3.2 Algorithms in algebraic number theory| Hendrik Lenstra, Universiteit Leiden
wat een kleine r is. De uitgang is a en een kleine r. En ik kan je zeggen wat ze zijn. Namelijk schrijf ik a als de kracht van 4, dus k is een non-negative vintagier, times een nummer waarin ik het noem. B waarin 4 niet divide. B. En dan pretent de algoritme dat B is square 3, dus de uitgang dat er a zal zijn, dat is, wel exact de formula van wat ik zei dat iedereen ze weet. Dus dit is als B is 1 modulo 4 en dit is waarschijnlijk. En de kleine r, wel, dat is de absolute value van B, als B is odd en de absolute value van B over 2, als B is even. En dat is exact correct, als B begint te worden square 3. En als B is niet square 3, dan kan de bad square device worden odd primes. En je kunt gemakkelijk vervelen dat het de groepen is die ik in het Theorem heb gegeven. Dit kan worden generaliseerd en misschien heb ik tijd voor het om polynomiel te verplaatsen, x square minus a dat bestaat, een goede conditie. Oké, dus laat ik me dan eerst continu met wat traditionele wisdom hier, dat je hier misschien wel bekend bent. En dat bevindt de lokale kase, de lokale kase, de kase die q is een prime nummer. Dus, let's start over hier. Dus dat is een propositie en dat is een criterion voor p om deze index te divijden. Dus voor p's, waarom de p prime nummer p is, is het echt niet een trivialiteit. Dus ik neem k en r als voor en p prime. Dan is het statement dat p de orde van oké modulo r divijt. Dus p is echt een prime dat bedoelt werk. Dat is precies equivalent naar deze ring dat ik wil kregen waardoor r is verschillend. Dus mijn primary piek van dat finitiebelende groep is niet een trivialiteit en dat is ook equivalent naar het multipliering van een aantal ideeën om te zijn groter dan r. Dus wat doe ik van dit? Nou, de radicule van het ideeën genererd door r dat kan worden geëxpresd in twee manieren.  De definitie is gewoon dat het de zet van elementen van r voor die er een positieve inderder is, zoals de zet van dat element, de zet van de zet van dat element, ligt in p r. En de tweede formula die je kunt weten van commutief algebouw is dat het is de intersection van de prime ideeën van r die kleine p hebben. En die prime ideeën zijn maximaal en dus is het niet alleen de intersection, maar ook het product van die ideeën en dat is waarom dit is waarom. En ik wil niet de proef geven, omdat het klassiek is, veel van je weet het al en het is ook bevroegd in de leksanode. Dus dat is hoe mensen vaak vertellen deze piek als ze p weten, maar dan de vraag is wat, hoe moet je dit radicule vertellen? En dit radicule kan worden verteld door een of twee formula's en ik moet ze beide moeten, dus ik rijd ze beide af. Dit radicule, als ik het modulo p neemt, dan is het nilradicule van de finite ring r modulo p. En dat nilradicule kan als de kernel van een linieer map computeren. Het is de zet van y's in r mod p r met een property dat als ik een voedigheid van de Frobiniës op de r modulo p ben, dan is het zero. Dus hier t is een nonnegatief integer waarin p tot t is at least de deur van mijn nummerfield. En je ziet dat ik een n daar kan rijden, maar n-powering is typisch niet een linieer map, maar p-powering, en ook als ik het t doe, is een linieer endomorphisme van deze vector space. Je kunt het gewoon computeren op de basis elementen en je kunt het in de kernel keren door technieken van een linieer algebra en daar kun je weten wat jouw radicule van p r is. Dit is een formula dat voor elke prime nummer is valid, maar het heeft de drawback dat als je het probleemt om nummers zoals q dat niet prime of dat is eigenlijk niet prime, dan, wel, q-powering, als q niet een prime nummer is, heeft modulo q echt geen goede property die je kunt opzetten, dus dat maakt deze formula heel gebruikbaar als je niet werkt met prime nummers.  Maar dan kun je de tweede formula gebruiken en de tweede formula is de volgende deze radicule van p r. Als je het modulo p neemt, is het weer een soort van trace-radicule en dat kan worden uitgebreid door te zeggen dat als je kijkt naar de elementen van r die ook in p x deze radicule liggen, deze duwel, deze polaratis, dan krijg je exact deze trace-radicule, zonder dat de trace-radicule niet de nil-radicule is, maar dat is de nil-radicule als er geen wildheid is en ik garantieer dit door deze p te restriceren om meer te zijn dan de duwel en dat is een formula dat je kunt gemakkelijker evalueren in een polynomiale tijd en dat is ook perfecte betere voor nummers q die niet precies prime zijn, maar niemand zal zeggen dat in dat geval je een nil-radicule krijgt, in fact, je zal niet een nil-radicule krijgen, lokaltijd op de betere prime waarin p2 divide je q, maar uiteindelijk krijg je iets, dus dat is een propositie dat ik wil voorzien en dat kan worden gevonden in de klassieke literatuur en deze klassieke literatuur, misschien even na drie dagen, ook inkluitselektie-noten.  