title: Dedekindsnede
text: Een dedekindsnede, ook snede van Dedekind of kortweg snede genoemd, is een speciale deelverzameling van de rationale getallen die een reëel getal voorstelt. Dedekindsneden worden gebruikt om uit de rationale getallen  de reële getallen  te construeren. Dedekindsneden zijn genoemd naar Richard Dedekind.
  
  Definitie
  Een dedekindsnede  is een deelverzameling van  die aan de volgende eisen voldoet:
    
   
   Als  en  dan is  . Met andere woorden:  heeft geen ondergrens.
   Bij  is er een  zo, dat 
  
  De verzameling van alle sneden blijkt equivalent te zijn met 
  
  Alternatief kan een dedekindsnede ook gedefinieerd worden als een geordend paar  van deelverzamelingen  en  van de rationale getallen die voldoen aan de axioma's:
    en 
   
   voor alle  en  geldt:  
    heeft geen grootste element, d.w.z. voor alle   is er een  met
  
  Voorbeeld
  De snede die het reële getal  voorstelt is:
  
  Deze snede is gedefinieerd als de verzameling van alle rationale getallen die kleiner zijn dan nul of waarvan het kwadraat niet groter is dan 2. Deze verzameling van rationale getallen is een dedekindsnede omdat ze voldoet aan bovenstaande definitie. Bijzonder aan deze snede is dat ze in de constructie van Dedekind overeenkomt met het reëel getal .
  
  Dedekindsneden worden verder in dit lemma aangeduid met Griekse letters, en rationale getallen met gewone letters.
  
  Eigenschappen van de reële getallen
  Net als de rationale getallen vormen de reële getallen een geordend lichaam (In België spreekt men van een geordend veld).
  
  Kleinstebovengrenseigenschap
  Wat  uniek maakt ten opzichte van  is dat elke naar boven begrensde deelverzameling van  een kleinste bovengrens heeft. 
  De rationale getallen hebben deze eigenschap niet. Neem bijvoorbeeld de verzameling 
  .
  
  Deze verzameling heeft geen kleinste bovengrens in , aangezien er tussen elk rationaal getal en het getal  een ander rationaal getal te vinden is.
  
  De overeenkomstige verzameling in :
  
  heeft wel een kleinste bovengrens in  en wel .
   
  Uit het feit dat  wel de kleinstebovengrenseigenschap heeft en  niet, volgt ook dat  volledig is en  niet.
  
  Dedekindsneden en de eigenschappen van de reële getallen
  Het blijkt dat sneden aan de eigenschappen van de reële getallen voldoen. Daartoe definieert men het volgende:
  
  Orderelatie voor sneden
   als  een echte deelverzameling van . 
  
  Duidelijk is dan dat of  of  of . Uit deze definitie volgt ook de kleinstebovengrenseigenschap van sneden.
  
  Optelling van sneden
  Voor sneden definieert men de optelling, neutraal element voor optelling en inverse element. Deze definities blijken te voldoen aan de axioma's voor optelling.
  
  Optelling
  Als  en  sneden, verstaat men onder de som  de verzameling van alle sommen  waarin  en  De som blijkt weer een snede te zijn.
  
  Neutraal element voor optelling
  Het neutrale element 0 voor optelling is de verzameling van alle negatieve rationale getallen, hetgeen ook een snede is. Duidelijk is dat de snede 0 dezelfde rol speelt als het getal 0 voor
  
  Inverse voor optelling
  Bij de snede  definieert men  als de verzameling van alle  met de eigenschap dat er een  is waarvoor geldt dat . De inverse is een snede.
  
  Vermenigvuldiging voor sneden
  Vermenigvuldiging is wat lastiger te definiëren, daarom wordt eerst het product van positieve sneden gedefinieerd, dus voor sneden  Later wordt de definitie compleet gemaakt. De definities blijken te voldoen aan de axioma's voor vermenigvuldiging en aan de distributieve wet.
  
  Vermenigvuldiging
  Als  en  positieve sneden zijn, verstaat men onder het product  de verzameling van alle  waarvoor geldt dat  waarbij  en  zo worden gekozen dat  en  Het product is een snede.
  
  Neutraal element voor vermenigvuldiging
  Het neutrale element 1 voor de vermenigvuldiging is de verzameling van alle negatieve rationale getallen kleiner dan 1. De zo gedefinieerde 1 is een snede. Duidelijk is dat de snede 1 dezelfde rol speelt als het getal 1 voor
  
  Complete vermenigvuldiging
  De vermenigvuldiging wordt compleet door de definities
   
    als  en 
    als  en 
    als  en
  
  Inbedding van de rationale getallen
  De rationale getallen zijn een deelverzameling van de reële getallen. Er moet dus een deelverzameling sneden bestaan die  representeert. Daarom associëreert men met elke  de verzameling  bestaande uit alle  zodanig dat  Duidelijk is dat  een snede is.
  
  Rechtvaardiging voor dedekindsneden
  Binnen de algebra is er de stelling dat twee geordende lichamen met de kleinste-bovengrens-eigenschap isomorf met elkaar zijn. Duidelijk is dat de dedekindsneden en  beiden geordende lichamen zijn met de kleinste-bovengrens-eigenschap. Omdat ze dus isomorf zijn, hebben ze dezelfde algebraïsche eigenschappen. Derhalve zijn dedekindsneden gerechtvaardigd als constructie van de reële getallen.
  
  Cauchyrijen
  Een andere methode om uit  de reële getallen  te construeren gaat met behulp van cauchyrijen. Ook deze methode levert een geordend lichaam op met de kleinste bovengrens eigenschap en is dus equivalent met de methode van dedekindsneden.
  
  Literatuur
  De volgende boeken behandelen de constructie van de reële getallen uit de rationale getallen inclusief bewijzen:
    - Principles of Mathematical Analysis
   . - Foundations of Analysis 
    - The Number System
    - Theorie and Application of Infinite Series
    - Real and Abstract Analysis
  
  Ordetheorie
  Wiskundige analyse