Wallis-product
In de wiskunde is het Wallis-product, dat in 1655 werd geconstrueerd door John Wallis, een voorstelling van het getal  in de vorm van een oneindig product:

Afleiding
Wallis leidde zijn product af zoals dat tegenwoordig in de analyse wordt gedaan, namelijk door de waarde van  te vergelijken voor even en oneven , en door op te merken dat de waarde van de integraal bij grote  maar weinig verandert als  met 1 verhoogd wordt. Aangezien de infinitesimaalrekening zoals we die nu kennen, toen nog niet bestond en de inzichten uit de wiskundige analyse ontbraken om te kunnen spreken over convergentie, was dit resultaat voor Wallis een stuk lastiger te bewijzen; hij was er ook niet helemaal zeker over. Achteraf blijkt het Wallis-product een eenvoudig gevolg van de later ontdekte productformule voor de sinusfunctie.

Bewijs met Eulers oneindige productformule voor de sinusfunctie
De productformule voor de sinus luidt:

Met  volgt dan:

,
dus

Bewijs met een integraal
Definieer

Pas voor  partiële integratie toe, zodat

ofwel

Herhaalde toepassing hiervan voor  levert

en voor  volgt

Samen geven deze twee vergelijkingen

Er geldt

en

Omdat  een dalende rij is, geldt

Als  gaat de linkerkant naar 1, dus wegens de insluitstelling volgt

De bovenstaande formule kan dus worden herschreven tot

Relatie met de formule van Stirling
De formule van Stirling voor  zegt dat

als . Bekijk nu de eindige benaderingen van het Wallis-product, door alleen de eerste  factoren te nemen:

Dus kan  geschreven worden als

Door middel van substitutie van de formule van Stirling in deze uitdrukking (voor zowel  als ) blijkt (na een korte berekening), dat  naar  convergeert als .

ζ'(0)
De Riemann-zèta-functie en de Dirichlet-èta-functie zijn gedefinieerd als:

Als we een eulertransformatie op de tweede reeks toepassen, krijgen we het volgende:

Externe verwijzingen

Getal