Asymptotische dichtheid
De asymptotische dichtheid (of natuurlijke dichtheid) is in de getaltheorie een waarde om mee aan te geven hoe 'groot' een deelverzameling van de natuurlijke getallen is.

Inleiding
Men zou kunnen denken dat er meer positieve gehele getallen bestaan dan kwadraten van gehele getallen. Immers, elk kwadraat is positief en behalve de kwadraten bestaan er nog veel andere positieve gehele getallen. Maar, hoewel de kwadraten een echte deelverzameling vormen van de positieve gehele getallen, hebben beide verzamelingen dezelfde kardinaliteit. De verzameling der gehele getallen is "niet groter" dan de verzameling kwadraten: beide verzamelingen zijn oneindig en aftelbaar, en er bestaat dus een bijectie tussen beide verzamelingen. Hieronder zal blijken dat de verzamelingen wel een verschillende 'dichtheid' hebben.

Zo zijn ook de even getallen gelijkmachtig met de natuurlijke getallen, maar iedereen zal vinden dat de even getallen slechts de helft vormen van alle natuurlijke getallen. Dit wordt uitgedrukt met de asymptotische dichtheid. Voor elk natuurlijk getal  zijn de even getallen (ongeveer) de helft van de getallen . Voor toenemende  ligt de verhouding steeds dichter bij 1/2. Daarom is de asymptotische dichtheid 1/2.

Van een deelverzameling  binnen de positieve gehele getallen behoort een aantal  tot de verzameling  Als de verhouding  convergeert naar een bepaalde limietwaarde, wordt deze limiet de asymptotische dichtheid van  genoemd.

Asymptotische dichtheid is iets anders dan bijvoorbeeld de Schnirelmann-dichtheid.

De asymptotische dichtheid is niet voor alle deelverzamelingen van  gedefinieerd.

Definitie
Van een deelverzameling  binnen de positieve gehele getallen is  het aantal elementen in .

Als het quotiënt  convergeert voor toenemende , heet de limiet

de asymptotische dichtheid (of natuurlijke dichtheid) van .

Bovendichtheid en onderdichtheid
Beschouw weer , een deelverzameling van de positieve gehele getallen  Voor iedere  definiëren we  en , het aantal elementen van .

De bovendichtheid  van  definiëren we als

waarbij lim sup de limes superior is.

Evenzo wordt , de onderdichtheid van  gedefinieerd door

met lim inf de limes inferior.

We zeggen dat  een asymptotische dichtheid  heeft indien , en in dat geval is  gelijk aan deze waarde.

De definitie kan ook als volgt worden geformuleerd:

mits deze limiet bestaat.

Uit de definities volgt dat ook het volgende geldt. Als iemand een deelverzameling van  zou schrijven als een stijgende rij

dan

,

en

indien de limiet bestaat.

Opmerking
Een ietwat zwakker dichtheidsbegrip is de Banach-bovendichtheid; bij een gegeven verzameling , definieert men  als

Voorbeelden
Als d(A) bestaat voor een zekere verzameling A, dan geldt voor het complement van A dat d(Ac) = 1 − d(A).
Het is makkelijk in te zien dat geldt .
Voor iedere eindige verzameling gehele getallen F geldt d(F) = 0.
Als  de verzameling van alle kwadraten is, dan is d(A) = 0.
Voor , de verzameling van alle even getallen, geldt d(A) = 0,5. Evenzo hebben we voor iedere rij  dat geldt d(A) = 1/a.
Voor P, de verzameling van alle priemgetallen volgt uit de priemgetalstelling dat d(P) = 0.
De verzameling van alle kwadraatvrije gehele getallen heeft dichtheid 
Van de dichtheid van de overvloedige getallen is bekend dat deze ligt tussen 0,2474 en 0,2480.
De verzameling  van getallen die binair geschreven uit een oneven aantal bits bestaan is een voorbeeld van een verzameling die geen asymptotische dichtheid heeft, immers de bovendichtheid van A is
,
terwijl de onderdichtheid van A gelijk is aan
.

Beschouw een equigedistribueerde rij  in  en definieer een monotone familie  van verzamelingen:

.

Dan geldt volgens de definitie dat  voor alle .

Voetnoten

Referenties
 
 
 
 

Getaltheorie