Transversaliteit
Transversaliteit is een begrip uit de differentiaaltopologie, de tak van de wiskunde die gladde vervormingen van gekromde ruimten bestudeert. Intuïtief beschrijft het de "meest algemene" onderlinge ligging van twee deelruimten.

Definitie
Zij  een gladde variëteit, en  en  twee deelvariëteiten van . We zeggen dat de variëteit  de variëteit  transversaal snijdt in een gegeven punt  van  als aan een van de volgende twee voorwaarden voldaan is:
  behoort niet tot , of
  behoort tot de doorsnede van  met , en de raakruimten van  en  in het punt  brengen samen de raakruimte van  in het punt  voort.

Als  de deelvariëteit  transversaal snijdt in alle punten van , dan geldt omgekeerd dat  ook  transversaal snijdt in alle punten van , en we zeggen kortweg dat  en  elkaar transversaal snijden.

Merk op dat twee disjuncte deelvariëteiten van  elkaar per definitie "transversaal snijden".

Voorbeelden
Zij  het euclidische vlak, en  en  twee gladde krommen. Ze zijn transversaal in alle punten behalve hun eventuele raakpunten. Krommen die elkaar niet raken (wel eventueel snijden), zijn transversaal.

Zij  de euclidische ruimte, en  en  twee gladde krommen. De raakruimten van  en  zijn overal eendimensionaal, en kunnen dus nooit samen de driedimensionale raakruimte van  voortbrengen.  en  kunnen dus alleen maar transversaal zijn als ze disjunct zijn.

Dit kan gegeneraliseerd worden tot
;

dan zijn  en  slechts transversaal als ze disjunct zijn.

Zij  de euclidische ruimte,   een gladde kromme en  een glad oppervlak. Dan zijn  en  transversaal als en slechts als in elk van hun snijpunten, de raaklijn aan  het raakvlak aan  snijdt.

Als  of  dezelfde dimensie heeft als , dan zijn  en  steeds transversaal.

Doorsnede van twee deelvariëteiten
De belangrijkste motivatie van deze definitie ligt in de volgende eigenschap:

De doorsnede van twee transversale deelvariëteiten is opnieuw een deelvariëteit, en in dat geval is

Met  bedoelen we de codimensie, dit is het verschil .

In het algemeen geval is de doorsnede van twee deelvariëteiten een erg ingewikkelde verzameling, en zeker niet altijd een variëteit.

Transversaliteit van afbeeldingen
Een indompeling is een gladde afbeelding waarvan de rakende afbeelding overal injectief is.

Twee gladde indompelingen  en  heten transversaal als in ieder snijpunt van  met  de twee bereiken van de rakende afbeeldingen de raakruimte aan  voortbrengen. D.w.z. dat voor alle 

Deze definitie is een veralgemening van de oorspronkelijke, door iedere deelvariëteit van  te identificeren met zijn eigen inclusie-afbeelding

Algemene ligging
Transversaliteit moet beschouwd worden als het algemene geval, en niet-transversaliteit als de uitzondering. De volgende stelling maakt dit precies:

Zij  een compacte gladde variëteit, dan is de topologie van  afkomstig van een metriek. Het heeft dan zin om te spreken over uniforme convergentie van een rij continue afbeeldingen van  naar zichzelf. Als  en  niet-transversale deelvariëteiten zijn van , dan bestaan er diffeomorfismen van  met zichzelf, die uniform convergeren naar de identieke transformatie van , en die  afbeelden op een deelvariëteit van  die transversaal is met .

Informeler gezegd, een niet-transversale stand kan door een willekeurig kleine vervorming in een transversale stand worden gebracht. Dit is intuïtief duidelijk voor het geval van rakende krommen in de tweedimensionale sfeer: door een willekeurig kleine vervorming van een van de krommen gaan de twee krommen ofwel uit elkaar liggen (disjunct, dus transversaal), ofwel snijden (eveneens transversaal).

Het begrip "willekeurig klein" kan hier bijvoorbeeld geïnterpreteerd worden als volgt: de topologie van  is metriseerbaar, en de diffeomorfismen convergeren uniform naar de identieke transformatie.

Differentiaalmeetkunde
Wiskundige analyse