Symmetrische functie
De definitie van een symmetrische functie hangt van het aantal argumenten af waarop de functie werkt. De definitie voor een symmetrische functie met een argument is anders dan voor een symmetrische functie met meer argumenten.

 Een symmetrische functie  in een variabele  is een functie, waarvan de grafiek symmetrisch is om de -as, dus zodat voor alle  in het domein van  geldt dat .

 Een symmetrische functie in meer variabelen is een functie of afbeelding waarvan de functiewaarde niet verandert bij onderlinge verwisseling van de argumenten.

Een variabele 
Een symmetrische functie  in een variabele  is een functie  die symmetrisch is om de -as, dus zodat voor alle  in het domein van  geldt dat .

Een functie  in een variabele is antisymmetrisch wanneer voor alle  geldt dat . Een antisymmetrische functie is puntsymmetrisch om de oorsprong.

Meer variabelen

Definitie 
De functie  gedefinieerd op het -voudige cartesische product van een verzameling  heet symmetrisch, als voor alle 
 en permutaties  van de getallen  geldt:
 

Van een symmetrische functie in  variabelen is de functiewaarde van ieder -tupel  dus gelijk aan die voor alle permutaties van .

Voorbeelden 
 De functie 
 

 is symmetrisch. Het verwisselen van de variabelen verandert de uitkomst niet. Maar voor de functie 
 

 is dat niet zo, want 
  en 

 zijn niet voor alle mogelijke invoerwaarden van  en   hetzelfde.

 Elementair symmetrische polynomen
 
 Het inwendige product  is symmetrisch in de twee vectoren  en .

Antisymmetrie 
Een functie kan ook antisymmetrisch zijn. Verwisseling van twee variabelen geeft dan een tekenwisseling in de functiewaarde. Een eenvoudig voorbeeld is

 

want

 

Bij antisymmetrische functies van meer dan twee variabelen volgt het teken van het resultaat de pariteit van de permutatie, dat wil zeggen of het aantal verwisselingen in de permutatie even of oneven is.

Bewerking 
Een functie van twee variabelen wordt soms in infixnotatie geschreven en een binaire operatie genoemd. Als de functie symmetrisch is wordt de operatie commutatief genoemd.

Een functie van meer dan twee variabelen kan worden gemaakt door het herhaald toepassen van een binaire operatie, bijvoorbeeld . Om op deze manier een symmetrische functie te krijgen moet de operatie behalve commutatief ook associatief zijn. Merk op dat associatieve operaties niet commutatief hoeven te zijn. Een voorbeeld is matrixvermenigvuldiging, waar het resultaat over het algemeen anders is bij een verwisseling van linker en rechter operand.

Websites 
 MathWorld. Symmetric Function.

Wiskundige functie