Renormalization in low dimensional dynamics - Marco Martens - Lecture 06
Een goede avond. Laten we recallen wat we doen waren we discussieën renormalisatie van circlediffiummorphismen. We hebben renormalisatie en we zien alweer dat renormalisatie je geeft om de typologie van onze circlediffiummorphismen te geven. Het is ook gevoeligd om de measuretheorie te constructeren, te constructeren in verschillende measures. En het is ook gevoeligd om iets te zeggen over topologische klassen en de bifurcatie pattern te gebruiken. Dus wat is er aan de linker, en we doen dat vandaag, is geometrie. Dus vandaag gaan we de circlediffiummorphismen finissen en dan de rest van de week gaan we aan de geometrie van handonmapsen. Maar laten we kijken wat we betekenen met geometrie. Laten we eens denken dat we een soort circlediffiummorphism hebben. En wat betekenen we met de geometrie van de circlediffiummorphismen? Er zijn veel geometrieze vragen die je kunt vragen. En bijvoorbeeld, een geometrieze vragen zou het zijn, laten we een punt nemen en laten we het itereren. En op een gegeven moment, de return, laten we dit 0 nemen, op een gegeven moment gaan we het return. De dichterste kun je krijgen en dan een beetje later returnen je even een beetje dichter. En dan later returnen je even dichter, etc. En je kunt vragen zelf, wat is de verhaal van deze verhaal? Hoe snel, wat is de rate, is er een rate van verhaal van deze returnpunt? En dat zou een geometrieze vragen zijn. En er zijn veel anderen die je kunt vragen, maar bijvoorbeeld om een idee te krijgen. Dus er is een theorem die een geometrieze vragen zorgt dat je kunt denken. En dat is een theorem met Herman en laten we kijken wat we krijgen. Dus we hebben, laten we zeggen, een C3 circledifium. En laten we zeggen dat de rotationnummer van F is gegeven door de continuïntracties van F. Laten we kijken wat er is. En laten we zeggen, zodat we weten dat we een homeoconjugatie hebben, F, met de rigide rotation. Dat is gewoon een conjugatie. En dus onze homeomorphisme, dit is een homeo. En dus deze homeomorphisme vertelt ons alles over de topologie we willen weten. Maar nu, Michel Herman proeft dat, eigenlijk, als de a n dus niet te snel naar infinity gaat, dan h is c1 plus alpha difium. En dat betekent dat h is verschillende en eigenlijk h, en het is invers.  Het is verschillende en de derivatie van deze homeomorphisme is alpha hulder. En dat betekent dat je er wat controle hebt over hoe de derivatie veranderd is. Laten we recallen wat dat betekent. Het is een soort lip-sitz-condition. En dus, en nu, suppose dat je een C3 difiummorphisme hebt en de a n's niet te snel naar infinity gaat, dan is onze a n's een C1 difiummorphisme. En dat betekent dat op een heel klein gebouw dit conjugatie map is fijn. Dus dat betekent dat op een klein gebouw, een klein gebouw dieometrie van f is dezelfde als een klein gebouw dieometrie van de rigide rotation. En dus, als je hier wat je hier ziet, op een heel klein gebouw, dan kijk je dan op de correspondingspictuur voor de rigide rotation. En dus, wat we zien is dat de klein gebouw dieometrie van een difiummorphisme is dezelfde als de klein gebouw dieometrie van de correspondingspictuur van de rigide rotation. Onder een conditie. De a niet te snel naar infinity gaat. Dus dit gaat onder de naam van rigide. Een klein gebouw dieometrie kan niet bevormd zijn. En je kunt zeggen, oké, laten we onze difiummorphisme nemen en we zien deze orbit gaan rond. En misschien, door de difiummorphisme te schipen, kan ik vertrouwen hoe deze orbit is accumulatie. Nou, apparaat, dat is onmogelijk. Dus een klein gebouw dieometrie van een klein gebouw is rigide onder deze conditie. Oké, dus laten we het proeven. Laten we het proeven in het simpelste geval. Oké, dus laten we zeggen de proeven van rigide. Hermann Theer, rigide. In het simpelste. En dit is het simpelste geval. En dat is als alle a's zijn 1. Nu plus, minus, plus, minus, plus, minus. Oké, dus laten we kijken hoe we dit doen. Nou, remember, in this case, renormalisation has hyperbolic behavior associated with... Miss this row is 1 over 1 plus 1 over 1 plus et cetera like this. En remember what was happening again? We had 1 rigid rotation and that was renormalised to another rigid rotation. And here we had the family of rigid rotations. It was an expanding curve and the same curve will pass by to the other guy. And moreover, this is the expanding part, and there is also a stable manifold in both pictures. And now our map we are going to look at is sitting somewhere here.  