title: Convolutie
text: Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door  (asterisk) of , op twee functies met als resultaat een nieuwe functie: de convolutie van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen).
  Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van een van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.
  
  Het voorbeeld in figuur 1 kan men als volgt bekijken:
   De functies  en  zijn blokfuncties met een waarde 1 op het interval , en de waarde 0 elders.
   Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke  geldt dat  en ), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
   De functie  wordt dan verschoven met een factor , waarbij  varieert van  tot 
   Op het moment dat  gelijk is aan –1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van  met een factor  resulteert in een blokfunctie  die een waarde 1 heeft voor alle waarden  die voldoen aan .
   Zodra  echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij . Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
   Daarna vermindert de overlap weer, en daalt de functie .
  Een gelijksoortige analyse kan men geven bij het voorbeeld in figuur 2.
  
  Voorbeelden
  
  Kansrekening
  Op een druk kruispunt gebeuren elke week wel een of meer ongelukken. Het aantal ongelukken in de komende twee weken is de som van het aantal ongelukken van komende week en van de week daarna. Als de komende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, kan dat de som zijn van 0 volgende week en 5 de week daarna, of 1 komende week en 4 daarna, of 2+3, 3+2, 4+1 of 5+0. Om de kans te bepalen dat de volgende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, moeten de kansen op de genoemde mogelijkheden bij elkaar worden opgeteld. Die kans is de convolutie van de kansen van de komende week en van de week daarna.
  
  Uitleg van figuur 1
  In bovenstaande figuur 1 zien we de convolutie van een blokfunctie met zichzelf. De blokfunctie is gedefinieerd als
  
  Voor de convolutie  geldt:
  
  Omdat 
   voor  en 
  
  volgt voor 
  
  Voor  is
  
  en voor 
  
  De convolutie  is dus een driehoeksfunctie, die getoond wordt in figuur 1.
  
  Definities 
  Laat  en  twee rijen getallen zijn, geïndexeerd door gehele getallen. De convolutie van  en , genoteerd  of , is een nieuwe getallenrij waarvan de algemene term gegeven wordt door
  
  op voorwaarde dat de reekssom absoluut convergeert.
  
  Laat  en  twee meetbare functies zijn op de reële getallen. De convolutie van  en  is een nieuwe functie , met als voorschrift
  
  op voorwaarde dat de integraal bestaat in de absoluut convergente zin van Lebesgue.
  
  Deze bewerking kan als een voortschrijdend gewogen gemiddelde van  gezien worden, met  (of eigenlijk: de spiegeling van ) als rij gewichten.
  
  Opmerking
  In minder theoretische teksten wordt de convolutie van de functies  en , op een enigszins verwarrende manier, wel genoteerd als:
  
  Op de achtergrond speelt daarbij de gedachte dat de expliciete afhankelijkheid van de functies van de onafhankelijke variabele  zichtbaar is.
  
  Eigenschappen
  
  Commutativiteit
  
  Associativiteit
  
  Distributiviteit
  
  Associativiteit met het scalair vermenigvuldigen 
  ,
  
  met  een willekeurig complex (reëel) getal.
  
  Afgeleide 
  ,
  
  met  de afgeleide van  (continu geval) en  (discreet geval).
  
  Convolutiestelling 
  ,
  
  met  de fourier-getransformeerde van .
  
  Gelijkaardige eigenschappen gelden ook voor de Laplacetransformatie:
  
  en de Z-transformatie:
  
  Inverse 
  Soms wordt getracht, door zogeheten deconvolutie, uit de convolutie  van een onbekende functie  en een bekende functie , de onbekende  terug te vinden. Dit is echter in lang niet alle gevallen mogelijk.
  
  Toepassingen
  
  Regeltechniek 
  Convolutie wordt onder meer gebruikt in de systeemtheorie, meer bepaald in de regeltechniek. De functies  en  stellen dan signalen voor. Rijen zijn signalen in discrete tijd, functies met reëel domein zijn signalen in continue tijd.
  
  Een lineair tijdsinvariant systeem  gegeven door de impulsantwoord , geeft als output  de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal :
  
  Deze uitdrukking geldt in de veronderstelling dat alle beginvoorwaarden van het systeem nul zijn (nultoestand).
  
  Coderingstheorie 
  In de coderingstheorie wordt bij een convolutiecode uitgegaan van bijvoorbeeld een binair schuifregister, waaraan een rij te coderen bits toegevoerd wordt. De uitvoer van het schuifregister is het te versturen codewoord; deze uitvoer kan worden opgevat als de convolutie van de pulsresponsie met de ingevoerde bitrij. De lengte van een codewoord is de lengte van de inputrij plus het aantal vertragingselementen in het schuifregister.
  
  Kansrekening 
  De convolutie vindt ook toepassing in de kansrekening. De kansdichtheid van de som van twee onderling onafhankelijke continue stochastische variabelen is de convolutie van de beide afzonderlijke dichtheden. Ook voor discrete stochastische variabelen geldt een overeenkomstige eigenschap.
  
  De som van twee onafhankelijke continue stochastische variabelen is opnieuw continu, en haar dichtheidsfunctie is de convolutie van de twee afzonderlijke dichtheidsfuncties.
  
  1. De stochastische variabelen  en  zijn onderling onafhankelijk en beide exponentieel verdeeld met parameter . De kansdichtheid van de som van beide is voor :
  
  De som  heeft dus een Erlang-verdeling met parameters  en 2.
  
  2. De stochastische variabelen  en  zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met respectievelijke parameters  en . De kansfunctie van de som van beide is voor :
  
  De som  heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter .
  
  Generalisaties
  
  Distributies 
  Door uitbreiding van het begrip partiële integratie wordt de convolutie gedefinieerd op distributies.
  
  De convolutie van een signaal  met een verschoven dirac-impuls  is: 
  , 
  want  is overal nul, behalve voor .
  
  , want  is overal nul, behalve voor , waar geldt dat .
  
  dus telkens een verschuiving.
  
  Topologische groepen 
  De natuurlijke thuishaven van de convolutie is die van een lokaal compacte groep  met een linksinvariante maat , de zogenaamde Haar-maat. We noteren de groepsbewerking multiplicatief met het symbool  bijvoorbeeld  is het product van  en  Als  en  Haar-integreerbare functies zijn, wordt hun convolutie  gedefinieerd door het voorschrift
  
  Bovenstaande definities voor de convolutie van rijen of van reële functies zijn hiervan de speciale gevallen voor de optelgroepen der gehele getallen (met de telmaat) respectievelijk de reële getallen (met de lebesgue-maat).
  
  Functionaalanalyse
  Signaalanalyse