title: Magma (wiskunde)
text: In de abstracte algebra is een magma (ook groepoïde genoemd, niet te verwarren met groepoïde in  de categorietheorie) een basale algebraïsche structuur. Specifiek bestaat een magma uit een niet-lege verzameling die is uitgerust met een enkele binaire operatie, , waaraan geen verdere eisen worden gesteld. De enige structuur in  is dus de binaire operatie , die aan twee elementen  en  in  het element  toevoegt. Magma's als zodanig worden niet (veel) bestudeerd, maar gelden vanwege de aanwezige bewerking, als basisstructuren voor rijkere structuren in de abstracte algebra. De term magma werd geïntroduceerd door Bourbaki.
  
  Een magma noteert men als het paar , waarin  de verzameling is en  de binaire bewerking.
  
  Het aantal elementen van een magma wordt de orde van de magma genoemd en genoteerd als  of .
  
  Eindige magma's kan men volledig voorstellen in een zogenaamde Cayley-tabel, die de resultaten van de bewerking opsomt.
  
  Types magma's 
  Magma's worden niet vaak als zodanig bestudeerd; er zijn verschillende soorten magma's, afhankelijk van welke axioma's men oplegt aan de operaties.
  Vaak bestudeerde soorten magma's zijn
   Quasigroepen: niet-lege magma's, waarbij delen altijd mogelijk is;
   Lussen: quasigroepen met identiteitselementen;
   Halfgroepen: magma's waarvan de operatie associatief is;
   Monoïden: halfgroepen met identiteitselementen;
   Groepen: monoïden met inverse elementen, of gelijkwaardig, associatieve lussen of associatieve quasigroepen;
   Abelse groepen, waarvan de operatie commutatief is.
  
  Enkele voorbeelden 
   De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als , vormen een magma.
   De gehele getallen met de aftrekking, genoteerd als , vormen een magma.
   De natuurlijke getallen met de aftrekking, genoteerd als  zijn géén magma, want voor bijvoorbeeld  is , dus is het verschil niet voor alle elementen gedefinieerd binnen .
  
  Morfisme van magma's 
  Een morfisme van magma's is een functie  die het magma  afbeeldt op het magma  en die de binaire operatie:
  
  in stand houdt, waarin  en  de binaire operaties op respectievelijk  en  aanduiden.
  
  Vrij magma
  Voor elke niet-lege verzameling  kan men het vrije magma over  definiëren als het "meest algemene" magma dat door  wordt voortgebracht. Het kan beschreven worden als het magma van alle eindige bomen met de bladeren in . De compositie  van twee bomen  en  is de boom waarvan de wortel  als linker onderboom en  als rechter onderboom heeft. Men kan elk element van het vrije magma noteren als uitdrukking in de elementen van  en haakjes. Zo bevat bijvoorbeeld voor   het vrije magma over  onder meer de elementen:
   enz.
  
  Groepentheorie
  Wiskundige structuur