Pierce-expansie
De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal  in het interval  is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen  waarvoor geldt:

met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.

Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.

Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen  is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.

Als de expansie wordt afgebroken bij de -de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de -de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de -de term.

De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal

Berekening
De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:

Stel 
Bereken voor :
 
 
Stop zodra 

Daarrin is  de entier van .

Voorbeeld
De Pierce-expansie van  geeft achtereenvolgens:

De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:

Voorbeelden
 - 

 - 

 - 

 - 

De Pierce-expansie van  is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van

 - de natuurlijke getallen.

Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.

Lengte van de Pierce-expansie
Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal  is de lengte van de expansie, genoteerd als .  is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen  met :

Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor .

Shallit bewees dat  een bovengrens is van .

Paul Erdős en Shallit gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:

waarin  een willekeurig klein positief reëel getal is.

Vlado Kešelj leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:

Voor de asymptotische ondergrens van  vond hij:

Hierin is  de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote  nog steeds een ruime overschatting is.

Zie ook
Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.

Externe link 
Wolfram MathWorld: Pierce Expansion

Getaltheorie
Wiskundige analyse