Wortelsysteem
In de groepentheorie en de meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is een wortelsysteem een configuratie van vectoren in een Euclidische ruimte, die voldoet aan bepaalde meetkundige eigenschappen. Het concept is fundamenteel in de theorie van de Lie-groepen en de Lie-algebra's. Aangezien Lie-groepen (en sommige analoga ervan, zoals algebraïsche groepen) en Lie-algebra's in de twintigste eeuw belangrijk zijn geworden in veel deelgebieden van de wiskunde, logenstraft het ogenschijnlijk specifieke karakter van het wortelsysteem het grote aantal gebieden, waarbinnen het "wortelsysteem"-concept wordt toegepast. Verder komt het classificatieschema voor wortelsystemen, door middel van Dynkin-diagram, in deelgebieden van de wiskunde, die geen nauwe relatie hebben met de Lie-theorie (zoals de singulariteitstheorie). Ten slotte zijn wortelsystemen ook op zichzelf belangrijk, zoals in de grafentheorie en in de studie van eigenwaarden.

Definitie
Een wortelsysteem in een vectorruimte  over een lichaam (Ned) / veld (Be)  met karakteristiek 0 is een deelverzameling  met de eigenschappen:

  is eindig en bevat niet de 0.
  is een voortbrengend systeem van .
 Bij iedere  is er een lineaire functionaal  waarvoor geldt:
 voor  is .
 
 De lineaire afbeelding  met  beeldt  af op .

De elementen van een wortelsysteem heten wortels.

Voorbeeld

Zij  en , dan vormen de zes vectoren  in  een wortelsysteem, dat wordt aangeduid met .

Duidelijk is dat  eindig is, niet 0 bevat en de hele  voortbrengt.  Verder geldt voor 
  dat ,   en dus geldt ook voor de andere elementen  dat . En voor de lineaire afbeelding , dus spiegeling om de "y"-as, geldt:

dus beeldt  inderdaad  af op .

  dat ,   en dus geldt ook voor de andere elementen  dat . En voor de lineaire afbeelding  geldt:

dus spiegeling om de loodlijn op  door 0. Ook  beeldt  af op .

Ook voor de andere elementen  blijken de afbeeldingen  spiegelingen te zijn om de loodlijn op  door O, en dus afbeeldingen van  op .

Externe link
 Wortelsystemen

Bronvermelding
 

Meetkunde
Groepentheorie