Kwadratische vorm
In de wiskunde verstaat men onder een kwadratische vorm onder meer een homogene veelterm van graad 2, zoals .

Definitie en relatie met symmetrische bilineaire vorm
Een kwadratische vorm is een afbeelding  van een vectorruimte  naar haar scalairenlichaam  met de eigenschap dat er een symmetrische bilineaire vorm  op  bestaat, zodanig dat voor alle :

Voor zo'n  geldt:

Als de karakteristiek van  verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek, en heet deze de met  geassocieerde bilineaire vorm. De samenhang tussen beide wordt dan weergegeven door:

De kwadratische vorm  is een homogene afbeelding van de tweede graad, d.w.z dat voor alle  en :

Als van de vectorruimte een basis  is gegeven, dan wordt een kwadratische vorm gegeven door een symmetrische functie  die de symmetrische bilineaire vorm bepaalt.

Klassieke definitie
De klassieke analytische meetkunde bestudeert onder meer kegelsneden en kwadrieken, dit zijn nulpuntenverzamelingen van inhomogene kwadratische vormen op  resp. . De algemene vergelijking van een vlakke kegelsnede luidt:

De functie  is géén kwadratische vorm in de hogergenoemde zin, tenzij . Het verband tussen kegelsneden en abstracte kwadratische vormen vereist een overgang van  naar het projectieve vlak . Hierin wordt elk punt weergegeven door een drietal homogene coördinaten  waarbij twee drietallen hetzelfde punt voorstellen als ze een reëel veelvoud van elkaar zijn. Bovenstaande vergelijking wordt dan herschreven als

Dit is wel een kwadratische vorm op . Wegens de homogeniteit bestaat de nulpuntsverzameling uit vectorrechten (eendimensionale deelruimten van ), dus de vergelijking bepaalt ondubbelzinnig een deelverzameling van .

Matrix van een bilineaire vorm
Als  een eindigdimensionale vectorruimte is en  is een basis voor , worden een symmetrische bilineaire vorm  en zijn bijhorende kwadratische vorm  volledig bepaald door de  getallen

Deze getallen worden gewoonlijk genoteerd in een symmetrische matrix met afmeting . Omgekeerd correspondeert met elke symmetrische -matrix een symmetrische bilineaire vorm.

Als de karakteristiek van  verschilt van 2, is er een eeneenduidige relatie tussen deze matrices en de kwadratische vormen.

Voorbeeld
De matrix van de hogergenoemde kwadratische vorm van een kegelsnede ten opzichte van de canonieke basis  is

Basisovergangen; reguliere vormen
De matrix van een kwadratische vorm is afhankelijk van de gekozen basis. Zij  de matrix met betrekking tot de ene basis,  de matrix met betrekking tot andere basis en  de matrix die de coördinatentransformatie definieert (de kolommen van  zijn de coördinaten van de nieuwe basisvectoren ten opzichte van de oude basis). Dan geldt

Men kan aantonen dat er een basis van  bestaat waarin de matrix diagonaal is (de elementen  met  zijn allemaal 0). De diagonaal-elementen zijn de eigenwaarden van .

Een kwadratische vorm heet regulier als zijn matrix regulier is, dat wil zeggen dat zijn determinant verschilt van 0. Uit bovenstaande formule blijkt dat deze eigenschap onafhankelijk is van de gekozen basis, want de coördinatentransformatie  is vanzelf regulier.

Kwadratische ruimte
Een kwadratische ruimte is een eindigdimensionale vectorruimte  over een lichaam/veld , waarop een kwadratische vorm  gedefinieerd is. Er geldt dus dat voor alle  en :

en als de karakteristiek van  ongelijk is aan 2, is de bilinaire afbeelding  gedefinieerd door

Positief definiete kwadratische vormen
Als  een reële vectorruimte is, dan is een kwadratische vorm dan en slechts dan positief definiet als  is voor alle . Equivalent geldt dat de bijbehorende bilineaire vorm positief definiet is, en ook dat de eigenwaarden strikt positief zijn.

Euclidische ruimte
In de -dimensionale reële coördinatenruimte is een positief definiete kwadratische vorm van de vorm , met  een positief-definiete matrix.

Voorbeeld
Een kegelsnede gegeven door de vergelijking

is leeg (de vergelijking heeft geen oplossingen) als haar kwadratische vorm of zijn tegengestelde positief definiet is.

Voorbeeld met lichaam met karakteristiek 2
Laat  het lichaam met karakteristiek 2 zijn. Hiervoor geldt niet dat bij een kwadratische vorm  eenduidig een symmetrische bilineaire vorm  hoort. Laat namelijk de vectorruimte  zijn, dan zijn er vier kwadratische vormen en acht symmetrische bilineaire vormen, waaronder  en , beide geassocieerd met . De afbeelding  is volgens bovenstaande definitie geen kwadratische vorm. Soms wordt in het eindigdimensionale geval een kwadratische vorm als veelterm gedefinieerd, waarbij  wel beschouwd wordt als kwadratische vorm.

Naast de vier kwadratische vormen, die homogene functies van de tweede graad zijn, zijn er nog vier homogene functies van de tweede graad.

Lineaire algebra
Meetkunde