đi đơn, khi đó xi=xj với 0 ≤ i < j. Điều này có nghĩa là giữa các đỉnh u và v có đường đi ngắn hơn qua các đỉnh x0, x1, ..., xi-1, xj, ..., xn nhận được bằng cách xoá đi các cạnh tương ứng với dãy các đỉnh xi, ..., xj-1. 3.6.5. Mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) có tổng bậc của hai đỉnh tuỳ ý không nhỏ hơn n đều là đồ thị liên thông. Chứng minh: Cho đơn đồ thị G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 2) và thoả mãn yêu cầu của bài toán. Giả sử G không liên thông, tức là tồn tại hai đỉnh u và v sao cho không có đường đi nào nối u và v. Khi đó trong đồ thị G tồn tại hai thành phần liên thông là G1 có n1 đỉnh và chứa u, G2 chứa đỉnh v và có n2 đỉnh. Vì G1, G2 là hai trong số các thành phần liên thông của G nên n1+n2 ≤ n. ta có: deg(u)+deg(v) ≤ (n1 − 1)+(n2 − 1) = n1+n2− ≤ n−
- Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử đỉnh x là điểm khớp trong đồ thị G. Khi đó đồ thị con G1 của G nhận được bằng cách xoá x và các cạnh liên thuộc với nó là không liên thông. Giả sử G2, G3 là hai trong các thành phần liên thông của G1. Lấy u là đỉnh trong G2 và v là đỉnh trong G3. Do u, v thuộc hai thành phần liên thông khác nhau, nên trong G1 các đỉnh u, v không liên thông. Nhưng trong G các đỉnh u, v lại liên thông, nên mọi đường đi nối u, v đều phải đi qua đỉnh x. Điều kiện đủ: Giả sử mọi đường đi nối u, v đều đi qua đỉnh x, nên nếu bỏ đỉnh x và các cạnh liên thuộc với x thì đồ thị con G1 nhận được từ G chứa hai đỉnh u, v không liên thông. Do đó G1 là đồ thị không liên thông hay đỉnh x là điểm khớp của G. 3.6.9. Định lý: Cho G là một đơn đồ thị có n đỉnh, m cạnh và k thành phần liên thông. Khi đó (n − k )(n − k + 1) n−k ≤ m≤ . 2 Chứng minh: Bất đẳng thức n − k ≤ m được chứng minh bằng quy nạp theo m. Nếu m=0 thì k=n nên bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng đến m− với m ≥ 1. 1, Gọi G’ là đồ thị con bao trùm của G có số cạnh m0 là nhỏ nhất sao cho nó có k thành phần liên thông. Do đó việc loại bỏ bất cứ cạnh nào trong G’ cũng tăng số thành phần liên thông lên 1 và khi đó đồ thị thu được sẽ có n đỉnh, k+1 thành phần liên thông và m0− cạnh. Theo giả thiết quy nạp, ta có m0− ≥ n− (k+1) hay m0 ≥ n− Vậy m ≥ n-k. 1 1 k. Bổ sung cạnh vào G để nhận được đồ thị G’’ có m1 cạnh sao cho k thành phần liên thông là những đồ thị đầy đủ. Ta có m ≤ m1 nên chỉ cần chứng minh (n − k )(n − k + 1) m1 ≤ . 2 Giả sử Gi và Gj là hai thành phần liên thông của G’’ với ni và nj đỉnh và ni ≥ nj >1 (*). Nếu ta thay Gi và Gj bằng đồ thị đầy đủ với ni+1 và nj− đỉnh thì tổng số đỉnh không 1 thay đổi nhưng số cạnh tăng thêm một lượng là: (ni + 1)ni ni (ni − 1) n j (n j − 1) (n j − 1)(n j − 2) − − − = ni − n j + 1 . 2 2 2 2 Thủ tục này được lặp lại khi hai thành phần nào đó có số đỉnh thoả (*). Vì vậy m 1 là lớn nhất (n, k là cố định) khi đồ thị gồm k-1 đỉnh cô lập và một đồ thị đầy đủ với n- k+1 đỉnh. Từ đó suy ra bất đẳng thức cần tìm. 3.6.10. Định nghĩa: Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v và đường đi từ v tới u. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng nền của nó là liên thông. Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v hoặc đường đi từ v tới u. 50
- Thí dụ 20: u v w u v w x x y s t y s t G G’ Đồ thị G là liên thông mạnh nhưng đồ thị G’ là liên thông yếu (không có đường đi từ u tới x cũng như từ x tới u). 3.6.11. Mệnh đề: Cho G là một đồ thị (vô hướng hoặc có hướng) với ma trận liền kề A theo thứ tự các đỉnh v1, v2, ..., vn. Khi đó số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj trong đó r là một số nguyên dương, bằng giá trị của phần tử dòng i cột j của ma trận Ar. Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo r. Số các đường đi khác nhau độ dài 1 từ vi tới vj là số các cạnh (hoặc cung) từ vi tới vj, đó chính là phần tử dòng i cột j của ma trận A; nghĩa là, mệnh đề đúng khi r=1. Giả sử mệnh đề đúng đến r; nghĩa là, phần tử dòng i cột j của A r là số các đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vj. Vì Ar+1=Ar.A nên phần tử dòng i cột j của Ar+1 bằng bi1a1j+bi2a2j+ ... +binanj, trong đó bik là phần tử dòng i cột k của Ar. Theo giả thiết quy nạp bik là số đường đi khác nhau độ dài r từ vi tới vk. Đường đi độ dài r+1 từ vi tới vj sẽ được tạo nên từ đường đi độ dài r từ vi tới đỉnh trung gian vk nào đó và một cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj. Theo quy tắc nhân số các đường đi như thế là tích của số đường đi độ dài r từ v i tới vk, tức là bik, và số các cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj, tức là akj. Cộng các tích này lại theo tất cả các đỉnh trung gian vk ta có mệnh đề đúng đến r+1. BÀI TẬP CHƯƠNG III: 1. Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn M, m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh của G. Chứng tỏ rằng 2e m≤ ≤ M. v 2. Chứng minh rằng nếu G là đơn đồ thị phân đôi có v đỉnh và e cạnh, khi đó e ≤ v2/4. 3. Trongmột phương án mạng kiểu lưới kết nối n=m2 bộ xử lý song song, bộ xử lý P(i,j) được kết nối với 4 bộ xử lý (P(i± 1) mod m, j), P(i, (j± 1) mod m), sao cho các kết 51
- nối bao xung quanh các cạnh của lưới. Hãy vẽ mạng kiểu lưới có 16 bộ xử lý theo phương án này. 4. Hãy vẽ các đồ thị vô hướng được biểu diễn bởi ma trận liền kề sau: 0 4 1 3 0 1 1 2 0 1 2 3 1 2 1 3 0 2 0 3 0 a) 2 0 4 , b) , c) 3 1 . 1 1 0 0 1 3 1 3 4 0 0 2 3 0 0 1 0 0 1 4 3 0 1 2 5. Nêu ý nghĩa của tổng các phần tử trên một hàng (t.ư. cột) của một ma trận liền kề đối với một đồ thị vô hướng ? Đối với đồ thị có hướng ? 6. Tìm ma trận liền kề cho các đồ thị sau: a) Kn , b) Cn, c) Wn , d) Km,n , e) Qn. 7. Có bao nhiêu đơn đồ thị không đẳng cấu với n đỉnh khi: a) n=2, b) n=3, c) n=4. 8. Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đây có là đẳng cấu không? 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 1 . 1 1 1 0 1 1 1 0 9. Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau đây có là đẳng cấu không? 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 , . 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 10. Các đồ thị G và G’ sau có đẳng cấu với nhau không? a) u1 v1 v2 u2 v5 v6 u3 u4 v4 v3 u6 u5 b) u3 u1 u2 v1 v2 v6 v3 u4 u5 52 v5 v4
- u6 11. Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chương 4: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu
10 p |
124 |
60
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 3: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
30 p |
122 |
37
-
Chương III: Đồ thị phẳng
0 p |
113 |
35
-
Bài giảng Toán rời rạc - Chương 4: Đồ thị
114 p |
93 |
30
-
Lý thuyết đồ thị (Nguyễn Thanh Sơn) - chương 4 ĐỒ THỊ PHẲNG
24 p |
103 |
19
-
Giáo trình Toán rời rạc: Phần 1 - Đỗ Đức Giáo
238 p |
48 |
19
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị
21 p |
41 |
14
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 1 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
56 p |
51 |
12
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
36 p |
60 |
11
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 2 - ThS. Nguyễn Khắc Quốc
37 p |
50 |
8
-
Đồ thị và các thuật toán - Chương 6
24 p |
38 |
7
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 3 - Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton
19 p |
40 |
5
-
CHƯƠNG I: ĐỒ THỊ
39 p |
27 |
4
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 3: Đồ thị phẳng
9 p |
18 |
4
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị - ĐH Hàng Hải
35 p |
17 |
2
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 4 - Nguyễn Trần Phi Phượng
13 p |
23 |
2
-
Bài giảng Chương 7: Đồ thị và các thuật toán đồ thị
0 p |
12 |
2