Welke vragen over dit? Oké, dus ik ga nu naar het punt dat ik wil sketchen, wel, om eigenlijk deze algoritme te beschrijven en omdat van deze conditie op p de kleine primes nodig een separate bedrijf, dus wat ik eerst ga doen is je een algoritme geven in het speciaal geval dat p is een prime nummer en we moeten gebruiken dat algoritme alleen voor kleine primes, maar het algoritme als het stijgt is ook geweldig voor grote primes, dus dat is de algoritme in het geval, als q een prime nummer is, wat ik proberen p, en je moet bewaren van de fact dat als q een prime nummer is dan r zal niet bewaren van de square van een prime, dus dat betekent dat voor een prime nummer we deze ring echt computeren, lokaal kunnen we onze probleem kunnen zorgen, dus hoe gaat dat? Welk algoritme, dus we hebben input r en k en q is p en we moeten a bewaren in kapital a, r zal 1 zijn, dus voor de uitgang moet ik niet bewaren over r, ik kan ook p nemen dat er geen verschil is, maar ik moet starten van a equal tot r en dan doe je dat je de radie van p a computert en je doet dat wel eigenlijk, je kunt altijd het doen met de eerste en dat is wat we moeten doen met onze applicaties en p is klein, maar als p ergens te zijn, kan je ook picken, de tweede, je computert deze radie en je computert de multiplierring van de radie, die ik koei b, als b is equal tot a, dan kunnen we de propositie ontdekken en de propositie vertelt ons dat we gedaan zijn, dan termineren met uitgang a en r is equal tot 1.  En als b niet a is, wel, dit inderdaad heeft a, dus dan is het groter dan a en de index zal er een p zijn, dus b is echt zitten tussen a en de ring dat ik computert, dan replaceer a van b, dus dat is mijn nieuwe a en je gaat terug naar deze deel van de algoritme en je continuer en dat is een polynomial tijd algoritme dat computert, dus naast het eind, we hebben wel a, natuurlijk 1 en a is echt de p-p, zo te zeggen, van de ring van winters en ik, ja, wel, ik denk dat in dit geval, het is eigenlijk dezelfde, maar ik denk dat je het kan doen, wel, let me niet neem je tijd te denken over dit, bedankt voor je vraag en sorry voor niet te kunnen geven een precies antwoord op dit punt, oké, dus dat zal een van de ingrediënten van de meeste algoritme zijn en voor de meeste algoritme ben ik nodig wat helpen, wat auxilieële algoritme over de finitiebelende groepen, dus let me spelen, een klein tijd praten over dat probleem, dus als ik een finitiebelende groep heb, dan kan ik het als directe aantal arme van descelige groep van een bezouke aitor, I, Dus als dit een finitiete pendeliënte groep en ik maak e voor het woning, het woning van een finitiete pendeliënte groep is het Het is de laatste positieve interruptie die de hele groep aansluit, die is de LCM van deze DI. Dan is het klaar dat H een modul over de ring Z mod Easy is. Een modul over Z mod Easy is niets, maar een miljoen groep aansluit door E. En ik wil deze H niet projectief zijn, dan H is een projectief Z modul of Easy modul. En het betekent wel of je al weet wat projectief betekent of niet. Dit zal een theorem of een definitie zijn. Het is projectief, zelfs alleen als voor alle deze DI. DI is wat mensen genoemd een unitair divisor van E, dat betekent dat het co-prime door de co-planteren divisor is. Dus als je weet wat projectief is, dan kan je dit vervelen. En als je dit niet kan vervelen, dan vergeet je wat projectief betekent en je dit als een nieuwe definitie. En het is klaar dat de projectiefheid kan makkelijk worden testen.  En het is ook makkelijk om te laten zien dat het indipendent van de manier van schrijven als een aantal cyclic groepen. En het is belangrijk te realiseren dat dit automatisch is. Nou, als E is een prime nummer bijvoorbeeld, dan heb je vector spaces, alle modules over vector spaces zijn projectief. En hetzelfde is true als E is niet alleen prime, maar eigenlijk... Nou, niet echt prime, maar alleen square-free. Als E is square-free, dan hebben alle divisor van E deze property. En als mijn nummers square-free zijn, dan is deze projectiefheid automatisch. Maar als er deze secret squares of primes in mijn nummers zijn, dan in order om te kunnen proeven wat we echt willen hebben met projectiefheid en dat is realiseerd door een algoritme, hier is een fact dat er een polynomial-time-algorithm is, pta, dat op de ingang deze h compuut een integer d en deze integer d, dat is een divisor van E en het betekent voor onze purposes dezelfde informatie als E in het sens dat het door de radicale van E is, dus d en E hebben dezelfde prime-factoren en additionally, als ik de d-torgen van h restrikt, dus h-square-bracket d, dat is de subgroep van h, volgens alle elementen van d, is hd zal projectief worden over z mod dc. Dit is een algoritme die heel makkelijk kan worden opgegeten van wat ik op de Monday op de co-prime-base-algorithm heb gereden en als je het niet kunt bezoeken voor jezelf, dan geloof ik dat dit ook zit in de noten in de laatste sectie van de noten, sectie 7 en dat is iets dat ik gebruik in het algoritme. Zeg, kan je het nog eens zeggen? Dat is 8, dat is 5, dat is 5, dat is 5. Speciële in dat manier? Nou, zelfs als het niet is, kan je altijd met een deterministische polynomial-time-algorithm compuut d, i met deze property. Dus in ons geval zou het niet kunnen worden gegeven zoals dit, dus je moet er wat computatie erin doen. Oké, dus laat ik dan gebruiken van deze ingrediënten voor het algoritme die achter Theorem 8 is en het betekent van twee stages. 