Galoislichaam GF(16)
Het galoislichaam (Nederlands) / galoisveld (Belgisch) , ook genoteerd als , is het eindige lichaam/veld van orde 16, dus met 16 elementen. Het is een uitbreiding van graad vier van het lichaam/veld  met alleen de elementen 0 en 1, en de optelling modulo 2. De karakteristiek van  is daarmee ook 2. De uitbreiding  kan op verschillende manieren worden geconstrueerd. Dat kan onder meer op de manier waarop de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen worden geconstrueerd door toevoeging van een nieuw element  dat voldoet aan  of door de voorstelling als een lineaire ruimte met vermenigvuldiging, waarbij een algebra wordt ingevoerd.

Gelijkstellen 
Voeg aan  een nieuw element  toe dat  voortbrengt. Daarmee zijn alle machten van  elementen van  bepaald en moeten de eerste 14 machten verschillend zijn aan 1. Dan kan het niet anders dat . 
 

Het nieuwe element  is dus een eenheidswortel. Omdat  voortbrenger is, kunnen de elementen  en  niet als lineaire combinatie van lagere machten worden uitgedrukt.  bestaat uit de lineaire combinaties van  en . Een element  is dus van de vorm:
  

met , dus 0 of 1. 

Merk op dat de vier coëfficiënten als een vector kunnen worden opgevat. 

Het element  en ook alle hogere machten moeten in de lagere machten van  kunnen worden uitgedrukt
  

Dat betekent dat  een wortel is van een irreducibel polynoom

  

In  zijn drie van de 16 vierdegraadspolynomen irreducibel, namelijk

 
 
 

want het zijn geen kwadraten en er is geen nulpunt.

Als reducerende vergelijking komen dus in aanmerking:
 
 
 

 Met 
Noem de voortbrenger . De reducerende vergelijking is
 

In berekeningen wordt  steeds gelijkgesteld aan . Zo is bijvoorbeeld:

 

De  met  zijn ook voortbrengers.

Verder
  

de wortels zijn voortbrengers.

De andere voortbrengers zijn wortels van
  

Als voorbeeld nog de berekening 
 
 

 Met 
Noem de voortbrenger . De reducerende vergelijking is 
 

Verder
  

de wortels zijn voortbrengers.

Omdat in de voorstelling met :
  

volgt dat:
 

 Met 
 is ook een lichaam.

De reducerende vergelijking is
 

Er geldt
 

Het element  is geen voortbrenger, maar  wel. 

 
dus
 

Toevoegen van , dus van , is hetzelfde als toevoegen van .
 

Verder
 

Verder geldt:

Als algebra 
 kan ook worden voorgesteld als een vierdimensionale lineaire ruimte met een vermenigvuldiging over  en met de optelling modulo 2 en de vermenigvuldiging bepaald door:

 
 
 

Dan is
 
 

Noemt men
  

dan komt de laatste regel voor de vermenigvuldiging op de reductie neer: 
 

en is ieder element  weer een lineaire combinatie van de vorm
 

De voorbeeldberekening gaat op dezelfde manier als de berekening in de binaire representatie.

Binair  
De vectoren in de tweede representatie kunnen ook als nibbles worden gezien met als optelling de operatie exclusieve disjunctie XOR en 0001 = 1. De vermenigvuldiging met 0010 is een linksverschuiving. Overflow resulteert in bijtellen van 0011.

De voorbeeldberekening verloopt als volgt:

Met veeltermen 
Een vierde mogelijke representatie van  is met polynomen over  als elementen. Een element  heeft dan de vorm:

  

met , dus 0 of 1. Optellen modulo 2 en vermenigvuldigen gaan op de gebruikelijke manier. Het identieke polynoom  is dan een voortbrenger. Het is ook nu weer de vraag hoe  moet worden gereduceerd.  is ook hier een van de mogelijkheden, wat betekent dat modulo  wordt gerekend. Het identieke polynoom  komt overeen met het nieuwe element  in de eerste representatie.

Deze voorstelling is in wezen gelijk aan de constructie van de factorring .

De voorbeeldberekening vertoont veel overeenkomsten met het eerste geval:

GF(8) 
Volgens een stelling is het lichaam/veld  alleen dan een deellichaam  als  door  kan worden gedeeld.

Dus is  geen deellichaam van .

De multiplicatieve groep is cyclisch. Noem een voortbrenger 

De reducerende vergelijking is:
 

 
met

GF(4) 
Het lichaam/veld  is wel een deellichaam van  

 
met
 
 

verband met 
 
  
 

Twee voortbrengers van 
 

 is een deellichaam van , maar niet van .

Literatuur 
  en . Discrete wiskunde, 1973.  voor de Technische Universiteit Eindhoven

Abstracte algebra