title: Naald van Buffon
text: Met de naald van Buffon wordt in de kansrekening een experiment aangeduid waarmee experimenteel het getal pi () bepaald kan worden door naalden willekeurig op een rooster van evenwijdige lijnen te laten vallen. De kans dat een naald op een van de lijnen valt, is rechtstreeks verbonden met het getal . Deze methode om  experimenteel door middel van kansrekening te benaderen is genoemd naar de Franse wetenschapper Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon. De methode is een avant la lettre-voorbeeld van een zogenaamde Monte Carlomethode.
  
  Lengte van de naald gelijk aan afstand tussen de lijnen
  In het eenvoudigste geval is de lengte  van de naald gelijk aan de afstand  tussen twee opeenvolgende evenwijdige lijnen van het rooster. Kies een assenstelsel met de x-as loodrecht op de evenwijdige lijnen en de oorsprong midden tussen twee ervan. 
  
  De kans dat een naald op een lijn ligt kan als volgt berekend worden. Door de symmetrie volstaat het na te gaan hoe groot de kans is, indien het middelpunt van de naald zich tussen  en  bevindt, zoals op bijgaande figuur. 
  De hoek  die de naald maakt met de horizontale lijn ligt tussen  en , en is tussen deze twee waarden uniform verdeeld. Als het middelpunt van de naald zich op positie x bevindt, zal de naald de lijn snijden als:
  
  Omdat  uniform verdeeld is op een interval met lengte , is de (voorwaardelijke) kans  dat een naald met middelpunt op positie x de volgende lijn snijdt, gelijk aan de lengte van bovenstaand interval gedeeld door , dus:
  
  Omdat de plaats van het middelpunt uniform verdeeld is op het interval [0,D/2],
  is de gevraagde kans  de integraal over de mogelijke waarden van , dus van  en , gedeeld door de lengte van dit interval:
  
  Andere lengtes
  Andere gevallen waarbij de lengte  van de naald niet gelijk is aan de afstand  tussen de lijnen, kunnen op analoge manier door middel van een integraal bepaald worden.
   Indien de naald korter is dan de afstand tussen de lijnen, wordt de kans:
  
   Indien de naald langer is dan de afstand tussen de lijnen, wordt de kans:
  
  Schatting van π
  De Italiaanse wiskundige Mario Lazzarini voerde in 1901 een experiment met de naalden van Buffon uit, met naalden waarvan de lengte 5/6 was van de afstand tussen de parallelle lijnen. Met  naalden kreeg hij de welbekende rationale schatting 355/113 voor , een zeer nauwkeurig resultaat, dat pas in het zevende cijfer na de komma verschilt van de juiste waarde. 
  
  Het vermoeden bestaat dat Lazzarini het experiment niet werkelijk heeft uitgevoerd, maar naar het resultaat heeft toegewerkt. Dit vindt steun in de keuze van het aantal van 3408 experimenten en de verhouding  tussen de lengte  van de naald en de afstand  tussen de lijnen. De schatting van  bedraagt immers:
  
  ,
  
  waarin  het aantal keren is dat de naald een lijn snijdt. Om mooi bij de breuk 355/113 uit te komen, moet:
  ,
  
  dus is  een geschikte keuze, zodat
  ,
  
  en toevallig(?) is 
  
  Het is goed mogelijk dat Lazzarini zijn artikel slechts als grap bedoeld heeft. Het verscheen in een tijdschrift voor wiskundedocenten en zorgvuldige lezing van beschrijving van de machine die het werk zou hebben gedaan, leert meteen dat die het experiment niet correct zou hebben kunnen uitvoeren.
  
   
  
  Kansrekening