Normalisator
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde is een normalisator een speciale ondergroep  van een groep  die hoort bij een ondergroep . De normalisator  is de ondergroep van  die bestaat uit de elementen van  waarvoor linker- en rechternevenklasse van  aan elkaar gelijk zijn. Duidelijk is dat de ondergroep  ook een ondergroep is van z'n normalisator. Het blijkt dat  zelfs normaaldeler is van de normalisator .

Definitie 
Zij  een groep en  een ondergroep van , dan is de normalisator  van  in  de verzameling van alle , waarvoor geldt dat:
,
of anders geformuleerd: voor alle  is

Met andere woorden de normalisator bestaat uit die  waarvoor geldt dat  onder conjugatie met  invariant is.

Er wordt dus niet geëist voor  dat , oftewel  d.w.z. dat  en  commuteren. In veel gevallen zal dat ook niet waar zijn.

Eigenschappen 
 De normalisator is een ondergroep van .
 Een ondergroep  is altijd een normaaldeler in haar normalisator . Preciezer geformuleerd:  is de grootste ondergroep van  waarin  een normaaldeler is.
 Een ondergroep is precies dan een normaaldeler in  wanneer haar normalisator de gehele groep  is.
 Men kan de normalisator ook als volgt introduceren:men laat de groep  op de verzameling van zijn ondergroepen werken door conjugatie, dan is de stabilisator van een gegeven ondergroep voor deze werking precies de normalisator van deze ondergroep.

Voorbeeld 
Zij  de groep van inverteerbare -matrices (met reële coëfficiënten) voor een natuurlijk getal . Zij  verder de ondergroep van de diagonaalmatrices. Dan is de normalisator van  in  de groep van matrices waar in elke rij en in elke kolom precies één invoerwaarde ongelijk is aan nul. Het quotiënt  is isomorf met de symmetrische groep .

Verwante begrippen 
Vereist men dat  per element invariant is onder de conjugatie met groepselementen, dan verkrijgt men het sterkere begrip van de centralisator . De centralisator is in de desbetreffende normalisator een normaaldeler.

Groepentheorie