title: Supertorus
text: Een supertorus of supertoroïde is de veralgemening van een torus. De benaming wordt zowel gebruikt voor het oppervlak als voor het lichaam dat door het oppervlak begrensd wordt. Deze verzameling van oppervlakken werd voor het eerst beschreven door Alan Barr.  Alle supertorussen zijn topologisch equivalent aan een torus in de zin dat ze de vorm hebben van een schijf met een gat in het midden.
  
  Parametergelijkingen
  Er zijn meerdere mogelijkheden om parametervergelijkingen voor een supertorus te kiezen. Naarmate de vergelijkingen meer vrije constanten A, B, ... bevatten zijn meer mogelijke vormen en varianten van vormen te bekomen.
  De parametervergelijkingen die A. Barr voorstelde zijn:
  
  waarbij
    en  
   en 
  en
  
  en waarbij  de signumfunctie is.
  In de hulpfuncties  en  wordt het teken, positief of negatief, afgezonderd van de cosinus of sinus voordat de macht  ervan genomen wordt. Dit is nodig omdat een negatieve macht enkel van een positief getal kan genomen worden.
  
  Parametervergelijkingen met meer constanten laten meer mogelijke vormen toe. De meest algemene vorm is:
  
  met vijf constanten A tot en met E.
  
  Het is daarbij niet nodig nog bijkomende constanten te voorzien bij de termen  in de uitdrukkingen van  en . Deze zouden geen extra vrijheden toevoegen omdat ze buiten de haakjes in de constanten C en D kunnen worden opgenomen in c, in combinatie met een aanpassing van A en B. Bij voorbeeld:
   wordt  en ten slotte
  
  Symmetrieën 
  Wanneer de parameterwaarde  door  wordt vervangen wordt in plaats van een punt  op het oppervlak het punt  bereikt. Verder, wanneer de parameterwaarde  door  wordt vervangen wordt in plaats van een punt  op het oppervlak het punt  bereikt. En ten slotte, wanneer de parameterwaarde  door  wordt vervangen wordt in plaats van een punt  op het oppervlak het punt  bereikt. Deze transformaties in de variabelen hebben tot gevolg dat:
  de figuur symmetrisch is tegenover elk coördinaatvlak, het XY-vlak, het XZ-vlak en het YZ-vlak.
  de figuur symmetrisch is tegenover elke coördinaatas, de X-as, de Y-as en de Z-as.
  de figuur symmetrisch is tegenover de oorsprong van het assenkruis.
  
  Effecten van de vrije constanten en machten
  
  Wanneer de meest algemene vorm beschouwd wordt kunnen de constanten C, D en E gebruikt worden om de figuur uit te rekken of samen te drukken in respectievelijk de X-, de Y- en de Z-richting want de variabelen ,  en  zijn recht evenredig met deze constanten. De onderlinge verhouding van A en B bepaalt in welke mate de supertorus een algemene cirkelvorm heeft (A=B) of een ellipsvorm (A B ). De grootte van A en B controleert de verhouding van de diameter van de torus tegenover zijn dikte. 
  De machten  en  zijn 1 voor een gewone torus waarbij de hoofdvorm cirkelvormig is, en de doorsnede langsheen die hoofdvorm eveneens. Bij waarden kleiner dan 1 wordt een meer hoekige vorm bekomen, bij waarden groter dan 1 een meer puntiger vorm zoals men die bij een astroïde vindt. De effecten van de twee machten worden geïllustreerd door de bijgaande figuur. De daar getoonde supertorusseni werden getekend aan de hand van de meest algemene parametervergelijkingen met A = B = 3 en C = D = E = 1.
  
  Cartesiaanse vergelijking
  Het is mogelijk een Cartesiaanse vergelijking van een torus te vinden in de vorm van een impliciete functie. Echter, indien de constanten A en B uit de meest algemene vorm ongelijk zijn leidt dit tot een ingewikkelde vergelijking. Hoe dan ook zijn de parametervergelijkingen veel beter geschikt om een figuur van een supertorus te berekenen.
  Wanneer in de meest algemene vergelijkingen  de twee vrije constanten A en B gelijk gekozen worden vindt men:
  
  Dan kan dus een Cartesiaanse vergelijking gevonden worden omdat beide machten dan kunnen geëlimineerd worden door middel van de grondformule van de goniometrie. Die vergelijking is:
  
  Zie ook
  Superellipsoïde
  Superkwadratisch oppervlak
  
  Referenties
  
  Oppervlak