2.3 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
dus je ziet dat ook i op de n divided by i op de n. En daarnaast is het het makkelijk om te zien dat als je op deze sequentie kijkt dan is het non-decreasing, het is zo, ja, dus je kunt hier blijven gaan en het volgt daarvoor dat r is de overheid van de union van deze ongeving sequentie van ringen en ik begint hier van 0, zelfs ik zei niet ik ga de zee op, maar ik ga de zee op, omdat ik gewoon het zeemodul? Ik zal je i op de zee op defineren zes om te zijn zee. Nu laat ik je iets vertellen over deze zee rings hier en in fact als je een x in h hebt dat is niet 0, dan, misschien neem ik het y, dan zie je dat al deze x's met deze property moeten satisfijden, x times y is in h, zodat je dan ziet dat h divided by h zit in y in vers h. Dus als mijn h finally degeneraties is, zoals al deze h's van h, als een nabeling groep, dan is dit een h. En hier hebben we een ongeving sequence van h. En ze zitten allemaal in de maximale h. Maar de maximale h, zoals een nabeling groep, is netherian. Je hebt niet infinitief sterk geïncreëerd sequenties van ondergroepen, laten alleen onderbrengen. Dus dat betekent dat deze union ververgt. En het heel plezende theorem is dat deze union eigenlijk is de bloeup van h, waarin je eigenlijk de vraag van Hartshorn vraagt, want daar bevindt hij de bloeup als een soort proge en als je de globale secties van de proge zet, dan krijg je ook een union van deze shape. Oké, dus dat is niet enthousiast. Traveel, laten we zien waarom ik een beetje kan zeggen over de proef. De proef natuurlijk is in de noten. Het is by noem een makkelijke proef, maar het wordt heel makkelijk makkelijker als je de theorem van Deidt, en Towsky, en Sassenhaus uit 1962, en deze theorem is zoals het volgt, dus ik neem R een order in K. Nou, laten we het doen. Let's assume dat R een order of full rank voor convenience. Je maakt K, je maakt K een beetje kleiner, misschien. Dus de Q van R is het field of fractions. En je maakt J een fractieel R-ideal.  Dan is de statement dat als je J naar de kracht maakt, N-1, oh nee, laten we het M-1, laten we het D-1. D betekent de grie. Dus D is de grie van K over Q, die de rank van R is als een nabelian groep. Dan is deze R-ideal invertabel, wel niet over R in general, maar over het eigen multipliering. Dat is een theorem dat er wat werk is, en dat werk is gedaan in de paper van Deidt, Towsky, en Sassenhaus, en het is ook gedaan in de noten die werden gereden door Dan van Gent. Als je deze theorem hier wilt appliceren, dan moet je je i by j te verplaatsen, dat is een idea over het eigen dring. Maar laten me de theorem verplaatsen, totdat al deze groep is. Dus dat is theorem 7. Dus ik neem ik en K als eerder. En dan is het geval dat er wat integer is. Dan is er een integer. M, non-negatief, en het is een oplebouw, het is een oplebouw, die niet meer is dan de de grie van de groep dat we kijken, dus deze x is als eerder een non-zero element van i en als je het de grie minus 1 neemt, die is de grie van de grie van K over Q minus 1, er is een integer m met de volgende groep, zoals dat voor alle non-negatieve integers n, een heeft de volgende, wat je wilt weten is wanneer de limit is gekregen en dat is een beetje trecherig, omdat het gebeurt dat twee consacrediteiten van dit sequence is gelijkbaar, zonder het tegelijkbaar te zijn als de volgende. Dus als het zo stabilisert, dan kan de limit nog niet meer zijn ontwikkeld.  Dat is heel makkelijk te geven voor eentjes van dit, misschien zal ik het een beetje meer over het in een paar minuten zeggen, maar hier krijgen we een precies beschrijving van waar je moet stoppen, want de vraag is, is dit bloot opgemaakt als de n-term in mijn sequence en de eerste n voor wat dit gebeurt is, is dit nummer m en je kunt dit testen door te bekijken of i naar de n is invertabel over het eigen multiplierring en dat is iets als dat gebeurt, dan heb je niet moeten bekijken de n plus eerst memberen meer, dat is het moment dat je weet dat je kan stoppen. Dus hier x weer is in i zonder 0. En dit theorem, wel, het is niet makkelijk, maar het volgt echt niet te veel uit dit resultaat van 1962. Dus wat ik zou willen om deze lectie te kopen met is om een soort van enlightening exemplen te geven. Welke vragen? Ja, dan luister je. Wel, ja, je kunt dat doen, maar dan natuurlijk moet je nog proeven je moet nog eens met je r komen. Je ziet in mijn theorem, er is nog geen r, ik geef een i. Wat je kunt doen is om dit te defineren om r te zijn, wel, de blow-up, en dan neem je j equal te r times i. Dat is de manier waar je de date theorem hebt. Oké, dus let me dan nemen wat exemplen en die exemplen zijn exemplen van i's van een kleine rand. En de rand van i, dat is de unieke nummer n waarin i is isomorphic tot z tot n. En i is non-zero, dus dit n is non-zero dus we hebben eerst de k's van rank 1 in welke k's i is equal tot z alpha waar alpha is een non-zero element van k star, maar dat is niet een te interessant k's want in de part van theorem 6 dat ik ben stupend genoemd om te ereren, ik zei dat ik zei dat de blow-up niet veranderd is als je i multipliert, dus je ziet dat de blow-up van i is de blow-up van z en de blow-up van i of k of of i order ik zou zeggen is equal tot de rand itself. Dus dat is een interessant k's.  