title: Formule van Euler
text: De formule van Euler, genoemd naar haar ontdekker, de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, legt een verband tussen de goniometrische functies en de complexe exponentiële functie. De formule zegt dat voor elk reëel getal  geldt dat:
  
  Daarin is  het grondtal van de natuurlijke logaritme,  de imaginaire eenheid, en zijn  en  respectievelijk de goniometrische functies sinus en cosinus met het argument in radialen. De formule geldt ook voor complexe waarden van .
  
  Bewijs 
  Er zijn verschillende methodes om de formule van Euler te bewijzen.
  
  Analytische methode 
  Bepaal de afgeleide van de functie:
  
  Met behulp van de productregel volgt:
  
  De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie  constant is:
  
  Dus:
  
  Omdat voor  geldt, dat
  
  volgt dat  en .
  
  Taylorreeks 
  De gelijkheid kan men ook bewijzen door aan te tonen dat de taylorreeksen van beide uitdrukkingen hetzelfde zijn.
  
  Machten van i 
  De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.
  
  Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.
   Het verheffen van  tot een natuurlijke macht , is roteren over  of  graden vanaf .
  
   i tot een reële macht  verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek  vanaf .
  
   Een macht van een complex getal  kan steeds in een macht van  worden herschreven met de eigenschap  waarbij 'log' de complexe logaritme is.
  , want .
   Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van , kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van .
  .
  
  De eigenschap  kan als volgt worden afgeleid: 
  
  We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:
  
  Daaruit volgt:
   of
  
  Identiteit van Euler 
  Voor  ontstaat de zogenaamde identiteit van Euler:
  
  Of in een andere vorm:
  
  Sinus en cosinus 
  Omgekeerd kunnen de sinus en de cosinus met behulp van de formule van Euler worden afgeleid :
  
  Wiskundige analyse