title: Kansgenererende functie
text: In de kansrekening is de kansgenererende functie van een discrete stochastische variabele met natuurlijke getallen als waarden, een machtreeks met de verschillende kansen als coëfficiënten. De kansgenerende functie is onder andere nuttig voor het berekenen van de variantie en de verwachtingswaarde van een stochastische variabele.
  
  Definitie
  Als  een discrete stochastische variabele is met uitsluitend natuurlijke getallen als waarden, is de kansgenererende functie van  gedefinieerd als:
  
  Eigenschappen
  
  Genereren van kansen
  De kansgenererende functie genereert inderdaad de kansen:
  
  Verwachtingswaarde en variantie 
  Als , is:
  
  en
  
  Gelijke verdeling 
  Omdat de kansgenererende functie eenduidig met de kansen verbonden is, hebben twee stochastische variabelen dezelfde verdeling als hun kansgenererende functies gelijk zijn.
  
  Momentgenererende functie 
  Tussen de kansgenererende functie en de momentgenererende functie bestaat de volgende relatie:
  
  Som van twee stochastische variabelen
  De kansgenererende functie van de som  van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen is het product van de beide afzonderlijke kansgenererende functies, immers:
  
  Voorbeelden
  
  Ontaarde verdeling
  De kansgenererende functie van een in het punt  gedegenereerde verdeling, waarvoor dus , is
  
  Bernoulli-verdeling
  De kansgenererende functie van de bernoulli-verdeling met parameter ,  is
  
  Binomiale verdeling
  De kansgenererende functie van de binomiale verdeling met parameters  en , is
  
  Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de Bernoulli-verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.
  
  Geometrische verdeling
  De kansgenererende functie van de geometrische verdeling met parameter ,  is
  
  Negatief-binomiale verdeling
  De kansgenererende functie van de negatief-binomiale verdeling met parameters  en ,  is
  
  Merk op dat dit de -de macht is van de kansgenererende functie van de geometrische verdeling, in overeenstemming met een van de bovengenoemde eigenschappen.
  
  Poisson-verdeling
  De kansgenererende functie van de poisson-verdeling met parameter , is
  
  Kansrekening