title: Poolcoördinaten
text: In de wiskunde zijn de poolcoördinaten  van een punt in een vlak de coördinaten waarmee de plaats van dat punt wordt vastgelegd ten opzichte van een vast punt O, de pool, en een halfrechte door dit punt, de poolas. Oftewel het is een 2D-coördinatensysteem, met als argumenten de afstand tot een poolpunt en hoek tot een pool-as. 
  
  De coördinaat , de straal, van een punt P is de afstand OP tot de pool, en de tweede coördinaat , het argument, is de georiënteerde hoek tussen de halfrechte van O door P en de poolas. Uit deze definitie blijkt dat het argument van een punt P niet eenduidig bepaald is. Met het argument  in radialen, zijn ook alle hoeken  voor gehele  argument van P. In specifieke toepassingen wordt het bereik van  daarom wel beperkt tot bijvoorbeeld  of . Voor de pool zelf is  en  onbepaald.
  
  Poolcoördinaten en cartesische coördinaten 
  
  Het verband tussen de cartesische coördinaten  en de poolcoördinaten  wordt gegeven door:
  
  Omgekeerd geldt:
  
  Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:
  
  Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek  als volgt in het interval  bepalen:
  
  Voorbeeld 
  Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten: 
  
  Dit punt heeft als poolcoördinaten:
  
   en .
  
  Coördinatentransformatie
  De jacobi-matrix van de bovengenoemde overgang van cartesische naar poolcoördinaten wordt bepaald door:
  
  In matrixnotatie wordt dit:
  
  Voor de booglengte geldt
  
  Als men een integraal in het -vlak moet omzetten naar poolcoördinaten  en , wordt het verband tussen de oppervlakte-elementjes  en  gegeven door
  
  De determinant in deze betrekking is de jacobiaan van de coördinatentransformatie:
  
  Vectorveld 
  Het is gebruikelijk een vectorveld 
  
  in poolcoördinaten te ontbinden in een component  langs de poolstraal en een component  loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:
  
  Omgekeerd:
  
  Complexe getallen 
  
  Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. 
  Het complexe getal  kan cartesisch worden weergeven als:
   waarin  het reële deel is en  het imaginaire deel.
  
  Met poolcoördinaten kan  geschreven worden als
   waarin  de modulus van  is en  het argument (in radialen) is.
  
  Voor  en  is  en , en ontstaat de Identiteit van Euler:
  
  Poolvergelijking
  
  Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen  en  Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm  of impliciet als  Daarin wordt de hoek  altijd uitgedrukt in radialen. Bij een gekozen stelsel poolcoördinaten vormen de oplossingen van een dergelijke vergelijking de grafiek van de poolvergelijking. Eenzelfde grafiek kan bij verschillende poolvergelijkingen horen.
  
  In een poolvergelijking van de vorm  mag de hoek  in principe alle reële getallen doorlopen.
  
  Onder de richting van een kromme K in een punt  verschillend van de pool wordt de richting van de raaklijn in P aan K verstaan, georiënteerd in de zin van toenemende waarden van  'De richting kan bepaald worden uit de hoek  tussen de raaklijn in P en de voerstraal OP (zie figuur). Voor deze hoek geldt:
  
  Voor bijvoorbeeld de logaritmische spiraal is  constant.
  
  Alternatieve definitie van poolcoördinaten
  
  In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal  ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.
  
  Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as  door OP. De abscis  van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat  van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de georiënteerde hoek  tussen de as  en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.
  
  Als  een differentieerbare functie van  is die door nul gaat voor  raakt de door  beschreven kromme daar aan de lijn  Bij toelaten van een negatieve  gaat voor die  de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij  met  voor  dan is de kromme bij toelaten van een negatieve  een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve  niet toegelaten, dan vervalt het deel  en heeft de kromme in O een knik.
  
  In natuurkundige formules betekent  vaak de norm (grootte) van de plaatsvector  Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de  zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde  (en ) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve  Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet , maar ; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende  en niet noodzakelijk in de richting van afnemende  Rekening moeten houden met een negatieve  wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.
  
  Voorbeelden
  
  Rechte lijn 
  De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als  ook negatief kan zijn een rechte lijn) door de pool is van de vorm  (constant).
  
  De vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat, is
  
  waarin  de afstand van de lijn tot de oorsprong is en  de richting loodrecht op de lijn.
  
  Een vergelijking van de rechte door de punten  en  is 
  
  (of  negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit).
  
  Cirkel 
  Een poolvergelijking van een cirkel met middelpunt in de pool en straal  is 
  
  Een vergelijking van een cirkel met middelpunt  en straal  is 
  
  De grafiek van 
  
  is een cirkel met middelpunt  door de pool O.
  
  Of  negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit.
  
  Kegelsnede
  Een poolvergelijking van een kegelsnede met excentriciteit  een brandpunt in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm 
  
  Daarin is  nog een parameter.
  
  Als  niet negatief mag worden is de grafiek van de vergelijking in het geval van een hyperbool slechts één tak, en moet  in de overige gevallen positief zijn. Als een negatieve waarde voor  niet wordt toegelaten, zijn  en  bijvoorbeeld de vergelijkingen van de takken van een hyperbool, maar anders elk de vergelijking van de hele hyperbool.
  
  De poolvergelijking van een ellips met de pool in het middelpunt en de poolas op de lange as, en met lange as  en korte as  is:
  
  Rotatie en poolvergelijking 
  
  Draait men een kromme K met poolvergelijking  om de pool over een hoek  dan heeft de gewentelde kromme een vergelijking 
  
  Voorbeeld
  De kromme K is gegeven door de poolvergelijking .Wentelt men de kromme over  radialen om de pool, dan is de vergelijking van de gewentelde kromme K':
  
  De krommen K en K' voldoen aan dezelfde vergelijking, ze vallen samen.
  
  Hogere dimensies 
  Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de -dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door , een voerstraal en  welgedefinieerde hoeken.
  
  Bol- en cilindercoördinaten 
  Het poolcoördinatenstelsel voor een 3D-ruimte wordt het bolcoördinatenstelsel  genoemd en wordt uitgedrukt in een extra hoek . Het wordt veel gebruikt in de exacte wetenschappen voor het uitdrukken van punten in bollen of bolvormige lichamen. Voor cilinders en cilindervormige lichamen in 3D-ruimte wordt in dit vakgebied gebruik gemaakt van de cilindercoördinaten , welke ook zijn afgeleid van de 2D-poolcoördinaten.
  
  Externe links 
   
   http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html 
   http://www.seriesmathstudy.com/polargraph.htm
  
  Zie ook 
   Gegeneraliseerde coördinaten
   Coördinatentransformatie
   Kromlijnige coördinaat
   Bolcoördinaten
   Cilindercoördinaten
   Poolcoördinaten in het Wikibook "Klassieke Mechanica"
   Spiraal (wiskunde)
  
  Meetkunde