title: Ideaal (ringtheorie)
text: Een ideaal is in de abstracte algebra, specifiek in de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, een deelverzameling van een ring, die gesloten is ten aanzien van lineaire combinaties met coëfficiënten uit de ring. Dat houdt in dat een ideaal ten aanzien van de optelling een ondergroep is en dat de vermenigvuldiging, zowel links als rechts, van een element uit het ideaal met een element van de ring een resultaat geeft dat binnen het ideaal ligt. De term 'ideaal' verwijst naar het begrip ideaal getal, waarvan idealen een generalisatie vormen in verband met deelbaarheidseigenschappen. De specifieke studie van idealen in commutatieve ringen met eenheidselement heette aanvankelijk ideaaltheorie, maar tegenwoordig is commutatieve algebra gebruikelijker.
  
  Definitie 
  Een deelverzameling  van een ring  heet een tweezijdig ideaal, als  een ondergroep vormt voor de optelling die stabiel is onder linkse en rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Dat betekent:
    is een ondergroep van 
   voor alle  en  zijn  en 
  
  De eis dat  een ondergroep is van , kan ook geformuleerd worden als
   
   voor alle  is 
  
  Bij een commutatieve ring speelt het onderscheid tussen linkse en rechtse vermenigvuldiging geen rol. In andere gevallen wordt nog onderscheid gemaakt in 'linksidealen' en 'rechtsidealen', dat wil zeggen ondergroepen die stabiel zijn onder linkse resp. rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring.
  
  Geschiedenis 
  Het was Richard Dedekind, die in 1876 in de derde editie van zijn boek Vorlesungen über Zahlentheorie het begrip ideaal introduceerde. Idealen dienden als generalisatie van het door Ernst Kummer ontwikkelde begrip ideaal getal. Later werd het begrip uitgebreid door David Hilbert en Emmy Noether.
  
  Voorbeelden en eigenschappen 
   Beschouw de commutatieve ring van de gehele getallen met de gewone optelling en vermenigvuldiging. Voor ieder natuurlijke getal  is de verzameling van de gehele -vouden een ideaal, want een -voud maal een willekeurig getal is nog steeds een -voud. Deze verzamelingen zijn meteen alle idealen van deze ring.
  
   In de ring  van de reële veeltermen vormen de veeltermen die nul zijn in een gegeven verzameling , een ideaal . Het is eenvoudig in te zien dat  een ondergroep is, want als voor alle 
   en , dan is ook . 
  Verder is de vermenigvuldiging commutatief en is   voor  voor alle , dus is het product .
   De kern van een homomorfisme van ringen is steeds een ideaal.
   In de ring  die bestaat uit functies  van een verzameling  in een ring , met de gewone puntsgewijze optelling en vermenigvuldiging, vormen de elementen die een deelverzameling  volledig afbeelden binnen een ideaal  van , een ideaal in . Voor alle  geldt dat als , dan ook voor de functiecompositie .
   Een lichaam of veld heeft geen andere idealen dan zichzelf en {0}.
   Algemeen geldt dat in een ring met eenheidselement een ideaal dat verschillend is van de ring zelf, geen omkeerbaar element kan bevatten.
  
  Factorring 
  De basis voor het begrip ideaal ligt in de constructie van de factorring. Men zou voor een gegeven ring  en deelring  de factorring op dezelfde manier als de factorgroep uit de groepentheorie willen definiëren. Daartoe beschouwt men eerst en vooral de quotiëntverzameling van  bestaande uit de equivalentieklassen van de equivalentierelatie
  
   als 
  
  De elementen van deze quotiëntverzameling zijn de nevenklassen van  in :
  
  De bewerking optellen  gaat rechtstreeks over op nevenklassen, omdat de som van ringelementen uit  en  automatisch tot  behoort. De nevenklassen vormen de factorgroep . Dat is voor de bewerking vermenigvuldigen  niet altijd het geval, omdat het product van ring-elementen uit  en  niet noodzakelijk tot  behoort. Dit is echter wel gegarandeerd als  niet zomaar een deelring van  is, maar ook een ideaal van . De nevenklassen  vormen dan een deelring , die factorring genoemd wordt.
  
  Voorbeelden 
  De idealen van  zijn van de vorm , alle gehele veelvouden van , voor een willekeurig natuurlijk getal . Voor  levert dit de eindige factorring  van de restklassen modulo  op.
  
  De kern van een homomorfisme tussen de ringen  en  is een ideaal in . Volgens de isomorfiestelling is de factorring isomorf met het beeld van het homomorfisme:
  
  Tegenvoorbeeld 
  De gehele getallen  vormen een deelring van de ring van de rationale getallen . De verzameling nevenklassen  vormt weliswaar een abelse groep voor de factorbewerking , maar de vermenigvuldiging gaat niet zonder meer over op nevenklassen. Zo behoren bijvoorbeeld  en  niet tot dezelfde nevenklasse van , hoewel 2 en 3 dat wel doen.  is dan ook geen ideaal van .
  
