Positief-definiete matrix
In de lineaire algebra wordt een vierkante -matrix  positief-definiet genoemd, als alle elementen van  reëel zijn en de kwadratische vorm , waarin  een kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte is, positief-definiet is, dus als  als  niet gelijk is aan de nulvector.

 is de getransponeerde matrix van . Meestal wordt verondersteld dat  een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

De  matrix van een vlakke rotatie over een hoek  is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Wanneer in de definitie '' wordt vervangen door '', spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Eigenschappen 
 Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
 De som van twee positief-definiete -matrices is positief-definiet.

 Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:
 
 
 zijn beide positief-definiet. Hun product
 
 is daarentegen niet positief-definiet.

 Een vierkante matrix  kan altijd worden geschreven als de som  van een symmetrische matrix  en een antisymmetrische matrix . De matrix  is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van  positief-definiet is.
 Met  is
 ,
 Een symmetrische matrix  is positief-definiet dan en slechts dan als alle eigenwaarden van  strikt positief zijn. De determinant van een symmetrische positief-definiete matrix is ook strikt positief, omdat de determinant gelijk is aan het product van de eigenwaarden.
 Een symmetrische matrix die positief-definiet is, heeft dus ook een inverse matrix. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is positief-definiet.
 Matrix  is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van  strikt positief is.
 Als  een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit  wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit  weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van  strikt positief.
 Een positief-definiete matrix  heeft een unieke decompositie  in een benedendriehoeksmatrix , met 1-en op de hoofddiagonaal, en een bovendriehoeksmatrix , met niet-nul-elementen op de diagonaal.
 De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm , waarin  een benedendriehoeksmatrix is.
 Een matrix  is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix  bestaat zodanig dat 
 Als  positief-definiet is, dan is voor ieder positieve gehele getal  ook  positief-definiet.
 Als  positief-definiet is, bestaat de matrix  voor ieder positieve gehele getal , dat wil zeggen dat er een matrix  bestaat, zodat .

Voorbeelden 
 De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
 Hilbert-matrices.

Semi-definiete matrix 
Men heeft een positief semi-definitieve matrix  wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door . Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien   voor alle  ongelijk aan de nulvector.

Belang 
 Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

 De positief-definietheid van de hessiaan van een scalaire functie van  variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

 Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

 In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet of indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere positief-semidefiniet.

Literatuur 
 . Positive Definite Matrices, 1970. American Mathematical Monthly 77, 3, blz 259-264

Lineaire algebra
Matrix