 பொய் அல்ஜீப்ராவை விவரிக்கவும்
கணிதத்தில், ஒரு எளிய பொய் குழுவானது இணைக்கப்பட்ட அபிலியன் அல்லாத Lie குழு G ஆகும், இது சாதாரணமாக இணைக்கப்படாத துணைக்குழுக்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை. எளிய பொய் இயற்கணிதங்கள் மற்றும் ரீமான்னியன் சமச்சீர் இடைவெளிகளின் பட்டியலைப் படிக்க எளிய பொய் குழுக்களின் பட்டியலைப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையான எண்களின் commutative Lie குழுவான \mathbb {R} , மற்றும் யூனிட் அளவு கலப்பு எண்கள், U(1) (அலகு வட்டம்), எளிய பொய் குழுக்கள் அனைத்தையும் உருவாக்கும் அணு "தடுப்புகளை" கொடுக்கின்றன. (வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாணம்) குழு நீட்டிப்பின் செயல்பாட்டின் மூலம் பொய் குழுக்களை இணைக்கிறது. பொதுவாக எதிர்கொள்ளும் பல பொய்க் குழுக்கள் எளிமையானவை அல்லது எளிமையானவையாக 'நெருக்கமானவை': எடுத்துக்காட்டாக, "சிறப்பு நேரியல் குழு" SL(n) n இன் n மெட்ரிக்குகள் 1 க்கு சமமான நிர்ணயம் அனைத்து n > 1 க்கும் எளிமையானது. எளிய பொய் குழுக்களின் முதல் வகைப்பாடு வில்ஹெல்ம் கில்லிங் என்பவரால் செய்யப்பட்டது, மேலும் இந்த வேலை பின்னர் � � � � � �லி கார்டனால் முழுமையாக்கப்பட்டது. இறுதி வகைப்பாடு பெரும்பாலும் கில்லிங்-கார்டன் வகைப்பாடு என குறிப்பிடப்படுகிறது.
துரதிர்ஷ்டவசமாக, ஒரு எளிய பொய் குழுவிற்கு உலகளவில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட வரையறை எதுவும் இல்லை. குறிப்பாக, இது எப்போதும் ஒரு சுருக்கக் குழுவாக எளிமையான ஒரு பொய் குழுவாக வரையறுக்கப்படுவதில்லை. ஒரு எளிய பொய்க் குழு இணைக்கப்பட வேண்டுமா, அல்லது அற்பமான மையத்தை வைத்திருக்க அனுமதிக்கப்படுமா அல்லது     \mathbb {R} ஒரு எளிய பொய் குழுவா என்பதில் ஆசிரியர்கள் வேறுபடுகிறார்கள். மிகவும் பொதுவான வரையறை என்னவென்றால், பொய்க் குழு இணைக்கப்பட்டிருந்தால் அது எளிமையானது, அபிலியன் அல்லாதது, மேலும் ஒவ்வொரு மூடிய இணைக்கப்பட்ட சாதாரண துணைக்குழுவும் அடையாளம் அல்லது முழுக் குழுவாக இருக்கும். குறிப்பாக, எளிய குழுக்கள் அற்பம் அல்லாத மையத்தை வைத்திருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது, ஆனால்  à \mathbb {R} எளிதானது அல்ல. இந்த கட்டுரையில் அற்பமான மையத்துடன் இணைக்கப்பட்ட எளிய பொய் குழுக்கள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. இவை தெரிந்தவுடன், அற்பமானவை அல்லாத மையத்தை கீழ்கண்டவாறு பட்டியலிடுவது எளிது. அற்ப மையத்துடன் கூடிய எந்த ஒரு எளிய பொய் குழுவும் உலகளாவிய கவர் கொண்டிருக்கும், அதன் மையம் எளிய பொய் குழுவின் அடிப்படை குழுவாகும். அற்பமான மையத்துடன் தொடர்புடைய எளிய பொய் குழுக்களை மையத்தின் ஒரு துணைக்குழு மூலம் இந்த உலகளாவிய அட்டையின் பகுதிகளாகப் பெறலாம். மாற்றுகள் ஒரு எளிய பொய் குழுவின் சமமான வரையறை பொய் கடிதத்தில் இருந்து பின்வருமாறு: இணைக்கப்பட்ட பொய் குழுவானது அதன் பொய் இயற்கணிதம் எளிமையானதாக இருந்தால் எளிமையானது. ஒரு முக்கியமான தொழில்நுட்ப அம்சம் என்னவென்றால், ஒரு எளிய பொய் குழுவில் தனித்துவமான சாதாரண துணைக்குழுக்கள் இருக்கலாம். இந்த காரணத்திற்காக, ஒரு எளிய பொய் குழுவின் வரையறை ஒரு சுருக்க குழுவாக எளிமையான ஒரு பொய் குழுவின் வரையறைக்கு சமமானதாக இல்லை. எளிய பொய் குழுக்களில் பல கிளாசிக்கல் லை குழுக்களும் அடங்கும், இது ஃபெலிக்ஸ் க்ளீனின் எர்லாங்கன் திட்டத்தின் பொருளில் கோள வடிவியல், திட்ட வடிவியல் மற்றும் தொடர்புடைய வடிவவியல் ஆகியவற்றிற்கான குழு-கோட்பாட்டு அடிப்படையை வழங்குகிறது. எளிமையான பொய் குழுக்களின் வகைப்பாட்டின் போது, எந்த பழக்கமான வடிவவியலுக்கும் பொருந்தாத பல விதிவிலக்கான சாத்தியக்கூறுகள் உள்ளன என்பது வெளிப்பட்டது. இந்த விதிவிலக்கான குழுக்கள் கணிதத்தின் பிற கிளைகளிலும், சமகால கோட்பாட்டு இயற்பியலிலும் பல சிறப்பு எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் கட்டமைப்புகளை உருவாக்குகின்றன. ஒரு எதிர் உதாரணமாக, பொது நேரியல் குழு எளிமையானது அல்லது அரை எளிமையானது அல்ல. ஏனென்றால், அடையாளத்தின் மடங்குகள் ஒரு அற்பமான சாதாரண துணைக்குழுவை உருவாக்குகின்றன, இதனால் வரையறையைத் தவிர்க்கிறது. அதற்குச் சமமாக, தொடர்புடைய பொய் இயற்கணிதம் சிதைந்த கில்லிங் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இயற்கணிதத்தின் பூஜ்ஜிய உறுப்புக்கு அடையாள வரைபடத்தின் மடங்குகள். எனவே, தொடர்புடைய பொய் இயற்கணிதம் எளிமையானது அல்லது அரை எளிமையானது அல்ல. மற்றொரு எதிர் உதாரணம் சம பரிமாணத்தில் உள்ள சிறப்பு ஆர்த்தோகனல் குழுக்கள். இவை மையத்தில் மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த உறுப்பு அடையாள உறுப்புடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே இந்த குழுக்கள் வரையறையைத் தவிர்க்கின்றன. இவை இரண்டும் குறைக்கும் குழுக்கள்.