title: Mersennepriemgetal
text: In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm , met  een natuurlijk getal.
  
  Getallen  van de vorm
  
  worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent  een priemgetal is. Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.
  
  Als  een mersennepriemgetal is, is de exponent  zelf ook een priemgetal. Immers:
  
  Geschiedenis 
  
  Mersenne claimde in 1644 dat  priem is als , maar dat  een samengesteld getal is wanneer  een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast.  en  zijn geen priemgetallen, terwijl ,  en  dit juist wel zijn.
  
  Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden. Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in december 2018 gevonden: het is 282 589 933−1. Het was het 51e mersennepriemgetal dat is gevonden.
  
  Theorie 
  
  De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn
  
  Hoewel mersennegetallen  alleen priem kunnen zijn als  ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen  die geen priemgetal zijn, terwijl  dat wel is.
   
  Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal
  
  Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.
  
  Perfecte getallen en mersennepriemgetallen 
  Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk  een priemgetal is, dan is  een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als  waarbij  een priemgetal is en  een mersennepriemgetal.
  
  Voorbeeld: voor  geldt dat  een priemgetal is, en  een perfect getal is.
  
  Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.
  
  Bekende mersennepriemgetallen 
  Er zijn op dit moment 51 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in december 2018 gevonden.
  
  Getaltheorie
  Natuurlijk getal
  Priemgetal