title: Tetratie
text: Tetratie is de operatie van het herhaald machtsverheffen, waarbij het resultaat van een machtsverheffing steeds wordt gebruikt als exponent bij de volgende, terwijl het grondtal steeds gelijk blijft. Tetratie is een rekenkundige bewerking van de vierde orde en kan in termen van machtsverheffen als volgt worden gedefinieerd:
  
  Het is hier geschreven als  maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij , maar gelijkwaardig is het  maal machtsverheffen met grondtal , beginnend bij  (vergelijk machtsverheffen, dat herhaald vermenigvuldigen is met factor , beginnend bij  of 1, en vermenigvuldigen, dat herhaald optellen is met term , beginnend bij  of 0). 
  
  De notatie  is een relatief eenvoudige versie van de Knuths pijlomhoognotatie (met "slechts" twee pijlen), terwijl de notatie  onder de noemer Ruckers notatie te boek staat.
  Bij de ruckernotatie dient er zorg voor gedragen te worden dat er geen verwarring ontstaat bij uitdrukkingen van de vorm . In de meeste gevallen geldt namelijk dat .
  
  Deze notatie wordt in andere talen ook wel de toren van machten of machtentoren genoemd.
  
  Voorbeeld 
  Na de som, product en machtsverheffen is de tetratie de vierde bewerking die deze reeks voorzet. Met tetratie wordt een opvolging van machten benoemd, bijvoorbeeld:
  
  Tetreren levert al snel enorm grote getallen op. Zo heeft 35 reeds 2185 cijfers en 38 bevat er meer dan 15 miljoen.
  
  Een bijzondere tetratie 
  Een bijzondere functie  vormt de volgende limiet van tetraties:
  
  Hierin is  de verzameling van reële limietpunten van . Tot
  slot definiëren we de Lambert-W functie  impliciet als de
  inverse functie van , zodat .
  
  Een andere uitdrukking voor f 
  We willen de limiet in f nu expliciet evalueren. Hiertoe merken we op dat
  
  Hieruit volgt dat
  
  Het domein en beeld van f 
  We merken allereerst op dat voor  het niet zo hoeft te zijn dat
  . Uit  uit de vorige sectie volgt
  dat het domein van f wordt beperkt door het beeld van
   onder . Zij nu
  
  een functie. We weten nu uit de vorige sectie dat g de inverse van
  f is. Om de karakteristieken van f te vinden is het dus voldoende om
  g te onderzoeken. We bepalen eerst het maximum van het beeld van
  g om A vast te leggen.
  
  We merken op dat  niet gedefinieerd is, maar dat
   een minimum is op de rand van het
  domein van g. Verder merken we op dat
   en dus dat
   op grond van
  de productregel. De enige voorwaarden waarvoor geldt dat
   is dat  of
  , maar deze punten zitten niet in het domein van
  g en gelden dus niet als extreme waarden.
  
  Dit moet betekenen dat als g een extreme waarde heeft in x, dat
  dan . g heeft een maximum bij e.
  Hieruit volgt dat  en dus zal het domein van f
  worden gegeven door .
  
  Om de waarde van f in  te bepalen merken we op dat
  f en g elkaars inverse zijn op het domein van f. En dus zal
  .
  
  De afgeleide van f 
  Om de afgeleide van f te bepalen gebruiken we de uitdrukking uit de
  tweede sectie.
  
  Het uitwerken van deze laatste uitdrukking geeft dat
  
  De primitieve van f 
  We zullen in deze sectie proberen om de primitieve van f te
  bepalen. Hiertoe kijken we eerst goed naar de volgende plot van f
  en g.
  
  We zien nu dat de oppervlakte onder f op  impliciet
  berekend kan worden met . In het algemeen geldt
  dat
  
  Hiermee verplaatsen we het probleem van integratie naar de functie
  g. Het blijkt dat ook g niet expliciet te integreren is, al kunnen we
  wél partiële integratie toepassen op de volgende convergente Taylorreeks.
  
  In dit stadium van de berekening dienen we al op te merken dat
  . Dit zal ons straks problemen op gaan leveren bij de bepaling van . Voor nu zullen we
  verdergaan met het bepalen van de volgende integraal
  
  Hieruit volgt nu dat
  
  Ofschoon de waarde van  niet in radicalen valt uit te schrijven is er met behulp van bovenstaande formules wél een benadering mogelijk. We zien nu dat:
  
  De visualisatie van f 
  Hieronder volgt een grafische visualisatie van f,  en
  .
  
  Zie ook  
   Knuths pijlomhoognotatie
   Ruckers notatie
  
  Externe links 
    MathWorld: Pijlnotatie
    MathWorld: Power Tower
  
  Rekenen