title: Wishartverdeling
text: De wishartverdeling is een multivariate kansverdeling. De verdeling is in meer dimensies een generalisatie van de chi-kwadraatverdeling en bij een niet-geheel aantal vrijheidsgraden van de gamma-verdeling. De verdeling is genoemd naar John Wishart, die de verdeling voor het eerst formuleerde in 1928.
  
  De wishartverdelingen vormen een familie van verdelingen van stochastische grootheden met als waarden symmetrische niet-negatief definiete matrices. Zij spelen een belangrijke rol bij de schattingen van covariantiematrices in de multivariate statistiek. In Bayesiaanse statistiek is de wishartverdeling de geconjugeerde a-prioriverdeling van de inverse covariantiematrix van een meerdimensionaal normaalverdeelde stochastische vector.
  
  Definitie
  Zij  een -matrix waarvan de rijen onderling onafhankelijk zijn en elke rij een steekproef is uit een -dimensionale multivariate normale verdeling met verwachtingswaarde 0 en covariantiematrix .
  
  De wishartverdeling is dan de kansverdeling van de stochastische -matrix , en men noteert;
  
  Het positieve gehele getal  heet het aantal vrijheidsgraden. Voor  is  met kans 1 niet-inverterrbaar als  niet-inverterrbaar is.
  
  Voor  en  komt de wishartverdeling overeen met de chi-kwadraatverdeling met 1 vrijheidsgraad.
  
  Kansdichtheid
  Zij  een positieve -matrix en  een positief-definiete symmetrische stochastische -matrix die wishartverdeeld is met parameters  en :
  
  Dan wordt de kansdichtheid  van  gegeven wordt door:
  
  Daarin staat  voor de determinant van een matrix, stelt  het spoor van een matrix voor, en is  de meerdimensionale gammafunctie, gedefinieerd door:
  
  Eigenschappen
  De matrix  in de wishartverdeling  is een schaalparameter, in de zin dat als de stochastische matrix  wishartverdeeld is met parameters :
  
  ,
  de gestandaardiseerde matrix  wishartverdeeld is met parameters :
  ,
  
  waarin  de -dimensionale eenheidsmatrix is.
  
  De wishartverdeling is reproductief, wat inhoudt dat als  onderling onafhankelijke wishartverdeelde matrices zijn, met
  ,
  
  de som ook wishartverdeeld is met  vrijheidsgraden:
  
  Kansrekening
  Multivariate statistiek