title: Basis (topologie)
text: In de topologie, een tak van de wiskunde, heet een deelverzameling  van de topologie  van een topologische ruimte  een basis van , als  voortgebracht wordt door , d.w.z. dat elke open verzameling in  de vereniging is van verzamelingen uit . 
  
  Een topologie is in veel gevallen een zeer grote familie deelverzamelingen van  die moeilijk expliciet te omschrijven is. Door een basis te geven die uit een veel beperkter aantal verzamelingen uit de topologie bestaat, kan toch de topologie vastgelegd worden
  
  Definitie 
  In een topologische ruimte  heet een deelcollectie  van  een basis, als elk element van  de vereniging is van elementen van . Deze vereniging mag eventueel oneindig of leeg zijn.
  
  Voorbeelden 
   De collectie van open intervallen vormt een basis voor de gebruikelijke topologie van 
   De collectie van open intervallen waarvan de eindpunten breuken zijn, vormt een andere basis voor diezelfde topologie. Deze basis heeft bovendien de handige eigenschap dat ze uit een aftelbaar aantal delen van  bestaat.
   In een metrische ruimte  vormen de open bollen  een basis voor de metrische topologie. Ook hier kunnen we ons beperken tot bollen waarvan de straal  een rationaal getal (breuk) is, maar de middelpunten  zijn niet altijd aftelbaar.
   Een topologie is altijd een basis van zichzelf.
  
  Equivalentie 
  Twee willekeurig bases  en  van eenzelfde topologie zijn equivalent in de volgende zin:
   Voor elke  en  is er een , zodanig dat 
   Voor elke  en  is er een , zodanig dat 
  
  Omgekeerd, als twee bases van topologieën aan bovenstaande twee eigenschappen voldoen, dan brengen ze dezelfde topologie voort.
  
  Tweede aftelbaarheid 
  Een ruimte die een basis heeft met aftelbaar veel elementen wordt tweedst-aftelbaar genoemd. Tweede aftelbaarheid is een topologisch invariant. Een voorbeeld van een tweedst-aftelbare ruimte is  met de gebruikelijke topologie. Immers de collectie  is een basis en omdat de breuken  aftelbaar zijn, is de basis het ook.
  
  Lokale basis 
  Er bestaat ook een lokale versie van het begrip basis:
  
  Definitie 
  Als  een topologische ruimte is en  een element uit , dan is een lokale basis in  een deelcollectie  van  zodanig dat:
    een element is van elk lid van 
   Elke open verzameling die  bevat, een element van  als deelverzameling heeft.
  
  Voorbeelden 
   Als  een reëel getal is, dan is de verzameling  een lokale basis in .
   Voor elke metrische ruimte is de verzameling van open ballen rondom  een lokale basis in . Ook de verzameling open ballen met rationale straal rondom  is een lokale basis in .
   Voor elke topologie is de verzameling van open verzamelingen die  bevatten een lokale basis in .
  
  Eerste aftelbaarheid 
  Een topologische ruimte  heet eerst-aftelbaar als er voor elk element  van  een aftelbare lokale basis bestaat. Ook eerste aftelbaarheid is een continu-invariant.
  
  Duidelijk is dat tweede aftelbaarheid eerste aftelbaarheid impliceert. Uit het tweede voorbeeld hierboven volgt tevens dat elke metrische ruimte eerst-aftelbaar is.
  
  Het begrip sigma-lokaal-eindige basis ligt tussen eerste en tweede aftelbaarheid in.
  
  Subbasis 
  Niet elke familie van deelverzamelingen van een verzameling  is automatisch de basis van een of andere topologie op . Een basis  van een topologie voldoet steeds aan de eigenschap dat iedere eindige doorsnede van leden van  geschreven kan worden als vereniging van elementen van :
  
  We kunnen wel iedere willekeurige familie  van delen van  uitbreiden tot een basis door er alle eindige doorsneden aan toe te voegen:
  
  Definitie 
  Als  een topologische ruimte is, dan heet een deelcollectie  van  een subbasis voor  als alle eindige doorsnedes van  een basis vormen voor . Hierbij geldt de gebruikelijke afspraak dat de doorsnede van 0 deelverzamelingen de verzameling  zelf oplevert.
  
  Elke familie deelverzamelingen  van een verzameling  is subbasis van precies één topologie  op . We noemen dit de topologie voortgebracht door .
  
  De topologie voortgebracht door  kan ook gekarakteriseerd worden als de kleinste (grofste) topologie op  waarin de leden van  open zijn, of ook nog als de doorsnede van alle topologieën op  waarin de leden van  open zijn.
  
  Voorbeelden 
  De collectie van alle open intervallen in de vorm  en  vormen een subbasis voor de gebruikelijke topologie voor .
  
  De lege familie brengt de indiscrete topologie  voort.
  
  Topologie