title: Hermite-polynoom
text: In de wiskunde zijn de hermite-polynomen, genoemd naar Charles Hermite, de polynomen die de oplossing vormen van de differentiaalvergelijking van Hermite.
  
  Differentiaalvergelijking 
  De differentiaalvergelijking van Hermite is:
  .
  
  Daarin is  de orde van de vergelijking, een natuurlijk getal.
  
  Deze differentiaalvergelijking vindt toepassing in de kansrekening.
  
  Er is ook een alternatieve vorm, die meer gebruikelijk is in de natuurkunde. Deze vorm zal hieronder apart worden besproken.
  
  De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
  
  De hermite-polynomen kunnen worden gezien als een bijzonder geval van de laguerre-polynomen.
  
  Recursie 
  De hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:
  ,
  
  Zij voldoen ook aan:
  ,
  
  Orthogonaliteit 
  De hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:
  ,
  
  dus met gewichtsfunctie:
  ,
  
  op een factor na de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling.
  
  Er geldt:
  
  waarin  de kronecker-delta is, dus gelijk aan 1 als  en anders 0.
  
  Alternatieve vorm 
  De alternatieve vorm van de differentiaalvergelijking van Hermite is:
  .
  
  De bijbehorende hermite-polynomen zijn gedefinieerd door:
  
  Deze tweede definitie is niet geheel equivalent met de eerste.
  
  De eerste 6 hermite-polynomen zijn:
  
  Recursie 
  De hermite-polynomen staan in de volgende recursieve relatie:
  
  Zij voldoen ook aan:
  
  Orthogonaliteit 
  De hermite-polynomen vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct:
  ,
  
  dus met gewichtsfunctie:
  .
  
  Er geldt:
  
  Veelterm
  Wiskundige functie