title: Totale differentiaalvergelijking
text: Een totale differentiaalvergelijking of exacte differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking waarvan de algemene vorm geschreven kan worden als:
  
  en waarbij de partiële afgeleiden van  naar  en van  naar , de zogenaamde gekruiste afgeleiden, aan elkaar gelijk zijn:
  
  Deze soort differentiaalvergelijking komt voor in de natuurkunde, waar ze als oplossing een behoudswet hebben.
  
  Oplossingsmethode
  Als de twee bovenvermelde partiële afgeleiden aan elkaar gelijk zijn, is er een functie  waarvan de partiële afgeleiden de functies  en  uit de differentiaalvergelijking zijn:
  
  en waarvan het linkerlid van de differentiaalvergelijking de totale differentiaal is: 
  
  De functie  kan gevonden worden, hetzij door  naar  te integreren, hetzij door  naar  te integreren. In de praktijk kiest men de integraal die het eenvoudigst te berekenen is. 
  
  Bij integratie van  naar  volgt:
  
  ,
  
  met  een functie die alleen van de veranderlijke  afhangt. Deze onbekende functie wordt bepaald door deze uitdrukking van  partieel naar  te differentiëren, en dit resultaat te vergelijken met :
  
  Op deze manier wordt de afgeleide van de functie  verkregen, en door integratie naar  de functie zelf.
  
  De algemene oplossing is dan de familie impliciete functies:
  
  Voorbeeld
  De differentiaalvergelijking:
  
  is een totale differentiaalvergelijking. De functie  kan verkregen worden door (bijvoorbeeld)  naar  te integreren:
  
  De partiële afgeleide hiervan naar  moet gelijk zijn aan :
  
  ,
  
  zodat:
  
  Het is niet nodig hier een willekeurige integratieconstante te voorzien omdat deze toch zal opgaan in de willekeurige constante van de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.
  
  De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dus:
  
  Behoud van energie
  De gravitatiewet van Newton in één dimensie wordt beschreven door de tweede orde differentiaalvergelijking:
  
  waarin  de aantrekkende massa is,  een kleine testmassa,  de afstand van de testmassa tot de aantrekkende massa en  de universele gravitatieconstante. De tweede afgeleide van  naar de tijd  kan worden herschreven als:
  
  waarbij  de snelheid van de testmassa is, zodat de gravitatiewet wordt herschreven als:
  
  Dit is een totale differentiaalvergelijking want de gekruiste afgeleiden zijn beiden nul. (Deze differentiaalvergelijking is overigens ook op te lossen met de methode voor scheiden van veranderlijken). De algemene oplossing is:
  
  en dit is niets anders dan een vorm van de wet van behoud van energie. De eerste term bevat de kinetische energie, de tweede de potentiële energie van de testmassa. Het nulniveau van de potentiële energie ligt hier in oneindig.
  
  Totale differentiaalvergelijking in drie dimensies
  De differentiaalvergelijking:
  
  is een totale differentiaalvergelijking indien:
  
  Indien er een functie  bestaat met:
  
  dan is de algemene oplossing:
  
  Zie ook
  Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm  of  op te lossen. 
   Scheiden van veranderlijken
   Homogene differentiaalvergelijking
   Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde
   Bernoullivergelijking
   Integrerende factor
  
  Differentiaalvergelijking