title: Absolute continuïteit
text: In de wiskundige analyse wordt de term absolute continuïteit zowel voor functies als voor maten gebruikt. Beide begrippen zijn nauw met elkaar verwant in de context van de lebesgue-maat op de reële getallen . Voor functies is absolute continuïteit een aanscherping van uniforme continuïteit. Een absoluut continue functie is nog "gladder" dan een uniform continue, zozeer zelfs dat de functie bijna overal differentieerbaar is.
  
  Absoluut continue functie 
  Een reëelwaardige functie , gedefinieerd op een reëel interval , heet absoluut continu als voor elke  er een  bestaat, zodanig dat voor elke rij paarsgewijs disjuncte intervallen  gelegen binnen  die voldoet aan
  
  geldt:
  
  De definitie is gelijkwaardig met:
  1.
   is bijna overal differentieerbaar en de afgeleide is lebesgue-integreerbaar, en voor alle  geldt: 
  
  en met
  2.
  er is een lebesgue-integreerbare functie  zodat voor alle  geldt:
  
  In dat geval is bijna overal
  
  Eigenschappen 
  Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke lipschitz-continue functie is absoluut continu.
  
  Absoluut continue maat 
  Zij  een meetbare ruimte, en  en  twee maten op die ruimte. Dan heet  absoluut continu ten opzichte van , genoteerd , als elke nulverzameling voor  ook een nulverzameling is voor , dus als voor elke
  
  Voorbeelden 
  Zij  een niet-negatieve lebesgue-integreerbare functie. De [maat , gedefinieerd door het voorschrift
  
  is absoluut continu ten opzichte van de lebesgue-maat.
  
  De Dirac-maat , die aan lebesgue-meetbare verzamelingen de waarde 1 of 0 toekent naargelang de verzameling het getal 0 bevat of niet, is niet absoluut continu ten opzichte van de lebesgue-maat.
  
  De cantorfunctie is overal continu, maar niet absoluut continu.
  
  De functie  gedefinieerd door
  
  is continu, maar niet absoluut continu.
  
  Verband tussen de twee begrippen 
  Een maat  op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de lebesgue-maat dan en slechts dan als haar verdelingsfunctie
  
  een absoluut continue functie is.
  
  Stelling van Radon-Nikodym 
  Als  en  eindige maten zijn op een meetbare ruimte , en , dan bestaat er een -integreerbare reële functie  op  met de eigenschap dat voor elke  geldt:
  
  In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de kansmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de lebesgue-maat, heeft de variabele een kansdichtheid en wordt een continue stochastische variabele genoemd.
  
  Als  niet absoluut continu is ten opzichte van , dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.
  
  Wiskundige analyse