title: Affiene groep
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld  de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.
  
  De affiene groep is een lie-groep als  een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.
  
  Definitie
  Een inverteerbare affiene transformatie  van een vectorruimte  is van de vorm
  ,
  
  met  een isomorfisme van , en  een vast element van .
  
  De transformatie  is dus samengesteld uit het isomorfisme  en een translatie over de vector .
  
  Er geldt:
   
  
  dus
  
  en ook:
  
  zodat:
  
  De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met ,  of .
  
  Als  de -dimensionale ruimte over het lichaam/veld  is, wordt de affiene groep genoteerd als .  In een context waarin  duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter  aangegeven, bijvoorbeeld .
  
  Voor eindige  met  elementen, schrijft men eenvoudigweg , want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.
  
  De affiene groep  van de -dimensionale euclidische ruimte met elementen  heeft een aantal belangrijke ondergroepen:
   algemene lineaire groep  met elementen , de oorsprong blijft op zijn plaats
   euclidische groep  of  (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
   orthogonale groep  (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)
  
  Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is:
   speciale lineaire groep,  (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het -dimensionale volume)
   speciale euclidische groep  (de directe isometrieën; voor  zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam) 
   speciale orthogonale groep  (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor  zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor  de draaiingen om een as door de oorsprong)
  
  Referenties
  
  Groepentheorie
  Affiene meetkunde