title: Topologische inbedding
text: In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een inbedding een identificatie van een topologische ruimte met een deel van een andere topologische ruimte.
  
  Definitie
  Een inbedding is een afbeelding  tussen topologische ruimten zodanig dat de beperking van  tot haar bereik  opgevat als deelruimte van  een homeomorfisme is. Hieruit volgt vanzelf dat elke inbedding injectief en continu is.
  
  Het bestaan van een inbedding maakt het mogelijk over  te spreken alsof ze een deelruimte "is" van
  
  Equivalentie van inbeddingen
  Twee inbeddingen  en  van eenzelfde ruimte  in  heten equivalent als er een homeomorfisme  tussen  en zichzelf bestaat dat de ene inbedding in de andere overvoert:
  
  Dit definieert een equivalentierelatie op de verzameling van alle inbeddingen van  in 
  
  Het algemene probleem van topologische inbeddingen luidt: gegeven twee topologische ruimten  en , beschrijf alle equivalentieklassen van inbeddigen van  in
  
  Isotopische equivalentie
  Een isotopie van een topologische ruimte  is een continue afbeelding
  
  zodat voor elke  afzonderlijk de partiële afbeelding
  
  een homeomorfisme is. Een gegeven homeomorfisme  is realiseerbaar door een isotopie als er een isotopie  bestaat waarvoor  de identiteit is, en 
  
  Twee inbeddingen  heten isotopisch equivalent als er een dergelijk homeomorfisme bestaat met  Isotopisch equivalente inbeddingen zijn equivalent, maar het omgekeerde hoeft niet waar te zijn. Isotopische equivalentie is eveneens een equivalentierelatie. Een fijnere formulering van het algemene probleem van topologische inbeddingen luidt dan: gegeven twee topologische ruimten  en , beschrijf alle isotopische equivalentieklassen van inbeddigen van  in
  
  Voorbeelden
  De inbeddingen van een singleton  in de reële getallen  met de gewone topologie zijn de reële constanten. Elk paar  van dergelijke inbeddingen is isotopisch equivalent door de continue verschuiving
  
  De inbeddingen van een eindige verzameling  met de discrete topologie in de reële getallen zijn de geordende tupels van  onderling verschillende reële getallen. Twee van dergelijke inbeddingen zijn alleen isotopisch equivalent als de twee -tupels dezelfde volgorde hanteren; de isotopische equivalentieklassen komen dus overeen met de permutaties op  elementen.
  
  De reële getallen hebben ook een auto-homeomorfisme dat niet realiseerbaar is door isotopie, namelijk de tekeninversie  De gewone (t.t.z. niet noodzakelijk isotopische) equivalentieklassen van inbeddingen van  komen dus overeen met de permutaties op  elementen modulo de omkering van de volgorde.
  
  De stelling van Schoenflies zegt dat alle inbeddingen van de cirkel  in het vlak  equivalent zijn.
  
  Het vorige voorbeeld kan niet zonder meer veralgemeend worden tot inbeddingen van de -sfeer in de -dimensionale Euclidische ruimte  De sfeer van Alexander is een inbedding van  in  waarvan het buitengebied niet homeomorf is met het buitengebied van de eenheidssfeer zelf, opgevat als deelverzameling van
  
  Knopentheorie
  Een knoop is een inbedding van de cirkel  in de driedimensionale Euclidische ruimte  De knopentheorie onderzoekt isotopische equivalentieklassen van knopen.
  
  Topologie