Zariski-topologie
Zariskitopologie is een begrip in de wiskunde, op het kruispunt van de topologie en de algebraïsche meetkunde.

Er zijn verschillende definities in omloop. Zij verschillen in de onderliggende puntenverzameling van de topologische ruimte.

De klassieke definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de affiene -dimensionale ruimte  of de projectieve -dimensionale ruimte  over een algebraïsch gesloten lichaam , of als deelruimtetopologie in een algebraïsche deelverzameling van een van die ruimten.

De moderne definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de verzameling van alle priemidealen van een commutatieve ring met eenheid.

Het verband tussen beide definities volgt eruit dat de punten van  in een eeneenduidig verband staan met de maximale idealen, dus niet met alle priemidealen, van de ring  van polynomen in  veranderlijken met coëfficiënten in .

In dit artikel wordt de moderne definitie gebruikt.

Definitie 
De Zariskitopologie definieert een topologische structuur op het spectrum  van een commutatieve ring , dus op de verzameling van alle priemidealen van . De topologie wordt gedefinieerd aan de hand van haar gesloten verzamelingen, en wel als volgt: een verzameling priemidealen van  heet gesloten als ze de vorm 
aanneemt voor één of andere deelverzameling  van . Het is niet noodzakelijk dat  zelf een priemideaal of zelfs maar een ideaal is.

We verifiëren dat aan de drie axioma's van een topologische ruimte voldaan is:
de keuzes  resp.  leren ons dat  en  gesloten zijn
de doorsnede van een familie gesloten verzamelingen, gegenereerd met een familie deelverzamelingen  van , is de gesloten verzameling gegenereerd met de deelverzameling 
de vereniging van twee gesloten verzamelingen, gegenereerd met de deelverzamelingen  en  van , is de gesloten verzameling gegenereerd met de deelverzameling  (alle ringproducten van elementen uit  met elementen uit )

De derde voorwaarde is de enige waarbij de eigenschappen van priemidealen een rol spelen, met name om te bewijzen dat als  de verzameling  omvat, maar niet alle elementen van  afzonderlijk, dan wel alle elementen van .

Voorbeelden 
Het spectrum van de gehele getallen is de verzameling der priemgetallen, uitgebreid met het getal 0. De gesloten verzameling die wordt gegenereerd door een verzameling  van gehele getallen, is de verzameling gemeenschappelijke priemfactoren van de elementen van . Daaruit volgt dat de gesloten verzamelingen van de Zariskitopologie precies de eindige verzamelingen priemgetallen zijn (plus de verzameling van alle priemgetallen zelf). Het is dus de cofiniete topologie.
Zij  een algebraïsch gesloten lichaam. De veeltermring  der polynomen in één veranderlijke met coëfficiënten in  is een hoofdideaaldomein, dat wil zeggen dat elk ideaal wordt voortgebracht door een singleton. Het spectrum van de  bestaat uit de idealen voortgebracht door een eerstegraadsveelterm. Al deze priemidealen zijn bovendien maximaal. Zij  een collectie veeltermen. Het maximale ideaal voortgebracht door de eerstegraadspolynoom  omvat  als en slechts als alle polynomen van  het getal  als gemeenschappelijk nulpunt hebben. Hieruit volgt dat de enige gesloten verzamelingen (buiten het spectrum zelf) de eindige verzamelingen zijn. We hebben dus opnieuw te maken met de cofiniete topologie.
Zij  opnieuw een algebraïsch gesloten lichaam en beschouw de ring  der polynomen in twee veranderlijken. Deze ring is niet langer een hoofdideaaldomein, maar hij is nog steeds Noethers, dat wil zeggen ieder ideaal wordt voortgebracht door een eindig aantal polynomen. De niet-triviale priemidealen zijn enerzijds de maximale idealen van de vorm  voor willekeurige elementen  een  van , anderzijds de hoofdidealen  die worden voortgebracht door een irreducibele polynoom . Als , is het priemideaal  een echte deelverzameling van het maximale ideaal . Algebraïsch gesloten lichamen zijn oneindig, dus de gesloten verzameling van alle priemidealen die  omvatten, bevat oneindig veel maximale idealen. Dit is een voorbeeld van een Zariskitopologie die niet samenvalt met de cofiniete topologie.

Scheidingseigenschappen 
Zijn  en  twee verschillende priemidealen van . Dan is ofwel , ofwel  (of allebei). Maar dat wil zeggen dat een van de twee niet tot de gesloten verzameling behoort die met de andere gegenereerd wordt. De Zariskitopologie voldoet dus altijd aan het topologische scheidingsaxioma .

Zij  een priemideaal van . Door  te kiezen zien we dat het singleton  een gesloten verzameling is als en slechts als  een maximaal ideaal is. De Zariskitopologie op het spectrum van een ring voldoet dus alleen aan het scheidingsaxioma  als alle priemidealen maximaal zijn (zoals in onze twee voorbeelden van de ringen  en ).

Op een oneindige topologische ruimte is de cofiniete topologie nooit een Hausdorff-ruimte (-ruimte). De Zariskitopologie van de gehele getallen voldoet dus niet aan het scheidingsaxioma . De Zariskitopologie van  is Hausdorff als en slechts als  een eindig lichaam is.

Noethers
Als  een Noetherse ring is, dan vormt  met de Zariskitopologie een Noetherse topologische ruimte, dat wil zeggen dat de gesloten verzamelingen aan de dalende ketenvoorwaarde voldoen (ten opzichte van de partiële orde "is een deelverzameling van").

Bron
 , "Algebraic Geometry," Springer Graduate Texts in Mathematics 52, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9.

Algebraïsche meetkunde
Topologie