title: Staart-sigma-algebra
text: In de maattheorie is een staart-σ-algebra van een rij σ-algebra's in een meetbare ruimte een speciale σ-algebra die het limietgedrag van de σ-algebra's beschrijft. De staart-σ-algebra is a.h.w. een deel van de 'staart' van de σ-algebra's, d.w.z. deel van elk willekeurig eind van de rij.
  
  Staart-σ-algebra's bevatten alle gebeurtenissen waarvan het optreden niet beïnvloed wordt door het begin van de rij. Zij vinden toepassing in de studie van limieten. De bekendste toepassing is de Nul-één-wet van Kolmogorov.
  
  Definitie 
  Laat  een meetbare ruimte zijn en  een rij deel-σ-algebra's van . Dan heet de σ-algebra
  
  de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's of eenvoudigweg de staart-σ-algebra.
  
  Hierin is
  
  de σ-algebra voortgebracht door de deel-σ-algebra's vanaf de index .
  
  De staart-σ-algebra van een aantal gebeurtenissen  wordt gedefinieerd als de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's .
  
  De staart-σ-algebra van een aantal stochastische variabelen  wordt gedefinieerd als de staart-σ-algebra van de rij σ-algebra's  voortgebracht door de stochastische variabelen.
  
  De notatie voor de staart-σ-algebra nis niet eenduidig in de literatuur. Een van de notaties is met  (voor "asymptotisch"), maar ook  en  komen voor.
  
  Afgeleide begrippen 
  Elke gebeurtenis in de staart-σ-algebra wordt een staartgebeurtenis of asymptotische gebeurtenis genoemd.
  
  Een functie  die - meetbaar is, heet een staartfunctie.
  
  Uitleg 
  De betekenis van de staart-σ-algebra wordt duidelijker door de volgende definitie: de σ-algebra
  
  bevat alle gebeurtenissen uit de σ-algebra's  voor .
  
  De staart-σ-algebra is de doorsnede van al deze stelsels 
  
  en omvat dus die gebeurtenissen die zijn bevat in alle . De staart-σ-algebra bevat dus alle gebeurtenissen die niet afhankelijk zijn van de eerste  σ-algebra's voor elke . Een verandering van een eindig aantal van deze σ-algebra's verandert dus niet staart-σ-algebra.
  
  Eigenschappen 
   de staart-σ-algebra is niet triviaal in de zin dat ze meer gebeurtenissen bevat dan alleen de uitkomstenruimte  en de lege verzameling. Zo zijn bijvoorbeeld de limsup en de liminf van rijen gebeurtenissen als staartgebeurtenissen opgenomen, dus in de staart-σ-algebra. Ook zijn er niet-triviale staartfuncties. Zij omvatten bijvoorbeeld de limsup en de liminf van een rij stochastische variabelen, en de grenzen van Cesarosommen.
   Een van de belangrijkste uitspraken over de staart-σ-algebra is de Nul-één-wet van Kolmogorov, die zegt dat als  onafhankelijke σ-algebra's zijn op de kansruimte , de  staart-σ-algebra  een P-triviale σ-algebra is, wat betekent dat voor elke staartgebeurtenis  geldt:  of .
   Bovendien is de staart-σ-algebra steeds in de uitwisselbare σ-algebra  bevat. Is  een uitwisselbare rij stochastische variabelen, dan is er ook voor elke uitwisselbare  gebeurtenis  een staartgebeurtenis , zo, dat de kans op het symmetrisch verschil 0 is: .
  
  Literatuur 
  Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, Springer-Verlag, Berlijn, Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6
  Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1e druk, Vieweg, Wiesbaden, 2003, ISBN=3-528-03183-2
  Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4e druk, Walter de Gruyter, Berlijn, 2009, ISBN=978-3-11-021526-7
  Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie, Eine Einführung, 2e herziene druk, Springer-Verlag, Berlijn Heidelberg, 2014,ISBN=978-3-642-45386-1 
  Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit, 2e verbeterde druk, Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York, 2011, ISBN=978-3-642-21025-9
  
  Maattheorie
  Kansrekening