Complexe functie
Een complexe functie is een complexwaardige functie van een complexe variabele, dus een functie

waarvan het definitiegebied  een deelverzameling is van de complexe getallen . Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd:
,

waarin  en  reëelwaardige functies zijn van twee reële variabelen. De theorie van complexe functies wordt functietheorie genoemd.

Afgeleide 
Als voor  de limiet
,

bestaat, heet de complexe functie  differentieerbaar in  en wordt de limiet aangeduid als de afgeleide van  in  en aangegeven door:

Holomorfe functie 
Een holomorfe functie is een functie die op een open deelverzameling van het complexe vlak  is gedefinieerd met waarden in  en die op ieder punt in dit complexe vlak kan worden gedifferentieerd. Zo'n functie wordt ook wel analytisch genoemd. In de reële analyse wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een machtreeks. De benaming analytisch is voor complex differentieerbare functies gerechtvaardigd, omdat complexe functies die eenmaal differentieerbaar zijn, automatisch oneindig vaak differentieerbaar zijn en dus ontwikkelbaar in machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de complexe analyse en de reële analyse.

Meromorfe functie 

Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van geïsoleerde punten na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat deel betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een ophefbare singulariteit of een pool.

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen 
Als de complexe functie  differentieerbaar is in het punt  en we schrijven voor :

,

geldt voor de afgeleide

.

De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van  en  in het punt . In dat punt voldoet  dus aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

Omgekeerd geldt dat een functie  die op zijn gehele domein aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen voldoet en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, holomorf is.

Bekende stellingen uit de reële analyse 
De meeste stellingen uit de reële analyse gelden ook in de complexe analyse. We formuleren er een aantal.

Kettingregel 
Zij  en  beide holomorfe functies. Dan is de samenstelling  ook holomorf en voor de afgeleide geldt:

Inverse functies 
Zij  een complexe functie, en  de inverse functie van , dus zodat voor alle 

Als er geldt dat  differentieerbaar is in  en , dan bestaat de afgeleide van  in het punt  en wordt gegeven door:

Belangrijke complexe functies

De exponentiële functie 
De exponentiële functie wordt met behulp van de formule van Euler gegeven:

Ook voor de complexe exponentiële functie gelden de bekende eigenschappen. Voor  is:

en

De logaritme 
De exponentiële functie  is alleen een injectie als de waarden van  zijn beperkt tot een halfopen interval ter lengte . De logaritme kan dan gedefinieerd worden als:

Met als argument:

De logaritme is gedefinieerd is op .

Kiest men de waarde , dan krijgt men de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt. Voor de complexe logaritme gelden de gebruikelijke stellingen

Hierbij zijn  en  complexe getallen.

Machten 
Met behulp van de logaritme en de exponentiële functie kunnen machten worden gedefinieerd. Als  en  complexe getallen, zijn definiëren we

Met deze definitie kunnen we ook de afgeleide bepalen van een macht:

Goniometrische en hyperbolische functies 
De sinus en cosinus kunnen ook met complexe e-machten gedefinieerd worden. Voor complexe getallen  is

Hieruit volgt gemakkelijk dat:

en

De gebruikelijke relaties zijn ook geldig in de complexe analyse:

Hier zijn  en  complexe getallen.

Verder kunnen de goniometrische functies omgezet worden in hyperbolische en vice versa.

Machtreeksen

Hogere afgeleiden 
Zoals eerder opgemerkt is, als  een holomorfe functie is op  en  een punt is in  dan is  oneindig vaak differentieerbaar in . Verder geldt de volgende gelijkheid voor hogere afgeleides:

Daarin is  een gesloten kromme.

Machtreeksen en convergentiestralen 
Als  een rij is van complexe getallen en  een complex getal is, wordt

een machtreeks genoemd om . De machtreeks convergeert in  als

convergeert.

De convergentiestraal  van de machtreeks is gedefinieerd als:

Hierbij mag  ook de waarde oneindig aannemen.

Voor de convergentiestraal  geldt:

Als  eindig is, definieert men de convergentiecirkel van de machtreeks als de cirkel met middelpunt  en straal .

Het blijkt dat de machtreeks convergeert voor elke  binnen de convergentiecirkel, en divergeert voor elke  erbuiten. Het convergentiegebied omvat dus de open cirkelschijf, en is bevat in de gesloten cirkelschijf. Voor  op de convergentiecirkel is het per geval verschillend. Als  oneindig is dan convergeert de machtreeks voor elke .

Taylorreeksen 
Elke holomorfe functie valt te schrijven als een machtreeks. Als

een machtreeks met convergentiestraal , dan liggen de coëfficiënten  vast en wel door:

Hierbij is  een pad geparametriseerd door de functie  met .

Voorbeelden van taylorreeksen zijn:

Bij deze drie reeksen is de convergentiestraal oneindig.

Ook de meetkundige reeks heeft een complex analogon, waarbij de convergentiestraal net als in het reële geval gelijk is aan 1.

De logaritme heeft ook een machtreeks, maar ontwikkeld om het punt 1. De convergentiestraal is 1.

Integreren

Paden 
Een pad of een boog  is een deelverzameling van de complexe getallen, zodat , waarbij  een complexe functie is:  met  en  reële functies. De functie  wordt de parametrisering van  genoemd. Als  continue afgeleiden heeft in , heet  een gladde boog of kortweg glad.

Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrisering  met 
Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0.  is hier dus een gesloten pad.

Integreren 
Zij  een parametrizering van een gladde boog  en zij  een complexe functie waarvoor . De complexe integraal is gedefinierd door:

Hierbij kan  geschreven worden, zodat we overhouden

Als  een gesloten pad is, schrijft men ook wel
 

om aan te geven dat over een kring geïntegreerd wordt.

In veel gevallen is het mogelijk voor  verschillende parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal.

Voorbeeld 
Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering  met  en  een geheel getal. Dan is

Als  volgt

Anders is

omdat de exponentiële functie een periodieke functie is.

Primitieven 
In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor.

Definitie 
Zij  een continue complexe functie. Een holomorfe functie

wordt een primitieve van  genoemd, als voor elk complex getal  geldt dat .

Hoofdstelling van de integraalrekening 

Met primitieven kunnen we de complexe versie van de hoofdstelling van de integraalrekening formuleren:
Zij  een gladde kromme in  met beginpunt  en eindpunt . Als  een primitieve is van  op , geldt

Primitieven, paden en kringintegralen 
Het blijkt dat het hebben van een primitieve een prettige eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent:

1)  heeft een primitieve.
2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrisering van een pad niets uitmaakt!) Dus als  en  twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er

3) Kringintegralen zijn gelijk aan 0. Dus als  een gesloten pad is, geldt er

Oneigenlijke integralen 
Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is .

Een tweede voorbeeld is de stelling van Liouville: holomorfe functies met een begrensd bereik zijn constant. Dit geldt overduidelijk niet in de reële analyse. Zo is de sinus als functie van een reëel getal oneindig vaak differentieerbaar en bovendien begrensd, maar niet constant. De complexe versie is weliswaar oneindig vaak differentieerbaar, maar niet begrensd! Met deze laatste stelling kan de hoofdstelling van de algebra worden bewezen.

Complexe analyse
Wiskundige functie