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=ifk5slq5qq8j2argltq1occej4; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
TOP 5 Đồng Hồ Đo Lưu Lượng Nước Uy Tín Nhất Hiện NayAdmin Thiết Bị Công Nghiệp
Bạn đang cần tìm đồng hồ đo lưu lượng nước để phục vụ cho công trình bạn đang thi công? Bạn chưa biết lựa chọn thương hiệu đồng hồ đo nước nào giữa vô số thương hiệu đồng hồ nước trên thị trường. Bài viết hôm nay, chúng tôi [...]

markdown:
[TOP 5 Đồng Hồ Đo Lưu Lượng Nước Uy Tín Nhất Hiện Nay](https://thietbicongnghiepaz.com/cac-loai-dong-ho-nuoc/) [Admin Thiết Bị Công Nghiệp](https://thietbicongnghiepaz.com/author/admin/)
Bạn đang cần tìm đồng hồ đo lưu lượng nước để phục vụ cho công trình bạn đang thi công? Bạn chưa biết lựa chọn thương hiệu đồng hồ đo nước nào giữa vô số thương hiệu đồng hồ nước trên thị trường. Bài viết hôm nay, chúng tôi [...]

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

Server: LiteSpeed

Connection: close

Accept-Ranges: bytes

Cache-Control: public, max-age=2592000

Vary: Cookie,Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1
Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1. Mọi người hay nói rằng tháng một là “Thời điểm vàng” để đi du lịch bởi lẽ tháng 1 tính theo lịch dương là thời điểm bắt đầu một năm còn tính theo tháng âm đây lại là kết thúc của một năm. Cả 2 cách tính đều ủng hộ cho một chuyến du lịch lý tưởng một là “ Lời chào cho một năm mới thuận lợi, may mắn” một là “Lời tạm biệt cho năm cũ vơi nhiều may mắn, thành công”. Vậy tháng 1 nên đi du lịch ở đâu? Sau đây Tìm chuyến bay chúng tôi xin gợi ý cho quý khách Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1.
Mộc Châu
Mộc Châu mỗi mùa lại vẻ đẹp khác nhau. Tuy nhiên thời điểm đẹp nhất là tháng 1 thời điểm trước tết Âm lịch vì khoảng thời gian này hoa đào, hoa mận ở Mộc Châu bắt đầu nở. Khi cái lạnh giá của mùa đông vừa qua đi những ánh nắng ấm áp dịu nhẹ của mùa xuân đến cũng là lúc những cành hoa đào, hoa mận đua nhau khoe sắc bên những sườn đồi hay lối vào những bản làng nhỏ.
Đến đây bạn sẽ được chiêm ngưỡng một cảnh sắc thiên nhiên đẹp thơ mộng, quyến rũ tựa như một bức tranh thủy mặc làm say đắm lòng người. Bạn đừng quên đến Tân Lập thăm đồi chè hình trái tim, thăm những cánh đồng hoa đào hoa mận bạt ngàn, hay khám khá Bản Pà Cò, bản Lóng Luông những bản làng đơn sơ với những con người chân thành mộc mạc ngắm nhìn những đứa trẻ nô đùa dưới cành đào, càng mận, đặc biệt tham quan những danh lam thắng cảnh nổi tiếng Mộc Châu như Thác Dải Yếm, đỉnh Pha Luông, hang Dơi, rừng thông Bản Áng…
Sapa – điểm đến cho các cặp đôi
Sapa từ lâu đã hấp dẫn du khách bởi cảnh sắc thiên nhiên hùng vĩ và thơ mộng. Tuy nhiên lên thăm Sapa vào những ngày đầu xuân quý khách sẽ càng bị thu hút bởi bông hoa anh đào nở rộ. Đây có thể là một trong những điểm hẹn lý tưởng cho những cặp đôi đang yêu, địa điểm hưởng tuần trăng mật cho những cặp vợ chồng mới cưới.
Đến SaPa bạn có thể hòa mình vào phiên chợ tình SaPa vào tối thứ 7 nơi gặp gỡ vào giao lưu của các chàng trai cô gái miền Sơn cước với những tiếng khèn, câu hát, điệu múa làm say đắm lòng người. Tháng 1 bạn cũng tham gia vào lễ hội nhảy lửa đặc trưng của người Dao đỏ xã Tả Phìn- SaPa.
Đà Lạt mộng mơ
Đà lạt tháng 1 sẽ làm xao xuyến biết bao trái tim du khách bởi sắc hồng dịu dàng của những khóm mai anh đào phố núi. Còn gì tuyệt vời hơn khi tản bộ dọc theo những con đường Đà Lạt trong không khí mát dịu trong lành và thả hồn ngắm những cành anh đào nở rộ đẹp như một bức tranh.
Thời điểm này đến Đà Lạt bạn sẽ cảm nhận không khí chuẩn bị đón Tết rộn ràng của thị trấn cao nguyên với vô vàn những khóm hoa, chậu hoa rực rỡ được người dân chuẩn bị để cung cấp cho khắp mọi nơi trong ngày Chợ hoa Tết. Đặt vé máy bay đi Đà Lạt ngay hôm nay để tận hưởng không khí mát mẻ, trong lành của thành phố ngàn hoa này nhé!
Ngắm mùa cao su thay lá ở Đông Nam Bộ
Cứ vào độ cuối đông đầu xuân từ tháng 1 đến tháng 3, miền đất phương Nam lại khoác lên mình màu áo đỏ của những cánh rừng cao su thay lá. Đến phương Nam vào thời gian này, du khách như lạc vào không gian cổ tích, với những lớp lá vàng rụng khẽ xào xạc trong gió. Đây cũng là địa điểm thích hợp cho những bạn trẻ chụp ảnh cưới.
Làng hoa Tân Quy Đông
Làng hoa Tân Quy Đông thuộc thành phố Sa Đéc tỉnh Đồng Tháp đây là nơi cung cấp hoa và cây kiểng cho khu vực miền Nam.Vào tháng 1 khi Tết Nguyên đán đến gần là lúc người dân chuẩn bị những chậu hoa, cây kiểng đẹp nhất để phục vụ bà con chơi Tết. Bạn sẽ được thỏa thích ngắm những chậu hoa với nhiều chủng loài, màu sắc, hương thơm. Bạn sẽ có cảm giác được đón Tết trước mọi người ở nơi khác, hòa mình trong những cánh đồng hoa rộng bạt ngàn hay chụp cho mình những bộ ảnh kỉ niệm đẹp nhất
Vé máy bay giá rẻ khuyến mãi mua thế nào ?
Nếu không có thời gian để săn tìm những chiếc vé máy bay giá rẻ, vé máy bay khuyến mãi thì hãy gọi chúng tôi, đội booker chuyên nghiệp Tìm chuyến bay. Bạn sẽ được tư vấn nhiệt tình các thủ tục đặt vé, giữ chỗ, mua thêm hành lý cũng như các thắc mắc khác mà bạn đang gặp phải khi tìm kiếm thông tin trên hãng nhưng chưa thấy. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là việc cung cấp thông tin chính xác cũng như kế hoạch du lịch hợp lý cho gia đình bạn, tránh trường hợp giữ chỗ khống, một điều nghiêm cấm ở các hãng hàng không.
Tìm chuyến bay – App vé máy bay 48 Nguyễn Cửu Vân, P.17, Q. Bình Thạnh, TP.HCM
Tìm chuyến bay – App vé máy bay
48 Nguyễn Cửu Vân, P.17, Q. Bình Thạnh, TP.HCM
Bài viết liên quan
- Vé máy bay giá rẻ Đà Nẵng đi Đà Lạt
- Vé máy bay Huế Sài Gòn
- Vé máy bay đi Huế giá rẻ 299k
- Vietjet khuyến mãi vé máy bay giá rẻ 0 đồng
- Vé máy bay đi Vinh giá rẻ
- Vé máy bay đi Hải Phòng khám phá Hòn Dấu
- Siêu khuyến mãi vé máy bay Vietnam Airlines 399k
- Vé máy bay đi Đà Nẵng khám phá Hội An
- Giá vé máy bay Vietjet đi Đà Nẵng

