Harmonische ligging
Van vier verschillende punten  en  die op één lijn liggen, zegt men dat de paren  en  harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

Daarin staat  voor de lengte van het lijnstuk .

De punten  en  worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar  genoemd. Ook wel: de punten  scheiden de punten  harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding  van de punten gelijk is aan .

Constructies 
Gegeven zijn de punten  en  die op één lijn liggen;  ligt in dit geval tussen  en .
Te construeren: het punt  op de lijn  zó dat de puntenparen  en  elkaar harmonisch scheiden.

Eerste constructie 

Constructiestappen
{|style="background-color:#FFEEEE;" valign="top"
|1. Punt = C \\ niet op de lijn AB
|-
|2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)
|-
|3. PuntOp(CS) = M
|-
|4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)
|-
|5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E
|-
|6. Lijn(E, F)
|-
|7. Snijpunt(EF, AB) = T
|}
Dan is T het gevraagde punt.

Tweede constructie 

Constructiestappen
{|style="background-color:#FFEEEE;" valign="top"
|1. Lijn(A, B) = g
|-
|2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt
|-
|3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g
|-
|4. Snijpunt(k, l) = Q
|-
|5. Lijnstuk(M, Q) = MQ
|-
|6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k
|-
|7. Snijpunt(t, g) = T
|}
Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

Bewijzen

Eerste constructie 
De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

en dat:

Zodat .

Tweede constructie 
Met  is dan:

Rekening houdend met de relatie , die geldt in de rechthoekige driehoek , leidt dit tot:
, zodat ook hier .

Relatie met het harmonisch gemiddelde 
Omdat de dubbelverhouding , volgt dat

zodat

of:

Dus is
,
wat inhoudt dat  het harmonisch gemiddelde is van  en .

Midden van het eerste lijnstuk 

Als  en  harmonisch liggen en  het midden is van , dan geldt
 ,
 .

Harmonische ligging van lijnen 
Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal  is harmonisch als zijn dubbelverhouding  gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.
 De vierstraal  is harmonisch.
 De lijnen  en  liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen  en .
 Lijn  is harmonisch toegevoegd aan lijn  ten opzichte van de lijnen  en .

Voorbeelden 
 De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
 Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
 De poollijn van een punt , ten opzichte van de rechten  en  met snijpunt , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn  ten opzichte van de lijnen en .

Zie ook 
 Poolverwantschap, pool en poollijn

Meetkunde