Cyclische groep
In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclische groep een groep die door een enkel element kan worden voortgebracht. Dat element wordt de voortbrenger van de groep genoemd. Dat houdt in dat bij een multiplicatieve schrijfwijze, ieder element van de groep een macht is van de voortbrenger. Wanneer de notatie additief is, is ieder element een veelvoud van de voortbrenger. De cyclische groepen zijn commutatief, in vergelijking met andere groepen eenvoudig in hun beschrijving en volledig geclassificeerd.

Het gaat wanneer groepen als cyclische groep worden aangemerkt meestal om eindige cyclische groepen.

Definitie 
Een groep  wordt cyclisch genoemd als er een element  is zodanig dat 
 
Daarin is
 

Aangezien een groep die door een element in die groep wordt voortgebracht, een ondergroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element  bestaat zodanig dat  zelf de enige ondergroep is waar  element van is.

Voor elk positief geheel getal  is er precies één cyclische groep (tot op isomorfisme) waarvan de orde  is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.

Voorbeelden 
 De groep van rotaties van een regelmatige veelhoek vormen een cyclische groep. Een dergelijke cyclische groep is dus een rotatiegroep. Bijvoorbeeld zijn er vijf rotaties, waaronder de identiteit, die de regelmatige vijfhoek op zichzelf afbeelden.

  Als  een groep is van zes elementen, dan is  en is  cyclisch. Voor  kan de 6-e complexe eenheidswortel  worden genomen. De zes machten van  vormen een cyclische groep onder de vermenigvuldiging.  is een primitief element, maar  is dit niet, omdat de oneven machten van  geen macht van  zijn.

 De cyclische groep  is een ondergroep van de dihedrale groep .

 Een cyclische groep kan met de factorgroep  worden aangeven, waarin  de orde is, die ook  kan zijn. Bijvoorbeeld is in , met  als voortbrenger: , terwijl 3 + 4 = 2 in .

  is qua groepsstructuur hetzelfde als, is isomorf met, de verzameling , waarbij optellen met modulair rekenen is gedefinieerd, dus er  wordt gerekend. Zo correspondeert 1 + 2 = 3 (mod 6) met   en 2 + 5 = 1 (mod 6) met . Men kan gebruikmaken van het isomorfisme  gedefinieerd door . 

 Een voorbeeld van een cyclische groep is , die uit de getallen  bestaat met als groepsbewerking optellen modulo 10. Deze groep kan worden voortgebracht door het element 3.

 3 + 3 = 6
 6 + 3 = 9
 9 + 3 = 12 = 2 mod 10
 2 + 3 = 5
 5 + 3 = 8
 8 + 3 = 11 = 1 mod 10
 1 + 3 = 4
 4 + 3 = 7
 7 + 3 = 0
 0 + 3 = 3

 Zo zijn alle elementen binnen de groep gevormd.

 Aangezien de cyclische groepen abels zijn, worden zij vaak additief geschreven en aangeduid door . Deze notatie strookt niet met de notatie in de getaltheorie, omdat dat daar de gebruikelijke notatie voor -adische getallenringen is van lokalisatie van een priemideaal.

 De cirkelgroep, waarvan het aantal elementen overaftelbaar is, geen cyclische groep. Een cyclische groep heeft namelijk altijd een aftelbaar aantal elementen.

 Verschillende cyclische groepen met hetzelfde aantal elementen zijn isomorf.  met daarbij optellen modulo vier,  met daarbij vermenigvuldigen modulo vijf en  met daarbij vermenigvuldigen zijn drie cyclische groepen met vier elementen. Zij zijn isomorf, hebben dezelfde cayley-tabel en komen overeen met .

Kristallografie 
Bij eindige symmetriegroepen in drie dimensies, die in de kristallografie worden gebruikt, wordt voor rotatiegroepen en abstracte cyclische groepen vaak een aparte notatie gebruikt, bijvoorbeeld  en .

Groepentheorie