Gram-schmidtmethode
De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee in een vectorruimte voorzien van een inproduct van gegeven vectoren, die lineair onafhankelijk zijn, een orthogonaal stelsel wordt gemaakt dat dezelfde deelruimte opspant als de oorspronkelijke vectoren. De methode bepaalt achter elkaar van elke volgende vector de component die orthogonaal is met alle vorige. Die component wordt gevonden door het verschil te bepalen met de projectie op de deelruimte die door de vorige vectoren wordt opgespannen. Door de gevonden vectoren te normeren ontstaat een orthonormaal stelsel. 

De methode is naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt genoemd, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. De methode is in de theorie van lie-groepen gegeneraliseerd door Kenkichi Iwasawa.

Methode 
In een vectorruimte met inproduct  zijn de lineair onafhankelijke vectoren  gegeven. Er staat hieronder beschreven hoe de gram-schmidtmethode de orthogonale vectoren  berekent met dezelfde span als deze vectoren . De vectoren  worden in deze beschrijving niet genormeerd: 

 

Vervolgens geldt voor :
 

De vector  is dus gelijk aan  waarvan eerst alle componenten zijn afgetrokken die al in de deelruimte liggen, die door de geconstrueerde orthogonale vectoren wordt opgespannen. De formule toont zo ook dat de projectie van  op de ruimte opgespannen door die vectoren  de som is van de afzonderlijke projecties

 

Dat is alleen correct als  onderling orthogonaal zijn, omdat de projecties anders met elkaar interfereren en er te veel van  wordt afgetrokken.

Voorbeeld 1 
De drie vectoren
 ,
in  met het gewone inproduct, zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de gram-schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis  worden bepaald.

 

 

 
 

Het is na te gaan dat:

Voorbeeld 2 
In de tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies  op het interval , met inwendig product, zie het voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte
 

wordt de basis die uit  en  bestaat met de gram-schmidtmethode in een orthonormaal stelsel  omgezet. Om te beginnen is

 .

De component  van  loodrecht op  is
 

Normering van  geeft
 

Functionaalanalyse
Lineaire algebra