title: Grote-O-notatie
text: In de wiskunde is de grote-O-notatie, ook het grote-O-symbool, een van de Landau-symbolen waarmee op compacte wijze aangegeven kan worden dat een functie asymptotisch gedomineerd wordt door een andere functie. Meestal is de dominerende functie van een eenvoudige vorm, zodat een overzichtelijke indruk verkregen wordt van het asymptotische gedrag van de doelfunctie. 
  
  Een andere manier om het asymptotische gedrag van de ene functie  te vergelijken met een andere functie  is het bepalen van de relevante limiet van het quotiënt . Bij de grote-O-notatie gaat het slechts om een ongelijkheid, dus dat is een zwakkere eigenschap.
  
  Definitie
  Men zegt dat de functie  zich voor  gedraagt als grote O van , en noteert
  
  of 
  ,
  
  als er een positief getal  en een getal  is, zodanig dat voor  geldt
  
  Dit houdt in dat voor voldoend grote   in absolute waarde begrensd wordt door .
  
  Analoog wordt de notatie gebruikt om het gedrag van  in de buurt van een punt  te karakteriseren.
  
  of
  ,
  
  als er positieve getallen  zijn, zodanig dat voor  geldt
  
  Dit houdt in dat voor waarden van  in de buurt van   in absolute waarde begrensd wordt door .
  
  Notatie
  De notatie met het '='-teken is historisch bepaald, maar maakt eigenlijk misbruik van dat teken. In wezen wordt in de uitspraak: " is " het woordje 'is' als '=' geschreven. De modernere notatie met ''-teken is daarentegen wel correct, als met  de verzameling functies aangeduid wordt die de bedoelde eigenschap bezitten. Deze verzameling functies is een lineaire ruimte, zoals eenvoudig aangetoond kan worden.
  
  Met  wordt bedoeld .
  
  Geschiedenis
  Het symbool (grote) O, dat een afkorting is van 'orde', werd voor het eerst gebruikt door
  de Duitse getaltheoreticus Paul Bachmann in de in 1894 verschenen 2e druk van zijn boek Analytische Zahlentheorie. Bekendheid kreeg de notatie door de eveneens Duitse getaltheoreticus Edmund Landau, wiens naam met de symboliek verbonden is.
  
  Voorbeelden
  Asymptotisch geldt:
  ,
  
  wat ook te begrijpen is, omdat voor grote  de term met de hoogste macht,  , overheerst.
  
  Met de grote-O notatie kan de restterm beschreven worden in de benadering van een functie. 
  
  waarmee uitgedrukt wordt dat het verschil  voor waarden van  dicht bij 0 en zekere  kleiner is dan .
  
  Informatica 
  De notatie wordt in de informatica gebruikt om de (tijds)complexiteitsgraad van algoritmen uit te drukken in termen van een geheel getal als parameter, waarbij het gaat om het aantal elementaire bewerkingen als functie hiervan, als de parameter naar oneindig gaat. Deze notatie is een 'slechtste-geval' maat. Ze geeft enkel informatie over het maximaal aantal elementaire bewerkingen dat een algoritme bij gegeven invoergrootte zal uitvoeren. De notatie is machine-onafhankelijk.
  
  Algoritmen met een complexiteit  en  de invoergrootte, heten polynomiaal. Algoritmen met een complexiteit ,  heten exponentieel. Merk opnieuw op dat polynomiale algoritmen exponentieel zijn, maar omgekeerd niet.
  
  Merk op dat  tevens  impliceert. Immers als het algoritme trager of gelijk aan  groeit, dan zeker trager dan . Dit is algemeen geldig in de grote-O-notatie: een lagere complexiteit impliceert een hogere complexiteit.
  
  Veel voorkomende ordes voor functies zijn, in volgorde van stijgende complexiteit:
  
  Complexiteitstheorie