Geheel element
In de commutatieve algebra wordt een element van een commutatieve ring met eenheid geheel genoemd ten opzichte van een deelring (met eenheid) als dat element een nulpunt is van een monische polynoom met coëfficiënten in de deelring.

De eigenschap 'geheel' generaliseert enerzijds algebraïsche gehele getallen, en anderzijds een algebraïsche uitbreiding van een commutatief lichaam.

Definitie 
Een element  van een commutatieve ring  met eenheidselement heet geheel of integraal over de deelring (met eenheid)  van  als er een polynoom 

 

is met coëfficiënten  in  en de coëfficiënt van de hoogste macht van  gelijk aan 1, waarvan
 een nulpunt is, dus

Voorbeelden 
 De algebraïsche gehele getallen zijn precies de complexe getallen die geheel zijn over de ring der gehele getallen.
 Als  en  lichamen zijn, vormen de gehele elementen de algebraïsche sluiting van  in .

Equivalente definities
De volgende eigenschappen van een element  van  zijn gelijkwaardig met de eis dat  een nulpunt is van een monische polynoom met coëfficiënten in :
De ring  is een eindig voortgebracht -moduul;
de ring  is een deel van een deelring  van  die een eindig voortgebracht -moduul vormt;
er bestaat een getrouw -moduul  dat, opgevat als -moduul, eindig voortgebracht is.

Gehele afsluiting
De gehele afsluiting van  in  is de verzameling elementen van  die geheel zijn over . Men kan aantonen dat dit een deelring is van .

De ring  heet geheel gesloten in  als hij gelijk is aan zijn gehele afsluiting in . De ring  heet geheel gesloten over  als al zijn elementen geheel zijn over .

Als  een integriteitsgebied is, dan heeft hij een breukenlichaam . Een integriteitsgebied heet geheel gesloten (zonder meer) als het geheel gesloten is in zijn breukenlichaam.

Voorbeeld
De gehele getallen zijn geheel gesloten (een breuk is pas nulpunt van een monische polynoom als ze gelijk is aan een geheel getal).

Algemener is ieder hoofdideaaldomein geheel gesloten.

De algebraïsche gehele getallen zijn geheel gesloten (dat wil zeggen, geheel gesloten in hun quotiëntenlichaam, het lichaam der algebraïsche getallen).

Referenties
   en , "Introduction to Commutative Algebra" (Inleiding tot de commutatieve algebra), Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.

Commutatieve algebra