2.2 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
Een oorlog is een onderdeel dat is finitie over zee, en ze zijn allemaal in oké en oké is het zelf een oorlog, hoe kunnen ze niet zijn? Oké, dus misschien ga je naar de probleemsessie en laat jezelf uitleggen bij dan is mijn TA. Altoude vragen? Oké, dank je. Dus laat ik je iets vertellen over oké. Hier is een theorem. Het klinkt een beetje zoals theoretical computer science. De volgende twee probleemen zijn equivalent onder wat mensen proberen polynomial reducties en er zijn verschillende, niet helemaal equivalent definities van dit, maar ze zijn voor het moment nog steeds irrelevant, dus laten we het niet proberen om een cursus op theoretical computer science te vertellen. De eerste probleem is output. Oké, en ik heb gestart hoe oké gaat worden geïnteresseerd op een algoritme. Compute. Oké. En de tweede probleem is op input een positieve integer, m. Compute wat mensen proberen, de radicule van m. De radicule van m is de grootste square free divisor van m. En deze tweede probleem is ongeveer mogelijk. De generelle voeding tussen mensen in deze field is dat het gewoon een beetje makkelijker is dan de factoring van m. Dat is het beste dat mensen weten. Als je de volledige prime factorisatie van m weet, dan kan je gelijk de radicule van m spelen. Maar voor de radicule van m moet je... Het suffice is om minder informatie te hebben. Dus, om te mentionen wat ik bedoel van dit, als je m wilt factoren, dan suffice is om alle prime factoren van m die op de square root van m zijn. Maar als je alleen moet weten de radicule, dan sufficeit het om alle prime factoren van m die op de cube root van m zijn. En dan moet je een klein computatie bekijken wanneer de complementaire divisor een square is of niet en dan weet je de radicule. Dus dit is een impossiele probleem. En dat betekent dat deze eerste is precies impossiele. En je kunt het al zien met het denken over de k's dat k is q square root m. Laten we zeggen dat m niet square is. Als je wilt determineren in de ring van de vinteren met het q square root m.  Dus k is gevonden door het basis 1, square root m, dat is essentieel equivoordig tot kent het laagste square divisor van m en weten dat de laagste square divisor of de laagste square3 divisor ook ongeveer equivoordig is. Dus ook voor kodratiek bedrijf is het genaamd uit de vraag je kunt de voelring van de ingang op compuuteren. Ik heb gezegd dat je al door deze kreditecse voelring, hoe je een reductie voelt. Als je deze kan doen, kun je dat doen door kreditecse voelringen. De konvers, ik hoop om meer te zeggen, als je kreditecse voelringen kunt vinden, dan kan je compuuteren de ingang van de ingang op compuuteren. Dat is iets dat ik hoop om in mijn lecteur te overleggen. En de situatie met deze ok is zelfs weer, namelijk niet alleen kan je het niet vinden, ok, maar als iemand anders het voor je vindt, dan heb je geweldig te vervangen. Dus er zijn twee andere probleemen die ernaar zijn, namelijk op de ingang van k en een kreditecse voelring in k. Je wilt weten of deze kreditecse voelring is of niet gelijkbaar met de maximale kreditecse voelring. Dus dit is gewoon een kreditecse voelring. Ja of nee, de vraag is een unieke bit en dan hier de vraag is, geeft een positieve ingang, is m gelijkbaar met het eigen kreditecse voelring, in andere woorden is het kreditecse voelring, niemand weet een goede test voor dit, niemand weet een goede test voor deze andere ding. Dus voor de probleem van algoritmen die we nu kunnen proeven om het polynomial te zijn, moeten we gebruiken van deze kreditecse voelring. We kunnen niet hebben de bedrijf om de kreditecse voelring te computeren, tot een grote breakthrough in algebraiek en algoritme nummertheorie, ik bedoel, is de plek te maken. Dus dat is een serieus probleem in in de licht van deze komend. Maar de manier waar we onszelf op deze probleem zullen is dat we echt alle ideëlen nodig hebben om invoerd te zijn, maar alleen die dat we ontvangen in een, maar in een particular probleem te vervolgen. En dat zullen we alleen finitievele ideëlen hebben. Dus laten we me formuleren wat we in het interesse gaan doen.  