title: Henstock-Kurzweil-integraal
text: De Henstock-Kurzweil-integraal is een uitbreiding van de Lebesgue-integraal verkregen door kleine wijzigingen aan te brengen in de integratieprocedure voor de Riemann-integraal.
  Een Lebesgue-integreerbare functie is per definitie absoluut integreerbaar. Deze zware eis wordt niet gesteld aan de Henstock-Kurzweil-integraal. Elke Lebesque-integreerbare functie is Henstock-Kurzweil-integreerbaar en ze hebben (in geval beide integralen bestaan) dezelfde waarde.
  
  Stelling 
  Een functie  is Henstock-Kurzweil integreerbaar met integraal  als er voor iedere  een functie  bestaat zó dat voor ieder rijtje getallen 
   met  
  en met 
   
  voor  geldt
  
  Historische opmerkingen 
  Jaroslav Kurzweil (1957) en Ralph Henstock (1961) hebben onafhankelijk van elkaar deze integratiemethode ontwikkeld.
  De hoofdstelling van de integraalrekening zegt onder welke voorwaarde een differentieerbare functie kan worden teruggewonnen uit zijn afgeleide. Bij Lebesgue-integratie wordt geëist dat dan de afgeleide van de differentieerbare functie begrensd is. Om deze eis van begrensdheid uit de hoofdstelling te verwijderen zijn een aantal pogingen gedaan, door andere definities van integreerbaarheid te formuleren, o.a door Denjoy en Perron. Hun methoden bleken hetzelfde integraalbegrip op te leveren als dat van Henstock en Kurzweil. De methode van laatstgenoemden zijn echter het meest transparant.
  
  Voorbeeld 
  Een voorbeeld van een Henstock-Kurzweil-integreerbare functie die niet Riemann integreerbaar is, is de Dirichletfunctie op [0,1].
  Kies een aftelling  van de rationale getallen tussen 0 en 1.
  Bij gegeven  kiezen we dan bijvoorbeeld
   voor alle  
  en
   in alle andere gevallen.
  
  Convergentiestellingen
  
  De monotone convergentiestelling 
  Als  een monotone rij Henstock-Kurzweil-integreerbare functies is die op  puntsgewijs naar  convergeert, dan is 
   integreerbaar, dan en slechts dan als de rij 
   begrensd is.
  In dat geval is
  
  De gemajoreerde convergentiestelling 
  Als  een rij Henstock-Kurzweil integreerbare functies is die op  puntsgewijs naar  convergeert, en als  en  integreerbare functies zijn, waarvoor geldt dat  voor elke , dan is  integreerbaar en
  
  Referenties 
   
   
  
  Integraalrekening