title: Parametervergelijking
text: Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking waarmee een coördinaat van een wiskundig object, zoals een kromme, een oppervlak, een meetkundig lichaam, gegeven wordt in afhankelijkheid van een of meer parameters. De gezamenlijke parametervergelijkingen vormen de parametervoorstelling of parametrisering van het object. Met andere woorden, meestal worden -, - en -waarden uitgedrukt als functie van de parameter(s). Als er maar één parameter is, hoort bij elke parameterwaarde één punt. Dit punt zal een kromme beschrijven als die parameter vloeiend verandert, mits het continue functies zijn. Met twee parameters verkrijgt men op analoge wijze een oppervlak.
  
  Voorbeelden
  
  Ellips
  
  Een voorbeeld van parametervergelijkingen is:
  
  Als de parameter  vloeiend verandert, beschrijft het punt  een vaste ellips.
  
  Een categorie bijzondere parameterkrommen wordt gevormd door de zogenaamde lissajousfiguren, waarin het punt dat de kromme doorloopt, onderhevig is aan zowel een horizontale als een verticale harmonische trilling. Een voorbeeld hiervan is het hierboven gegeven voorbeeld van de ellips.
  
  Grafiek
  De grafiek van een functie kan opgevat worden als een parametervergelijking met de variabele  als parameter.
  
  Sfeer (boloppervlak)
  
  De algemene cartesiaanse vergelijking van een boloppervlak of sfeer met straal  en middelpunt in  wordt gegeven door
  
  Door substitutie in de cartesiaanse vergelijking kan men aantonen dat volgende uitdrukkingen een parametervoorstelling leveren voor hetzelfde boloppervlak:
  
  Algemeen
  Een parametervergelijking is een vectorfunctie van  naar , met  het aantal parameters en  het aantal coördinaten.
  In wiskundige notatie wordt dit
  
  Belangrijkste gevallen
  Voor een kromme in twee dimensies, een vlakke kromme, wordt dit
  
  En dus specifiek voor de grafiek van een functie van 
   naar 
  
  Voor een kromme in drie dimensies, een ruimtekromme, wordt dit
  
  Voor een oppervlak in drie dimensies wordt dit
  
  En dus specifiek voor de grafiek van een functie van  naar
  
  Afgeleiden van een parametrische functie in twee dimensies
  Voor een kromme in twee dimensies, 
  
  worden de eerste en tweede afgeleiden van  naar  gegeven door:
  
  Zie ook
  Cycloïde
  Helix (wiskunde)
  Kromme
  Ruimtekromme
  Oppervlak (topologie)
  Grafiek (wiskunde)
  Raaklijn
  
  Multivariabele analyse
  Wiskundige vergelijking