markdown:
# Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1
Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1. Mọi người hay nói rằng tháng một là “Thời điểm vàng” để đi du lịch bởi lẽ tháng 1 tính theo lịch dương là thời điểm bắt đầu một năm còn tính theo tháng âm đây lại là kết thúc của một năm. Cả 2 cách tính đều ủng hộ cho một chuyến du lịch lý tưởng một là “ Lời chào cho một năm mới thuận lợi, may mắn” một là “Lời tạm biệt cho năm cũ vơi nhiều may mắn, thành công”. Vậy tháng 1 nên đi du lịch ở đâu? Sau đây
** chúng tôi xin gợi ý cho quý khách Những địa điểm lý tưởng du lịch tháng 1. Tìm chuyến bay**
## Mộc Châu
Mộc Châu mỗi mùa lại vẻ đẹp khác nhau. Tuy nhiên thời điểm đẹp nhất là tháng 1 thời điểm trước tết Âm lịch vì khoảng thời gian này hoa đào, hoa mận ở Mộc Châu bắt đầu nở. Khi cái lạnh giá của mùa đông vừa qua đi những ánh nắng ấm áp dịu nhẹ của mùa xuân đến cũng là lúc những cành hoa đào, hoa mận đua nhau khoe sắc bên những sườn đồi hay lối vào những bản làng nhỏ.
![Mùa hoa mận nở rộ ở Mộc Châu Mùa hoa mận nở rộ ở Mộc Châu](https://timchuyenbay.com/assets/uploads/2017/02/moc-chau-mua-hoa-man.jpg)
Mùa hoa mận nở rộ ở Mộc Châu
Đến đây bạn sẽ được chiêm ngưỡng một cảnh sắc thiên nhiên đẹp thơ mộng, quyến rũ tựa như một bức tranh thủy mặc làm say đắm lòng người. Bạn đừng quên đến Tân Lập thăm đồi chè hình trái tim, thăm những cánh đồng hoa đào hoa mận bạt ngàn, hay khám khá Bản Pà Cò, bản Lóng Luông những bản làng đơn sơ với những con người chân thành mộc mạc ngắm nhìn những đứa trẻ nô đùa dưới cành đào, càng mận, đặc biệt tham quan những danh lam thắng cảnh nổi tiếng Mộc Châu như Thác Dải Yếm, đỉnh Pha Luông, hang Dơi, rừng thông Bản Áng…
## Sapa – điểm đến cho các cặp đôi
Sapa từ lâu đã hấp dẫn du khách bởi cảnh sắc thiên nhiên hùng vĩ và thơ mộng. Tuy nhiên lên thăm Sapa vào những ngày đầu xuân quý khách sẽ càng bị thu hút bởi bông hoa anh đào nở rộ. Đây có thể là một trong những điểm hẹn lý tưởng cho những cặp đôi đang yêu, địa điểm hưởng tuần trăng mật cho những cặp vợ chồng mới cưới.
![Hoa anh đào Sapa Hoa anh đào Sapa](https://timchuyenbay.com/assets/uploads/2017/02/hoa-anh-dao-sapa.jpg)
Hoa anh đào Sapa
Đến SaPa bạn có thể hòa mình vào phiên chợ tình SaPa vào tối thứ 7 nơi gặp gỡ vào giao lưu của các chàng trai cô gái miền Sơn cước với những tiếng khèn, câu hát, điệu múa làm say đắm lòng người. Tháng 1 bạn cũng tham gia vào lễ hội nhảy lửa đặc trưng của người Dao đỏ xã Tả Phìn- SaPa.
** Đà Lạt mộng mơ**
Đà lạt tháng 1 sẽ làm xao xuyến biết bao trái tim du khách bởi sắc hồng dịu dàng của những khóm mai anh đào phố núi. Còn gì tuyệt vời hơn khi tản bộ dọc theo những con đường Đà Lạt trong không khí mát dịu trong lành và thả hồn ngắm những cành anh đào nở rộ đẹp như một bức tranh.
![Anh đào nở hồng thắm các con đường Anh đào nở hồng thắm các con đường](https://timchuyenbay.com/assets/uploads/2017/02/hoa-anh-dao-da-lat.jpg)
Anh đào nở hồng thắm các con đường
Thời điểm này đến Đà Lạt bạn sẽ cảm nhận không khí chuẩn bị đón Tết rộn ràng của thị trấn cao nguyên với vô vàn những khóm hoa, chậu hoa rực rỡ được người dân chuẩn bị để cung cấp cho khắp mọi nơi trong ngày Chợ hoa Tết. Đặt
[ ngay hôm nay để tận hưởng không khí mát mẻ, trong lành của thành phố ngàn hoa này nhé! vé máy bay đi Đà Lạt](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-noi-dia/ve-may-bay-di-da-lat.html) ** Ngắm mùa cao su thay lá ở Đông Nam Bộ**
Cứ vào độ cuối đông đầu xuân từ tháng 1 đến tháng 3, miền đất phương Nam lại khoác lên mình màu áo đỏ của những cánh rừng cao su thay lá. Đến phương Nam vào thời gian này, du khách như lạc vào không gian cổ tích, với những lớp lá vàng rụng khẽ xào xạc trong gió. Đây cũng là địa điểm thích hợp cho những bạn trẻ chụp ảnh cưới.
**Làng hoa Tân Quy Đông**
Làng hoa Tân Quy Đông thuộc thành phố Sa Đéc tỉnh Đồng Tháp đây là nơi cung cấp hoa và cây kiểng cho khu vực miền Nam.Vào tháng 1 khi Tết Nguyên đán đến gần là lúc người dân chuẩn bị những chậu hoa, cây kiểng đẹp nhất để phục vụ bà con chơi Tết. Bạn sẽ được thỏa thích ngắm những chậu hoa với nhiều chủng loài, màu sắc, hương thơm. Bạn sẽ có cảm giác được đón Tết trước mọi người ở nơi khác, hòa mình trong những cánh đồng hoa rộng bạt ngàn hay chụp cho mình những bộ ảnh kỉ niệm đẹp nhất
**Vé máy bay giá rẻ khuyến mãi mua thế nào ?**
Nếu không có thời gian để săn tìm những chiếc
[, vé máy bay khuyến mãi thì hãy gọi chúng tôi, đội booker chuyên nghiệp Tìm chuyến bay. Bạn sẽ được tư vấn nhiệt tình các thủ tục đặt vé, giữ chỗ, mua thêm hành lý cũng như các thắc mắc khác mà bạn đang gặp phải khi tìm kiếm thông tin trên hãng nhưng chưa thấy. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là việc cung cấp thông tin chính xác cũng như kế hoạch du lịch hợp lý cho gia đình bạn, tránh trường hợp giữ chỗ khống, một điều nghiêm cấm ở các hãng hàng không. vé máy bay giá rẻ](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re) **Tìm chuyến bay** ** – App vé máy bay** **48 Nguyễn Cửu Vân, P.17, Q. Bình Thạnh, TP.HCM**
#### Bài viết liên quan
-
[Vé máy bay giá rẻ Đà Nẵng đi Đà Lạt](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-gia-re-da-nang-di-da-lat.html)
-
[Vé máy bay Huế Sài Gòn](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-hue-sai-gon.html)
-
[Vé máy bay đi Huế giá rẻ 299k](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-di-hue-gia-re-vietjet-jetstar-vietnam-airlines.html)
-
[Vietjet khuyến mãi vé máy bay giá rẻ 0 đồng](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/vietjet-khuyen-mai-ve-may-bay-gia-re-0-dong.html)
-
[Vé máy bay đi Vinh giá rẻ](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-di-vinh-gia-re.html)
-
[Vé máy bay đi Hải Phòng khám phá Hòn Dấu](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-di-hai-phong-kham-pha-hon-dau.html)
-
[Siêu khuyến mãi vé máy bay Vietnam Airlines 399k](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/sieu-khuyen-mai-ve-may-bay-gia-re-vietnam-airlines-399k.html)
-
[Vé máy bay đi Đà Nẵng khám phá Hội An](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/ve-may-bay-di-da-nang-kham-pha-hoi.html)
-
[Giá vé máy bay Vietjet đi Đà Nẵng](https://timchuyenbay.com/ve-may-bay-gia-re/gia-ve-may-bay-vietjet-di-da-nang.html)

