Topologische vectorruimte
Topologische vectorruimten zijn het centrale studieobject van een tak van de wiskunde die functionaalanalyse heet.

Definitie 
Een topologische vectorruimte is een vectorruimte over een topologisch lichaam  (meestal is  het lichaam (in België: veld) van de reële of complexe getallen), voorzien van een topologie die compatibel is met de gewone vectorbewerkingen; dat wil zeggen dat de optelling van vectoren 

en de scalaire vermenigvuldiging van een vector met een getal 

continue afbeeldingen zijn.

Hierbij worden de productruimten uitgerust met de producttopologie.

In de rest van dit artikel gaan we ervan uit dat vectorruimten altijd over het scalairenlichaam der reële of complexe getallen gedefinieerd zijn. Als we in voorbeelden van getallen, rijen of functies niet uitdrukkelijk aangeven of deze reëel- dan wel complexwaardig zijn, dan wil dat zeggen dat beide varianten mogelijk zijn.

De klasse van de topologische vectorruimten is eigenlijk te "groot" om er een fraaie theorie over te maken. Daarom wordt vaak in de definitie van topologische vectorruimten extra verondersteld dat de topologie op V voldoet aan de hausdorff-eigenschap (zie ook scheidingsaxioma).
Vaak beperkt men zich ook nog tot een speciaal soort topologische vectorruimten, waarbij er een basis van de topologie is, bestaande uit convexe verzamelingen 

Aanvankelijk werden klassen van topologische vectorruimten in het leven geroepen om nauwkeurige uitspraken te kunnen doen over de convergentie van functies. De meeste "natuurlijke" functieverzamelingen kunnen worden opgevat als topologische vectorruimten. Het begrip distributie, uitgevonden door Paul Dirac en geformaliseerd door Laurent Schwartz, geeft aanleiding tot een topologische vectorruimte die geen functieruimte is (waarvan de vectoren geen gewone functies zijn).

Normen en metrieken 
Zij  een norm op een vectorruimte . De afstand  tussen twee vectoren  en  bepaalt een metriek en daardoor een topologie op . Uit de definitie van een norm volgt dat de vectorbewerkingen met deze topologie compatibel zijn. Bovendien is een metrische ruimte steeds een Hausdorff-ruimte. Genormeerde vectorruimten zijn dus op natuurlijke wijze topologische vectorruimten.

Als de aldus ontstane metrische ruimte volledig is, dan spreken we van een Banachruimte.

Algemener, zij  een translatie-invariante metriek op een vectorruimte , dat wil zeggen een metriek met de eigenschap dat  voor alle vectoren ,  en . Op dezelfde manier als hierboven wordt  op natuurlijke wijze een topologische vectorruimte.

Als de onderliggende metrische ruimte volledig is, dan spreken we van een -ruimte.

Als we de norm hierboven vervangen door een seminorm (die geen norm is), dan voldoet de topologische ruimte niet meer aan de Hausdorff-eigenschap. Zij echter  een (eventueel oneindige) familie seminormen op , geïndexeerd door een willekeurige verzameling . Veronderstel dat de familie  onderscheidend is in de zin dat voor iedere niet-nulvector  er minstens één lid  van de familie bestaat waarvoor  Dan bestaat er een kleinste topologie op  die alle  continu maakt. Die topologie voldoet aan de eisen van een topologische vectorruimte met inbegrip van de Hausdorff-eigenschap.

Voorbeelden 
De eindigdimensionale ruimten  en  met hun Euclidische norm zijn Banachruimten. Overigens zijn, bij gelijke eindige dimensie en lichaam, alle normen equivalent: ze induceren dezelfde topologische structuur.

-ruimten
Zij . Noem  de vectorruimte der oneindige rijen
 waarvan de -de machten een absoluut convergente reeks vormen:

De -de machtswortel uit bovenstaande uitdrukking is een volledige norm op . Deze norm wordt gewoonlijk met een index  genoteerd: . Het paar  is een Banachruimte.

Definieer de vectorruimte  als verzameling der oneindige rijen waarvan de grootte begrensd is:

Dan is  eveneens een Banachruimte.

-ruimten
Zij . Definieer de vectorruimte  met de verzameling Lebesgue-meetbare functies op het interval  waarvan de -de macht Lebesgue-integreerbaar is:

(eigenlijk gaat het om functieklassen: twee Lebesgue-meetbare functies behoren tot dezelfde klasse als hun verschil een nulfunctie is)

Als , dan is de -de machtswortel van  een volledige norm, die men eveneens  noteert.

