 இந்த பத்தியின் அடிப்படையில் காம்பினேட்டரிக்ஸில் பர்ன்சைட்டின் லெம்மாவின் சில நடைமுறை பயன்பாடுகள் யாவை?
பர்ன்சைட்டின் லெம்மா, சில சமயங்களில் பர்ன்சைட்டின் எண்ணும் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படும், Cauchy′′Frobenius lemma, orbit-counting theorem, or lemma என்று பர்ன்சைட் அழைக்கப்படுகிறது, இது குழுக் கோட்பாட்டின் விளைவாகும். பொருள்கள். அதன் பல்வேறு பெயர்கள் வில்லியம் பர்ன்சைட், ஜார்ஜ் பெல்யா, அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி மற்றும் ஃபெர்டினாண்ட் ஜார்ஜ் ஃப்ரோபீனியஸ் ஆகியோரை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. இதன் விளைவு பர்ன்சைட் காரணமாக இல்லை, அவர் தனது புத்தகமான 'ஆன் தி தியரி ஆஃப் க்ரூப்ஸ் ஆஃப் ஃபைனைட் ஆர்டர்' இல் மேற்கோள் காட்டினார், அதற்கு பதிலாக ஃப்ரோபீனியஸ் (1887) என்று கூறுகிறார். பர்ன்சைட்டின் லெம்மா "சுற்றுப்பாதைகளை" கணக்கிடுகிறது, இது ஒரு சமச்சீரற்ற தன்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு தனித்துவமான பொருட்களை எண்ணுவதைப் போன்றது. அதைச் சொல்வதற்கான மற்ற வழிகள், R வரையிலான சமமான தொடர்புகள் அல்லது நியதி வடிவத்தில் இருக்கும் பொருட்களை எண்ணுவது. பின்வருவனவற்றில், G என்பது X தொகுப்பில் செயல்படும் வரையறுக்கப்பட்ட குழுவாக இருக்கட்டும். G இல் உள்ள ஒவ்வொரு g க்கும், X இல் உள்ள உறுப்புகளின் தொகுப்பை Xg குறிக்கட்டும், அவை g ஆல் நிலையானதாக இருக்கும் (g ஆல் மாறாமல் விடப்படும் என்றும் கூறப்படுகிறது), அதாவது , Xg = { x à X | gx = x }. பர்ன்சைட்டின் லெம்மா, சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கைக்கான பின்வரும் சூத்திரத்தை வலியுறுத்துகிறது, இது |X/G|: | �� / �� | = 1 | ��� | ��������� | ����� | . {\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.} இவ்வாறு சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை (ஒரு இயற்கை எண் அல்லது + ______) என்பது G இன் ஒரு தனிமத்தால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் சராசரி எண்ணிக்கைக்கு சமம் (இது ஒரு இயற்கை எண் அல்லது முடிவிலியும் கூட). G என்றால் எல்லையற்றது, |G| ஆல் வகுத்தல் நன்கு வரையறுக்கப்படாமல் இருக்கலாம்; இந்த வழக்கில் கார்டினல் எண்கணிதத்தில் பின்வரும் அறிக்கை உள்ளது: | ��� | | �� / �� | = ������������ | ����� | . {\displaystyle |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|.} நெக்லஸ்களை எண்ணுவதற்கான பயன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் நீளம் 3 இல் 8 சாத்தியமான பிட் வெக்டர்கள் உள்ளன, ஆனால் நான்கு மட்டுமே வேறுபடுகின்றன 3: 000, 001, 011, மற்றும் 111 நீளமுள்ள 2-வண்ண நெக்லஸ்கள், ஏனெனில் 100 மற்றும் 010 சுழற்சியின் மூலம் 001 க்கு சமம்; இதேபோல் 110 மற்றும் 101 ஆகியவை 011 க்கு சமமானவை. சூத்திரம் சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இந்த விஷயத்தில் 3 (பூஜ்ய சுழற்சி உட்பட) மற்றும் ஒவ்வொரு சுழற்சியிலும் மாறாமல் இருக்கும் பிட் வெக்டர்களின் எண்ணிக்கை. அனைத்து 8 பிட் திசையன்களும் பூஜ்ய சுழற்சியால் மாறாமல் இருக்கும், மேலும் இரண்டு (000 மற்றும் 111) மற்ற இரண்டு சுழற்சிகளால் மாறாமல் இருக்கும், கொடுக்கிறது: 4 = 1 3 ( 8 + 2 + 2 ) {\ displaystyle 4={\ frac { 1}{3}}(8+2+2)}. நீளம் 4 க்கு, 16 சாத்தியமான பிட் வெக்டர்கள் உள்ளன; 4 சுழற்சிகள்; பூஜ்ய சுழற்சி அனைத்து 16 பிட் திசையன்களையும் மாறாமல் விட்டு விடுகிறது; 1-சுழற்சி மற்றும் 3-சுழற்சி ஒவ்வொன்றும் இரண்டு பிட் திசையன்களை மாறாமல் விட்டுவிடும் (0000 மற்றும் 1111); 2-சுழற்சி 4 பிட் திசையன்களை