Renormalization in low-dimensional dynamics - Marco Martens - Lecture 09
Goedemorgen, vandaag gaan we beginnen met de renormalisatie van non-maps. Ik verkoop om een referentie voor dit te schrijven. Op mijn webpage kan je daar gaan en je kunt daar een surveering vinden. Op de resultaten gaan we vandaag en morgen discussieën. Daarom vind je ook veel referenties voor de materiaal die we de andere dagen discussieerd hebben. Oké, dus let's recall what was going on. We hadden eerst 2-dimensionale maps gezien. Let's recall what happened in 1-dimensionale maps. Hoe was dat? We hadden onze unimodal familie. We hadden de tip parameteriseerd. En dan heb je de familie die groos is, zoals dat. En dan hebben we een diagram gemaakt, om de dynamiek te beschrijven. En je weet hoe het gaat. In ieder geval, voor kleine waarschuwen van T, we zien een period-pointer-traktor. En dan zien we een period-2-pointer-traktor. En dan starten we op een period-4-pointer. En dat zal er verder, zoals dat, naar de limitende waarschuw. En dat is de boundary of chaos. En zo, deze pictuur beschrijft de periode dubbeling, cascade, to chaos. En er waren twee observaties die we hebben gedaan, die hebben we discussieerd. En de eerste was, er is parameteruniversiteit. En dat betekent dat de momenten waar je ziet de periode dubbeling gebeuren... ...conversen naar de boundary. En dat gaat exponentially snel. En de rate is 1 over. En remember de onstable eigenvalue van renormalisatie op de fixe punt. En dat rate is independant van de specifieke familie die je chooseert. Dus in dat reverse tool, de behavior in de parameters is iets universal. Dus dan was er een andere universale aspect. Dus als je deze, eerst heb je een attractief fixe punt... ...en als de bifurcator is, is het nog steeds consist... ...en het beweegt op de boundary van chaos. En op de boundary van chaos is de map een fixe punt. Maar er is ook een continuatie van de periode 2-punt. En het continuert zoals dit. Er zal ook in de limit een periode 4-8-punt zijn. En dit zal accumuleren op p-infinity. En dan is er ook... ...facepace universale. Dus dat reverse tool... ...facepace is waar de dynamiek gebeurt. Dus er is wat universale behavior in de geometrische positie van deze... ...periode orbit. En wat je ziet is dat p-n... ...converges op p-infinity. En dat gaat weer op exponentie. En de rate is 1 over sigma squared.  Dat is 1 over 2.6 squared. En de accumulatie van deze periode orbit op hun limit... ...die betekent niet op de familie. En dat reverse de universale. Oké. En dan... ...related to this specific accumulation of the periodic orbit. There was even a stronger result. And that was the virginity. And if you have two of those infinitely normalizable maps... ...that are at the accumulation of period doubling... ...then the two of them will have a counterattractor. We discussed this yesterday. This is the counterattractor F. And G will also have a counterattractor. And there will be a conjugation between them. And this conjugation will be C1 and a little bit. So the conjugation on the counter... ...on the attractor is smooth. And that means that it's not only... ...dat these periodic points are positioned in a universal way... ...but all the fine structure in this counter set in F... ...is also present in the other one. So the fine geometrical structure of these counterattractors is universal. We have a lot of geometrical and sort of surprising universality. Why is it surprising? So let's go back to our diagram. So this time I make it big, because something else happens. So the main conclusion... ...so the only thing we know from this picture... ...is topological information. We only know that our family is going to a period doubling cascade. That is topological information. And we know at the limit... ...we have topological information and the map is infinite renormalizable. So from this picture... ...this picture is constructed out of purely topological information. But then apparently... ...we get a lot of geometrical information. En dat is waar de strenk... ...en de force van renormalisation occurs. Dus de main conclusion is... ...that topology gives you geometry. So this is sort of the paradigm of renormalisation theory. You give very poor information, only topological information... ...en uit dat je meer informatie krijgt. En een heel precies geometraal informatie. Dus laten we eens kijken wat dat betekent. En dus voordat... ...dat de hele deur op basis van dit diagram... ...en de idee was dat renormalisatie... ...is een tool dat... ...laat je een unifiere beschrijving... ...of de topologische aspecten van de dynamiek... ...de geometrische aspecten van de dynamiek... ...de bezoektheorie van de dynamiek... ...en de bifurcatietheorie van de dynamiek. En zo, en at this moment... ...the only thing is... ...it's a nice tool...  ...that sort of allows you to describe all those things. So it's not very interesting. It's nice, it's useful. But now there is something else in this picture... ...which we didn't know before. Actually this renormalization causes these connections... ...that most of the picture is actually coming just out of the topology. And the fact that this happens is behind... ...the fact behind these strong conclusions... ...is the hyperbolicity of this renormalization operator. And that is something you couldn't do before. So this implication is the strength of renormalization. Oké. So this is the picture in one that remains in the circle... ...different morphism case and in the unimodal case. Now for example, like at the boundary of chaos... ...we know that our maps are infinitely renormalizable. So that is purely topological information. It's exchanging two intervals... ...and then again and again. It's purely topological combinatorial information. Let me rephrase this combinatorial information. Or in the case of the circle diffeomorphisms... ...we had information... ...like when f is a diffeum. En dan we looked at the case... ...where all the a-n's are one. So that means the rotation number was called a ratio. So that is purely combinatorial information. But out of that we proved... ...that the conjugation with the Fibonacci-rigid rotation... ...is smooth. Yeah, of course, of course. But that is very soft geometric information. If you only give... ...and so on this whole picture... ...doesn't exist in the C1 world. But if you're... ...it's a very important question. All this phenomena, they only occur... ...when the systems have enough smoothness. And they definitely do not occur... ...when you have very low smoothness. But we believe that nature is smooth. Yeah. Let's not worry about C1 world. Let's worry about higher smoothness world. And then this universality phenomena occur. En, for example, this number... ...this eigenvalue is observed in nature. They are experiments in mechanical chaos... ...or even in fluid dynamics... ...and in electrical chaos... ...in electrical circuit chaos. If they observe a pure Dublin cascade... ...combinatorial information... ...in some electrical circuit... ...then they see again 4.6. So there is something going on. There is something going on. So far we have been talking only about... ...one dimensions. But pieces of this one dimensional picture... ...which is a very... ...like this unimodal maps... ...nobody believes that this is a realistic model... ...of anything in nature.  For the moment this is just a toy. But maybe something is going on... ...because this number is measured. On one hand it is a toy... ...but there is something going on. We are now going to two dimensions... ...and two dimensions is still not a realistic model... ...of anything in nature. It's a little less naive... ...so we get a little bit more realistic. So let's go to two dimensions. So what is a hand-on map? So hand-on maps... ...they have something to do... ...with homoclinic tangencies. Like in the course last week... ...you learned... ...that pictures like this... ...so we have say a saddle point here... ...with an expanding direction... ...and a contracting direction... ...and it could be that... ...that the unstable manifold... ...is tangent to the stable manifold. And last week you learned... ...that this type of pictures... ...are associated with topological changes. Of many types. Let's look at this picture... ...and now let's see where this hand-on map comes from. So what you can do is... ...you can take a very tiny box here... ...I make a big, but it's a very tiny box... ...and very close to the tangency. So then you will see it... ...you iterate a couple of times... ...it gets a little thinner and higher... ...and you iterate a couple of times... ...and it gets even thinner and higher... ...and you iterate a couple of times... ...and it gets really thin and long... ...and strangely it will get something... ...back like that. So this little box... ...after a couple of iterates... ...it will come... ...the rectangle box... ...will come back to a bubble like that. And now we are interested... ...in