title: Vectorbundel
text: In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie, maar ook in verschillende deelgebieden van de natuurkunde, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van de notie "vector met een aangrijpingspunt". Voorbeelden uit de natuurkunde zijn: een kracht uitgeoefend op een star lichaam, de snelheid van een deeltje of een planeet in het meerlichamenprobleem, en het impulsmoment van een voorwerp ten opzichte van een gegeven centrum, afhankelijk van de gekozen oriëntatie, dus eigenlijk een pseudovector. Het begrip vectorbundel geeft hieraan een exacte definitie. Met elk punt  van een eventueel gekromde ruimte  wordt een vectorruimte geassocieerd, zodanig dat:
   de verschillende vectorruimten die met de verschillende punten overeenkomen, onderling isomorf zijn;
   de vectorruimten geassocieerd met nabijgelegen punten van  gaan 'geleidelijk' in elkaar over.
  
  Deze laatste voorwaarde verdient een preciezere formulering. De definitie hieronder beschrijft gladde vectorbundels. Er worden in de laatste paragraaf enkele alternatieven opgesomd.
  
  Definitie 
  Zij  een -dimensionale gladde variëteit. Een afbeelding  heet -dimensionale vectorbundel over  als voldaan wordt aan de volgende voorwaarden:
    draagt de structuur van een gladde variëteit,
    is een gladde afbeelding tussen variëteiten,
    is een surjectie,
   voor elk punt  draagt het invers beeld  de structuur van een -dimensionale vectorruimte; deze vectorruimte wordt  genoteerd en heet vezel van  in ; meestal gaat het over reële vectorruimten, we kunnen eventueel expliciet van een reële vectorbundel spreken;
   in een voldoende kleine omgeving  van elk punt  is de bundel equivalent met een cartesisch product:
  
   
  
  waarbij  niet alleen een diffeomorfisme is, maar bovendien in iedere afzonderlijke vezel een isomorfisme van vectorruimten, én commuteert met de projectie  op de eerste component van :
  
   
  
  De variëteit  maakt deel uit van de definitie. Als we de afbeelding  geïsoleerd beschouwen, heet ze soms de projectie-afbeelding van de bundel.
  
  Een sectie of snede van de bundel is een afbeelding  die een rechtsinverse vormt voor de projectie:
  
   .
  
  Secties heten ook wel vectorvelden of, enigszins onnauwkeurig, vectoren. Het aangrijpingspunt van een dergelijke vector  is het punt . Indien de afbeelding  is, heet de snede glad.
  
  Voorbeelden 
  De definitie wordt gemotiveerd door het voorbeeld van de raakbundel  aan een gladde variëteit . Als verzameling is  de vereniging van alle raakruimten . De vezels zijn de raakruimten zelf. De equivalentie  wordt geconstrueerd aan de hand van een lokaal coördinatenstelsel, van een kaart of variëteit, in de omgeving  van een gegeven punt :
  
  waar  de coördinaten zijn van de vector  ten opzichte van de canonieke basis  van de raakruimte.
  
  Andere voorbeelden van bundels zijn de corakende bundel, gevormd met de duale vectorruimten van de raakruimten, en diverse tensorbundels, de vezels zijn gebaseerd op diverse soorten tensorproducten van de raakruimte en haar duale.
  
  Als  een indompeling, of in het bijzonder een inbedding, is van een gladde variëteit  in een riemann-variëteit , dan bestaat de normaalbundel van  uit de deelvectorruimten van  die loodrecht staan op .
  
  Afbeeldingen tussen vectorbundels, morfismen 
  Beschouw twee vectorbundels  en . Een morfisme tussen deze vectorbundels is een gladde afbeelding  met de volgende twee eigenschappen:
   behoud van vezels: ;
   voor elke  is de partiële afbeelding  lineair.
  
  Het typevoorbeeld van een morfisme van vectorbundels is de rakende afbeelding aan een gladde afbeelding tussen variëteiten. Zij  glad, dan is de afbeelding
  
  een morfisme. We verwijzen naar het artikel raakruimte voor de definitie van .
  
  Algemenere bundels 
  Men kan ook vectorbundels definiëren over topologische variëteiten, dus waarvan de coördinatentransformaties continu maar niet noodzakelijk differentieerbaar zijn. In dat geval hoeft de projectie-afbeelding  eveneens slechts continu te zijn.
  
  Analoog kan men over algebraïsche variëteiten, algebraïsche bundels definiëren.
  
  In plaats van vectorruimten over het lichaam  of over een algemeen commutatief lichaam , kan men de structuur van de vezels verzwakken tot modulen over een ring .
  
  Bij een algemene bundel wordt niet langer geëist dat de vezels modulen of vectorruimten zijn.
  
  Een hoofdbundel is een gladde bundel waarbij de vezels de aanvullende structuur van een lie-groep krijgen.
  
  Differentiaalmeetkunde
  Vector