title: Exponentiële familie
text: In de kansrekening en de statistiek is een exponentiële familie een klasse kansverdelingen die in een speciale vorm geschreven kunnen worden. Van dergelijke kansverdelingen zegt men dat ze behoren tot de exponentiële klasse. De bedoelde speciale vorm is gekozen voor het wiskundig gemak, vanwege een aantal algebraïsche eigenschappen, maar ook omdat exponentiële families in bepaald opzicht heel natuurlijk zijn. Het begrip is geïntroduceerd in 1935-1936 door E.J.G. Pitman, G. Darmois en B.O. Koopman.
  
  Definitie
  De eenvoudigste vorm van een exponentiële familie wordt gevormd door kansverdelingen met één parameter. De kansdichtheid of kansfunctie heeft de vorm:
  
  ,
  
  waarin  en  bekende functies zijn.
  
  De parameter  heet de parameter van de familie. Merk op dat  een vector van reële getallen kan zijn.
  
  Als , zegt men dat de exponentiële familie in kanonieke vorm is. De kanonieke vorm is niet eenduidig, aangezien  vermenigvuldigd kan worden met een constante ongelijk aan 0, als tegelijkertijd  door deze constante gedeeld wordt. Door de transformatie  is het altijd mogelijk de exponentiële familie in een kanonieke vorm te schrijven.
  
  De betekenis van de functies  en  is als volgt:
  
   is een voldoende steekproeffunctie van de verdeling.
   heet de  natuurlijke parameter. De verzameling waarden van  waarvoor de functie  eindig is, heet de natuurlijke parameterruimte. Bewezen kan worden dat deze convex is.
   is een normeringsfactor die zo bepaald is dat de totale kansmassa gelijk is aan 1.
  
  Meer parameters
  De definitie wordt uitgebreid tot families met meer parameters  door de vorm:
  
  waarin  en  nu vectorwaardige functies van gelijke dimensie zijn.
  
  Net als in het eendimensionale geval heet de exponentiële familie in kanonieke vorm te zijn, als voor elke  geldt: .
  
  Voorbeelden
  De normale, de exponentiële, de gamma-, de chi-kwadraat-, beta-, binomiale, multinomiale, Poisson-, negatief-binomiale  en geometrische verdeling vormen elk een exponeniële familie.
  
  Voorbeelden van niet-exponentiële families zijn de Cauchy-verdeling en de uniforme verdeling.
  
  Normale verdeling met bekende variantie
  De dichtheid van de normale verdeling met verwachting  en bekende variantie 1, is,
  
  Dit is een exponentiële familie in kanonieke vorm, met:
  
  Normale verdeling
  De normale verdeling met onbekende verwachting  en onbekende variantie  heeft de dichtheid:
  
  .
  
  Dit is ook een exponentiële familie met:
  
  Binomiale verdeling
  Een voorbeeld van een discrete exponentiële familie is de -verdeling met bekende parameter . De kansfunctie is:
  
  Dit kan geschreven worden als:
  ,
  
  waaruit blijkt dat de binomiale verdeling een exponentiële familie is, met natuurlijke parameter:
  .
  
  Continue verdeling
  Discrete verdeling