title: Binomiale verdeling
text: In de kansrekening en de statistiek is de binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de verdeling is van het aantal successen  in een reeks van  onafhankelijke alternatieven alle met succeskans . Zo'n experiment wordt ook wel een bernoulli-experiment genoemd.
  
  In het geval , komt de binomiale verdeling overeen met de bernoulli-verdeling.
  
  Definitie 
  In een reeks van  bernoulli-experimenten kunnen  successen voorkomen. Het aantal successen is een stochastische variabele . Als  de kans op succes is, zegt men dat  binomiaal verdeeld is met parameters  en succeskans , en noteert:
  ,
  of ook
  
  De kans op precies  successen kan gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat elke reeks uitkomsten met  successen en  mislukkingen dezelfde kans  heeft. Omdat er  (zie binomiaalcoëfficiënt) verschillende reeksen zijn met precies  successen, wordt de kansfunctie voor  gegeven door:
  
  Voorbeeld 
  We gooien 4 keer met een (eerlijke) dobbelsteen. We kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 keer een 6 gooien. Het aantal keren dat we 6 gooien, , is -verdeeld. Hoe groot is de kans dat we van de 4 worpen 1 keer een 6 gooien? Hier is  en , dus:
  
  Momenten 
  De verwachtingswaarde en de variantie van een -verdeelde stochastische variabele  laten zich het eenvoudigst bepalen door  te schrijven als de som van  onafhankelijke, -verdeelde variabelen: . Dan volgt:
  
  en
  .
  
  De bovenstaande relaties kunnen ook afgeleid worden met behulp van berekeningen soortgelijk aan de volgende:
  
  .
  
  Uit deze betrekking kan het derde moment  bepaald worden, en daarmee de scheefheid van de verdeling.
  
  Ook volgt daaruit direct:
  
  en
  .
  
  Uit deze laatste relatie volgt weer:
  ,
  zodat
  .
  
  Benadering 
  Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten  de exacte kansen te berekenen. Dit is ook niet nodig omdat de binomiale verdeling voor grote  benaderd kan worden door een normale verdeling of door een Poissonverdeling.
  
  Als vuistregel neemt men wel dat de -verdeling voor  goed benaderd kan worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans  niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt:  en . Voor kleinere en grotere waarden van  is de binomiale verdeling te scheef om door de symmetrische normale verdeling goed benaderd te worden. Een benadering door een geschikte Poissonverdeling is dan mogelijk.
  
  Normale benadering 
  De stochastische variabele  is -verdeeld. Voor toenemende  nadert de verdeling van  naar een normale verdeling, dus met verwachtingswaarde  en variantie . Er geldt dus:
  
  .
  
  Daarin is -verdeeld en  standaardnormaal verdeeld.
  
  Omdat de binomiale verdeling een discrete verdeling is, geldt
  
  ,
  
  hetgeen leidt tot twee (en meer) mogelijke benaderingen, die voor niet al te grote waarden van  nogal verschillen. Om dit probleem te ondervangen past men wel de zogenaamde continuïteitscorrectie toe, en neemt als betere benadering een waarde tussen de genoemde uitersten, en wel:
  
  .
  
  Voorbeeld 
  Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere munt ten hoogste 10 keer kruis te gooien? Noem  het aantal keren kruis;  is dus -verdeeld is. De gevraagde kans is:
  
  .
  
  Omdat  en , kan deze kans benaderd worden met behulp van een -verdeling.
  .
  
  Men kan ook berekenen:
  .
  
  Dat zijn twee benaderingen die nogal uiteenlopen, maar waar de werkelijke waarde wel tussen ligt. Met de continuïteitscorrectie wordt de benadering:
  .
  
  Poissonbenadering 
  Omdat de -verdeling voor toenemende  en constante waarde van  nadert naar de Poissonverdeling met parameter , kan de -verdeling voor grote waarden van  en waarden van  in de buurt van 0 benaderd worden door een geschikte Poissonverdeling. In dat geval geldt dus: :
  
  .
  
  Daarin is  Poissonverdeeld met parameter .
  
  Ook voor waarden van  in de buurt van 1 kan deze benadering gebruikt worden, zij het dat men niet de verdeling van  benadert, maar de verdeling van , die -verdeeld is, dus met een kleine waarde van .
  
  Voorbeeld 
  Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen ten hoogste 2 keer 6 te gooien? Noem  het aantal keren 6. Dus  is -verdeeld. De gevraagde kans is:
  
  .
  
  Omdat  kan we deze kans benaderd worden met behulp van een Poissonverdeling met parameter 25/6.
  .
  
  Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen minstens 20 keer geen 6 te gooien? Noem  het aantal keren dat geen 6 gegooid wordt.  is dus -verdeeld. De gevraagde kans is:
  
  .
  
  Nu is  tamelijk groot, maar de vraag kan ook geformuleerd worden als de kans op ten hoogste 5 keer 6.
  
  .
  
  En  is weer -verdeeld, dus:
  
  .
  
  Zie ook 
   De multinomiale verdeling is een uitbreiding van de binomiale verdeling die gebruikt wordt wanneer het experiment geen twee, maar meer uitkomsten heeft.
   De hypergeometrische verdeling is het analogon van de binomiale verdeling wanneer er sprake is van een steekproef uit een eindige populatie zonder terugleggen.
   Binomium van Newton.
  
  Discrete verdeling