title: Superellipsoïde
text: Een superellipsoïde is een omwentelingslichaam van een superellips waarbij de wenteling gebeurt door middel van een andere superellips, in plaats van door middel van een cirkel zoals bij een klassiek omwentelingslichaam. In dat laatste geval ontstaat een superei, dat dus een speciaal geval is van de superellipsoïde.
  
  Vergelijkingen
  De Cartesiaanse vergelijking van het oppervlak van de superellipsoïde is
  
  waarbij de parameters  en  positieve reële getallen zijn. 
  Wanneer deze vergelijking met een ongelijkgelijkheidsteken () geschreven wordt verkrijgt men het volledige lichaam begrensd door dat oppervlak.
  Mogelijke parametervergelijkingen van de superellips zijn:
  
  waarbij  en .
  
  en waarbij
  
  Hierbij staat  voor de signumfunctie.
  
  Een superellips gewenteld langsheen een andere superellips
  De doorsnede met een horizontaal vlak  is een superellips met vergelijking
  
  Merk opdat het rechterlid constant is zodat het 1 kan gemaakt worden door het huidige rechterlid binnen de machten in het linkerlid te brengen om te voldoen aan de vorm van de vergelijking van een algemene superellips, hier met exponent .
  
  De doorsnede met een verticaal vlak dat de Z-as bevat is eveneens een superellips. Dat vlak wordt bepaald door de hoek  die het maakt met het XZ-vlak, zodat men kan gebruik maken van de substituties  en  om zich in dit vlak te begeven. Wanneer deze uitdrukkingen in de algemene Cartesiaanse vergelijking van de superellipsoïde geplaatst worden bekomt men:
  
  waarbij
  
  Deze grootheid  is constant en kan dus binnen de machten in het linkerlid gebracht worden zodat het verband tussen  en  voldoet aan de vorm van de vergelijking van een algemene superellips, hier met exponent .
  
  Symmetrieën
  In de algemene Cartesiaanse vergelijking komen de drie variabelen ,  en  voor binnen absolute waarden. Dit maakt dat de vergelijking niet verandert wanneer  door ,  door  of  door  wordt vervangen. De figuren blijven daardoor ongewijzigd onder deze transformaties. Dit betekent dat:
  de figuur symmetrisch is tegenover elk coördinaatsvlak, het XY-vlak, het XZ-vlak en het YZ-vlak.
  de figuur symmetrisch is tegenover elke coördinaatsas, de X-as, de Y-as en de Z-as.
  de figuur symmetrisch is tegenover de oorsprong van het assenkruis.
  
  Mogelijke vormen
  
  De superellips kan tal van vormen aannemen naargelang de gekozen parameterwaarden  en . De constanten ,  en  hebben geen invloed op de eigenlijke vorm. Die kunnen wel gebruikt worden om de vorm samen te drukken of uit te rekken in de richting van (respectievelijk) de X-as, de Y-as of de Z-as. Hoe groter zo'n constante, hoe uitgerekter in de overeenstemmende richting X, Y of Z.
  Om de vormen te catalogeren kan men de twee parameters vervangen door twee andere:
   en 
  Dit maakt het mogelijk gevallen waarbij  en/of  oneindig groot worden makkelijk te beschrijven want dan worden  en/of  nul. De nevenstaande figuur, waarin de constanten ,  en  gelijk werden gekozen, maakt gebruik van deze alternatieve parameters.
  De parameterwaarden voor enkele speciale gevallen zijn:
  Kubus: 
  Cilinder: 
  Sfeer  
  Dubbele kegel: 
  Octaëder:  of 
  Bicilinder:  (doorsnede van twee gelijke cilinders met assen die elkaar loodrecht snijden.)
  
  Zie ook
  superellips
  superei
  
  Referentie
  
  Oppervlak