Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz
De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, ook bekend als de ongelijkheid van Schwarz, de ongelijkheid van Cauchy of de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, is een stelling uit de lineaire algebra die stelt dat in elke inwendig-productruimte het inwendig product van twee vectoren van gegeven lengte absoluut gezien maximaal is als de vectoren in elkaars verlengde liggen. Dit wordt geformuleerd als: het kwadraat van het inwendig product van twee willekeurige vectoren  en  is ten hoogste gelijk aan het product van de inwendig producten van  met zichzelf en  met zichzelf. In formule:
.

Als  en  in elkaars verlengde liggen, dus als
,

is inderdaad zoals boven genoemd:
.

De ongelijkheid bestaat ook in een andere versie die gebruikmaakt van de door het inproduct geïnduceerde norm van de vectoren. Daartoe trekt men de wortel uit beide zijden van bovenstaande ongelijkheid:

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz is genoemd naar Augustin Louis Cauchy en Herrmann Amandus Schwarz.

Bewijs
Omdat de ongelijkheid triviaal waar is voor  mogen we aannemen dat  niet-nul is. Voor elk complex getal  geldt dan:

Door de keuze

krijgt men:

of anders geschreven:

of equivalent met de geïnduceerde norm:

Bijzondere gevallen
De oorspronkelijke ongelijkheid van Cauchy had betrekking op het canonieke inproduct in een eindigdimensionale euclidische ruimte. Voor eindige rijen reële of complexe getallen  en  wordt de formulering:

De ongelijkheid blijft gelden voor oneindige rijen die kwadratisch absoluut sommeerbaar zijn.

Voor kwadratisch lebesgue-integreerbare functies  en  luidt de ongelijkheid

Driehoeksongelijkheid
In het bovenstaande gingen we er steeds van uit dat een inproduct een norm bepaalt. Om echter te weten dat het voorschrift

wel degelijk een norm definieert, moest de driehoeksongelijkheid geverifieerd worden. Dit kan eenvoudig aan de hand van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door het inproduct van  met zichzelf uit te werken.

Zie ook
Ongelijkheid van Hölder

Lineaire algebra
Cauchy-Schwarz