Bilineaire vorm
In de wiskunde is een bilineaire vorm  op een vectorruimte  over een lichaam (Ned) / veld (Be)  van scalairen een bilineaire afbeelding . Een bilineaire vorm  is dus lineair in ieder argument afzonderlijk. Het beeld  onder een bilineaire afbeelding  van twee vectoren  en  wordt ook genoteerd met .

 
 
 
 

Het standaardinproduct is dus een bilineaire vorm, maar er zijn meer mogelijkheden. Het wordt erbij vermeld wanneer de bilineaire vorm anders is gedefinieerd dan als het standaardinproduct.

Een uitgebreidere definitie laat toe dat  een afbeelding is op het cartesische product  van twee verschillende vectorruimten over .

Als van de vectorruimte een basis  is gegeven, wordt een bilineaire vorm geheel bepaald door de beelden  van alle combinaties van twee basisvectoren. 

Een bilineaire vorm op een -dimensionale ruimte wordt geheel vastgelegd door de -grammatrix  van de basisvectoren, dus met elementen:
 

Als , waarvan de basis uit  eenheidsvectoren bestaat, geldt voor twee vectoren :
 

Een bilineaire vorm heet ontaard als de matrix een singuliere matrix is.

Symmetrie 
Een bilineaire vorm is symmetrisch als voor alle  geldt:
 

Bij de symmetrische bilineaire vorm  hoort de kwadratische vorm
 

Als de karakteristiek van  geen twee is, is er een bijectie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:
 

Symmetrische bilineaire vormen spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.

Voor een bilineaire vorm  op een -dimensionale vectorruimte definieert men de grammatrix  van een -tal vectoren  door:

Generalisatie 
De definitie van een bilineaire vorm kan naar modulen over een commutatieve ring worden uitgebreid, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Als , de complexe getallen, is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die met bilineaire kunnen worden vergeleken, maar die in een argument geconjugeerd lineair zijn.

Websites 
 MathWorld. Symmetric Bilinear Form. 

Functionaalanalyse
Lineaire algebra