bifurcating these tangencies. So what we want to do is... ...we want to take the map... ...and push this unstable manifold a little bit up. And then what you will see here... ...let's zoom out. So let's zoom out what you see here... ...and what you see is up to... ...a smooth change... ...of coordinates. You see a map F... ...and this is like Fn... ...restricted... ...to this little cube... ...but then rescaled... ...rescaled with a smooth coordinate change... ...en dan krijg je de map die heeft deze vorm. Dat is deze vorm. Waar deze F... ...is iets... ...is iets... ...unimodal zoals dat... ...en deze epsilon... ...is iets heel klein. Dus deze epsilon moet doen... ...waar we de situatie...  ...waar de determinant van ons systeem... ...dat is positief... ...en het is heel klein. En nu zie je een heel hoge heteroord. Dus de map van hier naar hier... ...willen we heel erg contracten... ...en dat zal in het effecten... ...dat deze epsilon heel klein is. Dus dit is heel klein. Dus wat deze Hennon-map is... ...en wat deze Hennon-map is... ...is zoals... ...de Hennon-maps gaan we kijken... ...dat onze Hennon-maps... ...is sterk... ...dissipatief. Dat betekent dat deze epsilon... ...is heel klein. En waarom is het called... ...dissipatief? Nu kun je checken dat als je kijkt... ...at de decobie van F... ...dat is de determinant... ...de derivative... ...dat is zoals de epsilon... ...de Y... ...dan zie je dat het heel klein is. Dus in particular... ...en dat zou je zeggen dat het goed is... ...dat zijn... ...perpubaties... ...of unimodal... ...dus dit is... ...dat is de simpel manier waar je het kan bevinden. Dat is... ...dat je de unimodal-map hebt... ...en dat je het maakt... ...turneren in iets... ...door de Hennon-maps. Dus om precies te zijn... ...die theoremen die we gaan discusseren vandaag... ...we gaan gebruiken dat deze mappen... ...halomorphische extensies hebben... ...en quadratic-like... ...halomorphische extensies... ...en deze epsilonen zijn ook... ...halomorphische functies. Oké, maar laten we niet zorgen over dat. Oké... ...maar laten we dit een beetje... ...aan de zwarte woord... ...dat is zo cruciaal. Dus een voorbeeld... ...is de Hennon-maps... ...en dat is gegeven... ...en je ziet... ...immediate... ...dat het een perturbatie is... ...of een unimodal-map... ...is gegeven door iets A... ...minus X squared... ...minus BY... ...X. Dat is gewoon de formula. En je ziet dat B... ...is de Jacobiën... ...of de derivative. Oh, het is de Jacobiën van F. Sorry. En... ...de familie is al rond... ... sinds... ...een 80's... ...ik denk dat het late 70's... ...en tot vandaag... ...het is... ...ik denk dat je het heel snel kunt zeggen... ...poor dat je het begint. Maar... ...dit is mijn opinie... ...ik denk dat dit familie... ...deert een heel serieuze attention... ...en de reden is... ...de reden is dat... ...dit is ook mijn persoonlijke opinie... ...ik denk dat... ...ik denk dat... ...diepste fenomen... ...we weten in dynamiek... ...en in dit familie gebeurt. Laten we je een beetje laten zien wat er gebeurt. En dus hier hebben we A... ...en hier hebben we B... ...en dus als B is 0... ...en je ziet... ...de Y-coordinate...  ...is gewoon een geweldige dynamiek. Dus voor B is 0... ...we kennen alles heel goed. Maar nu gaan we een beetje naar buiten. Dus hier is het punt... ...waar we... ...dus deze map hebben. En ik zal niet beschrijven... ...ewel we weten daar... ...maar er is een stuk van informatie hier... ...en laten ik dat summariseren... ...maar de benadiks... ...Karlsson facttheorem. In dit gebied... ...maar de perturbatie van deze map... ...we hebben... ...verbescheidige informatie... ...over... ...de statistische behalve van dingen... ...en over de paramieter-dependentie. Dit is een extreme sofistische stuk van map. Dan hier, dus hier... ...en hier weten we... ...we hebben vol... ...vol enthropie. Dus hier is ook een stuk van informatie... ...over de topologie... ...en laten we dat proberen. Dat is opgegeten door Bedford... ...en Smiley. En dan ook hier, daar is een fenomenon. Dit zijn heel kleine stukken... ...ou, dit is eigenlijk een grote stuk... ...is de nieuwhuis fenomenon. En dan in deze type van familie... ...er is ook... ...want je... ...waar B is, is bang. Laten we over de conservatieve type... ...waar de determinant is, is bang. Er is de blok... ...of de KAM-theorie. Oh, ik moet dat maken, zoals dat. In de purisch conservatieve gebied... ...daar is... ...KAM-theorie... ...en de Komagoor-of-Arnold-Moser... ...fenomenon. En