Grothendieck-groep
In de groepentheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is de grothendieck-groep van een gegeven commutatieve halfgroep een in een bepaald opzicht kleinste abelse groep die de gegeven halfgroep omvat. Dat houdt in dat elke abelse groep die een homomorf beeld van de gegeven halfgroep  bevat, ook een homomorf beeld van de grothendieck-groep  van  bevat.

De grothendieck-groep ontleent zijn naam aan de meer algemene constructie in de categorietheorie, die door Alexander Grothendieck in het midden van de jaren 1950 werd geïntroduceerd in zijn fundamentele werk, dat resulteerde in de ontwikkeling van de K-theorie. wat leidde tot zijn bewijs van de stelling van Grothendieck-Riemann-Roch.

Universele eigenschap
De grothendieck-groep kan beschreven worden met behulp van de zogeheten universele eigenschap:

Bij iedere commutatieve halfgroep  is er een abelse groep  en een halfgroephomomorfisme  waarvoor geldt dat bij iedere groep  en ieder halfgroephomomorfisme  precies één groepshomomorfisme  is met .

Constructie
De grothendieck-groep  van de commutatieve halfgroep  is bepaald door de volgende constructie. Op het cartesisch product  is een equivalentierelatie gegeven door:

als er een  is, waarvoor

Dat dit een equivalentierelatie is, laat zich gemakkelijk bewijzen. De equivalentieklassen  vormen de grothendieck-groep:
,

met als groepsbewerking:
,

als neutraal element de klasse

en als tegengestelde

Met het halfgoephomomorfisme , gedefinieerd door:
,

voldoen  en  aan de voorwaarden van de universele eigenschap.

Equivalentierelatie
De genoemde relatie is inderdaad een equivalentierelatie, want:
, aangezien 
als , dan ook , aangezien 
als  en , zijn er  met  en  , zodat  , en dus

Groepseisen
De geconstrueerde grothendieck-groep  is inderdaad een abelse groep, want de groepsbewerking is commutatief, aangezien  commutatief is, en 

, dus het neutrale element

Universele eigenschap
De groep  en het groepshomomorfime  voldoen aan de universele eigenschap.

Stel namelijk dat voor

geldt

en ook

dus

en 

Dan is

dus

Groepentheorie