title: Exponentiële functie
text: De exponentiële functie, genoteerd als  of als , is een functie van de exponent met grondtal het getal , het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is in de wiskunde een belangrijke, veelgebruikte functie. De exponentiële functie is de inverse van de natuurlijke logaritme,  die voor alle positieve waarden van  is gedefinieerd.
  
  Een voorbeeld van een exponentiële functie is iets waarvan de waarde bij iedere stap verdubbelt, met achtereenvolgende waarden 1, 2, 4, 8, 16, 32 enzovoort. Exponentiële functies beschrijven dus wat er gebeurt bij een exponentiële groei. Bacteriegroei is een voorbeeld van een verschijnsel met een exponentiële groei. Alle groei met een vast percentage per tijdseenheid is exponentieel. Als de exponent negatief is, dan treedt een afname op, zoals bij het afkoelen van een warm voorwerp.
  
  Algemeen 
  Iedere functie van de vorm  wordt een exponentiële functie genoemd, waarin  een positief reëel getal is, of hiermee gelijkwaardig, elke functie van de vorm  waarin  een reëel getal is. De variabele  kan ieder reële of complexe getal zijn, of kan zelfs een geheel ander wiskundig object zijn. Bij  spreekt men wel van de antilogaritme.
  
  Voor reële  onderscheidt men:
   exponentiële groei:  met  
   constante functie:  met 
   exponentiële afname:  met 
  
  De exponentiële functie , dus ook , wordt geheel bepaald door de beginwaarde  voor  en de waarde in een ander punt .
  
  Bij toepassingen zijn  en  in veel gevallen grootheden die in een getal en een eenheid worden uitgedrukt. Schrijft men voor de functie:
   ,
  
  dan zijn  en  dimensieloze grootheden. De functie beschrijft een grootheid  met beginwaarde , die met een factor  toeneemt als de grootheid  met een bedrag  toeneemt van  tot .
  
  Definitie 
  De exponentiële functie kan op verschillende wijzen formeel gedefinieerd worden. Enkele gangbare definities zijn:
   als een oneindige reeks, de maclaurin-reeks van :
   
   als de  limiet van een rij:
   
   als unieke oplossing van de differentiaalvergelijking
   
  
  De exponentiële functie is altijd positief, dus groter dan nul, en neemt toe met groter wordende . De -as is in de grafiek een asymptoot van .
  
  Complexe e-macht 
  De exponentiële functie is ook als machtreeks gedefinieerd voor complexe getallen 
   
  Net als voor reële getallen geldt voor twee complexe getallen .
  
   
  
  Voor  met  is dus:
  
   
  en omdat de reeksen absoluut convergeren:
   
  Dit is de formule van Euler.
  
  Dus:
  
  Eigenschappen 
  Als het grondtal tussen 0 en 1 ligt, daalt de functie, en als het grondtal groter is dan 1, stijgt de functie. De afgeleide van een exponentiële functie is ook een exponentiële functie met hetzelfde grondtal maal de natuurlijke logaritme van het grondtal.
  
  De definitie van een exponentiële functie is:
   
  Deze is gedefinieerd voor alle waarden van , en alle reële getallen . Deze functie wordt de exponentiële functie met basis of grondtal  genoemd.
  
  De volgende regels gelden voor exponentiële functies:
   
   
   
   
   
   
  
  Deze relaties zijn geldig voor alle positieve reële getallen  en  en alle reële getallen  en . Uitdrukkingen met breuken en wortels kunnen vaak worden vereenvoudigd met de exponentiële notatie, omdat
   
  en voor elke , reëel getal  en geheel getal  geldt:
  
  Antilogaritme 
  Antilogaritmen zijn de inverse van logaritmen, dus exponentiële functies. Als  de logaritme met grondtal  is van , dan is  de antilogaritme met grondtal  van . In termen van functies wordt dus onder de antilogaritme van de functie   de functie , of na spiegeling in de lijn , de functie  verstaan. Deze inverse functie van de logaritme is de exponentiële functie met grondtal .
  
  Het gebruik van het woord antilogaritme heeft te maken met de vraag welke functies als elementairder worden beschouwd. Logaritmen worden tijdens het onderwijs op de middelbare school na machtsverheffen behandeld.
  
  De logaritme  wordt dan gedefinieerd als de exponent van het grondtal  die bij  hoort: . Daarbij gaan exponentiële functies dus vooraf aan logaritmen, maar dat gaat er stilzwijgend van uit dat de macht  ook voor irrationale exponenten  is gedefinieerd.
  
  In de hogere wiskunde, waar een axiomatische opbouw van de elementaire functies wordt gehanteerd, wordt de exponentiële functie vaak gedefinieerd nadat de natuurlijke logaritme is gedefinieerd als de integraal . De macht voor elke reële exponent  van de natuurlijke logaritme, dus , wordt daarna via de inverse functie  van  geïntroduceerd: . Bij deze voortgang vat men logaritmen als elementairder op dan exponentiële functies en ligt het voor de hand een exponentiële functie  als antilogaritme te definiëren.
  
  Wiskundige functie