title: Galoislichaam GF(25)
text: Het galoislichaam (Nederlands) / galoisveld (Belgisch) , ook genoteerd als , is het eindige lichaam/veld van orde 25, dus met 25 elementen. Het is een uitbreiding van graad 2 van het lichaam/veld , dat uit de elementen 0, 1, 2, 3 en 4 bestaat en waarin modulo 5 wordt gerekend. De karakteristiek van  is daarmee ook 5. De uitbreiding  kan op verschillende manieren worden geconstrueerd. Dat kan onder meer op de manier waarop de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen worden geconstrueerd door toevoeging van een nieuw element  dat voldoet aan  of door de voorstelling als een lineaire ruimte met vermenigvuldiging, waarbij een algebra wordt ingevoerd.
  
  Voorstelling 
  Voeg aan  een nieuw element  toe.  Aangezien in  alleen  en  niet voorkomen,  ligt het voor de hand een van deze wortels toe te voegen. Beide wortels zijn ook wortels van een irreducibel polynoom, van  en van . Ook geschikte combinaties als  of  met  komen in aanmerking en leiden tot isomorfe uitbreidingen.
  
  Kies  als nieuw element.  bestaat uit de lineaire combinaties van  en . Een element  is dus van de vorm:
    
  
  met  en 
  
  Het nieuwe element  is geen voortbrenger, maar  wel.
  
  Discrete logaritme 
  De bovenstaande inklapbare tabel is eigenlijk een soort logaritmetafel. Het is relatief eenvoudig een macht van  te berekenen, maar omgekeerd bestaat er voor  het bepalen welke macht van  bijvoorbeeld het element  is, dus het bepalen van de discrete logaritme  geen standaard procedure. Door terugzoeken in de tabel blijkt dat 
   
  
   kan alleen een element van  zijn als er een macht  is van  zodat . Dan moet
   
  dus 
  
   
  
  Inderdaad is
  
  Vermeningvuldigingstabel 
  Het galoislichaam  kan ook als tweedimensionale algebra over  worden voorgesteld, bestaande uit de 25 punten . Deze algebra is in de volgende tabel weergegeven.
   {| class="wikitable" style="text-align:center;"
  |+ GF(25) als algebra
  |-
  |style="width:4em"| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 
  |-
  |  ||  ||  ||  ||  
  |-
  |  ||  ||  ||  ||  
  |-
  |  ||  ||  ||  ||  
  |-
  |  ||  ||  ||  ||  
  |}
  
  Websites 
   Eindige lichamen
   Finite fields. 
  
  Abstracte algebra
  Galoistheorie