title: Kiem (wiskunde)
text: In de wiskunde, meer bepaald in de analyse, beschrijft een kiem het lokale gedrag van een functie in willekeurig kleine omgevingen van een gegeven punt.
  
  Achtergrond
  Beschouw willekeurig vaak differentieerbare reële functies die gedefinieerd zijn in een omgeving van 0. Als het slechts gaat om het lokale gedrag in de omgeving van 0, is het onderscheid tussen twee functies  en  niet van belang als hun verschil  gedefinieerd op de doorsnede van hun domeinen, gelijk is aan 0 op een (eventueel kleinere) omgeving van 0.
  
  Zij  de verzameling van alle (willekeurig vaak) differentieerbare functies waarvan het domein een open omgeving van 0 omvat:
  
  Twee functies  en  noemt men equivalent, , als zij "gelijk zijn op een kleine omgeving van 0", d.w.z. dat er een getal  is, zodanig dat:
  
  en voor alle  geldt dat 
  
  De equivalentieklassen van deze relatie heten de differentieerbare functiekiemen. Net als gewone functies, kunnen ook functiekiemen bij elkaar opgeteld worden en met elkaar vermenigvuldigd. Ze vormen dus een commutatieve algebra over het lichaam der reële getallen.
  
  Merk op dat een kiem, opgevat als equivalentieklasse van functies, weliswaar heel veel verschillende functies bevat, maar ten hoogste een van die functies is analytisch (een analytische functie op een samenhangend domein ligt volledig vast door haar gedrag in de omgeving van één punt).
  
  Definitie
  Zij  een vast gekozen punt in een topologische ruimte  en  een verzameling functies waarvan het domein deel uitmaakt van  en met waarden in een gegeven verzameling  Met  wordt de deelverzameling van  aangeduid die bepaald wordt door de voorwaarde dat het domein van de functie een omgeving is van 
  
  De functies  en  in  heten equivalent, , als er een omgeving  van  is zodanig dat voor alle  geldt dat 
  
  De equivalentieklassen heten de kiemen van  in
  
  Voorbeelden
  Zij  en  de verzameling van alle indicatorfuncties van deelverzamelingen van een verzameling  (deze is gelijkwaardig met de machtsverzameling van ). De equivalentieklassen heten de kiemen van verzamelingen in  Twee deelverzamelingen van  behoren tot dezelfde kiem als ze identieke doorsneden hebben met voldoende kleine omgevingen van  In dit voorbeeld hebben alle functies de hele ruimte  als domein.
  
  In het voorbeeld uit de motiverende paragraaf is  de verzameling der reële getallen,  en  bevat de onbeperkt differentieerbare (partiële) reële functies.
  
  Bij continue functiekiemen (in een gegeven punt  van ) is  een topologische ruimte, en  bevat alle continue partiële functies van (een deel van)  naar
  
  Toepassing
  De catastrofetheorie classificeert kiemen van differentieerbare functies
  
  op diffeomorfismen (omkeerbare differentieerbare transformaties) van het domein na. Ze kent een bijzondere rol toe aan "stabiele" kiemen, dit zijn kiemen die robuust zijn onder kleine variaties van de beeldverzameling.
  
  Wiskundige analyse