title: Lemma van Nakayama
text: Het lemma van Nakayama is een stelling uit de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde. Ze legt beperkende voorwaarden op aan eindig voortgebrachte modulen die door vermenigvuldiging met een ideaal niet wezenlijk verkleind worden.
  
  Het lemma is genoemd naar zijn auteur Tadashi Nakayama. Volgens Hideyuki Matsumura schreef Nakayama zelf de stelling evenwel toe aan Wolfgang Krull en Goro Azumaya.
  
  Formuleringen
  In de verschillende formuleringen hieronder is  een commutatieve ring met eenheidselement,  een ideaal van  en  een eindig voortgebracht -moduul. Dat laatste wil zeggen dat er elementen  van  bestaan met de eigenschap dat
  
  Determinantformulering
  Zij  een moduul-endomorfisme (-lineaire transformatie) van  waarvan het beeld binnen  ligt. Dan voldoet  aan een relatie van de vorm
  
  Deze vorm van het lemma kan rechtstreeks worden bewezen met een variant van de Stelling van Cayley-Hamilton.
  
  Formulering met algemeen ideaal
  Veronderstel dat , dan bestaat er een element  van  dat congruent is met 1 modulo  en dat  annihileert, dat wil zeggen
  
  Formulering met Jacobson-radicaal
  Veronderstel dat  en dat  bevat is in het Jacobson-radicaal (de doorsnede van alle maximale idealen) van  Dan is
  
  Formulering met deelmoduul
  Als  een deelmoduul is van  met de eigenschap dat  en  is een deel van het Jacobson-radicaal van  dan is
  
  Toepassing
  Uit de ideaalformulering volgt tamelijk rechtstreeks de volgende generalisatie van een bekend resultaat uit de lineaire algebra:
  Een surjectief endomorfisme van een eindig voortgebracht -moduul is ook injectief (en dus een automorfisme).
  
  Bewijs
  Zij  de gegeven surjectieve -lineaire transformatie van  en vat  op als moduul over de veeltermring  met de afspraak dat voor ieder gegeven element  van   Zij  het ideaal van  dat wordt voortgebracht door het element  Dan is  (surjectiviteit van ) en dus bestaat er wegens Nakayama een element  van  dat congruent is met 1 modulo  en dat  annihileert:
  
  Schrijf  als  Dan is de kern van  triviaal. Zij namelijk  een element van die kern, dan is
  
  Dus de kern van  bevat alleen 0.
  
  Bronnen
     & , Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969. ISBN 978-0-201-40751-8.
    , vertaald door Miles Reid, Commutative Ring Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8),Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 978-0-521-36764-6.
  
  Commutatieve algebra
  Wiskundig lemma