Server: nginx

Vary: Accept-Encoding

Set-Cookie: hotel_cart_cookie=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; Max-Age=0; path=/

Pragma: no-cache


text:
Câu chuyện xung quanh bể xương hang Cắc Cớ
Từ lâu, tôi đã được nghe rất câu chuyện huyền bí về hang Cắc Cớ với bể xương người khủng khiếp và câu chuyện xung quanh thân phận những bộ xương này. Có người kể rằng, đây là những nghĩa quân của Tể tướng Lữ Gia (thời Nam Việt của Triệu Đà) kháng chiến chống nhà Tây Hán ở phương Bắc thất bại đã chạy về đây. Khi cửa hang bị bít kín và bị giặc hun khói, Lữ Gia và các nghĩa sĩ quyết tử tiết chứ không chịu hàng giặc.
Thế nhưng, nhiều người dân ở đây lại truyền miệng nhau một câu chuyện khác. Chủ nhân của những bộ xương đó là của một nhóm nghĩa quân chống lại ách xâm lăng của nhà Minh đầu thế kỷ XV. Sự hiếu kì của bản thân nên tôi đã tìm đến chùa Thầy vào một ngày nắng giữa tháng Tư . Thật may mắn, đây lại vào đúng dịp diễn ra lễ hội chùa Thầy.
Vượt qua một đoạn đường núi dốc đứng khá nguy hiểm, tôi đã đặt chân đến cửa hang Cắc Cớ. Lối xuống hang dốc đứng trơn trượt dù đã được xây bậc bằng xi măng và có thanh sắt để vịn. Trong hang bóng tối gần như bao phủ hoàn toàn, nhưng tia sáng hắt xuống qua cổng trời những ngày nắng loáng nhoáng trên những nhũ đá lấp lánh thứ ánh sáng huyền bí.
Hang có 9 tầng, tương ứng với chín tầng địa ngục. Trong đó, bể xương và bàn thờ Lữ Gia ở tầng thứ 3. Ngay lối xuống có một hang sâu mà theo người dẫn đường đó là lối dẫn xuống tầng địa ngục thứ 4. Bóng tối mịt mùng, thử ném một viên đá thì phải hơn phút sau mới nghe tiếng dội lại vang vọng mãi như ngàn tiếng linh hồn u uất.
Đi sâu hơn nữa đến cổng trời, nơi thông thiên trời đấy, sương khói từ dưới bay lên gặp ánh sáng mặt trời trở nên mờ ảo. Qua những bậc đá trơn trượt tôi đến vơi bàn thờ Lữ Gia, nơi thời những nghĩa quân trong cuộc kháng chiến chống quân Hán xưa kia. Hương khói cùng với không khí ẩm thấp làm tôi thấy lạnh sống lưng khi nghĩ đến những câu chuyện về những bộ xương. Đi hẳn xuống dưới chính là bể xương huyền bí mà khiến ai lần đầu tiên nhìn thấy cũng phải giật mình.
Theo anh Đức (Sài Sơn, Quốc Oai) một người tìm hiểu khá nhiều về chùa Thầy cho biết: “Bể xương này dùng để thu gom những hài cốt nằm la liệt ở các nơi trong hang trước đây. Nhìn vào trong bể, một cảm giác ớn lạnh, quả thật tôi chưa bao giờ nhìn thấy nhiều xương người như thế. Có lẽ những bộ xương đầy huyễn hoặc kia sẽ được trôn vùi mãi mãi nếu không có sự khám phá của những người dân nơi đây”.
Vẻ đẹp non nước hữu tình của chùa Thầy
“Gái chưa chồng trông hang Cắc Cớ, trai chưa vợ nhớ hội chùa Thầy”. Hai câu thơ ai cũng thuộc nhưng chắc là không nhiều người hiểu hết ý nghĩa của nó. Hội chùa thầy được tổ chức từ 5-7 tháng 3 âm lịch. Trong lễ hội có hàng ghàn tăng ni phật tử, du khách ở khắp nơi về tham quan, trẩy hội.
Đến với lễ hội, du khách ngoài được vui vãn cảnh chùa, lễ phật, thực hiện những nghi thức tôn giáo thì còn có cơ hội được leo núi thám hiểm. Leo núi để khám phá những công trình kiến trúc độc đáo của ngôi chùa, được tham gia những trò chơi dân gian mang đậm bản sắc văn hóa. Đặc biệt, lễ hội chùa Thầy còn có múa rối nước một môn nghệ thuật mang đậm sắc thái dân gian.
Qua lời chị hướng dẫn viên thì,chùa Thầy còn gọi là chùa Cả, tên chữ là: “Thiên Phúc Tự” thuộc xã Sài Sơn, huyện Quốc Oai, tỉnh Hà Tây (cũ), nay là Hà Nội. Núi Sài Sơn có tên Nôm là núi Thầy, nên chùa được gọi là chùa Thầy. Từ lâu đã nổi tiếng không chỉ ở những truyền thuyết kỳ ảo, linh thiêng xung quanh cuộc đời thiền sư Từ Đạo Hạnh, mà còn bởi vẻ đẹp của kiến trúc, non nước hữu tình, cảnh trí như chốn bồng lai.
Chùa Thầy được xây dựng từ thời Lý (TK XI), trên thế đất hình con rồng. Kiến trúc chùa Thầy là sự hội nhập giữa tín ngưỡng bản địa với Phật giáo, giữa tính chất từ bi của Phật với sự linh thiêng của Thánh.
Phần chính của chùa Thầy gồm ba tòa song song với nhau gọi là chùa Hạ, chùa Trung và chùa Thượng.Chùa Hạ là nhà tiền tế, bày các tượng Đức Ông, Thánh hiền, Bát bộ Kim Cương. Chùa Trung bày bàn thờ Phật, hai bên có hai tượng Hộ pháp, tượng Thiên vương. Chùa Thượng nằm tách biệt hẳn, ở vị trí cao nhất, có biển đề Đại hùng Bảo điện, có tượng Di Đà tam tôn. Chùa Thầy có tới ba pho tượng Từ Đạo Hạnh. Một được đặt tại nhà Tổ, một ở ban thờ chính và một đặt trong khám Từ Đạo Hạnh tại điện Thánh.
Pho tượng Từ Đạo Hạnh ở kiếp tu tiên được làm theo hình thức tượng rối đặt trong khám thờ tại điện Thánh là đáng chú ý hơn cả. Pho tượng này được tạo tác một cách đặc biệt nhằm đề cao vai trò của đức thánh Từ – vị thánh được nhân dân trong vùng tôn xưng như ông tổ của nghề múa rối nước.
Một ngày không thể khám phá hết được cảnh quan non nước hữu tình và những truyền thuyết sống động về đức Thánh Từ Đạo Hạnh. Hang Cắc Cớ không chỉ huyền bí mà còn là nơi cầu duyên của nam nữ thanh niên. Và tôi hi vọng sẽ được quay trở lại vào một ngày không xa.
Lê Hằng / Theo Ngaynay.vn

