title: Boldriehoeksmeting
text: De boldriehoeksmeting, sferische goniometrie of sferische trigonometrie is een belangrijk deelgebied van de bolmeetkunde. Ze houdt zich voornamelijk bezig met de berekening van de elementen (zijden en hoeken) van boldriehoeken.
  
  Typische toepassingen zijn:
  Afstandsberekeningen tussen twee punten op het aardoppervlak als hun geografische coördinaten gegeven zijn.
  Bepaling van de positie van een ster aan de hemelbol met behulp van de sterrenkundige driehoek.
  
  Historische achtergrond 
  De ontwikkeling van de boldriehoeksmeting is nauw verbonden met astronomie. Omstreeks 350 jaar voor Christus dachten de oude Grieken daarom reeds over bolmeetkunde na. Maar het zijn de Arabieren, die – voortbouwend op hetgeen de Grieken en de Indiërs ontdekt hadden – in het jaar 900 de sinusregel ontdekten. Tijdens de ontdekkingsreizen van de 15de eeuw ontstond er een grote behoefte aan hulpmiddelen voor het bepalen van afstanden en posities op zee. Het is rond deze periode dat de boldriehoeksmeting een forse ontwikkeling doormaakte. De sinusregel, de tangensformules en cosinusregel voor de zijden van de driehoek werden in die tijd reeds aangewend. Een eeuw later vond men de cosinusregel voor de hoeken (de tweede cosinusregel). In de 17de eeuw werden nieuwe wiskundige technieken, zoals de logaritmen, ontwikkeld en werden de nieuwe methoden van de boldriehoeksmeting op vele gebieden, zoals de cartografie, toegepast.
  
  Eenheidsbolconventie in dit artikel
  Tenzij anders vermeld wordt hieronder met een bol een eenheidsbol bedoeld. De lengte van een boog van een grootcirkel is dan gelijk aan de middelpuntshoek die op deze boog staat.
  
  De boldriehoek 
  Een boldriehoek wordt gevormd door drie punten  en  van een boloppervlak die niet op een grootcirkel liggen en die verbonden zijn door bogen van grootcirkels die kleiner zijn dan halve cirkels. De punten  en  heten de hoekpunten van de boldriehoek, de bogen , en  de zijden en de bolhoeken  en  de hoeken van de boldriehoek.
  
  In de bolmeetkunde geldt:
   elke zijde van een boldriehoek is kleiner dan de som van de beide andere;
   de omtrek van een boldriehoek is kleiner dan die van een grootcirkel
  
  Basisformule 
  De basisformule van de boldriehoeksmeting, ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is de betrekking tussen de drie zijden en één hoek van een boldriehoek. Met behulp van de driehoeksmeting en enkele stellingen van de bolmeetkunde kan men deze basisformule afleiden.
  
  Voor boldriehoek  geldt:
  
  en analoog voor de andere zijden en hoeken.
  
  De  (tau)-transformaties
  
  Nevendriehoeken en pooldriehoeken 
  
  De zijden  en  van de boldriehoek  snijden elkaar een tweede maal in het tegenpunt  van . De driehoek  heet de nevendriehoek van  ten opzichte van het punt . Noemt men  de elementen van die nevendriehoek, dan is
  
  Elke op een boloppervlak gelegen cirkel heeft twee polen, namelijk de eindpunten van de middellijn die loodrecht op het vlak van de cirkel staat.
  
  De grootcirkel door  van de boldriehoek  heeft twee polen. De pool die aan dezelfde kant ligt als  noemt men de  pool  van . De driehoek  gevormd door de polen van de drie hoekpunten heet de pooldriehoek van .
  
  In de bolmeetkunde bewijst men dat elke zijde van een der driehoeken en de overeenkomstige hoek van de andere driehoek elkaars supplement zijn. Daarmee is
  
  Heeft men nu een betrekking tussen de elementen van een willekeurige boldriehoek van de vorm:
  ,
  
  dan geldt deze betrekking ook voor de nevendriehoek en de pooldriehoek en men krijgt dus twee nieuwe betrekkingen:
  
  of
  
   (1)
  
  en 
  
  of
   (2)
  
  Men zegt dat deze betrekkingen door een -transformatie van elkaar kunnen worden afgeleid.
  
  Sferisch exces 
  Het sferisch exces  van een boldriehoek is het verschil van de som van de hoeken en een gestrekte hoek:
  
  Er geldt  is positief en kleiner dan elke hoek.
  
  Meer algemeen is het sferisch exces  van een bol-n-driehoek de som van de hoeken, verminderd met .
  
   is gelijk aan de oppervlakte, en dus ook gelijk aan de ruimtehoek vanuit het middelpunt van de bol.
  
