Legendretransformatie
In de wiskunde is de legendretransformatie, genoemd naar de Franse wiskundige Adrien-Marie Legendre, een operatie die een reëelwaardige functie van een reële variabele transformeert in een andere variabele. In natuurkundige toepassingen wordt de legendretransformatie gebruikt om functies van de ene variabele, zoals positie, druk of temperatuur, om te zetten in de toegevoegde variabele, respetievelijk impuls, volume of entropie. Op deze manier wordt bijvoorbeeld in de klassieke mechanica het hamiltonformalisme afgeleid uit het lagrangeformalisme.

Definitie
De legendretransformatie van een convexe functie  op het interval  is de functie   die wordt gedefinieerd door

met domein

Als  strikt convex is en differentieerbaar met inverteerbare afgeleide, kan het supremum expliciet bepaald worden. De functie  is dan maximaal in het eenduidig bepaalde punt waar , dus . Daarmee wordt:

Voorbeeld
In de mechanica is de hamiltoniaan  de legendretransformatie van de lagrangiaan . Met

en

is

Wiskundige analyse