C*-algebra
C*-algebra's (uitgesproken als "C-ster") vormen een belangrijk gebied van onderzoek in de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde.

Een C*-algebra is een Banach-algebra uitgerust met een involutie * zodanig dat voor iedere vector  geldt dat 

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen:

 A is een topologisch gesloten verzameling in de normtopologie van de operatoren.
 A is gesloten onder de operatie van het nemen van toevoegingen van operatoren.

Definitie
In de context van een Banach-algebra  verstaat met onder involutie een afbeelding  die niet alleen haar eigen inverse is (de gebruikelijke definitie van een involutie) maar die bovendien als volgt de structuur van de Banach-algebra respecteert:

Een C*-algebra is een Banach-algebra  uitgerust met een involutie  die voldoet aan de normgelijkheid

Voorbeelden

Vierkante matrices
In de complexe Euclidische vectorruimte  wordt de norm van een vector  gegeven door

De complexe vectorruimte  der vierkante complexe -matrices kan worden opgevat als een algebra van lineaire transformaties van  Ze wordt een Banach-algebra door de norm van een matrix te definiëren als

De operatie  die een matrix omvormt in zijn complex toegevoegde getransponeerde

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

Complexe getallen
Als bijzonder geval hiervan is  zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

Hilbertruimte-operatoren
Algemener vormt de Banach-algebra  der continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte  een C*-algebra voor de involutie die elke operator  omvormt in zijn toegevoegde operator : dit is de unieke afbeelding  die voldoet aan

Continue functies
Als  een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte  der complexwaardige continue functies op  een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van  een (commutatieve) C*-algebra.

Deelalgebra
Een gesloten Banach-deelalgebra van een gegeven C*-algebra die bovendien stabiel blijft onder de involutie, is opnieuw een C*-algebra. In combinatie met het hogergenoemde voorbeeld  levert dit het typische voorbeeld uit de inleidende paragraaf.

Tegenvoorbeeld
De ruimte  hierboven, met dezelfde involutie (complex toegevoegde van de getransponeerde matrix) is niet noodzakelijk een C*-algebra als met een andere norm wordt gewerkt, bijvoorbeeld de norm die met een matrix de grootste absolute waarde van een van zijn matrixelementen associeert.

Functionaalanalyse
Wiskundige structuur
Theoretische natuurkunde