title: Voorwaardelijke convergentie
text: Een reeks  heet voorwaardelijk convergent als de reeks convergent is, maar niet absoluut convergent, d.w.z
   bestaat en , 
  
  maar 
  
  De uitkomst van de (oneindige) optelling van een voorwaardelijk convergente reeks is afhankelijk van de volgorde waarin de termen bij elkaar worden geteld.
  
  Convergentie versus absolute convergentie 
  Een reeks  heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen een convergente reeks vormen, dus als:
  
  Elke absoluut convergente reeks is convergent. 
  
  Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden.  
  
  Een convergente reeks die niet absoluut convergent is, is voorwaardelijk convergent. 
  Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken, inclusief oneindig en min oneindig.
  
  Bewijs 
  Een schets van een bewijs hiervoor: 
   Stel  is een convergente reeks en  is divergent. Dan kan dit alleen als . 
   Verdeel nu de rij  in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve termen. Minstens een van beide heeft een oneindige som. Om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden. 
   Maak nu (voor zekere waarde ) een nieuwe oneindige som  op de volgende wijze: Als de som van de eerste  elementen groter is dan , nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij. 
   In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar .
  Om een reeks met som oneindig te krijgen: plaats steeds na een negatief element zoveel opeenvolgende elementen van de deelrij van positieve elementen dat per saldo de som van de reeks minstens 1 toeneemt.
  
  Generalisatie voor rijen vectoren 
  Laat   een reeks vectoren zijn in een reële Hilbertruimte  waarvoor
  
  convergeert.
  en laat verder  een eenheidsvector zijn waarvoor
  
  voorwaardelijk convergeert.
  Dan kan elke vector  geschreven worden als
  
  voor zekere permutatie  van .
  
  Voorbeeld 
  De reeks met als -de term 
   
  
  convergeert voorwaardelijk naar .
  Deze reeks convergeert niet in absolute zin, want de  harmonische reeks
  
  is divergent.
  
  De alternerende reeks
  
  is niet absoluut convergent, maar wel voorwaardelijk
  
  Referenties 
   . Analyse voor Beginners, Epsilon-uitgaven, 2003(4e druk). ISBN 978-90-5041-005-2
  
  Wiskundige analyse