text:
Diễn đàn rao vặt nhà đất miễn phí
Diễn đàn (Forum) - đăng tin, rao vặt, miễn phí
Index
Calendar
Trợ giúp
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Display results as :
Số bài
Chủ đề
Advanced Search
Thành viên
Nhóm
Đăng ký
Đăng Nhập
Tìm kiếm
Inside
G
o
o
g
l
e
Display results as :
Posts
Topics
Advanced Search
Latest topics
»
BÁN CHUNG CƯ XUÂN PHƯƠNG QUỐC HỘI GIÁ GỐC CĐT
Today at 11:09 am by
nhung1983bds
»
Bản lề laptop_ linh kiện laptop_xác laptop hàng tháo máy cập nhật liên tuc nè AE!
Today at 7:30 am by
banle68
»
Chọn đồng phục công sở uy tín nhất
Yesterday at 1:55 pm by
vvpbaonam
»
Máy triệt lông cao cấp nhất
Yesterday at 11:04 am by
thuexeoto2
»
túi xách giá rẻ ở Hà Nội giá cực rẻ
Yesterday at 9:01 am by
vimark
»
Địa chỉ bán hoa hướng dương đẹp nhất Hà nội
Wed Mar 22, 2017 9:36 am by
decant
»
bảo hộ lao động tại Thái Nguyên giá rẻ
Tue Mar 21, 2017 11:47 am by
3tshop
»
Địa chỉ may quần âu nam uy tín
Mon Mar 20, 2017 5:19 pm by
vest1
»
Chọn mua tăng cường sức đề kháng BigBB
Mon Mar 20, 2017 10:41 am by
aothuat
Top posters
datphat191
luyen1210
hienbt1110
suaxesaigon
mrchung89
banle68
uyen.sandatviet
nhadat88
mikkey
mohip613
March 2017
Mon
Tue
Wed
Thu
Fri
Sat
Sun
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Calendar
Keywords
linh
hoang
dang
cong
thanh
30m2
nghe
giao
tươi
giang
decal
lang
lien
xanh
PRIDE
phong
thiết
dinh
thịnh
chung
innova
hanh
phat
minh
sống
Biệt
Diễn đàn rao vặt nhà đất miễn phí
::
Siêu Thị Nhà Đất
::
Mua Bán Đất
Share
|
Muốn mua, bán, căn hộ Ciri Đại Kim,( du an ciri dai kim),chọn căn, tầng!
Tác giả
Thông điệp
nhunghtp
Khách viếng thăm
Tiêu đề: Muốn mua, bán, căn hộ Ciri Đại Kim,( du an ciri dai kim),chọn căn, tầng!
Thu Jun 02, 2011 3:38 pm
[SIZE="5"]
Muốn mua, bán, căn hộ Ciri Đại Kim,( du an ciri dai kim),chọn căn, tầng!
[/SIZE]
Chung cu ciri dai kim, du an ciri dai kim, du an can ho ciri, can ho ciri kim giang, ciri dai kim kim giang
Chung cu ciri dai kim, du an ciri dai kim, du an can ho ciri, can ho ciri kim giang, ciri dai kim kim giang
ciri dai kim kim giang, du an ciri kim giang, can ho ciri dai kim, chung cu ciri dai kim,
**********************************
[SIZE="4"]
1-Chủ đầu tư:
Công ty cổ phần Đại Kim (Five stars group)
2-Vị trí:
Dự án Ciri Đại Kim, tọa lạc tại Số 2 – Kim Giang trên mặt đường Vương Thừa Vũ kéo dài, gần Hồ Hạ Đình, cách Đường Nguyễn Xiển 300m và cách ngã tư Khuất Duy Tiến – Nguyễn Trãi 1km.
3-Diện tích.
- Dự án gồm: - 2 tầng hầm
- 5 tầng nổi văn phòng và trung tâm thương mại
- 25 tầng căn hộ chưng cư cao cấ
Diện tích phòng gồm 75m2, 100m2, 120m2,
4-Giá .
-Giá gốc: 735$ đã có VAT.
-Giá bán trên 20tr/m2 hợp đồng hợp tác đầu tư, ký với chủ đầu tư, đã đóng 20%, giá gốc:
5-Tiến độ thanh toán:
Đợt 1: đóng 17% sau khi ký hợp đồng
Đợt 2:đóng 13% sau 3 tháng kể từ ngày ký HĐ
Đợt 3: đóng 15% khi khởi công công trình
Đợt 4: đóng 10% sau khi xong móng
Đợt 5: đóng 10% xong thô tầng 15
Đợt 6: đóng 30% sau khi hoàn thiện căn hộ và bàn giao nhà
Cơ sở hạ tầng đồng bộ, là TTTM và căn hộ cao cấp, gần trường học, giao thông thuận tiện và thông thoáng, đây là cơ hội hấp dẫn để sở hữu căn hộ để ở và đầu tư với giá cả làm vừa lòng khách hàng
********************
Khách hàng có nhu cầu xin LH:
[SIZE="5"]
Chị Kim Anh: 0936.328.535
Chị Hồng: 0936.279.066
[/SIZE]
Sàn Giao Dịch BĐS Tâm Việt. (Tamvietland)
Số 134 Khuất Duy Tiến – Thanh Xuân – Hà Nội[/SIZ
E]
[/SIZE]
Ciri đai kim, ciri dai kim kim giang, du an ciri kim giang, can ho ciri dai kim, chung cu ciri dai kim,
Ciri đai kim, ciri dai kim kim giang, du an ciri kim giang, can ho ciri dai kim, chung cu ciri dai kim,
Muốn mua, bán, căn hộ Ciri Đại Kim,( du an ciri dai kim),chọn căn, tầng!
Trang
1
trong tổng số
1
trang
Permissions in this forum:
Bạn
không có quyền
trả lời bài viết
Diễn đàn rao vặt nhà đất miễn phí
::
Siêu Thị Nhà Đất
::
Mua Bán Đất
Diễn đàn rao vặt nhà đất miễn phí
::
Siêu Thị Nhà Đất
::
Mua Bán Đất
Chuyển đến
:
Chọn Diễn Đàn
|
|--Siêu Thị Nhà Đất
| |--Mua Bán Nhà
| |--Mua Bán Đất
|
|--Quảng Cáo - Rao Vặt
|--Giới Thiệu Website, Blog
|--Rao Vặt
Free forum
|
©
phpBB
|
Free forum support
|
Liên hệ
|
Report an abuse
|
Have a free blog with Sosblogs


text:
Trang chủ
Tin khuyến mại
Liên hệ mua sim
Đặt sim theo yêu cầu
Xem phong thủy
HOTLINE : 0982.92.0000
Tra cứu Sim
Chọn mạng
VIETTEL
MOBIFONE
VINAPHONE
Mạng
VIETTEL
MOBIFONE
VINAPHONE
Tìm thông tin
Trang chủ
thiet bi giam sat hanh trinh
Sim Viettel Mới
STT
Số sim
Nhà cung cấp
Giá bán
Kho
1
0969.68.2222
VIETTEL
50.000.000 VNĐ
Hà Nội
2
09.6776.2222
VIETTEL
39.000.000 VNĐ
Hà Nội
3
0962.228.228
VIETTEL
38.000.000 VNĐ
Hà Nội
4
0995.01.6666
VIETTEL
33.000.000 VNĐ
Hà Nội
5
0966.96.0000
VIETTEL
25.000.000 VNĐ
Hà Nội
6
09.6116.0000
VIETTEL
25.000.000 VNĐ
Hà Nội
7
0977.595.595
VIETTEL
19.000.000 VNĐ
Hà Nội
8
098.559.0000
VIETTEL
18.000.000 VNĐ
Hà Nội
9
098.1111.688
VIETTEL
16.000.000 VNĐ
Hà Nội
10
098.1111.686
VIETTEL
16.000.000 VNĐ
Hà Nội
11
0968.186.686
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
12
0961.22.0000
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
13
098.115.0000
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
14
0969.56.0000
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
15
098.116.0000
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
16
0969.39.0000
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
17
0995.83.6789
VIETTEL
15.000.000 VNĐ
Hà Nội
18
0969.83.0000
VIETTEL
13.000.000 VNĐ
Hà Nội
19
098.158.0000
VIETTEL
12.000.000 VNĐ
Hà Nội
20
0981.085.999
VIETTEL
12.000.000 VNĐ
Hà Nội
Tổng sim "VIETTEL" : 117 sim
[-Xem thêm-]
Sim Vina Mới
STT
Số sim
Nhà cung cấp
Giá bán
Kho
1
0888.282.282
VINAPHONE
50.000.000 VNĐ
Hà Nội
2
0911.86.3333
VINAPHONE
50.000.000 VNĐ
Hà Nội
3
0888.8282.86
VINAPHONE
13.000.000 VNĐ
Hà Nội
4
0918.8383.86
VINAPHONE
13.000.000 VNĐ
Hà Nội
5
0911.89.0000
VINAPHONE
12.000.000 VNĐ
Hà Nội
6
0911.362.888
VINAPHONE
12.000.000 VNĐ
Hà Nội
7
0888.622.688
VINAPHONE
9.000.000 VNĐ
Hà Nội
8
08888.19.868
VINAPHONE
8.900.000 VNĐ
Hà Nội
9
0888.683.886
VINAPHONE
5.999.000 VNĐ
Hà Nội
10
0931.999.368
VINAPHONE
5.500.000 VNĐ
Hà Nội
11
0888.078.688
VINAPHONE
5.000.000 VNĐ
Hà Nội
12
0888.36.2828
VINAPHONE
5.000.000 VNĐ
Hà Nội
13
0888.015.668
VINAPHONE
3.900.000 VNĐ
Hà Nội
14
0888.386.379
VINAPHONE
3.800.000 VNĐ
Hà Nội
15
0888.303.688
VINAPHONE
3.500.000 VNĐ
Hà Nội
16
0888.2929.86
VINAPHONE
3.500.000 VNĐ
Hà Nội
17
0888.697.668
VINAPHONE
2.900.000 VNĐ
Hà Nội
18
0888.125.686
VINAPHONE
2.500.000 VNĐ
Hà Nội
19
08.8668.5558
VINAPHONE
2.500.000 VNĐ
Hà Nội
20
0888.659.868
VINAPHONE
2.500.000 VNĐ
Hà Nội
Tổng sim "VINAPHONE" : 25 sim
[-Xem thêm-]
Sim Viet Nam Mobile Mới
STT
Số sim
Nhà cung cấp
Giá bán
Kho
Tổng sim "MOBIFONE" : 0 sim
[-Xem thêm-]
Sim phong thủy - Sim số đẹp - Sim năm sinh - Thần tài - Tứ quý - Taxi - Lộc phát
Thống kê
Khách đang online
6
Tổng lượt truy cập
608733
Tổng số sim
142
Hỗ trợ 24/7
THÙY LINH
0982920000
Sim mới cập nhật
0969.68.2222
50.000.000
VNĐ
0966.96.0000
25.000.000
VNĐ
0969.39.0000
15.000.000
VNĐ
0969.83.0000
13.000.000
VNĐ
0969.56.0000
15.000.000
VNĐ
096.6868.599
3.500.000
VNĐ
0968.896.599
1.500.000
VNĐ
0911.362.888
12.000.000
VNĐ
0961.911.789
3.900.000
VNĐ
0888.683.886
5.999.000
VNĐ
0962.228.228
38.000.000
VNĐ
08.8668.5558
2.500.000
VNĐ
0888.8282.86
13.000.000
VNĐ
0981.021.868
2.800.000
VNĐ
0968.186.686
15.000.000
VNĐ
0969.15.2266
2.800.000
VNĐ
0995.83.6789
15.000.000
VNĐ
0983.526.222
3.500.000
VNĐ
0969.098.333
5.000.000
VNĐ
096.2222.895
2.800.000
VNĐ
© 2013 by Sim số đẹp - Sim phát tài - Sim năm sinh - Thần tài - Sim Phong Thủy | Designed by
TCN

markdown:
Sim phong thủy - Sim số đẹp - Sim năm sinh - Thần tài - Tứ quý - Taxi - Lộc phát
|
||
|
## Sim Viettel Mới
Tổng sim "VIETTEL" : 117 sim
## Sim Vina Mới
Tổng sim "VINAPHONE" : 25 sim
## Sim Viet Nam Mobile Mới
Tổng sim "MOBIFONE" : 0 sim |
|
|
|
© 2013 by Sim số đẹp - Sim phát tài - Sim năm sinh - Thần tài - Sim Phong Thủy | Designed by

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

Server: Apache

P3P: CP="NOI ADM DEV PSAi COM NAV OUR OTRo STP IND DEM"

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Connection: close

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
- themecraft.net được đăng ký 7 năm 7 tháng trước.
- Thứ hạng Alexa toàn cầu: #10,121.
- Đuôi tên miền: .net.
- Google PageRank: 5/10.
- Giá trị website ước tính: 17,251,920,000 VNĐ
- Thu nhập hàng ngày ước tính: 23,961,000 VNĐ.
- Chưa có báo cáo Rủi ro bảo mật nào đối với website này gần đây, themecraft.net AN TOÀN với người sử dụng.
Latest UK TV and radio programme listings, what's on TV tonight, TV and entertainment news from Radio Times.
Over 20 million songs globally in every possible genre. Play as much music as you want on our computer, mobile or home audio system.
Latest domains information including free whois, reverse ip, reverse email
The free Warcraft universe info source wiki that anyone can edit, with World of Warcraft guides, WoW UI documentation, background lore, and much more!

markdown:
- themecraft.net được đăng ký 7 năm 7 tháng trước.
- Thứ hạng Alexa toàn cầu: #10,121.
- Đuôi tên miền:
**. .net**
|Unique Visitor hàng ngày:||95,070|
|Pageview hàng ngày:||570,420|
|Doanh thu hàng ngày:||23,961,000 VNĐ|
|Giá trị ước tính:||17,251,920,000 VNĐ|
|Trang Google đã Index:||31,900,000|
|Trang Yahoo đã Index:||17|
|Trang Bing đã Index:||42|
|Google Backlink:||146|
|Bing Backlink:||2|
|Alexa BackLink:||6,894|
|Google Safe Browsing:||Không có rủi ro|
|Siteadvisor Rating:||Không có rủi ro|
|WOT Trustworthiness:||
|![]()
|WOT Privacy:||
|![]()
|WOT Child Safety:||
|![]()
|Facebook Share:||547|
|Facebook Like:||Chưa có dữ liệu|
|Facebook Comment:||Chưa có dữ liệu|
|Twitter Tweet:||1|
|Linkedin Share:||Chưa có dữ liệu|
|Delicious Share:||Chưa có dữ liệu|
|Google+:||Chưa có dữ liệu|
|H1 Heading:||Chưa có dữ liệu||H2 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|H3 Heading:||Chưa có dữ liệu||H4 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|H5 Heading:||Chưa có dữ liệu||H6 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|Tổng số IFRAME:||Chưa có dữ liệu||Tổng số Ảnh:||Chưa có dữ liệu|
|Google Adsense ID:||Chưa có dữ liệu||Google Analytic ID:||Chưa có dữ liệu|
|Công ty đăng ký tên miền:||
GODADDY.COM, LLC
|![]()
|Host||IP Address||Country|
|ns1.linode.com||
|![]()
Latest UK TV and radio programme listings, what's on TV tonight, TV and entertainment news from Radio Times.
Over 20 million songs globally in every possible genre. Play as much music as you want on our computer, mobile or home audio system.
Latest domains information including free whois, reverse ip, reverse email
The free Warcraft universe info source wiki that anyone can edit, with World of Warcraft guides, WoW UI documentation, background lore, and much more!

