title: Darbouxintegraal
text: In de analyse, een tak van de wiskunde, is de darbouxintegraal een van de mogelijke definities van de integraal van een functie. De darbouxintegraal is equivalent aan de riemannintegraal, in de zin dat een functie dan en slechts dan darbouxintegreerbaar is, als zij riemannintegreerbaar is, en in dat geval de integralen aan elkaar gelijk zijn. De definitie van de darbouxintegraal is eenvoudiger dan die van de riemannintegraal. De integraal is genoemd naar de Franse wiskundige Gaston Darboux, aan wie de integraal meestal wordt toegeschreven. De basisgedachte achter de darbouxintegraal is dezelfde als van de riemannintegraal en vanwege de equivalentie wordt de darbouxintegraal vaak riemannintegraal genoemd.
  
  Beide integralen verdelen het integratie-interval in deelintervallen met toenemende verfijning. Waar Riemann de integraal over een deelinterval benadert door een geschikte rechthoek boven dat deelinterval, sluit Darboux de integraal in tussen twee rechthoeken als uiterste waarden, de kleinste rechthoek die het gehele oppervlak onder de grafiek omvat en de grootste rechthoek die in dit oppervlak bevat is.
  
  Definitie
  
  Voor de definitie van de darbouxintegraal zijn enkele begrippen nodig.
  
  Een verdeling  van het interval  is een eindige rij getallen van de vorm:
  
  Elk interval  heet een deelinterval van de verdeling.
  
  Voor een reële functie  gedefinieerd op het interval  met verdeling , heet
  
  de bovensom van  met betrekking tot de verdeling 
  en
  
  de ondersom van  met betrekking tot de verdeling .
  
  Darbouxintegraal 
  Een begrensde, reële functie  gedefinieerd op het interval , heet  darbouxintegreerbaar met integraal  als
  
  Voorbeelden
  1. Laat  de constante functie zijn met de waarde 1 op het interval [0,1]. Elke boven- en ondersom heeft de waarde 1, dus de integraal over het interval is ook 1.
  
  2. Op het interval [0,1] is de functie  gegeven. Verdeel het interval in  gelijke delen. Dan is:
  
  en
  
  Dus is
  
  en ook
  
  De functie  is dus darbouxintegreerbaar op [0,1] en
  
  3. Op het interval [0,1] is de functie  gegeven. Verdeel het interval in  gelijke delen. Dan is:
  
  en
  
  Dus is
  .
  
  De functie  is dus darbouxintegreerbaar op [0,1] en
  
  .
  
  4. Laat  de indicatorfunctie zijn van de rationale getallen op het interval [0,1]. Elke bovensom heeft de waarde 1 en elke ondersom de waarde 0, dus de   is niet darbouxintegreerbaar op het interval [0.1].
  
  Zie ook
   Riemannintegratie
   Lebesgue-integraal
  
  Wiskundige analyse