And remember that from renormalisation we learned that the topological classes are stable manifolds. And so we know that our map is lying in the stable manifold. So what we get from that are two things. The renormalisation of F converges to these two points. It will convert that and then come back. And this convergence will be exponentially fast. It will be exponentially fast. So let's make a picture. Let's make a picture. We know. Let's make a picture of the end renormalisation. And that is some difumorphism. Let's make a picture. So something like this. And somewhere is the critical point. This of course depends on where you are in the renormalisation. And somewhere is a vn. And somewhere here is the diagonal. So it converts to the rigid rotations. And for the rigid rotations this is a straight line. Let me first make the end renormalisation of this one. And it will also look something like that. And now there will be a c and there will be a v. And that will be exactly a straight line here and exactly a straight line here. En de c-nummer en de v-nummer are fixed. En zo en nu de end renormalisation looks very much like one of this one. En het betekent dat deze brand hier is almost a straight line. Er is een beetje twigel in het, maar niet veel. En de andere kant ook. Het is almeas een straight line. Dus je ziet dat de deel tussen deze foto's is, zeg maar, dat op de n. Dat is iets exponentieel klein. Dat kan een beetje meer precies zijn over dat. Dus wat we betekenen is dat... Hier hebben we onze vn en hier hebben we onze v-star. Dus de foto's zijn exponentieel dicht, maar dat betekent dat in particular c-n en deze perfecte nummer zijn exponentieel klein. Dus dit is 0, 1. Dit is 0, 1. En deze punten zijn bijna op hetzelfde plek. En hetzelfde voor de vn. De vn zijn exponentieel dicht naar wat het is supposede te zijn om de ritzende rotatie te geven. Oké. Er is nog een andere plek van informatie. Lemmen we dat we aan het renormaliseren maar er was een andere tool en dat waren de toren. Dus laten we de toren maken. Laten we de toren maken van f. Dus we doen hetzelfde.  Hier hebben we l-n, hier hebben we r-n. En dan hebben we onze toren. En hier hebben we de n-trenormalisering van f-rho. En dat heeft ook een toren. En er is een l-n hier. En er is een r-n hier. En er is... een toren hier. En er is een toren hier. En natuurlijk, in deze toren weten we dat als je de bodem hebt en je naar een bepaalde niveau gaat, dan is deze map f-vijn. En dat is de ritzende rotatie. Dus alle iteraties zijn iets f-vijn. Dus als je naar de bodem gaat, naar een bepaalde niveau, dan krijg je een f-vijn map. Dus van deze exponentiele convergente van bekijken in de proef van dit weten we dat in dit geval deze map exponentieel dicht is. Dus dat betekent dat de toren ook dezelfde lijkt. Niet alleen de positie van deze twee punten en de twee branders, de pixel van de renormalisatie, maar de touwen, zijn ook exponentieel dicht. Oké. Dus nu gaan we renormaliseren. En wat was renormalisering? Je moet het nemen. Dit zal belangrijk zijn. Dus laten we red gebruiken. Dus wat je moet doen is renormaliseren. Je moet een van de gebouwen kutten. En de kuttingpunt is van vn of vn-star. Oké, dus laten we hier v-star en dan zie je dat de kutting precies in dezelfde positie gebeurt. Als deze had de deel 0,4 van het hele ding, dan zou dit ook 0,4 van het hele ding zijn. Want deze map is ook oké. Dus nu gaan we onze v1, vn en we moeten ook hier kutten. Dus we moeten hier vn en we moeten hier kutten. Dus nu gaan we kijken wat we krijgen van deze en deze informatie. En de fact dat deze iterate van de bodem op een niveau is al oké. Dus let's take this interval en let's zoom it out to the unit interval. So somewhere here we will find v-star up to scaling we get to the same size. And the proportion of this to that is the same as the proportion of this to that. And let's do the same thing here. Let's take this interval and let's zoom it also to unit size. And then the cutting point will be sitting somewhere here, vn and this distance will be exponentially close.  So the place where you are going to cut in the tower of F to construct the new renormalization is exponentially close to the cutting place of the construction of the next renormalization of the written rotation. Oké, so this is about the towers but there is a circle. So let's use the towers to go back to the circle and look how the conjugation goes. And remember how we built the conjugation. Let me make a picture and you will remember. So all these intervals here and those they are actually lying in the circle and they form what we called the dynamical partition. And here we also have the corresponding dynamical partition of the rigid rotation. En the conjugation has to be something like that. Whatever the conjugation does it has to take corresponding pieces to corresponding pieces. In particular this level has to go to that level. With that this picture as if you take this level this has to go to the corresponding level there. So all layers are preserved. En we use that to approximate the conjugation. So let's see how that goes. Here is going to be a graph this is going to be the graph of our conjugation the approximations. So let's take this little interval and I don't know where this is in the circle but let's say it's somewhere here. Let's say it's somewhere here. Somewhere in the circle. En let's take its friend the corresponding interval of the rigid rotation. En we know that the conjugation has to glue them together. So maybe here is the interval of the rigid rotation. En now we know that our conjugation is something inside here. There is also stuff here but we don't worry about it for the moment. But remember that we constructed the sequence hn converging to our conjugation. En hn by construction was made in such a way that it is just a straight line on this level. 