title: Inwendige (topologie)
text: In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het inwendige van een verzameling  uit alle punten van , die niet op de rand van  liggen. Een punt dat in het inwendige van  ligt noemt men een inwendig punt van . 
  
  Tegenover het inwendige van een verzameling staat het uitwendige, of de buitenkant van een verzameling, dat is het inwendige van het complement van deze verzameling en bestaat uit de punten die geen deel uitmaken van de verzameling en ook niet op de rand liggen. 
   
  Het inwendige van een verzameling is een topologisch begrip, dat niet voor alle verzamelingen is gedefinieerd, maar wel voor verzamelingen die een deelverzameling van een topologische ruimte zijn. Het begrip 'inwendige' is in veel opzichten duaal aan het begrip, sluiting.
  
  Definitie 
  Het inwendige van een verzameling  is de verzameling van alle inwendige punten van . Het inwendige van  wordt aangegeven door  of  Het inwendige van een verzameling heeft de volgende eigenschappen.
  
    is een open deelverzameling van 
    is de vereniging van alle open verzamelingen, die vervat zijn in 
    is de grootste open verzameling, die in  liggen
   Een verzameling  is open dan en slechts dan als .
   . Het bepalen van het inwendige van  is een idempotente bewerking.
   Als  een deelverzameling is van , dan is  een deelverzameling van 
   Een open verzameling  is dan en slechts dan een deelverzameling van  als  een deelverzameling is van 
  
  Soms wordt de tweede of derde eigenschap hierboven genomen als de 'definitie' van de topologische inwendige.
  
  De tegengestelden van 'inwendige', 'deelverzameling', 'vereniging', 'vervat in', 'grootste' en 'open' zijn 'afsluiting', 'superset', 'doorsnede', 'die bevat', 'kleinste' en 'gesloten'.
  
  Oorspronkelijk 
  Zij  een topologische ruimte. Het inwendige van een deelverzameling  van  is de grootste open verzameling van  die in  ligt. 
  
  Vaak wordt het inwendige van een verzameling genoteerd door een cirkeltje boven de uitdrukking van de verzameling: 
  
  Het inwendige van een deelverzameling  van een topologische ruimte  bestaat altijd en kan worden uitgedrukt als de vereniging van alle open delen van  die in  liggen:
   
  
  Er is immers minstens een zo'n verzameling , omdat de lege verzameling  er altijd nog is, en de vereniging van een verzameling van open verzamelingen is ook open.
  
  Eigenschappen 
   Het inwendige van de lege verzameling is gelijk aan de lege verzameling. 
   Voor elke verzameling  ligt  in .
  
  Voorbeelden  
   In de reële getallen  is . 
   In de euclidische ruimte  is het inwendige van de verzameling  van de rationale getallen leeg. 
   Als  het complexe vlak  is, dan geldt 
   In enige euclidische ruimte is het inwendige van een eindige verzameling gelijk aan de lege verzameling.
  
  Eigenschappen 
   Het inwendige is een open verzameling.
   Iedere open verzameling is haar eigen inwendige.
   Het complement van het inwendige is de afsluiting van het complement: 
   
  
  Topologie