dan is er deze kleine stuk hier... ...waar we de boudering van chaos hebben. En dit is het punt... ...we hebben gesproken... ...waar de kleine... ...en dus als je hier kijkt... ...dan zie je onze kleine... ...noude ding gebeuren. En er is een kleine curve hier... ...en dit is inderdaad... ...de boudering van chaos. En vandaag en tomorrow... ...we komen alleen om te discussie... ...deze kleine gebied. En dit is de boudering van chaos. Dat is het subject van vandaag en tomorrow. Maar ik heb de blobs grote gemaakt... ...maar de hele familie... ...hebben nog heel duidelijk begonnen. Er zijn nog veel zwarte stukken. Oké. Oké, dus let's... ...so let's start... ...to take maps... ...which are... ...close to... ...our wondermates and our infinitely renormalisable maps. Dus we expect... ...that to understand this area... ...we have to do pure doubling renormalisation. So let's discuss... ...when a map like this is renormalisable... ...an unlike map... ...is renormalisable... ...if the flowing happens. We want to say what renormalisable is... ...in purely topological sense... ...what we have been doing... ...like the whole last weekend. We want the topological definition... ...of what renormalisation is.  I make a picture and you see what happens. What we want is... ...there exists some fixed point... ...and that fixed point... ...has some... ...stable manifold... ...and there is somewhere else... ...a fixed point... ...and what we want is... ...that this is a saddle point... ...and we want that the unstable manifold... ...of the first fixed point... ...goes around... ...comes back... ...and then... ...it doesn't stick out. So before it goes again... ...through the stable manifold... ...of this second fixed point... ...it turns around... ...and it comes back like that. So if you have a picture like that... ...then you say... ...that the corresponding unknown map is renormalisable. And that makes sense... ...because if you take this box here... ...and you remember... ...renormalisation is about choosing a piece... ...preferably topologically defined... ...and look at the first return map. So the piece we are going to choose... ...let me use a color... ...so this is our U... ...the piece of the stable manifold... ...the piece of... ...of the unstable manifold... ...and so this is our... ...let's call it D in this case... ...and that piece... ...is mapped... ...to that one. And it is mapped just... ...in two maps, in two iterates. So what happens is that the red blob... ...is going here... ...and then it is folded back inside here. So if you have a picture like that... ...you say... ...that the unknown map is renormalisable. And then you do the usual thing... ...and you take this picture... ...and you rescale... ...and then we have this blob... ...and... ...and here is... ...this is like a rescaled fur... ...and here we will see... ...our renormalisation. And this is like a rescaled version... ...of the second iterate... ...restricted to our piece. So this is a problem... ...and we were not able... ...to do it in this way. At the end of the story... ...we will be able to go back... ...to this purely topological definition... ...and describe renormalisation... ...with this purely topological definition. But the way it is done... ...is not by a topological definition. In the end it is the same, but... ...formally it's not... ...a topological definition. So let me explain you... ...it's a little technical... ...but it is going to play a major role. So usually, so far... ...our rescaling... ...has been fine. En because... ...you want to look... ...it's a microscope. So you just want to look...  ...you want to have good lenses in your microscope... ...you don't want to distort... ...what you are looking at. So this is a natural thing. But there is a problem with that. And we will be forced... ...to use diffeomorphisms here. En dan je krijgt... ...weet je of het komt uit. Dus de shape... ...en de formula is dit... ...fxy... ...is wat een unimodal ding... ...en iets epsilon's... ...depend op y... ...en dan hier is een x. Dus we hebben niet al twee weken... ...maar met deze formula... ...en in particular... ...deze deel... ...plaats een grote rol... ...in de analysie. En veel van de fenomena die we gaan zien... ...is van dit. Het ziet er erg inzichtig uit... ...maar het is niet. Dus laten we een foto maken van deze x. Dat is heel ongelooflijk. Als je je x hier hebt... ...en je een verticale lijn hebt... ...en je x is constant... ...dan zal dat