Groepswerking
In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep  genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt).

Definitie 
Een (links)werking of (links)actie van een groep  op een verzameling  is een homomorfisme  van  in de symmetrische groep  van  
.

Omdat de linkswerking  van  op  een homomorfisme is, geldt:
 
 , met  het eenheidselement van de groep

In sommige gevallen blijkt het handiger een groep van rechts op een verzameling te laten werken.

Een (rechts)werking of (rechts)actie van een groep  op een verzameling  is een anti-homomorfisme  van  in de symmetrische groep  van 
.

Omdat de rechtswerking  van  op  een anti-homomorfisme is, geldt:
 
 , met  het eenheidselement van de groep.

Men zegt dat de groep  (van links, resp. van rechts) op de verzameling  werkt.

In plaats van  schrijft men vaak eenvoudig , of zelfs  voor een linkswerking, en voor een rechtswerking in plaats van  eenvoudig  of . In deze notatie luiden de genoemde eigenschappen,

voor een linkswerking:
 
 

voor een rechtswerking:
 
 

Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.

Een (links)werking van de groep  op de verzameling  is een afbeelding:

met de volgende eigenschappen:
 associativiteit: 
;
 met het eenheidselement  van de groep correspondeert de identieke afbeelding van 
.

Analoog is een (rechts)werking van de groep  op de verzameling  een afbeelding:

met de volgende eigenschappen:
 associativiteit: 
;
 met het eenheidselement  van de groep correspondeert de identieke afbeelding van 
.

Effectieve werking
Uit de definitie volgt dat voor iedere  de functie van  naar  bijectief is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van  in  naar  in de verzameling bijecties van  naar  injectief is, dan noemt men de groepswerking effectief of getrouw.

Voorbeeld 1 
 is de verzameling functies van  naar , en  is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking wordt gedefinieerd door , of gelijkwaardig door . Het is een homomorfisme van  in de symmetriegroep van , waarbij dus met elke bijectie van  naar  in  een bijectie van  naar  correspondeert.

Voorbeeld 2 
Stel , en  is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking is eenvoudig de toepassing van de bijectie op het punt.

Baan 

Als een groep  werkt op een verzameling , is de baan of  orbit van een element  de deelverzameling  van alle beelden van  onder de groep:

De verzameling van alle banen als  de verzameling  doorloopt vormt een partitie van . Als  (bovenstaand voorbeeld 2), vormen de banen dus een partitie van de . Is  een metrische ruimte en  een isometriegroep, dan is soms een belangrijk onderscheid of de banen uit geïsoleerde punten bestaan, of met andere woorden, discrete metrische ruimten zijn.

Voorbeelden
  is de verzameling isometrieën van {1, 2, 3}, bestaande uit de identiteit en het verwisselen van 1 en 3. . De banen zijn  en .
  is als hierboven.  is de verzameling functies van {1, 2, 3} naar {A, B}. De banen zijn, kort genoteerd, {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA), {BAB} en {BBB}.
  is de symmetriegroep van een veelvlak.  is de verzameling hoekpunten, ribben of zijvlakken. De banen zijn partities van hoekpunten, ribben of zijvlakken.

Transitiviteit 
Een groepswerking van de groep  op  heet transitief, als er maar één baan is. Dat houdt in dat er bij elke twee elementen  een  is, zo, dat . In het voorbeeld van het veelvlak noemt men het veelvlak dan respectievelijk hoekpunttransitief of isogonaal en zijvlaktransitief of isohedraal.

Toepassing 
Stel  is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie,  of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van symmetrie van een object op/in  (waarbij een "object in " niet verward moet worden met een element van ) kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op , met voor elk punt als functiewaarde een tupel met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz.  Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor  kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor  kunnen we de symmetriegroep van  nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als  een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door , het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door , enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door  bestaat dan uit de elementen  van  waarvoor . Als  de indicatorfunctie is van een deelverzameling  van , dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van  en .

Als  de hele ruimte is kunnen we voor  nemen de euclidische groep  of alleen de directe isometrieën: . In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen van een  voorwerp (star lichaam in de ruime zin van het woord,  hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.

Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.

Zie ook 
 Relatie tussen isometriegroep en symmetriegroepen.
 Fundamenteel domein

Groepentheorie