Renormalization in low dimensional dynamics - Marco Martens - Lecture 03
Oké, goeiemorgen. Laten we onze renomalisatie-storij continuën. Zodat we wat renomalisatie in het geval van cirkel-diffimorphismen hebben geïnteresseerd... ...en vandaag gaan we de relatie met de topologie maken. En dan de andere dagen, die we gaan continuën met de geometrie, met de measuretheorie en met de verkeerdheid. Maar vandaag concentreren we het op de topologie. Zo wat was er gebeurd, en we hebben een cirkel-diffimorphisme. En er werden twee cases van renomalisatie. En de eerste keer was toen, ik denk, als cv, iets zoals dat, iets zoals dat. En dan hebben we behoorlijk naar het eerste return map naar deze intervall. En je ziet hier deze f en op de andere kant kun je itereren en kom terug. En dus zie je iets zoals de tweede iterate. En dan was dit onze renormalisatieintervall en we hebben dat map gewoon rescaleerd. En dan zouden we hier onze renormalisatie zien. Dus dit is de plus type en we hebben een simele foto voor de minus type waar we hier v hadden, hier c hadden en we hadden iets zoals dat. En dan hebben we renormaliseerd naar deze intervall. En dus hadden we de eerste return map op de eerste return map zitten in deze box. Dus hier hadden we al de f en op de andere kant hadden we twee iterate en we zien de renormalisatie. En dan hebben we weer een rescale in een f-niveau en we zien onze renormalisatie. Oké. Dus je ziet hier een plus type en een minus type. En dan kijken we naar de maps i, die infinitief renormalisabel zijn. En dus er zijn de maps waarin je deze proces altijd kunt continueren. Dus en dan wat je kunt doen is, je kunt de sequentie van plus en minusen schrijven. En in zo'n geval, zoals dit is de sequentie sigma n of f. Dus wat dat betekent is dat de n-renormalisatie van f is van c en f type. Dat is dus eerst een plus map of een minus map. En dan hebben we de nummers. En deze nummers gaan de topologie correctiviseren. En de nummers zijn, je count hoeveel letters er in het begin zijn, hoeveel minusen er naast zijn, hoeveel plusen er naast zijn en je countt zoals dat. Dus we hebben de sequentie a van f. En dat is de sequentie a n.  En nu hebben we een theorem en dat is de man die we vandaag gaan proeven. En de theorem zegt dat als f en g zijn 2 diviose, dus we zien dat dit de eerste keer is, dan starten we te spelen over de schoenen van de map. En dat gaat om een crosser rol te spelen. Zonder de schoenen, zal de theorem niet correct zijn. En nu hebben we de volgende. Als de sequentie of f is gelijk naar de sequentie of g, dus ze volgen, f en g, volgen precies dezelfde type van renormalisatie, al de manier, dan zijn er een homoënt, een beetje schoongekeerd. Dus 8 of f is g of 8. En dat betekent dat de system topologisch dezelfde is. Dus f en g is topologisch dezelfde als g. En dus nu zie je, wanneer we dit proeven, zie je dat renormalisatie precies de topologie van de system beschrijft. En dat is een paradijn. In een ideele situatie hebben we altijd iets zoals dit, dat de renormalisatie schijnen de topologie van de system. En zo, dit is een typische theorem die je zou willen hebben. Ja, maar we doen dat niet. De stijl, de stijl van de Rijsendepijk, dat maakt een specifiek keuze van daar. Dus je bent absoluut correct, als je over de map van de cirkel spreekt. Maar hier spreekt je van de map van de intervall. En dat maakt je wat te doen. Dus dat is eigenlijk wat je moet doen met sommige stijl van de topologie. Zo, zo. Het is essentieel uniek. Dus dit theorem maakt niet de stijl van de specifiek keuze van de topologie van de system beschrijft? Nee, nee, nee. Nou ja, het is om dit te zijn. Dus als je andere kleinere domaintert, dan krijg je andere nummers, dus je zou dat niet doen. En dus het is allemaal true in dit context. We definieren renormalisatie op dit rate. En je hoort soms dat er variations van hoe je de renormalisatie doet. Maar in de eind, het turns out, dat het allemaal equivalent is. Dus je hebt een valid vraag, maar neem het niet voor. Oké, dus laten we zien waarom dit is true. En dus het meeste punt vandaag is dat we gaan zien hoe het meeste speelt in de discussie. Oké, dus recall wat we yesterday gedaan hebben gedaan.  