Dubbelverhouding
In de meetkunde is de dubbelverhouding van vier collineaire punten gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie.

Definitie
De dubbelverhouding van de vier collineaire punten  en  in de euclidische ruimte, genoteerd als  of  is gedefinieerd als het quotiënt van de deelverhoudingen  en :

Als  en  de coördinaten zijn van respectievelijk  en  op de rechte als getallenrechte, wordt de dubbelverhouding: 

De dubbelverhouding is positief als de deelpunten  en  ofwel allebei op het lijnstuk  ofwel allebei buiten het lijnstuk  liggen. Ligt een van de punten op het lijnstuk  en een erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.

Verwisselt men  en  of  en , dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus

Verwisselt men  en , dan krijgt men

Vier punten op een lijn hebben dus zes verschillende waarden als dubbelverhouding, namelijk:
 en 

Bij vier punten op gelijkmatige afstand en in volgorde krijgen we bijvoorbeeld 4. De andere vijf waarden zijn dan 1/4, -3, -1/3, 3/4 en 4/3.

Harmonische ligging
Als de punten  en  het lijnstuk  respectievelijk inwendig en uitwendig in dezelfde verhouding verdelen, geldt voor de deelverhoudingen 
, 
dus voor de dubbelverhouding

Men zegt dat de vier punten in harmonische ligging zijn.

De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:
 Het geordende viertal punten  is een harmonisch puntenviertal.
 De dubbelverhouding .
 De punten  en  liggen harmonisch ten opzichte van de punten  en .
 Het punt  is harmonisch toegevoegd aan of harmonisch verwant met het punt  ten opzichte van de punten  en .

Voorbeelden

 Van de hoeken tussen twee snijdende rechten  en  zijn  en  de bissectrices. De rechte  snijdt de vier rechten  en  in opvolgend de punten  en . De punten  en  zijn dan harmonisch toegevoegd ten opzichte van de punten  en .
 Een lijn door twee diagonaalpunten van een volledige vierhoek snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van die diagonaalpunten harmonisch liggen (zie de figuur hiernaast).
De binnen- en buitenbissectrice van een hoek van een driehoek snijden de overstaande zijde van die hoek in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijde.

Eigenschappen

De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als  en  twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen  en  concurrent zijn, geldt .

Dubbelverhouding van  lijnen
Door de invariantie van de dubbelverhouding onder centrale projectie kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente coplanaire rechten. Snijden de door hetzelfde punt gaande rechten  en  een rechte  in vier niet-samenvallende punten  en , dan is de dubbelverhouding  gedefinieerd als

Alternatieve definitie
Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente rechten is

Harmonische vierstraal
Een vierstraal is een geordend viertal coplanaire, concurrente rechten. Een vierstraal  heet harmonisch dan en slechts dan, als . De volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig:
 De vierstraal  is harmonisch.
 De dubbelverhouding .
 De lijnen  en  liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen  en . 
 Lijn  is harmonisch toegevoegd aan lijn  ten opzichte van de lijnen  en .

Voorbeelden 
Twee snijdende rechten  en  liggen harmonisch ten opzichte van de bissectrices  en  van de hoeken die ze met elkaar maken.
Twee diagonalen van een volledige vierhoek zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
De poollijn van een punt , ten opzichte van de rechten  en  met snijpunt , is de lijn die harmonisch is toegevoegd aan de lijn  ten opzichte van de lijnen  en .

Dubbelverhouding op een kegelsnede

Verbindt men een veranderlijk punt van een niet ontaarde kegelsnede  met vier vaste punten van , dan verkrijgt men een veranderlijke vierstraal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier punten op de kegelsnede en wordt de dubbelverhouding van die vier punten genoemd.

Snijdt men vier vaste raaklijnen aan een niet ontaarde kegelsnede  met een veranderlijke raaklijn aan , dan verkrijgt men een puntenviertal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier vaste raaklijnen en wordt de dubbelverhouding van die vier raaklijnen  genoemd.

Op de figuur zijn de rechten  en  vaste raaklijnen en de punten  en  vaste punten op de kegelsnede.

De dubbelverhouding  is onafhankelijk van de stand van het punt  op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding  ondubbelzinnig bepaald. Zo is ook  onafhankelijk van de stand van de veranderlijke raaklijn  en is de dubbelverhouding  van de vier vaste raaklijnen correct gedefinieerd.

Zie ook
Harmonische ligging
Projectieve lijn
Lijnperspectief

Meetkunde