 බොරු වීජ ගණිතය විස්තර කරන්න
ගණිතයේ දී, සරල Lie කණ්ඩායමක් යනු සම්බන්ධිත නොවන සම්බන්ධිත සාමාන්‍ය උප කණ්ඩායම් නොමැති සම්බන්ධිත Abelian නොවන Lie කාණ්ඩයකි. සරල බොරු කන්ඩායම් ලැයිස්තුව සරල බොරු වීජ ගණිතය සහ රීමන්නියන් සමමිතික අවකාශයන් ලැයිස්තුවෙන් කියවීමට භාවිතා කළ හැක. තථ්‍ය සංඛ්‍යා, \mathbb {R} , සහ ඒකක විශාලත්වයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා U(1) (ඒකක කවය) හි සංක්‍රමණික Lie කණ්ඩායම සමඟ එක්ව, සරල බොරු කණ්ඩායම් සියල්ල සෑදෙන පරමාණුක "බ්ලොක්" ලබා දෙයි. (සීමිත-මාන) කණ්ඩායම් දිගුව ක්‍රියාත්මක කිරීම හරහා සම්බන්ධ වූ බොරු කණ්ඩායම්. පොදුවේ හමුවන බොහෝ බොරු කණ්ඩායම් සරල හෝ සරල වීමට 'සමීප' වේ: නිදසුනක් ලෙස, n න්‍යාසයෙන් n හි ඊනියා "විශේෂ රේඛීය කණ්ඩායම" SL(n) 1 ට සමාන නිර්ණායකය සියලු n > 1 සඳහා සරල වේ. සරල බොරු කණ්ඩායම්වල පළමු වර්ගීකරණය විල්හෙල්ම් කිලිං විසින් සිදු කරන ලද අතර, මෙම කාර්යය පසුව Élie Cartan විසින් පරිපූර්ණ කරන ලදී. අවසාන වර්ගීකරණය බොහෝ විට Killing-Cartan වර්ගීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
අවාසනාවකට මෙන්, සරල බොරු කණ්ඩායමක් පිළිබඳ විශ්වීයව පිළිගත් නිර්වචනයක් නොමැත. විශේෂයෙන්, එය සෑම විටම වියුක්ත කණ්ඩායමක් ලෙස සරල වන බොරු කණ්ඩායමක් ලෙස අර්ථ දක්වා නැත. සරල බොරු කණ්ඩායමක් සම්බන්ධ කළ යුතුද, නැතහොත් එයට සුළු නොවන මධ්‍යස්ථානයක් ලබා ගැනීමට අවසර තිබේද, නැතහොත්   \mathbb {R} සරල බොරු කණ්ඩායමක්ද යන්න පිළිබඳව කතුවරුන් වෙනස් වේ. වඩාත් පොදු නිර්වචනය නම් බොරු කණ්ඩායමක් සම්බන්ධ වී ඇත්නම් එය සරල වන අතර, අබලියන් නොවන අතර, සෑම සංවෘත සම්බන්ධිත සාමාන්‍ය උප සමූහයක්ම අනන්‍යතාවය හෝ සම්පූර්ණ කණ්ඩායම වේ. විශේෂයෙන්ම, සරල කණ්ඩායම්වලට සුළු නොවන මධ්‍යස්ථානයක් තිබීමට අවසර ඇත, නමුත් \mathbb {R} සරල නොවේ. මෙම ලිපියේ සුළු කේන්ද්‍රයක් සහිත සම්බන්ධිත සරල බොරු කණ්ඩායම් ලැයිස්තුගත කර ඇත. මේවා දැනගත් පසු, සුළු නොවන කේන්ද්‍රය ඇති ඒවා පහත පරිදි ලැයිස්තුගත කිරීම පහසුය. සුළු කේන්ද්‍රයක් සහිත ඕනෑම සරල බොරු කණ්ඩායමකට විශ්ව ආවරණයක් ඇත, එහි කේන්ද්‍රය සරල බොරු කණ්ඩායමේ මූලික කණ්ඩායම වේ. සුළු නොවන කේන්ද්‍රය සහිත අනුරූපී සරල බොරු කන්ඩායම් මෙම විශ්ව ආවරණයේ කොටස් වශයෙන් මධ්‍යයේ උප සමූහයක් මගින් ලබා ගත හැක. විකල්ප සරල බොරු කණ්ඩායමක් සඳහා සමාන අර්ථ දැක්වීමක් බොරු ලිපි හුවමාරුවෙන් පහත දැක්වේ: සම්බන්ධිත බොරු කණ්ඩායමක් එහි බොරු වීජ ගණිතය සරල නම් සරල වේ. වැදගත් තාක්ෂණික කරුණක් වන්නේ සරල බොරු කණ්ඩායමක විවික්ත සාමාන්‍ය උප කණ්ඩායම් අඩංගු විය හැකි බවයි. මේ හේතුව නිසා, සරල බොරු කණ්ඩායමක නිර්වචනය වියුක්ත කණ්ඩායමක් ලෙස සරල වන බොරු කණ්ඩායමක අර්ථ දැක්වීමට සමාන නොවේ. ෆීලික්ස් ක්ලයින් ගේ Erlangen වැඩසටහනේ අර්ථයෙන් ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය, ප්‍රක්ෂේපණ ජ්‍යාමිතිය සහ අදාළ ජ්‍යාමිතිය සඳහා සමූහ-න්‍යායාත්මක පදනමක් සපයන බොහෝ සම්භාව්‍ය බොරු කණ්ඩායම්වලට බොහෝ සම්භාව්‍ය බොරු කණ්ඩායම් ඇතුළත් වේ. කිසිදු හුරුපුරුදු ජ්‍යාමිතියකට අනුරූප නොවන සුවිශේෂී අවස්ථා කිහිපයක් ද පවතින බව සරල බොරු කණ්ඩායම් වර්ගීකරණයේදී මතු විය. මෙම සුවිශේෂී කණ්ඩායම් ගණිතයේ අනෙකුත් ශාඛාවල මෙන්ම සමකාලීන න්‍යායික භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ විශේෂ උදාහරණ සහ වින්‍යාසයන් සඳහා හේතු වේ. ප්රතිඋදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්ය රේඛීය කණ්ඩායම සරල හෝ අර්ධ සරල නොවේ. මක්නිසාද යත්, අනන්‍යතාවයේ ගුණාකාරයන් සුළු නොවන සාමාන්‍ය උප සමූහයක් සාදනු ලබන අතර, එමඟින් නිර්වචනය මග හැරේ. ඒ හා සමානව, අනුරූප බොරු වීජ ගණිතයට පිරිහුණු කිලිං ආකාරයක් ඇත, මන්ද අනන්‍යතා සිතියමේ ගුණාකාර වීජ ගණිතයේ ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍යයට. මේ අනුව, අනුරූප බොරු වීජ ගණිතය ද සරල හෝ අර්ධ සරල නොවේ. තවත් ප්‍රති-උදාහරණයක් වන්නේ ඉරට්ටේ මානයන්හි විශේෂ විකලාංග කණ්ඩායම් ය. මේවායේ මධ්‍යයේ න්‍යාසය - I ඇති අතර, මෙම මූලද්‍රව්‍යය අනන්‍යතා මූලද්‍රව්‍යයට මාර්ගය සම්බන්ධ කර ඇති අතර එම නිසා මෙම කණ්ඩායම් නිර්වචනයෙන් මග හරියි. මේ දෙකම අඩු කිරීමේ කණ්ඩායම් වේ.