title: Half-continuïteit
text: Het begrip half-continuïteit is zwakker dan het begrip continuïteit. Iedere continue functie is ook half-continu, maar het omgekeerde geldt niet. Een half-continue functie hoeft aan minder voorwaarden te voldoen dan een continue functie.
  
  Een functie waarvoor het van belang is dat die half-continu is, is een functie met punten waarin de functiewaarde verspringt. Dat is hetzelfde als bij functies die linkscontinu of rechtscontinu zijn, maar de definitie is iets anders.
  
  Definitie 
  Laat  een open interval zijn en .
  
  De funtie  heet continu als voor iedere  en iedere  er een  is zodanig dat voor  met , geldt dat .
  
  De functie  heet half-continu van beneden als voor iedere  en iedere  er een  is zodanig dat voor  met , geldt dat .
  
  De functie  heet half-continu van boven als voor iedere  en iedere  er een  is zodanig dat voor  met , geldt dat .
  
  Topologie 
  Als  een topologische ruimte is, dan is  half-continu van boven in , als er voor elke  er een open verzameling  bestaat die  omvat zodanig dat  voor elke . Een functie is half-continu van boven als hij half-continu van boven is in elk van de punten van zijn domein.
  
  Voor de half-continuïteit van boven van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:
  
  Als  een topologische ruimte is, dan is  half-continu van boven, als   open is voor elke .
  
  Als  een topologische ruimte is, dan is  half-continu van beneden in , als er voor elke  er een open verzameling  bestaat die  omvat zodanig dat  voor elke . Een functie is half-continu van beneden als hij half-continu van beneden is in elk van de punten van zijn definitiegebied.
  
  Voor de half-continuïteit van beneden van een functie kan als alternatief ook de volgende definitie worden gebruikt:
  
  Als  een topologische ruimte is, dan is  half-continu van beneden, als 
   open is voor elke .
  
  Voorbeelden 
  Als , dan is de indicatorfunctie  dan en slechts dan half-continu van boven als  gesloten is en half-continu van beneden als  open is.
  
  In het bijzonder is  half-continu van boven voor elk element . Deze functie is noch rechts-, noch linkscontinu in . 
  
  Een ander bekend voorbeeld van een van boven half-continue functie is de entierfunctie .
  
  Eigenschappen 
   Een functie is continu dan en slechts dan als hij zowel half-continu van boven als half-continu van beneden is.
   Als  en  half-continu zijn van beneden en , dan zijn  en  half-continu van beneden.
  Als bovendien , dan is ook  half-continu van beneden.
   De uniforme limiet van een rij van beneden half-continue functies is zelf ook weer half-continu van beneden.
   Een van beneden half-continue functie is een puntsgewijze limiet van een stijgende rij continue functies
   Een van beneden half-continue functie gedefinieerd op een compacte verzameling heeft een minimum.
   De verzameling van van beneden half-continue functies is gesloten onder willekeurige suprema en eindige infima, dat wil zeggen
  
  als  een verzameling van van beneden half-continue functies is, en  en  zijn elementen van , dan is  half-continu van beneden evenals 
  
  Dezelfde eigenschappen zijn er voor functies die half-continu zijn van boven. Bijvoorbeeld: De verzameling van van boven half-continue functies is gesloten onder willekeurige infima en eindige suprema.
  
  Literatuur 
   AC v Rooij en WH Schikhof. A Second Course on Real Functions, 1982. ISBN 0521283612
  
  Wiskundige analyse