Set-Cookie: __cfduid=dcf792afac01b7bbd48747954f0563f391490329253; expires=Sat, 24-Mar-18 04:20:53 GMT; path=/; domain=.site4vn.com; HttpOnly

Server: cloudflare-nginx

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Type: text/html


text:
Tin trong nước
Tin trong nước
Tin trong nước | 23-03-2017
Bảo tàng Tổng hợp tỉnh Trà Vinh vừa công bố kết quả thám sát và khai quật của Trung tâm Khảo cổ học (Viện Khoa học Xã hội vùng Nam Bộ, thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Xã hội Việt Nam) đối với khu di tích chùa Kompong Thmo (chùa Lò Gạch) tọa lạc ở ấp...
Tin trong nước | 22-03-2017
Với số vốn ban đầu 20 triệu đồng, anh Nguyễn Anh Hợp, ở thôn Tình Phú Nam, xã Hành Minh, huyện Nghĩa Hành, tỉnh Quảng Ngãi đã quyết định đầu tư mở xưởng gia công tranh ghép gỗ, bắt đầu hành trình khởi nghiệp trên mảnh đất quê hương.
Tin trong nước | 21-03-2017
Sau khi tuyến cao tốc Nội Bài – Lào Cai được đưa vào sử dụng, du lịch Sa Pa đã có sự tăng trưởng vượt bậc, kèm theo đó là nhu cầu đầu tư vào thị trường bất động sản ở đây tăng đột biến.
Tin trong nước | 20-03-2017
Các khoản Chính phủ vay về cho vay lại, Chính phủ bảo lãnh thì mới tính vào nợ công, còn lại doanh nghiệp phải tự vay tự trả, nếu vay không trả được thì cho phá sản. Không có chuyện chuyển nợ doanh nghiệp thành nợ Nhà nước.
Tin trong nước | 17-03-2017
Sáng nay, 16/3, tại Trụ sở Chính phủ, làm việc với Bộ GTVT, Thủ tướng nêu rõ tinh thần là phải tìm mọi biện pháp phát triển ngành GTVT để đáp ứng yêu cầu phát triển kinh tế-xã hội của đất nước. Không vì khó khăn về kinh phí mà đây tiếp tục là nút...
Tin trong nước | 16-03-2017
Nhiều lãnh đạo bệnh viện, Sở Y tế vẫn chưa chú trọng ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong khám chữa bệnh và thanh toán BHYT. Nhân lực cho công tác này còn mỏng, hệ thống máy tính nhiều nơi vừa thiếu vừa không đồng bộ...
Tin trong nước | 15-03-2017
Ngày 14/3, Cổng TTĐT Chính phủ tổ chức tọa đàm trực tuyến về bảo đảm tính nhất quán trong tạo môi trường thuận lợi cho doanh nghiệp.
Tin trong nước | 14-03-2017
Sáng 14/3, tại Nhà Quốc hội đã khai mạc Phiên họp thứ 8, Ủy ban Thường vụ Quốc hội khóa XIV. Phiên họp diễn ra đến ngày 21/3 với nhiều nội dung quan trọng chuẩn bị cho Kỳ họp thứ 3 của Quốc hội khóa XIV.
Tin trong nước | 13-03-2017
Người phát ngôn Bộ Ngoại giao trả lời phóng viên về việc Trung Quốc tổ chức tuyến du lịch trái phép đến quần đảo Hoàng Sa và việc tàu hải cảnh Trung Quốc truy đuổi một tàu cá Việt Nam.
Tin trong nước | 10-03-2017
Sáng 10/3, Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam, Chủ tịch Hội đồng Quốc gia về Phát triển bền vững và Nâng cao năng lực cạnh tranh chủ trì Hội nghị triển khai Nghị quyết 19/2017 về cải thiện môi trường kinh doanh, nâng cao năng lực cạnh tranh quốc gia.
Tin trong nước | 09-03-2017
Sau ba ngày làm việc khẩn trương, nghiêm túc và trách nhiệm, sáng 9/3, Đại hội đại biểu Phụ nữ toàn quốc lần thứ XII nhiệm kỳ 2017 - 2022 đã bế mạc, thành công tốt đẹp.
Tin trong nước | 08-03-2017
Lễ hội Holi 2017 sẽ diễn ra từ 11h00 đến 15h00 vào ngày 19/03/2017 tại Kinder Park - Công viên nước Hồ Tây (614 Lạc Long Quân, Tây Hồ, Hà Nội).
Tin trong nước | 07-03-2017
Tại phiên khai mạc Đại hội đại biểu Phụ nữ toàn quốc lần thứ XII, nhiệm kỳ 2017 - 2022, sáng 7/3, Đại hội đã nghe chị Nguyễn Thị Ngọc Bích, Phó Chủ tịch Hội Liên hiệp Phụ nữ TP Hồ Chí Minh chia sẻ về việc nâng cao chất lượng tổ chức Hội.
Tin trong nước | 06-03-2017
Sáng 5/3, tại Nhà Quốc hội đã diễn ra cuộc gặp mặt giữa lãnh đạo Quốc hội với các nữ Đại sứ, nữ Trưởng cơ quan đại diện các tổ chức quốc tế tại Việt Nam nhân kỷ niệm Ngày quốc tế phụ nữ 8/3.
Tin trong nước | 03-03-2017
Tất cả các khoa của Bệnh viện (BV) Ung bướu Việt Nam-Nhật Bản đều đạt chuẩn JCI (chứng nhận quốc tế về chất lượng dịch vụ y tế trên toàn cầu), nhằm mục tiêu sàng lọc, phát hiện, chẩn đoán sớm và điều trị cho bệnh nhân ung thư.
Tin trong nước | 03-03-2017
Ngày 3/3, tại TP Nha Trang (Khánh Hòa), Hội nghị lần thứ nhất các quan chức cao cấp (SOM 1) Diễn đàn hợp tác kinh tế châu Á - Thái Bình Dương (APEC) 2017 bước sang ngày làm việc thứ hai.
Tin trong nước | 01-03-2017
Sáng 1/3, dưới sự chủ trì của Thủ tướng Nguyễn Xuân Phúc, Chính phủ họp phiên thường kỳ tháng 2/2017. Thủ tướng cho rằng trong 2 tháng đầu năm nhận được nhiều tin vui như TPHCM quyết liệt ra quân tháo dỡ, trả lại vỉa hè cho người đi bộ, Hà Nội có...
Tin trong nước | 28-02-2017
Trong vòng 14 tháng, từ lúc tiếp nhận đề cử bình chọn các quy định pháp luật năm 2016 cho tới khi Phòng Thương mại và Công nghiệp Việt Nam (VCCI) tổ chức công bố kết quả, đã có 9.297 đề cử của 1.739 cá nhân, tổ chức từ các cơ quan Nhà nước, các...
Tin trong nước | 27-02-2017
Dự khai trương Trung tâm Đổi mới sáng tạo của Tập đoàn công nghệ CMC và công bố Quỹ Sáng tạo CMC, sáng 26/2, Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam nhấn mạnh phải hành động thực sự, hiểu đúng để nắm bắt những cơ hội từ sự phát triển mạnh mẽ của CNTT như khởi...
Tin trong nước | 24-02-2017
Ngoài chiếc áo blouse trắng quen thuộc, các y, bác sĩ trẻ của Bệnh viện Y học cổ truyền Yên Bái còn thường xuyên khoác trên mình những chiếc áo xanh tình nguyện với nhiều hoạt động xã hội ý nghĩa.
Thư Viện Ảnh
THỐNG KÊ TRUY CẬP
Tổng số lượt truy cập: 30587086
Số người đang truy cập: 88

markdown:
#
Tin trong nước
Tin trong nước
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/phat-hien-them-nhieu-dau-tich-van-hoa-oc-eo-tai-tra-vinh)
![](/thumbnail/300x180/19/64/21/7/1964217.jpg)
Tin trong nước | 23-03-2017
Bảo tàng Tổng hợp tỉnh Trà Vinh vừa công bố kết quả thám sát và khai quật của Trung tâm Khảo cổ học (Viện Khoa học Xã hội vùng Nam Bộ, thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Xã hội Việt Nam) đối với khu di tích chùa Kompong Thmo (chùa Lò Gạch) tọa lạc ở ấp...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/tan-dung-phe-pham-go-thu-tram-trieu-dong-thang)
![](/thumbnail/180x110/19/58/74/2/1958742.jpg)
Tin trong nước | 22-03-2017
Với số vốn ban đầu 20 triệu đồng, anh Nguyễn Anh Hợp, ở thôn Tình Phú Nam, xã Hành Minh, huyện Nghĩa Hành, tỉnh Quảng Ngãi đã quyết định đầu tư mở xưởng gia công tranh ghép gỗ, bắt đầu hành trình khởi nghiệp trên mảnh đất quê hương.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/dai-gia-bat-dong-san-nuom-nuop-do-von-vao-sa-pa)
![](/thumbnail/180x110/19/54/02/7/1954027.jpg)
Tin trong nước | 21-03-2017
Sau khi tuyến cao tốc Nội Bài – Lào Cai được đưa vào sử dụng, du lịch Sa Pa đã có sự tăng trưởng vượt bậc, kèm theo đó là nhu cầu đầu tư vào thị trường bất động sản ở đây tăng đột biến.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/khong-co-chuyen-nha-nuoc-ganh-no-cho-doanh-nghiep)
![](/thumbnail/180x110/19/49/77/7/1949777.jpg)
Tin trong nước | 20-03-2017
Các khoản Chính phủ vay về cho vay lại, Chính phủ bảo lãnh thì mới tính vào nợ công, còn lại doanh nghiệp phải tự vay tự trả, nếu vay không trả được thì cho phá sản. Không có chuyện chuyển nợ doanh nghiệp thành nợ Nhà nước.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/thu-tuong-khong-vi-kho-khan-kinh-phi-ma-de-gtvt-tiep-tuc-la-nut-that)
![](/thumbnail/180x110/19/41/81/4/1941814.jpg)
Tin trong nước | 17-03-2017
Sáng nay, 16/3, tại Trụ sở Chính phủ, làm việc với Bộ GTVT, Thủ tướng nêu rõ tinh thần là phải tìm mọi biện pháp phát triển ngành GTVT để đáp ứng yêu cầu phát triển kinh tế-xã hội của đất nước. Không vì khó khăn về kinh phí mà đây tiếp tục là nút...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/nhieu-vuong-mac-trong-ung-dung-cong-nghe-thong-tin-y-te)
![](/thumbnail/180x110/19/39/52/2/1939522.jpg)
Tin trong nước | 16-03-2017
Nhiều lãnh đạo bệnh viện, Sở Y tế vẫn chưa chú trọng ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong khám chữa bệnh và thanh toán BHYT. Nhân lực cho công tác này còn mỏng, hệ thống máy tính nhiều nơi vừa thiếu vừa không đồng bộ...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/toa-dam-truc-tuyen-ve-tao-moi-truong-thuan-loi-cho-doanh-nghiep)
![](/thumbnail/180x110/19/32/26/5/1932265.jpg)
Tin trong nước | 15-03-2017
Ngày 14/3, Cổng TTĐT Chính phủ tổ chức tọa đàm trực tuyến về bảo đảm tính nhất quán trong tạo môi trường thuận lợi cho doanh nghiệp.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/khai-mac-phien-hop-thu-8-uy-ban-thuong-vu-quoc-hoi-khoa-x)
![](/thumbnail/180x110/19/25/71/5/1925715.jpg)
Tin trong nước | 14-03-2017
Sáng 14/3, tại Nhà Quốc hội đã khai mạc Phiên họp thứ 8, Ủy ban Thường vụ Quốc hội khóa XIV. Phiên họp diễn ra đến ngày 21/3 với nhiều nội dung quan trọng chuẩn bị cho Kỳ họp thứ 3 của Quốc hội khóa XIV.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/phan-doi-trung-quoc-to-chuc-tuyen-du-lich-trai-phep-den-quan-dao-hoang-sa)
![](/thumbnail/180x110/19/20/96/0/1920960.jpg)
Tin trong nước | 13-03-2017
Người phát ngôn Bộ Ngoại giao trả lời phóng viên về việc Trung Quốc tổ chức tuyến du lịch trái phép đến quần đảo Hoàng Sa và việc tàu hải cảnh Trung Quốc truy đuổi một tàu cá Việt Nam.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/can-sang-tao-trong-trien-khai-nghi-quyet-19-2017)
![](/thumbnail/180x110/19/15/65/2/1915652.jpg)
Tin trong nước | 10-03-2017
Sáng 10/3, Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam, Chủ tịch Hội đồng Quốc gia về Phát triển bền vững và Nâng cao năng lực cạnh tranh chủ trì Hội nghị triển khai Nghị quyết 19/2017 về cải thiện môi trường kinh doanh, nâng cao năng lực cạnh tranh quốc gia.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/ba-nguyen-thi-thu-ha-tai-cu-chu-tich-hoi-lien-hiep-phu-nu-viet-nam-khoa-xii)
![](/thumbnail/180x110/19/12/32/7/1912327.jpg)
Tin trong nước | 09-03-2017
Sau ba ngày làm việc khẩn trương, nghiêm túc và trách nhiệm, sáng 9/3, Đại hội đại biểu Phụ nữ toàn quốc lần thứ XII nhiệm kỳ 2017 - 2022 đã bế mạc, thành công tốt đẹp.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/le-hoi-holi-2017-dien-ra-tai-ha-noi)
![](/thumbnail/180x110/19/11/73/8/1911738.jpg)
Tin trong nước | 08-03-2017
Lễ hội Holi 2017 sẽ diễn ra từ 11h00 đến 15h00 vào ngày 19/03/2017 tại Kinder Park - Công viên nước Hồ Tây (614 Lạc Long Quân, Tây Hồ, Hà Nội).
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/dai-hoi-phu-nu-xii-nhung-tieng-noi-tu-co-so)
![](/thumbnail/180x110/19/03/89/7/1903897.jpg)
Tin trong nước | 07-03-2017
Tại phiên khai mạc Đại hội đại biểu Phụ nữ toàn quốc lần thứ XII, nhiệm kỳ 2017 - 2022, sáng 7/3, Đại hội đã nghe chị Nguyễn Thị Ngọc Bích, Phó Chủ tịch Hội Liên hiệp Phụ nữ TP Hồ Chí Minh chia sẻ về việc nâng cao chất lượng tổ chức Hội.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/gap-mat-cac-nu-dai-su-tai-viet-nam)
![](/thumbnail/180x110/18/99/04/1/1899041.jpg)
Tin trong nước | 06-03-2017
Sáng 5/3, tại Nhà Quốc hội đã diễn ra cuộc gặp mặt giữa lãnh đạo Quốc hội với các nữ Đại sứ, nữ Trưởng cơ quan đại diện các tổ chức quốc tế tại Việt Nam nhân kỷ niệm Ngày quốc tế phụ nữ 8/3.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/ha-noi-xay-benh-vien-ung-buou-tieu-chuan-nhat-ban)
![](/thumbnail/180x110/18/91/94/0/1891940.jpg)
Tin trong nước | 03-03-2017
Tất cả các khoa của Bệnh viện (BV) Ung bướu Việt Nam-Nhật Bản đều đạt chuẩn JCI (chứng nhận quốc tế về chất lượng dịch vụ y tế trên toàn cầu), nhằm mục tiêu sàng lọc, phát hiện, chẩn đoán sớm và điều trị cho bệnh nhân ung thư.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/apec-2017-thao-luan-cac-khung-chuong-trinh-uu-tien-cua-nam-apec-2017)
![](/thumbnail/180x110/18/92/69/6/1892696.jpg)
Tin trong nước | 03-03-2017
Ngày 3/3, tại TP Nha Trang (Khánh Hòa), Hội nghị lần thứ nhất các quan chức cao cấp (SOM 1) Diễn đàn hợp tác kinh tế châu Á - Thái Bình Dương (APEC) 2017 bước sang ngày làm việc thứ hai.
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/thu-tuong-hoan-nghenh-tinh-than-quyet-liet-tra-lai-via-he-cho-nguoi-di-bo-)
![](/thumbnail/180x110/18/87/42/8/1887428.jpg)
Tin trong nước | 01-03-2017
Sáng 1/3, dưới sự chủ trì của Thủ tướng Nguyễn Xuân Phúc, Chính phủ họp phiên thường kỳ tháng 2/2017. Thủ tướng cho rằng trong 2 tháng đầu năm nhận được nhiều tin vui như TPHCM quyết liệt ra quân tháo dỡ, trả lại vỉa hè cho người đi bộ, Hà Nội có...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/phat-hien-hang-tram-quy-dinh-phap-luat-gay-phien-ha-doanh-nghiep)
![](/thumbnail/180x110/18/83/95/1/1883951.jpg)
Tin trong nước | 28-02-2017
Trong vòng 14 tháng, từ lúc tiếp nhận đề cử bình chọn các quy định pháp luật năm 2016 cho tới khi Phòng Thương mại và Công nghiệp Việt Nam (VCCI) tổ chức công bố kết quả, đã có 9.297 đề cử của 1.739 cá nhân, tổ chức từ các cơ quan Nhà nước, các...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/hieu-dung-de-nam-bat-co-hoi-tu-su-phat-trien-manh-me-cua-cntt)
![](/thumbnail/180x110/18/80/76/4/1880764.jpg)
Tin trong nước | 27-02-2017
Dự khai trương Trung tâm Đổi mới sáng tạo của Tập đoàn công nghệ CMC và công bố Quỹ Sáng tạo CMC, sáng 26/2, Phó Thủ tướng Vũ Đức Đam nhấn mạnh phải hành động thực sự, hiểu đúng để nắm bắt những cơ hội từ sự phát triển mạnh mẽ của CNTT như khởi...
[](http://sonla.gov.vn/tin-tuc-su-kien/-/asset_publisher/content/nhung-bac-si-ao-xanh-tinh-nguyen)
![](/thumbnail/180x110/18/75/03/5/1875035.jpg)
Tin trong nước | 24-02-2017
Ngoài chiếc áo blouse trắng quen thuộc, các y, bác sĩ trẻ của Bệnh viện Y học cổ truyền Yên Bái còn thường xuyên khoác trên mình những chiếc áo xanh tình nguyện với nhiều hoạt động xã hội ý nghĩa.
#
Thư Viện Ảnh
#
THỐNG KÊ TRUY CẬP
Tổng số lượt truy cập: 30587086
Số người đang truy cập: 88

Set-Cookie: COOKIE_SUPPORT=true; Expires=Sat, 24-Mar-2018 04:19:55 GMT; Path=/


text:
-
THÔNG BÁO TUYỂN ADMIN DIỄN ĐÀN 2013
Tìm kiếm nhà trọ - Ở ghép
THÔNG BÁO BÁN ÁO SPKT.NET CHO THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN
HÃY TÌM KIẾM Ở ĐÂY TRƯỚC KHI ĐẶT CÂU HỎI{xen:phrase loading}
Sinh nhật lớp phó đtvt nè mấy pác !!!!
Thảo luận trong 'ĐTVT08' bắt đầu bởi docvuong, 31 Tháng năm 2009.

markdown:
-
[THÔNG BÁO TUYỂN ADMIN DIỄN ĐÀN 2013](http://spkt.net/threads/thong-bao-tuyen-02-admin-cho-4rum.32345/)
[Tìm kiếm nhà trọ - Ở ghép](http://www.spkt.net/forums/thong-tin-nha-tro.138/)
[THÔNG BÁO BÁN ÁO SPKT.NET CHO THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN](http://spkt.net/threads/thong-bao-ban-ao-dien-dan-spkt-2013.27570/)
**HÃY TÌM KIẾM Ở ĐÂY TRƯỚC KHI ĐẶT CÂU HỎI**{xen:phrase loading}
# Sinh nhật lớp phó đtvt nè mấy pác !!!!
Thảo luận trong '
[ĐTVT08](forums/dtvt08.319/)' bắt đầu bởi [docvuong](members/docvuong.896/), [31 Tháng năm 2009](threads/sinh-nhat-lop-pho-dtvt-ne-may-pac.3062/).

