title: Definietheid
text: In de lineaire algebra, een deelgebied van de  wiskunde beschrijft definietheid welke tekens reële kwadratische vormen die door matrices of algemener door bilineaire vormen worden voortgebracht, kunnen aannemen. Een definiete kwadratische vorm heeft voor elke vector ongelijk 0 hetzelfde teken. Is dat teken positief, dan heet de vorm positief-definiet; is het negatief, dan negatief-definiet. Is de kwadratische vorm voor alle vectoren niet-negatief, dan heet ze positief-semidefiniet; is ze niet-positief, dan negatief-semidefiniet. Kwadratische vormen corresponderen eenduidig met symmetrische bilineaire vormen, zodat de definietheid in termen van symmetrische bilineaire vormen gegeven kan worden.
  
  Definiete bilineaire- en sesquilineaire vormen 
  Zij  een vectorruimte over de reële of complexe getallen.
  
  Een symmetrische bilineaire vorm  en in het geval van een complexe vectorruimte een hermitische sesquilineairvorm  noemt men
  {| border="0"
  | positief-definiet,
  | als 
  |-
  | positief-semidefiniet,
  | als 
  |-
  | negatief-definiet,
  | als 
  |-
  | negatief-semidefiniet,
  | als 
  |-
  | indefiniet,
  | als 
  |}
  geldt voor alle . Merk op dat  ook in het complexe geval vanwege de vereiste hermitischiteit altijd reëel is. Als aan geen van deze voorwaarden voldaan is, noemt men de vorm indefiniet. Alleen dan kan  zowel positieve als negatieve waarden aannemen.
  
  Definiete matrices 
  Elke reële of complexe vierkante matrix van de orde  beschrijft respectievelijk een bilineaire vorm op  of een sesquilineare vorm op . Men noemt een vierkante matrix daarom positief-definiet, als deze eigenschap op de door de matrix gedefinieerde bilineaire of sesquilineare vorm van toepassing is. Op dezelfde wijze worden ook de andere eigenschappen gedefinieerd. Dit betekent: een symmetrische alsook een hermitische matrix  van de orde  is:
  
  {| border="0"
  | positief-definiet,
  | als 
  |-
  | positief-semidefiniet,
  | als 
  |-
  | negatief-definiet,
  | als 
  |-
  | negatief-semidefiniet,
  | als 
  |-
  | indefiniet,
  | als 
  |}
  
  voor alle -rijige kolomvectoren .
  
  Eigenwaarden
  Een symmetrische matrix is dan en slechts dan positief-definiet als al haar eigenwaarden positief zijn.
  
  Voorbeeld
  De onderstaande tabel laat twee mogelijkheden voor 2×2-matrices zien.
  
  {| class="wikitable" style="text-align:center;" 
  | matrix 
  | definietheid
  | geassocieerde kwadratische vorm 
  | 
  |-
  | 
  | positief-definiet  
  | 
  |  Ellips 
  |-
  | 
  | indefiniet
  | 
  | Hyperbool
  |}
  
  Referenties
  
  Lineaire algebra