title: Hasse-Weil-zèta-functie
text: In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Hasse-Weil-zèta-functie verbonden aan een algebraïsche variëteit ,  gedefinieerd over een algebraïsch getallenlichaam , een van de twee belangrijkste typen van L-functies, Zulke -functies worden in die zin 'globaal' genoemd, dat zij worden gedefinieerd als Euler-producten in termen van lokale zèta-functies. Zij vormen een van de twee belangrijkste klassen van globale -functies. De andere klasse zijn de -functies die met automorfe representaties worden geassocieerd.
  
  Men vermoedt dat er in essentie slechts een type globale -functie bestaat, met twee beschrijvingen. Een komt er van een algebraïsche variëteit en de andere van een automorfe representatie. Bewijs van dit vermoeden zou een algemene vorm van de stelling van Shimura-Taniyama, de modulariteitsstelling betekenen, zelf een recent resultaat uit de getaltheorie.
  
  De beschrijving van de Hasse-Weil-zètafunctie op een eindig aantal factoren na van de euler-product ervan is relatief eenvoudig. Die volgt de eerste suggesties van Helmut Hasse en André Weil, is op het geval gemotiveerd waarin de algebraïsche variëteit  een enkel punt is en waarvan de Riemann-zèta-functie het resultaat is.
  
  In het geval dat  het rationale getallenlichaam  en  een niet-singuliere projectieve variëteit is, kunnen wij voor bijna alle priemgetallen  de reductie van  modulo , een algebraïsche variëteit  over het eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be)  met  elementen, in beschouwing nemen, door de vergelijkingen voor  te reduceren. Voor bijna alle  zal dit niet-singulier zijn. Wij definiëren
   
  
  als de dirichletreeks van de complexe variabele, wat het oneindige product van de lokale zèta-functies is. 
   
  
  Dan is volgens onze definitie  slechts "up to" vermenigvuldiging door rationale functies op een eindig aantal manieren  welgedefinieerd.
  
  Aangezien de onbepaaldheid relatief onschuldig is en overal een meromorfe voortzetting heeft, is er een zin waarin de eigenschappen van  er niet wezenlijk van afhankelijk zijn. Hoewel de precieze vorm van de functionaalvergelijking voor , die zich weerspiegelt in een verticale lijn in het complexe vlak, zeker zal afhangen van de 'ontbrekende' factoren, doet het bestaan van een dergelijke functionaalvergelijking dit niet.
  
  Een meer verfijnde definitie werd mogelijk als gevolg van de ontwikkeling van de étale cohomologie. Dit beschrijft duidelijk wat er met de ontbrekende, 'slechte reductie'-factoren moet gebeuren. Volgens de algemene beginselen zichtbaar in de vertakkingstheorie, geven 'slechte' priemgetallen goede informatie, dat is theorie van de conductor. Dit manifesteert zich in de étale-theorie in het citerium van Ogg-Néron-Shafarevich voor een 'goede reductie', namelijk dat er in een bepaalde zin voor alle priemgetallen  waarvoor de galois-representatie  op de étale cohomologiegroepen van  onvertakt is, een goede reductie bestaat. Daar kan de definitie van lokale zèta-functie in termen van het karakteristieke polynoom voor worden opgesteld van
   ,
  
  waarin  een Frobenius-element voor  is. Wat er gebeurt op de vertakte  is dat  niet-triviaal is op de inertiegroep  voor . Op die priemgetallen moet de definitie worden 'gecorrigeerd', door het nemen van de grootste quotiënt van de representatie  waarop de inertiegroep werkt door de triviale representatie. Met deze verfijning kan de definitie van  succesvol worden opgewaardeerd van 'vrijwel alle'  tot alle  die deelnemen aan het Euler-product. De gevolgen voor de functionaalvergelijking werden in de late jaren zestig van de twintigste eeuw door Serre en Deligne uitgewerkt. De functionaalvergelijking is zelf niet voor het algemene geval bewezen.
  
  Voorbeeld: elliptische kromme over de rationale getallen 
  Laat  een elliptische kromme over  van conductor  zijn. Dan heeft  een goede reductie op alle priemgetallen  die niet delen op , het heeft multiplicatieve reductie op de priemgetallen  die  exact delen, dat wil zeggen dat  deelt op , maar  dit niet doet, dit wordt geschreven als , en het heeft elders additieve reductie, dat wil zeggen dat de priemgetallen waar  delen op . De Hasse-Weil-zètafunctie van  krijgt dan de vorm
   
  
  Hier is  de gebruikelijke Riemann-zèta-functie en wordt  de -functie van   genoemd.  krijgt de vorm
   
  
  waar voor een gegeven priemgetal ,
   
  
  waar, in het geval van een goede reductie  is , en in het geval van multiplicatieve reductie  is ± 1, afhankelijk van de vraag of  een gesplitste of niet-gesplitste multiplicatieve reductie op  heeft.
  
  Vermoedens van Hasse-Weil 
  De Hasse-Weil-zèta-functie is volgens het vermoeden van Hasse-Weil een meromorfe functie voor alle complexe getallen  en voldoet aan een functionaalvergelijking die met die van de Riemann-zèta-functie kan worden vergeleken. Voor elliptische krommen over de rationale getallen volgt het vermoeden van Hasse-Weil uit de stelling van Shimura-Taniyama, de modulariteitsstelling.
  
  Hasse-Weil-zeta-functie