title: Noetherse ring
text: In de abstracte algebra wordt een ring Noethers genoemd als zijn idealen aan een bepaalde voorwaarde van eindigheid voldoen. Men spreekt in dit verband ook uitdrukkelijk over ringen die voldoen aan de stijgende ketenvoorwaarde.
  
  Noetherse ringen zijn genoemd naar Emmy Noether.
  
  Definiërende eigenschap 
  De volgende drie uitspraken over een commutatieve ring   zijn gelijkwaardig. Een Noetherse ring is een ring die aan één, en dus alle, van deze eigenschappen voldoet.
   Ieder ideaal van  wordt voortgebracht (als -moduul) door een eindig aantal elementen;
   iedere stijgende keten van idealen van :  wordt constant, dat wil zeggen er bestaat een index  zodat alle verdere idealen in de keten eraan gelijk zijn: 
   iedere niet-lege collectie idealen van  heeft een maximaal element, d.i. een ideaal dat geen deelverzameling is van enig ander lid van de collectie.
  
  De tweede en derde voorwaarde zeggen dat de verzameling idealen van , met de partiële orde "is een deelverzameling van" voldoet aan een abstracte ketenvoorwaarde (zie Lemma van Zorn).
  
  Voorbeelden en tegenvoorbeeld 
   Elke eindige ring is Noethers.
   De ring der gehele getallen is Noethers.
   Een lichaam heeft maar twee idealen en is dus Noethers.
   Krachtens de basisstelling van Hilbert is de ring  der polynomen in  veranderlijken met coëfficiënten in een lichaam , een Noetherse ring. Algemener geldt dat als  een Noetherse ring is, dan ook .
   De ring  der continue functies op het gesloten eenheidsinterval is niet Noethers. Immers, voor elk willekeurig reëel getal  tussen 0 en 1 vormt de deelverzameling  der continue functies die de waarde 0 aannemen op het deelinterval , een ideaal van . Maar de oneindige stijgende keten
  
  bestaat uit allemaal onderling verschillende idealen.
  
  Toepassing 
  De basisstelling van Hilbert is het uitgangspunt voor de algebraïsche meetkunde. In feite zegt ze dat de oplossingsverzameling van een willekeurig aantal algebraïsche vergelijkingen altijd met een eindig aantal vergelijkingen kan worden beschreven.
  
  Hoogte en Krulldimensie 
  De hoogte van een priemideaal  in een Noetherse ring  is de lengte van de langste strikt stijgende keten priemidealen die eindigt in . Met "lengte" bedoelen we het aantal inclusies, dus één enkel priemideaal is een keten van lengte 0.
  
  De Krull-dimensie van  is de grootst mogelijke hoogte van een priemideaal van , m.a.w. de lengte van de langst mogelijke keten priemidealen van . Ze is genoemd naar Wolfgang Krull.
  
  Voorbeeld 
  In de gehele getallen zijn alle niet-triviale priemidealen maximaal, dus de Krull-dimensie is 1. Dit geldt algemener voor elk hoofdideaaldomein dat geen lichaam is.
  
  Lichamen hebben Krull-dimensie 0. De ring der polynomen in  veranderlijken over een lichaam  heeft Krull-dimensie . De ring der polynomen in  veranderlijken over een Noetherse ring met Krull-dimensie  heeft Krull-dimensie .
  
  Primaire ontbinding 
  Een primaire ontbinding van een ideaal  in een ring  is een schrijfwijze van  als doorsnede van een eindig aantal primaire idealen van .
  
  In een Noetherse ring heeft ieder ideaal, behalve de ring zelf, een primaire ontbinding. Dit is een abstracte veralgemening van de hoofdstelling van de rekenkunde, als men bedenkt dat de primaire idealen van de ring der gehele getallen precies de idealen zijn die worden voortgebracht door een macht van een priemgetal.
  
  Zie ook 
  Geheel analoog heet een commutatieve ring een Artiniaanse ring, naar Emil Artin, als de ring aan de dalende ketenvoorwaarde voldoet. De stelling van Akizuki-Hopkins-Levitzski zegt dat elke Artiniaanse ring Noethers is.
  
  Literatuur 
     en , "Introduction to Commutative Algebra", Inleiding tot de commutatieve algebra, Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.
  
  Ringtheorie
  Commutatieve algebra