title: Surreëel getal
text: De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend lichaam/veld. Samen met de reële getallen behoren ook de oneindig kleine en de oneindig grote elementen tot de surreële getallen. In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen.
  
  De surreële getallen kunnen opgebouwd worden vanuit de lege verzameling, door toepassing van Dedekindsneden, een principe dat ook ten grondslag ligt aan de reële getallen. In een oneindige reeks tussenstappen worden voortdurend nieuwe getallen gedefinieerd in termen van eerder gedefinieerde.
  
  Surreële getallen werden in 1969 ontdekt door de Engelse wiskundige John Conway als een nevenresultaat van onderzoek naar de structuur van een bepaalde klasse van wiskundige spellen. De uitdrukking surreële getallen werd in 1973 bedacht door Donald Knuth en gebruikt in zijn novelle 'Surreal Numbers' (1974). Deze uitdrukking werd later ook door Conway gebruikt.
  
  Constructie en ordening
  De grondgedachte achter de constructie van de surreële getallen is het principe van de snede van Dedekind. Een nieuw getal wordt gevormd door twee verzamelingen  en  van al bestaande getallen aan te geven die het nieuwe getal benaderen. De verzameling  bestaat uit getallen die kleiner zijn dan het nieuwe getal en de verzameling  uit getallen die groter zijn. Zo'n nieuw getal wordt genoteerd als  met de eis dat elk element van  kleiner moet zijn dan elk element van . Zo is  een geldige constructie van een bepaald getal tussen 2 en 5; welk dat is, zal later uitgelegd worden. Het is uitdrukkelijk toegestaan dat  of  leeg is. Het getal  wordt opgevat als een getal groter dan elk getal in  en  als een getal kleiner dan elk getal in . Deze manier van construeren is dus recursief. Er is daarom ook een regel nodig om de nieuwe getallen met elkaar te vergelijken, dat wil zeggen ook de ordeningsrelatie  die voor de toepassing van de constructieregel nodig is, moet recursief gedefinieerd worden.
  
  Er zijn dus twee definities nodig om een oneindige, totaal geordende klasse getallen te genereren, waarop dan later bewerkingen worden gedefinieerd.
  
  Definities
   Constructie: Twee verzamelingen  en  van reeds bestaande getallen bepalen een nieuw getal , genoteerd als , als voor geen van de elementen  en  geldt: . Alle elementen uit  zijn groter dan alle elementen van .
   Ordening: Het getal  is kleiner dan of gelijk aan het getal , genoteerd als , als elk element  kleiner is dan  en  op zijn beurt kleiner is dan elk element .
  
  Dit wordt als volgt genoteerd:
  
   , met 
    en 
  
  In deze en volgende formules betekent  hetzelfde als . Verder betekenen zowel  als  dat het niet zo is dat , dus . Ten slotte schrijft men  als afkorting voor  en . Het symbool  is de al-kwantor en  de  existentiekwantor.
  
  Om de notatie zo licht mogelijk te houden, wordt zo veel mogelijk vermeden de verzamelingen  en  nog te vermelden in formules. In plaats daarvan schrijft men  en  als een verwijzing naar een typisch element uit deze verzamelingen. De eerste definitie hierboven wordt dan  met .
  
   wordt genoteerd als .
  
  Recursiviteit
  Zowel de constructie als de ordening van getallen zijn recursief gedefinieerd. Dit wil zeggen dat ze steunen op het bestaan en de ordening van vooraf gedefinieerde getallen. Meestal worden recursieve definities aangevuld met een aparte definitie die de begintoestand vastlegt. Voor de surreële getallen is dat niet nodig, omdat voor  en , zelfs al is geen enkel ander getal bekend, altijd de lege verzameling  gebruikt kan en mag worden. Men vindt zo als allereerste getal , of eenvoudiger genoteerd . Dit getal wordt geïdentificeerd met nul. 
  
  Nu worden twee nieuwe getallen gedefinieerd door 0 op te nemen in  of . Het getal  met  en  wordt geïdentificeerd met , en  met . Merk op dat  geen geldig getal voorstelt. De reden is dat , zodat aan de voorwaarde in definitie (1) niet voldaan is. Zolang een van de verzamelingen  of  echter leeg is, is die voorwaarde zonder voorwerp. Zo kan een eindeloze reeks nieuwe getallen gedefinieerd worden van de vorm , , , enzovoort. Het zou naïef zijn te denken dat zo alleen maar een kopie van de natuurlijke getallen ontstaat. Er is immers geen enkele reden voor waarom de constructie van getallen niet kan worden voortgezet met een oneindige verzameling voor . Zo krijgt men een eerste oneindig groot getal
  
  direct gevolgd door
  
  en zo verder. Daarna komt
  
  in een nooit eindigende reeks van steeds grotere, oneindige getallen.
  
