title: Stelling van Van der Waerden
text: De stelling van Van der Waerden, genoemd naar Bartel Leendert van der Waerden, is een stelling uit de combinatoriek en een van fundamentele resultaten uit de Ramsey-theorie. Van der Waerden publiceerde ze in 1927 als bewijs van het vermoeden van Baudet. De stelling zegt dat, wanneer men de positieve gehele getallen in eindig vele klassen verdeelt, minstens een van deze klassen een rekenkundige rij van willekeurige lengte bevat.
  
  Stelling
  Voor elke twee positieve gehele getallen  en  bestaat er een getal  zodanig dat, als men de gehele getallen 1 tot en met  in  klassen verdeelt, er minstens een klasse is die een rekenkundige rij van lengte  bevat. Het kleinste getal  waarvoor dit geldt noemt men het Van der Waerden-getal
  
  Van der Waerden-getallen
  Van der Waerden bewees wel dat deze getallen bestaan, maar zijn bewijs gaf niet aan hoe ze berekend konden worden. Er is nog geen formule bekend waarmee ze berekend kunnen worden, en er zijn slechts weinig Van der Waerden-getallen exact bekend.
  
  Het geval  is triviaal:  voor elke  (er is slechts 1 klasse, namelijk die van de positieve gehele getallen, en die bevat elke rekenkundige rij ).
  
  Ook de Van der Waerden-getallen  zijn eenvoudig te bepalen. Er geldt , want zodra een tweede getal in een klasse ondergebracht wordt, bevat deze klasse een rekenkundige rij van twee elementen; en voor  klassen gebeurt dit ten laatste bij het getal . Dit is niets anders dan het duiventilprincipe.
  
  Voor  met twee klassen zijn alleen de eerste vijf Van der Waerden-getallen bekend: 
    
  
  Elwyn Berlekamp vond voor deze getallen als  een priemgetal is de volgende ondergrens:
  
  Bovengrens
  Van der Waerden leidde in zijn bewijs een bovengrens voor  af, die echter zeer snel stijgt (even snel als de Ackermannfunctie) en wellicht veel hoger is dan de reële waarde. Later werd die verbeterd, maar bleef nog steeds enorm groot. De beste gekende bovengrens, bepaald door Timothy Gowers in 2001, is:
  
  Externe links
  Wolfram MathWorld: van der Waerden's Theorem
  SAT@Delft: Van der Waerden numbers
  
  Combinatoriek
  Van der Waerden