title: Riemannintegratie
text: De riemannintegratie is een methode binnen de integraalrekening, die door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann is ontwikkeld om op een interval de oppervlakte onder de grafiek van een functie te berekenen. De oppervlakte is de riemannintegraal van die functie over een gegeven interval.
  
  De riemannintegraal is voor veel theoretische doeleinden ongeschikt. De integraal van een groot aantal functies kan met behulp van de hoofdstelling van de integraalrekening of door numerieke integratie worden bepaald. Sommige van de technische onvolkomenheden van riemannintegratie worden weggenomen door de Riemann-Stieltjes-integraal en bijna alle door de Lebesgue-integraal.
  
  Principe 
  
  Stel dat we voor een functie  die we voor het gemak niet-negatief nemen, de oppervlakte onder de grafiek willen uitrekenen boven een interval  in het domein. Riemann bedacht de volgende methode om deze oppervlakte te benaderen:
  
   verdeel het interval  in een eindig aantal, zeg , deelintervallen,
   noem de lengte van het -de deelinterval ,
   kies een punt  in het -de deelinterval,
  
  dan wordt de gevraagde oppervlakte benaderd door de som van de te berekenen oppervlakten van de rechthoeken boven de deelintervallen met hoogten . Deze som, de riemannsom, is:
   
  
  Door de verdeling in deelintervallen te verfijnen, dat wil zeggen door elk deelinterval weer verder te verdelen in een eindig aantal deelintervallen, ontstaat een betere benadering verkregen. Bij steeds verdere verfijning, waarbij de lengte van het grootste deelinterval naar 0 gaat, zullen voor sommige functies de bijbehorende riemannsommen convergeren. Dergelijke functies heten riemannintegreerbaar en de limiet van de riemannsommen is de gevraagde integraal, genoteerd als:
    
  of als
  
  Definitie 
  Voor de definitie van de riemannintegraal zijn enkele begrippen nodig.
  
  Een verdeling van het interval  is een eindige rij getallen van de vorm:
   
  
  Elk interval  heet een deelinterval van de verdeling. De maas van de verdeling is de lengte van het grootste deelinterval.
  
  Een gelabelde verdeling  van  is een verdeling, waarbij in ieder deelinterval  een punt  is gekozen.
  
  Een gelabelde verdeling  heet een verfijning van de verdeling  als alle deelpunten  van  ook deelpunten van  zijn en alle labels  van  ook labels van  zijn.
  
  De riemannsom of riemannintegraal van een reële functie  gedefinieerd op het interval , met betrekking tot de gelabelde verdeling  van  met deelpunten  en labels  is:
  
   
  
  Wanneer de integraal van een functie is berekend en de waarde  blijkt te hebben, betekent dit dat de riemannsom van deze functie, waarin de maas van deze verfijning in de limiet naar nul gaat,  is.
  
  Darbouxintegraal 
  Een definitie die veel op de riemannsom lijkt is de darbouxintegraal, genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie deze aanpak meestal wordt toegeschreven. In plaats van riemannsommen gedefinieerd aan de hand van willekeurige punten uit de deelintervallen, wordt het oppervlak boven een deelinterval ingesloten tussen rechthoeken met hoogten gelijk aan het maximum en het minimum van de functie op een deelinterval berekend.
  
  De darbouxintegraal is equivalent aan de riemannintegraal, dat wil zeggen dat een functie die darbouxintegreerbaar is, ook riemannintegreerbaar is, en omgekeerd, en dat de darbouxintegraal gelijk is aan de riemannintegraal.
  
  Hoofdstelling 
  Als  de afgeleide is van de functie , kan volgens de hoofdstelling van de integraalrekening, de integraal van  over het interval  worden geschreven als:
  
   .
  
  Merk op dat het zo dus ook mogelijk is een waardeverandering van de primitieve functie  te benaderen op het interval  zelfs als  zelf niet expliciet uit  kan worden bepaald.
  
  Overige 
  Het symbool  waarmee een integraal wordt aangeduid, is door de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz geïntroduceerd tegen het eind van 17de eeuw, is gebaseerd op de lange s ſ en werd gekozen omdat de integraal een limiet is van sommen.
  
  Integraalrekening