title: Viergroep van Klein
text: In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de viergroep van Klein (of gewoon viergroep, vaak gesymboliseerd door de letter V of V4) de symmetriegroep van de rechthoek. De viergroep van Klein is ontdekt door Felix Klein. Klein gaf de naam Vierergruppe aan deze groep in zijn Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade uit 1884.
  
  De viergroep van Klein is isomorf met de groep Z2 × Z2, het direct product van twee exemplaren van de cyclische groep van orde 2.
  
  De viergroep van Klein is abels en alle elementen in de viergroep, behalve de identiteit, hebben de orde 2. De enige andere groep dan de viergroep met vier elementen is de cyclische groep van orde vier (zie ook de lijst van kleine groepen). De viergroep is de kleinste niet-cyclische groep.
  
  Cayley-tabel
  De Cayley-tabel van de viergroep van Klein wordt gegeven door:
  
  {| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;"
  !style="background:#efefef;"| *
  !style="background:#efefef;"| <big>1
  !style="background:#efefef;"| <big>a
  !style="background:#efefef;"| <big>b
  !style="background:#efefef;"| <big>ab
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>1
  | <big>1 || <big>a || <big>b || <big>ab
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>a
  | <big>a || <big>1 || <big>ab || <big>b
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>b
  | <big>b || <big>ab || <big>1 || <big>a
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>ab
  | <big>ab || <big>b || <big>a || <big>1
  |}
  
  Concrete voorbeelden
  De vermenigvuldiging van de oneven gehele getallen modulo 8 heeft de structuur van de viergroep van Klein:
  {| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;"
  !style="background:#efefef;"| *
  !style="background:#efefef;"| <big>1
  !style="background:#efefef;"| <big>3
  !style="background:#efefef;"| <big>5
  !style="background:#efefef;"| <big>7
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>1
  | <big>1 || <big>3 || <big>5 || <big>7
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>3
  | <big>3 || <big>1 || <big>7 || <big>5
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>5
  | <big>5 || <big>7 || <big>1 || <big>3
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>7
  | <big>7 || <big>5 || <big>3 || <big>1
  |}
  
  Daarnaast geldt ook dat de symmetrieën van de ruit de structuur heeft van de viergroep van Klein.
  Er zijn vier symmetrieën van de ruit. Met de diagonalen van de ruit langs de x-as en y-as zijn dit:
  id is de identiteit.
  Sx is een spiegeling in de x-as.
  Sy is een spiegeling in de y-as.
  H is een rotatie van 180 graden.
  
  Nu ziet de samenstellingstabel er als volgt uit:
  {| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;"
  !style="background:#efefef;"| *
  !style="background:#efefef;"| <big>id
  !style="background:#efefef;"| <big>Sx
  !style="background:#efefef;"| <big>Sy
  !style="background:#efefef;"| <big>H
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>id
  | <big>id || <big>Sx || <big>Sy || <big>H
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>Sx
  | <big>Sx || <big>id || <big>H || <big>Sy
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>Sy
  | <big>Sy || <big>H || <big>id || <big>Sx
  |-
  !style="background:#efefef;"| <big>H
  | <big>H || <big>Sy || <big>Sx || <big>id
  |}
  
  Tussen twee groepen met de structuur van de viergroep van Klein is heel simpel een isomorfisme te definiëren. Als we de vermenigvuldiging van oneven getallen modulo 8 en de symmetrieën van de ruit nemen kunnen we het volgende isomorfisme maken:
  f(1) = id
  f(3) = Sx
  f(5) = Sy
  f(7) = H
  Bij een isomorfisme tussen twee viergroepen van Klein ligt alleen vast dat het eenheidselement van de ene groep naar het eenheidselement van de andere groep wordt afgebeeld, de andere 3 zijn vrij te kiezen.
  
  Zie ook
  Quaternionengroep
  
  Externe bron 
  , Algebra 1, Universiteit Leiden, TU Delft, 2010, pag. 9-11 
  
  Groepentheorie