title: Radicaal van een ideaal
text: In de algebra, is het radicaal van een ideaal een unaire operatie op de collectie der idealen van een commutatieve ring. Gegeven een ideaal  van een commutatieve ring, dan bestaat het radicaal van  uit alle elementen van die ring waarvan een macht in  ligt. Wanneer een ideaal samenvalt met zijn eigen radicaal, dan spreekt men van een radicaal ideaal. 
  
  Het begrip radicaal van een ideaal is zeer nauw verbonden met de algebraïsche meetkunde. Hilberts Nullstellensatz bevestigt dat de correspondentie tussen algebraïsche deelverzamelingen van de affiene ruimte  en radicale idealen van de veeltermring  bijectief is.
  
  Definitie 
  Als  een ideaal van een commutatieve ring  is, wordt het radicaal van  gedefinieerd als:
  
  Andere notaties zijn:  en  Het radicaal van een ideaal is opnieuw een ideaal, want
  
  Equivalent met de definitie is dat  de doorsnede is van alle priemidealen die  omvatten.
  
  Eigenschappen
  Het radicaal van een ideaal  heeft de volgende eigenschappen:
  
  Verwante begrippen
  
  Nulradicaal
  Het nulradicaal of nilradicaal van een commutatieve ring  met eenheidselement, genoteerd  is het radicaal van het triviale ideaal {0}. Het is de verzameling der nilpotente elementen van  Wegens de gelijkwaardige alternatieve definitie is het ook de doorsnede van alle priemidealen van
  
  Jacobson-radicaal
  Het Jacobson-radicaal van een commutatieve ring  met eenheidselement, genoteerd , is de doorsnede van alle maximale idealen van
  
  Primair ideaal
  Een ideaal  van een commutatieve ring  met eenheidselement heet primair als voor ieder paar elementen waarvan het product in  ligt, minstens een van beide elementen tot het radicaal van  behoort:
  
  Abstracte algebra