Ondergroep (wiskunde)
In de groepentheorie is een ondergroep of deelgroep  van een gegeven groep  met de groepsbewerking  een deelverzameling van  die zelf ook een groep is bij dezelfde groepsbewerking . Dat  een ondergroep is van , wordt genoteerd met .

Definitie 
De deelverzameling  van een groep  heet een ondergroep van , als  met de groepsbewerking  van  zelf een groep is.

Dat houdt in dat de beperking van de bewerking  tot  voldoet aan de axioma's voor groepsbewerking.

Als de ondergroep  van een groep  gevormd wordt door een echte deelverzameling van , is   een echte ondergroep van . Voor iedere groep  is er de triviale ondergroep met alleen het neutrale element.

Nevenklassen 
Gegeven een groep  en een ondergroep , dan onderscheidt men voor ieder element  de nevenklassen van  in . De linkernevenklasse  van  bepaald door  is

 

en de rechternevenklasse 

 .

Iedere ondergroep  van een groep  heeft in  altijd evenveel linker- als rechternevenklassen. Een ondergroep heet een normaaldeler van de groep als linker- en rechternevenklassen samenvallen.

Orde 
Voor een eindige groep  kan de orde, dat wil zeggen het aantal elementen, van die groep door de orde van alle ondergroepen  ervan worden gedeeld. Dat is de stelling van Lagrange. Het quotiënt van de orde van  en van  is het aantal nevenklassen van  in .

Eigenschappen 
 Het neutrale element van een ondergroep  is hetzelfde als het neutrale element van  zelf.
 De inverse  van een element  in een ondergroep  is gelijk aan de inverse  van het element in de groep .
 De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep. 
 Een deelverzameling  is dan en slechts dan een ondergroep van de groep , als in  tenminste het neutrale element voorkomt,  gesloten is onder de groepsbewerking en de inverse  van ieder element  ook een element van  is. Dit houdt in: dat met  ook  en .
 Als  eindig is, dan is  dan en slechts dan een ondergroep van , als   gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element  een eindige cyclische ondergroep van  en is de inverse van  gelijk aan , waarin  de orde is van . Dat betekent dat  het kleinste getal is, zodat  met  het neutrale element van  en van .
 Ieder element  van een groep  genereert een cyclische ondergroep . Als er een positief geheel getal  is zodanig dat  isomorf is met , dan is  gelijk aan de orde van . Is  isomorf met , dan zegt men dat  van een oneindige orde is.
 Voor een deelverzameling  bestaat er een kleinste ondergroep  die  omvat.  is de doorsnede van alle ondergroepen die  omvatten, wordt aangeduid met  en de door  voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van  is dan en slechts dan een element van  als het een eindig product is van elementen van  en hun inverses.
 De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.
 Ondergroepen van cyclische groepen zijn ook cyclisch.
 De vereniging van ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.

Voorbeeld 
Laat  een commutatieve groep zijn met als groepsbewerking de optelling modulo acht. De cayley-tabel van de groep is
 {| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 0 
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 2 
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 4 
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 6 
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 1 
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 3 
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 5 
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 7
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 0
| 0 || 2 || 4 || 6 || 1 || 3 || 5 || 7
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 2
| 2 || 4 || 6 || 0 || 3 || 5 || 7 || 1
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 4
| 4 || 6 || 0 || 2 || 5 || 7 || 1 || 3
|-
!style="background:#FFFFAA;color:red"| 6
| 6 || 0 || 2 || 4 || 7 || 1 || 3 || 5
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 1
| 1 || 3 || 5 || 7 || 2 || 4 || 6 || 0
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 3
| 3 || 5 || 7 || 1 || 4 || 6 || 0 || 2
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 5
| 5 || 7 || 1 || 3 || 6 || 0 || 2 || 4
|-
!style="background:#FFFFAA;color:blue"| 7
| 7 || 1 || 3 || 5 || 0 || 2 || 4 || 6
|}

Het neutrale element onder optellen van deze groep is 0. Deze groep wordt onder optellen door het element 1 voortgebracht, dus is een cyclische groep. De groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: ,  en  is een ondergoep van . De cayley-tabel voor  bestaat uit het linkerboven kwadrant van de cayley-tabel voor .

Groepentheorie