title: Brownse beweging (wiskunde)
text: In de kansrekening is een brownse beweging of Wienerproces (genoemd naar Norbert Wiener) een welbepaald stochastisch proces dat de statistische eigenschappen van het gelijknamige natuurkundige verschijnsel idealiseert (zie Brownse beweging (natuurkunde)). Het is een continu stochastisch proces met onafhankelijke, normaal verdeelde aangroeiingen.
  
  Definitie
  De brownse beweging  is een stochastisch proces in continue tijd dat gekenmerkt wordt door de volgende eigenschappen:
   
   De paden  zijn bijna zeker  continu
    heeft onafhankelijke aangroeiingen, dus voor  geldt  en  zijn onderling onafhankelijk
   Voor  is  -verdeeld.
  
  Existentie
  
  Dat een dergelijk proces bestaat, ligt niet voor de hand. De twee belangrijkste resultaten die hiertoe aanleiding geven, worden meestal respectievelijk de stelling van Kolmogorov en de stelling van Kolmogorov-Prochorov genoemd. De eerste construeert een proces op de verzameling (niet noodzakelijk continue) afbeeldingen van  naar , de tweede toont aan dat de discontinue paden van dit proces bevat liggen in een nulverzameling.
  
  Verband met stochastische wandeling
  De brownse beweging is het analogon, voor een continue tijdsparameter, van wat de stochastische wandeling betekent voor een discrete tijdsparameter.
  
  Eigenschappen
   De brownse beweging is een markovproces.
   De brownse beweging is een martingaal. Ook het proces  is een martingaal.
   De paden  van de brownse beweging zijn bijna zeker nergens differentieerbaar. Ze vertonen dus een extreem grillig karakter.
  
  Wienerintegraal en brownse brug
  De integraal van stochastische variabelen ("functionalen") ten opzichte van de kansmaat  staat bekend als de Wienerintegraal.
  
  De brownse brug voor gegeven  en  is een stochastisch proces dat op dezelfde universumverzameling  gedefinieerd wordt, maar waarvan de hoger beschreven eindigdimensionale verdelingen verschillen in de zin dat de integraal over de veranderlijke  wegvalt, en dat , ,  en . Intuïtief komt de brownse brug overeen met een brownse beweging, conditioneel op de aankomst in een gegeven punt  op het tijdstip .
  
  Hogere dimensies
  
  De -dimensionale brownse beweging is het cartesisch product van  onafhankelijke kopieën van de gewone (eendimensionale) brownse beweging.
  
  Verband met partiële differentiaalvergelijkingen
  Veel resultaten uit de theorie der lineaire partiële differentiaalvergelijkingen kunnen elegant en relatief eenvoudig worden geformuleerd in termen van de brownse beweging. Het bekendste raakpunt tussen beide theorieën is het Feynman-Kac-formalisme. Daarin wordt de oplossing van de schrödingervergelijking voor zuiver imaginaire tijdstippen gegeven in termen van de Wienerintegraal.
  
  Daarnaast heeft Edward Nelson de schrödingervergelijking zelf herschreven in termen van een stochastisch proces dat nauw verwant is met de brownse beweging.
  
  Ten slotte worden harmonische functies daardoor gekenmerkt dat ze de dichtheidsstroom van de brownse beweging invariant laten. De algemene oplossing van het Dirichlet-randwaardeprobleem voor de Laplace-vergelijking wordt gegeven door een verwachtingswaarde in termen van de (meestal meerdimensionale) brownse beweging, verschoven over een vector , op het toevallige tijdstip  (inkomtijd) waarop de brownse beweging de rand het eerst ontmoet
  
  Stochastisch proces
  Wiskundige analyse