markdown:
**Những câu chuyện thần bí về hang Cắc Cớ, sự háo hức, những cuộc leo núi khám phá một ngôi chùa có những kiến trúc độc đáo nhất nhì Thủ đô…**
### Câu chuyện xung quanh bể xương hang Cắc Cớ
Từ lâu, tôi đã được nghe rất câu chuyện huyền bí về hang Cắc Cớ với bể xương người khủng khiếp và câu chuyện xung quanh thân phận những bộ xương này. Có người kể rằng, đây là những nghĩa quân của Tể tướng Lữ Gia (thời Nam Việt của Triệu Đà) kháng chiến chống nhà Tây Hán ở phương Bắc thất bại đã chạy về đây. Khi cửa hang bị bít kín và bị giặc hun khói, Lữ Gia và các nghĩa sĩ quyết tử tiết chứ không chịu hàng giặc.
Thế nhưng, nhiều người dân ở đây lại truyền miệng nhau một câu chuyện khác. Chủ nhân của những bộ xương đó là của một nhóm nghĩa quân chống lại ách xâm lăng của nhà Minh đầu thế kỷ XV. Sự hiếu kì của bản thân nên tôi đã tìm đến chùa Thầy vào một ngày nắng giữa tháng Tư . Thật may mắn, đây lại vào đúng dịp diễn ra lễ hội chùa Thầy.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy Hội chùa Thầy thu hút được hàng ngàn người tham gia trẩy hội](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162.jpg)
Vượt qua một đoạn đường núi dốc đứng khá nguy hiểm, tôi đã đặt chân đến cửa hang Cắc Cớ. Lối xuống hang dốc đứng trơn trượt dù đã được xây bậc bằng xi măng và có thanh sắt để vịn. Trong hang bóng tối gần như bao phủ hoàn toàn, nhưng tia sáng hắt xuống qua cổng trời những ngày nắng loáng nhoáng trên những nhũ đá lấp lánh thứ ánh sáng huyền bí.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 3 Cảnh huyền bí, mờ ảo của hang Cắc Cớ - Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-2.jpg)
Hang có 9 tầng, tương ứng với chín tầng địa ngục. Trong đó, bể xương và bàn thờ Lữ Gia ở tầng thứ 3. Ngay lối xuống có một hang sâu mà theo người dẫn đường đó là lối dẫn xuống tầng địa ngục thứ 4. Bóng tối mịt mùng, thử ném một viên đá thì phải hơn phút sau mới nghe tiếng dội lại vang vọng mãi như ngàn tiếng linh hồn u uất.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 4 Cổng trời, nơi thông thiên trời đất - Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 4](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-3.jpg)
Đi sâu hơn nữa đến cổng trời, nơi thông thiên trời đấy, sương khói từ dưới bay lên gặp ánh sáng mặt trời trở nên mờ ảo. Qua những bậc đá trơn trượt tôi đến vơi bàn thờ Lữ Gia, nơi thời những nghĩa quân trong cuộc kháng chiến chống quân Hán xưa kia. Hương khói cùng với không khí ẩm thấp làm tôi thấy lạnh sống lưng khi nghĩ đến những câu chuyện về những bộ xương. Đi hẳn xuống dưới chính là bể xương huyền bí mà khiến ai lần đầu tiên nhìn thấy cũng phải giật mình.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 5 Bàn thờ Lữ Gia, Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-4.jpg)
Theo anh Đức (Sài Sơn, Quốc Oai) một người tìm hiểu khá nhiều về chùa Thầy cho biết: “Bể xương này dùng để thu gom những hài cốt nằm la liệt ở các nơi trong hang trước đây. Nhìn vào trong bể, một cảm giác ớn lạnh, quả thật tôi chưa bao giờ nhìn thấy nhiều xương người như thế. Có lẽ những bộ xương đầy huyễn hoặc kia sẽ được trôn vùi mãi mãi nếu không có sự khám phá của những người dân nơi đây”.
### Vẻ đẹp non nước hữu tình của chùa Thầy
“Gái chưa chồng trông hang Cắc Cớ, trai chưa vợ nhớ hội chùa Thầy”. Hai câu thơ ai cũng thuộc nhưng chắc là không nhiều người hiểu hết ý nghĩa của nó. Hội chùa thầy được tổ chức từ 5-7 tháng 3 âm lịch. Trong lễ hội có hàng ghàn tăng ni phật tử, du khách ở khắp nơi về tham quan, trẩy hội.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 6 hội chùa Thầy Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-5.jpg)
Đến với lễ hội, du khách ngoài được vui vãn cảnh chùa, lễ phật, thực hiện những nghi thức tôn giáo thì còn có cơ hội được leo núi thám hiểm. Leo núi để khám phá những công trình kiến trúc độc đáo của ngôi chùa, được tham gia những trò chơi dân gian mang đậm bản sắc văn hóa. Đặc biệt, lễ hội chùa Thầy còn có múa rối nước một môn nghệ thuật mang đậm sắc thái dân gian.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy 7 hội chùa Thầy - Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-6.jpg)
Qua lời chị hướng dẫn viên thì,chùa Thầy còn gọi là chùa Cả, tên chữ là: “Thiên Phúc Tự” thuộc xã Sài Sơn, huyện Quốc Oai, tỉnh Hà Tây (cũ), nay là Hà Nội. Núi Sài Sơn có tên Nôm là núi Thầy, nên chùa được gọi là chùa Thầy. Từ lâu đã nổi tiếng không chỉ ở những truyền thuyết kỳ ảo, linh thiêng xung quanh cuộc đời thiền sư Từ Đạo Hạnh, mà còn bởi vẻ đẹp của kiến trúc, non nước hữu tình, cảnh trí như chốn bồng lai.
Chùa Thầy được xây dựng từ thời Lý (TK XI), trên thế đất hình con rồng. Kiến trúc chùa Thầy là sự hội nhập giữa tín ngưỡng bản địa với Phật giáo, giữa tính chất từ bi của Phật với sự linh thiêng của Thánh.
Phần chính của chùa Thầy gồm ba tòa song song với nhau gọi là chùa Hạ, chùa Trung và chùa Thượng.Chùa Hạ là nhà tiền tế, bày các tượng Đức Ông, Thánh hiền, Bát bộ Kim Cương. Chùa Trung bày bàn thờ Phật, hai bên có hai tượng Hộ pháp, tượng Thiên vương. Chùa Thượng nằm tách biệt hẳn, ở vị trí cao nhất, có biển đề Đại hùng Bảo điện, có tượng Di Đà tam tôn. Chùa Thầy có tới ba pho tượng Từ Đạo Hạnh. Một được đặt tại nhà Tổ, một ở ban thờ chính và một đặt trong khám Từ Đạo Hạnh tại điện Thánh.
Pho tượng Từ Đạo Hạnh ở kiếp tu tiên được làm theo hình thức tượng rối đặt trong khám thờ tại điện Thánh là đáng chú ý hơn cả. Pho tượng này được tạo tác một cách đặc biệt nhằm đề cao vai trò của đức thánh Từ – vị thánh được nhân dân trong vùng tôn xưng như ông tổ của nghề múa rối nước.
![Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy8 Múa rối nước, hội chùa Thầy - Khám phá bể xương người trong hang Cắc Cớ, chùa Thầy](https://tuedang.com/wp-content/uploads/2018/05/kham-pha-be-xuong-nguoi-trong-hang-cac-co-chua-thay-1162-7.jpg)
Một ngày không thể khám phá hết được cảnh quan non nước hữu tình và những truyền thuyết sống động về đức Thánh Từ Đạo Hạnh. Hang Cắc Cớ không chỉ huyền bí mà còn là nơi cầu duyên của nam nữ thanh niên. Và tôi hi vọng sẽ được quay trở lại vào một ngày không xa.
*Lê Hằng / Theo Ngaynay.vn*

