Integraalkromme
In de wiskunde is een integraalkromme een parametrische kromme die een specifieke oplossing van een gewone differentiaalvergelijking of een stelsel van vergelijkingen weergeeft. Als de differentiaalvergelijking wordt weergegeven door een vectorveld of richtingsveld, raken de bijbehorende integraalkrommen op elk punt aan het vector- of richtingveld.

Integraalkrommen staan onder verschillende andere namen bekend, welke daarvan gebruikt wordt, is afhankelijk van de aard en de interpretatie van de differentiaalvergelijking of het vectorveld. In de natuurkunde heten de integraalkrommen voor een elektrisch- of magnetisch veld veldlijnen, terwijl integraalkrommen voor het snelheidsveld van een vloeistof bekendstaan als stroomlijnen. In dynamische systemen wordt aan de integraalkrommen voor een differentiaalvergelijking, die het systeem regelt, gerefereerd als trajectoriën of banen.

De naam 'integraalkromme' is afgeleid van een verouderde betekenis voor het woord integraal. Historisch gezien stond de operatie voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen als het "integreren" van de vergelijking, en stonden de oplossingen bekend als “integralen”.

Definitie
Neem aan dat  een statisch vectorveld is, dat wil zeggen een vectorwaardige functie met cartesische coördinaten , en  een parametrische kromme met cartesische coördinaten . Dan is  een integraalkromme van  als  een oplossing is voor het volgende autonoom systeem van gewone differentiaalvergelijkingen:

Een dergelijk systeem kan worden weergegeven door een enkele vectorvergelijking

Deze vergelijking maakt duidelijk dat de raakvector aan de parametrische kromme  op elk punt langs deze kromme gelijk is aan de vector  en dat daarom de kromme  op elk punt aan het vectorveld  raakt.

Als een gegeven vectorveld Lipschitz-continu is, dan impliceert de stelling van Picard-Lindelöf dat er voor een korte periode een unieke flux bestaat.

Referenties
 

Differentiaalmeetkunde
Differentiaalvergelijking