Kettingregel
De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie  de samenstelling is van de functies  en , dus , dan is:
 ,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met  aanduidt en zegt dat  via  van   afhangt:
 

De integratie door substitutie is een van de meest gebruikte technieken om de primitieve functie van een gegeven functie te vinden en volgt uit deze kettingregel.

Formalisering 
Laat  en  open intervallen zijn en  en  functies met . Als  differentieerbaar is in het punt  en  differentieerbaar in het punt , dan is de samenstelling  differentieerbaar in , en er geldt:

Schets van een bewijs 
 
 
 
 
 
 

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat
 

zodat in het bewijs door 0 zou worden gedeeld.

Toepassing

Voorbeelden 
De functie
 
is de samenstelling van de functies 
 
en
 

De afgeleide van  kan met de kettingregel worden bepaald:
 

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

 

Deze functie is een 'ketting' 
 

van de functies:

 

 

 

 

De afgeleiden van deze functies zijn:

 

 

 

 

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

 

dus:

 
en na invullen

Inverse functie 
Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie  en daarvan de inverse .

Er geldt immers: , zodat volgens de kettingregel:

 
zodat

Toepassing  
De afgeleide van de arcsinus:

Reciproque 
De afgeleide van de reciproque  van een functie  kan ook met de kettingregel worden bepaald. Er geldt immers: , met , zodat volgens de kettingregel:

Meer dan een variabele 
Stel dat  de samenstelling is van de afbeeldingen  en  in meer dan een variabele. Bijvoorbeeld

 

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies  en  in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

 

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval  ook differentieerbaar is in  en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van  en 
 

Als de betrokken lineaire afbeeldingen als rechthoekige matrices worden opgevat, die uit alle mogelijke partiële afgeleiden bestaan, dan is de matrix van  gelijk aan het product van de matrices van  en .

  met  en 

Bijvoorbeeld voor :

 

Met aanvullend  en  geeft dit:

Als , dan

 

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.

Afgeleide