Cache-control: private, max-age=0

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
- Hoạt động cuối:
- 8/10/15
- Tham gia ngày:
- 8/10/15
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
- 0
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 18/7/96 (Tuổi: 20)
KnevS
New Member, Nam, 20
- KnevS được nhìn thấy lần cuối:
- 8/10/15
-
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 18/7/96 (Tuổi: 20)
Tương tác

markdown:
![ KnevS](http://svnhforum.com/forum/data/avatars/l/120/120010.jpg?1444310835)
- Hoạt động cuối:
- 8/10/15
- Tham gia ngày:
- 8/10/15
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
[0](members/knevs.120010/trophies)
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 18/7/96 (Tuổi: 20)
# KnevS
New Member, Nam, 20
- KnevS được nhìn thấy lần cuối:
- 8/10/15
-
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 18/7/96 (Tuổi: 20)
### Tương tác

Server: nginx

Vary: Accept-Encoding

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Vietnix-Cache: HIT from backend


text: anh chị ơi cho em hỏi,nếu bị lập biên bản đình chỉ thi do mang tài liệu vào phòng thi thì có được thi lại không ạ?? nếu được thi thì sẽ thi vào ngày 2 tuần sau kỳ thi chính thi hay sang đầu học kỳ mới mới thi ạ????


text: Đầu năm 2015 phiên bản nâng cấp của Xiaomi Mi4 đã ra mắt – Xiaomi Mi5 mang đến cho người tiêu dùng những bất ngờ với thiết kế sang trọng, cấu hình mạnh mẽ nhất tại thời điểm ra mắt, camera được trang bị, nâng cấp. Xiaomi được thiết kế nguyên khối gần giống Samsung Galaxy S7 đình đám trình làng năm 2016, sở hữu chíp Snapdragon 820 nhiều phiên bản bộ nhớ vô cùng mạnh, Sử dụng màn hình 5.15 inch độ phân giải Full HD 1080 x 1920 pixels (~428 ppi mật độ điểm ảnh) giúp độ nét trên Xiaomi Mi5 vô cùng suất sắc. Thiết kế Xiaomi Mi5 Nói về ngoại hình, Xiaomi Mi5 chính hãng được xem là một bản nâng cấp từ mẫu Mi4 vốn rất thành công ngay tại sân nhà và nhiều khu vực trong đó có Việt Nam. Xiaomi Mi5 vẫn được hoàn thiện nguyên khối với đường viền kim loại cực kỳ cứng cáp, mặt trước có màn hình lớn không viền, mặt sau được bo cong như trên dòng Samsung Galaxy S7 vừa trình làng trong năm 2016. Phần mặt trước của điện thoại giá rẻ Xiaomi Mi5 là màn hình kích thước 5.15 inch, phía trên ta có loa thoại, camera phụ và cảm biến. Dưới màn hình ta có nút home tích hợp bảo mật vân tay một chạm siêu nhạy. Cạnh phải của máy là cụm phím tăng giảm âm lượng, nút nguồn, cạnh trái là khay cắm sim (máy hỗ trợ hai sim và không có thẻ nhớ ngoài). Cấu hình Xiaomi Mi5 Xiaomi Mi5 sẽ có ba phiên bản khác nhau về xung nhịp và dung lượng bộ nhớ nhưng cùng chung con chip Snapdragon 820 mới nhất của Qualcomm. Cụ thể, Xiaomi Mi5 bản tốc độ 1,8 GHz, RAM 3 GB, bộ nhớ 32 GB và tốc độ 2,15 GHz, RAM 3 GB có bộ nhớ 64 GB. Bản đắt nhất sẽ được trang bị RAM 4 GB, bộ nhớ trong 128 GB. Mi5 sẽ chạy hệ điều hành Android 6.0 Marshmallow bản MIUI 7.0. Camera Xiaomi Mi5 Hệ thống camera trên điện thoại chính hãng Xiaomi Mi5 là một trong những chi tiết đáng giá nhất khi được nhà sản xuất đầu tư rất nhiều công nghệ mới mang tới chất lượng ảnh chụp vô cùng tuyệt vời. Về chi tiết, Xiaomi Mi5 được trang bị camera chính 16 MP sử dụng cảm biến cao cấp Sony IMX 298, khẩu độ F/2.0 có chống rung quang học 4 trục, camera chính này hỗ trợ quay phim độ phân giải lên đến 4K. Ngoài ra, máy ảnh phụ 4 MP cho phép quay phim Full HD cũng mang tới chất lượng trải nghiệm chụp ảnh hấp dẫn. Màn hình Xiaomi Mi5 Sử dụng màn hình 5.15 inch độ phân giải Full HD 1080 x 1920 pixels (~428 ppi mật độ điểm ảnh) giúp độ nét trên Xiaomi Mi5 vô cùng suất sắc. Nhờ việc sử trang bị tấm nền màn hình IPS LCD cao cấp nên chất lượng hiển thị về màu sắc sẽ vô cùng chân thực, góc nhìn của máy rất tốt và độ sáng cao khi nhìn ngoài trời nắng gắt. Kết luận: Mặc dù hãng Xiaomi đã đưa ra những đứa con mới mạnh mẽ nhưng Mi5 vẫn được lựa chọn bởi giá bán Xiaomi Mi5 chỉ ở mức tầm trung, rất phù hợp với nhiều đối tượng sử dụng để có thể sở hữu một smartphone cao cấp, cấu hình mạnh, đẹp mắt mà sang trọng. Bạn muốn mua Xiaomi Mi5 vui lòng đến địa chỉ cửa hàng MSmobile hoặc liên hệ qua hotline sau để đặt hàng và tư vấn chi tiết: Số 16 - Trường Chinh - Đống Đa - Hà Nội Số 54 - Trần Đăng Ninh - Cầu Giấy - Hà Nội Hotline: 0906 655 655 - 0913 210 210 MSmobile hân hạnh được đón tiếp!