Dus wat is de structuur van de renormalisatie? Nou, je ziet, het was iets zoals dit. We hebben een map en een typische situatie, dus iets zoals dat. En remember, als je niet rescale bent, dan hebben we deze interval un. En het had de deur en het had de rechte deur. En dan, als je een foto van de renormalisatie maakt, dan zie je dat deze branden de l-n's iteraten van f zijn. En de andere branden zijn een verschillende iteraten van de originele map. En dus deze keer, ze zouden echt verschillend zijn, zoals in de eerste keer. En je ziet hier, we hebben de eerste situatie en hier, de tweede iteraten. En nu wat we gedaan hebben gedaan is dat je uit dat gebouw het gebouw ontbouwt. En dus en hoe het looked like, je neemt de interval l-n, je neemt de interval r-n en je koopt l-n faces. Little l-n faces, de r-n. Dus dit koopt tot de orbit van de l-n-interval tot het terugkomen. En je doet hetzelfde voor de l-n-interval. Misschien krijgt je iets zoals dit. Dus dit is r-n. Dus dit is de touwer koopt tot de renormalisatie van f. En dan introduceren we deze partijen. Dus we hebben de l-n-partijen die alle iteraten van de l-n-interval zijn. En we hebben de l-n-partijen die alle iteraten van de l-n-interval zijn. En tot het moment r-n en tot het moment l-n. En dan koopt we de hele partijen van alle intervallen. En dat was de dynamische partijen. En dan hebben we een paar basisproperies gehad. Dus we hebben de l-n-partijen gehad. En we hebben gezegd dat p-n de l-n-partijen van deze l-n-collectie zijn. Dat is soort van zoals in de foto. Dus deze intervallen zijn allemaal deze l-n-partijen, zoals je in deze foto ziet. Dus wat is verkeerd met deze foto is dat we een stack hebben gebouwd. In de cirkel zijn ze in een kompliceerde manier gesproken. En ik weet niet hoe ze gesproken zijn, maar ze zijn een soort van gesproken. En ze zijn niet gesproken. Ze zijn gesproken in een gevaarlijke manier. En secondly, als je alle van ze samen neemt, krijg je de hele intervallen. En dus deze collectie p-n is inderdaad een partij van de originele intervallen. En dus dan kun je imagineren dat... Nu, je weet dat dynamische l-n-partijen in deze l-n-collectie zijn.  En je begint hier en het gaat op. En dan returnen je terug en hetzelfde hier. En je returnt terug. Dus als je de dynamische l-n-partijen in deze l-n-collectie weet, dat betekent dat je de dynamische l-n-partijen in de cirkel weet. En dus we zijn op onze weg, kent de fact dat alle deze intervallen samen krijgen, je krijgt alles. We beginnen om het topologische model van het systeem te bouwen. Dus, laten we beginnen om de theorem te proeven. Er is één ingrediënt gevoel. Hoe de renormalisatie acteelt om torens. En we hebben dit al gisteren discussiëerd. Dus laten we het even brengen. Dus als je in de plus-case bent, dan zie je onze toren. Dit is l-n, dit is r-n. En we zien, als we in de case zijn, we hebben c en v-n. Dus we hebben iets zoals dit. Dus nu, de renormalisatie zal de eerste returnmap naar deze zijn. Dus het heeft iets, de v is om te kutten iets. En deze v liet hier. En apparaat, we moeten kutten van dit deel van de toren. En dat zal vormen, met het deel van de l-n, de nieuwe l-prens. Dus wat je moet doen is, je moet kutten van het reis van deze toren en dan op de l-n. Dat is hoe het werkt. Dus wat je doet, als je renormaliseert, je krijgt de originele l-n, een lichtere l-n. En je stek op de top van dit deel van wat je kut. En renormalisatie op het