title: Stelling van Denjoy–Wolff
text: De Stelling van Denjoy–Wolff is een wiskundige stelling in de complexe analyse en de leer van dynamische systemen. De stelling gaat over de vaste punten (dekpunten) en iteraties van holomorfe afbeeldingen van de eenheidsschijf in het complexe vlak op zichzelf. De Franse wiskundige Arnaud Denjoy en de Nederlandse wiskundige Julius Wolff vonden deze stelling onafhankelijk van elkaar in 1926.
  
  Stelling
  Laat  de open eenheidsschijf in  zijn en laat  een holomorfe functie zijn die  afbeeldt op  die geen automorfisme is van  (dat wil zeggen een Möbius-transformatie). Dan is er een uniek punt  in de afsluiting van  zó dat de iteraties van  uniform naar  convergeren op deelverzamelingen van . Als  in  ligt, is het het unieke vaste punt van . De afbeelding  laat hyperbolische Poincaréschijven met middelpunt  ongemoeid (invariant), als  in  ligt. Ook schijven die aan de eenheidscirkel raken in , blijven invariant onder de afbeelding  als  op de rand van  ligt.
  
  Als het vaste punt  is, zijn de hyperbolische schijven met middelpunt  gewoon de Euclidische schijven met middelpunt 0. Anders kan  geconjugeerd worden met een Möbius-transformatie zodat het vaste punt nul is. Een eenvoudig bewijs van de stelling volgt hieronder overgenomen uit Shapiro (1993) en Burckel (1981). In Carleson & Gamelin (1993) staan twee andere korte bewijzen.
  
  Bewijs
  
  Vast punt in de schijf
  Als  een vast punt  heeft in  dan mogen we, na toepassing van een Möbius-transformatie aannemen dat . Noem  het maximum van  op . Volgens het Lemma van Schwarz geldt
  
  ,
  
  voor , waar
  
  Door iteratie volgt hieruit dat
  
  voor . Beide ongelijkheden leveren het bewijs.
  
  Geen vaste punten
  Als  in  geen vaste punten heeft, dan is er zoals Wolff aantoonde een punt  op de rand zodat de iteraties van  iedere raaklijn aan de rand op dat punt onaangetast (invariant) laten.
  
  Neem een rij  die oploopt tot 1 en stel
  
  Toepassing van de Stelling van Rouché op  en , levert precies één nulpunt van  op voor  in . 
  
  Als we zo nodig overgaan op een deelrij mogen we aannemen dat . Het punt  kan niet in  liggen omdat in de limiet  een vast punt zou moeten zijn. Uit het resultaat voor vaste punten volgt dat de afbeeldingen  alle euclidische schijven invariant laten waarvan het hyperbolische centrum in  ligt. Expliciete berekeningen laten zien, dat men bij toenemende  de schijven zo kan kiezen dat ze naderen tot elke schijf die raakt aan de rand ter plaatse van . Door continuiteit laat  al zulke schijven  invariant.
  
  Om in te zien dat  uniform convergeert op compacte gebieden naar de constante , volstaat het om aan te tonen dat hetzelfde geldt voor elke deelrij , die uniform convergeert naar zeg . De Stelling van Montel bewijst het bestaan van zulke limieten, en als  geen constante is, mogen we tevens aannemen dat  een limiet heeft, die we  kunnen noemen. Maar dan geldt
  
  ,
  
  voor  in .
  
  Omdat  holomorf is en  open is, hebben we
  
  voor alle .
  
  Door  te stellen, kunnen we ook aannemen dat  convergent is, zeg naar .
  
  Maar dan , in tegenspraak met het feit dat  geen automorfisme is.
  
  Daarom convergeert elke deelrij op compacte gebieden in  uniform naar een constante.
  
  De invariantie van  betekent dat zo'n constante in de afsluiting van elke schijf  ligt, en daarom ook hun doorsnee, het losse punt . Met Stelling van Montel volgt dat  op compacte gebieden uniform naar de constante  convergeert.
  
  Literatuur
  
  Externe links
   Encyclopediaofmath.org Denjoy-Wolff_theorem. Geraadpleegd op 24 juli 2019.
   Arxiv.org Bas Lemmens, Brian Lins, Roger Nussbaum, Marten Wortel: Denjoy-Wolff theorems for Hilbert's and Thompson's metric spaces 1410.1056. Geraadpleegd op 24 juli 2019.
   Math.ksu.edu Pietro Poggi-Corradini: Pointwise convergens on the boundry in the Denjoy-Wolff theorem. Geraadpleegd op 24 juli 2019.
   Books.google.nl Lennart Carleson en Theodore Gamelin: Complex Dynamics. Geraadpleegd op 24 juli 2019.
   Books.google.nl Daniel S. Alexander, Felice Iavernaro, Alessandro Rosa: Early Days in Complex Dynamics: A History of Complex Dynamics in One variable during 1906-1942. Geraadpleegd op 24 juli 2019.
  
  Wiskundige stelling
  Complexe analyse