title: Grootste en kleinste element
text: In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling  van een geordende verzameling (preorde) een grootste element van  genoemd, als alle elementen van  kleiner zijn dan of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van  heet een kleinste element van  als het kleiner is dan of equivalent aan alle elementen van . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling.
  
  Definitie 
  Zij  een verzameling met preorde , en  een deelverzameling van . 
  
  Een element  heet een grootste element van  als voor alle  geldt dat . 
  
  Een element  heet een kleinste element van  als voor alle  geldt dat .
  
  Eigenschappen 
  Grootste elementen van  zijn onderling equivalent, kleinste ook.
  
  Een grootste element is een maximaal element, een kleinste element is een minimaal element.
  
  Voorbeelden 
  Op de complexe getallen is de relatie  als  een (totale) preorde. In de deelverzameling  zijn alle getallen op de eenheidscirkel grootste elementen van . Er zijn verder geen maximale elementen.
  
  In een partieel geordende verzameling  met  en  en  zijn  en  wel maximale elementen (van heel ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van  (in het bijzonder geldt niet  of ). Aan de andere kant is  in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.
  
  Op de verzameling  van drie elementen is een preorde gedefinieerd door:  en , dus  en  zijn equivalente elementen ().  Beide zijn met  onvergelijkbaar. Dan zijn alle elementen zowel maximaal element als minimaal element, maar zijn er geen grootste of kleinste elementen.
  
  Begrensdheid 
  Een begrensde partieel geordende verzameling is een partieel geordende verzameling die zowel een grootste als een kleinste element heeft.
  
  Minimum en maximum 
  De definitie van minimum en maximum heeft betrekking op verzamelingen met een totale orde. De begrippen maximum en minimum komen bij een totale orde overeen met respectievelijk grootste en kleinste element. Van elk is er hoogstens één. Elke niet-lege eindige totaal geordende verzameling heeft een grootste en kleinste element.
  
  Ordetheorie