title: Stelling van Heine-Borel
text: In de wiskundige analyse, maar ook in de topologie van de metrische ruimten geeft de stelling van Heine-Borel, genoemd naar Eduard Heine en Émile Borel, een verband aan tussen compacte verzamelingen en de eigenschap van bepaalde verzamelingen om gesloten en begrensd te zijn
  
  Voor een deelverzameling  van de Euclidische ruimte  zijn de onderstaande twee uitspraken equivalent:
    is gesloten en begrensd
   elke open dekking van  heeft een eindige deeloverdekking, dat wil zeggen dat  compact is.
  
  In de context van de reële analyse, wordt de eerste eigenschap soms gebruikt als een definiërende eigenschap van compactheid. De twee definities houden echter op equivalent te zijn als we deelverzamelingen van meer algemene metrische ruimten beschouwen in het meer algemene geval wordt alleen de laatste eigenschap gebruikt om compactheid te definiëren. In feite luidt de stelling van Heine-Borel voor willekeurige metrische ruimten als volgt:
  
  Een deelverzameling van de metrische ruimte is dan en slechts dan compact als deze deelverzameling compleet en totaal begrensd is.
  
  Geschiedenis 
  De geschiedenis van wat nu de stelling van Heine-Borel wordt genoemd begint in de 19e eeuw, met het zoeken naar een solide fundament voor de reële analyse. Centraal in de stelling was het concept van uniforme continuïteit en de stelling beweert dat elke continue functie op een gesloten interval uniform continu is. Johann Dirichlet was de eerste die dit bewees. Impliciet gebruikte hij in zijn bewijs het bestaan van een eindige deeloverdekking van een gegeven open overdekking van een gesloten interval'. Hij gebruikte dit bewijs in zijn colleges uit 1862, die pas in 1904 werden gepubliceerd. Later gebruikten Eduard Heine, Karl Weierstrass en Salvatore Pincherle soortgelijke technieken. Émile Borel was in 1895 de eerste die wat nu de stelling van Heine-Borel wordt genoemd exact formuleerde en ook bewees. Zijn formulering beperkte zich tot aftelbare verzamelingen. Henri Lebesgue (1898) en Schoenflies (1900) veralgemeenden dit resultaat naar willekeurige overdekkingen.
  
  Te bewijzen 
  Beschouw  met de gewone metriek. Stel . Dan is  compact als en slechts als  gesloten en begrensd is.
  
  Bewijs 
  Het bewijs bestaat logischerwijs uit twee delen: eerst nemen we aan dat  compact is, en bewijzen we dat  dan gesloten en begrensd is. Vervolgens bewijzen we de stelling in de andere richting.
  
  Stel dus eerst dat  compact is. We gaan aannemen dat  niet begrensd zou zijn, om zo tot een tegenspraak te komen. Bekijk nu de familie  gedefinieerd door 
  . 
  Dan is  een open deeloverdekking van . De unie van eindig veel elementen uit  is van de vorm 
   met . 
  Precies omdat  niet begrensd is kan  dus geen eindige deeloverdekking hebben.
  
  Anderzijds, stel dat  en  niet gesloten is. Dan bestaat er een  zo, dat elke open bol rond  punten met  gemeen heeft. Definieer nu een familie  door 
  . 
  De vereniging van alle elementen uit  is duidelijk gelijk aan  en  is daar een deel van omdat .
  
  De vereniging van eindig veel elementen uit  is van de vorm 
   
  voor een zekere . Als nu 
  , geldt dat 
  , 
  en dat is onmogelijk! Immers, bij veronderstelling dat elke open bol, dus zeker ook elke gesloten bol, punten gemeen heeft met . Er bestaat dus geen eindige deeloverdekking.
  
  Het is nuttig op te merken dat dit deel van de stelling in een willekeurige metrische ruimte geldt.
  
  Stel nu dat  gesloten en begrensd is. Stel dat  een open overdekking van  is. Onderstel dan dat eindig veel elementen van  nooit voldoende zijn om  te overdekken. We proberen nu om te komen tot een tegenspraak. Merk dat  zeker niet leeg is!
  
  Omdat  begrensd is, bestaat er een -dimensionale gesloten kubus  die  volledig omvat. Noteer met  de lengte van de ribbe van deze kubus. Verdeel de kubus dan in  gelijke gesloten kubussen met ribbe  door elke ribbe precies in twee te verdelen. De doorsnede van  met elk van deze kleinere kubussen is dan telkens een gesloten deelverzameling van . Minstens een van de niet-lege delen van  kan niet overdekt worden door eindig veel elementen van . Stel dat  zo een deel is, noteer dan de bijbehorende kubus met .
  
  Als we deze procedure herhalen, dan bekomen we een rij  van niet-lege gesloten verzamelingen zodat  en zo dat  voor elke . Bovendien krijgen we ook een rij  van gesloten kubussen zo dat  voor elke n en zo dat elke  een ribbe heeft met lengte . We hebben dan de eigenschap dat geen enkele verzameling  overdekt kan worden door eindig veel elementen uit .
  
  Kies nu voor elke  een element . Stel . Als , geldt dat 
   
  en analoog dat 
  .
  
  Er volgt dan dat 
  
  De rij  is dus een cauchyrij in . We weten ook dat  volledig is, dus convergeert  met een limiet .
  
  Kies . Voor alle  geldt dan dat .
  
  Omdat  gesloten is, volgt dat . En omdat  bestaat er een  zo, dat .
  
  Omdat  open is, bestaat er dan een  zo, dat :.
  
  Kies dan  zo, dat .
  
  Omdat , vinden we dat  ,
  en dus geldt dat , wat zou betekenen dat  overdekt wordt door één element van . Dit is de tegenspraak waarmee het bewijs volledig is.
  
  Wiskundige analyse
  Heine-Borel, Stelling van