Residu (functietheorie)
In de functietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het residu dat bij een singulariteit van een meromorfe functie hoort, een zeker complex getal dat direct verband houdt met een contourintegraal van de functie om de singulariteit. Met behulp van de residustelling kunnen residuen gebruikt worden voor de berekening van reële, bepaalde, maar oneigenlijke integralen.

Definitie  
Het residu van een meromorfe functie  in een geïsoleerde singulariteit , vaak aangeduid als

is het unieke complexe getal zodanig dat 

een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring 

Laat  een geïsoleerde singulariteit zijn van , en  een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt  zodanig dat  differentieerbaar is op  en het inwendige van , met uitzondering van   zelf. Dan is:
,

dus is

Berekening 
Residuen kunnen uitgaande van de Laurentreeks van een functie worden berekend. Het residu is gelijk aan de coëfficiënt van de term met macht −1 in de reeksontwikkeling van de genomen variabele. Laat  de laurentontwikkeling van  in het punt  zijn, dan is  het residu van  in , genoteerd als: .

 voor enkelvoudige singulariteiten

 en voor -voudige singulariteiten

Als er meerdere singulariteiten  binnen een gesloten pad liggen, worden de residuen bij elkaar opgeteld. Ook wordt een residu zo vaak meegeteld als het aantal keren dat het pad om de singulariteit  heen draait.

Rekenregels

Regel 1 

Stel  heeft een singulariteit in  en  is holomorf in , dan is:

Voorbeeld
De functie 

kan geschreven worden als het product van de functies 
 
en 

Hieruit volgt, dat in het punt  geldt:

Regel 2 
Stel , maar . Dan heeft  in  een pool van de orde 1, en is het residu in   gelijk aan .

Voorbeeld
De functie  met functiewaarde  heeft in het punt  een pool van de orde 1. Het residu in dat punt is dus .

Complexe analyse