Besselfunctie
Besselfuncties zijn oplossingen van de besselse differentiaalvergelijking. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom Friedrich Wilhelm Bessel, die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Besselfuncties worden onderscheiden naar besselfuncties van de eerste soort en van de tweede soort. De besselfunctie van de eerste soort van de orde  wordt genoteerd als , en die van de tweede soort van de orde  als .

De besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van Laplace en van Helmholtz, wanneer daarbij cilindercoördinaten worden gebruikt. Daardoor zijn besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige natuurkunde, zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:
 elektromagnetische golven in een cilindrische golfgeleider
 warmtegeleiding in een cilindervormig voorwerp
 trillingswijzen van een dun cirkel- of ringvormig membraan
 verstrooiingsproblemen in een tralie.
 componentamplitudes bij frequentiemodulatie (FM): zie de grafiek 
 bepaling van grondwaterstanden bij onttrekkingen.

Definitie 
Besselfuncties zijn oplossingen  van de besselse differentiaalvergelijking:

Oplossingen zijn  en .

Voor  zijn  en  lineair onafhankelijk, zodat voor de algemene oplossing geldt:

in het bijzonder is

Voor  is
,

dus zijn  en  lineair afhankelijk.

Ook is

waarin

dus zijn ook  en  lineair afhankelijk. Wel zijn  en  lineair onafhankelijk, zodat in dit geval de algemene oplossing geschreven kan worden als

De besselfuncties van de eerste soort worden gegeven door de complexe integraal:

met  een geschikte contour en  de voortbrengende functie gegeven door:

Eigenschappen van de besselfunctie 
De besselfuncties van de eerste soort hebben de machtreeksontwikkeling
,

die met de methode van Frobenius afgeleid kan worden

De besselfuncties voldoen aan de recursieve betrekkingen:

Een berekening leert dat de besselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:

Als we  plotten dan verkrijgen we het volgende resultaat:

 bereikt haar maximale amplitude in de oorsprong. Naarmate  zich verwijdert van de oorsprong neemt de amplitude geleidelijk af om dan uiteindelijk te verdwijnen in het oneindige (, ).

Wiskundige functie