title: Volledig (maattheorie)
text: In de maattheorie, een tak van de wiskunde, noemt men een maatruimte volledig als alle deelverzamelingen van nulverzamelingen meetbaar zijn.
  
  Definitie
  Zij  een meetbare ruimte. Een maat  op  heet volledig als van elke nulverzameling  iedere deelverzameling ook meetbaar is, dus als
  
  Vanzelf is  dan ook een nulverzameling.
  
  Volledigheid hangt zowel van de sigma-algebra  als van de maat  af.
  
  Voorbeeld
  Elementaire voorbeelden van volledige maten zijn eenvoudig genoeg te construeren, bijvoorbeeld iedere maat op de discrete stam  (neem  eindig voor een gemakkelijke constructie van ).
  
  Een interessant voorbeeld van een onvolledige maat is de borelmaat op de borelstam van de reële getallen. Het bewijs hiervan is niet triviaal, maar kan bijvoorbeeld als volgt verlopen:
   De cantorverzameling is een overaftelbare nulverzameling voor de borelmaat
   De borelstam heeft de kardinaliteit van de reële getallen
   Uit de continuümhypothese volgt dat de cantorverzameling strikt meer deelverzamelingen heeft dan de borelstam leden, er bestaan dus deelverzamelingen van de cantorverzameling die niet borelmeetbaar zijn.
  
  Vervollediging
  De volgende constructie associeert met elke (niet noodzakelijk volledige) maatruimte  een uitbreiding die gegarandeerd volledig is.
  
  Definieer  als de sigma-algebra voortgebracht door  en alle deelverzamelingen van nulverzamelingen.
  
  Definieer  op  als volgt:
  
  Dan blijkt  een maat te zijn, en de twee maten vallen duidelijk samen op . In het bijzonder is de vervollediging van een kansmaat opnieuw een kansmaat.
  
  De lebesguestam en de lebesgue-maat zijn de vervollediging van de borelmaat op de reële getallen, of bij uitbreiding op .
  
  Wiskundige analyse
  Maattheorie