niveau van deze toren, op het niveau van deze dynamische partition, is kutten en reorganiseren. En het klopt heel simpel. En het is heel simpel. Je kut en reorganisert. Dus dat idee gaat verder l-n dan gewoon de l-n. Dus je ziet, renormalisatie op dit niveau van dynamische partitionen is simpel. Je kut en reorganisert. Ja? Ja, ja. En je weet, dus, laten we deze v hier nemen. Je ziet, mijn lijn hier, mijn lijn hier is niet een straat lijn, het is een beetje zwaar. Dus wat je echt doet is, je neemt je v-poort en maak het. En misschien krijgt het hier. En je maakt het. Misschien krijgt het hier. Je maakt het. Het is misschien hier. Dus het is iets zoals dit. Dus misschien moet ik de foto een beetje wilder maken. Nu doe ik dat niet. Ik maak het niet wilder.  Ja? Ja, je bent goed. Dus deze foto is puur topologisch. Op dit moment denken we niet over de lengte van de intervallen. Op dit moment, zoals in 1 minuut, we willen. Maar op dit moment is het een puur schermatische foto. En we weten niet meer of we deze intervallen ook de lengte zijn. Ja? Nee, je weet, dat vliep. Dat vliep. Maar het is niet zo belangrijk. Dat is een soort van vertrekking. Een lot van informatie is niet belangrijk. Dus renormalisatie is bezig van een lot van dingen. Automatisch. Dus dat is goed. Je moet niet veel weten. Oké. Dus nu weten we hoe renormalisatie ergens op de touwen is. Het is zoals je kunt en je reorganisert. Dus dit is wat renormalisatie doet. Dus en nu, als je hebt. Dus nu gaan we beginnen te werken op de constructie van deze conjugatie. En dus, als F en G dezelfde letters hebben, de nummers, dat betekent dat als je de renormalisatie voor F doet, je moet op het juiste kant op dit moment kutten. Maar omdat G dezelfde letters heeft, voor G ook moet je op dezelfde kant kutten. Dus de kutting en reorganisatie voor F en G zijn dezelfde. Het koopt precies parallel. Je renormalisert F, je bouwt deze touwen. En op hetzelfde moment bouwt je de touwen voor G. En de manier die koopt, is combinatoraal exact dezelfde. Dus nu gaan we dat gebruiken om deze conjugatie te bouwen. Dus dit is een inductieve constructie. Dus we gaan deze conjugatie constructen. En laten we zeggen dat we de partitie voor F hebben en we de partitie voor G hebben. En laten we suppos dat we de volgende hebben. Dus suppos, dus dit is de inductieve hypothesis. Suppos dat er een hn is, van de intervall naar de intervall, die is peacewise f fine en a homeo. En we gaan een foto maken. Laten we eerst de property nemen. En dan zie je, ik zal een foto maken wat dat betekent. Dus vooral, dit is één property. En suppos dat hn van de i-iteren van de laatste deel is exact de i-iteren van de laatste deel van G. Dus de correspondeerde deel van de touwen zijn klaar samen. En hetzelfde als als je de image van de rechte deel van de echte deel zal de correspondeerde deel van G zijn.  En dus de foto is, en de foto die je krijgt is, dus hn, dus in de touwen is iets zoals dit. Je hebt de touwen voor F, dit is de F-part. En hier hebben we de touwen voor de G-part. En als je de i-intervall hier neemt, zal dit hier bemerkt worden naar de i-intervall hier. En als je de j-intervall hier neemt, zal dit hier bemerkt worden tot de j-intervall hier. Dus de touwen zijn gewoon metgemaakt. En omdat de nummers allemaal dezelf zijn, de touwen voor F en de touwen voor G zijn van dezelfde hoogte. Dus je weet hoe je de stukken uitgaat. Dus dit is een schermatische foto in de touwen. Maar nu weten we dat deze stukken in de touwen door de intervall in een vreemde manier zijn gehoord. We weten het niet. Maar laten we zoeken over de induktie dat deze identificatie je vaak in de touwen ziet eigenlijk loopt naar een vreemde en hoogte. Dus laten we een foto maken. Ah, dus dan gaan we deze hebben. Dus hier heb je een foto van hn. En laten we zeggen dat we