Continue functie (topologie)
In de topologie en aanverwante gebieden binnen de wiskunde is een continue functie een morfisme tussen topologische ruimten. Intuïtief is het een functie  waar een verzameling van punten dicht bij  altijd het beeld van een verzameling van punten dicht bij  bevat. Voor een algemene topologische ruimte betekent dit dat een omgeving van  altijd het beeld van een omgeving van  bevat. 

Dat houdt in dat in een metrische ruimte, zoals de reële getallen, de punten binnen een gegeven afstand van  altijd de beelden van alle punten binnen een zekere afstand van  bevatten; dit wordt geformuleerd in de ε-δ definitie.

Definities 
Er bestaan verschillende equivalente definities van een topologische ruimte, en dus zijn er ook verschillende equivalente manieren om een continue functie te definiëren.

Definities met open en gesloten verzamelingen  
De meest gangbare definitie in de topologie van continue functie is als functie waarvan de originelen van open verzamelingen ook open zijn. Vergelijkbaar met de formulering in termen van open verzamelingen is die voor met gesloten verzamelingen, die stelt dat de originelen van gesloten verzamelingen ook gesloten zijn.

Definitie met omgevingen 
Een functie  van de topologische ruimte  naar de topologische ruimte  heet continu in , voor enige , als voor elke omgeving  van  er een omgeving  van  bestaat zodanig dat . Als  continu is op elke , dan zeggen we simpelweg dat  continu is.

Hoewel deze definitie ingewikkeld lijkt, wordt hier intuïtief beweerd dat hoe "klein"  ook mag worden, wij altijd een , met daarin , kunnen vinden die daarbinnen wordt afgebeeld. 

In een metrische ruimte zijn de open ballen, rond  en  de omgevingen. Dit leidt tot de standaard ε-δ-definitie van een continue functie uit de reële analyse, die ruwweg zegt dat een functie continu is, indien alle punten dicht bij  op punten dicht bij  afgebeeld worden. Deze omschrijving heeft alleen betekenis in een metrische ruimte, waar een begrip afstand is gedefinieerd. 

Is de beeldruimte een Hausdorff-ruimte, dan is  dan en slechts dan continu in  als de limiet van , als  tot  nadert, gelijk is . Op een geïsoleerd punt is iedere functie continu.

Topologie