Discriminant
In de algebra is de discriminant (Latijn: discriminare, onderscheiden) van een polynoom een speciale uitdrukking in de coëfficiënten die belangrijke informatie geeft over het aantal nulpunten. De discriminant is alleen dan gelijk aan nul als de polynoom een of meer meervoudige (complexe) nulpunten heeft.

De discriminant is vooral bekend uit de theorie van de vierkantsvergelijkingen, ter bepaling van de nulpunten van tweedegraadspolynomen.

Vierkantsvergelijking 

De algemene vorm van een vierkantsvergelijking met reële coëfficiënten  en  is:

De discriminant is in dit geval het getal:

waarin  de (complexe) wortels zijn.

De waarde van  zegt iets over de oplossingsverzameling van de vergelijking:

 Als  is, zijn er twee verschillende reële oplossingen  en  (fig.: geval A).
 Als , zijn er twee gelijke reële oplossingen  (fig.: geval B).
 Als  is, zijn er geen reële oplossingen van de vergelijking (fig.: geval C), er zijn wel twee geconjugeerde complexe oplossingen.

Voorbeelden

Geval A: D > 0 
Beschouw de volgende vergelijking:

Dit is een vierkantsvergelijking met  en  De discriminant is dus:

De bovenstaande vergelijking heeft dus twee oplossingen, en wel  en  Deze kunnen worden gevonden met de wortelformule.

Geval B: D = 0 
Beschouw nu de vierkantsvergelijking:

Nu is  en  en . Er volgt dat  De vergelijking heeft dus één (meervoudige) reële oplossing, namelijk

Geval C: D < 0 
Beschouw ten slotte de vergelijking:

Dan geldt  en  Er volgt dat  De vergelijking heeft dus geen reële oplossingen. De vergelijking kan wel complex opgelost worden:

Derdegraadsvergelijking 
De algemene derdegraadsvergelijking in canonieke vorm is:

De discriminant hiervan is het getal:

Als de discriminant van een dergelijke vergelijking met reële coëfficiënten strikt negatief is, heeft de vergelijking precies één reële wortel. Als de discriminant strikt positief is, precies drie verschillende reële wortels. De waarde nul komt overeen met twee samenvallende wortels, het aantal verschillende wortels is dan een of twee.

Voorbeelden 
De volgende vergelijkingen hebben precies één reële wortel. Hun discriminanten bedragen respectievelijk  en 

De eerste vergelijking heeft een unieke irrationale reële wortel tussen  en  de tweede vergelijking heeft als enige reële wortel 

De volgende vergelijkingen hebben precies drie reële wortels. Bij de eerste vergelijking zijn het de gehele getallen  en  bij de tweede vergelijking gaat het om irrationale wortels.

Algemene vorm 
Voor de algemene vorm:

is de discriminant:

Daarin zijn  en  de complexe wortels.

Zie ook 
 Eliminatie (wiskunde)

Algebraïsche getaltheorie
Veelterm