Welpreorde
In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een welpreorde of welquasiorde een preorde die de volgende eigenschappen heeft:
 er bestaan geen oneindige, strikt aflopende rijen (dat wil zeggen, de orde is welgefundeerd); en
 er bestaan geen oneindige deelverzamelingen waarvan de elementen paarsgewijs helemaal niet door de orde vergeleken worden.

Een wel-partiële orde is een welpreorde die bovendien een partiële orde is.

Definitie 
Laat  een preorde op  zijn. Zoals gebruikelijk schrijven we, voor :  als ,  als  maar  en  als . 

Een keten (van ) is een totaal geordende deelverzameling van . Een antiketen is een deelverzameling van  waarvan alle elementen paarsgewijs onvergelijkbaar zijn (dat wil zeggen: voor alle  geldt, dat  en ).

De volgende definities zijn equivalent:

  is een welpreorde als er geen oneindige, strikt aflopende keten  bestaat en geen oneindige antiketen.
  is een welpreorde als er voor elke oneindige rij  een paar  met  bestaat zodat .
  is een welpreorde als elke oneindige rij  een oneindige oplopende subrij  bevat.

Voorbeelden 
 De orde 'is kleiner dan' op natuurlijke getallen is een welpreorde, omdat er geen oneindige aflopende ketens bestaan en alle paren van natuurlijke getallen met elkaar vergeleken kunnen worden.
 De partiële orde 'deelbaar door' op de natuurlijke getallen, waarin  als  deelbaar is door , is geen welpreorde. Hoewel er geen oneindige aflopende ketens bestaan, vormen de priemgetallen een oneindige antiketen, een verzameling van getallen die paarsgewijs niet met elkaar vergeleken kunnen worden.
 De minororde op grafen is een bekende welpreorde in de grafentheorie.

Eigenschappen en toepassingen 
Omdat elke welpreorde welgefundeerd is, kan op verzamelingen met een welpreorde welgefundeerde inductie worden toegepast. De klasse van welgefundeerde ordes is echter niet afgesloten onder enkele interessante bewerkingen. Een voorbeeld hiervan is het nemen van de machtsverzameling. Als  een preorde op de verzameling  is, kunnen we als volgt een preorde  op de machtsverzameling  van  definiëren:  als er voor elke  een  bestaat zodat . Er geldt nu dat  welgefundeerd is dan en slechts dan als  een welpreorde is.

Een tweede toepassing is het representeren van mogelijk oneindige verzamelingen. Als  een welpreorde is, en  een verzameling die naar boven onder  is afgesloten (dat wil zeggen, dat als  en , dan ook ), dan kan  door een eindig aantal minimale elementen worden gerepresenteerd. Zo is de minororde op grafen een welpreorde, en kan de verzameling van niet-planaire grafen worden gerepresenteerd door , de volledige graaf met 5 knopen, en , de volledige bipartiete graaf met twee keer drie knopen.

Ordetheorie