mappen... ...mappen naar een horizontale lijn. Dus deze horizontale lijn... ...willen we mappen... ...horizontaal. En de lengte van deze lijn... ...is zoals de epsilon... ...de y. Dit is erg klein. Dus deze grote horizontale lijn... ...is veel contracteerd... ...en dan mappen horizontale lijn. Dus de foto die je krijgt... ...is iets zoals... Je krijgt iets zoals dat. Sorry. Je krijgt iets zoals dat. Dus onze hand-on-map... ...doet iets zoals dit. En wat belangrijk is... ...tijdens de verticale lijn... ...en het mappen... ...horizontaal. De verticale lijn... ...is mappen... ...horizontaal. De verticale lijn... ...gaat naar horizontaal. Dus deze characteriseert wat hand-on-maps zijn. Dat is deze x. En nu zie je... ...erder dat er een probleem is. En omdat... Dus dan zie je het weer. Een hand-on-map... ...is vergeten door de fact... ...dat verticale lijn... ...gaat naar horizontaal lijn. Maar... ...de renormalisatie... ...is een tweede interactie. Dus het is heel ongelijk... ...dat... ...de renormalisatie... ...is weer... ...of... ...de verticale-horizontaal lijn. En omdat... ...dat is een tweede interactie. Dus je neemt... ...de verticale lijn... ...is mappen naar horizontaal lijn. Maar het is een verschillende morphisme. Dus de tweede tijd... ...we itereren... ...en de verticale lijn gaat naar horizontaal lijn. Dus... ...de verticale wordt niet horizontaal lijn. En dus... ...de probleem is dat... ...de tweede interactie... ...die de renormalisatie... ...is niet normaal lijn. En dus er zal geen... ...fine rescaling zijn... ...die... ...werkt... ...die dingen... ...intoen en normaal lijn. Dus we zijn gevoerd... ...aan vergeten over... ...fine rescalings...  ...en gebruiken... ...de femorphismen om te rescalen. Dus dit... ...voorstelt ons... ...om te gebruiken... ...de femorphismen... ...om te rescalen. Dus nu zie je... ...dat er wat analyses komen in. Dus... ...de actuale definietie... ...de definietie... ...of... ...renormalisatie... ...heeft... ...een... ...analytische deel... ...in de eind... ...dat het echt niet jouw rol speelt... ...in de definietie... Dus laten we een foto maken... ...of een renormalisable map. Oké, dus... ...we zeggen... ...dat onze f... ...renormalisable... ...want de volgende gebeurt. Dus er is een soort... ...rektangle hier... ...en deze... ...b... ...v1... ...en dat is mappd... ...de twee soorten... ...rektangle hier... ...v1... ...zien... ...en dat is mappd... ...en dat is mappd... ...bij... ...bij iets... ...bij iets... ...bij iets zoals dat. Dus dit wordt... ...de domain van renormalisatie... ...en de... ...de tweede iteratie... ...we zullen dit weer brengen. Dus nu is er iets belangrijk... ...so... ...de tweede iteratie... ...we zullen niet... ...vertical to horizontal. Maar als je... Ja. Nu, je weet... ...jij bent juist... ...jij bent juist. Ja... ...je weet... ...die banden... ...die komen uit homoclinic... ...bij vakantie... ...can bewritten in deze vorm. En met deze vorm... ...hebben deze vorm... ...we zullen de analysie doen. En de analysie zal een beetje technisch... ...en delicate... ...maar soms... ...de stupige vorm... ...is verantwoordelijk... ...voor grote consequenties. Dus we wonen... ...en niet alleen... ...maar het is... ...sufficient. Want de interessante maps... ...die komen uit homoclinic... ...bij vakantie... ...is van deze vorm. Dus dit zijn de vormen die we willen begrijpen. Exact deze vormen. Een beetje je rijdt... ...en je kunt een beetje schuffelen. Maar je kunt altijd terug naar deze vorm. En een ander ding is... ...our maps... ...are perturbations van unimodal maps. En de fact dat er perturbations zijn... ...laat je altijd terug naar deze vorm. Dus het klinkt als een heel sterk... ...restrictie... ...maar het is niet allemaal. Dus dit is wat je moet doen. Oké. En dus... ...we gaan terug naar de definitie van... ...renormalisable... ...en we willen een soort... ...rector... ...die hier gaat en terug komt. Maar we willen iets meer... ...en je krijgt... ...die er zal zijn folieën hier. En als je... ...die zijn niet... ...als je een van deze vormen van de folieën... ...die worden map... ...doet iets horizontal. En dus naar de folieën... ...die zie je in een non-map. Dus wat je moet doen is... ...jij moet deze strijten... ...en ik schrijf dat het groot is... ...omdat deze vormen belangrijk zijn...  ...en dus de... ...scheling... ...is called... ...Cyban V... ...en ik ga een soort van... ...zoomen in... ...en het is gewoon gedefind... ...bij strijten de folieën. En dus we hebben onze folieën... ...die worden horizontal... ...en je schrijft dat... ...maar ik moet... ...doen... ...de perfecte... ...vertische folieën. En deze vorm hier... ...we zullen... ...een van die vormen zijn hier. En die vorm... ...we zullen worden horizontal... ...maar het zal worden map... ...om iets zoals dat... ...bij de renormalisatie. Dit is de foto... ...de renormalisatie van F. Dus vormelijk... ...maar ik zal je niet boven hebben... ...maar je kunt gewoon de vorm... ...een extreme explicit vorm... ...of deze verschillende morphisme... ...in termen... ...of... ...of deze juliën... ...een exercies. Je kunt schrijven, etc. Zoals een vorm... ...en je krijgt... ...de strijten map. Het is niets mysterieus. En wat we ook doen... ...het is echt... ...die... ...ik kan een soort van schrijven... ...of X, Y... ...het is iets... ...Wij blijft verbeterd... ...op wat... ...en hier is het FX... ...minus epsilon XY... ...en dan is er wat scaling. Dus het ziet... ...komplicatief... ...maar het is gewoon... ...een explicit vorm... ...voor hoe je dit scaling moet doen. Excuse me? Nee, het is Y. En nu is het een Y. En dat reflecteert... ...dat... ...om een horizontale lijn... ...die gaat... ...aan een horizontale lijn. En... ...het ziet... ...maar het is heel innocente... ...maar het fact... ...dat horizontale lijn... ...gaat naar horizontale lijn... ...invindt... ...dat in de scaling... ...daar zijn er nog 1-dimensionale dynamiek... ...gaan. Het is zoals... ...intervals tot intervals. All the analysis... ...dat is niet technisch, maar... ...all the analysis... ...is going to sit... ...into these different morphisms. En... ...it has a very one-dimensional nature. En we know how to do one-dimensional dynamics. Maar...let's go slow. Het is PSI-1. Je wil zien. Het is PSI-1. Oh, sorry. Het is PSI-1. En de 1 refers... ...to the first renormalization. Oké? Nee. Ja, je kunt... ...je weet... ...om je... ...om je... ...om je unimodal map... ...dat er wat stukjes... ...die zijn geïnchangd. En deze box hier... ...is soort van... ...living... ...boven deze intervals. Dus dit is een hele grote box. Ze hebben mooie plekken. En deze volleation... ...is bijna de vertere volleation. En we werken... ...met onze epsilon... ...maar klein. En deze boxes zijn echt mooie boxes. En deze diffeomorphismen... ...dit zijn mooie diffeomorphismen. Ja? Oh, misschien ben ik...  Ik denk dat ik hier de inverse zou schrijven. In de inverse... ...f komt ja. Ha ha ha ha. Ja, je bent wel. Maar op dit moment is het echt niet zoiets. Het punt is dat... ...gezien deze rescalering... ...we kunnen een formula... ...en schrijven... ...voor onze renormalisatie. En dat zal van deze shape... ...invers. Nee. En terug. Ja, dus dit is de... ...formala is altijd gevaarlijk. Je moet nooit schrijven aan de formula's. Oké. Ja, dus wat je doet is... ...wat je wilt hebben... ...gegeven met het verhaal in hetzelfde. Dat is wat je wilt. Dat is een domain van renormalisatie. Dan de tweede conditie is... ...je wilt de top en de bottom... ...heel horizontal. En je wilt zijn de zijden... ...om een deel van de foliezen... ...die horizontal worden. En dan zeg je... ...halen de kleinste van de zes boxen... ...die in hetzelfde zijn gebouwd. Dus de boxen in dat moment... ...bekrijven uniek. En de rescalering ook... ...bekrijven uniek. Dus alles is absoluut... ...precis beeld. Oké. Ja, dus in de hele verhaal... ...hebben je... ...we zijn in de Hannon situatie. En B is... ...is hier. En we bekijken... ...naar de kleinste. Dus alles wat we weten... ...of bijna alles wat we weten over Hannon maps... ...is gebeurd... ...in... ...voor heel kleine koeien. We zijn in het begin... ...de theorie. Dus het is allemaal een perturbatieve theorie. Dat is hoe het is. We moeten allemaal op dit punt zijn. Ja, dus... ...de analis is iets... ...dus dit moet een unimodal map zijn. En we willen het om... ...holomorphisch, kwadratiek, zoals. Dus hier hebben we... ...maar de unimodal maps. Soms hier... ...we hebben... ...een fixe punt van renormalisatie. En dan... ...daar is er een neighborhood... ...maar maps in deze neighborhood... ...die we kunnen werken. Dus het is niet... ...de theorie die we gaan beschrijven... ...is niet iets wat alleen... ...de fixe punt gebeurt. Het is een globale theorie... ...maar als je een heel slechte unimodal map... ...zit ergens hier... ...dan moet je je epsilon kleiner maken. En de enige reden... ...om dit epsilon klein te maken... ...is dat... ...we willen deze volation hebben eigenlijk. Als je een unimodal map hebt... ...en je de epsilon laat gaan gaan... ...de volation wordt gekregen. En we willen dat niet. Dus... ...ik weet het niet. Het is niet ridiculously klein. Het is... ...het is niet zoals 10 tot de minus 20 of iets.  