Renormalization in low dimensional dynamics - Marco Martens - Lecture 08
Goedemorgen. Het is oké? Ik oog veel van jullie een referentie. Het werkt niet, hè? Het werkt niet, maar ik denk dat dit de positie is. Hallo. Het is beter? Misschien is er een gevolg van dit. Nee, dat is het. Alles loopt, oké? Er is een red button hier. Hallo? Dat klopt, hè? Hallo. Gaat het goed? Ik zou zeggen iets, hè? Goedemorgen. Maar kan je me begrijpen? Oké. Laten we gaan. Veel van jullie vragen een referentie over de proof van hyperboliciteit van renabilisatie voor circlediffiummorphismen. Laten we het opnemen. Het is ook op de noten van vandaag. Laten we het opnemen. Referentie voor hyperboliciteit van circlediffiumrenormalisatie. En het is door G. Stark. Het is een lange titel. Maar wat is belangrijk? Ja, je kunt het uitkijken. Het is heel lang. Het is in non-lineariteit. Non-lineariteit. Nr. 1. En dat was in 1988. En de pages zijn van 541 tot 575. Als dit niet genoeg is, dan kan je gewoon naar de noten van vandaag, dag 8 en het hele titel zal in de top zijn. Dus je moet het kunnen vinden. Oké. Dus we hebben de circlediffiummorphismen afgemaakt. En de laatste tijd gisteren begon we te renormaliseren. Unimodal maps. En wat was de situatie? We bekijken de spas van unimodal maps. Het ziet er iets als dat. Waar dit iets is. C3. En waar de tweede derivative in de kritische punt is. Dit is non-zero. Dus er is echt wat kritische shape daar. Dus de spas van deze is de spas van unimodal maps. Maar dan zijn er renormalisable ones. En de renormalisable ones hebben de property dat er twee intervallen zijn, die worden geïnterveld. En er is een intervall u en een intervall v. En dit is geïnterveld met f. Dus als je een systeem hebt zoals dit, dan call het renormalisable. Dus dan zie je, als je renormalisaties doet, je moet de domain waar je zoekt. En we gaan deze intervallen gebruiken. En je ziet, de return map is gewoon de tweede intervallen. Je neemt de intervallen, het gaat hier en dat komt terug. Dus als je de graf van de tweede intervallen ziet je iets zoals hier, we hebben u en hier hebben we v. En het ziet er iets als iets zoals pad. Het ziet er iets als dat. En dan doen we, hier zie je weer een kleine unimodal map. Upsite-down.  Als je dit in een f-niveau kan rescalen. En dan zie je weer een unimodal map. En we callen het renormalisatie van f. Oké. En dan hebben we gisteren de meeste theorem. Laten we gewoon het brengen. Dus de foto van dit renormalisatie-operator is precies wat je begint te zijn. Dus er existe een unieke fixpoint die een instable manifold heeft. Het is gewoon een curve, een 1-dimensionale object. En er is ook een instable manifold die een 1-dimension heeft. Dus en wat is belangrijk is dat de eigenvalue hier, de ongeving eigenvalue is de nummer dat we nog vroeg hebben. Dat is deze nummer 4.669. Ik remember gisteren we were looking at parameter universality en er was deze nummer 4.669 showing up. Dus dit is briefly de statement maar wat is belangrijk voor ons is dat als je deze stabele manifold deze manifold dat is exact de klas van infinitie renormalisable maps. En dit is een topologische klas. Dus als we terug naar onze diagram we hebben deze generelle foto van renormalisatie die de bifurcatiepattern die de topologie die de measuretheorie en die de geometrie uitleggen. En nu zie je van deze laatste deur van het hoofdtheorem dat de set van infinitie renormalisable maps die een topologische klas is gewoon een manifold. Het is een manifold een stabele manifold van deze operator. Dus dit explicent al wat over de bifurcatiepattern. De topologische klas van infinitie renormalisable maps is een manifold. En oké dus laten we zeggen een beetje meer over de dynamiek van deze dingen. Nou, misschien kan ik... Laten we deze eigen waal 4.669 gebruiken en explain waar de parameterdependant uit komt. Dus laten we een foto maken van alle unimodal maps. Deze zijn 3 maps met een non-degenerate kritische punt. En binnen daar er is een strip van de maps die een renormalisable is. Dus deze zijn de een renormalisable maps. En nu de foto van renormalisatie die hier is op een infinitie de foto. Dus wat is renormalisatie? Dus het zet de set van renormalisable maps en het maps naar iets zoals dat. Dus je begint te zien een hyperbolic foto. En daarnaast hier hebben we onze fixe punt en daarnaast hebben we onze onstable manifolds en daarnaast hebben we onze stable manifolds. En we weten dat de renormalisatie in de fixe punt een eigen directie en de eigen value is deze nummer 4,6 6,9.  En laten we zien hoe dat nummer in deze parameter een universale foto is. Dus let's recall wat er gebeurt. En remember of you take your family if you take a family of unimodal maps then you can create kales, which we discussed yesterday and it goes according to a period doubling cascade. En we do something like this. First your dynamics is controlled by an attracting fix point. Then at some moment you get a period 2 point and then a little later you get a period 4 point. So it continues like this and then there will be an infinity value where the chaos begins. And then yesterday we discussed that these bifurcation moments where the period doubling happens converges to this boundary of chaos and it converts exponentially fast and the rate is 1 over 4.669. En so now let's use this picture to explain this parameter universality and you probably you see already how it goes. Let's do it with a little color orange. So this is our family here and this family, I don't know where it is but this may be sitting somewhere here. Some curve. En now we see that this strip are the once renormalizable maps but then there will be a thinner strip where you have maps which are twice renormalizable. And then there will be and then where the family enters this strip you have to check that is exactly this moment. So this corresponds to the moment t1 but then there will be a thinner strip where the maps are three times renormalizable and where the family enters this third strip it will be t2 and now you see the picture happening each time you go, if you have more renormalizations you get exactly these intersections converging to the infinity which is the intersection of this stable manifold. Ja, that is a big part of the theorem. And this picture is easy to draw it's just hyperbolic picture but to prove this is a big story. That is part of this theory ok But now you see if you have a saddle point in hyperbolic saddle point then you know that these pre-images they accumulate everywhere at the stable manifold is the item value of the fixed point you know from saddle point.  So here you see explained why these bifurcation moments convert this is the item value of 4.6 Ok, so now this really explains the bifurcation picture and this is sort of where where the history began this 4.6 was the first thing they observed the tracer in Coulet and Weikenbaum and this is historically the beginning point. 