title: Normale matrix
text: In de lineaire algebra is een normale matrix een vierkante matrix van complexe getallen waarvan de eigenvectoren onderling loodrecht op elkaar staan.
  
  Dat betekent dat een vierkante matrix  over de complexe getallen normaal is als  en de geconjugeerde getransponeerde matrix  ervan commutatief zijn:
   
  
  De geconjugeerde getransponeerde matrix  heeft als elementen de complex geconjugeerde elementen van de getransponeerde matrix van 
  
  Een complexe matrix  is dan en slechts dan normaal wanneer  gelijksoortig met een diagonaalmatrix  is, dus zodat er een matrix  is waarvoor . De matrix  moet een unitaire matrix zijn.
  
  Dit betekent dat  door een geschikte rotatie van de complexe basisvectoren in een diagonaalmatrix overgaat. Met andere woorden:  is dan en slechts dan normaal als er een diagonaalmatrix  en een unitaire matrix  bestaan, zodanig dat . Voor een reële normale matrix kan dit een complexe rotatie naar niet-reële basisvectoren zijn. De kolommen van  zijn de eigenvectoren van
  
  Voorbeelden 
   Alle complexe veelvouden van de eenheidsmatrix zijn normaal, omdat ze met alle matrices commutatief zijn.
  
   Iedere hermitische matrix is normaal, omdat daarvoor geldt dat . Om dezelfde reden zijn anti-hermitische matrices, waarvoor , normaal. Reële symmetrische en antisymmetrische matrices zijn hiervan bijzondere gevallen.
  
   Iedere unitaire matrix is normaal. Een matrix is unitair wanneer . Door van beide leden de geconjugeerde getransponeerde te nemen, wordt dit . Onder de reële matrices zijn dit de orthogonale matrices.
  
   Er bestaan ook normale matrices die niet tot een van deze bijzondere verzamelingen behoren, bijvoorbeeld
   
   is normaal omdat
    en 
   
  
   De verzameling van normale matrices is noch voor de optelling, noch voor de matrixvermenigvuldiging gesloten. Als evenwel twee normale matrices  en  commutatief zijn, dan zijn hun som en product ook normaal. Dit doet zich voor als  en  gelijksoortige matrices zijn, dus zodat  met  een unitaire matrix.
  
  Eigenschappen 
   Een reële matrix  is normaal dan en slechts dan als  orthogonaal is.
  
   Een reële matrix  is ook normaal dan en slechts dan als  en de getransponeerde  van  commutatief zijn:
   
  
   Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als de eigenvectoren ervan loodrecht op elkaar staan. Hierbij wordt loodrecht geïnterpreteerd in termen van het standaardinproduct op de complexe n-dimensionale ruimte.
  
   Een complexe matrix  is dan en slechts dan normaal als  en de hermitische matrix  van  commutatief zijn:
   
  
   Een willekeurige vierkante matrix  heeft een polaire ontbinding , waarin  een unitaire matrix is en  een positief semi-definiete matrix. Als  inverteerbaar is, zijn  en  eenduidig bepaald. Als  normaal is, dan zijn  en  commutatief.
  
   Een driehoeksmatrix die normaal is is een diagonaalmatrix.
  
  Oneindig-dimensionale ruimten 
  De spectraalstelling gaat er dieper op in wanneer matrices gelijkvormig zijn.
  
  Een normale operator  in een complexe hilbertruimte is een begrensde lineaire operator of transformatie van de hilbertruimte, die met zijn toegevoegde operator commutatief is.
  
  Voor normale operatoren bestaat een spectraaltheorie. Met iedere meetbare complexe functie  op het spectrum van de operator associeert men op natuurlijk wijze een operator  Met de complex toegevoegde functie  correspondeert de geconjugeerde getransponeerde operator  en de vermenigvuldiging van functies gaat in de samenstelling van operatoren over.
  
  Als de normale operator compact is, dan heeft de hilbertruimte een orthonormale schauderbasis, die volledig uit eigenvectoren van de operator bestaat.
  
  Lineaire algebra
  Matrix