Toegankelijkheidsrelatie
In de filosofie en logica is een toegankelijkheidsrelatie of bereikbaarheidsrelatie een tweeplaatsige relatie tussen mogelijke werelden. De relatie duidt aan welke werelden toegankelijk zijn vanuit een bepaalde wereld en de verzameling werelden die toegankelijk is kan per wereld verschillen. Toegankelijkheidsrelaties worden gebruikt in modale logica, en logica's die daarop gebaseerd zijn.

Modale logica 
In de modale logica is de toegankelijkheidsrelatie een onderdeel van een Kripkemodellen waarmee de semantiek van modale logica uitgedrukt kan worden. Een Kripkemodel  is een tupel  waarbij  een verzameling werelden is,  de toegankelijkheidsrelatie, een tweeplaatsige relatie tussen werelden, en  een functie die aan een atomaire formule  een verzameling werelden toekent waarin  waar is. De verzameling  en de toegankelijkheidsrelatie  worden samen ook het 'frame' genoemd.

Om een modale logica te verkrijgen kan men propositielogica uitbreiden met twee operatoren,  en , om modaliteiten uit te drukken. Hierbij kan  staan voor "Het is noodzakelijk dat ..." en  voor "Het is mogelijk dat ...". Er geldt: . In deze modale logica bestaan logische formules uit propositionele formules waarin ook deze modale operatoren kunnen voorkomen. Voorbeelden van formules zijn ,  en .

De semantiek van een formule in deze modale logica kan worden geïnterpreteerd met behulp van Kripkemodellen. Een formule kan gelden in een wereld van het model: als bijvoorbeeld de atomaire formules  en  gelden in een wereld , formeel genoteerd als:  en , dan geldt ook , een propositionele formule, in die wereld , .

Als een formule modale operatoren bevat dan wordt de toegankelijkheidsrelatie gebruikt om een formule te interpreteren: een formule met de vorm  geldt in een wereld  als in alle werelden die toegankelijk zijn vanuit  de formule  geldt. Een formule met de vorm  geldt als er ten minste een wereld is die toegankelijk is vanuit w waarin  geldt. Formeel genoteerd:

Uit deze definities volgt dat een -formule ook waar is als er geen  zijn voor een bepaalde wereld  terwijl een -formule alleen waar is als er ten minste een  is voor wereld .

Kenmerken van een frame 
Het is mogelijk om beperkingen op te leggen aan wat wel en niet een geldige toegankelijkheidsrelatie is. Zo kan men modellen beschouwen waarin elke wereld ook toegankelijk is vanuit zichzelf: de toegankelijkheidsrelatie  is dan een reflexieve relatie aangezien er voor elke wereld  een element  bestaat.

Enkele bekende kenmerken van een frame (de verzameling  en de toegankelijkheidsrelatie ) zijn:

 (reflexiviteit)
 en  (transitiviteit)
 (symmetrie)
 en  (euclidiciteit)
 (serialiteit)

Door de toegankelijkheidsrelatie van een frame te beperken zijn er formules die waar zijn voor elke wereld in een model met dat frame. In een model met een reflexieve toegankelijkheidsrelatie geldt bijvoorbeeld de formule  in elke wereld. In een propositionele modale logica waarbij er geen beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie worden gelegd, zijn alle propositionele tautologieën en het K-axioma -  - waar voor alle werelden in een model. In een model met beperkingen op de toegankelijkheidsrelatie zijn meer formules waar: het modale systeem wordt dus uitgebreid met meer axioma's die gelden.

Voor elk van de bovenstaande eigenschappen bestaat een axioma die geldt op frames met die eigenschap. Hieronder staan de axioma's die gelden op frames met bepaalde kenmerken:

 reflexiviteit:  (ook bekend als het M-axioma)
 transitiviteit:  (4-axioma)
 symmetrie:  (B-axioma)
 euclidiciteit:  (5-axioma)
 serialiteit:  (D-axioma)

Men kan bewijzen dat voor elk frame met de eigenschap het bijbehorende axioma geldt en andersom. Deze overeenkomsten tussen axioma's die gelden in een modaal systeem en de eigenschappen van een frame wordt correspondentie genoemd.

Axiomatische systemen 
De bovenstaande axioma's kunnen gebruikt worden om een logisch systeem samen te stellen dat alle modale formules op bepaalde frames kan afleiden. Zo is het mogelijk om met het volgende systeem alle formules af te leiden die geldig zijn op elk frame:

 Alle propositionele tautologieën
 Het K-axioma: 
 De necessesitatie-regel: als  dan 
 Modus ponens: als  en  dan .

Een modale formule wordt afgeleid door axioma's te introduceren en door afleidingsregels toe te passen hierop en eventueel de resultaten daarvan. Door axioma's toe te voegen aan het systeem wordt het systeem stricter gemaakt en gelden sommige afgeleide formules alleen nog op bepaalde typen frames. Door bijvoorbeeld aan het bovenstaande systeem het axioma  toe te voegen, krijgt men een systeem dat formules kan afleiden die gelden op reflexieve frames.

Een voorbeeld van een afleiding: de formule  geldt op alle frames wat als volgt aangetoond kan worden:

Websites 
  Stanford Encyclopedia of Philosophy. Modal Logic, 8 september 2018. 

Filosofische terminologie
Modale logica