title: Icosahedrale symmetrie
text: Volledige icosahedrale symmetrie (met ook wel eens icosaedrale of icosaedrische als tweede woord, al of niet met trema) is de symmetrie van onder meer het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder), het regelmatig twintigvlak (icosaëder), en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder.
  
  Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder (van elk twee versies die elkaars spiegelbeeld zijn).
  
  Het zijn twee vormen van polyhedrale symmetrie. Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep  van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep  van orde 60.
  
  Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft):
   12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen.
   20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen.
   30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen.
  
  Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van .
  
  De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten, en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken.
  
  I is algebraïsch de alternerende groep A5, de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van  corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. , dus algebraïsch .
  
  Veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie
  
  De twee regelmatige veelvlakken 
  Er zijn twee regelmatige veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie:
  
  De vijf archimedische lichamen 
  Er zijn vijf archimedische lichamen met volledige icosahedrale symmetrie. De bolvormige variant van de afgeknotte icosaëder is zeer bekend als voetbal.
  
  Een aanduiding als 3.5.3.5 (hoekpuntconfiguratie) geeft in volgorde aan welke regelmatige veelhoeken bij elk hoekpunt samenkomen.
  
  De laatste, met de meeste hoekpunten, heeft de bijzonderheid dat dit aantal gelijk is aan de orde van de symmetriegroep. Er is dus geen niet-triviale isometrie die een hoekpunt op zichzelf afbeeldt. De assen en spiegelvlakken gaan dus niet door hoekpunten. Het is dan ook de enige van de vijf veelvlakken met een hoekpuntconfiguratie waarvan de cyclus in omgekeerde richting anders is.
  
  De vijf catalanlichamen 
  Er zijn vijf catalanlichamen met volledige icosahedrale symmetrie.
  
  Een aanduiding als V3.5.3.5 geeft voor elke hoek van de veelhoek aan hoeveel daarvan samenkomen. De hoeken in het corresponderende bolvormige veelvlak zijn 360° gedeeld door het getal, de hoeken van de vlakke veelhoek zijn iets kleiner.
  
  Conwayveelvlakken
  
  Geodetische en goldbergveelvlakken 
  
  Geodetische veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n met gehele getallen  en , en , en  (klasse I) of  (klasse II).  is het triangulatiegetal, gegeven door , dus respectievelijk  en . Ze kunnen worden geconstrueerd als in de figuur.
  
  {3,5+}m,0 heeft  hoekpunten,   ribben en  zijvlakken.
  
  {3,5+}m,m heeft  hoekpunten,  ribben en  zijvlakken.
  
  Bij de geodetische veelvlakken in klasse  bestaat de verbindingslijn tussen twee nabije 5-valente hoekpunten uit  ribben. In klasse II bevinden zich er  driehoeken tussen.  geeft aan met welke factor het aantal driehoeken wordt vermenigvuldigd ten opzichte van dat van het regelmatig twaalfvlak.
  
  Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie. Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.
  
  Er geldt dus:
  
  {5+,3}m,0 heeft  zijvlakken,   ribben en  hoekpunten.
  
  {5+,3}m,m heeft  zijvlakken,  ribben en  hoekpunten.
  
  Twee nabije vijfhoeken hebben bij de goldbergveelvlakken in klasse  hun zijden naar elkaar gekeerd, en ertussen bevinden zich  zeshoeken. Nabije vijfhoeken in klasse II hebben hun hoeken naar elkaar gekeerd, en er zijn langs de verbindingslijn  ribben en  zeshoeken, om en om.
  
  {5+,3}1,0 is een regelmatig veelvlak en {5+,3}1,1 een archimedisch lichaam, de zeshoeken zijn dus regelmatig. Bij de overige goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk. Zo heeft bijvoorbeeld {5+,3}2,0 zeshoeken met twee hoeken van 116,6°, die waar drie zeshoeken samenkomen, en vier van 121,7°.
  
  Uit {3,5+}m,0 wordt {3,5+}km,0 geconstrueerd volgens de eerste rij afbeeldingen. Uit {3,5+}m,m wordt dit {3,5+}km,km. Uit {5+,3}m,0 wordt {3,5+}m,m geconstrueerd door 12 vijfhoeken te verdelen in elk vijf driehoeken en  zeshoeken in elk zes driehoeken, zodat er  driehoeken ontstaan. Uit {5+,3}m,m ontstaat zo {3,5+}2m,0.
  
  Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie. De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.
  
  Fundamenteel domein 
  
  Het fundamenteel domein is de driehoek tussen nabije assen met orde 2, 3 en 5, dit is 1/120 deel van het veelvlak. Als illustratie van het bepalen van het aantal zijvlakken enz. door die in het fundamenteel domein te tellen (ook bij andere veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie) wordt dit hier gedaan bij de afgebeelde selectie goldbergveelvlakken.
  
