Weierstrass-substitutie
De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode om met behulp van substitutie een integraal te berekenen. Met deze methode kan de primitieve functie van een rationale functie in  en  worden bepaald. Door de substitutie ontstaat een nieuwe rationale functie in de nieuwe variabele

Vorm van de substitutie 
De substitutie wordt gebruikt om de integraal te bepalen van een rationale functie  van  en  dus een breuk met in teller en noemer een polynoom die machten van  en  bevat. Andere goniometrische functies kunnen ook voorkomen aangezien die tot sinussen en cosinussen kunnen worden herleid. De integraal is dus van de vorm:

 

De Weierstrass-substitutie die in dat geval voor  kan worden toegepast, is:

 
dus
 

Door deze substitutie worden  en  als functie van :

 

 

Deze uitdrukkingen volgen uit de basisformules van de goniometrie door overgang op de halve hoek:

 

en:

 
 
Verder is:  

 
dus
 

Het resultaat van deze substitutie is een rationale functie in de variabele

Voorbeeld 1 
Een speciaal geval doet zich voor als de te integreren functie alleen even machten van de sinus en cosinus bevat:

 

Dan is de substitutie

 

beter geschikt en worden de bijhorende substituties:

 

 

en voor de differentiaal:

Voorbeeld 2 
De integrand in de volgende integraal is een rationale functie:

 

Na toepassing van de Weierstrass-substitutie wordt dit een rationale integraal in de variabele 

 

Deze integraal kan verder met breuksplitsing worden berekend:

 

zodat:

 

Na terugsubstitutie van  volgt:

Websites 
 MathWorld. Weierstrass Substitution. 

Integraalrekening
Wiskundige analyse