title: Particuliere oplossing
text: In de wiskunde, in het bijzonder in de theorie van differentiaalvergelijkingen, wordt een willekeurige oplossing van een differentiaalvergelijking een particuliere oplossing genoemd. De bijhorende gedachte is dat die particuliere oplossing leidt tot het opsporen van de hele oplossingsverzameling, de zogenaamde algemene oplossing. Dat is speciaal het geval bij (niet-homogene) lineaire differentiaalvergelijkingen.
  
  Achtergrond 
  Een lineaire differentiaalvergelijking kan geschreven worden als:
  ,
  
  met  een lineaire operator en  een bekende functie. 
  
  Als een oplossing bekend is, de particuliere oplossing , kan elke andere oplossing verkregen worden als de som van deze particuliere oplossing en een oplossing  van de bijbehorende homogene vergelijking
  
  Er geldt immers:
  
  In veel gevallen kunnen alle oplossingen van de homogene vergelijking met standaardmethoden gevonden worden, en hoeft er alleen nog gezocht te worden naar een particuliere oplossing om alle oplossingen te kennen.
  
  Voorbeeld
  Beschouw de lineaire niet-homogene differentiaalvergelijking
  
  De bijhorende homogene differentiaalvergelijking luidt
  
  De algemene oplossing van de homogene vergelijking (d.i. de kern van de differentiaaloperator ) luidt
  
  Een particuliere oplossing van de oorspronkelijke, niet-homogene vergelijking is
  
  De algemene oplossing van de niet-homogene vergelijking luidt dus
  
  Voor technieken om particuliere en homogene oplossingen op te sporen verwijzen we naar het artikel over differentiaalvergelijkingen.
  
  Differentiaalvergelijking