title: Zeef van Selberg
text: In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de zeef van Selberg een techniek voor het schatten van de grootte van "gezeefde verzamelingen" van positieve gehele getalllen die voldoen aan een aantal voorwaarden die worden uitgedrukt in  congruenties. De zeef van Selberg werd in de jaren veertig van de twintigste eeuw ontwikkeld door de Noorse wiskundige Atle Selberg.
  
  Beschrijving 
  In termen van de zeeftheorie is de zeef van Selberg van het combinatorische type: dat wil zeggen dat de zeef van Selberg wordt afgeleid door een zorgvuldig gebruik van het principe van inclusie en exclusie. Selberg verving de waarden van de Möbiusfunctie die hierin voorkomen door een systeem van gewichten, die vervolgens worden geoptimaliseerd om op een gegeven probleem te fitten. Het resultaat geeft een bovengrens voor de grootte van de gezeefde verzameling.
  
  Laat A een verzameling van positieve gehele getallen ≤ x zijn en laat P een verzameling van priemgetallen zijn. Laat Ap voor elke p in P de verzameling van elementen van A aanduiden die deelbaar zijn door p en breidt dit uit door Ad de doorsnede te laten zijn van de Ap voor p die delen op d, wanneer d een product van de verschillende priemgetallen van P is. Laat A1 verder A  zelf aanduiden. Laat z een positief reëel getal aanduiden en laat P(z)  het product van de priemgetallen in P aanduiden die ≤ Z zijn. Het doel van de zeef is het schatten van de onderstaande formule
  
  Wij nemen aan dat |Ad| kan worden geschat door
  
  waar f een multiplicatieve functie is en X   =   |A|.  Laat de functie g worden verkregen uit f door Möbius-inversie, dat wil zeggen dat
  
  waar μ de Möbiusfunctie is. 
  
  Neem
  
  dan geldt vervolgens
  
  Het is vaak nuttig om V(z) te schatten door de grens
  
  Zeeftheorie