Householdertransformatie
In de lineaire algebra is een householdertransformatie een reflectie (spiegeling) in de euclidische ruimte ten opzichte van een hypervlak dat door de oorsprong gaat. Het spiegelvlak wordt bepaald door een normaalvector u van lengte 1 (een eenheidsvector). De transformatie is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. De transformatie is genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Alston Scott Householder, die ze in 1958 invoerde.

In matrixvorm kan ze uitgedrukt worden als:

,

waarin  de eenheidsmatrix is. De matrix  is symmetrisch en orthogonaal. Het product van  met een vector  komt overeen met de spiegeling van  aan het hypervlak door de oorsprong loodrecht op .

Matrixdecompositie

Een eindig aantal householdertransformaties kan dienen om de QR-decompositie van een matrix te berekenen. Elk creëert nullen onder de diagonaal van een van de kolommen van de matrix; en transformeert haar zo tot een bovendriehoeksmatrix (analoog aan wat bij Gauss-eliminatie gebeurt).

Om de vector  met een spiegeling  zo te spiegelen dat de gespiegelde  op de x-as ligt, moet gespiegeld worden aan een hypervlak dat de hoek tussen  en  in twee gelijke delen verdeelt. De genormeerde normaalvector van dat hypervlak is:

.

De gespiegelde vector is dan
.

Het beeld van een vector onder een householdertransformatie kan men snel berekenen: men moet  aftrekken van . Dit vereist de berekening van een inwendig product en het verschil van een vector met een veelvoud van een andere vector.

In de QR-decompositie wordt een matrix  herleid tot een bovendriehoeksmatrix  door opeenvolgende householdertransformaties , met normaalvectoren  die orthogonaal zijn ten opzichte van elkaar, zodanig dat in de kolommen van  de elementen onder de diagonaal nul worden. Dan is

De orthogonale matrix  wordt bepaald door ; dat wil zeggen:

De QR-decompositie kan men ook langs andere wegen bekomen, bijvoorbeeld via givensrotaties.

Numerieke wiskunde
Lineaire algebra
Matrix