Dus geleden een finite non-emptieset S in k star, we zijn interesse in subringen, preferabelke aarders, r of k, voor die de fractiele ideëlen, r s, die is genererd door s, is invloed. Dus, bijvoorbeeld in m'n moderne probleem met de z a en z b, dit s mag gewoon consisteren, zoals hierover, van twee elementen alpha en beta. En soort ringen zeker zijn. Bijvoorbeeld r equals k is een goede bezoek. k times s is gewoon k. Misschien niet te interessant, maar natuurlijk ook k doet het ook. En wat is niet zo heel goed gekozen en iets dat ik niet heb kunnen vinden in tekstboeken op algebreed nummertheorie, dat gegeven s, er is een perfecte economische keuze voor zo'n r en dat is, zoals het gebeurt, het kleinste r, de unieke kleinste r met deze property en het is een aarder. En dan, voordat ik deze resultaar uitgaan, laat ik deze zet door de groep te veranderen, zodat het z times s is, die is gewoon een eindelijk veranderd non-zero editieve subgroep van k en het is gelijk dat r s dezelfde als r i, omdat r times z is gelijk te r. Dus hier is de theorie, ik denk dat de laatste theorie van m'n eerste lectie was nummer drie. Hier had ik twee theorems, vier, waarin ik een aarder en vijf, dus dit moet zijn zes. En dit is over het probleem dat ik het gehoord heb, dus mijn k is een nummerfield, ik draai het niet terug op, dus laat ik in k de aarder veranderd worden, zoals vijf, editieve subgroep, die is niet zero. Dan kun je i blow-up, dan is er een ring van het property is precies uniek, dus laat ik het me nemen dat het uniek is. Er is een unieke subring, die in de noten is called bl of i, de blow-up of i of k. En dit blow-up heeft de property dat voor alle subringen r in k is true dat r heeft deze gevaarlijke property die r i is invullend, als en alleen als r ontdekent deze blow-up. Dus in andere woorden, among all those rings er is a unique one that is minimal under inclusion. In particular is het true dat de intersection van alle andere met deze property ook dat property heeft.  En als je een straatvormig proef van dat ziet, dan zal ik heel blij zijn om het te horen. Nu, deze theorem is niet klaar. Laten we continu met wat properties van dit blow-up, dit blow-up. Je ziet, tot het rest van mijn kennis, een non-trivial content van dit theorem is echt de existentie van dit blow-up met deze property. Als je de existentie hebt, de properties die ik ben opgekomen zijn meer of meer of minder bedoeld. De eerste is dat het een orde is, een orde in k en dat is natuurlijk een consequentie van de fact dat een van deze r's is oké, oké heeft dit property. Dus de blow-up moet bevinden in oké en de subredactie van een orde is weer een orde. Maar er is niet de slechtste reden dat dit orde is een orde van een full rank. K moet niet worden de fielterfracties van dit blow-up en laten we continu met de schrijving van de fielterfracties op deze andere blackboard. Dit fielterfractie is eigenlijk true dat elke subredactie van k heeft fielterfracties gelijk te de q-vector space die het spijnt en dat q-vector space is de fielter. Nou, je moet de fielter denk ik genereren, maar dat is niet echt, want als je i multiplieert met een non-zero element van k, dan is dit blow-up niet veranderd en het is alleen de ratios van de elementen van i dat belangrijk is. Dus dit is, laten we dit in het moment uitleggen, als ik een x in i neem, dat is non-zero en ik divide alle elementen van i door die elementen, zodat nu in de nieuwe i de unit element is present en dan wordt deze fielter genererd door de nieuwe i de fielterfractie en deze animal hier zal de union overal zijn, laten we zeggen van i modulo x naar de n. Ik moet ook uitleggen wat ik betekent met de kracht van subgroepen. Laten we dat in het moment doen en eerst finish de state van het theorem, omdat er twee andere properties zijn belangrijk.  