title: Bernsteinpolynoom
text: De bernsteinpolynomen (genoemd naar Sergej Natanovitsj Bernstein) zijn een familie speciale reële polynomen met geheeltallige coëfficiënten.
  
  Betekenis en geschiedenis 
  De bernsteinpolynomen vinden hun oorsprong in de approximatietheorie. Hun bedenker, Bernstein, kon met behulp van deze polynomen een constructief bewijs leveren voor de stelling van Stone-Weierstrass]. Aan het einde van de jaren vijftig werden voor het eerst pogingen ondernomen methoden op basis van bernsteinpolynomen te gebruiken bij het ontwerpen van krommen en oppervlakken.  Paul de Faget de Casteljau bij Citroën en Pierre Bézier bij Renault gebruikten de polynomen bij hun ontwikkeling van de béziercurven en legden zo de basis van het huidige Computer Aided Design (CAD).
  
  Definitie 
  Voor  zijn de  bernsteinpolynomen van graad  de reële polynomen
  
  met  en .
  
  Door affiene transformaties van het interval  naar een  interval  ontstaan de gegeneraliseerde bernsteinpolynomen:
  
  voor 
  
  Hierin is  een binomiaalcoëfficiënt.
  {| class="wikitable" style=text-align:center; width:2em;"
  |+ De eerste bernsteinpolynomen 
  |- 
  |style="width:2em"|||||||||style="width:6em"| 
  |-
  ||| || || || 
  |-
  |0||  || || ||
  |-
  |1||  || || ||
  |-
  |2||  ||  || 
  |-
  |3||  ||  ||  || 
  |}
  
  Voorbeeld 
  
  De afbeelding toont de bernsteinpolynomen ,  van graad  op het interval .
  
  Eigenschappen
  De bernsteinpolynomen op het interval  hebben de volgende eigenschappen:
   Basiseigenschap: De bernsteinpolynomen  zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis van , de ruimte van de polynomen van graad kleiner of gelijk aan .
   Positiviteit:  voor alle .
   Extrema: De polynoom  heeft precies één (absoluut) maximum op het interval  in het punt . In het bijzonder is dus:
  
   Opdeling van 1: De  bernsteinpolynomen van graad  zijn de termen in de binomiale ontwikkeling:
  
   Symmetrie: 
   Recursie:
  
   voor  en 
  
   Teruglopend:
  
   Afgeleiden:
  
   Primitieve:
  
  Benadering door bernsteinpolynomen
  Voor een functie  heet de polynoom  gedefinieerd door
  
  de -de bernsteinpolynoom van .
  
  Als  een continue functie is op het interval , convergeert de rij van zijn bernsteinpolynomen  uniform naar .
  
  Het bewijs hiervan kan onder andere geleverd wordenmet behulp van de zwakke wet van de grote getallen.
  
  Voorbeeld
  
  De benadering van de functie
  
  door bernsteinpolynomen van de graad 4 is de bernsteinpolynoom van :
  
  In de figuur staat de functie  en de benaderingen voor  en .
  
  Literatuur 
   Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. soc. Math. Charkov, deel 12, nr. 2, blz. 1-2, 1912/1913.
  
  Weblinks 
   Bernsteinpolynomen (applet)
  
  Veelterm
  Wiskundige analyse