title: Probleem van Waring
text: Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal  een geheel getal  is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van  -de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.
  
  Het getal g(k)
  Voor ieder getal  is  gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal s met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.
  
  Euler veronderstelde dat , waarin  het gehele deel van  is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is  voor de meeste getallen  bekend:
  
  Het getal G(k)
  Belangrijker nog dan  is het getal . Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van  -de machten. Dit wil zeggen dat er een getal  is zodat ieder getal groter dan  zo kan worden geschreven.
  
  Ondergrens voor G(k)
  Het getal  is groter dan of gelijk aan:
   als  met  of ;
   als  een priemgetal groter dan 2 is en ;
   als  een priemgetal groter dan 2 is en ;
   voor alle getallen .
  
  Bovengrens voor G(k)
  De volgende bovengrenzen zijn bekend voor :
  
            3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
       7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142
  
  Analytische getaltheorie
  Getaltheorie