Maat (wiskunde)
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intuïtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van   toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de reële getallen is zijn lengte met de waarde 1.

Niet iedere functie die een niet-negatief reëel getal of de waarde oneindig toekent aan de  deelverzamelingen van een verzameling, kan fungeren als maat. Een belangrijke eigenschap van een maat is de sigma-additiviteit, die stelt dat de maat van de vereniging van een rij disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. In het algemeen is het echter onmogelijk om op consistente wijze een maat te associëren met elke deelverzameling van een gegeven verzameling, en tegelijkertijd ook te voldoen aan de andere eisen die aan een maat gesteld worden. Dit probleem werd opgelost door een maat slechts te definiëren op een geschikte deelcollectie van alle deelverzamelingen; de deelverzamelingen waarop de maat wordt gedefinieerd, worden meetbaar genoemd. Zij dienen een sigma-algebra te vormen, wat betekent dat de verenigingen, doorsneden en complementen van rijen van meetbare deelverzamelingen ook meetbaar zijn. Niet-meetbare verzamelingen in een euclidische ruimte, waarop de lebesgue-maat niet consequent kan worden gedefinieerd, zijn per definitie zo complex dat zij bijna onbegrijpelijk zijn, er is in zekere zin een ondoorzichtige mix van de verzameling en zijn complement. Men kan stellen dat hun bestaan een niet-triviaal gevolg is van het keuzeaxioma.

Maattheorie werd in opeenvolgende fasen in de late 19e en de vroege 20e eeuw tot ontwikkeling gebracht door onder andere Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon en Maurice René Fréchet. De belangrijkste toepassingen van maten zijn in de grondslagen van de lebesgue-integraal en in Andrei Kolmogorovs axiomatisering van de kansrekening. In de integraalrekening staat het specificeren van een maat het toe om integralen te definiëren op ruimten die algemener zijn dan deelverzamelingen van de euclidische ruimte. Verder zijn integralen met betrekking tot de lebesgue-maat op de euclidische ruimten algemener en hebben zij een rijkere theorie dan hun voorganger, de riemann-integraal. De kansrekening bestudeert maten die aan de gehele ruimte de maat 1 toewijzen, en beschouwt meetbare deelverzamelingen daarvan als gebeurtenissen, waarvan de kans door de maat wordt gegeven.

Definitie
Zij  een meetbare ruimte bestaande uit een verzameling  en de σ-algebra  op deze verzameling. Dan heet de afbeelding

een maat op  als er voldaan wordt aan de eisen:

 De maat van de lege verzameling is nul

 De maat is een niet-negatief getal; voor alle  moet gelden:

 De maat van een aftelbare, disjuncte vereniging is de som van de reeks van de afzonderlijke maten:

Hierbij wordt afgesproken dat de reeks  is, als minstens één term van de reeks gelijk is aan  en ook als de reeks uitsluitend uit eindige (niet-negatieve) getallen bestaat en divergeert. Deze eigenschap van de maat wordt sigma-additiviteit genoemd. 

Het geordende drietal  heet een maatruimte. Als de maat begrensd is, dus een eindige bovengrens heeft, spreken we van een begrensde (maat)ruimte en een eindige maat. Dit is gelijkwaardig met de eis dat  een eindig getal is.

Binnen de context van de maatruimte worden de elementen van  de meetbare verzamelingen genoemd.

In het bijzondere geval dat de maat van de gehele verzameling  de waarde 1 heeft, spreekt men van een kansmaat.

Merk op dat de maat alleen gedefinieerd is op de σ-algebra  van  en niet in het algemeen op alle deelverzamelingen van .

Eigenschappen 
Uit de sigma-additiviteit van de maat kunnen verschillende eigenschappen worden afgeleid.

Monotoniciteit 
Een maat  is monotoon, hetgeen wil zeggen dat de maat van een omvattende verzameling niet kleiner is dan de maat van de verzameling zelf. Precies: als  en  meetbare verzamelingen zijn, met , dan geldt

Subadditiviteit
Een maat μ is aftelbaar subadditief: d.w.z. als  een aftelbare, niet noodzakelijkerwijs disjuncte rij van verzamelingen in  is, dan

Deze ongelijkheid staat ook bekend als de ongelijkheid van Boole,

Continuiteit van beneden
Een maat  is continu van beneden, d.w.z. als  een stijgende rij meetbare verzamelingen is, wat inhoudt dat voor alle  de verzameling  een deelverzameling is van  dan is de vereniging van de verzamelingen  meetbaar en er geldt:

