3.1 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
Ik heb een verkocht op de laatste tijd, waar ik voor een behoorlijk gehoord was, maar soms voelde me om de conclusie te dragen. Dat is over deze bloemen, maar we zien niet veel bloemen. Vandaag, vandaag, ik praat over een subjecte dat is indipendent, maar dat eigenlijk niet wordt gebruikt later in mijn lectures, bijvoorbeeld als ik een behoorlijk gehoord ben, als ik deze behoorlijk gehoord ben, op een behoorlijk gehoord, over een behoorlijk gehoord. Maar ik praat over de behoorlijk gehoord, dus we hebben een field K, een behoorlijk gehoord, de finite over Q, en het heeft een ring van behoorlijk gehoord, en we willen de finite... En vandaag heb ik gezegd dat het polynomiale tijdpunt is, dat het een behoorlijk behoorlijk gehoord is, dat betekent niet dat het niet interessant is. En vandaag, zelfs dat we niet kunnen... We zijn niet garantieerd om echt de ring van behoorlijk gehoord te vinden. We kunnen een behoorlijk behoorlijk gehoord worden, en ik zal de algoritme die ik weet voor de neeming van de behoorlijk gehoord heb. En ik zal altijd betekenen dat we al wat R, K, dat heeft een behoorlijk behoorlijk gehoord. K, dus dat is hetzelfde als... Dat het een behoorlijk gehoord is, en K als een Q-vector-spel. Dus in veel cases is K behoorlijk gehoord om een behoorlijk behoorlijk gehoord te worden. En K is de ring opgegeten door een behoorlijk behoorlijk gehoord. Zee, ik denk dat het nog steeds gehoord wordt met mijn mic. De mic is gekregen nu, dus we moeten het nog een keer veranderen. Je hebt 5 extra minuten. Pardon, wat is de vraag? Ik denk dat je 5 extra minuten hebt. Ik denk dat dit niet opgaat, heel duidelijk ook. Ik denk dat je 5 extra minuten hebt. Ah, geweldig. Goed, dank je. Sorry, ik ben in een klein deft. Dus, wat was ik gezegd? Oké, dus als je... Als je K is behoorlijk gehoord, zoals ik heb gezegd, door een behoorlijk behoorlijk behoorlijk gehoord, dan kan je het R in dezelfde manier krijgen. Maar ook in de generelle k's, en K is gewoon gehoord door basis over Q. Dan kun je bijvoorbeeld voor de multipliering van de groep genereren door dat basis over zee. Dus het is altijd makkelijk om naar beneden te rijden, gegeven K een orde van full rank.  En de vraag is om het te ontdekken naar oké. En in general is dat iets die niet kunnen worden gedaan, zoals we ook vandaag zien, maar ik zal even de theorem uitleggen die je vertelt dat er in een sens is waarin je heel dicht kan komen. En laat me eerst wat traditionele wissel van dit probleem explainen, wat je al weet. En dat is dat wat je hier doet, is dat je eerst de discriminatie van R speelt. En we zorgen alleen over het absolute value. En dat is een behoorlijk behoorlijk behoorlijk gehoord van een behoorlijk finiteurig behoorlijk behoorlijk gehoord. R-degger modulo R, waar R-degger, die een belangrijk rol in de algoritmen speelt, is de polar of de dual of R, de tracesduel, het is de set van X en K waarin de traces en al de traces vandaag zijn de traces van K tot Q, de traces van de principle ideal generatie van x moeten in de interges gecontaind worden. En dat is iets dat is makkelijk om te computeren. Het is een editieve subgroep. In K, het is uiteindelijk generatie als een groep, hetzelfde rank als R. Het containt R en deze groep is een finite groep. En het kan allemaal gecomputerd worden efficiëntelijk, en dat is de absolute value van de discriminantie. En dan is het ook de keuze dat dit R, dat is oké, dat we kijken voor, is gecontaind in onze groep. En tussen daar is ook een oké groep. En dat loopt naar een welk known formula, namelijk dat het index van R in oké is. Dat is een nummer met een groep dat, als ik het square ben, dan is het de quotie van de discriminantie van R en de discriminantie van oké, die zijn indexen die dezelfde signen hebben, zodat ik daar absolute values niet op ga. Dus dat is een divisor van deze discriminantie dat ik het al kwam. En in feite, het square zal het divideen. Maar deze discriminantie is in ieder geval een grote nummer. Het zal in ieder geval hard zijn om te factoren en het zal ook hard zijn om square devices te detecteren. Maar als je ergens bewaard is om de prime factorisatie van deze discriminantie te informeren, dan werkt het wel goed om de ring van de index te determineren in de volgende manier.  En de meeste message hier is dat het vinden of oké uit R is een lokale probleem. En wat ik bedoel, dat is de volgende manier. Je kijkt naar deze abelian groep, dat is een finite abelian groep, die je nog niet weet. En in feite, je bent in het proces van computeren het. En als een finite abelian groep is het kanonisch isomorphisch tot de directe sumte van de primaire part. En de primaire part, die zijn de elementen van oké, modulo R, die hebben de property dat in deze groep, ze hebben p-power order. Dus als je ze met een suurtable p-power multipliet, dan eindt ze in R. En dat is dezelfde als bekijken naar de ring die je krijgt met een joining van 1 over p naar k. Dit is de set van alle elementen in k die hebben de property die een suurtable p-power multipliet. Je eindt in R. En dit is niet een order, omdat het niet finiteerder is als groep. Maar het is een ring. En je ziet ook dat dit een subring van k en voor de meest primaire parten. Het zal gelukkig zijn voor de meeste primaire parten. Deze primaire part van de groep zal gewoon 0 zijn. De enige primaire parten die je moet kijken zijn andere primaire parten waarin de square, als je de discriminatie vindt. Maar dat is ook true als je dit forgett. Dus als consequentie, je hebt dat dit ok is, simpel als een nabelian groep, de sum over deze p's van dit subring en computeren. Dit subring, voor een gegeven primaire parten, is essentieel equivalent om mijn probleem te veranderen, te vinden uit de r, lokale op p's. En als de primaire parten, p van je discriminatie, is gekomen, dan verander je het op dit probleem. Het turns out dat als je een prime nr. p hebt, zoals we later zien in deze lectie, dan kan dit ring in polynomial tijd worden computeren. Het enige ding dat je van neemt, ok in polynomial tijd, is dat je niet weet van deze prime nr. Dus dat betekent dat we ook voorst om te kijken dat ringen van de natuur 1 over q intersekt met ok, waar q, wel, of niet een prime nr is, maar het is een groot nummer dat je niet kunt factoreren in twee primes.  