3.3 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
De vorige algoritme, dus dat is de algoritme op de gedeelte van de zwarte bood, de ingang was r en q daar, dus ik ga het aan A en r, pardon, p, het zou prime zijn, dat is de prime dat we met met, dus dat verplaatst A door een A dat is maximaal op p, dat satisfies de property op de gedeelte van de zwarte bood, en wat je ook doet is omgeven alle factoren p van r, dus nu de kleine prime factoren zijn gegaan, in particular de gedeelte van r, satisfies deze laatste implicatie, dus gewoon om wat komend te geven, nu hebben we voor alle, voor alle p dat divide q en prime en geen meer dan de degree, voor alle p hebben we dat p niet divide de index van A in oké meer, dus de kleine prime zijn helemaal normaaliseerd, er is geen feest dat we nog nooit hier een kleine p meer hebben, de A zal natuurlijk alleen in de algoritme groeien, dus dat is de eerste fase in de algoritme en het is misschien van interesse om te mention dat in het exemplen op kwadratische voedsel, dit is alles dat de algoritme doet, de tweede fase dat ik ben om te zeggen, in de kwadratische voedsel, niets zal gebeuren aan A en niets zal gebeuren aan r, het is echt in de kwadratische voedsel alleen de prime nummer 2 dat er werk nodig is, dus in deze tweede fase, we moeten een beetje meer behoorlijk zijn dat er hier gebeurt, dus we gaan eerst compuut A-decker, dus A dat is mijn deur A en deze A-decker, ik denk dat ik het op een punt ontdekend ben, maar de definitie is gegaan, dus je kunt dat in je noten checken en je ook compuut deze finiteberien groep, je kunt dat doen met de algoritmes voor finitie generatie de berien groepen en je compuut het r-torgen en dat r-torgen is explicitelijk gegeven door A-decker intersecteerd met 1 over r times A modulo A en dat moet je reminderen van iets wat je vanaf zag, laten we me gewoon snel schrijven, als je je vanaf zag, wel met een r, zonder A, je zag deze ding en dat was de nilredekel van de ring r mod p r en je ziet dat deze dingen echt dezelfde zijn, als ik r-torgen gelijk of A en ik r-torgen gelijk of A en r-torgen gelijk of p, dan zie je dat deze twee groepen isomorphisch, want je hebt er gewoon de divide van p everywhere, dus dit is waar we echt met deze r-torgen in de propositie die ooit op de deelste blijkbord zijn.  Oké, dus hier hebben we een finiteberien groep dat we kunnen computeren en op deze finiteberien groep gaan we de projectiviteit algoritme opgeven, opgeven de algoritme van deze fact om h equal dat een finiteberien groep dat je gewoon computert en als je zo hebt gedaan dan heb je een nummer d gegeven, dus dat geeft d divide de opgeving van h d divide de opgeving van h, het is ook opgeven door alle prime factoren van de opgeving, maar de opgeving van h is zeker op de meeste r in device r omdat de hele groep is gebouwd door r en wat je nu doet is dat we r-d verplaatsen, dus als h niet al projectief is, dan zal we zeker reduceren r hier, r wordt kleiner en nu wat we doen is dat we computeren, we gaan terug naar dit groep, a dagger intersecten met 1 over r a en het is een sad fact dat je moet re-computeren, omdat je r's hebt gegeven, maar het is een subgroep van de vorige, als je uit de a gaat, dus het zal niet te veel extra werk zijn en dan is dit een fractieel a idee en nu doen we niet wat we hier gedaan hebben, deze multipliering, omdat we niet weten dat dingen square 3 zijn, maar we verplaatsen het en dit verplaatsen we b en wanneer het verplaatsen is, hebben we een beter ring, wel accepteerd is het dezelfde natuurlijk, dus als b is equal te a, dan zijn we gedaan, we beperken en dan natuurlijk er is wat werk te worden gedaan, namelijk dat b, wel de nu, de a, die is equal te b, dat het alle vondige condities ontvangt en als b niet a is, dan weer, want dit is dit verplaatsen, het zal meer