title: Discrete cosinustransformatie
text: De discrete cosinustransformatie (DCT) is een transformatietechniek uit de numerieke wiskunde. De methode wordt onder meer toegepast bij datacompressie van audio- en videodata, zoals bij het beeldformaat jpeg. Een gemodificeerde vorm van de methode wordt onder andere gebruikt in het kader van het audioformaat mp3. De discrete cosinustransformatie werd voor het eerst beschreven in 1974 door N. Ahmed et al. 
  
  De discrete cosinustransformatie behoort tot de reëelwaardige discrete, lineaire orthogonale transformaties die, net als de discrete fouriertransformatie, een discreet signaal van het tijds- of ruimtedomein omzet naar het frequentiedomein. De discrete cosinustransformatie drukt daartoe een eindige rij data uit als een eindige som van cosinussen met verschillende frequenties. Door een of meer  termen met de hoogste frequenties weg te laten kunnen de data gereduceerd (gecomprimeerd) worden, waarbij alleen iets van de scherpte in het beeld verloren gaat.
  
  Principe
  Een cosinustransformatie drukt de rij van  data
   
  uit als lineaire combinatie van cosinussen. Daartoe wordt het interval  opgedeeld in  deelintervallen van gelijke lengte  door de equidistante deelpunten  en worden de cosinussen  geëvalueerd in de deelpunten, wat resulteert in de coëfficiënten . 
  
  De lineaire combinatie is dan van de vorm  
   voor 
  
  waarin de  nog vrij te kiezen evenredigheidsfactoren zijn. In vectorvorm:
   
  
  De rijen coëfficiënten  vormen een orthogonaal stelsel met betrekking tot het inproduct voor rijen :
  
  dus met weegcoëfficiënten . Dat houdt in:
  
   voor 
  
  Verder is:
  
   voor 
  
  Uitwerken van het inproduct  levert
  
  Voor de coëfficiënten  volgt daardoor
   voor 
  
   
  en
   
  
  of in matrixvorm:
  
  .
  
  Daarbij is  een orthogonale matrix met als elementen de coëfficiënten  die de waarden van een cosinus zijn, afhankelijk van  en  eventueel nog met een normeringsfactor. Omdat de matrix  orthogonaal is, kan de transformatie ook omgekeerd worden, en kunnen de oorspronkelijke data  uit de getransformeerde data  teruggevonden worden.
  
  Er zijn verschillende vormen van de discrete cosinustransformatie, die onderling verschillen door de keuze van de coëfficiënten . Opgemerkt moet worden dat de verschillende normeringsfactoren in de literatuur niet eenduidig vast liggen. Zo voeren bijvoorbeeld sommige auteurs een extra factor in om te vermijden dat bij de omgekeerde transformatie nog een extra factor benodigd is. Ook is bij de verschillende keuzes nog een extra factor nodig om de matrix  tot een orthogonale matrix te maken.
  
  DCT-I 
  Bij deze vorm kiest men  en 
  De coëfficiënten worden dan:
  
   voor 
  
  De DCT-I is dus gedefinieerd door:
   voor .
  
  De DCT-I is op een factor  na z'n eigen omgekeerde.
  
  DCT-II 
  De gebruikelijke vorm van de cosinustransformatie is de DCT-II. De  data  worden weer geschreven als lineaire combinatie van cosinussen. Voor het bepalen van de coëfficiënten 
  
  wordt het interval  opgedeeld in  gelijke delen, dus met lengte . De cosinussen worden nu geëvalueerd in de middens  van de deelintervallen
  
  De coëfficiënten worden:
   
  
  De DCT-II is dus gedefinieerd door:
   voor
  
  DCT-III 
  De DCT-III is op een factor  na de omgekeerde van de DCT-II. De coëfficiënten zijn:
  
   voor 
  
  De DCT-III is dus gedefinieerd door:
   voor
  
  DCT-IV 
  Bij deze vorm van de discrete cosinustransformatie zijn de coëfficiënten:
   
  
  De DCT-IV is dus gedefinieerd door:
   voor 
  
  De DCT-IV is op een factor  na z'n eigen omgekeerde.
  
  Voorbeeld
  Van de  data 
   
  wordt met de DCT-II de getransformeerde berekend.
  
  Merk op, dat zoals te verwachten was, de coëfficiënten met even index gelijk zijn aan 0:
   voor 
  
  Terugtransformeren levert de oorspronkelijke data op uitgedrukt in cosinussen:
  
  Laat men de hoogste frequentie weg, door  te stellen, dan levert terugtransformeren niet meer de oorspronkelijke data  op, maar (afgerond):
  
  Transformatie met de DCT-I levert:
  
  Meer dimensies
  Speciaal in de digitale beeldbewerking wordt gebruikgemaakt van een discrete cosinustransformatie in twee dimensies gebaseerd op DCT-II. Uitbreiding naar meer dimensies gebeurt eenvoudigweg door toepassing van de transformatie in elk van de dimensies. In het geval van tweedimensionale data 
  
  door toepassing van DCT-II op de rijen en op de kolommen.
  
  De coëfficiënten  worden bepaald door
  
  Werking DCT
  
  Om te begrijpen hoe een DCT werkt, is het belangrijk te weten wat voor data gemanipuleerd worden. Een afbeelding wordt voorgesteld als een array van natuurlijke getallen. Ieder getal stelt de grijswaarde van een pixel van de afbeelding voor. Figuur 1 geeft een grijs vierkant van 8×8 pixels weer. In figuur 2 worden de pixelwaarden in een matrix voorgesteld. Deze grijswaardes gaan van 0 (zwart) tot 255 (wit). De weergegeven grijstint heeft 140 als waarde.
  
  Een DCT transformeert de grijswaardes, gegeven in de array, naar het frequentiedomein. Dit betekent dat de data in de matrix worden voorgesteld als de som van een reeks golven met verschillende amplitudes en frequenties. 
  
  Om de afbeelding als een golfvorm te kunnen voorstellen, kan de 3D-tabel beschouwd worden. In deze figuur is iedere waarde van elke pixel voorgesteld als de hoogte op de verticale as. De verandering in deze waardes (of hoogtes) kan worden gezien als een 2D-golfvorm.
  
  Deze 2D-golfvorm wordt door de DCT opgedeeld in frequentiecomponenten, net zoals een 1D-golfvorm die wordt omgezet naar het frequentiedomein. De som van de frequentiecomponenten gemaakt door DCT is gelijk aan de originele golf. Het resultaat van de DCT, uitgevoerd op figuur 1a, is te zien in onderstaande matrix. De waarde van de laagste frequentie staat in de linkse bovenhoek. De frequentie stijgt als we meer naar rechts of naar onder gaan.
  
    
  
  Het enige element heeft een waarde van 800. Dit komt doordat de afbeelding bestaat uit slechts 1 grijswaarde.
  
  Toepassing 
  In het volgende voorbeeld wordt de DCT  berekend van de 2×2-matrix. 
  
    
  Voor de elementen van  geldt de formule.
  ,
  
  waarin  het aantal rijen en  het aantal kolommen voorstellen en
   enkel als  
   in de andere gevallen
  
  Voor  volgt, met :
  
  Dus
  
  Voor  en  volgt op soortgelijke wijze:
  
  Dus
  
  De twee andere elementen worden op analoge manier berekend; het uiteindelijke resultaat is: 
  
  Ook hier staat de grootste waarde in de linkerbovenhoek.
  
  Zie ook 
   JPEG
  
  Externe link
  Gilbert Strang, The Discrete Cosine Transform 
  
  Goniometrie
  Algoritme
  Numerieke wiskunde