Presentatie (groepentheorie)
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een presentatie van een groep een manier om de groep voor te stellen met behulp van een aantal voortbrengende elementen van de groep en een aantal relaties die tussen deze voortbrengers bestaan. De voortbrengende elementen vormen een genererende verzameling, zodat elk element van de groep voorgesteld kan worden als het product van enige van deze voortbrengers en hun inversen. Bovendien is de manier van voorstellen uniek op een of meer van de gegeven relaties na. Het begrip moet niet verward worden met groepsrepresentatie.

Een presentatie van een groep  wordt genoteerd als
,

waarin  de verzameling voortbrengers is en  de verzameling relaties. 

Informeel gesproken heeft  de bovenstaande presentatie als het de "vrijste groep" is, die door  wordt gegenereerd alleen onderworpen aan de relaties . Formeel zegt men dat de groep  de bovenstaande presentatie heeft als de groep isomorf is met het quotiënt van een vrije groep op  en de normale deelgroep die door de relaties  wordt gegenereerd.

Notatie
Als  en  eindige verzamelingen zijn, noteert men de presentatie  eenvoudigweg als 

Met  de vrije groep over  schrijft men een relatie  vaak in de vorm  om te benadrukken dat dit in de factorgroep  afgebeeld wordt op het neutrale element . Iets algemener gebruikt men de eenvoudigere vorm  in plaats van de relatie .

Voorbeelden
Een eenvoudig voorbeeld is een presentatie voor de groep  van de gehele getallen met de optelling. Deze groep kan worden voortgebracht door bijvoorbeeld het enkele element . In dit geval zijn er geen relaties en dit is wordt geschreven als

Elk element  wordt eenduidig geschreven als  of als . Bij het ontbreken van relaties spreekt men van de vrije groep over de gegeven voortbrenger.

Voegt men voor  de relatie  toe, dan ontstaat een presentatie van de groep

Ook hier kan elk element  geschreven worden als  of als , maar vanwege de gegeven relatie  geldt voor alle :
 

De groep  bestaat uit precies  elementen: , de cyclische groep van de orde , isomorf met . Deze heeft de presentatie:

waarin  de groepsidentiteit is. 

Elke groep heeft een presentatie, en in feite zelfs vele verschillende presentaties; een presentatie is een compacte manier om de structuur van de groep te beschrijven.

Een nauw verwant, maar verschillend concept is dat van een absolute presentatie van een groep.

Groepentheorie