Euclidisch domein
In de abstracte algebra en de ringtheorie, deelgebieden van de wiskunde, is een euclidisch domein een ring die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Het is een commutatieve ring waarin de geheeltallige deling is gedefinieerd.

Voor de getallen geldt de  hoofdstelling van de rekenkunde, die zegt dat ieder getal als het product van priemgetallen kan worden geschreven. Met het algoritme van Euclides is de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen en volgens de stelling van Bachet-Bézout is die grootste gemene deler een lineaire combinatie van de twee oorspronkelijke getallen. Deze eigenschappen gelden ook in een euclidisch domein. Ieder ideaal in een euclidisch domein is een hoofdideaal.

Een euclidisch domein komt in de onderstaande hiërarchie:

eindige lichamen/velden ⊂ lichamen (Nederlands) / velden (Belgisch) ⊂ Euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen

Definitie euclidische functie  
Een euclidische functie op een integriteitsdomein  is een functie  van  naar de niet-negatieve gehele getallen met de eigenschap (deling met rest):

Als  en  elementen zijn van , dan bestaan er elementen  en  in  zodanig dat  waarbij ofwel  ofwel .

Definitie euclidisch domein  
Een euclidisch domein is een integriteitsdomein waaraan minstens een euclidische functie kan worden toegevoegd.  

Let wel: een specifieke euclidische functie  is zelf niet onderdeel van de structuur van een euclidisch domein; in het algemeen zal een euclidisch domein veel verschillende  euclidische functies kennen.

Opmerking 
Veel auteurs stellen dat een euclidische functie bovendien aan de volgende additionele eis moet voldoen:

 Voor alle elementen  in  geldt .

Ringtheorie
Commutatieve algebra