title: Stellingen van Sylow
text: In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, geven de stellingen van Sylow informatie over bepaalde deelgroepen van eindige groepen.
  
  Neem een eindige groep  en een priemgetal .
  We noemen -deelgroep van  elke deelgroep van  waarvan de orde een macht is van . Een -Sylow-deelgroep van  is een -deelgroep die maximaal is met die eigenschap, d.w.z. dat hij niet omvat wordt door een grotere -deelgroep van .
  
  Als  geen deler is van de orde van , dan volgt uit de stelling van Lagrange dat  geen echte -deelgroep kan hebben.
  
  Als  wél de orde van  deelt, dan geven de stellingen van Sylow informatie over de -Sylow-deelgroepen van .
  
  De stellingen
  Neem  en  zoals hierboven. Schrijf de orde van  als een product  waarbij  en  natuurlijke getallen ( positief) zijn en  geen deler meer is van .
  
  Bestaan:  heeft een -Sylow-deelgroep.
  Conjugatie: De -Sylow-deelgroepen zijn precies elkaars geconjugeerden.
  Aantal: Het aantal -Sylow-deelgroepen deelt  en is congruent aan .
  
  Opmerkingen bij de stellingen
   Er bestaan dus -Sylow-deelgroepen en ze zijn  alle isomorf. Hun orde is in dit geval .
   Een -Sylow-deelgroep is een normale deelgroep dan en slechts dan als het de enige -Sylow-deelgroep is.
   De stelling van Cauchy geeft het bestaan van elementen met orde . Het bestaan van -Sylow-deelgroepen is een sterker resultaat.
  
  Toepassingen
  De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen. Bijvoorbeeld,
  
   Er bestaat precies een groep van orde 15, namelijk de cyclische groep van die orde. Dit kan als volgt worden nagegaan. Zij  een groep van orde 15. Door de congruentie- en delingseigenschap kunnen we besluiten dat  een unieke 3-Sylow deelgroep heeft. Analoog kunnen we besluiten dat  een unieke 5-Sylow deelgroep bevat. Deze deelgroepen zijn dan normale deelgroepen. Omdat hun ordes relatief priem zijn, moet  de directe som van deze cyclische groepen zijn. Dit beëindigt het bewijs.
  
   Een groep van orde  is nooit enkelvoudig. Dit kan als volgt worden aangetoond. Een 3-Sylow-deelgroep is duidelijk een echte deelgroep. We tonen aan dat ze uniek is, en dus ook een (echte) normale deelgroep, wat het bewijs beëindigt. Het aantal 3-Sylow-deelgroepen  is een deler van 2 en congruent aan 1 modulo 3. De enige oplossing voor dit stelsel is .
  
  Groepentheorie
  Sylow