title: Hessenbergmatrix
text: In de lineaire algebra is een hessenbergmatrix is een vierkante matrix waarin
   ofwel alle elementen onder de eerste benedendiagonaal gelijk zijn aan nul, men noemt dit een boven-hessenbergmatrix
   ofwel alle elementen boven de eerste bovendiagonaal gelijk zijn aan nul. Men noemt dit een beneden-hessenbergmatrix.
  
  In de regel bedoelt men met een hessenbergmatrix een boven-hessenbergmatrix. Hessenbergmatrices zijn naar de Duitse wiskundige Karl Hessenberg 1904-1959 genoemd.
  
  Voor een boven-hessenbergmatrix  geldt:
    voor alle .
  
  Voor een beneden-hessenbergmatrix  geldt:
    voor alle .
  
  Voorbeeld 
   
  is een boven-hessenbergmatrix;
  
   
  is een beneden-hessenbergmatrix.
  
  Eigenschappen 
  De getransponeerde matrix van een beneden-hessenbergmatrix is een boven-hessenbergmatrix en vice versa.
  
  De matrixvermenigvuldiging van een hessenbergmatrix met een driehoeksmatrix is ook een hessenbergmatrix: als  een boven-hessenbergmatrix is en  een bovendriehoeksmatrix, dan zijn  en  boven-hessenbergmatrices.
  
  Een bandmatrix is een matrix die zowel een boven- als een beneden-hessenbergmatrix is.
  
  Toepassing 
  Hessenbergmatrices kunnen bij de berekening van de eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix worden gebruikt. Hessenberg introduceerde de naar hem genoemde matrices in 1940 in een rapport van het Institut für Praktische Mathematik in Darmstadt met de titel Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen Gleichung. Zijn methode werd later door James Hardy Wilkinson gegeneraliseerd in zijn boek The Algebraic Eigenvalue Problem uit 1965.
  
  In het 'QZ-algoritme' van Moler en Stewart voor de oplossing van algemene eigenwaardeproblemen , met  en  vierkante matrices, worden met behulp van orthogonale matrices in de eerste stap  tot een boven-hessenbergmatrix en  tot een bovendriehoeksmatrix herleid.
  
  Lineaire algebra
  Matrix