Vierentwintighoek
Een vierentwintighoek (ook icositetragoon, en in hetgeen volgt geschreven als 24-hoek) is een meetkundige figuur (een veelhoek) met  hoeken en evenzoveel zijden. Het aantal hoeken en zijden van een veelhoek wordt meestal aangegeven met de letter . In dit geval is dus .

Regelmatige 24-hoek 
De grootte  van een hoek van een regelmatige 24-hoek is (in graden):

De algemene formule voor de oppervlakte  van een regelmatige -hoek waarvan de lengte van een zijde gelijk is aan , luidt:
 
Voor  is dat:
 
Door gebruik te maken van enkele goniometrische identiteiten kan de exacte waarde van  worden berekend.
Allereerst is:
 
 
Dan is:
 
En dit resulteert, met gebruik van de eerder gevonden waarden, in:

En dan is hiermee:

Benadering van  

Een regelmatige 24-hoek kan worden gebruikt voor een benadering van het getal  volgens de methode van Archimedes, d.w.z. bepaal de omtrek van een in- en omschreven regelmatige veelhoek van een cirkel waarvan de lengte van de straal gelijk is aan , en gebruik die waarden voor een benadering.
 en  zijn de bedoelde 24-hoeken (alleen voor de duidelijkheid is in de figuur rechts een 6-hoek getekend),  is het middelpunt van de cirkel en  en  zijn de middens van de zijden  en .
Is  de grootte van de helft van de middelpuntshoek  van de 24-hoek, dan is:
 
In driehoek  is  en in driehoek  is .
Daarmee is voor de omtrek  en  van deze 24-hoeken:
 
Zodat:
 
Een redelijke schatting van de waarde van  is dan het gemiddelde van beide grenzen, dus: 
 
De op 6 decimalen afgeronde werkelijke waarde van  is .

Opmerking. Met het isoperimetrisch quotiënt (IQ) wordt een relatie vastgelegd tussen de oppervlakte en de omtrek van een gesloten figuur. De definitie ervan is zo gekozen dat de waarde voor een cirkel gelijk is aan 1:

In de formule is  de oppervlakte en  de omtrek van de figuur. Voor een 24-hoek is IQ gelijk aan  .

Construeerbaarheid 
 De constructie van een 24-hoek kan worden uitgevoerd door, beginnend met een gelijkzijdige driehoek met omgeschreven cirkel, de middelloodlijnen van de zijden van de laatste geconstrueerde veelhoek te snijden met de cirkel. De nieuwe snijpunten zijn dan, naast de reeds bestaande punten op de cirkel, hoekpunten van de ‘volgende’ veelhoek.
 Op deze manier ontstaat de rij veelhoeken, 3-, 6-, 12-, 24-, 48-, 96-hoek die Archimedes gebruikte bij zijn benadering van .
 Dat de 24-hoek construeerbaar is met passer en (ongemerkte) liniaal volgt ook uit de stelling van Gauss-Wantzel, omdat  en de oneven factor 3 een Fermat-priemgetal is:  (zie: Kazarinoff; pp. 119-125).

Zie ook 
 Pi
 Benadering
 Omtrek
 Isoperimetrisch quotiënt

Literatuur 
  Pi: A Source Book. New York (USA): Springer, 3e editie (2003); pp. 7–19.
  The Ruler and the Round. Mineola (USA): Dover Publications Inc.; reprint 2003.

Voorkomen in de natuur 
De 24-hoek komt ook voor in de natuur, zij het bij benadering; bijvoorbeeld in de doorsnede van de hennepbladstokroos.

Externe links 
  Icositetragon. Op: MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  Trigonometry Angles – Pi/24 Op: MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  Pi volgens Archimedes. Homepage.

Noten 

Veelhoek