Potentiaal
De potentiaal op een plaats is een natuurkundige grootheid die op een bepaalde manier samenhangt met de kracht die een deeltje op die plaats ondervindt. Ieder type kracht heeft zijn eigen potentiaal; met andere woorden, op één plaats kunnen er verschillende potentialen gelden. De potentiaal behorend bij een kracht is in de meeste gevallen niet eenduidig bepaald: er is een zekere ijkvrijheid om de potentiaal bijvoorbeeld overal met dezelfde hoeveelheid op te hogen zonder dat het iets verandert aan de fysische situatie. De potentiaal kan de vorm hebben van een getal dat per plaats bepaald is, met eventueel een eenheid (een scalaire potentiaal, zoals de potentiaal van de zwaartekracht of van de elektrische kracht), of een andere vorm (bijvoorbeeld een vectorpotentiaal zoals bij de magnetische kracht).

Definitie
Het basisidee achter een potentiaal is dat deze zodanig gekozen wordt, dat het (kracht)veld ter plaatse gelijk is aan een maat van de mate waarin de potentiaal verandert, zoals de gradiënt of de rotatie van de potentiaal. Met het veld wordt bedoeld de kracht die één eenheid 'lading' (massa, elektrische lading, e.d.) ter plaatse zou ondervinden – het elektrische veld bijvoorbeeld is de elektrische kracht die een voorwerp met een lading van 1 coulomb zou ondervinden als het zich daar bevond. In verschillende gevallen neemt de potentiaal en zijn precieze relatie met het veld verschillende vormen aan.

Voorbeelden van potentialen
Hier volgen enkele voorbeelden van de vorm die de potentiaal kan hebben en de relatie tussen potentiaal en veld.

Centrale krachten
Bij centrale krachten is het veld van een krachtbron overal naar of vanaf die krachtbron gericht. Voorbeelden zijn het zwaartekrachtsveld van een bolsymmetrische massaverdeling (steeds naar het middelpunt van bijvoorbeeld de aarde gericht) en het elektrische veld (het veld van een atoomkern is steeds van die kern af gericht). De potentiaal van zo'n veld is een scalair: op iedere plaats  is er een getal  en dat is de potentiaal ter plaatse. Je kunt  opvatten als de potentiële energie die een eenheid massa of elektrisch lading (afhankelijk van om welk veld het gaat) ter plaatse heeft (bijvoorbeeld de zwaarte-energie van een voorwerp van 1 kilogram).

Het veld  is dan het tegengestelde van de gradiënt van de potentiaal :

De potentiaal  neemt dus af in de richting van het veld. Zo is de potentiaal van de zwaartekracht van de aarde het laagst in het middelpunt van de aarde en het hoogst 'oneindig' ver weg van de aarde. Hoe hoog dat precies is, kan vrij gekozen worden: als  overal met hetzelfde bedrag verhoogd wordt, verandert er niets aan ; dit heet ijkvrijheid. Meestal kiest men die verhoging zo, dat de potentiaal oneindig ver weg gelijk is aan 0. Met die keuze komen de potentialen er als volgt uit te zien.

Coulombpotentiaal
Het elektrisch veld veroorzaakt door een elektrische lading  in de oorsprong is gericht vanaf die lading als die positief is en er naartoe als die negatief is:

waarin de  de permittiviteit van het vacuüm is:  F/m.

De grootte is:

De coulombpotentiaal of elektrische potentiaal is

,

dus 0 in het oneindige en elders positief als  en negatief als . Overigens heeft een zeer groot, geleidend lichaam zoals de aarde in deze definitie ook potentiaal 0. Wanneer we een punt in een elektrische schakeling "aarden", zorgen we dus dat dat punt potentiaal 0 krijgt.

Zwaartekrachtspotentiaal
Het zwaartekrachtsveld veroorzaakt door een massa  is naar die massa toe gericht. Met de massa in de oorsprong is het zwaartekrachtsveld (valversnellingsveld)

waarin  de gravitatieconstante is:  N m²/kg2. Verder is  de afstand tot de massa.

De grootte van het veld  is:

De zwaartekrachtspotentiaal is

,

dus 0 in het oneindige en elders negatief. Overigens gelden deze formules alleen in de klassieke mechanica, met de zwaartekrachtswet van Newton. In de algemene relativiteitstheorie ligt het iets anders, er is geen sprake van een vectorveld maar het 'gravitatieveld' wordt beschreven door een tensor.

