title: Dicyclische groep
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dicyclische groep een element van een klasse van groepen , een niet-abelse groep met orde , die een uitbreiding is van de cyclische groep  van orde 2 met een cyclische groep (van even orde ), wat de groep de naam di-cyclisch geeft. In de notatie van exacte rijen van groepen kan deze uitbreiding worden uitgedrukt als
  
  Meer in het algemeen kan men, gegeven een abelse groep met een element van orde 2, een dicyclische groep definiëren.
  
  Definitie
  Voor iedere  is de dicyclische groep  de groep die wordt voortgebracht door twee elementen  en  die voldoen aan:
  
   ( is een -de eenheidswortel)
  
  Er geldt dus:
   ( is een 4e eenheidswortel)
  
   
  
  De orde van  is .
  
  Ieder element van  kan eenduidig geschreven worden als  met  en  of .
  
  Voor het product van twee elementen geldt:
  
  De dicyclische groep  heeft een cyclische ondergroep van de orde  voortgebracht door het element  en 
  een cyclische ondergroep van de orde  voortgebracht door het element . De ondergroep voortgebracht door  heeft in ieder geval een ondergroep van de orde  voortgebracht door , en afhankelijk van de waarde van  mogelijk nog andere ondergroepen. De ondergroep voortgebracht door  heeft een ondergroep van de orde 2 voortgebracht door .
  
  Voorbeeld
  De groep  bestaat uit de 12 elementen:
  
  Er geldt bijvoorbeeld:
  
   is isomorf met een ondergroep van de quaternionen, of kan voorgesteld worden door de keuze . en 
  . Er geldt immers:
  
  dus
  
  Groepentheorie