title: Ring van de gehele getallen
text: In de algebraïsche getaltheorie is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebraïsche structuur , uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring.
  
  Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam , vaak aangeduid met  of met , de ring van algebraïsche gehele getallen in .
  
  Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we  schrijven, dit aangezien , zoals hierboven, de ring van gehele getallen van het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)  van de rationale getallen is. En inderdaad worden in de algebraïsche getaltheorie de elementen van  daarom vaak de rationale gehele getallen genoemd.
  
  De ring van gehele getallen  is een -moduul. Minder duidelijk is het dat het een vrij -moduul is en dus een basis heeft, waarmee wij bedoelen dat er een  bestaat, de basis, zodanig dat ieder element  in  op unieke wijze kan worden weergegeven als
  
  met . De rang  van  als een vrij -moduul is gelijk aan de graad van  over .
  
  Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-domeinen.
  
  Voorbeelden  
  Indien  een -de eenheidswortel en  het corresponderende clotomische lichaam/veld is, dan wordt een basis van   gegeven door .
  
  Als  een kwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) is,  wordt een basis van  gegeven door  als  (rekenen modulo 4) en door  als 
  
  De ring van -adische getallen  is de ring van gehele getallen van een -adisch getal .
  
  Zie ook 
   Kwadratisch geheel getal
  
  Ringtheorie
  Algebraïsche getaltheorie