Matroïde
Een matroïde is een eindige verzameling met een 'onafhankelijkheidsstructuur' die bepaalt welke deelverzamelingen van elkaar onafhankelijk zijn.

Geschiedenis 
Een belangrijk begrip uit de lineaire algebra is lineaire onafhankelijkheid. Intuïtief is een vector in een vectorruimte onafhankelijk van andere vectoren, als deze vector niet in het opspansel van deze andere vectoren ligt. 

In de jaren 30 werd het idee van onafhankelijkheid gegeneraliseerd door Hassler Whitney. Hij bepaalde de belangrijkste eigenschappen van een verzameling onafhankelijke vectoren, en nam deze vervolgens als axioma’s. Hierdoor was hij in staat in een willekeurige (eindige) verzameling de deelverzamelingen vast te stellen, waarvan de elementen onafhankelijk van elkaar zijn. De complexe structuur van een vectorruimte had hij hiervoor niet meer nodig. 

Zijn idee is vergelijkbaar met het idee achter een topologische ruimte. Deze generaliseren de open verzamelingen van de reële rechte naar willekeurige verzamelingen door de eigenschappen hiervan als axioma’s aan te nemen.

Definities 
Een matroïde kan op verschillende manier worden gedefinieerd. Alle onderstaande definities zijn equivalent met elkaar.

Onafhankelijkheidsaxioma's 
Een matroïde is een geordend paar , met  een eindige verzameling en  een collectie deelverzamelingen van  die voldoet aan de volgende axioma's:

 
 Als  en , is .
 Als  en , bestaat er een  waarvoor geldt: .

Een element van  wordt een onafhankelijke deelverzameling van  genoemd.

Basisaxioma’s 
Laat  een eindige verzameling zijn. Een collectie  van deelverzamelingen van  heet een verzameling van bases van E, als voldaan is aan:

  is niet leeg.
 Als , bestaat er voor alle  een , zodat .

Laat dan  bestaan uit alle deelverzamelingen die bevat zijn in een basis. Dan is  een matroïde. De elementen van  zijn dan de maximaal onafhankelijke deelverzamelingen van .

Circuitaxioma’s 
Laat  een eindige verzameling zijn. Een collectie  van deelverzamelingen van  heet een verzameling van circuits van E, als voldaan is aan:

 .
 Als  en , is .
 Als  en , en , dan bestaat er een , zodat .

Laat dan  bestaan uit alle deelverzamelingen die geen enkel circuit bevatten. Dan is  een matroïde. De elementen van  zijn dan de minimaal afhankelijke deelverzamelingen van .

Voorbeelden

Lineaire matroïden 
Zoals eerder vermeld, zijn matroïden ontwikkeld om lineaire onafhankelijkheid te veralgemenen. Het meest voor de hand liggende voorbeeld van een matroïde is daarom terug te vinden in de lineaire algebra.

Laat  een eindige verzameling vectoren zijn uit een vectorruimte over een willekeurig lichaam. Laat dan  bestaan uit alle deelverzamelingen van  die een onafhankelijk stel vectoren vormen. Dan is  een lineaire matroïde. 

Matroïden zijn dus uitermate geschikt om onafhankelijkheid in lineaire ruimtes over eindige lichamen te bestuderen.

Fano-matroïde 
Beschouw de lineaire matroïde op . Deze matroïde wordt naar de Italiaanse wiskundige Gino Fano de Fano-matroïde genoemd.

Grafische matroïden 
Laat  een (eindige) graaf zijn, en laat  bestaan uit verzamelingen kanten, die samen een cykel vormen. Er kan aangetoond worden dat  voldoet aan de circuitaxioma’s. De matroïde die zo ontstaat noemen we een grafische matroïde.

Uniforme matroïden 
Neem , en laat  bestaan uit deelverzamelingen van  met maximaal  elementen.  voldoet duidelijk aan de onafhankelijkheidsaxioma’s, en dus is  een matroïde, die we een uniforme matroïde noemen. Een uniforme matroïde wordt meestal genoteerd als .

Referenties 

Discrete wiskunde
Lineaire algebra