Stelling van Holditch
De stelling van Holditch is een stelling uit de vlakke meetkunde. Ze werd gepubliceerd door de Brit Hamnet Holditch in 1858.

De stelling van Holditch

Men verbindt twee punten op een gesloten en vloeiende convexe kromme  door middel van een lijnstuk, en kiest op het lijnstuk een willekeurig punt . Het woord vloeiend betekent dat de kromme geen hoeken bevat. Dit punt  verdeelt het lijnstuk in twee stukken met respectievelijke lengtes  en . Vervolgens laat met de twee punten langs de convexe kromme glijden op zo'n manier dat hun onderlinge afstand, dus de lengte van het lijnstuk, constant blijft. Het punt , dat meeglijdt beschrijft zelf een kromme , de Holditchkromme, die binnen  ligt.
De stelling zegt dat de oppervlakte tussen de kromme  en de kromme  gelijk is aan:

Het eigenaardige van de stelling is het feit dat het verschil in oppervlakte enkel afhangt van eigenschappen van het lijnstuk, namelijk de lengtes van de twee stukken waarin het wordt onderverdeeld en niet van de oorspronkelijke kromme . Met andere woorden: als de kromme  bijvoorbeeld in beide richtingen  en  gelijkmatig met een grote factor vergroot wordt, maar men houdt het lijnstukje en de locatie van het punt  op het lijnstuk constant, dan blijft het verschil tussen de oppervlakte omgeven door de kromme  en de oppervlakte omgeven door de kromme  gelijk. Dit kan als volgt verklaard worden: indien de kromme  in beide richtingen vergroot wordt neemt de omtrek van  toe. De kromming van  neemt hierdoor evenredig af, zodat het lijnstuk nu dichter bij  zal liggen. Het gebied tussen  en  wordt dus enerzijds langer omdat  groter wordt, maar anderzijds smaller omdat de kromming van  afneemt. Deze twee effecten compenseren elkaar.

Voorbeeld

Het enige geval dat op eenvoudige manier te berekenen valt is het geval waarbij men een cirkel als oorspronkelijke kromme  neemt. Op nevenstaande figuur staat die oorspronkelijke kromme  in het blauw. Dit is een cirkel met straal 5 rond de oorsprong. Het zwarte lijnstuk heeft een lengte  en is onderverdeeld door het punt  in twee stukken met lengte  en . Vervolgens laat men dit lijnstuk langs de kromme  glijden; waarbij de twee eindpunten steeds op  liggen. Het punt  beschrijft dan ook een kromme , in dit geval een cirkel (rood). Het gebied tussen beide cirkels is volgens de stelling van Holditch gelijk aan:

Dit kan in dit eenvoudig geval gecontroleerd worden als volgt: het punt  bevindt zich bij de start op coördinaten , en dus op afstand  van de oorsprong. Dit is tevens de straal van de rode cirkel, die dus een oppervlakte heeft van . Dit is inderdaad  minder dan de oppervlakte van de oorspronkelijke kromme , de blauwe cirkel die een straal heeft gelijk aan 5.

In dit voorbeeld is de Holditchkromme  zelf ook convex, maar dit is niet altijd zo. Zo zal  bij een ellips met voldoende hoge excentriciteit een concave kromme  opleveren indien de lengte van het gebruikte lijnstuk boven een bepaalde grens uitstijgt.

Vlakke meetkunde
Holditch