  Omtrek
  Voor de omtrek van een boldriehoek geldt:
  
  Formules van de halve hoeken in functie van de zijden 
   (C)
  
   (S)
  
  De sinusregel 
  Uit voorgaande formules volgt:
  
  In woorden: de sinussen der hoeken van een boldriehoek verhouden zich als de sinussen der overstaande zijden.
  
  De tweede cosinusregel 
  Toepassing van de -transformatie op de basisformule geeft:
  
  en analoog voor de overige zijden.
  
  De tweede cosinusregel wordt aan François Viète toegeschreven.
  
  De cotangensregel 
  De cotangensregel is een betrekking tussen twee zijden, de ingesloten hoek en de overstaande hoek.
  
  De rechthoekige boldriehoek 
  Een driehoek heet rechthoekig als een van zijn hoeken recht is. Als bijvoorbeeld de hoek  recht is, heten de beide andere hoeken  en  scheef. De zijde  is de schuine zijde en  en  zijn de rechthoekszijden. Er geldt dus , zodat:
  
  De formules van Delambre 
  Delambre publiceerde in 1807 de volgende formules zonder bewijs:
  
  De analogieën van Neper 
  Als men de overeenkomstige leden van de formules van Delambre deelt dan bekomt men de
  analogieën van Neper:
  
  Formules die uit het sferisch exces kunnen worden afgeleid
  
  Uitdrukkingen voor de halve zijde 
  Toepassing van de -transformatie voor de pooldriehoek op de formules (C) en (S) geeft:
  
  Uitdrukkingen voor het sferisch exces E
  
  Formule van Cagnoli:
   
  
  Formule van Euler:
   
  
  Formule van LHuillier:
  
  De eerste en de laatste formule zijn reeds logaritmisch.
  
  Toepassingen
  
  Navigatie en afstandsbepaling op aarde
  
  Definitie geografische coördinaten 
  De geografische coördinaten van een punt A op de aardbol zijn:
   de lengte , dit is de hoek die de meridiaan  door  maakt met de nulmeridiaan () (de meridiaan van Greenwich) of ook nog de tussen deze twee meridianen gelegen boog  aan de evenaar, men onderscheidt ooster- en westerlengte;
   de breedte , dit is de sferische afstand  van het punt  tot de evenaar; men onderscheidt noorder- en zuiderbreedte.
  
  Praktisch voorbeeld 1 
  Gevraagd wordt de kortste afstand tussen twee plaatsen op (een bolvormige) aarde wanneer de geografische coördinaten breedte  en lengte  bekend zijn.
  
  Kortste afstand tussen twee punten op aarde 
  Men veronderstelt de aarde zuiver bolvormig. De kortste afstand  tussen bijvoorbeeld Amsterdam Schiphol Airport (AMS), punt  en Los Angeles International Airport (LAX), punt  is de lengte van de boog  over een grootcirkel. De geografische coördinaten van Schiphol zijn  en die van L.A. Int. Airport zijn .
  
  Toepassen van de basisformule op de geografische driehoek  geeft:
  
  of
  ,
  
  zodat
  
  Daaruit volgt
  
  Nu is op aarde 1' = 1 zeemijl = 1852 m, dus
  
  De aarde is in werkelijkheid een ellipsoïde, daarmede is de werkelijke afstand iets groter maar de afwijking langs de geodetische lijn op de ellipsoïde en deze op de grootcirkel verschilt minder dan 0,2 %.
  Daar een vliegtuig verplicht is vluchtroutes te volgen is de afstand die het aflegt aanmerkelijk groter dan de boven berekende waarde.
  
  Praktisch voorbeeld 2 
  
  Koers van een schip bij afvaart
  
  Welke koers moet een schip bij afvaart nemen, om over de kortste weg, van het punt  (Chili) naar het punt  (Nieuw-Zeeland) te varen.
  
   
  en
  
   
  
  Van de nautische boldriehoek  zijn de twee zijden  en , en de ingesloten hoek  bekend. Het komt er dus op aan de hoek  te bepalen. De koers bij afvaart, de hoek met de meridiaan, is dan gelijk aan .
  
  Toepassing van de derde cotangensregel geeft:
  
  Na enige rekenwerk volgt:
  
  ,
  
  zodat
  
  of
  
  De koers bij afvaart moet dus  zijn.
  
  Dit is de kortste hoek tussen Noord en Afvaartkoers.
  
  Omdat kompaskoersen altijd uitgedrukt worden in graden vanaf het noorden rechtsom, moet bij afvaart de kompas-koers
  
   (ZW)
  
  voorliggen.
  
  Meetkunde