title: Formule van Newton-Cotes
text: Een formule van Newton-Cotes, genoemd naar de bedenkers Isaac Newton en Roger Cotes, is een formule voor de numerieke benadering van een integraal als gewogen som van functiewaarden in equidistante punten. De basisgedachte daarbij is de integrand te benaderen door een polynoom en de benaderende polynoom exact te integreren.
  
  Definitie 
  Gegeven is de op het interval  integreerbare functie  Het interval wordt opgedeeld in  deelintervallen van gelijke lengte, de zogeheten stapgrootte  door:
  
  Het getal  heet de orde van de benadering. De functie  wordt benaderd met behulp van de bij de opdeling behorende Lagrange-polynomen door:
  
  De benadering voor de integraal van  over  is:
  
  dus als gewogen som van de functiewaarden in de deelpunten, met als gewichtsfactoren:
  
  In deze definitie worden de eindpunten  en  in de benadering meegenomen: we spreken van een gesloten formule. Op analoge wijze kunnen ook zogenaamde open formules afgeleid worden, waarin de eindpunten  en  geen deelpunten zijn. Er zijn daarvoor verschillende methoden in gebruik. Sommige gebruiken de punten  zoals boven, andere kiezen
  
  In de tabel staan voor de gesloten formules de genormeerde gewichtsfactoren:
  
  {| class="wikitable" align=center
  ! orden
  ! methode 
  ! gewichtsfactorenωi
  |-
  | 1 || trapeziumregel
  || 
  |-
  | 2 || regel van Simpson
  || 
  |-
  | 3 || 3/8 - regel
  || 
  |-
  | 4 || regel van Boole
  || 
  |-
  | 5 ||
  || 
  |-
  | 6 || 
  || 
  |}
  
  Opmerking 
  De regel van Boole wordt ook wel regel van Bode genoemd. Dit berust op een typefout uit het verleden waarbij Boole gelezen is als Bode.
  
  De gewichtsfactoren voor hogere ordes zijn:
  
  41 216 27 272 27 216 41 / 840
  751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 / 17280
  989 5888 −928 10496 −4540 10496 −928 5888 989 /28350
  2857 15741 1080 19344 5778 5778 19344 1080 15741 2857 / 89600
  
  De oneven rijen hebben een lagere graad van algebraïsche nauwkeurigheid dan de even rijen.
  De hogere even rijen hebben negatieve coëfficiënten, wat de afrondingsfouten verhoogt.
  De regel van Simpson wordt verreweg het meest toegepast, vooral omdat hij eenvoudig is en toch redelijk nauwkeurig.
  
  Voor een nauwkeurige benadering is het enerzijds van belang de orde van de benadering laag te kiezen en anderzijds dat de integrand niet te veel verandert over de deelintervallen. Deze eisen zijn tegenstrijdig, zodat men het integratiegebied wel opdeelt in subintervallen en in elk subinterval weer een lage orde benadering bepaalt. Voorbeelden hiervan zijn de regel van Milne en de regel van Weddle.
  
  Berekening van de gewichten 
  Aan een voorbeeld is goed te zien hoe de gewichtsfactoren berekend worden. Zonder de algemeenheid te schaden kiezen we  en  We bekijken het geval  dus
  
  Voorbeeld 
  We benaderen de oppervlakte van een kwart cirkel boven de -as, om 0 en met straal 1.
  We kiezen  en berekenen:
  
  Vergelijk het resultaat met de exacte waarde:
  
  Isaac Newton
  Numerieke wiskunde
  Integraalrekening