title: Singulariteit (wiskunde)
text: In de wiskunde is een singulariteit in het algemeen een punt, waar een bepaalde relevante eigenschap van een wiskundig object niet is gedefinieerd. 
  
  De functie 
   
  bijvoorbeeld kent op de reële getallenlijn een singulariteit in het punt . De functie lijkt te "ontploffen" tot  en is in dit punt niet gedefinieerd. 
  
  De functie 
   
  heeft ook een singulariteit in , omdat de functie op dat punt niet kan worden gedifferentieerd.
  
  Complexe functietheorie 
  De complexe functietheorie kent vier verschillende vormen van singulariteit. Veronderstel dat  een open deelverzameling van het complexe vlak  is, dat het punt  een element van  is en dat de functie  een holomorfe functie is die gedefinieerd is in een omgeving rond  die  uitsluit: .
  
   Geïsoleerde singulariteiten: Stel dat de functie  niet is gedefinieerd in het punt , hoewel de functie wel is gedefinieerd op .
   Het punt  is een ophefbare singulariteit van , als er een holomorfe functie  op alle  kan worden gedefinieerd zodanig dat  voor alle . De functie  is een continue vervanger van de functie .
   Het punt  is een pool of niet-essentiële singulariteit van , indien er een holomorfe functie  bestaat die is gedefinieerd op  en een natuurlijk getal  zodanig dat  voor alle . De afgeleide in een niet-essentiële singulariteit kan al dan niet bestaan. Als  ongelijk is aan nul, zegt men dat  een pool van orde  is.
   Het punt  is een essentiële singulariteit van , indien het noch een ophefbare singulariteit, noch een pool is. Het punt  is dan en slechts dan een essentiële singulariteit als de laurentreeks oneindig veel machten van negatieve graad heeft.
   Vertakkingspunten komen in het algemeen voor bij meerwaardige functies, zoals  of , die als ze gedefinieerd zijn op een zeker beperkt domein, binnen het domein eenduidig gedefinieerd kunnen worden.
  
  Meetkunde 
  Veronderstel dat  een affiene variëteit is, dat wil zeggen de oplossingsverzameling van een stelsel van veeltermvergelijkingen in  veranderlijken. De raakruimte in een punt  wordt bepaald door de veeltermen te vervangen door hun beste lineaire benadering in . Elke veelterm  afzonderlijk bepaalt een hypervlak door  (met als vergelijking ) en de raakruimte is de doorsnede van die hypervlakken.
  
  Het punt  heet singulier punt of singulariteit als minstens een van die hypervlakken niet goed bepaald is, omdat , d.w.z. dat alle partiële afgeleiden van de overeenkomstige veelterm nul zijn in .
  
  Voorbeeld 
  
  De derdegraadsveelterm in twee veranderlijken  en 
  
  bepaalt een reële kromme in het vlak. De singuliere punten van die kromme vinden we door de partiële afgeleiden van  samen gelijk te stellen aan 0:
  
  Hieruit volgt dat (0,0) de enige singulariteit op de kromme is.
  
  Zelfintersectie 
  
  Een dubbelpunt, of meer in het algemeen een punt waar de variëteit zichzelf snijdt (zodat er verscheidene raakruimtes lijken te bestaan), is altijd een singulariteit.
  
  Een triviaal voorbeeld hiervan is de vlakke kromme die bestaat uit de vereniging van de -as en de -as met vergelijking 
  
  Een eenvoudig niet-triviaal (en irreducibel) voorbeeld is de kromme bepaald door de vergelijking
  
  Differentieerbare functies en catastrofen 
  De catastrofetheorie bestudeert het lokaal gedrag van functiekiemen rondom singulariteiten. Een singulariteit is in dat verband een kiem van differentieerbare functies
  
  met de eigenschap dat .
  
  Zie ook 
  Absolute waarde
  Asymptoot
  Catastrofetheorie
  Discontinuïteit 
  Essentiële singulariteit
  Geïsoleerde singulariteit
  Oneindigheid
  Ophefbare singulariteit
  Singulariteit (natuurkunde)
  
  Wiskundige analyse