title: Hoofdstelling van de riemann-meetkunde
text: In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart. 
  
  Preciezer:Laat  een 
  riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn,  
  dan is er een unieke verbinding , die aan de volgende voorwaarden voldoet: 
  voor enige vectorvelden  hebben wij , waar  de afgeleide van de functie  aanduidt langs vectorveld .
  voor enige vectorvelden , , waar  de lie-haken voor vectorvelden   aanduiden.  
  (De eerste voorwaarde houdt in dat de metrische tensor wordt bewaard door parallel transport, terwijl de tweede voorwaarde het feit uitdrukt dat de torsie van  nul is.) 
  
  Een uitbreiding van de hoofdstelling stelt dat er, gegeven een pseudo-riemann-variëteit, een unieke verbinding bestaat, die de metrische tensor bewaart met enige gegeven vectorwaardige 2-vorm als haar torsie. 
  
  Een technisch bewijs kan een formule voor christoffel-symbolen van de verbinding in een lokaal coördinatensysteem presenteren. Voor een gegeven metriek kan deze verzameling van vergelijkingen nogal ingewikkeld worden. Er bestaan snellere en eenvoudigere methoden om de christoffel-symbolen voor een bepaalde metriek te verkrijgen, bijvoorbeeld het gebruiken van de actie integraal en de geassocieerde euler-lagrange-vergelijkingen.
  
  Zie ook
   Inbeddingstelling van Nash
  
  Riemann-meetkunde