Categorie (wiskunde)
Dit artikel slaat op het begrip categorie uit de wiskundige categorietheorie. Voor het topologische begrip met dezelfde naam, zie categorie (topologie).

In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een categorie een klasse van objecten met overeenkomstige structuur, en morfismen tussen die objecten die de overeenkomst tussen de objecten symboliseren. De categorietheorie is een zeer abstracte theorie, die behoort tot de wiskundige logica, en door zijn algemeenheid toegepast kan worden op vele andere wiskundige gebieden, zoals de topologie, de verzamelingenleer, de groepentheorie en de algebra. Een aantal stellingen en definities binnen deze takken van wiskunde blijken slechts in termen van de objecten en afbeeldingen ertussen te kunnen worden uitgedrukt.

Voorbeeld
In de categorie van groepen zijn de objecten alle groepen, en de afbeeldingen zijn de homomorfismen tussen de groepen, afbeeldingen die de structuur van de groep behouden. Bij ieder homomorfisme hoort een domein, de groep waarop het homomorfisme gedefinieerd is, en een codomein, de groep waarin het homomorfisme afbeeldt. Bij elke groep bestaat het isomorfisme van die groep naar zichzelf, de identieke afbeelding die bij dat object hoort. Verder kunnen twee homomorfismen waarvan het codomein van het eerste dezelfde groep is als het domein van het tweede homomorfisme, samengesteld worden tot een nieuw homomorfisme.

Definitie
In de hiernavolgende definitie is het belangrijk de begrippen verzameling en klasse van elkaar te onderscheiden. Het woord verzameling slaat op een klasse die klein genoeg is om een kardinaalgetal te hebben. We kunnen spreken over de "verzameling der rationale getallen" of over de "klasse der rationale getallen", maar we kunnen het alleen maar hebben over de "klasse der groepen": deze laatste klasse kan geen verzameling zijn, omdat er groepen bestaan met iedere willekeurige kardinaliteit behalve 0.

Een categorie  wordt gegeven door:
 een klasse  van objecten, meestal aangegeven met hoofdletters ; 
 voor ieder geordend paar objecten  en  een verzameling  van morfismen of pijlen, meestal aangegeven met kleine letters . Een morfisme  heeft het object  als bron en het object  als doel. Naar analogie met een afbeelding wordt het morfisme zelf vaak genoteerd met een pijl: , en bron en doel respectievelijk genoteerd als  en  en ook aangeduid als domein en codomein. Als uit de context duidelijk is welke categorie bedoeld wordt, noteert men de verzameling  eenvoudigweg als ; de verschillende verzamelingen morfismen zijn paarsgewijs disjunct;
 voor ieder geordend drietal objecten  een operator samenstelling

die aan twee morfismen  en , dus met  het morfisme  (uitgesproken als g na f) toevoegt, ook kortweg genoteerd als 
Van de samenstelling wordt geëist dat ze op de te verwachten wijze associatief is, dat wil uitdrukkelijk zeggen dat in de situatie ,  en  geldt:
;
 het bestaan bij ieder object  van een uniek morfisme, het identiteitsmorfisme , dat neutraal element is voor de samenstelling, waarvoor dus voor  geldt dat  en .

Notatie
 Voor de verzameling homomorfismen  schrijft men ook ,  of  
 Het morfisme  wordt ook genoteerd als  
 Het identiteitsmorfisme van het object  wordt ook wel aangeduid door  
 De klasse van alle morfismen van een categorie  wordt wel genoteerd als  of , afgeleid van het Engelse 'arrow', het Franse 'flèche' en het Duitse 'Pfeil'.

Opmerkingen
 Er kunnen meerdere morfismen zijn met dezelfde bron en hetzelfde doel
 De uniciteit van het identiteitsmorfisme volgt uit zijn eigenschappen, want stel dat  enig identiteitsmorfisme van  is, dan volgt:

De klasse van objecten en de klasse van morfismen zijn meestal te groot om formeel als verzameling te kunnen worden opgevat. Zo bestaat er bijvoorbeeld geen verzameling die alle verzamelingen bevat (zie Russellparadox), terwijl we toch graag de categorie der verzamelingen en hun onderlinge afbeeldingen willen bestuderen (zie Set hieronder). Een van de uitwegen is de creatie van het begrip "klasse" dat ruimer is dan het verzamelingenbegrip; de axiomatische verzamelingenleer van Gödel en Bernays formaliseert deze aanpak.

Als de klasse van objecten en de klasse van morfismen beiden echte verzamelingen zijn, spreekt men soms van een kleine categorie.

Voorbeelden
Onderstaande tabel geeft de standaardnamen van enkele veel bestudeerde categorieën. Met  wordt een vaste (associatieve, maar niet noodzakelijk commutatieve) ring met eenheidselement bedoeld.
{| class="wikitable" width="40%"
! Categorie || Objecten || Morfismen
|-
| Set
| Verzamelingen
| Afbeeldingen
|-
| Grp
| Groepen
| Homomorfismen
|-
| Ab
| Abelse groepen
| Homomorfismen
|-
| Top
| Topologische ruimten
| Continue afbeeldingen
|-
| 
| Linker -modulen
| -lineaire afbeeldingen
|}

Als we  het lichaam der reële getallen nemen, dan bekomen we de categorie  der reële vectorruimten.

Als  een verzameling is en  een relatie tussen  en  die reflexief en transitief is, dan kunnen de elementen van  worden opgevat als objecten van een kleine categorie en de koppels van  als de morfismen van die categorie. Uit dit voorbeeld blijkt dat morfismen niet altijd afbeeldingen tussen verzamelingen moeten zijn, en dat de verzameling morfismen tussen twee objecten ook leeg kan zijn.

Functoren
Zie Functor voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een functor tussen twee categorieën  en  associeert met ieder object  van  een object  van  en met ieder morfisme  van  een morfisme  van  op een manier die de samenstelling van morfismen en de identiteitsmorfismen respecteert.

Geschiedenis
De grondslag voor de theorie van categorieën en functoren werd gelegd in een paper van Eilenberg en MacLane uit 1945. Verdere ontwikkeling begon ongeveer tien jaar later.

Literatuur 
 J Adámek, H Herrlich en GE Strecker. Abstract and Concrete Categories, The Joy of Cats, 2004.  ISBN 0-471-60922-6
 J-P Marquis. Category Theory, 2019. voor de Stanford Encyclopedia of Philosophy

Categorietheorie
Abstracte algebra