title: Voorwaardelijke verwachting
text: In de kansrekening geeft de voorwaardelijke verwachting of conditionele verwachting van een stochastische variabele, gegeven een gebeurtenis, aan wat de verwachting van de variabele zal zijn, als we ons beperken tot de gegeven gebeurtenis.
  
  Voorbeeld
  Het volgende eenvoudige voorbeeld maakt het begrip duidelijk.
  
  De gemiddelde leeftijd in Nederland, de verwachte leeftijd, is vermoedelijk niet gelijk aan de gemiddelde leeftijd per provincie. De voorwaardelijke verwachting van de leeftijd voor (gegeven) een bepaalde provincie, is niets anders dan de gemiddelde leeftijd in die provincie. Zo kan voor elke provincie de voorwaardelijk verwachte leeftijd bepaald worden. Daarmee is de informatie in de verdeling van de leeftijd alvast gereduceerd tot de provincies. De gemiddelde leeftijd in heel Nederland kan nu bepaald worden als het gewogen gemiddelde van de gemiddelden voor de provincies.
  
  In een formele beschrijving kunnen we de leeftijd met  aanduiden en de provincie met . De verdeling van de leeftijd in de provincie Zeeland wordt dan gegeven door de voorwaardelijke verdeling van , gegeven :
  
  De gemiddelde (verwachte) leeftijd in Zeeland is de verwachtingswaarde van deze verdeling, die we de voorwaardelijke verwachting van de leeftijd , gegeven , noemen:
  
  Voor elke provincie  kan zo de gemiddelde leeftijd bepaald worden:
  
  Duidelijk is dat deze voorwaardelijke verwachting een functie van , de provincie, is. Als functie van de stochastische variabele  opgevat, noteren we die als:
  
  en noemen die de voorwaardelijke verwachting van  gegeven .
  
  Dit is als functie van  weer een stochastische variabele. Het toeval bepaalt immers een willekeurige bewoner van Nederland, en daarmee de provincie waarin die woont en uiteindelijk de gemiddelde leeftijd in die provincie. Als de uitkomst  (een willekeurige Nederlander) is gevonden, neemt  de waarde  (de provincie waarin  woont) aan en neemt de voorwaardelijke verwachting van  gegeven  de waarde:
  
   
  aan, de gemiddelde leeftijd in de provincie .
  
  Definitie voor discrete stochastische variabelen
  In het geval van een simultane verdeling van twee discrete stochastische variabelen  en , laat zich het begrip voorwaardelijke verwachting eenvoudig definiëren. De voorwaardelijke verwachting van  gegeven (de gebeurtenis) dat  de waarde  aanneemt, genoteerd als:
  
  ,
  
  is dan niets anders dan de verwachtingswaarde van de voorwaardelijke verdeling van  gegeven de gebeurtenis .
  
  Door de beperking tot de mogelijkheden waarvoor  de waarde  aanneemt, kan  niet meer alle waarden aannemen, en "verandert" z'n verdeling in de voorwaardelijke verdeling. Dit heet wel voorwaardelijke verdeling, maar het is een gewone kansverdeling, waarvan de verwachtingswaarde, mits die bestaat, afhangt van de waarde . De voorwaardelijk verwachting, gegeven  is dus een functie van . Beschouwen we deze functie als functie van de stochastische variabele , dan wordt de voorwaardelijke verwachting een stochastische variabele, genoteerd als:
  
  ,
  
  die als  de waarde  aanneemt zelf de waarde  aanneemt. Anders gezegd: als  de uitkomst is, neemt  de waarde  aan en  de waarde .
  
  In het inleidende voorbeeld is  de leeftijd van een Nederlander en  de provincie waarin hij woont.
  
  Abstracte definitie
  Zij  een  kansruimte,  een integreerbare stochastische variabele (een variabele waarvan de absolute waarde integreerbaar is ten opzichte van de maat ) en  een deel-sigma-algebra die de informatie weergeeft waarover we beschikken.
  
  Een stochastische variabele  die meetbaar is ten opzichte van  en met de eigenschap dat voor elke meetbare verzameling  geldt:
  
  ,
  
  heet voorwaardelijke verwachting van  ten opzichte van .  
  
  Hierbij is  de gewone verwachting (Lebesgue-integraal) en  de indicatorfunctie van .
  
  Omdat een voorwaardelijke verwachting op een nulverzameling na, uniek bepaald is, noteert men voor de (equivalentieklasse van de) voorwaardelijke verwachting meestal:
  
   of ook wel .
  
  Verantwoording
  De variabele  is uniek bepaald op een nulverzameling na (bijna overal). Dat er altijd een dergelijke variabele bestaat, kan als volgt worden aangetoond. De afbeeldingen
  
  zijn maten op de meetbare ruimte  die absoluut continu zijn ten opzichte van de restrictie van  tot . Wegens de stelling van Radon-Nikodym bestaan er dan dichtheden  en  met de eigenschap dat voor elke meetbare verzameling  geldt:
  
  Het verschil  levert de gewenste variabele.
  
  Verband met voorwaardelijke kans
  De voorwaardelijke verwachting van een stochastische variabele is een veralgemening van het begrip voorwaardelijke kans. Zij  en  twee gebeurtenissen in een kansruimte, en noem
  
  Dan is  een "stochastische variabele" die meetbaar is ten opzichte van
  ,
  
  de sigma-algebra voortgebracht door de gebeurtenis . Deze stochastische variabele is meteen de voorwaardelijke verwachting van de stochastische variabele  ten opzichte van .
  
  Verwachting ten opzichte van een andere variabele
  Als  en  twee stochastische variabelen zijn, noemen we voorwaardelijke verwachting van  ten opzichte van , de voorwaardelijke verwachting van  ten opzichte van de sigma-algebra voortgebracht door :
  
  Elementaire eigenschappen
   De voorwaardelijke verwachting is integreerbaar, en haar verwachting is gelijk aan de verwachting van de oorspronkelijke variabele: 
   Als  zelf al meetbaar is ten opzichte van , is ze (bijna overal) gelijk aan haar eigen voorwaardelijke verwachting.
   Als  een stijgende keten van deelstammen is, dan is de voorwaardelijke verwachting transitief:
  
  Onafhankelijkheid
  De stochastische variabele  is onafhankelijk van de sigma-algebra  als haar voorwaardelijke verwachting bijna overal gelijk is aan een constante.
  
  In het bijzonder is  onafhankelijk van een andere stochastische variabele  als  constant is. Deze eigenschap blijkt symmetrisch te zijn in  en , en we zeggen dan ook simpelweg dat  en  (onderling) onafhankelijk zijn.
  
  Algemener heet een familie stochastische variabelen 
  onderling onafhankelijk als ieder lid van de familie onafhankelijk is van de sigma-algebra voortgebracht door alle andere leden.
  
  Het onafhankelijkheidsbegrip van gebeurtenissen  en  komt overeen met de onafhankelijkheid van hun indicatorfuncties  en , opgevat als stochastische variabelen.
  
  Kansrekening