title: Variantieanalyse
text: Variantieanalyse, een begrip uit de statistiek, vaak aangeduid als ANOVA (van het Engelse Analysis of variance), is een toetsingsprocedure om na te gaan of de populatiegemiddelden van meer dan 2 groepen van elkaar verschillen. Het is in die zin een generalisatie van de t-toets voor twee steekproeven. De term variantieanalyse verwijst naar de uiteenlegging (analyse) van de totale variantie van de gemeten grootheid in twee delen, de variantie binnen de groepen (binnenvariantie) en de variantie tussen de groepen (tussenvariantie) die met elkaar vergeleken worden. De analysetechniek is bedacht door de Britse statisticus en geneticus Ronald Aylmer Fisher in de jaren 1920 - 1930.
  
  Voorbeeld 
  Een eenvoudig voorbeeld, met drie groepen, zal de gedachtegang verduidelijken.
  
  De vraag is of er tussen drie verschillende groepen wat de lichaamslengte van de personen uit die groepen betreft, systematische verschillen zijn, of dat eventuele verschillen zuiver op toeval berusten. Om dat te onderzoeken worden Friezen, Hollanders en Limburgers met elkaar vergeleken.  Is de lichaamslengte in deze groepen gemiddeld genomen dezelfde, of zijn er systematische verschillen? Duidelijk is dat binnen elke groep al verschillen in lengte zijn. Niet alle Hollanders zijn even lang en ook niet alle Friezen en Limburgers. De vraag is of er ook tussen de groepen verschillen zijn. Of bijvoorbeeld de gemiddelde lengte van Friezen anders is dan de gemiddelde lengte van Limburgers. Of de verschillende groepen een bron van variatie zijn. Natuurlijk zullen de gemiddelden van de drie groepen niet precies aan elkaar gelijk zijn. Het gaat erom of deze verschillen tussen de groepen vergelijkbaar zijn met, of veel groter zijn dan de verschillen binnen de groepen. Daartoe worden steekproeven genomen en de totale "variantie", die een maat is voor de variatie, uiteengelegd, geanalyseerd, in twee componenten, de variantie binnen de groepen en de variantie tussen de groepen. Door vergelijken van deze twee componenten kan beslist worden of de groepsgemiddelden als verschillend beschouwd mogen worden of niet.
  
  Het bovenstaande is een voorbeeld van een eenweg-variantieanalyse. Er is sprake van één factor (afkomst), en drie niveaus (de drie groepen, Friezen, Hollanders en Limburgers). Er wordt gekeken naar of de gemiddelde waarden voor de variabele (in dit geval lengte) significant meer verschillen tussen de individuele niveaus van de factor dan dat ze verschillen binnen de individuele niveaus.
  
  Formules 
  Als model wordt aangenomen dat de lichaamslengte in elk van de  groepen een normale verdeling heeft, met verwachtingswaarden respectievelijk  en  en voor elke groep dezelfde variantie .
  
  Het is gebruikelijk om het gemiddelde niveau van de  groepen met  aan te duiden en de afwijkingen daarvan met  dus:
  
  ,
  
  zodat:
  
  De systematische verschillen komen dan tot uiting in de 's.
  
  Uit de groepen worden (onafhankelijke, aselecte) steekproeven genomen, voor het gemak alle van dezelfde omvang :
  
  Voor een zo'n element kan men schrijven:
  
  	
  Zo is de lengte van de eerste gemeten Fries: 
  ,
  
  dus de som van het algemeen gemiddelde , de afwijking  daarvan voor Friezen in het algemeen, en een persoonlijke bijdrage . De persoonlijke bijdragen (storingstermen) () zijn onderling onafhankelijk en alle -verdeeld.
  
  Als voorbeeld worden de volgende eenvoudige, fictieve getallen als uitkomst van de steekproef genomen:
  Friezen: 171,181,191
  Hollanders: 169,179,189
  Limburgers: 161,171,181	
  
  De totale kwadratensom  van afwijkingen t.o.v. het algemeen gemiddelde  (het is gebruikelijk om gemiddelden aan te geven door de index waarover gemiddeld is, te vervangen door een stip) kan als volgt uiteengelegd worden:
  
  In de steekproef is , zodat
  
  De eerste component,
  ,
  
  beschrijft de resterende variatie binnen de groepen als gevolg van de afwijkingen binnen elke groep ten opzichte van het groepsgemiddelde.
  
  De tweede component,
  ,
  
  beschrijft de variatie tussen de groepen als gevolg van de afwijkingen van de groepsgemiddelden ten opzichte van het algemeen gemiddelde.
  
  In de steekproef is:
   en , 
  
  zodat 
   en 
  
  Onder de nulhypothese van geen verschillen geldt voor de verdelingen:
   
  
  is chi-kwadraatverdeeld met  vrijheidsgraden, en
  
  is chi-kwadraatverdeeld met  vrijheidsgraden.
  
  Onder de gemiddelde kwadratensom verstaat men de kwadratensom gedeeld door de bijbehorende vrijheidsgraden:
  
  en
  
  In de steekproef:  en .
  
  Als toetsingsgrootheid  neemt men het quotiënt van deze gemiddelde kwadratensommen:
  
  Als de nulhypothese waar is, heeft  een F-verdeling met  vrijheidsgraden in de teller en  in de noemer. Merk op dat de onbekende parameter  bij het delen is weggevallen. Is de nulhypothese niet waar, dan kan men vrij eenvoudig inzien dat  statistisch grotere waarden zal aannemen. De nulhypothese wordt dus verworpen voor grote waarden van .
  
