title: Cirkelprobleem van Gauss
text: In de wiskunde is het cirkelprobleem van Gauss de vraag naar het aantal roosterpunten binnen een cirkel met straal  en de oorsprong als middelpunt. Het probleem is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, die als eerste met een oplossing kwam.
  
  Probleemstelling
  Beschouw een cirkel in  met het middelpunt in de oorsprong en straal . Hoeveel punten  zijn er binnen deze cirkel van de vorm , met  en  beide gehele getallen? De vergelijking van deze cirkel in Cartesiaanse coördinaten is:
  , 
  
  zodat de vraag equivalent met de vraag hoeveel paren gehele getallen  er zijn waarvoor
  
  Voor bijvoorbeeld  liggen de 13 paren  binnen de cirkel.
  
  Voor  zijn de gevraagde aantallen  respectievelijk:
  1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317.
  
  Benadering
  Het is gemakkelijk in te zien dat , namelijk ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. De oppervlakte is immers het aantal eenheidsvierkantjes, en elk vierkantje bevat in doorsnee één roosterpunt.
  
  Exacte formule
  De waarde van  kan gegeven worden door verschillende reeksen. Met behulp van de entier kan geschreven worden:
  
  Een veel eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren  om  te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:
  
  met
  
  waarin  het aantal delers is van  die modulo 4 congruent zijn met 1, en  het aantal delers die modulo 4 congruent zijn met 3.
  
  Externe link
    Cirkelprobleem van Gauss op MathWorld
  
  Discrete wiskunde
  Getaltheorie