title: Finale topologie
text: In de topologie, een tak van de wiskunde, is de finale topologie op een verzameling met betrekking tot een collectie afbeeldingen naar die verzameling, de fijnste topologische structuur die deze afbeeldingen   continu maakt.
  
  Finale topologie van een afbeelding 
  Zij  een afbeelding van een topologische ruimte  naar een verzameling . De vraag is welke topologische structuur op  ervoor zorgt dat de afbeelding  continu is, wat inhoudt dat het inverse beeld van elke open deelverzameling van  een open verzameling van  is.
  
  In het algemeen bestaan er verscheidene dergelijke topologieën, maar slechts een ervan is de grootste of fijnste in de zin dat ze zo veel mogelijk open verzamelingen bevat. De grootste topologie  op  waarvoor de afbeelding  continu is, is
  
  Voorbeelden 
  Voor de reële getallen  met de gewone topologie induceert de identieke afbeelding  als finale topologie weer de gewone topologie op .
  
  De afbeelding  met  induceert een grotere topologie op  voortgebracht door de 'gewone' topologie met daaraan toegevoegd als open verzamelingen alle singletons van de negatieve getallen en alle halfopen intervallen van de vorm  toe te voegen.
  
  De constante afbeelding  induceert de discrete topologie , waarin alle deelverzamelingen van  open zijn.
  
  Zij  een topologische ruimte en  een partitie van . De finale topologie met betrekking tot de afbeelding  die aan ieder element  zijn partitieklasse toevoegt, maakt van  een topologische ruimte, die men de quotiënttopologie noemt.
  
  Finale topologie van een familie afbeeldingen 
  Voor een familie afbeeldingen , eventueel overaftelbaar oneindig en vanuit verschillende topologische ruimten  ( is de grootste (fijnste) topologie op de verzameling  waarvoor alle afbeeldingen  continu zijn:
  
  Initiale topologie 
  Door de rollen van  en  te verwisselen, ontstaat het verwante begrip initiale topologie.
  
  Topologie