title: Jacobi-matrix
text: De jacobi-matrix van een functie is de matrix van de eerste-orde partiële afgeleiden van die functie. Zij  een functie 
  
  (dus een functie die  invoerwaarden nodig heeft en  waarden teruggeeft), met
  
  waarvan de eerste-orde partiële afgeleiden bestaan, dan is de jacobi-matrix  van  als volgt gedefinieerd:
  
  Jacobiaan
  In het geval dat , dus als de jacobi-matrix vierkant is, heet de determinant van deze matrix de Jacobiaan. Deze komt onder andere naar voren bij het transformeren van integralen in meer dimensies (zoals van cartesische coördinaten naar poolcoördinaten).
  
  De naam verwijst naar de Duitse wiskundige Carl Jacobi, die in zijn loopbaan heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van het begrip 'determinant'.
  
  Gradiënt
  Als  (dus wanneer de functie maar één waarde teruggeeft), wordt de jacobi-matrix meestal gradiënt van  (notatie: ) genoemd.
  
  Inverse
  Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf. Als  in het punt  continu en niet-singulier is, dan is  lokaal inverteerbaar in een omgeving van  , en er geldt
  
   
  De Jacobiaan kan dus gebruikt worden om te controleren of een stelsel vergelijkingen van de vorm  een oplossing heeft. Als  regulier is, dus een determinant heeft die ongelijk is aan 0, zal  lokaal inverteerbaar zijn in  en zullen er in het algemeen oplossingen zijn van de vergelijking.
  
  Opmerking
  De jacobi-matrix is een voorbeeld van een matrix waarbij de elementen niet allemaal dezelfde dimensie hoeven te hebben. De dimensie van  is die van  gedeeld door die van , en kan daardoor van  en  afhangen, bijvoorbeeld als het gaat om de Jacobiaan van een coördinatentransformatie.
  
  Lineaire algebra
  Matrix