 பின்வரும் உரையில், பிரதம எண்களின் சிறப்பு என்ன?
ஒரு பகா எண் (அல்லது ஒரு பகா எண்) என்பது 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணாகும், இது இரண்டு சிறிய இயற்கை எண்களின் பெருக்கல் அல்ல. முதன்மை இல்லாத 1 ஐ விட அதிகமான இயற்கை எண்ணானது கூட்டு எண் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 5 என்பது முதன்மையானது, ஏனெனில் அதை ஒரு தயாரிப்பாக எழுதுவதற்கான ஒரே வழி, 1 ½ 5 அல்லது 5 £ 1, 5 ஐ உள்ளடக்கியது. இருப்பினும், 4 என்பது கலவையாகும், ஏனெனில் இது இரண்டு எண்களும் 4 ஐ விட சிறியதாக இருக்கும் ஒரு தயாரிப்பு (2 −2) ஆகும். எண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தின் காரணமாக எண் கோட்பாட்டில் முதன்மைகள் மையமாக உள்ளன: 1 ஐ விட அதிகமான ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் ஒரு பகா ஆகும். அல்லது ப்ரைம்களின் விளைபொருளாகக் காரணியாக்கப்படலாம், அது அவற்றின் வரிசைக்கு தனித்துவமானது. முதன்மையாக இருப்பதன் பண்பு முதன்மையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் முதன்மைத்தன்மையைச் சரிபார்க்கும் எளிய ஆனால் மெதுவான முறை, சோதனைப் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது 2 மற்றும் ´¸ {\sqrt {n}} க்கு இடையில் உள்ள எந்த முழு எண்ணின் பெருக்கமா என்பதைச் சோதிக்கிறது. வேகமான அல்காரிதங்களில் மில்லர் ராபின் ப்ரைமலிட்டி சோதனை அடங்கும், இது வேகமானது ஆனால் பிழைக்கான சிறிய வாய்ப்பு உள்ளது, மற்றும் ஏகேஎஸ் முதன்மை சோதனை, இது எப்போதும் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் சரியான பதிலைத் தரும், ஆனால் நடைமுறைக்கு மிகவும் மெதுவாக இருக்கும். மெர்சென் எண்கள் போன்ற சிறப்பு வடிவங்களின் எண்களுக்கு குறிப்பாக வேகமான முறைகள் உள்ளன. டிசம்பர் 2018 நிலவரப்படி, 24,862,048 தசம இலக்கங்களைக் கொண்ட மெர்சென் பிரைம் எண்ணானது அறியப்பட்ட மிகப் பெரிய முதன்மை எண் ஆகும். கிமு 300 இல் யூக்ளிட் நிரூபித்தபடி, எண்ணற்ற பல ப்ரைம்கள் உள்ளன. அறியப்பட்ட எளிய சூத்திரம் எதுவும் கலப்பு எண்களிலிருந்து பகா எண்களைப் பிரிக்கவில்லை. இருப்பினும், பெரிய அளவில் உள்ள இயற்கை எண்களுக்குள் பகா எண்களின் விநியோகம் புள்ளிவிவர ரீதியாக மாதிரியாக இருக்கலாம். அந்தத் திசையில் முதல் முடிவு பகா எண் தேற்றம் ஆகும், இது 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் நிரூபிக்கப்பட்டது, இது தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பெரிய எண்ணின் நிகழ்தகவு அதன் இலக்கங்களின் எண்ணிக்கைக்கு நேர்மாறான விகிதாசாரமாகும், அதாவது அதன் மடக்கைக்கு நேர்மாறானது என்று கூறுகிறது. பகா எண்கள் தொடர்பான பல வரலாற்று கேள்விகள் இன்னும் தீர்க்கப்படவில்லை. கோல்ட்பேக்கின் அனுமானம், 2 ஐ விட அதிகமான ஒவ்வொரு முழு எண்ணையும் இரண்டு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக வெளிப்படுத்தலாம், மற்றும் இரட்டைப் பிரதான அனுமானம், எண்ணற்ற பல ஜோடி பகா எண்கள் உள்ளன. இத்தகைய கேள்விகள் எண்களின் பகுப்பாய்வு அல்லது இயற்கணித அம்சங்களில் கவனம் செலுத்தி, எண் கோட்பாட்டின் பல்வேறு பிரிவுகளின் வளர்ச்சியைத் தூண்டின. பொது-விசை குறியாக்கவியல் போன்ற தகவல் தொழில்நுட்பத்தில் பல நடைமுறைகளில் முதன்மைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது பெரிய எண்களை அவற்றின் பிரதான காரணிகளில் காரணியாக்குவதில் உள்ள சிரமத்தை நம்பியுள்ளது. சுருக்க இயற்கணிதத்தில், பகா எண்கள் போன்ற பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வழியில் செயல்படும் பொருள்களில் முதன்மை கூறுகள் மற்றும் முதன்மை இலட்சியங்கள் அடங்கும்.
பகா எண் என்பது தன்னாலும் ஒன்றாலும் மட்டுமே வகுபடும் ஒன்றை விட பெரிய இயற்கை எண்ணாகும். எ.கா. 5 என்பது 5 மற்றும் 1ஆல் மட்டுமே வகுபடும் என்பதால் 5 என்பது ஒரு பகா எண், ஆனால் 4 என்பது 4,2 மற்றும் 1ஆல் வகுபடுவதால் 4 அல்ல.