Pad (topologie)
In de topologie, een onderdeel van de wiskunde, is een pad door een topologische ruimte  een continue afbeelding  van het eenheidsinterval  [0,1] op .
 .

Het beginpunt van het pad is  en het eindpunt . Men spreekt vaak van een pad van  naar , waarbij  en  de begin- en eindpunten van het pad zijn. Merk op dat een pad niet alleen een deelverzameling van  is, die op een kromme lijkt, maar dat het pad ook een parametrisatie kent. De afbeeldingen  en  vertegenwoordigen bijvoorbeeld twee verschillende paden van 0 naar 1 op de reële getallenlijn. Verschillende paden kunnen dezelfde verzameling punten afleggen.

Een lus in een ruimte  kan als een continue afbeelding  worden beschouwd waar , of als een continue afbeelding van de eenheidscirkel  op 
 .

Dit is omdat  als een quotiënt van  kan worden beschouwd onder de identificatie 0 ~ 1. De verzameling van alle lussen in  vormen een ruimte, die de lusruimte van  wordt genoemd. Van een topologische ruimte, waarvoor er voor alle paren punten een pad bestaat dat die twee met elkaar verbindt, wordt gezegd dat deze samenhangend is. Iedere ruimte kan in een verzameling worden opgesplitst van samenhangende componenten. De verzameling van samenhangende componenten van een ruimte  wordt vaak aangeduid door .

Men kan paden en lussen ook in gepunte ruimten definiëren, die in de theorie van homotopieën belangrijk zijn. Als  een topologische ruimte is met basispunt , dan is een pad in  een pad, waarvan het initiële punt in  ligt. Op soortgelijke wijze is een lus in  een lus, die op  is gebaseerd.

Homotopie van paden 

Paden en lussen zijn centrale onderwerpen van studie in de homotopieën, een deelgebied van de algebraïsche topologie. Een homotopie van paden preciseert de notie van continue vervorming van een pad, waarbij de eindpunten vast blijven. Concreet is, een homotopie van paden, of pad-homotopie, in  een verzameling paden  ook geïndexeerd door  zodanig dat
  en  vast zijn.
 De afbeelding  gegeven door  continu is.
Van de paden  en , die zijn verbonden door een homotopie, wordt gezegd dat deze homotoop, of preciezer gezegd pad-homotoop, zijn, dit om een onderscheid te maken tussen de relatie die op alle continue functies tussen vaste ruimten is gedefinieerd. Men kan op dezelfde manier ook een homotopie van lussen definiëren, waar het basispunt vast is.

Een homotopierelatie op paden in een topologische ruimte is een equivalentierelatie. Onder deze relatie wordt de equivalentieklasse van een pad  wel de homotopieklasse van  genoemd, wat wel met  wordt aangeduid.

Padcompositie 
Men kan op een voor de hand liggende manierin een topologische ruimte paden samenstellen. Stel dat  en  paden van  naar  en van  naar  zijn. Het pad  wordt dan gedefinieerd als het pad dat wordt afgelegd door eerst pad  en vervolgens pad  af te leggen:
 

Padcompositie is alleen gedefinieerd als het eindpunt van  exact overeenkomt met het startpunt van . Padcompositie is, wanneer men alle lussen gebaseerd op een punt  in beschouwing neemt, een binaire operatie.

Padcompositie, hoe dan ook gedefinieerd, is niet associatief, dit als gevolg van het verschil in parametrisatie. Het is echter associatief tot pad-homotopie. Dat wil zeggen dat . Padcompositie definieert een groepsstructuur op de verzameling van homotopie-klassen van lussen gebaseerd op een punt  in . De resulterende groep wordt de fundamentaalgroep van  gebaseerd op  genoemd, meestal aangeduid met .

In situaties waarin associativiteit van padcompositie is vereist, kan men een pad in  in plaats daarvan definiëren als een continue afbeelding van een gesloten interval  op  voor elke reële . Een pad  van deze soort heeft een lengte  gedefinieerd als . Padcompositie wordt dan als hiervoor gedefinieerd maar met de volgende wijziging:
 

Waar in de voorgaande definitie, ,  en  allemaal lengte 1 hebben, de lengte van het domein van de afbeelding, maakt deze definitie . Wat er in de vorige definitie voor zorgt dat het niet associatief is, is dat hoewel  en  dezelfde lengte hebben, namelijk 1, het middelpunt van  tussen  en  ligt, terwijl het middelpunt van  tussen  en  ligt. Met deze gewijzigde definitie hebben  en  dezelfde lengte, namelijk , en hetzelfde middelpunt op  in  en in . Zij hebben meer in het algemeen overal dezelfde parameterisatie.

Topologie