Differentieerbaarheid
Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. De term afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Differentieerbaar in een punt
Een functie  met als domein  heet differentieerbaar in een punt  als de volgende limiet bestaat: 

Deze limiet wordt de afgeleide waarde van  in  genoemd.

Meestal zal  een deelverzameling van de reële getallen  zijn. Het quotiënt en de limiet blijven echter hun betekenis houden in (delen van) de complexe getallen ; in dat geval heet de functie complex differentieerbaar als de limiet bestaat.

Als  differentieerbaar is in , is  automatisch ook continu in .

Differentieerbare functie  
Een functie  die in ieder punt  differentieerbaar is, heet een differentieerbare functie. De functie die in ieder punt  de afgeleide waarde van  als functiewaarde heeft, heet de afgeleide functie  van . Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling , wordt ook wel complex analytisch of holomorf genoemd. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de functietheorie.

Voorbeelden 
De functie  met domein  is niet (overal) differentieerbaar, want de afgeleide in  bestaat niet.

De functie  met domein  is wel differentieerbaar. De afgeleide functie is .

Meer dimensies
Het begrip differentieerbaarheid kan worden gegeneraliseerd tot meerdimensionale functies van meer dan één veranderlijke

Meerdimensionale functies
De uitbreiding voor  (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in . De functie  kan geschreven worden in termen van componentfuncties

en  is differentieerbaar dan en slechts dan als elke  afzonderlijk differentieerbaar is.

Meer dan één veranderlijke
De uitbreiding voor , functies van meer veranderlijken, ligt minder voor de hand, omdat het niet duidelijk is wat de limieten betekenen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. De functie van meer veranderlijken  heet in het punt  partieel differentieerbaar naar de -de veranderlijke , als de functie

(gewoon) differentieerbaar is in . Merk op dat elke  een functie is van  naar . De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke heet partiële afgeleide van  naar de -de veranderlijke, genoteerd als

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle  veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

De functie  heet totaal differentieerbaar in een punt , als er een lineaire afbeelding

,

bestaat met de eigenschap:

Daarin stelt  de bekende euclidische norm voor. Verder is  een vector in , waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding  heet de (totale) afgeleide van  in de vector . In het geval  is de lineaire afbeelding de vermenigvuldiging met het getal .

Als  totaal differentieerbaar is in  is ze ook continu in  én partieel differentieerbaar in elk van de  veranderlijken afzonderlijk. De lineaire afbeelding  kan worden voorgesteld door een matrix, de jacobi-matrix , met als elementen de verschillende partiële afgeleiden van  in :

,

Waarin alle elementen in het punt  geëvalueerd moeten worden:

Merk op dat voor "gewone" functies op de reële getallen totaal differentieerbaar hetzelfde is  als differentieerbaar.

Afgeleide