Galoisuitbreiding
In de wiskunde is een galoisuitbreiding van een lichaam  een algebraïsche uitbreiding  die normaal en separabel is, of equivalent daarmee die waarbij het lichaam  elementsgewijs invariant is onder de automorfismegroep .

Karakterisering van galoisuitbreidingen 
Een belangrijke stelling van Emil Artin stelt dat voor een eindige lichaamsuitbreiding  elk van de volgende uitspraken inhoudt dat  een galoisuitbreiding is.
  is een normale en separabele uitbreiding.
 , dat wil zeggen: het aantal automorfismen is gelijk aan de graad van de uitbreiding.

Andere gelijkwaardige uitspraken zijn:
 Wanneer een poynoom  in de veeltermring  irreducibel is, maar met ten minste één wortel in , is  reducibel over  en separabel.
 , dat wil zeggen dat het aantal automorfismen niet kleiner is dan de graad van de uitbreiding.
  is het elemensgewijs invariante lichaam van een ondergroep van 
  is het elemensgewijs invariante lichaam van 
 Er is een eenduidig verband tussen deellichamen van  en subgroepen van

Voorbeelden 
Voorbeelden van galoisuitbreidingen kunnen op de volgende manier worden geconstrueerd.
 Neem een willekeurig lichaam  en een ondergroep van  waarvan  het invariante lichaam is.
 Neem een willekeurig lichaam , een separabele polynoom over  en laat  het splijtlichaam van de polynoom zijn.

De rationale getallen uitgebreid met het getal  vormen een galoisuitbreiding, terwijl de uitbreiding met alleen  geen galoisuitbreiding is. Beide uitbreidingen zijn separabel omdat ze de karakteristiek 0 hebben. De eerste uitbreiding is het splijtlichaam van de polynoom . De tweede heeft een normale afsluiting die de complexe 3e eenheidswortels bevat, dus geen splijtlichaam is. Er is geen ander automorfisme dan de identiteit, omdat het zich in de reële getallen bevindt en  slechts één reële wortel heeft.

Literatuur 
  . Galoistheorie, 1944.  heruitgegeven Galois theory,  ISBN 0-486-62342-4
  J Bewersdorff. Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 2004.
  . Galois Theory, 1984. ISBN 0-387-90980-X, Springer, oorspronkelijke artikel van Galois met achtergronden en commentaar
   voor de American Mathematical Monthly. A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, 1930. 7, blz. 357–365
  (Hoofdstuk 4 geeft een inleiding op de lichaamstheoretische benadering van galoistheorie.)
  (Dit boek introduceert de lezer in de galoistheorie van Grothendieck en geeft een aantal generalisaties.)
 
 
 
 
 . Engelse vertaling vande 2e herziene druk.: (Later heruitgegeven in het Engels bij Springer onder de titel "Algebra".)
  .  (Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic, 2001.

Bronvermelding 
 

Algebraïsche getaltheorie
Galoistheorie