title: P-adische norm
text: De -adische norm, gedefinieerd voor elk priemgetal , is een gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen anders dan de gewone absolute waarde en de triviale absolute waarde. Het belang van de -adische norm ligt in de introductie van -adische getallen. Volgens de stelling van Ostrowski is elke gegeneraliseerde absolute waarde op de rationale getallen equivalent met de gewone absolute waarde, de triviale, of een -adische norm.
  
  Definitie 
  Als gevolg van de hoofdstelling van de rekenkunde zijn er bij een gegeven priemgetal  voor elk rationaal getal  gehele getallen  en  zo, dat:
   
  en  en  niet door  kunnen worden gedeeld.
  
  De -adische norm van  is dan gedefinieerd als:
  
   
  
  Daarnaast is
   
  
  Bij elk rationaal getal  zijn er priemgetallen  en gehele getallen  zo, dat:
   .
  
  Dus is voor 
   
  
  en voor ieder ander priemgetal :
  
  Voorbeelden 
   De getallen ... −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, ... die niet door 5 kunnen worden gedeeld, hebben de 5-adische norm 50 = 1.
   De getallen ... −10, −5, 5, 10, 15, 20, 30, ... zijn deelbaar door 5, maar niet door 25 en hebben dus de 5-adische norm .
   De getallen ... −50, −25, 25, 50, 75, 100, 150, ... hebben de 5-adische norm .
   , vanwege de factor  in de noemer.
   Voor  geldt:
   
    voor alle andere priemgetallen .
   Cauchyrijen 
   Het hangt af van de gebruikte metriek of een rij al dan niet een cauchyrij is, .
   De reeks  is normaal niet convergent, maar in de 5-adische norm wel. De som van de eerste  termen is
   .
   De 5-adische norm van de laatste term is . De 5-adische limiet van deze reeks is gelijk aan .
  
  Niet-archimedisch
  De -adische normen hebben een sterkere ongelijkheid dan de driehoeksongelijkheid:
  
   
  
  Een ultrametriek wordt door een dergelijke ongelijkheid bepaald. De bijbehorende metriek is dus een ultrametriek.
  
  Uit deze ongelijkheid volgt meteen dat  met . Men zegt in dit verband dat de p-adische norm niet-archimedisch is. Een belangrijk gevolg hiervan betreft de convergentie van oneindige reeksen. In , en meer algemeen in elke complete ruimte met een niet-archimedische norm, is een oneindige reeks alleen dan convergent als haar algemene term naar nul gaat. Dit staat in schril contrast met de situatie in , waar de grens tussen convergente en divergente reeksen veel moeilijker te trekken valt.
  
  Eigenschappen
  
  Metriek 
  De -adische norm induceert op  een -adische metriek, een ultrametriek, door de afstandsfunctie met isometrische translaties
   
  
  Beschouwen we de zo geconstrueerde 5-adische metriek, dan convergeert in  de rij  naar 0, terwijl de rij  weliswaar begrensd is, maar geen cauchyrij is, want voor alle  is:
  
   
  
  Getaltheorie