Het is... ...het is iets. Het is... ...het is iets. Het is wat... ...niet een reden. Ik weet het niet. Oké, dus... Dus nu hebben we... ...we hebben... ...precis... ...naar wat discussie... ...hoe je renormaliseert... ...en nu hebben we onze renormalisatieoperator... ...en laten we... ...wat we weten over deze operator. En je zal niet behoorlijkd zijn. Je zal niet behoorlijkd zijn bijna. Dus een theorem. En dat is een theorem bij... ...Di Kavaliou... ...Misja Luwits... ...en mezelf. En er is een simpel resultat... ...met... ...relating een verschillende renormalisatie... ...bij Kole... ...Ekman... ...en Koch. En dus... ...we konden niet... ...de Kole-Ekman... ...Koch renormalisatie... ...scherm... ...we konden niet... ...de geometrie... ...de dingen... ...degeneren te veel... ...in deze scherm. Dus dat is waarom... ...we wilden... ...we konden niet... ...we konden niet... ...we konden niet... ...gie zich whoever het heeft... ...we wilden niet... ...merk. Dus en de theorem is het tegelijk. Dus is een detenerate handelmap. Het is gewoon een equivalent om het te doen. En dan wat we weten over dit. F star is hyperbolic. De instable manifold is exact de instable manifold in de 1-dimensional space. En de stabele manifold is, codomansion is 1. En zo, dit is gewoon de hyperbolicpicture. Dus deze maps, het eerste deel van de analis, deze maps zijn in een compacte familie. En we willen eigenlijk zeggen hoe ze gebeuren. Er zal er een asymptotische hemorfism zijn. En zo, deze guys. En het is soort van interessant. Er zal een universale, limitende scaling zijn. Dus nu, als de originele map een Jacobiën heeft, dan zal de tweede iterate natuurlijk een Jacobiën square hebben. Dus nu, deze scaling is een compacte hemorfism. Dus de Jacobiën hier zal van de orde zijn, een constant times b squared. Nee, nee, nee, nee, nee, nee. Het is een heel mooie hemorfism. En ze zijn een heel mooie hemorfism. En we komen naar dat. Dus alle fenomen die we gaan zien, zijn gelaten met het asymptotische behavior van deze scaling. Het is altijd een soort verandering. Maar nee, er is geen probleem. Maar bedankt voor de vraag. Want hier zie je ook dat je een map met de Jacobiën b begint. En de volgende map is de Jacobiën b squared. Dus als je begint te renormaliseren, wat er gebeurt is, is dat als je begint te renormaliseren, deze ding wordt sneller en sneller en sneller.  Dus in de limiet, het moet ergens zijn, ergens een bondemijn en een object zijn. En dus je weet dat de limieten van renormalisatie zijn van de bestaande maatschappen. En dat is exact de vraag, de consprens van de vraag. Nou, schijnt je daar. We gaan het ergens. Je ziet het allemaal. Hopelijk op. Laat me opa gaan. Laat me opa gaan. Je ziet het wel. Nee, het gaat om de bestaande maatschappen. Maar je weet dat je probleemt van de bestaande maatschappen. We beginnen met de bestaande maatschappen. En we hebben kleine perturbationen van een van de van de van de dynamische dynamiek, dus alles moet dezelfde zijn. Het is gewoon een perturbation van de van de dynamische dynamiek. Dus we verwijzen gewoon de van de dynamische dynamiek. En de van de dynamische dynamiek in het topologische sens, maar ook in het geometische sens. Dus alle universale dingen die we hebben gezien in de periodeblieftse cascades, moeten ook opnieuw appearer. De periodeuniversale, en dat gaat gebeuren, omdat mensen dit in de natuur measures hebben. Maar ook de facepageuniversale, de accumulatie van de periodeblieftse cascades, en misschien ook de regentie. En dus, als we aan het starten om dit te werken, we dachten dat dit moeten worden gedaan, maar het zal niet interessant zijn. Maar we kunnen niet dit doen. Maar het zal het behoorlijk zijn. En je ziet het, het is behoorlijk. Het is gewoon de van de van de van de dynamische dynamiek. Er is niets nieuw hier. En uit dit... Ik kan de pixel maken, maar uit dit kun je... Je kunt uit dit hyperbolicpixer, maar je ziet het. Dus hier hebben we onze renormalisatiepixpoint. En uit dat zal er een stuk van dit stabele manifold zijn. Ik kan de pixel maken, maar je kunt het... Dus er is een kleine intersectie hier over de stabele manifold van de fixe punt. En dat zijn de renormalisatiepixen. En dat is ook de gebouw van chaos. En als je hier een klein b neemt, dan zie je weer... accumulatie van periodeblieftse cascades. En in dit geval de tn is weer gecontroleerd met dezelfde eigen waarde. Omdat alles op een klein geval gaat zien zoals de stabele manifold van de... Dus periodeblieftse cascades. Vanaf dit theorem krijgen we periodeblieftse cascades. En deze deur is door nummer. Dus deze deur blijft in hoge en hoge dimensionen. Dus als je...  