Matrixvermenigvuldiging
In de lineaire algebra is matrixvermenigvuldiging een bewerking tussen twee matrices die als resultaat een nieuwe matrix, aangeduid als het product van die twee matrices, oplevert. Vatten we de beide matrices op als lineaire afbeeldingen, dan is de matrixvermenigvuldiging de samengestelde afbeelding van de beide lineaire afbeeldingen die bij de twee aparte matrices horen.

Een -matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding van de ruimte van kolomvectoren met  elementen naar de ruimte van kolomvectoren met  elementen of daarmee in overeenstemming als een lineaire afbeelding van  naar .

Definitie 
Matrixvermenigvuldiging van een matrix  met een matrix  is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat  een -matrix is en  een -matrix. Het matrixproduct  is dan een -matrix gegeven door:

 

voor elk paar  en . Hier staat  voor het element op positie  in het matrixproduct .

 mag hierin een rijvector en  een kolomvector zijn.

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element  van  bepaalt, als  een 4x2-matrix is en  een 2×3-matrix. Ieder paar op de weg van de twee pijlen wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in  correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

Voorbeelden 
 

 

 Wanneer er in een vectorruimte een overgang van een basis op een andere plaatsvindt, dus wanneer er een basistransformatie plaatsvindt, kunnen de nieuwe coördinaten van een vector met behulp van matrixvermenigvuldiging worden bepaald.

Eigenschappen 
De matrixvermenigvuldiging voldoet aan de volgende eigenschappen en is:

 associatief: 
 linksdistributief: 
 rechtsdistributief: 
 voor ieder getal  is 
 met  de eenheidsmatrix is 
 met  de notatie voor de getransponeerde matrix 

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, dus zijn  en  in het algemeen niet aan elkaar gelijk.

Als  heten de matrices anticommuterend.

Het kan dat de formule voor matrixvermenigvuldiging van een matrix  met een matrix  toegepast als de elementen van de matrices niet allemaal elementen van een lichaam/veld zijn. Dat kan als bijvoorbeeld  een matrix is met elementen uit een lichaam/veld zijn en  alleen een vector is, maar wel over hetzelfde lichaam/veld. Hierbij wordt dus een matrix vermenivuldigd met een kolomvector met elementen uit hetzelfde lichaam/veld.

Een matrix  vermenigvuldigen met een scalair  is strikt genomen geen matrixvermenigvuldiging, maar wordt gedefinieerd als de bewerking tussen  en , waarin alle elementen van  met  worden vermenigvuldigd.

Vierkante matrices 
Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, is het een vierkante matrix. Als we ons beperken tot vierkante matrices van dezelfde afmetingen met elementen in een algebraïsch getallenlichaam  dan vormen deze matrices een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de algemene lineaire groep.

Matrices van gelijke afmetingen 
Voor twee matrices  en  met dezelfde afmetingen, maar die geen vierkante matrices zijn, is de matrixvermenigvuldiging niet gedefinieerd. Voor deze matrices zijn wel gedefinieerd
 de matrixoptelling en
 het hadamardproduct.

Lineaire algebra
Matrix