title: Sfeer (wiskunde)
text: Een sfeer is in de meetkunde een boloppervlak of een generalisatie daarvan in meer dimensies, gezien als ingebed in een vectorruimte, waarvan de dimensie een hoger is dan van de sfeer zelf.
  
  Een boloppervlak is een driedimensionale figuur, een oppervlak dat door alle punten wordt gevormd, die op gelijke afstand liggen van een vast punt, het middelpunt van het boloppervlak. Een boloppervlak omsluit een driedimensionaal lichaam, de bol. Een bol kan zowel als driedimensionale generalisatie van de cirkel worden opgevat, als van de cirkelschijf. Met een open bol wordt de open verzameling punten binnen een sfeer bedoeld en met een gesloten bol de gesloten verzameling punten, die door het boloppervlak worden omsloten.
  
  Definitie 
  Een boloppervlak is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand, de straal, liggen van een gegeven punt, het middelpunt van de sfeer. De sfeer  met straal  en middelpunt 
   
  
  Een boloppervlak kan ook door een vergelijking worden vastgelegd. Het boloppervlak met oorsprong in het punt  en straal  is in cartesische coördinaten gegeven door:
   
  
  Het oppervlak van een bol met straal  heeft grootte
   
   
  De eenheidsbol, het oppervlak, is de sfeer  met de oorsprong als middelpunt en straal 1.
  
  Wiskundige vergelijking
  
  In cartesische coördinaten 
  Een boloppervlak met straal  en middelpunt  kan in cartesische coördinaten worden weergegeven door de vergelijking:
   .
  
  Parametervergelijking 
  In bolcoördinaten ten opzichte van het middelpunt luidt de vergelijking:
  
  Differentiaalvergelijking 
  Ieder boloppervlak wordt beschreven door de differentiaalvergelijking
  
  Willekeurige dimensie 
  Voor ieder natuurlijke getal  definieert men de -sfeer met middelpunt  en straal  als
  
   
  
  met als speciaal geval de eenheidsbol in  dimensies 
  
   
  
  Het getal  is de dimensie van  opgevat als topologische variëteit. Dit is intuïtief gedefinieerd het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel  lokaal gezien een eendimensionale lijn en het boloppervlak  lokaal een tweedimensionaal vlak.
  
  Het gehanteerde afstandsbegrip komt meestal met de gewone metriek overeen.
  
   
  
  De sfeer  is de rand van de gegeneraliseerde bol  in  dimensies.
  
  In  dimensies is de gegeneraliseerde bol gedefinieerd als
  
   
  
  met als speciaal geval de eenheidsbol
  
   
  
  De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of riemann-variëteit.
  
  Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de driesfeer .
  
  De driesfeer wordt soms aanschouwelijk gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van :
  
   
  
  De topologische zevensfeer  kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Een daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende euclidische ruimte , de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.
  
  De stelling van Borsuk-Ulam gaat over continue afbeeldingen van de -sfeer naar de -dimensionale euclidische ruimte.
  
  Andere metrieken 
  In een willekeurige metrische ruimte , of zelfs een pseudometrische ruimte, wordt de sfeer met middelpunt  en straal  op dezelfde manier gedefinieerd:
  
   
  
  Is bijvoorbeeld het vlak  uitgerust met de Manhattan-metriek
  
   ,
  
  dan hebben de cirkels de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.
  
  Riemann-sfeer 
  De riemann-sfeer is het riemann-oppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak  één punt  toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van  bepaald wordt door de afbeelding
  
   ,
  
  als een kaart met kromlijnige coördinaten van het complexe vlak te beschouwen.
  
  Topologisch is de riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone eenheidsbol . Meetkundig modelleert de riemann-sfeer de complexe projectieve lijn .
  
  Oppervlak