 මෙම ඡේදය මත පදනම් වූ Combinatorics හි Burnside's lemma හි සමහර ප්‍රායෝගික යෙදුම් මොනවාද?
Burnside's lemma, සමහර විට Burnside's ගණන් කිරීමේ ප්‍රමේයය, Cauchy-Frobenius lemma, orbit-counting theorem හෝ Burnside ගේ නොවන lemma ලෙසද හැඳින්වේ, ගණිතමය වස්තූන් ගණන් කිරීමේදී සමමිතිය සැලකිල්ලට ගැනීමේදී බොහෝ විට ප්‍රයෝජනවත් වන කණ්ඩායම් න්‍යායේ ප්‍රතිඵලයකි. එහි විවිධ නාමයන් පදනම් වී ඇත්තේ විලියම් බර්න්සයිඩ්, ජෝර්ජ් පෝල්යා, ඔගස්ටින් ලුවී කෞචි සහ ෆර්ඩිනන්ඩ් ජෝර්ජ් ෆ්‍රොබීනියස් මත ය. එහි ප්‍රතිඵලය බර්න්සයිඩ් විසින්ම සිදු වූවක් නොවේ, ඔහු එය හුදෙක් ඔහුගේ 'On theory of Groups of Finite Order' පොතේ උපුටා දක්වමින්, ඒ වෙනුවට Frobenius (1887) වෙත ආරෝපණය කරයි. Burnside's Lemma "කක්ෂ" ගණන් කරයි, එය සමමිතියක් සැලකිල්ලට ගනිමින් වෙනස් වස්තූන් ගණනය කිරීම හා සමාන දෙයකි. එය පැවසීමේ වෙනත් ක්‍රම නම් සමානතා සම්බන්ධතාවයක් දක්වා වෙනස් වස්තු ගණනය කිරීම හෝ කැනොනිකල් ස්වරූපයෙන් ඇති වස්තු ගණන් කිරීමයි. පහත දැක්වෙන පරිදි, G X කුලකයක් මත ක්‍රියා කරන පරිමිත කණ්ඩායමක් වීමට ඉඩ හරින්න. G හි සෑම g සඳහාම, X හි g මගින් ස්ථාවර වන මූලද්‍රව්‍ය කට්ටලය Xg දැක්වීමට ඉඩ හරින්න (g මගින් වෙනස් නොවන ලෙසද කියනු ලැබේ), එනම් , Xg = { x ∈ X | gx = x }. Burnside's lemma විසින් කක්ෂ ගණන සඳහා පහත සූත්‍රය තහවුරු කරයි, |X/G|: | � / � | = 1 | � | ∑ ∈ ∈ | � | . {\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.} මෙලෙස කක්ෂ ගණන (ස්වාභාවික අංකයක් හෝ + ∞) G හි මූලද්‍රව්‍යයක් මගින් ස්ථාවර කර ඇති සාමාන්‍ය ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවට සමාන වේ (එය ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් හෝ අනන්තයක් ද වේ). G අනන්ත නම්, බෙදීම |G| හොඳින් නිර්වචනය නොකළ හැකිය; මෙම අවස්ථාවේදී කාර්දිනල් අංක ගණිතයේ පහත ප්‍රකාශය රඳවා තබා ගනී: | � | | � / � | = ∑ ∈ ∈ | � | . {\displaystyle |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|.} මාල ගණන් කිරීම සඳහා යෙදුම් සඳහා උදාහරණ දිග 3 විය හැකි බිට් දෛශික 8ක් ඇත, නමුත් වෙනස් වන්නේ හතරක් පමණි. 3: 000, 001, 011, සහ 111 දිග 2-වර්ණ මාල, මන්ද 100 සහ 010 භ්‍රමණයෙන් 001 ට සමාන වේ; ඒ හා සමානව 110 සහ 101 011 ට සමාන වේ. සූත්‍රය පදනම් වී ඇත්තේ භ්‍රමණ සංඛ්‍යාව මත වන අතර, මෙම අවස්ථාවේ දී 3 (ශුන්‍ය භ්‍රමණය ඇතුළුව), සහ එක් එක් භ්‍රමණයෙන් නොවෙනස්ව පවතින බිටු දෛශික ගණන. සියලුම බිටු 8 දෛශික ශුන්‍ය භ්‍රමණයෙන් නොවෙනස් වන අතර, දෙකක් (000 සහ 111) අනෙක් භ්‍රමණ දෙකෙන් නොවෙනස්ව පවතී: 4 = 1 3 ( 8 + 2 + 2 ) {\ displaystyle 4={\ frac { 1}{3}}(8+2+2)}. දිග 4 සඳහා, හැකි බිට් දෛශික 16 ක් ඇත; 4 භ්රමණය; ශුන්‍ය භ්‍රමණය බිට් 16 දෛශික නොවෙනස්ව තබයි; 1-භ්‍රමණය සහ 3-භ්‍රමණය බැගින් බිටු දෛශික දෙකක් නොවෙනස්ව තබයි (0000 සහ 1111); 2-භ්‍රමණ බිටු දෛශික 4 නොවෙනස්ව තබයි (0000, 0101, 1010, සහ 1111); දීම: 6 = 1 4 ( 16 + 2 + 4 + 2 ) {\ displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}. ඒවා නම්: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, සහ 1111. ඝනකයක වර්ණ ගැන්වීම් වර්ණ තුනක් භාවිතා කරන ඝනකයක මුහුණුවල භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් වර්ණ ගැන්වීම් සංඛ්‍යාව පහත පරිදි මෙම සූත්‍රයෙන් තීරණය කළ හැක. එක් විශේෂිත දිශානතියක ඝනකයකට යෙදිය හැකි මුහුණු වර්ණ සංයෝජන 36 ක කට්ටලය X වීමට ඉඩ හරින්න, සහ ඝනකයේ G භ්‍රමණ කණ්ඩායම ස්වභාවික ආකාරයෙන් X මත ක්‍රියා කිරීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට X හි මූලද්‍රව්‍ය දෙකක් හරියටම එකම කක්ෂයට අයත් වන්නේ එකක් අනෙකෙහි භ්‍රමණයක් වන විටය. භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් වූ වර්ණ ගැන්වීම් සංඛ්‍යාව කක්ෂ ගණනට සමාන වන අතර X හි මූලද්‍රව්‍ය 36ම නොවෙනස්ව පවතින හයේ එක් අනන්‍යතා මූලද්‍රව්‍යයක් සහිත වර්ණ සහිත මුහුණු සහිත G. කියුබ් මූලද්‍රව්‍ය 24 සඳහා ස්ථාවර කට්ටලවල ප්‍රමාණය ගණනය කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය. අංශක 90 මුහුණු භ්‍රමණය වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම X හි මූලද්‍රව්‍ය 33ක් නොවෙනස්ව අංශක 180 මුහුණු භ්‍රමණයන් තුනක් තබයි, ඒ සෑම එකක්ම X හි මූලද්‍රව්‍ය 34ක් නොවෙනස්ව අංශක 120ක සිරස් භ්‍රමණ අටක් තබයි, ඒ සෑම එකක්ම මූලද්‍රව්‍ය 32ක් ඉතිරි කරයි. X හි වෙනස් නොවන අංශක 180 දාර භ්‍රමණ හයක්, ඒ සෑම එකක්ම X හි මූලද්‍රව්‍ය 33ක් නොවෙනස්ව තබයි, මෙම ස්වයංක්‍රීයකරණයන් පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක පරීක්ෂණයක් මෙහි සොයාගත හැකිය. සාමාන්‍ය සවි කිරීමේ ප්‍රමාණය මේ අනුව 1 24 ( 3 6 + 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 4 + 8 ⋅ 3 2 + 6 ⋅ 3 3 ) = 57. {\frac {1}{24}}\left(3^ {6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right)=57. එබැවින් වර්ණ තුනකින් ඝනකයක මුහුණුවල භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් වර්ණ 57 ක් ඇත. සාමාන්‍යයෙන්, n වර්ණවලින් ඝනකයක මුහුණුවල භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් වර්ණ ගැන්වීම් සංඛ්‍යාව 1 24 (´ 6 + 3 - 4 + 12 - 3 + 8 ~ 2 ) මගින් දෙනු ලැබේ. {\frac {1}{24}}\වම(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\දකුණ). ක්වීන්ස් ප්‍රහේලිකාව 8 ක්වීන්ස් ප්‍රහේලිකාව තුළ විසඳුම් 92 ක් ඇත, ඉන් මූලික විසඳුම් 12 ක් පුවරුවේ භ්‍රමණය සහ පරාවර්තනය දක්වා වෙනස් වේ. ශුන්‍ය ක්‍රියාව ඇතුළුව භ්‍රමණ සහ පරාවර්තන සංයෝජන 8ක් ඇත. ශුන්‍ය ක්‍රියාව මගින් විසඳුම් 92ම නොවෙනස්ව තබයි. විසඳුම් 92 න් හතරක් සමමිතික වන අතර 180° භ්‍රමණයෙන් නොවෙනස් වේ. එය ලබා දෙන්නේ: 12 = 1 8 (92 + 4 ) {\ displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.
 මාල ගණන් කිරීමේ ගැටලුව: එක් එක් පබළු වර්ණ දෙකෙන් එකක් විය හැකි විවිධ දිග වල භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් මාල ගණන් කිරීම. ලිපියේ දිග 3 සහ 4 මාල ගණන් කරන අතර පිළිතුර පිළිවෙලින් 4 සහ 6 වේ. * ඝනක ගැටලුවක වර්ණ: ඝනකයක මුහුණුවල භ්‍රමණ ලෙස වෙනස් වර්ණ ගණන් කරන්න. ලිපිය වර්ණ 3ක් භාවිතා කරන අවස්ථාවකදී සලකා බලනු ලබන අතර පිළිතුර 57 වේ. * 8 ක්වීන්ස් ප්‍රහේලිකාව: ගැටලුවේ සම්භාව්‍ය අනුවාදයක් වන්නේ චෙස් රැජින 8ක් 8x8 පුවරුවක් මත තැබීමට විවිධ ක්‍රම ගණනය කිරීමයි, එවිට කිසිදු රැජිනක් තවත් කෙනෙකුට පහර නොදෙන ලෙස (පිළිතුර වේ 92) Burnside's lemma යෙදුම සමඟ ලිපිය භ්‍රමණය සහ පරාවර්තනය දක්වා විවිධ රැජින ස්ථානගත කිරීම් ගණන ගණන් කරයි, පිළිතුර ලෙස 12 වෙත පැමිණේ.