  Het fundamenteel domein bevat altijd 1/10 vijfhoek, en verder:
  
  bij een regelmatig twaalfvlak niets, bij een afgeknotte icosaëder een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte dodecaëder 1/4 zeshoek, bij een afgeknotte pentakisdodecaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte afgeknotte icosaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek, 1/4 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij tktI vier vijfhoekige halve zeshoeken en een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij ctkD een hele zeshoek, drie vijfhoekige halve zeshoeken, 1/4 zeshoek en een vliegervormige 1/6 zeshoek. Het hele veelvlak heeft dus steeds 12 vijfhoeken en resp. 0, 20, 30, 80, 110, 260 en 350 zeshoeken.
  
  Op dezelfde manier kan het aantal hoekpunten bepaald worden, maar dan telt een hoekpunt wel slechts mee voor een gedeelte dat correspondeert met het aantal exemplaren van het fundamenteel domein waar het aan grenst (1, 2, 4, 6 of 10). Zo gerekend is het aantal hoekpunten in het fundamenteel domein resp. 1/6, 1/2, 2/3, 1 1/2, 2, 4 1/2 en 6, en in totaal dus resp. 20, 60, 80, 180, 240, 540 en 720. Evenzo telt bij het bepalen van het aantal ribben in het fundamenteel domein een gedeeltelijk ribbe slechts voor dat deel, en bovendien gehalveerd als deze langs de rand van het fundamenteel domein loopt. De formule van Euler voor veelvlakken kan worden gebruikt om de berekeningen te beperken of te controleren. Een en ander gaat analoog bij een andere symmetrie.
  
  Recapitulerend ter vergelijking:
  
  Bij {5+,3}m,0 hebben twee nabije vijfhoeken hun zijden naar elkaar gekeerd, en bevinden zich er  zeshoeken tussen. Het heeft 12 vijfhoeken en  zeshoeken,  ribben en  hoekpunten.
  
  Bij {5+,3}m,m hebben nabije vijfhoeken hun hoeken naar elkaar gekeerd, en zijn er langs de verbindingslijn  ribben en  zeshoeken. Het heeft 12 vijfhoeken en  zeshoeken,  ribben en  hoekpunten.
  
  Als bij de afgebeelde figuur met volledige icosahedrale symmetrie lijnen slechts worden opgevat als verdeling in de 120 fundamentele domeinen  dan zijn er per stuk 1/10 tienhoek en 1/6 zeshoek, als het ribben zijn dan zijn er per fundamenteel domein een rode en een gele driehoek. Het hele oppervlak heeft dus respectievelijk 12 tienhoeken en 20 zeshoeken (gekromd) of 120 rode en 120 gele driehoeken. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 1 en 3 ribben, dus in totaal respectievelijk 120 en 360. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 3/4 en 61/60 hoekpunten, dus in totaal respectievelijk 90 en 122.
  
  Veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrie
  
  De twee chirale archimedische lichamen 
  Er zijn twee archimedische lichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld.
  
  De twee chirale catalanlichamen 
  Er zijn twee catalanlichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld. Hieronder wordt er één getoond.
  
  Chirale conwayveelvlakken
  
  Chirale geodetische en goldbergveelvlakken 
  Geodetische veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n en {5+,3}m,n met gehele getallen , en  (klasse III). Verwisselen van  and  geeft de gespiegelde versie.  is het triangulatiegetal, gegeven door .
  
  Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie. Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.
  
  Bij de goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk.
  
  Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met chiralee icosahedrale symmetrie, met van enantiomorfe paren steeds maar een van de twee, met . De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.
  
  Constructie 
  Een object met volledige icosahedrale symmetrie kan met behoud van symmetrie gewijzigd worden door op de 12 plaatsen waar de assen van orde 5 het oppervlak snijden dezelfde wijziging aan te brengen met plaatselijk behoud van de rotatie- en spiegelsymmetrie, bijvoorbeeld door een vijfhoekig zijvlak te vervangen door een samenstel van vijf driehoeken (zie ook geodetische bol), of door de ribben van het zijvlak af te knotten, of door een hoekpunt waar vijf driehoeken samenkomen af te knotten.
  
  Uiteraard hoeft het object geen veelvlak te zijn, het oppervlak kan ook gekromd zijn. Veel variatie is ook mogelijk door beschildering, met behoud van de symmetrie. Iedere invulling is mogelijk van het fundamenteel domein, dat bestaat uit een 3D-sector tussen drie assen.
  
  Groepentheorie
  Symmetrie