Compacte groep
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een compacte groep een topologische groep, waarvan de topologie compact is. Compacte groepen zijn natuurlijke generalisaties van eindige groepen met discrete topologie en hebben eigenschappen die in belangrijke mate daarmee overeenkomen. Compacte groepen hebben een goed begrepen theorie met betrekking tot groepsbewerkingen en de representatietheorie 

In het hieronderstaande wordt aangenomen dat alle groepen voldoen aan de hausdorff-eigenschap.

Compacte lie-groepen
Lie-groepen vormen een klasse van topologische groepen, en daarbinnen hebben de compacte lie-groepen een bijzonder goed ontwikkelde theorie. Basisvoorbeelden van compacte lie-groepen zijn 
 De cirkelgroep  en de torusgroepen .
 De orthogonale groepen , de speciale orthogonale groep  en haar dekkende spingroepen . 
 De unitaire groep  en de speciale unitaire groep .
 De symplectische groep .
 De compacte vorm van de sprciale lie-groepen: , , , , en . 
 Alle eindige groepen (met discrete topologie). 

De classificatiestelling van compacte lie-groepen stelt dat op eindige uitbreidingen en eindige dekkingen  na, dit een uitputtende lijst van voorbeelden is, die overigens al enige redundantie bevat.

Classificatie 
Gegeven een willekeurige compacte lie-groep  kan men haar identiteitscomponent  nemen, die samenhangend is. De factorgroep  is de groep van componenten , die eindig moet zijn, aangezien  compact is. We hebben daarom een eindige uitbreiding

Nu heeft elke compacte, samenhangende lie-groep  een eindige dekking voor

waarin
 

een eindige abelse groep is en  een product is van een torus en een compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende Lie-groep :

Ten slotte is elke compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende lie-groep  een product van compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende enkelvoudige lie-groepen  elk waarvan isomorf is aan precies een van

 of .

Verdere voorbeelden 
Groepen die geen lie-groepen zijn en die niet de structuur van een variëteit dragen, zijn bijvoorbeeld de additieve groep  van p-adische gehele getallen en de constructies daarvan. In feite is elke profiniete groep een compacte groep. Dit betekent dat Galoisgroepen compacte groepen zijn, een fundamenteel feit uit de theorie van de algebraïsche uitbreidingen in het geval van oneindige graad. 

Pontryagin-dualiteit biedt een groot aantal voorbeelden van compacte commutatieve groepen. Deze staan in dualiteit met abelse discrete groepen.

Haar-maat 
Compacte groepen hebben alle een haar-maat die invariant is onder zowel links- als rechtstranslaties. Met andere woorden: deze groepen zijn unimodulair. De haar-maat kan eenvoudig tot een kansmaat worden genormaliseerd analoog aan  op de cirkel. 

Een dergelijke haar-maat is in veel gevallen eenvoudig te berekenen; voor orthogonale groepen wist Adolf Hurwitz bijvoorbeeld reeds hoe dit moest. In gevallen van lie-groepen kan de haar-maat altijd worden gegeven door een invariante differentiaalvorm. In het profiniete geval zijn er vele deelgroepen van eindige index, en de haar-maat van een nevenklasse zal de reciproque van de index zijn. Daarom zijn integralen vaak heel direct berekenbaar, een feit dat vaak wordt toegepast in de getaltheorie.

Zie ook
Lokaal compacte groep

Groepentheorie