title: Hoek (meetkunde)
text: Een hoek in de meetkunde is een figuur in een vlak gevormd door twee halfrechten, benen van de hoek geheten, met een gemeenschappelijk beginpunt, het hoekpunt.
  
  Hoek wordt ook gebruikt voor de grootte van een draaiing. In het geval van een hoek in de eerste zin betreft dit een draaiing van een van de benen om het hoekpunt tot hij met de andere samenvalt. Duidelijk is dat deze beweging op twee manieren kan plaatsvinden, zodat door de halfrechten ook twee hoeken gevormd worden; deze hoeken vormen samen een cirkel ("volle hoek"). Zonder nadere bepaling rekent men meestal de kleinere van beide hoeken als de hoek gevormd door de halfrechten. Bij een veelhoek gaat het zonder nadere aanduiding om de binnenhoek, ook als die niet de kleinste van de twee is. Bij vectoren is de hoek maximaal een gestrekte.
  
  Het snijpunt van de twee lijnen wordt wel hoekpunt genoemd. De hoek tussen twee lijnen is maximaal een rechte hoek.
  
  Geschiedenis 
  Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 tot 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een sexagesimaal talstelsel. Toenmalige wiskundigen verdeelden de drie gelijke hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, die dus overeenkwamen met de graden van nu. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten, ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd, en de minuut in 60 seconden of boogseconden.
  
  De oude Grieken konden aan de hand van hoekmeting de omtrek van de Aarde en de afstand tot de Maan bepalen. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.
  
  Tekenen van een hoek 
  Een van de drie klassieke problemen van de Grieken was de driedeling van een willekeurige hoek met alleen passer en liniaal. Het was hun wel al gelukt een hoek in tweeën te delen en te verdubbelen, hoeken op te tellen en af te trekken, en bepaalde hoeken, onder andere van 54°, 60°, 72° en 90°, te tekenen. De constructie van een hoek van 54° gaat via een regelmatige drie- en vijfhoek. Daaruit kon een groot arsenaal afgeleide hoeken worden bepaald, maar niet alle hoeken! Pas in 1837 werd door Pierre Wantzel aangetoond dat de driedeling niet mogelijk is.
  
  Het blijkt dat alleen hoeken, die een veelvoud van drie graden zijn, met passer en liniaal kunnen worden geconstrueerd.
  
  Definitie 
  Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-stelsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.
  
  In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.
  
  Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.
  
  Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.
  
  Eenheden 
  De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).
   Een rechte hoek is gelijk aan  rad.
   Een cirkel omvat  rad.
  
  In het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°) gebruikelijker.
   Een rechte hoek is 90°.
   Een cirkel omvat 360°.
  
  In de geodesie wordt de gon gebruikt.
   Een rechte hoek meet 100 gon. 
   Een cirkel omvat 400 gon.
  
  De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Die is doorgaans gelijk aan de tangens van de hellingshoek, soms de sinus, uitgedrukt in procenten. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus met goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.
  
  In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.
  
  Conversies tussen de verschillende eenheden 
  2π rad = 360° = 400 gon
   1 rad ≈ 57° 17' 44,8" ≈ 57,2958° ≈ 63,6620 gon
   1° ≈ 0,017453 rad ≈ 1,1111 gon
   1 gon = 0° 54' = 0,9° ≈ 0,015708 rad
  
  Conventies 
   In de wiskunde is een hoek positief indien deze tegen de wijzers van de klok in wordt gelezen. Een hoek is negatief indien deze met de wijzers van de klok mee wordt afgelezen. Men spreekt dan van gerichte hoeken. 
  
   In volgende figuur is . Hoek  is positief, hoek  is negatief. 
   
  
   In de landmeetkunde is dit precies andersom. Ook bij een linkshandig coördinatensysteem, zoals dat van een computerbeeldscherm of -printer waar de positieve y-as naarbeneden wijst, zijn hoeken met de klok mee positief.
  
   De hoek tussen twee lijnen wordt gegeven als gerichte hoek, en is dan goed gedefinieerd modulo π.
   Een hoek van 90° of  (m.a.w.: 1⁄4 van een cirkel, 100 gon) wordt recht genoemd, een hoek die kleiner is, is een scherpe hoek, een hoek die groter is, is stomp. Een rechte hoek wordt ook wel haaks genoemd. Een hoek van 180° of  wordt ook wel een gestrekte hoek genoemd.
  
   complementaire en supplementaire hoeken
    en  zijn supplementaire hoeken (de ene is het supplement van de andere) als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig:  (180°);
  
    en  zijn complementaire hoeken (de ene is het complement van de andere) als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig:  (90°)
  
   1/60 van een graad (°) is een boogminuut (1'), 1/60 van een boogminuut is een boogseconde (1")
   Hoeken blijven gelijk wanneer er een geheel keer 2π (hoek in radialen) of 360° (graden) wordt opgeteld; de hoofdwaarde van een hoek is de grootte van de hoek θ, zodat  (wanneer θ in radialen is) of zodat  (in graden)
  
  Eigenschappen
  
  Gelijke hoeken 
  In de drie hieronder staande gevallen is :
  {|
  |
  |overstaande hoeken
  |-
  |
  |Hier is de rechte  evenwijdig aan .
  |-
  |
  |Opnieuw is  evenwijdig aan , dit geval is eenvoudig uit de bovenstaande twee te halen
  |}
  
  Hieronder zijn de rechte hoeken ( rad) aangeduid met een boog en een punt:
  {|
  |
  |hier is 
  |-
  |
  |hier is 
  |}
  
  Hoeken in regelmatige veelhoeken 
  In het euclidische vlak geldt dat de som van de hoeken van een driehoek 180° ( rad) is, bij een vierhoek is de som 360° ( rad).
  
