title: Gauss-kwadratuur
text: Gauss-kwadratuur is een door Carl Friedrich Gauss bedachte en door hem in 1814 gepubliceerde methode (kwadratuur). om een integraal numeriek te benaderen.  Gauss-kwadratuur levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De vorm met orthogonale polynomen, zoals die tegenwoordig gehanteerd wordt, stamt uit 1826 en is afkomstig van Carl Jacobi.
  
  Achtergrond
  De achterliggende gedachte van gauss-kwadratuur is de integraal van een functie te benaderen door de gewogen som van de functiewaarden in een aantal zogeheten steunpunten :
  
  Dit blijkt goed mogelijk te zijn, als de functie benaderd kan worden door een polynoom van voldoend hoge graad 
  
  en voor elke  de steunpunten en de gewichten  eenmalig zo gekozen kunnen worden dat de benadering exact is voor polynomen van maximaal de graad : 
  
  Bovendien is de benadering voor andere functies in bepaalde zin met deze keuze optimaal.
  
  De benaderende polynoom wordt geschreven als een lineaire combinatie van
  polynomen uit een rij orthogonale polynomen met betrekking tot het inproduct
   
  
  Er is nog een vrij keuze wat de norm van de polynomen betreft, en een geschikte keuze is de polynomen normeren op 1, zodat ze een orthonormaal stelsel vormen.
  
  Omdat  en , is 
  
  en
   voor 
  
  Dus is ook voor :
   
  
  Door deze eisen zijn de polynomen vastgelegd.
  
  Elke polynoom  van de graad  is een lineaire combinatie van de polynomen :
  
  waarin
  
  immers:
  
  Er blijft dus nog de gewichten  en steunpunten  te bepalen zo, dat voor 
  
  Voor het steunpunt  neemt men de -de wortel van , dan ontstaat voor de gewichten een stelsel van  lineaire vergelijkingen (van de  vergelijkingen is die voor  triviaal, aangezien ).
  
   voor 
  
  De vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot het stelsel:
   voor 
  
  Voor de zo bepaalde steunpunten en gewichten geldt nu dat inderdaad:
  
  Gauss-legendrekwadratuur
  Gauss-legendrekwadratuur (GLK) is een speciaal geval van gauss-kwadratuur. Ze dient om de integraal van een functie  over het interval  numeriek te benaderen. Dat gebeurt door de gewogen som te nemen van de functiewaarden  in bepaalde steunpunten . Het aantal steunpunten in de GLK-formule van graad  is .
  
  De steunpunten zelf liggen bij een bepaalde graad  van GLK vast en liggen symmetrisch rondom de oorprong 0. Het zijn de wortels van de legendreveelterm van de graad . Ze zijn niet equidistant. Dat betekent dat de afstand tussen twee opeenvolgende punten  en  niet altijd dezelfde is. Daarmee onderscheidt GLK zich van andere numerieke integratiemethoden die meestal wel equidistante steunpunten hebben.
  
  De gewichten  liggen ook vast bij een bepaalde graad . Ze kunnen berekend worden uit de legendreveelterm  van graad :
  
  Gauss-legendrekwadratuur van graad  heeft een nauwkeurigheidsgraad van . Dat betekent dat GLK van graad  een veelterm van graad  exact kan integreren. De hoge nauwkeurigheidsgraad, vergeleken met andere numerieke integratiemethodes, is een gevolg van de orthogonaliteit van de legendreveeltermen op het interval .
  
  Uitbreiding
  De methode kan worden uitgebreid tot een- of tweezijdig onbegrensde intervallen en inproducten van de vorm:
  ,
  
  waarin de functie  een geschikte wegingsfuntie is en de benadering van de vorm is:
  
  Formule
  De integraal van de functie  met  gewichtsfunctie  wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd: 
  
  Daarin 
   is  een polynoom van de graad  en vormen de polynomen  een  voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
  
   zijn  de nulpunten van 
   is  de coëfficiënt van  in 
   stelt  de afgeleide van  voor
   is  de kroneckerdelta, dus 1 als  en 0 als
  
  Gauss-laguerrekwadratuur
  Gauss-laguerrekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval  en gewichtsfunctie . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de laguerre-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
  
  Gauss-hermitekwadratuur
  Gauss-hermitekwadratuur is de toepassing van Gauss-kwadratuur op functies op het interval  en gewichtsfunctie  . Een stelsel orthogonale polynomen wordt gevormd door de hermite-polynomen. De te benaderen integraal wordt geschreven en benaderd als
  
  Voorbeeld
  Op het interval  vormen de legrendre-polynomen een orthogonaal stelsel.  Voor  is de genormeerde versie
  
  Deze polynoom is kwadratisch in , dus zijn de nulpunten van de vorm
  ,
  
  dus
  
  De vergelijkingen voor de gewichtsfactoren zijn:
  
  ,
   
  waaruit volgt
   en 
  
  Dus is
  
  zodat
   en 
  
  Als benadering voor de integraal
  
  geeft Gauss-kwadratuur:
  
  De gewichtsfactoren kunnen ook met de genoemde formule berekend worden:
  
  Nu is
  
  en
  
  dus
  
  en
  .
  Invullen levert:
  
  Omdat  een nulpunt is van , is , met als gevolg:
  
  Referenties
  
  Externe links 
  Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], Gauss quadrature formula, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  Legendre-Gausskwadratuur in MathWorld
  
  Numerieke wiskunde
  Integraalrekening