Ergodentheorie
Ergodentheorie is een deelgebied van de wiskunde, dat dynamische systemen met een invariante maat en de daarmee samenhangende problemen bestudeert. De initiële ontwikkeling werd ingegeven door problemen binnen de statistische natuurkunde.

Ergodentheorie is de studie van groepen van meetbare transformaties  van een maatruimte die de maat  van elke meetbare deelverzameling  van die maatruimte onveranderd laten in de zin dat 

Een centraal aspect van ergodentheorie is het gedrag van een dynamisch systeem dat gedurende lange tijd loopt. Dit wordt uitgedrukt door ergodische stellingen, die beweren dat onder bepaalde voorwaarden het tijdgemiddelde van een functie langs haar paden bijna overal bestaat en gerelateerd is aan het ruimtegemiddelde. Twee van de belangrijkste voorbeelden zijn de ergodische stellingen van Birkhoff en von Neumann. Voor de speciale klasse van ergodische systemen is het tijdgemiddelde voor bijna alle initiële punten hetzelfde: statistisch gesproken "vergeet" een systeem, dat gedurende lange tijd evolueert, haar initiële toestand. Sterkere eigenschappen, zoals mengen en equidistributie zijn ook uitvoerig bestudeerd. Het probleem van metrische classificatie van de systemen is een ander belangrijk deel van de abstracte ergodische theorie. In de ergodentheorie en de toepassingen ervan op stochastische processen wordt een opmerkelijke rol gespeeld door de verschillende noties van entropie voor dynamische systemen.

Abstract dynamisch systeem
Een abstract dynamisch systeem is een geordend viertal  waar  een niet-lege verzameling is,  een sigma-algebra van deelverzamelingen van   een kansmaat op  en  een transformatie van  die meetbaar is ten opzichte van  en die de maat  onveranderd laat in de hierboven aangegeven zin.

Deze definitie kadert in de algemene ergodentheorie als  inverteerbaar is: in dat geval beschouwen we de cyclische groep van de machten van  met gehele exponenten.

De abstracte definitie vindt haar motivering in de klassieke theorie van dynamische systemen. In dergelijke systemen is  een continue transformatie van een topologische ruimte die de mogelijke toestanden van het systeem modelleert.  bepaalt de evolutie van toestanden gedurende een gegeven tijdsinterval, en het bestaan van een geschikte invariante maat  moet worden aangetoond.

Externe links
 Ergodische theorie (29 oktober 2007) aantekeningen door Cosma Rohilla Shalizi

Systeemtheorie