BCH-code (coderingstheorie)
In de coderingstheorie is een BCH-code een cyclische foutcorrigerende code die gegenereerd wordt door een polynoom over een eindig lichaam. BCH-codes zijn in 1959 bedacht door Hocquenghem en onafhankelijk van deze in 1960 door Bose en Ray-Chaudhuri. De afkorting BCH is opgebouwd uit hun initialen. 

Een groot voordeel van BCH-codes is dat ze worden gedecodeerd door middel van een algebraïsche methode die bekendstaat als syndroom decoderen. Hierdoor kan de benodigde elektronische hardware eenvoudig zijn, en is het energieverbruik beperkt. Daarnaast zijn ze als een klasse codes flexibel, met instelbaarheid van bloklengte en inzetbaarheid bij in de praktijk voorkomende bitfoutkansen. Dus bij een specificatie kan een code worden ontworpen (vanzelfsprekend wel binnen de wiskundige grenzen).

Technisch uitgedrukt is een BCH-code een multiniveau, cyclische, fout-corrigerende, variabele lengte digitale code, die gebruikt wordt voor het corrigeren van foutpatronen met meer dan één bitfout per blok. BCH-codes kunnen ook worden gebruikt met multiniveau phase-shift keying, mits het aantal niveaus een priemgetal is, of een macht van een priemgetal. Een BCH-code met 11 niveaus is gebruikt voor het representeren van 10 decimale digits plus een teken.

Constructie 
Een BCH-code wordt gegenereerd door een polynoom over een eindig lichaam , waarin  een macht van een priemgetal is.

Een eenvoudige klasse BCH-codes 
Definitie 
Voor positieve gehele getallen  en  met   een priemgetal,  en , wordt een polynoomcode met bloklengte  en een minimum hammingafstand van minstens  bepaald door de genererende polynoom die het kleinste gemeenschappelijke veelvoud  is. Daarin is  de minimale polynoom van  over , met  een primitief element in .

Voorbeeld
In het voorbeeld is  en , dus .

Volgens de theorie bestaat er een primitieve wortel  met een minimale polynoom van graad  die voldoet aan:
 

De bijbehorende minimale polynoom over  is: 

In  geldt , zodat:

Dus  is een wortel van , en blijkbaar is:  

De minimale polynoom  van  is ook van de graad 4: 

Nu is:
,
dus
,
zodat

Het blijkt dat

De minimale polynoom van  is de polynoom 
.  

Op vergelijkbare wijze vindt men: 

Deze polynomen zijn juist de vier irreducibele polynomen.

De BCH-code met  heeft als genererende polynoom

De minimale hammingafstand is minstens 3 en hij corrigeert 1 bitfout. Omdat de genererende polynoom van de graad 4 is, heeft deze code 11 data-bits en 4 checkbits. 

De BCH-code met  heeft als genererende polynoom

De minimale hammingafstand is minstens 5 en de code corrigeert 2 bitfouten. Omdat het genererende polynoom de graad 8 heeft, bevat deze code 7 data-bits en 8 checkbits. 

De BCH-code met  heeft als genererende polynoom

De minimale hammingafstand is minstens 7 en de code corrigeert 3 bitfouten. Deze code heeft 5 data-bits en 10 checkbits. 

De BCH-code met  en hoger heeft als genererende polynoom

Deze code heeft minstens hammingafstand 15 en corrigeert 7 bitfouten. De code heeft 1 data-bit en 14 checkbits. Feitelijk bestaat deze code uit de volgende twee codewoorden: 000000000000000 and 111111111111111.

Algemene BCH-codes 
Algemene BCH-codes wijken op twee punten af van de hierboven behandelde eenvoudige BCH-codes. Ten eerste is de eis dat  vervangen door een meer algemene eis. Ten tweede is het zo dat de opeenvolgende wortels van de generatorpolynoom niet bij  hoeven te beginnen; voldoende is dus als de rij eruitziet als volgt:  (in plaats van ).

Definitie 
Neem een eindig lichaam , waarbij  een macht is van een priemgetal. Kies positieve gehele getallen  zodat , , en  is de multiplicatieve orde van  modulo  (dat wil zeggen  is de kleinste macht met de eigenschap dat  modulo ). 

Zoals hierboven is  een primitieve -de machts eenheidswortel in , en is (voor alle i)  de minimale polynoom over  van . De generatorpolynoom van de BCH-code is nu gedefinieerd als het kleinste gemeenschappelijke veelvoud .

NB
Als , zoals in het eenvoudige geval, is  gelijk aan 1, en is de orde van  automatisch gelijk aan . De 'eenvoudige' BCH-code is dus inderdaad een specifiek voorbeeld binnen de algemene BCH-codes.

Eigenschappen 
1. De generatorpolynoom van een BCH-code heeft als graad ten hoogste . En als  en , dan is de graad van de generatorpolynoom ten hoogste . 

Bewijs: elke minimale polynoom  heeft als graad ten hoogste . Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van  minimale polynomen heeft dus ten hoogste de graad . En als , is  voor alle . Dus  is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van ten hoogste  minimale polynomen  voor oneven indices , die elk ten hoogste de graad  hebben.

2. Een BCH-code heeft als minimale hammingafstand ten minste . Bewijs in het eenvoudige geval (het bewijs voor het algemene geval is vergelijkbaar). Neem aan dat  een codewoord is met minder dan  digits ongelijk aan nul. Dan is 

We wisten dat  wortels zijn van , en dus ook van . Hieruit volgt dat  aan de volgende vergelijkingen voldoen voor :

Dit delen we nu door , en we definiëren , om als resultaat te verkrijgen 

voor alle , hetgeen equivalent is met 

Deze matrix is een vandermonde-matrix, en heeft als determinant 
,
hetgeen ongelijk aan nul is. Hieruit volgt dat , en dus .

3. Een BCH-code is cyclisch.

Bewijs: een polynoomcode met bloklengte  is dan en slechts dan cyclisch als zijn generatorpolynoom een deler is van . Omdat  de minimale polynoom is met wortels , behoeft slechts te worden gecontroleerd dat alle  wortel zijn van . Echter, dit volgt direct uit het feit dat  per definitie een de machts eenheidswortel is.

Speciale gevallen 

 Een BCH-code met  wordt een BCH-code in engere zin genoemd.
 Een BCH-code met  wordt primitief genoemd.

De hierboven beschouwde "eenvoudige" BCH-codes vormen precies de primitieve BCH-codes in engere zin.  

 Een BCH-code in engere zin met  wordt een Reed-Solomon code genoemd.

Discrete wiskunde
Informatietheorie
Code