Continuiteit van boven
Een maat  is continu van boven, d.w.z.  als  een dalende rij meetbare verzamelingen is, wat inhoudt  dat voor alle  de verzameling  een deelverzameling is van  dan is de doorsnede van de verzamelingen  meetbaar en indien voorts ten minste een van de  een eindige maat heeft, geldt

Deze laatste eigenschap is niet algemeen waar zonder de veronderstelling dat ten minste een van de  een eindige maat heeft. Laat bijvoorbeeld, voor elke 

Dan vormen de  een dalende rij verzamelingen die alle een oneindige lebesgue-maat hebben, maar waarvan de doorsnede leeg is, en waarvoor de genoemde eigenschap dus niet geldt.

Voorbeelden
 De triviale maat: de constante nul-afbeelding
 De afbeelding die de lege verzameling maat 0 toekent, en alle andere elementen van  de waarde +∞.
 Een kansmaat, een begrensde maat die de maat (kans) 1 toekent aan de hele ruimte.
 De cirkelvormige hoekmaat is invariant onder rotatie.
 Op een willekeurige verzameling  vormt de machtsverzameling de grootst mogelijke sigma-algebra (soms "discrete σ-algebra" genaamd).
 De telmaat wordt gedefinieerd door  (het aantal elementen in  De telmaat associeert met elke deelverzameling van  het aantal elementen (kardinaliteit) van die deelverzameling. Dit is een eindige maat dan en slechts dan als  een eindige verzameling is.
 De lebesgue-maat, een maat op de lebesguestam (lebesgue-σ-algebra) van de reële getallen (of ook, op de strikt kleinere borelstam) die aan elk eindig interval  zijn lengte | toekent.
 De haar-maat voor een lokaal compacte topologische groep is een veralgemening van de lebesgue-maat (en ook van de telmaat en de cirkelvormige hoekmaat) met gelijkaardige uniciteitseigenschappen.
 De hausdorffmaat, een verfijning van de lebesgue-maat naar fractale verzamelingen.

Niet-meetbare verzamelingen

Als het keuzeaxioma verondersteld wordt waar te zijn, zijn niet alle deelverzamelingen van de euclidische ruimte lebesgue-meetbaar; voorbeelden van dergelijke verzamelingen zijn de vitali-verzamelingen en de niet-meetbare verzamelingen die worden gepostuleerd door de hausdorff-paradox en de banach-tarskiparadox.

Productmaat
Als twee verzamelingen zijn uitgerust met elk een σ-algebra en een bijhorende maat, dan bestaat er een canonieke constructie om ook hun cartesisch product van een σ-algebra en een maat te voorzien, met de eigenschap dat de maat van een product gelijk is aan het product van de maten (met de afspraak dat ).

De lebesguemaat op  is de productmaat van   keer de lebesguemaat op . Ze geeft een exacte en zeer algemene definitie aan de klassieke noties oppervlakte en inhoud.

Verband met integraalrekening
Met elke maat komt een natuurlijk begrip "integreerbare functie" overeen. Dat zijn de functies van de dragerverzameling  naar  (of , of soms een algemenere topologische vectorruimte) die meetbaar zijn voor de gegeven σ-algebra  en waarvan de absolute waarde kan geschreven worden als een stijgende limiet van zogenaamde enkelvoudige functies: zie Lebesgue-integraal.

Generalisaties 
In de literatuur over maattheorie wordt ook wel gesproken over gesigneerde maten of getekende maten. Ondanks de benaming zijn dat niet noodzakelijk maten in de zin van de definitie hierboven. Een gesigneerde maat is een afbeelding van een -algebra naar de reële getallen (dus met inbegrip van de negatieve getallen) die kan geschreven worden als het verschil van twee eindige gewone maten.

Analoog is een complexe maat een afbeelding van een sigma-algebra naar de complexe getallen die kan geschreven worden als een complexe lineaire combinatie van vier eindige maten.

De meest algemene definities van maten eisen niet langer dat de onderliggende familie deelverzamelingen van  een -algebra vormen, maar slechts een ring van verzamelingen.

Soms analyseert men ook eindig additieve maten waarbij de eis van aftelbare additiviteit (-additiviteit) verzwakt wordt tot:

 De maat van een disjuncte vereniging van twee verzamelingen is de som van de maten van de twee afzonderlijke verzamelingen:

Maattheorie
Integraalrekening
Wiskundige analyse
Wiskundige structuur