title: Conservatief vectorveld
text: Een conservatief of exact vectorveld is een vectorveld dat de gradiënt van een scalair veld is en een scalair veld is een functie  op een meerdimensionale ruimte. De waarden die  aanneemt zijn scalairen en worden de potentiaal genoemd. Een conservatief vectorveld heeft de eigenschap dat de lijnintegraal van een punt  naar een punt  onafhankelijk is van het gekozen pad van  naar .
  
  Conservatieve vectorvelden spelen een belangrijke rol in de natuurkunde, onder andere in de vorm van de krachten die werken in een gesloten systeem, waarbij dus de energie behouden blijft. Dit maakt het mogelijk de potentiële energie te definiëren onafhankelijk van het gekozen pad.
  
  Definitie 
  Een vectorveld  heet conservatief, als er een functie
   
  
  is, zodanig dat:
   .
  
  Afhankelijk van de toepassing en de conventie wordt ook wel de relatie  gekozen. De functie  wordt een potentiaal van het veld genoemd en is op een constante term na bepaald. De operator  of nabla is de gradiënt.
  
  Stellingen 
   Een conservatief vectorveld  is rotatievrij: 
   Als er een gebied is waar een vectorveld rotatievrij en continu differentieerbaar is, dan is het vectorveld in dat gebied conservatief.
   Een lijnintegraal in een conservatief vectorveld is onafhankelijk van de gevolgde weg. Voor elke kromme  van het punt  naar het punt  geldt:
   
   Uit de voorgaande stelling volgt dat een kringintegraal in een enkelvoudig samenhangend gebied van een conservatief vectorveld dat in het beschouwde gebied conservatief is, gelijk is aan 0.
   Noem  de componenten van . Dan zijn de partiële afgeleiden:
  
  Van conservatief vectorveld naar potentiaalfunctie 
  Gegeven het vectorveld
   
  Dit veld is inderdaad conservatief want
   ,  en 
  
  Er bestaat dus een potentiaalfunctie  waarvan  de gradiënt is. Die kan worden berekend aan de hand van de componenten van , want dat zijn de partiële afgeleiden van . Te beginnen bijvoorbeeld met de -component:
   
  
  Bij het integreren van  naar  moet rekening worden gehouden met termen in , waarin de variabele  niet voorkomt, dus die in de component  niet terugkomen. De functie  kan worden gevonden door te eisen dat de partiele afgeleide van  naar  gelijk is aan . Dit leidt hier tot:
   
  zodat
   
  waar  een term van  is die ook niet afhangt van  en waarvan geen spoor in  terug is te vinden. Dus:
   
  
  De functie  kan worden gevonden door de partiële afgeleiden van  naar  te differentiëren en gelijk aan  te stellen:
   
  zodat 
   
  waarin  een willekeurige reële constante is.
  
  Ten slotte:
   
  Deze rekenmethode kan ook in vectorruimten  van meer dimensies worden gebruikt of met twee variabelen wanneer de dimensie twee is.
  
  Meetkunde
  Veldentheorie