title: Compact
text: Het wiskundige begrip compact komt uit de topologie. Het probeert de notie te vatten van een "kleine" of "handelbare" topologische ruimte. Een topologische ruimte wordt compact genoemd als elk van haar open overdekkingen een eindige deeloverdekking heeft. Is dit niet het geval dan wordt zo'n topologische ruimte niet-compact genoemd.
  
  Merk op dat sommige auteurs zoals Bourbaki hiervoor de term "quasi-compact" gebruiken. Zij reserveren de term "compact" voor topologische ruimtes die zowel Hausdorff als "quasi-compact" zijn.
  
  De stelling van Heine-Borel laat zien dat deze definitie voor deelverzamelingen van de euclidische ruimte  gelijkwaardig is aan gesloten en begrensd. In  is bijvoorbeeld het gesloten eenheidsinterval  compact, maar is de verzameling van de gehele getallen  dit niet (deze deelverzameling is niet begrensd). Ditzelfde geldt ook voor het halfopen interval  (deze deelverzameling is niet gesloten).
  
  Het concept van een compacte deelverzameling van de reële getallen kan worden uitgebreid naar compacte deelverzamelingen van enige topologische ruimte en zelfs naar het concept van een compacte ruimte. Een deelverzameling is compact, wanneer deze deelverzameling, uitgerust met een deelruimtetopologie, een compacte ruimte wordt.
  
  Definitie
  Een topologische ruimte  wordt compact genoemd als elke open overdekking van  een eindige deeloverdekking heeft. Dat wil zeggen dat, als
  
  een willekeurige, eventueel oneindige, familie open verzamelingen van  is zodanig dat
  
  er een eindige deelfamilie  is waarvoor ook
  
  Een deelverzameling  van  heet compact als ze, uitgerust met de deelruimtetopologie, op haar beurt een compacte topologische ruimte vormt. Dit is gelijkwaardig met de eis dat voor elke willekeurige familie open verzamelingen van  die  overdekt, er een eindige deelfamilie bestaat die  nog steeds overdekt. Dus als
  
  een willekeurige, eventueel oneindige, familie open verzamelingen van  is zodanig dat
  
  dan bestaat er een eindige deelfamilie  waarvoor ook
  
  Eigenschappen
  Een belangrijke eigenschap van compacte topologische ruimten is dat het beeld van een compacte ruimte onder een continue afbeelding ook weer compact is. Met andere woorden: compactheid is een continu-invariant. Andere eigenschappen zijn:
   Als  compact is en  is gesloten, dan is  met de deelruimtetopologie compact.
   Als  een Hausdorff-ruimte is en  met de deelruimtetopologie is compact, dan is  gesloten.
  Uit deze eigenschappen volgt bijvoorbeeld dat een bijectieve continue afbeelding van een compacte ruimte naar een Hausdorff-ruimte altijd een homeomorfisme is.
  
  De stelling van Tychonov luidt dat het product van compacte ruimten opnieuw compact is.
  
  Compacte metrische ruimten
  Als de topologische structuur van  afkomstig is van een afstandsfunctie (metriek), dan is compactheid gelijkwaardig met de volgende eigenschap: iedere rij in  heeft een convergente deelrij met limiet in .
  
  In algemene (niet-metrische) topologische ruimten geldt bovenstaande gelijkwaardigheid niet, maar een veralgemeende stelling kan worden geformuleerd aan de hand van het begrip filter:  is compact als en slechts als elke ultrafilter convergeert.
  
  In metrische ruimten is compactheid tevens gelijkwaardig met het samengaan van de volgende twee eigenschappen:
   volledigheid;
   totale begrensdheid: voor elke willekeurig kleine  bestaat er een overdekking van  door een eindig aantal open bollen met straal .
  
  Dit is een veralgemeende vorm van de stelling van Heine-Borel, genoemd naar Heinrich Eduard Heine en Émile Borel.
  
  "Totaal begrensd" heet in sommige handboeken precompact.
  
  Compacte delen van de Euclidische ruimte
  Metrische ruimten zijn tevens Hausdorff-ruimten. De compacte delen van  met de gewone metriek zijn dus gesloten.
  
  Elke compacte (deelruimte van een) metrische ruimte is begrensd. Dit blijkt aan de hand van de open overdekking die bestaat uit alle open bollen  met een vast middelpunt .
  
  De stelling van Heine-Borel karakteriseert de compacte deelruimten van  als precies de gesloten, begrensde deelverzamelingen.
  
  Lokaal compact
  Een topologische ruimte heet lokaal compact als ieder punt een omgevingsbasis heeft die uit compacte verzamelingen bestaat.
  
  Relatief compact
  Een deelverzameling  van een topologische ruimte  heet relatief compact als haar topologische sluiting in  compact is. Soms wordt de term precompact gebruikt als synoniem van relatief compact, maar dit creëert verwarring met het begrip totale begrensdheid.
  
  Compacte operator
  De operatorentheorie bestudeert lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten. Een continue lineaire afbeelding heet compact als ze begrensde verzamelingen afbeeldt op relatief compacte verzamelingen. In metrische topologische vectorruimten heeft het adjectief "begrensd" zijn gewone betekenis, in algemenere topologische vectorruimten geldt een aangepaste definitie.
  
  Compactificatie
  Compacte ruimten zijn meestal eenvoudiger te analyseren dan niet-compacte ruimten. Het kan dus interessant zijn te weten, dat een gegeven ruimte minstens deel uitmaakt van een compacte ruimte. Er bestaan verschillende standaard-technieken om een gegeven ruimte uit te breiden tot een compacte ruimte.
  
  De Alexandrov-compactificatie of eenpuntscompactificatie voegt aan een willekeurige topologische ruimte één punt toe, punt op oneindig genaamd. Een verzameling heet open in  als ze een open verzameling is in de oorspronkelijke topologie van  of als haar complement een compact deel van  is. De eenpuntscompactificatie bestaat voor eender welke topologische ruimte 
  
  De Stone-Čech-compactificatie of beta-compactificatie is beperkt tot ruimten  die aan het scheidingsaxioma  (axioma van Tychonov) voldoen. De uitgebreide ruimte is niet alleen compact, maar bovendien Hausdorff. De constructie gaat als volgt: zij  de verzameling van alle continue functies van  naar het gesloten interval  De ruimte  kan worden opgevat als deelruimte van de oneindige productruimte
  
  door met ieder element  de evaluatie van continue functies in  te associëren. De topologische sluiting van deze deelruimte is de compactificatie van 
  
  Topologie