title: Gedomineerde convergentie
text: In de integraalrekening is een belangrijk vraagstuk, onder welke omstandigheden limieten en integralen mogen verwisseld worden. De stelling van de gedomineerde convergentie garandeert dat dit onder bepaalde algemene voorwaarden toegelaten is voor een rij functies waarvan de absolute waarden globaal begrensd worden door één integreerbare functie.
  
  De gedomineerde convergentiestelling werd bewezen door Henri Lebesgue als onderdeel van zijn nieuwe integratietheorie. Het begrip integreerbaarheid slaat hierna steeds op de Lebesgue-integraal.
  
  Stelling
  Zij  een rij integreerbare functies die bijna overal naar een functie  convergeren, en zij  een niet-negatieve integreerbare functie met de eigenschap dat voor elke 
   bijna overal
  
  Dan is  integreerbaar, en
  
  De integreerbare functie  domineert de termen van de rij. De stelling zegt dat integralen en limieten mogen verwisseld worden, op voorwaarde dat de hele rij globaal door een integreerbare functie begrensd wordt.
  
  Tegenvoorbeeld
  Het volgende voorbeeld toont dat de conclusie niet meer gegarandeerd blijft als er geen dominerende functie  gegeven is. Zij
  
  de indicatorfunctie van het gesloten eenheidsinterval, verschoven over een afstand  Dan is
  
  en
  
  Maar de integraal van de limietfunctie is 0, niet 1.
  
  De omhullende functie  van de rij is de constante 1, en die is niet integreerbaar.
  
  Toepassing
  Reekssommen zijn een bijzonder geval van limieten. Veronderstel dat de partieelsommen van een reeks functies bijna overal begrensd worden (in absolute waarde) door een gegeven integreerbare functie. Uit de stelling van de gedomineerde convergentie volgt dan dat de reeks bijna overal convergeert, dat de reekssom een integreerbare functie is, en dat de integraal van de som gelijk is aan de som van de integralen.
  
  Met name de Fourieranalyse maakt veel gebruik van functiereeksen en hun integralen, en het waren Fourierreeksen die Lebesgue tot zijn integratietheorie (en de gedomineerde convergentiestelling) inspireerden.
  
  Zie ook
  De gedomineerde convergentiestelling is verwant met de monotone convergentiestelling van Beppo Levi.
  
  Integraalrekening
  Wiskundige stelling