Dit was een 2-dimensional perturbatie van een unimodal map. Als je naar 10-dimensional perturbatie van een unimodal map gaat, dan zie je nog parameteruniversiteit. Met dezelfde schijf. Het zal gewoon continu zijn. Dus geen probleem. En dit is wat mensen mezenen. Dus in nature mensen mezenen dit. En dit theorem van Naam uitgaat waarom dat gebeurt. Dus we raken uit tijd. Ik zou je een foto laten zien. Want nu is alles doordat je niet terug komt. Dus ik zou je een foto laten zien als een... Ik hoop dat je er... Dit is doordat. Maar er zal er iets bijzonder zijn. En op hetzelfde moment is het heel mooi. Dus kan ik 5 minuten meer gebruiken om je de foto te laten zien? Is het oké? Nee, maar S-star... Wat we hebben is dat we weer iets hebben zoals dit. Hier hebben we de spas van non-maps. En hier hebben we onze renormalisatieoperator. En onze map F-star is een fixe punt van deze operator. En in het sens dat we een fixe punt zijn van deze operator. Of R, exact. Dus dit gebeurt in... Het is dynamische renormalisatie. Nee, het is een degeneratie. Het is een unimodal map. En dat heeft te doen met Stefano's vraag. En dat de B... ...komt te brengen supra-exponentisch snel. Dus alle 2-dimensionale dingen zullen in de renormalisatie vervangen. Dus dat is waarom de fixe punt moet zijn om 1-dimensional te zijn. Oké? Doe je 2 minuten geluid? Dus ik zou je iets laten zien over de dynamische. En tomorrow we gaan naar de details van dat. Dus... Laten we... We zullen dat grote doen. Laten we deze grote doen. We hebben onze map F hier. En we hebben onze blub hier. En dat blub is veranderd. En dan rescalen we dit... Dit is onze eerste map. En we zien onze renormalisatie. Dus Pcv... We konden deze boven als Bv. Bv1. Maar we zullen ook eens kijken op de map Pcv. Dat is gewoon... Je komposeert een stuk verder. En dus Pcv neemt de unit-square. Hij zet het hier. En dan Pcv. Hij zet het hier. Dus je krijgt Pcv1. Je ziet de foto? Dus Pcv geeft je een scaling van 1 boven. En Pcv geeft je een rescaling van de andere boven. Dat zal behoorlijk zijn. Dus nu, deze guy is weer een renormalisatie. Een renormalisatie, dus we hebben ook een boven.  En er zal een tweede rescaling zijn. En dan zal er ook een map zijn hier. En er zal de correspondeerde c-scaling zijn. Dat zet de boven in hier. Dus dit is de cycle van de renormalisatie. Maar nu kunnen we deze cycle nemen en het hier binnenkijken. Dus je krijgt hier een blop en een andere blop hier. En dan kunnen we deze scaling gebruiken om deze blops binnenkijken. Dus je ziet de counter-set appearer. Dus nu, eerst hebben we een cycle van twee stukken. En nu zie je een cycle van vier stukken. En nu gaat het continu. Dus dit is een tweede renormalisatie. En dan zal er weer een blop zijn hier. En nu, dus deze blops. Ze zullen er hier binnenkijken. En ze zullen er hier binnenkijken. Maar nu deze foto krijgt er hier binnenkijken. Er zijn er hier binnenkijken. En dan krijgen deze dingen hier binnenkijken en hier binnenkijken. En dus je ziet precies dezelfde constructie als wat we hebben gedaan in een eenvoudige dynamiek. En je ziet, zoals je weet, we hebben de cycles. Dus c1 is de eerste cycle. Deze twee stukken zijn veranderd. En dat is de tweede cycle. En we zijn deze blops. Deze blops. En dat is zo continu. En dit is de tweede cycle. En dat is zo continu. En dat is zo continu. En dan heb je natuurlijk de intersection van die dingen. En dat is de counter-set. En dat zal de counter-attractor zijn. Dus binnenkijken hier zullen er een counter-set zijn, zoals in de Unimodal case. En dat counter-set gaat bijna bij elk punt attracteren. En nu, ja. Ja, het is toplotstelijk dezelfde. Je ziet de foto. Als je in plaats van blops maakt, luistert je een klein lijn. Je kan net dezelfde counter-set als de Unimodal. En nu laten we je een foto maken. Laten we eerst twee seconden maken. Dus als je dit in de one-dimensional case doet, dan zie je de counter-set hier, dus dit is f-star. En nu kun je hier een punt nemen en dan kan je de treinzend lijn nemen. Dat is de treinzend lijn voor de counter-set in dat punt. En voor de one-dimensional foto. En dan kun je dat in alle die punten doen. 