Maximaal en minimaal element
In de ordetheorie, een deelgebied van wiskunde, heet een element van een deelverzameling van een verzameling met een preorde een maximaal element als er geen groter element is. Duaal heet een element een minimaal element als er geen kleiner element is. De begrippen maximaal en minimaal element zijn zwakker dan die van grootste en kleinste element (die ook bekendstaan als respectievelijk het maximum en het minimum); partieel geordende verzamelingen kunnen meerdere maximale en/of minimale elementen hebben.

Definitie
Laat  een verzameling zijn met preorde , en  een deelverzameling. Een element  van  heet maximaal element van  ten opzichte van de orde , als  voor alle  geldt:

Een element  heet een minimaal element van  ten opzichte van de orde , als voor alle  geldt:

Voorbeelden
Op de complexe getallen is de relatie  als  een (totale) preorde. In de deelverzameling  zijn alle getallen op de eenheidscirkel maximale elementen van .

In een partieel geordende verzameling  met  en  en  zijn  en  wel maximale elementen (van heel ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van  (in het bijzonder geldt niet  of ). Aan de andere kant is  in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.

Zie ook
 Bovengrens en ondergrens
 Grootste en kleinste element
 Lemma van Zorn
 Ordetheorie

Ordetheorie