title: Gelijksoortige matrices
text: In de lineaire algebra worden twee vierkante -matrices  en  over een lichaam (Ned) / veld (Be)  gelijksoortig of gelijkvormig genoemd, als er een inverteerbare -matrix  over  bestaat, zodat geldt:
  
   
  
  Gelijksoortige matrices beschrijven dezelfde transformatie, maar ten opzichte van verschillende bases. Gelijksoortigheid van matrices is een equivalentierelatie, want:
   Reflexiviteit – Ieder matrix is equivalent met zichzelf, kies voor  de geschikte eenheidsmatrix.
   Symmetrie – Als  equivalent is met , is ook  equivalent met , want  is inverteerbaar, dus 
   
   Transitiviteit – Als  equivalent is met , en  equivalent met , geldt 
    
  en 
   , 
   zodat 
   , 
   dus is  ook equivalent met .
  
  De bijbehorende equivalentieklassen worden gelijksoortigheidsklassen genoemd.
  
  Merk op dat deze definitie van gelijksoortige matrices overeenkomt met de definitie van geconjugeerde elementen in de groepentheorie.
  
  Normaalvorm en domein 
  Omdat gelijksoortige matrices in feite dezelfde transformatie representeren, rijst de vraag of er bij een gegeven matrix  een eenvoudige vorm, een normaalvorm  is die gelijksoortig is met , zodat eigenschappen van  aan de hand van de eenvoudigere matrix  kan worden onderzocht. Zo wordt  een diagonaliseerbare matrix genoemd als  gelijksoortig is aan een diagonaalmatrix. Niet alle matrices zijn diagonaliseerbaar, maar over de complexe getallen, of over een willekeurig algebraïsch gesloten lichaam, is iedere matrix gelijksoortig met een matrix in jordan-normaalvorm. Een andere normaalvorm, de frobenius-normaalvorm, bestaat voor ieder lichaam. Door de jordan- of frobenius-normaalvormen van  en  te beschouwen, kan men onmiddellijk beslissen of  en  gelijksoortig zijn. De smith-normaalvorm kan ook worden gebruikt om te bepalen of matrices gelijksoortig zijn, hoewel in tegenstelling tot de jordan- en de frobenius-normaalvormen, een matrix niet noodzakelijkerwijs gelijksoortig hoeft te zijn aan zijn smith-normaalvorm.
  
  Gelijksoortigheid van matrices hangt niet van het lichaam af waar zij over zijn gedefinieerd. Twee matrices  en  over het lichaam  zijn gelijksoortig dan en slechts dan als ze gelijksoortig zijn ten aanzien van een deellichaam van . Men kan het lichaam  uitbreiden, bijvoorbeeld om er een algebraïsch gesloten lichaam van te maken, de jordan-normaalvorm te berekenen over het uitgebreide lichaam en aan de hand daarvan bepalen of de matrices gelijksoortig zijn. Deze aanpak kan worden gebruikt om bijvoorbeeld aan te tonen dat een matrix gelijksoortig is aan zijn getransponeerde matrix.  en  gaan door een permutatie van hun rijen en kolommen in elkaar over, wanneer de matrix  een permutatiematrix is en  en  zijn unitair equivalent, wanneer  een unitaire matrix is. De spectraalstelling zegt dat elke normale matrix unitair equivalent is met een bepaalde diagonaalmatrix.
  
  Eigenschappen 
  Gelijksoortige matrices delen vele eigenschappen. Ze hebben dezelfde:
   rang
   determinant
   spoor
   eigenwaarden, de eigenvectoren zullen in het algemeen verschillen
   karakteristiek polynoom
  
   De afbeelding  is een automorfisme op de associatieve algebra van alle -matrices.
  
  Toepassingen 
   Gelijksoortige matrices worden in de toegepaste wiskunde gebruikt om functies van matrices, zoals exponenten en machten van matrices te berekenen.
   Gelijksoortige matrices worden in de bio-informatica gebruikt voor sequentiealignering
  
  Lineaire algebra
  Matrix