Stelling van Wilson
De stelling van Wilson is een wiskundige stelling die zegt dat  dan en slechts dan een priemgetal is, als:
.

De congruentie  kan ook worden geformuleerd als:  is een deler van .

De stelling werd voor het eerst geformuleerd door Ibn al-Haytham, ook bekend als Alhazen, maar is naar John Wilson genoemd. Wilson was een student van Edward Waring. Die formuleerde de stelling in 1770, maar noch hijzelf noch Wilson konden de stelling bewijzen. Lagrange gaf het eerste bewijs in 1771. Leibniz kende de stelling een eeuw eerder ook, maar publiceerde die niet.

Voor de notaties ! faculteit en ≡ congruent zie aldaar.

Bewijs 
Uit het ongerijmde: stel dat  door  is te delen en dat  weer door een getal  met  is te delen. Omdat  een van de getallen  is, is  door  te delen.  is ook door  te delen, dus zou ook 1 door  te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.

Omgekeerd 
Eerste bewijs
Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal  de verzameling  een groep is onder vermenigvuldiging modulo . Dit betekent dat er voor ieder element  een uniek invers element  is zodanig dat .  Als , dan is  en omdat  een priemgetal is, moet  of .

Met andere woorden: 1 en  zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van  heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van  met hun inverse bij elkaar genomen worden  en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product  modulo  gelijk aan −1.

Voor  is bijvoorbeeld

In het geval dat  is de stelling eenvoudig te controleren.

Tweede bewijs
Stel p is een priemgetal groter dan 2. Beschouw de polynomen	 

en
.

De constante term in  is .
 
 is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste  is, met dus ten hoogste  nulpunten; Modulo  geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen  een nulpunt van . Dit is onmogelijk, tenzij , oftewel tenzij iedere coëfficiënt van  door  is te delen, en de constante  dus ook.

Samengestelde getallen 
Voor samengestelde getallen  geldt:

,

d.w.z.  is deelbaar door .

Voor  is:

Algemene vorm van de stelling 
Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal  en voor ieder positief geheel getal  kleiner dan :

hetgeen met volledige inductie is te bewijzen.

Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:

waarin  een oneven priemgetal is.

Voorbeeld 
De volgende tabel toont de waarden van  van 2 tot 30,  en  .
Als  een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze. En als  een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ Tabel van rest modulo 
!  !!  !! 
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 2 || 1 || 1
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 3 || 2 || 2
|- style="background-color:#98FB98"
| 4 || 6 || 2
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 5 || 24 || 4
|- style="background-color:#98FB98"
| 6 || 120 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 7 || 720 || 6
|- style="background-color:#98FB98"
| 8 || 5040 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 9 || 40320 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 10 || 362880 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 11 || 3628800 || 10
|- style="background-color:#98FB98"
| 12 || 39916800 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 13 || 479001600 || 12
|- style="background-color:#98FB98"
| 14 || 6227020800 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 15 || 87178291200 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 16 || 1307674368000 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 17 || 20922789888000 || 16
|- style="background-color:#98FB98"
| 18 || 355687428096000 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 19 || 6402373705728000 || 18
|- style="background-color:#98FB98"
| 20 || 121645100408832000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 21 || 2432902008176640000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 22 || 51090942171709440000 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 23 || 1124000727777607680000 || 22
|- style="background-color:#98FB98"
| 24 || 25852016738884976640000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 25 || 620448401733239439360000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 26 || 15511210043330985984000000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 27 || 403291461126605635584000000 || 0
|- style="background-color:#98FB98"
| 28 || 10888869450418352160768000000 || 0
|- style="background-color:#FFC0CB"
| 29 || 304888344611713860501504000000 || 28
|- style="background-color:#98FB98"
| 30 || 8841761993739701954543616000000 || 0
|}

Wilson
Getaltheorie