Vierkante matrix
Een vierkante matrix is een matrix die evenveel rijen als kolommen bevat. Als er  rijen zijn, dan zijn er dus ook  kolommen en spreekt men van een -matrix.

Vierkante matrices worden onder meer gebruikt om lineaire transformaties, zoals lineaire vervorming en rotatie weer te geven. Als bijvoorbeeld  een vierkante matrix is die een rotatie, dus een rotatiematrix is, en  een kolomvector is die de plaats van een punt in de ruimte aangeeft, dan is het product  een andere kolomvector die de positie van dat punt na de uitgevoerde rotatie beschrijft. Als  een rijvector is, ontstaat dezelfde transformatie door de vermenigvuldiging  waarin  de getransponeerde matrix van  is.

Hoofddiagonaal 
De elementen  vormen de hoofddiagonaal van de -matrix . Ze liggen op de hoofddiagonaal die van de linkerbovenhoek naar de rechterbenedenhoek van de matrix loopt. In de in de afbeelding gegeven -matrix liggen de elementen  en  op de hoofddiagonaal.

De diagonaal die in een vierkante matrix van de rechterbovenhoek naar de linkerbenedenhoek loopt, wordt de antidiagonaal of tegendiagonaal genoemd.

Soorten 
 {| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Naam !! Voorbeeld met 
|-
| diagonaalmatrix || style="text-align:center;" | 
|-
| benedendriehoeksmatrix || style="text-align:center;" | 
|-
| bovendriehoeksmatrix || style="text-align:center;" | 
|}

Driehoeksmatrix 
Als alle elementen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, spreekt men van een benedendriehoeksmatrix. Zijn de alle elementen onder de hoofddiagonaal gelijk aan nul, dan spreekt men van een bovendriehoeksmatrix.

Diagonaalmatrix 
Als alle elementen van een vierkante matrix behalve die op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul, wordt die matrix een diagonaalmatrix genoemd.

Identiteitsmatrix 
De identiteitsmatrix  van de orde  is de -diagonaalmatrix waarin alle elementen op de hoofddiagonaal gelijk zijn aan 1:

Vermenigvuldiging van een matrix met de identiteitsmatrix van dezelfde orde, laat de matrix ongewijzigd. Voor elke -matrix  geldt

Inverse matrix 
Een vierkante -matrix  wordt inverteerbaar of regulier genoemd, als er een matrix  bestaat zodanig dat
 .
Wanneer dat niet het geval is, wordt de matrix  singulier genoemd.

Als  bestaat is deze matrix uniek, men noemt  de inverse matrix van  en noteert . 
Wanneer  een reguliere -matrix is, spannen de  kolomvectoren van  een -dimensionale ruimte op. Die  kolomvectoren zijn dan lineair onafhankelijk van elkaar. 

Wanneer  singulier is spannen de kolomvectoren van  niet de hele -dimensionale ruimte op, maar kunnen daar nog wel een deelruimte van opspannen. De dimensie van die deelruimte is dan kleiner dan . Deze deelruimte heet het bereik van . Er zijn dan andere vectoren dan de nulvector die door op  op de nulvector worden afgebeeld. De deelruimte van vectoren, die door  op de nulvector worden afgebeeld heet de kern van .

De kern van een reguliere matrix bestaat dus alleen uit de nulvector. Het is volgens de dimensiestelling voor iedere vierkante matrix, zo dat de som van de rang, dat is de dimensie van de kern en van de rang van het bereik gelijk aan de dimensie van de ruimte zelf is, dus aan .

De inverteerbare -matrices vormen met de bewerking matrixvermenigvuldiging een groep met als neutraal element de eenheidsmatrix van de orde . Die groep is de algemene lineaire groep.

Symmetrische en antisymmetrische matrix 
Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan haar getransponeerde; dus  is symmetrisch als:
 

Een antisymmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van haar getransponeerde; dus  is antisymmetrisch als:

Hermitische matrix 
In veel gevallen spelen hermitische matrices bij de complexe matrices een vergelijkbare rol als de symmerische matrices bij reële matrices. Een hermitische matrix is een vierkante complexwaardige matrix die gelijk is aan haar geconjugeerde getransponeerde matrix.

Vanwege de spectraalstelling hebben zowel reële symmetrische matrices als complexe hermitische matrices een basis van eigenvectoren, dat wil zeggen dat iedere vector als een lineaire combinatie kan worden uitgedrukt van eigenvectoren. In beide gevallen zijn alle eigenwaarden reëel. Deze stelling geldt zelfs in oneindig-dimensionale ruimten die gerelateerd zijn aan matrices met oneindig veel rijen en kolommen.

Matrix