title: Delingsalgebra
text: In de abstracte algebra is een delingsalgebra een algebra over een lichaam waarin, eenvoudig gezegd, deling mogelijk is, behalve natuurlijk door 0.
  
  Definitie 
  Een algebra  over een lichaam/veld wordt een delingsalgebra genoemd als er voor elke twee elementen  de vergelijkingen  en  eenduidige oplossingen  hebben.
  
  Een element  kan als het ware uitgedeeld worden.
  
  Een associatieve algebra over een lichaam is een delingsgalgebra dan en slechts dan als het een multiplicatief identiteitselement  heeft en elke  een multiplicatieve inverse heeft.
  
  Associatieve delingsalgebra's
  De meest bekende voorbeelden van associatieve delingsalgebra's zijn de eindigdimensionale reële delingsalgebra's, d.w.z. algebra's over het lichaam  van de reële getallen die eindigdimensionaal zijn als een vectorruimte over de reële getallen. De stelling van Frobenius zegt dat er op isomorfisme na slechts drie van zulke algebra's bestaan: de reële getallen zelf (dimensie 1), de complexe getallen (dimensie 2) en de quaternionen (dimensie 4).
  
  De stelling van Wedderburn zegt dat elke eindige delingsalgebra een eindig lichaam/veld is.
  
  Over een algebraïsch gesloten lichaam  (bijvoorbeeld de complexe getallen ) zijn er geen eindigdimensionale associatieve delingsalgebra's, behalve  zelf.
  
  Associatieve delingsalgebra's hebben geen nuldelers. Een eindig-dimensionale unitaire ring associatieve algebra (over elk willekeurig lichaam) is dan en slechts dan een delingsalgebra als deze algebra geen nuldelers heeft.
  
  Als  een associatieve algebra met eenheidselement over het lichaam/veld  en  een enkelvoudig moduul over  is, dan is de endomorfismenring van  een delingsalgebra over . Elke associatieve delingsalgebra over  treedt op deze manier op.
  
  Het centrum van een associatieve delingsalgebra  over het lichaam  is een lichaam dat  bevat. De dimensie van zo'n algebra over zijn centrum is een kwadraat (tenminste als dit centrum eindig is): het is gelijk aan het kwadraat van de dimensie van een maximaal deellichaam van  over het centrum. Gegeven een lichaam , kunnen de (isomorfismenklassen) van associatieve delingsalgebra's, waarvan het centrum  is en die eindigdimensionaal zijn over , in een groep worden omgezet, de brauer-groep van het lichaam .
  
  Een manier om eindigdimensionale associatieve delingsalgebra's over willekeurige lichamen te construeren wordt gegeven door de quaternion algebra's (zie ook quaternionen).
  
  Voor eindigdimensionale associatieve delingsalgebra's zijn de belangrijkste gevallen die, waar de ruimte een redelijke normale topologie heeft. Beschouw bijvoorbeeld de genormeerde delingsalgebra's en banach-algebra's.
  
  Zie ook
   Genormeerde delingsalgebra
   Delen
   Delingsring
  
  Abstracte algebra
  Ringtheorie