title: Jacobi-eigenwaardealgoritme
text: Het jacobi-eigenwaardealgoritme is een iteratief algoritme uit de numerieke wiskunde, dat gebruikt wordt om alle eigenwaarden en eigenvectoren van kleine symmetrische matrices te berekenen. Het algoritme werd in het midden van de 19e eeuw door de Duitse wiskundig Carl Jacobi ontwikkeld.
  
  Algoritme 
  Voor een reële, symmetrische -matrix  geldt:
  ,
  
  waarin  de diagonaalmatrix van eigenwaarden van  is en  kolomsgewijs de bijbehorende eigenvectoren van  bevat.
  
  Het achterliggende idee bij het jacobi-eigenwaardealgoritme bestaat eruit om steeds het grootste element buiten de diagonaal van  met behulp van een Givens-rotatie naar 0 te brengen, om op die manier meer en meer de diagonaalmatrix te benaderen.
  
  Er geldt het volgende iteratievoorschrift 
  
  met 
  
  waarbij  en  steeds in de -de en -de  rij en kolom staan en  het absoluut grootste buitendiagonaalelement van  voorstelt, dus is voor alle 
  
  De elementen van  volgen dan uit de volgende overweging:
  
  De transformatie  zorgt speciaal voor de elementen op de kruising van de -de en -de rij en kolom voor de volgende veranderingen:
  
  Aangezien  moet zijn, volgt hieruit voor
  
  dat
  
  en dus
  
  Aangezien de rotatiematrices orthogonaal zijn en producten van orthogonale matrices ook weer orthogonaal zijn, wordt op deze wijze een orthogonale gelijksoortigheidstransformatie beschreven. Men kan aantonen dat de rij van matrices  naar een diagonaalmatrix convergeert. Deze matrix moet op grond van de gelijksoortigheid dezelfde eigenwaarden bezitten. 
  
  Over het algemeen volstaan  bewerkingen voor een -matrix.
  
  Klassiek en cyclisch jacobi-eigenwaardealgoritme 
  Bij het klassieke jacobi-eigenwaardealgoritme wordt bij elke iteratie het op dat moment grootste element op nul gezet. Aangezien het cyclische jacobi-eigenwaardealgoritme daarentegen juist naar dit grootste element zoekt, wordt daar bij iedere iteratie steeds een Givens-rotatie op elk element binnen de strikte bovendriehoek uitgevoerd.
  
  Referenties 
    Kaspar Nipp, Daniel Stoffer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure unter besonderer Berücksichtigung numerischer Aspekte (Lineaire algebra: een introductie voor ingenieurs met bijzondere inachtneming van de numerieke aspecten) VDF Hochschulverlag AG 2002, ISBN 978-3-7281-2818-8. Abschnitt 10.2 (S. 222-228) ( beperkte online-version (Google Books))
  
  Externe link 
    Website van de Fullerton Universiteit over het jacobi-eigenwaardealgoritme (inclusief een verzameling links
  
  Numerieke wiskunde