De eerste is dat voor alle, zoals ik al zei, non-zero elementen van k een heeft dat de blow-up van alpha i is dezelfde als de blow-up van i, omdat als ik zo'n r i op alpha multiplies, dan effecteert de vraag of de groep of de r-ideale is invoordelijk en er is geen verandering die je kunt maken op i, zonder de blow-up te veranderen en voor alle positieve enthousiasis n een heeft dat de blow-up van i is dezelfde als de blow-up van i naar de n, waar i naar de n is simpel de veranderde producten van n kopjes van i. Dus dat ook wat ik betekent van i over x naar de n. Dit is een increasing union omdat ik over x de unit elementen ontvangt. Ook dit is heel erg opvullig omdat als ik invoordelijk is, dan zal de enthousiasis ook invoordelijk zijn. Het is een groep, na het eind van de invoordelijk ideeën en de verandering is ook heel makkelijk te bekijken. Dit neemt een beetje meer sterkte om te proeven, maar het is weer een vergelijksmediaal consequentie van de basice verandering van dit blow-up.  Dus het non-triviale deel van dit is de existentie, hoewel ik moet zeggen dat ik kan imagineren dat als je geen meer algebrengen geometrie dan doe ik dat dit voor jou makkelijk zou zijn om te proeven eerst te constructeren je blow-up niet als een ring, maar als een schuim en dan invoordelijk een theorie dat in ons context dit schuim moet zijn fijn met de functiefield zitten binnen, oké, ja, wat is de vraag, de neem is de kwaliteit van de Q-racket oh ja, misschien moet ik dit hebben gegeven, ik betekent dat de field genererde a over x en dit is de ring genererde a over x, de q-algebra, dus met dat en de ring onder het oh ja, je bent correct, dat is niet correct, er moet een Q zijn, waar is mijn schoek mijn schoek, oké, dankjewel, als je de zee erin zet dan krijg je, dus dit is Q, dankjewel andere commenten oké dus de beste manier waarop ik weet mezelf te proeven de existentie van dit blow-up is om het op te schrijven en dat zal ook helpen om een andere ambitie te fulfilen dat we hebben, namelijk computer in polynomial tijd en om deze beschrijving van de blow-up te motiveren oké, let me schrijven een makkelijke argument gegeven een hint waar je voor de uur moet kijken met deze property, dus suppose ik wist of deze blow-up in algebraische geometrie is gelaten ja, ja, ja, dat is iets dat ik geen dubbel heb, dat is waar, maar je moet een soort van schrijven, de betere van veel schrijven, karakters in houten, algebraische geometrie in order te zijn, oké, dankjewel, dankjewel oké, dus dus suppose dat R i is, R invulgable, dus dat betekent dat er een j is met deze property dus wat we doen is dat we kijken naar wat mensen traditioneel called multiplier rings, dus let me schrijven naar een notation, misschien heb ik het gewoon called h, als h en k een editieve subgroup is, die in principe gewoon een z-module is, dan ik moet de multiplier ring, die in de oorlogsdagen was geschreven als h divided by h en dat is de grootste subring van k over waar h is een module, dus dat is de multiplier ring van h en het is heel makkelijk om te laten zien dat de multiplier ring over een ring zelf is de ring en als deze ring is van de vorm R ij dan kan ik verplaatsen R by R ij en het is heel makkelijk om te zien dat als je een ring hebt over die i is een module, dan R ij zal ook een module zijn over dat ring, dus je hebt dit inclusie, dus je ziet van dit dat al deze h's moeten containeren dit ring, i divided by i. 