title: Sine-Gordon-vergelijking
text: De sine-Gordon-vergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die een belangrijke rol speelt bij het bestuderen van de (lange) Josephson-junctie. De vergelijking is
  
  De naam sine-Gordon-vergelijking is een woordspeling op Klein-Gordonvergelijking, verwijzend naar de sinusfunctie: de Engelse term voor sinus is sine.
  
  Type vergelijking 
  Deze vergelijking is een niet-lineaire, tweede-orde, hyperbolische, partiële differentiaalvergelijking. Een van de bijzondere en interessante eigenschappen van deze vergelijking is dat er exacte oplossingen van bestaan. Met name de oplossing van het type lopende golf zijn interessant en relevant voor het begrijpen van de fysica van de Josephson juncties.
  
  Oplossingen 
  Oplossingen van het type lopende golf kunnen gevonden worden door aan te nemen dat de oplossing van de vergelijking alleen afhangt van een variabele die meeloopt met de oplossing. Definieer:
  
  Oplossingen van de vergelijking
  
  leiden dat tot oplossingen van de sine-Gordon-vergelijking, door te schrijven:
  
  De belangrijkste lopende golf oplossing (kink-oplossing) is daarmee te schrijven als:
  
  Dit is een lopende golf, met snelheid . De constante  is het gevolg van het feit dat in de vergelijking geen expliciete afhankelijkheid van  en  voorkomen. Een verschuiving van de oplossing is weer een oplossing.
  
  Deze oplossing is een soliton. De oplossing  neemt hierbij toe van 0 tot  voor  gaande van minus oneindig naar plus oneindig.
  
  Verstoringen 
  De sine-Gordon-vergelijking zoals boven getoond is een vergelijking die exacte oplossingen toelaat (zoals de in vorige paragraaf beschreven kink-oplossing). Deze oplossing is een oplossing waarvan de energie behouden blijft. Voor de fysica van de Josephson-junctie is een verstoorde (aangepaste) versie van de vergelijking van groot belang:
  
  In deze vergelijking staan  en  voor energie-verlies termen (weerstand in de Josephson junctie) en  voor energie-toevoer. Bij snelheid  is er geen verlies term en als ook de term  krijgen we de ongestoorde vergelijking terug en ook dezelfde oplossing.
  
  Door de  te laten toenemen zal ook de snelheid  moeten toenemen, zodanig dat er een energie-behoud geldt.
  
  Energie 
  De sine-Gordon-vergelijking is een Hamiltonsysteem, met de Hamiltoniaan
  
  en waarbij .  De waarde van deze Hamiltoniaan kan natuurkundig worden geïnterpreteerd als de energie van het systeem, en kan niet negatief worden. De Hamilton-vergelijkingen zijn:
  
  Eliminatie van  uit deze twee vergelijkingen geeft de sine-Gordon-vergelijking.
  
  Door de tijdsafgeleide van deze Hamiltoniaan  te bepalen, en daarin de verstoorde vergelijking in te vullen - die niet voldoet aan het Hamilton systeem - blijkt dat:
  
  Hierin is duidelijk te zien dat positieve waarden van  en  de energie (Hamiltoniaan) laten afnemen. Bij  hangt het af van de waarde van . Fysisch gezien komt dit doordat de parameter  correspondeert met een stroom. De lopende kink-oplossing is een fluxon: een pakketje magnetische energie. De richting van de stroom en de richting van het magnetisch veld—afhankelijk van de looprichting van het fluxon—bepalen of het fluxon wordt versneld (toename van energie) of vertraagd (afname van energie).
  
  Differentiaalvergelijking
  Supergeleiding