2.1 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
Er is een nieuwe stack van noten die er gestart is. De stack werd geleden in een mt1 gehaald. Dus als je er er meer kopjes op zet, is er meer kopjes hier. En vandaag zou ik beginnen met een paar correcties op wat ik yesterday zei. Dus ik belast het verandering op de effect dat het een digitale nummerfiel, de finite extensie van Q, dan in de multiplicatieve groep K star, dat ik referte als het discreet logarithm probleem in K star, als een efficiële solution. En in de encay, dat is K by een function field over een curve, over een finite field. Dus als ik een transcendentie heb, een finite extensie, kan je deze in K star doen. En ik heb gemeld dat dat even makkelijk was. Maar daarom is het hier, want in K star, de logarithm probleem in K star is notorieel moeilijk. Je microfoon maakt het niet. Ik wens... En wat kan je doen over het? Ik weet het niet. Misschien zetten we het in een verkeerd pakket? Oké, we kunnen altijd het veranderen. O, is het misschien deze animal die er een beetje meer op moet zijn? Ik weet het niet. Oké, we zien het. Oké, we gaan het proberen. Dank je. Dus dat betekent dat het zeker niet mogelijk is om in general de discreet logarithm probleem daar te doen. En ook in de deel van de deur, de deur van de uniteit, de speciaal bedrijven, maar in deze function field is de deur van de uniteit veel groter. En wat je moet doen, restricteer je de discreet logarithm probleem in deze slechte kleine groep. Dus dat is een correctie van gisteren. Een andere correctie van gisteren is dat ik geïnteresseerd was aan Jordan Ellenberg's boek als... Ik weet het niet. Ja, ik weet het niet. Hoe kun je het proberen? Je kunt daar de stoel van de... Wat gebeurt hier? Misschien dan... Dat is beter. Oh, laten we zien, waar is deze ding? Het is in ieder geval een wier. Dus is het een wier met wat fritjes erop? Ik weet het niet. Maar ik kan het wel doen. Een beeld misschien. Als ik weet hoe ik dit doe, dan is het oké. Nou, de andere ging niet werken gisteren. Oké, dus laten we het doen. Dus, Jordan Ellenberg... Jordan Ellenberg's boek van... Mijn vrienden bieden een kopje.  Ik bedoel me te zijn geïnteresseerd. De correcte geïnteresseerd is shape. En ik denk dat het nog niet behoorlijk is. De vrienden bieden een kopje. De vrienden bieden een kopje. Oké, dus laten we het zien. Oké, dus ik hoop dat dit er beter werkt. Dus wat is er aan het brengen? Nou, laat ik je ooit aanbieden... ... van het probleem... ... dat we over hebben... ... dat we over hebben... ... als we 2 integraties A en B hebben... ... dan in Euclid... ... leren we over de gcd van A en B... ... die heeft deze property... ... en dit is iets wat we willen... ... om het nummerfiel te brengen. Dus laten we beginnen... ... om wat notatie te introduceren... ... dat wordt altijd gebruikt voor nummerfiel... ... dus ik fixe... ... dat is een nummerfiel... ... een finite extensie... ... een fielde extensie... ... een fielde extensie... ... en alles wat we gaan doen... ... zal gebeuren in K. En een van de belangrijkste dingen... ... wat we doen in... ... is multiplice subsets... ... als we 2 subsets S en T hebben... ... dan S times T... ... is door definitie... ... de editieve subgroep... ... generaties X times Y... ... met X in S... ... en Y in T... ... dus dat betekent... ... van alle finite sums... ... plus of minus XI YI... ... waar plus of minus... ... is op... ... het integer... ... XI... ... is in T... ... dus dit is... ... een editieve subgroep... ... van K... ... is in particular... ... het is altijd... ... de sum integer... ... dus het is... ... het belangrijkste... ... dat ik de hele tijd gebruik... ... en ik ben interesseerd... ... dus een subgroep... ... van K... ... je weet wat dat betekent... ... en in het geval... ... subgroepen zijn altijd... ... de unitselementen van K in ze... ... en het is een interessant exercice... ... waarom ik denk... ... dat... ... dat er een subgroep is... ... is een equivalent... ... dat er... ... geen R is... ... bezig is... ... van de 0... ... de meeste issue hier... ... is om te proeven... ... dat de unitselementen... ... eigenlijk... ... interessant... ... en niet helemaal... ... het belangrijkste exercice... ... is dat... ... ze zijn alle Neutherianen... ... alle subgroepen... ... van een nummerfielder... ...  zijn Neutherianen... ... er is een speciaal klas... ... van nummergroepen... ... dat zal... ... interesseerd zijn... ... en die zijn de orde... ... een orde... ... in K... ... is... ... times S... ... met... ... S-finite... ... S-finite subset... ... van K... ... niet voor elke finite subset... ... dit zal een ring zijn... ... maar... ... dit expresst... ... alleen dat R... ... is... ... als een... ... finite degeneratie... ... van R... ... of equivalent... ... de Q-van... ... R... ... kan leren in een subgroep... ... bijvoorbeeld... ... Z is... ... ook een... ... en een van de redenen... ... in dit... ... voor de orde... ... is dat... ... ze voelen onder de hoofd... ... of finite degeneratie... ... en dit is de manier waar we... ... typisch... ... representeren in onze algoritme... ... dus je specifieert... ... een orde... ... om te schrijven... ... zoals S... ... vaak een basis van de ring... ... over Z... ... een... ... belangrijk property van orden... ... is dat er een unieke maximale orde is... ... OK... ... dat is de union over alle R... ... en K... ... dat zijn orden... ... en het is een theorem... ... van algebra... ... dat dit is... ... ook een orde... ... het is de ring van interges... ... van K... ... consisting... ... van elementen... ... dat zijn... ... van moniek polynomialen... ... met coefficients in Z... ... waarom... ... een rol... ... in onze algoritmes... ... je... ... may play a role in our proofs... ... dus dit is... ... een orde... ... en de maximale orde... ... heeft... ... een plezende property... ... en dat is met respect... ... naar... ... fractional ideals... ... dus R in K... ... een suppering... ... een... ... fractional... ... R-ideal... ... de R van de notation... ... is... ... een sub... ... K, dus het bedoelt ook... ... K... ... een subset van K... ... van de vorm... ... R-S... ... S... ... een subset van K... ... non-zero elementen... ... dat is... ... non-emptie... ... dus non-emptie is... ... om... ... de... ... 