4.2 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
en in de interessant geval, dan Gemma en Gemma-inverse zijn beide non-algebraïde integraties, de rank is 2 met de basis d,n.  En dat is soortlijk interessant, omdat dat voelt dat als ik de zee op de grond zet, en ik zei het, dat ik het generaties op dit, ik maak het op dit groep door de zee op de n x n op de m, sorry, laat ik een integer n d en een integer n n, en het gaat om de zee op de grond zet, n d x n op de grond n n, en dat is, zoals ik zei, een isomorphisme, die is heel makkelijk te proeven, en het is door de fact dat d en n zijn co-prime ideals, dus laat ik me zoeken hier dat de rank is 2, dus als de rank is 2, die is het meest interessant geval, maar wat is particulair interessant over dit isomorphisme, is dat het niet alleen een isomorphisme van abelian groepen, maar het is zelfs een isomorphisme van partially-ordered zetten, hier heb je een partially-orderen, een paar integer is bijna een ander paar integer, zelfs alleen als dat is waar, voor elk van de coörden separate en hier heb je inclusies, misschien moet ik hier de inclusies schrijven, en de grondere ideals hebben een groter exponentie, dus dat is een isomorphisme van partially-ordered abelian groepen, en het is ook de case dat dit groep, d en n, degeneratie van d en n, is aangekomen niet alleen onder de groepenoperaties, maar ook onder gcd's, de gcd van twee ideals in dit groep is weer in dit groep en de exponentie is gewoon in dezelfde manier als je de exponentie in de prime factorisatie krijgt van een gcd, je moet gewoon op elk van deze d en n de minimie van de twee exponenties nemen, en het is ook niet alleen onder gcd's, maar ook onder lcm's, de laatste verschillende verschillende verschillende verschillende verschillende verschillende schrijven, en in dit geval je moet niet de minimie van de exponentie nemen, maar je moet de maximie van de exponentie nemen, en wat je hier ziet is dat wanneer je in dit ongeveer een klein klas van ideals hebt, je hebt een goede substitut voor wat je gebruikt is van prime factorisatie, maar prime factorisatie is niet accessabel voor ons door polynomial-time algoritmes, waardoor alles wat ik hier heb gezien, je kunt in polynomial-time computeren, en een ding die ook heel strijkig is over dit is dat we alles hebben gedaan om deze a te maken, dus a was de gevolg van een gamma, dus bij de definitie van a, en ik heb gezien dat in een moment de ideals genererd door een en gamma zijn invertabel over a, dat is de enige conditie die we ontdekken op a en a was de kleinste ring voor die het is true, maar nu kijken we wat we hier hebben, dit groep ontdekent de ideals genererd door gamma omdat dat is n divided by d en het is een groep dus het ontdekent de ideals genererd door gamma naar de n voor elke n in de integer en het is dichter de plus, dus je ziet dat de volgende is ook true voor elke finite subset, niet omgeven, van de groep genererd door gamma, dat is gewoon een bunch van die gamma naar de n, de ideals genererd door ze, a times s is a invertabel, omdat het een aantal of de veel ideals zitten in de groep al, dus we ontdekken alleen een en we hebben veel van die voor drie en dat is een fenomen dat we nu ook zien in de rest van de lectie die een simeel situatie is gevoeld, waar we geïnteresseerd zijn, niet om gewoon twee co-prime ideals te krijgen, maar waarschijnlijk een groter finite set, groter genoeg zodat we kunnen factoren een gegeven finite set van elementen in die ideals en ook kunnen maken een aantal van die ideals zoals we ze nodig hebben, invertabel, dus dat zal de tweede half van mijn lectie zijn. Zijn er meer vragen? Oké, dus laat ik je vertellen hoe dat werkt en dat is de co-prime base algoritme voor ideals en dat is een beetje trickier dan het is voor de ordinele interges en dat is waarom ik eerst zal remind je van hoe de co-prime base algoritme werkt voor ordinele interges, ik zal je een soort van baby versie geven van dit algoritme omdat de precies implementatie, details en de betere data structuur zijn voor de presente purpose niet nodig at all and I will try to present this in such a way that you can somehow see what is going to happen if you want to extend this from ordinary integers to ideals in orders. Oké, dus laat me eerst doen de old co-prime base algoritme, old means three days old, this was from Monday, old co-prime base algoritme en wat doe ze doen, dat is de input gegeven a1 door am en ik neem ze om positieve interges te zijn, deze algoritme bevinds een finite set die ik call capital X en het is een finite set van interges groter dan een, we willen niet de unit ideal hebben, zodat we een finite set capital X van pairwise co-prime interges zoals dat elk AI is een volledige product van die axes en als ik een volledige product zeg, dan heb ik negatieve volledige krachten gekregen, dus elk AI is van de vorm een product van de elementen van X met een paar multiplicities die meer negatieve interges zijn en ja, omdat de c's van pairwise co-prime en groter dan een zijn, deze exponentie zal ook uniek zijn, het zal je reminderen van wat ik je op de d en de n heb gezegd en deze algoritme operaties in de volgende manier, dus laten we het hier nemen wel, zoals het meestal hier, je begint van nemen voor de X, de initie set van interges hoort dat je de nummer 1 uitkomt, in het geval, het gebeurt er te zijn. De property dat X altijd heeft in de algoritme is dat uiteindelijk elk AI zal een volledige product van die axes zijn en ik wil ook dat alle elementen van X zijn positieve interges, alles wat lakt is de co-primality-condition.  