  Hoofdideaal 
  
  Hoofdidealen zijn idealen die worden voortgebracht door één element. Als  een commutatieve ring is, dan is een hoofdideaal van  een ideaal van de vorm:
  
  De verzameling  heet dan het hoofdideaal voortgebracht door het element . Soms wordt dit genoteerd als  in plaats van .
  
  Bewerkingen op idealen 
  De doorsnede van twee idealen van een ring, of zelfs van een willekeurig aantal idealen, is opnieuw een ideaal.
  
  Het ideaal voortgebracht door een deelverzameling  van een ring  is de doorsnede van alle idealen van  die  omvatten. Dit ideaal wordt meestal genoteerd als  en is het kleinste ideaal in  dat  omvat. Als  een eindige of aftelbare verzameling is, noteert men het ideaal ook wel door opsomming van de elementen:  of . Men kan  ook expliciet beschrijven als de verzameling van alle eindige sommen van producten van elementen van  met willekeurige elementen van . Bij niet-commutatieve ringen zijn linksideaal en rechtsideaal verschillend.
  
  De som van twee idealen  en , genoteerd , bestaat uit alle ringelementen van de vorm  waarvan  en . Deze som is ook een ideaal.
  
  Zelfs in een commutatieve ring vormen de producten van elementen uit  en  niet noodzakelijk een ideaal, maar het ideaal dat ze voortbrengen heet het productideaal en wordt gewoonlijk als  genoteerd.
  
  Radicaal 
  Het nulradicaal van een commutatieve ring  is de verzameling van nilpotente elementen van . Het is een ideaal van .
  
  Het radicaal van een ideaal  in een ring  bestaat uit alle elementen van  waarvan een macht in  ligt. Een radicaal ideaal is een ideaal dat gelijk is aan zijn eigen radicaal.
  
  Voorbeelden van radicale idealen 
  In de gehele getallen vormt de verzameling van de -vouden een radicaal ideaal dan en slechts dan als  kwadraatvrij is. Zo is bijvoorbeeld  geen radicaal ideaal, omdat zijn radicaal het getal 6 bevat.
  
  Het singleton {0} is een radicaal ideaal als en slechts als  geen nilpotente elementen heeft behalve 0 zelf.
  
  Kenmerkende eigenschap 
  Een ideaal  van de ring  is radicaal dan en slechts dan als de factorring  geen niet-triviale nilpotente elementen heeft.
  
  Priemideaal 
  
  Een ideaal  heet priemideaal als het niet de ring zelf is, en als voor elke twee elementen  en  in de ring, het product  alleen dan in  ligt als  of  zelf in  ligt.
  
  Een priemideaal is altijd radicaal.
  
  Voorbeelden 
  In de gehele getallen vormt de verzameling -vouden een priemideaal dan en slechts dan als  een priemgetal is, vandaar de naam.
  
  Als het singleton {0} een priemideaal is, dan is de ring  een integriteitsgebied.
  
  De reële -matrices met determinant 0 vormen een priemideaal.
  
  De reële veeltermen met gegeven nulpuntenverzameling  vormen een priemideaal dan en slechts dan als  een singleton is.
  
  Kenmerkende eigenschap 
  Een ideaal  van  is priem dan en slechts dan als de factorring  een domein is.
  
  Maximaal ideaal 
  Een ideaal  heet maximaal als het niet de ring zelf is, en als de ring zelf het enige ideaal is, waarvan  een strikte deelverzameling is.
  
  In een commutatieve ring met eenheidselement is een maximaal ideaal altijd een priemideaal.
  
  Voorbeelden 
  In de gehele getallen zijn alle priemidealen maximaal. Dit is een eigenschap van alle hoofdideaalringen en het behoort tot de definiërende voorwaarden van Dedekind-ringen.
  
  Het singleton {0} is een maximaal ideaal dan en slechts dan als de ring een lichaam is.
  
  Elementaire eigenschappen 
  Een ideaal  van  is maximaal dan en slechts dan als de factorring  een lichaam is.
  
  Elke ring heeft een maximaal ideaal. Een ring met maar één maximaal ideaal heet lokale ring.
  
  Elk niet-triviaal ideaal is deel van een maximaal ideaal.
  
  Jacobson-radicaal 
  Het Jacobson-radicaal van een commutatieve ring  is de doorsnede van alle maximale idealen van 
  
  Commutatieve algebra
  Ringtheorie