title: Speciale unitaire groep
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad , genoteerd als  , de groep van unitaire -matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep  van unitaire -matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep .
  
  De groepen  vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de  in de elektro-zwakke interactie en  in de kwantumchromodynamica.
  
  Het simpelste geval, , is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep  is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van  met de rotatiegroep , waarvan de kern gelijk is aan .
  
  Eigenschappen
  De speciale unitaire groep  is een reële matrix lie-groep van dimensie . Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van  is isomorf met de cyclische groep . De uitwendige automorfismegroep, voor , is , terwijl de buiten automorfismegroep voor  de triviale groep is.
  
  De  wordt als algebra gegenereerd door  operatoren die voor  voldoen aan de commutatorrelatie 
  
  In aanvulling hierop moet de operator
  
  voldoen aan
  ,
  
  wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van  gelijk is aan .
  
  SU(2)
  Een algemene -matrix heeft de vorm
  ,
  
  waarin  staat voor de complex geconjugeerde en   en   complexe getallen zijn met
  
  In de definiërende representatie zijn de generatoren  proportioneel aan de Pauli-matrices  via:
  
  waarin:
  
  Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.
  
  De structuurconstanten voor  worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool
   
  
  De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle -waarden verdwijnen.
  
  SU(3)
  De generatoren  van  worden in de definiërende representatie gegeven door:
  
  waarin de Gell-Mann-matrices  voor  het analogon zijn van de pauli-matrix voor :
   
  {| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
  | 
  | 
  | 
  |-
  | 
  | 
  | 
  |-
  | 
  |
  |
  |}
  Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.
  
  Dit voldoet aan de relaties
  
  waarin de structuurconstanten worden gegeven door
  
  De -waarden zijn:
  
  Referenties
  
  Groepentheorie