title: Stelling van De Moivre-Laplace
text: De stelling van De Moivre-Laplace is een stelling in de kansrekening die stelt dat de binomiale verdeling met parameters  en  voor grote waarden van  de normale verdeling benadert. De stelling werd voor het eerst door De Moivre afgeleid in 1733 en later opgenomen in de tweede druk van The Doctrine of Chances van De Moivre, gepubliceerd in 1738. De stelling is genoemd naar Abraham de Moivre en Pierre-Simon Laplace. De stelling kan nu gezien worden als een speciaal geval van centrale limietstelling.
  
  Stelling 
  Als de stochastische variabele  binomiaal verdeeld is met parameters  en , geldt:
  
  waarin  de verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling is.
  
  Dit houdt in dat voor toenemende waarden van  de verdeling van  steeds dichter nadert tot een normale verdeling met verwachtingswaarde  en variantie .
  
  Bewijs 
  De stelling kan nu als een speciaal geval van de centrale limietstelling opgevat worden, maar moest door De Moivre apart als limiet bewezen worden. Daarbij maakte De Moivre gebruik van de door hem ontdekte vorm van de formule van Stirling, die een benadering met exponentiële functies geeft van een n! voor grote .
  
  Vuistregel 
  Als vuistregel hanteert men wel dat de benadering voldoende is voor waarden van  en , waarvoor zowel  als .
  
  Voorbeeld 
  
  In de nevenstaande figuur zien we de binomiale verdeling met parameters  en  en de benaderende normale verdeling met  en .
  
  Kansrekening
  De Moivre-Laplace