title: Studentverdeling
text: De t-verdeling, ook wel studentverdeling genoemd (naar het pseudoniem "Student" van William Sealy Gosset), is een kansverdeling die is afgeleid van de normale verdeling en verbonden met de verdeling van het geschaalde steekproefgemiddelde van een aselecte steekproef uit een normale verdeling. Het is de verdeling van de toetsingsgrootheid  van de t-toets. Als  een aselecte steekproef is uit een normale verdeling met verwachtingswaarde  en standaardafwijking , dan is:
  
  De verdeling van  noemt men een t-verdeling met  zogenaamde vrijheidsgraden.
  
  Merk op dat  sterk lijkt op het gestandaardiseerde steekproefgemiddelde :
  
  dat standaardnormaal verdeeld is, en waarin als het ware de standaardafwijking  vervangen is door de steekproefstandaardafwijking . Nu is
  
  chi-kwadraatverdeeld  met  vrijheidsgraden, en zijn  en de steekproefvariantie  onderling onafhankelijk. Daarom definieert men algemeen:
  
  Definitie
  De t-verdeling met  vrijheidsgraden is de verdeling van de grootheid:
  
  ,
  
  waarin  en  onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn, respectievelijk standaardnormaal verdeeld en chi-kwadraatverdeeld met  vrijheidsgraden.
  
  Kansdichtheid 
  De grafiek van de kansdichtheid van de t-verdeling lijkt wat vorm betreft sterk op de standaardnormale verdeling, maar is wat 'breder'. Hoe kleiner het aantal vrijheidsgraden is, hoe 'breder' de grafiek van de kansdichtheid.
  
  Voor  vrijheidsgraden wordt deze kansdichtheid  gegeven door:
  
  Daarin is  de gammafunctie.
  
  Het bijzondere geval  heet Cauchyverdeling.
  
  De verwachtingswaarde bestaat voor  en is gelijk aan 0.
  De variantie bestaat voor  en is gelijk aan .
  
  Tabel van kritieke t-waarden 
  De onderstaande tabel geeft voor verschillende aantallen vrijheidsgraden  en een aantal rechter overschrijdingskansen , de bijbehorende kritieke waarde , volgens:
  
  waarin  t-verdeeld is met  vrijheidsgraden.
  
  Voor grote aantallen vrijheidsgraden geeft de laatste rij van de tabel als benadering de kritieke waarden van de standaard normale verdeling, die beschouwd kunnen worden als de kritieke waarden bij oneindig veel vrijheidsgraden.
  
  De waarden uit de tabel kunnen ook berekend worden met spreadsheets (Office Excel, OpenOffice Calc, etc.). De relevante spreadsheet functie is T.INV(α2-zijdig,ν).
  
