Omgeving (wiskunde)
In de topologie en aanverwante deelgebieden van de wiskunde is een omgeving een van de basisbegrippen voor een topologische ruimte. Het geeft een abstracte en precieze betekenis aan 'dichtbij'. Intuïtief gesproken is een omgeving van een punt een verzameling die dit punt omvat, en waarbij men vanuit dit punt infinitesimaal kleine verplaatsingen kan doen zonder deze verzameling te verlaten. Het punt ligt in het inwendige van de verzameling punten, maar niet op de rand ervan. Anders gezegd is een verzameling  in het vlak een omgeving van een punt , wanneer een infinitesimaal kleine schijf rondom  deel van  uitmaakt. Vergelijk het met de grafiek.

Een open verzameling is altijd een omgeving voor alle punten die er van deel uitmaken. Een verzameling  is open dan en slechts dan als  een omgeving is van alle punten in .

Definities

Topologische ruimte  
Als  een topologische ruimte en  een punt in  is, dan is een omgeving van  een verzameling , die een open verzameling  bevat, zodat  in  ligt. 
 .

Dit betekent hetzelfde dat  een inwendig punt van  is. 

Merk op dat de omgeving  zelf geen open verzameling hoeft te zijn. Als  open is dan wordt  een open omgeving genoemd. Sommige auteurs definiëren omgevingen als open verzamelingen. Een verzameling  die een omgeving van alle punten in  is, is open, aangezien  dan een vereniging is van open verzamelingen die allemaal een deelverzameling van  zijn. De verzameling van alle omgevingen van een punt noemt men het omgevingssysteem van dat punt. 

Als  een deelverzameling van  is, dan is een omgeving van  een verzameling  die een open verzameling  bevat die op zijn beurt weer  bevat.
 .

De volgende beweringen over een deelverzameling  zijn gelijkwaardig:
  is een omgeving van .
  is een omgeving van alle punten in .
  is een deelverzameling van het inwendige van  is.

Metrische ruimte 
Een verzameling  in een metrische ruimte  is een omgeving van een punt , als er een open schijf  met middelpunt  en straal  bestaat, zodanig dat 
 
een deelverzameling is van . 

 wordt een omgeving van een verzameling  genoemd, indien er een positief getal  bestaat, zodanig dat dezelfde vergelijking voor alle elementen  van  geldt. 

Dit is voor twee dimensies geschreven, maar geldt in het algemeen voor een willekeurig aantal dimensies.

Uniforme omgeving 
Voor  is de -omgeving  van een verzameling  de verzameling van alle punten in  die op een afstand minder dan  van  liggen, of hetzelfde,  is de vereniging van alle open schijven van straal  die zijn gecentreerd op een punt in . Hieruit volgt rechtstreeks dat een -omgeving een uniforme omgeving is en dat een verzameling een uniforme omgeving is dan en slechts dan als de verzameling een -omgeving bevat voor enige waarde van .

 Voorbeeld
Gegeven de verzameling van de reële getallen  met de gebruikelijke euclidische metriek en een deelverzameling  gedefinieerd als 
 
dan is  een omgeving voor de verzameling  van de natuurlijke getallen, maar is  geen uniforme omgeving van deze verzameling.

Topologie van omgevingen  
Bovenstaande definitie komt van pas als de notie van een open verzameling al is gedefinieerd. Er is echter een alternatieve manier om een topologie te definiëren, namelijk door eerst het omgevingssysteem te definiëren, en vervolgens open verzamelingen te definiëren als die verzamelingen die een omgeving van elk van hun punten bevatten. 

Een omgevingssysteem op  de toekenning is van een filter  (op de verzameling ) aan elke  in  zodanig dat 
 het punt  een element is van elke  in  
 elke  in  enige  in  bevat, zodanig dat voor elke ,  deel uitmaakt van  

Men kan laten zien dat beide definities compatibel zijn, dat wil zeggen dat de topologie die wordt verkregen uit het omgevingssysteem dat is gedefinieerd door gebruik te maken van open verzamelingen de oorspronkelijk is en vice versa wanneer men start vanuit het omgevingssysteem.

Geperforeerde omgeving 
Een geperforeerde omgeving van een punt , soms ook een verwijderde omgeving genoemd, is een omgeving van , zonder  Het interval  is bijvoorbeeld een omgeving van 0 op de reële lijn, zodanig dat de verzameling  een geperforeerde omgeving van 0 is. Merk op dat een geperforeerde omgeving van een gegeven punt in feite geen omgeving van dat punt is.

Overige eigenschappen 
In de gewone topologie op de reële getallen is een verzameling,  een omgeving van een getal  dan en slechts dan als de afstand van dat getal tot het complement van  strikt positief is. Deze eigenschap geldt in willekeurige metrische ruimten.

In een -ruimte is  het enige punt dat tot alle omgevingen van  behoort. Deze eigenschap is kenmerkend voor -ruimten. De scheidingsaxioma's spelen daarbij een rol.

Een punt  behoort tot de topologische sluiting van een verzameling  als en slechts als  alle omgevingen van  snijdt.

Omgevingenfilter 
De verzameling  van alle omgevingen van een gegeven punt  vormt een filter:
  is niet leeg, want de ruimte  behoort ertoe,
  bevat niet alle deelverzamelingen van , want omgevingen van  moeten minstens  zelf bevatten,
 de doorsnede van twee omgevingen van  is een omgeving van  en
 een uitbreiding van een omgeving van  is een omgeving van .

Men noemt  het omgevingenfilter van .

Topologie