title: Partitie (verzamelingenleer)
text: In de verzamelingenleer is een partitie  van een verzameling  een opdeling van  in niet-lege onderling disjuncte delen. De deelverzamelingen van , die samen de partitie  van  vormen, mogen niet leeg zijn, hun onderlinge doorsnede is steeds de lege verzameling en hun vereniging is . Een partitie is een familie van deelverzamelingen. De deelverzamelingen, die element van dezelfde partitie zijn, worden ook wel de klassen binnen die partitie genoemd.
  
  Definitie 
  Een partitie van een verzameling  is
  een familie  van deelverzamelingen van , die voldoet aan:  
  
   : geen van de deelverzamelingen in de familie is leeg;
   voor alle verschillende deelverzamelingen  is : de familie bestaat uit onderling disjuncte deelverzamelingen;
   : de deelverzamelingen in  vormen gezamenlijk heel .
  
  Aantal 
  Het aantal partities van een verzameling van  elementen wordt gegeven door het -de getal van Bell . Voor kleine  zijn dat, te beginnen met :
   1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140
  
  Voorbeelden 
  Zij  dan is  een partitie van . De familie  is geen partitie van , omdat de leden niet onderling disjunct zijn en  is geen partitie, omdat de vereniging van de leden niet heel  oplevert.
  
  Het paar bestaande uit enerzijds de verzameling van de even getallen, en anderzijds de verzameling van de oneven getallen, vormt een partitie van de verzameling  van de gehele getallen. Algemener vormen de restklassen bij deling door een natuurlijk getal  een partitie van .
  
  De lege familie is de enige partitie van de lege verzameling.
  
  Als  een equivalentierelatie is op een verzameling , dan vormen de equivalentieklassen van  samen een partitie van . De verzamelingen, die element zijn van een bepaalde partitie, kunnen omgekeerd als de equivalentieklassen van een equivalentierelatie  worden geïnterpreteerd. Er is dus een bijectie tussen de partities van een verzameling  en de equivalentierelaties op .
  
  Verzamelingenleer