மாறாமல் விட்டு விடுகிறது (0000, 0101, 1010 மற்றும் 1111); கொடுப்பது: 6 = 1 4 ( 16 + 2 + 4 + 2 ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. அவை: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, மற்றும் 1111. ஒரு கனசதுரத்தின் நிறங்கள் மூன்று வண்ணங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு கனசதுரத்தின் முகங்களின் சுழலும் வேறுபட்ட நிறங்களின் எண்ணிக்கையை இந்த சூத்திரத்திலிருந்து பின்வருமாறு தீர்மானிக்கலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்குநிலையில் ஒரு கனசதுரத்தில் பயன்படுத்தக்கூடிய 36 சாத்தியமான முக வண்ண சேர்க்கைகளின் தொகுப்பாக X இருக்கட்டும், மேலும் கனசதுரத்தின் சுழற்சி குழு G ஆனது X இல் இயற்கையான முறையில் செயல்படட்டும். X இன் இரண்டு கூறுகள் ஒன்று மற்றொன்றின் சுழற்சியாக இருக்கும்போது துல்லியமாக ஒரே சுற்றுப்பாதையைச் சேர்ந்தவை. சுழலும் வித்தியாசமான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கையானது சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கையைப் போலவே இருக்கும், மேலும் X இன் 36 கூறுகளையும் மாறாமல் விட்டுவிடும் ஒரு அடையாள உறுப்புடன் G. Cube இன் 24 உறுப்புகளுக்கான நிலையான தொகுப்புகளின் அளவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் கண்டறியலாம். 90 டிகிரி முகச் சுழற்சிகள், ஒவ்வொன்றும் X இன் 33 உறுப்புகள் மாறாமல் மூன்று 180 டிகிரி முகச் சுழற்சிகளை விட்டுச் செல்கின்றன, ஒவ்வொன்றும் X இன் 34 உறுப்புகள் மாறாமல் எட்டு 120 டிகிரி உச்சி சுழற்சிகள், ஒவ்வொன்றும் 32 உறுப்புகளை விட்டுச் செல்கின்றன. X மாறாத ஆறு 180-டிகிரி விளிம்பு சுழற்சிகள், ஒவ்வொன்றும் X இன் 33 தனிமங்கள் மாறாமல் உள்ளன, இந்த ஆட்டோமார்பிஸங்கள் பற்றிய விரிவான ஆய்வு இங்கே காணலாம். சராசரி சரிசெய்தல் அளவு 1 24 (3 6 + 6 ± 3 3 + 3 à 3 4 + 8 ± 3 2 + 6 à 3 3 ) = 57. {\frac {1}{ 24}}\இடது(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\வலது) =57. எனவே மூன்று வண்ணங்களில் ஒரு கனசதுரத்தின் முகங்களில் 57 சுழலும் மாறுபட்ட நிறங்கள் உள்ளன. பொதுவாக, n நிறங்களில் ஒரு கனசதுரத்தின் முகங்களின் சுழலும் வித்தியாசமான வண்ணங்களின் எண்ணிக்கை 1 24 ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது ( ¼ 6 + 3 à 4 + 12 ± 3 + 8 £ 2 ) . {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right). 8 குயின்ஸ் புதிர் எட்டு குயின்ஸ் புதிரில் 92 தீர்வுகள் உள்ளன, அவற்றில் 12 அடிப்படை தீர்வுகள் பலகையின் சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பு வரை வேறுபடுகின்றன. பூஜ்ய நடவடிக்கை உட்பட, சுழற்சிகள் மற்றும் பிரதிபலிப்புகளின் 8 சேர்க்கைகள் உள்ளன. பூஜ்ய நடவடிக்கை அனைத்து 92 தீர்வுகளையும் மாறாமல் விட்டுவிடும். 92 தீர்வுகளில் நான்கு சமச்சீர், 180º சுழற்சியால் மாறாமல் இருக்கும். அது தருகிறது: 12 = 1 8 (92 + 4 ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
 நெக்லஸ் எண்ணுவதில் சிக்கல்: ஒவ்வொரு மணியும் இரண்டு நிறங்களில் ஒன்றாக இருக்கக்கூடிய பல்வேறு நீளங்களின் சுழற்சி முறையில் வேறுபட்ட கழுத்தணிகளை எண்ணுதல். கட்டுரை நீளம் 3 மற்றும் 4 நெக்லஸ்களைக் கணக்கிடுகிறது, மேலும் பதில் முறையே 4 மற்றும் 6 ஆகும். * ஒரு கனசதுர பிரச்சனையின் நிறங்கள்: ஒரு கனசதுரத்தின் முகங்களின் சுழலும் மாறுபட்ட நிறங்களை எண்ணுங்கள். கட்டுரையில் 3 வண்ணங்கள் பயன்படுத்தப்படும் போது பதில் 57 ஆகும் 92) பர்ன்சைட்டின் லெம்மா பயன்பாட்டுடன், கட்டுரையானது ராணிகளின் வெவ்வேறு இடங்களின் எண்ணிக்கையை சுழற்சி மற்றும் பிரதிபலிப்பு வரை கணக்கிடுகிறது, இது 12 க்கு விடையாக வரும்.