 හි වර්ගමූලය අතාර්කික බවට මට සාක්ෂියක් දෙන්න
මෙහි 2 හි වර්ගමූලය අතාර්කික බව පරස්පර විරෝධී සාක්ෂියකි. පළමුව, අතාර්කික සංඛ්‍යා යනු p සහ q නිඛිල සඳහා p / q ලෙස ලිවිය නොහැකි සංඛ්‍යා බව මතක තබා ගන්න. 2 හි වර්ගමූලය තාර්කික බව ප්‍රතිවිරෝධය සඳහා උපකල්පනය කරන්න, එයින් අදහස් වන්නේ සමහර නිඛිල p සහ q සඳහා sqrt(2) = p / q යන්නයි. මෙම භාගය අඩු වූ ආකාරයෙන් පවතින බව සාමාන්‍ය බව නැති නොවී තවදුරටත් උපකල්පනය කරන්න, එනම් p සහ q පොදු සාධක බෙදා නොගන්නා බවයි. අපට මෙය උපකල්පනය කළ හැක්කේ ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යා භාගයක් එවැනි අඩු කළ ආකාරයකින් ලිවිය හැකි නිසා, වර්ග (2) සඳහා ඕනෑම තාර්කික නියෝජනයක් පැවතීම, අඩු කළ ස්වරූපයෙන් එකක් පැවතීම ඇඟවුම් කරන බැවිනි. දැන් අපි ඉහත සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කර, සමහර නිඛිල p සහ q සඳහා 2 = p^2 / q^2 ලබා දෙයි. දැන් 2 * q^2 = p^2 ලබා ගැනීම සඳහා q^2 න් ගුණ කරන්න, වම් පස 2 ගුණය නිසා ඉරට්ටේ වන බව සලකන්න, එබැවින් දකුණු පස p^2 සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ p ඉරට්ටේ විය යුතු බවයි, එසේ නොමැති නම් p^2 ඉරට්ටේ නොවේ. එබැවින් p යනු සමහර නිඛිල x සඳහා 2 * x ලෙස ලිවිය හැක. ඉහත සමීකරණයට මෙය ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ 2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2 සමීකරණයේ දෙපැත්තටම 2 අගයක් ඇති බව සලකන්න. මෙය සිදු කිරීමෙන්, අපට q^2 = 2 * x^2 ලැබේ, ඉහත තර්කයට සමාන තර්කයකින්, අපට q ඉරට්ටේ යැයි නිගමනය කළ හැක. කෙසේ වෙතත් මෙය p සහ q පොදු සාධක බෙදා නොගත් බවට අපගේ උපකල්පනයට පටහැනි වේ. එබැවින් වර්ග (2) තාර්කික යැයි අපගේ මූලික උපකල්පනය සාවද්‍ය විය, එය අප ඔප්පු කිරීමට සූදානම් විය.