Algebraïsche getaltheorie
In de wiskunde is de algebraïsche getaltheorie een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen. Over het algemeen beschouwt men in de algebraïsche getaltheorie ringen van algebraïsche gehele getallen  in een algebraïsch getallenlichaam  (dat wil zeggen een eindige uitbreiding van de rationale getallen ), en door de eigenschappen van deze ringen en velden (bijvoorbeeld factorisatie, idealen, velduitbreidingen) te bestuderen. In deze context hoeven de bekende eigenschappen van gehele getallen (bijvoorbeeld unieke factorisatie) niet meer op de gaan. De verdienste van de gebruikte theorieën - Galoistheorie, groepcohomologie, groepsrepresentatie en L-functies - is dat gebruik ervan het mogelijk maakt voor deze nieuwe klasse van gehele getallen de orde gedeeltelijk te herstellen.

Basisbegrippen

Unieke factorisatie en de ideale klassegroep  
Een van de eigenschappen van  die niet hoeven te gelden in de ring van de gehele getallen  van een algebraïsch getallenlichaam , is die van de unieke factorisatie van gehele getallen in priemgetallen. De priemgetallen in  zijn gegeneraliseerd tot onherleidbare elementen in O, en hoewel de unieke factorisatie van elementen van O in onherleidbare elementen in sommige gevallen (zoals voor de gehele getallen van Gauss ) kan opgaan, hoeft dit niet zo te zijn, zoals in het geval van , waar 
. 
De ideale klassegroep van  is een maat voor in hoeverre de unieke factorisatie van elementen niet opgaat; in het bijzonder is de ideale klassegroep triviaal dan en slechts dan als  een uniek factorisatiedomein is.

Zie ook
Langlands-programma
Iwasawa-theorie