title: Functiecompositie
text: In de wiskunde is functiecompositie, of samenstelling, de constructie van een nieuwe functie uit twee of meer functies, door het na elkaar uitvoeren daarvan. Een tweede of volgende functie wordt toegepast op het resultaat, op het beeld van de voorgaande functie. Het resultaat van de samenstelling van de functies  en  noemt men een samengestelde functie, genoteerd als , dus:
   
  
  Dit is in de figuur in beeld gebracht. Daarin is te zien dat de functie  bijvoorbeeld aan het origineel 3 het beeld  toevoegt.  beeldt 1 af op 2. Dat geeft samen dat 2 het beeld van 3 onder de samenstelling  is:
  
  Definitie 
  De samenstelling van de twee functies  en , genoteerd als , is voor  gedefinieerd door:
   . 
  
  De notatie  laat zich lezen als  gevolgd door , maar ook als  na . Merk op dat men soms  schrijft voor .
  
  Eigenschappen
  
  Associativiteit 
  De functiecompositie is associatief, dat wil zeggen dat voor de functies  en  geldt dat:
   ,
  aangezien
   
  en
  
  Commutativiteit 
  De volgorde van de functies is uiteraard van belang, zodat functiecompositie in het algemeen niet commutatief is. Voor de functies  en  met
    en 
  geldt bijvoorbeeld: 
   
  en
  
  Identieke afbeeldingen 
  De identieke afbeelding gedraagt zich bij functiecompositie neutraal, voor een functie  geldt dat
   ,
  waar  en  de identieke afbeeldingen zijn op de verzamelingen  en .
  
  Relaties 
  De functiecompositie definieert een samengestelde relatie.
  Belangrijke kenmerken die een functie  bezitten kan, zijn 
   injectiviteit –  beeldt niet meer dan een element uit  op een bepaald element uit  af.
   surjectiviteit –  beeldt ten minste een element uit  op een bepaald element uit  af. 
   bijectiviteit –  beeldt precies een element van  op een bepaald element uit  af.
  Ieder van deze eigenschappen is ook van toepassing op de samengestelde functie, daarom is: 
   de functiecompositie van injectieve functies weer injectief,
   de functiecompositie van surjectieve functies weer surjectief en
   de functiecompositie van bijectieve functies is weer bijectief.
  Omgekeerd geldt: als een functiecompositie 
   injectief is, dan is  injectief. 
   surjectief is, dan is  surjectief,  
   bijectief is, dan is  injectief en  surjectief.
  
  Hogere-orde functie
  Relaties op verzamelingen
  Wiskundige analyse