Server: cloudflare

X-Turbo-Charged-By: LiteSpeed

Cache-Control: public, max-age=0

Set-Cookie: __cfduid=da9c684a69880de98fd71fba445aa96e21527031580; expires=Wed, 22-May-19 23:26:20 GMT; path=/; domain=.tuedang.com; HttpOnly


text:
22.05.2018
Chủ đề hot:
Phật Ngọc
Phật Đản
HT Thích Thiện Hoa
Tuệ Đăng – Tin tức Phật giáo Việt Nam Tuệ Đăng – Trang cập nhật Tin tức Phật giáo Việt Nam, các bài viết Phật pháp, Phật học & đời sống
Trang chủ
Tin tức
Tin Phật Giáo Việt Nam
Tin Phật giáo Thế giới
Gia Đình Phật Tử
Tin tức GĐPT
Hành chánh tổ chức
Tu học – Huấn luyện
Văn nghệ GĐPT
Hoạt động thành niên
Kho tài liệu
Phật học
Phật học phổ thông
Lời Phật dạy
Hỏi – Đáp Phật pháp
Tham luận – Góc nhìn
Văn hóa
Văn hóa Phật giáo
Nghi lễ Phật giáo
Du lịch Phật giáo
Kỷ lục Phật giáo
Lịch sử
Cuộc đời Đức Phật
Lịch sử Phật giáo
Nhân vật
Văn học
Truyện Phật giáo
Thơ Phật giáo
Tùy bút
Nghệ thuật
Kiến trúc – Chùa Việt
Điêu khắc
Hội họa
Điện ảnh
Sân khấu
Video Phật giáo
Pháp âm
Pháp thoại
Nghi lễ Phật giáo
Phóng sự – Ký sự Phật giáo
Chay – Khỏe
Xã hội
Tuệ Đăng
/
Văn học Phật giáo
/
Truyện Phật giáo
Truyện Phật giáo
Không tìm thấy
Xin lỗi, nhưng trang bạn truy cập hiện không tồn tại. Vui lòng tìm kiếm hoặc vào trang chủ
Thông tin Liên hệ - Gửi bài viết về email:
[email protected]
2018 ©
Tuệ Đăng
. Vui lòng ghi rõ nguồn Tuedang.com khi trích đăng.

Set-Cookie: __cfduid=d310b4b19b9190b26aac057c55be10da81527031093; expires=Wed, 22-May-19 23:18:13 GMT; path=/; domain=.tuedang.com; HttpOnly


text:
Super 8 by Wyndham Ripley
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí, Wifi miễn phí và chỗ đậu xe miễn phí
Tiện nghi, dịch vụ nổi bật
- 44 khu phòng
- Quầy tiếp tân phục vụ 24 giờ/ngày
- Máy điều hòa nhiệt độ
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí, Wifi miễn phí và chỗ đậu xe miễn phí
Tiện nghi cho khách gia đình
- Có nôi/giường coh trẻ sơ sinh
- Phòng tắm riêng
- TV
- Máy sấy tóc
- Dụng cụ pha cà phê/trà
- Hệ thống điều hòa tại phòng (máy điều hòa)
Lân cận
- Cách Câu lạc bộ golf Riverside 46,7 km
- Cách Tượng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng & Trung tâm Nghiên cứu Sông Point Pleasant 47,8 km
- Cách Công viên bang Tu-Endie-Wei 47,8 km
Super 8 by Wyndham Ripleytừ 1.529.006 ₫
- Phòng đôi, 2 giường đôi
- Phòng Tiêu chuẩn, 1 giường cỡ queen
- Phòng Tiêu chuẩn, 1 giường cỡ king
- Phòng Suite, 1 giường cỡ king, Không hút thuốc (Free Superstart Breakfast)
- Phòng, 1 giường cỡ queen, Không hút thuốc (Free Superstart Breakfast)
- Phòng, Phù hợp cho người khuyết tật
Lựa chọn tuyệt vời khác
Tổng quan
Thông tin cần biết
Quy mô khách sạn
- Khách sạn này có 44 phòng
Nhận phòng/Trả phòng
- Giờ nhận phòng từ 13:00
- Giờ trả phòng là 11:00
- Nhận/Trả phòng cấp tốc
Giấy tờ cần có khi nhận phòng
- Đặt cọc bằng thẻ tín dụng hoặc tiền mặt
- Phải có giấy tờ tùy thân (ID) có ảnh hợp lệ
Đồng hành
Vật nuôi
- Có thể mang theo vật nuôi (chỉ chó và mèo) *
- Có giới hạn *
- 2 vật nuôi mỗi phòng
Internet
- Wifi miễn phí tại các khu vực chung
- Wifi miễn phí trong phòng
Đi lại
Đậu xe
- Bãi đậu xe tự phục vụ miễn phí
- Bãi đậu xe RV/buýt/tải miễn phí
Tại khách sạn
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí hàng ngày
- Quầy tiếp tân 24 giờ
- Khu vực hút thuốc riêng biệt
- Phòng tắm phù hợp cho người khuyết tật
- Trang thiết bị hỗ trợ người khuyết tật tại phòng
Tại phòng
- Hệ thống điều hòa tại phòng (máy điều hòa)
- Máy điều hòa
- Dụng cụ pha cà phê/trà
- Phòng tắm riêng
- Buồng tắm vòi sen/bồn tắm kết hợp
- Máy sấy tóc
- TV
- Truyền hình cáp
- Bàn
- Wifi miễn phí
- Điện thoại nội vùng miễn phí
Khách sạn được đề xuất
Ghi chú của Super 8 by Wyndham Ripley
Tên gọi khác
- Super 8 Ripley Wv
- Super 8 Ripley Wv Motel
Chính sách
Khách có thể yêu cầu phòng phù hợp để mang theo vật nuôi bằng cách liên hệ nơi lưu trú theo thông tin liên lạc được cung cấp trong xác nhận đặt phòng.
Các tùy chọn khác
Khách có thể mang theo vật nuôi với phụ phí 10 USD mỗi vật nuôi mỗi đêm
Chúng tôi đã liệt kê mọi khoản phí được khách sạn thông báo với mình. Tuy nhiên, phí cụ thể có thể khác biệt, ví dụ như phụ thuộc vào thời gian lưu trú hoặc loại phòng của bạn.
Quanh Super 8 by Wyndham Ripley
Địa danh
- Cách Câu lạc bộ golf Riverside 46,7 km
- Cách Tượng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng & Trung tâm Nghiên cứu Sông Point Pleasant 47,8 km
- Cách Công viên bang Tu-Endie-Wei 47,8 km
Đi lại
- Cách Sân bay Charleston, WV (CRW-Sân bay Yeager) 46 phút đi xe
- Bãi đậu xe tự phục vụ miễn phí
- Bãi đậu xe RV/buýt/tải miễn phí
Nhận xét gần đây
Rất tốt 8,0 Từ 166 nhận xét
If you just need a room to rest for the night on a long trip, this is a great value. Easy on and off to interstate and several eating options around.
I don't usually stay at super 8 but due to bad road condition I decided to stay. After reviewing what others said I decided to take a chance. Excellent experience. Room was clean staff friendly and close expressway. Great value.
It was a nice stay. Very clean room, in a safe area, and friendly staff!!
In the area to spend time with family. Traveled to Spencer but they didn't have a reliable hotel so we went back to Ripley. I was very concerned abut staying at Super 8 due to past experience at Super 8 in multiple areas of the state. The area was convenient for food & comfort. It was relativity quiet at the hotel except for some using the vending machines in the corridor. The front desk gentleman was excellent, very professional but helpful; best Super & I've seen in a long time. I would stay there again. Shame other Super 8's are not as nice.
This is your typical "get what you pay for"hotel. Our room was only $68.00. It was an older building but seemed to be well maintained. It was clean, comfortable bed and basically everything you need for an over night stay. We would have liked to have had more than one towel and washrag per person without having to go to front desk to get. Breakfast area was small, actually in the lobby. We didn't eat but it would have been an uncomfortable area to do so. It was cold outside and folks were coming in and out the door, right where breakfast bar was set up, to check in and out. If was a small continental breakfast. We only dealt with one staff member and he was very nice. The hotel is conveniently located in the Ripley WV area. Several nearby restaurants and easy access to the highway.
Mô tả khách sạn này không chính xác? Hãy cho chúng tôi biết!