En dit is de type van ring dat we meestal proberen te bevinden in deze lectie, waar q een positieve interse is gegeven. En weer, het is een lokale ding, je kunt dit als de directe summen over de p's divideen, q prime, van de heelzelfde ding, dat, oh, ik vergeet uit te divideen door r, dus neem dan de summa, en dan schrijf je de heelzelfde ringen die we vorige keer hadden, maar natuurlijk dat we niet weten welke plek het is om te nemen. Op elk geval, dit is de ding dat we gaan kijken. Het is, het alleen begint op de radicale van q, het begint alleen op de zet van primes divideen, q die van deze descriptie is gekregen en er zijn twee interessante cases die we in particular concentreren. En dat is, eerst van alles, natuurlijk de keuze dat q een prime nummer is, naast alles. En de keuze die q is dit discriminatie van r. En als q is dit discriminatie van r of misschien het radicale, maar vaak weten we het niet, dan is dit ring oké zelf, want, nou, als je voor q de discriminatie van r neemt, dan zie je dat je deze formula hebt. Dus als je de radicale van dit discriminatie heet, dan kan je alles computeren. Radicale van nummers zijn square-free. En square-free nummers, wel, ze kunnen nog niet prime zijn, maar uiteindelijk lokale zijn prime. Als ik een square-free nummer neemt, dan lokale op elk prime nummer, divideen het, het is een prime element. En dat is goed genoemd voor onze probleem en dat is waarom square-free nummers kan zijn zo helpte voor ons. Oké, dus dat moet de stage voor de theorem dat ik zou willen discussieven in deze lectie en dat is de volgende. Het is een theorem uit een papier dat ik zei, ik weet niet hoeveel nummer we hebben, ik denk dat we er bijna 8 zijn. Het is een papier dat ik met Johannes Buchmann en dat was ontwikkeld in 1994. En dat is eigenlijk de beste referentie voor wat ik vandaag aan het praten. Natuurlijk, een andere goede referentie is de set van lectie-noten, maar ik bedoel dat niet alles dat ik zal zeggen vandaag is volledig vervoerd nog steeds in de presente versie van de lectie-noten. Dus hier is de theorem. Er is een polynomial-time-algorithme.  Laten we me weer aansluiten tot pta, polynomial-time-algorithme dat op input een nummerfield k een order r in k met de property dat k is gespen door r over q. Laten we opnemen. Dus k is de fuld van fracties van r, als je wilt. En een integer q dat is groter dan 0. En je moet denken van q als een divisor van de discriminantie van r ideally een square free divisor maar dat is iets dat je geen informatie kan hebben. Dan wat de algoritme doet en dat is een algoritme dat ik je zal vertellen vandaag hoe het gaat dan dat op input een order a in k en een divisor r van q, een positieve integer en dit a en dit r hebben twee properties. De eerste property is dat dit a is proberen te zijn de ring dat we naast zijn. Dat is dit ring. De q-contribution zo te zeggen naar de ring van integers. En je moet ervaring zijn van de fact. Dit is natuurlijk zitten in oké. Dus als je deze groepen uit modt van r, dan heb je finite abelian groepen. En deze finite abelian groepen zijn behoorlijk gekregen van q, want als je de elementen hier met de positieve power van q u eindt op in r. Dus wat je wilt hebben en dat is wat is opgepakt door de tweede property dat dit a heeft. Wat je wilt is dat dit is geluid. En we kunnen iets zeggen over de prime-numbers diviseren dit order. En die prime-numbers want deze groep is gekregen met q. Die prime-numbers allemaal zal zeker divide q. Oké, dus let me vertellen wat ik weet over die prime-numbers. Als p is prime, dan p divide het order van deze quotie. Dat quotie maakt met welke extentie met algoritme echt succesvol. p divide het index in andere woorden van a in dit ring dat we erachtig zijn of en alleen of p square is een divisor van r. En je moet echt denken van r als een grote nummer in veel cases het zal worden geluid op q zelf of q met wat kleine prime-numbers veranderd en je echt hebt geen incite in de prime-factorisatie van r en je weet niet waarom soort prime's exist allemaal.  Misschien kan je geloven dat ze existen misschien moet je je hebt proberen te maken je q als square-free zoals je kunt bijvoorbeeld kijken voor square divisor naar de square over milieus of iets dus je kunt denken je kunt geloven dat dit deze pi's niet existen en dat je hebt gezien helemaal succesvol nu moet ik ook vertellen dat als dit p square divide r dan zeker p divide r en het zo gebeurt dat deze prime's moeten worden groot at least groter dan de degree. kleine prime's worden in verschillende manieren van grote prime's zoals je kunt zien en soms de beste manier met kleine prime's is dat je simpel maakt dat je simpel speelt voor kleine prime's at least deze ring zodat kleine prime's uit de game zijn. 