  Dit is de klassieke constructie van Georg Cantor voor de klasse  van alle ordinaalgetallen. Het is bekend dat de ordinaalgetallen geen gewone verzameling vormen, maar een zogenaamde eigenlijke klasse. Intuïtief uitgedrukt betekent dit dat het aantal elementen zo groot is dat het niet meer gemeten kan worden door enig transfiniet kardinaalgetal. Eigenlijke klassen kunnen in tegenstelling tot gewone verzamelingen niet vrijelijk gebruikt worden bij de constructie van grotere verzamelingen zonder te vervallen in logische paradoxen. Aangezien de surreële getallen alle ordinaalgetallen omvatten, vormen de surreële getallen eveneens een eigenlijke klasse. Eigenlijke klassen worden door Conway systematisch met hoofdletters aangeduid. De surreële getallen vormen dus geen gewoon veld/lichaam, maar eerder een Veld/Lichaam.
  
  Tot nu zijn alleen getallen geconstrueerd met . Kiest men voor  de lege verzameling, dan vindt men 'negatieve ordinaalgetallen', die niet voorkomen in het systeem van Cantor. Nog vreemdere getallen ontstaan als zowel  als  niet-leeg gekozen worden. Zonder in detail te gaan toch enkele voorbeelden:
   de getallen  kunnen achtereenvolgens geconstrueerd worden als
  
   men krijgt oneindig kleine getallen door in  willekeurig kleine getallen op te nemen:
  
   en nog kleiner kan ook:
  
   oneindige getallen, groter dan elk natuurlijk getal, maar kleiner dan , dat traditioneel als het 'kleinste' oneindig getal wordt beschouwd, zijn er ook:
  
  Verificatie van de orde-eigenschappen
  In definitie (1) en (2) worden de symbolen '' en '' gebruikt, en het is zonder meer de bedoeling dat men deze interpreteert als de gebruikelijke ordeningssymbolen 'kleiner' en 'kleiner dan of gelijk' voor getallen. Nochtans moet een tweeplaatsige relatie aan enkele fundamentele eigenschappen, zoals transitiviteit, voldoen waarover in de definities niet gesproken wordt. Het is een kenmerk van Conways theorie dat deze eigenschappen slechts op impliciete wijze in de definities vervat zijn. Bij de opbouw van de theorie moet men dan ook voorzichtig zijn dat men geen 'evidente' eigenschappen van de orderelatie gebruikt voordat ze bewezen zijn.
  
  Dat de orde '' een totale orde is op de surreële getallen is niet evident, aangezien definitie (2) a priori niet uitsluit dat twee getallen  en  noch in de ene, noch in de andere richting in een orderelatie staan tot elkaar. Er zijn drie stellingen nodig om dit te bewijzen:
  
  Stelling 1
   
   
  Merk op dat hieruit direct volgt dat . De stelling toont dat elk nieuw getal tussen zijn linker- en rechteropties geplaatst moet worden. Om deze stelling te bewijzen gebruikt men transfiniete inductie. Dit houdt in dat men veronderstelt dat stelling 1 reeds juist is voor alle getallen  die voor  geconstrueerd werden. In het bijzonder neemt men aan dat  en dat . In een klassiek bewijs door inductie moet vooraf nog bewezen worden dat de stelling juist is voor een of andere startwaarde van de veranderlijken. In de theorie van Conway is dit onnodig, omdat alle getallen uiteindelijk teruggaan op de lege verzameling en aan een hypothetisch element van de lege verzameling elke denkbare eigenschap toegekend mag worden.
  
  Bewijs
  Uit het ongerijmde: Stel dat . Volgens definitie (1) betekent dit dat , en in het bijzonder , wat in tegenspraak is met onze inductiehypothese. Analoog leidt de veronderstelling dat  eveneens tot een tegenspraak en is (1) bewezen.
  
  Stel vervolgens dat . Volgens definitie (2) geldt dan dat  of . Maar beide zijn in tegenspraak met (1). Hiermee is stelling 1 volledig bewezen.
  
