title: Christoffelsymbolen
text: Christoffelsymbolen zijn wiskundige functies die optreden bij de studie van gekromde ruimten. Ze geven informatie over de mate en wijze van kromming, en kunnen in het bijzonder aangeven of een ruimte lokaal vlak is, d.w.z. isometrisch met een deel van de euclidische ruimte. Bovendien laten ze toe de notie van covariante afgeleide te definiëren.
  
  Ze zijn genoemd naar Elwin Bruno Christoffel, die hen voor het eerst expliciet bestudeerde. Ze zijn echter ook aanwezig in het oorspronkelijke werk van Bernhard Riemann.
  
  Definitie
  Zij  een -dimensionale riemann-variëteit. Beschouw een kaart  waarvan de inverse in een omgeving  van een punt  weergegeven wordt door de coördinaatfuncties . Noteer  voor de componenten van de metrische tensor  ten opzichte van de duale basis , en  voor de inverse matrix.
  
  De christoffelsymbolen van de eerste soort zijn de volgende  functies van  naar  (voor ):
  
  Men noteert ook wel:
   voor 
  
  De christoffelsymbolen van de tweede soort ontstaan door combinatie met de duale van de metrische tensor:
  
  In einsteinnotatie:
  
  .
  
  De dimensie van  is de dimensie van de 'de coördinaat, gedeeld door de dimensie van de 'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de 'de coördinaat.
  
  Elementaire eigenschappen
  Beide soorten christoffelsymbolen zijn symmetrisch in de indices  en .
  
  Als de componenten van de metrische tensor constant zijn (in een omgeving van ), dan zijn de christoffelsymbolen nul.
  
  Coördinatentransformatie
  De precieze waarde van deze functies hangt sterk af van de gegeven kaart. Als we beschikken over een tweede kaart rond , en we drukken  uit ten opzichte van de basisvectoren die bij de nieuwe coördinaten  horen, dan verkrijgen we nieuwe functies  en . Het verband, bijvoorbeeld tussen de symbolen van de tweede soort, luidt (met sommatieconventie):
  
  De aanwezigheid van de tweede term, die zeker niet altijd nul is, betekent dat de christoffelsymbolen niet tensorieel zijn: hun componenten transformeren niet als de componenten van een derderangstensor. De riemanntensor is een echte vierderangstensor die de kromming van de variëteit uitdrukt. Zijn componenten kunnen worden uitgedrukt in termen van de christoffelsymbolen en hun afgeleiden.
  
  Zie ook
  Verbinding (wiskunde)
  Covariante afgeleide
  
  Riemann-meetkunde
  Tensoren in de relativiteitstheorie