Lebesgue-maat
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een lebesgue-maat, vernoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue, de standaardmanier om een lengte, een oppervlakte of een volume, in het algemeen een maat, aan deelverzamelingen van de euclidische ruimte toe te kennen, overeenkomstig het gewone gebruik van deze termen. De lebesgue-maat van een interval is dus z'n gewone lengte, een rechthoek heeft als maat z'n oppervlakte als lengte maal breedte en een balk (blok) heeft z'n volume, dus lengte maal breedte maal hoogte als maat. Ook in hogere dimensies is de lebesgue-maat van het analogon van een rechthoek of balk, de hyperrechthoek, het product van de lengten van de ribben. De lebesgue-maat is door deze eigenschap eenduidig bepaald. Het begrip wordt door de gehele reële analyse gebruikt, in het bijzonder om de lebesgue-integratie te definiëren. Verzamelingen waaraan een maat kan worden toegekend, worden lebesgue-meetbaar genoemd en het volume of de maat van een lebesgue-meetbare verzameling  wordt meestal aangeduid met . Een lebesgue-maat kan ∞ zijn, en ook zijn er onder de veronderstelling van het keuzeaxioma niet-meetbare verzamelingen, waaronder deelverzamelingen van een reëel interval.

Het "vreemde" gedrag van niet-meetbare verzamelingen wordt geïllustreerd door de banach-tarskiparadox.

Geschiedenis 
Henri Lebesgue beschreef de lebesgue-maat in 1901 en het jaar daarna de lebesgue-integraal. Beide begrippen werden in 1902 als onderdeel van zijn proefschrift gepubliceerd.

Voorbeelden 
 De lebesgue-maat van een gesloten interval  is z'n de lengte . Het open interval  heeft dezelfde maat, aangezien het verschil tussen de twee verzamelingen maat nul heeft.
 Het cartesisch product van de intervallen  en  is een rechthoek met lebesgue-maat gelijk aan de oppervlakte  van deze rechthoek.
 De cantorverzameling is een voorbeeld van een overaftelbare verzameling die lebesgue-maat nul heeft.

Eigenschappen 
De lebesgue-maat op  heeft de volgende eigenschappen:

 Als de hyperrechthoek  het cartesisch product is van de intervallen : , dan is  lebesgue-meetbaar en is de maat van  gelijk aan het product van de lengten van de intervallen: . Hier staat  voor de lengte van het interval .
 Als  een disjuncte vereniging van eindig veel of aftelbaar veel disjuncte lebesgue-meetbare verzamelingen, dan is  zelf lebesgue-meetbaar en is  gelijk aan de som (of oneindige reeks) van de maten van de betrokken meetbare verzamelingen.
 Als  lebesgue-meetbaar is, dan is het complement van  dit ook.
  voor elke lebesgue-meetbare verzameling .
 Als  en  lebesgue-meetbaar zijn en  is een deelverzameling van , dan is . Dit volgt uit 2, 3 en 4.
 Aftelbare verenigingen en doorsneden van lebesgue-meetbare verzamelingen zijn lebesgue-meetbaar. Dit volgt niet uit 2 en 3, omdat een familie van verzamelingen die gesloten is onder complementen en disjuncte telbare verenigingen, niet gesloten hoeft te zijn onder aftelbare verenigingen, zoals te zien is aan: .
 Als  een open of gesloten deelverzameling is van  (of zelfs een borel-verzameling, zie metrische ruimte), dan is  lebesgue-meetbaar.
 Als  een lebesgue-meetbare verzameling is, dan is  "bij benadering open" en "bij benadering gesloten" in de zin van een lebesgue-maat (zie de regelmatigheidssteling voor de lebesgue-maat).
 Een lebesgue-maat is zowel een lokaal eindige als een inwendig regelmatige maat, en is dus een Radon-maat.
 Een lebesgue-maat is strikt positief op een niet-lege open verzameling, en daarom is de drager het geheel van .
 Als  een lebesgue-meetbare verzameling is met  (een nulverzameling), dan is elke deelverzameling van  ook een nulverzameling. A fortiori is elke deelverzameling van  meetbaar.
 Als  lebesgue-meetbaar is en  is een element van , dan is de translatie van  over , gedefinieerd door  ook lebesgue-meetbaar en heeft deze dezelfde maat als .
 Als  lebesgue-meetbaar is en , dan is de uitzetting van  door  gedefinieerd door  ook lebesgue-meetbaar en heeft deze de maat .
 Meer in het algemeen, als  een lineaire transformatie is en  een meetbare deelverzameling van , dan is  ook lebesgue-meetbaar en heeft de maat .