markdown:
[Tất cả các khách sạn tại Ripley, Tây Virginia, Mỹ](/search.do?destination-id=1508309&q-room-0-adults=2&q-rooms=1&q-room-0-children=0)
# Super 8 by Wyndham Ripley
**Motel không cầu kỳ tại Ripley**
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí, Wifi miễn phí và chỗ đậu xe miễn phí
### Tiện nghi, dịch vụ nổi bật
- 44 khu phòng
- Quầy tiếp tân phục vụ 24 giờ/ngày
- Máy điều hòa nhiệt độ
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí, Wifi miễn phí và chỗ đậu xe miễn phí
### Tiện nghi cho khách gia đình
- Có nôi/giường coh trẻ sơ sinh
- Phòng tắm riêng
- TV
- Máy sấy tóc
- Dụng cụ pha cà phê/trà
- Hệ thống điều hòa tại phòng (máy điều hòa)
### Lân cận
- Cách Câu lạc bộ golf Riverside 46,7 km
- Cách Tượng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng & Trung tâm Nghiên cứu Sông Point Pleasant 47,8 km
- Cách Công viên bang Tu-Endie-Wei 47,8 km
[Xem thêm về khu vực](#whats-around-anchor) [Xem tất cả 166 nhận xét tại Hotels.com](/ho224141-tr/)
## Super 8 by Wyndham Ripleytừ
**1.529.006 ₫**
- Phòng đôi, 2 giường đôi
- Phòng Tiêu chuẩn, 1 giường cỡ queen
- Phòng Tiêu chuẩn, 1 giường cỡ king
- Phòng Suite, 1 giường cỡ king, Không hút thuốc (Free Superstart Breakfast)
- Phòng, 1 giường cỡ queen, Không hút thuốc (Free Superstart Breakfast)
- Phòng, Phù hợp cho người khuyết tật
### Lựa chọn tuyệt vời khác
[Xem theo danh sách](/search.do?destination-id=1508309&q-room-0-adults=2&q-rooms=1&q-room-0-children=0) [Xem trên bản đồ](/search/searchmap.html?destination-id=1508309&q-room-0-adults=2&q-rooms=1&q-room-0-children=0)
## Tổng quan
### Thông tin cần biết
#### Quy mô khách sạn
- Khách sạn này có 44 phòng
#### Nhận phòng/Trả phòng
- Giờ nhận phòng từ 13:00
- Giờ trả phòng là 11:00
- Nhận/Trả phòng cấp tốc
#### Giấy tờ cần có khi nhận phòng
- Đặt cọc bằng thẻ tín dụng hoặc tiền mặt
- Phải có giấy tờ tùy thân (ID) có ảnh hợp lệ
### Đồng hành
#### Vật nuôi
- Có thể mang theo vật nuôi (chỉ chó và mèo) *
- Có giới hạn *
- 2 vật nuôi mỗi phòng
### Internet
- Wifi
*miễn phí*tại các khu vực chung
- Wifi
*miễn phí*trong phòng
### Đi lại
#### Đậu xe
- Bãi đậu xe tự phục vụ
*miễn phí*
- Bãi đậu xe RV/buýt/tải
*miễn phí* [* Xem ghi chú để biết thêm chi tiết bổ sung hoặc phụ phí]
## Tại khách sạn
- Bữa sáng kiểu Âu miễn phí hàng ngày
- Quầy tiếp tân 24 giờ
- Khu vực hút thuốc riêng biệt
- Phòng tắm phù hợp cho người khuyết tật
- Trang thiết bị hỗ trợ người khuyết tật tại phòng
## Tại phòng
- Hệ thống điều hòa tại phòng (máy điều hòa)
- Máy điều hòa
- Dụng cụ pha cà phê/trà
- Phòng tắm riêng
- Buồng tắm vòi sen/bồn tắm kết hợp
- Máy sấy tóc
- TV
- Truyền hình cáp
- Bàn
- Wifi miễn phí
- Điện thoại nội vùng miễn phí
### Khách sạn được đề xuất
[Xem theo danh sách](/search.do?destination-id=1508309&q-room-0-adults=2&q-rooms=1&q-room-0-children=0) [Xem trên bản đồ](/search/searchmap.html?destination-id=1508309&q-room-0-adults=2&q-rooms=1&q-room-0-children=0)
## Ghi chú của Super 8 by Wyndham Ripley
### Tên gọi khác
- Super 8 Ripley Wv
- Super 8 Ripley Wv Motel
### Chính sách
Khách có thể yêu cầu phòng phù hợp để mang theo vật nuôi bằng cách liên hệ nơi lưu trú theo thông tin liên lạc được cung cấp trong xác nhận đặt phòng.
### Các tùy chọn khác
Khách có thể mang theo
**vật nuôi** với phụ phí 10 USD mỗi vật nuôi mỗi đêm
Chúng tôi đã liệt kê mọi khoản phí được khách sạn thông báo với mình. Tuy nhiên, phí cụ thể có thể khác biệt, ví dụ như phụ thuộc vào thời gian lưu trú hoặc loại phòng của bạn.
## Quanh Super 8 by Wyndham Ripley
### Địa danh
- Cách Câu lạc bộ golf Riverside 46,7 km
- Cách Tượng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng Mothman 47,6 km
- Cách Bảo tàng & Trung tâm Nghiên cứu Sông Point Pleasant 47,8 km
- Cách Công viên bang Tu-Endie-Wei 47,8 km
### Đi lại
- Cách Sân bay Charleston, WV (CRW-Sân bay Yeager) 46 phút đi xe
- Bãi đậu xe tự phục vụ miễn phí
- Bãi đậu xe RV/buýt/tải miễn phí
## Nhận xét gần đây
Rất tốt
**8,0** Từ 166 nhận xét
If you just need a room to rest for the night on a long trip, this is a great value. Easy on and off to interstate and several eating options around.
I don't usually stay at super 8 but due to bad road condition I decided to stay. After reviewing what others said I decided to take a chance. Excellent experience. Room was clean staff friendly and close expressway. Great value.
It was a nice stay. Very clean room, in a safe area, and friendly staff!!
In the area to spend time with family. Traveled to Spencer but they didn't have a reliable hotel so we went back to Ripley. I was very concerned abut staying at Super 8 due to past experience at Super 8 in multiple areas of the state. The area was convenient for food & comfort. It was relativity quiet at the hotel except for some using the vending machines in the corridor. The front desk gentleman was excellent, very professional but helpful; best Super & I've seen in a long time. I would stay there again. Shame other Super 8's are not as nice.
This is your typical "get what you pay for"hotel. Our room was only $68.00. It was an older building but seemed to be well maintained. It was clean, comfortable bed and basically everything you need for an over night stay. We would have liked to have had more than one towel and washrag per person without having to go to front desk to get. Breakfast area was small, actually in the lobby. We didn't eat but it would have been an uncomfortable area to do so. It was cold outside and folks were coming in and out the door, right where breakfast bar was set up, to check in and out. If was a small continental breakfast. We only dealt with one staff member and he was very nice. The hotel is conveniently located in the Ripley WV area. Several nearby restaurants and easy access to the highway.
[Mô tả khách sạn này không chính xác? Hãy cho chúng tôi biết!](https://secure.opinionlab.com/ccc01/o.asp?id=InPecsCs&custom_var=a576abfc-e685-473b-85a7-404cc2471466%7CHCOM_VN%7Cvi_VN%7C224141&referer=http%3A%2F%2Fhotelinfo.hotels.com%2Fvi.hotels.com%2Fho224141%2Fsuper-8-by-wyndham-ripley-ripley-my%2F) ![ ](https://a.cdn-hotels.com/da/assets/s/63.0.8561/images/common/pages/pda/trust-you-reviews-credit.png)

