Stelling van Ostrowski
De stelling van Ostrowski  is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of  met een -adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.

Definitie
Voor elk priemgetal  is de -adische absolute waarde  gedefinieerd door:

Equivalentie
Twee absolute waarden  en  op een verzameling  zijn equivalent, als voor alle  geldt: 

Voor absolute waarden op een lichaam  is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante , zo, dat voor alle  geldt:

Stelling
Elke niet-triviale absolute waarde  op de rationale getallen  is equivalent met de absolute waarde  of met een -adische absolute waarde .

Bewijs
Er worden twee gevallen onderscheiden:
 Er is een  met 
 Voor alle  is 

Geval 1
Er is een  met . Nu is  en , zodat , dus .

Zij  met . Schrijf -tallig:

 met  en 

Dan is
 dus 

Maar 

Nu is
 en 

dus

Dus

Als , volgt

zodat

Samen met  blijkt dus dat  voor elke keuze van  (anders zou , zodat ). Bijgevolg moet voor iedere  gelden .

Dus is voor alle :

of herschreven

Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.

Omdat  willekeurig zijn, is er een constante  waarvoor 

d.w.z.

voor alle .

Dus is  ook voor alle , waarmee de  equivalentie is aangetoond.

Geval 2
Voor alle  is . Maar dan is er een priemgetal , en dat is het enige, waarvoor . Stel namelijk dat voor het priemgetal  ook geldt dat .

Kies dan  zo, dat  en . Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen  waarvoor . Dan volgt

wat een tegenspraak inhoudt.

Elke  is het product van priemgetallen, dus:

,

met  en  als  niet deelbaar is door .

Maar dan is ook voor alle   
 

dus is  equivalent met een -adische absolute waarde.

Ostrowski
Getaltheorie