Homotopie-equivalentie
In de topologie, die eigenschappen van ruimten bestudeert die bij continue vervorming ongewijzigd blijven, heten twee continue functies tussen een paar topologische ruimten homotopie-equivalent of homotoop-equivalent (Oudgrieks homos = identiek en topos = plaats) als de ene door "continue vervorming" in de andere kan overgaan. Het begrip homotopie geeft een exacte betekenis aan het intuïtieve idee van continue vervorming. Zo'n vervorming wordt een homotopie genoemd. Het begrip wordt gebruikt in de definitie van homotopiegroepen en cohomotopiegroepen, en van belangrijke invarianten in de algebraïsche topologie.

Homotopie van afbeeldingen
Laat  en  twee continue afbeeldingen zijn tussen twee topologische ruimten  en . Een homotopie tussen  en  is een continue afbeelding

zodat de beperking van  tot  samenvalt met , en de beperking van  tot  samenvalt met , in die zin dat 
 en . 
Hierbij draagt het gesloten reële interval  de gebruikelijke topologie, en is het cartesisch product voorzien van de producttopologie.

De functie  bepaalt dus werkelijk een continue overgang van  in , geparametriseerd door een reëel getal tussen 0 en 1.

De afbeeldingen  en  heten homotopie-equivalent of kortweg homotoop als er een dergelijke homotopie  bestaat.

Voorbeelden
De afbeelding  is homotoop met de constante afbeelding . Een mogelijke homotopie is

Zij  met de discrete topologie, dat wil zeggen alle deelverzamelingen van  zijn open. De identieke transformatie van  is niet homotoop met de constante afbeelding op . Veronderstel namelijk dat er een homotopie  zou bestaan. Dan is de beperking van  tot  een continue afbeelding van een samenhangende ruimte naar een discrete ruimte, dus constant. Maar deze beperking neemt de waarde  aan in het begin van het interval, en  op het einde van het interval: een contradictie.

Homotopie van paden
Een interessant bijzonder geval is dat waarbij  zelf het gesloten interval  is, zoals in het eerste voorbeeld hierboven. Een continue afbeelding van  naar  noemt men een pad in '.

De fundamentaalgroep van  bestaat uit equivalentieklassen van de relatie "is homotoop met" in alle gesloten paden met een gegeven begin- en eindpunt  van .

Homotopie van topologische ruimten
Twee topologische ruimten heten homotopie-equivalent of homotoop als er continue afbeeldingen

bestaan, zodat de samenstelling  homotoop is met de identieke transformatie van , en bovendien  homotoop is met de identieke transformatie van .

Homeomorfe topologische ruimten zijn steeds homotopie-equivalent: neem voor  een homeomorfisme, en  zijn omgekeerde.

Het omgekeerde is niet waar: er bestaan paren van homotopie-equivalente ruimten die niet homeomorf zijn, bijvoorbeeld een punt en een cirkelschijf.

Een topologische ruimte heet samentrekbaar als het homotoop is met een singleton, of anders gezegd, als de identieke transformatie homotoop-equivalent is met een constante afbeelding op één punt van de ruimte.

De gesloten en open bollen van  zijn allemaal samentrekbaar: door een schaalfactor  is de identieke transformatie homotoop-equivalent met de constante afbeelding op het middelpunt van de bol.

De sfeer in  (de rand van de eenheidsbol) is nooit samentrekbaar.

Homotopietheorie
Topologie