Dus als we het even bekijken, als alle a verschillende van b in X is co-prime dan ben je klaar, je terminaties, X is de antwoord. En als dat niet het geval is, dan doe je iets dat ik je al vertel, anders pick je a en b in X die niet co-prime zijn, kom je de GCD met de Euclidean algoritme, die ik genoemd D, en je replaces a en b in X met drie elementen, namelijk a over d, d en b over d en je omdeelt de kansen die je hebt geïntroduceerd. En natuurlijk denken we echt over X als een set hier, dus als je de duplicaties geïntroduceert, moet je ook ze ook beschouwen. En het is klaar dat als je dit doet, je de groepen van X dat ik geïnteld heb, elke originele a i is nog een volledige product, omdat de a is een product van deze twee en de b van de andere. Er zijn ook interges meer dan één. En in één respect, de situatie heeft verkeerd, omdat X een beetje groter werd, maar er is een manier waarin, wel, er zijn twee manieren eigenlijk waarin X beter werd gekregen, namelijk, er zijn nu twee co-prime, de a en de b worden geplaatst door co-prime elementen en ook de nummers zijn typisch kleiner. En het is niet moeilijk om je te zien, je kunt het proeven, je kunt het proeven in de noten, dat dit een polynomial tijd algoritme is, maar er is één issue die een aankomst is en dat is wat je kunt zeggen over de uitgang van het algoritme, is het uitgang van het algoritme volledig ontdekend door de ingang of het betekent op de keuze die je maakt op de keuze van het algoritme. En dat is een een heel vreemde issue, maar je kunt het erom afzetten door een aantal ingang van het algoritme dat je altijd met het property die alle nummers die je vanuitkijken wil zijn, is onder die en dat is de set C, dat is de set, dat is de kleinste. Wat ik nu writee, is perfecte elementaire, maar het zal een beetje minder makkelijk worden om meteen te begrijpen wanneer je past twee ideals. Dit is de kleinste subset van de positieve inderdaar die er is. Een en alle AI en is onder twee operaties gesloten, namelijk multiplicatie en GCD's.  En als je op dit set kijkt, dan zie je dat alle elementen van alle X's ontdekend zijn, niet alleen ingewikkeld, meer dan één, maar ze zijn ook in de multiplicatie groep genererd door C, die ik writee als C zonder de zon, wanneer ik precies between multiplicatie en editieve groepen, die we ontdekend zijn. En als je op dit C zonder de zon, dan is dat een groep waarin deze moch prime factorisatie is waard. Dit C zonder de zon zal een basis zijn van de uitgang van het algoritme en dat is niet alleen een basis in de groeptheorie, maar ook als het eind van een basis is, zoals het bestemde set is. Dus in andere woorden, als je op de integraties kijkt, meer dan één zit in dit groep en je kijkt naar die die minimaal onderdekend zijn, dus ze proberen te zijn prime, dan is dat mijn co-prime basis en dat is een beschrijving van de co-prime basis dat is independant van het algoritme, maar het is alleen in termen van de uitgang. En iets similar zal echt zijn voor ringen, de proef wordt een beetje ingewikkeld, dus als je wilt construireer zo'n proef, dan is het adviserend dat je eerst proeft dat wat ik schrijf is eigenlijk waard. En als het niet waard is, moet je het natuurlijk modificeren en vertel het me over. En dan kun je dat proef aan de situatie van ringen transposen. Oké, dus dan is het nu tijd om te passen naar de co-prime basis algoritme voor ideals. Welke vragen? Oké, dus nu hebben we de nieuwe co-prime basis algoritme en laat me eerst schrijven wat het is supposede om te ontdekken. Dus dat is de co-prime basis algoritme voor ideals in aarders in het nummerfield. Dus de input dat is een aarder is, dus dat was lukkig hier. De aarder was impliciteerd in zee. En we hebben niet ingewikkeld in daar, maar we hebben fractieel ideals gegeven. En ze moeten niet alleen fractieel zijn, maar ook integrale zijn. Dus ze zitten in aarders. En als je de definitie van een fractieel, wel, aardersideel moet ik misschien zeggen, dan zijn fractieel aardersideels niet gebouwd. Dus als ik fractieel aardersideels binnen aarders, dat is gewoon helemaal dezelfde als gegeven non-zero ideals van aarders in de traditionele sens. 