De veertien bovenstaande punten kunnen als volgt beknopt worden samengevat:
"De lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra die alle producten van intervallen bevat en waar λ de unieke volledige translatie-invariante maat is op deze σ-algebra met ."

De lebesgue-maat heeft verder de eigenschap dat hij σ-eindig is.

Nulverzamelingen 

Een deelverzameling van  is een nulverzameling, als zij voor elke  kan worden bedekt met aftelbaar veel producten van  intervallen, waarvan het totale volume ten hoogste gelijk is aan . Alle aftelbare verzamelingen zijn ook nulverzamelingen.

Als een deelverzameling van  een hausdorff-dimensie heeft van minder dan  dan is deze deelverzameling een nulverzameling met betrekking tot de -dimensionale lebesgue-maat. De hausdorff-dimensie is hier relatief ten opzichte van de euclidische metriek van , of enig ander metrische Lipschitz-equivalent daarvan. Aan de andere kant kan een verzameling een topologische dimensie minder dan  hebben en toch een positieve -dimensionale lebesgue-maat hebben. Een voorbeeld hiervan is de Smith-Volterra-Cantor-verzameling die een topologische dimensie 0 heeft en tegelijkertijd ook een positieve eendimensionale lebesgue-maat.

Om te laten zien dat een gegeven verzameling  lebesgue-meetbaar is, probeert men gewoonlijk om een "mooiere" verzameling  te vinden, die alleen van  verschilt door een nulverzameling, in de zin dat het symmetrische verschil  een nulverzameling is. Men laat vervolgens zien dat  kan worden gegenereerd door gebruik te maken van aftelbare verenigingen en doorsnedes van open of gesloten verzamelingen.

Constructie van de lebesgue-maat 
De moderne constructie van de lebesgue-maat, gebaseerd op de uitwendige maten, is ingevoerd door Carathéodory. De constructie gaat als volgt.

In  dimensies wordt het "volume"  van de  hyperrechthoek  van de vorm 
, 
waarin  gedefinieerd als het product 

Voor enige deelverzameling  van  wordt de uitwendige maat  gedefinieerd door:

,

waarin het infimum genomen is over alle aftelbare collecties van hyperrechthoeken  waarvan de vereniging  overdekt.

De verzameling  is dan lebesgue-meetbaar als voor alle deelverzamelingen 

Deze lebesgue-meetbare verzamelingen vormen een σ-algebra en de lebesgue-maat wordt gedefinieerd door  voor enige lebesgue-meetbare verzameling .

Volgens de stelling van Vitali bestaat er een deelverzameling van de reële getallen  die niet lebesgue-meetbaar is. Het is zelfs sterker: als  enige deelverzameling van  is met een positieve maat, dan heeft  deelverzamelingen die niet lebesgue-meetbaar zijn.

Relatie tot andere maten 
De borelmaat komt op de verzamelingen waarvoor hij is gedefinieerd, overeen met de lebesgue-maat. Er zijn echter veel meer lebesgue-meetbare verzamelingen dan er borel-meetbare verzamelingen zijn. De borelmaat is translatie-invariant, maar de borelmaat is niet volledig.

De haar-maat kan worden gedefinieerd op elke lokaal compacte topologische groep en is een veralgemening van de lebesgue-maat ( met de operatie optellen is een lokaal compacte groep).

De hausdorffmaat is een veralgemening van de lebesgue-maat, die nuttig is voor het meten van de deelverzamelingen van  van lagere dimensies dan , zoals deelvariëteiten, bijvoorbeeld, oppervlakken of krommen in  en fractale verzamelingen.

Zie ook
 Dichtheidsstelling van Lebesgue

Voetnoten

Wiskundige analyse
Maattheorie