Struve-functie
In de wiskunde is de Struve-functie een speciale functie die in 1882 werd geïntroduceerd door de astronoom Hermann Struve tijdens zijn theoretisch onderzoek van diffractieverschijnselen in de optica. De functie heeft inmiddels toepassingen gevonden in de wiskunde, de optica, de hydrodynamica en de akoestiek. De functie wordt meestal voorgesteld door  waarin  de orde aangeeft. De Struve-functie beschrijft oplossingen van de Besselse differentiaalvergelijking.

Definitie 

De Struve-functie  van de eerste soort is een particuliere oplossing van de volgende inhomogene besselse differentiaalvergelijking met speciaal tweede lid

 

waarin  de Gammafunctie voorstelt. Het complexe getal  geeft de orde aan van de Struve-functie en is meestal een geheel getal.

Reeksontwikkeling 
Struve-functies, aangeduid als , kunnen weergegeven worden door de volgende machtreeksen.

waarin  de Gammafunctie is.

Integraalvoorstelling 
Struve-functie kunnen ook door een integraal voorgesteld worden voor 

Een andere voorstelling krijgt men door de substitutie .

Recursieformules 
De Struve functie voldoet aan de volgende recursierelaties:

Integralen 
Uit de vierde recursieformule volgt onmiddellijk de integraal:
.

De volgende integraal wordt ook wel de Struve-integraal genoemd:

Asymptotische ontwikkeling 
Voor kleine  gebruikt men de gegeven bovenstaande machtreeksontwikkeling.

Voor grote  verkrijgt men:

waarin  de besselfunctie van de tweede soort van de orde  is. Alleen de eerste term van deze expansie is weergegeven.

Benaderende formules 
In de wetenschappelijke literatuur vindt men vele benaderingsformules voor de Bessel- en de Struve-functies. De meeste daarvan splitsen het gebied van  op in een gebied waar  klein is en een gebied waar  groot is. Zo publiceerde J. Newman  nauwkeurige veeltermbenaderingen voor  en voor . Een effectieve benadering voor , die geldig is voor alle waarden van  met een maximale absolute fout van 0,0049, wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

waarin  de besselfunctie van de eerste soort en orde 0 is. Met behulp van de vierde recursieformule kan men dan een benadering voor  krijgen met een maximale absolute fout van 0,0063. Door gebruik te maken van een soortgelijke maar verbeterde methode kon de nauwkeurigheid voor  en  opgevoerd worden tot een maximale absolute fout van respectievelijk 0,00125 en 0,00185. De verbeterde nauwkeurigheid opent de weg naar nauwkeuriger benaderingen voor de hogere orde Struve-functies  met  en dit met behulp van de eerste recursieformule.

Literatuur
Milton Abramowitz & Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York; isbn 978-0-486-61272-0 1972.

Externe link
Struve functies op the Wolfram functies website.
Struve functions and related functions

Struve