Normaaldeler
In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep  van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. De nevenklassen van de normaaldeler  vormen een partitie (disjuncte opdeling) van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep  van  en .

Definitie 
Zij  een groep, en  een ondergroep van . Men zegt dat  een normaaldeler is van  als voor alle elementen  en  geldt

Men noteert dit vaak als: 

Men schrijft ook wel

waarin

Voorbeelden 
Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want 
.

Algemener is het centrum  van een groep , dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van . Ook elke ondergroep van  is normaal in .

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met  elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep . Voor  is dit bijvoorbeeld de groep met de identiteit en (123) en (132).

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de groep  van de inverteerbare -matrices over een lichaam , is de speciale lineaire groep  van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

In de euclidische groep  van isometrieën is de groep van alle translaties een normaaldeler. Bij  is in een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector, de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep (subcategorie van isometriegroepen van deze categorie) waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen.

In een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën is de ondergroep van directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen, de verzameling directe isometrieën en de verzameling indirecte isometrieën.

Tegenvoorbeelden 
In de permutatiegroep  is de ondergroep  (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat 

De alternerende groep  heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep  der rotaties in  vormen de rotaties om de -as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep  is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

Normalisator 
De normalisator van een ondergroep  van de groep  is gedefinieerd als

Het is de grootste ondergroep van  waarin  nog normaal is.

Groepentheorie