title: Uitwisselbare sigma-algebra
text: In de kansrekening is de uitwisselbare σ-algebra van een familie van stochastische variabelen een speciale σ-algebra waarvan de elementen invariant zijn onder bepaalde permutaties. Uitwisselbare σ-algebra's komen voor in het kader van uitwisselbare families van stochastische variabelen en bij de Nul-één-wet van Hewitt-Savage.
  
  Definitie 
  Laat  een stochastisch proces zijn, waarvan
  iedere  waarden in  heeft, en  de verzameling van n-symmetrische, meetbare functies .
  
  De door deze functies voortgebrachte σ-algebra is:
  
  Dan is:
  
  de σ-algebra van alle onder permutaties van de eerste  indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen. 
  
  De uitwisselbare σ-algebra is dan:
  
  en daarmee de σ-algebra van alle onder eindige permutaties van de indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.
  
  Verband met de staart-σ-algebra 
  De staart-σ-algebra is altijd deel van de uitwisselbare σ-algebra, aangezien met de voorstelling van de staart-σ-algebra
  
  altijd geldt
  
  en dus
  .
  
  Er zijn voorbeelden waarin de uitwisselbare σ-algebra gebeurtenissen bevat die niet behoren tot de staart-σ-algebra. De uitwisselbare σ-algebra is dan strikt groter dan de staart-σ-algebra.
  
  Omgekeerd kan worden aangetoond dat voor een uitwisselbare familie van stochastische variabelen  bij elke gebeurtenis  een staartgebeurtenis  bestaat, waarvoor voor het symmetrisch verschil geldt:  (de omgekeerde conclusie is vanwege  triviaal). Voor elke gebeurtenis in de uitwisselbare σ-algebra bestaat er dus een gebeurtenis in de staart-σ-algebra, zodat het symmetrisch verschil een nulverzameling is.
  
  Daaruit laat zich direct de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afleiden, namelijk dat de uitwisselbare σ-algebra van een rij onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen een P-triviale σ-algebra is. Volgens de Nul-één wet van Kolmogorov is dan de staart-σ-algebra P-triviaal en op basis van het bovenstaande resultaat ook de uitwisselbare σ-algebra.
  
  Literatuur 
   Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, p.237-247, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6
  
  Kansrekening