title: Banach-algebra
text: In de functionaalanalyse, een tak van de wiskunde, is een banach-algebra een complexe banachruimte waarop een geschikte "samenstelling" of "vermenigvuldiging" van vectoren is gedefinieerd.
  
  Definitie
  Een banach-algebra is een structuur die bestaat uit een banachruimte  en een bewerking  die van de onderliggende vectorruimte een associatieve algebra met eenheidselement (neutraal element) maakt, en die op de volgende wijze compatibel is met de norm:
  
  Voorbeelden
  De definitie is geïnspireerd door de collectie  van alle begrensde (=continue) lineaire transformaties van een banachruimte . Deze collectie is op canonieke wijze een vectorruimte over hetzelfde getallenlichaam als , en krijgt als norm
  
  Deze genormeerde vectorruimte is volledig, dus  is eveneens een banachruimte. De samenstelling van lineaire transformaties maakt er een banach-algebra van. Het eenheidselement is de identieke transformatie .
  
  In het bijzondere geval  is  de algebra der complexe -matrices.
  
  Een ander belangrijk voorbeeld is de ruimte van alle continue begrensde complexwaardige functies op een topologische ruimte . Deze vormt een banachruimte voor de supremumnorm
  
  De puntsgewijze vermenigvuldiging van functies maakt er een commutatieve banach-algebra van. Het eenheidselement is de constante functie .
  
  Meestal eist men dat de topologische ruimte  compact is. De voorwaarde "begrensd" is dan een gevolg van "continu". In het bijzonder geval dat  bestaat uit een eindig aantal punten met de discrete topologie, ontstaat de banach-algebra  met de coördinaatsgewijze vermenigvuldiging.
  
  De banachruimte  der complexwaardige integreerbare functies op de reële getallen (zie Lp-ruimte), uitgerust met het convolutieproduct
  
  voldoet aan alle voorwaarden van een banach-algebra, behalve dat er geen eenheidselement bestaat. Er bestaat echter wel een technisch handigheidje om aan  kunstmatig een eendimensionale ruimte met een eenheidselement toe te voegen, bijvoorbeeld in de vorm van de dirac-maat.
  
  Spectrum
  Het spectrum van een vector  is de verzameling complexe getallen  waarvoor  geen invers element heeft ten opzichte van de vermenigvuldiging van vectoren.
  
  Voorbeelden
  In de commutatieve banach-algebra der continue functies op een compacte topologische ruimte, bestaat het spectrum van een functie uit haar waardenbereik Ran().
  
  In de banach-algebra der complexe -matrices is het spectrum van een matrix de verzameling van zijn eigenwaarden.
  
  Functionele calculus in banach-algebra's
  Het bestaan van een vermenigvuldiging van vectoren maakt het mogelijk machtreeksen te bestuderen. Zo komt men tot het begrip van een holomorfe vectorwaardige functie. In het bijzonder heeft het zin te spreken van de exponentiële functie van een banach-algebra:
  
  Hier wordt met  het product van  factoren  bedoeld. De reeks convergeert in de norm van de banach-algebra voor iedere willekeurige vector .
  
  De identiteit  is evenwel slechts gegarandeerd als  en  commuteren, d.w.z: 
  
  In het algemeen kan men een betekenis verlenen aan  voor elke complexe functie  die holomorf is op een open omgeving van het spectrum van . Dit is een voorbeeld van een functionele calculus: de definitie van een getallenfunctie uitbreiden tot meer algemene objecten, in dit geval vectoren van een banach-algebra.
  
  Functionaalanalyse