Legendre-polynoom
In de wiskunde is een legendre-polynoom een oplossing van de differentiaalvergelijking van Legendre. Soms echter bedoelt men de geassocieerde legendre-polynoom.

Differentiaalvergelijking 
De vergelijking waarvan de polynomen een oplossing vormen luidt:

Beide zijn vernoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre. De vergelijking komt regelmatig voor in de natuurkunde en de toegepaste wetenschappen, omdat de laplace-vergelijking in bolcoördinaten de gedaante van deze differentiaalvergelijking van Legendre heeft (althans voor rotatie-symmetrische gevallen, voor de θ-afhankelijkheid, waarbij θ de polaire hoek is).

Een standaardmethode voor de oplossing van deze vergelijking is ontwikkeling van een machtreeks. De oplossing convergeert wanneer . Bovendien is de waarde eindig voor , vooropgesteld dat  een niet-negatief geheel getal is. In dat geval vormen de oplossingen van de vergelijking een reeks van orthogonale polynomen, de legendre-polynomen

Iedere legendre-polynoom  is een veelterm van graad  en kan uitgedrukt worden met de formule van Rodrigues:

Orthogonaliteit 
Een belangrijke eigenschap van de legendre-polynomen is dat zij, zoals hierboven reeds vermeld, orthogonaal zijn met betrekking tot het  inproduct op het interval :

Daarin is  de kronecker-delta die gelijk is aan 1 als  en anders nul.

Een andere manier om de polynomen af te leiden is gebruik te maken van de gram-schmidtmethode op het inproduct van de polynomen  De reden voor de orthogonaliteit van de polynomen is dat de legendre-vergelijking gezien kan worden als een sturm-liouvillevraagstuk
,

waar de eigenwaarde  overeenkomt met .

Een andere belangrijke eigenschap van legendre-polynomen stelt dat:

zodra  een veelterm is van graad strikt kleiner dan .

Voorbeelden van legendre-polynomen 
De eerste legendre-polynomen zijn:

{| class="wikitable"
| width="20%" align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | normalisatiefactor
|-
| align="center" | 0 || 
| 
|-
| align="center" | 1 || 
| 
|-
| align="center" | 2
| 
| 
|-
| align="center" | 3
| 
| 
|-
| align="center" | 4
| 
| 
|-
| align="center" | 5
| 
| 
|-
| align="center" | 6
| 
| 
|}

In de onderstaande figuur staan de grafieken van de eerste zes legendre-polynomen.

Toepassingen in de natuurkunde 
Legendre-polynomen bewijzen hun nut bij de reeksontwikkeling van functies zoals

hierbij zijn  en  respectievelijk de lengte van de vectoren  en  en  is de hoek tussen de beide vectoren. Deze ontwikkeling is geldig als .

Deze uitdrukking wordt bijvoorbeeld gebruikt om de potentiaal van een puntlading te vinden zoals deze
ondervonden wordt in het punt  wanneer de lading zich op punt  bevindt. De ontwikkeling is vooral van nut wanneer men een integraal over een continue ladingsverdeling wil berekenen.

Legendre-polynomen komen voor als oplossingen van de laplace-vergelijking en de poissonvergelijking voor de potentiaal , indien bolcoördinaten worden gebruikt. Daarbij wordt gebruikgemaakt van de methode van scheiding van variabelen en wordt axiale symmetrie verondersteld, zodat er geen afhankelijkheid is van de azimuthale hoek.  staat voor de symmetrieas en  is de hoek tussen de waarnemer en de as . De oplossing is dan:

 and  moeten voor de randvoorwaarden van het betreffende probleem bepaald worden
.

Legendre-polynomen in multipoolontwikkelingen 

De legendre-polynoom is ook van nut bij een reeksontwikkeling van de vorm

In feite is dit dezelfde ontwikkeling als hierboven in een wat andere vorm die voortvloeit uit de reeksontwikkeling van multipolen. De linkerzijde van de vergelijking genereert legendre-polynomen

Bijvoorbeeld, de elektrische potentiaal  in bolcoördinaten die voortvloeit uit een puntlading op de -as in het punt  (Fig. 2) is te schrijven als

Als de straal  vanaf het punt van waarneming  veel groter is dan , is het mogelijk de potentiaal te ontwikkelen tot legendre-polynomen:

hierbij is 
 genomen.

In het omgekeerde geval  kunnen we ook ontwikkelen tot een legendre-polynoom, wanneer we de rol van  en  omkeren:

Overige eigenschappen 
Legendre-polynomen zijn om en om symmetrisch en antisymmetrisch:

Aangezien de differentiaalvergelijking en de orthogonaliteit onafhankelijk zijn van de schaal zijn is de veelterm van nature gestandaardiseerd. Dit betekent dat .

Soms noemt men dit genormaliseerd, maar dit is wat verwarrend omdat de norm niet een is, immers:

Een orthonormale versie van de polynoom kan verkregen worden door toevoeging van een normalisatiefactor 

De afgeleide aan de eindpunten wordt gegeven door:

Legendre-polynomen kunnen opgebouwd worden door gebruik te maken van de relaties

en

Een nuttige uitdrukking bij het integreren van de veelterm is:

Algebra
Veelterm
Wiskundige analyse
Wiskundige reeks