Stelling van Bachet-Bézout
De stelling van Bachet-Bézout is een stelling uit de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde. De stelling houdt in dat als  de grootste gemene deler is van twee gehele getallen  en  die ongelijk zijn aan 0, er dan gehele getallen  en  bestaan, zodat
 
De getallen  en  heten hier bézoutgetallen of bézoutcoëfficiënten. Bovendien is  het kleinste (strikt) positief getal dat kan worden geschreven als .

Men kan de stelling van Bachet-Bézout ook als volgt formuleren: de lineaire vergelijking
 
heeft altijd een oplossing.

Geschiedenis 
De stelling van Bachet-Bézout is mede vernoemd naar Étienne Bézout, die de stelling bewees voor polynomen. Maar de stelling was al eerder voor de gehele getallen geponeerd door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Algoritme 
De bézoutgetallen  en  kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides, maar ze zijn niet uniek. Als het paar  een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door

Voorbeeld 
De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. Er is dan volgens de stelling Bachet-Bézout een geheeltallige oplossing voor  en  in de vergelijking  Een van de oplossingen is  en . Inderdaad is  Andere oplossingen zijn  en .

Bewijs

Generalisatie 
Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen  gehele getallen  zijn, zodat:
 

Dit kan met volledige inductie worden aangetoond.

Gevolgen 
Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.

 De diofantische vergelijking  in de variabelen  en , dus met gehele  en  heeft alleen dan oplossingen als de ggd van  en  een deler is van 
 Wanneer twee getallen  en  door een derde getal  zijn te delen, is ook  door  te delen.
 Voor alle gehele  geldt dat 
 Voor alle  en  geldt dat het product  door  kan worden gedeeld. In het bijzonder geldt dat  als  en  relatief priem zijn.
 Voor elke natuurlijke  en gehele  is er een  zodat 
 Voor alle  en daarbij alle  en , zodat  door  en  kan worden gedeeld, geldt dat  ook door  kan worden gedeeld. In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van  en  ook een veelvoud is van . Het kleinste gemene veelvoud  van  en  is dus gelijk aan .

Diofantische vergelijking
Bachet