title: Morfisme
text: In de wiskunde is een morfisme een abstractie die is afgeleid van structuurbewarende afbeeldingen tussen twee wiskundige structuren.
  
  De studie van morfismen en van de structuren (de zogenaamde objecten) waarover deze zijn gedefinieerd, staat centraal in de categorietheorie. Een groot deel van de terminologie met betrekking tot morfismen, alsmede de intuïtie die daaraan ten grondslag ligt, komt van concrete categorieën, waar de objecten verzamelingen zijn met enige aanvullende structuur, en morfismen afbeeldingen zijn die deze structuur bewaren. In het algemeen zijn morfismen niet noodzakelijkerwijs afbeeldingen, en de objecten waarop morfismen worden gedefinieerd niet per se verzamelingen. In plaats daarvan wordt een morfisme vaak beschouwd als een pijl die een object dat het domein wordt genoemd verbindt met een ander object dat het codomein wordt genoemd.
  
  Het begrip morfisme komt in veel gebieden van de hedendaagse wiskunde voor. In de verzamelingenleer zijn morfismen afbeeldingen, in de topologie continue functies, in de universele algebra homomorfismen en in de groepentheorie groepshomomorfismen.
  
  Definitie 
  Een categorie  bestaat uit twee klassen, een van objecten en de ander van morfismen. Bij ieder morfisme behoren de twee objecten domein (of bron) en codomein (of doel). Voor het morfisme  met domein  en codomein  schrijft men . Een morfisme is dus een pijl van het domein naar het codomein van dit morfisme. De verzameling van alle morfismen van  wordt aangeduid door  of simpelweg , en wordt de hom-verzameling tussen  en  genoemd. (Sommige wiskundigen schrijven ook  of ).
  
  Voor elke drie objecten  en  bestaat er een binaire operatie , die men de samenstelling noemt. De samenstelling van  en  wordt geschreven als   of zelfs . De samenstelling van morfismen wordt vaak weergegeven in een commutatief diagram. Bijvoorbeeld,
   
  
  Morfismen voldoen aan de twee axioma's:
   Identiteit: voor elk object  bestaat er een morfisme , dat men het identiteitsmorfisme op  noemt, zodanig dat voor elk morfisme  geldt dat .
   Associativiteit: , wanneer de operaties zijn gedefinieerd.
  
  Als  een concrete categorie is, is het identiteitsmorfisme alleen de identiteitsfunctie, en is de samenstelling alleen de gewone functie-compositie. Associativiteit volgt dan, omdat de samenstelling van functies associatief is.
  
  Merk op dat het domein en codomein in feite deel uitmaken van de informatie die een morfisme bepalen. In de categorie van verzamelingen bijvoorbeeld, waar morfismen functies zijn, kunnen twee functies identiek zijn als verzamelingen van geordende paren (zij kunnen hetzelfde bereik hebben), terwijl zij verschillende codomeinen hebben. Vanuit het perspectief van de categorietheorie zijn deze twee functies verschillend. Veel auteurs eisen dan ook dat de hom-klassen  disjunct zijn. In de praktijk is dit geen probleem want als deze disjunctie niet opgaat, kan dit alsnog worden gewaarborgd door het domein en het codomein aan de morfismen toe te voegen, (laten we zeggen als tweede en derde deel van een geordend triplet).
  
  Speciale morfismen
  
  Monomorfisme
  Een monomorfisme is een morfisme  dat aan een linkse schrapwet voldoet:
  
  In de categorie der verzamelingen en afbeeldingen zijn de monomorfismen de injecties.
  
  Linkerinverse
  Het morfisme  heeft een linkerinverse als er een morfisme  is, zodanig dat . De linkerinverse  wordt ook een retractie van  genoemd. Morfismen met linkerinversen zijn altijd monomorfismen, maar de omkering is niet altijd waar in elke categorie; een monomorfisme hoeft geen linkerinverse te hebben.
  
  Splitsmonomorfisme
  Een splitsmonomorfisme  is een monomorfisme dat een linkerinverse  heeft. De samenstelling  is dus idempotent, d.w.z. .
  
  In concrete categorieën is een functie die een linkerinverse heeft injectief. In concrete categorieën zijn monomorfismen, dus vaak, maar niet altijd injectief. De voorwaarde om een injectie te zijn is sterker dan de voorwaarde een monomorfisme te zijn, maar zwakker dan de voorwaarde om een splitsmonomorfisme te zijn.
  
  Epimorfisme
  Een epimorfisme is een morfisme  dat aan een rechtse schrapwet voldoet:
  
  In de categorie der verzamelingen en afbeeldingen zijn de epimorfismen de surjecties.
  
