Quotiënttopologie
In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een quotiënttopologie de geïnduceerde topologie op de equivalentieklassen van een equivalentierelatie op een topologische ruimte. Er ontstaat een nieuwe topologiche ruimte van de "aan elkaar geplakte" equivalente elementen.

Definitie 
Zij  een topologische ruimte en  een equivalentierelatie op . De door deze relatie geïnduceerde qoutienttopologie  is de topologie op de partitie   van  die gevormd wordt door de equivalentieklassen van . Een deelverzameling  van  heet open als de vereniging van haar leden een open verzameling is van :

Gelijkwaardige definitie
 wordt uitgerust met de finale topologie  voor de afbeelding  die met ieder element  zijn partitieklasse associeert.

Eigenschappen 
De quotiënttopologie voldoet aan het scheidingsaxioma  (singletons zijn gesloten) als en slechts als de equivalentieklassen van  gesloten zijn in .

Een quotiënt van een samenhangende ruimte is samenhangend. Een quotiënt van een wegsamenhangende ruimte hoeft echter niet wegsamenhangend te zijn.

Een quotiënt van een compacte ruimte is compact. Een quotiënt van een lokaal compacte ruimte hoeft echter niet lokaal compact te zijn.

Voorbeeld 
Zij  het gesloten reële eenheidsinterval met de gewone topologie. Zij  de equivalentierelatie op  die bestaat uit alle identieke koppels, plus de koppels  en .

De quotiëntruimte  is homeomorf (t.t.z. topologisch gelijkwaardig) met de cirkel, want elke omgeving van de klasse  in de quotiënttopologie omvat een omgeving van 0 én een omgeving van 1 in de oorspronkelijke ruimte .

Dit is een eenvoudig voorbeeld van een "plak"-operatie: de uiteinden van het interval worden aan elkaar geplakt, zodat een cirkel ontstaat.

Van pseudometriek naar metriek 
Met elke pseudometrische ruimte  wordt een topologie geassocieerd door de open bollen te laten fungeren als basis. Deze topologie is slechts  als de pseudometriek in feite een metriek is.

Als  een echte pseudometriek is, dan beschouwen we de equivalentierelatie

Deze klassen zijn gesloten verzamelingen, en de quotiëntruimte is . In feite kan de quotiëntruimte worden opgevat als een metrische ruimte, en voldoet ze dus zelfs aan het scheidingsaxioma .

Topologie