Stelling van Taylor
De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie  in de omgeving van een punt  door middel van een taylorreeks kunnen benaderen. De coëfficiënten van de taylorreeks worden uit de eerste en de hogere afgeleiden van  in  bepaald.

Als een functie  voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van  kan de functiewaarde  in een punt  uit die omgeving door de taylorreeks worden benaderd:
 
 
  
en zo verder:
 
 

Deze laatste som heet de taylorreeks of de taylorontwikkeling van  in . Het verschil tussen  en de benaderende taylorreeks heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm. 

De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm.

Stelling 
De stelling is de volgende. Gegeven de functie  in het punt , die  keer kan worden gedifferentieerd. Dan is er een functie  zodanig dat
 
en
 

Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.

Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.

Als  een  keer continu differentieerbare functie is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval , is er voor elke  een getal  tussen  en , zodanig dat

 

De stelling kan ook zo worden geformuleerd dat bij elk getal  een getal  bestaat, zodat de restterm van de volgende algemene vorm is, de restterm van Schlömilch:

 .

Voor  is dit de restterm van Cauchy:

 

Voor  is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.

Bewijs 
De stelling berust op toepassing van de middelwaardestelling op de restterm:

Voorbeelden 
 In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functiewaarde uit een eindig aantal benaderingen als boven. Als de functie  voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:
 

 waarin men  zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.

 Een benadering van  wordt verkregen door in de bovenstaande formule  te stellen en te gebruiken dat de afgeleiden van   gelijk zijn aan zichzelf, dus voor  steeds gelijk zijn aan 1:
 

 Niet bij elke functie lukt zo'n benadering; van bijvoorbeeld de functie
  voor  en 

 zijn alle afgeleiden nul voor . De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.

Wiskundige reeks
Taylor