title: Kubische reciprociteit
text: In de wiskunde, in het bijzonder in de getaltheorie, verwijst kubische reciprociteit naar enkele stellingen die voorwaarden formuleren waaronder de congruentie  oplosbaar is. De term 'reciprociteit' verwijst naar de vorm van de belangrijkste stelling, die zegt dat als  en  priemelementen zijn in de ring van gehele getallen van Eisensteinen beide copriem met 3, de congruentie  dan en slechts dan oplosbaar is, als  oplosbaar is.
  
  Algebraïsche setting
  De wet van de kubische reciprociteit wordt op meest natuurlijke wijze uitgedrukt in termen van de gehele getallen van Eisenstein, dat is in de ring  van complexe getallen van de vorm 
  
  waar zowel  als  gehele getallen zijn en
  
  een complexe eenheidswortel is.  
  
  Als  een element van  van veldnorm  en  een element copriem tot  is, dan definiëren we het kubische residue symbool  als de kubus eenheidswortel (macht van  ) die voldoet aan  
  
  Verder definiëren we een primair priemgetal als zijnde congruent met −1 modulo 3, nog steeds in de ring ; aangezien een willekeurig priemgetal nog steeds een priemgetal is, wanneer dit getal wordt vermenigvuldigd met een eenheid van de ring , een zesde eenheidswortel, dit is geen ingrijpende beperking. 
  Voor verschillende primaire priemgetallen  en  zegt de wet van de kwadratische reciprociteit simpelweg
  
  met de aanvullende wetten voor de eenheden en voor het het priemgetal  van norm 3 dat als 
  
   
  dan
  
  Aangezien geldt dat 
  
  kan het kubische residue van elk willekeurig getal worden gevonden wanneer het maar eenmaal is gefactoriseerd in priemgetallen en eenheden.
  
  Voetnoot met betrekking tot de definitie van "primair"
  De definitie van primair is hier een traditionele, die teruggaat naar de oorspronkelijke artikelen van Ferdinand Eisenstein. De aanwezigheid van het minteken is niet gemakkelijk compatibel te maken met de moderne definities, bijvoorbeeld bij de bespreking van de conductor van een Hecke-karakter. Maar indien zo gewenst, is het eenvoudig om het minteken naar elders te verplaatsen, aangezien −1 een derdegraadsvergelijking is, in feite de derdegraadsvergelijking van −1.
  
  Zie ook
  Kwadratische reciprociteit
  Artin-reciprociteit
  
  Referenties
   David A. Cox, Primes of the form  (Priemgetallen van de vorm , Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
   K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory (Een klassieke introductie tot de moderne getaltheorie), 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
   Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein (Reciprociteitswetten: van Euler tot Einstein), Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.
  
  Getaltheorie
  Modulair rekenen