title: Affiene ruimte
text: In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige structuur, die de affiene eigenschappen van de euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder een punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan punten niet bij elkaar optellen.
  
  Definitie
  Een affiene ruimte is een drietal , waarin
   een niet-lege verzameling is, waarvan de elementen punten genoemd worden,  een vectorruimte over een lichaam/veld  is en  een afbeelding, pijlafbeelding,  is die aan het puntenpaar  hun verbindingsvector  toevoegt, waarvoor geldt;
   voor elk drietal punten  is  (driehoeksregel of betrekking van Chasles)
   voor elk punt  en elke vector  is er een eenduidig bepaald punt , zodanig dat .
  
  Men spreekt eenvoudig over de affiene ruimte  zonder meer, als uit de context duidelijk is wat de vectorruimte  en de pijlafbeelding zijn.
  
  De dimensie van een affiene ruimte is dezelfde als de dimensie van de bijbehorende vectorruimte.
  
  Voorbeeld
  Laat  een gewoon vlak zijn. Door de keuze van een assenstelsel wordt  tot een euclidische ruimte . De pijlafbeelding is bepaald door . Inderdaad is:
   
   voor  en  is ,en er geldt
  
  als , dan is , dus 
  
   Elementaire eigenschappen 
  Zij  een affiene ruimte. Voor punten  geldt:
  
   (parallellogramregel)
  
  Voor  geldt:
   (gegeneraliseerde betrekking van Chasles)
  
   Affiene deelruimten 
  Als  een punt is in de affiene ruimte  en  een deelruimte van , dan is de deelverzameling van :
  
  met de beperking van de pijlafbeelding tot  een affiene ruimte over  die affiene deelruimte van  genoemd wordt. Er geldt immers voor punten :
  , met ,
  dus
  
  en voor  en  is
  
  Een affiene deelruimte van een vectorruimte  (ook wel een lineaire variëteit genoemd) is een onder affiene combinaties van vectoren in deze ruimte gesloten deelverzameling.
  
  Bij een gegeven familie  van vectoren in  is bijvoorbeeld de verzameling
  
  die bestaat uit de affiene combinaties van eindige aantallen vectoren uit de familie,
  een affiene deelruimteruimte, die het affiene opspansel'' van de familie  genoemd wordt. Om in te zien dat dit inderdaad een affiene ruimte is, kan bewezen worden dat deze verzameling een transitieve actie van de lineaire deelruimte  van  draagt:
  
  Deze affiene deelruimte kan op equivalente wijze worden omschreven als de nevenklasse van de -actie
  
  waarin  een element van  is, of op equivalente wijze als een niveauverzameling van de quotiënttopologie . Een keuze uit  geeft een basispunt van  en een identificatie van  met , maar er is geen logische keuze, noch een natuurlijke identificatie van  met .
  
  Een lineaire transformatie is een functie die alle lineaire combinaties bewaart; een affiene transformatie is een functie die alle affiene combinaties bewaart. Een lineaire deelruimte is een affiene deelruimte met daarin een oorsprong, oftewel, op gelijkwaardige wijze een deelruimte, die onder lineaire combinaties is gesloten.
  
  Bijvoorbeeld in de  zijn de oorsprong, de lijnen en vlakken door de oorsprong en ook de gehele ruimte met oorsprong zelf lineaire deelruimten, terwijl punten, lijnen en vlakken in het algemeen, alsmede de gehele ruimte affiene deelruimten zijn.
  
  Zie ook
   Affiene groep
   Ruimte
  
  Referenties 
   , Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New York, 2nd, , 1969
  
  Affiene meetkunde