Wat is een meer interessant k's is als je twee generaties hebt en ik wil echt de rank zijn om twee te zijn, dus mijn alpha en beta moeten worden non-zero elementen van k, niet alleen non-zero, maar ook linearly indipendent over de rationals. En dan zoals vooral, je kunt ook eens kijken op z times 1 plus z times gamma, waar gamma is alpha over beta, simpel divide by beta, maar natuurlijk kan je ook de andere manier doen, dus in ieder geval, dat ik ga neemt, moet je in de mind houden dat er een soort simetrie moet zijn tussen gamma en gamma inverse. En de manier waarin in dit geval je kunt computeren en beschrijven dat de blow-up kan worden uitgebreid in verschillende manieren en een is door te schrijven, dit is de reductieve polynomial van gamma. Dus let f, dat is a n times x naar n, dus n is de deel van gamma, dat is alweer twee, omdat gamma is een rationale, de rank is twee. Dus ik kijk naar dit polynomial, dat is de reductieve polynomial van gamma over, wel over z, dus ik wil dit om in de ring zx te worden reductieve, en ik wil dat gamma is zero van f. En reductieve betekent in particular dat het niet bevindt door een prime nummer, dus de content van dit polynomial f, de gcd van de coo speelt moet 1 zijn en het is heel makkelijk om te zien dat zo'n f is op de sfeer uniekly getermineerd van gamma. En we kunnen ook passen tot een homogénieuwe polynomial, dus dat is f, dat wordt y naar de n times f van x over y, dus dat is homogénieuwe van de graden n. En het is precies een polynomial geïnteresseerd door alpha, beta. Nu met al deze notatie kan ik je in verschillende manieren vertellen wat dit blow-up is equal te, in termen van algebraic geometry, als je op de spectrum van dit blow-up dan is het dezelfde als wat mensen zouden proberen, zodat er een close subscheme van de projectieve lijn wordt uitgemerkt door f. En dat is een onvermiddelbaar 1-dimensionale subscheme van dit projectieve lijn en door de content equal 1, het is niet vertical, het moet horizontal zijn en dat is wat het is. En wat het is explicitelig, wel, je kijkt naar i naar de n minus 1.  Dus laat ik mijn i naar de nieuwe i veranderen. i naar de n minus 1, dat is gewoon de directe summe van i is 0 naar n minus 1 van z times gamma naar de minus 1. Dus dat heeft een z basis van de voeten en de kracht van gamma met exponentie van 0 naar n minus 1. En dan zie je van dit dat de blow-up moet multiplijden dit ding in zichzelf, in particular heeft het de 1 te multiplijden in dit n minus 1 en dus het moet in de ring genereren door gamma. Maar dat moet niet zijn dit directe summe, want gamma moet niet zijn een algebrijke integer. Dat is iets om heel voorzichtig te zijn, maar om het in te maken en dit moet niet zijn een order als gamma niet een algebrijke integer is. Om het in een order moet je hetzelfde doen met de rollen van alpha en beta interchijn, zodat je moet readen je polynomial F terug en je moet deze intersection van z gamma en z gamma inverse nemen en dat is eigenlijk een order en in termen van de gamma en de AI kan je een perfecte explicitele basis van dit ring over z. En misschien zal ik eigenlijk zo doen, zelfs je kan ook het in de noten bekijken, want dit exemplen verwacht ik om terug in mijn lectie op zondag te komen. En wat ik zou hopen, omdat dit exemplen een algebrijk is in de rank 2 case. En de rank 2 case is in het sens kritiek, omdat ik zei dat als elke ideaal genererd door twee elementen is, dan is elke fractiele ideaal inverdijkbaar. Maar wat ik niet weet, is hoe je de case van een genereel AI te de case van twee generatoren kan veranderen. En ja, wat ik natuurlijk te mention forgotte, is dat dit theorem betekent dat het verblijf kan worden computeren in het polynomial tijd, omdat het heel straat is om te bekijken dat dit i naar de n divided by i naar de n, bijvoorbeeld voor n equal te dit value, kan worden computeren in het polynomial tijd. Oké, dus ik denk dat ik mijn vijf extra minuten heb gegeven, en ik bedank je voor je opzicht, maar misschien zijn er nog vragen. Ja, is er een goed vraag, ja? Dank je. Graag. 