title: Commutator (wiskunde)
text: In de algebra geeft een commutator aan, in welke mate de volgorde van twee elementen een rol speelt in het resultaat van een bewerking.
  
  Motivering 
  De algebra onderscheidt verschillende structuren om op een abstract niveau bewerkingen te bestuderen, naar analogie met bijvoorbeeld de optelling van getallen of de vermenigvuldiging van matrices. Een groep bestaat uit een verzameling met een binaire operatie, een bewerking op telkens twee elementen, die aan vier axioma's voldoet. Een ring is een verzameling met twee binaire operaties die samen aan een iets ingewikkelder stel voorwaarden voldoen.
  
  Een binaire operatie heet commutatief als ze symmetrisch is, dus als het resultaat niet afhangt van de volgorde waarin de twee elementen worden uitgevoerd:
   
  Optellen van gehele getallen is commutatief, aftrekken van gehele getallen en de vermenigvuldiging van vierkante matrices zijn dat niet.
  
  Definitie 
  De commutator  van twee elementen  en  van een groep  is gedefinieerd als:
   
  
   wordt soms ook als commutator gedefinieerd.
  
  Als  een abelse groep is, dat wil zeggen als de groepsbewerking commutatief is, mogen in bovenstaande formule het derde en het vierde element van plaats verwisseld worden, en zijn alle commutatoren gelijk aan het neutrale element.
  
  Voorbeeld 
  Beschouw de groep , de symmetrische groep, alle mogelijke permutaties, op drie elementen. De commutator van de verwisselingen  en  is
  
  Commutatorgroep 
  De commutatorogroep of commutatorondergroep van een groep  is de ondergroep die wordt voortgebracht door alle commutatoren:
   
  
  De commutatorogroep wordt ook afgeleide ondergroep van  genoemd.
  
  De commutatorgroep is een normaaldeler van . De bijhorende factorgroep  is commutatief of abels en wordt de geabelianeerde of de abelianisering van  genoemd. De commutatorgroep is de kleinst mogelijke normaaldeler van  waarvoor de factorgroep nog abels is.
  
  Voorbeeld 
  De commutatordeelgroep van  is de alternerende groep , die bestaat uit de even permutaties. De factorgroep is , de cyclische groep met twee elementen.
  
  Definitie (ring) 
  Bij een ring is de eerste binaire operatie, de abstracte optelling, per definitie commutatief. Het onderscheid tussen een commutatieve en een niet-commutatieve ring ligt bij de tweede binaire operatie, de abstracte vermenigvuldiging. Voor deze tweede bewerking heeft niet ieder element een invers element. De definitie van een ringcommutator is dan ook iets anders:
   
  
  In een commutatieve ring zijn alle commutatoren gelijk aan het neutraal element voor de optelling, meestal 0 genoteerd.
  
  Onderscheid tussen de twee commutatorbegrippen 
  Een groepscommutator en een ringcommutator mogen dan wel uitdrukking geven aan dezelfde intuïtie van de mate waarin de bewerking niet altijd commutatief is, het zijn wel degelijk verschillende wiskundige begrippen. Ze staan vaak naast elkaar beschreven en is het belangrijk het onderscheid duidelijk aan te geven. Een voorbeeld hiervan treedt op bij matrices. Inverteerbare vierkante -matrices met elementen in een lichaam of veld  vormen de groep  voor de matrixvermenigvuldiging, maar ze horen ook tot de ring  met de bewerkingen optellen van matrices en de matrixvermenigvuldiging.
  
  De groepscommutator van de matrices  en  is
  
   
  
  Hun ringcommutator is daarentegen
  
  Verband tussen de twee commutatorbegrippen 
  In de theorie van lie-groepen zijn beide commutatorbegrippen nauw met elkaar verweven. Met elke lie-groep is een abstracte lie-algebra geassocieerd. De elementen van de lie-algebra zijn de generatoren van alle eenparametrische deelgroepen van de lie-groep. Men noteert een dergelijke deelgroep met de exponentiële afbeelding:
   
  
  Nu blijkt dat de groepscommutator van twee dergelijke eenparameter-deelgroepen tot in tweede orde wordt benaderd door de exponentiële van de lie-haak van de twee afzonderlijke generatoren:
   
  
  Dit volgt onder meer uit de Baker-Campbell-Hausdorff-formule: 
   
  
  Als  een reële matrixgroep is, een deel-liegroep van de algemene lineaire groep , dan is  de gebruikelijke exponentiële functie op vierkante matrices, gedefinieerd door bijvoorbeeld een machtreeks, en  de ringcommutator in de ring  van de reële vierkante matrices.
  
  Abstracte algebra