title: Begrensde operator
text: In de wiskunde is een begrensde operator een lineaire afbeelding tussen genormeerde vectorruimten waarvan de operatornorm eindig is. Onder een begrensde operator is het beeld van een begrensde verzameling weer begrensd. Voor lineaire operatoren is begrensdheid equivalent met continuïteit.
  
  Definitie
  Een lineaire afbeelding  tussen de genormeerde vectorruimten
   en  heet een begrensde operator als de operatornorm van  eindig is: 
  
  Voor een begrensde operator  is voor alle :
  
  Eigenschappen
  Een begrensde operator  is continu. Voor alle  geldt immers:
   
  
  Omgekeerd geldt voor een continue operator  dat er een  is, waarvoor  voor alle   met .
  
  Dan is voor :
  
  en dus is  begrensd, aangezien;
  
  Voorbeelden
  Een lineaire operator  tussen eindigdimendionale vectorruimten  en  is begrensd.
  
  De differentiaaloperator  voor de differentieerbare functies op het interval  is niet begrensd onder de supremumnorn . Er geldt namelijk 
  , maar 
  
  Lineaire algebra
  Functionaalanalyse
  
  Structuren
  De begrensde lineaire operatoren tussen twee genormeerde vectorruimten  en  vormen opnieuw een genormeerde vectorruimte  met als norm de operatornorm.
  
  Als de doelruimte  met betrekking tot haar norm volledig is (t.t.z. een Banachruimte), dan is  volledig met betrekking tot the operatornorm.
  
  De samenstelling van twee begrensde operatoren  en  is opnieuw een begrensde operator  en zijn operatornorm is niet groter dan het product van de afzonderlijke normen:
  
  In het bijzonder is de samenstelling van begrensde operatoren een continue functie 
  
  Als  een Banachruimte is, dan vormt de ruimte , met de optelling en samenstelling van operatoren en de operatornorm, het canonieke voorbeeld van een (niet noodzakelijk commutatieve) Banach-algebra met als eenheidselement de identieke transformatie van