Kruiscorrelatie
In de signaalverwerking geeft de kruiscorrelatie aan in welke mate de golfvorm van twee signalen met onderling een eventuele verschuiving in de tijd op elkaar lijken. De kruiscorrelatie wordt ook wel glijdend inwendig product genoemd. Hij wordt veel gebruikt om in een langdurend signaal naar een kortdurend patroon te zoeken, of om van een tweede signaal na te gaan of het mogelijk een vertraagde versie is van een eerder signaal en hoe groot de vertraging is. Als er namelijk sprake is van een vertraagd signaal of als inderdaad het gezochte patroon voorkomt, zal de kruiscorrelatie bij het onderhavige tijdsverschil een maximum vertonen. Van kruiscorrelatie wordt onder meer gebruikgemaakt bij patroonherkenning, cryptoanalyse en in allerlei tomografische onderzoeken in de geneeskunde.

Definitie
Er bestaan verschillende definities van het begrip kruiscorrelatie(functie), die echter alle gebaseerd zijn op de gecumuleerde producten van de onderling verschoven signaalsterkten. De kruiscorrelatie is strikt genomen geen correlatiecoëfficiënt, maar bestaat juist uit de term daaruit die bij de meeste toepassingen relevant is. Soms spreekt men daarom wel van kruiscovariantie, een term die in de meeste gevallen beter, hoewel ook niet volledig aansluit bij het begrip covariantie.

Voor continue energiesignalen, dat wil zeggen kwadratisch integreerbare, continue functies  en , is de kruiscorrelatie(functie) voor een tijdverschuiving  gedefinieerd als:

Voor discrete energiesignalen, gegeven op equidistante tijdstippen met tijdsverschil , wordt de kruiscorrelatie(functie) op soortgelijke wijze voor een tijdverschuiving van  keer  gedefinieerd als:

In deze formules is  de complex geconjugeerde van .

De kruiscorrelatiefunctie lijkt op de convolutie van twee functies, vandaar ook de als tweede vermelde manier van noteren. Terwijl bij de convolutie het signaal wordt omgekeerd, vervolgens wordt verschoven en dan met een ander signaal wordt vermenigvuldigd, wordt bij kruiscorrelatie het signaal alleen verschoven en vermenigvuldigd, dus niet omgekeerd. Het gebruikte symbool  voor de operatie, lijkt wel veel op het teken  voor convolutie, maar is uiteraard een ander.

De kruiscorrelatie van een functie met zichzelf wordt autocorrelatie genoemd.

In de econometrie wordt vertraagde kruiscorrelatie ook wel kruis-autocorrelatie genoemd.

Hoewel kruiscorrelatie wel verwant is met het begrip correlatie uit de kansrekening en de statistiek, is het geen correlatiecoëfficiënt in de daar gebruikelijke betekenis. Een correlatiecoëfficiënt is zodanig genormeerd dat de waarde altijd tussen −1 en +1 ligt, wat bij kruiscorrelatie niet het geval is. Kruiscorrelatie is beter vergelijkbaar met het begrip covariantie, waarvan de correlatiecoëfficiënt de genormeerde waarde is.

Voor sommige andere signalen, waarvoor de bovengenoemde definitie niet toepasbaar is, kan een alternatieve definitie gegeven worden met dezelfde toepassingsmogelijkheden als de eerdere definitie.

Als voor de reëelwaardige functies  en  de in de definitie genoemde limiet bestaat, wordt voor deze functies de kruiscorrelatie(functie) voor een tijdverschuiving  gedefinieerd als:

Analoog wordt voor discrete functies  en  gedefinieerd:

Van deze laatste twee definities bestaan allerlei gelijkwaardige varianten.

Eigenschappen 
 De kruiscorrelatie van de functies  en  is gelijk aan de convolutie van de geadjungeerde van de functie , gedefinieerd door  en . Er geldt:

 Als hetzij , hetzij  een hermitische functie is, dat wil zeggen of  of , dan is de kruiscorrelatie gelijk aan de convolutie:

 De autocorrelatie van de kruiscorrelatie van  en  is de kruiscorrelatie van de autocorrelatie van  en van :

 Voor het efficiënt berekenen van kruiscorrelaties wordt, net als bij de berekening van convoluties, samen met Fast Fourier transform-algoritmes gebruikgemaakt van de volgende eigenschap, die analoog aan de convolutiestelling:

waarin  de fouriergetransformeerde is en de asterisk weer de complex geconjugeerde aanduidt.

 De kruiscorrelatie is gerelateerd aan de spectrale dichtheid (zie de stelling van Wiener-Khinchin).

Genormeerde kruiscorrelatie 
Net zoals, om goede vergelijking mogelijk te maken, de correlatiecoëfficiënt de genormeerde waarde van de covariantie berekend wordt, zo wordt ook van de kruiscorrelatie wel een genormeerde waarde berekend. De genormeerde kruiscorrelatie wordt berekend door eerst van elk signaal het gemiddelde van af te trekken en de integraal te delen door de standaardafwijkingen.

waarin  het gemiddelde van  en  de standaardafwijking van  zijn.

Tijdreeksanalyse 
In de tijdreeksanalyse, zoals gebruikt in de statistiek, beschrijft de kruiscorrelatie tussen twee tijdreeksen de genormeerde kruiscovariantiefunctie.

Stel dat  een paar stochastische processen zijn die gezamenlijk stationair zijn. De kruiscovariantie wordt dan gegeven door:

,

waarin  en  de verwachtingswaarden zijn van respectievelijk  en .

De kruiscorrelatiefunctie  is de genormeerde kruiscovariantiefunctie

waarin  en  de standaardafwijkingen van respectievelijk de processen  en  zijn.

Merk op dat indien , de kruiscorrelatiefunctie in feite de autocorrelatiefunctie is.

Zie ook 
 Autocorrelatie
 Convolutie
 Correlatie
 Lock-in-versterker

Externe links
  Cross Correlation from MathWorld
  http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
  http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
  http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf

Voetnoten

Bronvermelding
 

Signaalanalyse
Statistiek