title: Lie-algebra
text: In de wiskunde is een lie-algebra een algebraïsche structuur die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals lie-groepen en differentieerbare variëteiten. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "lie-algebra", werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl. Lie-algebra's zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Sophus Lie, die de basis legde voor de studie hiervan.
  
  Definitie
  Een lie-algebra  is een algebra over een lichaam (NL)/veld (B) , met als binaire operatie op de vectorruimte  de zogeheten lie-haak:
  
  die voldoet aan de volgende axioma's:
  
   Bilineariteit:
  
  voor alle scalairen  en voor alle elementen 
  
   Anticommutativiteit, of scheef-symmetrie:
  
   voor alle 
  
  Als de karakteristiek van  verschillend is van 2, is dit gelijkwaardig met de eis dat
  
  voor alle 
   
   De jacobi-identiteit:
  
   voor alle
  
  Associatieve algebra 
  Voor elke associatieve algebra  met vermenigvuldiging ,  kan men een lie-algebra  construeren. Als vectorruimte is  gelijk aan  en de lie-haak wordt gedefinieerd als de commutator in :
  
  De associativiteit van de vermenigvuldiging  in  impliceert de jacobi-identiteit van de commutator in . In het bijzonder geeft de associatieve algebra van -matrices over een lichaam/veld  aanleiding tot de algemene lineaire lie-algebra . De associatieve algebra  wordt de omhullende algebra van de lie-algebra  genoemd. Het is bekend dat elke lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele omhullende algebra.
  
  Andere voorbeelden 
  Het bijzondere geval waarbij  steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse lie-algebra.
  
  Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte  over een willekeurig lichaam , een lie-algebra.
  
  Als  een gladde variëteit is, en  haar raakbundel, dan vormen de sneden van  een reële vectorruimte. De lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de lie-algebra van een lie-groep.
  
  Representatiestelling 
  Elke lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak 
  
  Lineaire algebra
  Differentiaalmeetkunde