title: Richtingsveld
text: In de wiskunde is een richtingsveld een ruimtelijke weergave van de richtingen van de oplossingen van een eerste-orde-differentiaalvergelijking. Een richtingsveld kan worden gemaakt zonder de differentiaalvergelijking analytisch op te lossen en is daarom nuttig als indicatie van de integraalkrommen. Een richtingsveld kan worden gebruikt om de oplossingen numeriek te benaderen en een grafische voorstelling van het richtingsveld kan de oplossingen kwalitatief visualiseren.
  
  Definitie
  De eerste-orde-differentiaalvergelijking
  
  geeft voor elke waarde van  en  de helling van de raaklijn aan de integraalkromme in dat punt. Het richtingsveld wordt gegeven door aan elk punt  een vector met helling  toe te voegen. Men kiest daarvoor de vector  of de genormeerde versie daarvan.
  
  Voor een stelsel eerste-orde-differentiaalvergelijkingen
  
  is het richtingsveld een array van hellingsmarkeringen in de faseruimte (in elk willekeurig aantal dimensies, afhankelijk van het aantal relevante variabelen;  bijvoorbeeld, twee in het geval van een eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking, zoals in het plaatje rechts te zien is.) Elke hellingsmarkering is gecentreerd op een punt  en loopt parallel aan de vector 
  
  Het aantal, de positie en lengte van de hellingmarkeringen kunnen willekeurig zijn. De posities worden meestal gekozen als   voor willekeurige (maar meestal gelijke)  en voor alle gehele getallen , die punten binnen de gekozen  intervallen produceren. De lengte van de hellingsmarkeringen is meestal geheel uniform en unitair of niet groter dan de kleinste van .
  
  Definitie, onafhankelijk van differentiaalvergelijkingen
  In de differentiaalvergelijkingen hierboven zijn alleen de rechterleden van belang voor de bepaling van het richtingsveld; vandaar de volgende, algemenere definitie:
  
  Zij  een open deelverzameling van de -dimensionale euclidische ruimte. Een richtingsveld op  is een afbeelding die met elk punt  van  een rechte door  associeert.
  
  Deze definitie omvat het eerdere geval door met ieder punt  in  dimensies de rechte te associëren die door  gaat met richtingsgetallen 
  
  Een integraalkromme van het richtingsveld is een differentieerbare kromme waarvan de raaklijn in ieder punt samenvalt met het richtingsveld in dat punt.
  
  Zie ook
  Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen
  
  Externe links
   http://mathworld.wolfram.com/SlopeField.html Richtingsveld op MathWorld
   Richtingsveldplotter
  
  Referenties
   ;  en  (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1
  
  Differentiaalvergelijking