0... ... elementen... ... dat is niet een fractional R-ideal... ... een andere manier... ... van formulering... ... deze definitie... ... is dat een fractional R-ideal... ... misschien zou je zeggen in K... ... maar onze K is fix... ... R-submodule... ...  van K... ... in particular... ... als R is gelijk... ... op de ring... ... dan een fractional Z-ideal... ... is simpel... ... een non-zero... ... finale generatieve... ... editieve subgroep... ... van K... ... en deze fractional ideals... ... komen in... ... omdat als ik... ... om... ... Z bij R... ... in deze... ... en ik neem twee elementen... ... A en B... ... dat zeggen van K... ... van K-star, laten we zeggen... ... dan mag het niet mogelijk zijn... ... om een tweede element van K-star... ... te vinden... ... deze conditie... ... er zijn vliegtuigen... ... waarom niet een unieke oorlog... ... heeft deze property... ... A en B... ... dat is door de mogelijkheid... ... dat K-star... ... kan meer dan één zijn... ... en dat is de reden... ... dat... ja, als de set... ... van principale ideals... ... is niet dicht... ... een addition... ... dan moeten we kijken... ... op een grote klas van ideals... ... alle fractionalen... ... onze ideals zijn... ... omdat als ik... ... ik zei van u gisteren... ... als je deze GCD hebt... ... wat je doet... ... is dat je het uit de A en B... ... zodat je A en B... ... een kleinere... ... dat is called prime... ... en dat gaat ook gebeuren... ... deze fractionalen ideals... ... je hebt... ... fractionale ideals... ... en in plaats van principale... ... zullen we typisch... ... een beetje weker zijn property... ... en we willen... ... dat dezelfde property... ... bevatten... ... door de... ... property called invertibility... ... dus... ... een... ... invertible... ... ideal... ... is... ... een... ... fractional... ... let's zeggen... ... het R-ideal... ... waarin... ... A... ... in K... ... waarin... ... als ik een subset ben... ... het R-ideal... ... is gelijk... ... als R... ... dus... ... R is gevoerd als de unit-element... ... R times R-ideal... ... is dat R-ideal zelf... ... dus het is echt... ... gevoerd... ... en... ... wat je wilt doen is... ... denken van J... ... als de inverse van R... ... maar natuurlijk... ... J moet dan gewoon een subset zijn... ... als dit echt is... ... dan is het automatisch... ... dat... ... het ideal... ... is genererd door J... ... eerst... ... het is eigenlijk... ... als het J-finite is... ... dan is het R-J... ...  de set... ... van alle x's in K... ... waarin... ... X times I... ... dat is... ... de inverse van I... ... en het is... ... makkelijk... ... dat... ... een set... ... van I... ... in K... ... onder... ... multiplicatie... ... de inverse van I... ... en de unit-element... ... is gelijk als R... ... en... ... wat ik wil doen... ... is... ... invertieelde ideals... ... principale ideals... ... zijn... ... want als ik een principale... ... is het gewoon een set... ... van... ... een 0-element... ... alpha... ... in het field... ... er zijn multiplies... ... met alpha inverse... ... dan krijg ik R... ... dus de inverse van R-alpha... ... is R times... ... alpha inverse... ... en... ... het is... in general... ... te optimistisch... ... dat er een aantal... ... twee principale ideals... ... maar wat je kunt hopen... ... is dat de aantal... ... twee principale ideals... ... is invertieelde... ... dus hier is... ... een veilig elementarische statement... ... van algebra... ... dus... ... van K... ... dan... ... de volgende... ... zijn... ... equivalente... ... eerst... ... de zon... ... nu laat ik het in een aantal... ... kijk naar het set... ... van... ... zijn invertieelde ideals... ... ... en ik mag dit om te zijn... ... onder de aantal... ... zodat je... ... het is simpel... ... naar wat ik over de aantal... ... je kunt... ... divide met zon... ... dat is wat we willen doen... ... dat is eigenlijk... ... ... alle ideals... ... zijn invertieelde... ... als... ... er is ook de equivalente... ... een beetje meer werk... ... dat voor alle aantal en beta... ... ... deel... ... genererd door aantal en beta... ... is invertieelde... ... alleen... ... ... maar ik geloof dat dit een van de... ... exercices voor de problemen... ... en alle dingen... ... zijn... ... equivalente... ... om... ... de voeren... ... van... ... k... ... dus invertieelde... ... we willen... ... als we het typisch willen... ... dan moeten ze gelijk zijn... ... van een verantwoordeling... ... we moeten niet... ... verwachten... ... verantwoordelijk... ... de ideals zijn... ... omdat... ... ze ons voorstellen... ... oké... ... en dat... ... kan... ... niet... ... worden gedaan... ... is er... ... ze zeggen dat er een probleem is... ... en dit... ... oké... ... 