Wiskundige economie
Wiskundige economie verwijst naar de toepassing van wiskundige methoden om economische theorieën weer te geven en problemen in de economie te analyseren.

Wiskunde staat economen toe om zinvolle, toetsbare proposities te formuleren over vele uiteenlopende en complexe onderwerpen, die op informele wijze niet op adequate wijze kunnen worden uitgedrukt. Verder staat de taal van de wiskunde economen toe om heldere, specifieke, positieve beweringen te maken over controversiële of contentierijke onderwerpen, wat onmogelijk zou zijn zonder een beroep op de wiskunde. Een groot deel van de economische theorie wordt op dit moment gepresenteerd in termen van wiskundige economische modellen, een reeks van gestileerde en vereenvoudigde wiskundige relaties die de onderliggende vooronderstellingen en implicaties verduidelijken.

Formele economische modellering begon in de late 19e eeuw met het gebruik van differentiaalrekening om te helpen bij het beschrijven en voorspellen van economisch gedrag. In de eerste helft van de 20e eeuw werd de economie geleidelijk steeds meer een wiskundige discipline, maar pas na de Tweede Wereldoorlog lieten nieuwe technieken het gebruik van wiskundige formuleringen in bijna de gehele economie toe.

Moderne wiskundige economie 
Vanaf de late jaren 1930 werd een reeks van nieuwe wiskundige hulpmiddelen uit de differentiaalrekening en differentiaalvergelijkingen, convexe verzamelingen en de grafentheorie ingezet om de economische theorie op een manier vooruit te helpen, die vergelijkbaar was met de nieuwe wiskundige methoden die eerder in de natuurkunde waren toegepast. Dit proces werd later beschreven als een beweging weg van de mechanica naar de axiomatica.

Differentiaalrekening
Vilfredo Pareto analyseerde de micro-economie door beslissingen van economische actoren te behandelen als pogingen om een gegeven allocatie van de goederen te veranderen in een andere allocatie, die de voorkeur van de economische agent heeft. Verzamelingen van allocaties konden dan worden behandeld als zijnde Pareto-efficiënt. (Pareto-optimaliteit is een gelijkwaardige term) wanneer er geen uitwisseling tussen actoren kan plaatsvinden die ten minste één individu beter af zou maken zonder dat een enkele andere persoon slechter af zou raken. Pareto's bewijs wordt vaak verward met een Walrasiaans evenwicht of zelfs informeel toegeschreven aan Adam Smiths onzichtbare hand hypothese.

In zijn historische verhandeling Foundations of Economic Analysis (1947), identificeerde Paul Samuelson een gemeenschappelijk paradigma en gemeenschappelijke wiskundige structuur in meerdere velden in het onderwerp. Hij bouwde voort op eerder werk van Alfred Marshall. Foundations leende wiskundige concepten uit de natuurkunde en paste deze toe op economische problemen. Deze brede kijk (bijvoorbeeld het vergelijken van het principe van Le Chatelier met de Walrasiaanse tâtonnement) drijft het fundamentele uitgangspunt van de wiskundige economie: systemen van economische actoren kunnen worden gemodelleerd en hun gedrag kan net als elk ander systeem worden beschreven. Deze uitbreiding volgde op het werk van de marginalisten in de vorige eeuw. Hun werk werd nog aanzienlijk uitgebreid. Samuelson benaderde de problemen van de toepassing van individuele nutsmaximalisatie op geaggregeerde groepen door gebruik te maken van de comparatieve statica. Deze wetenschap vergelijkt twee verschillende evenwichtstoestanden na een exogene verandering in een variabele. Deze en andere methoden in het boek legden de basis voor de wiskundige economie van de tweede helft van de 20e eeuw.

Lineaire modellen

Beperkte modellen van algemeen evenwicht werden door John von Neumann in 1937 opgesteld. In tegenstelling tot eerdere versies bevatten de modellen van Von Neumann ongelijkheidsrestricties. Voor zijn model van een groeiende economie bewees von Neumann het bestaan en de uniciteit van een evenwicht door gebruik te maken van zijn veralgemening van de dekpuntstelling van Brouwer.

Lineaire optimalisatie 

Lineaire programmering werd tijdens de jaren 1930 in de Sovjet-Unie en in de jaren 1940 in de Verenigde Staten ontwikkeld om de toewijzing van middelen aan bedrijven en industrieën te helpen. Tijdens de Berlijnse luchtbrug in 1948 werd lineaire programmering ingezet om de verzending van goederen naar Berlijn te optimaliseren om zo te voorkomen dat Berlijn na de Sovjet-blokkade zou verhongeren.

Variatierekening en optimale controle 

Economische dynamica staat veranderingen toe over de economische variabelen in de tijd, daaronder ook dynamische systemen. Het probleem van het vinden van optimale functies voor deze veranderingen wordt in de variatierekening en in de optimale controletheorie bestudeerd. Voor de Tweede Wereldoorlog gebruikten Frank Ramsey en Harold Hotelling de variatierekening voor dit doel.

Verwiskundiging van de economie

In de loop van de 20e eeuw werden de artikelen in de "kerntijdschriften" in de economie bijna uitsluitend door academische economen geschreven. Als gevolg daarvan had veel van het in die tijdschriften gepubliceerde materiaal betrekking op de economische theorie, en is de "economische theorie zelf steeds abstracter en wiskundiger geworden."

Een subjectieve beoordeling van de wiskundige technieken, die in de deze kerntijdschriften worden toegepast, laat een daling van het aantal artikelen zien, die noch van meetkundige weergaven, noch van wiskundige notatie gebruik maakten zien van 95% in 1892 tot 5,3% in 1990. Een onderzoek uit 2007 van tien van de top economische tijdschriften constateerde dat in slechts 5,8% van de artikelen, die in de jaren 2003 en 2004 werden gepubliceerd, zowel een statistische analyse van data ontbrak en dat er ook geen wiskundige uitdrukkingen in werden getoond, die met getallen in de marge van de pagina werden geïndexeerd.

Econometrie 

Tussen de beide wereldoorlogen leidden vooruitgang in de wiskundige statistiek en een kader van wiskundig opgeleide economen tot de ontwikkeling van de econometrie als wetenschap. Econometrie was de voorgestelde naam voor de discipline, die de economie vooruit moest helpen door gebruik te maken van wiskunde en statistiek. Binnen de economie wordt "econometrie" vaak gebruikt voor statistische methoden en niet zozeer voor de wiskundige economie. Statistische econometrie houdt de toepassing van lineaire regressie en tijdreeksanalyse op economische gegevens in.

Ragnar Frisch bedacht het woord "econometrie" en hielp zowel in 1930 bij de oprichting van de Econometric Society als ook in 1933 bij de stichting van het economisch tijdschrift, Econometrica.

Een student van Frisch, Trygve Haavelmo publiceerde in 1944 The Probability Approach in Econometrics. In dat artikel beweerde Haavelmo dat nauwkeurige statistische analyse kan worden gebruikt als een instrument om wiskundige theorieën over economische actoren te valideren met gegevens uit complexe bronnen. Deze koppeling van de statistische analyse van systemen aan de economische theorie werd in de jaren 1930 en 1940 ook gepropageerd door de Cowles-Commissie (nu de Cowles Foundation).

Beoefenaren
Prominente wiskundige economen zijn en waren onder andere:

19e eeuw

20e eeuw

Voetnoten