dan a zijn dan wat we doen is dat we verplaatsen a door b, dus dat is onze nieuwe a en ga terug naar de beginting van mijn tweede fase, die hierover is, dus dat is de hele algoritme en wel, veel commenten zijn nodig, maar misschien zijn er vragen, ja, hoe doe ik computer, dus als je een Feyenoord-Abelian groep hebt, deze a mod a en dan kan je het zo schrijven en dat verplaatsen is computeren de a door in een cyclic groep en dan doe je een paar ccd en dingen, ja andere vragen, oké, nu laten we 5 extra minuten, ah, fantastisch, dus laten we je vertellen wat je moet doen nu, namelijk proeven deze theorem en als je zitten en je wilt proeven deze theorem, dan komt het uit dan dan heb je prijs die divide is alleen eens dan alles gaat zoals het moet en er zal zijn, de prijs zal niet in de index zijn, dus de implicatie in deze aero van de link naar de rechts dat is gehouden door wat ik je al vertel en in feite alles andere is ook klaar met een heel groot acceptie en dat is deze aero terug, als er een heerlijke square is in mijn a, dan is het echt die prijs creëerder en laat me niet alle details van die proof geven, maar laat me vertellen wat de genereel logisch van die proof is en dat logisch is als volgers die aan het einde van de algoritme, deze a en deze r hebben een paar goede property en de eerste is dat deze a dagger modulo a, ja, dus square bracket r, ja, dat zal zijn, is projectief over z mod a z en het is essentieel dezelfde groep, maar lift het terug naar karakteristiek 0, dus dat is deze groep, deze groep, omdat de blow-up is gelijk naar a, dat betekent, dat is eigenlijk equivalent naar deze groep, het is invertabel en deze twee en dan natuurlijk ook, ik moet je vertellen dat je deze belangrijk property hebt, dat r is alleen divisabel door grote primes, primes groter dan de deel en deze drie property, de projectiefheid en de invertabiliteit en de fact dat er nog geen kleine primes zijn, dat enable je te schrijven naar een heel precies structuurtheorem voor wat de ring a lijkt als je het volledig op een prime liefde over een prime nummer divijt R en de structuur van deze ring is erg reminiscent van de structuur van de tamelijk remifiële extensies van Gp. Je moet eerst een een remifiële stuk hebben en dan draaien, dan neemt je een route, je bezoekt een route, niet van een prime element, maar van een unit tijdens dat nummer R, die niet een prime locale is en van die explicitele beschrijving van wat deze volledige locale ring lijkt, je blijft gewoon je ogen open en je deduurt dat deze aroo moet zijn, je kunt een groter ring nemen in dezelfde algebrein over Q, als P2 divijt R. Maar voordat we in deze technieën gaan, zou ik je zeggen over een ander speciaal gegeven in de paar minuten die zijn gegeven waarin de algoritme beheeft in een manier dat is heel simpel naar de manier waarin het beheeft in de quadratieke gegeven dat ik je gehoord heb. Dus dat is de volgende situatie. Ik neem F in ZX, moniek en irreduciële, laten we zeggen van de gradie D, laten we het meer dan 1 nemen, dus denk van de X square minus A en R is Z alpha met F alpha is 0, dus dat is ZX modulo F en je begint dat als ik uit de ideale generatie van Fprime of alpha, Fprime de derivatives, dit is essentieel dezelfde als R modulo R. Assume dat dit, wel, ik zie het als nabelian groep, heeft een element van de aarde geluid, dus de aarde van deze groep is de discriminatie van F in absoluut. En ik vind het een element van de aarde geluid als de grootste divisor van die aarde van de discriminatie, Fprime als het duidelijk is dat de aarde van die aarde op de verkocht is. En dan, de deelnissing is dat het, zoals in de quadratieke gegeven, het algoritme stopt na de eerste stage, het draait uit, oh, ik vergeet om te zeggen wat Q is, dus ik neem q, laten we zeggen, de discriminatie in absoluut waarde. 