Binnen een klein gebied varieert de zwaartekrachtspotentiaal bij benadering lineair. Zo kun je de potentiaal vlak bij het aardoppervlak benaderen door

waarin  het zwaartekrachtsveld of de valversnelling is, en  de hoogte boven het aardoppervlak (en waarbij gekozen is het nulniveau van de potentiaal op het aardoppervlak te leggen, wat kan vanwege de ijkvrijheid).

Yukawa-potentiaal
In de beginjaren van de kernfysica was er nog geen kwantumchromodynamica (QCD), de theorie van de quarks en gluonen. Protonen en neutronen waren de bekende kerndeeltjes. Yukawa had een theorie over de aantrekking tussen deze deeltjes. Het veld van die sterke kernkracht werd beschreven met door de Yukawa-potentiaal:

,

waarin  een (negatieve) constante is en  het bereik van de interactie ( hangt samen met de massa van het π-meson of pion, dat de Yukawa-kracht overbrengt). Door de extra exponentiële factor neemt zowel deze potentiaal als het ervan afgeleide veld snel af wanneer de afstand groter wordt. Buiten de atoomkern is dan ook weinig te merken van de sterke kernkracht.

Niet-centrale krachten
Niet-centrale krachten lenen zich in het algemeen niet voor beschrijving met een scalarpotentiaal. Als voorbeeld hier de potentiaal behorend bij een magnetisch veld.

Magnetische potentiaal

Een magnetisch veld  is niet altijd in de richting van de bron (de magneet) gericht. We kunnen het beschrijven met een vectorpotentiaal . Deze potentiaal heeft overal de vorm van een vector, dus niet alleen een grootte maar ook een richting. De relatie tussen de twee is nu:

Het veld is in dit geval de rotatie van de potentiaal. Ook hier is er een ijkvrijheid: tot op zekere hoogte is  te veranderen zonder dat het invloed heeft op de fysische situatie die beschreven wordt. In dit geval mag je bij  ieder vectorveld optellen dat zelf de gradiënt van een scalair veld  is:

Deze ijktransformatie laat  onveranderd en de veranderde potentiaal geeft dus nog dezelfde fysische situatie weer.

De potentiaal in geval van meerdere bronnen
Zijn er meerdere krachtbronnen aanwezig, dan wordt het veld van die bronnen normaal gesproken opgeteld. Aangezien de potentiaal een rechtstreeks verband met het veld heeft, kun je dan ook de potentialen horend bij hetzelfde type veld bij elkaar optellen. Dus om de totale elektrische potentiaal te vinden, tel je de elektrische potentialen bij elkaar op; voor de gravitatiepotentiaal tel je de potentialen veroorzaakt door de aanwezige massa's bij elkaar op, enzovoort. Vaak wordt de totale potentiaal veroorzaakt door een bron berekend met een integraal over alle punten van de bron.

In sommige gevallen is dat echter niet mogelijk. Theorieën als de quantumelektrodynamica (QED) en de quantumchromodynamica (QCD) vertonen sterk niet-lineair gedrag, waarbij de aanwezigheid van een veld op zichzelf weer allerlei effecten veroorzaakt. De aanwezigheid van twee velden leidt dan tot weer andere effecten — met andere woorden, je kunt hier niet zomaar potentialen optellen; het geheel is meer dan de som der delen.

Betekenis van de potentiaal
Misschien lijkt het werken met potentialen slechts een handigheidje om berekeningen makkelijker te maken. Vooral door de ijkvrijheid en de soms negatieve waarde van de potentiaal lijkt dit aannemelijk. Daarom zou men kunnen denken dat de potentiaal niet echt fysieke 'realiteit' is, maar een soort wiskundige constructie — het veld of de kracht is het werkelijke verschijnsel. Dat is in de klassieke mechanica wel vol te houden, maar in de kwantummechanica komen verschijnselen voor die op het tegendeel duiden. Bij interferentie van licht dat door een dubbele spleet valt, ontstaat een patroon van strepen. Het neerzetten van een dunne buis waarin een magnetisch veld loopt, verandert dat patroon, zelfs als dat veld nergens door de lichtstralen heen loopt. Dit zogeheten Aharonov-Bohm-effect kan verklaard worden doordat de magnetische vectorpotentiaal  wél door de baan van het licht heen loopt. Dat betekent dat de potentiaal  wel degelijk een fysische realiteit heeft, misschien nog wel meer dan het magnetische veld.

Zie ook
 Elektrische spanning
 Elektrodepotentiaal
 Elektromagnetisme
 Fundamentele natuurkracht
 Magnetisme
 Potentiaalverschil
 Potentiële energie
 Zwaartekrachtsveld
 Conservatief vectorveld
 Conservatieve kracht

Veldentheorie