title: Getransponeerde matrix
text: In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix of kortweg de getransponeerde van een matrix  de matrix die ontstaat door een van de onderstaande twee acties op  uit te voeren:
   Schrijf de rijen van  als de kolommen van .
   Schrijf de kolommen van  als de rijen van .
  
  Als  een vierkante matrix is komt dat er op neer dat  om zijn hoofddiagonaal wordt gespiegeld. Als men hetzelfde voor de tweede keer uitvoert, is het resultaat de oorspronkelijke matrix , ook als  geen vierkante matrix is.
  
   wordt ook geschreven als  of als . De notatie  wordt in MATLAB voor de getransponeerde matrix van  gebruikt.
  
  De Britse wiskunde Arthur Cayley heeft de getransponeerde matrix in 1858 ingevoerd.
  
  Definitie 
  De getransponeerde matrix van een -matrix  is de -matrix  gedefinieerd door:
    voor
  
  Voorbeelden
  
  Eigenschappen 
  Voor de matrices  en  en de scalair  gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:
   
   De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie, een bewerking die haar eigen inverse is.
   
   Transponeren behoudt optelling.
   
   Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan worden afgeleid dat een vierkante matrix  inverteerbaar is dan en slechts dan als  inverteerbaar is en in dat geval is  Dit resultaat kan worden uitgebreid naar het algemene geval van meer dan twee matrices. Dan geldt .
   
   De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de vectorruimte van -matrices naar de ruimte van alle -matrices.
   
   Het spoor van een vierkante matrix is gelijk aan het spoor van zijn getransponeerde matrix.
   
   De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.
   
   De rang van iedere matrix  is gelijk aan de rang van de getransponeerde matrix  van 
   Het inwendige product van twee kolomvectoren  en  kan worden berekend als
   
   Als de matrix  alleen reële elementen heeft, dan is  een positief-semidefiniete matrix.
   Als  een matrix is over een lichaam/veld, dan is  gelijksoortig met 
   
   Voor een inverteerbare matrix  is de getransponeerde van de inverse matrix de inverse van de getransponeerde.
   Als  een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde matrix.
  
  Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie 
   Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd, dat wil zeggen dat  symmetrisch is als geldt
   
  
   Een vierkante matrix waarvan de getransponeerde ook de inverse matrix is, is een orthogonale matrix. Dat wil zeggen dat de matrix  orthogonaal is als geldt
   , waarin  de eenheidsmatrix is
   dus
   
   De kolommen van  zijn orthonormaal.
  
   Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd. Dat wil zeggen dat de matrix  antisymmetrisch is als
   
  
   Een hermitische matrix is een matrix die gelijk is aan de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan, genoteerd
   
   Dit wordt vaak afgekort tot . Dus 
  
   Een normale matrix is een matrix die commuatief is met de geconjugeerde getransponeerde matrix ervan:
   
  
  Lineaire algebra
  Matrix