title: Von Neumann-algebra
text: Een von Neumann-algebra of W*-algebra heeft enkele equivalente definities: een von Neumann-algebra is:
  
   een involutieve unitale deel-algebra van de begrensde operatoren B(H) op een Hilbert-ruimte H, gesloten voor de ultra-zwakke topologie;
   een involutieve deel-algebra van de begrensde operatoren op een Hilbert-ruimte, zodat M gelijk is aan zijn bi-commutant M;
   een unitale C*-algebra met een pre-duale als Banach-ruimte. Deze pre-duale is op isomorfisme na uniek, en gelijk aan de ruimte van normale functionalen op de von Neumann-algebra.  
  
  De equivalentie tussen de eerste twee definities is de inhoud van von Neumanns bi-commutant-stelling. Ze geeft aan dat von Neumann-algebra's op louter algebraïsche wijze gekarakteriseerd kunnen worden. De equivalentie tussen de eerste definitie en de laatste definitie moet als volgt worden opgevat: voor elke von Neumann-algebra bestaat er een injectief, (zwak-*)-(ultra-zwak) continu *-homomorfisme naar de verzameling begrensde operatoren op een Hilbertruimte. Dit betekent dus dat de volledige structuur van een von Neumann-algebra concreet gerepresenteerd kan worden. Deze situatie is analoog aan deze voor C*-algebras. 
  
  Een von Neumann-algebra die representeerbaar is op een Hilbert-ruimte met een aftelbare basis, wordt -eindig genoemd.
  
  Een von Neumann-algebra met triviaal centrum wordt een factor genoemd.
  
  De von Neumann-algebra is genoemd naar de Hongaars-Amerikaanse wiskundige John von Neumann.
  
  Geschiedenis  
  Von Neumann-algebra's werden vanaf de jaren 30 onder de naam 'Rings of operators' bestudeerd in enkele papers van John von Neumann en Francis Murray,  in het kader van het ontwikkelen van een rigoureuze wiskundige taal om kwantummechanica in te beschrijven. Hier reeds wordt een opdeling van factoren gegeven volgens type.  Von Neumann zelf zag type II1 als het goede kader om een 'kwantum-meetkunde' of 'continue meetkunde' in te bestuderen (verwijzend naar het continue bereik van de dimensie-functie). Verder fysisch onderzoek wees echter uit dat vooral factoren van het type III opduiken in kwantum-mechanische systemen, types die in de tijd van von Neumann eerder als pathologisch werden gezien, en waarvan zelfs het bestaan onduidelijk was. Met behulp van Tomita-Takesaki-theorie en het werk van onder andere Araki en Woods, slaagde Alain Connes er in zijn proefschrift uit 1973 in, om een verdere classificatie van factoren van het type III te geven. Tevens wordt hierin gewag gemaakt van het intrinsiek dynamisch karakter ('een godgegeven tijdsevolutie' (Connes)) van een niet-commutatief systeem: voor elke factor bestaat er een uniek homomorfisme van R naar de groep van automorfismes van M, modulo de inwendige automorfismes.
  
  Classificatie
  
  Classificatie van factoren 
  
  Op de verzameling projecties P van een factor M kan, op vermenigvuldiging met een positieve scalair na, een unieke dimensie-functie d gedefinieerd worden. Dit is een functie d van P naar R+U {∞} die voldoet aan:
    als pi orthogonale projecties in M zijn,
   d(p)=d(q) als p en q von Neumann-equivalent zijn, i.e. als er een partiële isometrie u in M bestaat zodat p=u*u en q=uu*
   d(p)=0 als en slechts als p=0. 
  
  Met behulp van het beeld Im(d) van deze functie kunnen factoren in verschillende types onderverdeeld worden: Een factor is
  
   van type In, met n een natuurlijk getal, als Im(d)={1,2, ...,n},
   van type I∞ als Im(d)=N0U{∞},
   van type II1 als Im(d)=[0,1],
   van type II∞ als Im(d)=R+U{∞},
   van type III als Im(d)={0,∞}.
  
  Een factor, niet van het type III, wordt semi-finiet genoemd. Deze kunnen gekarakteriseerd worden als de factoren waarvoor een getrouw, semi-finiet, normaal spoor bestaat, noodzakelijk (op een positieve skalar na) uniek. Een factor van het type In of II1 wordt eindig genoemd. Dit zijn de factoren waarvoor een getrouw eindig spoor bestaat. Een factor van het type II∞ of III wordt 'echt oneindig' genoemd.
  
  Elke von Neumann-algebra kan 'ontbonden' worden in factoren via een desintegratie over zijn centrum. Als in deze decompositie bijna alle factoren van een bepaald type zijn, wordt de von Neumann-algebra gezegd van dit type te zijn.
  
   Classificatie van factoren van het type III 
  
  Zij M een factor van het type III. Kies een modulaire eenparameter-groep op M, en zij N het gekruist product van M met deze eenparameter-groep. N zal dan een von Neumann-algebra van het type II∞ zijn. Zij  de duale eenparameter-groep op N, beperkt tot het centrum Z(N) van N. Het systeem (Z(N),,R) wordt de 'flow of weights' op M genoemd. 
  
   Als  periodisch is met periode T=-ln(s)>0, dan wordt M van het type IIIs genoemd.
   Als  triviale kern heeft, dan is M van het type III0. 
   Als het centrum van N triviaal is (dus N is een factor), dan is M van het type III1.
  
  Deze classificatie kan ook gemaakt worden aan de hand van het gezamenlijke spectrum van alle modulaire operatoren horende bij M.
  
  Het is merkwaardig dat er een goede structuur-theorie mogelijk is voor factoren van het type III, daar deze gedefinieerd worden via exclusie: het zijn de factoren waarvoor geen goede dimensie-functie bestaat.
  
   Voorbeelden  
  
   De ruimte L∞([0,1]) van essentieel begrensde (d.i. bijna overal begrensde) functies op [0,1] met de Lebesgue-maat, voorzien van de norm , is een commutatieve von Neumann algebra. In feite is dit het enige 'niet-discrete' voorbeeld van een commutatieve von Neumann-algebra: elke -eindige commutatieve von Neumann-algebra zonder minimale projectie is ermee isomorf. Zie ook Lp-ruimte.
   De ruimte van alle begrensde operatoren op een Hilbert-ruimte vormt een von Neumann-algebra. Elke factor van het type I is van deze vorm.
   Zij G een lokaal compacte groep. Zij  L2(G) de Hilbertruimte van kwadratisch integreerbare functies op G, voorzien van de linkse Haar-maat.  Beschouw de operatoren u(g) op L2(G), , gegeven door . De ultra-zwakke sluiting van de algebra voortgebracht door de u(g) vormt een von Neumann-algebra, de 'linkse groeps-von Neumann-algebra van G genoemd.
   Zij M2 de algebra van 2 bij 2-matrices over C', en beschouw het aftelbaar oneindig tensor-product van M2 met zichzelf, genomen via het gewone spoor op elke M2. Dan is deze von Neumann-algebra van het type II1''.
  
  Functionaalanalyse