title: Stelling van Riesz-Fischer
text: In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de oorspronkelijke vorm van de stelling van Riesz-Fischer een stelling over een eigenschap van de L2-ruimte van kwadratische integreerbare functies. De stelling werd in 1907 onafhankelijk van elkaar bewezen door Frigyes Riesz en Ernst Sigismund Fischer.
  
  In de literatuur komen inmiddels varianten en generalisaties van deze stelling voor.
  
  Klassieke vorm
  Als  een orthonormaal stelsel is in  en  een rij reële getallen, dan convergeert de reeks  dan en slechts dan als er een functie  is zodanig dat voor iedere  geldt
  
  Dit oorspronkelijke resultaat van Riesz is nu een speciaal geval van basisfeiten over reeksen orthogonale vectoren in hilbertruimten.
  
  Moderne vorm
  De huidig gebruikelijke vorm van de stelling zegt dat een meetbare functie op het interval  dan en slechts dan kwadratisch integreerbaar is, als de bijbehorende fourierreeks convergeert in de -norm. 
  
  Dat houdt in dat voor een kwadratisch integreerbare functie  de partiële sommen 
  
  van de fourierreeks van , waarin  de -de fouriercoëfficiënt is: 
  
  in -norm convergeren naar , dus
  
  En omgekeerd, dat als  een tweezijdige rij complexe getallen is, waarvoor
  
  ,
  
  er een kwadratisch integreerbare functie  bestaat, waarvan de getallen  de fouriercoëfficiënten zijn.
  
  Deze vorm van de stelling van Riesz–Fischer is sterker dan de ongelijkheid van Bessel, en kan gebruikt worden om de gelijkheid van Parseval voor fourierreeksen te bewijzen.
  
  Wiskundige analyse
  Riesz-Fischer