Riemann-variëteit
In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een riemann-variëteit een reële differentieerbare variëteit  waarvan in elk punt  de raakruimte is uitgerust met een inproduct , een riemann-metriek, op een wijze die van punt tot punt glad varieert. De  metriek  is een positief-definiete symmetrische tensor, een zogenaamde metrische tensor.

In andere woorden, een riemann-variëteit is een differentieerbare variëteit, waarvan de raakruimte in elk punt een eindig-dimensionale euclidische ruimte is, waar aan elk punt een zekere metriek kan worden toegekend. Als metriek kan men verschillende meetkundige begrippen, zoals hoeken, lengten van krommen, oppervlakken (of volumen), kromming, de gradiënt van functies en de divergentie van vectorvelden, op een riemann-variëteit definiëren.

De riemann-variëteit is naast de lorentz-variëteit de meest gangbare wiskundige vertaling van het begrip gekromde ruimte. Bernhard Riemann, naar wie het begrip genoemd is, onderzocht intrinsieke eigenschappen van oppervlakken en andere gekromde ruimten, dat wil zeggen eigenschappen die niet afhangen van een inbedding in een hogerdimensionale euclidische ruimte of van het gebruik van een welbepaald coördinatenstelsel.

Riemann-variëteiten moeten niet worden verward met riemann-oppervlakken, variëteiten die lokaal als patches van het complexe vlak verschijnen.

Definitie 
Zij  een -dimensionale gladde variëteit, waarvoor in elk punt  een inproduct  gedefinieerd is op de raakruimte  aan  in .

In termen van een lokaal coördinatenstelsel  wordt het inproduct volledig vastgelegd door wat het met de basisvectoren  (de partiële afgeleiden van positie naar elke coördinaat) doet. 

Noem . Als de  functies  glad (onbeperkt differentieerbaar) zijn in hun afhankelijkheid van , dat wil zeggen als functies van , heet  een riemann-metriek op , en het paar  een riemann-variëteit.

Technisch kan men  beschouwen als een sectie van de bundel 

(tweederangs-cotensoren), waarin 

de corakende bundel van  is.

Voorbeelden 
De euclidische ruimte  is zelf een gladde variëteit, en de raakruimte in ieder punt  is een kopie van . Door elk van deze vectorruimten uit te rusten met het standaardinproduct

wordt de euclidische ruimte zelf een riemann-variëteit. De identieke transformatie is een kaart van , en ten opzichte van dat coördinatenstelsel is

waarin  de kroneckerdelta is: 1 als  en 0 als .

Een niet-triviaal voorbeeld is , de eenheidssfeer in . De raakruimte van  in een punt  kan gemodelleerd worden door het overeenkomstige raakvlak aan  in . Voor de oorsprong van de vectorruimte  kan het raakpunt  zelf genomen worden.

Deze raakruimten erven het inproduct van de euclidische ruimte  zoals beschreven in het vorige voorbeeld.

Beschouw de kaart op (een deel van)  die gedefinieerd wordt door de twee hoeken van de bolcoördinaten:  is het azimut ten opzichte van de -as, en  de elevatie ten opzichte van het XY-equatorvlak (vgl. met geografische lengte resp. geografische breedte).

In een gegeven punt  vormen de basisvectoren  en  weliswaar een orthogonale basis, maar geen orthonormale basis. De vector  is een eenheidsvector, maar de vector  heeft lengtekwadraat

Afgeleide begrippen 
Met behulp van de metriek  worden uiteindelijk alle verdere lokale begrippen uit de differentiaalmeetkunde gedefinieerd. Enkele voorbeelden:

 De lengte van een kromme op  wordt gedefinieerd als de integraal van de lengte van haar afgeleide (de afgeleide is overal een vector van de raakruimte). Hierdoor wordt elke (samenhangende) riemann-variëteit een metrische ruimte. De topologie van deze metrische ruimte is dezelfde als die van de onderliggende topologische variëteit.
 christoffelsymbolen en de ermee verbonden tensoriële krommingsbegrippen (krommingstensor van Riemann, ricci-kromming, scalaire kromming)
 parallel transport en de levi-civita-verbinding
 geodeet, als generalisatie van de rechte lijnen in de euclidische ruimte
 het volume-element en de integratie van differentiaalvormen

Algemene vormen 
Een belangrijk deel van de differentiaalmeetkunde blijft nog overeind als de symmetrische bilineaire vorm  niet noodzakelijk positief-definiet verondersteld wordt, maar wel overal niet-ontaard in de zin dat de determinant van de bijhorende vierkante matrix der functies  nergens nul is.

Een dergelijke constructie  heet pseudo-riemann-variëteit.

Als de determinant nergens nul is en  is samenhangend, is de index van  constant (als hij constant 0 is, dan is  positief definiet en betreft het een gewone riemann-variëteit).

Een lorentz-variëteit is een semi-riemann-variëteit waarvan de metrische tensor overal de index 1 heeft, dat wil zeggen dat een van de eigenwaarden negatief is, en alle andere positief. Meestal wordt aangenomen dat de dimensie ten minste 2 bedraagt.

Lorentz-variëteiten modelleren de ruimtetijd in de speciale en in de algemene relativiteitstheorie.

Zie ook 

 Riemann-metriek
 Isotherme coördinaten

Differentiaalmeetkunde
Metriek
Riemann-meetkunde
Variëteit