Lagrange-multiplicator
De methode van de lagrange-multiplicatoren is een techniek uit de wiskunde, in het bijzonder uit de wiskundige optimalisatie, om een optimaliseringsprobleem met nevenvoorwaarden op te lossen. Daarbij is een lagrange-multiplicator een bepaald soort hulpvariabele die bij deze techniek wordt ingevoerd, waarmee zowel de formulering als de oplossing van het optimalisatieprobleem sterk vereenvoudigd wordt. De methode is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Joseph Louis Lagrange.

Uitleg

Veel optimaliseringsproblemen zijn van de vorm:

maximaliseer de functie  
onder de voorwaarde .

In woorden: zoek het punt  dat op de kromme  ligt en waarvoor de functie  maximaal is. Dit probleem is geschetst op de afbeeldingen rechts. 

Als uit de voorwaarde afgeleid kan worden hoe een van de variabelen afhankelijk is van de andere, bijvoorbeeld , kan deze relatie gesubstitueerd worden in de te maximaliseren functie, zodat het probleem slechts één variabele heeft:
maximaliseer .

Als dit niet het geval is kan het probleem soms opgelost worden door de invoering van een nieuwe variabele , de zogeheten Lagrange-multiplicator, en de functie  Lagrangefunctie genoemd, te beschouwen, gedefinieerd door:

Het blijkt nu dat er voor een oplossing  van het oorspronkelijke probleem, noodzakelijk een  bestaat waarvoor  een stationair punt is van de functie .

Deze nieuwe formulering van het probleem heeft twee voordelen: het oorspronkelijke probleem wordt herleid tot een volkomen standaard en goed bestudeerd probleem, namelijk het zoeken naar de stationaire punten van een functie, en verder blijken de op te lossen vergelijkingen in deze formulering in veel gevallen eenvoudiger dan in de oorspronkelijke verwoording.

Intuïtieve uitleg

Hierboven werd gesteld dat elke oplossing van het oorspronkelijke variatieprobleem gegeven is door een stationair punt van de Lagrangefunctie . (Andersom is dit niet waar: niet elk stationair punt van  geeft een oplossing van het oorspronkelijke variatieprobleem.) Om deze uitspraak intuïtief te begrijpen, kan men de volgende redenering houden. Beschouw de lijnen waarlangs de functie  een constante waarde heeft: . Als men de functiewaarden van  op de z-as aangeeft, zijn deze lijnen de hoogtelijnen. Er zijn er zo twee getekend op de afbeelding rechts (dat wil zeggen, voor twee verschillende functiewaarden  en ). Stel nu dat we wandelen langs de rode kromme . Dat is de verzameling punten die aan het vereiste voldoen. In het algemeen zal (gedurende dit wandelen) de waarde van  aan het toe-, dan wel afnemen zijn. Dat wil zeggen dat op die plaatsen de kromme de hoogtelijnen snijdt. Echter, op het punt van de kromme waar  extreem is, verandert de hoogte niet meer (bereikt zijn minimum/maximum), en dus raakt de hoogtelijn daar de kromme . Aangezien de gradiënt van een functie loodrecht staat op de lijnen waarlangs deze functie constant is, impliceert de vorige zin dat ter hoogte van het gezochte punt – d.w.z. het punt waar  extremaal en  geldt – de gradiënten van  en  evenwijdig zijn. De oplossing van het probleem heeft dus als bijzondere eigenschap
 

Hier drukt de constante  uit dat de loodrecht op de hoogtelijnen staande vectoren (de gradiënten) evenwijdig aan elkaar zijn, maar niet noodzakelijk even groot zijn/in dezelfde richting wijzen. 

Nu zien we dat de uitspraak in de voorgaande sectie inderdaad steek houdt. Daar werd gesteld dat de oplossing van het probleem gegeven is door stationaire punten van de Lagrangefunctie, dus punten waarvoor

(de notatie  slaat weer op de gradiënt, dus zowel de afgeleiden naar , en naar , als die naar  moeten nul zijn.) Als we de uitdrukking voor de Lagrangefunctie  invullen, zien we dat de afgeleiden naar  en  impliceren dat 

Dat is precies de bovenstaande uitspraak dat ter hoogte van de oplossing, de loodrechte vectoren op de hoogtelijnen van  en  evenwijdig zijn. Anderzijds, de afgeleide naar  geeft het oorspronkelijke vereiste, namelijk
.

Dit bevestigt (ten minste intuïtief) dat elke oplossing  van het oorspronkelijke probleem overeenkomt met een  die voldoet aan .

Typisch vindt men echter een aantal oplossingen voor , waarvan dan slechts een of enkele oplossingen voldoen aan het oorspronkelijke probleem. (Dit is analoog aan het zoeken naar extrema van een functie. De punten waar de afgeleide van de functie nul worden zijn lokale extrema, en typisch zijn daarvan slechts een of twee punten globale extrema.)

Eenvoudig voorbeeld

Voor welk(e) punt(en) op de eenheidscirkel is de som van de coördinaten maximaal?
Voor dit probleem is  de functie die gemaximaliseerd moet worden, onder de voorwaarde . Aangezien de lijnen van constante  gegeven zijn door rechtes, met richtingscoëfficiënt , kan men vrijwel op het eerste gezicht zien dat de raakpunten tussen een van deze hoogtelijnen en de cirkel zijn gegeven door de punten 
 en . Het eerste van de twee is het punt waarin  maximaal is.

De oplossing met een Lagrange-multiplicator gaat als volgt.

De Lagrange-functie is

Stel de afgeleiden van  naar  en naar  gelijk aan 0:

 

De afgeleide naar  levert weer de voorwaarde

De eerste twee vergelijkingen impliceren dat , en als men dit in de voorwaarde invult, volgt dat ; dus .

De punten waarin  een extreme waarde aanneemt, zijn dus 
 en . Niet elk extremaal van de Lagrange-functie is een oplossing van het oorspronkelijke probleem. Het maximum van  wordt bereikt voor de eerste van deze twee mogelijkheden.

Betekenis van de multiplicatoren, toepassingen in de economie
Bij veel problemen heeft de concrete waarde van de Lagrange-multiplicator ook een betekenis. Bedenk eerst dat:

 zegt dus in welke mate de waarde van het bereikte maximum verandert indien men de eis  verandert door een andere waarde voor  toe te laten.  Een typische situatie in economie waarbij Lagrange-multiplicatoren gebruikt worden is een vraagstuk van de vorm: gegeven een bepaald budget, hoe kunnen we een bepaalde grootheid (het economisch nut) maximaliseren. In dat geval zal (bij het oplossen van het probleem), de waarde van de Lagrange-multiplicator aangeven in welke mate het nut verandert als men het budget aanpast.

Zie ook
Extremum

Referenties

 Lagrange-multiplicatoren op de Wolfram-website. 
 http://eom.springer.de/L/l057190.htm
(Veralgemenen ook naar de situatie met meerdere opgelegde eisen, wat meerdere Lagrange-multiplicatoren vereist.)

Externe links 
 Conceptuele inleiding 
 Leertekst over Lagrange-multiplicatoren
 Voorbeeld-oefening uit de economie

Interactief 
 Video-les over Langrange-multiplicatoren, toegepast op een concreet voorbeeld uit de economie.

Wiskundige analyse