text:
Chuyên đề nguyên hàm tích phân
Chia sẻ: Lê Toàn Quyền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22
lượt xem 661
download
Chuyên đề nguyên hàm tích phân
Tài liệu ôn thi môn Toán tham khảo về Chuyên đề nguyên hàm tích phân. Tài liệu ôn tập dành cho học sinh ôn thi đại học - cao đẳng hệ Trung học phổ thông. Hy vọng tài liệu cung cấp kiến thức bổ ích cho các bạn.
Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chuyên đề nguyên hàm tích phân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net NGUYEÂN HAØM VAÁN ÑEÀ 1: TÌM HOÏ NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA: ÑN1: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ÑN2: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a; b] ⎧ ⎪ F'(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ⎪ ⎪ F(x) − F(a) ⇔ ⎨ F'+ (a) = lim = f(a) ⎪ x→a + x−a ⎪ F(x) − F(b) ⎪ F'− (b) = xlim ⎩ →b − x−b = f(b) Kyù hieäu hình thöùc ∫ f(x)dx = F(x) + C goïi laø moät hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) hay tích phaân baát ñònh cuûa haøm f(x). VAÁN ÑEÀ 2: BOÅ SUNG VI PHAÂN - DAÏNG VI PHAÂN HAØM HÔÏP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giaû söû toàn taïi y = f(t) maø trong ñoù t = g(x); ñeå cho haøm hôïp y = f[g(x)] coù vi phaân ñöôïc vieát: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHOÙM HAØM LUÕY THÖØA NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC dx d(xn)=nxn-1dx d(arc sinx) = 1 - x2 *Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: dx d(ax+b) = adx d(arc cosx) = - ⎛1⎞ dx 1 - x2 d⎜ ⎟ = - 2 dx ⎝x⎠ x d(arc tgx) = 1 + x2 dx ( ) d x = 2 x d(arc cotgx) = - dx 1 + x2 NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NHOÙM HAØM MUÕ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx dx d(lnx) = d(cosx) = -sinxdx x dx dx d(tgx) = = (1 + tg 2 x)dx d(log a x) = cos x 2 xlna dx d(ex) = exdx d(cotgx) = - 2 sin x d(ax) = axlnadx A. BAÛNG CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA x n+1 dx 1/ ∫ x dx = n + C ( n ¹ -1 ) 2/ ∫ x-1 dx = ∫ = ln x + C ( x ≠ 0 ) n +1 x Tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I dx 1 4/ ∫ = - +C 3/ ∫ dx = x + C x 2 x 1 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net m n m+ n dx -1 5/ ∫ x n dx = x n +C 6/ ∫ = +C m+n x n ( n - 1) x n-1 n n n+1 dx n n n-1 7/ ∫ n xdx = x +C 8/ ∫ = x +C n +1 n x n -1 NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC 9/ ∫ sinxdx = -cosx + C 10/ ∫ cosxdx = sinx + C dx dx 11/ ∫ = tgx + C 12/ ∫ = -cotgx + C cos 2 x sin 2 x 13/ ∫ tgxdx = -ln cosx + C 14/ ∫ cotgxdx = ln sinx + C NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ – LOGARITHM 15/ ∫ ex dx = ex + C 16/ ∫ e-x dx = -e-x + C 17/ ∫ ax = ax + C (1 ≠ a > 0) 18/ ∫ lnxdx = x ( lnx - 1) + C ( x > 0 ) lna NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC (a > 0) dx dx 1 x -1 19/ ∫ = arctgx + C 20/ ∫ = ln +C x +1 2 x -1 2 x +1 2 dx 1 x dx 1 x-a 21/ ∫ 2 2 = arctg + C 22/ ∫ 2 2 = ln +C x +a a a x -a 2a x + a NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC (a > 0) dx dx x 23/ ∫ = arcsinx + C 24/ ∫ = arcsin + C 1 - x2 a2 - x 2 a dx dx 25/ ∫ = ln x + x 2 ± 1 + C 26/ ∫ = ln x + x 2 ± a2 + C x ±12 x ±a 2 2 x 2 2 a2 x 27/ ∫ a2 - x 2 dx = a - x + arcsin + C 2 2 a x 2 a 2 28/ ∫ x 2 ± a2 dx = x ± a2 ± ln x + x 2 ± a2 + C 2 2 B. BAÛNG THAM KHAÛO CAÙC TÍCH PHAÂN MÔÛ ROÄNG: NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 2 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net (ax + b)n+1 1/ ∫ (ax + b)n dx = + C (n ≠ -1) a(n + 1) dx 1 2/ ∫ (ax + b)-1 dx = ∫ = ln (ax + b) + C (ax + b ≠ 0) (ax + b) a Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I dx -1 3/ ∫ d(ax + b) = ax + b + C 4/ ∫ = +C (ax + b) 2 a(ax + b) m n m +n dx -1 5/ ∫ (ax + b) n dx = (ax + b) n + C 6/ ∫ = +C a(m + n) (ax + b) n a(n - 1)(ax + b) n-1 n dx n n 7/ ∫ n (ax + b)dx = n (ax + b)n+1 + C 8/ ∫ = (ax + b)n-1 + C a(n + 1) n (ax + b) a(n - 1) NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 1 9/ ∫ sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C 10/ ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a a dx 1 dx 1 11/ ∫ = tg(ax + b) + C 12/ ∫ 2 = - cotg(ax + b) + C cos (ax + b) a 2 sin (ax + b) a 1 1 13/ ∫ tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) + C 14/ ∫ cotg(ax + b)dx = ln sin(ax + b) + C a a NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ - LOGARITHM MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 a(ax+b) 15/ ∫ e(ax+b) dx = e(ax+b) + C 16/ ∫ a(ax+b) dx = + C (1 ≠ a > 0) a alna 1 17/ ∫ ln(ax + b)dx = (ax + b)[ln(ax + b) - 1]+ C (ax + b > 0) a NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0; a > 0) dx 1 ⎛ ax + b ⎞ dx 1 (ax + b) - a 18/ ∫ = arctg ⎜ ⎟ +C 19/ ∫ = ln +C (ax + b) + a 2 2 aa ⎝ a ⎠ (ax + b) - a 2 2 2aa (ax + b) + a NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC MÔÛ ROÄNG ((α ≠ 0; a > 0) dx 1 (ax + b) 20/ ∫ = arcsin +C a - (ax + b) 2 2 a a dx 1 21/ ∫ = ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C (ax + b) ± a 2 2 a (ax + b) 2 a2 (ax + b) 22/ ∫ a2 - (ax + b)2 dx = a - (ax + b)2 + arcsin +C 2a 2a a 3 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net (ax + b) 23/ ∫ (ax + b)2 ± a2 dx = (ax + b)2 ± a2 ± ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C 2a VAÁN ÑEÀ 3: THUAÄT PHAÂN TÍCH HAØM TRONG DAÁU TÍCH PHAÂN VEÀ DAÏNG CHUAÅN TRONG BAÛNG TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: Bieán ñoåi haøm tích phaân veà daïng: ∫ [Af(x) ± Bf(x) + ...]dx = A∫ f(x)dx ± B∫ g(x)dx + ... B1: Cuï theå phaûi B 1/ Nhaân phaân phoái: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai trieån caùc haèng ñaúng thöùc: (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 (A ± B)3 = A3 ± 3A2 B + 3AB2 ± B3 ;... Xb 3/ Theâm bôùt haïng töû: X = (X + B) - B; X = (b ≠ 0);... b 4/ Nhaân löôïng lieân hôïp: A ± B ←⎯ llh → A m B; ... 5/ Bieán ñoåi löôïng giaùc sô caáp baèng caùc coâng thöùc: sinx cosx 1 = sin 2 x + cos 2 x; tgx = ; cotgx = ; cosx sinx 1 1 = 1 + tg 2 x; = 1 + cotg 2 x; tgxcotgx = 1; cos x2 sin x 2 1 - cos2x 1 + cos2x sin 2 x = ; cos 2 x = ; 2 2 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin 3 x = ; cos 3 x = ; v.v... 4 4 B2: Muïc ñích laø haøm soá trong daáu tích phaân ñöôïc bieán ñoåi: B • Tích thaønh toång; ñaëc bieät moät haøm phaân thöùc phaûi coù töû laø toång vaø maãu laø tích. • Caên thöùc thaønh luõy thöøa; ôû ñaây ta aùp duïng caùc tính chaát luõy thöøa sau: x ⎛A⎞ m x 1 -m n m m n mn x x x A = A ; A = A ;(A ) = A ; A B = (AB) ; x = ⎜ ⎟ n ⎝B⎠ m A B B3: Moät vieäc quan troïng laø söû duïng ñöôïc coâng thöùc tích phaân haøm hôïp B ∫ f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+ C vôùi F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì baøi toaùn giaûi quyeát nhanh vaø goïn. Ghi chuù: Khi tính toaùn ta duøng haøm y = f(x) = sgn(x) ñeå thay daáu (±) cho goïn. Ta coù ñònh ⎡1 khi x > 0 ⎡1 khi f(x) > 0 nghóa: sgn(x) = ⎢ ⎯⎯⎯⎯ sgn[f(x)]= ⎢ môû roäng → ⎣-1 khi x < 0 ⎣ -1 khi f(x) < 0 VAÁN ÑEÀ 4: HAÈNG SOÁ C TRONG HAØM NGUYEÂN HAØM VAØ ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH: Daïng 1: Tìm haèng soá C trong haøm nguyeân haøm Nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) treân [a;b] khi noù thoûa moät giaû thieát naøo ñoù taïi x0∈[a;b]. ( ) ∫ f(x)dx = F(x 0 ) + C (1) taïi x 0 4 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Ghi chuù: Thöïc teá ta vieát moät hoï nguyeân haøm cuûa f(x) laø F(x) = ∫ f(x)dx maø vaãn khoâng maát tính toång quaùt cuûa nguyeân haøm so vôùi ñònh nghóa hoï nguyeân haøm. Daïng 2: Phaân tích bieåu thöùc thaønh tích Duøng ñònh nghóa nguyeân haøm vaø öùng duïng caùch xaùc ñònh haèng soá C qua 4 böôùc: • Xem bieåu thöùc A(x, a, b, c,...) ñaõ cho laø moät ña thöùc moät bieán (giaû söû bieán ñoù laø x) vaø ñaët f(x) = A(x, a, b, c,...). • Tính f’(x) vaø ñöa noù veà daïng thöøa soá. • Tính f(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f’(x). • Tìm haèng soá C baèng caùch thay x = x0 laø giaù trò cuï theå naøo ñoù vaøo nguyeân haøm ôû treân, luùc ñoù xuaát hieän caùc nhaân töû vaø ta keát thuùc baøi toaùn baèng caùch ñaët nhaân töû chung. Ghi chuù: Haèng soá C ôû böôùc 4 khoâng phuï thuoäc vaøo x neân vieát C = g(a; b; c...). Daïng 3: Tính toång höõu haïn B1: Xeùt moät toång f(x) coù nguyeân haøm laø toång lieân tieáp caùc haïng töû cuûa moät caáp soá nhaân maø B 1 - qn soá haïng ñaàu laø a1, coù n haïng töû vaø coâng boäi q thì: F(x) = a1 . 1- q B2: So saùnh f(x) = F’(x) ta ñöôïc toång caàn tìm. B VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt . Vôùi x = ϕ(t) ∫ f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = ∫ f(t)dt . Vôùi t = ϕ(x) laø bieán môùi. A. BIEÁN ÑOÅI NGHÒCH ÑAËT t = ϕ(x) DAÏNG CAÙCH BIEÁN ÑOÅI 1. ∫ f(ax + b)dx Ñaët t = ax + b ⇒ dt = dx 2. ∫ f(x n+1 )x n dx Ñaët t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx dx dx 3. ∫ f( x ) Ñaët t = x ⇒ dt = x 2 x 4. ∫ f(cosx)sinxdx Ñaët t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. ∫ f(sinx)cosxdx Ñaët t = sinx ⇒ dt = cosxdx dx dx 6. ∫ f(tgx) Ñaët t = tgx ⇒ dt = cos 2 x cos 2 x dx -dx 7. ∫ f(cotgx) 2 Ñaët t = cotgx ⇒ dt = 2 sin x sin x 8. ∫ f(e )e dx x x Ñaët t = ex ⇒ dt = exdx dx dx 9. ∫ f(lnx) Ñaët t = lnx ⇒ dt = x x 5 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎡ 1 ⎢ f(arc tgx) 1 + x 2 dx ⎡ t = arc tgx dx 10. ∫ ⎢ Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± ⎢ f(arc cotgx) 1 dx ⎣ t = arc cotgx 1 + x2 ⎢ ⎣ 1 + x2 ⎡ 1 ⎢ f(arc sinx) dx 1 - x2 ⎡ t = arc sinx dx 11. ∫ ⎢ Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± ⎢ 1 ⎣ t = arc cosx 1 + x2 ⎢ f(arc cosx) dx ⎣ 1 - x2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 12. ∫ f ⎜ x ± ⎟ ⎜ 1 ∓ 2 ⎟dx Ñaët t = x ± ⇒ dt = ⎜ 1 ∓ 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠ B. ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN ÑAËT x = ϕ(t) DAÏNG CAÙCH BIEÁN ÑOÅI ( 1. ∫ f x, x 2 + a2 dx) x = atgt ⇒ dx = a cos 2 t dt 2. ∫ f ( x, a - x ) dx 2 2 x = asint ⇒ dx = acostdt 3. ∫ f ( x, x - a ) dx 2 2 a asint x= ⇒ dx = dt cost cos 2 t VAÁN ÑEÀ 6: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN RIEÂNG PHAÀN: ∫ udv = uv - ∫ vdu (*) hay ∫ uv'dx = uv - ∫ u'vdx Caùc daïng tích phaân töøng phaàn: Daïng 1: ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ∫ Pn (x) ⎢ e(ax+b) ⎢ ⎥ dx . Trong ñoù Pn(x) laø ña thöùc baäc n. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ Ta ñaët u = Pn(x) vaø dv = ⎢ (ax+b) ⎥ dx ⎢e ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ Chæ soá (n): cho ta soá laàn tính tích phaân töøng phaân phaûi thöïc hieän cho daïng naøy. Daïng 2: ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ I = ∫ Pn (x) ⎢ ⎥ dx ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ 6 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ Ta ñaët u = ⎢ ⎥ vaø dv = Pn(x)dx ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ TÍCH PHAÂN CHUYEÂN ÑEÀ 1: ÑIEÀU KIEÄN KHAÛ TÍCH: I. DIEÄN TÍCH HÌNH THANG HOÃN TUYEÁN: 1. Ñònh nghóa: y Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc, khoâng aâm xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b]. Khi ñoù hình B phaúng giôùi haïn bôû truïc hoaønh, ñöôøng A y=f(x) cong y = f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöôngtrình x = a vµ x = b ñöôïc goïi laø hình thang cong (Hình thang hoãn tuyeán AA’B’B). A' B' x O a b 2. Dieän tích hình thang cong: Ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f(x) xaùc ñònh, lieân tuïc, khoâng aâm treân ñoaïn [a;b], thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò y = f(x), truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng x = a vµ x = b coù giaù trò laø: S = F(b) - F(a) = S b . Vôùi F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá y = f(x) treân a [a;b]. II. ÑÒNH NGHÓA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH: III. Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] chia ñoaïn [a;b] thaønh n phaàn tuøy yù bôûi caùc ñieåm chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Treân moãi ñoaïn [xk-1;xk] vôùi 1 ≤ k ≤ n laáy moät ñieåm ξk baát kyø. Kyù hieäu: Δxk = xk - xk-1. Nghóa laø: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ... n Laäp toång ∑ f(ξ k =1 k )Δx k =f(ξ1 )Δx1 + f(ξ 2 )Δx 2 + ... + f(ξ n )Δx n Ñöôïc goïi laø toång tích phaân cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b]. 7 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Ta goïi tích phaân xaùc ñònh cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b] laø giôùi haïn (neáu coù) cuûa toång tích phaân khi maxΔxk → 0. Giôùi haïn naøy khoâng phuï thuoäc vaøo caùch phaân hoaïch ñoaïn [a;b] vaø vieäc choïn ξk. Kyù hieäu: b n ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξ k )Δx k a Δk →0 k =1 Luùc ñoù ta baûo haøm f khaû tích theo Riemann hay khaû tích. Chuù yù: • a ñöôïc goïi laø caän döôùi vaø b ñöôïc goïi laø caän treân. b • YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân xaùc ñònh: Neáu f(x) > 0 treân [a;b] thì ∫ f(x)dx chính laø a dieän tích cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:y = f(x), truïc hoaønh, x = a, vaø x = b. • Töø treân ta coù coâng thöùc Niutôn - Leùpnit (Newton - b b Leibnitz): ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) a . Trong ñoù: F’(x) = f(x). a VAÁN ÑEÀ 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG ÑÒNH NGHÓA (PHAÂN HOAÏCH) VAØ SÖÏ KHAÛ TÍCH: b Daïng 1: Tính tích phaân ∫ f (x)dx baèng pheùp phaân hoaïch vaø baøi toaùn ngöôïc a 1) Ñieàu kieän caàn: Neáu haøm soá y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] thì noù bò chaën treân ñoaïn [a;b] ñoù. 2) Ñieàu kieän ñuû: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì noù khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. • Khi tính tích phaân baèng ñònh nghóa caàn thöïc hieän: b-a B1: Chia ñoaïn [a;b] thaønh n ñoaïn baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia x k = a + k . Vôùi k = 0, 1, 2, n B ..., n. B2: Choïn ξk baèng xk (hoaëc xk-1) trong ñoaïn [xk-1,xk]. B n B3: Laäp toång tích phaân S n = ∑ (x k - x k-1 ).f(x k ) B k=1 b B4: Ta coù ∫ xf(x)dx = lim S n B n →∞ a Caàn nhôù moät soá keát quaû: n(n + 1) 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) 2) 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 2 ⎡ n(n + 1) ⎤ 3) 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 8 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b 4) F(x ) = ∫ f (t ).dt x ∈ [a;b], haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø F’(x) = f(x). a Daïng 2: Nhaän bieát haøm khaû tích Riemann b ÑL1: (Ñieàu kieän caàn: suy ra töø ñònh nghóa ∫ f (x)dx ) a Moïi haøm f khoâng bò chaën treân ñoaïn [a;b] thì f khoâng khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL2: (Ñk ñuû) Moïi haøm f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL3:Moïi haøm f bò chaën treân ñoaïn [a;b] vaø giaùn ñoaïn taïi höõu haïn caùc ñieåm x0 ∈ [a;b] maø lim f(x) ∈ R (*) thì f vaãn khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ⎧x→ x− ⎪ 0 ⎨ + ⎪x→ x0 ⎩ Caàn nhôù: f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f bò chaën treân ñoaïn [a;b]. ÑL4:Moïi haøm f bò chaën vaø ñôn ñieäu treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. Daïng 3: Söû duïng ñuùng ñaén coâng thöùc Newton – Leibnitz. Coâng thöùc Newton - Leibnitz: b ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) khi noù thoûa ñoàng thôøi hai ñieàu kieän: a • Haøm döôùi daáu tích phaân f(x) lieân tuïc treân [a;b]. • Haøm nguyeân haøm cuûa F(x) cuõng lieân tuïc treân [a;b]. Ghi chuù: Trong moät soá tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân coù daïng y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] ta chöa aùp duïng ngay coâng thöùc Newton - Leibnitz treân [a;b] maø caàn xöû lyù caän trung gian c ∈ (a;b) ñeå xeùt daáu f(x) vaø deã daøng tìm F(x) chaúng haïn: b c b ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx (*) .(*) coøn söû duïng khi x0 = c laø ñieåm giaùn ñoaïn cuûa f(x) vaø a a c F(x) treân ñoaïn [a;b] (tích phaân suy roäng). Thuaät ñoåi bieán soá: b Khi ñaõ quan saùt ∫ f(x)dx vaø thaáy haøm f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b]: a β ϕ (β ) • PP1 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f[ϕ(x)]ϕ '(x)dx = ∫ f(t)dt α ϕ(α ) • Vôùi caùc ghi nhôù: Ñaët t = ϕ(x); vôùi t laø bieán ñoåi soá môùi. ⎧ x = α ⇒ t = ϕ (α ) Trong ñoù: ⎨ vaø t = ϕ(x) laø haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm ⎩ x = β ⇒ t = ϕ(β ) treân [α;β]. b ϕ −1 (b) • PP2 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ NGHÒCH: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt (2) a ϕ −1 (a) 9 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Vôùi caùc ghi nhôù: Ñaët x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); vôùi t laø bieán môùi. ⎧ x = a ⇒ t = ϕ −1 (a) ⎪ Trong ñoù: ⎨ vaø t laøm haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm treân ⎪ x = b ⇒ t = ϕ (b) −1 ⎩ [a;b]. Ghi chuù: Tính ñôn ñieäu cuûa haøm t = ϕ(x) < hay t = ϕ-1(x) > laø quan troïng nhö tính lieân tuïc vaø khaû ñaïo haøm cuûa t treân [α;β] < hay [a;b] >. Chaúng haïn trong (1), ta giaû söû t = ϕ(x) khoâng ñôn ñieäu treân [α;β] thì seõ coù tröôøng hôïp ⎧ VP(1) = 0 ⎪ ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β maø ⎨ . Luùc ñoù (1) khoâng coøn ñuùng! ⎪ VT(1) ≠ 0 ⎩ VAÁN ÑEÀ 2 : TÍCH PHAÂN HAØM PHAÂN THÖÙC Daïng 1: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc cô baûn thöù nhaát b dx Tính tích phaân I1 = ∫ (α ≠ 0) a αx + β x + γ 2 Ta laøm 2 böôùc: dx B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa f(x) = treân [a;b]. αx + β x + γ 2 B B2: Ñöa veà daïng chuaån ñeå söû duïng moät trong ba coâng thöùc sau vôùi Δ = β 2 − 4αγ vaø sau khi B 1 ñaët ra ngoaøi daáu tích phaân: α b b dX 1⎡ X⎤ 1) ∫ X 2 + A2 = A ⎢ arctg A ⎥ a Neáu Δ < 0 a ⎣ ⎦ b b dX 1 ⎡ X-A ⎤ 2) ∫ X 2 - A2 = 2A ⎢ ln X + A ⎦ Neáu Δ > 0 ⎥ a ⎣ a b b dX ⎡1⎤ 3) ∫ X2 = - ⎢ X ⎥ a Neáu Δ = 0 a ⎣ ⎦ b b dx ⎡1 ⎤ ∫ ax + b = ⎢ a ln ax + b ⎥ a a ⎣ ⎦ Daïng 2: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc thöù hai b mx + n Tính tích phaân I 2 = ∫ dx (α ≠ 0; m ≠ 0) a αx 2 + β x + γ Ta laøm 2 böôùc: B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa haøm döôùi daáu tích phaân vaø ñöa tích phaân veà daïng: B b b m 2 αx + β ⎛ β m − 2 αn ⎞ dx I2 = ∫ αx 2 + β x + γ dx − ⎜ 2α ⎟ ∫ αx 2 + β x + γ 2α a ⎝ ⎠a 10 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net m β m − 2αn ⎞ ⎡ ln αx 2 + β x + γ ⎤ − ⎛ b B2: Tính I2 vaø I2 phuï thuoäc vaøo 3 tröôøng hôïp cuûa I1. I 2 = ⎣ ⎦a ⎝⎜ ⎟ I1 2α 2α ⎠ B Daïng 3: Baøi toaùn tích phaân haøm phaân thöùc toång quaùt b P(x) Tính tích phaân I = ∫ dx ; trong ñoù P(x) vaø Q(x) laø nhöõng ña thöùc. a Q(x) Ta ñeå yù hai tröôøng hôïp: TH1: Baäc P(x) ≥ baäc Q(x) thì ñem chia P(x) : Q(x) ñeå ñöa veà tröôøng hôïp 2. TH2: Baäc P(x) < baäc Q(x) thì ta ñaõ coù 2 phöông phaùp nhaân tích thaønh toång caùc tích phaân phaân thöùc thaønh phaàn maø pheùp giaûi khaû thi nhö sau: • Phaân tích theo yeâu caàu ñeà baøi höôùng daãn. • Phaân tích theo ñònh lyù Taylor. TH1: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm ñôn x1; x2; x3... thì phaân tích P(x) A1 A2 A3 = + + + ...; Ai ; ∀i ∈ 1; n laø haèng soá. Q(x) x − x1 x − x 2 x − x 3 Tìm Ai baèng phöông phaùp theá giaù trò rieâng (nghieäm maãu). TH2: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm boäi x1; x2. Thì ta phaân tích, thí duï: P(x) P(x) A1 A2 B1 B2 B3 = = + + + + + ... Q(x) (x − x1 ) (x − x 2 ) 2 3 (x − x1 ) 2 x − x 2 (x − x 2 ) (x − x 2 ) 3 2 x − x2 Tìm Ai; Bj baèng phöông phaùp giaù trò rieâng (nghieäm maãu) vaø phöông phaùp giaù trò tuøy yù; ∀j ∈ 1, 3 vaø ∀i ∈ 1,2 TH3: Q(x) chöùa caùc tam thöùc baäc hai α1x2 + β1x + γ1 coù nghieäm x1; x2 hay coù nghieäm keùp hay α2x2 + β2x + γ2 (voâ nghieäm) thì ta phaân tích, thí duï: P(x) P(x) A1 A2 Bx + C = = + + Q(x) α1 (x − x1 )(x − x 2 )(α 2 x + β 2 x + γ 2 ) x − x1 x − x 2 α 2 x + β 2 x + γ 2 2 2 P(x) P(x) A1 A2 Bx + C Ex + F = = + + + Q(x) α1 (x − X) (α 2 x + β 2 x + γ 2 ) (x − X) 2 2 2 x − X α 2 x + β 2 x + γ 2 (α 2 x + β 2 x + γ 2 )2 2 2 CHUYEÂN ÑEÀ 2: TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG I. TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 1: • Cho haøm f xaùc ñònh treân [a;+∞) vaø khaû tích treân ñoaïn höõu haïn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta ñònh +∞ b +∞ nghóa: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx . Khi giôùi haïn ôû veá phaûi höõu haïn ta noùi ∫ f(x)dx hoäi tuï, b →+∞ a a a +∞ ngöôïc laïi ta noùi ∫ f(x)dx phaân kyø. a • Töông töï b b +∞ b ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx a→−∞ a ; ∫ f(x)dx = {lim ∫ f(x)dx b →+∞ −∞ −∞ a→−∞ a 11 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net +∞ c +∞ Hay ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx; ∀c ∈ R −∞ −∞ c • Vieäc söû duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz cuõng khoâng khaùc maáy khi goïi F(x) laø +∞ b nguyeân haøm cuûa f(x), ta coù: ∫ f(x)dx = lim F(b) − F(a) ∫ f(x)dx = F(b) − lim F(a) b →+∞ a→−∞ a −∞ II. TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 2: Cho haøm f giôùi noäi vaø khaû tích trong ñoaïn [a + ε; b] nhöng khoâng giôùi noäi hoaëc khoâng khaû b b tích trong toaøn boä [a; b] ta ñònh nghóa: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx khi lim f(x) = ∞ . ε→ 0 x→ a a a +ε b b Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ (a; b] c→ a a c b b −ε Töông töï treân [a;b) ta coù: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx ε→ 0 + a a b c Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ [a; b) khi lim f(x) = ∞ c→ b − x→ b a a Ghi chuù: Coù loaïi tích phaân vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 1 vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 2. Chaúng 1 ln x ln x ln x +∞ +∞ haïn: I = ∫ dx = ∫ dx + ∫ 1+ x dx . Vaø ta chöùng minh ñöôïc I = 0. 