title: Regel van l'Hôpital
text: De regel van l'Hôpital is een stelling in de wiskunde die kan worden gebruikt bij het berekenen van de limiet van het quotiënt van twee functies door middel van hun afgeleiden. De regel is genoemd naar de Franse wiskundige Guillaume de l'Hôpital (1661–1704), die de regel als eerste publiceerde in zijn boek L'Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes; dit terwijl de regel waarschijnlijk als eerste is ontdekt door Johann Bernoulli.
  
  De regel is speciaal van toepassing als de limieten van elk van de functies, bij dezelfde waarde van het argument, zodanige waarden hebben dat het quotiënt onbepaald is.
  
  Formulering van de regel
  Als voor twee differentieerbare functies  en  en een getal  voldaan is aan een van de voorwaarden: 
   
  of 
  ,
  
  geldt
  
  mits de limiet in het rechterlid bestaat. 
  
  Door toepassing van deze regel kunnen onbepaaldheden van de vorm  en  mogelijk opgelost worden.
  
  Bewijs
  Zij:
  ,
  
  ,
  
  Dan geldt:
  
  ,
  
  zodat
  
  Precieze formulering
  Laat  een niet-leeg open interval zijn en twee differentieerbare functies waarvoor de linkerlimieten  en  beide bestaan en gelijk zijn aan 0, of beide divergeren naar .
  
  Als  voor alle  en 
   
  bestaat of divergeert naar , dan bestaat ook 
   
  of divergeert naar 
  
  Analoge resultaten gelden voor een interval  en rechterlimieten, en voor 
  
  Als  een echte deelverzameling is van een open interval waarop aan de genoemde voorwaarden voldaan is, dan geldt in het bijzonder:
  
  Voorbeelden
  In de onderstaande limiet gaan zowel teller als noemer naar 0. Met de regel van l'Hôpital blijkt:
  
  In het volgende voorbeeld gaan zowel teller als noemer naar . Met de regel van l'Hôpital blijkt:
  
  De breukmethode (de onbepaaldheid )
  Op de volgende manier kan men ook de limiet van een product waarvan de factoren als limieten 0 en  hebben bepalen door de regel van l'Hôpital toe te passen. Als bijvoorbeeld:
  
  en
   
  dan kan de regel van l'Hôpital toegepast worden via:
  
  Limieten van de vorm 
  Limieten die aanleiding geven tot de onbepaaldheid  kunnen soms bepaald worden met de regel van de l'Hôpital. Dit is het geval indien de oneindigheden zelf zouden ontstaan vanuit een deling door nul. Bijvoorbeeld
  
  Limieten van de vorm 
  Ook bepaalde limieten van de vorm  
  
  kunnen soms met de regel van de l'Hôpital worden opgelost, indien de afzonderlijke limeten aanleiding geven tot een onbepaaldheid van de vorm  of . 
  
  De limiet wordt daartoe herschreven in de vorm
  
  De logaritmische functie kan immers binnen de limiet gebracht worden omdat ze over haar volledig domein continu is. 
  
  Voorbeeld
  
  Enkel de rechterlimiet is hier mogelijk.
  
  De limiet wordt dus herschreven als
  
  Voor de limiet geldt:
  
  zodat:
  
  Wiskundige analyse