1.3 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
dan zie je dat je je tekstbouw heel weer is. Je ziet dat alle proefen perfect ontdekend zijn en de reis aan de algemene algoritme te geven. En er is een probleem met die algoritmes en dat is dat ze niet een polynomial tijd zijn voor een reden van de volgende natuur. Zeg dat je een bepaalde matrix hebt van interges dan wat je vaak doet is dat je wilt nemen linear combinaties van de row-vectoren zonder de groep te veranderen die ze genereren om deze eerste column te veranderen naar iets die een D heeft, typisch een D1 of iets, en zó zowel. Dus je doet op de ingang van de eerste column wat je een algoritme doet en veranderen uiteindelijk al deze nummers van 0, zonder de topnummer die zal veranderen door de grootste commandivizier van alle van die en de linear combinaties die je hier doet, je veranderen ze op de rest van de matrix, maar de rest van de matrix zal gewoon veranderen en dat is niet moeilijk om exemplen te geven waar deze type tekstbouw algoritme niet een polynomial tijd is. Dus de ene art in ontwikkeling van deze algoritmes, zoals ze worden gegeven in de noten, betekent om de nummers die je ontvangt te houden. En in de oudere dagen mensen deden dit door veel van deze computaties te doen, modulo, prudentlijke oksilieelijke nummers. Maar nuweer is er een beter algoritme available voor te houden van een nummer klein en dat is simpel, laten we deze reductie, de LLL algoritme is precies speciaal in te houden van nummers klein en je vindt als resultaat een brief treatment van de LLL algoritmes in de noten die je kunt bezoeken als je wilt, dus dit was al vorig jaar gedaan met de account van de LLL algoritme die je in de lekkers lastige week gegeven door Joe Silverman. Maar dit is een heel plezierige applicatie van de LLL dat is gebruikbaar in de context van deze gedeelte genererende aantal groepen die een beetje droog zijn. Oké, zoveel vragen. Dus laten we dan een start maken met de ontwikkeling van het moment van de theorie en laten we sketch de eerste problemen die we moeten bezoeken als we willen imiteren de Euclidean algoritme voor integreren, als je het wilt omgeven naar nummerfielden.  En laten we, dus suppos dat ik eerst start met de integreren en ik neem twee integreren A en B, dan de gcd van A en B, zoals je heel goed weet, is characteriseerd door twee groepen, namelijk als je kijkt naar de groep genererend door A en B, dat is een subgroep van zee en elke subgroep van zee heeft een unie generator, het is precies cyclic en om dat generator te maken uniek je neemt het non-negatief en dat is de definitie van de gcd en er is een quick algoritme om het te determineren en dat is simpel van bekijken op het kleinste positieve element dat je weet in dit subgroep, laten we nu zien dat A en B zijn 0, dus laten we zeggen dat dit gcd wordt positief, dus het kleinste element dat je weet dat is typisch, laten we zeggen dat het A is, als A is bijna B en dan checken we of A doet en dat is om te zeggen of B is bevindelijk door A en als B is bevindelijk door A, dan ben je done, dan is de gcd A, als B niet bevindelijk door A is, ga je bevindelijk door B, door het remainder van de visie, door A en dan in die manier, dus dat is het Euclidean algoritme en dit is de soort ding dat we moeten generaliseren om nummers, in fact wat je ook kunt doen met dit gcd is dat je het kunt doen voor rationele nummers en dat is bevindelijk in exact dezelfde manier, de enige verschil is dat dit gcd ook een rationele nummer ok, nu is dit iets dat we willen generaliseren en de andere ding dat we willen generaliseren is dat wat ik vond dat we A en B verplaatsen als ik dit gcd kijk, als ik het kijk D, dan verplaats ik hem door A over D en B over D en die zal in bevindelijk zijn, zelfs als A en B een rationele nummer is en deze bevindelijk ze hebben de property dat de groep dat ze genereren is dit groep divide by D en als ik divide zd by D, dan krijg ik z.  