title: Centrum (groepentheorie)
text: In de abstracte algebra is het centrum van een groep  de verzameling  van elementen in  die commuteren met alle andere elementen van :
  
  Het centrum  is een ondergroep van , want
    is niet leeg, omdat voor het eenheidsselement  van  geldt:  voor alle , dus .
    is gesloten onder de groepsbewerking, omdat voor alle  geldt:  voor alle .
   Van elke  is ook de inverse , omdat  voor alle . 
  
  Verder is  een abelse ondergroep van , een normaaldeler van  en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep  maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.
  
  Het centrum van  is gelijk aan  dan en slechts dan als  een abelse groep is. Het andere uiterste is het als het centrum van  triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het eenheidselement bestaat.  heet dan centrumloos. Het centrum is een begrip dat in de algebra meer algemeen voorkomt, voor meer structuren, maar de definitie komt steeds overeen met de hier gegeven definitie voor groepen.
  
  Conjugatie 
  Voor elk element  is er een speciaal automorfisme  van , gedefinieerd door:
  
  De elementen  en  zijn elkaars geconjugeerden. Een element  dat met  commuteert, wordt door  op zichzelf afgebeeld.
  
  Van het groepshomomorfisme  van  naar de groep van automorfismen van , gedefinieerd door
   
  
  is de kern precies het centrum  van , en is het beeld de groep van inwendige automorfismen van , genoteerd als . Als gevolg van de eerste isomorfismestelling geldt:
  
  De cokern van deze afbeelding is de groep  van uitwendige automorfismen, en deze vormen de exacte rij:
  
  Voorbeelden 
   Het centrum van de groep  van inverteerbare -matrices over het lichaam/veld  is de collectie van scalaire matrices .
   Het centrum van de orthogonale groep  is .
   Het centrum van de quaternionengroep  is .
   Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen.
   Niet-abelse enkelvoudige groepen hebben geen centrum.
  
  Hogere centra 
  Als men het centrum van een groep wegdeelt, ontstaat een opeenvolging van factorgroepen, die men de hogere centrale rij noemt.
  
  De kern van de afbeelding  heet het -de centrum van , aangegeven door .
  De definitie van deze rij kan door transfiniete inductie naar de transfiniete ordinalen worden doorgevoerd. De vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.
  
  De stijgende keten van subgroepen
  
  wordt stabiel bij de index , d.w.z. ) dan en slechts dan als  centrumloos is.
  
  Volgens het lemma van Grün is de factorgroep  van een perfecte groep  en  centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra  gelijk zijn aan . Dit is een geval van stabilisatie op .
  
  Referenties 
  
  Groepentheorie