Karakteristiek polynoom
In de lineaire algebra is het karakteristieke polynoom of de karakteristieke veelterm van een vierkante matrix een polynoom dat enkele specifieke kenmerken van de matrix bevat, zoals het spoor en de determinant van de matrix. Het karakteristieke polynoom van een vierkante matrix wordt vooral gebruikt om de eigenwaarden van die matrix mee te bepalen.

Definitie 
Voor een -matrix  is het karakteristieke polynoom , gedefinieerd door:

 

Hierin staat 'det' voor de determinant en  voor de -eenheidsmatrix. Het is dus de determinant van de matrix die ontstaat nadat van elk van de elementen op de hoofddiagonaal van  het getal  is afgetrokken.

Stelt men het karakteristieke polynoom gelijk aan 0, dan ontstaat de karakteristieke vergelijking:

 

Dit is een veeltermvergelijking van graad  in de onbekende  waarvan de oplossingen de eigenwaarden van  zijn.

Eigenschappen 
In de eigenschappen hieronder is  een -matrix met karakteristiek polynoom .
 De nulpunten van  zijn de eigenwaarden van . 
 De constante term in  is de determinant van .
 De coëfficiënt van  is het spoor van , op het teken na indien  even is.

De laatste twee eigenschappen maken het mogelijk het karakteristieke polynoom  van een 2×2-matrix  te schrijven als: 
 

 Gelijksoortige matrices hebben hetzelfde karakteristieke polynoom.
 De getransponeerde matrix heeft hetzelfde karakteristieke polynoom als de matrix zelf.
 Stelling van Cayley-Hamilton: Een matrix voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking, symbolisch: .

Voorbeeld 
Beschouw de volgende 2×2-matrix :
 
Het karakteristieke polynoom is:
 

Uit het karakteristieke polynoom volgen nu direct de determinant en het spoor volgens de eerder gegeven eigenschappen.

De eigenwaarden zijn de nulpunten van de karakteristieke vergelijking:
 
De eigenwaarden van  zijn dus 1 en 2.

 voldoet zelf aan zijn karakteristieke vergelijking, want:

Literatuur 
 W Bosma. Het karakteristieke polynoom, 2008.  voor de Radboud Universiteit

Lineaire algebra
Veelterm