title: Kruisproduct
text: Het kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct, niet te verwarren met het Engelse 'outer product', dat een tensorproduct is, van twee vectoren in drie dimensies is een vector die loodrecht staat op beide vectoren, en waarvan de grootte gelijk is aan het product van de groottes van de beide vectoren en de sinus van de hoek tussen de twee vectoren. De richting van het kruisproduct wordt vastgelegd door de kurkentrekker- of de rechterhandregel.  In tegenstelling tot het inwendig product, is het kruisproduct geen scalair, maar een vector.
  
  Definitie 
  
  Het kruisproduct  van de vectoren  en  in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende drie regels:
    staat loodrecht op  en 
   ,  en  vormen een rechtshandig assenstelsel
   , de grootte van , waarin  de hoek tussen  en  is.
  
  Regels een en twee houden in dat de richting van het kruisproduct bepaald wordt door de kurkentrekkerregel op de vectoren  en   toe te passen. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel. Regel drie legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren  en  als zijden.
  
  De formule voor het kruisproduct van  en  uitgedrukt in de coördinaten van  en  luidt:
  .
  
  Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande determinant, waarin ,  en  de eenheidsvectoren langs respectievelijk de -, - en -as voorstellen.
  
  De determinantformule geeft ook een betekenis aan het kruisproduct in de driedimensionale coördinatenruimte over een willekeurige commutatieve ring , dus niet alleen over de reële getallen, en het is op deze manier mogelijk het kruisproduct voor meer dimensies te definiëren.
  
  Eigenschappen
  
  Meetkundig 
   De grootte  van de vector , is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden  en .
   Als  en  evenwijdig zijn, is het kruisproduct . Omgekeerd volgt uit , dat  en  evenwijdig zijn of dat ten minste een van de twee  of  de nulvector is.
   Zijn  en  een paar niet evenwijdige richtingsvectoren van een vlak , dan is  een veelvoud van .
  
  Algebraïsch 
   ,
   ,
   De identiteit van Jacobi:
  
   Formule van Lagrange: De volgende eigenschap wordt vaak gebruikt:
  
   De identiteit van Jacobi kan er ook mee gecontroleerd worden.
  
   De volgende vergelijking is ook van Lagrange:
  
   die weinig meer inhoudt dan dat de som van de kwadraten van sinus en cosinus gelijk is aan één.
  
  De tweede eigenschap volgt uit de toepassing van de eerste eigenschap op . De eerste eigenschap volgt ook onmiddellijk uit de tweede op voorwaarde dat , dat wil zeggen dat de karakteristiek van de ring  verschillend is van 2.
  
  De eerste en de derde eigenschap samen betekenen dat, voor een willekeurig lichaam, in België: veld,  met willekeurige karakteristiek, de ruimte  met het kruisproduct een lie-algebra vormt.
  
  Gebruik 
  Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat, onder andere om een normaalvector mee te bepalen.
  
  In de mechanica wordt een kruisproduct gebruikt om een moment ten opzichte van een punt uit te rekenen:
  , met  het moment,  de kracht, en  de plaatsvector.
  
  Niet-tensorieel karakter 
  Het kruisproduct in  blijft bewaard onder een isometrische lineaire transformatie, 'op het teken na': oriëntatiebehoudende isometrieën, de rotaties, behouden het kruisproduct, oriëntatie-omkerende isometrieën, rotatie-inversies, bijvoorbeeld spiegelingen, veranderen het kruisproduct van twee vectoren in zijn tegengestelde.
  
  In de tensoralgebra drukt men dit uit door te zeggen dat het kruisproduct van twee vectoren een pseudovector is.
  
  Websites 
   MathWorld. Cross Product.
  
  Lineaire algebra
  Meetkunde
  Vector