  Merk op dat dit bewijs vraagt dat zowel (1) als (2) van stelling 1 bewezen worden. Ook de gebruikte inductieredenering is bijzonder. In laatste instantie komt die erop neer dat een hypothetisch tegenvoorbeeld voor de te bewijzen stelling nieuwe tegenvoorbeelden oplevert van steeds vroeger en vroeger geconstrueerde getallen. Logisch verder redenerend komt men uiteindelijk tot de conclusie dat een uitspraak van de vorm
  
  waar moet zijn. Maar dat is absurd aangezien een lege verzameling geen elementen heeft.
  
  Stelling 2
  De orderelatie  is transitief op de surreële getallen, d.w.z.:
  
  Bewijs
  Wegens inductie mag veronderstellen worden dat de stelling waar is zodra ook maar een van de getallen  of  vervangen wordt door een eerder geconstrueerd getal. Stel dus, voor een tegenspraak, dat  en  maar . Wegens definitie (2) geldt dan dat
   of .
  In het eerste geval krijgen we dat . Wegens inductie volgt hieruit dat . Maar dat is in tegenspraak met , want dat laatste houdt in (definitie (2)) dat . Analoog leidt het tweede geval tot , waaruit, wegens inductie, , hetgeen in tegenspraak is met . Hiermee is ook stelling 2 bewezen.
  
  Stelling 3
  De orderelatie  is totaal op de surreële getallen, d.w.z.:
  .
  
  Bewijs
  Eerst bewijst men het speciale geval waarin  een van de opties  of  van  is. Stel dat . Omdat , m.a.w. , moet bewezen worden dat . Formuleer opnieuw een inductiehypothese, in dit geval dat . Stel dan dat . Dan geldt volgens definitie (2) ofwel dat , ofwel dat . In het eerste geval volgt, wegens inductie en de transitieve eigenschap, dat , in tegenspraak met stelling 1. En het tweede geval  is in tegenspraak met de voorwaarde in definitie (1) van getallen. Hieruit volgt dus dat , en geheel analoog dat ook .
  
  Het algemene geval is nu eenvoudig. Stel dat  en  twee getallen zijn en dat . Als , is wegens  en de distributiviteit ook . Als , is wegens  en de distributiviteit opnieuw . Hiermee is ook stelling 3 volledig bewezen.
  
  Nu alle eigenschappen van de orderelatie geverifieerd zijn, mag men ongelijkheden precies zo behandelen als in de meer vertrouwde context van de reële getallen. Zo zijn er de transitieve eigenschappen van de vorm
   en 
   en 
  Verder is het eenvoudig na te gaan dat in alle voorbeelden van getallen in de sectie over recursiviteit de voorwaarde  in definitie (1) wel degelijk voldaan is.
  
  Gelijkheid en identiteit
  Een derde kenmerk van Conways theorie van getallen is dat gelijkheid een gedefinieerd begrip is, dat moet onderscheiden worden van identiteit. Identiteit  van twee getallen  en , genoteerd als , betekent:
   als  en  
  
  (als verzamelingen, als zij met andere woorden dezelfde elementen bevatten). Daarentegen betekent gelijkheid van twee getallen,
   
  
  niets meer of minder dan dat aan beide ongelijkheden  en  is voldaan. Het is niet moeilijk een voorbeeld te vinden dat het verschil tussen gelijkheid en identiteit illustreert. Stel namelijk
  , met  en . 
  
  Stelling 1 toont aan dat  tussen 1/2 en 2 gelegen is, zodat men zou kunnen denken dat , het rekenkundig gemiddelde van  en . 
  
  Dat blijkt echter niet het geval te zijn. Er geldt namelijk, zoals hieronder bewezen wordt, dat , hoewel .
  
  Voor een  bestaat er een  zodat  (maar de enige  hier is  wegens stelling 1) of een . 
  
  (maar deze ongelijkheid is zonder voorwerp, want ) en er volgt dat . Voor een  bestaat er  zodat  (maar de enige  is 0<x) of een  (maar de enige  is 2>1) 
  
  dus is ook . Deze twee ongelijkheden samen maken dat .
  
  De gelijkheid is een equivalentierelatie op  en een getal in de theorie van Conway is dus Equivalentieklasse (met hoofdletter!) van deze relatie.
  
  Optelling voor surreële getallen
  
  Definitie
  De optelling van getallen wordt eveneens recursief gedefinieerd.
  
