title: Restklasse
text: In de rekenkunde verstaat men onder de restklasse modulo een positief geheel getal , de verzameling gehele getallen die bij deling door  dezelfde rest opleveren. Deze rest wordt niet-negatief gekozen. De getallen in een bepaalde restklasse zijn dus per definitie congruent modulo .
  
  In veel gevallen is  een vast gekozen getal, en noteert men de restklasse waartoe het gehele getal  behoort met een streepje boven de :
  
  Er zijn precies  verschillende restklassen modulo .
  
  In het algemeen behoren twee gehele getallen tot dezelfde restklasse modulo  als en slechts als hun verschil een veelvoud is van  (als ze congruent zijn modulo ).
  
  Voorbeeld 
  Zij . Er bestaan vijf verschillende restklassen modulo 5. Het gaat om de volgende vijf oneindige verzamelingen:
  
  De klasse
  
  is geen nieuwe klasse, het is gewoon een andere schrijfwijze van de klasse .
  
  Verzamelingenleer 
  De restklassen modulo  zijn de partitieklassen die horen bij de equivalentierelatie "is congruent met".
  
  Elke geheel getal  behoort tot precies één restklasse modulo , namelijk, de klasse waar de rest van de geheeltallige deling van  door  toe behoort.
  
  Groepentheorie 
  De restklasse modulo  waar het getal  toe behoort, is de nevenklasse van  ten opzichte van de deelgroep
  
  van de groep  der gehele getallen. Omdat de optelling van gehele getallen een abelse groep vormt, hoeven we geen onderscheid te maken tussen linker- en rechternevenklassen.
  
  De factorgroep  definieert een commutatieve groepsbewerking op de verzameling der restklassen modulo . Dit is de eindige cyclische groep met  elementen.
  
  Ringtheorie 
  Voor de optelling geldt dat, als  en  congruent zijn modulo , en ook  en  congruent zijn modulo , dat dan ook  en  congruent zijn modulo .
  Hetzelfde geldt voor de vermenigvuldiging:  en  zijn congruent modulo .
  
  De deelring  van de commutatieve ring  is een ideaal, zodat we de factorring of quotiëntring  kunnen beschouwen.
  
  De verzameling der restklassen modulo  vormt dus een commutatieve ring met eenheidselement.
  
  In deze ring zijn niet noodzakelijk alle niet-triviale elementen omkeerbaar, met andere woorden: hij is niet altijd een lichaam. Dit is slechts het geval als  een priemgetal is (het bijzondere geval  wordt gewoonlijk buiten beschouwing gelaten). In alle andere gevallen is de ring zelfs niet nuldelervrij: als  geschreven kan worden als het product van twee natuurlijke getallen  en  (strikt begrepen tussen 1 en ), dan is
  
  De omkeerbare elementen van  vormen een abelse groep voor de vermenigvuldiging van restklassen, genoteerd
  
  Het aantal elementen van deze vermenigvuldigingsgroep is de Euler-indicator (totiënt) van , d.i. het aantal natuurlijke getallen tussen 0 en  dat geen delers gemeenschappelijk heeft met .
  
  In deze context komt de stelling van Euler neer op de opmerking dat elk element in deze eindige groep een eindige orde heeft. Men bekomt het neutraal element door een willekeurig gegeven element net zo vaak met zichzelf te vermenigvuldigen als er elementen in de hele groep zijn.
  
  Algebra