title: Gâteaux-afgeleide
text: De Gâteauxafgeleiden spelen in de niet-lineaire functionaalanalyse en de toepassingen daarvan een belangrijke rol. Het gaat hierbij om een generalisatie van het begrip richtingsafgeleide uit de differentiaalrekening. Het begrip is vernoemd naar René Gâteaux, een Franse wiskundige, die op jeugdige leeftijd in de Eerste Wereldoorlog omkwam. De Gâteauxafgeleide wordt gedefinieerd voor afbeeldingen tussen lokaal convexe topologische vectorruimten, zoals Banachruimten. Een Gâteauxafgeleide is een afgeleide die per definitie continu en lineair is. In de variatierekening en in de natuurkunde noemt men een richtingsafgeleide ook wel functionele afgeleide.
  
  Definitie
  Stel  and  zijn Banachruimten (of algemener lokaal convexe topologische vectorruimten),  is open en .
   
  
  We zeggen dan dat F een richtingsafgeleide in u heeft in de richting v (waarbij ) als de volgende limiet bestaat:
  
  We zeggen dat F naar alle windhoeken differentieerbaar is in O als F in elk punt  afgeleiden in alle richtingen  bezit. 
  
  Als bovendien  continu en lineair is op V dan heet F Gâteauxdifferentieerbaar in u en is F'(u) de Gâteauxafgeleide van F in u.
  
  Eigenschappen
    is homogeen, dat wil zeggen  voor alle scalairen .
  bewijs:
  Voor 
   is 
  Neem nu de limiet 
  
   Echter F'(u) is niet noodzakelijk lineair.
  Tegenvoorbeeld:
  Definieer 
  F : R2 → R door F(x)=0 als x=(x1,x2) = (0,0) en voor x=(x1,x2) ≠ (0,0) door
  
  Dan is 
   
  en dus is F'(0;v) = F(v) en F'(0) is niet lineair.
  
   Als F'(u) wel lineair is, dan hoeft hij nog niet continu te zijn.
  Tegenvoorbeeld:
  Neem voor F een discontinue lineaire afbeelding. Dan is F'(u;v) = F(v).
  
   Een Gâteauxdifferentieerbare afbeelding hoeft niet continu te zijn.
  Tegenvoorbeeld
  Definieer F : R2 → R door F(x)=0 als x=(x1,x2) = (0,0) en voor x=(x1,x2) ≠ (0,0) door
  
  Dan is 
   
  en dus is F'(0) lineair en continu, maar F is discontinu in 0.
  
  Generalisatie van eigenschappen uit de analyse
  
  We bekijken nu naar afbeeldingen .
  
   Als F Gâteauxdifferentieerbaar is en een minimum heeft in u, dan is F'(u)=0.
  
   Als F Gâteauxdifferentieerbaar is en half-continu van beneden en F is begrensd en er is een rij (un) met , dan heeft F een minimum.
  
   Zij F: C → R  met  C  een convex deel van X, Gâteauxdifferentieerbaar.
  
  F'  heet stijgend als voor alle u,v ∈ X geldt (F'(u)−F'(v))(u−v)≥0.
  F'  is stijgend dan en slechts dan als F een convexe functie is.
  Bemerk de overeenkomst met de analyse: Een differentieerbare functie f:C→R  ( C=(a,b)) is convex precies dan als f'  stijgend is, dat wil zeggen als (f'(u)−f'(v))(u−v)≥0.
  
  Zie ook 
   Fréchetafgeleide
  
  Functionaalanalyse