  Rechterinverse
  Het morfisme  heeft een rechterinverse als er een morfisme  bestaat zodat . De rechterinverse  wordt ook een sectie van  genoemd. Morfismen die een rechterinverse heeft zijn altijd epimorfismen, maar het tegenovergestelde is niet altijd waar voor elke categorie, bijvoorbeeld wanneer een epimorfisme geen rechterinverse heeft.
  
  Splitsepimorfisme
  Een splitsepimorfisme is een epimorfisme dat een rechterinverse heeft.
  
  In concrete categorieën is een functie die een rechterinverse heeft surjectief. In concrete categorieën zijn epimorfismen dus vaak, maar niet altijd surjectief. De voorwaarde om een surjectie te zijn is sterker dan de voorwaarde een epimorfisme te zijn, maar zwakker dan de voorwaarde om een splitsepimorfisme te zijn. In de categorie van verzamelingen heeft elke surjectie een sectie, een resultaat dat equivalent ia aan het keuzeaxioma.
  
  Merk op dat als een splitsmonomorfisme  een linkerinverse  heeft,  een splitsepimorfisme is en een rechterinverse  heeft.
  
  Bimorfisme
  Een bimorfisme is een morfisme dat zowel een epimorfisme als een monomorfisme is.
  
  Isomorfisme
  Een isomorfisme is een monomorfisme dat tevens epimorfisme is.
  Het morfisme  is een isomorfisme als er een morfisme  bestaat zodat  en 
  
  Als een morfisme zowel een linker- als een rechterinverse heeft dan zijn deze twee inverses aan elkaar gelijk, zodat  een isomorfisme is, en  simpelweg de inverse van  wordt genoemd. Inverse morfismen zijn, als zij bestaan, uniek. De inverse  is ook een isomorfisme met een inverse . Van twee wiskundig objecten met een isomorfisme tussen deze objecten wordt gezegd dat zij isomorf of equivalent zijn.
  
  Merk op dat terwijl elk isomorfisme een bimorfisme is, een bimorfisme niet noodzakelijkerwijs een isomorfme is. In de categorie van commutatieve ringen is de inclusie  bijvoorbeeld een bimorfisme dat niet een isomorfme is. Elk morfisme dat zowel een epimorfisme als een splitsmonomorfisme, of zowel een monomorfisme als een splitsepimorfisme is, moet ook een isomorfisme zijn. Een categorie, zoals Set, waarin elk bimorfisme een isomorfisme is, staat bekend als een gebalanceerde categorie.
  
  Endomorfisme
  Een morfisme  heet een endomorfisme van .
  
  Een splitsendomorfisme is een idempotent endomorfisme , als  een decomposition  toestaat met . In het bijzonder, de Karoubi-envelope van een categorie splitst elk idempotent morfisme.
  
  Automorfisme
  Een automorfisme is een morfisme dat zowel een endomorfisme als een isomorfisme is.
  
  Kern en beeld van een morfisme 
  In de groepentheorie is de kern van een groepshomomorfisme de verzameling elementen van het domein (bron) die door het homomorfisme op het neutrale element van het codomein (doel} worden afgebeeld. Het is een deelgroep van het domein.
  
  In de categorie der verzamelingen en hun afbeeldingen, en in de meeste categorieën gebaseerd op verzamelingen met structuren, is het beeld van een afbeelding, de verzameling elementen van het doel waarop minstens één element van het domein wordt afgebeeld.
  
  In de categorietheorie heeft niet elke categorie het begrip  "kern van een morfisme" - daarvoor moeten we veronderstellen dat de categorie is uitgerust met een nulmorfisme tussen elk paar objecten. De nulmorfismen hebben de eigenschap dat
  
  De (abstracte, categorie-theoretische) kern van een morfisme  van object  naar object  is een morfisme  van een object  naar  met de eigenschappen:
   
   
  De kern van , als hij bestaat, hoeft niet uniek te zijn, maar alle kernen van  zijn door onderlinge isomorfismen verbonden ("op isomorfie na bepaald").
  
  In de abstracte categorietheorie heeft elke categorie de notie van "beeld van een morfisme" (van een object  naar object ). Dit is een monomorfisme  van een object  naar  met de eigenschappen:
  
  Voorbeelden 
   In de concrete categorieën die in de universele algebra worden bestudeerd zijn (groepen, ringen, modules, enz.), worden morfismen homomorfismen genoemd. Ook vinden de begrippen automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, homeomorfisme, isomorfisme, en monomorfismen allemaal toepassing in de universele algebra.
  
   In de categorie van topologische ruimten zijn morfismen continue functies en worden isomorfismen homeomorfismen genoemd.
  
   In de categorie van de gladde variëteiten zijn morfismen gladde functies en worden isomorfismen diffeomorfismen genoemd.
  
  Categorietheorie