title: RLC-kring
text: Een RLC-circuit is een elektrisch circuit dat ook wel resonantiekring genoemd wordt. Deze schakeling bestaat uit een weerstand (R), een spoel/inductor (L) en een condensator (C), welke in serie of parallel zijn geschakeld. Een RLC-circuit wordt een tweede-orde circuit genoemd omdat de spanning of de stroom in het circuit beschreven kan worden met een tweede-orde differentiaalvergelijking.
  
  Elektrische resonantie 
  In elektronische schakelingen kan resonantie worden bereikt door een spoel en een condensator met elkaar te verbinden (in een LC-kring). Een weerstand is voor de resonantie niet nodig, echter in praktijk bevindt zich altijd een zekere weerstand in het circuit. Deze schakeling wordt dan ook veel als LC-kring aangeduid.
  
  Resonantiefrequentie 
  Een ideale LC-kring bevat geen weerstand. Als deze kring wordt aangesloten, bijvoorbeeld door de condensator op te laden, ontstaat een oscillatie met frequentie f0, waarbij periodiek energie van de condensator naar de spoel gaat en omgekeerd. Zonder weerstand treden geen verliezen op en zal de kring blijven oscilleren.
  
  De resonantie hoekfrequentie ω0 (in radialen per seconde) wordt gegeven door:
  
  waarin
   L de zelfinductie van de spoel in henry, en
   C de capaciteit van de condensator in farad
  
  De resonantiefrequentie f0 in hertz wordt gevonden uit:
  
  Resonantie treedt op wanneer de complexe impedantie ZLC van de LC-kring 0 wordt:
  
  ZLC = ZL + ZC = 0 
  Beide impedanties zijn een functie van de complexe hoeksnelheid s:
  
  ZL = Ls 
  Gelijkstellen van deze frequenties en oplossen voor s, levert:
  
  De resonantie frequentie ωo wordt gegeven in de bovenstaande uitdrukking voor de resonantie hoekfrequentie.
  
  Dempingsfactor 
  
  De dempingsfactor van het resonantie circuit (in radialen per seconde) is:
  
  Toepassingen van resonantiecircuits vragen om een zo klein mogelijke demping. In praktijk wordt dit bereikt door de weerstand R in het circuit zo klein mogelijk te maken als fysiek mogelijk is. In dit geval wordt het RLC-circuit een goede benadering van het ideale LC-circuit welke in praktijk niet realiseerbaar is. (Zelfs als er geen weerstand in het circuit is opgenomen is er altijd sprake van een zeer kleine maar niet verwaarloosbare weerstand van de draden, componenten en aansluitingen tussen de onderdelen welke niet helemaal kan worden geëlimineerd.)
  
  De karakteristieke impedantie 
  De karakteristieke impedantie Z 0 (eenheid Ω) geeft het quotiënt van amplitude van spanning en stroom in de LC-kring op de resonantiefrequentie, en wordt berekend uit:
  
  De kwaliteitsfactor Q 
  De kwaliteitsfactor Q van het serie geschakelde circuit wordt berekend als de verhouding tussen de resonantiefrequentie  en de bandbreedte  (in radialen per seconde):
  
  Of in hertz:
  
  Voor het parallel geschakelde circuit:
  
  De kwaliteitsfactor Q is een dimensieloze grootheid.
  
  Circuitanalyse
  
  Serieschakeling van R, L en C met spanningsbron 
  In dit circuit zijn alle drie de componenten in serie geschakeld met de spanningsbron.
  
  Gegeven de parameters v, R, L, en C, kan de oplossing voor de stroom (I) worden gevonden door gebruik te maken van Kirchhoff's spanningswet (De tweede wet van Kirchhoff):
  
  Met een wisselende spanning v(t), wordt dit
  
  Het uitwerken van deze vergelijking leidt tot de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking:
  
  We definiëren nu twee kernparameters:
  
  en
  
  beide worden gemeten in radialen per seconde. 
  
  Vervangen van deze parameters in de differentiaalvergelijking levert:
  
  De zero input response oplossing 
  Zero input response wordt tot ZIR afgekort. Schakelen we de spanningsbron op nul, dan krijgen we:
    
  
  met de initiële conditie voor de stroom door de spoel  en de spanning over de condensator VC(0). Om de vergelijking netjes op te lossen, hebben we ook de initiële condities voor I(0) en I'(0) nodig.
  
  De eerste is al bekend omdat de stroom door het circuit ook de stroom door de spoel is. Dus:
   
  
  De tweede is een gevolg van de tweede wet van Kirchhoff:
   
   
   
  
  We hebben nu een homogene tweede-orde differentiaalvergelijking met twee begincondities. Vervangen van de twee parameters ζ en ω0 levert
   
  
  Deze vorm kan worden omgeschreven:
   
  
  Door toepassing van de wortelformule kunnen de wortels worden gevonden:
   
  Afhankelijk van de waarden van α en ω0 zijn er drie mogelijke verschillende toestanden:
  
  overdemping 
    
   
  In dit geval zijn de oplossingen van  allebei negatieve reële getallen. Dit geval wordt 'overdemping' genoemd. 
  
  De oplossingen voor twee negatieve wortels zijn:
  
  kritische demping 
    
   
  
  In dit geval zijn de oplossingen van de karakteristieke polynoom gelijke negatieve reële getallen. Dit geval wordt kritische demping genoemd. 
  
  De twee wortels zijn identiek: (), de oplossingen zijn:
   
  voor willekeurige constanten  en .
  
  onderdemping 
   
  In dit geval zijn de oplossingen complex geconjugeerde, en hebben ze een negatief reëel deel. Deze situatie wordt 'onderdemping' genoemd en leidt tot oscillatie, tot resonantie in het circuit. 
  De oplossing bestaat uit twee geconjugeerde wortels
   
  en
   
  waarin
   
  De oplossingen zijn:
   
  voor willekeurige constanten  en .
  
  Gebruik makend van de formule van Euler kan de oplossing worden vereenvoudigd tot:
   
  voor willekeurige constanten  en .
  
  Deze oplossingen worden gekarakteriseerd door een exponentieel afvallende sinusvormige respons. De tijd die nodig is voor de oscillatie om uit te sterven hangt af van de kwaliteitsfactor Q van het circuit. Hoe hoger de kwaliteitsfactor, des te langer het duurt voor de oscillatie is uitgestorven.
  
  Zie ook
   LC-kring
  
  Externe link 
   Java-applet van een RLC-kring
  
  Regeltechniek