title: Cullengetal
text: In de wiskunde is een Cullengetal een natuurlijk getal van de vorm  met  een natuurlijk getal ongelijk aan 0. Cullengetallen werden als eerste bestudeerd door James Cullen in 1905. Cullengetallen vormen een speciaal geval van Prothgetallen.
  
  Geschiedenis
  De Ierse jezuietenpater en wiskundige James Cullen hield zich in 1905 bezig met de nu naar hem genoemde getallen. Het was hem opgevallen dat behalve  alle getallen van deze vorm tot aan  samengesteld zijn en dus geen priemgetallen zijn. Hij was niet zeker wat het getal  betreft, maar Allan J.C. Cunningham nam in 1906 deze onzekerheid weg, door aan te tonen dat 5591 een deler is. Cunningham bewees dat alle getallen  met  samengesteld zijn, met als mogelijke uitzondering 
  
  In 1958 bevestigde Raphael M. Robinson dat 18496 een priemgetal is, en toonde aan, dat met uitzondering van  en  alle Cullengetallen voor  samengesteld zijn.
  
  In 1984 bewees Wilfrid Keller dat  en  eveneens priem zijn, maar dat alle andere Cullengetallen voor  samengesteld zijn.
  
  Eigenschappen
  In 1976 toonde Christopher Hooley aan dat de natuurlijke dichtheid van natuurlijke getallen  waarvoor  priem is, van de orde  is voor  In dit opzicht zijn bijna alle Cullengetallen samengesteld; de enig bekende Cullenpriemgetallen zijn die met  en . Vermoed wordt wel dat er oneindig veel Cullenpriemgetallen zijn.
  
  Sinds augustus 2009 is het grootste bekende Cullenpriemgetal het getal 6679881 × 26679881 + 1 bestaande uit 2,010,852 cijfers.
  
  Een Cullengetal  is deelbaar door  als  een priemgetal is van de vorm  Verder volgt uit de kleine stelling van Fermat dat als  een priemgetal anders dan 2 is,  deler is van  voor iedere  met  Ook is aangetoond dat het priemgetal  deler is van  als 2 geen kwadratisch residu is modulo , en dat als 2 wel een kwadratisch residu is modulo   deler is van 
  
  Het is tot nu toe onbekend of er een priemgetal  is zodat  ook een priemgetal is.
  
  Generalisaties
  Soms wordt een gegeneraliseerd Cullengetal gedefinieerd als een getal van de vorm  waarin  Als een priemgetal in deze vorm geschreven kan worden, wordt het een gegeneraliseerd Cullenpriemgetal genoemd. Woodallgetallen worden soms Cullengetallen van de tweede soort genoemd.
  
  Externe links 
   The Prime Glossary: Cullen number
   MathWorld: Cullen number
  
  Natuurlijk getal