  Voorbeelden
   1+1={0| }+{0| }={1+0,0+1| }, en als we aannemen dat 0 neutraal is krijgen we 1+1={1| }, het getal dat we eerder reeds met 2 hebben geïdentificeerd.
   1+1/2 = {0| } + {0|1} = {0+1/2,1+0|1+1}={1/2,1|2}={1|2}
   1/2 + 1/2 = {0|1}+{0|1}= {0+1/2,1/2+0|1+1/2,1/2+1}={1/2|{1|2}}, en je kan nagaan dat dit laatste in een gelijkheidsrelatie staat tot {0| }=1.
  Het is duidelijk dat de verdienste van Conway's theorie niet ligt in de eenvoud van het rekenwerk.
  
  Groepseigenschappen
  De meeste groepseigenschappen laten zich gemakkelijk bewijzen door inductie. Twee eenvoudige voorbeelden moeten hier volstaan:
   Nul is neutraal voor de optelling:
  
   Commutativiteit:
  
  In Conway's terminologie zijn dit 1-lijnsbewijzen: men herleidt een eigenschap van  tot een analoge eigenschap voor de opties  en  met de definitie, waarna de eigenschap geldt wegens inductie. Het ene lijntje voor associativiteit is net zo eenvoudig als dat voor commutativiteit, maar wel een stuk langer en we laten het hier achterwege.
  
  Dat elk getal ook een tegengestelde heeft voor de optelling is iets moeilijker. Dat hoeft niet te verbazen. Elke eigenschap van getallen die enkel met al-quantoren kan geschreven worden laat zich door inductie herleiden tot een eigenschap van de lege verzameling, en is daardoor makkelijk te bewijzen. De vraag naar het bestaan van een getal  met deze of gene eigenschappen is een stuk moeilijker, omdat het niet altijd evident is met welke verzamelingen  en  het gevraagde getal geconstrueerd is. Voor de constructie van het getal  valt het nog mee, maar we onthouden ons van details:
  
  Definitie
  
  Voorbeeld: 
  
  De gebruikelijke eigenschappen van tegengestelde getallen zijn dan af te leiden.
  
  Vermenigvuldiging voor surreële getallen
  
  Definitie
  Ook het product van surreële getallen krijgt een recursieve definitie:
  
  Om enig inzicht in deze definitie te krijgen, is ervaring met de gebruikelijke definities en eigenschappen van getallen onontbeerlijk. Aangezien reeds bekend is dat 
   en  
  
  moet ook
  
  Deze ongelijkheid kan herschreven worden tot
  ,
  
  wat een van de linker-opties van  verklaart. 
  
  Herschrijft men
  
  als
  
  dan vindt men de motivatie voor een van de rechteropties van . De andere opties worden op analoge wijze verklaard. Dit is de rode draad die alle definities in de theorie van Conway met elkaar verbindt: ze drukken stuk voor stuk de meest fundamentele orde-eigenschappen die je van getallen, hun relaties en hun bewerkingen mag verwachten. Het verrassende nieuwe inzicht dat Conway brengt is dat deze orde-eigenschappen de volledige structuur van een geordend veld vastleggen. Voor een uitgebreidere discussie van dit punt, zie de literatuurlijst onderaan.
  
  Eigenschappen van het product
  De basiseigenschappen voor de vermenigvuldiging worden op analoge wijze bewezen als die voor de som. Een aantal eigenschappen kunnen bewezen worden als identiteit:
  .
  
  Transitieve en associatieve eigenschappen nemen de vorm aan van gelijkheden, maar vormen in het algemeen geen identiteiten:
  .
  
  Al deze eigenschappen hebben bewijzen van een regel.
  
  Vervolgens wordt aangetoond dat het product  van twee getallen  en  wel degelijk zelf aan de definitie van een getal voldoet en dat, als , ook . De gebruikelijke orde-eigenschappen van het product ten slotte kunnen allemaal herleid worden tot speciale gevallen van de volgende stelling.
  
  Stelling
  Als  en , dan is .
  
  Hiermee is alles voorhanden om de conclusie te mogen trekken dat de surreële getallen inderdaad een totaal geordend lichaam/veld vormen, op één cruciaal punt na: er moet nog aangetoond worden dat elk getal  een invers getal  heeft voor vermenigvuldiging. In Conways boek ONAG wordt uitgelegd dat het aanvankelijk allesbehalve duidelijk was, hoe men een 'genetische' definitie (in termen van klassen  en ) van het product kon geven, en hoe de genetische definitie van  nog eens een jaar op zich liet wachten.
  
  Vakliteratuur 
    , On Numbers and Games (ONAG), Academic Press 1976
    , All games bright and beautiful (AGBB), Amer. Math. Monthly, 84(1977)
    , , , Winning Ways, Academic Press 1982
    , Surreal Numbers, Addison-Wesley 1974
  
  Getal