title: Differentieerbare structuur
text: In de differentiaaltopologie, een deelgebied van de wiskunde, maakt een -dimensionale differentieerbare structuur op een verzameling  deze verzameling  tot een -dimensionale differentieerbare variëteit, dat wil zeggen een topologische variëteit met extra structuur, die men in staat stelt om  differentiaalrekening op de variëteit uit te voeren. Als  reeds een topologische variëteit is, eist men dat de nieuwe topologie identiek is aan de bestaande topologie.
  
  Definitie 
  Voor een natuurlijk getal  en enig getal  (een niet-negatief geheel getal of oneindig) wordt een -dimensionale  differentieerbare structuur gedefinieerd door gebruik te maken van een -atlas, die uit een verzameling van bijecties bestaat, die kaarten worden genoemd, tussen een collectie van deelverzamelingen van  (waarvan de vereniging het geheel van  is), en een verzameling van open deelverzamelingen van :
  
  die -compatibel is (in de zin zoals hieronder gedefinieerd):
  
  Existentie en uniciteitsstellingen 
  Op elke variëteit met een -structuur voor , bestaat er een unieke -compatibele -structuur, een stelling, die men dankt aan de Amerikaanse wiskundige Whitney: men zegt dat -structuren uniek glad te maken zijn. Verder zijn twee -structuren, die gelijkwaardige -structuren hebben, gelijkwaardig als -structuren; er is dus geen betekenisvol verschil tussen een -structuur (differentieerbare structuur) en een -structuur (gladde structuur). Aan de andere kant bestaan er voor  topologische variëteiten die geen differentieerbare structuren toelaten, een resultaat dat in 1960 werd bewezen  door Kervaire, dat later werd verklaard in het kader van de stelling van Donaldson (vergelijk het vijfde probleem van Hilbert).
  
  Wanneer men de differentieerbare structuren op een variëteit wil tellen, telt men meestal modulo de oriëntatie-bewarende  homeomorfismen. Daarbij is de vraag of een gegeven differentieerbare structuur een oriëntatie-omkerend homeomorfisme toelaat. Er bestaat slechts één differentieerbare structuur voor enige variëteit met een dimensie kleiner dan 4. Voor alle variëteiten met een dimensie groter dan 4 bestaat er op een compacte variëteit een eindig aantal differentieerbare structuren. Er is slechts één differentieerbare structuur op , behalve wanneer , in dat geval zijn er overaftelbaar veel differentieerbare structuren; een dergelijke structuur noemt men  exotische .
  
  Voetnoten
  
  Differentiaaltopologie