title: Wortel 3
text: Wortel 3 is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het getal 3 oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 1,73205 en wordt wel de hoofdwaarde van wortel 3 genoemd, om verwarring te voorkomen met het negatieve getal (ongeveer -1,73205) dat gekwadrateerd ook 3 geeft. Wortel 3 wordt genoteerd als √3. Zoals √2 de lengte is van de diagonaal van een vierkant in het tweedimensionale platte vlak, is √3 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een kubus in de ruimte volgens de stelling van Pythagoras.
  
  √3 kan niet geschreven worden als een breuk van gehele getallen en is daarmee een irrationaal getal. Het staat ook bekend als de Constante van Theodorus, genoemd naar Theodorus van Cyrene, die bewees dat √3 irrationaal is. Volgens de definitie van gebroken machten is √3 gelijk aan .
  
  Decimale weergave
  De eerste 60 cijfers van de decimale weergave van √3 zijn:
  1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580….
  
  In december 2013 was de waarde van wortel 3 berekend tot ten minste tien miljard cijfers.
  
  Benaderingen
  
  Breuken
   Wortel 3 kan benaderd worden met de breuk 97/56 (1,732142857…). Ondanks de kleine noemer van maar 56 wijkt deze benadering minder dan 1/10,000 (ongeveer 9,2×10−5) af van de juiste waarde. De afronding tot 1,732 is nauwkeurig binnen 0,01% van de echte waarde.
   Archimedes klemde 3 in tussen de kwadraten van twee breuken
  (265/153)2 < 3 < (1351/780)2
  en vond met die breuken twee benaderingen die nauwkeurig zijn tot op 2/23409 (vier decimalen) en 1/608400 (zes decimalen), respectievelijk.
  
  Geneste uitdrukking
  De volgende geneste uitdrukkingen convergeren naar √3:
  
  Voor de eerste uitdrukking geldt bijvoorbeeld:
  ,
  
  met  recursief bepaald door:
  
  Dus
  ,
  
  waaruit volgt
  
  en dus
  ,
  
  zodat inderdaad
  
  √3 is irrationaal 
  Een bewijs uit het ongerijmde kan op analoge wijze gegeven worden als voor √2.
  
  Stel dat √3 een rationaal getal is en wel:
  ,
  
  waarin de breuk zodanig vereenvoudigd is dat  en  relatief priem zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).
  
  Dan volgt dat 
  
  en na links en rechts kwadrateren
  
  Daaruit volgt dat  een drievoud is, en dus ook dat  zelf een drievoud is, zeg .
  
  Daaruit volgt weer: 
  ,
  
  dus
  .
  
  Kennelijk is  een drievoud, en daarmee ook  zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat  en  relatief priem zijn. De veronderstelling dat √3 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √3 een irrationaal getal is.
  
  Zie ook
   Wortel 2
  
  Getaltheorie
  Wiskundige constante