title: Overdekking (topologie)
text: In de wiskunde is een overdekking van een verzameling  een geindiceerde verzameling  van verzamelingen  zodat  een deelverzameling van de vereniging van de verzamelingen  is. In symbolen: als  een geindiceerde verzameling van verzamelingen  is, dan is  een overdekking van  als 
   , waarin alle  en  de indexverzameling is voor de geindiceerde verzameling verzamelingen  in .
  
  Noteer . De geindiceerde verzameling  is met  geïndexeerd.
  
  Wanneer de eis wordt gesteld dat de  een deelverzameling van  zijn, kan er in de vereniging  geen element buiten  liggen.
  
  Overdekking in de topologie 
  Overdekkingen worden veelal gebruikt in de context van de topologie. Als de verzameling  een topologische ruimte is, dan is een overdekking  van  een geindiceerde verzameling van verzamelingen , waarvan de vereniging tenminste de hele ruimte  is. In dat geval zeggen we:  overdekt  of ook de gezamenlijke  overdekken . Als  een deelverzameling van  is, dan is een overdekking van  een geindiceerde deelverzameling  van , waarvan de vereniging  bevat, dat wil dus zeggen dat  een overdekking is van  als
   , waarin alle  en  de indexverzameling is voor de geindiceerde verzameling in  van verzamelingen .
  
   heet een deeloverdekking van  en .
  
  Laat  een overdekking van een topologische ruimte  zijn. Een deeloverdekking van  is dan een deelverzameling van  die  nog steeds overdekt.
  
  We zeggen dat  een open overdekking is als alle elementen  een open verzameling zijn, dat wel zeggen dat iedere  in de topologie  op  ligt.
  
  Van een overdekking op  wordt gezegd dat deze lokaal eindig is, als ieder punt van  een omgeving heeft, die alleen een eindig aantal verzamelingen in de overdekking doorsnijdt. In symbolen,  is lokaal eindig als voor iedere  er een omgeving  op  bestaat, zodat de verzameling 
   
  eindig is.
  
  Van een overdekking op  wordt gezegd dat deze punt-eindig is als alle punten van  in een eindig aantal verzamelingen in de overdekking liggen.
  
  Een exacte overdekking van een verzameling  is een overdekking  van  zodat ieder element van  element is van precies een van de verzamelingen .
  
  Verfijning 
  Een verfijning van een overdekking  van  is een nieuwe overdekking  zodanig dat er voor iedere  een  is, zodat .
  
  Iedere deeloverdekking is ook een verfijning, maar niet iedere verfijning is een deeloverdekking.
  
  Een deel-overdekking wordt opgebouwd uit verzamelingen die deel uitmaken van de overdekking, maar het zijn er minder, terwijl een verfijning wordt opgebouwd uit enige verzamelingen die deelverzamelingen van de verzamelingen in de overdekking zijn.
  
  De verfijningsrelatie is een quasi-orde op de verzameling van dekkingen op .
  
  Compactheid 
  De taal van de overdekkingen  wordt vaak gebruikt om verschillende topologische eigenschappen te relateren aan het begrip compactheid. Van een topologische ruimte  wordt gezegd dat deze
   compact is, als elke open overdekking een eindige deel-overdekking heeft. Dit komt overeen met de eis dat elke open overdekking een eindige verfijning heeft.
   Lindelöf is, als elke open overdekking een telbare deel-overdekking heeft. Dit komt overeen met de eis dat elke open overdekking een aftelbare verfijning heeft.
   metacompact is, als elke open overdekking een punt-eindige open verfijning heeft.
   paracompact is, als iedere open overdekking een lokaal eindige, open verfijning toestaat.
  
  Literatuur 
    en . Introduction to Topology, Introductie tot de topologie, 1999. ISBN 0-486-40680-6
   . General Topology, 1955. 
  
  Topologie