Algebra (structuur)
Een algebra is een uitbreiding van het begrip vectorruimte uit de lineaire algebra. In een algebra is, naast de optelling en de scalaire vermenigvuldiging, ook een binaire operatie, formeel als vermenigvuldiging aangeduid,  tussen  de elementen (vectoren) gedefineerd.

Definitie
Een vectorruimte  over een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)  heet een algebra als op  een  binaire operatie (vermenigvuldiging)  gedefinieerd is die bilineair is, d.w.z. dat voor alle  geldt:

 voor alle .

Equivalent geldt dat  een algebra is, als  met de vermenigvuldiging  een niet-noodzakelijk associatieve ring is waarvoor bovendien de scalaire vermenigvuldiging en  compatibel zijn, wat inhoudt dat aan de laatste van de drie bovengenoemde eisen voldaan is.

Een algebra over het lichaam , wordt ook wel een -algebra genoemd.

In sommige speciale gevallen krijgt de bilineaire operator een andere naam dan vermenigvuldiging.

Voorbeelden 
De -matrices vormen een algebra met de vermenigvuldiging van matrices.

Indien de matrixelementen uit het lichaam  komen, vormen deze matrices een -algebra.

De reële vectorruimte  met het kruisproduct is een algebra: 

Ook de verzameling polynomen in één variabele is een algebra voor de gewone optelling en vermenigvuldiging van polynomen. Hetzelfde geldt ook voor polynomen in meer, in  variabelen. Als de coëfficiënten element van het lichaam  zijn, vormen  respectievelijk  een -algebra.  is de verzameling polynomen in de variabele  met coëfficiënten in het lichaam .

Associatieve algebra
In de bovenstaande definitie wordt niet geëist dat de vermenigvuldiging  associatief of commutatief is. Een associatieve algebra voldoet aan de bijkomende voorwaarde dat de vermenigvuldiging associatief is, d.w.z. dat voor alle  geldt:

Het algemene geval wordt daarom ook niet-associatieve algebra genoemd, hoewel "niet noodzakelijk associatief" nauwkeuriger zou zijn.

Voorbeelden
Matrixvermenigvuldiging is associatief.

Het vectorproduct in  is niet associatief. Noteer  voor de canonieke orthonormale basis, dan geldt

Vermenigvuldiging van veeltermen is associatief en commutatief.

De tensoralgebra  van een willekeurige vectorruimte  is een associatieve algebra. Hij wordt ook de vrije algebra over  genoemd.

Ringen

Sommige bronnen verzwakken de eis "vectorruimte over een lichaam" tot "moduul over een commutatieve ring met eenheid". De definitie wordt hierdoor niet ingewikkelder, maar het niet altijd bestaan van een basis compliceert de studie enigszins.

Bijzondere soorten algebra's
Diverse specialistische gebieden van de wiskunde onderscheiden speciale soorten (meestal associatieve) algebra's:

 Lie-algebra, een object dat opduikt in de differentiaalmeetkunde
 Tensoralgebra, een ruimte die diverse orden van tensorproducten verenigt
 Uitwendige algebra, het antisymmetrisch gedeelte van de tensoralgebra, een belangrijk object bij de studie van differentiaalvormen op gladde variëteiten
 Banach-algebra, een Banachruimte met een "samenstelling" van vectoren
 Von Neumann-algebra, de continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte
 Algebra van verzamelingen en de ermee verwante booleaanse algebra, een model voor bepaalde soorten logica aan de hand van verzamelingen
 Sigma-algebra, een bijzondere soort algebra van verzamelingen die de basis vormt van de maattheorie en de kansrekening

Lineaire algebra