Osculatiecirkel
Een osculatiecirkel of krommingscirkel is de cirkel die in een gegeven punt P van een vlakke kromme die kromme het best benadert, beter dan elke andere cirkel. Men kan de osculatiecirkel beschouwen als de cirkel bepaald door P en twee punten op de kromme die infinitesimaal dicht naast P liggen. Het middelpunt van de osculatiecirkel noemt men het krommingsmiddelpunt en de straal van de cirkel de kromtestraal; dit is het omgekeerde van de kromming in punt P.

Bepalen van de osculatiecirkel
Voor een vloeiende kromme moet de osculatiecirkel in een punt P een contact van tweede orde hebben met de kromme; dit wil zeggen:
 P is een gemeenschappelijk punt van de curve en de cirkel
 in P hebben kromme en cirkel dezelfde eerste afgeleide (dezelfde raaklijn)
 in P hebben kromme en cirkel dezelfde tweede afgeleide (dezelfde kromming).

De wiskundige formulering hiervan resulteert in een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden, zijnde de straal en de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.

Het middelpunt van de osculatiecirkel in P ligt steeds op de normaal in P. De meetkundige plaats van de middelpunten van de osculatiecirkels van alle punten van een kromme is de evolute van de kromme. Dit is tevens de omhullende van de normaallijnen op de kromme.

Stelling van Tait-Kneser
Deze stelling, genoemd naar Peter Tait en Adolf Kneser die ze onafhankelijk van elkaar ontdekten op het einde van de negentiende en het begin van de twintigste eeuw, stelt dat:
van een kromme met monotoon positieve kromming zijn de osculatiecirkels paarsgewijs disjunct en in elkaar genesteld.
Dit is bijvoorbeeld het geval voor een logaritmische spiraal.

Hyper-osculerende cirkels

Wanneer de osculatiecirkel met de kromme in punt P een contact van derde orde of hoger heeft, zegt men dat het een hyper-osculatiecirkel is. Dit is bijvoorbeeld het geval als de curve een lokaal minimum of maximum heeft, zoals bij een parabool. Dergelijke punten noemt men een "vertex" van de kromme. Een vertex op een kromme komt overeen met een singulier punt op de evolute van de kromme.

De stelling van Tait-Kneser geldt enkel voor krommen die geen vertex hebben. Dat zijn noodzakelijkerwijs open krommen; gesloten krommen hebben altijd vertices. In 1909 bewees Syamadas Mukhopadhyaya dat een "vlakke ovaal", dit is een vloeiende gesloten strikt convexe kromme, minstens vier vertices heeft. Deze stelling staat bekend als het four-vertex theorem.

Externe links
Wolfram MathWorld: osculating circle

Differentiaalmeetkunde