title: Inverse matrix
text: In de lineaire algebra is de inverse matrix, of kort de inverse, van een vierkante matrix het inverse element van die matrix met betrekking tot de bewerking matrixvermenigvuldiging. Niet iedere matrix heeft een inverse. Een matrix heeft alleen een inverse als de determinant van de matrix ongelijk is aan 0. Als de inverse bestaat heet de matrix inverteerbaar. De inverse van de inverteerbare matrix , genoteerd als , is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als , die zowel links als rechts met  vermenigvuldigd de eenheidsmatrix oplevert. 
  
  Als van een stelsel vergelijkingen  de inverse  van  bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector , de vector  worden berekend. De oplossing is .
  
  Definitie
  Een -matrix  heet inverteerbaar, als er een -matrix  bestaat zodanig dat 
  
  Hierin is  de eenheidsmatrix van orde , ook wel aangeduid met . De matrix  heet de inverse van  en wordt aangeduid met .
  
  Een inverteerbare matrix wordt ook regulier genoemd en een niet-inverteerbare singulier.
  
  Eigenschappen
   Uniciteit: De inverse is eenduidig bepaald. Stel namelijk dat de -matrix  ook een inverse is van . Dan is 
  
   Als  inverteerbaar is, is ook  inverteerbaar en 
  
   Als  en  beide inverteerbare -matrices zijn, is ook hun product  inverteerbaar en 
  
   Als  inverteerbaar is, en  is een reëel getal verschillend van 0, dan 
  
   De getransponeerde matrix  van een inverteerbare matrix , is ook inverteerbaar en
  
  Inverteerbaarheid
  Voor een -matrix  zijn de volgende uitspraken equivalent: 
    is inverteerbaar 
   er is een -matrix  zodat  
   er is een -matrix  zodat 
   de determinant van  is verschillend van 0
   de vergelijking  heeft als enige oplossing  
   de vergelijking  heeft precies één oplossing voor elke 
    is inverteerbaar 
   de kolommen van  zijn lineair onafhankelijk
   de rijen van  zijn lineair onafhankelijk
   de rang van  is 
   de echelonvorm van  is de eenheidsmatrix
   alle eigenwaarden van  zijn verschillend van nul
  de lineaire operator horende bij  is inverteerbaar
  de lineaire operator horende bij  is injectief, surjectief, of beide.
  
  Inverteren
  Het daadwerkelijk berekenen van de inverse van een matrix is vaak een bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt doordat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek gedaan, zowel theoretisch als praktisch, naar het ontwikkelen van algoritmen om een matrix te inverteren.
  
  De inverse van de vierkante matrix  kan berekend worden met de formule
  
  Hierin is  de determinant van  en  de geadjugeerde van .
  
  Voorbeeld 1 
  De 2×2-matrix  is inverteerbaar als de determinant van  ongelijk is aan 0: . De inverse van  wordt dan gegeven door:
  
  Matrix 'vegen'  
  De toepassing van deze formule vergt echter meestal veel rekenwerk. 
  
  Een van de numerieke methoden voor het bepalen van de inverse van een inverteerbare matrix  is  door middel van Gauss-eliminatie de uitgebreide matrix  te herleiden tot .
  
  Voorbeeld 2  
  Inverteer:
  
  Vorm de uitgebreide matrix
  
  Vegen:
  
  Trek 2 keer de eerste rij af van de beide andere:
  
  Verwissel de 2e en de 3e rij:
  
  Deel de 2e rij door –3:
  
  Trek 2 keer de 2e rij af van de 1ste:
  
  De inverse is dus:
  
  Niet-vierkante matrices
  Voor een niet-vierkante matrix  kan zowel voor rechts- als voor linksvermenigvuldiging een aparte matrix bestaan die bij de vermenigvuldiging met  een eenheidsmatrix oplevert. Zulke matrices worden niet als inverse matrix beschouwd. Men gebruikt echter wel de termen linksinverse en rechtsinverse zonder dat het om een inverse matrix gaat.
  
  Lineaire algebra