title: Stelling van Dini
text: In de wiskunde zegt de stelling van Dini dat een monotoon stijgende rij van continue reëelwaardige functies op
  een compacte topologische ruimte die puntsgewijs convergeert, ook uniform convergent is. De stelling is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Ulisse Dini.
  
  Stelling
  Zij  een compacte topologische ruimte en  een monotoon stijgende rij, d.w.z. voor alle  en  is  van continue reëelwaardige functies op  Als de rij functies puntsgewijs convergeert naar een continue functie  is de rij ook uniform convergent.
  
  Een analoge stelling geldt voor een monotoon dalende rij  
  
  Dit is een van de weinige situaties in de wiskunde waarbij puntsgewijze convergentie uniforme convergentie impliceert. De sleutel hiertoe is het feit dat de rij monotoon is.
  
  Merk ook op dat de limiet een continue functie moet zijn. Indien de limietfunctie niet continu is, kan het volgende tegenvoorbeeld gegeven worden:  op het interval [0,1]. Elke  zal dit interval op zichzelf afbeelden; puntsgewijze convergentie is gemakkelijk in te zien. De limietfunctie  is overal 0, behalve in 1, daar is ze 1. De limiet is dus niet continu en ook is de convergentie niet uniform, want
  
  Bewijs
  Kies  en definieer voor elke  het verschil met de limietfunctie als . Zij verder . 
  
  Duidelijk is dat elke  continu is en elke  open.  Aangezien de rij  monotoon stijgt, daalt  monotoon. Bovendien is  een stijgende rij van verzamelingen. Aangezien  puntsgewijs convergeert naar  is  een open overdekking van . Door de compactheid van  bestaat er een  zodat  (eigenlijk zijn er eindig veel verzamelingen die  overdekken, maar deze zitten alle in een bepaalde ). Dan geldt als  en : 
   
    
  
  Hiermee is de stelling bewezen.
  
  Dini
  Wiskundige analyse