0 1+ x 2 0 1 + x2 1 2 SRL2 SRL1 III. TÍCH PHAÂN HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: b Daïng 1: ∫ sin m x cos n xdx a 1) Neáu ít nhaát moät trong 2 soá m hay n leû: • m leû (⇒) Ñaët t = cosx • n leû (⇒) Ñaët t = sinx ⎡ m ≥ n ( ⇒ ) Ñaët t = sinx • m; n ñeàu leû ⎢ m ≤ n ( ⇒ ) Ñaët t = cosx ⎢ ⎢ m = n ( ⇒ ) Haï baäc naâng cung ⎣ 2) m; n chaün (m; n > 0) ⇒ Duøng coâng thöùc haï baäc naâng cung. 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 3 sin x − sin 3x 3 cos x + cos 3x sin 3 x = cos 3 x = 4 4 3) m; n chaün (m;n < 0) ⇒ Ñaët t = tgx. b Daïng 2: ∫ R(sin x; cos x)dx (Trong ñoù R laø 1 haøm höõu tyû) a 12 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Söû duïng caùc pheùp theá sau: 1) Pheùp theá toång quaùt (Pheùp theá vaïn naêng): ⎧ 2dt x ⎪ dx = 1 + t 2 ⎪ Ñaët t = tg ⇒ ⎨ 2 ⎪ sin x = 2t vaø cos x = 1 − t 2 ⎪ ⎩ 1 + t2 1 + t2 2) Ba pheùp theá ñaëc bieät: • R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = cosx • R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = sinx • R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = tgx Daïng 3: Caùc daïng khaùc ⎡ sin(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎤ b ⎢ ⎥ ⎡Coâng thöùc bieán ñoåi 1) ∫ ⎢ sin(αx + β) sin(γx + δ ) ⎥ dx ⇒ ⎢ tích thaønh toång a ⎢ cos(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ 2) Bieán ñoåi toång thaønh tích. 3) Caùc daïng khaùc treân ... IV. TÍCH PHAÂN HAØM CHÖÙA CAÊN THÖÙC: b m p r Daïng 1: ∫ R(x; x n ; x q ;...; x s )dx a 1) Ñaët t = k x ⇒ tk = x vôùi k = MSC (n; q; ...; s). Nhôù ñeå yù tính khaû tích cuûa f treân [a;b]. m p r 2) Phöông phaùp vaãn khaû thi khi gaëp caùc haøm hôïp cuûa haøm: f(x) = R(x; x n ; x q ; ...; x s )dx • f(αx + β) ⇒ Ñaët t = k αx + β ⎛ αx + β ⎞ αx + β • f⎜ ⎟ ⇒ Ñaët t = k ⎝ γx + δ ⎠ γx + δ b b dx Ax + B Daïng 2: ∫ (α ≠ 0) vaø ∫ dx a αx + β x + γ 2 a αx 2 + β x + γ 2 ⎡⎛ β ⎞ ⎤ B1: Kieåm tra tính khaû tích vaø bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + 2 + k⎥ ⎢⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎣ ⎥ ⎦ 1 ⎛ β ⎞ B2: Phaân bieät ba tröôøng hôïp sau khi ñöa ra ngoaøi daáu tích phaân vaø ñaët X = ⎜ x + α ⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎧α > 0 b dX b 1) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = ln X + X 2 + k ⎩ k≠0 a X +k 2 a b ⎧α > 0 b dX ⎛ β ⎞ β 2) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = sgn ⎜ x + ⎟ ln X + 2α ⎩k = 0 a x+ β ⎝ 2α ⎠ a 2α 13 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b ⎧α > 0 b dX X 3) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = arcsin (H > 0) ⎩k < 0 a H2 + X2 Ha b Ax + B Ghi chuù: Baèng pheùp phaân tích theâm bôùt ta coù theå tính ñöôïc I 2 = ∫ dx vôùi daïng a αx 2 + β x + γ b dx neàn laø I1 = ∫ sau khi ñaët t = αx 2 + β x + γ . a αx + β x + γ 2 b Daïng 3: I = ∫ αx 2 + β x + γ dx a a) Phöông phaùp 1: 2 ⎡⎛ β ⎞ ⎤ B1: Bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + 2 + k ⎥ ; ñöa α ra ngoaøi daáu tích phaân vaø xem ⎢⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎣ ⎥ ⎦ β X = x+ . 2α B2: Ta chia laøm ba tröôøng hôïp: B ⎧α > 0 b X b k b TH1: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ X 2 + k = X 2 + k + ln X + X 2 + k ⎩k ≠ 0 a 2 a 2 a b ⎧α > 0 b β ⎛ β ⎞ ⎛ x2 βx ⎞ TH2: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc :∫ x + dx = sgn ⎜ x + ⎜ + ⎟ ⎩k = 0 a 2α ⎝ 2α ⎟ ⎝ 2 2α ⎠ a ⎠ b ⎧α > 0 b X b H2 X TH3: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ H + X = 2 2 H +X + 2 2 arcsin ⎩k < 0 a 2 a 2 Ha b) Phöông phaùp 2: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ⎧ u = αx 2 + β x + γ ⎪ Ñaët ⎨ ⎪ dv = dx ⎩ ( ) b Daïng 4: Giôùi thieäu pheùp theá löôïng giaùc tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a Söû duïng moät trong 3 pheùp theá sau khi bieán ñoåi vaø quan saùt ñieàu kieän khaû tích: ( ) b TH1: I = ∫ R x; (kx + h)2 + m2 dx (m > 0) a ⎛ kx + h ⎞ Ñaët t = arctg ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = m tgt ⎝ m ⎠ ( ) b TH2: I = ∫ x; m 2 − (kx + h)2 dx (m > 0) a ⎛ kx + h ⎞ Ñaët t = arcsin ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = m sin t ⎝ m ⎠ ( ) b TH3: I = ∫ R x; (kx + h)2 − m 2 dx (m > 0) a 14 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎛ m ⎞ m Ñaët t = arccos ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = cos t ⎝ kx + h ⎠ ( ) b Daïng 5: Giôùi thieäu pheùp theá Euler tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a Moät caùch khaùc pheùp theá Euler nhö sau toû ra tieän lôïi: • Ñaët αx 2 + β x + γ = ± αx + t neáu α > 0 • Ñaët αx 2 + β x + γ = xt ± c neáu c ≥ 0 • Ñaët αx 2 + β x + γ = α(x − x1 )(x − x 2 ) = t(x − x1 ) (Δ > 0) Daïng 6: Giôùi thieäu caùc daïng chuaån vaø caùc thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng Xöû lyù ñuùng thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng cho töøng daïng chuaån ñöôïc giôùi thieäu ôû sau: ta luoân ñöôïc caùch giaûi quyeát tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân ñaëc tröng cho caùc haøm caên thöùc ñaõ bieát (chuù yù ñieàu kieän khaû tích). b dx 1 1) Daïng I1 = ∫ Ñaët t = a (x + δ ) αx + β x + γ 2 x+δ b Ax dx 2) Daïng I 2 = ∫ Ñaët t = αx 2 + γ a ( ω x + δ ) αx + γ 2 2 b Bdx 3) Daïng I 3 = ∫ Ñaët xt = αx 2 + γ a (ωx + δ ) αx + γ 2 2 b b b (Ax + B) dx Ax dx B dx 4) Daïng I 4 = ∫ =∫ +∫ a (ωx + δ ) αx + γ 2 2 a ( ω x + δ ) αx + γ 2 2 a ( ω x + δ ) αx 2 + γ 2 b (Ax + B) dx 5) Daïng I 5 = ∫ Vôùi (δ 2 − 4ωξ < 0) a (ωx + δx + ξ) αx + β x + γ 2 2 b (Ax + B) dx Ñöa veà daïng I 4 = ∫ a (ω 'x 2 + δ ') α 'x 2 + γ ' b Pn (x) dx 6) Daïng I 6 = ∫ Vôùi Pn(x) ña thöùc baäc n ≥ 2. a αx 2 + β x + γ Baèng caùch bieán ñoåi Euler, tích phaân I6 tính ñöôïc moät caùch toång quaùt nhöng raát phöùc taïp. Ngöôøi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc coâng thöùc sau vaø neáu aùp duïng noù thì vieäc tính tích phaân I6 coù phaàn ñôn giaûn hôn: b b Pn (x) b dx ∫ a ax 2 + bx + c dx = Qn −1 (x) ax 2 + bx + c + λ ∫ a a ax 2 + bx + c (*) Trong ñoù Qn-1(x) laø ña thöùc baäc n-1 vôùi caùc heä soá caàn ñöôïc xaùc ñònh vaø λ laø moät soá thöïc cuõng caàn ñöôïc xaùc ñònh. Ñeå xaùc ñònh λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x) ta ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc (*). Roài ñoàng nhaát heä soá hai veá ñeå suy ra heä phöông trình ñaëc tröng maø vieäc giaûi heä phöông trình ñaëc tröng ñoù seõ cho ta λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x). (Goïi laø phöông phaùp ñaïo haøm ñaúng laäp). VAÁN ÑEÀ 3: CAÄN TRUNG GIAN: 15 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b c b Cô sôû cuûa phöông phaùp laø aùp duïng hôïp lyù coâng thöùc (1): ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx qua hai a a c böôùc (ñeå tính caùc tích phaân xaùc ñònh maø haøm döôùi daáu tích phaân coù chöùa | |; max; min vaø caû tröôøng hôïp ñoaïn laáy tích phaân khoâng aùp duïng ñöôïc coâng thöùc Newton - Leibnitz). B1: Choïn caän trung gian c thích hôïp (ñoâi khi phaûi choïn hai, ba... giaù trò caän trung gian khaùc B nhau tuøy ñieàu kieän baøi toaùn). B2: AÙp duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz B c b ∫ f(x)dx = F(c) − F(a) vaø a ∫ f(x)dx = F(b) − F(c) ñeå tính tích phaân (1). c Chuù yù: Thaän troïng khi f(c) ∉ R (tröôøng hôïp tích phaân suy roäng loaïi 2). VAÁN ÑEÀ 4: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN VAØ CAÙC THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ RAØNG BUOÄC HAI CÖÏC Chöùng minh (VT = VP). Ñoâi khi ta caàn chöùng minh ñaúng thöùc trung gian. Ví duï: * A−B= 0 ⇔ A = B ⎧A = C * ⎨ ⇔ A=B ⎩B = C ⎧ A 2 = B2 ; A = B ⎪ * ⎨ ⇔ A = B... ⎪A ≥ B ≥ 0 ⎩ ÔÛ ñaây ta löu yù ñeán pheùp ñoåi bieán soá keát hôïp caän trung gian, tính chaün leû tuaàn hoaøn - lieân tuïc ... Ngoaøi ra tính chaát khoâng phuï thuoäc bieán vaø tính chaát hoaùn ñoåi cöïc cuõng raát thöôøng söû duïng: b b b ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ... = ∫ f(n)dn a a a b b ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx a a b c b ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a a c Ghi chuù: Khi hai veá khoâng cuøng cöïc ta phaûi ñoåi bieán soá ñeå tính cöïc laø ñoàng nhaát. 10 ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN ÑAÙNG NHÔÙ 2a a ⎧ f lieân tuïc treân [0; 2a] 1 ∫ f(x)dx = ∫ [ f(x) + f(2a − x)] dx 0 0 bieát ⎨ ⎩ ∀a > 0 b a+ b b ⎧ f lieân tuïc treân [a; b] ∫ xf(x)dx = bieát ⎨ 2 ∫ 2 f(x)dx a a ⎩ f(a + b − x) = f(x) b b ∫ f(x)dx = ∫ f(a + b − x)dx a a 3 b b bieát f lieân tuïc treân [a; b] (HQ): ∫ f(x)dx = ∫ f(b − x)dx 0 0 16 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net a a ⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] 4 ∫ f(x)dx = 2 ∫ f(x)dx bieát ⎨ −a 0 ⎩ f chaün; ∀a > 0 a ⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] 5 ∫ f(x)dx = 0 bieát ⎨ −a ⎩ f leû; ∀a > 0 a+ T T ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx ⎧ f lieân tuïc treân R 6 a 0 bieát ⎨ ⎩ f coù chu kyø T nT T (HQ): ∫ f(x)dx = n ∫ f(x)dx 0 0 π 2 π 2 7 ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; 1] π π 2 8 ∫ f(sin x)dx = 2 ∫ f(sin x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; 1] π π 2 9 ∫ xf(sin x)dx = π ∫ f(sin x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; π] t f(x)dx t ⎧ f lieân tuïc treân [-t; t] 10 ∫t ax + 1 = ∫ f(x)dx bieát ⎨ − 0 ⎩ f chaün; ∀a > 0; ∀t ∈ R VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG TÍCH PHAÂN PHUÏ TRÔÏ VAØ HAØM PHUÏ TRÔÏ Daïng 1: Tính tích phaân baèng thuaät tích phaân phuï trôï • Muoán tính tích phaân I ta söû duïng tích phaân phuï trôï J vaø vieäc choïn J (khaû tích) nhö caùc tieâu chuaån sau ñaõ toû ra laø tieän lôïi: ⎧ g(I;J) = 0 1) Heä phöông trình ⎨ laø giaûi ñöôïc. ⎩ h(I;J) = 0 2) Chöùng minh I = J vaø giaûi phöông trình: 2I = I + J ⇒ I = ... (Hieån nhieân tính ñöôïc caû J vì J = I) b b • Cuõng coù theå choïn J sao cho: I + J = ∫ h(x)dx (1) vaø I − J = ∫ g(x)dx (2) ... vôùi chuù yù caû hai a a tích phaân ôû (1) vaø (2) ñeàu khaû thi. Daïng 2: Tính tích phaân baèng thuaät haøm phuï trôï b • Muoán tính tích phaân I = ∫ f(x)dx maø trong ñoù haøm f(x) khaû tích treân [a;b] nhöng khoâng a tính ñöôïc nguyeân haøm baèng caùc phöông phaùp ñaõ neâu (hay khoâng tính ñöôïc moät caùch ñôn giaûn baèng tính chaát haøm sô caáp). Ngöôøi ta choïn moät haøm phuï trôï g(x) khaû tích cho f(x) nhö sau toû ra hieäu quaû: (1) h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b] 17 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎧b ⎪ ∫ h(x)dx = (const)(b − a) ⎪a (2) ⎨ b ⎪ g(x)dx : Khaû thi theo caùc phöông phaùp tröôùc ⎪∫ ⎩a • Thoâng thöôøng tìm f’(x) ñeå döï ñoaùn g(x) caàn tìm. VAÁN ÑEÀ 6: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN Daïng 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng ñaïi soá vaø giaûi tích Cho caùc haøm lieân tuïc trong ñoaïn [a; b]; ∀b > a, nhö sau: b b f(x) ≥ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx a a b b • Neáu tìm ñöôïc (α; β) ⊂ [a; b] maø f(x) > g(x): ⇒ ∫ f(x)dx > ∫ g(x)dx (daáu ñaúng thöùc khoâng a a xaûy ra) • Tröôøng hôïp g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]; ta coù: b f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] a b b • ∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x) dx a a (daáu " = " xaûy ra ⇔ f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b]) b • m ≤ f(x) ≤ M; ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) a • Xeùt moät baát ñaúng thöùc maø caû hai veá ñeàu chöùa daáu tích phaân ta löu yù: Khi hai caän hai veá nhö nhau ta chæ caàn chöùng minh baát ñaúng thöùc xaûy ra giöõa hai haøm döôùi daáu tích phaân. Khi hai caän hai veá khaùc nhau ta caàn choïn bieán soá ñeå ñoåi ôû moät trong hai veá ñeå hai caän hai veá nhö nhau vaø laøm töông töï nhö treân. b ⎧ f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⎪ • Vaäy muoán chöùng minh ∫ f(x)dx ≤ A . Ta tìm haøm g(x) thoûa ⎨ b a ⎪ ∫ g(x)dx = A ⎩a • Ñoâi khi coøn söû duïng daáu cuûa tam thöùc baäc hai, quy naïp, ñaïo haøm ... ñeå chöùng minh b b ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx a a Daïng 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng baøi toaùn hình thang hoãn tuyeán (PP hình hoïc) 18 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Cho hai haøm f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân y x=a x=b [a;b], dieän tích hình phaúng giôùi haïn A2 B2 bôûi caùc ñoà thò y = f(x); y = g(x) vaø hai y=f(x) ñöôøng tung x = a vaø x = b (a < b) nhö S trong hình veõ ñöôïc tính bôûi: B1 y=g(x) b A1 S= ∫ ( f(x) − g(x) ) dx a x O a b VAÁN ÑEÀ 7: TÍCH PHAÂN VAØ COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI (QUY NAÏP) b Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx . Neáu laäp ñöôïc moät quan heä giöõa caùc I0 hay I1 hay I2;... vôùi In cuûa daõy (In) a thì ñöôïc coâng thöùc truy hoài cuûa In. Thoâng thöôøng ta söû duïng: 1) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn; Phöông phaùp ñoåi bieán. 2) Phöông phaùp luøi daàn caùc soá haïng cuûa daõy (In) ñeå ruùt goïn caùc soá haïng ôû khoaûng giöõa cuûa daõy, ñeå roài töø ñoù tìm ra soá haïng toång quaùt tuøy yù cuûa daõy (In). Ghi chuù: 1/ n! = 1.2.3...(n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6...(2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5...(2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 1 5/ (-1)!! = 0!! = 1 VAÁN ÑEÀ 8: HAØM TÍCH PHAÂN b Xeùt tích phaân I = ∫ f(t)dt vôùi hai caän a = a(x), b = b(x) thì I khoâng laø moät haèng soá thöïc. Luùc a ñoù I laø moät haøm soá thöïc theo bieán soá thöïc x : I(x) goïi laø moät haøm soá - tích phaân hay goïn hôn haøm tích phaân. Thöôøng ta xeùt: x ϕ (x) I(x) = ∫ f(t)dt hoaëc I(x) = ∫ f(t)dt (f(t) lieân tuïc treân [a;x]) a a x Ta coù: I(x) = ∫ f(t)dt laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thoûa ñieàu kieän I(a) = 0 a ′ ⎛x ⎞ ⇒ I'(x) = ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f(x) ⎝a ⎠ Nhö vaäy ta coù caùc chuù yù: khi hai cöïc laø moät haøm soá cuûa x: ′ ⎛ ϕ (x) ⎞ 1) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f [ ϕ(x)] .ϕ '(x) ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ 19 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ′ ⎛ ϕ2 (x) ⎞ 2) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f ⎡ϕ 2 (x)⎤ .ϕ '2 (x) − f ⎡ϕ1 (x)⎤ .ϕ '1 (x) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ϕ (x) ⎟ ⎝ 1 ⎠ Ghi chuù: Khi tìm giôùi haïn cuûa moät haøm tích phaân ñoâi khi phaûi söû duïng quy taéc L’hospitale. Taát caû 0 ∞ caùc daïng voâ ñònh 0 × ∞; ∞ -∞; 1∞ ; ∞ 0 ; vaø 0 0 ñeàu ñöa ñöôïc veà daïng voâ ñònh hay ñeå söû duïng 0 ∞ quy taéc L’hospitale thì vieäc tìm giôùi haïn môùi chính xaùc. VAÁN ÑEÀ 9: GIÔÙI HAÏN VAØ TÍCH PHAÂN Daïng 1: Daõy tích phaân vaø giôùi haïn cuûa daõy tích phaân b Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx; ∀n ∈ Z + . Khi n thay ñoåi ta coù daõy tích phaân (In). Ñeå tính giôùi haïn lim I n ta n →∞ a laäp coâng thöùc truy hoài In vaø söû duïng caùc tính chaát: • lim I n = lim I n − 1 n →+∞ n →∞ ⎧ an ≤ I n ≤ b n ⎪ • ⎨ lim a = lim b = α ⇒ lim I = α ⎪ n →+∞ n n→+∞ n ⎩ n →+∞ n Daïng 2: Giôùi haïn môû roäng cöïc tích phaân n Muoán tính lim ∫ f(x)dx . Ta ñi tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) vaø aùp duïng giaùn tieáp coâng n →∞ a n thöùc Newton - Leibnitz trong giôùi haïn lim ∫ f(x)dx = ⎡ lim F(n) − F(a)⎤ . n →∞ a ⎣ n →∞ ⎦ DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG y D (C):y=f(x) b C 1) S = S b (x) = a ∫ f(x)dx (1) x=a x=b a S(x) • Ghi chuù 1: Khi söû duïng coâng thöùc trò tuyeät ñoái ôû (1) seõ luoân ñuùng cho caû hai tröôøng hôïp f(x) ≥ 0 hoaëc f(x) ≤ 0. B x A O a b 20 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân
15 p | 1115 | 440
-
Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân
13 p | 977 | 271
-
Bài tập ôn thi Toán: Nguyên hàm tích phân
24 p | 609 | 251
-
Chuyên đề đạo hàm
4 p | 419 | 166
-
Chuyên đề toán " Hàm - Tích phân "
2 p | 252 | 148
-
NGuyên hàm tích phân và các ứng dụng
16 p | 252 | 101
-
THAM KHẢO: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
16 p | 292 | 100
-
Bài tập môn Toán: Nguyên hàm tích phân
9 p | 253 | 96
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng
19 p | 257 | 59
-
Tài liệu ôn thi Đại học - lớp A1: Chuyên đề nguyên tử - Bảng tuần hoàn hóa học
3 p | 86 | 32
-
Tài liệu ôn toán - Các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân
27 p | 75 | 30
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
16 p | 51 | 16
-
Đề cương ôn tập Toán 12 năm học 2016-2017
47 p | 14 | 12
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
14 p | 44 | 8
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùngh
9 p | 33 | 6
-
Phương pháp nguyên hàm từng phần (Phần 1)
2 p | 11 | 3
-
Phương pháp tính tích phân kết hợp đổi biến số và nguyên hàm từng phần
3 p | 8 | 2

