Gesloten (algebra)
Een bewerking op twee elementen van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, heet gesloten, als de uitkomst van die bewerking zelf ook weer een element is van dat lichaam, die groep of die ring. De definitie heeft betrekking op een bewerking in een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), een groep of een ring. Algebraïsch volledig wordt soms als synoniem voor algebraïsch gesloten gebruikt.

Een lichaam  heet gesloten, wanneer iedere polynoom met coëfficiënten in  een nulpunt heeft in . Dat betekent, dat iedere polynoom van de  graad , in één variabele , met coëfficiënten in , is te ontbinden als een product van  verschillen  en de constanten .

Polynoomringen 
De verzameling van alle polynomen over een lichaam  vormen een ring, een veeltermring.

Een irreducibele polynoom is een polynoom, waarvan de graad  groter is dan 0 en die niet deelbaar is door een andere polynoom, waarvan de graad kleiner is dan , maar ook weer groter dan 0. Een polynoom van de eerste graad is per definitie irreducibel. Als een polynoom een nulpunt heeft in het getal  , dan is die polynoom deelbaar door .

Een lichaam is gesloten dan en slechts dan als alle polynomen in die irreducibel zijn, de vorm  hebben.  en .

Als  niet gesloten is en  is een irreducibele polynoom van de graad , dan kan  altijd worden uitgebreid tot een groter lichaam , zodat  een nulpunt heeft in .  is het lichaam , waaraan het element  is toegevoegd, noteer .  heet een uitbreiding van .

Voorbeelden 
Het lichaam  der complexe getallen is algebraïsch gesloten; dit is de hoofdstelling van de algebra.

Het lichaam  der reële getallen is niet algebraïsch gesloten.  heeft geen reële nulpunten. De complexe getallen vormen de kleinst mogelijke uitbreiding van de reële getallen waarin  ontbonden kan worden.

Het lichaam  der rationale getallen is zelfs in hoge mate onvolledig.  is in  irreducibel, de vierkantswortel van 2 is geen breuk. De kleinste uitbreiding van  waarin  is te ontbinden, noteert men met . Dit lichaam is nog steeds niet gesloten, maar  kan er wel in worden ontbonden als .

Het lichaam  der algebraïsche getallen is de kleinste uitbreiding van , waarin alle polynomen met coëfficienten in  zijn te ontbinden.  is algebraïsch gesloten.  is een deellichaam van , maar kleiner dan .

Literatuur 
   2002, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4

Abstracte algebra
Ringtheorie