Momentgenererende functie
In de kansrekening en de statistiek is de momentgenererende functie van een stochastische variabele  een functie waarmee, mits deze gedefinieerd is, de momenten van  kunnen worden bepaald. De momentgenererende functie geeft daarmee een alternatieve mogelijkheid om de kansverdeling van  te analyseren. Anders dan de karakteristieke functie, die altijd bestaat en die nauw verwant is aan de momentgenerende functie, is deze laatste niet voor elke  gedefinieerd.

Definitie 
De momentgenererende functie van de stochastische variabele  is de functie die voor reële  gegeven wordt door:

 

mits deze verwachtingswaarde bestaat. De momentgenererende functie kan dan als Riemann-Stieltjes-integraal worden berekend:

 

waarin  de verdelingsfunctie van  is.

Er geldt dus:
 

waarin  het -de moment van  is. De momentgenererende functie is daarmee de voortbrengende functie van de rij .

Als de momentgenererende functie bestaat in een interval rond , genereert de momentgenererende functie de momenten van  als volgt:
 .

Voorbeelden

Normale verdeling 
Voor de normale verdeling met parameters  en  is de momentgenererende functie:

Exponentiële verdeling 
Voor de exponentiële verdeling met parameter  is de momentgenererende functie:

 

Voor een rij onderling onafhankelijke en niet noodzakelijk gelijkverdeelde toevalsgrootheden , wordt de momentgenererende functie van de gewogen som

 

waar de  constanten zijn, gegeven door 

 .

Verwant met de momentgenererende functie zijn enkele andere integraaltransformaties die voorkomen in de kansrekening, zoals de karakteristieke functie en de kansgenererende functie.

De cumulantgenererende functie is de logaritme van de momentgenererende functie.

Verband met laplacetransformatie 
Als de kansdichtheid  van  bestaat, is
  

de tweezijdige laplacegetransformeerde van .

Kansrekening