hier een i-intervall in b hebben. Laten we zeggen dat het f i van rn is. En laten we zeggen dat we hier soms de intervall g i van rn hebben. Dus laten we een foto maken. Dus je loopt deze dingen zoals deze samen. Dus je neemt de correspondeerde stukken zoals deze en deze. Je kijkt waar het is en je kijkt waar de andere is en je maakt een fine manier. En laten we zoeken met de induktie dat als je deze constructie doet, krijg je een homomorphisme. Dus het is een stukje. Dus alle stukken die ik heb gemaakt, zoals Wiggely, zijn fine stukken. Maar nu, laten we zeggen dat we hier zijn. Laten we zeggen dat we hier zijn. Dus deze intervall in de touwen correspondeerde en deze intervall in de touwen. En de correspondeerde stuk hier correspondeerde naar deze intervall in de touwen. Oké? En deze identificatie die we zien hier is veranderd door deze fine manier. Dus nu gaan we renormaliseren. Dus als we weten wat we moeten doen. We moeten hier iets kutten en we moeten de orbit volgen. En we moeten hier hetzelfde doen. Je moet de orbit volgen. En dan zie je dat deze intervall hier is kut in twee stukken.  Dus er is een welgevond kuttingpunt. En er is een welgevond kuttingpunt hier. Dus als je ze metstelt. Dus zeggen we we hebben een kuttingpunt hier en de andere hier. En je ze metstelt. En je doet dit. Dat natuurlijk produceert de volgende hm plus 1. Dus door de touwen op hetzelfde moment bevindt je deze homomorphismen. Dit zou een horreble object zijn. Maar deze stukken zijn fijn. Hormomorphism. Nu zie je dat dit konjukt. Want als je als je op de volgende niveau maakt hier. Dat correspondt. Je maakt naar de volgende niveau hier. En dus zie je dat de dynamiek is gepreservd. Dus het begint te lijken dat je echt constructeerde konjukt. Oké. Dus en nu laten we de propositie doen. En we verwelden dat dit een exercice is voor deze avond. Laten we zeggen de mesh van PN. En nu komen we naar Stefano's vraag. Dit is de maxima van en de lengte van deze intervallen in de partij. Dus je neemt de grootste. En nu de propositie zegt. Als de mesh van PNF en de mesh van PNG gaat naar 0, dan hn converges naar h en deze h is een homomorphisme. Dus als alle spieces worden kleiner en kleiner, dan dan begin je te brengen, meer en meer careful. En het converges naar homomorphisme. Dus en hf is gfh. Dus als je deze conditie hebt je moet deze conditie hebben. Je moet deze conditie. Dan heb je de conditie gebouwd. En ik zou zeggen waarom het niet het is makkelijk om dit te zien. Je moet het een beetje denken, maar ik zal het niet zeggen je moet het in de exercice doen deze avond. En dan krijg je de voeding hoe deze dingen je krijgt de beter voeding voor hoe deze deze constructie gaat. Oké, dus dat betekent als we willen en dus er is iets gebeurd er iets gebeurt nu. Dus zo ver naar deze propositie we waren alleen doen combinatorisch kutting rearrenning en het was alleen topologie. Dus op dit moment we hebben een geometrische conditie nodig. Dus dit is een geometrie. Dit is een geometrie. Dus als het eerst we beginnen te gebruiken geometrische informatie. En het is een conditie en het gaat uit dat je moet zoals twee verschillende mesh te laten zien dat dit echt is. Dus de schoonheid zal in deze conditie proeven.  En nu we krijgen dus wat is er meer voor ons om onze term te proeven voor vandaag is de conditie proeven van deze propositie. En dat is een soort van de nachtmaar van mensen die renomaliseren. Dus dit is waar veel van de schoonheid gaat. Niet dat er andere schoonheid is, maar maar dit is een knie ingrediënt en het altijd zocht. En het heeft een naam. En je hebt het al gezien. Al is het een schoens onder de naam. Ops. Precies. En weer, als je iets op renomalisering luistert op wat moment zal dit start te zien. Oké, dus wat is dat? De vraag is als je kijkt op de consecutive renomaliseren