title: Euler-lagrange-vergelijking
text: In de variatierekening is de euler-lagrange-vergelijking (of lagrange-vergelijking) een differentiaalvergelijking, waarvan de oplossingen functies zijn, waarvoor een gegeven functionaal stationair is. De vergelijking werd in de jaren 1750 opgesteld door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler en de Italiaans-Franse wiskundige Joseph Louis Lagrange. 
  
  Omdat een differentieerbare functionaal stationair is in haar lokale maxima en minima, wordt de euler-lagrange-vergelijking gebruikt bij het oplossen van optimaliseringsproblemen, waarin men, gegeven een bepaalde functionaal, de minimaliserende (of maximaliserende) functie zoekt. Dit is analoog aan Fermats stationaire punten stelling in de analyse, die stelt dat als een differentieerbare functie een lokaal extreem bereikt, haar afgeleide gelijk is aan nul. 
  
  In de lagrangiaanse mechanica wordt de evolutie van een natuurkundig systeem, vanwege het principe van Hamilton van stationaire actie, voor de actie van dit systeem beschreven door de oplossingen van de euler-lagrange-vergelijking. In de klassieke mechanica is de euler-lagrangevergelijking gelijk aan de bewegingswetten van Newton, maar heeft de vergelijking het voordeel dat zij in elk systeem van gegeneraliseerde coördinaten dezelfde vorm aanneemt.
  
  Definitie 
  De euler–lagrange-vergelijking is de gewone differentiaalvergelijking
  
  Daarin is  een reëelwaardige functie met continue eerste partiële afgeleiden, en zijn  en  de partiële afgeleiden van  met betrekking tot het tweede en derde argument.
  
  Als de dimensie van de ruimte  groter is dan 1, is dit een systeem van differentiaalvergelijkingen, een voor elke component:
  
  De oplossing van de euler–lagrange-vergelijking is een functie  van een reëel argument  die een stationair punt is van de functionaal (actie)
  ,
  
  waarin  de differentieerbare functie is die moet worden gevonden, waarvoor  en  
  
   de afgeleide is van :
  
  en waarbij  de raakbundel van   is (de ruimte van mogelijke waarden van afgeleiden van functies met waarden in ).
  
  Voorbeeld
  Zoek de reëelwaardige functie  op het interval , met  en  waarvoor de lengte van de grafiek van  zo klein mogelijk is. Die lengte is
  
  De integrand is:
  
  De partiële afgeleiden zijn:
  
  en
  
  Dat geeft voor de euler–lagrange-vergelijking: 
  
  waaruit volgt
  
  Dus de grafiek is een rechte lijn.
  
  Partiële differentiaalvergelijking
  Variatierekening