Stochastisch proces
Een stochastisch proces is een opeenvolging van toevallige uitkomsten. In tegenstelling tot een deterministisch proces zijn de uitkomsten niet van tevoren bekend. Het stochastische proces wordt beschreven door een rij toevalstoestanden en hun bijbehorende simultane kansverdeling. 

De uitkomsten van een stochastisch proces worden ook wel de toestanden van het proces genoemd. De toestand van het proces in het punt (op het tijdstip)  kan dan worden voorgesteld door de stochastische variabele  of  (niet noodzakelijk reëelwaardig). Daarin doorloopt  een tijdsinterval, een ruimtelijke of eventueel een andere verzameling.

Voorbeelden zijn toevalsbewegingen, de brownse beweging en wachtrijen in de wachtrijtheorie. Verder worden schommelingen van de beurs en wisselkoersen soms gemodelleerd als stochastisch proces. Voorbeelden met een ruimtelijk domein zijn statische beelden, willekeurige topografieën (landschappen) en variaties in de samenstelling van niet-homogene materialen.

Definitie 
Een stochastisch proces is een collectie  van stochastische variabelen (niet noodzakelijk reëelwaardig, zie onder), waarin  een willekeurige verzameling is.

In elementaire toepassingen modelleert de indexverzameling  de tijd. Als we de tijd ervaren als een continue grootheid, dan kan  bijvoorbeeld de verzameling der reële getallen of de verzameling der niet-negatieve reële getallen zijn. Als de tijd een discrete grootheid is, dan is  de verzameling der gehele of natuurlijke getallen.

De verschillende stochastische variabelen  worden verondersteld te vertrekken in eenzelfde uitkomstenruimte .

De meetbaarheid van de variabelen wordt meestal axiomatisch of zelfs impliciet aangenomen: men rust de uitkomstenruimte gewoon uit met een sigma-algebra die minstens de door de verschillende  voortgebrachte sigma-algebra's omvat.

Puur formeel hoeft er tussen de 's geen onderling verband te bestaan, maar de theorie wordt natuurlijk interessanter als dat wel het geval is.

Een stochastisch proces is stationair als een tijdverschuiving niet uitmaakt voor de simultane kansverdeling.

Als het belang heeft, verschillende processen over eenzelfde tijdstippenverzameling  met elkaar te vergelijken, dan is het soms handig dat de kennis van de waarnemer tot en met het tijdstip  apart gemodelleerd wordt door een sigma-algebra . De veronderstelling is dan dat  als  (er bestaan nog algemenere formuleringen als de tijdstippenverzameling niet van een orderelatie voorzien is). In ieder geval wordt verondersteld dat  meetbaar is ten opzichte van .

Voorbeelden 
Uitgaande van de definitie is het gemakkelijk, pathologische voorbeelden te construeren. De volgende voorbeelden zijn niet-triviaal.

Stochastische wandeling
De stochastische wandeling modelleert de uitkomsten van het opgooien van een eerlijk muntstuk (50% kans kop, 50% kans munt), een oneindig aantal keren onafhankelijk van elkaar.

Zij  de verzameling der natuurlijke getallen.

Zij , het oneindig cartesisch product met zichzelf van een verzameling van twee elementen. Anders gezegd: de verzameling der oneindige rijen van nullen en enen. We spreken af dat het getal 0 de uitkomst 'kop' en het getal 1 de uitkomst 'munt' modelleert.

Voor gegeven , zij

de projectie-afbeelding op de -de component van het cartesisch product.

Zij  de kleinste sigma-algebra op  die alle  meetbaar maakt. Deze wordt voortgebracht door verzamelingen van de vorm

Er bestaat een unieke kansmaat  op de meetbare ruimte  die aan elk van deze verzamelingen kans 0.5 toekent, en waarvoor de variabelen  allemaal onderling onafhankelijk zijn.

Brownse beweging
De brownse beweging of het Wienerproces is een stochastisch proces met vele bijzondere eigenschappen. Het is in zekere zin de tegenhanger van de stochastische wandeling voor een continue tijdsparameter, dat wil zeggen

Verwante begrippen
Inkomtijd: de grootste ondergrens van de verzameling tijdstippen  waarvoor  tot een gegeven verzameling reële getallen behoort. In het algemeen hangt de inkomtijd van een verzameling af van de uitkomstparameter , en er zijn veronderstellingen nodig om te bewijzen dat de inkomtijd meetbaar (en dus een stochastische variabele) is. Analoog begrip: uitgangstijd.

Stoptijd: een afbeelding  (een toevallig tijdstip) met de eigenschap dat voor elk vast tijdstip  afzonderlijk, de  kennis van het proces tot en met tijdstip  voldoende informatie geeft om te weten of het toevallige tijdstip  al bereikt is.

Bijzondere soorten processen
Martingaal: een stochastisch proces waarvan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden, gelijk is aan het heden. Verwante begrippen ondermartingaal en bovenmartingaal.

Markovproces: een stochastisch proces waarvan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden, gelijk is aan de voorwaardelijke verwachting van de toekomst ten opzichte van het heden en zijn hele voorgeschiedenis. Dit modelleert een systeem zonder extern geheugen, dat wil zeggen waarvan de toekomstkansen volledig kunnen worden ingeschat door meting van de huidige toestand.

Uitgebreide definitie
Vaak wordt toegelaten dat de stochastische veranderlijken  niet noodzakelijk reëelwaardig zijn, maar waarden aannemen in een algemenere meetbare ruimte  - bijvoorbeeld de -dimensionale Euclidische ruimte . Met name bij de studie van Markovprocessen kan het nuttig zijn, enige structuur toe te kennen aan het inwendig geheugen (de "toestand") van het proces.

Puur formeel is een stochastisch proces dan een geordend viertal

dat bestaat uit, achtereenvolgens:
een kansruimte;
een stijgende familie deel-sigma-algebra's;
een familie stochastische variabelen;
een meetbare ruimte die als toestandsruimte fungeert.

Duale interpretatie
De uitdrukking  hangt af van twee parameters: het tijdstip  en het toeval . We kunnen een stochastisch proces dus naar wens op twee verschillende manieren interpreteren:
als een familie stochastische variabelen, geïndexeerd door tijdstippen;
als een toevallig gekozen functie van de tijd.

De tweede interpretatie geeft aanleiding tot verdere classificaties van stochastische processen, door te eisen dat de functie bijna zeker over bepaalde eigenschappen beschikt. Bijvoorbeeld:
als  voorzien is van een totale orderelatie, kunnen we nagaan of het proces bijna zeker stijgend is;
als  een topologische ruimte is (en de verzameling tijdstippen niet discreet), dan heeft het zin zich af te vragen of het proces bijna zeker continu is.