Als , dan is  (zonder machtswortel) een translatie-invariante metriek op . De aldus ontstane metrische ruimte is volledig, we hebben dus een -ruimte (maar geen norm).

Naar analogie met  wordt  gedefinieerd als de collectie der essentieel begrensde Lebesgue-functieklassen (er bestaat een nulverzameling buiten dewelke de leden van de klasse absoluut begrensd zijn), met als norm het essentieel supremum

waar  varieert over alle Lebesgue-nulverzamelingen. Ook dit is een Banachruimte.

Voor meer details over deze ruimten: zie het artikel Lp-ruimten.

Convexiteit 
Een verzameling vectoren is convex als met ieder puntenpaar ook het tussenliggende lijnstuk tot die verzameling behoort.

Een lokaal convexe topologische vectorruimte is een topologische vectorruimte waarin de nulvector (en dus elk ander punt) een lokale basis heeft die uit convexe verzamelingen bestaat. Het blijkt dat dit precies dezelfde ruimten zijn als degenen die door een onderscheidende familie seminormen worden voortgebracht (zie hoger bij "normen en metrieken").

Een translatie-invariante metriek brengt niet altijd een lokaal convexe ruimte voort. We noemen Fréchetruimte iedere lokaal convexe -ruimte. (Dit begrip mag niet verward worden met het topologische scheidingsaxioma , dat eveneens naar Maurice Fréchet vernoemd is).

De hierboven gedefinieerde -ruimte  voor  is niet lokaal convex en dus geen Fréchetruimte.

Continue lineaire afbeeldingen 
In praktische toepassingen wordt bijna altijd gebruikgemaakt van lineaire afbeeldingen van de ene topologische vectorruimte naar de andere, of transformaties binnen eenzelfde ruimte. Een afbeelding  tussen vectorruimten is lineair als ze de optelling van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging respecteert 

Bijzondere aandacht verdienen natuurlijk lineaire afbeeldingen die de topologische structuur respecteren in de zin dat ze continu zijn: voor elke omgeving  van de nulvector van  bestaat er een omgeving  van de nulvector van  die binnen  wordt afgebeeld.

De operatorentheorie bestudeert al dan niet continue lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten.

Duale ruimte 
De duale ruimte  van een topologische vectorruimte  bestaat uit de continue lineaire functionalen op , dat wil zeggen de continue lineaire afbeeldingen van  naar zijn scalairenlichaam (de reële of complexe getallen).

De vectorruimtestructuur van  (optelling en scalaire vermenigvuldiging) ligt voor de hand. Deze ruimte kan worden uitgerust met de kleinste topologie die de evaluatie-afbeeldingen

continu maakt (dit is een voorbeeld van een initiale topologie). Die topologie noemt men de zwak* ("zwak-ster") topologie. Ze blijkt steeds Hausdorff te zijn en maakt dus van  een topologische vectorruimte. Deze topologische vectorruimte is bovendien lokaal convex.

Op de oorspronkelijke ruimte  kan men de kleinste topologie bekijken die alle elementen van  continu maakt, dus eveneens een initiale topologie. Deze is evenwel slechts Hausdorff als de continue lineaire functionalen scheidend zijn, dat wil zeggen als er voor ieder element  minstens één continue lineaire functionaal 
 bestaat met . 
Niet alle topologische vectorruimten  hebben "voldoende veel" continue lineaire functionalen om hieraan te voldoen, maar als  lokaal convex is geldt deze eigenschap wel. In dat geval spreken we van de zwakke topologie van . De zwakke topologie kan best verschillend zijn van de oorspronkelijke topologie van , maar ze is in elk geval lokaal convex. Haar duale ruimte is bovendien opnieuw .

De benaming "zwakke topologie" steunt op het feit dat de open verzamelingen van deze topologie een deelverzameling vormen van de oorspronkelijke topologie van X.

Voorbeeld
Uit de representatiestelling van Riesz volgt dat de duale ruimte van , de continue complexe functies op het gesloten eenheidsinterval, bestaat uit complexe Borelmaten (complexe lineaire combinaties van kansmaten).

Bronnen

Functionaalanalyse