Standaardinproduct
In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendige product dat normaal in de reële en complexe vectorruimte wordt gebruikt. Afstand of lengte en hoek kunnen met behulp van het standaardinproduct worden gedefinieerd.

Definitie

Reëel standaardinproduct 
Het standaardinproduct  van twee vectoren  is gedefinieerd als
 

Vat men  en  op als kolomvectoren:
 , 
dan kan het standaardinproduct als matrixproduct worden geschreven:

Complex standaardinproduct
Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren  bestaan twee vormen.

 
en
 .

De beide vormen verschillen alleen daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:
 .

Vat men  en  als kolomvectoren op:
 , 
dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:
 .

Eigenschappen 
Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix  van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
 .

Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix  van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:
 .

Afgeleide begrippen

Norm 
De norm van een reële of complexe vector  die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:
 .

Afstand 
De euclidische afstand  tussen twee reële of complexe vectoren  en  van de euclidische norm wordt met behulp van de stelling van Pythagoras afgeleid:
 .

Hoek 
De hoek  tussen twee reële vectoren  en  wordt met behulp van de cosinus van het reële standaardinproduct afgeleid:

Orthogonaliteit 
Twee reële of complexe vectoren  en  zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:
 .

In het geval van dat twee reële vectoren  en  orthogonaal zijn, betekent dat dat .

Vectorruimten 
Het inwendige product van twee vectoren  en  in een -dimensionale vectorruimte , geschreven als lineaire combinatie van een orthonormale basis  van :
  en 

is gelijk aan:
 

Lineaire algebra
Meetkunde