title: Factorgroep
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een factorgroep of quotiëntgroep een groep die geconstrueerd wordt uit een gegeven groep  en een normaaldeler van die groep, en die bestaat uit de nevenklassen van de normaaldeler.
  
  Definitie
  Als  een normaaldeler is van een groep , wat inhoudt dat de verzameling  van de  linkernevenklassen van  samenvalt met de verzameling  van de rechternevenklassen van , dan vormt de verzameling nevenklassen  een groep, de factorgroep of quotiëntgroep van  en , als daarop een groepsbewerking  wordt gedefinieerd door het product van twee nevenklassen  en  op te vatten als  de nevenklasse  van het product van  en :
  .
  
  Dit is pas een geldige definitie, als ze onafhankelijk is van de gekozen vertegenwoordiger van de nevenklassen. Dus als  en , moet .  Omdat  en  volgt:
   en 
  Maar dan ook omdat  normaaldeler is:
   en 
  en
  
  dus
  
  zodat
  
  Men verifieert ook gemakkelijk dat deze welgedefinieerde bewerking op de verzameling der nevenklassen, aan de groepsaxioma's voldoet.
  
  Voorbeelden en elementaire eigenschappen
  Zij  de optelgroep der gehele getallen, en  de deelgroep der -vouden (). Dan vormt , de verzameling der restklassen modulo , een cyclische groep met  elementen.
  
  Elke groep is een normaaldeler van zichzelf, en de factorgroep is de triviale groep met 1 element.
  
  De triviale deelgroep, die bestaat uit het neutrale element, is altijd een normaaldeler. De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.
  
  De groep  der omkeerbare -matrices met elementen in een lichaam  heeft als normaaldeler, de deelgroep  van matrices met determinant 1. De factorgroep is isomorf met de vermenigvuldigingsgroep  (de inverteerbare elementen van ).
  
  In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de verzameling directe isometrieën en de verzameling indirecte isometrieën.
  
  In het algemeen is de kern van een homomorfisme van groepen steeds een normaaldeler van het domein. De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.
  
  Omgekeerd is de afbeelding die elk element van een groep  op zijn nevenklasse ten opzichte van de normaaldeler  afbeeldt, een surjectief groepshomomorfisme van  naar . De kern van dit homomorfisme is .
  
  Groepentheorie