  {| class="wikitable"
  ! ν
  ! colspan="11" | α
  |-
  !
  ! 25%
  ! 20%
  ! 15%
  ! 10%
  ! 5%
  ! 2,5%
  ! 1%
  ! 0,5%
  ! 0,25%
  ! 0,1%
  ! 0,05%
  |-
  ! 1
  |1,000
  |1,376
  |1,963
  |3,078
  |6,314
  |12,71
  |31,82
  |63,66
  |127,3
  |318,3
  |636,6
  |-
  ! 2
  |0,816
  |1,061
  |1,386
  |1,886
  |2,920
  |4,303
  |6,965
  |9,925
  |14,09
  |22,33
  |31,60
  |-
  ! 3
  |0,765
  |0,978
  |1,250
  |1,638
  |2,353
  |3,182
  |4,541
  |5,841
  |7,453
  |10,21
  |12,92
  |-
  ! 4
  |0,741
  |0,941
  |1,190
  |1,533
  |2,132
  |2,776
  |3,747
  |4,604
  |5,598
  |7,173
  |8,610
  |-
  ! 5
  |0,727
  |0,920
  |1,156
  |1,476
  |2,015
  |2,571
  |3,365
  |4,032
  |4,773
  |5,893
  |6,869
  |-
  ! 6
  |0,718
  |0,906
  |1,134
  |1,440
  |1,943
  |2,447
  |3,143
  |3,707
  |4,317
  |5,208
  |5,959
  |-
  ! 7
  |0,711
  |0,896
  |1,119
  |1,415
  |1,895
  |2,365
  |2,998
  |3,499
  |4,029
  |4,785
  |5,408
  |-
  ! 8
  |0,706
  |0,889
  |1,108
  |1,397
  |1,860
  |2,306
  |2,896
  |3,355
  |3,833
  |4,501
  |5,041
  |-
  ! 9
  |0,703
  |0,883
  |1,100
  |1,383
  |1,833
  |2,262
  |2,821
  |3,250
  |3,690
  |4,297
  |4,781
  |-
  ! 10
  |0,700
  |0,879
  |1,093
  |1,372
  |1,812
  |2,228
  |2,764
  |3,169
  |3,581
  |4,144
  |4,587
  |-
  ! 11
  |0,697
  |0,876
  |1,088
  |1,363
  |1,796
  |2,201
  |2,718
  |3,106
  |3,497
  |4,025
  |4,437
  |-
  ! 12
  |0,695
  |0,873
  |1,083
  |1,356
  |1,782
  |2,179
  |2,681
  |3,055
  |3,428
  |3,930
  |4,318
  |-
  ! 13
  |0,694
  |0,870
  |1,079
  |1,350
  |1,771
  |2,160
  |2,650
  |3,012
  |3,372
  |3,852
  |4,221
  |-
  ! 14
  |0,692
  |0,868
  |1,076
  |1,345
  |1,761
  |2,145
  |2,624
  |2,977
  |3,326
  |3,787
  |4,140
  |-
  ! 15
  |0,691
  |0,866
  |1,074
  |1,341
  |1,753
  |2,131
  |2,602
  |2,947
  |3,286
  |3,733
  |4,073
  |-
  ! 16
  |0,690
  |0,865
  |1,071
  |1,337
  |1,746
  |2,120
  |2,583
  |2,921
  |3,252
  |3,686
  |4,015
  |-
  ! 17
  |0,689
  |0,863
  |1,069
  |1,333
  |1,740
  |2,110
  |2,567
  |2,898
  |3,222
  |3,646
  |3,965
  |-
  ! 18
  |0,688
  |0,862
  |1,067
  |1,330
  |1,734
  |2,101
  |2,552
  |2,878
  |3,197
  |3,610
  |3,922
  |-
  ! 19
  |0,688
  |0,861
  |1,066
  |1,328
  |1,729
  |2,093
  |2,539
  |2,861
  |3,174
  |3,579
  |3,883
  |-
  ! 20
  |0,687
  |0,860
  |1,064
  |1,325
  |1,725
  |2,086
  |2,528
  |2,845
  |3,153
  |3,552
  |3,850
  |-
  ! 21
  |0,686
  |0,859
  |1,063
  |1,323
  |1,721
  |2,080
  |2,518
  |2,831
  |3,135
  |3,527
  |3,819
  |-
  ! 22
  |0,686
  |0,858
  |1,061
  |1,321
  |1,717
  |2,074
  |2,508
  |2,819
  |3,119
  |3,505
  |3,792
  |-
  ! 23
  |0,685
  |0,858
  |1,060
  |1,319
  |1,714
  |2,069
  |2,500
  |2,807
  |3,104
  |3,485
  |3,767
  |-
  ! 24
  |0,685
  |0,857
  |1,059
  |1,318
  |1,711
  |2,064
  |2,492
  |2,797
  |3,091
  |3,467
  |3,745
  |-
  ! 25
  |0,684
  |0,856
  |1,058
  |1,316
  |1,708
  |2,060
  |2,485
  |2,787
  |3,078
  |3,450
  |3,725
  |-
  ! 26
  |0,684
  |0,856
  |1,058
  |1,315
  |1,706
  |2,056
  |2,479
  |2,779
  |3,067
  |3,435
  |3,707
  |-
  ! 27
  |0,684
  |0,855
  |1,057
  |1,314
  |1,703
  |2,052
  |2,473
  |2,771
  |3,057
  |3,421
  |3,690
  |-
  ! 28
  |0,683
  |0,855
  |1,056
  |1,313
  |1,701
  |2,048
  |2,467
  |2,763
  |3,047
  |3,408
  |3,674
  |-
  ! 29
  |0,683
  |0,854
  |1,055
  |1,311
  |1,699
  |2,045
  |2,462
  |2,756
  |3,038
  |3,396
  |3,659
  |-
  ! 30
  |0,683
  |0,854
  |1,055
  |1,310
  |1,697
  |2,042
  |2,457
  |2,750
  |3,030
  |3,385
  |3,646
  |-
  ! 40
  |0,681
  |0,851
  |1,050
  |1,303
  |1,684
  |2,021
  |2,423
  |2,704
  |2,971
  |3,307
  |3,551
  |-
  ! 50
  |0,679
  |0,849
  |1,047
  |1,299
  |1,676
  |2,009
  |2,403
  |2,678
  |2,937
  |3,261
  |3,496
  |-
  ! 60
  |0,679
  |0,848
  |1,045
  |1,296
  |1,671
  |2,000
  |2,390
  |2,660
  |2,915
  |3,232
  |3,460
  |-
  ! 80
  |0,678
  |0,846
  |1,043
  |1,292
  |1,664
  |1,990
  |2,374
  |2,639
  |2,887
  |3,195
  |3,416
  |-
  ! 100
  |0,677
  |0,845
  |1,042
  |1,290
  |1,660
  |1,984
  |2,364
  |2,626
  |2,871
  |3,174
  |3,390
  |-
  ! 120
  |0,677
  |0,845
  |1,041
  |1,289
  |1,658
  |1,980
  |2,358
  |2,617
  |2,860
  |3,160
  |3,373
  |-
  ! ∞
  |0,674
  |0,842
  |1,036
  |1,282
  |1,645
  |1,960
  |2,326
  |2,576
  |2,807
  |3,090
  |3,291
  |}
  
  Uit de tabel kunnen ook de kritieke waarden voor tweezijdige overschrijdingskansen worden afgelezen. Elke kolom correspondeert dan met een tweemaal zo grote overschrijdingskans.
  
  Continue verdeling