title: Kansverdeling
text: In de kansrekening speelt het begrip kansverdeling, waarschijnlijkheidsverdeling of -distributie (niet te verwarren met de distributie in de analyse) een centrale rol. Bij een experiment waarin het toeval een rol speelt, geeft de kansverdeling aan hoe "de kansen verdeeld zijn", d.w.z. wat de kans is op ieder van de verschillende, mogelijke uitkomsten. In de theorie wordt hier een specifieke betekenis aan gegeven: de 'kansverdeling' duidt op het geheel van mogelijke uitkomsten en de bijbehorende kansen.
  
  Een voorbeeld van een dergelijk experiment is een worp met een zuivere dobbelsteen. De kansverdeling van het geworpen aantal ogen wordt beschreven als gelijk aan 1/6 voor elke uitkomst. Strikt genomen is dit echter de kansfunctie, waarmee overigens de kansverdeling wel vastgelegd wordt.
  
  Het formele begrip kansverdeling is voornamelijk van theoretisch belang en zelfs daar zal in het geval van een stochastische variabele vaker met de verdelingsfunctie, die geheel bepalend is voor de kansverdeling, gewerkt worden. Bij discrete kansverdelingen wordt de verdelingsfunctie op zijn beurt weer geheel bepaald door een kansfunctie en bij continue veranderlijken (absoluut continue verdelingsfunctie) door een kansdichtheid.
  
  Definitie
  De kansverdeling van een stochastische variabele  gedefinieerd op de kansruimte  is de kansmaat  gedefinieerd voor (meetbare) deelverzamelingen  van  door:
  
  De kansverdeling van de stochastische variabele  kan geheel worden vastgelegd door de (cumulatieve kans)verdelingsfunctie  van , gedefinieerd door:
  
  Omgekeerd bepaalt de verdelingfunctie de kansverdeling, aangezien de intervallen de meetbare verzamelingen voortbrengen.
  
  Overigens wordt ook zonder referentie aan een stochastische variabele de kansmaat  wel aangeduid als kansverdeling. Dit is ook de kansverdeling van de stochastische variabele .
  
  Belangrijke kansverdelingen 
  Hieronder staan enkele bekende kansverdelingen genoemd. Afhankelijk van het type stochastische variabele (continu of discreet) kunnen de voorbeelden van kansverdelingen ook worden onderverdeeld in continue kansverdelingen en discrete kansverdelingen. Het betreft het algemene begrip kansverdeling, gegeven door de kansfunctie in een discrete situatie of door de kansdichtheid in het continue geval.
   Discrete kansverdelingen
   Stochastische variabelen met eindig waardenbereik
   gedegenereerde verdeling bij , waarbij  met kans 1 de waarde  zal aannemen
   uniforme verdeling (discreet), waarbij alle elementen van een eindige verzameling een even grote kans hebben (bv. bij het gooien met een zuivere munt, of zuivere dobbelsteen)
   Bernoulli-verdeling, die de waarde 1 heeft met kans , en de waarde 0 met kans 
   binomiale verdeling, die de kans op een bepaald aantal 'successen' aangeeft, bij uitvoeren van een reeks onafhankelijke 'ja/nee' experimenten
   hypergeometrische verdeling, die het aantal 'successen' geeft in de eerste  van een reeks van  onafhankelijke 'ja/nee' experimenten, bij een gegeven totaal aantal successen
   Stochastische variabelen met oneindig waardenbereik
   geometrische verdeling, die het aantal 'pogingen' geeft tot het eerste succes bij een reeks onafhankelijke ja/nee experimenten; "wachten op succes";
   negatief-binomiale verdeling, een generalisatie van de geometrische verdeling (-de succes in plaats van eerste succes); "wachten op -de keer succes"
   poissonverdeling, kansen op een bepaald aantal sporadische gebeurtenissen binnen een gegeven tijdinterval
   Continue kansverdelingen
   Op een eindig interval
   uniforme verdeling (continu) op 
   bètaverdeling op , een generalisatie van de uniforme verdeling
   driehoeksverdeling op 
   Op een onbegrensd interval, bijvoorbeeld 
   exponentiële verdeling, kansen op een bepaalde tijdsduur tussen opeenvolgende toevallige gebeurtenissen, bij een proces 'zonder geheugen'
   gamma-verdeling, kans op bepaalde tijdsduur totdat er  opeenvolgende toevallige gebeurtenissen zijn opgetreden in een proces 'zonder geheugen'
   Erlang-verdeling, speciaal geval van de gamma-verdeling, om wachttijd in een rij te voorspellen
   Lognormale verdeling
   Weibull-verdeling
   chi-kwadraatverdeling, de som van de kwadraten van  onafhankelijke Gaussische stochastische variabelen; o.a. gebruikt in de statistiek
   F-verdeling, kansverdeling van het quotiënt van twee normaal verdeelde stoch. variabelen
  Paretoverdeling, vaak waargenomen in situaties waarbij een bepaalde kwantiteit ongelijk over een populatie verdeeld is
   Op 
   normale verdeling, ook de Gauss-verdeling genoemd, die onder meer in de centrale limietstelling een belangrijke rol speelt
   studentverdeling of t-verdeling, gebruikt voor het schatten van een onbekende verwachting van een normale verdeling
   Cauchy-verdeling