title: Aftelbare verzameling
text: Een aftelbare verzameling is in de wiskunde een verzameling waarvan de elementen afgeteld kunnen worden. Dat houdt in dat de elementen op een rij gezet kunnen worden met een eerste element, een tweede element, enzovoort, waarbij alle elementen aan de beurt komen. De eenvoudigste aftelbare verzamelingen zijn de eindige verzamelingen. 
  
  Een aftelbare verzameling is niet noodzakelijk eindig. Zo zijn ook de gehele getallen aftelbaar. We zetten ze als volgt in een rij om geteld te worden: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, enz. Het tellen van de elementen stopt weliswaar nooit, maar elk element komt aan de beurt. 
  
  Er zijn ook verzamelingen die overaftelbaar zijn, dat wil zeggen niet aftelbaar. Een verzameling is dus eindig, aftelbaar oneindig, of overaftelbaar.
  
  Definitie 
  Een aftelbaar oneindige verzameling  is een verzameling die gelijkmachtig is met , d.w.z. dat er een bijectie  bestaat. 
  
  De volgende definities zijn equivalent: Een verzameling  is aftelbaar als:
    eindig of aftelbaar oneindig is
   er een surjectie  bestaat
   er een injectie  bestaat
   er een bijectie  bestaat, of voor zeker geheel getal  een bijectie 
    gelijkmachtig is met , of voor zeker geheel getal  gelijkmachtig met
  
  Eigenschappen 
   Als  aftelbaar is en er bestaat een surjectieve functie , dan is ook  aftelbaar.
  
   Een eindig product van aftelbare verzamelingen is aftelbaar. Dat kan als volgt ingezien worden:
   Stel dat  tot en met  aftelbaar zijn, met  een natuurlijk getal. Dan zijn er  surjectieve functies  tussen de natuurlijke getallen en . Die surjectieve functies kunnen gecombineerd worden tot één surjectieve functie:
  
   Daar  aftelbaar is voor alle natuurlijke , is ook  aftelbaar.
  
  Voorbeelden 
   Een mogelijke aftelling van  is:
  
   Eerst worden dus de paren met som 0 opgeschreven, dan die met som 1, daarna met som 2, enzovoort. Deze procedure kan uitgebreid worden naar een willekeurige eindige macht van .
  
   De verzameling van de positieve rationale getallen  is aftelbaar, want elk positief rationaal getal correspondeert met een koppel natuurlijke getallen (teller, noemer). Door afwisselend een positief en een negatief rationaal getal te tellen, volgt ook dat de verzameling van alle rationale getallen aftelbaar zijn.
  
   Georg Cantor heeft bewezen dat de verzameling van de reële getallen niet aftelbaar is. Dit bewijs staat bekend als het diagonaalbewijs van Cantor.
  
  Kardinaalgetal
  Verzamelingenleer