Orthogonale polynomen
In de wiskunde is een stelsel orthogonale polynomen een rij polynomen van toenemende graad die onderling orthogonaal zijn met betrekking tot een of ander inproduct. Veel gebruikte en bekende stelsls zijn de hermite-polynomen, de laguerre-polynomen, de legendre-polynomen, de jacobi-polynomen en de chebyshev-polynomen. Orthogonale polynomen treden op als oplossingen van speciale differentiaalvergelijkingen en vinden toepassing in numerieke benaderingen van integralen.

Definitie
Een stelsel polynomen , waarin  een polynoom van de graad  is, heet orthogonaal op het interval  met betrekking tot de gewichtsfunctie , als voor  geldt:

Als de polynomen genormeerd zijn, d.w.z.

dan heet het stelsel orthonormaal:

met  de kroneckerdelta, dus 1 als  en 0 .

Constructie
Een stelsel orthogonale polynomen kan geconstrueerd worden door orthogonalisering van de rij eenvormen  met behulp van de Gram-Schmidtmethode.

De coëfficiënten van de polynoom  uit een orthogonaal stelsel volgen, op een schaalfactor na, ook uit de eis dat  orthogonaal moet zijn met de voorgaande polynomen .

Voorbeeld
Een orthogonaal stelsel voor het interval  en gewichtsfunctie  wordt bepaald door:

, want
, dus 
, want
, dus .
, dus .
Enzovoort; steeds is 1 als coëfficiënt van de hoogste macht gekozen.

De berekeningen kunnen sterk vereenvoudigd worden door de constatering dat
 vanwege de orthogonaliteit met , voor alle overige polynomen geldt:

 vanwege de orthogonaliteit met  en  , alle  polynomen slecht uit alleen even machten of alleen oneven machten van  bestaan.

Zo krijgt men:
, want
, dus .

Met de Gram-Schmidtmethode, met het inproduct

krijgt men:

, want 

, 
want , en

Voorbeelden van orthogonale stelsels
{| class="wikitable" style="text-align:center";

|+ Tabel

|-
!colspan=2|Integratiegrenzen
! gewichtsfunctie 
! polynomen
|-
| 
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
| legendre-polynoom
|-
| 
| 
|
| jacobi-polynoom
|-
| 
| 
| 
| chebyshev-polynoomeerste soort
|-
| 
| 
| 
| chebyshev-polynoomtweede soort
|-
| 
| 
| 
| hermite-polynoom
|-
| 
| 
| 
| laguerre-polynoom
|-
| 
| 
| 
| geassocieerdlaguerre-polynoom
|}

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.

Veelterm