title: Representatietheorie
text: Representatietheorie is een tak van de wiskunde, die abstracte algebraïsche structuren bestudeert door hun elementen te representeren als lineaire transformaties van vectorruimten.
  
  Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de elementen van dit algebraïsch object door matrices en algebraïsche operaties in termen van matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de groepen, associatieve algebra's en lie-algebra's. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de representatie van groepen, waarin elementen van een groep worden weergegeven door inverteerbare matrices met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging.
  
  Representatietheorie is een krachtig instrument, omdat het problemen uit de abstracte algebra reduceert tot problemen in de lineaire algebra, die over het algemeen beter worden begrepen. Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een groep wordt weergegeven, oneindig dimensionaal zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een hilbertruimte is, kunnen methoden uit de analyse worden toegepast op de groepentheorie. Representatietheorie is ook belangrijk in de natuurkunde, omdat zij bijvoorbeeld beschrijft hoe de symmetriegroep van een natuurkundig systeem de oplossingen beïnvloedt van vergelijkingen die dit natuurkundige systeem beschrijven.
  
  Een opvallend kenmerk van de representatietheorie is haar alomtegenwoordigheid in de wiskunde. Hier zitten twee kanten aan. Ten eerste zijn de toepassingen van de representatietheorie divers: naast haar invloed op de algebra, heeft de representatietheorie ook fourieranalyse (via de harmonische analyse) sterk verhelderd en veralgemeend. De theorie is ook diep verbonden met de meetkunde via de invariantentheorie en het erlangen-programma van Felix Klein. Ook heeft de representatietheorie een enorme invloed uitgeoefend op de getaltheorie via de theorie van de automorfe vormen en het langlands-programma. Het tweede aspect is de diversiteit van de benaderingen van de representatietheorie. Dezelfde objecten kunnen worden bestudeerd met behulp van methoden uit de algebraïsche meetkunde, de moduletheorie, de analytische getaltheorie, de differentiaalmeetkunde, de operatorentheorie en de topologie.
  
  Het succes van de representatietheorie heeft tot tal van generalisaties geleid. De meest algemene daarvan is in de categorietheorie. De algebraïsche objecten waarop de representatietheorie van toepassing is, kunnen worden gezien als een bijzondere soort categorieën, en de representaties als functors van de objectcategorie naar de categorie van vectorruimten. Deze beschrijving wijst naar twee voor de hand liggende generalisaties: ten eerste, dat algebraïsche objecten kunnen worden vervangen door meer algemene categorieën, ten tweede dat de doelcategorie van de vectorruimten kan worden vervangen door andere goed begrepen categorieën.
  
  Voetnoten
  
  Groepentheorie
  Abstracte algebra