title: Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde
text: Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een speciaal geval van een lineaire differentiaalvergelijking, die in de vorm
  
  geschreven kan worden, met  en  beide continue functies op het open interval .
  
  De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
  
  is
  
  en een particuliere oplossing is
  
  met  een willekeurig punt van het domein.
  
  Indien  constant is (zoals bij een lineair tijdinvariant continu systeem, LTC-systeem, met  de tijd) reduceert dit tot het volgende (zie ook eerste-ordesysteem).
  
  De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
  
  is
   (exponentiële afname of exponentiële groei)
  en de particuliere oplossing met  is
  
  met  een willekeurig punt van het domein. Bij een LTC-systeem is dit op een constante na het outputsignaal bij  als inputsignaal, de convolutie van q en de impulsrespons ( vanaf ).
  
  Oplossingsmethoden
  De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken.
  
  Zoek een zogenaamde integratiefactor , waarvoor geldt:
  
  Vermenigvuldig de beide leden van de differentiaalvergelijking met :
  
  oftewel:
  ,
  
  dus
  
  Los eerst de vergelijking voor  op:
  
  zodat na integratie:
  
  De integratieconstante  kan ook weggelaten worden, omdat die wegvalt in de uiteindelijke oplossing.
  
  Dan volgt voor :
  
  Voorbeeld
  De differentiaalvergelijking:
  
  is lineair van eerste orde. Voor de integratiefactor geldt:
  
  Met als oplossing:
  
  De algemene oplossing is dus:
  
  Zie ook
   Scheiden van veranderlijken
   Differentiaalvergelijking van Bernoulli
   Totale differentiaalvergelijking
   Integrerende factor
  
  Differentiaalvergelijking