Hilberts axiomasysteem van de euclidische meetkunde
Met de axioma's van Hilbert worden 20 (oorspronkelijk 21) door David Hilbert voorgestelde axioma's met betrekking tot ruimtelijke relaties bedoeld. Deze axioma's hebben ten grondslag gelegen aan de eigentijdse benadering van de driedimensionale euclidische meetkunde, zonder het begrip oorsprong daarbij te betrekken. De ongedefinieerde primitieven zijn: punten, lijnen en vlakken. Op basis hiervan worden drie primitieve relaties verondersteld:

 tussenligging, een ternaire relatie tussen punten;
 omvatting/insluiting, drie tweeplaatsige relaties, namelijk één tussen punten en rechte lijnen, één tussen punten en vlakken en één tussen rechte lijnen en vlakken;
 congruentie, één tussen lijnstukken en één tussen hoeken, beide weergegeven door het infix ≅.

De axioma's 
Voor de grondslag van de meetkunde verenigt Hilbert "zaken" en "betrekkingen" door twintig axioma's in vijf onderscheiden groepen:

I. Incidentie (of samenhang)  
Met de axioma's in deze groep wordt de betekenis liggen impliciet vastgelegd. Hilbert gebruikt daartoe het begrip bepalen (Duits: bestimmen) of bij elkaar horen (Duits: zusammengehören) en een aantal andere zegswijzen: "de lijn  gaat door het punt ", " verbindt  en ", " ligt op ", " is een punt van ", "op  bestaat een punt ", enz.

Moderner is in dit verband de term incident: " is incident met ". In formule: "", waarin  een zogeheten incidentierelatie is.

 I.1. Twee verschillende punten  en  bepalen altijd een rechte . 
 I.2. Elk tweetal verschillende punten op een rechte bepalen deze rechte. 
 I.3. Op een rechte zijn altijd ten minste twee punten; in een vlak zijn altijd ten minste drie niet op één rechte gelegen punten. 
 I.4. Drie niet op dezelfde rechte gelegen punten ,  en  bepalen altijd een vlak. 
 I.5. Elk drietal punten van een vlak die niet op een en dezelfde lijn liggen, bepalen dit vlak. 
 I.6. Als twee punten  en  van een rechte g in een vlak  liggen, dan ligt ieder punt van  in het vlak . 
 I.7. Als twee vlakken  en  een punt  met elkaar gemeenschappelijk hebben, dan hebben die vlakken ook een van  verschillend punt  met elkaar gemeen. 
 I.8. Er zijn ten minste vier niet in één vlak gelegen punten.

Met gebruik van alleen deze axioma's kan bijvoorbeeld worden afgeleid, 
 dat twee verschillende rechten elkaar in precies één punt snijden of elkaar niet snijden;
 dat twee vlakken elkaar in precies één rechte snijden of elkaar niet snijden;
 dat een vlak en een niet in dit vlak liggende rechte elkaar in precies één punt snijden of elkaar niet snijden;
 dat een rechte en een niet op deze rechte liggend punt een vlak bepalen; 
 dat twee verschillend, elkaar snijdende lijnen een vlak bepalen.

II. Ordening 
 II.1. Als een punt  tussen de punten  en  ligt, ligt  ook tussen  en  en bestaat er een lijn die de punten ,  en  bevat.
 'II.2. Als  en  twee punten van een rechte lijn zijn, dan bestaat er ten minste een punt  dat tussen  en  ligt en ten minste een punt D dat zo gelegen is, dat  tussen  en D ligt.
 'II.3. Van elke drie punten die liggen op een rechte lijn, is er altijd slechts een en niet meer dan een punt, dat tussen de andere twee punten ligt. 
 'II.4. Axioma van Pasch: Zijn , ,  drie punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen en is  een rechte lijn die in het vlak  ligt en die niet door een van de drie punten , ,  gaat. Als dan de rechte lijn  door een punt van het lijnstuk  gaat, dan zal  ook óf door een punt op het lijnstuk  óf door een punt op het lijnstuk  gaan.

III. Congruentie 
 III.1. Als  en  twee punten zijn en  is een punt op een lijn , dan bestaat er op die lijn  een punt  waarbij het lijnstuk  congruent is met het lijnstuk . Notatie: . Elk lijnstuk is congruent met zichzelf; dat wil zeggen dat altijd geldt dat .Anders verwoord: elk lijnstuk kan op ten minste één manier aan een bepaalde kant van een punt op een gegeven rechte lijn worden geplaatst.
 III.2. Als het lijnstuk  congruent is met het lijnstuk  en ook met het lijnstuk , dan is het lijnstuk  congruent met het lijnstuk . Dus, als  en  is, dan is .
 III.3. Als  en  twee lijnstukken zijn op een lijn  die behalve het punt  geen andere gemeenschappelijke punten hebben, en als bovendien  en  twee lijnstukken zijn van dezelfde of van een andere lijn  met alleen het punt  gemeenschappelijk, dan is , als ook gegeven is dat  en .
 III.4. Een hoek  is gegeven in een vlak  en een lijn  in een vlak . In het vlak  is ook een bepaalde kant van de rechte lijn  gekozen (een halfvlak). Verder is  een halfrechte waarvan de lijn  de drager is. Dan is er in het vlak  slechts één halfrechte zodat  of  congruent is met  en alle inwendige punten van  aan de gekozen zijde van  liggen. Notatie . Elke hoek is congruent met zichzelf, dus is .
 III.5. Als  congruent is met  en met , dan is  congruent met . Dus, als  en , dan is .
 III.6. Als in de driehoeken  en  de congruenties ,  en  gelden, dan geldt ook de congruentie . Door verandering van de volgorde van de letters blijkt dat  eveneens geldt.

IV. Evenwijdigheid 
 IV. Vijfde postulaat van Euclides: Is  willekeurige lijn en  een punt dat niet op  ligt, dan is er in het door  en  bepaalde vlak hoogstens één lijn die door  gaat en  niet snijdt.

V. Continuïteit 
 V.1. Axioma van Archimedes: Bij gegeven lijnstukken  en  bestaat er op de halfrechte met  als beginpunt die door  gaat, een serie punten , waarbij de lijnstukken  congruent zijn met , zodanig dat het punt  tussen  en An ligt.
 V.2.  Volledigheidsaxioma: Het is onmogelijk aan een systeem bestaande uit punten, rechte lijnen en vlakken andere meetkundige objecten toe te voegen, waarbij het aldus uitgebreide systeem een nieuwe meetkunde vormt die voldoet aan alle voorgaande axioma's.Met andere woorden, de meetkunde is een systeem dat niet kan worden uitgebreid, indien de voorgaande axioma's binnen die meetkunde geldig moeten blijven.

Externe links 
 Hilbert's Axioms for Geometry – Faculteit wiskunde en statistiek van de UMBC
 Hilbert's Axioms – MathWorld

Bronnen en literatuur 
 , 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (Grondslagen en fundamentele concepten van de wiskunde); Dover Publications. Hoofdstuk 4.2 behandelt het axiomasysteem van Hilbert voor de vlakke meetkunde.
 , 2000. In Search of Mathematical Roots (Op zoek naar wiskundige wortels); Princeton University Press.
 , 1980 (1899). The Foundations of Geometry (De grondslagen van de meetkunde); Chicago: Open Court, 2nd ed. (van het oorspronkelijke Duits in het Engels vertaald).

Meetkunde