markdown:
# Chuyên đề nguyên hàm tích phân
Chia sẻ: Lê Toàn Quyền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22
lượt xem 661
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100906/taonemay108/80x100/chuyen_de_nguyen_ham_tich_phan_0786.jpg)
##
Chuyên đề nguyên hàm tích phân
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tài liệu ôn thi môn Toán tham khảo về Chuyên đề nguyên hàm tích phân. Tài liệu ôn tập dành cho học sinh ôn thi đại học - cao đẳng hệ Trung học phổ thông. Hy vọng tài liệu cung cấp kiến thức bổ ích cho các bạn.
Bình luận(1)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Chuyên đề nguyên hàm tích phân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net NGUYEÂN HAØM VAÁN ÑEÀ 1: TÌM HOÏ NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA: ÑN1: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ÑN2: F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a; b] ⎧ ⎪ F'(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ⎪ ⎪ F(x) − F(a) ⇔ ⎨ F'+ (a) = lim = f(a) ⎪ x→a + x−a ⎪ F(x) − F(b) ⎪ F'− (b) = xlim ⎩ →b − x−b = f(b) Kyù hieäu hình thöùc ∫ f(x)dx = F(x) + C goïi laø moät hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) hay tích phaân baát ñònh cuûa haøm f(x). VAÁN ÑEÀ 2: BOÅ SUNG VI PHAÂN - DAÏNG VI PHAÂN HAØM HÔÏP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giaû söû toàn taïi y = f(t) maø trong ñoù t = g(x); ñeå cho haøm hôïp y = f[g(x)] coù vi phaân ñöôïc vieát: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHOÙM HAØM LUÕY THÖØA NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC dx d(xn)=nxn-1dx d(arc sinx) = 1 - x2 *Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: dx d(ax+b) = adx d(arc cosx) = - ⎛1⎞ dx 1 - x2 d⎜ ⎟ = - 2 dx ⎝x⎠ x d(arc tgx) = 1 + x2 dx ( ) d x = 2 x d(arc cotgx) = - dx 1 + x2 NHOÙM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NHOÙM HAØM MUÕ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx dx d(lnx) = d(cosx) = -sinxdx x dx dx d(tgx) = = (1 + tg 2 x)dx d(log a x) = cos x 2 xlna dx d(ex) = exdx d(cotgx) = - 2 sin x d(ax) = axlnadx A. BAÛNG CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA x n+1 dx 1/ ∫ x dx = n + C ( n ¹ -1 ) 2/ ∫ x-1 dx = ∫ = ln x + C ( x ≠ 0 ) n +1 x Tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I dx 1 4/ ∫ = - +C 3/ ∫ dx = x + C x 2 x 1 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net m n m+ n dx -1 5/ ∫ x n dx = x n +C 6/ ∫ = +C m+n x n ( n - 1) x n-1 n n n+1 dx n n n-1 7/ ∫ n xdx = x +C 8/ ∫ = x +C n +1 n x n -1 NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC 9/ ∫ sinxdx = -cosx + C 10/ ∫ cosxdx = sinx + C dx dx 11/ ∫ = tgx + C 12/ ∫ = -cotgx + C cos 2 x sin 2 x 13/ ∫ tgxdx = -ln cosx + C 14/ ∫ cotgxdx = ln sinx + C NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ – LOGARITHM 15/ ∫ ex dx = ex + C 16/ ∫ e-x dx = -e-x + C 17/ ∫ ax = ax + C (1 ≠ a > 0) 18/ ∫ lnxdx = x ( lnx - 1) + C ( x > 0 ) lna NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC (a > 0) dx dx 1 x -1 19/ ∫ = arctgx + C 20/ ∫ = ln +C x +1 2 x -1 2 x +1 2 dx 1 x dx 1 x-a 21/ ∫ 2 2 = arctg + C 22/ ∫ 2 2 = ln +C x +a a a x -a 2a x + a NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC (a > 0) dx dx x 23/ ∫ = arcsinx + C 24/ ∫ = arcsin + C 1 - x2 a2 - x 2 a dx dx 25/ ∫ = ln x + x 2 ± 1 + C 26/ ∫ = ln x + x 2 ± a2 + C x ±12 x ±a 2 2 x 2 2 a2 x 27/ ∫ a2 - x 2 dx = a - x + arcsin + C 2 2 a x 2 a 2 28/ ∫ x 2 ± a2 dx = x ± a2 ± ln x + x 2 ± a2 + C 2 2 B. BAÛNG THAM KHAÛO CAÙC TÍCH PHAÂN MÔÛ ROÄNG: NHOÙM I: DAÏNG HAØM LUÕY THÖØA MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 2 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net (ax + b)n+1 1/ ∫ (ax + b)n dx = + C (n ≠ -1) a(n + 1) dx 1 2/ ∫ (ax + b)-1 dx = ∫ = ln (ax + b) + C (ax + b ≠ 0) (ax + b) a Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhoùm I dx -1 3/ ∫ d(ax + b) = ax + b + C 4/ ∫ = +C (ax + b) 2 a(ax + b) m n m +n dx -1 5/ ∫ (ax + b) n dx = (ax + b) n + C 6/ ∫ = +C a(m + n) (ax + b) n a(n - 1)(ax + b) n-1 n dx n n 7/ ∫ n (ax + b)dx = n (ax + b)n+1 + C 8/ ∫ = (ax + b)n-1 + C a(n + 1) n (ax + b) a(n - 1) NHOÙM II: DAÏNG HAØM LÖÔÏNG GIAÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 1 9/ ∫ sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C 10/ ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a a dx 1 dx 1 11/ ∫ = tg(ax + b) + C 12/ ∫ 2 = - cotg(ax + b) + C cos (ax + b) a 2 sin (ax + b) a 1 1 13/ ∫ tg(ax + b)dx = - ln cos(ax + b) + C 14/ ∫ cotg(ax + b)dx = ln sin(ax + b) + C a a NHOÙM III: DAÏNG HAØM MUÕ - LOGARITHM MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0) 1 a(ax+b) 15/ ∫ e(ax+b) dx = e(ax+b) + C 16/ ∫ a(ax+b) dx = + C (1 ≠ a > 0) a alna 1 17/ ∫ ln(ax + b)dx = (ax + b)[ln(ax + b) - 1]+ C (ax + b > 0) a NHOÙM IV: DAÏNG HAØM PHAÂN THÖÙC MÔÛ ROÄNG (α ≠ 0; a > 0) dx 1 ⎛ ax + b ⎞ dx 1 (ax + b) - a 18/ ∫ = arctg ⎜ ⎟ +C 19/ ∫ = ln +C (ax + b) + a 2 2 aa ⎝ a ⎠ (ax + b) - a 2 2 2aa (ax + b) + a NHOÙM V: DAÏNG HAØM CAÊN THÖÙC MÔÛ ROÄNG ((α ≠ 0; a > 0) dx 1 (ax + b) 20/ ∫ = arcsin +C a - (ax + b) 2 2 a a dx 1 21/ ∫ = ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C (ax + b) ± a 2 2 a (ax + b) 2 a2 (ax + b) 22/ ∫ a2 - (ax + b)2 dx = a - (ax + b)2 + arcsin +C 2a 2a a 3 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net (ax + b) 23/ ∫ (ax + b)2 ± a2 dx = (ax + b)2 ± a2 ± ln (ax + b) + (ax + b)2 ± a2 + C 2a VAÁN ÑEÀ 3: THUAÄT PHAÂN TÍCH HAØM TRONG DAÁU TÍCH PHAÂN VEÀ DAÏNG CHUAÅN TRONG BAÛNG TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN: Bieán ñoåi haøm tích phaân veà daïng: ∫ [Af(x) ± Bf(x) + ...]dx = A∫ f(x)dx ± B∫ g(x)dx + ... B1: Cuï theå phaûi B 1/ Nhaân phaân phoái: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai trieån caùc haèng ñaúng thöùc: (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 (A ± B)3 = A3 ± 3A2 B + 3AB2 ± B3 ;... Xb 3/ Theâm bôùt haïng töû: X = (X + B) - B; X = (b ≠ 0);... b 4/ Nhaân löôïng lieân hôïp: A ± B ←⎯ llh → A m B; ... 5/ Bieán ñoåi löôïng giaùc sô caáp baèng caùc coâng thöùc: sinx cosx 1 = sin 2 x + cos 2 x; tgx = ; cotgx = ; cosx sinx 1 1 = 1 + tg 2 x; = 1 + cotg 2 x; tgxcotgx = 1; cos x2 sin x 2 1 - cos2x 1 + cos2x sin 2 x = ; cos 2 x = ; 2 2 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin 3 x = ; cos 3 x = ; v.v... 4 4 B2: Muïc ñích laø haøm soá trong daáu tích phaân ñöôïc bieán ñoåi: B • Tích thaønh toång; ñaëc bieät moät haøm phaân thöùc phaûi coù töû laø toång vaø maãu laø tích. • Caên thöùc thaønh luõy thöøa; ôû ñaây ta aùp duïng caùc tính chaát luõy thöøa sau: x ⎛A⎞ m x 1 -m n m m n mn x x x A = A ; A = A ;(A ) = A ; A B = (AB) ; x = ⎜ ⎟ n ⎝B⎠ m A B B3: Moät vieäc quan troïng laø söû duïng ñöôïc coâng thöùc tích phaân haøm hôïp B ∫ f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+ C vôùi F laø moät nguyeân haøm cuûa f thì baøi toaùn giaûi quyeát nhanh vaø goïn. Ghi chuù: Khi tính toaùn ta duøng haøm y = f(x) = sgn(x) ñeå thay daáu (±) cho goïn. Ta coù ñònh ⎡1 khi x > 0 ⎡1 khi f(x) > 0 nghóa: sgn(x) = ⎢ ⎯⎯⎯⎯ sgn[f(x)]= ⎢ môû roäng → ⎣-1 khi x < 0 ⎣ -1 khi f(x) < 0 VAÁN ÑEÀ 4: HAÈNG SOÁ C TRONG HAØM NGUYEÂN HAØM VAØ ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH: Daïng 1: Tìm haèng soá C trong haøm nguyeân haøm Nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) treân [a;b] khi noù thoûa moät giaû thieát naøo ñoù taïi x0∈[a;b]. ( ) ∫ f(x)dx = F(x 0 ) + C (1) taïi x 0 4 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Ghi chuù: Thöïc teá ta vieát moät hoï nguyeân haøm cuûa f(x) laø F(x) = ∫ f(x)dx maø vaãn khoâng maát tính toång quaùt cuûa nguyeân haøm so vôùi ñònh nghóa hoï nguyeân haøm. Daïng 2: Phaân tích bieåu thöùc thaønh tích Duøng ñònh nghóa nguyeân haøm vaø öùng duïng caùch xaùc ñònh haèng soá C qua 4 böôùc: • Xem bieåu thöùc A(x, a, b, c,...) ñaõ cho laø moät ña thöùc moät bieán (giaû söû bieán ñoù laø x) vaø ñaët f(x) = A(x, a, b, c,...). • Tính f’(x) vaø ñöa noù veà daïng thöøa soá. • Tính f(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f’(x). • Tìm haèng soá C baèng caùch thay x = x0 laø giaù trò cuï theå naøo ñoù vaøo nguyeân haøm ôû treân, luùc ñoù xuaát hieän caùc nhaân töû vaø ta keát thuùc baøi toaùn baèng caùch ñaët nhaân töû chung. Ghi chuù: Haèng soá C ôû böôùc 4 khoâng phuï thuoäc vaøo x neân vieát C = g(a; b; c...). Daïng 3: Tính toång höõu haïn B1: Xeùt moät toång f(x) coù nguyeân haøm laø toång lieân tieáp caùc haïng töû cuûa moät caáp soá nhaân maø B 1 - qn soá haïng ñaàu laø a1, coù n haïng töû vaø coâng boäi q thì: F(x) = a1 . 1- q B2: So saùnh f(x) = F’(x) ta ñöôïc toång caàn tìm. B VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt . Vôùi x = ϕ(t) ∫ f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = ∫ f(t)dt . Vôùi t = ϕ(x) laø bieán môùi. A. BIEÁN ÑOÅI NGHÒCH ÑAËT t = ϕ(x) DAÏNG CAÙCH BIEÁN ÑOÅI 1. ∫ f(ax + b)dx Ñaët t = ax + b ⇒ dt = dx 2. ∫ f(x n+1 )x n dx Ñaët t = xn+1 ⇒ dt = (n + 1)xndx dx dx 3. ∫ f( x ) Ñaët t = x ⇒ dt = x 2 x 4. ∫ f(cosx)sinxdx Ñaët t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. ∫ f(sinx)cosxdx Ñaët t = sinx ⇒ dt = cosxdx dx dx 6. ∫ f(tgx) Ñaët t = tgx ⇒ dt = cos 2 x cos 2 x dx -dx 7. ∫ f(cotgx) 2 Ñaët t = cotgx ⇒ dt = 2 sin x sin x 8. ∫ f(e )e dx x x Ñaët t = ex ⇒ dt = exdx dx dx 9. ∫ f(lnx) Ñaët t = lnx ⇒ dt = x x 5 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎡ 1 ⎢ f(arc tgx) 1 + x 2 dx ⎡ t = arc tgx dx 10. ∫ ⎢ Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± ⎢ f(arc cotgx) 1 dx ⎣ t = arc cotgx 1 + x2 ⎢ ⎣ 1 + x2 ⎡ 1 ⎢ f(arc sinx) dx 1 - x2 ⎡ t = arc sinx dx 11. ∫ ⎢ Ñaët ⎢ ⇒ dt = ± ⎢ 1 ⎣ t = arc cosx 1 + x2 ⎢ f(arc cosx) dx ⎣ 1 - x2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 12. ∫ f ⎜ x ± ⎟ ⎜ 1 ∓ 2 ⎟dx Ñaët t = x ± ⇒ dt = ⎜ 1 ∓ 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ x ⎝ x ⎠ B. ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN ÑAËT x = ϕ(t) DAÏNG CAÙCH BIEÁN ÑOÅI ( 1. ∫ f x, x 2 + a2 dx) x = atgt ⇒ dx = a cos 2 t dt 2. ∫ f ( x, a - x ) dx 2 2 x = asint ⇒ dx = acostdt 3. ∫ f ( x, x - a ) dx 2 2 a asint x= ⇒ dx = dt cost cos 2 t VAÁN ÑEÀ 6: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN RIEÂNG PHAÀN: ∫ udv = uv - ∫ vdu (*) hay ∫ uv'dx = uv - ∫ u'vdx Caùc daïng tích phaân töøng phaàn: Daïng 1: ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ ∫ Pn (x) ⎢ e(ax+b) ⎢ ⎥ dx . Trong ñoù Pn(x) laø ña thöùc baäc n. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ ⎡ sin(ax + b) ⎤ ⎢ cos(ax + b) ⎥ Ta ñaët u = Pn(x) vaø dv = ⎢ (ax+b) ⎥ dx ⎢e ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ Chæ soá (n): cho ta soá laàn tính tích phaân töøng phaân phaûi thöïc hieän cho daïng naøy. Daïng 2: ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ I = ∫ Pn (x) ⎢ ⎥ dx ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ 6 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎡ ln(ax + b) ⎤ ⎢ arcsin(ax + b); arccos(ax + b) ⎥ Ta ñaët u = ⎢ ⎥ vaø dv = Pn(x)dx ⎢ arctg(ax + b); arccotg(ax + b) ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ... ⎦ TÍCH PHAÂN CHUYEÂN ÑEÀ 1: ÑIEÀU KIEÄN KHAÛ TÍCH: I. DIEÄN TÍCH HÌNH THANG HOÃN TUYEÁN: 1. Ñònh nghóa: y Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc, khoâng aâm xaùc ñònh treân ñoaïn [a;b]. Khi ñoù hình B phaúng giôùi haïn bôû truïc hoaønh, ñöôøng A y=f(x) cong y = f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng coù phöôngtrình x = a vµ x = b ñöôïc goïi laø hình thang cong (Hình thang hoãn tuyeán AA’B’B). A' B' x O a b 2. Dieän tích hình thang cong: Ñònh lyù: Neáu haøm soá y = f(x) xaùc ñònh, lieân tuïc, khoâng aâm treân ñoaïn [a;b], thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò y = f(x), truïc hoaønh vaø caùc ñöôøng thaúng x = a vµ x = b coù giaù trò laø: S = F(b) - F(a) = S b . Vôùi F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá y = f(x) treân a [a;b]. II. ÑÒNH NGHÓA TÍCH PHAÂN XAÙC ÑÒNH: III. Cho haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] chia ñoaïn [a;b] thaønh n phaàn tuøy yù bôûi caùc ñieåm chia: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Treân moãi ñoaïn [xk-1;xk] vôùi 1 ≤ k ≤ n laáy moät ñieåm ξk baát kyø. Kyù hieäu: Δxk = xk - xk-1. Nghóa laø: Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ... n Laäp toång ∑ f(ξ k =1 k )Δx k =f(ξ1 )Δx1 + f(ξ 2 )Δx 2 + ... + f(ξ n )Δx n Ñöôïc goïi laø toång tích phaân cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b]. 