Hadamardproduct
Het Hadamardproduct of Schurproduct is in de wiskunde een bijzonder product van twee matrices met evenveel rijen en kolommen. Elk element in het Hadamardproduct is het product van de corresponderende elementen in de twee matrices.

Deze bewerking is genoemd naar de wiskundigen Jacques Hadamard en Issai Schur. De naam Hadamardproduct voor deze bewerking schijnt voor het eerst gebruikt te zijn door Paul Halmos in 1948. Andere auteurs hebben ze genoemd naar Issai Schur, die een aantal stellingen in verband met deze bewerking heeft bewezen. Het Hadamardproduct is onder meer in de statistische analyse en multivariabele analyse bruikbaar.

Definitie
Van de matrices  en   met  rijen en  kolommen is het Hadamardproduct, genoteerd als , de -matrix met als elementen:

Dus

Hierin zijn de elementen  en  reële of complexe getallen.

Het Hadamardproduct verschilt duidelijk van de gewone matrixvermenigvuldiging. Om dit duidelijk te maken gebruikt men voor het Hadamardproduct het symbool  (soms  of ). Enkel wanneer  en  diagonaalmatrices zijn, is het Hadamardproduct  gelijk aan de matrixvermenigvuldiging

Voorbeeld
Het Hadamardproduct van de matrices 
   en   

is
.

Eigenschappen
Anders dan de matrixvermenigvuldiging is het Hadamardproduct commutatief: .
Het is distributief t.o.v. de matrixoptelling: .
Het is lineair: , waarin  een (complexe) constante is.
Deze eigenschappen volgen rechtstreeks uit de eigenschappen van de vermenigvuldiging van reële of complexe getallen.
De "identiteitsmatrix" voor het Hadamardproduct is een matrix waarvan elk element gelijk is aan 1. Deze wordt aangeduid als  om verwarring met de identiteitsmatrix  te vermijden.
De "Hadamardinverse" van een matrix  aangeduid als  bestaat slechts als elk element van  verschilt van nul. Elk element van  is de inverse van het corresponderende element van :  Dan is 
De verzameling -matrices waarvan alle elementen verschillen van nul, vormt een Abelse groep met als bewerking het Hadamardproduct.
Het Hadamardproduct van twee positief-semidefiniete -matrices is ook positief-semidefiniet. Het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices is ook positief-definiet. Een symmetrische matrix is positief-definiet als en slechts als hij kan geschreven worden als het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices. De Duitse wiskundige Issai Schur bewees dit voor het eerst in 1911.
Als  en  twee positief-semidefiniete matrices zijn, geldt voor de determinant van hun Hadamardproduct de ongelijkheid van Oppenheim:

Als  en  twee -matrices zijn, dan geldt voor de rang van hun Hadamardproduct:

Als  en  twee -matrices zijn is het -de diagonaalelement van het matrixproduct  gegeven door:

Hieruit kan men afleiden dat het spoor van  gelijk is aan de som van alle elementen van het Hadamardproduct .

Als  en  beide vierkante matrices zijn, is de som van de -de rij in  gelijk aan het -de diagonaalelement van :

Het Hadamardproduct van twee -matrices  en  is een deelmatrix van het Kronecker-product van  en  de elementen van het Hadamardproduct staan op de kruisingen van de kolommen  en de rijen  van het Kronecker-product.

Matrix
Lineaire algebra