Liouville-getal
In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal  met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal , er gehele getallen  en  bestaan, met  en zodanig dat

In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

Het bestaan van Liouville-getallen 
De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.

Zij  een geheel getal, en  een rij met voor alle , en zodat er oneindig veel getallen  zijn waarvoor geldt dat . Definieer het getal  door

In het speciale geval waarin  en  voor alle , wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.

Uit de definitie volgt dat de representatie van  in grondtal  gegeven wordt door:

Aangezien de representatie van  in het grondtal  geen repeterend gedeelte heeft, volgt hieruit dat  irrationaal is. Voor elk rationaal getal  geldt dus dat .

Definieer nu voor elk positief geheel getal  en  door

Dan geldt:

De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat

Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde  een Liouville-getal is.

Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld , dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

Irrationaliteit 
Het blijkt dat het getal , waarin  en  gehele getallen zijn met , niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als  geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.

Iets specifieker blijkt dat als  een geheel getal is waarvoor geldt dat , er dan geen enkel tweetal gehele getallen  met  bestaat dat tegelijkertijd aan beide van de twee volgende ongelijkheden voldoet:

Stel  en  zijn gehele getallen met . Dan geldt:

Als , is , waardoor  niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als , geldt, vanwege het feit dat  en  alle geheel zijn, dat . Hieruit volgt dat

Omdat , volgt hieruit dat
,

waaruit volgt dat  niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.

Hieruit concluderen we dat er als , er geen tweetal  bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn; dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

Transcendentie 
Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

Lemma
Zij  een irrationaal nulpunt van de veelterm  van graad  met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal  zodanig dat voor alle gehele getallen  en  met  geldt

Bewijs
Zij  de maximale waarde van  (de absolute waarde van de afgeleide van ) op het interval . Laat  de verschillende nulpunten van  zijn die ongelijk zijn aan . Kies een getal  dat voldoet aan

Stel nu dat er gehele getallen  en  bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt

Dus  zit in het interval ;  is geen nulpunt van  en er zijn ook geen nulpunten tussen  en . Uit de middelwaardestelling volgt dat er een  tussen  en  bestaat zodat

Aangezien  een nulpunt van  is, maar  niet, is , en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:

De polynoom  is van de vorm  waarin elke  geheel is; dus  kan geschreven worden als

waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat  geen nulpunt is (dus ) en omdat  en , en alle  geheel zijn.

Dus . Omdat  vanwege de definitie van , en  vanwege de definitie van , volgt hieruit dat

Dit is een contradictie, dus zulke  en  kunnen niet bestaan, waarmee het lemma bewezen is.

Bewijs van de bewering
Zij  een Liouville-getal. Dan is  irrationaal, zoals eerder bewezen is. Stel  is algebraïsch van graad , dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal  zodat voor alle gehele getallen  en  met  geldt dat

Zij  een positief geheel getal zodanig dat . Stel . Omdat  een Liouville-getal is, bestaan er gehele getallen  en  met  zodat

wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.

Zie ook 
 Constante van Liouville

Getal