Hyperfunctie
In de wiskunde zijn hyperfuncties veralgemeningen van functies. Een hyperfunctie behandelt de 'sprong' op de grensvlak tussen twee holomorfe functies. Informeel kan men zich hyperfuncties voorstellen als distributies van oneindige orde. Hyperfuncties werden in 1958 door Mikio Sato geïntroduceerd, waarbij hij voortbouwde op eerder werk van Grothendieck en anderen.

Formulering 
Wij willen dat een hyperfunctie op de reële lijn het "verschil" tussen een holomorfe functie op het bovenhalfvlak en een andere op het onderhalfvlak aangeeft. De eenvoudigste manier om dit bereiken, is om te zeggen dat een hyperfunctie gespecificeerd wordt door een paar , waarbij  een holomorfe functie is op het bovenhalfvlak en  een holomorfe functie op het onderhalfvlak is. 

Informeel is de hyperfunctie wat het verschil  zou zijn op de reële lijn zelf. Dit verschil wordt niet beïnvloed door dezelfde holomorfe functie bij zowel  en  op te tellen, dus als  een holomorfe functie op het gehele complexe vlak is, zijn de hyperfuncties  en  als equivalent gedefinieerd.

Definitie in één dimensie
De motivatie kan concreet worden geïmplementeerd door gebruik te maken van ideeën uit de schoofcohomologie. Laat  de schoof van holomorfe functies op  zijn. Definieer de hyperfunctions op de reële lijn door 

,

de eerste lokale cohomologie groep

Laten  en  respectievelijk het bovenhalfvlak en onderhalfvlak zijn. Dan geldt

zodat

Aangezien de nul-de cohomologiegroep van enige schoof simpelweg de globale secties van deze schoof zijn, zien we dat een hyperfunctie een paar van holomorfe functies is, eentje op de bovenste halfvlak en eentje op het onderste complexe halfvlak modulo gehele holomorfe functies.

Voorbeelden 
Als  enige holomorfe functie op het hele complexe vlak is, dan is de beperking van  op de reële as een hyperfunctie, vertegenwoordigd door ofwel  dan wel .

De Dirac-deltafunctie wordt vertegenwoordigd door . Dit is een herformulering van de  Integraalformule van Cauchy. 

Als  een continue functie (of meer algemeen een distributie) op de reële lijn is met een drager in een begrensd interval , dan correspondeert  met de hyperfunctie , waarbij  een holomorfe functie op het complement van  is, die is gedefinieerd door 

Deze functie  springt in waarde met  wanneer de functie de reële-as op het punt  overschijdt. De formule voor  volgt uit het vorige voorbeeld door  te schrijven als de convolutie van zichzelf met de Dirac-deltafunctie. 

Als  enige functie, die overal holomorf is, behalve voor een essentiële singulariteit op 0 (bijvoorbeeld ), is dan is  een hyperfunctie met drager 0 die geen distributie is. Als  een pool van eindige orde op 0 heeft, dan is  een distributie, zodat wanneer  een essentiële singulariteit heeft,  eruitziet als een "distributie van oneindige orde" op 0. (Merk op dat de distributies altijd een eindige orde op enig punt hebben.)

Referenties 
 Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Volume I: Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, Berlin, 2003, isbn=3-540-00662-1.
 Mikio Sato, Theory of Hyperfunctions, , Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, volume=8, 1959, issue=1, pagina's 139–193.
 Mikio Sato, Theory of Hyperfunctions, , Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Sect. 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry, volume=8, 1960, issue=2, pagina's 387–437.

Complexe analyse