Engel-expansie
De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal  is de niet-dalende rij positieve gehele getallen  waarvoor 

en

De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.

Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening
Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.

Voor  wordt  bepaald door de eis dat:

,
wat betekent dat:

Het volgende getal  volgt analoog uit de eis:

Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.

De engel-expansie van een gegeven getal  kan men als volgt berekenen:

 Neem ;
 bereken iteratief voor 
 en

Hierin is  de ceiling van .

 Het algoritme eindgt als  gelijk wordt aan 0.

Berekeningsvoorbeeld
De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

Engel-ontwikkeling voor rationale getallen
Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term  als volgt. Als , dan is . De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.

Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie

kan het laatst bepaalde getal  in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen .

Zo is bijvoorbeeld

Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.

Voorbeelden
De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:
 - 
 - 
 - 

De engel-expansie van het getal  is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

Zie ook
 Pierce-expansie, analoog aan de engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
 Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.

Externe links
 Wolfram MathWorld: Engel expansion

Wiskundige analyse
Getaltheorie