title: Nevenklasse
text: In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep  een deelverzameling  of  van , die bestaat uit de producten van een element  en de elementen van een ondergroep  van . De nevenklasse  van  ten opzichte van  heet linkernevenklasse en de nevenklasse  rechternevenklasse. De verschillende nevenklassen van  zijn onderling disjunct en vormen een partitie van . Het aantal elementen in een nevenklasse  of  is gelijk aan het aantal elementen van de ondergroep  zelf.
  
  Definitie 
  Zij  een groep,  een ondergroep van  en  een element van .
  
  De linkernevenklasse  van  ten opzichte van  is de verzameling producten van elementen van , links samengesteld met :
   .
  
  De verzameling van alle linkernevenklassen van  in  noteert men gewoonlijk als .
  
  De rechternevenklasse  van  ten opzichte van  is de verzameling producten van elementen van , rechts samengesteld met :
   .
  
  De verzameling van alle rechternevenklassen van  in  noteert men gewoonlijk als
  
  Equivalentierelatie 
  Nevenklassen zijn equivalentieklassen. Twee elementen  en  van de groep  zijn equivalent als ze tot dezelfde nevenklasse  behoren.
  
    als voor een : 
  
  Dit komt erop neer dat er een  is zodanig dat:
   
  
  Alternatief geldt:
  
  De linkernevenklassen zijn dus de equivalentieklassen van deze relatie.
  
  Commutativiteit 
  Linker- en rechternevenklassen zijn in een commutatieve groep gelijk, maar kunnen in een groep die niet commutatief is verschillen. De normalisator van  in  is de verzameling elementen van  waarvoor de betrokken linker- en rechternevenklasse identiek zijn.
  
  Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep  identiek zijn voor alle elementen van , heet  een normaaldeler van  en spreekt men kortweg van nevenklassen. In dat geval kan  ook uitgerust worden met een groepsbewerking en wordt de factorgroep van  over  genoemd.
  
  In een commutatieve groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.
  
  Voorbeelden
  
  Voorbeeld in een abelse groep 
  Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:
   
  
  De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:
   
  Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.
  
  Voorbeeld in een niet-abelse groep 
  Beschouw de groep  van de rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt alleen de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel  en noem  de ondergroep van  die bestaat uit de rotaties om de -as. Noem  de rotatie over een rechte hoek om de -as die de -as op de -as afbeeldt, met behoud van de oriëntatie (de positieve zijde van de -as wordt op de positieve zijde van de -as afgebeeld).
  
  De linkernevenklasse  bestaat uit alle rotaties die de -as met behoud van oriëntatie op de -as afbeelden. De rechternevenklasse  bestaat uit alle rotaties die de -as met omkering van de oriëntatie op de -as afbeelden. Beide nevenklassen zijn van elkaar verschillend en hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk  zelf.
  
  De ondergroep  is geen normaaldeler van . De normalisator van  in  is  zelf.
  
  Cardinaliteit 
  De samenstelling met een vast element  is een permutatie van , dus alle nevenklassen van  hebben evenveel elementen als  zelf.
  
  Voor eindige groepen geldt de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:
  
   De orde van  is het product van de orde van  en het aantal nevenklassen van  in .
  
  Dit is altijd, dus wanneer de linker- en rechternevenklassen samenvallen, maar ook wanneer zij verschillend zijn.
  
  Groepentheorie