Convergentie (kansrekening)
In de kansrekening kan convergentie van een rij stochastische variabelen verschillende betekenissen hebben. Anders dan bij rijen getallen is er geen voor de hand liggende definitie voor het asymptotische gedrag bij toenemende omvang van de steekproef. Daardoor zijn er verschillende convergentiebegrippen ontstaan, van verschillende sterkte. De belangrijkste daarvan worden in dit lemma besproken.

Het gaat steeds om een rij stochastische variabelen , gedefinieerd op een kansruimte

Zwakke convergentie
De zwakste vorm van convergentie is zwakke convergentie of convergentie in verdeling. De convergentie betreft niet de stochastische variabelen zelf, maar hun verdelingsfuncties. De rij  convergeert zwak of in verdeling als er een stochastische variable  bestaat zodanig dat voor alle  waarin de verdelingsfunctie  continu is, geldt:

Men zegt dan dat de rij zwak of in verdeling convergeert naar  en schrijft:
.

Een toepassing van convergentie in verdeling zijn de centrale limietstellingen.

Relatie met karakteristieke functies
Zwakke convergentie van de rij  en puntsgewijze convergentie van de overeenkomstige rij karakteristieke functies  zijn gerelateerd door:

De omgekeerde bewering geldt niet zonder meer, daarvoor is het nodig dat de limietfunctie  continu is in :

.

Dit laatste resultaat wordt in veel gevallen gebruikt om de zwakke convergentie van  aan te tonen, en daarmee tevens, vanwege de eenduidigheid van de karakteristieke functie, de limiet te bepalen als de stochastische variabele met de limietfunctie als karakteristieke functie.

Convergentie in kans
Een zwak begrip van convergentie is convergentie in kans. Bij dit convergentiebegrip betreft het niet de convergentie van afzonderlijke realisaties, maar kansen op bepaalde gebeurtenissen. De rij  convergeert in kans als er een stochastische variable  bestaat zodanig dat voor alle 
.

Men zegt dan dat de rij in kans convergeert naar  en schrijft:
.

Een toepassing van convergentie in kans is de zwakke wet van de grote getallen.

Convergentie in kans impliceert zwakke convergentie.

Convergentie in gemiddelde
Bij convergentie in gemiddelde – eigenlijk 'in verwachting' – wordt niet naar de afzonderlijke realisaties gekeken, maar naar verwachtingswaarden. De rij  convergeert in -de gemiddelde of in -norm als  en er een stochastische variable  bestaat met , zodanig dat

Daarbij is  enig reëel getal. Deze vorm van convergentie wordt wel genoteerd als:

en men zegt dat de rij in -de gemiddelde (of in -norm) naar de stochastische variable  convergeert.

Belangrijke gevallen zijn de gevallen  en , In het geval  spreekt men ook van convergentie in gemiddelde, en in het geval  van convergentie in kwadratisch gemiddelde.

Uit een eigenschap van de -norm volgt dat uit convergentie in -de gemiddelde, met , convergentie in -de gemiddelde volgt. Convergentie in kwadratisch gemiddelde impliceert dus convergentie in gemiddelde.

Uit de Markov-ongelijkheid volgt nog dat convergentie in -de gemiddelde de convergentie in kans impliceert.

Bijna zekere convergentie
Bijna zekere convergentie komt het meest overeen met convergentie van getallenrijen. Men zegt dat de rij  bijna zeker convergeert als er een stochastische variable  bestaat, zodanig dat
.

Dit houdt in dat bijna alle realisaties van de rij puntsgewijs convergeren. 'Bijna alle' betekent daarbij: voor alle uitkomsten op een gebeurtenis met kans 0 na.

In geval van convergentie zegt men dat de rij bijna zeker convergeert naar de  stochastische variable , en schrijft (met a.s., almost sure, voor bijna zeker):

Bijna zekere convergentie wordt gebruikt bij de formulering van de sterke wet van de grote getallen.

Kansrekening