Dus je ziet van dit dat eerst van alles A over D en B over D zijn geïnteresseerd, zelfs als A en B een rationele nummer is en ze zijn co-prime in het sens dat de gcd een is en dit is de state van affairs dat we willen introduceren dat we willen generaliseren op nummerfielden en dus we hebben hier een nummerfield k en we hebben hier q en we hebben hier z en hier gaan we gebruiken rings, r en als je welke algebrijke nummertheorie weet, dan zal je weten dat er een soort canonicale keuze voor r is, die is de ring van de ingang van k en het gebeurt zo voor de redenen waarom ik tomorrow aan wil dat voor de probleem van polynomial tijd algoritmes de ring van ingang is van geen gebruik, dat is om te zeggen dat het gebruikt is als je theorem proeft over die algoritmes, maar binnen die algoritmes computeren de ring van ingang is niet done. Gelukkig, deze k, zelfs als je de aarders restrictt, dus r, dus r is een subring, ja? En r is een aarder als het in de theorie van de finale degeneratieve bilion groepen fit, dus dat betekent dat de aardere groep van r is isomorphisch om g naar de iets, t voor iets, t dat moet er al een zijn, omdat subringen altijd ontdekend zijn, de unitselement. En we zijn meestal in subringen in de aarders geïnteresseerd. Dus, als k niet q is, dan zijn er infinitief veel aarders. En ik heb het gevoel tot de maximale aarders, de ring van ingang, die in de zin is de beste, ongeveer dat we het niet kunnen gebruiken. Maar solving problemen van deze natuur met de zin geplaatst van r, dus als ik je alpha en beta in de aarders gegeven en je een delta in de aarders vraagt met deze property, dan is het een sad fact dat er veel situaties zijn in die alpha en beta in de aarders gegeven waarin geen aarders kan worden ontdekend met de property, dat voor een delta je deze equaliteit hebt. En dat was al opgevoerd in het 19e eeuw en dat probleem was geïnteresseerd door ideelen te ontdekken en dat is wat ik morgen begin te discussieken en gewoon ideelen zijn niet goed genoeg.  We willen ook, we zijn hier ook divideerd door de d hier, maar divideerd door delta is misschien oké, maar als dit geen principale ideel meer is, maar ieder ideel, dan willen we dat ideel invertabel zijn zodat we het kunnen divideerd worden en wanneer of niet het invertabel is, dat kan eigenlijk op deze r dependen. Dus dat is de manier waarom ik morgen morgen 8.30 uur begin. Zal je vragen? Kan je me zeggen wat? Oké, goed. Er is een analoge of theorem 3 voor globale voedsel van positieve karakteristen. Is er een analoge of theorem 3 voor globale voedsel van positieve karakteristen? Dus de vraag gaat om theorem 3 en het gaat om orde en wat is de vraag? Voor functionen. Dat is makkelijker, het is makkelijker, het is makkelijker. Ja, wat ik zei je over de ring van intergers, dat is een specifieke property van de intergers, zee. Als je zee plaatst, bijvoorbeeld door het polynomialring in één variële over een voedsel, dan verliezen alle problemen. Maar ik wil je niet zeggen waarom of je morgen terug wil komen. Ja. Zal je zeggen dat theorem 3, de algorithm vindt me een goede basis voor de sublatches van de kernels? Zal je zeggen verliezen? Is dat jouw vraag? Het vindt een basis voor dat latis, ja. En dan? Een goede basis. Een goede basis, ja, de manier waar je het vindt, typisch maakt het in een verliezen basis uit de LLL, als alleen om te garantieven dat de intergers niet te groot zijn. Maar zoals ik zei, alle deze algorithms voor de finale generatie van de bilian groepen, in de eind, liepen op de LLL, zodat de uitgang van die basis is niet erg verkeerd. En natuurlijk, je ziet latises, dit is zee tot de zee is een latis. Maar als ik mijn finale generatie van de bilian groep heb, dan is de LLL niet automatisch aangemaakt, omdat er een finale generatie van de bilian groepen is. Het moet niet bevrijd zijn. Maar A is geïnteresseerd door deze dieren, en die zijn bevrijd, zodat de basis-basis reductie is typisch om hier te zetten. Bijvoorbeeld kun je al een basis-basis reductie gebruiken om de presentatie voor A te zetten. Je hebt deze relatie, maar dat is misschien een duurte subgroep. 