title: Stochastische variabele
text: In de kansrekening is een stochastische variabele of stochastische grootheid een grootheid waarvan de waarde een reëel getal is dat afhangt van de toevallige uitkomst in een kansexperiment. De stochastische variabele, ook toevalsvariabele, kansvariabele of stochast, is een eigenschap van de uitkomst die in een getal is uit te drukken, zoals  de leeftijd of het inkomen van een toevallige voorbijganger. Het toeval bepaalt de uitkomst van het experiment, en bijgevolg is de waargenomen waarde van de stochastische variabele ook afhankelijk van het toeval. Bij een onderzoek naar de verdeling van de leeftijd is niet de toevallige voorbijganger zelf, de uitkomst, van belang, maar z'n leeftijd, een eigenschap van de uitkomst. Die leeftijd is in dit geval de stochastische variabele. Zo zijn ook het inkomen van een willekeurig gekozen Nederlander en het aantal keren dat 'kruis' gegooid wordt in een serie van 100 worpen met een munt, stochastische variabelen. Hoewel voor elke mogelijke uitkomst de waarde van de stochastische variabele vastligt, hangt de waargenomen waarde af van het toeval, als gevolg van de toevallige uitkomst. Formeel is een stochastische variabele daarmee een functie die aan elke uitkomst een getal, de waarde van de bedoelde eigenschap, toevoegt.
  
  In veel kansexperimenten, zoals steekproeftrekkingen, wordt uit een populatie op basis van toeval een element, bijvoorbeeld een willekeurige voorbijganger, aangewezen. We vragen deze voorbijganger naar zijn leeftijd, inkomen, en dergelijke. Bij het herhalen hiervan treffen we vermoedelijk een andere voorbijganger met zeer waarschijnlijk andere antwoorden. Om een theoretisch begrip te hebben om over zaken als 'de leeftijd van een willekeurige voorbijganger' te kunnen spreken, is het begrip 'stochastische variabele' ingevoerd. Op basis van toeval wordt een uitkomst aangewezen - een of andere voorbijganger - en aan deze uitkomst wijzen we een getal toe - z'n leeftijd. Hieruit blijkt dat een 'stochastische variabele' een afbeelding is van de uitkomstenruimte naar de reële getallen.
  
  Definitie 
  Een stochastische variabele  is een (meetbare) reële functie op de uitkomstenruimte  van een kansruimte.
  
  Omdat niet iedere deelverzameling van  een gebeurtenis hoeft te zijn, is ook niet noodzakelijk iedere functie op  een stochastische variabele. Daarom wordt geëist dat de functie meetbaar is, wat inhoudt dat het origineel van een interval een gebeurtenis is.
  
  Zo kan op basis van toeval een proefpersoon  worden aangewezen (uitkomst van het kansexperiment) en stelt  diens gewicht voor. De waarden van de stochastische variabele  vormen eigenlijk weer een uitkomstenruimte, het waardenbereik, met daarop een "kans"  bepaald door de kans  op de oorspronkelijke uitkomstenruimte. Deze "kans" heet kansverdeling van  en geeft voor (meetbare) deelverzamelingen  van  de kans  dat  een waarde aanneemt die ligt binnen .
  
  Het waardenbereik van een stochastische variabele is dus een ‘vertaling’ van de uitkomstenruimte  bij een kansexperiment. Het waardenbereik is een nieuwe uitkomsteruimte die de "uitkomsten" van de stochastische variabele bevat.
  
  Als het experiment zo is ingericht dat  een deelverzameling is van , en al de relevante informatie bevat, is het soms gemakkelijker formeel een stochastische variabele te introduceren. De identieke afbeelding is dan de geschikte functie. Gooit men als experiment bijvoorbeeld zolang tot de uitkomst 6 boven komt, dan kan het benodigde aantal worpen direct als uitkomst opgevat worden. Het is dan gemakkelijker dit aantal ook te beschouwen als een stochastische variabele , waarop de theorie kan worden toegepast.
  
  Niet altijd zal de onderzochte eigenschap van de uitkomsten uit  een reëel getal zijn. Denk bijvoorbeeld aan  kleuren, vormen, voornamen, namen van paarden bij een paardenrace. Men neemt dan wel zijn toevlucht de eigenschap te coderen met een getal en zo een stochastische variabele te introduceren, die dan in veel gevallen niet van ordinaal meetniveau is (zie het voorbeeld met het dartpijltje).
  
  In de praktische toepassing is een stochastische variabele een model van de werkelijkheid en zal een van de waarden  uit het waardenbereik zijn waargenomen. De waarde  wordt een realisatie van de stochastische variabele  genoemd.
  
  De definitie van een stochastische variabele maakt het mogelijk dit begrip goed in te passen in de formele theorie, maar dat is niet wat ons vooral interesseert. Het belang zit vooral in de kansverdeling van een stochastische variabele, waarmee relevante kansen bepaald kunnen worden.
  
  Generalisatie 
  Het is in de huidige theorie gebruikelijk een ruimere klasse van meetbare afbeeldingen als stochastische variabelen te benoemen. Zo zijn er ook complexwaardige en meerdimensionale stochastische variabelen, en heel algemeen afbeeldingen naar willekeurige meetbare ruimten.
   
  Een stochastische variabele is een meetbare afbeelding  van de kansruimte  naar de meetbare ruimte .
  
  en meetbaar houdt in dat voor alle  geldt:
  
  Typen 
  Men kan verschillende typen stochastische variabelen onderscheiden. Een belangrijk onderscheid is in discrete en continue stochastische variabelen. Daarnaast zijn er gemengde stochastische variabelen, die opgevat kunnen worden als een mengsel van beide typen.
  
  Voorbeeld 
  Bij het gooien met twee dobbelstenen bestaat de uitkomstenruimte uit de 6² = 36 paren mogelijke ogenaantallen:
  
  Het totale aantal geworpen ogen wordt gedefinieerd door de stochastische variabele:
  
  Het waardenbereik van  is 
  
  Door alle deelverzamelingen als gebeurtenis toe te laten, wat in zo'n eenvoudige situatie mogelijk is, zijn er geen problemen betreffende de meetbaarheid van , want dan zijn alle functies meetbaar.
  
  Kansverdeling 
  Een belangrijk aspect van een stochastische variabele is de bijbehorende kansverdeling, die aangeeft wat de kansen zijn op de mogelijke waarden of waardenverzamelingen van de stochastische variabele. In de meeste gevallen is niet de stochastische variabele als afbeelding van belang, maar gaat het om zijn verdeling.
  
  Notatie 
  Er zijn verschillende notatieconventies voor stochastische variabelen in gebruik. Twee van de meest gebruikte conventies zijn: de stochastische variabele onderstrepen () en de stochastische variabele aangeven met een hoofdletter ().
  
  Kansrekening