 ஒரு வழித்தோன்றலின் பொருளின் சுருக்கத்தை எனக்குத் தரவும்.
கணிதத்தில், ஒரு உண்மையான மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அதன் வாதத்தின் (உள்ளீட்டு மதிப்பு) மாற்றத்தைப் பொறுத்து செயல்பாட்டு மதிப்பின் (வெளியீட்டு மதிப்பு) மாற்றத்திற்கான உணர்திறனை அளவிடுகிறது. டெரிவேடிவ்கள் என்பது கால்குலஸின் அடிப்படைக் கருவியாகும். எடுத்துக்காட்டாக, நேரத்தைப் பொறுத்து நகரும் பொருளின் நிலையின் வழித்தோன்றல் பொருளின் வேகம்: இது நேரம் முன்னேறும்போது பொருளின் நிலை எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது என்பதை அளவிடுகிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டு மதிப்பில் ஒற்றை மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், அது இருக்கும் போது, அந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வாகும். அந்த உள்ளீட்டு மதிப்புக்கு அருகிலுள்ள செயல்பாட்டின் சிறந்த நேரியல் தோராயமாக தொடுகோடு உள்ளது. இந்த காரணத்திற்காக, வழித்தோன்றல் பெரும்பாலும் "உடனடி மாற்ற விகிதம்" என விவரிக்கப்படுகிறது, சார்பு மாறியில் உடனடி மாற்றத்தின் விகிதம் சார்பற்ற மாறியின் விகிதம். டெரிவேடிவ்களை பல உண்மையான மாறிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்தலாம். இந்த பொதுமைப்படுத்தலில், வழித்தோன்றல் ஒரு நேரியல் மாற்றமாக மறுவிளக்கம் செய்யப்படுகிறது, அதன் வரைபடம் (பொருத்தமான மொழிபெயர்ப்புக்குப் பிறகு) அசல் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு சிறந்த நேரியல் தோராயமாகும். ஜாகோபியன் மேட்ரிக்ஸ் என்பது சுயாதீனமான மற்றும் சார்பு மாறிகளின் தேர்வு மூலம் கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் இந்த நேரியல் மாற்றத்தைக் குறிக்கும் அணி ஆகும். இது சார்பற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படலாம். பல மாறிகளின் உண்மையான மதிப்பிலான செயல்பாட்டிற்கு, ஜேக்கபியன் மேட்ரிக்ஸ் சாய்வு திசையன் வரை குறைக்கிறது. ஒரு வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு எனப்படும். தலைகீழ் செயல்முறை எதிர்ப்பு வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம் எதிர் வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைப்புடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒற்றை-மாறி கால்குலஸில் இரண்டு அடிப்படை செயல்பாடுகளை உருவாக்குகிறது.
ஒரு வழித்தோன்றல் என்பது உள்ளீட்டில் ஏற்படும் மாற்றங்களின் அடிப்படையில் செயல்பாடுகளின் வெளியீட்டை மாற்றுவதற்கான உணர்திறனை அளவிடும் ஒரு செயல்பாடாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளின் நிலை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட காலப்பகுதியில் எவ்வளவு விரைவாக நகர்கிறது (அதாவது, நேரத்தைப் பொறுத்து நிலையின் வழித்தோன்றல்) என்பது பொருளின் வேகம்.