title: Stoptijd
text: In de kansrekening is een stoptijd in een stochastisch proces een toevallig tijdstip, dat wil zeggen een toevalsvariabele met als waarde een tijdstip, waarvan de realisatie afhangt van een speciale gebeurtenis bij het stochastische proces. Een stoptijd heeft als eigenschap dat kennis van het proces tot en met een gegeven vast tijdstip volstaat om te weten of het toevallige tijdstip tot dan reeds heeft plaatsgehad.
  
  Definitie
  Formeel wordt een stoptijd op een kansruimte  gedefinieerd ten opzichte van een stijgende rij deel-sigma-algebra's  van  die geïndexeerd worden door een totaal geordende "tijdstippenverzameling" :
  voor alle  is .
  
  We veronderstellen dat op de tijdstippenverzameling  een sigma-algebra gegeven is. In praktische voorbeelden is  meestal de verzameling der natuurlijke of niet-negatieve reële getallen, eventueel uitgebreid met het element "oneindig"; dan is deze aanvullende voorwaarde alvast geen probleem.
  
  Een toevalsvariabele  heet stoptijd (ten opzichte van de stijgende familie sigma-algebra's) als voor alle 
  
  Vaak is de stijgende familie sigma-algebra's, gewoon de informatie over het verleden van een stochastisch proces :
  
  Daarom wordt gesproken van een "stoptijd ten opzichte van een proces".
  
  Voorbeeld
  
  Zij  en zij  de eendimensionale stochastische wandeling. Voeg aan  nog de waarde oneindig toe en spreek arbitrair af dat .
  
  Definieer  als het kleinste tijdstip waarop de absolute waarde van het proces de waarde 10 overschrijdt:
  
  We spreken af dat het minimum van de lege verzameling oneindig bedraagt.
  
  Dan is  een stoptijd, omdat de gebeurtenis  kan worden herschreven in termen van het verleden van het proces:
  
  en het rechterlid definieert duidelijk een gebeurtenis die meetbaar is ten opzichte van de stam, voortgebracht door de eerste  variabelen van het proces.
  
  Dit is een bijzonder geval van een algemenere klasse stoptijden die inkomtijden heten.
  
  Toepassing
  Onder bepaalde voorwaarden is de verwachting van een martingaal, geëvalueerd op een stoptijd, gelijk aan de algemene verwachting van de martingaal. Met behulp van deze intuïtief duidelijke vaststelling worden krachtige resultaten verkregen in de studie van martingalen in het algemeen, en van de brownse beweging in het bijzonder.
  
  Met name de recurrentie van de toevallige wandeling en de brownse beweging in twee dimensies, en hun transiëntie in drie of meer dimensies, wordt het eenvoudigst aangetoond met behulp van stoptijden.
  
  Kansrekening