title: Kwadratisch geheel getal
text: In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen.
  
  Definitie  
  Kwadratische gehele getallen zijn oplossingen van vergelijkingen van de vorm:
  x2 + Bx + C = 0
  voor gehele getallen B en C. Deze oplossingen hebben de vorm a + ωb, waar a, b gehele getallen zijn, en waar ω wordt gedefinieerd als;
  
  (D is een kwadraatvrij geheel getal).
  
  Deze karakterisering werd in 1871 als eerste door Richard Dedekind gegeven. Kwadratische gehele getallen vormen een deelring van een kwadratisch veld , dat de kwadratische ring van gehele getallen wordt genoemd en dat wordt aangeduid door Z[ω]. Bovendien is Z[ω] de integrale afsluiting van Z in . In andere woorden het is de ring van de gehele getallen  van  en dus een Dedekind-domein.
  
  Voorbeelden 
   Een klassiek voorbeeld is , de gehele getallen van Gauss, die rond 1800 door Carl Friedrich Gauss in zijn formulering van de bikwadratische wederkerigheid werden geïntroduceerd. 
   De elementen in  worden gehele getallen van Eisenstein genoemd.
   In tegenstelling hiermee is  niet eens een Dedekind-domein.
  
  Klassegetal 
  Uitgerust met de norm
  ,
  is  een Euclidisch domein (a fortiori, UFD) wanneer  Aan de andere kan bleek dat  geen UFD is, omdat het een onherleidbaar element bevat dat geen priemelement is. Het getal 6 heeft bijvoorbeeld twee verschillende factorisaties in niet-reduceerbare getallen:
  
  In feite heeft  klassegetal 2. Het falen van de unieke factorisatie spoorde Ernst Kummer en Richard Dedekind ertoe aan een theorie te ontwikkelen die de verzameling van "priemgetallen" zou uitbreiden; het resultaat was de notie van idealen en de decompositie van idealen door priemidealen.
  
  Zijnde een Dedekind-domein, is een kwadratische ring van gehele getallen dan en slechts dan een uniek factorisatiedomein als het ook een  hoofdideaaldomein is (dat wil zeggen dat haar klassegetal gelijk is aan 1). Er bestaan echter kwadratische ringen van gehele getallen die wel hoofdideaaldomeinen, maar die geen Euclidische domeinen zijn. De velduitbreiding  heeft bijvoorbeeld klassegetal 1, maar haar ring van gehele getallen is niet euclidisch. Er bestaan effectieve methoden om ideale klassegroepen van kwadratische ringen van gehele getallen te berekenen, maar veel theoretische vragen over hun structuur staan na meer dan honderd jaar nog steeds open.
  
  Zie ook 
  Laatste stelling van Fermat
  Vergelijking van Pell
  
  Voetnoten
  
  Referenties 
   , "Elements of the history of mathematics", Berlijn, Springer-Verlag, MR1290116, ISBN 978-3-540-64767-6, vanuit het Frans naar het Engels vertaald door John Meldrum 
   , Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet, ed. 2, 1871, Vieweg.
    en , 2004. Abstract Algebra, 3e ed.
   , Algebraïsche getaltheorie, Versie 3.01, 28 september, 2008. online lecture note
  
  Algebraïsche getaltheorie