title: Cirkelgroep
text: In de wiskunde is de cirkelgroep, aangeduid door  of , de multiplicatieve groep van de complexe getallen met absolute waarde gelijk aan 1. De elementen van  zijn dus de punten op de eenheidscirkel in het complexe vlak en de bewerking is de vermenigvuldiging.
  
  Een isomorfe representatie is als de additieve groep
  
  Definitie
  De cirkelgroep is gedefinieerd als het paar  met:
  
  en de vermenigvuldiging als bewerking.
  
  De cirkelgroep is een ondergroep van , de multiplicatieve groep van alle complexe getallen behalve 0. Aangezien  een abelse groep is, is ook  abels. 
  
  De notatie  voor de cirkelgroep komt van het woord torus aangezien  (het directe product van  factoren ) meetkundig gezien kan worden als een -torus. De cirkelgroep is dan een 1-torus. 
  
  De cirkelgroep speelt een centrale rol in de pontryagin-dualiteit en in de theorie van lie-groepen.
  
  Elementaire introductie 
  
  De cirkelgroep is in essentie een voorbeeld van het modulair rekenen, dus rekenen module een getal. Bij de cirkelgroep gaat het om het kunnen optellen van hoeken, als alleen hoeken tussen 0° en 360° zijn toegestaan; dus rekenen modulo 360°. Het diagram hiernaast illustreert hoe men 150° optelt bij 270°. De gewone berekening zou zijn dat 150° + 270° = 420°, maar bij de cirkelgroep vergeet men als het ware dat men de cirkel al eenmaal rondgegaan is en begint men opnieuw bij 0°, zodat het antwoord altijd in het interval van 0° tot 360° ligt. Het antwoord wordt 420° - 360° = 60°.
  
  Topologische en analytische structuur
  De cirkelgroep is meer dan alleen maar een abstracte algebraïsche groep. De cirkelgroep heeft een natuurlijke topologie, als zij wordt beschouwd als een deelruimte van het complexe vlak. Sinds vermenigvuldiging en inverteren continue functies zijn op , heeft de cirkelgroep de structuur van een topologische groep. Aangezien de eenheidscirkel bovendien een gesloten deelverzameling is van het complexe vlak, is de cirkelgroep een gesloten ondergroep van  (die zelf ook als een topologische groep wordt beschouwd). 
  
  Men kan zelfs nog verder gaan. De cirkel is een eendimensionale reële variëteit en vermenigvuldiging en invertering zijn analytische functies op de cirkel. Dit geeft de cirkelgroep de structuur van een eendimensionale lie-groep. In feite is het, op isomorfisme na, de unieke eendimensionale compacte, samenhangende lie-groep. Bovendien is elke -dimensionale compacte, samenhangende, abelse lie-groep isomorf  met .
  
  Algebraïsche structuur 
  De cirkelgroep  is een deelbare groep. De torsie-ondergroep wordt gegeven door de verzameling van alle -de eenheidswortel voor alle , en is isomorf met . De structuurstelling voor deelbare groepen zegt dat  isomorf is met de directe som van  met een aantal kopieën van . Het aantal kopieën van  moet  (de kardinaliteit van het continuüm) zijn, anders is de kardinaliteit van de directe som niet correct. Maar de directe som van  kopieën van  is isomorf met , aangezien  een vectorruimte van dimensie  over  is. Dus
  
  Ook geldt de isomorfie:
  
  wat op dezelfde manier kan worden bewezen, als  ook een deelbare abelse groep is, waarvan de torsie-ondergroep dezelfde is als de torsie-ondergroep van .
  
  Zie ook
  Cyclische groep
  Unitaire groep
  Orthogonale groep
  
  Groepentheorie