title: Impulsoperator
text: De impulsoperator in de kwantummechanica
  
  waarin  de nabla is,
  correspondeert met de impuls
  
  in de klassieke mechanica. De impulsoperator wordt gebruikt in het hamiltonformalisme. De hamiltoniaan van een klassiek deeltje kan vertaald worden in de hamiltoniaan van een kwantumdeeltje door substitutie.
  
  De hamiltoniaan van een deeltje met kinetische energie T = ½ . m . v² en potentiële energie U is klassiek
  
  zodat de hamiltoniaan in de (niet-relativistische) kwantummechanica is
  .
  
  Theorie 
  Klassiek volgt uit de hamiltoniaan  de bewegingsvergelijking in één dimensie
  
  waarin F de kracht op een deeltje is.
  
  Kwantummechanisch bepaalt  in de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking de golffunctie  van een deeltje met energie E 
  .
  
  De schrödingervergelijking is in de kwantummechanica wat de eerste wet van Newton is in de klassieke mechanica.
  
  De impulsoperator  is in overeenstemming met de de Broglie's vergelijking
   waarin  het golfgetal is van een deeltje.
  De golffunctie heeft de vorm  dus
  ;
  
   is de eigenwaarde van de operator .
  
  In drie dimensies is de theorie hetzelfde.  en  zijn dan vectoren en  is de nabla operator.
  
  Toepassingen
  
  Tunneleffect 
  Laat vrije elektronen, U=0, met energie E op een potentiaal barrière V>E stuiten.
  
  Voor x<0 is de schrödingervergelijking
  
  een golfvergelijking met oplossing
  .
  
  Omdat  voor  is het geen acceptabele golffunctie maar wel bruikbaar om reflectie en transmissie te berekenen.  is geen kwantummechanische beschrijving van een elektron maar van een elektronbundel.
  
  Voor x>0 is de schrödingervergelijking
  
  met oplossing
  .
  
  C=0 zodat  voor . 
  De twee oplossingen moeten in x=0 glad aan elkaar passen:
  .
  
  Daaruit volgt:
  .
  
   dus er is totale reflectie van de bundel.  is een staande golf.
  
   dus er is penetratie van de bundel. Elektronen hebben een exponentieel afnemende kans  te komen in x>0 die klassiek ontoegankelijk is.
  
  Harmonische oscillator 
  Een elektron waarop een kracht -sx werkt bij uitwijking x van het evenwichtspunt x=0 slingert met frequentie . De potentiële energie U=½sx²
  dus de hamiltoniaan in de kwantummechanica is.
  .
  
  De tijdonafhankelijke schrödingervergelijking heeft alleen acceptabele oplossingen voor de golffunctie  als de elektronenergie E waarden heeft
  
  De bijbehorende golffuncties zijn:
  
  De functies Hn zijn Hermite polynomen:
  
  De eerste twee golffuncties zijn:
  ,
  
  .
  
  Hieruit blijken twee dingen:
  De mogelijke E-waarden een discreet spectrum vormen. Klassiek kan het elektron alle waarden E=½sa² hebben (a is de slingeramplitude).
  In de grondtoestand het elektron niet in rust is,  is niet 0. Klassiek is x=p=0 als de slinger in rust is, maar volgens Heisenberg bestaat die toestand niet. Er is een kans  dat x van 0 verschilt.
  
  Waterstofatoom 
  In het waterstofatoom is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern klassiek
  
  en dus kwantummechanisch
  .
  
  Voor de oplossing van de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking. 
  
  Kwantummechanica