title: Continue functie (analyse)
text: Een continue functie is in de wiskunde een functie waarvan kleine veranderingen van een variabele resulteren in kleine veranderingen van de functiewaarde. Continue afbeeldingen zijn onderwerp van studie in bijvoorbeeld de analyse en de topologie.
  
  Veel bekende functies op de reële getallen, zoals  voor , de e-macht, de functies sinus en cosinus, zijn continu. Ook zijn de som, het verschil en het product van twee continue functies weer continu. Er bestaan verschillende definities van het begrip continuïteit. De bekendste is de epsilon-delta-definitie, die de bovenstaande populaire formulering precisieert.
  
  Definitie
  
  Analyse 
  Een functie  heet continu in het punt , als er voor elke  een  is, zodanig dat voor alle punten  waarvoor , die dus bij  in de buurt liggen, geldt dat , wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen.
  
  Een equivalente definitie is dat een functie  continu is in een punt  als .
  
  De functie  is continu als deze continu is in iedere a in het domein van .
  
  Meetkunde 
  Het begrip continuïteit kan uitgebreid worden naar metrische ruimten. Als  en  metrische ruimten zijn met respectievelijke metrieken  en , en  is een punt in , dan is een functie  continu in het punt  als er voor elke  een  is, zodanig dat voor elk punt  waarvoor  geldt dat . 
  
  Een functie is continu op , of kortweg continu, als de functie continu is in elk punt van .
  
  Topologie 
  
  In de topologie heet een afbeelding  van de topologische ruimte  naar de topologische ruimte  continu in het punt , als voor elke omgeving  van  er een omgeving  van  bestaat zodanig dat . Als  continu is in elke , zegt men simpelweg dat  continu is. Aangetoond kan worden dat voor metrische ruimten, die altijd ook topologische ruimten zijn, de beide begrippen van continuïteit equivalent zijn.
  
  Voorbeelden 
  
  De blauwe en de rode krommen zijn continu, de groene niet (er zijn sprongpunten).
  
  In de onderstaande figuur staan de afgeleiden van bovenstaande krommen voor zover deze bestaan. De groene lijn heeft twee onderbrekingen (niet aangegeven in de figuur). Van de rode kromme is de afgeleide in het middengedeelte gelijk aan 0.
  
  Merk op dat, hoewel de rode kromme continu was, zijn eerste afgeleide niet continu is, er zijn twee sprongpunten in de afgeleide: punten waar de richtingscoëfficiënt in de kromme (zie bovenste figuur) verandert.
  
  Verklarend voorbeeld
  Beschouw de functie  en bereken de limiet ervan in de punten  en .
  
  Bereken de functiewaarden in punten dichtbij :
  
  {|border="1" cellspacing="0" cellpadding="4" style="text-align:center;"
  |||||||||||||
  |-
  |||||||||||||
  |}
  
  Proberenderwijs blijkt dat de limiet van  in  waarschijnlijk −1 is:
  
  Merk op dat de functie  voor  gedefinieerd is.  Wat is de functiewaarde in dat punt:
  
  De functiewaarde in het punt  is gelijk aan de limiet van de functie in dat punt. Dat is de definitie van continuïteit; het lijkt redelijk te veronderstellen dat  continu is in het punt .
  
  Bereken nu de functiewaarden in punten dichtbij . 
  
  De functie  lijkt een limiet in  te hebben gelijk aan −0,5:
  
  Komt deze limiet overeen met de functiewaarde in dat punt? De functie is niet gedefinieerd voor ; de noemer wordt namelijk nul. Hier bestaat de limiet, maar de functiewaarde niet. De functie is niet continu in .
  
  Intuïtie 
  Intuïtief wordt weleens aangenomen dat een functie alleen continu is indien de grafiek geen sprongen vertoont. Dit is echter niet waar. Een voorbeeld hiervan is de functie  gegeven door:
  
  Deze functie maakt duidelijk een sprong in 1, maar is continu. Dit is te verklaren doordat 1 niet in het domein van de functie ligt.
  
  Uniforme continuïteit 
  Een functie  heet uniform continu als voor elke  een  bestaat, zodat voor alle  geldt dat uit  volgt dat .
  
  Uniforme continuïteit is sterker dan gewone continuïteit, elke functie die uniform continu is is ook continu. Het omgekeerde geldt echter niet altijd. Beschouw weer de functie  gegeven door:
  
  Deze is continu maar niet uniform continu.
  
  Stuksgewijze continuïteit 
  Als er een partitie van het domein van  bestaat waarvoor  uniform continu is in elk interval, dan is  stuksgewijs continu. Dit houdt niet noodzakelijk in dat  in de randpunten van de deelintervallen gedefinieerd is. Wegens de definitie van uniforme continuïteit kan men besluiten dat  uitbreidbaar is in de randpunten van de deelintervallen.
  
  Een stuksgewijze continue functie kan opgevat worden als een aaneenschakeling van continue functies in een gesloten interval.
  
  In voorbeeld 1 hierboven is de groene functie een stuksgewijs continue functie.
  
  Eigenschappen van continue functies 
  Bij de bewijzen van de volgende eigenschappen van continue functies is de stelling van de kleinste bovengrens nodig.
   Elke functie die op een gesloten en begrensd interval continu is, is daar ook begrensd. De geslotenheid is hier van belang: de functie  is op het interval ]0, 1] wel continu, maar niet begrensd.
   Een functie die continu is op een bepaald interval en daar positieve en negatieve waarden aanneemt, heeft in dat interval ten minste één nulpunt. Een gevolg daarvan is:
   Een functie  die op een gesloten interval  continu is en verschillende waarden aanneemt in  en , neemt op dat interval elke waarde tussen  en  aan.
   Een continue functie beeldt compacte verzamelingen op compacte verzamelingen af.
   Een continue functie beeldt samenhangende verzamelingen op samenhangende verzamelingen af.
   Een functie die differentieerbaar is in het punt , is ook continu in ; het omgekeerde geldt niet algemeen.
  
  Bewijs voor continuïteit in geval van differentieerbaarheid
  Stel dat de functie  differentieerbaar is in . Dan is:
  
  ,
  
  dus is  continu in .
  
  Zie ook
   Linkscontinue functie
  
  Wiskundige analyse