Van der Pol-vergelijking
In de dynamica beschrijft de Van der Pol-vergelijking een trilling met niet-lineaire demping, waarbij energie verloren gaat, die dus niet conservatief is. De oscillator wordt Van der Pol-oscillator genoemd en wordt beschreven door de tweede-ordedifferentiaalvergelijking

waarin de variabele  de plaatscoördinaat is en  de voorgeschreven excitatie. Beide zijn een functie van de tijd . De scalairen , de amplitude,  de hoeksnelheid en  als maat voor de niet-lineaire demping, zijn de parameters van de differentiaalvergelijking. 

De Van der Pol-vergelijking vindt haar oorsprong in de elektrodynamica, en is genoemd naar haar bedenker, de Nederlandse elektronicapionier Balthasar van der Pol (1889–1959). Van der Pol ontdekte dat het gedrag van een met een triode opgewekte elektrische trilling afhing van niet-lineaire termen in de karakteristiek van de triode. De triode was één van de eerste elektronische componenten. Hij stelde de differentiaalvergelijking op, waarmee dit verschijnsel, dat ook in veel andere niet-lineaire systemen optreedt, adequaat kon worden beschreven. 

Met de stelling van Liénard kan bewezen worden, dat er een zogenaamde limietcyclus bestaat voor de niet-geëxciteerde Van der Pol-oscillator , aldus resulterende als voorbeeld voor een Liénard-systeem. Uit de differentiaalvergelijking voor de oscillator blijkt dat er in de limietcyclus twee grensgevallen zijn: vrijwel harmonische sinusvormige trillingen , en relaxatietrillingen . Deze laatste, sterk niet-lineaire trillingsvorm dankt haar naam aan Van der Pol: dit vanwege de overeenkomst van deze oscillatievorm, gedurende een halve periode, met die van een (ont)ladende RC-schakeling, met relaxatietijd .

De geëxciteerde Van der Pol-oscillator wordt veel gebruikt in de niet-lineaire dynamica, als een voorbeeld van een natuurkundig systeem dat aanleiding kan geven tot chaotisch gedrag, alsmede tot andere niet-lineaire trillingsverschijnselen zoals bifurcaties en fasevergrendeling, phase locking.

Betekenis 
De Van der Pol-vergelijking is voortgevloeid uit onderzoek dat werd verricht aan het NatLab, en is een voorbeeld van het feit dat toegepast onderzoek — indien de onderzoeker voldoende vrijheid wordt gelaten — ook tot resultaten kan leiden die in meer algemene zin bruikbaar zijn. 
Zo heeft deze niet-lineaire differentiaalvergelijking vele nieuwe toepassingsgebieden gevonden buiten de elektrodynamica, zoals in de plasmafysica. Deze eponieme vergelijking is een begrip in de theorie over natuurkundige trillingsverschijnselen en in de chaostheorie.

Gedrag van de niet-geëxciteerde vergelijking 

: er is geen demping, en de vergelijking wordt die van de lineaire harmonische oscillator:

de afwezigheid van demping in deze lineaire vergelijking resulteert in behoud van energie.

: het systeem is gedempt voor grote uitwijkingen , maar instabiel voor kleine . Voor grote waarden van de tijd  nadert het systeem naar een relaxatietrilling, in welke limietcyclus er weer energiebehoud is.

Voor kleine demping  zijn de oscillaties bijna sinusvormig. Voor grotere waarden van , rond 1, worden de trillingen laagfrequenter en hoekiger: minder sinusvormig, maar met een steiler pulsfront gevolgd door een gedempte daaltijd. Bij grote waarden  krijgt men de zo kenmerkende, afgeronde blokgolfvorm van deze relaxatietrillingen.

Gedrag bij excitatie 

De Van der Pol-vergelijking kan bij sinusvormige forcering,  en , aanleiding geven tot chaotisch gedrag in de oplossing. Dit werd reeds door Van der Pol en zijn collega Van der Mark opgemerkt, en gerapporteerd in hun artikel in Nature in 1927:

Van der Pol en Van der Mark gebruikten telefoonhoorns om de signalen van hun triode-opstelling hoorbaar te maken.

Het gedrag van de geforceerde Van der Pol-vergelijking wordt bepaald door de parameters  amplitude,  hoeksnelheid en , de niet-lineaire dempingsparameter, alsmede door de beginvoorwaarden. Voor verschillende waarden van de parameters wordt verschillend gedrag gevonden:
 Voor kleine amplitude, , als de excitatiefrequentie  ongelijk is aan en geen is veelvoud van de trillingsfrequentie van de oscillator in vrije trilling — zodat geen resonantie optreedt — domineert de vrije trilling en geeft de excitatie slechts aanleiding tot kleine verstoringen op de limietcyclus. 
 Voor grotere amplitudes is gecompliceerd gedrag waarneembaar, waaronder bifurcaties en chaos, in verschillende gebieden van de  ruimte. Fasevergrendeling, phase locking treedt op, waarbij de oscillator trilt met een frequentie , met  en  positieve gehele getallen. Bij  en  spreekt men van subharmonische oscillaties, en voor  en  is sprake van superharmonischen, of boventonen. Maar, bij de Van der Pol-oscillator kunnen veel verschillende combinaties van  en  optreden in verschillende delen van de parameterruimte.
 Voor grote waarden van de amplitude, , trilt het systeem met de forceringsfrequentie .

Afleiding van de vergelijking voor een triode-oscillator 

Hiernaast wordt een triode-schakeling weergegeven voor het realiseren van een Van der Pol-oscillator. De met wederzijdse inductie  gekoppelde spoelen , waarvan de primaire vanuit de sinusvormige bron  met hoekfrequentie  wordt geëxciteerd, resulteren in een elektrische stroom  in de LCR-kring. De secundaire keten, met anodestroom  van de triode, wordt gevoed vanaf de pluspool, terwijl de spanning op het triodestuurrooster bestaat uit een (negatieve) bias, waarop een (meegekoppelde) stuurroosteroscillatie  vanuit de LCR-kring gesuperponeerd is.

Daarop kan met de spanningswet van Kirchhoff en Van der Pol's modellering van de het triode-gedrag, de oscillator worden beschreven.  Voor de LCR-kring geldt:

,

evenals de condensatorstroom:

Terwijl voor de triode geldt, volgens de betrekking van Barkhausen met steilheid :

en inwendige weerstand  alsmede anodespanning .
Voor zijn triode-oscillatorschakeling vindt Van der Pol voor de anodestroom  een niet-lineaire vorm:

Zodat, voor de gehele schakeling, de volgende differentiaalvergelijking resulteert voor de spanningsoscillatie  op het stuurrooster:

,

hetgeen — na normalisatie, en mits  — resulteert in voornoemde Van der Pol-vergelijking.

Relatie tot de Rayleigh-vergelijking 
Lord Rayleigh introduceerde het volgende niet-lineaire model voor een systeem dat instabiel is bij lage snelheid  en gedempt bij grotere snelheid:

De Rayleigh-vergelijking is direct om te zetten in de Van der Pol-vergelijking via de transformatie

Lord Rayleigh onderzocht het optreden van een limietcyclus voor kleine en positieve waarden van de dempingsparameter , als zwak niet-lineaire oplossing van de naar hem genoemde differentiaalvergelijking. De Van der Pol-vergelijking wordt soms — vanwege deze relatie tot de eerdere Rayleigh-vergelijking — ook wel de Rayleigh–van der Pol-vergelijking genoemd.

Differentiaalvergelijking
Natuurkunde