 இன் வர்க்கமூலம் பகுத்தறிவற்றது என்பதற்கான ஆதாரம் கொடுங்கள்
 இன் வர்க்கமூலம் பகுத்தறிவற்றது என்பதற்கு முரண்பாடான ஆதாரம் இங்கே உள்ளது. முதலில், பகுத்தறிவற்ற எண்கள் p மற்றும் q ஆகிய முழு எண்களுக்கு p / q என எழுத முடியாத எண்கள் என்பதை நினைவில் கொள்க. 2 இன் வர்க்கமூலம் பகுத்தறிவு என்று முரண்பாடாகக் கருதுங்கள், அதாவது சில முழு எண்களான p மற்றும் q க்கு sqrt(2) = p / q. இந்த பின்னம் குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் உள்ளது என்று பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் மேலும் கருதுங்கள், அதாவது p மற்றும் q பொதுவான காரணிகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளவில்லை. எந்த முழு எண் பின்னமும் இவ்வளவு குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் எழுதப்படலாம், எனவே sqrt(2) க்கு ஏதேனும் பகுத்தறிவு பிரதிநிதித்துவம் இருப்பது குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் ஒன்று இருப்பதைக் குறிக்கும். இப்போது நாம் மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் சதுரமாக்குகிறோம், சில முழு எண்களான p மற்றும் q க்கு 2 = p^2 / q^2 எந்த பொதுவான காரணிகளையும் பகிர்ந்து கொள்ளாது. இப்போது 2 * q^2 = p^2 ஐப் பெற q^2 ஆல் பெருக்கவும், இடது புறம் 2 இன் காரணியால் சமமாக இருப்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே வலது புறம் p^2 சமமாக இருக்கும். அதாவது p சமமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையெனில் p^2 சமமாக இருக்காது. எனவே p சில முழு எண் x க்கு 2 * x என எழுதலாம். மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் இதை மாற்றினால், நாம் 2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2 ஐப் பெறுகிறோம், சமன்பாட்டின் இருபுறமும் 2 காரணி உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க. இதைச் செய்வதன் மூலம், நாம் q^2 = 2 * x^2 ஐப் பெறுகிறோம், மேலே உள்ளதைப் போன்ற ஒரு வாதத்தின் மூலம், q சமமானது என்று முடிவு செய்யலாம். இருப்பினும் இது p மற்றும் q பொதுவான காரணிகளைப் பகிர்ந்து கொள்ளவில்லை என்ற எங்கள் அனுமானத்திற்கு முரணானது. எனவே sqrt(2) பகுத்தறிவு என்ற நமது ஆரம்ப அனுமானம் தவறானது, இதைத்தான் நாங்கள் நிரூபிக்க வேண்டும்.