title: Modulaire vorm
text: In de wiskunde is een modulaire vorm een (complexe) analytische functie op het bovenhalfvlak die aan een bepaald type functionaalvergelijking met betrekking tot de werking van de modulaire groep en ook aan een groeiconditie voldoet. De theorie van de modulaire vormen behoort derhalve tot de functietheorie, maar de belangrijkste betekenis van de theorie is van oudsher in haar verbindingen met de getaltheorie. Modulaire vormen komen ook voor in andere gebieden, zoals de algebraïsche topologie en de snaartheorie. 
  
  Een modulaire functie is een modulaire vorm die invariant is met betrekking tot de modulaire groep, maar zonder de conditie dat   holomorf op oneindig is. In plaats daarvan zijn modulaire functies meromorf op oneindig. 
  
  De theorie van modulaire vormen is een speciaal geval van de meer algemene theorie van de automorfe vormen, en kan daarom worden gezien als de meest concrete manifestatie van een rijke theorie van discrete groepen.
  
  Modulaire vormen voor SL(2,Z) 
  Een modulaire vorm van gewicht  voor de modulaire groep
  
  is een complexwaardige functie   op het bovenhalfvlak  die voldoet aan de volgende drie voorwaarden:
     is een holomorfe functie op ;
   voor elke  en  met  geldt ;
     moet holomorf zijn voor . 
  
  De laatste voorwaarde wordt ook verwoord door te zeggen dat   "holomorf aan de cusp" is, een terminologie die hieronder verder wordt toegelicht. Het gewicht  is typisch een positief geheel getal.
  
  De tweede voorwaarde met de matrices  en  leest als respectievelijk 
  
  en
  
  Aangezien  en  de modulaire groep  genereren is de tweede voorwaarde hierboven equivalent aan deze twee vergelijkingen. Merk op dat aangezien
  ,
  
  modulaire vormen periodiek zijn met periode 1, dus een fourierreeks hebben. Merk op dat voor oneven  alleen de nul-functie aan de tweede voorwaarde kan voldoen.
  
  Definitie in termen van roosters of elliptische krommen 
  Een modulaire vorm kan op equivalente wijze worden gedefinieerd als een functie   uit de verzameling van roosters   in  (dat wil zeggen ondergroepen van  die isomorf zijn met ) met de verzameling van complexe getallen die aan bepaalde voorwaarden voldoet:
  
   Als men het rooster  beschouwt dat door een constante  wordt gegenereerd; en een variabele , dan is  een analytische functie van .
   Als  een complex getal ongelijk aan 0 is en  het rooster is dat wordt verkregen door elk element van  met  te vermenigvuldigen, dan geldt , waarin  een constante is (meestal een positief geheel getal), die men het 'gewicht' van de modulaire vorm noemt.
   De absolute waarde van  blijft van boven begrensd, zolang de absolute waarde van het kleinste niet-nulzijnde element in  wegbegrensd wordt van 0.
  
  Het belangrijkste idee in het bewijzen van de gelijkwaardigheid van de twee definities is dat een dergelijke functie  bepaald wordt door haar waarden op roosters van de modulaire vorm , waarbij ; dit als een gevolg van de eerste eigenschap.
  
  Modulaire functies 
  Wanneer het gewicht  gelijk is aan nul kan worden aangetoond dat de enige modulaire vormen constante functies zijn. Het weglaten van de eis dat  holomorf moet zijn, leidt tot het begrip modulaire functies. Een functie  wordt dan en slechts dan modulair genoemd als aan de volgende eigenschappen voldaan is:
  
    is meromorf in het bovenhalfvlak .
   Voor elke matrix  in the modulaire groep , .
   Zoals hierboven aangegeven, impliceert de tweede conditie dat  periodiek is, en daarom een fourierreeks heeft. De derde conditie is dat deze reeks van de vorm   
  is. Het wordt vaak beschreven in termen van , het kwadraat van de nome,  
  Hieraan wordt ook gerefereerd als de -expansie van . De coëfficiënten  staan bekend als de Fourier-coëfficiënten van , en het getal  wordt de orde van de pool van  in  genoemd. 
  Deze conditie wordt vaak "meromorf aan de cusp" genoemd. Dit betekent dat alleen een eindig aantal coëfficiënten van termen van negatieve-exponenten ongelijk aan nul zijn, zodat de -expansie van beneden begrensd is, wat garandeert dat de expansie meromorf is in .
  
  Overig
  
  Gehele vormen 
  Als  holomorf is op de cusp, dat wil zeggen geen pool heeft in , wordt het een 'volledige modulaire vorm' genoemd.
  
  Als  meromorf, maar niet holomorf is op de cusp, wordt het een niet-volledige modulaire vorm genoemd. De j-invariant is bijvoorbeeld een niet-volledige modulaire vorm met gewicht 0 en een enkelvoudige pool in .
  
  Automorfe factoren en andere veralgemeningen 
  Andere gebruikelijke veralgemeningen staan toe dat het gewicht  geen geheel getal hoeft te zijn, en staan ook toe dat een multiplier  met  in de transformatie verschijnt, zodanig dat
  
  Functies van de modulaire vorm  staan bekend als automorfe factoren.
  
  Functies zoals de Dedekind-η-functie, een modulaire vorm van gewicht 1/2, kunnen door de theorie worden ingepast door automorfe factoren toe te staan. Laat  bijvoorbeeld een Dirichlet-karakter mod  zijn. Een modulaire vorm van gewicht , niveau  (of niveaugroep ) met nebentypus  is een holomorfe functie  op het bovenhalfvlak zodanig dat voor enige 
  
  en enige  in het bovenhalfvlak geldt dat 
  
  en dat  een holomorfe functie is op alle cusps. Wanneer de modulaire vorm op alle cusps verdwijnt, wordt het een cuspvorm genoemd.
  
