title: Stelling van Burnside
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, geeft de stelling van Burnside voorwaarden voor de oplosbaarheid van een eindige groep.
  
  Stelling
  Zij  een eindige groep. Als de orde van  van de vorm  is, met  en  priemgetallen en  en  niet-negatieve gehele getallen, dan is  oplosbaar.
  
  Daaruit volgt dat elke niet-abelse eindige enkelvoudige groep een orde heeft die deelbaar is door drie verschillende priemgetallen.
  
  Geschiedenis
  De stelling werd in 1905 bewezen door William Burnside, met behulp van de representatietheorie. De stelling veralgemeent een van de stellingen van Sylow, die het geval bespreekt waar  gelijk is aan 0. 
  
  De stelling van Burnside is lang een van de meest bekende toepassingen geweest van de representatietheorie op de theorie van de eindige groepen, hoewel een bewijs dat het gebruik van groepskarakteristieken vermijdt rond 1970 door D. Goldschmidt werd gepubliceerd.
  
  Grote lijnen van Burnsides bewijs
   Door gebruik te maken van wiskundige inductie, volstaat het te bewijzen dat de enkelvoudige groep , waarvan de orde deze vorm heeft abels is, zodat het bewijs begint door aan te nemen dat  een enkelvoudige groep van orde  is, en er naar streeft te bewijzen dat  abels is.
   Door gebruik te maken van de stellingen van Sylow, heeft  of een niet-triviaal centrum, of heeft  een geconjugeerde klasse van grootte  voor een geheel getal . In het eerste geval moet  abels zijn, door de simpliciteit, daarom mag worden aangenomen dat er een element  van  is, zodat de geconjugeerde klasse van  grootte  heeft.
   Toepassing van de kolomorthogonaliteitrelaties en eigenschappen van de algebraïsche gehele getallen leiden tot het bestaan van een niet-triviaal irreduceerbaar karakter  van , zodat 
  . 
   De simpliciteit van  houdt in dat elke complexe irreduceerbare representatie met karakter  trouw is, en het volgt dat  in het centrum van  zit, dit in tegenstelling tot het feit dat de grootte van de geconjugeerde klasse groter is dan 1.
  
  Referenties
   , (2001). Representations and Characters of Groups (Representaties en karakteristieken van groepen) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Zie hoofdstuk 31.
   , (2002) A First Course in Abstract Algebra (Een eerste cursus in de abstracte algebra) (7th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.
  
  Groepentheorie
  Burnside