title: Nuldeler
text: In de abstracte algebra heet een element van een ring een nuldeler als het element zelf niet 0 is en het vermenigvuldigd met zichzelf of met een ander element, dat ook geen 0 is, als product 0 oplevert. 0 kan als het ware door een nuldeler worden gedeeld. Onderscheiden worden linker nuldelers en rechter nuldelers al naargelang de nuldeler de linker dan wel de rechter factor in het product is. Is een element zowel linker als rechter nuldeler, dan wordt het gewoon een nuldeler genoemd. Als de vermenigvuldiging binnen de ring commutatief is, is elke linker ook een rechter nuldeler en andersom. Een element van een ring ongelijk aan nul dat geen nuldeler is, noch een linker, noch een rechter nuldeler, wordt regulier genoemd.
  
  Definitie 
  Een element  van een ring  heet een linker nuldeler als er een  is, zodat  en  heet een rechter nuldeler als er een , zodat .
  
  Voorbeelden 
   De ring  van de gehele getallen is een integriteitsgebied, dus heeft geen nuldelers.
   Bij het modulair rekenen vormen de getallen  een ring. Als  een priemgetal is, is  een lichaam (Ned) / veld (Be) en komen daar geen nuldelers in voor. De getallen, zodat  door ze kan worden gedeeld, zijn in de andere gevallen nuldelers. Modulo 12 bijvoorbeeld kan 12 door de getallen 2, 3, 4 en 6 worden gedeeld. Dat zijn nuldelers: 
   Een voorbeeld van een nuldeler in de ring van de vierkante 2×2-matrices is de matrix
   
  
   omdat bijvoorbeeld
   .
  
   Meer in het algemeen vallen in de ring van -matrices over een willekeurig integriteitsdomein, dus ook over een lichaam/veld de linker en rechter nuldelers samen. Het zijn precies de matrices, die geen 0 zijn, maar wel singulier, dus waarvan de determinant 0 is.
   De onderstaande ring bevat elementen die alleen eenzijdige nuldelers zijn. Laat  de verzameling zijn van rijen gehele getallen  Neem voor de ring alle afbeeldingen van  op , met puntsgewijze optelling en compositie als de ringbewerkingen. Drie elementen in deze ring zijn de rechtsverschuiving , de linksverschuiving  en een projectie . Deze drie afbeeldingen zijn ongelijk aan nul, maar de composities  en  zijn beide nul, zodat  een linker en  een rechter nuldeler is in de ring van de additieve afbeeldingen  op . De afbeelding  is op deze manier geen rechter nuldeler en  geen linker nuldeler. De compositie  is de identiteit, dus als een willekeurige afbeelding  van  op  voldoet aan , dan volgt  en op dezelfde wijze volgt uit  dat . 
   In het vorige voorbeeld is  een linker nuldeler, want , omdat , maar  noch een linker, noch een rechter nuldeler is, omdat . De afbeeldingen van  naar  kunnen worden voorgesteld als oneindige matrices. De matrix
  
   bijvoorbeeld stelt de afbeelding  voor en de getransponeerde matrix  de rechtsverschuiving . Dat  de eenheidsmatrix is, is hetzelfde als te zeggen dat  de identiteit is. De matrix  is een linker nuldeler, maar geen rechter nuldeler.
  
  Eigenschappen 
  Een commutatieve ring met eenheidselement ongelijk aan 0 en zonder nuldelers wordt een integriteitsdomein genoemd.
  
  Linker en rechter nuldelers kunnen geen eenheid zijn. Immers, als  een eenheid is, dan is  voor alle 
  
  Elke idempotente  is een nuldeler, aangezien , dus . Nilpotente ringelementen ongelijk aan 0 zijn vanzelfsprekend nuldelers.
  
  Nuldelers komen ook onder de sedenionen voor. Dat zijn hypercomplexe getallen in 16 dimensies en zij komen in de Cayley-Dickson-constructie voor.
  
  Abstracte algebra
  Nul