  Algemeen geldt voor een veelhoek met  zijden, dat de som van de inwendige hoeken  of  is.
  
  Op die manier kan eenvoudig afgeleid worden, dat de hoeken in een regelmatige driehoek (gelijkzijdige driehoek) 60° ( rad) zijn, in een regelmatige vierhoek (vierkant) 90° ( rad).
  
  Meer algemeen: de hoeken van een regelmatige n-hoek zijn elk  oftewel  rad.
  
  Bepalen van een hoek
  
  Meten 
  
  Een hoek kan rechtstreeks of als het verschil van twee richtingen gemeten worden met een:
   gradenboog op een geodriehoek of kaarthoekmeter, bijvoorbeeld voor een hoek op papier;
   goniometer voor de hoek tussen kristalvlakken;
   hoekmeter, bijvoorbeeld voor de hoek lussen twee houten balken;
   inclinometer, bijvoorbeeld voor een verticale hoek van een dakbalk of een berghelling;
   sextant voor het bepalen van horizontale en verticale hoeken voor navigatie;
   richtkompas (mechanisch of elektronisch) voor een horizontale hoek op land of zee;
   gyroscoop voor 3D rotaties van bijvoorbeeld schepen en vliegtuigen;
   rotatiesensor op basis van versnellingsmeters zoals bijvoorbeeld in een smartphone;
   landmeetkundig waterpasinstrument met gradenrand voor een horizontale hoek in het terrein;
   total station of ouder landmeetkundig instrument zoals jakobsstaf, theodoliet, of tachymeter voor het afzonderlijk bepalen van een horizontale en een verticale hoek.
  
  Berekenen 
  Een hoek kan ook berekend worden, bijvoorbeeld uit met een liniaal gemeten afstanden of met gps bepaalde coördinaten. In dergelijke gevallen kan de hoek tussen de wiskundig beschreven lijnen of vlakken omgezet worden in een hoek tussen twee vectoren. 
  
  De hoek  tussen twee vectoren  en  kan berekend worden met:
   
  
  Waarbij gebruik gemaakt wordt van het inwendig product. Dit geldt meer algemeen in elke inwendig-productruimte. 
  
  Alternatief kan de hoek berekend worden met:
   
  
  Waarbij gebruik gemaakt wordt van het kruisproduct.
  
  Voorbeelden van het omzetten naar een hoek tussen twee vectoren:
   De hoek tussen twee lijnen wordt berekend uit richtingsvectoren van beide lijnen.
   De hoek tussen twee vlakken wordt berekend uit de hoek tussen normaalvectoren van de vlakken.
   De hoek  tussen een vlak en een lijn wordt berekend uit het complement van de hoek  tussen een normaalvector op het vlak en een richtingsvector van de lijn: 
   
  
  In hogerdimensionale ruimten is een hoek tussen twee snijdende rechten gewoon de hoek in het vlak van de rechten.
  
  Riemann-meetkunde 
  In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en gij de komponenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek
  
  Gebruik 
  
  Een greep uit de talloze toepassingen:
   in de wiskunde (meetkunde):
   coördinatenstelsels zoals poolcoördinaten en bolcoördinaten
   hoeken van Euler
   in de geodesie (aardrijkskunde):
   azimut
   lengte- en breedtegraad
   in de sterrenkunde
   de definitie van de parsec: De parsec is de afstand die men vanaf de Aarde de ruimte moet ingaan, opdat men van die afstand de gemiddelde afstand Aarde -zon onder een hoek van één boogseconde ziet (zie figuur).
   de afbuiging van licht bij een zware massa: zie zwaartekrachtlens
  
   in de optica (natuurkunde)
   invalshoek: hoek tussen de invallende stralen en de normaal op het scheidingsvlak tussen twee middenstoffen
   parallax
   hoek van diffractie bij een (reflectie)tralie.
   in de aerodynamica: de invalshoek is de hoek waarlangs het fluïdum het vleugelprofiel treft
   bij de scheepsbewegingen van schepen en vliegtuigen: rol-, gier- en stamphoeken
  
  Verhouding tussen hoek, tijd en afstand op Aarde 
  Onderstaande tabel geeft de verhouding tussen de hoek vanuit het massamiddelpunt van de Aarde, de corresponderende aardrotatietijd en afstand over de aardbol op de evenaar.
  
  "Hoek" in het dagelijks taalgebruik 
  Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:
   Hij komt grappig uit de hoek.
   Het hoekje om gaan (een eufemisme voor sterven).
   In de hoek staan (voor straf in de klas in de hoek gezet worden).
   Het gezin is de hoeksteen van de samenleving (metafoor waarin de samenleving voorgesteld wordt als een boog en het gezin als de 'sluitsteen' die het geheel stabiel maakt).
   De wind waait uit een andere hoek (uit de scheepvaart; figuurlijk betekent dit dat veel zal gaan veranderen).
   Het Duitse woord voor hoek is Winkel. Dit komt in het Nederlands terug in het woord winkelhaak. Het Nederlandse woord winkel is afgeleid van de hoeken van (kerk-)gebouwen waarin vaak verkoopkramen stonden.
  
  Dimensieloos getal
  Meetkunde