title: Arctangens
text: De arctangens of boogtangens, aangeduid door atan, arctan of bgtan, en ook wel door  is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de tangens indien het domein van de tangens beperkt wordt tot het interval . Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de tangens. Het resultaat van de arctangens is de hoek tussen  en  waarvan de tangens het argument als waarde heeft. Het domein is  en het bereik is .
  
  De grafiek van  is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte tangens ten opzichte van de rechte .
  
  Definitie
  De functie  is gedefinieerd voor  door de relatie
  
  In woorden: de hoek (boog) waarvan de tangens  is, is gelijk aan .
  
  Twee eigenschappen 
  
  1. In de hiernaast staande figuur E1 is:
  
  zodat:
  
  2. In de hiernaast staande figuur E2 is:
  
  zodat:
  
  Machtreeks
  De arctangens heeft voor  de reeksontwikkeling:
  
  Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval .
  
  Er is een ingewikkelder reeks voor  in het open interval .
  
  Leonhard Euler vond een efficiëntere reeks voor de arctangens:
  
  Alternatief kan dit als volgt worden uitgedrukt:
  
  Kettingbreuk
  Voor de arctangens bestaat ook een vorm als kettingbreuk:
  
  Deze formule werd opgesteld door Carl Friedrich Gauss, waarbij hij gebruik maakte van de hypergeometrische rijen.
  
  Complexe notatie
  Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als:
  
  De functie arctan2
  In praktische situaties is de arctangens niet altijd bruikbaar omdat hij een antwoord geeft in het interval , terwijl de werkelijke hoek om het even waar op de cirkel kan liggen. Dit is het geval indien een complex getal gebruikt wordt om een amplitude en een fase te beschrijven, zoals bij de fouriertransformatie.
  
  Om de hoek  van een complex  te vinden kan men eerst de artangens van  nemen, maar om de correcte hoek te vinden moet het resultaat van die arctangens worden verhoogd met  indien . De meeste programmeertalen zijn daarom voorzien van een tweede arctangensfunctie met twee argumenten: het reëel en imaginair deel van het complex getal moeten apart worden gegeven. Dit laat toe na te gaan in welk kwadrant het complex getal zich bevindt, en wat zijn hoek is. De naam van die functie hangt af van de software, maar is vaak 'atan2' of 'arctan2'. De definitie luidt:
  
  De bovenstaande definitie van arctan2 kan ook geformuleerd worden met behulp van het teken van .
  
  Voorbeeld 
  Het argument (in hoofdwaarde) van het complexe getal  wordt niet gegeven door de arctan van het quotiënt van imaginair en reëel deel. Dat levert immers de waarde:
  
  .
  
  De werkelijke hoek is echter , wat ook het resultaat is van:
  .
  
  Opmerking Sommige platformen draaien de volgorde van de atan2 parameters om.
  
  Afgeleide en integraal
  De afgeleide van de arctangens is:
  
  De integraal van de arctangens kan met partiële integratie worden berekend:
  
  Goniometrie
  Wiskundige functie