en de vraag is, is het gebouwd? Dus je kunt zeggen als je kijkt op de C1 norm van deze mappen als je de supremum van dit gaat over n de vraag is is dat gebouwd? Dus dit is als je begint te renormaliseren en je wilt zien dat deze dingen niet veranderen en dat staat in een mooie, compacte familie. Dat is dat is de vraag over apiorebouwen. Oké. Dus laten we zien hoe je dat in de circuit kent. Oké, dus dit is als je iets bijzonder krijgt we moeten iets weten over distorsion zoals je moet denken over als je een mappen zoals dat hebt zoals de identiteit en dat is iets niet distorsion allemaal en dus als je een punt neemt op een periode van de manier, dan zal de mappen op een periode van de manier zijn. Als je dat vijf uur neemt dan zal de mappen op vijf uur neemt. En dus niets is distorsieerd, alles voelt in de juiste plek. Dus dit is geen distorsion allemaal. Dus een slechte keuze, veel distorsion en je moet denken over een mappen zoals dit dat is iets zoals iets zoals dat. En dit is iets horrebel. Want je ziet, als je een punt neemt hier dan zal het in dat punt neemt. Dus het is zoals de plekken zijn volledig distorsieerd van waar ze werken. En om te laten zien op je gebouwen zal hetzelfde zijn. Je zal je later zien. Laten we proberen uit te zien dat we zien dat onze kleine mappen deze kleine hoogschaven hebben. Dat is het task we moeten we moeten doen. En er is een mooie ingrediënt voor dat.  Laten we laten zien wat je ziet. Dus hier zie je dat de derivatives heel groot is en hier zie je dat de derivatives heel klein is. Dus als je op de ratio in een punt en de ratio in een andere punt en je neemt de supremum en je neemt, laten we zeggen, de supremum van dit over x en y en dit zal heel groot zijn. Dus de ratio van de derivatives maakt hoe dit gaat. Ja, als je het wilt. Je kunt dat doen. Oh, het gaat rond. Like that. Exchanging things. Reorganising things. We renormen de language nu. Oké. Don't do that too much. Oké. Oké, dus je ziet, dus de ratio van derivatives plays a role. You have to control ratios of derivatives and to do that there is a thing called nonlinearity. And so let's take a map from the interval to the interval and let's say it is twice differentiable. Then the nonlinearity of f is a function and actually some measures you will see a little later and the formula for the thing is very simple. It is just a second derivative divided by the first derivative and it is a formula. If you look at the log of dfx divided by the log of dfy that are things we want to control and now let's take the log. You will see that it is just the integral of x2y. It's like, you know, you know how to integrate this. It's like that. And so this is a key formula. And so in this formula you see and we wrote this as a function but it is actually a measure. You should sort of think about it as a measure. A measure which describes how things are distorting on a very small scale. So you use it so I can measure. It's all very simple but you will see in a second it will play a crucial role. Ok, so now we know what is distortion and nonlinearity for a simple map. So now let's look at distortion of iterates.  So let's say we have an interval en we have some map here and let's say that it's nonlinearity is an l1 function so we relax a little bit the c2 is an l1 function and let's say that we have a little interval here i and this will be jumped around for a couple of times. Maybe here. And what we want to have is the antiterate of i to fn of i is a divion so it wasn't folded on the way. And now what we want like to know and it is all very simple so the log of dfn of x divided by the log of dfn of y where you take so x and y somewhere in in our chosen interval let's take the absolute value of that that will be bounded by the integral of the absolute value of our nonlinearity. 