  In het voorbeeld is dus: . Aangezien , is de overschrijdingskans ; dus is er geen reden om de nulhypothese te verwerpen.
  
  Tabel 
  De resultaten van de berekeningen worden meestal weergegeven in een variantieanalysetabel:
  
  {|
  |-----
  | width="80" | factor
  | width="80" align="center" | vrijheidsgraden
  | width="80" align="center" | kwadr.som
  | width="80" align="center" |  gem.kwadr.som
  | width="80" align="center" |  
  | width="80" align="center" |  p-waarde
  |-----
  | colspan="6" | 
  |-----
  | width="80" | groep 
  | width="80" align="center" | 2
  | width="80" align="center" | 168
  | width="80" align="center" | 84 
  | width="80" align="center" | 0,84
  | width="80" align="center" | > 0,5
  |-----
  | width="80" | error 
  | width="80" align="center" | 6
  | width="80" align="center" | 600 
  | width="80" align="center" | 100
  |-----
  | colspan="6" | 
  |-----
  | width="80" | totaal 
  | width="80" align="center" | 8
  | width="80" align="center" | 768
  |}
  
  Dat de steekproef niet significant is, hadden we vrij direct kunnen zien, aangezien binnen de groepen afwijkingen van 10 tov. het groepsgemiddelde voorkomen en de verschillen tussen de groepsgemiddelden niet groter dan 10 zijn.
  
  Als de variatie binnen de groepen als volgt verkleind wordt:
  Friezen: 180,181,182
  Hollanders: 178,179,180
  Limburgers: 170,171,172
  
  blijven de groepsgemiddelden gelijk, en dus is weer:
  
  Maar nu is:
  
  en
  
  De verschillen tussen de groepen zijn nu veel groter dan binnen de groepen.
  
  De variantieanalysetabel wordt nu:	
  
  {|
  |-----
  | width="80" | factor
  | width="80" align="center" | vrijheidsgraden
  | width="80" align="center" | kwadr.som
  | width="80" align="center" |  gem.kwadr.som
  | width="80" align="center" |  
  | width="80" align="center" |  p-waarde
  |-----
  | colspan="6" | 
  |-----
  | width="80" | groep || width="80" align="center" | 2
  | width="80" align="center" | 168
  | width="80" align="center" | 84 || width="80" align="center" | 84
  | width="80" align="center" | ≈ 0
  |-----
  | width="80" | error || width="80" align="center" | 6
  | width="80" align="center" | 6 || width="80" align="center" | 1
  |-----
  | colspan="6" | 
  |-----
  | width="80" | totaal || width="80" align="center" | 8
  | width="80" align="center" | 174
  |}
  
  Er is dus alle reden om aan te nemen dat de groepsgemiddelden onderling verschillen.
  
  Meerweg-variantieanalyse 
  Een soortgelijke analyse kan ook gedaan worden met meer factoren. Men spreekt dan van meerweg-variantieanalyse, of naar het aantal beschouwde factoren van bijvoorbeeld drieweg-, vierweg-variantieanalyse. Een complicatie daarbij is dat de factoren elkaar kunnen beïnvloeden, wat aangeduid wordt als interactie. Ook worden met toenemend aantal factoren de formules ingewikkelder en minder overzichtelijk. Een belangrijk praktisch nadeel van veel factoren is de noodzakelijk grote steekproefomvang voor een betrouwbare analyse.
  
  Voorbeeld 
  Als voorbeeld een tweeweg-variantieanalyse.
  
  In een onderzoek naar de opbrengst van tarwesoorten in relatie met de bodemgesteldheid, worden 4 soorten tarwe vergeleken elk groeiend op 3 grondsoorten. Er zijn dus twee factoren: soort op 4 niveaus en grond op 3 niveaus. De opbrengst  van een tarwe-aar wordt gemodelleerd als:
  
  Daarin is:
   de opbrengst van aar nummer  van soort   op grond 
   de verwachte opbrengst gemiddeld over alle soorten en gronden
   de bijdrage aan de opbrengst van soort 
   de bijdrage aan de opbrengst van grond 
   de eigen specifieke bijdrage van aar  van soort  op grond ; onderling onafhankelijk en verdeeld verondersteld.
  
  De term
  
  de zogenaamde interactieterm behoeft nog wat nadere verklaring. Niet altijd neemt men deze op in het model. Als er reden is om aan te nemen dat een bepaalde soort tarwe het beter doet op de ene grondsoort en een andere soort weer beter groeit op een andere grondsoort, is er sprake van interactie tussen de tarwesoort en de grondsoort. Om het effect daarvan in het model te beschrijven, neemt men de bovengenoemde interactieterm op. Het is gebruikelijk deze weer te geven met de symbolen van de interagerende factoren, hier dus  en  (dus niet te lezen als het product van beide!)
  
  De analyse van de variantie houdt nu in dat de totale kwadratensom als volgt uiteengelegd wordt (ook hier wordt weer door een · aangegeven dat over de betrokken index gemiddeld is):
  
  ,
  
  waarin:
  
   de totale kwadratensom is
   de kwadratensom van de residuen
   de kwadratensom van de interactie
   de kwadratensom van de factor A, "soort"
   de kwadratensom van de factor B, "grond".
  
  Het kan worden bewezen dat de vier verschillende kwadraatsommen waaruit de totale kwadratensom bestaat, onderling onafhankelijk zijn. Elk van de kwadratensommen is, gedeeld door de variantie  van de storingsterm, onder de veronderstelling dat het betreffende effect niet bestaat, , en wel:
  
  Statistiek
  Statistische toets