7 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Ta goïi tích phaân xaùc ñònh cuûa haøm soá y = f(x) treân [a;b] laø giôùi haïn (neáu coù) cuûa toång tích phaân khi maxΔxk → 0. Giôùi haïn naøy khoâng phuï thuoäc vaøo caùch phaân hoaïch ñoaïn [a;b] vaø vieäc choïn ξk. Kyù hieäu: b n ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξ k )Δx k a Δk →0 k =1 Luùc ñoù ta baûo haøm f khaû tích theo Riemann hay khaû tích. Chuù yù: • a ñöôïc goïi laø caän döôùi vaø b ñöôïc goïi laø caän treân. b • YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân xaùc ñònh: Neáu f(x) > 0 treân [a;b] thì ∫ f(x)dx chính laø a dieän tích cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:y = f(x), truïc hoaønh, x = a, vaø x = b. • Töø treân ta coù coâng thöùc Niutôn - Leùpnit (Newton - b b Leibnitz): ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) a . Trong ñoù: F’(x) = f(x). a VAÁN ÑEÀ 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG ÑÒNH NGHÓA (PHAÂN HOAÏCH) VAØ SÖÏ KHAÛ TÍCH: b Daïng 1: Tính tích phaân ∫ f (x)dx baèng pheùp phaân hoaïch vaø baøi toaùn ngöôïc a 1) Ñieàu kieän caàn: Neáu haøm soá y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] thì noù bò chaën treân ñoaïn [a;b] ñoù. 2) Ñieàu kieän ñuû: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì noù khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. • Khi tính tích phaân baèng ñònh nghóa caàn thöïc hieän: b-a B1: Chia ñoaïn [a;b] thaønh n ñoaïn baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia x k = a + k . Vôùi k = 0, 1, 2, n B ..., n. B2: Choïn ξk baèng xk (hoaëc xk-1) trong ñoaïn [xk-1,xk]. B n B3: Laäp toång tích phaân S n = ∑ (x k - x k-1 ).f(x k ) B k=1 b B4: Ta coù ∫ xf(x)dx = lim S n B n →∞ a Caàn nhôù moät soá keát quaû: n(n + 1) 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) 2) 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 6 2 ⎡ n(n + 1) ⎤ 3) 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 8 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b 4) F(x ) = ∫ f (t ).dt x ∈ [a;b], haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø F’(x) = f(x). a Daïng 2: Nhaän bieát haøm khaû tích Riemann b ÑL1: (Ñieàu kieän caàn: suy ra töø ñònh nghóa ∫ f (x)dx ) a Moïi haøm f khoâng bò chaën treân ñoaïn [a;b] thì f khoâng khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL2: (Ñk ñuû) Moïi haøm f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ÑL3:Moïi haøm f bò chaën treân ñoaïn [a;b] vaø giaùn ñoaïn taïi höõu haïn caùc ñieåm x0 ∈ [a;b] maø lim f(x) ∈ R (*) thì f vaãn khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. ⎧x→ x− ⎪ 0 ⎨ + ⎪x→ x0 ⎩ Caàn nhôù: f lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] thì f bò chaën treân ñoaïn [a;b]. ÑL4:Moïi haøm f bò chaën vaø ñôn ñieäu treân ñoaïn [a;b] thì f khaû tích treân ñoaïn [a;b] ñoù. Daïng 3: Söû duïng ñuùng ñaén coâng thöùc Newton – Leibnitz. Coâng thöùc Newton - Leibnitz: b ∫ f(x)dx = F(b) - F(a) khi noù thoûa ñoàng thôøi hai ñieàu kieän: a • Haøm döôùi daáu tích phaân f(x) lieân tuïc treân [a;b]. • Haøm nguyeân haøm cuûa F(x) cuõng lieân tuïc treân [a;b]. Ghi chuù: Trong moät soá tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân coù daïng y = f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b] ta chöa aùp duïng ngay coâng thöùc Newton - Leibnitz treân [a;b] maø caàn xöû lyù caän trung gian c ∈ (a;b) ñeå xeùt daáu f(x) vaø deã daøng tìm F(x) chaúng haïn: b c b ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx (*) .(*) coøn söû duïng khi x0 = c laø ñieåm giaùn ñoaïn cuûa f(x) vaø a a c F(x) treân ñoaïn [a;b] (tích phaân suy roäng). Thuaät ñoåi bieán soá: b Khi ñaõ quan saùt ∫ f(x)dx vaø thaáy haøm f(x) khaû tích treân ñoaïn [a;b]: a β ϕ (β ) • PP1 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ THUAÄN: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f[ϕ(x)]ϕ '(x)dx = ∫ f(t)dt α ϕ(α ) • Vôùi caùc ghi nhôù: Ñaët t = ϕ(x); vôùi t laø bieán ñoåi soá môùi. ⎧ x = α ⇒ t = ϕ (α ) Trong ñoù: ⎨ vaø t = ϕ(x) laø haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm ⎩ x = β ⇒ t = ϕ(β ) treân [α;β]. b ϕ −1 (b) • PP2 - ÑOÅI BIEÁN SOÁ NGHÒCH: laø söû duïng coâng thöùc ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ '(t)dt (2) a ϕ −1 (a) 9 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Vôùi caùc ghi nhôù: Ñaët x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); vôùi t laø bieán môùi. ⎧ x = a ⇒ t = ϕ −1 (a) ⎪ Trong ñoù: ⎨ vaø t laøm haøm ñôn ñieäu, lieân tuïc; khaû ñaïo haøm treân ⎪ x = b ⇒ t = ϕ (b) −1 ⎩ [a;b]. Ghi chuù: Tính ñôn ñieäu cuûa haøm t = ϕ(x) < hay t = ϕ-1(x) > laø quan troïng nhö tính lieân tuïc vaø khaû ñaïo haøm cuûa t treân [α;β] < hay [a;b] >. Chaúng haïn trong (1), ta giaû söû t = ϕ(x) khoâng ñôn ñieäu treân [α;β] thì seõ coù tröôøng hôïp ⎧ VP(1) = 0 ⎪ ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β maø ⎨ . Luùc ñoù (1) khoâng coøn ñuùng! ⎪ VT(1) ≠ 0 ⎩ VAÁN ÑEÀ 2 : TÍCH PHAÂN HAØM PHAÂN THÖÙC Daïng 1: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc cô baûn thöù nhaát b dx Tính tích phaân I1 = ∫ (α ≠ 0) a αx + β x + γ 2 Ta laøm 2 böôùc: dx B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa f(x) = treân [a;b]. αx + β x + γ 2 B B2: Ñöa veà daïng chuaån ñeå söû duïng moät trong ba coâng thöùc sau vôùi Δ = β 2 − 4αγ vaø sau khi B 1 ñaët ra ngoaøi daáu tích phaân: α b b dX 1⎡ X⎤ 1) ∫ X 2 + A2 = A ⎢ arctg A ⎥ a Neáu Δ < 0 a ⎣ ⎦ b b dX 1 ⎡ X-A ⎤ 2) ∫ X 2 - A2 = 2A ⎢ ln X + A ⎦ Neáu Δ > 0 ⎥ a ⎣ a b b dX ⎡1⎤ 3) ∫ X2 = - ⎢ X ⎥ a Neáu Δ = 0 a ⎣ ⎦ b b dx ⎡1 ⎤ ∫ ax + b = ⎢ a ln ax + b ⎥ a a ⎣ ⎦ Daïng 2: Caùc daïng tích phaân haøm phaân thöùc thöù hai b mx + n Tính tích phaân I 2 = ∫ dx (α ≠ 0; m ≠ 0) a αx 2 + β x + γ Ta laøm 2 böôùc: B1: Kieåm tra tính khaû tích cuûa haøm döôùi daáu tích phaân vaø ñöa tích phaân veà daïng: B b b m 2 αx + β ⎛ β m − 2 αn ⎞ dx I2 = ∫ αx 2 + β x + γ dx − ⎜ 2α ⎟ ∫ αx 2 + β x + γ 2α a ⎝ ⎠a 10 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net m β m − 2αn ⎞ ⎡ ln αx 2 + β x + γ ⎤ − ⎛ b B2: Tính I2 vaø I2 phuï thuoäc vaøo 3 tröôøng hôïp cuûa I1. I 2 = ⎣ ⎦a ⎝⎜ ⎟ I1 2α 2α ⎠ B Daïng 3: Baøi toaùn tích phaân haøm phaân thöùc toång quaùt b P(x) Tính tích phaân I = ∫ dx ; trong ñoù P(x) vaø Q(x) laø nhöõng ña thöùc. a Q(x) Ta ñeå yù hai tröôøng hôïp: TH1: Baäc P(x) ≥ baäc Q(x) thì ñem chia P(x) : Q(x) ñeå ñöa veà tröôøng hôïp 2. TH2: Baäc P(x) < baäc Q(x) thì ta ñaõ coù 2 phöông phaùp nhaân tích thaønh toång caùc tích phaân phaân thöùc thaønh phaàn maø pheùp giaûi khaû thi nhö sau: • Phaân tích theo yeâu caàu ñeà baøi höôùng daãn. • Phaân tích theo ñònh lyù Taylor. TH1: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm ñôn x1; x2; x3... thì phaân tích P(x) A1 A2 A3 = + + + ...; Ai ; ∀i ∈ 1; n laø haèng soá. Q(x) x − x1 x − x 2 x − x 3 Tìm Ai baèng phöông phaùp theá giaù trò rieâng (nghieäm maãu). TH2: Q(x) = 0 coù caùc nghieäm boäi x1; x2. Thì ta phaân tích, thí duï: P(x) P(x) A1 A2 B1 B2 B3 = = + + + + + ... Q(x) (x − x1 ) (x − x 2 ) 2 3 (x − x1 ) 2 x − x 2 (x − x 2 ) (x − x 2 ) 3 2 x − x2 Tìm Ai; Bj baèng phöông phaùp giaù trò rieâng (nghieäm maãu) vaø phöông phaùp giaù trò tuøy yù; ∀j ∈ 1, 3 vaø ∀i ∈ 1,2 TH3: Q(x) chöùa caùc tam thöùc baäc hai α1x2 + β1x + γ1 coù nghieäm x1; x2 hay coù nghieäm keùp hay α2x2 + β2x + γ2 (voâ nghieäm) thì ta phaân tích, thí duï: P(x) P(x) A1 A2 Bx + C = = + + Q(x) α1 (x − x1 )(x − x 2 )(α 2 x + β 2 x + γ 2 ) x − x1 x − x 2 α 2 x + β 2 x + γ 2 2 2 P(x) P(x) A1 A2 Bx + C Ex + F = = + + + Q(x) α1 (x − X) (α 2 x + β 2 x + γ 2 ) (x − X) 2 2 2 x − X α 2 x + β 2 x + γ 2 (α 2 x + β 2 x + γ 2 )2 2 2 CHUYEÂN ÑEÀ 2: TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG I. TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 1: • Cho haøm f xaùc ñònh treân [a;+∞) vaø khaû tích treân ñoaïn höõu haïn a ≤ x ≤ b < +∞. Ta ñònh +∞ b +∞ nghóa: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx . Khi giôùi haïn ôû veá phaûi höõu haïn ta noùi ∫ f(x)dx hoäi tuï, b →+∞ a a a +∞ ngöôïc laïi ta noùi ∫ f(x)dx phaân kyø. a • Töông töï b b +∞ b ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx a→−∞ a ; ∫ f(x)dx = {lim ∫ f(x)dx b →+∞ −∞ −∞ a→−∞ a 11 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net +∞ c +∞ Hay ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx; ∀c ∈ R −∞ −∞ c • Vieäc söû duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz cuõng khoâng khaùc maáy khi goïi F(x) laø +∞ b nguyeân haøm cuûa f(x), ta coù: ∫ f(x)dx = lim F(b) − F(a) ∫ f(x)dx = F(b) − lim F(a) b →+∞ a→−∞ a −∞ II. TÍCH PHAÂN SUY ROÄNG LOAÏI 2: Cho haøm f giôùi noäi vaø khaû tích trong ñoaïn [a + ε; b] nhöng khoâng giôùi noäi hoaëc khoâng khaû b b tích trong toaøn boä [a; b] ta ñònh nghóa: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx khi lim f(x) = ∞ . ε→ 0 x→ a a a +ε b b Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ (a; b] c→ a a c b b −ε Töông töï treân [a;b) ta coù: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx ε→ 0 + a a b c Hay: ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx; ∀c ∈ [a; b) khi lim f(x) = ∞ c→ b − x→ b a a Ghi chuù: Coù loaïi tích phaân vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 1 vöøa laø tích phaân suy roäng loaïi 2. Chaúng 1 ln x ln x ln x +∞ +∞ haïn: I = ∫ dx = ∫ dx + ∫ 1+ x dx . Vaø ta chöùng minh ñöôïc I = 0. 0 1+ x 2 0 1 + x2 1 2 SRL2 SRL1 III. TÍCH PHAÂN HAØM LÖÔÏNG GIAÙC: b Daïng 1: ∫ sin m x cos n xdx a 1) Neáu ít nhaát moät trong 2 soá m hay n leû: • m leû (⇒) Ñaët t = cosx • n leû (⇒) Ñaët t = sinx ⎡ m ≥ n ( ⇒ ) Ñaët t = sinx • m; n ñeàu leû ⎢ m ≤ n ( ⇒ ) Ñaët t = cosx ⎢ ⎢ m = n ( ⇒ ) Haï baäc naâng cung ⎣ 2) m; n chaün (m; n > 0) ⇒ Duøng coâng thöùc haï baäc naâng cung. 1 − cos 2x 1 + cos 2x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 3 sin x − sin 3x 3 cos x + cos 3x sin 3 x = cos 3 x = 4 4 3) m; n chaün (m;n < 0) ⇒ Ñaët t = tgx. b Daïng 2: ∫ R(sin x; cos x)dx (Trong ñoù R laø 1 haøm höõu tyû) a 12 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Söû duïng caùc pheùp theá sau: 1) Pheùp theá toång quaùt (Pheùp theá vaïn naêng): ⎧ 2dt x ⎪ dx = 1 + t 2 ⎪ Ñaët t = tg ⇒ ⎨ 2 ⎪ sin x = 2t vaø cos x = 1 − t 2 ⎪ ⎩ 1 + t2 1 + t2 2) Ba pheùp theá ñaëc bieät: • R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = cosx • R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = sinx • R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Ñaët t = tgx Daïng 3: Caùc daïng khaùc ⎡ sin(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎤ b ⎢ ⎥ ⎡Coâng thöùc bieán ñoåi 1) ∫ ⎢ sin(αx + β) sin(γx + δ ) ⎥ dx ⇒ ⎢ tích thaønh toång a ⎢ cos(αx + β ) cos( γx + δ ) ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ 2) Bieán ñoåi toång thaønh tích. 3) Caùc daïng khaùc treân ... IV. TÍCH PHAÂN HAØM CHÖÙA CAÊN THÖÙC: b m p r Daïng 1: ∫ R(x; x n ; x q ;...; x s )dx a 1) Ñaët t = k x ⇒ tk = x vôùi k = MSC (n; q; ...; s). Nhôù ñeå yù tính khaû tích cuûa f treân [a;b]. m p r 2) Phöông phaùp vaãn khaû thi khi gaëp caùc haøm hôïp cuûa haøm: f(x) = R(x; x n ; x q ; ...; x s )dx • f(αx + β) ⇒ Ñaët t = k αx + β ⎛ αx + β ⎞ αx + β • f⎜ ⎟ ⇒ Ñaët t = k ⎝ γx + δ ⎠ γx + δ b b dx Ax + B Daïng 2: ∫ (α ≠ 0) vaø ∫ dx a αx + β x + γ 2 a αx 2 + β x + γ 2 ⎡⎛ β ⎞ ⎤ B1: Kieåm tra tính khaû tích vaø bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + 2 + k⎥ ⎢⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎣ ⎥ ⎦ 1 ⎛ β ⎞ B2: Phaân bieät ba tröôøng hôïp sau khi ñöa ra ngoaøi daáu tích phaân vaø ñaët X = ⎜ x + α ⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎧α > 0 b dX b 1) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = ln X + X 2 + k ⎩ k≠0 a X +k 2 a b ⎧α > 0 b dX ⎛ β ⎞ β 2) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = sgn ⎜ x + ⎟ ln X + 2α ⎩k = 0 a x+ β ⎝ 2α ⎠ a 2α 13 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b ⎧α > 0 b dX X 3) ⎨ ⇒ AÙp duïng:∫ = arcsin (H > 0) ⎩k < 0 a H2 + X2 Ha b Ax + B Ghi chuù: Baèng pheùp phaân tích theâm bôùt ta coù theå tính ñöôïc I 2 = ∫ dx vôùi daïng a αx 2 + β x + γ b dx neàn laø I1 = ∫ sau khi ñaët t = αx 2 + β x + γ . a αx + β x + γ 2 b Daïng 3: I = ∫ αx 2 + β x + γ dx a a) Phöông phaùp 1: 2 ⎡⎛ β ⎞ ⎤ B1: Bieán ñoåi αx + β x + γ = α ⎢⎜ x + 2 + k ⎥ ; ñöa α ra ngoaøi daáu tích phaân vaø xem ⎢⎝ 2α ⎟ ⎠ B ⎣ ⎥ ⎦ β X = x+ . 