Lensruimten van Tietze
De lensruimten van Tietze spelen een rol in de topologie, een tak van de wiskunde. Het betreft een klasse van topologische ruimten, meer bepaald topologische variëteiten, aan de hand waarvan men onder meer aantoont dat homotopie-equivalente topologische ruimten niet noodzakelijk homeomorf, d.i. topologisch equivalent, zijn.

Deze ruimten zijn genoemd naar de Oostenrijkse wiskundige Heinrich Franz Friedrich Tietze.

Definitie
We modelleren de driedimensionale sfeer als een deelverzameling van :

Zijn  natuurlijke getallen,  en veronderstel dat  en  geen gemeenschappelijke delers hebben. Beschouw de afbeelding

De lensruimte  ontstaat als quotiënttopologie van  door systematisch de elementen  met elkaar te identificeren. Explicieter,  is de partitie van de klassen van de equivalentierelatie.

Merk op dat  de identieke transformatie is, en .

Voorbeelden
 is de sfeer  zelf. (Strikt genomen voldoet dit voorbeeld niet aan de voorwaarde .)

Als  en , dan beeldt  elk element  op zijn tegengestelde af. De quotiëntruimte  kan dan opgevat worden als de verzameling reële vectorrechten in , dat wil zeggen de projectieve driedimensionale ruimte .

Elementaire eigenschappen
Lensruimten zijn compacte driedimensionale topologische variëteiten.

Homotopie-equivalentie
Men kan aantonen dat de fundamentaalgroep van  isomorf is met de cyclische groep , zodat  en  nooit homotopie-equivalent (en a fortiori niet homeomorf) zijn als .

De ruimten  en  zijn homotopie-equivalent als en slechts als  of zijn tegengestelde congruent is met een kwadraat modulo :

De ruimten  en  zijn slechts homeomorf als en slechts als  of zijn tegengestelde, of  of zijn tegengestelde, congruent is met één modulo :

Voorbeelden
 is niet homotopie-equivalent met , hoewel beide ruimten dezelfde fundamentaalgroep hebben, want  en  zijn geen kwadraten modulo 5.

 is weliswaar homotopie-equivalent met , maar deze twee ruimten zijn niet homeomorf met elkaar. De homotopie-equivalentie volgt uit het feit dat  modulo 7.

Hogere dimensies
Men kan in bovenstaande definitie  vervangen door . Voor geschikte natuurlijke getallen  (geen enkele  heeft een deler met  gemeen) definieert men op gelijkaardige wijze als hierboven een quotiënttopologie van de -sfeer, en noemt haar de Lensruimte .

Topologie