title: Contractiestelling van Banach
text: De contractiestelling van Banach is een belangrijk hulpmiddel in de theorie van de metrische ruimten. De stelling garandeert het bestaan en de uniciteit van dekpunten van zekere afbeeldingen van metrische ruimten naar zichzelf, en biedt een constructieve methode om die punten te vinden. De theorie is vernoemd naar Stefan Banach (1892–1945).
  
  De contractiestelling van Banach is de bekendste en meest toegepaste dekpuntstelling, mede vanwege de erbij geleverde constructieve wijze waarmee het unieke dekpunt kan worden gevonden.
  
  Stelling 
  Zij  een gesloten interval en  een functie waarvoor een zekere  met  bestaat zodat voor alle  geldt:
  
  dan heeft  precies één dekpunt, dat wil zeggen, er is precies één  met .
  
  Opmerking 
  Als met de Contractiestelling van Banach bewezen is dat er een dekpunt bestaat, kan dat punt gevonden worden als limiet van de rij
   
  
  waarin  een willekeurig gekozen startwaarde is.
  
  Een veel gemaakte fout is dat men slechts aantoont dat voor alle  geldt dat
  .
  
  Deze eigenschap is onvoldoende om tot het bestaan van een dekpunt te kunnen besluiten. Ook is het belangrijk dat het definitiegebied een gesloten interval is.
  
  Ruimere formulering 
  De stelling kan ook ruimer geformuleerd worden:
  
  Zij  een volledige metrische ruimte en  zodanig dat voor alle  voor zekere  met , dan heeft  precies één dekpunt.
  
  Voorbeeld 
  We bewijzen de volgende stelling:
  Als 
  ,  en , 
  dan heeft de differentiaalvergelijking
  
  precies één oplossing op 
  als  voldoet aan de zogenaamde Lipschitzvoorwaarde
   
  voor alle 
  ,
  
  Bewijs 
  We schrijven de differentiaalvergelijking + randvoorwaarde in de volgende vorm:
  
  Beschouw nu de afbeelding  die aan een continue functie  toevoegt de functie , gedefinieerd door
  
  We zoeken dus naar het dekpunt van . ( is de banachruimte van continue functies op  met de supremumnorm)
  
  Dus 
  
  Als , volgt uit de contractiestelling bovenstaande stelling. 
  
  Deze eis kan worden weggelaten door het segment  te partitioneren in kleine deelsegmentjes  waarvoor geldt 
  
   
  Op elke van die segmentjes krijgen we een oplossing, die we uiteindelijk kunnen samenvoegen tot één globale oplossing op .
  
  Topologie
  Functionaalanalyse
  Banach contractie