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

X-Hcom-Origin-Id: pda

X-Hcom-Rendered-With: release

Set-Cookie: bm_sz=B62F382D48B19889039271D8D717F79A~QAAQ6AcPFyx1Z3FjAQAAbakeigid/H4SvKl1xP+DtqJzl8P50HkxuYvk8i0rkZDMZFB8gMQ2wKGPZeBMMqFXGbIBS59iFmjJd18VIp7zQlsH5CBgCSK45CcZTtis7rUg2KI3VR/q8gp7dwfN+Y73HEFBkJ2LK86UB6SmAU6NVK5fkrro37PxDaCyGBYzev0=; Domain=.hotels.com; Path=/; Expires=Wed, 23 May 2018 03:10:54 GMT; Max-Age=14399; HttpOnly

X-Akamai-Transformed: 9 - 0 pmb=mTOE,1

Cache-Control: max-age=0, no-cache, no-store

site_id_3: prodaws-hotels

Content-Language: vi-VN


text:
DXY, EUR/USD, USD/JPY, GBP/USD, AUD/USD, USD/CAD
CHESAPEAKE ENERGY CORP, MICRON TECHNOLOGY INC, NEOVASC INC, GENERAL ELECTRIC COMPANY, RENNOVA HEALTH, INC., BANK OF AMERICA CORP
Chỉ số S&P 500, Nasdaq Composite, Dow 30, Nikkei 225, Chỉ số DAX, FTSE 100
Vàng, Bạc, Dầu thô, Khí tự nhiên, Ngô, Bitcoin
BTC/USD, ETH/USD, BCH/USD, XRP/USD, LTC/USD, ETC/USD
Mỹ 10Y, Euro Bund, Đức 10Y, Nhật Bản 10Y, UK 10Y, Ấn Độ 10Y
Vàng, Dầu Brent, Dầu thô, Khí tự nhiên, Palladium, Bạc

Via: 1.1 varnish

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Vary: Accept-Encoding, Cookie

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
(VTC News) - Chiếc Mercedes-Benz 770K Grosser Offener Tourenwagen sản xuất năm 1939 của trùm phát xít Hitler được đánh giá là một trong những tài sản có giá trị nhất trong các loại xe cổ, xét về mặt lịch sử.
-
Mắc chứng "sợ đủ thứ" vì RỐI LOẠN LO ÂU, MẤT NGỦ: Tôi đã khỏi bệnh sau 2 tháng
-
Bị SUY THẬN cuối độ 2, hồng cầu "lao dốc", nhờ bí quyết của người anh, tôi đã khỏe mạnh trở lại
-
-
Người đàn bà trở về từ cõi chết mang theo bài thuốc tai biến cho cả vạn người
Bình luận

markdown:
**
(VTC News) - Chiếc Mercedes-Benz 770K Grosser Offener Tourenwagen sản xuất năm 1939 của trùm phát xít Hitler được đánh giá là một trong những tài sản có giá trị nhất trong các loại xe cổ, xét về mặt lịch sử.
**
-
[Mắc chứng "sợ đủ thứ" vì RỐI LOẠN LO ÂU, MẤT NGỦ: Tôi đã khỏi bệnh sau 2 tháng](http://roiloanloau.vn/chia-se/nhu-bi-ma-am-vi-tram-cam-mat-ngu-bong-phoi-phoi-sau-2-thang.html?utm_source=Vtc-Pc-Textlink1&utm_medium=cpd&utm_campaign=ktk)
-
[Bị SUY THẬN cuối độ 2, hồng cầu "lao dốc", nhờ bí quyết của người anh, tôi đã khỏe mạnh trở lại](http://suythanman.vn/bai-viet/phuong-phap-dieu-tri/thoat-khoi-suy-than-do-2-nho-dieu-tri-dung-cach.html?utm_source=Vtc-Pc-Textlink2&utm_medium=cpd&utm_campaign=itv
)
-
-
[Người đàn bà trở về từ cõi chết mang theo bài thuốc tai biến cho cả vạn người](https://vtc.vn/nguoi-dan-ba-tro-ve-tu-coi-chet-mang-theo-bai-thuoc-quy-cho-ca-van-nguoi-d327639.html
)
## Bình luận

Cache-Control: public

X-Fastcgi-Cache: MISS


markdown:
# Ốp lưng iPhone
Mua bán Ốp lưng iPhone, giá cả thị trường linh kiện iPhone và tất cả các bài rao vặt Ốp lưng iPhone 5,5s, 6,6s, 7, 7plus đẹp, giá sỉ rẻ trên 5giay.vn Contents: 663. Watchers: 0. Views: 6,701.
Trang 1 của 31 trang
XenTag by Tinhte.vn

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Cache-control: private, max-age=0

Set-Cookie: 5s_session=cd4d6d9a8a5cf4cfef9e9615767f8538; path=/; domain=www.5giay.vn; secure; httponly

Server: Nhat Nguyet Websphere 12.3 build 3.456.234.2600

X-Powered-By: nhatnguyet-


text:
Đang tìm ưu đãi ở Orvieto Scalo? Hãy xem giá và chỗ nghỉ cho:
Những chỗ chúng tôi yêu thích ở Orvieto Scalo
Tại Orvieto Scalo
-
Antico Casale di Charme
Orvieto ScaloMiêu tả
Gần Orvieto Scalo
-
7,3 Tốt 249 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
Hotel Etruria Khách sạn 3 sao
Orvieto5,9 Điểm đánh giá 236 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
7,1 Tốt 179 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
Hotel Picchio Khách sạn 3 sao
Orvieto8,6 Tuyệt vời 887 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
8,8 Tuyệt vời 456 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
Hotel Orvieto Khách sạn 3 sao
Orvieto7,4 Tốt 326 đánh giáMiêu tả Đánh giá

markdown:
[](#)
#### Đang tìm ưu đãi ở Orvieto Scalo? Hãy xem giá và chỗ nghỉ cho:
## Những chỗ chúng tôi yêu thích ở Orvieto Scalo
Tại Orvieto Scalo
-
[Antico Casale di Charme](
/searchresults.vi.html?dest_id=900040487;dest_type=city&
)
Orvieto ScaloMiêu tả
Gần Orvieto Scalo
-
7,3 Tốt 249 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
[Hotel Etruria](
/searchresults.vi.html?dest_id=-123502;dest_type=city&
) *Khách sạn 3 sao*
Orvieto5,9 Điểm đánh giá 236 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
7,1 Tốt 179 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
[Hotel Picchio](
/searchresults.vi.html?dest_id=-123502;dest_type=city&
) *Khách sạn 3 sao*
Orvieto8,6 Tuyệt vời 887 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
8,8 Tuyệt vời 456 đánh giáMiêu tả Đánh giá
-
[Hotel Orvieto](
/searchresults.vi.html?dest_id=-123502;dest_type=city&
) *Khách sạn 3 sao*
Orvieto7,4 Tốt 326 đánh giáMiêu tả Đánh giá

X-Content-Type-Options: nosniff

X-Recruiting: Like HTTP headers? Come write ours: https://workingatbooking.com

Cache-Control: private

Vary: Accept-Encoding, User-Agent

Set-Cookie: bkng=11UmFuZG9tSVYkc2RlIyh9Yaa29%2F3xUOLbiKbS0JOgDBLYY%2BtTDhrKnpR9W%2BbODMlsiR7DJYUgK%2F1dpVfUw%2BfPtcx%2Fl2vqG07zeqkv4IofWtuqb8BAaPxWkwa5j7Mb%2FuS4b%2FYEoOrmUK7fvLKJZ0ypFUcUiqBJskU2a2JDJb42rj2V%2FgMrv17RSksZdBcXdD7F; domain=.booking.com; path=/; expires=Mon, 22-May-2023 00:42:38 GMT; Secure; HTTPOnly

X-XSS-Protection: 1; mode=block