  Voorbeelden 
  De eenvoudigste voorbeelden van modulaire vormen zijn de eisenstein-reeksen. Voor elk even geheel getal  definieert men  als de som van  over alle vectoren  van , ongelijk aan 0:
  
  De conditie  is nodig voor convergentie. De conditie dat  even is voorkomt dat  wegvalt tegen .
  
  Een even unimodulair rooster  in  is een rooster dat wordt gegenereerd door  vectoren, die de kolommen van een matrix met determinant 1 vormen, en aan de voorwaarde voldoet dat het kwadraat van de lengte van elke vector in  een even geheel getal is. Als een gevolg van de Poisson-sommatieformule is de thèta-functie
  
  een modulaire vorm van gewicht . Het is niet zo gemakkelijk om even unimodulaire roosters te construeren, maar er is een manier: Laat  een geheel getal zijn dat deelbaar is door 8 en beschouw alle vectoren  zodanig dat  geheeltallige coördinaten heeft die of alle even of alle oneven zijn, en zodanig dat de som van de coördinaten van  een even geheel getal is. Wij noemen dit rooster . Als   staat het rooster dat wordt gegenereerd door de wortels in het wortelsysteem, bekend onder de naam E8. Omdat er op scalaire vermenigvuldiging na slechts één modulaire vorm is met gewicht 8, is:
  ,
  
  ondanks dat de roosters  en  niet vergelijkbaar zijn. John Milnor nam waar dat de 16-dimensionale tori die worden verkregen door  te delen door deze twee roosters, als gevolg daarvan voorbeelden zijn van compacte Riemann-variëteiten die isospectraal, maar niet isometrisch zijn. 
  
  De Dedekind-èta-functie wordt gedefinieerd als
  
  Dan is de modulaire discriminant  een modulaire vorm van gewicht 12. De aanwezigheid van 24 kan worden verbonden met het Leech-rooster, dat 24 dimensies heeft. Een beroemd vermoeden van Ramanujan beweert dat de  coëfficiënten voor elk priemgetal  een absolute waarde hebben waarvoor geldt dat deze kleiner of gelijk is aan . Dit werd gesteld door Pierre Deligne in zijn werk over de vermoedens van Weil. 
  
  De tweede en derde voorbeelden laten iets zien over het verband tussen modulaire vormen en een aantal klassieke vragen in de getaltheorie: zoals de representatie van gehele getallen door kwadratische vormen en de partitiefunctie. Het cruciale begripsmatige verband tussen modulaire vormen en getaltheorie wordt gelegd door de theorie van de Hecke-operatoren, die ook een verband legt tussen de theorie van de modulaire vormen en de representatietheorie.
  
  Generalisaties 
  Naast het klassieke gebruik zijn er andere toepassingen van de term 'modulaire functie', bijvoorbeeld in de theorie van de Haarmaten is het een functie  die bepaald wordt door de conjugatiewerking.
  
   Maass-modulaire vormen zijn reëel-analytische eigenfuncties van de Laplaciaan, die niet  holomorf hoeven te zijn. De holomorfe delen van bepaalde zwakke Maass-golfvormen bleken in essentie Ramanujans mock theta-functies te zijn. Groepen die geen ondergroepen van  zijn, kunnen worden beschouwd.
  
   Hilbert-modulaire vormen zijn functies in  variabelen, waar elke variabele een complex getal in het bovenhalfvlak is, dat voldoet aan een modulaire relatie voor 2×2-matrices met elementen in een totaal reëel getallenlichaam.
  
   Siegel-modulaire vormen worden op dezelfde manier met grotere symplectische groepen geassocieerd als waarop de modulaire vormen, die wij hierboven hebben besproken, geassocieerd zijn met , met andere woorden zijn ze gerelateerd aan abelse variëteiten in dezelfde zin dat onze vormen (die soms ook elliptische modulaire vormen worden genoemd (om het punt te benadrukken) aan elliptische krommen zijn gerelateerd.
  
   Jacobi-modulaire vormen zijn een mix van modulaire vormen en elliptische functies. Voorbeelden van dergelijke functies zijn zeer klassiek - de Jacobi-thèta-functies en de Fourier-coëfficiënten van Siegel-modulaire vormen van genus twee - maar het is een relatief recente waarneming dat de Jacobi-modulaire vormen een rekenkundige theorie hebben die zeer analoog zijn aan de gebruikelijke theorie van de modulaire vormen.
  
   Automorfe vormen breidden de notie van modulaire vormen uit naar algemene Lie-groepen.
  
  Geschiedenis  
  De theorie van de modulaire vormen werd ontwikkeld in vier perioden: allereerst in het eerste deel van de negentiende eeuw in verband met de theorie van de elliptische functies; daarna tegen het einde van de negentiende eeuw door Felix Klein en anderen op het moment dat het automorfe vorm concept (voor één variabele) langzamerhand werd begrepen; vervolgens vanaf 1925 door Erich Hecke; en ten slotte in de jaren 1960, toen de behoeften van de getaltheorie en in het bijzonder de formulering van de stelling van Shimura-Taniyama duidelijk maakten dat modulaire vormen daar een belangrijke rol in spelen. 
  
  Het bedenken van de term modulaire vorm wordt meestal toegeschreven aan Erich Hecke.
  
  Analytische getaltheorie
  Complexe analyse