Complexe vlak
In de wiskunde is het complexe vlak een geometrische weergave van de complexe getallen, bestaande uit een reële as en loodrecht daarop geplaatst de imaginaire as. Het complexe vlak kan worden gezien als een aangepast cartesische vlak, waar het reële deel van een complex getal wordt weergegeven door een verplaatsing langs de x-as en het imaginaire deel door een verplaatsing langs de y-as.

Het complexe vlak wordt soms ook argandvlak genoemd, omdat dit wordt gebruikt in arganddiagrammen. Deze heten zo, omdat zij zijn genoemd naar Jean-Robert Argand, hoewel zij eerst zijn beschreven door de Noors-Deense landmeter en wiskundige Caspar Wessel. Wessels uiteenzetting werd in 1797 gepresenteerd aan de Deense Akademie. Argands werk werd in 1806 door hem zelf gepubliceerd. Arganddiagrammen worden vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te tekenen.

Het concept van het complexe vlak staat een meetkundige interpretatie toe van de complexe getallen. De som van twee complexe getallen is hun vectoriële som en het product van twee complexe getallen kan het gemakkelijkst in poolcoördinaten worden uitgedrukt, waar de grootte, of absolute waarde, van de twee poolcoördinaten het product is van de twee absolute waarden, en waar de resulterende hoek van het product gelijk is aan de som van de twee hoeken.

Om die reden worden arganddiagrammen vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te plotten. Een vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 kan als een rotatie worden geïnterpreteerd. Het complexe vlak wordt vaak gebruikt om fysische processen te visualiseren. Zo wordt een harmonische trilling gezien als een cirkelbeweging om de oorsprong in het complexe vlak. De projectie op de x-as is het reële deel van de trilling, dat er in de tijd gezien uitziet als een sinus of cosinus.

Afspraken over de notatie 
In de functietheorie worden de complexe getallen gewoonlijk door het symbool  weergegeven. Een complex getal  bestaat uit een reëel deel  en een imaginair deel :
 

waarin  voor de imaginaire eenheid staat. In deze gebruikelijke notatie komt het complexe getal  overeen met het punt  in het cartesische vlak.

In het cartesische vlak kan het punt  ook als volgt in poolcoördinaten worden gerepresenteerd. 
 
 
en omgekeerd
 
 

In het cartesische vlak mag worden aangenomen dat de arctangens waarden aanneemt tussen  en , in radialen. Enige voorzichtigheid moeten worden betracht in de definitie van de reële arctangensfunctie voor de punten  waarvoor . In het complexe vlak nemen deze poolcoördinaten de onderstaande vorm aan
 

waarin
 
en
 .

Hier is  de absolute waarde of modulus en  het argument van het complexe getal . Het argument wordt meestal gekozen uit het interval . De gelijkheid  volgt uit de formule van Euler. Merk op dat het argument van  meerwaardig is, omdat de complexe exponentiële functie periodiek is met periode . Als dus  een waarde voor  is, worden de andere waarden gegeven door , voor willekeurige waarden van het gehele getal . Hoewel zelden expliciet gebruikt, is de meetkundige weergave van de complexe getallen impliciet gebaseerd op de structuur van een euclidische vectorruimte van dimensie 2, waarin het inwendig product van de complexe getallen  en  wordt gegeven door . Dan valt voor een complex getal  zijn absolute waarde || samen met zijn euclidische norm, en zijn argument  met de hoek draaiend van 1 tot .

De theorie van de contourintegratie is een belangrijk onderdeel van de functietheorie. In dit verband is de richting waarin een gesloten kromme doorlopen wordt, van belang. Het omkeren van deze richting doet de integraal van teken veranderen. Volgens afspraak is de positieve draairichting de richting tegen de klok in. 

Bijna de gehele complexe analyse betreft complexe functies, dat wil zeggen met functies die een deelverzameling van het complexe vlak afbeelden op een andere, mogelijk overlappende of zelfs identieke, deelverzameling van het complexe vlak. Het is hier gebruikelijk te spreken over het domein van  als liggend in het -vlak, onder verwijzing naar het bereik of het beeld van  als een verzameling van punten in het -vlak. In symbolen
 

en zo is de functie  als een transformatie van het -vlak, met coördinaten  en , in en op het -vlak, met coördinaten  en .

Uitgebreide complexe vlak 
Het uitgebreide complexe vlak is het complexe vlak, aangevuld met een punt op oneindig, vergelijk de projectieve lijn. Het uitgebreide complexe vlak wordt ook aangeduid en voorgesteld als de Riemann-sfeer.

Complex getal
Meetkunde