title: Meervoudig nulpunt van een polynoom
text: Als het getal a een nulpunt is van de polynoom f in x, dan is f deelbaar door de factor x - a. Is f deelbaar door meerdere factoren x - a, dan heet a een meervoudig nulpunt van de polynoom. Het aantal keren k dat f deelbaar is door x - a heet de multipliciteit van het nulpunt a en a wordt een k-voudig nulpunt van f genoemd. Voor zo'n nulpunt a is er een polynoom g waarvoor geldt:
  
  en
  
  .
  
  Een nulpunt met multipliciteit 1 wordt ook een gewoon of een enkelvoudig nulpunt genoemd. Om het aantal nulpunten van een polynoom aan te geven, kan een k-voudig nulpunt als k nulpunten worden meegeteld, nulpunten worden in dat geval naar hun multipliciteit gerekend.
  
  Voorbeeld 
  
  Zij gegeven het polynoom met domein  (zie de figuur rechts):
  
  .
  
  De som van de coëfficiënten , dus er geldt:
  
  ,
  
  We kunnen nu f herschrijven als
  
  .
  
  Met behulp van staartdelen kan r worden bepaald:
  
  .
  
  Het polynoom  kan vervolgens worden ontbonden met de som-product-methode in , zodat:
  
  .
  
  Daaruit zien we dat 1 een tweevoudig nulpunt is van het polynoom f en −4 een enkelvoudig nulpunt. Het polynoom f heeft drie nulpunten.
  
  Hoofdstelling van de algebra 
  Uit de hoofdstelling van de algebra volgt, dat ieder polynoom met een graad n van ten minste 1, precies n nulpunten in het complexe vlak  heeft, wanneer ieder nulpunt met k als multipliciteit k keer wordt geteld.
  
  Algebra
  Nul