title: Machtassociativiteit
text: In de abstracte algebra is machtassociativiteit een zwakke vorm van associativiteit die inhoudt dat de macht van een element onafhankelijk is van de volgorde waarin de macht gevormd wordt. 
  
  Van een algebra (of meer algemeen een magma) zegt men dat deze machtassociatief is als de deelalgebra die door enig element gegenereerd wordt associatief is.
  
  Concreet betekent dit dat als een element  een aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het niet uitmaakt in welke volgorde de vermenigvuldigen worden uitgevoerd, zodat bijvoorbeeld geldt dat
  
  Dit is een sterkere eigenschap dan dat alleen voor elke  geldt
  
  Definitie
  Voor een magma  definieert men voor elke :
  
  en voor alle 
  
  De bewerking  noemt men machtassociatief voor een element , als voor alle  geldt:
  
  Als de bewerking  machtassociatief is voor ieder element , noemt men  een machtassociatieve magma.
  
  Een algebra  heet machtassociatief a;s de vermenigvuldiging machtassociatief is.
  
  Elke associatieve algebra is duidelijk machtsassociatief. Alle andere alternatieve algebra's (zoals de octonionen, die niet-associatief zijn) en zelfs sommige niet-alternatieve algebra's zoals de sedenionen zijn ook machts-associatief.  
  
  Machtsverheffen tot de macht van elk natuurlijk getal ongelijk aan nul kan consistent worden gedefinieerd, wanneer vermenigvuldiging machtassociatief is. Er is bijvoorbeeld geen dubbelzinnigheid of  gedefinieerd is als 
  , 
  aangezien deze twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk zijn.
  
  Machtsverheffen tot de macht nul kan ook worden gedefinieerd als de operatie een identiteitselement heeft, waardoor het bestaan van identiteitselementen nuttig wordt in machts-associatieve contexten.
  
  Er geldt een leuke vervangingswet voor reële machts-associatieve algebra's met eenheid, die erop neerkomt dat vermenigvuldiging van polynomen werkt zoals verwacht. Stel dat  een reële polynoom in  is, en definieer voor enige  in zo'n algebra  als het element van deze algebra dat resulteert van de voor de hand liggende vervanging van  in . Dan hebben we voor elke van twee zulke polynomen  en  
  .
  
  Referenties
   R.D. Schafer, An introduction to non-associative algebras (Een introductie tot niet-associatieve algebra's), Dover, 1995, ISBN 0-486-68813-5.  Chap.V, pp.128-148.
  
  Abstracte algebra