Kromme van Agnesi
De kromme van Agnesi (soms ook heks van Agnesi) is in de vlakke euclidische meetkunde een derdegraads kromme die synthetisch construeerbaar is via een elementair meetkundig voorschrift en analytisch de grafiek is van een rationale functie.

De kromme is vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), die over deze kromme in 1748 publiceerde in haar boek Instituzione analytice. Ook Pierre de Fermat en Guido Grandi schreven over deze kromme, respectievelijk in 1666 (in: Méthodes de Quadrature) en 1703 (in: Quadratura).

Constructieve definitie 
Het punt  is een variabel punt van de vaste cirkel ; zie bovenstaande figuur. De punten  en  zijn de  eindpunten van een vaste middellijn van . De lijn  snijdt de raaklijn  in  aan  in het punt . Het punt  is hoekpunt van de in  rechthoekige driehoek .
De kromme van Agnesi is dan de meetkundige plaats van  als  de cirkel doorloopt.

Afleiding van de vergelijking 

In een standaard euclidisch assenstelsel is  en is een vergelijking van de definiërende cirkel  met straal  en middelpunt op de -as (zie de figuur hierboven):

Een vergelijking van de raaklijn  in  aan die cirkel is  en die van de lijn  door  en door een willekeurig punt  op  is .
De coördinaten  van het punt  voldoen nu aan het stelsel vergelijkingen:
 zodat: , terwijl .
Voor de coördinaten  van het punt  geldt dan:

Eliminatie van  uit beide relaties geeft dan de vergelijking van de kromme:

Voor verschillende posities van  op de -as ontstaat een familie van krommen van Agnesi, waarvan  de parameter is.

Eigenschappen 
Uit de vergelijking kunnen de volgende eigenschappen van de kromme worden afgeleid.
 De -as is symmetrie-as van de kromme.
 De kromme nadert voor grote positieve en negatieve waarden van  asymptotisch tot de -as, dat wil zeggen tot de raaklijn in het punt  aan de cirkel .
 De kromme heeft een top in het punt . De definiërende cirkel raakt daar drievoudig aan de kromme: de cirkel is de osculerende cirkel van de kromme in het punt .
 De kromme heeft twee reële buigpunten, namelijk de punten .
 De oppervlakte van het vlakdeel tussen de kromme en de -as is gelijk aan .
 De inhoud van het lichaam dat ontstaat door de gehele kromme te wentelen om de -as, is gelijk aan .

Etymologie 

Agnesi gaf, evenals Grandi, aan de kromme de naam versiera. In die tijd was het in Italië gebruikelijk om woorden als aversiero of versiera (afgeleid van Lat. adversarius = tegenstander) te gebruiken als er over de duivel gesproken werd. Versiera werd in het bijzonder gebruikt om de vrouw van de duivel, een ‘heks’, aan te duiden. Hierdoor vertaalde Cambridge-hoogleraar John Colson (1680-1760) de naam van de kromme abusievelijk als witch (= heks). Latere werken over Agnesi en over de kromme suggereren andere oorzaken van het tot stand komen van deze onjuiste vertaling.
Dirk Struik vermeldt:
The word [versiera] is derived from Latin vertere, to turn, but is also an abbreviation of Italian avversiera, female devil. Some wit in England once translated it “witch”, and the silly pun is still lovingly preserved in most of our textbooks in the English language.
We have taken Agnesi’s introduction of the versiera as one of our selections to honor the first important woman mathematician since Hypatia (fifth century a.d.).
The curve had already appeared in the writings of Fermat (Oeuvres, I, 279-280; III, 233-234) and of others; the name versiera is from Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). [...] The first to use the term "witch" in this sense may have been B. Williamson (1875) in: Integral calculus (p. 173).

Toepassingen 
(1) Voor  is het functievoorschrift van de kromme .
Als nu de geschaalde functie  wordt beschouwd, dan is de oppervlakte van het vlakdeel tussen de grafiek en de -as gelijk aan . En daarmee komt de laatste functie overeen met de kansdichtheidsfunctie van de standaard Cauchy-verdeling.

(2) De functie met het voorschrift  werd door Leibniz gebruikt om een formule voor  af te leiden. Deze formule, de oneindige reeks:

kan worden gevonden door via de integraal van de functie en de taylorontwikkeling van de functie, te weten:

deze laatste uitdrukking term voor term te integreren op het interval .

Externe links 
 Witch of Agnesi, via MathWorld
  : A Few of My Favorite Spaces: The Witch of Agnesi. In: Scientific American, Blogs

Meetkunde
Wiskundige kromme
Grafiek