2α B2: Ta chia laøm ba tröôøng hôïp: B ⎧α > 0 b X b k b TH1: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ X 2 + k = X 2 + k + ln X + X 2 + k ⎩k ≠ 0 a 2 a 2 a b ⎧α > 0 b β ⎛ β ⎞ ⎛ x2 βx ⎞ TH2: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc :∫ x + dx = sgn ⎜ x + ⎜ + ⎟ ⎩k = 0 a 2α ⎝ 2α ⎟ ⎝ 2 2α ⎠ a ⎠ b ⎧α > 0 b X b H2 X TH3: ⎨ ⇒ AÙp duïng coâng thöùc:∫ H + X = 2 2 H +X + 2 2 arcsin ⎩k < 0 a 2 a 2 Ha b) Phöông phaùp 2: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ⎧ u = αx 2 + β x + γ ⎪ Ñaët ⎨ ⎪ dv = dx ⎩ ( ) b Daïng 4: Giôùi thieäu pheùp theá löôïng giaùc tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a Söû duïng moät trong 3 pheùp theá sau khi bieán ñoåi vaø quan saùt ñieàu kieän khaû tích: ( ) b TH1: I = ∫ R x; (kx + h)2 + m2 dx (m > 0) a ⎛ kx + h ⎞ Ñaët t = arctg ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = m tgt ⎝ m ⎠ ( ) b TH2: I = ∫ x; m 2 − (kx + h)2 dx (m > 0) a ⎛ kx + h ⎞ Ñaët t = arcsin ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = m sin t ⎝ m ⎠ ( ) b TH3: I = ∫ R x; (kx + h)2 − m 2 dx (m > 0) a 14 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎛ m ⎞ m Ñaët t = arccos ⎜ ⎟ ⇔ kx + h = cos t ⎝ kx + h ⎠ ( ) b Daïng 5: Giôùi thieäu pheùp theá Euler tính I = ∫ R x; αx 2 + β x + γ dx a Moät caùch khaùc pheùp theá Euler nhö sau toû ra tieän lôïi: • Ñaët αx 2 + β x + γ = ± αx + t neáu α > 0 • Ñaët αx 2 + β x + γ = xt ± c neáu c ≥ 0 • Ñaët αx 2 + β x + γ = α(x − x1 )(x − x 2 ) = t(x − x1 ) (Δ > 0) Daïng 6: Giôùi thieäu caùc daïng chuaån vaø caùc thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng Xöû lyù ñuùng thuaät ñoåi bieán ñaëc tröng cho töøng daïng chuaån ñöôïc giôùi thieäu ôû sau: ta luoân ñöôïc caùch giaûi quyeát tích phaân baèng phöông phaùp tích phaân ñaëc tröng cho caùc haøm caên thöùc ñaõ bieát (chuù yù ñieàu kieän khaû tích). b dx 1 1) Daïng I1 = ∫ Ñaët t = a (x + δ ) αx + β x + γ 2 x+δ b Ax dx 2) Daïng I 2 = ∫ Ñaët t = αx 2 + γ a ( ω x + δ ) αx + γ 2 2 b Bdx 3) Daïng I 3 = ∫ Ñaët xt = αx 2 + γ a (ωx + δ ) αx + γ 2 2 b b b (Ax + B) dx Ax dx B dx 4) Daïng I 4 = ∫ =∫ +∫ a (ωx + δ ) αx + γ 2 2 a ( ω x + δ ) αx + γ 2 2 a ( ω x + δ ) αx 2 + γ 2 b (Ax + B) dx 5) Daïng I 5 = ∫ Vôùi (δ 2 − 4ωξ < 0) a (ωx + δx + ξ) αx + β x + γ 2 2 b (Ax + B) dx Ñöa veà daïng I 4 = ∫ a (ω 'x 2 + δ ') α 'x 2 + γ ' b Pn (x) dx 6) Daïng I 6 = ∫ Vôùi Pn(x) ña thöùc baäc n ≥ 2. a αx 2 + β x + γ Baèng caùch bieán ñoåi Euler, tích phaân I6 tính ñöôïc moät caùch toång quaùt nhöng raát phöùc taïp. Ngöôøi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc coâng thöùc sau vaø neáu aùp duïng noù thì vieäc tính tích phaân I6 coù phaàn ñôn giaûn hôn: b b Pn (x) b dx ∫ a ax 2 + bx + c dx = Qn −1 (x) ax 2 + bx + c + λ ∫ a a ax 2 + bx + c (*) Trong ñoù Qn-1(x) laø ña thöùc baäc n-1 vôùi caùc heä soá caàn ñöôïc xaùc ñònh vaø λ laø moät soá thöïc cuõng caàn ñöôïc xaùc ñònh. Ñeå xaùc ñònh λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x) ta ñaïo haøm hai veá ñaúng thöùc (*). Roài ñoàng nhaát heä soá hai veá ñeå suy ra heä phöông trình ñaëc tröng maø vieäc giaûi heä phöông trình ñaëc tröng ñoù seõ cho ta λ vaø caùc heä soá cuûa Qn-1(x). (Goïi laø phöông phaùp ñaïo haøm ñaúng laäp). VAÁN ÑEÀ 3: CAÄN TRUNG GIAN: 15 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net b c b Cô sôû cuûa phöông phaùp laø aùp duïng hôïp lyù coâng thöùc (1): ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx qua hai a a c böôùc (ñeå tính caùc tích phaân xaùc ñònh maø haøm döôùi daáu tích phaân coù chöùa | |; max; min vaø caû tröôøng hôïp ñoaïn laáy tích phaân khoâng aùp duïng ñöôïc coâng thöùc Newton - Leibnitz). B1: Choïn caän trung gian c thích hôïp (ñoâi khi phaûi choïn hai, ba... giaù trò caän trung gian khaùc B nhau tuøy ñieàu kieän baøi toaùn). B2: AÙp duïng coâng thöùc Newton - Leibnitz B c b ∫ f(x)dx = F(c) − F(a) vaø a ∫ f(x)dx = F(b) − F(c) ñeå tính tích phaân (1). c Chuù yù: Thaän troïng khi f(c) ∉ R (tröôøng hôïp tích phaân suy roäng loaïi 2). VAÁN ÑEÀ 4: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN VAØ CAÙC THUAÄT ÑOÅI BIEÁN SOÁ RAØNG BUOÄC HAI CÖÏC Chöùng minh (VT = VP). Ñoâi khi ta caàn chöùng minh ñaúng thöùc trung gian. Ví duï: * A−B= 0 ⇔ A = B ⎧A = C * ⎨ ⇔ A=B ⎩B = C ⎧ A 2 = B2 ; A = B ⎪ * ⎨ ⇔ A = B... ⎪A ≥ B ≥ 0 ⎩ ÔÛ ñaây ta löu yù ñeán pheùp ñoåi bieán soá keát hôïp caän trung gian, tính chaün leû tuaàn hoaøn - lieân tuïc ... Ngoaøi ra tính chaát khoâng phuï thuoäc bieán vaø tính chaát hoaùn ñoåi cöïc cuõng raát thöôøng söû duïng: b b b ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ... = ∫ f(n)dn a a a b b ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx a a b c b ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a a c Ghi chuù: Khi hai veá khoâng cuøng cöïc ta phaûi ñoåi bieán soá ñeå tính cöïc laø ñoàng nhaát. 10 ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN ÑAÙNG NHÔÙ 2a a ⎧ f lieân tuïc treân [0; 2a] 1 ∫ f(x)dx = ∫ [ f(x) + f(2a − x)] dx 0 0 bieát ⎨ ⎩ ∀a > 0 b a+ b b ⎧ f lieân tuïc treân [a; b] ∫ xf(x)dx = bieát ⎨ 2 ∫ 2 f(x)dx a a ⎩ f(a + b − x) = f(x) b b ∫ f(x)dx = ∫ f(a + b − x)dx a a 3 b b bieát f lieân tuïc treân [a; b] (HQ): ∫ f(x)dx = ∫ f(b − x)dx 0 0 16 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net a a ⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] 4 ∫ f(x)dx = 2 ∫ f(x)dx bieát ⎨ −a 0 ⎩ f chaün; ∀a > 0 a ⎧ f lieân tuïc treân [-a; a] 5 ∫ f(x)dx = 0 bieát ⎨ −a ⎩ f leû; ∀a > 0 a+ T T ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx ⎧ f lieân tuïc treân R 6 a 0 bieát ⎨ ⎩ f coù chu kyø T nT T (HQ): ∫ f(x)dx = n ∫ f(x)dx 0 0 π 2 π 2 7 ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; 1] π π 2 8 ∫ f(sin x)dx = 2 ∫ f(sin x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; 1] π π 2 9 ∫ xf(sin x)dx = π ∫ f(sin x)dx 0 0 bieát f lieân tuïc treân [0; π] t f(x)dx t ⎧ f lieân tuïc treân [-t; t] 10 ∫t ax + 1 = ∫ f(x)dx bieát ⎨ − 0 ⎩ f chaün; ∀a > 0; ∀t ∈ R VAÁN ÑEÀ 5: THUAÄT TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG TÍCH PHAÂN PHUÏ TRÔÏ VAØ HAØM PHUÏ TRÔÏ Daïng 1: Tính tích phaân baèng thuaät tích phaân phuï trôï • Muoán tính tích phaân I ta söû duïng tích phaân phuï trôï J vaø vieäc choïn J (khaû tích) nhö caùc tieâu chuaån sau ñaõ toû ra laø tieän lôïi: ⎧ g(I;J) = 0 1) Heä phöông trình ⎨ laø giaûi ñöôïc. ⎩ h(I;J) = 0 2) Chöùng minh I = J vaø giaûi phöông trình: 2I = I + J ⇒ I = ... (Hieån nhieân tính ñöôïc caû J vì J = I) b b • Cuõng coù theå choïn J sao cho: I + J = ∫ h(x)dx (1) vaø I − J = ∫ g(x)dx (2) ... vôùi chuù yù caû hai a a tích phaân ôû (1) vaø (2) ñeàu khaû thi. Daïng 2: Tính tích phaân baèng thuaät haøm phuï trôï b • Muoán tính tích phaân I = ∫ f(x)dx maø trong ñoù haøm f(x) khaû tích treân [a;b] nhöng khoâng a tính ñöôïc nguyeân haøm baèng caùc phöông phaùp ñaõ neâu (hay khoâng tính ñöôïc moät caùch ñôn giaûn baèng tính chaát haøm sô caáp). Ngöôøi ta choïn moät haøm phuï trôï g(x) khaû tích cho f(x) nhö sau toû ra hieäu quaû: (1) h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b] 17 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ⎧b ⎪ ∫ h(x)dx = (const)(b − a) ⎪a (2) ⎨ b ⎪ g(x)dx : Khaû thi theo caùc phöông phaùp tröôùc ⎪∫ ⎩a • Thoâng thöôøng tìm f’(x) ñeå döï ñoaùn g(x) caàn tìm. VAÁN ÑEÀ 6: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN Daïng 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng ñaïi soá vaø giaûi tích Cho caùc haøm lieân tuïc trong ñoaïn [a; b]; ∀b > a, nhö sau: b b f(x) ≥ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dx a a b b • Neáu tìm ñöôïc (α; β) ⊂ [a; b] maø f(x) > g(x): ⇒ ∫ f(x)dx > ∫ g(x)dx (daáu ñaúng thöùc khoâng a a xaûy ra) • Tröôøng hôïp g(x) = 0 treân ñoaïn [a; b]; ta coù: b f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f(x)dx ≥ 0; ∀x ∈ [a; b] a b b • ∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x) dx a a (daáu " = " xaûy ra ⇔ f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a; b]) b • m ≤ f(x) ≤ M; ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a) a • Xeùt moät baát ñaúng thöùc maø caû hai veá ñeàu chöùa daáu tích phaân ta löu yù: Khi hai caän hai veá nhö nhau ta chæ caàn chöùng minh baát ñaúng thöùc xaûy ra giöõa hai haøm döôùi daáu tích phaân. Khi hai caän hai veá khaùc nhau ta caàn choïn bieán soá ñeå ñoåi ôû moät trong hai veá ñeå hai caän hai veá nhö nhau vaø laøm töông töï nhö treân. b ⎧ f(x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a; b] ⎪ • Vaäy muoán chöùng minh ∫ f(x)dx ≤ A . Ta tìm haøm g(x) thoûa ⎨ b a ⎪ ∫ g(x)dx = A ⎩a • Ñoâi khi coøn söû duïng daáu cuûa tam thöùc baäc hai, quy naïp, ñaïo haøm ... ñeå chöùng minh b b ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx a a Daïng 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng baøi toaùn hình thang hoãn tuyeán (PP hình hoïc) 18 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net Cho hai haøm f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân y x=a x=b [a;b], dieän tích hình phaúng giôùi haïn A2 B2 bôûi caùc ñoà thò y = f(x); y = g(x) vaø hai y=f(x) ñöôøng tung x = a vaø x = b (a < b) nhö S trong hình veõ ñöôïc tính bôûi: B1 y=g(x) b A1 S= ∫ ( f(x) − g(x) ) dx a x O a b VAÁN ÑEÀ 7: TÍCH PHAÂN VAØ COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI (QUY NAÏP) b Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx . Neáu laäp ñöôïc moät quan heä giöõa caùc I0 hay I1 hay I2;... vôùi In cuûa daõy (In) a thì ñöôïc coâng thöùc truy hoài cuûa In. Thoâng thöôøng ta söû duïng: 1) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn; Phöông phaùp ñoåi bieán. 2) Phöông phaùp luøi daàn caùc soá haïng cuûa daõy (In) ñeå ruùt goïn caùc soá haïng ôû khoaûng giöõa cuûa daõy, ñeå roài töø ñoù tìm ra soá haïng toång quaùt tuøy yù cuûa daõy (In). Ghi chuù: 1/ n! = 1.2.3...(n-1).n 2/ (2n)!! = 2.4.6...(2n-2).(2n) 3/ (2n + 1)!! = 1.3.5...(2n-1)(2n+1) 4/ 0! = 1! = 1 5/ (-1)!! = 0!! = 1 VAÁN ÑEÀ 8: HAØM TÍCH PHAÂN b Xeùt tích phaân I = ∫ f(t)dt vôùi hai caän a = a(x), b = b(x) thì I khoâng laø moät haèng soá thöïc. Luùc a ñoù I laø moät haøm soá thöïc theo bieán soá thöïc x : I(x) goïi laø moät haøm soá - tích phaân hay goïn hôn haøm tích phaân. Thöôøng ta xeùt: x ϕ (x) I(x) = ∫ f(t)dt hoaëc I(x) = ∫ f(t)dt (f(t) lieân tuïc treân [a;x]) a a x Ta coù: I(x) = ∫ f(t)dt laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thoûa ñieàu kieän I(a) = 0 a ′ ⎛x ⎞ ⇒ I'(x) = ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f(x) ⎝a ⎠ Nhö vaäy ta coù caùc chuù yù: khi hai cöïc laø moät haøm soá cuûa x: ′ ⎛ ϕ (x) ⎞ 1) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f [ ϕ(x)] .ϕ '(x) ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ 19 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
- Nguyeãn Phuù Khaùnh – Ñaø Laït http://www.toanthpt.net ′ ⎛ ϕ2 (x) ⎞ 2) ⎜ ∫ f(t)dt ⎟ = f ⎡ϕ 2 (x)⎤ .ϕ '2 (x) − f ⎡ϕ1 (x)⎤ .ϕ '1 (x) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ϕ (x) ⎟ ⎝ 1 ⎠ Ghi chuù: Khi tìm giôùi haïn cuûa moät haøm tích phaân ñoâi khi phaûi söû duïng quy taéc L’hospitale. Taát caû 0 ∞ caùc daïng voâ ñònh 0 × ∞; ∞ -∞; 1∞ ; ∞ 0 ; vaø 0 0 ñeàu ñöa ñöôïc veà daïng voâ ñònh hay ñeå söû duïng 0 ∞ quy taéc L’hospitale thì vieäc tìm giôùi haïn môùi chính xaùc. VAÁN ÑEÀ 9: GIÔÙI HAÏN VAØ TÍCH PHAÂN Daïng 1: Daõy tích phaân vaø giôùi haïn cuûa daõy tích phaân b Xeùt I n = ∫ f(x; n)dx; ∀n ∈ Z + . Khi n thay ñoåi ta coù daõy tích phaân (In). Ñeå tính giôùi haïn lim I n ta n →∞ a laäp coâng thöùc truy hoài In vaø söû duïng caùc tính chaát: • lim I n = lim I n − 1 n →+∞ n →∞ ⎧ an ≤ I n ≤ b n ⎪ • ⎨ lim a = lim b = α ⇒ lim I = α ⎪ n →+∞ n n→+∞ n ⎩ n →+∞ n Daïng 2: Giôùi haïn môû roäng cöïc tích phaân n Muoán tính lim ∫ f(x)dx . Ta ñi tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) vaø aùp duïng giaùn tieáp coâng n →∞ a n thöùc Newton - Leibnitz trong giôùi haïn lim ∫ f(x)dx = ⎡ lim F(n) − F(a)⎤ . n →∞ a ⎣ n →∞ ⎦ DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG y D (C):y=f(x) b C 1) S = S b (x) = a ∫ f(x)dx (1) x=a x=b a S(x) • Ghi chuù 1: Khi söû duïng coâng thöùc trò tuyeät ñoái ôû (1) seõ luoân ñuùng cho caû hai tröôøng hôïp f(x) ≥ 0 hoaëc f(x) ≤ 0. B x A O a b 20 Giaûi Tích Toaùn Hoïc Chuyeân Ñeà Nguyeân Haøm – Tích Phaân
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân
15 p |
1115 |
440
-
Bài tập Toán: Nguyên hàm - tích phân
13 p |
977 |
271
-
Bài tập ôn thi Toán: Nguyên hàm tích phân
24 p |
609 |
251
-
Chuyên đề đạo hàm
4 p |
419 |
166
-
Chuyên đề toán " Hàm - Tích phân "
2 p |
252 |
148
-
NGuyên hàm tích phân và các ứng dụng
16 p |
252 |
101
-
THAM KHẢO: BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
16 p |
292 |
100
-
Bài tập môn Toán: Nguyên hàm tích phân
9 p |
253 |
96
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng
19 p |
257 |
59
-
Tài liệu ôn thi Đại học - lớp A1: Chuyên đề nguyên tử - Bảng tuần hoàn hóa học
3 p |
86 |
32
-
Tài liệu ôn toán - Các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân
27 p |
75 |
30
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
16 p |
51 |
16
-
Đề cương ôn tập Toán 12 năm học 2016-2017
47 p |
14 |
12
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
14 p |
44 |
8
-
Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùngh
9 p |
33 |
6
-
Phương pháp nguyên hàm từng phần (Phần 1)
2 p |
11 |
3
-
Phương pháp tính tích phân kết hợp đổi biến số và nguyên hàm từng phần
3 p |
8 |
2

Set-Cookie: TLDEVNamespace=ufdrihoeqojoavacgnaneddvs2; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)