title: Voorwaardelijke verdeling
text: In de kansrekening is de voorwaardelijke verdeling van een stochastische variabele , gegeven de waarde van een andere stochastische variabele , een nieuwe (kans)verdeling van  waarbij er rekening mee wordt gehouden dat de waarde van  bekend is. 
  
  Als beide variabelen discreet zijn, is de voorwaardelijke kansfunctie bepaald door de voorwaardelijke kansen. Zijn beide variabelen continu, dan is de voorwaardelijke kansverdeling bepaald door een voorwaardelijke kansdichtheid. Ook mengvormen zijn mogelijk.
  
  Algemeen
  Als de stochastische variabelen  en  simultaan verdeeld zijn met simultane verdelingsfunctie , wordt de voorwaardelijke verdelingsfunctie  van , gegeven''' dat de gebeurtenis  is opgetreden, gedefinieerd door:
  
  Men zegt ook: de verdelingsfunctie  van , onder de voorwaarde dat de gebeurtenis  is opgetreden.
  
  Discrete stochastische variabelen
  Als de discrete stochastische variabelen  en  simultaan verdeeld zijn met kansfunctie
  
  wordt de voorwaardelijke kansfunctie  van  gegeven dat de gebeurtenis  is opgetreden, dus voor , gedefinieerd door de voorwaardelijke kans
  
  Daarin is 
  
  de marginale kansfunctie van .
  
  Continue stochastische variabelen
  Als de continue stochastische variabelen  en  simultaan verdeeld zijn met simultane kansdichtheid , wordt de voorwaardelijke kansdichtheid''  van  gegeven dat de gebeurtenis  is opgetreden, voor  gedefinieerd door:
  
  Daarin is 
  
  de marginale kansdichtheid van .
  
  Toelichting
  De voorwaardelijke kansdichtheid is de afgeleide van de overeenkomstige voorwaardelijke verdelingsfunctie:
  
  Voorbeelden
  Twee worpen met een dobbelsteen
  Een eerlijke dobbelsteen wordt twee keer geworpen. De stochastische variabele  is het ogenaantal bij de eerste worp en  is het totale ogenaantal. Het ligt nu voor de hand de voorwaardelijke verdeling van  gegeven dat  op te stellen:
  
  voor .
  
  De simultane kansfunctie van beide is:
  
  voor .
  
  In veel gevallen zal de voorwaardelijke verdeling zo toegepast worden. Ook in het volgende voorbeeld.
  Werpen met een dobbelsteen en een munt
  Een eerlijke dobbelsteen wordt geworpen, waarna een zuivere munt zo vaak wordt geworpen als het ogenaantal  van de dobbelsteen. Het aantal keren dat 'munt' boven komt is . Het ligt weer voor de hand direct de voorwaardelijke verdeling van  gegeven  op te stellen. Dat is namelijk een binomiale verdeling met parameters  en :
  
  voor .
  
  Bivariate normale verdeling
  De stochastische variabelen  en  zijn simultaan normaal verdeeld, beide met verwachtingswaarde 0 en standaardafwijking 1. De simultane dichtheid is:
  
  De marginale kansdichtheid van  is
  
  ,
  
  dus een standaardnormale verdeling.
  
  De voorwaardelijke dichtheid van  gegeven  is:
  ,
  
  dus een normale verdeling met verwachtingswaarde  en variantie 
  
  Mengvorm
  Het kan ook voorkomen dat de stochastische variabele  discreet verdeeld is en  continu. Bijvoorbeeld is  unifom verdeeld op het interval  en is  gegeven  binomiaal-verdeeld met parameters  en succeskans :
  
  voor  en .
  
  Kansrekening