title: Lijnvermenigvuldiging
text: Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen  en , die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal  een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt  van een punt  in dat vlak.
  
  Het beeld  van ieder punt  bij een lijnvermenigvuldiging  wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):
   Het punt  (verderop ter onderscheid, bij een punt , ook wel geschreven als ) is het snijpunt met de lijn  van de lijn  die door het punt  gaat en die evenwijdig is met de lijn .
   Het punt  ligt zó op de lijn  dat .
   Als  is, dan liggen  en  aan dezelfde kant van . Is , dan liggen  en  aan verschillende kanten van  (het punt  ligt dan op het lijnstuk ).
  
  Naamgeving 
  De lijn  is de affiniteitsas (of collineatie-as) van , kortweg ook wel de as van . De (richting van de) lijn  is de richting van . Het getal  is de (vermenigvuldigings)factor van .
  
  Als  en  niet loodrecht op elkaar staan, dan is  scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as  met richting .
  
  Als  loodrecht staat op , dan is  recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as . In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.
  
  Als  is, is  de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt  is dan .
  
  Een andere definitie 
  
  De factor  kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt  en het beeldpunt  daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn  gekozen.
  
  Liggen  en  daarbij aan verschillende kanten van  (het snijpunt van  en ), dan is  negatief; zie figuur 2, waarin .
  
  N.B. Als het getal  op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn  liggend punt  van de verbindingslijn tussen  en het te vermenigvuldigen punt  speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.
  
  Eigenschappen 
  In deze paragraaf is  een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as , met richting  en met .
  De lijn  is invariant onder : voor ieder punt  van  is .
  De lijn  wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt  van  geldt dat  op de lijn  ligt, waarbij dan  (als , dan is , en die waarde is uitgesloten).
  Een rechte lijn wordt door  afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn  (mits die lijn niet evenwijdig is met ).
  Een deelverhouding  op een lijnstuk is gelijk aan de (door  ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin .
  Evenwijdige lijnen worden door  afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.
  Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.
  
  Twee toepassingen 
  
  1. Bij grafieken van functies (in een standaard -assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:
  a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de -as;
  b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de -as.
  
  Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie  weergegeven op het interval .
  Het beeld van (de grafiek van)  is bepaald met de verticale vermenigvuldiging  waarbij ; daarbij is . De grafiek van het -beeld van de grafiek van  heeft daarmee het voorschrift:
  
  In dezelfde figuur is op  ook de horizontale vermenigvuldiging  met  toegepast, beperkt tot het interval  op de -as. Daarbij is  en .
  
  Is nu , voor , dan is:
  
  zodat:
   en 
  
  Omdat zo’n punt  op de grafiek van  ligt, geldt ook:
  
  Daaruit volgt door substitutie:
  
  Het functievoorschrift van het -beeld van de (grafiek van de) functie  is dan:
  
  2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.
  
  Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin  een middellijn is van de cirkel . De vergelijking van , met middelpunt  en straal , is in een standaard -assenstelsel:
  
  Voor een punt  op  is , waarbij  de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve -as en het lijnstuk  (met ).
  
  Wordt op  de verticale vermenigvuldiging  toegepast met factor  (hier is ), dan geldt voor :
   of ook: 
  Dus is:
  
  Kwadrateren geeft nu de relatie:
  
  De meetkundige plaats van de punten  bij veranderende waarden van  heeft dan de vergelijking:
  	 
  Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt  waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan  en .
  
  In figuur 6 is ook de cirkel , met middelpunt  en straal , weergegeven. Voor het snijpunt  van  met  is .
  
  Wordt nu op de cirkel  de horizontale vermenigvuldiging  met factor  toegepast, dan geldt voor het beeldpunt  van :
  
  En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel  hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel : in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt  en halve assen  en .
  
  Uitbreiding tot  
  
  De lijn  moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak  om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting  te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging . De lijn  moet daarbij het vlak  snijden.
  
  De constructie van het beeldpunt  van  gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.
  De lijn  gaat door het punt  en is evenwijdig met de lijn .
  Het punt  is het snijpunt van de lijn  met het vlak .
  Het punt  ligt zó op de lijn  dat . Als  is, dan liggen  en  aan dezelfde kant van ; is , dan liggen  en  aan verschillende kanten van  (dus aan verschillende kanten van het vlak ).
  
  Zie ook 
  Verschalen (meetkunde)
  Homothetie (meetkunde)
  Lineaire transformatie
  Parametervergelijking
  Toegevoegde middellijnen bij een ellips
  Constructie van Rytz van toegevoegde middellijnen
  Projectie (wiskunde)
  
  Externe links 
  Math4all: Functies en grafieken, Transformaties. Via de website.
  : Affiene afbeeldingen van het vlak op zichzelf. Via de website PandD.
  
  Meetkunde
  Grafiek