title: Schoventheorie
text: De schoventheorie is een tak van de hogere wiskunde. Ze werd vanaf de jaren 1930 ontwikkeld ter ondersteuning van de cohomologie van variëteiten en vond later belangrijke toepassingen in de algebraïsche meetkunde. Centraal staat het begrip schoof, die aan de open verzamelingen van een topologische ruimte bepaalde algebraïsche structuren koppelt, bijvoorbeeld abelse groepen, ringen of modulen.
  
  In de algebraïsche meetkunde is de onderliggende topologische ruimte een functiering  met de Zariski-topologie.
  
  Definitie
  De volgende definitie van een (pre)schoof is voor abelse groepen. Voor andere categorieën van algebraïsche objecten zoals ringen, modulen enz. verloopt de definitie analoog, al moet telkens de juiste soort morfismen gehanteerd worden.
  
  Een preschoof  van abelse groepen bestaat uit een topologische ruimte  en, voor elke open deelverzameling  van  een abelse groep  en, voor ieder paar open verzamelingen , een groepshomomorfisme, restrictie genaamd:
  
  zodat aan de volgende eigenschappen is voldaan:
   is de triviale groep 
   is de identieke transformatie van 
  als , dan is 
  
  De elementen van  heten de secties van de schoof over 
  
  De werking van de restrictie van  tot  op een sectie  van  wordt soms genoteerd als een restrictie van een functie in de verzamelingenleer:
  
  Een schoof is een preschoof die bovendien aan de volgende voorwaarden voldoet:
  4. als  een open overdekking is van een open verzameling , en  heeft de eigenschap  voor alle , dan is 
  5. als  een open overdekking is van een open verzameling  en we hebben elementen  in  voor elke  die onderling compatibel zijn:
  
  dan bestaat er een  zodat telkens
  
  Voorbeelden
  Zij  een willekeurige topologische ruimte. Beschouw voor elke open verzameling  in  de verzameling  der continue, reëelwaardige functies op  met de puntsgewijze optelling als abelse groepsbewerking. Neem als restrictie-homomorfisme tussen  en een open deelverzameling  de gewone restrictie van functies tot een deelverzameling van hun domein. Men gaat gemakkelijk na dat deze structuur aan alle vijf de voorwaarden van een schoof voldoet.
  
  Zij  de verzameling der complexe getallen met de gebruikelijke topologie (of algemener, een Riemann-oppervlak of een hogerdimensionale complexe analytische variëteit). De holomorfe functies op open deelverzamelingen van , met de gewone restrictie van functies, vormen een schoof.
  
  Zij  een willekeurige topologische ruimte, en  een willekeurige abelse groep. Associeer met iedere niet-lege deelverzameling  van  de groep  zelf, en neem als restrictie-afbeelding steeds de identieke transformatie. Deze structuur voldoet aan de voorwaarden van een preschoof en heet de constante preschoof geassocieerd met  op 
  
  De constante preschoof voldoet in het algemeen niet aan de laatste voorwaarde voor een schoof. Als  en  disjuncte open delen zijn van  en  en  zijn verschillende elementen van  dan bevat de abelse groep die met de vereniging van  en  geassocieerd is (een kopie van ) geen enkel element waarvan de restrictie (de identiteit) zowel   als   is.
  
  Verwante begrippen
  
  Staak
  De staak van een punt  van  bestaat uit alle kiemen van secties over omgevingen van  dat wil zeggen alle equivalentieklassen van  koppels  waar  een omgeving is van  en  een sectie over  Twee koppels  en  heten equivalent als de restricties van  en  tot de doorsnede van  en  dezelfde sectie over die doorsnede oplevert. De staak van  is op natuurlijke wijze een abelse groep.
  
  Morfisme van schoven
  Een morfisme tussen twee schoven  en  op eenzelfde topologische ruimte  associeert met elke open verzameling  een groepshomomorfisme
  
  op een zodanige wijze dat de samenstelling met de restrictie-morfismen "goed" verloopt:
  
  Morfismen  kunnen worden samengesteld. Het identieke morfisme associeert met elke open verzameling het identieke groepshomomorfisme. Een isomorfisme is een morfisme dat een inverse heeft.
  
  Abstracte algebra
  Algebraïsche meetkunde
  Algebraïsche topologie