title: Erdős-Woods-getal
text: In de getaltheorie heet een positief geheel getal  een Erdős–Woods-getal als er een rij van  opeenvolgende gehele getallen , , ...,  bestaat, zodanig dat alle elementen in de rij een factor met een van de eindpunten van de rij gemeen hebben. Met andere woorden: geen enkel getal in de rij is relatief priem met beide eindpunten van de rij.
  
  De eerste Erdős–Woods-getallen  zijn:
  16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, ... .
  
  De corresponderende beginpunten  zijn:
  2184, 3521210, 47563752566, 12913165320, 3180417880379694, 2212091405535117414, 3843095117044776029646, 3615758618744894508744, 13151117479433859435440, ... .
  
  Voor het eerste Erdős–Woods-getal 16 geldt bijvoorbeeld dat van de rij:
  2184, ...., 2200
  het beginpunt 2184 = 2×3×7×13, en het eindpunt 2200=2×2×2×5×5×11, zodat van de tussenliggende getallen sowieso de even getallen voldoen, evenals de 3-vouden en de 5-vouden. Blijven over: 2189 = 11×199, 2191 = 3×7×13 en 2197 = 13×439, dus 11-, 7- of 13-vouden.
  
  Geschiedenis 
  De Erdős–Woods-getallen danken hun naam aan een vermoeden, dat in 1980 door Paul Erdős werd geformuleerd:
  Er bestaat een geheel getal , zodat voor ieder paar  en  de beide kleinste gemene veelvouden van  en  een priemfactor verschillend hebben.
  
  en aan AR Woods, die hier aan de Universiteit van Manchester onderzoek naar deed en het eerste voorbeeld boven heeft gevonden.
  
  In 1987 bewees David Dowe dat er oneindig veel van Erdős–Woods-getallen  zijn.
  
  Patrick Cégielski en medewerkers bewezen in 2003 dat  steeds kleiner is dan , dat de verzameling van Erdős–Woods-getallen recursief is en met een algoritme kan worden berekend. Zij berekenden de getallen tot circa 600. Al deze getallen zijn even, maar dit betekent niet dat alle Erdős–Woods-getallen even zijn, zoals Dowe vermoedde. Het eerste oneven Erdős–Woods-getal is =903, en er zijn oneindig veel even zowel als oneven Erdős–Woods-getallen. Een Erdős–Woods-getal kan ook een priemgetal zijn, bijvoorbeeld =15493.
  
  Open vragen 
  Cégielski et al. formuleerden een aantal open vragen in verband met deze getallen, onder meer:
   Als het Erdős–Woods-getal  in het paar  even is, is  dan altijd even of niet?
   Er zijn veel paren van Erdős–Woods-getallen, die opeenvolgende even getallen zijn: 34 en 36, 64 en 66, enz. Zijn er oneindig veel van deze paren?
   Er zijn rijen van drie opeenvolgende even Erdős–Woods-getallen (92,94,96) en van vier opeenvolgende (216, 218, 220, 222). Is er voor elk geheel getal  een rij van  opeenvolgende even Erdős–Woods-getallen?
   Bestaat er voor elk geheel getal  een verschil tussen twee opeenvolgende Erdős–Woods-getallen dat gelijk is aan ?
  
  Referenties
  
  Getaltheorie
  Rij van gehele getallen