Gegeneraliseerde vierhoek
In de wiskunde is een gegeneraliseerde vierhoek een incidentiemeetkunde gekenmerkt door de afwezigheid van driehoeken, maar waarin wel veel vierhoeken aanwezig zijn. Elke gegeneraliseerde vierhoek is een polaire ruimte van rang 2. Gegeneraliseerde vierhoeken vormen een deelklasse van gegeneraliseerde veelhoeken.

Definitie 
Een (dikke) gegeneraliseerde vierhoek is een incidentiestructuur  met  een incidentierelatie die voldoet aan bepaalde axioma's. Elementen van  zijn per definitie punten, elementen van  lijnen.

 Elk element in  is incident met minstens 2 elementen.
 Er is hoogstens 1 lijn door 2 verschillende punten.
 Voor elk punt  en lijn  niet door  bestaat er een punt  op  collineair met .
 Er bestaat een (gewone) vijfhoek.

Indien enkel de eerste drie axioma's gelden, spreekt men van een dunne gegeneraliseerde vierhoek. Bijvoorbeeld een  grid:  en .

Uit de axioma's (met het vierde!) volgt dat er parameters  zijn zodat:
 , op elke lijn liggen exact  punten.
 , door elke punt gaan exact  lijnen.

Merk op dat deze parameters ook oneindig mogen zijn. Een gegeneraliseerde vierhoek met parameters  wordt ook genoteerd als  (Generalized Quadrangle).

Voor dunne gegeneraliseerde vierhoeken hoeven er geen parameters  en  te zijn. Een  rooster vormt bijvoorbeeld een dunne gegeneraliseerde vierhoek waarbij sommige rechten drie punten hebben en andere vier.

Alternatieve axioma's zijn ook mogelijk. Men kan bijvoorbeeld uitgaan van de eis dat er geen (gewone) driehoeken zijn en elke twee elmenten bevat zijn in een (gewone) vierhoek. Het tweede axioma hierboven kan men dan opvatten als het niet bestaan van tweehoeken. Het laatste axioma kan men vervangen door minstens drie punten per lijn en drie lijnen door een punt.

Het kleinste niet-dunne voorbeeld is . De representatie hiervan werd 'De Doily' genoemd door Stan Payne in 1973.

Eigenschappen 
Indien  en  beide eindig zijn en groter dan 1, gelden de volgende eigenschappen:
 
 
 
  en

Grafen 
Er zijn twee interessante grafen te associëren met een gegeneraliseerde vierhoek:
 De collineariteitsgraaf met de punten als toppen en als bogen collineaire punten. Dit is een sterk reguliere graaf.
 De incidentiegraaf met als punten alle elementen van  en een boog als de twee elementen incident zijn. Dit is een samenhangende bipartiete graaf met diameter 4 en taille 8.

Dualiteit 
Als  een gegeneraliseerde vierhoek is met parameters , dan is  ook een gegeneraliseerde vierhoek. De parameters van deze nieuwe gegeneraliseerde vierhoek zijn .

Deze duale structuur is niet noodzakelijk isomorf met het origineel.

Restrictie van de parameters 
Indien er in een dunne gegeneraliseerde vierhoek parameters zijn, zijn alle parameters  en  met  een geheel getal mogelijk. Voor dikke gegeneraliseerde vierhoeken zijn enkel volgende mogelijke eindige parameters gekend met  de macht van een priemgetal:
 
  en 
  en 
  en

Zie ook 
 Polaire ruimten
 Gegeneraliseerde veelhoek
 Projectieve meetkunde
 Gebouwentheorie
 Kwadriek

Wiskunde
Meetkunde