Eenheid (algebra)
In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, heet een element  van een unitaire ring , d.w.z. een (niet noodzakelijk commutatieve) ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging, een eenheid in , als  een invers element voor de vermenigvuldiging heeft. Eenvoudig geformuleerd: een eenheid is een deler van 1.

De term moet niet verward worden met de term eenheid zoals die soms gebruikt wordt om het eenheidselement 1 van de ring aan te duiden, in een uitdrukkingen als 'ring met eenheid'. Om deze reden noemen sommige auteurs het element 1 de 'identiteit'.

Eigenschappen
 De verzameling van alle eenheden vormt een groep voor de vermenigvuldiging.  Het product van twee eenheden is immers ook weer een eenheid.
 Als  een lichaam (Ned) / veld (Be) is, dan is elk element, buiten het neutraal element van de optelling, een eenheid.

In een ring  met een multiplicatieve identiteit  heet een element  een eenheid als het multiplicatieve inverse  heeft in de ring, dus waarvoor geldt: 

De verzameling eenheden  van de ring vormt een groep, de eenhedengroep, onder de vermenigvuldiging van de ring.

Voorbeelden
 De multiplicatieve identiteit  en zijn additieve inverse  zijn altijd eenheden. 
 Meer in het algemeen is elke eenheidswortel  in een ring een eenheid, want als , dan is  een multiplicatieve inverse van .
 In een niet-triviale ring is het nulelement  geen eenheid, zodat de eenhedengroep  niet gesloten is onder optellen.
 Een ring  waarin elk element ongelijk aan  een eenheid is (dat wil zeggen dat ) wordt een delingsring (of scheeflichaam (Ned)/lichaam (Be)) genoemd. Een commutatieve delingsring is een lichaam (Ned) / veld (Be). De eenhedengroep  van het lichaam/veld  van de reële getallen is .
 In de deelverzameling van de complexe getallen , de zogeheten gehele getallen van Gauss, zijn 1, i, -1 en -i de eenheden.
 In  zijn de eenheden de constante niet-nul functies.

Gehele getallen
In de ring van gehele getallen  zijn  en  de enige eenheden.

In een getallenlichaam kunnen over het algemeen meer eenheden voorkomen. Zo is in de ring , die ontstaat door het kwadratisch geheel getal  aan  toe te voegen:

dus zijn  en  eenheden. (In feite is de eenheidsgroep van deze ring oneindig. Aangezien toenemende machten van  steeds groter worden en ook eenheden zijn, is de groep duidelijk niet-cyclisch.)

In feite beschrijft de eenheidsstelling van Dirichlet precies de structuur van : de groep is isomorf met een groep in de vorm van een directe som

waarbij  de eindige, cyclische groep van eenheidswortels is in , en  de rang van de eenhedengroep is, waarbij  respectievelijk het aantal echte inbeddingen en het aantal paren complexe inbeddingen van  zijn.

Hiermee wordt het bovenstaande voorbeeld verbeterd: de eenhedengroep van een reëel kwadratisch lichaam/veld is oneindig van rang 1, aangezien .

In de ring  van gehele getallen modulo  zijn de eenheden de congruentieklassen modulo  gerepresenteerd door gehele getallen die copriem zijn met . Ze vormen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo .

Veeltermen en machtreeksen
Voor een commutatieve ring  zijn de eenheden van de polynoomring  precies die polynomen

waarvan  een eenheid is in , en de resterende coëfficiënten  nilpotente elementen zijn, d.w.z. voldoen  voor een of andere . 
In het bijzonder, als  een integriteitsdomein is (heeft geen nuldelers), komen de eenheden van  overeen met die van .

De eenheden van de ring van formele machteeksen  zijn precies die  machtreeksen

waarvoor  een eenheid is in .

Matrixringen
De eenhedengroep van de ring  van -matrices over een ring  is de groep   van inverteerbare matrices. Voor een commutatieve ring  is een element  van  dan en slechts dan inverteerbaar, als de determinant van  inverteerbaar is in . In dat geval wordt  expliciet gegeven door de regel van Cramer.

Algemeen
Als in een ring  voor  en  het element  inverteerbaar is, dan is ook  inverteerbaar
met inverse . De uitdrukking voor de inverse kan begrepen worden, maar niet bewezen, door de volgende berekening in een niet-abelse ring van machtreeksen:

Eenhedengroep
De eenheden van een ring  vormen een  groep  onder vermenigvuldiging, de eenhedengroep van . Andere veel voorkomende notaties voor  zijn ,  en . 

Een commutatieve ring is een lokale ring als  een maximaal ideaal is. Het blijkt dat als  een ideaal is, dan is het noodzakelijkerwijs een maximaal ideaal en is  lokaal van , aangezien een maximaal ideaal onsamenhangend is. Als  een eindig lichaam/veld is, dan is  een cyclische groep van de orde . 

De formulering van de groep eenheden definieert een functor  van de categorie van ringen naar de categorie van groepen: elk ringhomomorfisme  induceert een groepshomomorfisme , aangezien  eenheden toewijst aan eenheden.

Geassocieerde elementen  
De elementen  en  van een  commutatieve ring  heten geassocieerd als er een eenheid  bestaat waarvoor , genoteerd als . In elke ring zijn paren van tegengestelde elementen  en  geassocieerd. (De elementen  en  zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. In de ring van gehele getallen modulo 6 bijvoorbeeld is , hoewel . Zo zijn 6 en −6 geassocieerd in . Over het algemeen is  een equivalentierelatie op . 

Geassocieerdheid kan ook worden beschreven in termen van de groepswerking van  op  via vermenigvuldiging: Twee elementen van  zijn geassocieerd als ze zich in dezelfde -baan bevinden. In een integriteitsdomein heeft de verzameling van geassocieerden van een gegeven niet-nul element dezelfde kardinaliteit als .

Zie ook 
 Deelbaarheid (algebra)
 Irreducibel
 Priemelement

Ringtheorie
Algebraïsche getaltheorie
Groepentheorie
Een