title: Afstand (wiskunde)
text: In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.
  
  Een metrische ruimte is een verzameling waarop een afstand is gedefinieerd, zodat van elke twee elementen ervan de afstand ertussen is gegeven. De afstand van een punt tot een niet-lege verzameling is het infimum, de grootste ondergrens van de afstanden van het punt tot de punten van de verzameling.
  
  In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.
  
  Definitie 
  Een metriek of afstand op een verzameling  is een afbeelding  die aan de volgende axioma's voldoet. 
  
  Voor willekeurige  geldt: 
    (niet-negativiteit).
   , de scheidingseigenschap
    (symmetrie).
   , de driehoeksongelijkheid
  
  Voor twee elementen  is  de afstand van  tot . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van  tot  gelijk is aan de afstand van  tot , zodat men eenvoudig van de afstand tussen  en  kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg. 
  
  Het axioma , van niet-negativiteit, is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere kan worden afgeleid. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen  en  bestaat: . Door symmetrie is ook  en is  door de scheidingseigenschap. We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is: , dus . Een negatieve afstand is daarom niet mogelijk.
  
  Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door het slechts dan weg te laten, heet  een pseudometriek. Er kunnen in dat geval elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een afstand, een pseudoafstand 0 tot elkaar hebben.
  
  Voorbeelden 
   en  zijn twee punten waartussen de afstand moet worden gegeven.
  
  Gewone metriek of euclidische afstandsfunctie 
  Een metriek op  is de euclidische afstand of gewone metriek:
   ,
  waarbij voor :
   
  
  De stelling van Pythagoras wordt hierbij dus gebruikt. Het inwendige product is de norm voor deze metriek.
  
  Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen  met:
   , de modulus van .
  
  De euclidische afstand  in de  tussen de twee punten is
  
  Manhattan-metriek 
  Een ander voorbeeld van een metriek op  is de Manhattan-metriek of Manhattan-blokmetriek:
   .
  
  Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.
  
  Discrete metriek 
  Voor een willekeurige verzameling  is de afbeelding  die elk identiek puntenpaar  op 0 afbeeldt, en ieder ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek wordt genoemd. Deze metriek geeft alleen aan of twee elementen verschillend zijn of niet.
  
  Afstanden in de euclidische meetkunde 
  Afstanden tussen lijnen en vlakken in de euclidische meetkunde zijn goed te berekenen wanneer de normaalvergelijking van Hesse daarvan bekend is. Die vergelijking bepaald in twee dimensies een lijn en in drie dimensies een vlak.
  
  Tussen twee punten 
  De kortste verbindingsweg of euclidische afstand tussen twee punten is een lijnstuk en kan de afstand met de stelling van Pythagoras worden berekend. In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand  tussen de punten  en 
  
   
  
  In drie dimensies geldt hetzelfde
  
   
  
  Zijn de punten  en  in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is gebruikmakend van conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door
  
  Tussen een punt en een lijn 
  De afstand tussen een punt  en een lijn  door de punten  en , is:
  
   
  
  met
   
  
  Ligt het getal  tussen 0 en 1 dan bevindt het snijpunt van l en de lijn door  loodrecht op  zich tussen de punten  en .
  
  De afstand van een punt  tot de lijn  met vergelijking  is:
  
   
  
  Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector  van .
  
  Tussen een punt en een vlak 
  De afstand van een punt  tot het vlak  met vergelijking  is:
  
   
  
  Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector  van .
  
  Afstand tussen twee lijnen in drie dimensies 
  
  De afstand tussen de twee lijnen is de afstand van een willekeurig punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.
  
  Afstand in gekromde ruimten 
  In de differentiaalmeetkunde wordt de afstand tussen twee punten gemeten aan de hand van de lengte van krommen, meer bepaald: het infimum van de lengten van alle krommen die twee punten verbinden. Hiervoor wordt aangenomen dat tussen elk paar punten minstens een kromme bestaat, dus we bevinden ons in een (weg)samenhangende Riemannse variëteit.
  
  Als een bepaalde kromme de kortste verbinding tussen twee punten legt, dan is die kromme noodzakelijk een geodeet.
  
  Afstand tussen twee punten op een bol 
  De afstand tussen twee punten  en  op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel, dus over het oppervlak van de bol, niet erdoorheen, is:
  
   
  
  hierin is  de straal van de bol,  de hoek in het equatoriale vlak en  de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.
  
  Gerichte afstand 
  Soms wordt gesproken van de gerichte afstand van een punt tot een lijn in twee dimensies of tot een vlak in drie dimensies. Deze is aan de ene zijde de gewone afstand, en aan de andere zijde het tegengestelde. Per geval moet dus gedefinieerd worden aan welke zijde de gerichte afstand de gewone afstand is.
  
  Metriek op een vectorruimte 
  Uitgaande van een norm  op een genormeerde vectorruimte  kan de volgende metriek worden gedefinieerd: 
   
  
  Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op . 
  
  Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek  op een vectorruimte  heet homogeen, als
   ,
  en translatie-invariant als
   .
  Een dergelijke metriek induceert een norm op  door de definitie
  
  Translatie-invariante metriek 
  Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere  translatie een isometrie is.
  
  Absolute waarde 
  Op een integriteitsdomein (al of niet met 1) met absolute waarde kan een translatie-invariante metriek gedefinieerd worden door de absolute waarde als afstand tot 0 te beschouwen.
  
  p-adische norm 
  Een speciaal geval van een absolute waarde is, voor elk priemgetal , de -adische norm (geen echte norm). De bijbehorende translatie-invariante metriek is die van de -adische getallen.
  
  Ultrametriek 
  Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk  
   , de ultrametrische ongelijkheid
  
  Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.
  
  Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat dat punt een kleine afstand heeft tot de uiteinden.
  
  Voor elk priemgetal  is de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de -adische getallen een voorbeeld van een ultrametriek. Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.
  
  Equivalentie van metrieken 
  Twee metrieken  en  op een verzameling  zijn equivalent als er getallen  bestaan zodat voor alle  geldt:
    en
  
  Voorbeelden 
  In  zijn de volgende metrieken equivalent:
  
   De euclidische metriek
   De metriek gegeven door 
   De metriek gegeven door
  
  Begrensde metriek 
  Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een  bestaat zodat
  
  Voorbeeld 
  De metriek  gegeven door:
    is begrensd.
  
  Het is duidelijk dat 
   
  
  Wiskunde