title: Producttopologie
text: In de topologie, een tak van de wiskunde, is de producttopologie een topologische structuur op het cartesisch product van topologische ruimten.
  
  Eenvoudig geval 
  Laat  en  twee topologische ruimten zijn. De producttopologie van het cartesisch product  is de topologie voortgebracht door producten van open delen van  en van . Dat wil zeggen
  
  is een subbasis voor de producttopologie, d.w.z. brengt de producttopologie voort.
  
  Definitie 
  Voor het cartesische product
  
  van de verzamelingen uit de familie topologische ruimten
   
  
  is de producttopologie de kleinste topologie die alle projectie-afbeeldingen
  
  continu maakt. Het is dus de initiale topologie van de projecties.
  
  Voorbeelden 
  De producttopologie op  van  keer de gewone topologie op  is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op .
  
  De verzameling van alle reële afbeeldingen  kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product . De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies  in deze topologie convergeert dan en slechts dan als hun waarden in ieder punt  afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:
  
  Product van compacte ruimten 
  De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.
  
  Voorbeeld 
  De ruimte van alle afbeeldingen van het gesloten interval  naar zichzelf, met de topologie der puntsgewijze convergentie, is compact.
  
  Toepassing 
  De Stone-Čech-compactificatie is een constructie die willekeurige T3.5-ruimten uitbreidt tot compacte ruimten door ze in te bedden in een meervoudig Cartesisch product van het gesloten interval [0,1] met zichzelf.
  
  Topologie