title: Hilberts Nullstellensatz
text: Hilberts Nullstellensatz, in het Nederlands: nulpuntenstelling van Hilbert, is een stelling uit de algebraïsche meetkunde, een tak van de wiskunde, die algebraïsche verzamelingen en idealen in veeltermringen relateert over algebraïsch gesloten velden. De stelling werd door David Hilbert bewezen.
  
  Formulering 
  Laat  een algebraïsch gesloten veld zijn, zoals de complexe getallen, en neem de ring , dat is de veeltermring van polynomen met coëfficiënten in , in beschouwing. Laat  een ideaal in deze ring zijn. 
  
  De algebraïsche variëteit , die door dit ideaal wordt gedefinieerd, bestaat uit alle -tupels  in  zodat  voor alle  in . 
  
  Hilbert Nullstellensatz stelt dat als  een willekeurige polynoom in  is, dat verdwijnt op de variëteit , dat wil zeggen  voor alle , dat er dan een natuurlijk getal  bestaat, zodat  in  is.
  
  Gevolg en bewijsvoering 
  Een onmiddellijk gevolg is de zwakke Nullstellensatz:
   Als  een ideaal is in , dan kan  niet leeg zijn, dat wil zeggen dat er een gemeenschappelijk nulpunt bestaat voor alle polynomen in het ideaal. 
  
  Dit is ook de reden voor de naam van de stelling. De stelling kan gemakkelijk worden bewezen vanuit de 'zwakke' vorm door gebruik te maken van de Rabinowitsch-truc. De aanname dat  algebraïsch gesloten moet zijn is hier essentieel, de elementen van het echte ideaal  in  hebben geen gemeenschappelijke nul. 
  
  Met de notatie die gebruikelijk is in de algebraïsche meetkunde kan de Nullstellensatz voor elk ideaal  ook worden geformuleerd als
  
   staat hier voor radicaal van  en  is het ideaal van alle veeltermen die verdwijnen op de verzameling . 
  
  Op deze manier ontstaat er een orde-omdraaiende bijectie tussen de algebraïsche variëteiten in  en de radicale idealen van .
  
  Commutatieve algebra
  Wiskundige stelling