title: Vergelijking van Clairaut
text: De vergelijking van Clairaut is een differentiaalvergelijking van de gedaante
  
  ,
  
  waarin  een continu differentieerbare functie is.
  
  De oplossing bestaat uit een oneindig grote verzameling rechten, plus één speciale oplossing, de singuliere oplossing, waarvan de grafiek de rechten van de algemene oplossing omhult. Deze vergelijking is genoemd naar de Parijse wiskundige Alexis Claude Clairaut (1713-1765).
  
  Oplossing
  De oplossingsmethode bestaat eruit eerst te zoeken naar oplossingrn die tweemaal continu differentieerbaar zijn en de vergelijking nog eens naar  te differentiëren:
  ,
  
  zodat
  
  Dit betekent dat ofwel:
  
  ofwel
  
  Eerste factor gelijk aan nul
  Als tweede afgeleide nul is, is eerste afgeleide constant:
  
  Als dit in de vergelijking van Clairaut wordt ingevuld, geeft dit als oplossing een familie rechten:
  
  Dit is de algemene oplossing van de vergelijking van Clairaut.
  
  Tweede factor gelijk aan nul
  Dat betekent:
  
  Dit bepaalt één oplossing , de singuliere oplossing, waarvan de grafiek de omhullende is van de algemene oplossing. Deze kan concreet gevonden worden door de functie  te elimineren uit de vergelijkingen:
  
  Algemene geval
  Een willekeurige oplossing, die niet noodzakelijk tweemaal continu differentieerbaar hoeft te zijn, is een functie die stuksgewijs bestaat uit gedeelten van de rechten uit de algemene oplossing en delen van de singuliere oplossing.
  
  Voorbeeld
  
  De vergelijking:
  
  is een vergelijking van Clairaut met:
  
  De algemene oplossing is de verzameling rechten:
  
  De singuliere oplossing volgt  uit:
  
  zodat de singuliere oplossing wordt:
  
  Differentiaalvergelijking