Product van ringen
In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het mogelijk om verschillende ringen te combineren tot een grotere productring. Het directe product van de samenstellende ringen. Het directe product van de ringen , met  een willekeurige indexverzameling wordt gevormd door het cartesisch product  met als bewerkingen de coördinaatsgewijze uitgevoerde bewerkingen van de samenstellende ringen. Dat houdt in dat voor de elementen  en  geldt:
 
en

Voorbeeld
Een belangrijk voorbeeld is de ring  van de gehele getallen modulo . Als 

is ontbonden in priemfactoren (zie hoofdstelling van de rekenkunde), volgt uit de Chinese reststelling dat  op natuurlijke wijze isomorf met de productring

Eigenschappen  
Als  een product van ringen is, dan bestaat voor elke  een surjectief ringhomomorfisme  dat het product op de -de coördinaat projecteert. Het product  heeft, samen met de projecties , de volgende universele eigenschap: 

Voor een willekeurige ring  en ringhomomorfismen  voor iedere  bestaat er precies één ringhomomorfisme , zodanig dat voor alle  geldt: . 

Dit toont aan dat het product van ringen een instantiëring van producten in de zin van de categorietheorie is. 

Als  voor alle  een ideaal is van , dan is  een ideaal van . Als  eindig is, dan is ook het omgekeerde waar, dat wil zeggen dat ieder ideaal van  van deze vorm is. Maar als  oneindig is en de ringen  niet de nulring zijn, dan is het omgekeerde onwaar: de verzameling van alle elementen met op een eindig aantal na, alle coördinaten ongelijk aan 0, vormt een ideaal dat geen direct product van idealen van de samenstellende ringen  is. Het ideaal  is een priemideaal in  als op één na elke  gelijk is aan  en de enige andere  een priemideaal in  is. Het omgekeerde is echter niet waar als  oneindig is. De directe som van de  bijvoorbeeld vormt een ideaal dat niet vervat is in enige dergelijke , maar uit het keuzeaxiomavolgt dat het vervat is in een maximaal ideaal, dat a fortiori priem is. 

Een element  is dan en slechts dan een eenheid als al zijn componenten ook eenheden zijn dat btekent: dan en slechts dan als voor elke  de projectie  een eenheid is in . De groep van de eenheden van  is het directe product van de groepen van de eenheden van de . Een product van meer dan een  ring ongelijk aan de nulring heeft altijd nuldelers: als namelijk voor  de elementen  en  van het product zo zijn dat alle coördinaten gelijk zijn aan 0 behalve  en  dan is in de   productring .

Zie ook
Direct product

Ringtheorie