title: Fréchetafgeleide
text: De Fréchet afgeleide is een afbeelding tussen Banachruimten. Het is genoemd naar de Franse wiskundige Maurice Rene Fréchet.
  
  De Fréchet-afgeleide is een generalisatie van het begrip totale afgeleide uit de differentiaalrekening (vergelijk dit met de Gâteaux-afgeleide dat een generalisatie is van het begrip richtingsafgeleide (c.q. partiële afgeleide)). In de natuurkunde noemt men een Fréchet-afgeleide een functionele afgeleide.
  
  Definitie 
  Laat X en Y Banachruimten zijn, F: X → Y en U een open deel van X. Dan heet F Fréchet differentieerbaar in x ∈ X als er een continue lineaire operator  bestaat waarvoor geldt
  
  Relaties met de Gâteaux-afgeleide 
   Elke Fréchet-differentieerbare afbeelding is Gâteaux-differentieerbaar en de afgeleiden stemmen met elkaar overeen.
   De omkering is niet juist. Wel geldt:Als F Gâteaux-differentieerbaar is op een open deel U van X en F'  is continu en F'(u) is een begrensde lineaire afbeelding voor elke u∈ U, dan is F Fréchet-differentieerbaar.
  
  Eigenschappen 
   Als een afbeelding F Fréchet-differentieerbaar is, dan is F continu. (Zie ook bij Gâteaux-afgeleiden waarvoor die eigenschap niet geldt!).
   Als a en b scalairen zijn uit het grondlichaam (Be: grondveld) van X, dan geldt voor F,G: X → Y: (aF+bG)' = aF' + bG' . 
   De kettingregel: Als F : X → Y en G: Y → Z, dan geldt: (GoF)'(x) = G'(F(x)).F'(x)
   Als X = Rn en Y = Rm, dan is de Fréchet afgeleide niets anders dan de totale afgeleide uit de differentiaalrekening.
   De Fréchet-afgeleide is te generaliseren tot afgeleiden van hogere orde.
  
  Zie ook 
   Gâteaux-afgeleide
  
  Functionaalanalyse