Booglengte
Booglengte is in de meetkunde de lengte van een (gedeelte van een) kromme.

Formule

Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coördinaatsfuncties  en  wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje  van de kromme te integreren. Voor een klein stukje  geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:
.

In de limiet is:
,
zodat:

,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

In het geval van een expliciete functie  wordt dit:

,

en in poolcoördinaten:

,

De booglengte  van de kromme tot aan het punt  wordt dan:

Betreft de kromme de grafiek van een (differentieerbare) functie  dan kan deze formule herschreven worden door de variabele  als parameter te kiezen. De booglengte  van  tot  wordt dan:

.

Zelfs in de meeste eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet er numeriek geïntegreerd worden.

Veralgemeningen

Hogere dimensies
Bovenstaande definitie kan nagenoeg ongewijzigd worden overgedragen op krommen in de driedimensionale ruimte, of zelfs in de algemene -dimensionale Euclidische ruimte:

De lengte van de kromme is opnieuw de integraal van de snelheidsvector:

Andere normen
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere normen , en in plaats van  kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte  nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een reële of complexe Banachruimte) - op voorwaarde dat een duidelijke notie van differentieerbaarheid gehanteerd wordt.

Booglengte in gekromde ruimten
Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde -dimensionale gladde variëteit. De afgeleide  is dan een vector in de raakruimte, en zijn lengte wordt bepaald door de metrische tensor 

of een variant hierop waarbij binnen het wortelteken een absolute waarde staat, of, afhankelijk van het geval, een minteken.

Parametrisering door booglengte
Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie  van een reële parameter  dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van  nergens nul wordt op het beschouwde interval.

Bij een reguliere kromme is de functie

differentieerbaar, strikt stijgend en haar afgeleide  is overal strikt positief. Haar inverse functie

is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme  kunnen herparametriseren in termen van de booglengte  De nieuwe kromme

heeft dezelfde beeldverzameling in  als de oorspronkelijke kromme  maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar snelheidsvector overal de lengte een heeft:

Zie ook
Boog (meetkunde) voor de berekening van de booglengte van een cirkel.

Wiskundige analyse