Convexe functie
In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, wordt een reëelwaardige functie , gedefinieerd op een bepaald interval,  een convexe functie genoemd over dat interval als voor twee willekeurige punten  en  in dat interval en voor elke  in  geldt dat 
 

Een functie is convex dan en slechts dan als de verzameling van alle punten die op of boven de grafiek van de functie liggen een convexe verzameling is. Dat is hetzelfde dat alle punten op de functie in het bedoelde interval onder het lijnstuk liggen dat deze twee punten met elkaar verbindt. Een convexe functie wordt ook een bolle functie genoemd. 

Een functie wordt strikt convex genoemd als
 

voor alle  in , waarbij .

Concave functie 
Een functie  waarvoor de tegengestelde functie  een convexe functie is, wordt een concave of holle functie genoemd. De grafiek van een convexe functie heeft de vorm van een  en een concave functie de vorm van een .

Eigenschappen 
Als  convex is op het interval  en  het inwendige van  is, dus zodat eventuele randpunten worden weggelaten, dan heeft  op  overal een linkerafgeleide  en een rechterafgeleide . Beiden zijn stijgende functies, en . Ze zijn gelijk, dus is de afgeleide van  gedefinieerd, op hoogstens een aftelbaar aantal punten na.

Een functie  is convex op het open interval  dan en slechts dan als  kan worden geschreven als integraal van een stijgende functie  op dat interval:
 

Wiskundige analyse