title: Integriteitsgebied
text: In de commutatieve algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een integriteitsgebied, ook integriteitsdomein, integraaldomein of kortweg domein, een commutatieve ring zonder nuldelers, ongelijk aan de triviale ring.
  
  De laatste eis betekent dat de neutrale elementen 0 voor de optelling en 1 voor de vermenigvuldiging van elkaar verschillen. Dat er geen nuldelers zijn houdt in dat het product van twee elementen ongelijk aan 0 ook ongelijk is aan 0. Noem  een integriteitsgebied. Het laatste is dan equivalent met:
    
  
  Integriteitsgebieden maken deel uit van de onderstaande keten van klasseinsluitingen:
  
   lichamen/velden ⊂ euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsgebieden ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen.
  
  Voorbeelden 
   De verzameling van de gehele getallen  is een integriteitsgebied.
   De gehele getallen van Gauss vormen een integriteitsdomein.
   Als  een lichaam is, dan is de ring  van de polynomen in  variabelen met coëfficiënten in  een integriteitsgebied.
   Elke deelring met een eenheidselement van een integriteitsgebied is opnieuw een integriteitsgebied.
   De ring  van de restklassen modulo 6, dus met modulair rekenen, is een commutatieve ring met eenheidselement, maar de restklassen van 2 en 3 zijn nuldelers: . Dat betekent dat  geen integriteitsgebied is. Het ideaal van de zesvouden is geen priemideaal.
  
  Elementaire kenmerkende eigenschappen 
  Een commutatieve ring met eenheidselement is een integriteitsdomein als en slechts als het ideaal (0) een priemideaal is.
  
  Een commutatieve ring  met eenheidselement is een integriteitsdomein als voor ieder element  de vermenigvuldiging met  een injectieve transformatie is:
   
  
  Een ring is dan en slechts dan een integriteitsgebied als het een deelring met eenheidselement is van een lichaam. Een dergelijk lichaam kan worden geconstrueerd.
  
  Ringkarakteristiek 
  Iedere commutatieve ring met eenheidselement waarvan de karakteristiek  verschilt van 0, omvat de ring van restklassen modulo  als deelring. Hieruit volgt dat de karakteristiek van een integriteitsgebied ofwel 0, ofwel een priemgetal is.
  
  Quotiëntenlichaam 
  breuken kunnen in een integriteitsgebied op een abstracte manier worden gedefinieerd, op dezelfde manier als de constructie van de rationale getallen aan de hand van paren gehele getallen. Het resultaat is een lichaam dat het oorspronkelijke integriteitsgebied als deelring omvat, het quotiëntenlichaam of breukenlichaam van .
  
  Commutatieve algebra
  Ringtheorie