title: Stelling van Frobenius (delingsalgebra)
text: De stelling van Frobenius, in 1877 bewezen door Ferdinand Georg Frobenius,<ref>Frobenius: Über lineare Substitutionen und bilineare Formen.', J. Pure Appl. Algebra volume 84, 1877, pp. 1-63, SUB Göttingen, herdrukt in Frobenius: Gesammelte Abhandlungen. Band 1, pp. 343-405.</ref> is een stelling uit de abstracte algebra, die zegt dat op isomorfie na er slechts drie eindigdimensionale, associatieve delingsalgebra's zijn over de reële getallen, namelijk
   de reële getallen  zelf, 
   de complexe getallen  
   en de quaternionen .
  
  De stelling werd in 1881 onafhankelijk bewezen door Charles Sanders Peirce.Een bewijs van de stelling kan bijvoorbeeld worden gevonden in M. Koecher, R. Remmert, hoofdstuk 7, in: Ebbinghaus et al.: Numbers. Springer 1983. De stelling beperkt het bestaan van associatieve delingsalgebra's over de reële getallen tot de dimensies 1, 2 en 4. De uitvinder van de quaternionen, William Rowan Hamilton, had lang gezocht naar zo'n algebra in drie dimensies die door de stelling wordt uitgesloten. Als men de eis van associativiteit laat vallen en commutativiteit eist, bewees Heinz Hopf in 1940 dat de corresponderende eindigdimensionale delingsalgebra's over  maximaal de dimensie 2 hebben. Er is topologisch bewijs dat er alleen delingsalgebra's over de reële getallen zijn voor 
  
  Van deze drie delingsalgebra's zijn alleen de quaternionen geen lichaam (Ned) / veld (Be), maar een delingsring/lichaam, dus met een niet-commutatieve vermenigvuldiging. Aangezien  en  de enige eindigdimensionale, commutatieve en associatieve delingsalgebra's over de reële getallen zijn, moet voor de stelling van Frobenius bewezen worden dat de quaternionen de/het enige niet-commutatieve eindigdimensionale delingsring/lichaam vormen over .
  
  Stelling
  Zij  een eindigdimensionale niet-commutatieve delingsring/lichaam over . Dan is er een reëel algebra-isomorfisme .
  
  Bewijs
  De complexe getallen  vormen, afgezien van isomorfisme, de enige eindige reële uitbreiding van .  is dus geen delingsring/lichaam over .
  
  Omdat  het centrum is van  volgt dat  een maximaal deellichaam/-veld  bevat met
  
  Aangezien  niet-commutatief is, is  en .
  
  Het is nu voldoende een reëel algebra-homomorfisme  aan te geven. Aangezien  een enkelvoudige ring is, volgt daaruit de injectiviteit, en de surjectiviteit volgt op grond van de dimensies.
  
  Er geldt:
  
  met  en  een galoisuitbreiding over  met galoisgroep , waarin  met
  
  Volgens de stelling van Skolem-Noether  is er een  zodat voor alle  geldt: .
  
  Dan is:
   , want , dus . Maar dan is  element van het centrum  van  en is . En omdat  een galoisuitbreiding over  is, volgt .
   , want stel . Dan is  en omdat  het centrum is van  is ook , wat een tegenspraak inhoudt.
  
  Er geldt dus  met . Het gezochte reële algebra-homomorfisme  wordt dan geïnduceerd door:
  
  want .
  
   Literatuur 
   Ina Kersten: Brauergruppen.'' Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen 2007, S. 52–54, PDF
  
  Referenties 
  
  Abstracte algebra