Raakvlak
Het raakvlak aan een oppervlak in drie dimensies in een punt van dat oppervlak is de verzameling van alle rechten die door dat punt gaan en in dat punt loodrecht op de plaatselijke normaalvector aan het oppervlak staan. Het is een uitbreiding in drie dimensies van het begrip raaklijn aan een vlakke kromme. Het is tevens een speciaal geval van de meer algemenere raakruimte in  dimensies.

Raakvlak aan een impliciet gegeven oppervlak

Vergelijking
Stel dat een oppervlak in drie dimensies gegeven is door middel van de vergelijking:

Dit voorschrift legt één gezamenlijke voorwaarde op aan de drie coördinaten, waardoor er slechts twee onafhankelijk kunnen gekozen worden.
Laat

een punt zijn dat op dit oppervlak ligt, en de drie partiële afgeleiden van  in dat punt bestaan en niet alle drie tegelijk nul zijn. Dan kan men bewijzen dat alle raaklijnen in dat punt loodrecht op de vector

staan. Merk op dat deze vector alleen afhangt van het gegeven oppervlak en het gekozen punt. De raaklijnen vormen dan samen het raakvlak, en de vector  is de normaalvector van dat raakvlak. De cartesische vergelijking van het raakvlak in het gegeven punt is dan:

Voorbeeld
Beschouw het oppervlak

en het punt

op dat oppervlak. De drie partiële afgeleiden zijn:

Als de coördinaten van het punt worden ingevuld, verkrijgt men de plaatselijke normaalvector

Het raakvlak in het genoemde punt is bijgevolg:

Raakvlak aan een oppervlak bepaald door twee parameters

Vergelijking

Een oppervlak  in drie dimensies kan ook beschreven worden door middel van drie coördinaten  die functie zijn van een koppel onafhankelijke parameters . Dit is een voorbeeld van een zogenaamde parametervergelijking, die in dit geval de volgende gedaante heeft:

Een punt  op het oppervlak  wordt nu bepaald door twee waarden  en  die via bovenstaande voorschriften de coördinaten van dat punt bepalen. Een punt op het oppervlak  is dus te schrijven als:

Door nu in de vergelijkingen van het oppervlak  eerst eens de tweede parameter constant  te houden, verkrijgt men een ruimtekromme  die in het oppervlak ligt, en wordt doorlopen door middel van de eerste parameter . Deze ruimtekromme gaat door het punt  en bereikt dit punt meer bepaald, als . Deze ruimtekromme is dus:

De richting van de raaklijn aan een ruimtekromme wordt in het algemeen gegeven door de vector bestaande uit partiële afgeleiden naar haar parameter. Bijgevolg wordt de raakvector in het punt  aan deze ruimtekromme dan bepaald door de partiële afgeleiden:

Op dezelfde manier kan men, door eens de parameter  constant te houden, een tweede ruimtekromme  door het punt  krijgen die alleen van de tweede parameter  afhangt. De raakvector aan deze tweede ruimtekromme is dan op analoge wijze:

Deze twee raakvectoren liggen in het gevraagde raakvlak, en bijgevolg staat hun vectorproduct :

loodrecht op dat raakvlak. Dit vectorproduct kan dus dienstdoen als normaalvector van het raakvlak, dat bijgevolg volledig bekend is:

Voorbeeld
Het punt

op de ruimtekromme gegeven door:

heeft de parameterwaarden  en .
De partiële afgeleiden naar  in deze parameterwaarden geven een eerste raakvector:

De partiële afgeleiden naar  geven een tweede raakvector:

Het vectorproduct

is dan een normaalvector in . Het raakvlak heeft dus als vergelijking:

Zie ook
 Raakruimte
 Normaalvector
 Raaklijn

Differentiaalmeetkunde
Differentiaaltopologie