title: Eerste-ordesysteem
text: Een eerste-ordesysteem is een lineair tijdinvariant continu systeem dat gemodelleerd kan worden als een integrator met een negatieve terugkoppeling.
  
  Veel dynamische systemen zijn bij benadering eerste-ordesystemen, bijvoorbeeld een leeglopend bad of een bord eten dat staat af te koelen.
  
  De 'integrator' is een reservoir dat tastbare materie kan bevatten, zoals bij het bad, maar bijvoorbeeld ook warmte, zoals bij het dampende bord, of elektrische lading, zoals op een condensator. Het zuiverste voorbeeld van een lineair eerste-ordeproces is radioactief verval.
  
  In een eerste-ordesysteem verliest het reservoir inhoud met een snelheid die evenredig is met de inhoud van het reservoir: het bad loopt sneller leeg naarmate het voller is en de warme maaltijd koelt het snelst af als het net op tafel gezet is. Het reservoir is de temperatuur boven kamertemperatuur.
  
  Differentiaalvergelijking 
  De algemene differentiaalvergelijking van een eerste-ordesysteem met invoer (excitatie)  en uitvoer (respons)  is:
   
  
  In het linkerlid staat de informatie over het systeem zelf: de eerste term beschrijft de tijdsafhankelijkheid, waarbij  de dimensie tijd heeft. Een positieve waarde correspondeert met een negatieve terugkoppeling. Het rechterlid is voor het oplossen van de differentiaalvergelijking gewoon een gegeven functie. Deze wordt echter hier gemodelleerd als een uitdrukking in termen van een excitatiefunctie .
  
  Laplacetransformatie 
  Met behulp van de laplacegetransformeerden  van  en  van  volgt:
   ,
  waaruit
   
  Dus
   ,
  
  zodat
   
  
  Daaruit volgt dat de transferfunctie gelijk is aan
  
  Oplossing 
  Het geval zonder excitatie heeft de bijbehorende homogene lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde
   
  met de algemene oplossing:
   
  
  met  een integratieconstante. Verder is  de tijdconstante van het systeem. Deze geeft aan hoe snel de exponentiële afname gaat. Na drie tijdconstanten is de exponentiële functie reeds voor 95% uitgewerkt, na vijf tijdconstanten voor meer dan 99%. De halveringstijd is gelijk aan ln(2) (ongeveer 0,693) maal deze exponentiële tijdconstante. Dit homogene deel van de oplossing heet het overgangsgedrag (transiënt gedrag). Het is tijdelijk actief bij het opstarten van een excitatie, of bij het wijzigen van het type excitatie.
  
  Algemene oplossing 
  De algemene oplossing is
   
  
  met  een willekeurig tijdstip.
  
  De tweede term is de particuliere oplossing die alleen de effecten van de inputs  bevat, met kleinere doorwerking naarmate de input langer geleden is.
  
  Geval b=0 
  In het geval dat , hangt de respons  alleen af van de excitatie  zelf. Zonder verlies van algemeenheid kan  gesteld worden:
   
  
  Zie lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde voor het geval van een tijdsafhankelijke , waardoor de doorwerkingsfactor niet alleen van de tijdsduur van de sinds de input verstreken tijd afhangt, maar van de waarden van  in het hele tijdsinterval, waardoor een geneste extra integraal nodig is.
  
  Impulsrespons 
  Voor  (een diracpuls op tijd ) is de algemene oplossing
   
  
  De oplossing van de homogene vergelijking:
   
  komt voor  overeen met de respons  op een input , die de beginwaarde  creëert vanuit de nulwaarde.
  
  De impulsrespons is de respons op :
  
  Staprespons 
  De staprespons (stapresponsie) is de integraal van de impulsrespons:
  
  Exponentiële input 
  Voor , met willekeurige complexe  en , heeft de vergelijking de algemene oplossing
   
  
  mits 
  
  Voor  heeft de vergelijking dus de algemene oplossing
   
  
  of, met de eerste term in poolcoördinaten,
   
   
  
  met .
  
  De faseverschuiving is daarmee . Het is de mate waarin het argument voorloopt. Het loopt dus  achter.
  
  Bij een fysiek systeem geeft een reële input een reële output, en het bijbehorende abstracte systeem bij een zuiver imaginaire invoer dus ook een zuiver imaginaire output. Daarom is het reële deel van een complexe output de output van het reële deel van de input. De  is hier in het complexe geval een willekeurig complex getal, en in het reële geval een willekeurig reëel getal.
  
  Voor een invoer 
   
  
  is de algemene uitdrukking voor de output daarom
   
   
  
  Voor  heeft de vergelijking de algemene oplossing
  
  Frequentierespons 
  De frequentierespons is , waarbij  de reeds genoemde transferfunctie is. 
  
  In dit systeem:
  
  Amplituderespons 
  De amplituderespons is de absolute waarde van , waarbij  de reeds genoemde transferfunctie is. De amplituderespons is de amplitude van het niet-transiënte deel van  gedeeld door de amplitude van . 
  
  In dit systeem:
  
  Systeemkenmerken
  
  Filter 
  Indien  gedraagt het systeem zich als een laagdoorlaatfilter. Als de excitatie  een hoogfrequente sinus is, zal het systeem deze in hoge mate onderdrukken. 
  
  Als omgekeerd  gedraagt het systeem zich als een hoogdoorlaatfilter en wordt een constante excitatie en een laagfrequente sinus onderdrukt.
  
  De polen en nulpunten van een systeem zijn respectievelijk de nulpunten van de noemer en de teller van zijn transferfunctie. Voor een eerste-ordelaagdoorlaatsysteem ligt de enige pool in  en het enige nulpunt op oneindig.
  
  Eerste-ordehoogdoorlaatsysteem 
  De systeemfunctie is:
   
  
  De frequentierespons is:
   
  
  Met als amplituderespons:
   
  
  De enige pool ligt in  en het enige nulpunt ligt in de oorsprong .
  
  De impulsrespons is:
   
  
  De staprespons (stapresponsie) is:
  
  Voorbeelden
  
  Laagdoorlaatsystemen 
   Eerste-orde passief laagdoorlaatfilter
  
   Dit filter bevat een weerstand en een condensator. De excitatie is een spanning , de respons eveneens een spanning . Passief duidt op de afwezigheid van een operationele versterker als actieve component.
  
   De differentiaalvergelijking is:
   
   De transferfunctie is:
   
   Het opladen van een condensator over een weerstand. De excitatie is een spanning , de respons de lading  op de condensator.
   De differentiaalvergelijking is:
   
   De transferfunctie is:
   
   Het snelheidsverloop van een object
   Op een object met massa  wordt als excitatie een kracht  uitgeoefend. De weerstand van de omgeving wordt verondersteld evenredig te zijn met de snelheid. Dit heet viskeuze demping, met  de dempingsconstante. Als respons van het systeem wordt de snelheid  van het object gekozen.
   De differentiaalvergelijking is:
   
   De transferfunctie is:
  
  Hoogdoorlaatsysteem 
   Eerste-orde passief hoogdoorlaatfilter.
  
   Dit filter bevat één weerstand en een condensator. De excitatie is een spanning , de respons eveneens een spanning .
   De differentiaalvergelijking is:
   
   De transferfunctie is:
   
  
  Differentiaalvergelijking
  Systeemtheorie